Approximation des systèmes dynamiques

Zaka Ratsimalahelo
CRESE, LATEC, Université de Franche-Comté, Besançon

Abstract

Le modèle espace état présente un intérêt considérable pour les modèles é‚conom‚triques dynamiques et pour les séries temporelles, dans la mesure où il permet, à partir de données, de déterminer la structure du modèle.

Nous nous intéressons tout particulièrement à la modélisation des séries temporelles; notre étude tente de faire le point sur le problème de l'approximation des systèmes dynamiques linéaires stochastiques.

La représentation équilibrée.

Considérons le modèle markovien qui représente le processus (séries temporelles multivariées)

où est le vecteur d'état de dimension n et est le processus d'innovation. Ce modèle est appelé aussi modèle innovation. Les matrices des variances-covariances sont les suivantes: ; ; et .

La représentation équilibrée fournit des paramètres invariants du système dynamique, c'est-à-dire des paramètres caractéristiques de la fonction de transfert. Suivant Aoki et Havenner (1991), les différentes étapes de l'algorithme de la représentation équilibrée sont les suivantes:

1. estimation des covariances du processus,
2. formation de la matrice de Hankel et détermination de son rang,
3. détermination des paramètres A, C et M à partir de la décomposition en valeurs singulières de la matrice de Hankel,
4. détermination des paramètres B, P et H.

Il faut souligner que les méthodes utilisées dans le cas déterministe s'avèrent inadéquates dans le cas stochastique. Pour ce dernier, il faudra ajouter le lemme de Yacubovich-Kalman-Popov ou lemme positif réel qui indique que le triplet (A,M,C) décrit un processus stochastique si et seulement si:

Soit d'après le système dynamique, la matrice de variance-covariance

Soit encore en terme de densité spectrale du processus

qui peut être factorisé par

Approximations Hankel optimales.

Glover (1984, 1989) a montré le lien entre approximations H optimales, repr‚sentation équilibrée et approximations des réponses fréquentielles.

L'étape 3 de l'algorithme consiste à approximer la matrice estimée de Hankel par une matrice de Hankel de rang inférieur. Aoki et Havenner ont ainsi pu établir le théorème de spécification efficiente d'un modèle. Cependant une telle approximation n'est pas unique, de plus la matrice approximée ne possède pas toujours la structure de Hankel. Ces remarques rejoignent les critiques de Deistler (1991) et Mittnik (1991) sur ce théorème.

Racines unitaires et matrice symplectique.

La plupart des séries économiques et en particulier les séries financières ne sont pas stationnaires. En effet à l'étape 4, on est amené à résoudre l'équation algébrique de Riccati. Sa résolution non récursive s'effectue par l'algorithme de Vaughan en terme de matrice symplectique

avec ; et . Or cet algorithme de Vaughan ne s'applique plus dans le cas où la matrice admet des valeurs propres sur le cercle unité. De plus le quadriplet ne satisfait plus la condition de positivité, ceci est d'autant plus vrai si la racine unitaire est complexe.

Eu égard à ces différentes remarques, l'algorithme de la représentation équilibrée est remis en cause.