Dessin de George K. Francis dans "A Topological Picturebook Springer New York, 1987"
A partir du semestre d'automne 2012, le séminaire aura lieu les mardis à 16h15 en salle 17 (2ème étage).
| Abstract: | Which manifolds admit a metric of positive sectional curvature? So far, only a handful of objects are known to share this curvature property. Nevertheless, these examples suggest that positively curved manifolds carry a rich but simple topological structure. In this talk I will introduce the elliptic genus and show that it vanishes partially on positively curved Spin manifolds with "small" symmetry rank. |
| Abstract: | Which manifolds admit a metric of positive sectional curvature? So far, only a handful of objects are known to share this curvature property. Nevertheless, these examples suggest that positively curved manifolds carry a rich but simple topological structure. In this talk I will introduce the elliptic genus and show that it vanishes partially on positively curved Spin manifolds with "small" symmetry rank. |
| Abstract: | We review some relations for the dilogarithm and quantum dilogarithm function. Continuing to Faddeev's quantum dilogarithm we get central ingredient for the Andersen-Kashaev TQFT. |
| Résumé: | Dans un article récent, A. Brini, B. Eynard et M. Mariño ont proposé une courbe algébrique qui décrit les noeuds toriques dans la sphère S^3, en ce sens que le polynôme de HOMFLY coloré peut être calculé à partir de la courbe. Dans le cas des noeuds dans l'espace projectif RP^3, V. Bouchard, A. Klemm, M. Mariño et S. Pasquetti ont trouvé une courbe algébrique qui décrit le noeud trivial. Le but de l'exposé est de présenter la généralisation de ces résultats aux noeuds toriques dans RP^3. |
| Abstract: | The first part of this talk will be a quick survey on equivariant topology methods and how to use them in discrete geometry and combinatorics, based on some examples. The second part will be about Toeplitz' Inscribed Square Problem from 1911, which asks whether any continuous Jordan curve contains the four vertices of a square. |
| Abstract: | In arXiv:1206.4330 we introduce the notion of relational symplectic groupoid, a groupoid object in the extended symplectic category, that extends the construction of symplectic groupoids for integrable Poisson manifolds developed by A. Cattaneo and G. Felder in the context of the Poisson sigma model. In this talk we review the basics of the integrability problem for Poisson manifolds, we introduce the relational symplectic groupoid and we comment the relevance of this construction in topological field theories and Lie theory. Joint work with A. Cattaneo. |
| Abstract: | One of the most complicated knot invariants is the unknotting number (or Gordian number of a knot). By proposing Bernhard-Jablan Conjecture, we try to reduce it to a finitely computable invariant. By using general formulae for the signatures of alternating knots, we computed unknotting numbers for different families of alternating knots. |
| Abstract: | We present the knot-theory program LinKnot working in the (extended) Conway notation of knots and links. The program computes various knot invariants, beginning from standard knot polynomials (Alexander, Jones, HOMFLYPT,....), to the more sophisticaded invariants, like categorifyed Jones polynomials (i.e., Khovanov polynomials). All knots and links from the program can be visuelized in 3D and represented by their diagrams. Program works with braids, different codings (DT codes, Gauss codes, PD = planar diagrams, etc.), virtual knots, pseudoknots.... |
| Résumé: | Un théorème classique assure que toute variété métrisable possède le type d'homotopie d'un CW-complexe (abrégé t-h-CW-c). Sans l'hypothèse de métrisabilité, cela n'est plus vrai, comme le montre l'exemple de la longue droite. Il existe cependant des variétés non-métrisables contractiles, comme la surface de Prüfer. Dans cet exposé, je parlerai de diverses propriétés purement topologiques (par exemple: contenir un "long" sous-espace qui soit séquentillement compact) qui empêchent une variété d'avoir le t-h-CW-c, et je donnerai des exemples de variété non-métrisables dans diverses classes ayant le t-h-CW-c. Une bonne partie de l'exposé sera dédiée aux exemples simples afin d'être plus accessible. |
| Résumé: | A partir d'un noeud dans S3, on peut obtenir deux types de triangulation : une triangulation idéale du complémentaire du noeud, où le noeud est représenté par le sommet ; et une triangulation Hamiltonienne à un sommet, où le noeud est représenté par un côté de tétraèdre. Il est possible de munir certains complémentaires de noeuds d'une structure hyperbolique complète à partir d'une triangulation idéale. L'objectif de ce séminaire est d'établir un lien entre cette structure et une triangulation Hamiltonienne correspondante. |
| Abstract: | I will talk about a relation of the colored Jones polynomial to the Chern-Simons invariant and the Reidemeister torsion of a representation of the fundamental group of the complement of a knot to SL(2;C). |
| Abstract: | All knots in the 3-sphere are related
by a sequence of crossing changes. This leads to deep questions: Can
a single crossing change transform a given knot into the unknot?
Which two links related by a single crossing change? When do
two different crossing changes relate the same pair of links? Where
are all these crossing changes? A Rational (Sub)tangle Replacement - the excision of a rational subtangle from a 3-manifold with a properly embedded 1-manifold followed by the insertion of another - is a natural generalization of a crossing change, and thus prompts similar questions. In this talk we'll discuss the analogous questions for the foundational case of RSR within rational tangles. We classify both which pairs of rational tangles may be related by an RSR and where these RSR occur1. The which part of this classification builds on work of Berge, Gabai and Moser on surgeries on knots in solid tori yielding solid tori via the Montesiños Trick. However the where part of the classification of RSR between rational tangles does not follow from the Montesiños trick. Indeed two non-homeomorphic tangles may have homeomorphic branched double covers. We complete the where part of this classification in part by generalizing a theorem of Ernst and in part by regarding the tangles as hyperbolic orbifolds. The former relies upon the corresponding knot exteriors being Seifert fibered while the latter relies upon the hyperbolic orbifold surgery theorem. We also discuss the related questions of which pairs of 2-bridge links are related by an RSR and where these RSR occur. We revisit the classification by Darcy-Sumners and Torisu of which 2-bridge links are related by an RSR of distance at least 2 and apply Ernst's theorem to classify where these RSR occur. Work of Greene gives the classification of which 2-bridge links are related to the unknot by a distance 1 RSR while work of Lisca can be extended to give the classification of which 2-bridge links are related to the two component unlink by a distance 1 RSR. This project is in part motivated by the common biological situation of proteins cutting, rearranging and resealing DNA segments - effectively performing RSR on DNA ‘tangles’, and so we will also discuss particular biological applications. 1We use the term rational subtangle replacement instead of rational tangle replacement since the replacement itself occurs within a rational tangle and yields another rational tangle. |
| Résumé: | Un long noeud dans Rn est un
plongement de la droite réelle dans Rn qui est égal
au plongement d'un axe, en dehors d'un voisinage compact. Kontsevich
a conjecturé que pour tout n>3, l'espace Ln des longs
noeuds dans Rn avait le même type d'homotopie que l'espace
fonctionnel dérivé Map (A, Cn) des morphismes
d'opérade de l'opérade associative vers
l'opérade des n-cubes, qui décrit les espaces de
lacets itérés n fois. Avec Bill Dwyer nous avons
démontré que Kontsevich avait presque raison: en
fait, Ln a le même type d'homotopie que l'espace de
lacets doubles sur Map (A, Cn). Dernièrement nous avons généralisé ce résultat, en montrant que pour tout n>m+2, l'espace de tous les longs plongements de Rm dans Rn a le même type d'homotopie que l'espace de lacets itérés m+1 fois sur Map(Cm,Cn), l'espace fonctionnel dérivé des morphismes d'opérade entre l'opérade des petits m-cubes et celle des petits n-cubes. Des résultats géométriques profonds de Dev Sinha et de Victor Tourchine nous ont permis de donner des preuves essentiellement homotopiques des nos résultats, que j'esquisserai brièvement. |
| Résumé: | On démontre qu'une courbe plane fermée simple de classe C1 contient les sommets de n'importe quel triangle (non-plat), à translation et homothétie près. Ce résultat est faux pour les courbes C0. La preuve utilise des espaces de configurations ainsi qu'un peu de topologie différentielle et algébrique. |
| Résumé: | Selon la conjecture du volume de
Kashaev et généralisée par Gukov, le
polynôme de Jones coloré JN(q = exp(2iπ/k)) d'un
noeud hyperbolique a un développement asymptotique en
puissances de (iπ/k), lorsque k et N tendent vers l'infini et u =
iπN/k reste fixe, et le premier terme de ce développement
est lié au volume hyperbolique du complémentaire du
noeud. Dans un travail récent avec Bertrand Eynard, nous
proposons une façon de calculer ce développement
à tous les ordres, en étudiant la
géométrie complexe sur la variété des
caractères de SL2(C), qui est pour les noeuds une surface de
Riemann S. Nous prédisons que les coefficients se contruisent
à partir de deux ingrédients principaux: la
récurrence topologique - qui associe à S certains
invariants géométriques qui sont des formes
différentielles méromorphes - et les fonctions theta
(et leurs derivées) associées à S. Cette
conjecture complète celle de Dijkgraaf, Fuji et Manabe, qui
avaient observé que la récurrence topologique donnait
le bon résultat modulo des renormalisations à tous les
ordres. L'objectif de cet exposé est d'énoncer notre conjecture, et d'illustrer dans le cas du noeud de huit le calcul des premiers coefficients, qui se comparent bien au résultat attendu par l'intégrale de Hikami. |
| Abstract: | We will first review some of the main constructions in Heegaard Floer theory of Ozsvath and Szabo. We will then study incompressible tori in homology spheres. Any such torus may be used to describe the three-manifold as the manifold obtained by splicing two knot complements. Using a splicing formula for knot Floer homology we then show that if a prime homology sphere contains an incompressible torus then its Heegaard Floer homology is non-trivial (i.e. different from the standard sphere). |
| Abstract: | After a short introduction to Hausmann, Holm, and Puppe's theory of conjugation spaces and manifolds, I want to show how one can use this structure to construct equivariant Chern classes for Real bundles (in the sense of Atiyah). The second part of the talk will be devoted to realization problems, known examples and open questions. |
| Résumé: | The lecture is about the astounding discovery of the length spectrum of a compact Riemann surface. We shall begin with Euler back in 1737, then move to Wiener's proof of the prime number theorem in 1932 and its impact to the study of a vibrating membrane. After that we shall concentrate on hyperbolic lattice points for a while and then finally see how this led to the "invention" of the length spectrum with its many amazing properties. The lecture will finish with a list of recent results. |
| Résumé: | Si (F,0) est un germe de surface complexe, sa topologie est déterminée par son bord L ( appelé aussi "Link de (F,0)" ). Si 0 est un point singulier isolé de F, L est une variété de dimension trois graphée au sens de Waldhausen et L est décrite au moyen du "plumbing calculus" de W.Neumann. Ici, nous décrirons L lorsque (F,0) n'est pas à singularités isolées et nous associerons canoniquement à L une variété graphée L'. En fait, nous montrerons que la topologie de L permet de déterminer la topologie de L' qui est bord de la normalisée de (F,0). |
| Résumé: | Etant donnée une petite catégorie B, nous commencerons par considérer sa catégorie des fractions, afin que tous les morphismes deviennent inversibles, voir P. Gabriel y M. Zisman dans "Calculus of fractions and homotopy theory" (1967). Ceci donne lieu à un groupe associé à B. Par ailleurs D. Quillen dans "Higher algebraic K-theory.I" (1972) associe un CW-complexe à B (via son "nerf") dont le groupe fondamental est isomorphe au groupe précédent. Ce sont là des résultats classiques que nous considérerons tout d'abord. Lorsque la petite catégorie est faite d'espaces vectoriels une théeorie analogue tenant compte de la structure linéaire ne fonctionne pas, il n'existe pas de groupe fondamental naturel associé. L'alternative est de considérer toutes les graduations connexes de B. On obtient alors un groupe fondamental "à la Grothendieck" au moyen des automorphismes du foncteur fibre (travail joint avec M. J. Redondo et A. Solotar). Nous esquisserons cette construction. Pour finir je donnerai un aperçu du fait que les outils développés au cas linéaire précédent offrent une nouvelle perception du cas classique résultats obtenus avec John MacQuarrie. Nous montrons que les graduations d'une petite catégorie B sont en correspondance bijective avec ses revêtements galoisiens (grâce à un smash produit). Une conséquence immédiate est l'existence d'un revêtements universel (résultat obtenu récemment par N. Ojeda Bar au moyen d'autres techniques). |
| Abstract: | New methods are given to calculate the volumes of geometric knot and linkcone-manifolds. The knots and links are considered as singular sets of cone manifolds modeled in the hyperbolic and spherical geometries with prescribed cone angles. The main idea is to find appropriated trigonometric relations between lengths of singular geodesics of cone-manifold and its cone-angles. Then, the Schläfli formula is applied to find a differential equation for the volume. As a result, explicit formulae are obtained for the volume of cone-manifolds under consideration. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Abstract: | "Lawrence representations of the braid group Bn can be constructed considering particular exact sequences and lower central series of braid groups." We will explain briefly the previous statement and we will explain how lower central series of surface braid groups can turn out to be useful for getting representations for surface braids and other topological groups. |
| Abstract: | We construct a 4-parametric family of combinatorial closed 3-manifolds, obtained by glueing together in pairs the boundary faces of polyhedral 3-balls. Then we obtain geometric presentations of the fundamental groups of these manifolds and determine the corresponding split extension groups. We prove that the considered manifolds are cyclic coverings of the 3-sphere branched over well-specified (1,1)-knots and determine their symmetry groups in the hyperbolic case. Furthermore, we show that some of these knots admit exceptional surgeries as lens space surgeries, Seifert surgeries and toroidal surgeries. Finally, we give simple examples of knots with two toroidal sugeries at distance four; this is related to some questions settled by Teragaito in [Trans. Math. Amer. Soc. 358 (3)(2005)]. |
| Abstract: | We introduce three notions of adjacency for torus knots motivated by different viewpoints on torus knots: as elements in the Gordian metric space, as the border of ribbon bipartite graphs and as knots of certain isolated singularities of algebraic curves in C2. We then discuss some examples and some of our questions concerning the interplay of these notions. |
| Résumé: | Un flot sur variété de dimension 3 est dit lévogyre s'il contient de nombreuses orbites périodiques et si toute paire d'orbites périodiques s'enlace positivement. Nous verrons en quoi cette propriété est équivalente à l'existence de nombreuses sections Birkhoff pour le flot, ou encore au fait que les entrelacs formés d'orbites périodiques sont fibrés. L'observation du flot géodésique dans certains cas particuliers (sphère ronde, surface modulaire) d'une part, et de la construction d'A'Campo d'entrelacs fibrés à partir de divides d'autre part, suggèrent alors un énoncé général: le flot géodésique sur n'importe quelle orbifold est lévogyre. Nous esquisserons des démonstrations pour les cas du tore plat et de l'orbifold de type (2,3,7). |
| Abstract: | What can a surface of large genus look like? What does a typical or random surface look like? The talk will be about studying the length of curves on surfaces to understand the geometry of surfaces and their related moduli spaces. In the opposite direction, I'll discuss some work with Guth and Young about what we can learn about random surfaces by studying their moduli spaces. The talk is based on results joint with W. Cavendish, with F. Balacheff and S. Sabourau, and with L. Guth and R. Young. |
| Résumé: | Le difféomorphisme de monodromie est le flot d'un champ de vecteurs qui préservent la structure symplectique de la fibre sans préserver la structure symplectique de l'espace ambiant. On en déduit des propriétés pour la monodromie. |
| Abstract: | Virtual links, introduced by L.Kauffman and independently by M.Polyak and O.Viro, are represented by diagrams similar to ordinary knot diagrams, except some crossings are designated as virtual. They are similar to extra crossings on planar pictures of non planar graphs. Topologically they can be regarded as links in thickened surfaces when the equivalence involve not only usual isotopy but also a surgery of the surface. Comparably with ordinary links in 3-space they are more close to combinatorics. Recently it was observed by H.Dye and L.Kauffman, and by Y.Miyazawa that for virtual links the Jones polynomial can be split into several parts which are invariant individually. These additional parts do not arise in the case of classical links. The generating function of these parts was called arrow polynomial. In the talk I briefly review virtual link theory, introduce the arrow polynomial, and explain an arrow generalization of the Thistlethwaite theorem expressing the Jones polynomial as a specialization of the Tutte polynomial. |
| Abstract: | Quantum knot invariants are known to arise in physics from Chern-Simons theory. It is a natural challenge to incorporate Khovanov homology in the physics approach, and some proposals have been made in the last years along that direction. More recently, Witten has proposed a framework to understand Khovanov homology based on gauge theory. In these two talks I will try to make a pedagogical introduction to the work of Witten, and more generally to discuss physics-based approaches to Khovanov homology. |
| Abstract: | Quantum knot invariants are known to arise in physics from Chern-Simons theory. It is a natural challenge to incorporate Khovanov homology in the physics approach, and some proposals have been made in the last years along that direction. More recently, Witten has proposed a framework to understand Khovanov homology based on gauge theory. In these two talks I will try to make a pedagogical introduction to the work of Witten, and more generally to discuss physics-based approaches to Khovanov homology. |
| Abstract: | After a review of the basic notions of abstract homotopy theory, we will show that the category of graphs and graph homomorphisms admits many different Quillen model structures. Moreover, a few classical notions of graph theory will be reinterpreted in this context. |
| Abstract: | We construct cobordisms of almost maximal Euler characteristic between torus links, where ``almost'' means ``up to a constant factor''. |
| Abstract: | If a graph Γ is embedded in S3, then the symmetries of Γ can be represented by automorphisms of the abstract graph that are induced by a homeomorphism of S3. The topological symmetry group, TSG+(Γ), is the subgroup of the automorphism group of Γ consisting of those automorphisms induced by orientation preserving homeomrphisms of S3. We discuss which groups can occur as TSG+(Γ) for some graph Γ embedded in S3. |
| Résumé: | Les intégrales matricielles interviennent dans divers domaines de la physique, tels que la théorie quantique des champs, les systèmes désordonnés, le chaos quantique, la théorie des cordes, etc. On distingue les intégrales matricielles convergentes, que l'on interprète comme loi de probabilité d'une variable aléatoire matricielle, et les intégrales matricielles formelles, que l'on peut définir comme fonctions énumératives de surfaces discrètes. Nous expliquerons une procédure due à L. Chekhov et B. Eynard qui permet de calculer récursivement toutes les fonctions de corrélation d'une intégrale matricielle formelle, ainsi que l'interprétation géométrique de B. Eynard et N. Orantin: les fonctions de corrélation forment une famille d'invariants d'une certaine courbe algébrique définie univoquement à partir de l'intégrale matricielle. Nous mentionnerons éventuellement une application à la théorie des noeuds ou à la théorie de Hurwitz. |
| Abstract: | J. Przytycki made an interesting connection between chromatic graph homology and Hochschild homology: the chromatic graph homology of a polygon graph with coefficients in an algebra A is the Hochschild homology of A, at least through a range of dimensions. This leads him to speculate that there is a more general ″graph homology″ which for the special case of polygons gives Hochschild homology, the remaining problem being to construct such a theory. In this talk I will give a reminder of the basic definitions of Hochschild homology, discuss chromatic graph homology, describe the pitfalls of generalisation and finally define a new homology theory of graphs of the sort envisaged by Przytycki. Joint work with Emmanuel Wagner. |
| Résumé: | Les constructions algébriques de la théorie des espaces (quantiques) de Teichmüller et les triangulations hamiltoniennes permettent de définir des anneaux qui correspondent aux versions non-commutatives des variétés de déformation des noeuds. Les exemples de calcul pour le noeud de trèfle et le noeud en huit seront considerés en détail. |
| Résumé: | Pour toute surface S et entier r, la tqft définit un espace vectoriel V_r(S) dont la dimension croît polynomialement avec r. Cet espace supporte une représentation du mapping class group de S compatible avec une famille d'opérateurs auto-adjoints indexés par les courbes dans S. J'expliquerai dans certains cas particuliers pourquoi ces opérateurs sont ″de Töplitz″ ainsi que quelques applications au calcul asymptotique des invariants quantiques. (Travaux en cours avec L. Charles et indépendamment T. Paul) |
| Résumé: | On construit de nouveaux invariants pour les tangles. Ils arrivent comme evaluation des 1-cocycles sur un arc canonique dans l'espace des tangles. Ils prennent leurs valeurs dans un skein module avec comme coefficients des polynômes à cinq variables, qui raffine le skein module de HOMFLYPT. Dans les cas des tresses les 1-cocycles peuvent détecter la structure géométrique de la tresse. |
| Résumé: | Dans cet exposé je voudrais donner une introduction pédagogique à quelques conjectures en théorie des noeuds inspirées par la théorie des cordes. En particulier, j'énoncerai quelques propriétés strucurales des polynômes colorés de HOMFLY et Kauffman qui découlent de la théorie des cordes, et j'expliquerai leur connexion à la géométrie énumérative. |
| Abstract: | We show how appropriately charged tetrahedral forms of a Psi-system gives rise to a topological invariant of triples (a closed oriented 3-manifold M, a principal bundle over M, a link in M). This construction generalizes the quantum dilogarithmic invariant of links appearing in the original formulation of the volume conjecture. Conjecturally, all quantum groups at odd roots of unity give rise to Psi-systems. |
| Abstract: | We introduce systems of objects and operators in linear monoidal categories called Psi-systems which eventually give rise to topological invariants of three-manifolds. In this talk I will explain the tetrahedral symmetries of certain multilinear forms which generalize 6j-symbols in the quantum theory of the angular momentum. |
| Abstract: | The colored Jones polynomials of knots satisfy a recursion relation that is known to involve the quantum version of the A-polynomial (this is the AJ Conjecture of Garoufalidis). I show how to derive this quantized A-polynomial directly from a fundamental quantization of hyperbolic structures on a knot complement. |
| Abstract: | We will discuss the Jones polynomial (and its colored cousins) for a pair of geometrically similar knots: the 5_2 and (-2,37) pretzel knots. In particular, we will compute their recursion relation and their Kashaev invariant. |
| Résumé: | Deux complémentaires de noeuds dans S^3 sont commensurables s'ils ont un revêtement fini commun. Dans cet exposé on étudie le cas des noeud sans symétrie cachée. Dans ce cas là deux complémentaires de noeuds commensurables sont cycliquement commensurables et il y a au plus 3 complémentaires de noeuds dans chaque classe de commensurabilité. Cela impose des restrictions fortes sur les noeuds ayant des complémentaires commensurables. On ne connaît actuellement que 3 noeuds hyperboliques ayant des symétries cachées, le noeud à 4 croisements et les deux noeuds dodécaédraux de Aitchison et Rubinstein. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Steve Boyer, Radu Cebanu et Geneviève Walsh. |
| Résumé: | James Conant discute dans un article une conjecture de Kawauchi qui affirme que le polynôme de Conway C(z) d'un noeud achiral se factorise en C(z)=f(z)f(-z), avec f(z) un polynôme à coefficients entiers. Cette conjecture est démontrée pour les noeuds achiraux et pour les noeuds fortement achiraux. On montrera qu'elle est vraie pour les noeuds alternés achiraux (quasi) arborescents, mais qu'elle ne s'avère pas vraie en général. |
| Abstract: | I will first recall the definition of Kauffman brackets of embeddings of colored graphs in S^3, provide some examples and sketch the connection of these constructions with ideas coming from physics. I will then introduce the problem of studying the asymptotical behavior of these invariants and, restricting to the case of trivalent planar graphs, relate it to the geometry of hyperbolic polyhedra. If time permits I will then report on some recent advances (joint with F.Gueritaud and R.Van der Veen) showing how Schäfli-like differential equations can be recovered from the combinatorial properties of the invariants. |
| Abstract: | In this article we take up the calculation of the minimum number of colors needed to produce a non-trivial coloring of a knot. This is a knot invariant and we use the torus knots of type (2, n) as our case study. We calculate the minima in some cases. In other cases we estimate upper bounds for these minima leaning on the features of modular arithmetic. We introduce a sequence of transformations on colored diagrams called Teneva transformations. Each of these transformations reduces the number of colors in the diagrams by one (up to a point). This allows us to further decrease the upper bounds on these minima. |
| Résumé: | Selon N. A'Campo, on peut définir un entrelacs en considérant l'espace tangent d'une courbe génériquement immergée dans un disque (un partage). En particulier, un entrelacs issu d'une singularité isolée de courbe plane peut être obtenu de cette manière. Le fait d'affecter un signe à chaque croisement d'un partage (partage signé), permet d'étendre la classes des entrelacs : on obtient alors tous les entrelacs fortement inversibles. Les isotopies d'entrelacs fortement inversibles se traduisent par des mouvements sur les partages signés. On peut alors définir une catégorification pour ces mouvement sur les partages signés. |
| Résumé: | En 2004 Rouquier a associé à chaque tresse un complexe de bimodules de Soergel de sorte que les complexes associés à des tresses isotopes sont equivalents à homotopie près. Cette construction est appelée catégorification des groupes de tresses. On étend ce resultat aux monoides de tresses singulières et aux groupes de tresses virtuelles. |
| Résumé: | La théorie de Chern-Simons constitue une approche alternative des invariants de noeuds définis à partir des groupes quantiques. Dans cet exposé, nous décrirons comment le formalisme des opérateurs de noeuds permet d'obtenir des formules simples dans le cas des noeuds toriques. Nous mentionnerons une formule pour les invariants quantiques de HOMLFY (démontrée par Lin & Zheng), une formule analogue pour les invariants quantiques de Kauffman, et un résultat pour les noeuds câblés (obtenu par Morton & Manchon). Si le temps le permets, nous parlerons d'une conjecture proposée par Mariño qui relie les invariants de HOMFLY et de Kauffman. |
| Résumé: | La combinatoire d'un tétraèdre tronqué conduit naturellement à une structure algébrique appelée Delta-groupoïde. J'expliquerai les connexions des Delta-groupoïdes aux sous-groupes malnormaux, aux anneaux et aux triangulations idéales de complémentaires des noeuds. |