Dessin de George K. Francis dans "A Topological Picturebook, Springer New York, 1987"
Sauf indication contraire, le séminaire a lieu les jeudis à 14h15 en salle 17 (2ème étage).
| Abstract: | We consider the cable
version of the Γ-polynomial, which is the common zeroth
coefficient polynomial of both the HOMFLYPT and Kauffman
polynomials. I will talk about the following 5 topics:
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| Abstract: | We consider the cable
version of the Γ-polynomial, which is the common zeroth
coefficient polynomial of both the HOMFLYPT and Kauffman
polynomials. I will talk about the following 5 topics:
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| Abstract: | The most useful approach to a classication of 3-manifolds is the complexity theory founded by S. Matveev. Exact values of complexity are known for few infinite series of 3-manifold. We present the results on complexity for new infinite series of hyperbolic 3-manifolds with boundary. Also we introduce a notion of complexity for virtual 3-manifolds. |
| Résumé: | Le bord du voisinage tubulaire d'un arrangement de droites dans le plan projectif complexe est une variété graphée, de dimension 3. On construit un invariant topologique à partir de l'inclusion de cette variété dans le complémentaire. Cet invariant se calcule facilement à l'aide de la monodromie de tresses et permet d'exhiber de nouvelles paires de Zariski d'arrangements de droites. |
| Abstract: | Given a braid, taking the signature of its closure provides a map from the braid group to the integers.
The multiplicative default of this signature map can be computed in terms of the Burau representation.
In this talk, I will express the multiplicative default of the multivariable signature of colored tangles in terms of an isotropic functor.
This is a joint work with David Cimasoni. |
| Abstract: | Knotted foams are to knotted surfaces as knotted trivalent graphs are to classical knots. Because of this analogy, a cohomology theory that is used to create invariants of knotted trivalent graphs can be promoted to create invariants of knotted foams. This theory combines both quandle and group cohomology. There are certain polytopes that are analogous to the Stasheff polytope whose vertices are parametrized by braided trees that inform the cocycle conditions. |
| Résumé: | La TQFT de Witten-Reshetikhin-Turaev de groupe de jauge SU2 associe à toute surface S une suite d'espaces vectoriels hermitiens Vr(S) et toute décomposition en pantalons de S induit une base naturelle sur Vr(S). Par l'analyse semi-classique, on démontre une formule asymptotique pour les produits scalaires de certains de ces vecteurs de base. La formule obtenue est très similaire à la formule asymptotique conjecturée par Witten pour les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev. |
| Abstract: | By straightening small subarcs into line segments, every tame knot $K$ can be approximated by a polygonal knot $K^\prime$, within its knot type, whose vertices are on $K$. If the vertices of $K^\prime$ are not well distributed along $K$, $K^\prime$ may not have the knot type of $K$.
It is known that every nontrivial knot has a quadrisecant. Given a knot, we mark each intersection point of each of its quadrisecants. Replacing each subarc between two nearby marked points with a straight line segment joining them, we obtain a polygonal closed curve which we will call the quadrisecant approximation of the given knot. We show that for any heptagonal figure eight knot in general position, there are only six quadrisecants, and the resulting quadrisecant approximation has the same knot type. Furthermore, the resulting quadrisecant approximation has no new quadrisecants other than those of the heptagonal figure eight knot. We also show that for each pair $(p,q)$ of relatively prime integers satisfying $1 < p < q < 2p$, there exists a minimal polygonal torus knot of type $(p,q)$ having only finitely many quadrisecants whose quadrisecant approximation is of the same knot type. This is a joint work with Seojung Park. |
| Abstract: | A Brunnian braid means a braid that becomes trivial after removing any one of its strands. We describe the group of Brunnian braids on a general surface. In the cases when a surface is a sphere or projective plane the group of Brunnian braids is described by means of the homotopy groups of a 2-sphere. Then we study the graded Lie algebra of the descending central series related to Brunnian subgroup of the pure braid group. A presentation of this Lie algebra is obtained. |
| Résumé: | La première partie de cet exposé consistera en un survol de résultats classiques sur espaces de polygones, leur propriétés et leur classification. On présentera ensuite quelques résultats récents reliant cette classification à celle de certaines fonctions booléennes (threshold functions) et de certains jeux.
(Exposé en français, slides in English). |
| Abstract: | A Casson tower is a 4-manifold which can be constructed by thickening a 2-complex built from layers of immersed discs in a bigger 4-manifold. A Casson tower has a height and an attaching circle, which is the boundary of its base disc. A higher tower, namely a tower with more layers of immersed discs, is a better approximation to an embedded disc. Casson towers featured prominently in Freedman's original proof of the 4-dimensional topological Poincaré conjecture. In particular Freedman showed that an infinite Casson tower, which is called a Casson handle, contains an embedded disc. The ability to embed discs was the key to being able to apply surgery and h-cobordism techniques, originally from high dimensional topology, to 4-manifolds. I will explain what a Casson tower is in more detail and present embedding results, from work with Jae Choon Cha, on Casson towers of height 4, 3 and 2. The height 2 result in particular can be used to find a new family of topologically slice knots. I will explain why we think these slice knots are interesting. |
| Résumé: | Motivés par la conjecture d'Atiyah-Floer, Manolescu et Woodward ont défini un invariant homologique HSI(Y) associé à une 3-variété fermée orientée Y, appelé "homologie instanton-symplectique". Afin d'étudier l'effet d'une chirurgie entière le long d'un noeud K, je définirai des invariants similaires HSI(Y,c) associés à Y munie d'une classe d'homologie c dans H_1(Y,Z/2Z), tels que HSI(Y,0) = HSI(Y), j'expliquerai comment ils peuvent s'interpréter comme une théorie des champs topologique à la Wehrheim-Woodward, puis je donnerai une formule de Künneth pour la somme connexe, ainsi que des suites exactes reliant les invariants de Y, Y_{n} (K) et Y_{n+1} (K). |
| Abstract: | Here |
| Abstract: | Homotopy quantum field theory (HQFT) is a branch of quantum topology concerned with maps from manifolds to a fixed target space. The aim is to define and to study homotopy invariants of such maps using methods of quantum topology. I will focus on low dimensional HQFTs with aspherical target. (When the target space is a point, one recovers the more familiar notion of TQFT.) In particular, these HQFTs provide numerical invariants of principal bundles over closed 3-manifolds. To construct such HQFTs, the relevant algebraic ingredients are algebras or monoidal categories which are graded by a group. |
| Résumé: | Je vais exposer quelques théorèmes classiques de géométrie sphérique, et leur analogue en géométrie hyperbolique. |
| Abstract: | Chern-Simons TQFT is a functor that associates vector spaces to closed oriented surfaces and linear maps to cobordisms. In particular, to closed 3-manifolds with knots inside it associates a number, which is a topological invariant. In the special case of Seifert manifolds with knots wrapping the circle fibers, we define a deformation of this invariant, using the modular S and T matrices first described by A.Kirillov-Jr. We show that for torus knots the resulting deformation is related to Khovanov-Rozansky knot homology, and conjecture the general form of this relation. |
| Abstract: | Kuratowski Theorem gives a criterion to decide whether a given graph is planar. I.e., whether a 1-simplicial complex can be embedded in R^2.
This problem can be generalised to the embeddability of a n-simplicial complex into R^{2n}, and this question was solved in 1932 by van Kampen (later refined by Shapiro and Wu). Van Kampen Criterion for embeddability links the vanishing of an obstruction cocycle to the existence of an embedding, and this readily yields a polynomial-time algorithm for deciding embeddability.
In my talk, I will explain how van Kampen Criterion can be adapted to the problem of "r-Tverberg points". Let r be at least 3, let K be a simplicial complex and f : K -> R^d a PL-map. A point p \in \R^d contained in the images of least r pairwise disjoint simplices of K is called an r-Tverberg point. (The question of embeddability can be reduced to the non-existence of 2-Tverberg points).
We will show how the vanishing of the appropriate cocycle translates into the non-existence of r-Tverberg points. The main tool for this will be an "higher multiplicity of intersection"-version of the PL Whitney trick: if r ball in R^d intersect in two isolated points of opposite signs, then it is possible to "remove" the two intersection points while avoiding any obstacle of codimension at least 2, and without moving the boundaries of any of the balls.
If time permits, I'll explain how the range of dimensions over which this theory works can be relaxed (that is, getting an analogue of the Haefliger-Weber theorem). |
| Abstract: | We give an account of the theorem, due originally to Agol, that a 3-manifold with RFRS fundamental group admits a finite cover that is a surface bundle over S^1. |
| Abstract: | The m-th isoperimetric or filling volume function of a Riemannian manifold or a more general metric space X measures how difficult it is to fill m-dimensional boundaries in X of a given volume with an (m+1)-dimensional surface in X. The asymptotic growth of the isoperimetric functions provides large scale invariants of the underlying space. They have been the subject of intense research in past years in large scale geometry and especially geometric group theory, where the isoperimetric functions appear as Dehn functions of a group. In this talk, I survey relationships between the asymptotic growth of isoperimetric functions and the large scale geometry of the underlying space. I will in particular describe some recently developed tools from geometric measure theory in metric spaces and explain how these can be used to study the asymptotic growth of the isoperimetric functions. |
| Abstract: | The colored Jones and HOMFLY polynomials are invariants of knots in S^3 that are defined via the representation theory of quantum sl(N). I will start by explaining how these invariants generalize to the case of tangles, i.e. knot fragments in B^3. For the case of rational tangles, I will introduce a picture-way of computing a categorified version of colored HOMFLY polynomials, thereby proving a tangle-analogue of a conjecture of Gukov and Stosic. Based on joint work with Mihajlo Cekic and Jake Rasmussen. |
| Résumé: | Dans ses Princeton Notes, Thurston introduit les dites équations de recollement : un ensemble d'équations polynomiales à variables complexes décrivant les structures hyperboliques de 3-variétés à cusp, M. Les solutions de ces équations déterminent une représentation du groupe fondamental de M dans le groupe d'isométries de H^3. Après quelques rappels, nous introduirons une généralisation de ces équations, pour des complémentaires d'entrelacs, dans un contexte non-commutatif, obtenues algébriquement à partir de triangulations hamiltoniennes. |
| Résumé: | Les " crochets doubles de Poisson " sur des algèbres sont des versions non-commutatives des crochets de Poisson qui ont été introduites par M. Van den Bergh. Nous verrons comment l'intersection de courbes sur une surface à bord définit un crochet double sur l'algèbre de son groupe fondamental ; cette construction raffine le crochet de Goldman et son lien avec la structure de Poisson usuelle sur la variété des représentations de ce groupe. En dimension n>2, et grâce aux idées de la topologie des cordes de M. Chas & D. Sullivan, nous présenterons ensuite un crochet double de Gerstenhaber sur l'homologie de l'espace des lacets d'une n-variété à bord. (Travaux en collaboration avec V. Turaev.) |
| Abstract: | There are various Floer-theoretical invariants of links and 3-manifolds which take the form of homology groups which are the E_infinity page of spectral sequences starting from Khovanov homology. We shall discuss recent work (some joint with John Baldwin and Matthew Hedden and some joint with Raphael Zentner) in investigating and exploiting these spectral sequences. |
| Abstract: | Consider a closed Riemannian manifold M, and two non-conjugate points
p,q in M. The growth function CF(L;p,q) counts the number of geodesics
from p to q of length at most L.
The study of this function is a traditional topic, with major results by
Morse, Serre, Gromov, and Paternain-Petean.
The answers are quite complete for manifolds of finite type,
which means that the universal cover of M has finitely generated homology groups, or,
equivalently, that the universal cover of M has the homotopy type of a finite CW complex.
For manifolds of non-finite type, it was conjectured by Paternain and Petean that CF(L;p,q)
grows exponentially. While geometric and topological approaches don't give much
for this problem, one can use the Hopf algebra structure of the based loop space
to prove "half of" this conjecture: If M is not of finite type, then
$CF (L;p,q) \ge e^{C \sqrt T}$ for a constant C>0.
This is work joint with Urs Frauenfelder. |
| Abstract: | In 1990, Vassiliev defined a theory of finite-type cohomology classes of the space of knots. The classes of degree 0, known as Vassiliev knot invariants, were soon proved to enjoy several properties that make them easy to handle and compute, such as Birman-Lin's axiomatization, and Goussarov-Polyak-Viro's combinatorial formulas. So far, classes of higher degree have suffered from a lack of such friendly properties, so that we cannot even evaluate the only known example of a 1-cocycle over ℤ. In this talk I will present a systematic way to produce combinatorial knot cocycles of arbitrary codimension and complexity, in the spirit of Goussarov-Polyak-Viro. |
| Résumé: | On commencera par un rappel sur les structures auto-distributives (quandles, racks etc.), leurs homologies et leurs applications aux théories des noeuds et des tresses. Ensuite on présentera une théorie homologique des opérateurs de Yang-Baxter, où le flot d'idées va changer de sens: c'est la théorie des tresses qui va donner des méthodes et des inspirations pour une étude algébrique. La 3ème partie de l'exposé fermera la boucle: on munira diverses structures algébriques (quandle, algèbre associative, algèbre de Lie, bigèbre etc.) d'opérateurs de Yang-Baxter, de telle sorte que la théorie homologique associée contienne les homologies usuelles des structures en question. Comme application, on obtient une explication conceptuelle des parallèles entre les théories homologiques des structures auto-distributives et associatives, mis en évidence par J.Przytycki. |
| Résumé: | À la fin des années 90, une approche topologique des modèles Hamiltoniens a été développée. L'idée de cette approche est d'utiliser des outils issus de la topologie afin de détecter les transitions de phase dans des modèles de physique statistique. Cette approche a conduit à l'énoncé d'une "Hypothèse Topologique" reliant les transitions de phase d'un modèle à la topologie de l'espace des configurations. Lors de cet exposé, nous commencerons par revoir les notions de physique statistique qui nous permettront d'énoncer l'Hypothèse Topologique. Nous montrerons ensuite que l'Hypothèse Topologique se vérifie pour une classe de modèles à spins discrets, comprenant en particulier le modèle d'Ising sur Z^d. |
| Abstract: | Here |
| Résumé: | J'expliquerai la construction d'une paramétrisation de l'espace de Teichmüller d'une surface close orientable de genre g > 1. Cette paramétrisation peut être considérée comme une généralisation des coordonnées de Penner pour l'espace de Teichmüller décoré d'une surface épointée, c'est-à-dire d'une surface close orientable privée d'un nombre fini de points. L'exposé sera basé sur l'article arXiv:1403.0180. |
| Abstract: | The Kauffman bracket skein modules of surfaces (or 3-manifolds) are important objects in low-dimensional topology which have close connections to knot and 3-manifold invariants, TQFT, character varieties, quantum Teichmuller spaces etc. I will discuss the center of the skein algebras at roots of unity and their positive bases. |
| Abstract: | For n > 0, the singular cohomology Hn(X;G) of a CW-complex X can be expressed as the set of pointed homotopy classes [X, K(G, n)], where K(G,n) denotes the Eilenberg-Maclane space. Starting from this fact, we will review cohomology theories and spectra in the light of the Brown representability theorem. |
| Résumé: | Au début des années 90, G.Mess découvrit de profondes relations entre la géométrie Anti-de Sitter (AdS) en dimension 3 et la théorie de Teichmüller. En particulier, il existe un lien entre applications minimales lagrangiennes entre surfaces et surfaces maximales dans des variétés AdS. Nous expliquerons ce lien et l'étendrons aux cas des variétés à singularités coniques. Cela démontre l'existence d'un unique difféomorphisme minimal lagrangien entre surfaces hyperboliques à singularités coniques. |
| Abstract: | This talk will introduce a new invariant of tangles derived from Khovanov homology. As application, we construct an invariant of strong inversions of knots in the three-sphere and, in turn, produce an object that is quite sensitive to non-amphicheirality. Surprisingly, this new invariant picks up information that is not detected by the Jones polynomial or, more generally, the Khovanov homology of the original knot. |
| Résumé: | Nous allons expliquer comment compter les configurations de graphes dans les variétés de dimension 3 pour obtenir des invariants de noeuds, entrelacs et variétés de dimension 3 en suivant Gauss (1833) et, plus récemment, Witten, Bar-Natan, Kontsevich et bien d'autres. Nous commencerons par présenter plusieurs définitions équivalentes du nombre d'enlacement, qui est le plus simple de ces invariants. Puis nous présenterons une définition de l'invariant de Casson-Walker des sphères d'homologie rationnelle comme un nombre de configurations du graphe theta, avant de survoler des constructions plus générales. |
| Résumé: | L'invariant d'Alexander L2 est un invariant de noeuds introduit par Li et Zhang en 2006, que l'on peut voir comme une certaine torsion L2 sur un complexe de chaônes L2 associé à l'extérieur du noeud. Il peut aussi être construit depuis une présentation du groupe du noeud, à l'aide du calcul de Fox, similairement au polynôme d'Alexander. Dans mon exposé je présenterai cette construction après quelques rappels sur les invariants de noeuds et la théorie des invariants L2, puis je présenterai plusieurs propriétés de l'invariant d'Alexander L2, notamment le fait qu'il détecte le noeud trivial. |
| Résumé: | Le problème de décider si un nombre fini de briques permet de paver le plan euclidien est un problème connu pour être indécidable. On donne une interprétation géométrique de cette question en caractérisant l'existence de mesures invariantes sur un espace de pavages par l'annulation d'une pseudo-norme sur un sous-espace de l'homologie d'un certain complexe cellulaire. Ce dernier présente la particularité d'admettre une structure de surface branchée. La construction de cette "norme" est dérivée de la pseudo-norme de Thurston sur l'homologie des variétés dimension 3. |
| Résumé: | Dans cet exposé on verra comment l'étude des noeuds dans S^3 qui bordent des disques plongés dans B^4 est liée à la détermination des 3-variétés qui bordent des boules d'homologie rationnelle. Motivé par le cas concret des noeuds pretzel on montrera que des invariants récents, issus de l'homologie de Heegaard-Floer et de Khovanov, ne sont pas nécessairement plus "forts" que des invariants classiques comme le polynôme d'Alexander. On regardera aussi les invariants de Casson-Gordon et on montrera qu'en dépit de leurs ressemblances formelles avec les termes de correction issues de l'homologie de Heegaard-Floer ils ne voient pas les mêmes propriétés des 3-variétés. |
| Résumé: | Je vais présenter la théorie de Conway et Bonahon-Siebenmann sur la décomposition d'une projection de noeud/entrelacs en partie arborescente et partie polyèdrale. Puis expliquer comment cela s'applique aux projections alternées minimales, pour lesquelles il y a une sorte d'unicité. De là découle que l'on peut comprendre les noeuds alternés achiraux (et peut-être d'autres symétries?). Cela permet, entre autres, de mieux comprendre les travaux des pionniers: Tait et Haseman. Il s'agit d'un travail commun avec Van Quach et Nicola Ermotti. |
| Résumé: | Lors de sa tentative de classification des noeuds alternés, Tait a rencontré le problème de l'équivalence entre un noeud et son image dans un miroir. Il a appelé "amphicheiral" un noeud alterné qui est équivalent à son image-miroir. Il a ensuite déterminé ceux qui ont un nombre de croisements c inférieur ou égal à 10. Il y en a 20. Mary Haseman a déterminé (en 1917!) les amphicheirals avec c = 12. Il y en a 54. Elle a utilisé des méthodes qui sont à la base de développements plus récents, comme les tangles de Conway. Ce sont ces méthodes que je vais tenter de présenter.
En principe, l'exposé sera peu technique. |
| Abstract: | A Klein surface is a surface with a dianalytic structure and we are mainly concerned here with compact surfaces. Topologically compact Klein surfaces are surfaces which might be non-orientable and might have boundary. We are interested in studying the doubles of Klein surfaces. For example, a Klein bottle turns out to be a double of a Möbius band. By a double here we mean a smooth double although we do allow folding. We shall also present the generalization of this concept to 3-manifolds. |
| Abstract: | The Khovanov-Rozansky homologies induce a family of knot concordance invariants (among them the Rasmussen invariant) which give strong lower bounds to the slice genus, and can distinguish between the smooth and the topological category. We will prove linear independence of some of those concordance invariants, using amongst others various spectral sequences that relate the different Khovanov-Rozansky homologies. |
| Abstract: | A random surface is a surface that is obtained by randomly gluing together an even number of triangles. There is a connection between these random surfaces and random trivalent graphs. In this talk I will explain how this can be used to study the length of the shortest non-contractible curve (the systole) on a random surface. |
| Abstract: | To find a hyperbolic structure on a 3-manifold one may attempt to geometrically glue together ideal hyperbolic tetrahedra. This led Thurston to consider his gluing equations. Neumann and Zagier found these equations have some remarkable symplectic properties that are key to both geometry and quantum invariants. After introducing the gluing equations and their properties we will propose a topological interpretation that will perhaps lead to new insight. |
| Abstract: | I will present a relation of Desargues maps, which provide geometric meaning to the non-commutative Hirota system, to certain solutions of the functional pentagon equation. I discuss then quantum version of these solutions. In the second part of my talk I will discuss periodic (Gel'fand-Dikii type) reductions of the non-commutative Hirota system and related solutions to the functional Yang-Baxter equation expressible in terms of non-commutative rational functions. |
| Abstract: | In this talk we deal with links in lens spaces. We present a disk-diagram representation and a complete finite set of Reidemeister type moves establishing equivalence, up to ambient isotopy, for such links. Then we describe how to obtain a Wirtinger type presentation for the fundamental group of the complement of the link and we give a diagrammatic method giving the first homology group. At the end we illustrate the connection with the grid diagram representation and deal with the problem of defining diagrammatic invariant for links in lens spaces. Joint work with Enrico Manfredi and Michele Mulazzani. |
| Abstract: | I will outline what is known about the homotopy-type of spaces of embeddings, paying particular attention to operads and their actions on knot spaces, the relations with geometrization and finite-type invariants via the Goodwillie-Weiss Calculus of Functors. The most recent developments in this subject involve the interaction of operad actions on knot spaces and the "Taylor tower" associated to the functor calculus. |
| Abstract: | On my September 17 Geneva talk I
described a certain trees-and-wheels-valued invariant of ribbon
knotted loops and 2-spheres in 4-space, and my October 8 Geneva talk
describes its reduction to the Alexander polynomial. Today I will
explain how that same invariant arises completely naturally within
the theory of finite type invariants of ribbon knotted loops and
2-spheres in 4-space.This talk will be self-contained and the only
prerequisites for it are some basic linear algebra and having no
fear of exponentials. Webpage of the talk: http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Talks/Geneva-131024/ |
| Abstract: | Being "fibred" is a property of knots and links that has been studied extensively and for a long time by topologists, as well as by singularity theorists who have become curious of knot theory. To every fibred link belongs a surface that bounds it, called a "fibre surface". We will see what fibred links are and study a new and very simple topological criterion to recognize fibre surfaces. |
| Abstract: | The Alexander polynomial is one of the oldest computable invariants of oriented colored links. In this talk, I will adress two particular models of that polynomial: the Conway function and the Euler characteristic of link Floer homology. After describing these two models, I will explain how one proves that they coincide. |
| Résumé: | En utilisant la transformée de Weil-Gel'fand-Zak de dilogarithme quantique de Faddeev, je décrirai un nouveau modèle de la TQFT de Teichmüller défini sur les triangulations formées, où les variables d'état sont associées aux arêtes de triangulation et prennent leurs valeurs dans le cercle. C'est un travail récent en collaboration avec J.E. Andersen, arXiv:1305.4291. |
| Résumé: | La définition par Heinz Hopf de son fameux invariant, un peu oubliée aujourd'hui, utilise le nombre d'enlacement. On comparera cette définition originelle avec celle que l'on trouve aujourd'hui dans les livres de topologie algébrique, qui est basée sur le cup produit. |
| Abstract: | In the early 90s, Drinfeld defined the double of a Hopf algebra H, which is a quasitriangular Hopf algebra D(H) whose category of representations is equivalent (as a braided category) to the center of the category of representations of H. More generally, how to build such a double when H is a Hopf algebra in a braided category? In this talk I will address this question. The general answer requires the use of the notion of a Hopf monad (which generalizes that of a Hopf algebra). |
| Résumé: | Un quasimorphisme sur un groupe Γ est une fonction Φ : Γ → R
telle que la quantité Φ(γγ') - Φ(γ) - Φ(γ') soit uniformément bornée. Au
cours de leur étude des quasimorphismes sur les groupes de
difféomorphismes des surfaces, Gambaudo et Ghys ont été amenés à
démontrer que les ω-signatures d'un entrelacs définissaient des
quasimorphismes sur le groupe de tresses. Mieux, ils ont donné une
formule exacte calculant la différence Φ(γγ') - Φ(γ) - Φ(γ') à l'aide de
la représentation de Burau. Le but de l'exposé est (de rappeler tout ça et) d'expliquer comment les revêtements infinis cycliques permettent de donner une généralisation naturelle de ce résultat. |
| Résumé: | Y. Akutsu, T. Deguchi et T. Ohtsuki ont construit en 1991 un
invariant d'entrelacs dans S^3 associé aux représentations
nilpotentes de U_q sl(2). Leur construction utilise une notion
de trace de Markov sur le groupoïde des tresses coloriées. Il
existe une famille plus large de représentations de U_q sl(2), les
représentations semi-cycliques, qui par contre, n'est pas tressée
au sens habituel. Nous explicitons pour cette famille
une "R-matrice holonomique", notion introduite par R. Kashaev et
N. Reshetikhin, conduisant à des invariants d'entrelacs dans S^3
munis d'une représentation du groupe fondamental de leur
complément vers le groupe des matrices triangulaires supérieures
de SL_2(C). Il s'agit d'un travail en commun avec Nathan Geer. |
| Résumé: | L'objet de cet exposé est une formule reliant deux invariants d'entrelacs de nature différente, à savoir les invariants de Milnor, qui sont extraits du groupe fondamental du complémentaire, et le polyn&circo;me de HOMFLYPT, un invariant quantique. Après avoir rappelé les définitions nécessaires, nous verrons ainsi que les invariants de Milnor d'un entrelacs de la 3-sphère s'expriment comme une combinaison linéaire de polynôme de HOMFLYPT de noeuds obtenus par certaines opérations de somme en bande. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Yasuhara. |
| Résumé: | Costantino, Geer et Patureau ont construit une famille d'invariants des variétés de dimension 3 en utilisant
les représentations nilpotentes du groupe quantique sl(2) aux racines de l'unité.
La catégorie correspondante est non semisimple et sort du cadre habituel des catégories modulaires.
Ils obtiennent une famille d'invariants, indexée par les entiers N>=2, définis pour des variétés de dimension 3
contenant un entrelacs ou un graphe colorié et une classe de cohomologie en dimension 1.
Nous montrons que ces invariants CGP s'étendent aux variétés à bord. Pour la plus petite racine de l'unité (cas N=2),
nous obtenons une TQFT pour une version de la torsion de Reidemeister. Il s'agit d'un travail en collaboration avec François Costantino, Nathan Geer et Bertrand Patureau. |
| Résumé: | Nous rappellerons la notion de famille de représentations de groupes discrets dépendant de manière analytique d'un paramètre et nous exposerons une approche générale à la construction de telles familles due à A. Vallette. Nous appliquerons cette construction au cas des groupes modulaires des surfaces épointées en utilisant des objets (les 6j-symboles de U_q(sl_2)) provenants de la topologie quantique. La famille de représentations que nous obtenons a plusieurs propriétés intéressantes et notamment que la courbe de représentations correspondantes aux valeurs réelles du paramètre interpole entre deux remarquables représentations unitaires des groupes modulaires provenantes de la géométrie. (Joint avec Bruno Martelli) |
| Résumé: | Je vais commencer par vous expliquer le jargon employé dans mon titre. Le titre étant ma question de thèse, je vais vous convaincre que cette dernière est intéressante et comment mon directeur de thèse (Anand Dessai) et moi sommes parvenus à y répondre au jour d'aujourd'hui. |
| Résumé: | A deux lagrangiens (homotopes) d'un
espace symplectique, on associe une forme bilinéaire
symétrique définie à l'addition de formes non
dégénérées près et qui est
elle-même non dégénérée si et
seulement si les deux lagrangiens sont transverses. A un triplet de
lagrangiens, on associe un indice ternaire qui raffine l'indice de
Leray-Kashiwara et généralise à tout anneau
(commutatif) l'indice défini par Wall pour les corps. On montrera comment interviennent ces deux invariants pour déterminer signature et forme d'enlacement de variétés obtenues par recollement. |
| Résumé: | En informatique classique, toute transmission de message est susceptible de générer des erreurs dans le message. Un code correcteur d'erreurs est un moyen d'enrober le message de telle sorte que de petites erreurs puissent être détectées et corrigées. En informatique quantique, la problématique est d'autant plus cruciale que le simple stockage d'une donnée est susceptible de l'altérer. On sait depuis une quinzaine d'années construire de tels codes quantiques que l'on comparent entre eux en vertu de trois paramètres : la longueur (espace pris pour coder), la dimension (longueur des mots codables) et la distance minimale (nombres d'erreurs élémentaires corrigibles). Dans mon exposé, je montrerai comment l'homologie de Khovanov, issue de la théorie des nœuds, permet de construire des codes quantiques correcteurs d'erreurs ayant de bonnes distances minimales. |
| Abstract: | Aperiodic patterns and tilings - highly structured but non-periodic decorations of Euclidean space - have proved a rich source of mathematics at the interface of topology, geometry and dynamics. This talk, presented from the point of view of algebraic topology, will introduce the subject for the non-specialist and describe some recent results developing homotopy theoretic tools that allow descriptions and distinctions to be made for certain types of chaotic attractors in manifolds. |
| Abstract: | By Ramsey's theorem, any system of n segments in the plane has roughly log n members that are either pairwise disjoint or pairwise intersecting. Analogously, any set of n points p(1),..., p(n) in the plane has a subset of roughly loglog n elements with the property that the orientation of p(i)p(j)p(k) is the same for all triples from this subset with i<j<k. (The elements of such a subset form the vertex set of a convex polygon.) However, in both cases we know that there exist much larger "homogeneous" subsystems satisfying the above conditions. What is behind this favorable behavior? One of the common features of the above problems is that the underlying graphs and triple-systems can be defined by a small number of polynomial equations and inequalities in terms of the coordinates of the segments and points. We discuss some structural properties of "semi-algebraically" defined graphs and hypergraphs, including Szemeredi-type partition theorems. Finally, we mention some joint results with Conlon, Fox, Sudakov, and Suk, establishing new Ramsey-type bounds for such hypergraphs. |
| Abstract: | q-series with integer coefficients arise naturally in Quantum Topology, and in particular in the asymptotics and in the coefficients of the Jones polynomial of a knot and its parallel. The q-series are of Nahm type and have unknown modularity properties. We will aim for a gentle introduction with examples, theorems and conjectures. |
| Résumé: | Dans ce travail en collaboration avec Luis Funar (Institut Fourier-CNRS) nous construisons des quasi-morphismes homogènes sur les mapping class group Mg. Ces quasi-morphismes sont des restrictions de quasi-morphismes de Dupont-Guichardet-Wigner sur les groupes pseudo-unitaires qui apparaissent quand on considère les représentations quantiques, leur construction s'inspire des travaux sur les quasi-morphismes du groupe symplectique construits par Barge et Ghys. L'intérêt de ces quasi-morphismes est double; d'une part, grâce à de profonds résultats de Burger et Iozzi, ils classifient les représentations pseudo-unitaires de Mg et d'autre part leur calcul effectif permet d'estimer la taille du noyau des représentations quantiques de Mg. |
| Abstract: | Given a finite k-dimensional simplicial complex K, does it embed (piecewise linearly) into Euclidean d-space? We consider this classical question from the point of view of computational complexity, i.e., we ask whether there exists a algorithm that checks embeddability for an arbitrary input K, and, if so, whether there exists a fast (polynomial-time) algorithm. Our main result (joint with Matousek and Tancer) is that the algorithmic embeddability problem is NP-hard for all k and d with d ≥ 4 and d ≥ k ≥ (2d - 2)/3. These dimensions fall outside the metastable range of theorems of Haefliger and Weber that characterizing embeddability using the deleted product obstruction, and our hardness proof uses constructions, due to Segal, Spiez, Freedman, Krushkal, Teichner, and Skopenkov, showing that outside the metastable range the deleted product obstruction is not sufficient to characterize embeddability. |
| Abstract: | Which manifolds admit a metric of positive sectional curvature? So far, only a handful of objects are known to share this curvature property. Nevertheless, these examples suggest that positively curved manifolds carry a rich but simple topological structure. In this talk I will introduce the elliptic genus and show that it vanishes partially on positively curved Spin manifolds with "small" symmetry rank. |
| Abstract: | We review some relations for the dilogarithm and quantum dilogarithm function. Continuing to Faddeev's quantum dilogarithm we get central ingredient for the Andersen-Kashaev TQFT. |
| Résumé: | Dans un article récent, A. Brini, B. Eynard et M. Mariño ont proposé une courbe algébrique qui décrit les noeuds toriques dans la sphère S^3, en ce sens que le polynôme de HOMFLY coloré peut être calculé à partir de la courbe. Dans le cas des noeuds dans l'espace projectif RP^3, V. Bouchard, A. Klemm, M. Mariño et S. Pasquetti ont trouvé une courbe algébrique qui décrit le noeud trivial. Le but de l'exposé est de présenter la généralisation de ces résultats aux noeuds toriques dans RP^3. |
| Abstract: | The first part of this talk will be a quick survey on equivariant topology methods and how to use them in discrete geometry and combinatorics, based on some examples. The second part will be about Toeplitz' Inscribed Square Problem from 1911, which asks whether any continuous Jordan curve contains the four vertices of a square. |
| Abstract: | In arXiv:1206.4330 we introduce the notion of relational symplectic groupoid, a groupoid object in the extended symplectic category, that extends the construction of symplectic groupoids for integrable Poisson manifolds developed by A. Cattaneo and G. Felder in the context of the Poisson sigma model. In this talk we review the basics of the integrability problem for Poisson manifolds, we introduce the relational symplectic groupoid and we comment the relevance of this construction in topological field theories and Lie theory. Joint work with A. Cattaneo. |
| Abstract: | One of the most complicated knot invariants is the unknotting number (or Gordian number of a knot). By proposing Bernhard-Jablan Conjecture, we try to reduce it to a finitely computable invariant. By using general formulae for the signatures of alternating knots, we computed unknotting numbers for different families of alternating knots. |
| Abstract: | We present the knot-theory program LinKnot working in the (extended) Conway notation of knots and links. The program computes various knot invariants, beginning from standard knot polynomials (Alexander, Jones, HOMFLYPT,....), to the more sophisticaded invariants, like categorifyed Jones polynomials (i.e., Khovanov polynomials). All knots and links from the program can be visuelized in 3D and represented by their diagrams. Program works with braids, different codings (DT codes, Gauss codes, PD = planar diagrams, etc.), virtual knots, pseudoknots.... |
| Résumé: | Un théorème classique assure que toute variété métrisable possède le type d'homotopie d'un CW-complexe (abrégé t-h-CW-c). Sans l'hypothèse de métrisabilité, cela n'est plus vrai, comme le montre l'exemple de la longue droite. Il existe cependant des variétés non-métrisables contractiles, comme la surface de Prüfer. Dans cet exposé, je parlerai de diverses propriétés purement topologiques (par exemple: contenir un "long" sous-espace qui soit séquentillement compact) qui empêchent une variété d'avoir le t-h-CW-c, et je donnerai des exemples de variété non-métrisables dans diverses classes ayant le t-h-CW-c. Une bonne partie de l'exposé sera dédiée aux exemples simples afin d'être plus accessible. |
| Résumé: | A partir d'un noeud dans S3, on peut obtenir deux types de triangulation : une triangulation idéale du complémentaire du noeud, où le noeud est représenté par le sommet ; et une triangulation Hamiltonienne à un sommet, où le noeud est représenté par un côté de tétraèdre. Il est possible de munir certains complémentaires de noeuds d'une structure hyperbolique complète à partir d'une triangulation idéale. L'objectif de ce séminaire est d'établir un lien entre cette structure et une triangulation Hamiltonienne correspondante. |
| Abstract: | I will talk about a relation of the colored Jones polynomial to the Chern-Simons invariant and the Reidemeister torsion of a representation of the fundamental group of the complement of a knot to SL(2;C). |
| Abstract: | All knots in the 3-sphere are related
by a sequence of crossing changes. This leads to deep questions: Can
a single crossing change transform a given knot into the unknot?
Which two links related by a single crossing change? When do
two different crossing changes relate the same pair of links? Where
are all these crossing changes? A Rational (Sub)tangle Replacement - the excision of a rational subtangle from a 3-manifold with a properly embedded 1-manifold followed by the insertion of another - is a natural generalization of a crossing change, and thus prompts similar questions. In this talk we'll discuss the analogous questions for the foundational case of RSR within rational tangles. We classify both which pairs of rational tangles may be related by an RSR and where these RSR occur1. The which part of this classification builds on work of Berge, Gabai and Moser on surgeries on knots in solid tori yielding solid tori via the Montesiños Trick. However the where part of the classification of RSR between rational tangles does not follow from the Montesiños trick. Indeed two non-homeomorphic tangles may have homeomorphic branched double covers. We complete the where part of this classification in part by generalizing a theorem of Ernst and in part by regarding the tangles as hyperbolic orbifolds. The former relies upon the corresponding knot exteriors being Seifert fibered while the latter relies upon the hyperbolic orbifold surgery theorem. We also discuss the related questions of which pairs of 2-bridge links are related by an RSR and where these RSR occur. We revisit the classification by Darcy-Sumners and Torisu of which 2-bridge links are related by an RSR of distance at least 2 and apply Ernst's theorem to classify where these RSR occur. Work of Greene gives the classification of which 2-bridge links are related to the unknot by a distance 1 RSR while work of Lisca can be extended to give the classification of which 2-bridge links are related to the two component unlink by a distance 1 RSR. This project is in part motivated by the common biological situation of proteins cutting, rearranging and resealing DNA segments - effectively performing RSR on DNA ‘tangles’, and so we will also discuss particular biological applications. 1We use the term rational subtangle replacement instead of rational tangle replacement since the replacement itself occurs within a rational tangle and yields another rational tangle. |
| Résumé: | Un long noeud dans Rn est un
plongement de la droite réelle dans Rn qui est égal
au plongement d'un axe, en dehors d'un voisinage compact. Kontsevich
a conjecturé que pour tout n>3, l'espace Ln des longs
noeuds dans Rn avait le même type d'homotopie que l'espace
fonctionnel dérivé Map (A, Cn) des morphismes
d'opérade de l'opérade associative vers
l'opérade des n-cubes, qui décrit les espaces de
lacets itérés n fois. Avec Bill Dwyer nous avons
démontré que Kontsevich avait presque raison: en
fait, Ln a le même type d'homotopie que l'espace de
lacets doubles sur Map (A, Cn). Dernièrement nous avons généralisé ce résultat, en montrant que pour tout n>m+2, l'espace de tous les longs plongements de Rm dans Rn a le même type d'homotopie que l'espace de lacets itérés m+1 fois sur Map(Cm,Cn), l'espace fonctionnel dérivé des morphismes d'opérade entre l'opérade des petits m-cubes et celle des petits n-cubes. Des résultats géométriques profonds de Dev Sinha et de Victor Tourchine nous ont permis de donner des preuves essentiellement homotopiques des nos résultats, que j'esquisserai brièvement. |
| Résumé: | On démontre qu'une courbe plane fermée simple de classe C1 contient les sommets de n'importe quel triangle (non-plat), à translation et homothétie près. Ce résultat est faux pour les courbes C0. La preuve utilise des espaces de configurations ainsi qu'un peu de topologie différentielle et algébrique. |
| Résumé: | Selon la conjecture du volume de
Kashaev et généralisée par Gukov, le
polynôme de Jones coloré JN(q = exp(2iπ/k)) d'un
noeud hyperbolique a un développement asymptotique en
puissances de (iπ/k), lorsque k et N tendent vers l'infini et u =
iπN/k reste fixe, et le premier terme de ce développement
est lié au volume hyperbolique du complémentaire du
noeud. Dans un travail récent avec Bertrand Eynard, nous
proposons une façon de calculer ce développement
à tous les ordres, en étudiant la
géométrie complexe sur la variété des
caractères de SL2(C), qui est pour les noeuds une surface de
Riemann S. Nous prédisons que les coefficients se contruisent
à partir de deux ingrédients principaux: la
récurrence topologique - qui associe à S certains
invariants géométriques qui sont des formes
différentielles méromorphes - et les fonctions theta
(et leurs derivées) associées à S. Cette
conjecture complète celle de Dijkgraaf, Fuji et Manabe, qui
avaient observé que la récurrence topologique donnait
le bon résultat modulo des renormalisations à tous les
ordres. L'objectif de cet exposé est d'énoncer notre conjecture, et d'illustrer dans le cas du noeud de huit le calcul des premiers coefficients, qui se comparent bien au résultat attendu par l'intégrale de Hikami. |
| Abstract: | We will first review some of the main constructions in Heegaard Floer theory of Ozsvath and Szabo. We will then study incompressible tori in homology spheres. Any such torus may be used to describe the three-manifold as the manifold obtained by splicing two knot complements. Using a splicing formula for knot Floer homology we then show that if a prime homology sphere contains an incompressible torus then its Heegaard Floer homology is non-trivial (i.e. different from the standard sphere). |
| Abstract: | After a short introduction to Hausmann, Holm, and Puppe's theory of conjugation spaces and manifolds, I want to show how one can use this structure to construct equivariant Chern classes for Real bundles (in the sense of Atiyah). The second part of the talk will be devoted to realization problems, known examples and open questions. |
| Résumé: | The lecture is about the astounding discovery of the length spectrum of a compact Riemann surface. We shall begin with Euler back in 1737, then move to Wiener's proof of the prime number theorem in 1932 and its impact to the study of a vibrating membrane. After that we shall concentrate on hyperbolic lattice points for a while and then finally see how this led to the "invention" of the length spectrum with its many amazing properties. The lecture will finish with a list of recent results. |
| Résumé: | Si (F,0) est un germe de surface complexe, sa topologie est déterminée par son bord L ( appelé aussi "Link de (F,0)" ). Si 0 est un point singulier isolé de F, L est une variété de dimension trois graphée au sens de Waldhausen et L est décrite au moyen du "plumbing calculus" de W.Neumann. Ici, nous décrirons L lorsque (F,0) n'est pas à singularités isolées et nous associerons canoniquement à L une variété graphée L'. En fait, nous montrerons que la topologie de L permet de déterminer la topologie de L' qui est bord de la normalisée de (F,0). |
| Résumé: | Etant donnée une petite catégorie B, nous commencerons par considérer sa catégorie des fractions, afin que tous les morphismes deviennent inversibles, voir P. Gabriel y M. Zisman dans "Calculus of fractions and homotopy theory" (1967). Ceci donne lieu à un groupe associé à B. Par ailleurs D. Quillen dans "Higher algebraic K-theory.I" (1972) associe un CW-complexe à B (via son "nerf") dont le groupe fondamental est isomorphe au groupe précédent. Ce sont là des résultats classiques que nous considérerons tout d'abord. Lorsque la petite catégorie est faite d'espaces vectoriels une théeorie analogue tenant compte de la structure linéaire ne fonctionne pas, il n'existe pas de groupe fondamental naturel associé. L'alternative est de considérer toutes les graduations connexes de B. On obtient alors un groupe fondamental "à la Grothendieck" au moyen des automorphismes du foncteur fibre (travail joint avec M. J. Redondo et A. Solotar). Nous esquisserons cette construction. Pour finir je donnerai un aperçu du fait que les outils développés au cas linéaire précédent offrent une nouvelle perception du cas classique résultats obtenus avec John MacQuarrie. Nous montrons que les graduations d'une petite catégorie B sont en correspondance bijective avec ses revêtements galoisiens (grâce à un smash produit). Une conséquence immédiate est l'existence d'un revêtements universel (résultat obtenu récemment par N. Ojeda Bar au moyen d'autres techniques). |
| Abstract: | New methods are given to calculate the volumes of geometric knot and linkcone-manifolds. The knots and links are considered as singular sets of cone manifolds modeled in the hyperbolic and spherical geometries with prescribed cone angles. The main idea is to find appropriated trigonometric relations between lengths of singular geodesics of cone-manifold and its cone-angles. Then, the Schläfli formula is applied to find a differential equation for the volume. As a result, explicit formulae are obtained for the volume of cone-manifolds under consideration. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Résumé: | L'invariant d'Arf a été introduit par Cahit Arf en 1941 pour classer les formes quadratiques sur un corps F de caractéristique 2. Ses applications en topologie concernent le cas où F = Z/2. L'invariant apparait dans l'étude des variétés diiférentiables de dimension 4k+2 (Pontrjagin, Kervaire et Milnor) et dans l'étude des noeuds de dimension 4k+1, en particulier des noeuds "classiques", qui sont représentés par des plongements du cercle dans la sphère de dimension 3 (Robertello, étudiant de Kervaire). Je présenterai la théorie algébrique et certaines application topologiques. |
| Abstract: | "Lawrence representations of the braid group Bn can be constructed considering particular exact sequences and lower central series of braid groups." We will explain briefly the previous statement and we will explain how lower central series of surface braid groups can turn out to be useful for getting representations for surface braids and other topological groups. |
| Abstract: | We construct a 4-parametric family of combinatorial closed 3-manifolds, obtained by glueing together in pairs the boundary faces of polyhedral 3-balls. Then we obtain geometric presentations of the fundamental groups of these manifolds and determine the corresponding split extension groups. We prove that the considered manifolds are cyclic coverings of the 3-sphere branched over well-specified (1,1)-knots and determine their symmetry groups in the hyperbolic case. Furthermore, we show that some of these knots admit exceptional surgeries as lens space surgeries, Seifert surgeries and toroidal surgeries. Finally, we give simple examples of knots with two toroidal sugeries at distance four; this is related to some questions settled by Teragaito in [Trans. Math. Amer. Soc. 358 (3)(2005)]. |
| Abstract: | We introduce three notions of adjacency for torus knots motivated by different viewpoints on torus knots: as elements in the Gordian metric space, as the border of ribbon bipartite graphs and as knots of certain isolated singularities of algebraic curves in C2. We then discuss some examples and some of our questions concerning the interplay of these notions. |
| Résumé: | Un flot sur variété de dimension 3 est dit lévogyre s'il contient de nombreuses orbites périodiques et si toute paire d'orbites périodiques s'enlace positivement. Nous verrons en quoi cette propriété est équivalente à l'existence de nombreuses sections Birkhoff pour le flot, ou encore au fait que les entrelacs formés d'orbites périodiques sont fibrés. L'observation du flot géodésique dans certains cas particuliers (sphère ronde, surface modulaire) d'une part, et de la construction d'A'Campo d'entrelacs fibrés à partir de divides d'autre part, suggèrent alors un énoncé général: le flot géodésique sur n'importe quelle orbifold est lévogyre. Nous esquisserons des démonstrations pour les cas du tore plat et de l'orbifold de type (2,3,7). |
| Abstract: | What can a surface of large genus look like? What does a typical or random surface look like? The talk will be about studying the length of curves on surfaces to understand the geometry of surfaces and their related moduli spaces. In the opposite direction, I'll discuss some work with Guth and Young about what we can learn about random surfaces by studying their moduli spaces. The talk is based on results joint with W. Cavendish, with F. Balacheff and S. Sabourau, and with L. Guth and R. Young. |
| Résumé: | Le difféomorphisme de monodromie est le flot d'un champ de vecteurs qui préservent la structure symplectique de la fibre sans préserver la structure symplectique de l'espace ambiant. On en déduit des propriétés pour la monodromie. |
| Abstract: | Virtual links, introduced by L.Kauffman and independently by M.Polyak and O.Viro, are represented by diagrams similar to ordinary knot diagrams, except some crossings are designated as virtual. They are similar to extra crossings on planar pictures of non planar graphs. Topologically they can be regarded as links in thickened surfaces when the equivalence involve not only usual isotopy but also a surgery of the surface. Comparably with ordinary links in 3-space they are more close to combinatorics. Recently it was observed by H.Dye and L.Kauffman, and by Y.Miyazawa that for virtual links the Jones polynomial can be split into several parts which are invariant individually. These additional parts do not arise in the case of classical links. The generating function of these parts was called arrow polynomial. In the talk I briefly review virtual link theory, introduce the arrow polynomial, and explain an arrow generalization of the Thistlethwaite theorem expressing the Jones polynomial as a specialization of the Tutte polynomial. |
| Abstract: | Quantum knot invariants are known to arise in physics from Chern-Simons theory. It is a natural challenge to incorporate Khovanov homology in the physics approach, and some proposals have been made in the last years along that direction. More recently, Witten has proposed a framework to understand Khovanov homology based on gauge theory. In these two talks I will try to make a pedagogical introduction to the work of Witten, and more generally to discuss physics-based approaches to Khovanov homology. |
| Abstract: | Quantum knot invariants are known to arise in physics from Chern-Simons theory. It is a natural challenge to incorporate Khovanov homology in the physics approach, and some proposals have been made in the last years along that direction. More recently, Witten has proposed a framework to understand Khovanov homology based on gauge theory. In these two talks I will try to make a pedagogical introduction to the work of Witten, and more generally to discuss physics-based approaches to Khovanov homology. |
| Abstract: | After a review of the basic notions of abstract homotopy theory, we will show that the category of graphs and graph homomorphisms admits many different Quillen model structures. Moreover, a few classical notions of graph theory will be reinterpreted in this context. |
| Abstract: | We construct cobordisms of almost maximal Euler characteristic between torus links, where ``almost'' means ``up to a constant factor''. |
| Abstract: | If a graph Γ is embedded in S3, then the symmetries of Γ can be represented by automorphisms of the abstract graph that are induced by a homeomorphism of S3. The topological symmetry group, TSG+(Γ), is the subgroup of the automorphism group of Γ consisting of those automorphisms induced by orientation preserving homeomrphisms of S3. We discuss which groups can occur as TSG+(Γ) for some graph Γ embedded in S3. |
| Résumé: | Les intégrales matricielles interviennent dans divers domaines de la physique, tels que la théorie quantique des champs, les systèmes désordonnés, le chaos quantique, la théorie des cordes, etc. On distingue les intégrales matricielles convergentes, que l'on interprète comme loi de probabilité d'une variable aléatoire matricielle, et les intégrales matricielles formelles, que l'on peut définir comme fonctions énumératives de surfaces discrètes. Nous expliquerons une procédure due à L. Chekhov et B. Eynard qui permet de calculer récursivement toutes les fonctions de corrélation d'une intégrale matricielle formelle, ainsi que l'interprétation géométrique de B. Eynard et N. Orantin: les fonctions de corrélation forment une famille d'invariants d'une certaine courbe algébrique définie univoquement à partir de l'intégrale matricielle. Nous mentionnerons éventuellement une application à la théorie des noeuds ou à la théorie de Hurwitz. |
| Abstract: | J. Przytycki made an interesting connection between chromatic graph homology and Hochschild homology: the chromatic graph homology of a polygon graph with coefficients in an algebra A is the Hochschild homology of A, at least through a range of dimensions. This leads him to speculate that there is a more general ″graph homology″ which for the special case of polygons gives Hochschild homology, the remaining problem being to construct such a theory. In this talk I will give a reminder of the basic definitions of Hochschild homology, discuss chromatic graph homology, describe the pitfalls of generalisation and finally define a new homology theory of graphs of the sort envisaged by Przytycki. Joint work with Emmanuel Wagner. |
| Résumé: | Les constructions algébriques de la théorie des espaces (quantiques) de Teichmüller et les triangulations hamiltoniennes permettent de définir des anneaux qui correspondent aux versions non-commutatives des variétés de déformation des noeuds. Les exemples de calcul pour le noeud de trèfle et le noeud en huit seront considerés en détail. |
| Résumé: | Pour toute surface S et entier r, la tqft définit un espace vectoriel V_r(S) dont la dimension croît polynomialement avec r. Cet espace supporte une représentation du mapping class group de S compatible avec une famille d'opérateurs auto-adjoints indexés par les courbes dans S. J'expliquerai dans certains cas particuliers pourquoi ces opérateurs sont ″de Töplitz″ ainsi que quelques applications au calcul asymptotique des invariants quantiques. (Travaux en cours avec L. Charles et indépendamment T. Paul) |
| Résumé: | On construit de nouveaux invariants pour les tangles. Ils arrivent comme evaluation des 1-cocycles sur un arc canonique dans l'espace des tangles. Ils prennent leurs valeurs dans un skein module avec comme coefficients des polynômes à cinq variables, qui raffine le skein module de HOMFLYPT. Dans les cas des tresses les 1-cocycles peuvent détecter la structure géométrique de la tresse. |
| Résumé: | Dans cet exposé je voudrais donner une introduction pédagogique à quelques conjectures en théorie des noeuds inspirées par la théorie des cordes. En particulier, j'énoncerai quelques propriétés strucurales des polynômes colorés de HOMFLY et Kauffman qui découlent de la théorie des cordes, et j'expliquerai leur connexion à la géométrie énumérative. |
| Abstract: | We show how appropriately charged tetrahedral forms of a Psi-system gives rise to a topological invariant of triples (a closed oriented 3-manifold M, a principal bundle over M, a link in M). This construction generalizes the quantum dilogarithmic invariant of links appearing in the original formulation of the volume conjecture. Conjecturally, all quantum groups at odd roots of unity give rise to Psi-systems. |
| Abstract: | We introduce systems of objects and operators in linear monoidal categories called Psi-systems which eventually give rise to topological invariants of three-manifolds. In this talk I will explain the tetrahedral symmetries of certain multilinear forms which generalize 6j-symbols in the quantum theory of the angular momentum. |
| Abstract: | The colored Jones polynomials of knots satisfy a recursion relation that is known to involve the quantum version of the A-polynomial (this is the AJ Conjecture of Garoufalidis). I show how to derive this quantized A-polynomial directly from a fundamental quantization of hyperbolic structures on a knot complement. |
| Abstract: | We will discuss the Jones polynomial (and its colored cousins) for a pair of geometrically similar knots: the 5_2 and (-2,37) pretzel knots. In particular, we will compute their recursion relation and their Kashaev invariant. |
| Résumé: | Deux complémentaires de noeuds dans S^3 sont commensurables s'ils ont un revêtement fini commun. Dans cet exposé on étudie le cas des noeud sans symétrie cachée. Dans ce cas là deux complémentaires de noeuds commensurables sont cycliquement commensurables et il y a au plus 3 complémentaires de noeuds dans chaque classe de commensurabilité. Cela impose des restrictions fortes sur les noeuds ayant des complémentaires commensurables. On ne connaît actuellement que 3 noeuds hyperboliques ayant des symétries cachées, le noeud à 4 croisements et les deux noeuds dodécaédraux de Aitchison et Rubinstein. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Steve Boyer, Radu Cebanu et Geneviève Walsh. |
| Résumé: | James Conant discute dans un article une conjecture de Kawauchi qui affirme que le polynôme de Conway C(z) d'un noeud achiral se factorise en C(z)=f(z)f(-z), avec f(z) un polynôme à coefficients entiers. Cette conjecture est démontrée pour les noeuds achiraux et pour les noeuds fortement achiraux. On montrera qu'elle est vraie pour les noeuds alternés achiraux (quasi) arborescents, mais qu'elle ne s'avère pas vraie en général. |
| Abstract: | I will first recall the definition of Kauffman brackets of embeddings of colored graphs in S^3, provide some examples and sketch the connection of these constructions with ideas coming from physics. I will then introduce the problem of studying the asymptotical behavior of these invariants and, restricting to the case of trivalent planar graphs, relate it to the geometry of hyperbolic polyhedra. If time permits I will then report on some recent advances (joint with F.Gueritaud and R.Van der Veen) showing how Schäfli-like differential equations can be recovered from the combinatorial properties of the invariants. |
| Abstract: | In this article we take up the calculation of the minimum number of colors needed to produce a non-trivial coloring of a knot. This is a knot invariant and we use the torus knots of type (2, n) as our case study. We calculate the minima in some cases. In other cases we estimate upper bounds for these minima leaning on the features of modular arithmetic. We introduce a sequence of transformations on colored diagrams called Teneva transformations. Each of these transformations reduces the number of colors in the diagrams by one (up to a point). This allows us to further decrease the upper bounds on these minima. |
| Résumé: | Selon N. A'Campo, on peut définir un entrelacs en considérant l'espace tangent d'une courbe génériquement immergée dans un disque (un partage). En particulier, un entrelacs issu d'une singularité isolée de courbe plane peut être obtenu de cette manière. Le fait d'affecter un signe à chaque croisement d'un partage (partage signé), permet d'étendre la classes des entrelacs : on obtient alors tous les entrelacs fortement inversibles. Les isotopies d'entrelacs fortement inversibles se traduisent par des mouvements sur les partages signés. On peut alors définir une catégorification pour ces mouvement sur les partages signés. |
| Résumé: | En 2004 Rouquier a associé à chaque tresse un complexe de bimodules de Soergel de sorte que les complexes associés à des tresses isotopes sont equivalents à homotopie près. Cette construction est appelée catégorification des groupes de tresses. On étend ce résultat aux monoides de tresses singulières et aux groupes de tresses virtuelles. |
| Résumé: | La théorie de Chern-Simons constitue une approche alternative des invariants de noeuds définis à partir des groupes quantiques. Dans cet exposé, nous décrirons comment le formalisme des opérateurs de noeuds permet d'obtenir des formules simples dans le cas des noeuds toriques. Nous mentionnerons une formule pour les invariants quantiques de HOMLFY (démontrée par Lin & Zheng), une formule analogue pour les invariants quantiques de Kauffman, et un résultat pour les noeuds câblés (obtenu par Morton & Manchon). Si le temps le permets, nous parlerons d'une conjecture proposée par Mariño qui relie les invariants de HOMFLY et de Kauffman. |
| Résumé: | La combinatoire d'un tétraèdre tronqué conduit naturellement à une structure algébrique appelée Delta-groupoïde. J'expliquerai les connexions des Delta-groupoïdes aux sous-groupes malnormaux, aux anneaux et aux triangulations idéales de complémentaires des noeuds. |