Images engendrées par la catastrophe de l'ombilic hyperbolique
La théorie des catastrophes élémentaires propose
des modèles mathématiques pour la
morphogénèse (ou apparition de formes) dans des
phénomènes naturels. Cette théorie ne s'occupe pas
du mécanisme interne qui engendre les formes, mais propose de
choisir un modèle mathématique par comparaison des formes que l'on
observe. Ces modèles mathématiques sont engendrés par déformation
stable de situations instables
(on parle alors de stabilité structurelle). Des exemples
concrets de telles déformations
sont le parapluie que l'on maintient en équilibre sur la paume de sa main,
ou les clowns qui montent sur des échelles verticales qui ne s'appuient qu'au sol :
le parapluie ou l'échelle verticale sont en position instable, mais en passant et
repassant par des positions voisines on a une famille de positions qui,
elle, est stable.
On a représenté les niveaux de la fonction
x3+y3
et de ses déformations essentielles :
x3+y3 +xy-x-y,
qui évoque un nombril ou le lac de Champex,
et x3+y3 +x+y,
qui évoque un plan incliné.
Les images sont obtenues en décidant de la couleur d'un point de coordonnées (x,y)
du plan selon la valeur de la fonction en ce point. En laissant jouer les erreurs
d'arrondi, on obtient des effets étonnants :
en 16 couleurs :
x3+y3+x+y ,
x3+y3 ,
x3+y3+xy-x-y
en noir et blanc : x3+y3+xy-x-y
en 2 couleurs :
x3+y3+x+y,
x3+y3,
x3+y3+xy-x-y
