Cours de Géométrie algébrique 2006-2007


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Notes du cours, version partielle et provisoire du 20 octobre 2006.


Decription du cours :

La géométrie algébrique étudie les ensembles décrits par des équations polynomiales. Parmi ceux-ci, les plus simples sont les courbes planes, qui sont décrites par une équation polynomiale, de la forme f(x,y)=0 (courbe affine), où f(x,y) est un polynôme de degré d; pour bien faire, on ajoute les points à l'infini (courbe projective) et on travaille sur un corps algébriquement clos, comme les nombres complexes.
Par exemple la formule de Clebsch nous dit qu'une courbe projective complexe plane de degré d lisse est homéomorphe à une surface réelle orientée compacte de genre g=(d-1)(d-2)/2 (=tore avec g trous). En particulier cela dit qu'une cubique lisse, telle que celle décrite par l'équation x^3+y^3=1, regardée sur les nombres complexes et avec ses points à l'infini, est homéomorphe à un tore.
Le théorème de Harnack nous renseigne sur la topologie d'une courbe projective plane réelle lisse de degré d : elle est composée d'au plus (d-1)(d-2)/2+1 ovales, c'est-à-dire de composantes connexes, nécessairement homéomorphes à des cercles (=ovales).

Sujets abordés :
variétés affines et projectives, courbes planes, multiplicité d'intersection, théorème de Bézout.
Applications: formules de Plücker, formule de Clebsch, théorème de Harnack.

Ouvrages de référence :


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Mis à jour le 20 octobre 2006