Tatiana Smirnova-Nagnibeda

Introduction Introduction à la moyennabilié


Le fameux paradoxe de Banach-Tarski (1924) affirme qu'il est possible de découper une boule tridimensionnelle en un nombre fini de morceaux et de réarranger ces morceaux (en les déplaçant dans l'espace) de sorte à former deux boules de la même taille que la boule originale. Ce phénomène se produit également en dimensions supérieures, mais pas dans le plan. Ce paradoxe est à la base d'une théorie très riche, initiée dans les travaux de John von Neumann qui a introduit le terme "moyennabilité" pour désigner les groupes qui n'admettent pas de décomposition paradoxale. D'après le théorème de Banach-Tarski, le groupe des déplacements de R^3 n'est alors pas moyennable. La propriété de moyennabilité admet une grande variété de définitions équivalentes et relie la théorie des groupes au sujets très divers, comme la géométrie, l'analyse fonctionnelle ou encore la théorie des probabilité. C'est un invariant de quasi-isométrie et occupe une place centrale en théorie géométrique des groupes. Le cours servira d'introduction dans le sujet. On étudiera notamment des exemples des groupes moyennables et non-moyennables, leur structure algébrique et leurs propriétés géométriques. Nous verrons aussi que la moyennabilité est naturellement liée aux questions de nature probabiliste, comme la marche aléatoire (et la percolation, si le temps permet) sur le groupe.

Mode d'évaluation : examen oral.

Prérequis : cursus de 2e année en maths. Il est souhaitable (mais pas indispensable) d'avoir suivi ou de suivre les cours de algèbre et géométrie III et d'analyse III. Le cours avancé de théorie géométrique des groupes n'est pas un prérequis mais sera surement un atout.