Asymptotic Preserving numerical schemes for multiscale parabolic problems
N. Crouseilles, M. Lemou, and G. Vilmart
Abstract. We consider a class of multiscale parabolic problems with diffusion coefficients oscillating in space at a possibly small scale $\varepsilon$. Numerical homogenization methods are popular for such problems, because they capture efficiently the asymptotic behaviour as $\varepsilon \rightarrow 0$, without using a dramatically fine spatial discretization at the scale of the fast oscillations. However, known such homogenization schemes are in general not accurate for both the highly oscillatory regime $\varepsilon \rightarrow 0$ and the non oscillatory regime $\varepsilon \sim 1$. In this paper, we introduce an Asymptotic Preserving method based on an exact micro-macro decomposition of the solution which remains consistent for both regimes.
Résumé en français. Schémas numériques Asymptotic Preserving pour les problèmes paraboliques multi-échelles. On considère une classe de problèmes paraboliques multi-échelles dont les coefficients de diffusion oscillent rapidement en espace à une échelle $\varepsilon$ possiblement petite. Les méthodes numériques d'homogénéisation sont populaires pour ces problèmes, car elles capturent efficacement le comportement asymptotique lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$, sans utiliser une discrétisation spatiale aussi fine que l'échelle des oscillations rapides, comme le nécessiteraient les méthodes non-raides standards. Cependant, les schémas d'homogénéisation existants ne sont en général pas précis dans les deux régimes oscillant $\varepsilon \rightarrow 0$ et non-oscillant $\varepsilon \sim 1$. Dans ce travail, nous introduisons une méthode Asymptotic Preserving basée sur une décomposition micro-macro exacte qui reste consistante pour les deux régimes.
Key Words.asymptotic preserving method, mumerical homogeneisation, parabolic multiscale problem.