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Toutes différentes, et pourtant…

Groupe d’algèbre et géométrie, Section de mathématiques;
© Shaula Fiorelli Vilmart et G Freihalter –

Les frises présentées ici sont toutes différentes. Cependant, un algébriste vous expliquerait qu’il y a un moyen de classer toutes les frises en exactement sept catégories, ni plus ni mois. Sauriez-vous comment?

 

Une des idées clé des mathématiques, et plus précisément de l’algèbre, est de dégager les propriétés fondamentales d’objets d’apparence différents dans le but d’énoncer et démontrer des résultats les plus généraux possibles.

La classification des frises obéit à cette logique.

Mathématiquement, une frise est définie par la répétition d’un motif (encadré en rouge sur l’image) le long d’un axe horizontal. Selon le motif choisi, on remarque que certaines transformations du plan laissent inchangées la frise. Ces transformations sont :

  • les symétries axiales d’axe vertical (en jaune sur l’image),
  • les symétries axiales d’axe horizontal (en vert sur l’image),
  • les symétries centrales (c’est-à-dire une rotation de 180°) (les points rouges sur l’image),
  • les trans-symétries ou symétries glissées, c’est-à-dire une symétrie d’axe horizontal suivie d’une translation (représentée par la flèche bleue sur l’image).

Web-5-Frises.jpg

L’observation du nombre de transformations laissant inchangée chaque frise permet une classification complète des frises. Par exemple, les frises 2 et 7 restent inchangées si on leur applique une rotation de 180° (en échangeant les couleurs dans le cas de la 7) mais toute autre transformation les modifierait. On dit donc que ces deux frises appartiennent au même groupe de frise.

Si on récapitule les transformations de chaque frise, on obtient le tableau suivant :

 

Translation

Trans-symétrie

Symétrie axiale d’axe vertical

Symétrie axiale d’axe horizontal

Symétrie centrale

1

Oui

Non

Non

Non

Non

4 et 10

Oui

Non

Oui

Non

Non

3 et 9

Oui

Non

Non

Oui

Non

2 et 7

Oui

Non

Non

Non

Oui

6 et 12

Oui

Non

Oui

Oui

Oui

5

Oui (motif encadré en continu et en traitillé)

Oui

Non

Non

Non

11

Oui

Oui

Non

Oui

La frise 8 n’est pas représentée, car elle ne répond pas à la définition mathématique. En effet, le motif encadré ne se répète pas selon une translation horizontale. Ceci montre aussi l’importance d’une bonne définition et le fait qu’une propriété ne peut s’appliquer qu’aux objets répondants à des critères bien définis.

La recherche de symétrie, non seulement du plan mais surtout d’espaces en plusieurs dimensions ou avec des géométries particulières, est un point crucial de la recherche actuelle en théorie des groupes.

Références

  1. Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons. Disponible à la bibliothèque Georges de Rham UNIGE

 

2 novembre 2017
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