Les groupements de la multiplication bi-univoque des classes et de celle des relations (1941) ^a 🔗

Soit A₁ une classe donnée : multiplier Z par A₁ consiste à trouver la classe ZA₁ contenant tous les individus qui sont à la fois Z et A₁. Supposons que tous les A₁ soient des Z mais sans que la réciproque soit vraie : il existe alors une classe ZA’₁ contenant tous les Z qui ne sont pas des A₁. D’où ZA₁ + ZA’₁ = ZB₁. Tous les Z sont alors B₁ et réciproquement. Soit maintenant une autre classe B₂ telle qu’on ait aussi Z × B₂ = ZA₂ + ZA’₂. Multiplier B₁ par B₂ consistera, selon ce même principe, à associer chaque classe de B₁ à chaque classe de B₂, d’où B₁ × B₂ = A₁A₂ + A₁A’₂ + A’₁A₂ + A₁’A₂’ =  [p. 155] B₁B₂. Si l’une ou l’autre de ces quatre associations (par exemple la classe A₁A₂ comprenant tous les individus qui sont à la fois A₁ et A₂) ne correspond à aucun élément (la classe étant alors nulle) l’ensemble des B₂ sera cependant le même que l’ensemble des B₁ et des Z. Soient encore B₃B₄B₅, etc., formées de la même façon et dont les deux classes élémentaires A et A’ (= non A) sont associées entre elles et aux précédentes selon toutes les combinaisons possibles. Nous pouvons alors admettre que chacune de ces classes B contient la totalité des éléments logiques donnés (par exemple A₁ = les animaux et A’₁ = les non-animaux, c’est-à-dire « tout sauf les animaux »). Au lieu de considérer ce « tout » comme un « Univers du Discours » (symbole 1) ainsi qu’on le fait souvent, nous nous servirons simplement du symbole Z en lui attribuant la signification de : « une classe positive et non nulle plus générale que toute autre classe arbitrairement désignée », de même que le symbole ∞ désigne l’itération toujours possible de + 1 (nous ne disons donc pas la « classe de toutes les classes », ce qui soulève les antinomies bien connues). L’expression ZA₁ désignant les éléments qui appartiennent à la fois à la classe Z et à la classe A₁ équivaut donc à A₁ soit ZA₁ = A₁. Inversement toute classe K₁ équivaut à ZK₁.

Si B₁ × B₂ = B₁B₂ signifie ainsi « je classe tous les B₁ dans les classes de B₂ et réciproquement » nous pouvons conférer à l’opération B₁B₂ : B₂ = B₁ (ou B₁B₂ : B₁ = B₂) le sens de « je supprime en B₁B₂ tous les emboîtements de B₂ pour ne laisser les éléments que dans les emboîtements de B₁ » ou plus brièvement : « je fais abstraction en B₁ B₂ des emboîtements d’ordre B₂ ». De même que la multiplication logique ne consiste pas à augmenter le nombre des éléments, mais seulement celui des classes, de même la division logique ou « abstraction » ne consiste pas à diminuer le nombre des éléments mais celui des classes seules (des emboîtements).

Nous appellerons « multiplication complète » de deux classes ou de deux suites de classes, telles que tous les éléments de l’une des deux classes totales appartiennent aussi à l’autre, l’association de chacune des sous-classes disjointes [p. 156] de l’une à chacune des sous-classes disjointes de l’autre. Par exemple B₁ × B₂ = A₁A₂ + A’₁A₂ + A₁A’₂ + A’₁A’₂ (= B₁B₂).

Toutes les équations vraies portant sur un système de multiplications complètes de classes forment un groupement.

En effet, l’opération directe sera la multiplication complète par l’équation de forme B₁ × B₂ = B₁B₂ où (B₁B₂ × B₃ = B₁B₂B₃ ou B₁ × B₃ = B₁B_3, etc. L’opération inverse la division membre à membre par une même équation.

L’identique générale, produit de l’opération directe par l’inverse sera Z × Z = Z puisque (B₁ × B₂ = B₁B₂) : (B₁ × B₂ = B₁B₂) donne (B₁ : B₁ = Z) + (B₂ : B₂ = Z) = (B₁B₂ : B₁B₂ = Z).

Les identiques spéciales sont différentes de ce qu’elles sont dans les groupements additifs : chaque équation joue en effet le rôle d’identique par rapport à elle-même (les signes × ou : étant les mêmes) et par rapport à celles d’ordre inférieur et de même signe : il y a donc tautologie et absorption (et non plus résorption). Par exemple B₁ × B₁ = B₁ (tautologie) et A₁ × B₁ = A₁ (absorption). Par contre B₁ : B₁ = Z ; B₁B₂ : B₁ = B₂ et B₁ : B₁B₂ = Z.

L’associativité est immédiate pour les suites homogènes et médiate pour les suites hétérogènes, les règles de calcul correspondant (la résorption une fois remplacée par l’absorption) à celle des groupements additifs.

Le caractère propre de ce groupement est d’engendrer la relation de correspondance bi-univoque qualitative. En effet, aux classes A₁A₂ et A₁A’₂ correspondent les classes A’₁A₂ et A’₁A’₂ ; et aux classes A₁A₂ et A’₁A₂ correspondent les classes A₁A’₂ et A’₁A’₂. Or, au lieu de se borner à des suites d’ordre B comme nous l’avons fait pour simplifier, rien n’empêche de multiplier « complètement » l’une par l’autre deux suites ou classifications simples A₁ + A’₁ = B₁ ; B₁ +B’₁ = C₁ ; C₁ + … + Z et A₂ + A’₂ = B₂ ; B₂ + B’₂ = C₂ ; C₂ + … + Z. En chacune des classes A₁A’₁B’₁ … on retrouvera donc toutes les classes [p. 157] A₂A’₂B’₂… et réciproquement. C’est cette opération générale qui intervient dans la construction des « tables à double entrée » dont on se sert dans les sciences comparatives et qui fonde ainsi une « correspondance qualitative » entre A₁A’₂ ; A₁A₂ ; A₁B’₂… etc., et A’₁A₂ ; A’₁A’₂ ; A’₁B’₂… etc., opération distincte de la correspondance bi-univoque d’ordre mathématique, qui peut être effectuée entre unités « quelconques ».

Ces correspondances constituent, comme il est évident, des « équivalences multiplicatives », par opposition aux équivalences précédemment étudiées (exemple A B= A’) qui sont des équivalences additives.

Supposons maintenant qu’entre des termes donnés existe une série qualitative de relations a’₁→ ; a’₁→ ; b’₁→ etc., et qu’entre chacun de ces termes et ceux d’une autre série constituée par les mêmes relations existe, d’autre part, la relation ↓a’₂ puis, entre cette dernière série et d’autres semblables encore, les relations ↓b’₂ ; ↓c’₂ etc. Chacun des termes de cette table à double entrée sera donc déterminé par la multiplication ↓x₁ y₂→ ou y₂→↓x₁, x et y représentant un ordre a, a’, b’…

Toutes les équations vraies portant sur un système de multiplication complète de relations asymétriques qualitatives constituent un groupement.

En effet, il existe en vertu du théorème VI une correspondance bi-univoque entre les opérations de la classification simple et celles de la sériation qualitative bien que ces opérations diffèrent de signification. Il sera donc toujours possible de multiplier complètement l’une par l’autre les relations de deux séries qualitatives groupées selon les règles tirées du théorème IV, puisque l’on peut multiplier l’une par l’autre deux suites additives de classes (théorème X). Cette multiplication complète des relations asymétriques constituera donc également un groupement, correspondant à celui de la multiplication complète des classes ¹.

L’égalisation, par substitution généralisée, des classes élémentaires A₁ ; A’₁ ; B’₁… et A₂ ; A’₂ ; B’₂… d’une multiplication complète des classes ; et l’égalisation correspondante des relations élémentaires d’une multiplication complète de relations asymétriques transforment simultanément ces deux groupements dans le groupe multiplicatif des nombres entiers et fractionnaires positifs.

En effet, selon le théorème VII la substitution généralisée des classes A ; A’ ; B’… dans une classification simple donne à cette classification la forme A = + A ; B = A + A ; C = A + A + A… et la substitution généralisée des relations élémentaires d’une série lui donne la forme : a→ = 0 a→ A ; b→ = a→ + a→ ; c→ = a→ + a→ + a→… Chaque classe élémentaire étant ainsi transformée en unité, il deviendra alors possible de multiplier deux classes quelconques, par exemple une classe (B = A₁ + A₁) par une classe (C = A₂ + A₂ + A₂) en associant chaque unité de l’une à chaque unité de l’autre et en considérant ces A₁A₂ comme des unités d’association. En effet, la multiplication logique B₁ × C₂ donne (A₁A₂ + A₁A’₂ + A₁B’₂) + (A’₁A₂ + A’₁A’₂ + A’₁B’₂). Or, si chaque classe élémentaire de B₁ et de C₂ équivaut à × A₁ et à × A₂, on a B₁ × C₂ = 6 (A₁A₂), le nombre des associations constituant alors le produit de la multiplication.

Cela équivaudra, d’autre part, à multiplier, selon les mêmes associations, les rangs (devenus vicariants) de ces unités, soit ↓b₁ par c₂→, car, pour distinguer les couples, il faut bien les ordonner, d’où la table suivante :

Les multiplications logiques des classes et des relations sont ainsi transformées simultanément en multiplication arithmétique, c’est-à-dire que, pour (B₁ = 2A₁) × (C₂ = 3A₂), les [p. 159] associations A₁A₂ ainsi que les différences de rang ↓a₁ a₂→, une fois égalisées, perdent leurs caractères qualitatifs et se réduisent alors à l’opération 2 × 3 = (1 × 3) + (1 × 3) = (1 × 2) + (1 × 2) + (1 × 2) = 6. La tautologie ne substituera donc que dans le cas A × A = A, soit 1 × 1 = 1, tandis que les multiplications B × B = B, etc., donneront le carré n × n = n² puisque (A + A) × (A + A) = 4(A₁A₂), etc. L’absorption sera exclue pour la même raison. Les identiques spéciales se réduisant ainsi à la seule identique × A (= × 1), il en sera de même de l’identique générale logique Z × Z = Z, car si les classes ne sont formées que d’unités × A = × 1, on aura toujours × nA : nA = × 1A. Dès lors, l’opération inverse consistera en une dissociation des couples d’association, c’est-à-dire en une division devenue purement numérique, et sa généralisation engendrera les rapports fractionnaires, inconnus des groupements logiques.