Expériences sur la construction projective de la ligne droite. Cahiers de pédagogie expérimentale et de psychologie de l’enfant. N.S. ; n° 2 (1946) ^{1 a} 🔗

Il est utile d’analyser d’un peu près les réactions du stade I, bien qu’elles soient parallèles à celles du même niveau révélées par l’étude du dessin : plus clairement encore que ces réactions graphiques, elles témoignent de la différence considérable séparant la représentation d’une droite de la perception de cette même droite toute construite, ainsi que du primat de la ligne topologique sur la droite projective [p. 3] ou euclidienne lors des débuts de la représentation. Les sujets du stade I, tout en percevant fort bien une droite et en la distinguant perceptivement d’une courbe, ne parviennent cependant pas à construire une droite, même parallèle à un modèle rectiligne (tel que le bord de la table) et ne réussissent leur construction que si elle est effectuée directement sur le modèle perceptif :

Alb (2 ; 6) ² est prié d’aligner les arbres (allumettes plantées dans des disques de pâte à modeler, appelés aussi des « enfants qui se donnent la main », etc.) en une « ligne bien faite » sur le bord même de la table non pas parallèlement au bord mais sur la frontière : il y parvient sans peine. De même on lui dessine une droite sur laquelle il pose successivement trois allumettes sans difficulté. Mais lorsqu’il s’agit de refaire la même droite parallèlement au bord de la table (à 10-15 cm) il échoue complètement et se borne à juxtaposer les éléments selon le voisinage le plus grand possible, aboutissant ainsi à une ligne ordonnée mais ondulante et non pas à une droite. On met alors à 2-3 cm du bord de la table et à une vingtaine de cm l’un de l’autre les deux éléments extrêmes en priant Alb d’aligner les autres entre deux, parallèlement à la ligne de ce bord de table : Alb met deux éléments à la suite du premier, puis deux autres près du dernier, mais il ne parvient pas à placer les deux restant dans l’alignement entre les premiers et les derniers, aboutissant ainsi à une ligne sinueuse et non parallèle au côté de la table.

Au point de vue du dessin, Alb en est au gribouillage et ne sait copier ni un cercle (sous forme de figure fermée) ni un carré. Il parvient cependant à poser les allumettes le long d’un cercle dessiné d’avance aussi bien que le long d’une droite.

Mic (2 ; 9) parvient de même à poser les allumettes dressées le long d’un cercle ou d’une droite dessinée d’avance ou encore sur le bord même de la table, mais à quelques cm déjà il ne réussit plus à faire une droite parallèle à ce bord, pas plus que sur le linoléum du plancher, sans appui ni obstacle perceptif : il pose les éléments aussi serrés que possible, en aboutissant à des lignes sinueuses.

Dessins du cercle et du carré semblables : griffonnages vaguement fermés.

Pau (3 ; 9) dessine un cercle sous une forme vaguement fermée et un carré d’une façon analogue mais contenant des angles et quelques segments de lignes isolables. Il manque également le dessin d’une droite simple. Il ne comprend pas (pas plus d’ailleurs que les sujets précédents) le mot « droite » dans l’expression « une route droite », etc. mais comprend ce qu’on lui veut lorsque l’on compare les allumettes à des enfants qui font une « ronde » ou se mettent « en ligne ». Pour la « ronde » il parvient à ordonner sept allumettes en une forme fermée (4-5 cm d’intervalle). [p. 4] Pour la ligne (à construire également par terre, sans appui ni obstacle perceptif), il serre les éléments autant que possible et aboutit à un arc de cercle. On essaie de les lui faire espacer (« ils se donnent la main comme ça, ils ne sont pas si serrés », etc.) mais il ne parvient pas à en construire une ligne même quelconque à éléments espacés.

« Maintenant fais un mur de là à là (on pose les extrêmes) — (Pau serre les éléments près de l’un et de l’autre extrêmes, en ligne, mais ne parvient pas à joindre les deux segments.) — Alors fais-le le long de la table (à 2-3 cm du bord, les extrêmes posés à nouveau d’avance.) — (Pau aboutit à un arc de cercle.) » Plusieurs essais successifs au bord de la table donnent le même résultat que chez Alb et Mic : la droite est réussie sur la ligne même du bord, mais ne l’est déjà plus à 2-3 cm de distance, le parallélisme ne suffisant pas à guider la représentation. En outre, plus les éléments sont espacés, plus la ligne est irrégulière.

Il y a en outre échec complet lorsque les extrêmes sont posés de façon que la droite à construire coupe un angle de la table. Mais, chose curieuse, on s’aperçoit alors que Pau, sans construire une droite parallèle au bord de la table, ne parvient cependant pas à abandonner la région voisine de ce bord, la suggestion perceptive constituée par la ligne du bord ne suffisant donc pas à permettre la construction d’une droite, mais s’opposant cependant à la représentation d’une ligne coupant le coin de la table.

Dan (4 ans) fait la transition entre le niveau des cas précédents (cas francs du stade I) et le niveau II A ; il sait déjà dessiner des cercles et des carrés et parvient à construire une ligne presque parallèle au bord de la table donc presque droite. Mais il échoue entièrement à réaliser une seule ligne sur un fond neutre (par terre, sans appui ni obstacle perceptif), contrairement aux sujets du niveau II A.

On voit l’intérêt de ces faits. D’une part, ces sujets savent bien reconnaître perceptivement une droite, puisqu’ils distinguent sans difficulté un carré d’un cercle (tout faits) et qu’ils suivent fort bien, en alignant leurs allumettes, une droite dessinée d’avance ou la ligne même du bord de la table. Mais ils n’ont pour autant aucune représentation claire de la droite, en tant que représentation symbolique dépassant le champ perceptif ou susceptible d’orienter une construction nouvelle au sein de ce champ. Verbalement ils ignorent le mot « droite » et ne connaissent que la « ligne », et graphiquement, ils ne savent pas dessiner des droites. Mais surtout dès qu’il s’agit de construire une droite, même parallèle (à 2-3 cm de distance) au bord de la table, ils échouent totalement et se bornent à réaliser une ligne topologique, à éléments successifs très voisins (les notions de voisinage [p. 5] entre éléments séparés et d’ordre étant ainsi appliquées sans difficulté), mais sans rectitude et avec incurvations diverses (ligne sinueuse ou même arc de cercle). En outre, le voisinage semble être indispensable à l’élaboration de cet ordre linéaire, car sitôt les éléments trop espacés, la ligne devient de plus en plus irrégulière et l’on ne peut plus même parler d’une seule ligne.

En bref, le stade I est bien caractérisé par les deux caractères annoncés : absence de représentation de la droite (malgré sa connaissance perceptive) et primat de la ligne topologique, déjà susceptible de construction ordonnée dans la mesure où les éléments demeurent suffisamment « voisins » les uns des autres.

Les réactions du sous-stade II A sont également d’un vif intérêt : devenu capable de mettre les poteaux en ligne droite sur un fond neutre ou lorsque cette ligne est parallèle à un côté de la table servant d’appui perceptif à la construction, le sujet ne parvient pas à se libérer de la suggestion exercée par le bord de table lorsque la droite à construire ne lui est plus parallèle.

Mar (4 ; 8) « Tu sais ce que c’est qu’une route toute droite ? Montre comment c’est ? — (Il esquisse une droite d’un geste de la main.) — Et une route avec des tournants ? — (Il fait le geste de zigzags.) — Les trois poteaux (placés le long de la table, à quelques cm de distance, mais irrégulièrement), ça fait une droite ? — Non. — Arrange-les (il les met en ligne droite). C’est bien droit comme ça ? — Oui. — On va maintenant les éloigner (on les écarte les uns des autres en altérant quelque peu l’alignement). C’est droit ? — Oui. — Depuis où faut-il regarder pour être sûr que c’est droit ? — (Il ne bouge pas.) — Si tu te mets là (face au milieu de la rangée) ? — C’est droit. —   Et si tu te mets là (dans le prolongement) ? — C’est pas droit (il les arrange). — Arrange-les maintenant ici, tout droit (parallèlement à un autre côté de la table : il en dispose quatre à peu près droits). C’est sûr que c’est droit ? — Pas tout à fait. — Depuis où vaut-il mieux regarder ? — (Il se place à nouveau de « bout »).

On prie alors Mar d’aligner en « une route toute droite » trois poteaux entre deux éléments extrêmes A et E dont l’un (A) est situé [p. 6] en face du milieu de l’un des côtés de la table carrée et l’autre (E) sur le côté voisin, la ligne à construire n’étant pas parallèle à l’un des bords mais coupant le coin de la table. Mar pose alors B, C et D parallèlement au premier côté et dans le prolongement de E, le poteau A restant ainsi en dehors de cette droite. « Mais la route doit être droite. Elle fait un tournant ici (AB) ? — Ah oui (il met B entre A et C en ligne droite, mais le segment de droite A B C fait alors un angle avec le segment C D E). — Mais ça tourne ici (C). — Ah oui (il remet B au bord de la table). » Mar ne parvient pas à construire sa droite entre A et E : tantôt il remet B dans le prolongement de C D E, tantôt il revient aux deux segments droits A B C et C D E, mais il n’arrive pas à déplacer C et D faute de pouvoir se libérer de la suggestion perceptive du bord de la table (et bien qu’il n’en ait jamais été question verbalement).

Fran (5 ; 4) arrange de même sans difficulté trois poteaux en ligne droite parallèlement au bord de la table. Il s’en tient à une droite assez approximative, n’estimant pas utile de quitter sa place pour vérifier et ignorant comme Mar la conduite de la « visée » ; mais, en s’appuyant sur le parallélisme perceptif, il parvient néanmoins à une droite acceptable. Maintenant le bonhomme veut aller de là (A = coin de la table) à là (E = face au milieu de l’un des côtés, mais à 20 cm du bord) sur une route bien droite. — (Fran arrange B C D après A en ligne droite parallèlement au bord, D étant proche de E, mais sans que E soit sur la droite.) Voilà. — Elle est bien droite, ta route ? Il n’y a pas de tournants ? — Rien qu’un ici (C D E). — Alors enlève-le pour que ça soit bien droit de là (A) à là (E). — (Fran veut déplacer E.) — Non celui-là reste où il est. — Alors je peux pas. —   Essaie. — (Il serre B C D près de A, puis les espace et les met parallèlement au bord mais dans le prolongement de E, de telle sorte que le segment E D C B est droit mais sans pouvoir englober A.) — Il n’y a plus de tournant ? — Oui là (A B C). — Alors enlève-le. — (Il remet B C D dans le prolongement de A en négligeant E). Regarde comment je fais (on met sous ses yeux les poteaux en ligne droite entre A et E). Ça fait un chemin droit ou pas droit ? — Tout droit. —   Pourquoi ne l’as-tu pas fait comme ça ? — Parce que… je ne sais pas pourquoi. —   Et si je les remets comme toi (A B C D parallèles, au bord de la table et E en dehors de cette droite), il y a un tournant ou pas ? — Il y a un contour. —   Alors mets-les comme il faut, tout droit. — (Il les arrange en arc de cercle entre A et E comme si la rangée était attirée par le bord de la table.) — C’est juste ? — Non. — Alors mets-les en ligne droite. — (Il refait une parallèle au bord de la table A B C D sans pouvoir atteindre E !) »

Lil (5 ; 3) fait une rangée droite parallèlement au bord de la table et corrige une suite en zigzags jusqu’à la rendre approximativement rectiligne, mais sans visée. On lui présente une droite toute faite, coupant le coin de la table : « C’est bien droit ? — Oui. — Où voit-on mieux si c’est droit, là ou là (dans le prolongement ou de côté) ? — Là (de côté). — Alors mettons-nous à cette table (ronde) et fais-moi une droite entre [p. 7] le poteau et celui-là (A et E à 30 cm de distance). — (Lil intercale B C et D mais en suivant le pourtour curviligne de la table.) — C’est droit ou c’est rond ? — C’est rond. — Alors essaie de faire droit. — (Lil replace les éléments B, C, D, cette fois un peu plus loin du bord mais avec encore une incurvation sensible.) — C’est vraiment droit ? — C’est aussi en rond. —   On doit faire une droite. — (Lil recommence.) La même chose ! Je peux pas. Il faudrait la mettre là (diamètre de la table ronde : Lil place un élément au centre et construit une droite passant par ce centre). — Mais là (entre A et E : corde coupant les bords) ? — (Refait un arc de cercle.) Non, mais c’est rond (vexé)… Ça allait si bien avant, maintenant ça ne va plus ! — Et là-dessus (table carrée) ? — Ça va (droite parallèle au bord). Maintenant c’est droit. — Pourquoi ? — Parce que cette table-là était ronde et celle-là elle est droite. —   Essaie encore sur la ronde. — Non, je ne peux pas. »

Rog (6 ; 0) met trois allumettes en ligne droite à 30 cm de distance les unes des autres, parallèlement au bord de la table. « Et comme ça (on déplace légèrement l’élément médian) ? — Non, c’est pas droit. — Comment vois-tu ? — … — Mets-toi où c’est le mieux pour voir. — (Il reste à sa place et rectifie l’alignement au jugé.) Comment sais-tu que c’est juste ? — J’ai fait une ligne avec le doigt (il a pointé en effet de l’index les extrêmes situés chacun au milieu de deux côtés adjacents). — Rog pose les éléments intercalaires en suivant les deux côtés, ce qui fait un angle droit.) — C’est droit ? — Non. — Alors arrange-les ? (Il fait plusieurs essais successifs et aboutit à une courbe.) »

Noé (6 ; 6) arrive à la droite sans visée mais en suivant du doigt, lorsqu’il s’agit de placer les poteaux parallèlement au bord de la table. Lorsque les extrêmes A et E sont l’un (A) au coin de la table et l’autre au milieu d’un côté voisin mais à 20 cm du bord, Noé construit successivement un segment A B C D proche du côté parallèle, puis un segment B C D E parallèle au même côté mais à 20 cm du bord, sans réussir à relier A et E par une droite non parallèle au côté ! Après de nombreux encouragements, il parvient à relier A et E par une courbe à convexité, toujours attirée par le même bord de table !

On voit combien sont instructives ces réactions. Sur le terrain de la perception, chacun de ces sujets sait fort bien reconnaître une droite et la distinguer d’une courbe ou d’une ligne brisée. Même lorsque la rangée des poteaux coupe l’un des coins de la table, c’est-à-dire se trouve dans la position où le sujet ne saura précisément pas reconstruire une droite, il perçoit fort bien si cette rangée est rectiligne ou non (cf. Lil). Mais dès qu’il s’agit de représentation, c’est-à-dire dès que l’on demande à l’enfant de construire, en pensée ou effectivement, une droite reliant deux éléments donnés A et E, les difficultés commencent [p. 8] et leur variabilité se trouve révélatrice. Il est un cas où cette difficulté est nulle : c’est lorsque la représentation peut elle-même s’appuyer sur une perception, c’est-à-dire sur un modèle donné dont il ne s’agit alors que de le suivre pas à pas pour orienter la construction. Telle est la situation quand la droite à construire est parallèle au bord d’une table carrée ou rectangulaire : tous les sujets de ce niveau réussissent alors la construction, mais nous ne pouvons cependant naturellement pas parler de pure représentation, puisque celle-ci ne consiste qu’en une sorte d’imitation guidée par une perception. Il est un second cas où la difficulté, quoiqu’un peu plus sensible, demeure surmontable : c’est celui de la droite à construire sur un fond neutre ou à égale distance des côtés de la table. Par exemple Lil réussit la construction lorsque la droite parcourt le diamètre de la table ronde, sans que la représentation soit alors gênée par les bords circulaires, c’est également ce qui se passe sur un plateau suffisamment étendu (le plancher de la pièce, par exemple) pour qu’aucun obstacle ne contrecarre la construction. Mais en un tel cas la représentation peut également être conçue comme une sorte d’imitation, non plus actuelle mais intériorisée et virtuelle : la droite imaginée reproduit en effet simplement les perceptions antérieures des droites connues et ne diffère pas de ce que sont par exemple les dessins d’une droite ou d’un carré exécuté de mémoire. Par contre, il est une troisième situation où la difficulté s’avère insurmontable : c’est celle où la droite à imaginer représentativement et à construire effectivement se trouve en conflit avec les droites ou les courbes perçues dans le voisinage, c’est-à-dire sur le « fond » (au sens perceptif du « fond » opposé à la « figure ») constitué par la table. Alors, en effet, la représentation ne consiste plus à imiter simplement une perception actuelle ou antérieure mais à engendrer des rapports nouveaux au sein d’une configuration ne comportant que des rapports distincts de celui à trouver : une opération projective, fondée sur l’action de viser, ou euclidienne, fondée sur le déplacement, est alors nécessaire pour résoudre la question posée.

Or, l’intérêt des réactions précédentes est précisément de montrer que ces opérations ne sont point encore acquises au niveau considéré, pour des raisons qu’il s’agit de déterminer. Dans le cas des droites parallèles au bord de la table, le sujet se borne [p. 9] à un alignement approximatif, sans visée. Mar, placé successivement à côté ou dans le prolongement de la rangée, témoigne bien d’un contrôle meilleur dans cette seconde situation, comme il est naturel, mais il n’en tire aucun procédé systématique pour la suite et, à eux seuls, aucun de ces sujets ne songe même à se placer dans le prolongement de la droite pour la vérifier, lorsqu’on leur demande de trouver le meilleur point de vue à cet effet. Quant aux mouvements, Rog déclare « faire une ligne avec le doigt », mais il ne s’agit là que d’un mouvement imitatif, et non pas d’un système pour déterminer la plus courte distance ou pour conserver une même direction au cours du déplacement. Aussi bien, lorsqu’il s’agit de construire une droite non parallèle au bord de la table, voyons-nous les mêmes sujets demeurer incapables, faute de visée ou de déplacement ordonné et métrique, de résoudre cette question si simple, et chercher à suppléer à l’opération projective ou euclidienne par un simple appel de la configuration perceptive.

Nous voyons par exemple Mar, pour relier obliquement A à E, commencer par une droite B C D E parallèle au bord, puis constatant l’angle ABC, changer de place B pour rectifier le segment A C mais sans oser toucher à C et D : d’où deux droites A B C et C D E forment encore un angle. Nous voyons, surtout Fran osciller entre les deux droites, A B C D et B C D E toutes deux parallèles au bord de la table mais l’une proche et comprenant A, l’autre plus éloignée et comprenant E : dans le premier cas la solution comporte l’angle C D E et dans le second l’angle A B C sans que l’enfant parvienne à se libérer de l’obsession du côté de la table et à relier A et E par une oblique rectiligne ! Ce cas de Fran constitue le comportement le plus habituel des sujets de ce niveau (voir aussi Noé). Or cette réaction est d’autant plus extraordinaire que, même après nous avoir vu construire la droite A E, Fran n’arrive pas à la reproduire et finit par fournir une courbe à convexité orientée du côté du bord de la table ! Quant à Lil, travaillant sur une table ronde, ce sujet ne parvient pas à se libérer des incurvations et remplace les droites par des arcs de cercle. De même Rog, pour une droite devant couper l’un des coins de la table, suit les deux cordes et construit ainsi d’abord une ligne avec angle de 90° et ensuite un arc de cercle.

On dira peut-être que ces faits intéressent la perception seule et non pas les opérations formatrices de la droite : ne parvenant pas à détacher la « figure » à construire au moyen des poteaux du « fond » constitué par la table, le sujet remplace les droites demandées par des lignes parallèles au bord de cette table. Mais il est à noter qu’il ne s’agit pas en ce cas d’illusion perceptive ! L’enfant voit bien qu’il n’a pas construit une droite et s’essaie à la reconstituer comme telle, la configuration du fond n’intervenant qu’à titre d’obstacle intellectuel et non pas de facteur déformant les perceptions elles-mêmes. L’intérêt de ces réactions tient donc bien à leur mécanisme intellectuel : parvenant à imaginer une droite lorsque le « fond » perceptif en présente de toutes faites, parallèles à celle qu’il s’agit de construire, le sujet n’arrive pas à se représenter l’image d’une droite lorsqu’elle est indépendante de celles du fond perceptif ! Tel est le résultat observé, qui relève ainsi de la construction de l’image intuitive et non pas de la perception elle-même.

Or, ce résultat est extrêmement instructif. Il montre à l’évidence qu’il existe deux sortes de représentations spatiales : l’une, simplement intuitive, n’est qu’une imitation intérieure (image mentale) des données antérieurement perçues et se trouve donc favorisée ou inhibée par les configurations perceptives actuelles, tandis que l’autre (non encore constituée au présent niveau) se fonde sur les opérations et se libère par conséquent de toute configuration perceptive. Il faut ajouter naturellement qu’entre ces deux extrêmes se trouvent tous les intermédiaires, constitués par l’intériorisation des actions qui modifient la perception et dont l’organisation progressive conduit précisément à la formation des opérations.

Le problème qui se pose à propos des échecs initiaux décrits au § précédent, est de comprendre pourquoi l’opération de la « visée », qui permettrait au sujet de relier les deux poteaux extrêmes au moyen d’une droite en mettant simplement la plus éloignée dans le prolongement visuel [p. 11] du plus rapproché ne donne pas lieu à une découverte plus précoce. Or, la réponse est assurément à chercher dans la direction suivante : la découverte d’un point de vue particulier, fût-ce même la prise de conscience du point de vue propre momentanément occupé par le sujet, est bien plus difficile qu’il ne pourrait sembler au premier abord, parce que cette découverte ou cette prise de conscience supposent en réalité la coordination de tous les points de vue possibles. L’opération de la visée n’est donc pas une action simple mais le produit d’une différenciation et par conséquent d’une coordination des divers points de vue en jeu. C’est ce que nous allons voir en étudiant d’abord les réactions intermédiaires du sous-stade II B, puis les réponses justes du niveau III.

Au cours du sous-stade II B on assiste, en effet, à une différenciation progressive des points de vue, dans le contrôle des droites construites parallèlement au bord de la table, puis, en corrélation avec cette différenciation même, à une libération graduelle de la configuration perceptive dans le cas des droites à construire indépendamment des côtés de la table :

Clau (5 ; 6) : « Tu vas faire une route bien droite avec ces trois poteaux. — (Clau les met droit devant lui, en prenant, mais sans intention, une position de visée, et il construit ainsi sa droite obliquement par rapport au bord de la table sans remarquer ce dernier.) — Très bien. Maintenant regarde (on place les trois poteaux parallèlement au bord de la table, mais selon une ligne non entièrement droite). C’est bien droit, comme ça ? — Oui. — Sûr ? — Oui. — Est-ce qu’il y a une place où tu serais mieux, pour voir si c’est bien droit, que là où tu es maintenant ? — … (pas de réponse.) — Si tu viens à côté de moi, ici, la route est bien droite ? — Oui. — Et d’un autre endroit ? — (Il tourne autour des trois poteaux et, lorsqu’il les voit de « bout », il s’écrie :) Ah non (il les rectifie). — Mets-les à une autre place en ligne droite. — (Il les déplace et les aligne devant lui, sans se soucier du bord de la table.) — Très bien. Maintenant je mets les deux poteaux ici (A au coin de la table et F en face de l’un des côtés adjacents, mais à 30 cm du bord). Mets-moi ces quatre poteaux entre deux points que ça fasse une ligne droite. — (Clau met alors B C dans le prolongement de A, le segment A B C étant parallèle au bord de la table, puis il met D et E dans le même alignement que F, le segment D E F étant également parallèle au bord de la table, mais en retrait et sans continuité avec A B C.) Non ça ne va pas (il pose alors en une seule ligne B C D E parallèlement au bord en négligeant A). — C’est droit ? — Ah non (il pose alors A B C D E parallèlement au bord en négligeant F). — Et maintenant c’est droit ? — Ah non, le contour est là (D E F) cette fois [p. 12] (il replace B C D E F à distance du bord mais parallèlement à lui et néglige A). — Et ça (A B C) ? — Ah oui (il remet A B C D E en négligeant à nouveau F). Ah non (il essaie enfin de relier directement A et F mais aboutit à une ligne sinueuse). — C’est droit ? — Presque. — Où faut-il se mettre pour bien voir si c’est droit ? — Là (il se met dans l’axe, mais sans se livrer à une visée proprement dite). — Alors arrange-les. — (Il refait une suite parallèle au bord de la table A B C D mais met E entre D et F, d’où deux segments droits A B C D et D E F et un angle en D !) — C’est droit ? — Non (il se remet dans l’axe AF et refait une ligne sinueuse entre deux). — (On enlève tout.) Montre avec le doigt la route de (A) à (F) ? — (Il la montre juste, puis met les poteaux à peu près correctement mais sans rectifier au moyen d’une visée intentionnelle.) »

Luc (5 ; 11) débute par la construction d’une droite euclidienne, tandis que Clau a spontanément commencé par un procédé projectif ³. Tandis que Clau, en effet, a mis d’emblée ses poteaux dans la ligne de son regard, Luc cherche au contraire dès l’abord à leur imprimer une direction constante. On place A et G parallèlement au bord de la table : Luc met alors B C D E F serrés les uns contre les autres, à la suite de A, en les tenant entre les paumes de ses deux mains, et en imprimant à ses mains la direction de F. « Il faut les mettre plus écartés, pour qu’il y en ait jusqu’ici (F). — (Luc les espace alors, en les tenant deux par deux entre ses mains orientées vers F et en repérant le procédé de proche en proche pour conserver la direction.) — Si tu n’avais que trois allumettes ? — C’est facile (il fait un mouvement de la main de A à F et place une allumette à peu près au milieu sur la trajectoire). — Très bien. Mais es-tu sûr que c’est droit ? Où faut-il te mettre pour voir le mieux si c’est droit ? — (Luc tourne autour de la table sans se décider pour une position particulière.) On y voit de partout. — Maintenant je vais planter le premier poteau ici et le dernier là (chacun au milieu de deux côtés adjacents de la table). Tu vas faire entre les deux une route bien droite. — (Il suit les deux bords de la table, d’où une route comprenant un angle de 90°.) — Elle est droite ? — Non, il y a un contour. — Alors ? — (Il arrondit légèrement l’angle : d’où un arc de cercle.) — C’est droit ? — (Il arrondit encore l’angle.) — Comment volerait un oiseau de là à là ? — (Montre une droite d’un geste de la main.) — Alors mets les poteaux. — (Il les met selon une ligne légèrement incurvée.) — C’est droit ? — Oui. — Regarde d’un autre endroit ? — (Il fait le tour et de « bout », constate.) Non, on y voit : celui-ci dépasse un peu (il rectifie). — Maintenant on va essayer sur cette table (ronde). — (Pour deux poteaux situés au bord de la table mais non pas aux deux extrémités d’un diamètre, Luc suit tout l’arc de cercle décrit par le bord mais s’écrie spontanément :) C’est pas droit. Comment faire ? —  (On met les deux poteaux aux extrémités [p. 13] d’un diamètre.) Et comme ça ? — C’est difficile (trace une ligne du doigt et arrive à faire une droite). »

Ing (6 ; 1) met trois poteaux en ligne droite : « Mets-les plus loin les uns des autres (il le fait mais la route n’est plus très droite). C’est droit ? — Oui. — Il y a un endroit meilleur que là où tu es pour voir si c’est droit ? — (Il tourne autour de la table et vers 45° de l’axe, dit :) Non, ce n’est pas droit. —   D’où voit-on le mieux, de là (45°) ou de là (prolongement de la rangée) ? — D’ici (45°). —  Maintenant j’en mets un ici (A au coin de la table et l’autre là (G à 20 cm en face du milieu d’un des côtés voisins), mets les poteaux entre deux pour que ça fasse une route bien droite. » : il place d’abord B C D E F dans le prolongement de A parallèlement au bord de la table, d’où l’angle E F G, puis met E F G en ligne droite parallèle au bord de la table et laisse A B C D plus près du bord, puis il déplace D pour l’ajouter et E F G d’où les deux segments A B C et D E F G non continus, puis il place B et C sur une droite oblique entre A et D, d’où deux droites A B C D et D E F G se coupant en D, selon un angle obtus, puis il met E et F dans le prolongement de A B C D et manque ainsi G. Enfin il construit la droite unique A B C D E F G, avec quelques sinuosités de détail. « C’est tout à fait droit ? — Non (il se met spontanément dans l’axe pour vérifier, mais sans visée proprement dite et il rectifie). »

Mir (6 ; 2) aligne trois poteaux : « C’est sûr que c’est droit ? Tu peux regarder comme tu veux et te lever de ta place si tu veux. — (Mir fait le tour et finalement, dans l’axe de la rangée, dit :) C’est là qu’on est le mieux (les rectifie). — (On les aligne dans une autre direction.) Ils sont droits comme ça ? — (Mir va se mettre dans l’axe et les rectifie.) — Pourquoi tu te mets là ? — Parce qu’on voit directement comme ça (geste de la main dans le sens de la rangée). — Et avec ça (un poteau près du milieu d’un côté de la table mais à 30 cm à l’intérieur et l’autre au coin voisin) fais une route bien droite. — (Mir construit d’emblée un bel arc de cercle à convexité orientée vers le bord de la table, puis regarde et s’écrie :) Oh ! vous voyez : elle fait une courbe, la route ! (corrige légèrement, puis va voir dans l’axe). Maintenant je la vois droite. »

Ces réactions intermédiaires nous font assister, comme on le voit, à la genèse de la droite représentative par opposition à la droite perceptive seule accessible aux sujets de niveau II A. On constate, en effet, que chacun de ces enfants, après avoir présenté les mêmes hésitations qu’en II A lorsque la droite à construire est proche du bord rectiligne de la table sans lui être parallèle, parviennent ensuite à surmonter la difficulté et réussissent la confection de la droite. Comment donc y arrivent-ils ?

Notons d’abord que les méthodes projectives sont loin d’être les seules dont dispose l’enfant pour représenter ou construire [p. 14] une droite, puisqu’il existe au moins trois définitions de la droite relatives à l’espace euclidien et qui correspondent à des actions simples pouvant être directement intuitionnées : le plus court trajet d’un point à un autre (notion qui repose sur un cercle vicieux évident, envisagée axiomatiquement, mais qui exprime précisément l’interdépendance des actions ou des opérations de déplacement rectiligne et de mesure), le déplacement conservant sa direction, ou la seule ligne conservant sa forme au cours d’une rotation autour d’un axe constitué par elle-même. Nous étudierons ailleurs cette dernière notion due à Leibniz et dont l’intervention n’est pas possible dans le dispositif utilisé en ce chapitre pour la construction de la droite. De même, la notion (à la fois euclidienne et projective) de la droite conçue comme l’intersection de deux plans ne saurait être invoquée ici. Il reste donc la droite projective engendrée par la visée (alignement selon la direction du regard) ou conservant sa forme indépendamment des points de vue, et la droite euclidienne déterminée par le déplacement le plus court ou conservant sa direction. Or, les faits nous ont montré que, sitôt dépassé le niveau de la droite perceptive (jusqu’en II A), les constructions projectives et euclidiennes apparaissent simultanément et s’appuient les unes sur les autres.

C’est ainsi que Clau, Ing et Mir, sans employer encore une méthode exacte de visée (comme ce sera le cas au stade III), alignent les objets en fonction de la direction du regard et découvrent donc spontanément la droite projective par l’intervention du « point de vue ». Au contraire Luc (et tous les sujets semblables que nous aurions pu citer) utilise la méthode euclidienne de la conservation de la direction du mouvement. Mais il est clair que ces deux sortes de procédés sont en fait (c’est-à-dire psychologiquement) solidaires : l’alignement visuel invoqué par les premiers de ces sujets s’accompagne fréquemment de mouvements de la main pouvant être substitués à l’ordre perspectif du regard et la direction constante du mouvement invoquée par Luc s’accompagne d’un contrôle visuel de caractère projectif. Nous avons donc là un exemple de l’interdépendance des constructions projectives et euclidiennes qui s’avère générale.

Or, en nous limitant pour l’instant à l’analyse des notions projectives, comment les sujets cités parviennent-ils à découvrir l’alignement visuel, dont le perfectionnement ultérieur les [p. 15] conduira dès le stade III à la conduite de la « visée » ? C’est, comme nous le disions au commencement de ce § , par un début de différenciation, et par conséquent de coordination des points de vue. Les enfants du niveau II A ne se préoccupent encore en aucune manière de l’angle sous lequel ils aperçoivent les rangées de poteaux : ce qui compte pour eux, c’est la configuration perceptive considérée en elle-même ou plus précisément en tant qu’exprimant les caractères de l’objet comme tel. C’est le réalisme initial qui explique à la fois l’antériorité de l’espace perceptif sur l’espace représentatif (donc de la droite perceptive sur la représentation de la droite) et la priorité des intuitions topologiques, n’intéressant que l’objet en lui-même, sur les intuitions projectives et euclidiennes supposant la coordination des objets entre eux (y compris le sujet). Or, au présent niveau II B, nous voyons l’enfant, en partant d’une attitude réaliste semblable, découvrir que la vision n’est pas la même des différents points de vue. « On y voit de partout » dit d’abord Luc, tandis qu’ensuite il découvre l’avantage de certaines perspectives sur d’autres, pour contrôler un alignement imparfait. D’où la formule de Mir dans le prolongement de la rangée : « C’est là qu’on est le mieux… parce qu’on voit directement comme ça. » Autrement dit, il y a découverte de la droite projective lorsque l’enfant comprend que deux points X et Y peuvent être unis en relation avec l’observateur S lui-même par l’intermédiaire de la ligne du regard S X Y : la droite représentative diffère ainsi de la droite perceptive (de même que de la ligne topologique quelconque) par la prise de conscience du rôle des points de vue.

C’est pourquoi, lorsqu’il s’agit de construire une droite non parallèle au bord de la table, les sujets parviennent, après des tâtonnements reproduisant tous les errements du niveau II A, à une solution correcte due précisément à cette différenciation progressive des points de vue. Après s’être achoppé au détail de la configuration perceptive, l’enfant cherche, en effet, à relier directement les termes extrêmes X et Y de la suite des poteaux : or, pour entreprendre cette recherche, il lui faut déjà, en faisant abstraction du fond perceptif, unir X à Y soit par l’intermédiaire d’un mouvement (procédé euclidien supposant l’intervention d’un système virtuel de référence) soit par l’intermédiaire du [p. 16] regard. Dans ce dernier cas, il y a donc forcément différenciation des points de vue et c’est le choix du point de vue S X Y qui permettra alors au sujet de rectifier l’alignement projeté.

À partir du stade III (en moyenne vers 7 ans, avec par conséquent des cas plus précoces et d’autres plus tardifs) cette différenciation des points de vue est suffisante pour permettre aux sujets des opérations spontanées de visées, consistant à assurer l’alignement des poteaux par leur projection les uns sur les autres le premier masquant :

Wil (5 ; 10) : « Fais une route avec des poteaux rangés bien droits. — (Il les aligne en les tenant deux à deux entre les paumes de ses mains et en conservant la direction, puis se baisse et vise les sommets pour rectifier l’alignement.) — Et entre ces deux-là (deux poteaux des deux côtés de l’un des coins de la table) ? — Je dois faire comme ça (il montre du doigt le trajet entre les deux, puis pose les poteaux intermédiaires). — Comment vois-tu que c’est droit ? — (Il vise en se baissant.) Oui. »

Bar (6 ; 4) aligne une suite de poteaux et vise en mettant son œil à la hauteur des allumettes : « Je regarde si c’est droit ou s’il y a une bosse. » — Et d’ici là (coupant le coin de la table) ? — (Il les aligne mais avec une légère incurvation dans la direction du bord, puis il vise et dit : « Ça fait un rond comme ça (rectifie). »

Tom (6 ; 9) : « Fais-moi un chemin avec ces trois allumettes. — (Il les pose et vise en se baissant jusqu’au niveau de la table.) — Et avec les sept ? — (Même procédé.) Voilà c’est droit. —   On t’a appris à faire comme ça ? — Non. » La ligne oblique par rapport aux bords de la table est d’emblée droite.

Chel (7 ; 7) fait une suite rectiligne de six poteaux et les rectifie au jugé : « Où ça va-t-il le mieux pour voir ? — J’aime mieux être là (dans le prolongement mais sans visée proprement dite). — Et comme ça (oblique par rapport au bord de la table) ? — (Fait d’emblée une ligne droite et rectifie de nouveau sans se pencher.) — Et ici où es-tu mieux pour voir ? — Je vois mieux de côté (où elle est). — Comme ça (légère incurvation) c’est droit ? — Non, parce que vous avez mis ceux-là un peu de côté. — Fais encore une toi-même (la fait). C’est droit ? — (Se penche d’un côté, puis de l’autre et se met dans le prolongement pour finir.) Oui (après corrections). »

Bon (7 ; 9) fait d’emblée une droite entre deux poteaux coupant un coin de la table, puis corrige en visant d’un œil : « Comment tu vois si c’est droit ? — Parce que je vise, je regarde d’un œil (geste de la main montrant la longueur de la ligne). »

Ces réactions, dont les unes témoignent d’une « visée » proprement dite (Wil, Bar, Tom et Bon) et les autres d’un alignement [p. 17] effectué visuellement d’un point de vue déterminé (dans le prolongement de la rangée : Chel) montrent à l’évidence ce qu’est la droite projective : une ligne topologique avec ses caractères d’ordre de succession, etc. mais telle que les éléments soient ordonnés relativement à un « point de vue » et se succèdent ainsi, selon le rapport « devant × derrière », le premier des éléments masquant tous les suivants ⁴.