Discussion (1948) a b đź”—
En sa très intéressante communication, M. Beth a soutenu, si je l’ai bien compris, que pour constituer le système complet des propositions universellement valables, il suffit de construire une axiomatique. J’éprouve quelque scrupule à accepter cette thèse. Si M. Gonseth a bien montré (en particulier dans son dernier ouvrage : La Géométrie et le problème de l’espace) les insuffisances de l’axiomatique pure pour fonder les mathématiques, la situation est bien plus grave encore en logique, où la construction d’une axiomatique suppose que l’axiomaticien même emploie dès le départ la logique. Il y a donc à la source de toute axiomatique un certain nombre de sous-entendus que n’explicitent pas entièrement les axiomes. Ces sous-entendus tiennent notamment au jeu des opérations que l’axiomaticien est obligé de se donner en même temps que les axiomes.
En effet, il n’existe pas d’opérations isolées. Se donner une ou plusieurs opérations (fussent la barre unique de Sheffer), c’est se référer implicitement à une structure d’ensemble préalable à l’axiomatique elle-même. C’est ainsi que n’existe pas de « propositions atomiques », parce que la caractérisation d’un fait isolé (fût-ce par pure négation) suppose un système cohérent de classes et de relations. Les opérations, de leur côté, contiennent plus que leur explicitation formelle. Ainsi l’implication « p entraîne q » suppose, si sa réciproque « non q entraîne p » n’est pas vraie, une implication complémentaire « p’ entraîne q » où p’ est le produit logique de non p et q. Par exemple, si « mammifère implique vertébré » alors « vertébré » est aussi impliqué par « vertébré non mammifère ».
Les axiomes eux-mêmes sont pleins de sous-entendus. Par exemple, si l’on résume avec J. Nicod les axiomes de Russell en un axiome unique, on obtient une expression qui recouvre une structure d’ensemble bien définie, comme je l’ai montré ailleurs 1.
Quand on veut traduire en relations purement logiques certaines expressions usuelles des mathématiciens, comme la relation « distinct » (par exemple dans les ensembles abstraits dont les éléments sont dépourvus de propriétés intrinsèques et cependant distincts), on constate le nombre de sous-entendus que recouvrent les notions les plus élémentaires.
Bref, il y aurait à faire toute une analyse logistique des sous-entendus, qui reviendrait à caractériser les structures d’ensemble inhérentes au mécanisme même des opérations, et les axiomatiques logistiques n’ont pas épuisé ce genre de recherches.