La réversibilité de la pensée et les opérations logiques (1950) ^a 🔗

La séance est ouverte à 16 h. 30 sous la présidence de M. Bréhier.

M. Bréhier. — La Société française de philosophie reprend cette année son activité avec un exposé de M. Jean Piaget, que je suis particulièrement heureux de saluer ici. Nous avons tout [p. 140] à fait grand plaisir à le voir, à le revoir, car M. Piaget est des nôtres puisque Docteur honoris causa de l’Université de Paris ; et il a bien des raisons d’être parmi nous. Vous connaissez tous l’importance très grande de ses travaux ; vous savez qu’il a su réunir deux choses qu’on considérait comme impossibles à unir, comme étant à l’extrême opposé, d’une part la logique, et d’autre part la psychologie ; et vous savez qu’il en a tiré des conséquences tout à fait admirables. Mais je ne veux pas retarder le plaisir de l’entendre.

Pourtant, il me permettra de saluer deux de nos collègues étrangers, que je suis très heureux de voir ici : M. H. J. Pos qui a présidé le X^e Congrès international de philosophie et M. M. F. Sciacca, directeur de l’importante revue milanaise Giornale di Metafisica ; et d’autre part d’informer la Société — si elle ne l’est pas encore — qu’il y aura à Bordeaux, du 14 septembre au 17 septembre 1950, le 5^e Congrès des Sociétés de philosophie de langue française. Vous savez que ces Congrès sont maintenant traditionnels ; le prochain aura donc lieu à Bordeaux, sur ce très beau thème : les sciences et la sagesse.

M. Piaget, je vous donne la parole.

M. Piaget. — Permettez-moi tout d’abord de remercier M. Bréhier de ses paroles trop aimables, et surtout de vous remercier de m’avoir fait le grand honneur de m’inviter à vous présenter une communication aujourd’hui. À vrai dire, si j’ai accepté avec enthousiasme l’invitation de mon ami Bayer, c’est avant tout dans un but intéressé.

En effet, je suis engagé en ce moment dans des recherches sur les opérations ternaires de la logique bivalente ; mais, n’étant pas logicien de profession, j’ai besoin de conseils et de critiques. La Société française de philosophie a toujours été un centre de réflexion sur la philosophie mathématique et sur la logique proprement dite ; aussi ai-je pensé que la discussion à laquelle vous pourriez soumettre mes thèses constituerait pour moi un stimulant et un enrichissement certains.

C’est en psychologue que j’ai abordé le problème de la logique, c’est-à-dire que dans le monde des opérations logistiques je cherche avant tout à résoudre des problèmes de structures, de structures d’ensemble qui peuvent intéresser la psychologie de la pensée. C’est au point de vue de ces structures d’ensemble que je me placerai ce soir, plus qu’au point de vue proprement normatif. Or, un aspect particulier de ces structures opératoires semble pouvoir intéresser simultanément la logique et la psychologie [p. 141] c’est le processus de la réversibilité. En effet, en analysant le mécanisme de l’intelligence — ce qui a été mon sujet d’étude pendant plus de vingt ans — on est frappé du fait qu’un acte d’intelligence est toujours un système d’actions, mais d’actions qui présentent cette particularité d’être des actions réversibles. Nous entendrons par réversibilité, la possibilité de dérouler une action dans les deux sens, c’est-à-dire d’aller de A en B, mais également de procéder B en A ; la réversibilité est donc la capacité du retour.

Or cette possibilité du retour paraît fondamentale dans l’explication de l’intelligence. On a souvent caractérisé l’intelligence par la notion du détour : être intelligent serait être capable de faire des détours par l’action ou par la pensée. Mais je crois qu’il y a plus : si ces détours sont en effet un des éléments essentiels de l’intelligence, il y a aussi la possibilité du retour au point de départ, sans quoi le détour sera sans contrôle, faute de références permanentes.

Cette réversibilité distingue avec une netteté particulière l’intelligence de l’habitude, laquelle est, elle aussi, une coordination de mouvements et d’actions. En effet, l’habitude est irréversible. Nous avons appris à écrire de gauche à droite, ou de droite à gauche si nous sommes Arabes. Or, pour écrire en sens inverse, il faudra contracter une seconde habitude : l’habitude n’est donc pas réversible à elle seule ; une habitude renversée est une nouvelle habitude qu’il faut acquérir parfois aussi laborieusement que la première. De même les chaînes d’associations sont irréversibles ; les perceptions également. Toutes les fonctions mentales, sauf l’intelligence (et sans doute la volonté) sont irréversibles.

Une action réversible, d’autre part, une fois intériorisée, caractérise ce qu’on peut appeler une opération : par exemple, l’addition arithmétique, ou l’addition logique de deux classes en une classe qui les contienne toutes doux. Ce sont là des actions proprement dites quoique intériorisées, et qui sont précisément réversibles.

Cette réversibilité joue un grand rôle dans la genèse de l’intelligence. Toute l’étude de la pensée de l’enfant nous fait assister à un passage d’un état initial d’irréversibilité à un état final de réversibilité. La pensée du petit enfant est irréversible ; elle avance toujours à sens unique, sans être capable d’inversions ou de retours. Il y en a de nombreuses preuves ; j’en rappellerai une seule : l’absence des notions de conservation durant toute la petite enfance. Le jeune enfant n’a pas la notion de la conservation [p. 142] des quantités, des distances, des ensembles, etc. Or, à analyser la chose, on s’aperçoit de ce fait que toute transformation est pour lui une altération à sens unique : il n’a donc pas de conservation faute d’opération inverse, faute de retour possible au point de départ.

Au contraire, lorsque l’intelligence aboutit à des états d’équilibre, les choses changent. On peut parler d’états d’équilibre, au point de vue psychologique, lorsqu’un système de notions ou un système d’opérations n’est plus altéré par l’introduction d’éléments nouveaux. Par exemple une classification : quand classification est bien faite, on peut y incorporer de nouveaux éléments sans transformer pour autant toute la classification ; il y existe d’avance des casiers prêts à accueillir de nouveaux objets. Ou bien, par exemple, des coordinations d’ensemble, comme nos notions du temps et de l’espace : pour découvrir un nouveau chemin, il n’est pas besoin de refondre toute notre notion d’espace ; nous insérons simplement les éléments nouveaux dans le cadre qui demeure en équilibre.

Or, en étudiant cet équilibre final des notions et opérations, qui se réalisent au terme du développement génétique de l’intelligence, on constate qu’il est toujours caractérisé par un système mobile d’opérations réversibles. Tout équilibre se définit par la réversibilité, les physiciens nous l’ont appris. Mais qu’est-ce alors que cette réversibilité mentale sinon la possibilité d’effectuer des opérations dans le sens caractérisé tout à l’heure ? La réversibilité acquiert de ce fait un sens psychologique profond, par la convergence entre ses deux significations : opérations et équilibre.

Ces états d’équilibre peuvent, d’autre part, être étudiés de deux manières : psychologiquement on peut faire l’analyse causale de la formation de tels états, et de leur fonctionnement une fois atteints. Mais on peut aussi les étudier formellement ou axiomatiquement ; et ici intervient l’analyse logique, ou logistique.

Je crois que la psychologie de la pensée d’une part, et la logistique d’autre part, ont en définitive le même objet d’étude : les opérations de la pensée. Mais elles ont deux méthodes tout à fait différentes : d’un côté, il y a la méthode consistant à considérer les opérations comme des faits d’expérience, qu’il s’agit d’analyser causalement ; de l’autre côté, il y a la méthode axiomatique, procédant par pure définition de concepts, et par simples implications, méthode qui n’est plus causale et expérimentale comme la psychologie, mais qui suppose la constitution d’une théorie formelle.

[p. 143] Entre la psychologie de la pensée et la logistique, il existe le même rapport que, par exemple, entre la géométrie du monde physique, d’une part, qui est une géométrie de physicien, une géométrie de l’objet réel, et qui se subordonne toujours à l’expérience ou à la mesure ; et d’autre part, la géométrie du géomètre, qui est une géométrie axiomatique, une théorie déductive.

La psychologie de la pensée et la logistique portent ainsi sur les mêmes questions, mais envisagées de deux points de vue. Ces deux points de vue n’interfèrent jamais en ce qui concerne les méthodes. Mais il y a toujours parallélisme des problèmes, c’est-à-dire que là où un problème est posé par le psychologue, on retrouve le même problème sur le terrain logique et vice-versa. Complète indépendance des méthodes, mais avec convergence des problèmes, telle sera donc notre ligne de conduite, et elle subsisterait inchangée même s’il fallait un jour intercaler entre la logistique et la psychologie de la pensée l’équivalent de ce qu’est la physique mathématique, située entre les mathématiques pures et la physique expérimentale : à savoir une description, en langage logistique, des opérations mentales comme telles.

C’est pourquoi je me suis intéressé à l’analyse logistique, et je me suis demandé ce que signifiait en logique cette réversibilité si importante au point de vue psychologique ; je me suis surtout occupé de chercher si l’on pouvait réduire les opérations logistiques à des structures d’ensemble caractérisées par la réversibilité, sous l’une ou l’antre des formes qu’elle comporte.

J’ai fait autrefois ce travail sur le terrain de la logique des classes et des relations et n’y reviendrai pas ici. Je me placerai d’emblée sur le terrain de la logique des propositions. J’aimerais vous soumettre un certain nombre de thèses à discuter d’abord du point de vue des opérations binaires, ensuite du point de vue des opérations ternaires.

On sait qu’il existe 16 opérations binaires dans la logique des propositions bivalentes, opérations telle que la disjonction, par exemple, p ∨ q, ou l’implication, p ⊃ q. Et chacun sait que ces opérations peuvent être mises sous une forme appelée forme normale, forme normale disjonctive ou forme normale conjonctive. Nous ne parlerons que de la forme normale disjonctive qui est, pour p ∨ q :

p ∨ q = (p . q) ∨ (p . q) ∨ (p . q)

Supposons que p signifie que telle famille animale est terrestre et q que tel ensemble est aquatique. Il y a alors trois possibilités : ou bien l’animal est terrestre et non aquatique ; ou il est aquatique [p. 144] et non terrestre ; ou bien il est tous les deux, c’est-à-dire amphibie.

La forme normale développe donc les trois possibilités contenues dans la disjonction.

L’implication sera :

(p . q) ∨ (p . q) ∨ (p . q),

qui correspond aux possibilités de p et de q à la fois, de p et de q, ou bien de p . q. Et ainsi de suite.

Cela rappelé, analysons ces 16 opérations binaires au point de vue de la réversibilité.

Introduisons d’abord la définition de l’opération inverse, que nous symboliserons par N, puisque l’inversion, c’est la négation. La négation de la disjonction sera ainsi qu’on appelle la négation conjointe, c’est-à-dire :

(p ∨ q) = (p . q).

On peut obtenir cette inversion de deux manières équivalentes. On peut appliquer la loi de dualité, c’est-à-dire remplacer le « ou » par le « et », donc le symbole de la disjonction (∨) par le symbole de la conjonction (.) en changeant les signes des propositions ; dans ce cas (p ∨ q) donne directement par application de la loi de dualité (p . q).

Mais on peut également définir — et cela revient identiquement au même — l’inversion, donc la négation, comme étant la complémentarité par rapport à ce qu’on appelle la tautologie ou affirmation complète, c’est-à-dire l’ensemble des quatre possibilités simultanées d’une opération binaire :

[(p . q) ∨ (p . q) ∨ (p . q)] ∨ [(p . q)].

Comme on le voit, le premier ensemble de ces trois couples correspond à la disjonction suivant la formule donnée à l’instant ; et d’un autre côté nous avons la complémentaire par rapport à ensemble des quatre couples, laquelle est ici la négation conjointe (p . q).

Une deuxième transformation peut être appelée la « réciprocité », et se définira également de deux manières équivalentes.

Nous pouvons d’abord appeler réciprocité la transformation qui consiste, étant donné une opération binaire donnée, à nier les propositions dont cette opération est composée, donc à nier non pas l’opération même, par exemple la disjonction (∨), mais les propositions p et q sur lesquelles elle porte. Nous écrirons cette transformation par réciprocité de la manière suivante :

R (p ∨ q) = (p ∨ q)

Or, p ∨ q revient à l’incompatibilité, qui sera donc la réciproque de la disjonction : p | q.

[p. 145] Voilà donc une première définition. Naturellement on peut appliquer cette négation des propositions également à la forme normale ; c’est même à la forme normale qu’il est le plus commode de recourir, et il s’agit toujours, en ce cas aussi, de la négation des propositions, en laissant telles quelles les opérations en jeu.

Mais on peut définir la réciprocité d’une autre manière et c’est en pensant à ce second sens possible que je l’appelle réciprocité. Dans le cas de l’implication : p ⊃ q, la réciproque est : q ⊃ p. Donc, la réciproque d’une implication est le produit de la permutation des deux propositions intervenant dans l’expression considérée.

Cette seconde définition revient exactement à la première, car p ⊃ q équivaut à q ⊃ p. La permutation des propositions d’une implication revient donc à la négation des propositions dont je parlais tout à l’heure.

Cette seconde définition de la réciproque par la permutation des termes d’une implication est d’ailleurs générale, puisqu’on peut exprimer sous forme d’implication n’importe quelle autre opération. Par exemple, la disjonction en termes d’implication s’écrit : p ⊃ q. Si l’on permute les termes, on obtient : q ⊃ p ; or, c’est là précisément l’incompatibilité : (q ⊃ p) = (p | q). Les deux définitions reviennent donc également ici au même.

Introduisons maintenant une troisième transformation que j’appellerai la « corrélative ». Je la définirai comme étant la transformation qui substitue la disjonction (∨) à la conjonction (.) et réciproquement, mais sans changer les signes des propositions. La corrélative de (p ∨ q) sera donc (p . q). De même la corrélative de l’incompatibilité (p | q) sera (p . q), puisque l’incompatibilité équivaut à (p ∨ q) et que, en remplaçant le « ou » par le « et », on obtient (p . q). La corrélative revient donc à permuter les deux opérations « ou » et « et », mais sans changer les signes des propositions en jeu.

Nous avons jusqu’ici trois transformations réversibles, ordinairement distinctes les unes des autres.

Or, chose très intéressante (et ceci nous ramène au problème général de la réversibilité), ces trois transformations, jointes à ce qu’on appelle la transformation « identique » (c’est-à-dire celle qui ne change pas l’expression en jeu), constituent ce que les mathématiciens appellent un « groupe », dont les quatre transformations qui seront donc l’identique, l’inversion, la réciprocité et la corrélativité : 1 N R C.

Par exemple, la réciproque de la négation sera toujours la corrélative : R N = C.

[p. 146] La négation de la réciproque sera également la corrélative : N R = C (R et N étant donc commutatifs).

De même, la négation de la corrélative sera la réciproque : N C = R ;

ou encore, la corrélative de la négative sera la réciproque : C N = R.

Autrement dit, deux quelconques des trois transformations N, R, ou C, donnent la troisième.

Par contre, trois quelconques de ces transformations donnent la quatrième ; par exemple la négation de la réciproque de la corrélative égale l’opération identique : N R C = 1. Et ainsi de suite.

Nous avons là, par conséquent, un groupe de transformations qui atteste l’existence non pas seulement d’une réversibilité fondamentale au sein des opérations logiques bivalentes, mais d’une double réversibilité : réversibilité eu égard à la négation, et réversibilité eu égard à la réciproque ; d’où le double sens du mot réversibilité. C’est cette double réversibilité qui constitue le groupe de quatre transformations. L’ensemble des seize opérations binaires peuvent ainsi être groupées du point de vue de ce groupe de quatre transformations que je viens de définir.

Prenons un premier exemple, dans lequel les quatre transformations sont toutes les quatre distinctes, c’est-à-dire que nous aurons un quaterne d’opérations ; chacune étant distincte des trois autres. C’est le cas de la disjonction qui aura pour réciproque l’incompatibilité, pour inverse la négation conjointe, et pour corrélative la conjonction (laquelle est donc, en même temps, la négation de l’incompatibilité) ; de même, la négation conjointe est la corrélative de l’incompatibilité. Enfin, on constate que ces deux opérations, conjonction et négation conjointe, sont réciproques l’une de l’autre. Soit :

Autrement dit, nous avons un système de quatre transformations : les inverses en diagonale, les corrélatives en verticale, les réciproques en horizontale (et les identiques sur place).

Il en est de même pour l’implication directe (p ⊃ q), dont la réciproque est p ⊃ q = q ⊃ p, l’inverse p . q et la corrélative p . q soit :

Il y a donc là deux quaternes complets d’opérations qui réalisent le groupe de transformations dont je parlais tout à l’heure.

Dans d’autres cas, il n’y a que deux opérations distinctes sur quatre, par exemple dans le cas de l’équivalence :

En ce cas, la réciproque est égale à l’opération identique. Quant à l’inverse, c’est l’exclusion réciproque symbolisée par le w pour la distinguer de la disjonction. Or, on sait que la formule de l’exclusion réciproque est :

(p . q) ∨ (p . q).

Donc, l’inverse de p = q sera l’exclusion réciproque ; l’inverse de R sera aussi l’exclusion réciproque. La corrélative, dans ce cas-là, est par conséquent égale à l’inverse.

Dans d’autres cas, on a R = N et C = 1. On a par contre toujours une inverse N distincte de 1 ; mais il est inutile d’allonger.

Je me résume donc en ce qui concerne les opérations binaires. Nous pouvons caractériser leur réversibilité par un groupe de transformations au moyen des quatre transformations de l’identique, de la négation, de la réciprocité et de la corrélativité ; et toutes les seize opérations rentrent dans de tels groupes. Ces groupes attestent donc la réversibilité fondamentale du système, et non pas seulement une réversibilité simple, mais une double réversibilité.

Je passe maintenant aux opérations ternaires. Les choses sont ici beaucoup plus compliquées, car, vous le savez, ces opérations ternaires ne sont pas au nombre de 16 comme les opérations binaires, mais bien au nombre de 256. En effet si l’on combine entre elles non plus deux opérations, p et q, avec leurs négations, mais trois opérations, p, q, r, on trouve 256 et non plus 16 possibilités. [p. 148] La forme complète, la forme qu’on appelle tautologique, contient pour sa part 8 possibilités et non pas quatre comme tout à l’heure. Ces 8 possibilités sont les suivantes :

(p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r)

Or, en choisissant parmi ces 8 trios, 0, un seul, ou deux, ou trois, ou quatre, etc., jusqu’aux huit en leur ensemble, suivant les lois bien connues des combinaisons, l’on a effectivement 256 possibilités.

Comment donc analyser ces 256 possibilités du point de vue de la réversibilité, c’est-à-dire du point de vue du groupe fondamental de quatre transformations que j’indiquais tout à l’heure ?

Si nous partons de la forme normale, la chose est très facile : nous retombons sur les mêmes définitions et constatations. Prenons, par exemple, une opération quelconque (p . q . r) ∨ (p . q . r), formée de deux des 8 trios écrits tout à l’heure. Étant donnée cette opération-là que je vais appeler x et dont je ne connais pas a priori la signification, il est évident que je puis appliquer les définitions dont je parlais tout à l’heure, c’est-à-dire nier x : par définition la négation de ces deux trios sera donc formée par l’ensemble des six autres, soit :

x = (p . q . r) ∨ (p . q . r)

Nx : = (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r).

En second lieu, je puis calculer la réciproque de x : ce sera, par définition, l’expression formée par les mêmes propositions niées :

Rx = (p . q . r) ∨ (p . q . r).

Et enfin, je puis calculer la corrélative en permutant les « ou » par le « et » ; ou je puis directement atteindre la corrélative en prenant l’inverse de la réciproque :

Cx = (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r).

Je retrouve ainsi mon groupe et cela va de soi. Mais l’intéressant, c’est de donner une signification concrète à ces transformations, et de réduire les 256 possibilités ternaires à des mécanismes binaires obéissant à ces mêmes lois de groupe.

Tout d’abord, comme Marcel Boll l’a déjà esquissé dans son Manuel, il est facile de réduire les opérations ternaires à des opérations binaires ou uninaires.

Dans 152 cas, les expressions ternaires sont réductibles à une [p. 149] opération uninaire (c’est-à-dire une seule proposition), jointe à une opération binaire ; par exemple :

[(p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r)] = [p . (q ∨ r)].

Dans 80 cas, on trouve une double opération binaire, par exemple :

[(p . q . r) ∨ (p . q . r)] = [p = q . (q = r)].

Dans 16 cas, on trouve des expressions uninaires-binaires doubles ; et dans 8 cas, des expressions binaires-binaires doubles.

Donc, dans tous les cas, il est possible d’exprimer l’opération ternaire dans un langage binaire.

Nous distinguerons alors deux sortes d’opérations dans des expressions uninaires-binaires ou binaires-binaires de ce genre. J’appellerai « opérations composantes » celles qui relient les deux opérations binaires l’une à l’autre, ou qui relient l’opération uninaire à l’opération binaire. Dans les deux exemples cités, j’ai choisi comme opération composante la conjonction (le point) : il est en effet plus commode de n’utiliser qu’une seule opération composante, qui sera toujours ou bien la conjonction, ou bien, dans le cas inverse, l’incompatibilité (négation de la conjonction) :

(p = q) . (q = r) ou (p = q) | (q = r).

J’appellerai, au contraire, « opérations composées » les opérations ainsi réunies par l’opération composante, donc celles qui interviennent dans l’opération binaire. L’opération uninaire n’en comporte naturellement pas de spéciale puisqu’elle est uninaire : plus précisément, elle constitue elle-même l’une des deux opérations composées.

Donc, les opérations composées sont les opérations binaires intervenant dans l’expression complexe, tandis que l’opération composante (toujours unique) sera celle qui réunit les deux opérations composées.

Ces définitions posées, nous constatons un fait très intéressant c’est qu’on peut, en présence d’expressions de ce genre, passer directement de telle expression à son inverse, à sa réciproque et à sa corrélative.

Pour trouver l’inverse, il suffit d’inverser l’opération composante ; c’est-à-dire qu’on remplace le « et » (.) par l’incompatibilité (/), qui est sa négation.

Pour obtenir la réciproque, on laisse invariante l’opération composante, et on prend simplement la réciproque des composées. Par exemple [p . (q ∨ r)], donnera comme réciproque [p . (q ∨ r)], ce qui revient à [p . (q | r)]. Cette opération sera donc la réciproque de la précédente : il est facile de le vérifier sur la forme normale, où il y a simplement permutation des affirmations et négations.

[p. 150] De même, pour obtenir la corrélative, il suffira de prendre la corrélative à la fois des composées et de la composante.

C’est ainsi que, sans sortir de la logique binaire, on peut calculer les quatre transformations dont je parlais tout à l’heure. Il suffit d’appliquer directement les formules obtenues par le calcul binaire, et l’on retrouve les mêmes structures de groupe : on obtient d’abord 56 quaternes complets au lieu des 2 quaternes complets qu’on trouve dans le cas des opérations binaires ; dans 8 cas on trouve des couples tels que la réciproque égale l’identique, et par conséquent la corrélative égale l’inverse ; et dans 8 autres cas, on trouve que la réciproque égale l’inverse, et donc la corrélative l’identique. Autrement dit, on retrouve exactement le même schéma, mais avec prédominance beaucoup plus grande des quaternes complets, dont il existe 56 possibilités.

Mais le grand intérêt de ces opérations ternaires, au point de vue de la réversibilité, est que, une fois obtenus ces 56 quaternes, ou ces 16 couples, il est possible de passer d’un quaterne à l’autre, grâce à l’introduction de transformations nouvelles.

Dans le cas des opérations binaires que je décrivais tout à l’heure, j’ai simplement montré l’existence de deux quaternes obéissant chacun pour son compte à la même structure de groupe. Mais je n’ai pas indiqué d’opération permettant de passer de l’un de ces quaternes à l’autre ; il y a réversibilité intérieure pour chaque système, mais cette réversibilité élémentaire ne permet pas à elle seule de procéder d’un système à l’autre.

Mais il existe des transformations assurant ce passage, et, dans le cas des opérations ternaires, une fois posés et décrits les 56 quaternes complets et les 16 couples avec deux opérations non distinctes, on peut s’amuser à définir de nouvelles opérations qui, cette fois, permettront de sauter à volonté d’un quaterne ou d’un couple à un autre : telle sera, par exemple, la permutation des opérations composées dans le cas d’une expression binaire-binaire.

Supposons ainsi une expression dans le genre de celle-ci :

(p ⊃ q) . (q ∨ r).

Nous pouvons alors permuter l’implication et le « ou » ; ce qui donnera :

Il y a donc permutation avec deux sens possibles, et ces nouvelles expressions vont engendrer un nouveau quaterne : nous trouverons ainsi un groupe de huit transformations ou davantage encore.

[p. 151] Autre opération : je puis permuter le moyen terme. Soit l’expression (p ⊃ q) . (q ∨ r). Elle comporte un moyen terme : la proposition q revenant dans les deux liaisons. Au lieu de ce moyen terme, je puis choisir comme moyen terme p, ce qui transformera l’expression précédente en (p ⊃ q) . (p ∨ r), par permutation des moyens termes p et q. Ou bien, je peux prendre comme moyen terme la proposition r, d’où l’expression (r ⊃ q) . (p ∨ r).

Ces permutations du moyen terme ont une histoire en logique : Leibniz s’y est intéressé. Il est passé d’une formule à une autre pour transformer un syllogisme d’une certaine figure en un autre syllogisme d’une autre figure, ce qui aboutit, par exemple, à la négation du premier. Cette permutation du moyen terme présente donc une signification très concrète dans l’histoire de la logique classique.

On peut de même introduire ce qu’on peut appeler des semi-réciprocités : par exemple, sans toucher le premier membre de la liaison binaire-binaire, on peut remplacer la disjonction (q ∨ r) par sa réciproque (q / r), et calculer les résultats de cette transformation sur chacun des quaternes du groupe de quatre transformations.

Ce que l’on trouve alors, ce sont des systèmes tout à fait intéressants dans leur complexité. J’en écrirai un, à titre d’exemple, que je ne vais pas commenter dans le détail pour ne pas allonger :

Passage de I en II ou de III en IV : permutation des opérations composées ¹.

Passage de I en III ou de II en IV : semi-réciprocité (des implications).

Je pars d’une opération binaire-binaire : r ⊃ p . q ∨ r.

Elle fera partie d’un quaterne où je retrouve le groupe des [p. 152] quatre transformations avec la réciproque, l’inverse et la corrélative. J’ai obtenu la réciproque en permutant les termes de l’implication, et en remplaçant la disjonction par l’incompatibilité : p ⊃ r . q | r. Je retrouve l’inverse, l’incompatibilité remplaçant la conjonction. Et je retrouve la corrélative qui est la négation de la réciproque. J’ai donc là un groupe de quatre, comme dans le domaine binaire.

Trois autres quaternes réalisent ensuite le même système de quatre transformations, mais je puis passer d’un quaterne dans l’autre. J’ai donné ici comme exemple d’instrument de passage la permutation des opérations composées, c’est-à-dire que je permute la disjonction (ou l’incompatibilité) et l’implication (passage de I en II et de III en IV), ainsi que la semi-réciprocité ou permutation des termes de l’implication (passage de I en III et de II en IV).

De même, on peut, utiliser en d’autres cas une nouvelle permutation : celle du moyen terme et construire, en combinant ces diverses transformations, des groupes d’une complexité très grande, réunissant 48 ou 96 opérations en un seul système.

Ceci étant posé, demandons-nous — et j’en viens à ma conclusion — à quoi servent ces recherches.

D’abord je me suis posé ce problème en psychologue : je voulais voir jusqu’où menait cette notion de réversibilité dans le système des opérations logiques, c’est-à-dire dans un modèle abstrait, au lieu de me borner aux observations concrètes faites en étudiant le développement de l’intelligence. Or, nous constatons que cette réversibilité apparaît comme un mécanisme absolument fondamental de la logique des propositions elles-mêmes, puisqu’on retrouve la structure des groupes dans des ensembles de la complexité que vous venez de voir. Mais ce n’est pas du point de vue psychologique que je conclurai : c’est du point de vue logique lui-même.

Quel est alors le sens de la réversibilité ? Elle constitue, semble-t-il, c’est le critère le plus général de la non-contradiction. On peut exprimer le principe de non-contradiction dans le langage de la réversibilité. Quand on écrit : p . p = 0, on peut soutenir qu’il y a là le produit d’une opération directe et de son inverse : le produit de l’opération directe et de son inverse est nul. Voilà l’expression de la non-contradiction.

On peut l’exprimer sous une forme uninaire, comme on le fait classiquement ; mais on peut le faire tout aussi bien sous une forme binaire, et écrire :

(p ∨ q) . (p . q) = 0.

[p. 153] Nous pouvons alors conclure que, si le non-contradictoire tient à l’annulation d’une opération directe et de son inverse, est contradictoire tout produit non nul d’une opération et de son inverse.

Quand les mathématiciens écrivent, comme c’est souvent l’usage la contradiction par le symbole : 0 ≠ 0, ou : 0 = 0, cela revient à dire : zéro étant le produit d’une opération et de son inverse, si zéro n’est plus égal à zéro, c’est que la composition d’une opération et de son inverse aboutit à un produit non nul.

La réversibilité apparaît ainsi comme le critère le plus fondamental de la non-contradiction.

Seulement, la réversibilité n’est qu’un cadre général qu’on retrouve dans tous les domaines. Elle est fondamentale en logique, comme j’espère vous l’avoir montré ; elle est fondamentale en mathématique, puisque toute opération comporte soit une inverse, soit une réciproque, puisque la notion de groupe qui repose sur l’inversion, est une des notions centrales de la pensée mathématique et que la notion de réseau, peut-être plus générale encore, repose de son côté sur la réciprocité.

Dire simplement que le non-contradictoire, c’est le réversible, est-ce donc préciser suffisamment ce qu’est le non-contradictoire ? Ne faut-il pas distinguer différents types de non-contradiction ? C’est là précisément le problème par lequel j’aimerais conclure.

Il semble qu’il y ait deux sortes de liaisons à considérer à cet égard. Il y a d’abord des liaisons dans lesquelles nous n’avons à faire qu’à des relations de partie à tout. Pour simplifier, je traduis la chose non pas en termes de propositions, mais en termes de classes : soit une partie A, incluse en un tout B, et une partie complémentaire A’ :

Il existe alors des liaisons se réduisant uniquement, du point de vue de la quantité, à cette affirmation que la partie est plus petite que le tout :

A < B et A’ < B

Mais l’on ignore en ce cas toute relation quantitative entre une partie et l’autre partie : l’une est simplement la complémentaire de l’autre par rapport au tout, et il faut donc toujours [p. 154] passer par le tout pour mettre en relation une partie avec l’autre partie. C’est le cas usuel de l’opération logique en logique qualitative.

Nous savons par exemple que les invertébrés sont moins nombreux que les animaux ; et de même que les vertébrés sont moins nombreux que les animaux ; mais nous ne savons pas si les vertébrés sont moins ou plus nombreux que les invertébrés. Nous savons que les vertébrés sont tous les animaux moins les invertébrés, et que les invertébrés sont tous les animaux moins les vertébrés : nous ne connaissons donc que le rapport d’inclusion et le rapport de complémentarité, et n’avons besoin de rien d’autre.

Tout ce que nous avons vu de la logique des propositions est réductible à ces deux rapports d’inclusion et de complémentarité : il n’y a pas autre chose, dans tout ce que nous avons dit des inversions, réciprocités ou corrélativités, que l’application de ces deux rapports, rapport de complémentarité qui permet de définir la négation (l’inversion), ou rapport d’inclusion des propositions, sur lequel repose la réciprocité (la négation des propositions étant elle-même une complémentarité, mais détaillée dans le cas de chaque proposition). Il n’y a donc pas autre chose en logique bivalente que ces rapports de partie à tout, sans aucune relation directe entre les parties comme telles, leurs relations consistant toujours à passer par l’intermédiaire du tout.

Par contre, nous pouvons concevoir d’autres opérations qui feront intervenir les rapports de partie à partie, des parties entre elles. Mais ces opérations dépassent le cadre de la logique bivalente : elles interviennent en mathématique, en plus des relations de partie à tout.

Telle est, par exemple, une notion courante en théorie des ensembles : la notion du presque tous, c’est-à-dire tous moins un ensemble faiblement représenté, moins un ensemble fini. Le presque tous implique que A soit beaucoup plus grand que A’ : A > A’. C’est donc un rapport direct entre les parties, et non pas seulement entre la partie et le tout. Dès que nous avons à faire à des notions arithmétiques ou géométriques, qu’elles soient qualitatives ou métriques, — et même dans le domaine qualitatif où interviennent des ensembles infinis — dès qu’intervient le presque tous, nous avons à faire à de nouveaux systèmes d’opérations que j’appellerai extensives par rapport aux opérations intensives ne connaissant que la partie et le tout.

Le problème par lequel je terminerai cet exposé est le suivant : la réversibilité, critère général de la non-contradiction, est-elle [p. 155] la même lorsqu’il s’agit d’opérations intensives, ne connaissant que la complémentarité et l’inclusion, ou lorsqu’il s’agit de groupes plus différenciés, supposant les relations extensives, telles que les correspondances entre ensembles, les équipotences, par conséquent le nombre et tout ce qui s’ensuit ?

Je crois que ces deux cas sont fort différents. Si la réversibilité est le critère général de la non-contradiction, il y aura autant de types de réversibilité qu’il y a de structures opératoires d’ensemble différentes, et la non-contradiction logique ne suffira pas à rendre compte de la non-contradiction d’un système d’ensemble mieux structuré, en particulier d’un système extensif et pas seulement intensif.

Je crois que si l’on n’a jamais réussi à démontrer, et même comme Gödel l’a prouvé dans une démonstration célèbre, si l’on ne peut pas espérer démontrer par des moyens purement logiques la non-contradiction de l’arithmétique, cela tient précisément au type et au système d’opérations qui interviennent en logique. Il y a des éléments communs entre la non-contradiction logique et la non-contradiction arithmétique : c’est la réversibilité, principe général de rationalité ; mais il y a autant de types de réversibilité qu’il y a de systèmes d’ensemble d’opérations.

En logique n’interviennent que des systèmes d’opérations très simples, malgré la complexité apparente du formulaire, car l’on a seulement à faire à l’inverse et à la réciproque (ou à la corrélative qui est elle-même une inverse de la réciproque) ; tandis que, en faisant intervenir, avec le nombre, les rapports de partie à partie, on engendre des systèmes opératoires beaucoup plus complexes, et une certaine réversibilité sera liée à la structure de tels systèmes irréductibles aux premiers. Nous ne pouvons pas alors appliquer dans le détail le système intensif au système extensif, celui-ci supposant des relations non comprises dans celui-là.

Autrement dit, je poserai la question suivante : la contradiction est-elle la même à dire qu’un animal est à la fois un oiseau et un poisson — pour prendre un exemple de logique qualitative pure — ou à dire que 4 moins 4 font autre chose que 0 ? Je crois que la contradiction est beaucoup plus forte dans le second cas que dans le premier. Dans le premier cas, nous avons à faire à un simple classement, dont les inclusions ou les complémentarités ne sont pas comparables à la loi d’addition de l’unité qui engendre les entiers : la contradiction n’intéresse alors que quelques emboîtements, tandis que, dans le second cas, elle ébranle le système [p. 156] entier. Les structures d’ensemble diffèrent, donc essentiellement, dans les deux cas, et le fond de la question, en ce qui concerne la non-contradiction, paraît alors tenir à la complexité de la structure d’ensemble et non pas aux opérations isolables.

En effet, les structures d’ensemble jouent un aussi grand rôle en logique qu’en psychologie. La logique a été trop atomistique, semble-t-il, par exemple, dans sa tradition russellienne qui consiste à analyser les rapports entre propositions indépendamment de leurs structures totales. Le problème essentiel paraît donc être, en logique et en psychologie, celui des structures opératoires, elles-mêmes, envisagées dans leurs totalités ; et un tel problème ne peut qu’éclairer des questions délicates comme celle de la non-contradiction en général.

M. Bréhier. — Je remercie M. Piaget de cette admirable communication qui nous a beaucoup instruits, et nous a aussi plongés dans un certain nombre de doutes. Et vous êtes arrivé à poser des questions, ce qui est véritablement le rôle du philosophe, plutôt qu’à en indiquer les solutions !

M. Ullmo. — J’ai été très profondément intéressé par l’exposé de M. Piaget, qui en effet semble ouvrir des perspectives considérables. Je tiens à le remercier très profondément en mon nom personnel de ce qu’il nous a apporté ici ; et je me permettrai de lui soumettre certaines réflexions venues à l’esprit de façon brève et incomplète puisqu’il faudrait une réflexion considérable pour être en mesure de traiter ces sujets.

D’abord, une toute petite critique qui sera, je crois, utile lorsque vos écrits seront lus par des mathématiciens : c’est une critique de vocabulaire. Vous employez le mot « groupe » dans deux sens différents, ce qui complique l’exposé. En mathématique, nous réservons ce mot à un ensemble d’opérations : ici opérations d’identité, de corrélation, de réciprocité et d’inversion. En effet, ces quatre opérations constituent un groupe. Mais, pour éviter les confusions, nous ne dirions pas ensuite que les quaternes, c’est-à-dire le résultat de l’application de ces opérations à certains objets (qui sont ici aussi des opérations, mais le point est tout à fait secondaire), constituent des groupes : nous disons des classes d’objets, ou des sous-espaces, ou des sous-ensembles.

Je crois qu’il y aurait intérêt, systématiquement, à éviter cette double acceptation. C’est une remarque de détail dont je m’excuse, mais qui sera utile pour la confrontation avec les mathématiciens.

[p. 157] Le second point est beaucoup plus important. Je tiens à dire que je me sens en accord extrêmement profond avec M. Piaget sur la primauté qu’il donne, en somme, à la notion de groupe dans les opérations de la pensée, de groupe proprement dit au sens mathématique. Je dois même dire que j’ai entrepris depuis longtemps un travail dans ce sens. Je croyais pouvoir affirmer que le succès de l’application de la pensée au monde extérieur, soit sous forme de pensée logique, soit sous forme de pensée mathématique, était dû justement à cette structure de groupe qui est commune à la démarche de la pensée et au monde extérieur en tant qu’il est connaissable. Je ne peux pas développer ce point, mais dans cette perspective la primauté de la notion de groupe me paraît absolument essentielle ; et je croyais qu’on pouvait y ramener l’ensemble des mathématiques. Je partageais là une idée de votre collègue M. Juvet.

Je ne suis pas un mathématicien particulièrement spécialiste, mais les mathématiciens de l’école de Bourbaki n’accepteraient plus une vue de ce genre. Je vais en deux mots vous exposer un élément positif dans le sens de cette vue, et ensuite la contradiction qu’y apporteraient MM. André Weill, N. Bourbaki, ou J. Dieudonné, s’ils étaient présents.

Sur le premier point, je pense en effet que ce qui est essentiel à la notion de groupe, c’est bien la notion de réversibilité. La définition générale du groupe est la suivante : on a un groupe de transformations lorsque, d’une part, le produit de deux d’entre elles fait encore partie de l’ensemble, et, d’autre part, lorsque à chaque opération correspond son inverse qui permet de la détruire, de l’annuler.

Or, il est très suggestif de réunir ces deux définitions en une, et de dire : un ensemble de transformations constitue un groupe lorsqu’on peut toujours détruire l’effet d’un nombre quelconque d’entre elles appliquées successivement par l’une d’entre elles. C’est la définition précise de la réversibilité et c’est celle du groupe : les deux choses sont strictement équivalentes. Et c’est d’ailleurs là-dessus que s’appuie cette sorte de condition nécessaire du critère des groupes pour l’exploration physique du monde à laquelle je faisais allusion tout à l’heure.

Nous sommes donc en profond accord sous ce rapport. La notion d’invariant de groupe rejoint aussi exactement notre conception de l’équilibre de la pensée.

Évidemment, à la fin de votre exposé, quand vous avez opposé un sous-espace invariant à un autre par des transformations d’un type nouveau, j’ai l’impression que vous êtes sorti des mathématiques [p. 158] traditionnelles ; mais je ne doute pas que M. Von Neumann ne saurait vous décrire en langage structurel les opérations faites.

Ce que je veux dire en tant qu’objection n’est pas dans mon esprit, mais ce sera certainement dans l’esprit des mathématiciens qui vous liront : il semble qu’ils tendent à considérer des structures beaucoup plus générales que celles que vous décrivez, et en particulier des structures dans lesquelles à une opération ne correspond pas d’inverse.

Dans ces conditions, que faut-il penser de ces structures qui ont leur place en mathématiques ? Que pourra-t-on dire de la fin de votre exposé sous ce rapport ? Est-ce que, dans de telles axiomatiques de structures qui semblent parfaitement valables, la non-contradiction est encore en relation directe avec la réversibilité ? Je ne le sais pas. Je vous pose la question.

M. Piaget. — J’aimerais remercier très vivement M. Ullmo de son intervention et dire que je suis complètement d’accord avec lui.

Je crois la notion de groupe fondamentale, mais je ne crois pas qu’elle épuise toute la structure des opérations logiques. C’est que, à côté des transformations comme telles, 1, N, R et C, il y a encore à considérer les emboîtements eux-mêmes ; or, étant admise précisément la définition de l’intensif que j’ai donnée tout à l’heure, ces emboîtements comme tels ne sont pas réductibles au groupe. Le groupe ne fait qu’exprimer un des aspects du système d’ensemble. L’aspect le plus général de ce système d’ensemble suppose, en plus du groupe, des opérations qui témoignent non pas seulement d’emboîtements, mais d’auto-emboîtements.

Par exemple, si (p ∨ q = q), ce qui est possible, dans le cas où p est une partie de q, alors :

(p ∨ q = q) ⊃ (p . q = p).

Cette proposition fait appel à des auto-emboîtements qui impliquent ce qu’on a appelé longtemps la tautologie en logique des classes.

Reprenons notre symbolisme A et B :

A + B = B, alors : A × B = A.

Ces opérations-là n’interviennent pas dans le groupe décrit plus haut ; mais elles interviennent par contre dans une structure plus générale qui est le réseau. Or, on sait que la logique des propositions est réductible à un réseau, avec comme borne supérieure l’opération « ou », et comme borne inférieure l’opération « et ». Sans doute le réseau, sous sa forme générale ignore-t-il [p. 159] l’inversion mais il repose toujours sur la réciprocité, qui est l’une des deux formes essentielles de la réversibilité. En outre, le rapport entre la borne supérieure et la borne inférieure est un rapport particulier de corrélativité. Il y a donc toujours réversibilité sous l’une ou l’autre de ses formes.

Pour ma part, j’introduirais d’ailleurs un terme intermédiaire : le réseau me paraît trop large, le groupe me paraît trop étroit, car il n’y a pas associativité entre l’opération inverse et les opérations d’auto-emboîtement (idempotence) : j’introduirais donc une notion intermédiaire entre le groupe et le réseau, le « groupement », qui comporterait les opérations du groupe, plus ces opérations-là, que l’on peut calculer. Je reviendrai sur tout cela est dans un ouvrage qui va paraître prochainement, sur « les transformations des opérations logiques ».

M. Benda. — Je voudrais revenir à la base de la conférence de M. Piaget, à savoir son opposition entre l’opération irréversible, dont il a donné un excellent exemple — l’habitude — , et l’opération réversible. Je crois que c’est là une opposition que j’ai vue dans tous ses ouvrages, par exemple, récemment, dans sa Psychologie de l’Intelligence, entre la pensée-action d’une part, et la pensée-intelligence de l’autre ; dans son ouvrage sur les Classes, relations et nombres, l’opposition entre l’opération rigide — dit-il — de la perception et l’opération mobile du jugement.

Je voudrais poser cette question qui, au fond, est en dehors de la conférence, mais qui a un intérêt tout à fait général. M. Piaget pense-t-il que, entre ces deux opérations, disons de l’irréversible et du réversible, il y a continuité, ou au contraire qu’on ne peut pas passer par continuité de la première à la seconde ?

Je n’apprends pas à notre auditoire qu’il y a toute une philosophie, particulièrement l’existentialisme, et qui en cela dérive directement du bergsonisme — encore qu’il ne prononce jamais son nom — qui prétend que, partant de la vie totalement inintellectuelle, on arrive à l’intelligence par continuité. Je compte, dans un prochain travail, montrer l’intenabilité d’une telle position, et généralement la fausseté du fameux adage « Natura non facit saltus » ; qu’au contraire, dans l’ordre physique, chimique et psychologique, celui qui nous intéresse ici, la nature procède à tout instant par à-coups, parce qu’un philosophe célèbre a appelé des « commencements absolus ».

Je pense donc, dans ce travail, m’appuyer, pour admettre la discontinuité entre la pure vie inintellectuelle et la vie intellectuelle, sur la pensée du conférencier. Et je voudrais savoir si vraiment [p. 160] je suis fidèle à sa thèse, ou si elle diffère de ce que je crois.

M. Piaget. — Je remercie infiniment M. Benda de cette remarque.

Sa question est bien délicate et difficile. Si nous comparons l’intelligence avec ses opérations réversibles, à des fonctions mentales comme l’habitude, la perception, jamais on ne trouvera la continuité complète : c’est entendu. Mais si nous prenons des stades d’intelligence pré-opératoires, comme on en voit chez l’enfant, il y a là une continuité jusqu’à un point-limite qui est l’arrivée à la réversibilité. Ce point-limite marque une transformation qualitative. On peut dire qu’il y a continuité chronologique, puis un saut au point-limite précis où le réversible est parfois l’occasion de réorganisations brusques.

M. Benda. — … qui peut-être se fonde sur les données qu’elle trouve dans l’irréversible, mais pour en faire un arrangement qui n’est nullement inscrit dans l’irréversible ; ce qui est tout de même une forme de discontinuité.

M. Piaget. — Oui, d’accord.

M. Césari. — Je voudrais simplement poser une question. M. Piaget nous a donné l’énoncé du principe de non-contradiction ; ensuite il nous a dit que la non-contradiction était différente dans toutes sortes de domaines. Aussi je me demande si la multiplication d’une opération et de son inverse suffit à définir la non-contradiction, ou bien si la non-contradiction peut être autrement définie.

Le principe de non-contradiction s’applique aussi bien dans les opérations de réciprocité et de complémentarité, sans qu’il s’agisse d’inversion. Alors, n’y a-t-il pas une sorte de non-contradiction qui serait au-dessus de tout formalisme ?

M. Destouches, par exemple, reconnaissait, dans une discussion qui a eu lieu ici, qu’il y avait un principe qui subsistait derrière la débâcle des principes logiques, c’était le principe de non-contradiction. Quel est alors ce principe ? Il ne peut pas être défini comme la multiplication d’une opération et de son inverse, puisque vous considérez d’autre part que, s’il s’agit d’opérations intensives ou d’opérations extensives, le principe sera différent, et même j’ai l’impression qu’il sera différent d’une manière plus nuancée.

[p. 161] Je voudrais, d’autre part, savoir quel rapport ce principe entretient exactement avec celui de réversibilité. Quand je suis les travaux de psychologie de l’enfant de M. Piaget, il me semble que la réversibilité consiste à pouvoir changer de point de vue. C’est-à-dire que la réversibilité est quelque chose d’assez vague qui se précisera dans la suite.

La réversibilité rigoureusement logique se rattache à la théorie des groupes. Si au moins la réversibilité, et par suite la non-contradiction se définissaient par le groupe, ce serait parfait ; mais puisqu’il est nécessaire d’en sortir, de nouveau se pose la question des rapports de la non-contradiction comme multiplication d’une opération par son inverse, et de la non-contradiction nuancée.

M. Piaget. — Je remercie beaucoup M. Césari de ses questions.

Pour ce qui est de l’enfant, il part bien entendu de formes plus ou moins vagues de réversibilité, qui sont de simples changements de point de vue, en relation avec la réciprocité sociale. Mais il parvient dès 7-8 ans à des formes très précises ; en tout ce qui touche au développement de l’espace ou du temps, l’on peut suivre pas à pas les progrès de la réversibilité opératoire sous une forme de plus en plus logique.

La question que M. Césari me pose sur le principe de contradiction est très complexe. D’abord, j’ai peut-être été trop restreint en parlant d’une opération et de son inverse : des considérations analogues s’appliquent bien entendu à la réciproque, c’est-à-dire que la réciproque aussi est involutive. La réciproque de la réciproque nous ramène à l’identique :

R R = 1.

La non-contradiction en général tiendrait ainsi à l’annulation toujours possible d’une transformation (réversibilité au sens le plus général du terme). Pour ma part, j’ai beaucoup de peine à croire à un principe de non-contradiction extérieur aux structures et aux systèmes qui permettent de le formuler, parce qu’alors on en est réduit, quand on invoque ce principe de contradiction supérieur aux formes concrètes de pensée, à l’affirmer permanent, intangible, mais à concéder qu’on l’applique différemment en chaque cas spécial.

M. Césari. — Dans ce cas-là, n’y aurait-il pas quelque chose de vain dans la recherche de la non-contradiction en arithmétique, car cette fois pour savoir ce que l’on cherche, il faut la formuler avec précision ?

[p. 162] M. Piaget. — Le problème de la non-contradiction se transforme alors en celui du rapport entre les structures d’ensemble logiques et des structures d’ensemble mathématiques.

M. Césari. — Que veut dire exactement non-contradiction en arithmétique ?

M. Piaget. — C’est la forme de réversibilité intervenant dans les anneaux, dans les corps, dans les groupes arithmétiques, dans les multiples structures impliquant l’itération de l’unité.

M. Césari. — Dans le théorème de Gödel, on cherche à établir qu’on n’arrivera pas à une formule telle que zéro différent de zéro ; si bien que cela revient à la non-contradiction, comme une multiplication d’une opération et de son inverse égale zéro.

M. Piaget. — Oui, mais il ne s’agit plus d’une inverse au même sens que l’inverse de la logique : n − n = 0 est plus riche que p . p = 0.

M. Bréhier. — M. Piaget nous a suggéré qu’il y avait une autre contradiction que la contradiction logique : c’est évidemment ce qui inquiète M. Césari, et peut-être aussi un certain nombre d’entre nous.

Il me reste à remercier M. Piaget. Il y a, dans l’ensemble de ses travaux, quelque chose d’infiniment intéressant et d’infiniment paradoxal à la fois : il a découvert par la psychologie de l’enfant que l’enfant, de lui-même, allait spontanément non pas vers les mathématiques qu’on lui enseigne à l’école, mais vers ces mathématiques supérieures que les mathématiciens ont découvertes consciemment. De sorte qu’il y aurait une espèce de mathématique inconsciente chez l’enfant qui correspondrait, si je comprends bien, à cette mathématique supérieure qui vient d’être découverte ?

M. Piaget. — Je pense qu’il y a un parallélisme entre ce qui est premier génétiquement et ce qui est premier axiomatiquement, et que les mathématiciens en faisant un travail d’analyse de ces principes rejoignent le fondamental psychologique, et réciproquement, beaucoup plus que ce qui nous est apparu comme premier ou élémentaire dans l’ordre didactique ou dans l’ordre de l’histoire des mathématiques.

[p. 163] M. Bréhier. — À notre point de vue, à nous autres philosophes, c’est là ce qui est véritablement intéressant ; ici comme partout la notion de structure remplace la notion de genèse, c’est-à-dire qu’on décrit bien des genèses, mais au moyen des structures.

Il me reste à remercier encore M. Piaget, et à lui dire avec quel intérêt nous l’avons écouté.