Note sur la comparaison de lignes perpendiculaires égales (1956) ^{1 a} 🔗

Précisons d’abord la signification des symboles dont nous nous servirons. En ce qui concerne les positions normales (fig. 1 à 3) nous appellerons Vi la « verticale indivise » représentée par la ligne A qui peut être déplacée sur la gauche ou sur la droite. Nous nommerons, d’autre part, Hd 1’« horizontale divisée » représentée par la ligne B immobile, qui est divisée en deux segments A^,1 et A^,2. Lorsque l’un des segments devient nul (fig. 3), nous continuerons d’employer le symbole Hd, étant entendu que H reste « divisible » (d) et que cette position extrême n’est que le cas limite des divisions antérieures.

En ce qui concerne les positions renversées (fig. 4-6), la ligne A sera appelée Vd (= verticale divisée, y compris les cas extrêmes des fig. 6 ou 3) et la ligne B sera nommée Hi (= horizontale indivise).

Vi, Vd, Hi et Hd sont de longueur constante (5 cm).

¹ M. P. Fraisse et M^mo Vautrey ont d’ailleurs étudié à 5-6 ans, 9-10 ans et chez l’adulte, en vision libre et au tachistoscope, la figure classique I avec illusion maximale. Nous reviendrons sur la figure en équerre L dans une Recherche suivante, en fonction de l’âge et de l’exercice.

Nous appellerons, d’autre part, figures I, II, III, IV, V, VI les figures (en position normale) telles que la ligne divisante atteigne respectivement la ligne divisée en son point médian (fig. 1) ou à 5, 10, 15, 20 et 25 mm de ce point médian sur la gauche (la fig. VI, pour 25 mm, est donc en forme de L). Les figures II bis, III bis, IV bis, V bis et VI bis correspondent aux points symétriques de 5 à 25 mm sur la droite. Enfin nous appellerons Γ à VI’ et II’ bis à VI’ bis les figures correspondantes en position renversée (les figures bis étant alors celles où Hi est en dessous du médian de Vd).

Les figures sont dessinées à l’encre de Chine sur des cartons carrés de 16 cm de côté.

Dans le cas des comparaisons internes de la verticale et de l’horizontale pour chaque figure (§ 2), nous avons demandé cinq jugements par sujet et par figure en présentant les figures dans un ordre irrégulier.

Dans le cas des comparaisons des verticales entre elles ou des horizontales entre elles d’une figure à l’autre (§ 3), chaque figure donne lieu à six estimations par sujet, dont trois à gauche et trois à droite alternant entre elles.

De même, dans le cas de la comparaison des différences entre verticales et horizontales de chaque figure à chacune des autres (§ 4), chaque comparaison a été effectuée six fois, soit trois fois à gauche et trois fois à droite (nous n’avons jamais demandé de comparer une figure dont la ligne divisante est à gauche, avec une figure dont la ligne divisante est à droite ou inversement).

Admettons avec les traités que si, dans la figure classique de ce genre d’illusions (fig. 1), la verticale indivise Vi paraît plus grande que l’horizontale divisée Hd, c’est en tant seulement qu’elle est verticale. En ce cas, non seulement on devra retrouver le même effet sur toutes les figures I à VI et I à VI bis, mais encore il faudra s’attendre à observer l’effet inverse si la ligne divisée devient verticale (Vd) et la ligne indivise devient horizontale (Hi) comme sur les figures Γ à VI’ (et 1’ à VI’ bis). C’est donc ce qu’il nous faut vérifier tout d’abord.

Pour ce qui est, en premier lieu, des figures I à VI et à VI bis, l’expérience semble confirmer le rôle de la verticalité, en ce sens que la droite Vi est bien surestimée dans toutes les positions (voir tabl. 1, portant sur 10 sujets adultes) :

Tableau 1. Comparaisons internes de la verticale et de l’horizontale sur
chacune des figures en position normale (I à VI et VI bis,)

Mais ce tableau ne nous indique pas si la surestimation est quantitativement la même pour chaque figure, ce que nous apprendront les tableaux 3 et 4 (§ 3).

Par contre, il suffit de renverser les figures de 90° en rendant ainsi la ligne indivise horizontale et la ligne divisée verticale, pour que cette verticale cesse d’être surestimée en toutes les positions. L’expérience a donné, en effet, les résultats suivants sur les dix mêmes sujets (tabl. 2) :

Tableau 2. Comparaisons internes de la verticale et de l’horizontale sur
chacune des figures en position renversée (I’ à VI’ et à VI’ bis)

On constate alors ce fait remarquable que sur la figure classique I’ (fig. 5) et sur la figure voisine II’, la ligne indivise continue d’être surestimée bien que devenue horizontale et que la ligne divisée continue d’être sous-estimée bien que devenue verticale. Il existe donc, dans la production des illusions relatives à de telles figures, un autre facteur que celui de la verticalité, et nous verrons que les actions propres aux semi- rectangles sont de nature à rendre compte de cette distribution, car elles passent précisément par un maximum dans le cas de la figure I et sont encore très proches du maximum dans celui des figures II et II’ (qu’il s’agisse des positions normales ou renversées).

Cependant, la verticalité n’en constitue pas moins un facteur important, car, si les actions de semi-rectangles étaient seules en jeu, les figures VI et VI bis ainsi que VI’ et VI’ bis devraient fournir une illusion nulle : en effet, elles ne comportent plus de semi-rectangles, puisqu’il s’agit d’angles droits, sans division de B par A (voir la fig. 3). Or, dans ces quatre cas, la verticale est surestimée, qu’elle soit représentée par la ligne indivise Vi (VI et VI bis) ou par la ligne divisible Vd (VI’ et VI’ bis).

Il intervient donc au moins deux facteurs distincts dans une telle illusion : celui de la verticalité et celui de la dévaluation de A’¹ et de A’² par Vi ou Hi (illusion des rectangles ou semi-rectangles qui dévalorise les petits côtés au profit du grand). Dans le cas de la position normale (tabl. 1), les deux facteurs agissent cumulativement, d’où l’unanimité des jugements Vi > Hd (sauf une égalité sur 110 estimations) ? Dans le cas de la position renversée (tabl. 2), ils sont au contraire antagonistes : le facteur de verticalité l’emporte pour les extrêmes (figures V’ et VI’), celui des semi-rectangles l’emporte pour les figures 1’ et II’, tandis que dans le cas des figures intermédiaires III’ et IV’ leurs effets se balancent ¹.

Nous avons constaté (tabl. 1) que toutes les verticales Vi étaient surestimées en position normale. Mais il nous reste à savoir si cette surestimation est quantitativement uniforme ou si elle est plus ou moins forte selon les figures.

Nous avons à cet égard fait comparer par 20 sujets la verticale de chacune des figures à celle de chacune des autres (tabl. 3) :

¹ Notons enfin qu’en positions renversées (tabl. 2) l’horizontale Hi est perçue comme légèrement plus courte lorsqu’elle est située dans le bas de la figure (IIΓ bis et IV’ bis) que dans le haut (III’ et IV’) : 7 cas de Vd > Hi contre 10.

Tableau 3. Comparaison (en %) des verticales Vi entre elles, de chaque figure à chacune des autres en position normale (I à VI et à VI bis) ¹

Pour tirer les conclusions d’un tel tableau, il est indispensable de le mettre en relations avec celui des comparaisons des horizontales, entre chaque figure et chacune des autres, également en position normale et sur 20 sujets (voir tabl. 4) :

Tableau 4. Comparaisons (en %) des horizontales Hd entre elles, de chaque figure à chacune des autres en position normale (I à VI et à VI bis)

¹ Entre parenthèses, les résultats de vingt autres sujets pour les comparaisons entre I et II-VI. Rappelons que la technique comporte, pour chaque comparaison individuelle portant sur une figure donnée, six estimations dont trois à gauche et trois à droite alternant entre elles.

A confronter ces deux tableaux on constate alors que la verticale Vi passe par deux maxima : l’un pour la figure I et l’autre pour la figure VI, tandis que l’horizontale Hd semble perceptivement croître de façon continue de la figure I à la figure VI. Le second de ces effets s’explique aisément par l’action des semi-rectangles et par celle des inégalités A^,1 ¾ A’², puisque, de la figure I aux figures VI et VI bis, l’un des deux segments A^,1 ou A’² croît continuellement jusqu’à annuler entièrement l’autre (figures VI ou VI bis) : en croissant, le segment est alors d’autant moins dévalorisé par la ligne Vi (= A = grand côté du semi-rectangle)¹ et d’autant plus valorisé par le segment décroissant. Quant aux deux maxima de la verticale Vi, le premier (figure I) s’explique parle même facteur de semi-rectangle A > A’, et A > A^,2 ajouté au facteur de verticalité, tandis que le second maximum (figures VI et VI bis) est dû à la verticalité de Vi opposée à l’horizontalité de Hd.

Examinons maintenant la comparaison des verticales de chaque figure avec chacune des autres en position renversée (tabl. 5) :

Tableau 5. Comparaisons des verticales Vd entre elles, de chaque figure à chacune des autres en position renversée (P à VP et à VP bis)

Quant aux horizontales dans ces mêmes positions renversées, leur comparaison a donné ce qui suit (tabl. 6).

Nous constatons alors que la comparaison des verticales (Hi) en positions renversées donne le même résultat que la comparaison des horizontales (Hd) en positions normales : ces verticales croissent, en effet, également de façon ininterrompue de la figure 1’ aux figures VI’ et

¹ Voir les formules (1-2) et les calculs au § 5.

VΓ bis. Les raisons en sont évidemment les mêmes : l’action des semi- rectangles a pour effet de dévaloriser toujours moins ou de valoriser toujours davantage le plus grand des deux segments A^,1 et A’², d’où l’allongement apparent de la verticale.

Tableau 6. Comparaisons des horizontales Hi entre elles, de chaque figure à chacune des autres en position renversée (Γ à VΓ et à VT bis,)

Par contre, la comparaison des horizontales Hi en positions renversées a donné un résultat curieux : les longueurs de ces horizontales sont perçues comme à peu près égales, sauf en ce qui concerne l’horizontale de la figure VI (ou VI bis), qui est vue égale aux autres par la moitié des sujets (comparée à V) ou par les ²∣³ aux ³f (comparée aux autres), mais qui est vue plus grande dans 29 cas contre 7 (et dans 8 cas contre 2 comparée à la fig. V). Comment donc expliquer et cette égalisation des horizontales I-V et cette légère surestimation de celle de la figure VI ?

Il s’agit en ces cas d’un effet de centration. Lorsque l’on centre le regard sur la verticale Vi en position normale, il est impossible de ne pas englober dans le même champ de vision l’horizontale Hd avec ses deux segments A^,1 et A’², de telle sorte que les actions de semi-rectangles s’exercent sur les verticales Vi même si l’on se borne à les comparer entre elles et si l’on cherche donc à les isoler. Au contraire, lorsque l’on compare les horizontales Hi entre elles, en position renversée, on n’embrasse pas du regard la totalité de la verticale Vd avec ses deux segments A^,1 et A’². La raison en est sans doute que les comparaisons en hauteur sont plus malaisées et moins habituelles que les comparaisons de gauche à droite ou l’inverse. En centrant l’horizontale Hi en position renversée, on ne perçoit donc pas nettement toute la hauteur de Vd, ou du moins on ne perçoit pas aussi clairement les deux segments A\ et A’² qu’en position

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normale : on remarque l’un des deux segments plus que l’autre, et en général le plus petit des deux comme il est naturel puisque c’est celui qui sépare l’extrémité liée de l’horizontale à l’extrémité libre la plus proche de la verticale.

Cela admis, il est alors compréhensible que, en position renversée, la ligne horizontale soit plus indépendante de la ligne verticale qu’en position normale. Cette indépendance des estimations concernant la longueur de l’horizontale ne saurait se produire en positions normales, puisque alors l’horizontale est divisée par la verticale ; en positions renversées, au contraire, la longueur de Hi peut être estimée indépendante de celle de Vd puisque c’est la verticale qui est divisée et qu’elle n’a pas de raison d’être estimée selon sa hauteur. C’est cette indépendance relative de la ligne Hi en positions renversées qui explique alors les jugements d’égalités prédominant de I à V.

Mais cette égalité n’est pas absolue et une légère tendance se fait jour à valoriser progressivement l’horizontale : par exemple, dans les comparaisons entre la figure I’ et les suivantes, les égalités diminuent et les valorisations augmentent dans le sens Γ à VI’. Pourquoi, en ce cas, l’horizontale Hi de la figure VI’ paraît-elle la plus longue et cette fois nettement ? C’est que le semi-rectangle dont le grand côté est Hi et dont le petit côté est le plus petit des segments A’¹ ou A’² s’allonge en apparence lentement de I à V et finit en VI par se réduire à une simple ligne (pourvue d’une épaisseur) : la ligne Hi elle-même (tandis que la verticale Vd n’étant plus divisée donne encore moins lieu à une estimation de sa hauteur que dans les figures précédentes). On se rappelle, en effet, que dans l’illusion des rectangles (Rech. XVI), le rectangle dont le grand côté est le plus valorisé (maximum de l’illusion positive) se réduit à une simple droite, c’est-à-dire à un ruban rectangulaire sans espace blanc intérieur à la figure.

Venons-en maintenant aux résultats de la technique utilisée pour mettre en évidence les effets de semi-rectangles ou d’interaction entre la droite indivise et les deux segments A^,1 et A^,2 de la droite divisée. Cette technique consiste, comme on s’en souvient, à demander au sujet d’estimer perceptivement si la différence entre les longueurs de la verticale et de l’horizontale sont plus ou moins grandes d’une figure à l’autre : la question ne porte donc plus sur la comparaison des verticales entre elles ou des horizontales entre elles, mais bien sur la comparaison des différences comme telles entre les verticales et les horizontales respectives. L’avantage de cette consigne est de ne pas provoquer de centrations privilégiées sur une ligne ou sur une autre, mais de faire comparer quatre

lignes deux à deux : A et B sur l’une des deux figures présentées simultanément et A et B sur l’autre figure. La question pourrait donc être formulée comme suit (si l’on désigne par les indices 1 et 2 les deux figures comparées) ;

(A¹ — B^l) g (A² — B²) ? ou (B¹ — A¹) ≡ (B² — A²) ?

Les résultats ainsi obtenus se sont effectivement montrés assez différents des précédents pour justifier une analyse particulière de cette nouvelle question. De telles modifications des réactions d’une technique à l’autre confirment, en effet, de la façon la plus suggestive le rôle des centrations distinctes dans l’estimation des longueurs perceptives, rôle sur lequel nous venons d’ailleurs d’insister à propos du tableau 6.

Voici d’abord les résultats de la comparaison des différences en positions normales (tabl. 7) :

Tableau 7. Comparaison (en %) des différences des verticales Vi et des horizontales Hd de chaque figure à chacune des autres en positions normales ¹

On constate que la différence perçue entre la verticale et l’horizontale paraît maximum dans le cas de la figure I : celle-ci l’emporte, en effet, sur toutes les autres y compris la figure VI. La figure II donne ensuite une impression de différence entre sa propre verticale et sa propre horizontale qui l’emporte également sur toutes les figures suivantes. Quant à la figure III, elle est encore supérieure aux figures IV et V mais donne une impression de différence à peu près égale à celle de la figure VI. La

¹ Les comparaisons de I et de VI avec les autres figures (9 comparaisons) ont porté sur 30 sujets et les comparaisons entre les figures II à V (6 comparaisons) sur 10 sujets. Nous avons traduit tous les résultats en % pour simplifier la lecture.

figure IV l’emporte légèrement sur V (6 > contre 2 <) mais équivaut à la figure VI. Enfin la figure V provoque une impression de différence légèrement inférieure (6 > contre 9 <) à la figure VI.

Au total, il n’existe qu’un maximum : c’est sur la figure I que la différence entre la verticale et l’horizontale paraît perceptivement la plus forte. A partir de ce maximum, l’impression de différence décroît lentement jusqu’à la figure V. Mais la figure VI provoque à nouveau une impression légèrement plus forte, qui rejoint un niveau intermédiaire entre les figures III et IV (voir la fig. 7).

Il est donc clair que nous nous trouvons en présence de deux sortes d’effets :

1. L’action des semi-rectangles qui, si elle était seule en jeu, donnerait lieu à une illusion faiblissant sans exception de I à VI (voir la courbe en traits interrompus sur la fig. 7).

Tableau 8. Comparaison des différences des verticales Vi et des horizontales Vd de chaque figure à chaque figure en positions normales symétriques T ¹

¹ En %, sur 10 sujets et sur 18 pour les comparaisons I-VI.

2. L’action de la verticalité qui, dans les comparaisons des verticales seules entre elles (tabl. 3), avantage la figure VI aux dépens de la figure I elle-même (11 contre 8). Dans la présente technique, qui renforce l’action des semi-rectangles, la figure I prime la figure VI mais celle-ci l’emporte cependant sur la figure voisine V, tandis qu’en III et IV les deux actions se neutralisent à peu près.

En position normale symétrique T les résultats sont en gros les mêmes, à la seule exception de la figure VI qui donne une impression de moins grande différence que les autres : la distribution des jugements est ainsi plus régulière (tabl. 8).

Les rapports observés sont donc I > II > III > IV > V > VI et non pas VI > V comme sur le tabl. 7. Les raisons en sont doubles. D’abord en position T les effets de semi-rectangles semblent plus forts qu’en position ┴ sur les figures I à V du fait de la semi-fermeture de la figure par le haut. Mais surtout, pour ce qui est des figures VI et VI bis, l’horizontale placée dans la partie supérieure du champ est en moyenne légèrement valorisée, ce qui diminue son contraste avec la verticale (sauf en cas de transports privilégiés de celle-ci sur celle-là). D’où le jugement presque général I > VI.

En positions renversées (┤), les deux facteurs précédents, au lieu de cumuler leurs actions comme en position normale, sont antagonistes, d’où les effets opposés que nous avons déjà notés au tableau 2 (surestimation de l’horizontale Hi en I et II, et de la verticale Vd en V et VI). On retrouve une situation analogue lors de la comparaison des différences comme telles (tabl. 9) :

Tableau 9. Comparaison des différences des verticales Vd et des horizontales Hi de chaque figure à chacune des autres en positions renversées ┤(en %)¹

¹ Les comparaisons ont porté tantôt sur 20 tantôt sur 12 sujets.

On peut résumer comme suit, pour plus de clarté, les résultats contenus dans ce tableau 9 :

En positions renversées ├, nous retrouvons exactement les mêmes résultats, sur 10 sujets traduits en % (tabl. 10) :

Tableau 10. Comparaison des différences des verticales Vd et des horizontales

Hi de chaque figure à chacune des autres en positions renversées ├

La répartition des égalités et inégalités est donc la même que sur le tableau 9, à part II’ > III’ au lieu de II’ = III’. Les résultats consignés tant sur le tableau 9 que sur le tableau 10 sont donc très cohérents, à la seule exception près de II’ > VI’ venant après II’ < V’ (sur les deux tableaux 9 et 10 !). Quant à la contradiction du type I’ > IV’; I’ = V’ et IV’ = V’ (l’égalité est d’ailleurs approximative, ce que nous notons par <), il va de soi qu’elle n’est qu’apparente, car les mêmes configurations comparées à des éléments différents ne sont pas équivalentes per- ceptivement : comparée à I’, la configuration IV’ peut donner lieu à une moindre différence perceptive entre les longueurs Vd et Hi que comparée à V’, d’où les jugements I’ > IV’ et I’ — V’ se rapportant à 1’ et ce jugement IV’ < V’ lorsque IV’ et V’ sont évalués indépendamment de V’.

Cela dit, la distribution des estimations contenues dans les tableaux 9 et 10 s’explique comme celle du tableau 2 : à l’un des extrêmes (figure I’),

la différence paraît grande entre la verticale Vd et l’horizontale Hi parce que cette dernière est surestimée en vertu des actions de semi-rectangles, tandis que, à l’autre extrême (fig. VI’), la différence est à nouveau perçue comme grande, mais pour la raison inverse, c’est-à-dire à cause de la surestimation de la verticale Vd (l’action des semi-rectangles étant alors annulée et celle de la verticalité jouant à plein). Entre ces extrêmes, la différence entre Vd et Hi s’atténue jusqu’en un minimum situé à mi- chemin des figures III’ et IV’, d’où la prédominance des égalités entre les figures II’ et V’.

Mais, il est à noter (et la chose est d’un certain intérêt du point de vue de la théorie de la perception), que les sujets éprouvent difficilement une impression de « différences égales » lorsque les différences perçues sont, pour parler opératoirement, algébriquement égales mais de signes contraires. Soit, par exemple, une figure sur laquelle l’inégalité perçue est A > B et une autre caractérisée par B > A ; si, en ce cas, les différences sont du même ordre de grandeur, on aura :

(A — B) = (B — A)

C’est alors que les sujets se refusent en général à percevoir une égalité, bien que le nombre des jugements > équivale à celui des jugements <. Par exemple, la comparaison des différences entre les figures 1’ et V’ donne 45 >,50 < et seulement 5 = (tabl. 9); de même la comparaison des figures II’ et III’ donne 40 > ,40 < et 20 =, etc. Ce n’est que dans le cas de certaines figures voisines que les jugements d’égalité prédominent (cf. 70 = entre IIP et IV’ et 75 = entre IV’ et V’).

Nous ne discuterons pas ici des effets de verticalité et d’horizontalité que nous avons étudiés à part sur les figures VI et sur d’autres configurations (Recherches à paraître prochainement).

Par contre, nous allons chercher à rendre compte des effets de semi- rectangles par l’action des centrations et à confronter les résultats expérimentaux qui précèdent avec le calcul théorique tiré de la loi des centrations relatives.

Il convient à cet égard de constater tout d’abord combien l’estimation des longueurs en jeu dans les configurations dont il est question en cette étude dépend des points de fixation ou de centration du regard. Nous avons déjà noté, par exemple (au § 3 à propos du tabl. 6), que la comparaison des horizontales entre elles en position renversée donne lieu à une grande majorité de jugements d’égalité, parce qu’alors l’horizontale centrée par le regard peut être relativement isolée de la verticale, tandis qu’en position

normale (tabl. 4), l’horizontale ne peut être fixée sans embrasser la verticale dans le champ de centration, et que, en position renversée (tabl. 5), la verticale ne peut non plus être fixée sans embrasser l’horizontale dans le champ de centration.

Mais ce n’est pas seulement la diversité des résultats d’une présentation à l’autre des figures ou d’un élément à comparer à un autre, qui s’explique par les différences des points de centration : c’est également la variabilité des estimations individuelles. Lorsque, par exemple, le sujet compare entre elles les verticales en position normale (tabl. 3), la verticale paraît plus grande sur les figures III et IV lorsque l’on centre surtout le semi-rectangle dont le plus petit côté est le plus petit, et plus petite lorsque l’on centre surtout l’autre semi-rectangle (quant à la fig. VI, la verticale est plus facilement isolable que sur les figures où elle coupe l’horizontale). En un mot, la comparaison des seules verticales, par opposition à celle des différences entre la verticale et l’horizontale, laisse le regard indécis quant à son ou à ses points de fixation, et ne contraint pas à une exploration d’ensemble des figures : il en résulte que la perception procède alors à une sorte de tirage au sort parmi les points de centration possibles, d’où les irrégularités constatées dans les estimations de la verticale A. C’est ainsi que, à confronter les tableaux 3 et 7 (par exemple en ce qui concerne les comparaisons de la figure I avec les cinq autres), les résultats sont beaucoup mieux polarisés sur le tableau 7 que sur le tableau 3.

Si les actions dues à la verticalité et à l’horizontalité sont probablement dues à d’autres facteurs (tels que la structuration du champ en fonction de l’ensemble des références, etc.), les effets de semi-rectangles peuvent donc être vraisemblablement attribués au mécanisme des centrations relatives. Nous allons par conséquent chercher à établir ce que donnerait théoriquement ce genre de déformations indépendamment des facteurs de verticalité et d’horizontalité, puis à confronter les résultats de ce calcul avec ceux des expériences précédentes et enfin avec ceux de M. Künnapas.

Nous pouvons d’abord décomposer les figures 1 ou 2, etc., en deux semi-rectangles AA^,1 et AA^,2, les segments A^,1 et A^,2 prenant toutes les valeurs par rapport à l’unité A = 1, mais à condition de respecter les égalités A^,1 + A’² = B = A (puisque l’horizontale et la verticale sont égales, soit A = B). En ce cas, les formules exprimant les rapports per-, ceptifs en jeu sont faciles à déduire de celle du rectangle, établie dans la Rech. XVI : il suffira de considérer A^,1 et A¹ ainsi que A^,2 et A comme les deux côtés d’un rectangle, et d’attribuer constamment au dénominateur la valeur S = A × (A^,1 + A’²) = A × B = A², puisque, en percevant les figures 1, etc., le sujet voit simultanément les trois éléments A¹, A^,1 et A’² (du moins dans la technique de la comparaison des différences, § 4, tabl. 7 à 10).

On aura ainsi (pour A = 1) :

^m P (A-A’¹) X A (A’¹∕A) A²A^,1 — AA^,12 ., ., ^a .

^{(1) P}" àTb  =  S A , - A ,■ et

^τ, (A — A’²) X A (A^,2∕A) A²A^,2 — AA^,22

(2) P=^ l U ⅛ — =A^,2-A^,22

Le calcul donne alors :

Valeurs de A’ Déformation (P) de A

f A^,1  =  0,5 0,25

A^,2  =  0,5 0,25

f A\  =  0,4 0,24

[ A^,2  =  0,6 0,24

Γ A^,1  =  0,3 0,21

[ A^,2  =  0,7 0,21

Tv J ^A’i  =  ⁰>² °>¹⁶

[ A^,2  =  0,8 0,16

^v f A\  =  0,1 0,09

[ A^,2  =  0,9 0,09

f A\  =  0 0

[ a^,2= 1 0

On constate donc 1° que les valeurs des déformations sont toujours égales pour un A^,1 et un A’² complémentaires sous 1 (soit 0,1 et 0,9 ; 0,2 et 0,8 ; etc.), ce qui signifie que la courbe des déformations est symétrique ; 2° que la courbe des P passe par un maximum pour A^,1 = A’² donc pour notre figure I, où la ligne verticale A rejoint l’horizontale B en son milieu. Or, ce sont bien là les deux résultats expérimentaux consignés sur les tableaux 7 et 8 : d’une part, le maximum correspond à la figure I, et, d’autre part, les mesures prises sur la gauche et sur la droite se sont trouvées équivalentes (et ont donc été bloquées en valeurs uniques de II à VI). La seule discordance entre la courbe théorique et la courbe expérimentale tient au relèvement de l’illusion dans le cas de la figure VI sur le tableau 7 (mais pas sur le tabl. 8) : seulement il s’agit alors, comme nous l’avons vu, d’un effet de la verticalité et non plus des semi-rectangles (ceux-ci n’intervenant plus puisque la figure est réduite à un angle droit).

Quant à la position renversée, nous l’avons considérée jusqu’ici pour simplifier comme due à une rotation de 90° des figures, la droite indivise devenant horizontale et la droite divisée (avec ses segments A\ et A’²) devenant verticale. Mais, pour construire une courbe théorique cohérente avec les formules (1) et (2) nous pouvons au contraire considérer la ligne A comme demeurant constamment verticale : en ce cas, lorsque par déplacement latéral elle rejoint l’extrémité de la ligne B (fig. VI), il suffit d’admettre que l’on déplace la ligne B, mais cette fois de bas en haut (fig. 8), pour obtenir les positions renversées. La déformation P des formules (1) et (2) sera donc toujours attribuée à A (voir les fig. 4-6), mais

la déformation P, de positive qu’elle est en position normale, deviendra donc négative puisque B sera surestimé par contraste avec les segments A’¹ et A’². Quant aux formules (1) et (2), il suffira, pour les adapter à cette nouvelle situation, de permuter les A et les B, puisque c’est la droite B qui devient le grand côté des semi-rectangles tandis que la droite A est divisée en deux petits côtés A\ et A,². On aura donc :

P= (B — A\) x B (A^,1∕B)

(3) A × B

(4) P = (B — A^,2) × B (A^,2∕B)

A x B .

Mais, comme B = A = 1, le produit demeure identiquement le même et le calcul donne les mêmes valeurs pour — P que pour P à cette seule différence près que ces valeurs sont à mettre en négatif. Le segment de la courbe des déformations correspondant aux formules (3) et (4) est donc exactement symétrique au segment correspondant aux formules (1) et (2).

Seulement, dans cette nouvelle position, l’écart entre les données expérimentales et le calcul théorique devient naturellement plus grand, du fait que les facteurs de verticalité et de semi-rectangularité sont antagonistes et non plus cumulatifs comme en position normale. Cela signifie donc que les figures I et II donnent seules lieu à une erreur négative nette (voir tabl. 2) tandis que les figures V et VI fournissent une erreur positive puisque la verticale est alors surestimée en tant que verticale en cessant d’être sous-estimée du point de vue des semi-rectangles (voir la fig. 9 : courbe en pointillé sous — 1 et |— ).

En traits pleins : courbe théorique des effets de semi-rectangles pour les quatre positions. ■

En pointillé : courbe expérimentale avec interférence des effets de semi-rectangles et des effets de verticalité.

Une fois parvenu à la figure VΓ (^-1), on peut à nouveau déplacer la ligne A latéralement, ce qui donne lieu à des configurations en T et non plus en 1. Enfin, lorsque l’on atteint la forme | on peut déplacer la ligne B de haut en bas, ce qui ramène aux positions renversées mais orientées sur la droite et non plus sur la gauche. Ainsi la courbe des déformations

dues aux facteurs de semi-rectangularité se présente sous la forme d’une sinusoïde à quatre parties, dont deux positives et deux négatives symétriques entre elles (fig. 9). Cette courbe théorique représente donc ce que seraient les déformations dues aux transformations des configurations en jeu, si les effets dus à la structuration du champ selon les axes de coordonnées naturelles (horizontales et verticales) n’intervenaient pas.

Remarque. Les formules (1) à (4) diffèrent de celles auxquelles nous avons abouti pour l’illusion des rectangles (Rech. XVI, Arch. de Psych., t. 34, p. 126-127, prop. 11 et 12) du seul fait que dans ces dernières il n’intervient qu’un seul rectangle, tandis que, dans le cas actuel, on a affaire à deux rectangles complémentaires formant ensemble un carré. Il en résulte que dans la formule des rectangles (loc. cit.) la surface AB varie, tandis que dans nos présentes formules la surface AB est constante et équivaut à AB = A² = 1.

Mais il serait facile d’appliquer les précédentes formules de l’illusion des rectangles (avec variation des surfaces), à chacun des deux semi- rectangles de nos figures actuelles, en multipliant alors entre elles ces deux déformations. On obtiendrait ainsi (étant entendu que A = 1) :

(5) — X ~~= (A² — AA^,1 — AA^,2 + A’¹A’²) =

A A

= [A² — A (A^,1 + A^,2) + A^,1A^,2] = A’^lA’²

En effet A (A’¹ + A’²) = A². Or, il est facile de constater que ces produits A’¹ A’², pour chacun des couples de valeurs complémentaires de A’¹ et de A’² (voir le tableau des calculs après la prop. 2), donnent précisément les mêmes résultats que les calculs effectués selon les prop. (1) et (2) : pour la figure I, on aura 0,5 × 0,5 = 0,25 ; pour II on aura 0,4 × 0,6 = 0,24 ; etc. La différence entre la courbe de distribution des présentes déformations (fig. 9) et celle de l’illusion des rectangles (article cité, fig. 2, p. 126) tient ainsi simplement à la présence de deux rectangles complémentaires (dont les déformations se multiplient l’une par l’autre) au lieu d’un seul rectangle.

Sur les points essentiels, les résultats de M. Künnapas s’accordent fort bien avec les nôtres : 1° surestimation de la ligne divisante, même lorsqu’elle est horizontale (pour les figures voisines de I); 2° maximum de surestimation quand la ligne divisante partage en deux parties égales la ligne divisée (= nos figures I); 3° conflit avec le facteur de verticalité en position renversée, notamment pour les figures extrêmes (voisines de nos figures V bis et VI bis).

Les deux seules divergences tiennent, d’une part, à l’interprétation de cet auteur et d’autre part au fait que ses courbes expérimentales, au lieu d’être régulièrement incurvées comme notre courbe théorique, consistent en deux droites inclinées et symétriques formant un angle obtus régulier dont le sommet correspond à la position médiane (fig. I et I bis).

Pour ce qui est de l’interprétation, M. Künnapas se borne à soutenir que la ligne divisante est surestimée et la ligne divisée dévaluée, ce qui est naturellement exact dans le cas où elles sont objectivement de valeurs égales. Mais si, de cette constatation, on passait à l’hypothèse que la ligne divisante est surestimée parce qu’elle est divisante, nous cesserions d’être d’accord, et cela pour les deux raisons suivantes : 1° dans les figures où la ligne divisante est objectivement plus courte non seulement que la ligne divisée, mais encore que la longueur du plus petit des deux segments de cette ligne divisée, alors la ligne divisante n’est plus surestimée, mais dévaluée par les segments et A’²; 2° d’une manière générale, une ligne divisée est surestimée et non pas dévaluée et, si elle est dévalorisée dans le cas où A = B, c’est à cause de la dévaluation des segments A\ et A^,2 sous l’influence de la plus longue ligne indivise.

C’est pour ces raisons que nous croyons être en présence d’un effet de semi-rectangle et non pas d’un simple effet de division, dont le mécanisme serait peu compréhensible et contraire à l’illusion générale des espaces divisés.

Mais alors comment expliquer le caractère rectiligne des deux parties des courbes obtenues par M. Künnapas ? Une interprétation s’impose d’emblée, d’une part, en fonction de l’identité de mécanisme entre l’illusion des semi-rectangles et celle des rectangles, et, d’autre part, en raison du rôle considérable que joue, nous l’avons vu, le choix des centrations dans l’estimation des longueurs à comparer dans la figure. En effet, l’illusion des rectangles (Rech. XVI) donne, en positif (c’est-à-dire mesurée sur le grand côté, comme c’est le cas ici) une courbe strictement rectiligne,

A — A’

dont la formule est . Il suffit alors, pour retrouver la courbe de A

M. Künnapas, d’admettre que, en comparant directement dans chaque

figure la ligne indivise et la ligne divisée, les sujets ont évalué la ligne indivise en fonction du plus grand des deux semi-rectangles (donc du plus grand des deux segments de la ligne divisée) plus qu’en fonction du plus petit. Au contraire la courbe incurvée que nous avons trouvée conforme à notre formule (1-2) n’a été obtenue que par la comparaison des différences d’une figure à l’autre (§ 4), ce qui oblige à une vision globale sans centration privilégiée.

Effectivement, la formule même à laquelle aboutit M. Künnapas consiste à mettre en rapport la longueur totale de la ligne divisée (qui est égale à la longueur de la ligne divisante = 1) avec l’écart a entre l’extrémité inférieure de la ligne divisante et le point médian de la ligne divisée ¹. On a donc a = 0 pour la position médiane (notre figure I) et a = 0,5 pour la position extrême (notre figure VI). Il est donc clair que l’expression (1 — 2a) figurant dans la formule de M. Künnapas est l’exact

A— A’

équivalent de l’expression (où A = 1) de notre formule de l’illu- A

sion du rectangle (Rech. XVI) : les résultats expérimentaux de M. Künnapas étant conformes à cette influence de a, c’est donc bien que les sujets ont tenu compte du plus grand des deux semi-rectangles plus que de l’autre.

Il est d’autant plus intéressant de constater que la formule de M. Künnapas, construite ad hoc en vue de traduire les résultats de cette seule expérience ², rejoint les formules des effets du rectangle et du semi- rectangle que nous avons, pour notre part, tirées de la loi beaucoup plus générale des centrations relatives.

2a

¹ Cette formule est y = (1 — ) b où y = l’illusion sur la ligne divisante, b =

a

l’illusion maximum dans la position médiane, d = la longueur (constante) de la ligne divisée et a = l’écart en question.

² La formule de M. Künnapas est, en effet, tirée de la proportionnalité y : b = (0,5 d — a) : 0,5 d, qui exprime sans plus la courbe de distribution obtenue pour les résultats de cette expérience (pour le sens des symboles, voir la note 1).

Les auteurs ont étudié la figure en ┴ dans les quatre positions possibles et en variant la situation de la ligne divisante par rapport à la ligne divisée. Ils ont procédé à une statistique des comparaisons qualitatives, mais selon divers modes de comparaisons : comparaisons internes des verticales et des horizontales sur chacune des figures, en positions normale et renversée, comparaisons des verticales entre elles ou des horizontales entre elles, de chaque figure à chacune des autres en positions normale et renversée, et surtout (technique qui s’est révélée la plus instructive) comparaison des différences entre les verticales et les horizontales de chaque figure à chacune des autres.

Les résultats obtenus ont montré que le maximum de l’illusion se trouve lorsque la ligne divisante est située au milieu de la ligne divisée. Ils ont surtout montré que deux facteurs différents interviennent dans cette illusion : 1) la surestimation des verticales par rapport aux horizontales ; 2) une surestimation de la ligne divisante, qui l’emporte en de nombreux cas sur le facteur de verticalité (en position renversée, où ces facteurs sont alors antagonistes).

Ces deux résultats se sont trouvés converger avec ceux qui ont été publiés récemment par M. Künnapas (bien que les deux recherches aient été indépendantes). Il existe cependant une petite divergence d’interprétation concernant le facteur (2) : sans s’en tenir, comme M. Künnapas, aux notions de « divisant » et de « divisé », les auteurs pensent que le facteur (2) consiste en réalité en une illusion de semi-rectangle. En appliquant alors la formule de l’illusion des rectangles (Rech. XVI), tirée de la loi des centrations relatives, les auteurs montrent qu’elle rend effectivement compte du maximum observé, ce qui permet de faire rentrer le facteur (2) de la présente illusion dans la loi générale des centrations relatives. Le facteur de verticalité, par contre, ne s’explique pas de cette manière et l’on y reviendra dans une Recherche ultérieure.

Die Autoren haben die ┴ - Figur in ihren vier Hauptlagen studiert und die Lage des Berührungspunktes der teilenden und der geteilten Linie systematisch variiert. Sie haben eine Statistik der qualitativen Vergleiche nach verschiedenen Vergleichsarten aufgestellt. Die folgenden Vergleiche wurden untersucht : Vergl. innerhalb jeder Figur zwischen der Senkrechten und der Waagrechten in den verschiedenen Hauptlagen der Figur ; Vergl. der Senkrechten oder der Waagrechten untereinander bei den möglichen Paaren von Figuren (Hauptlage, Schnittpunktlage), und — was sich als besonders aufschlussreich erwiesen hat — Vergl. des Unterschiedes zwischen der Senkrechten und der Waagrechten einer Figur mit dem Unterschied jeder andern Figur, nach Hauptlage und Schnittpunktlage.

Die Resultate zeigen, dass die Täuschung dann am grössten ist, wenn die teilende Linie die geteilte halbiert. Vor allem wirken zwei Faktoren auf die Täuschung : 1) Ueberschätzung der Senkrechten in Bezug auf die Waagrechte ; 2) Ueberschätzung der teilenden Linie. Diese Ueberschätzung der teilenden Linie ist in vielen Fällen stärker als der Faktor der Senkrechtenüberschätzung (Hauptlage ┤, in der die beiden Faktoren sich entgegenwirken.)

Diese beiden Resultate überdecken sich mit denjenigen, die D^r T. M. Künnapas kürzlich veröffentlichte (beide Forschungreihen sind völlig unabhängig voneinander durchgeführt worden). Es besteht jedoch ein kleiner Unterschied in der Deutung des Faktors (2) : ohne sich wie D^r Künnapas auf die Unterscheidung von « teilenden » und « geteilten » Linien zu beschränken, fassen die Autoren diesen Faktor als eine Auswirkung der Halb-rechtecktäuschung auf. Sie haben die Formel der Rechtecktäuschung (Rech. XVI), die aus dem Gesetz der relativen Zentrierungen folgt, auf die hier vorliegende Täuschung angewandt und gezeigt, dass das berechnete Maximum

mit dem experimentell gefundenen übereinstimmt. Der Faktor (2) kann somit durch das Gesetz der relativen Zentrierungen erklärt werden, während der Senkrechtenfaktor (1) einer derartigen Erklärung nicht zugänglich ist und in einer folgenden « Recherche » näher untersucht werden soll.

The authors have studied the ┴ figure in four possible orientations and varied tire position of the point of contact of the divided and dividing lines. They have obtained data on the qualitative comparisons using different modes of comparison, i. e. within- figure comparisons between the vertical and horizontal lines, using the various orientations of the figure ; in-between figure comparisons among vertical lines or among horizontal lines for the various possible pairs of figures with respect to orientation and position ; in-between figure comparisons of the vertical-horizontal difference in each given figure to eacli other figure. This last mode of in-between figure comparison of the horizontal-vertical differences has proved especially instructive.

The results show that the maximum illusion is found if the dividing line bisects the divided line. Two types of factors were shown to intervene : 1) the overestimation of the vertical with respect to the horizontal line ; 2) an overestimation of the dividing line, whose importance outweighs in many cases the factor of verticality (┤ orientation, in which the two factors oppose each other).

Both results converge to those published recently by Dr. T. M. Künnapas, the experiments being completely independent of each other. There exists, however, a slight divergence as to the interpretation of our factor (2) : the authors, unlike Dr. Künnapas, refrain from limiting this factor to the function of « divided » and « dividing »lines, but they think that this factor (2) is an instance of the illusion of the semirectangle. They apply the equation of the illusion of the rectangle {Rech. XVI), derived from the law of the relative centration, and show that it accounts satisfactorily for the maximum of the present illusion as determined experimentally. Whereas factor (2) is thus shown to check with the law of the relative centrations, the factor of verticality (1) cannot be explained in this way and shall be examined further in a subsequent » Recherche ».