La surestimation de la courbure des arcs de cercles (1956) ^a 🔗

Nous avons examiné l’ensemble des sujets au moyen de figures dessinées à l’encre de Chine sur papier bristol et présentant des arcs de courbures variables, mais dont la corde restait de 50 mm de façon constante, de manière à faciliter sa mesure. Celle-ci a, d’autre part, été effectuée avec des mesurants consistant soit en carrés dont il fallait comparer la longueur du côté inférieur à celle de la corde, soit en lignes droites (sept carrés de côtés ayant 44, 46, 48, 50, 52, 54 et 56 mm de longueur ou sept droites de mêmes longueurs) ¹. Ces étalons, comme les figures elles- mêmes, sont dessinés sur des fiches de 220 × 126 mm, et situés au milieu de la fiche ².

Nous avons commencé par une expérience préliminaire destinée à vérifier si oui ou non une telle illusion portant sur les arcs de cercle était réductible à l’illusion des angles. En effet, les cordes AB des figures 5

et 6 font avec la tangente T un angle a qui est soit obtus (fig. 5) soit aigu (fig. 6). Or, l’angle obtus ayant des côtés surestimés, cela pourrait expliquer la surestimation de la corde dans le cas de la figure 5 ; et l’angle aigu ayant des côtés sous-estimés, cela pourrait réciproquement rendre compte de la sous-estimation de la corde dans le cas de la figure 6. Pour contrôler cette hypothèse, nous avons donc construit un premier jeu de figures échelonnées entre 30° et 150° en ce qui concerne l’angle a.

Les premières figures ont été étudiées sur vingt sujets adultes (tabl. 1) :

Tableau 1. Erreurs systématiques (en %J en fonction de l’angle
corde-tangente (20 adultes)

¹ Et, avec les enfants, de 34 à 70.

² Les étalons sont présentés un à un à côté de la figure, mais en évitant que l’un des côtés du carré soit dans le prolongement de la corde à évaluer.

On constate ainsi que l’illusion des courbures, tout en présentant comme il est naturel des analogies avec celle des angles, ne dépend pas univoquement de la valeur de l’angle formé par la corde et la tangente (angle a des fig. 5-6). En effet, d’une part, on ne trouve pas de maximum négatif de l’illusion pour a = 45° comme ce serait le cas si l’hypothèse était vraie ¹, mais une sorte de plateau entre 40° et 70° et même au-delà. D’autre part, le maximum de l’illusion négative est compris entre 75 et 90°, alors qu’un angle de 90° ne donne lieu à aucune déformation perceptive (nous verrons au contraire que cette figure dont l’angle a est de 90° et dont la flèche est F = 1, correspond au maximum théorique de la formule proposée au § 3). La seule constatation conforme à l’hypothèse est le maximum positif pour l’angle a de 135° mais nous verrons qu’un tel fait est également conforme à l’explication qui sera proposée au § 3.

Nous avons donc renoncé à faire intervenir les angles cordes-tangentes et n’avons plus travaillé qu’au moyen de figures se distribuant de façon régulière en fonction de la hauteur relative de la flèche F des arcs dont il s’agissait d’évaluer la corde. Les cordes ont été maintenues constantes à 50 mm. Quant aux quinze figures utilisées, elles ont été réparties comme suit :

_τ, 1 3 5 8 10 12 16 20 22 24 27 29 30 _i 31

32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32’ 32 32

où 32 correspond au diamètre vertical du cercle.

L’.un de nous s’étant posé la question des relations entre la méthode concentrique de présentation des mesurants, habituellement employée dans ces Recherches, et la méthode constante (qui risque toujours de fatiguer les enfants)², nous avons pris les mesures au moyen de la méthode constante sur 10 adultes pour les comparer à celles prises avec la méthode concentrique sur 20 autres adultes. Voici les résultats (tabl. 2) :

Tableau 2. Erreurs systématiques (en %) mesurées sur la corde par les méthodes concentrique et constante

On voit que les deux courbes convergent suffisamment pour nous permettre de continuer à utiliser la méthode concentrique. Nous avons d’autre part tenu à contrôler sur deux groupes de 15 adultes le rôle éventuel de la forme des étalons, carrée (donc fermée comme la figure dont il s’agit d’évaluer la corde) ou droite (tabl. 3) :

¹ L’illusion maximale des angles aigus se produit, en effet, à 45°. Voir Rech. XXV.

² Sans parler des adultes !

Tableau 3. Erreurs systématiques (en %) mesurées sur la corde avec étalons
carrés ou droits

On voit que la forme carrée ou droite des étalons n’influence pas l’allure générale de la courbe des erreurs.

Une dernière précaution, quant à la présentation des figures et des étalons, a consisté à comparer les erreurs lorsque la corde est située en dessous de la courbure, comme sur les figures 1, 3 et 4, aux erreurs qui se produisent quand la corde est située au-dessus de la courbure (figure renversée) ou quand la corde est orientée verticalement (tabl. 4).

Tableau 4. Erreurs systématiques (en %) mesurées sur la corde en dessous
ou en dessus de la courbure ou verticalement (adultes)

On voit que l’allure des courbes reste sensiblement la même, bien que les erreurs négatives soient en moyenne plus fortes dans les situations B et C et les erreurs positives en moyenne plus faibles.

Nous voici donc en mesure de comparer les illusions aux divers âges, ce que nous ferons dans la présentation A, avec la méthode concentrique et au moyen des étalons carrés (tabl. 5 et fig. 7).

Tableau 5. Erreurs systématiques (en %) mesurées sur la corde aux
différents âges ¹

¹ Entre parenthèses le nombre des sujets.

On peut tirer de ces divers résultats les conclusions suivantes :

1. Il y a en moyenne erreur négative (sous-estimation de la corde) dans tous les cas (sauf deux exceptions à 5-6 ans pour les flèches de 1 et 3 sur 32) pour les arcs inférieurs ou égaux au demi-cercle (F = 1 à 16) et même jusqu’à F = 20.

2. Il y a en moyenne illusion positive (surestimation de la corde) dans tous les cas sauf une exception pour F = 31 quand la corde est verticale (tabl. 4, C) entre F = 27 et F = 31.

3. Le passage de l’illusion négative à l’illusion positive s’observe en général vers F = 22. Mais lorsque la corde est située au-dessus de la courbure ou verticalement, ce passage s’effectue entre F = 22 et F = 24 ou même un peu au-delà.

4. L’illusion positive maximum correspond constamment, en moyenne, à la figure dont la flèche représente les 29/32 du diamètre vertical (avec un léger écart de 0,2 en faveur de F = 27 chez les dix adultes du tabl. 2 examinés au moyen de la méthode constante).

5. L’illusion négative augmente en moyenne très lentement de F = 1 à F = 16 et constitue malgré les irrégularités de détail une sorte de plateau à peine incliné. Les sujets ont d’ailleurs indiqué spontanément la difficulté qu’ils éprouvaient en cette région à fournir des jugements différenciés selon les figures.

6. Cependant on observe pour F = 16/32, sinon un maximum négatif, du moins un point d’incurvation nette de la courbe, qui cesse de conserver l’allure de plateau et s’oriente vers une diminution franche de l’erreur (sensible entre F = 16 et F = 20).

7. Les erreurs positives décroissent nettement avec l’âge. Quant aux erreurs négatives, leur distribution est plus irrégulière et marque une constance relative avec oscillations au cours du développement.

Il nous reste à comparer les erreurs des garçons et des filles, dans l’hypothèse où le « facteur spatial », en général mieux représenté chez les garçons, influencerait la moyenne des erreurs (tabl. 6) :

Tableau 6. Erreurs systématiques (en %) chez les garçons et les filles
de 5 à 10 ans

Rien de net ne se dégage de ce tableau sinon que les erreurs des filles sont très légèrement plus fortes en positif (moyenne des cinq erreurs : 10,6 contre 10,0 aux garçons) et légèrement plus faibles en négatif (moyenne des neuf erreurs : — 2,1 contre — 3,0 aux garçons). Au total, l’illusion de la courbure des arcs de cercle l’emporterait donc plutôt chez les garçons : la moyenne générale des erreurs, indépendamment des signes, serait de 5,52 chez les garçons contre 5,18 chez les filles…

Notons enfin, pour terminer la discussion de ces résultats numériques, que les calculs de l’erreur ont été fondés, comme la plupart de ceux de nos autres Recherches, sur la différence entre la valeur de l’étalon-type (ici Co = 50 mm) et le médian du seuil. Mais nous avons aussi fait à titre de contrôle les calculs au moyen de la méthode graphique de M. Fraisse : les résultats obtenus se sont révélés très voisins et ne modifient pas l’allure générale des courbes.

Les résultats précédents, qui confirment bien l’hypothèse d’une surestimation de la courbure des petits arcs de cercle (la question restant ouverte jusqu’au § 3 d’expliquer comment cette surestimation aboutit à une valorisation de la corde à partir de F = 22 ou 24/32), conduisent à une situation paradoxale en ce qui concerne la hauteur (l’estimation subjective de F). En effet, si les courbures sont surestimées cela devrait

entraîner une légère surestimation de leurs hauteurs ou flèches ; mais, d’autre part, si toutes les cordes des arcs de cercle sont dévalorisées jusqu’au demi-cercle (tabl. 5), cela devrait aussi, en entraînant ainsi la contraction apparente du diamètre du cercle, conduire à une sous-estimation de la hauteur des flèches dans la mesure où cette hauteur se rapproche des dimensions du diamètre. D’une manière générale, cela devrait même entraîner une sorte de contraction apparente de tous les cercles (comparés à des droites ou à des carrés), du fait de la dévaluation de leurs diamètres.

Nous avons donc, dans ce qui suit, cherché à faire porter nos mesures non seulement sur la hauteur ou flèche des arcs étudiés jusqu’ici, mais encore sur le diamètre vertical du cercle complet, à titre de comparaison nécessaire. Mais la mesure de la hauteur est beaucoup plus délicate que celle de la corde, puisqu’il s’agit d’une ligne virtuelle reliant le milieu de la corde au sommet de l’arc et que ni ce milieu ni le sommet ne sont univoquement déterminés pour la perception. Aussi avons-nous essayé quatre techniques différentes, dont deux seules sont à retenir.

La première a consisté à faire estimer au moyen des étalons carrés habituels la hauteur des arcs sur des figures de même forme que précédemment, mais de hauteur constante (flèches de 40 mm). La seconde a consisté à dessiner, sur les figures de l’arc, la flèche par un trait vertical, la mesure de la hauteur consistant alors à comparer la longueur de ce trait à celle de l’un des côtés verticaux de l’étalon carré. Nous avons essayé, en outre, une troisième technique consistant à couper les dernières figures en deux, donc à présenter la moitié gauche d’un arc de cercle, fermée par le dessin de la flèche. Mais alors l’angle droit formé par la ligne de base et par la flèche introduit un effet nouveau de semi-rectangle, qui valorise la base et dévalorise la flèche, d’où une sous-estimation générale de toutes les hauteurs. Enfin nous avons utilisé les figures habituelles (arcs de cercle complets sans dessin de la flèche) mais avec des étalons formés de deux courts traits horizontaux superposés, l’un correspondant à la ligne de base et l’autre au sommet de l’arc : mais cette fois, l’effet de semi-rectangle se porte sur l’étalon lui-même, dont la hauteur est valorisée, d’où une dévalorisation des flèches de tous les arcs mesurés. Nous ne retiendrons donc que les deux premières techniques, dont les résultats ont été les suivants (tabl. 7) :

Tableau 7. Erreur systématique (en %) sur la hauteur (flèche) des arcs (adultes)

Il est en outre utile, pour se faire une opinion sur la valeur de ces moyennes, de connaître le pourcentage des sujets qui surestiment ou sous-estiment les hauteurs en question (tabl. 8) :

Tableau 8. Pourcentage des sujets présentant des surestimations
et sous-estimations dans l’évaluation de la hauteur des arcs

La technique II fournit donc des valeurs un peu plus fortes en positif et un peu plus faibles en négatif, l’une et l’autre de ces deux caractéristiques pouvant tenir à la présence d’une droite verticale pour favoriser la mesure. Il convient donc de retenir surtout les données réunies grâce à la technique I.

On constate alors une nette dévalorisation du diamètre du cercle (32/32) qui, pour la technique I, est très significative à .01, ainsi que de la hauteur des figures voisines (F = 27 ou 29 à 31). Par contre, les hauteurs des courbures de F = 10/32 à F = 24/32 sont légèrement surestimées, mais d’une manière peu nette (pour F = 22, techn. I, l’erreur n’est significative qu’à . 10). Mais il ne faut pas oublier que cette faible surestimation absolue de la hauteur pour F = 10 à 24 doit être mise en relation avec la dévaluation de la corde, car, à supposer même que la hauteur ne soit pas surestimée absolument, le seul fait de la percevoir selon sa valeur absolue alors que la corde est sous-estimée équivaut à une surestimation relative de la hauteur. Or, l’examen des tableaux 7 et 8 montre que cette hauteur présente en outre une légère valorisation par rapport aux étalons carrés. Si l’on calcule en % le rapport de l’estimation des hauteurs et de celle des cordes ¹, on obtient l’erreur relative suivante (tabl. 9) :

Tableau 9. Erreur relative sur la hauteur, rapportée à l’erreur sur la corde

¹ Le calcul se fait de la manière suivante : pour la corde correspondant à la flèche 10 l’erreur adulte est de — 5,2 (tabl. 5) en %, ce qui donne 100 — 5,2 = 94,8. L’erreur sur la flèche étant de + 0,75 ou + 1,7 (tabl. 7), en % également, on a donc 100,75 : 94,8 = 1,06 et 101,7 : 94,8 = 1,07. Pour la flèche 32, nous comptons une erreur nulle sur la corde, soit 100 : 91,75 = 0,91 et 100 > 93,7 = 0,93.

On constate ainsi (l’erreur nulle étant de valeur 1) que l’erreur relative positive (surestimation de la hauteur) atteint en son maximum le 7 % dans la technique I contre 12 % de maximum négatif ; pour la techn. II qui donne des erreurs absolues plus fortes en positif et plus faibles en négatif, l’erreur relative positive atteint un maximum de 10 % comme l’erreur relative négative. Il est en outre intéressant de noter que l’erreur relative maximum est atteinte en positif pour la corde de 16 dans la technique I et de 12’ dans la technique II, et en négatif pour les cordes de 29-31 dans la technique I et de 29 dans la technique II, ce qui correspond en gros aux maxima théoriques.

L’explication de l’illusion relative aux cordes des cercles coupés relève directement du mécanisme des centrations relatives, selon un processus rappelant celui qui intervient dans le cas des angles, mais cependant distinct.

On peut admettre que l’on juge de la courbure d’un arc en rapportant à sa hauteur, c’est-à-dire à la flèche F (voir fig. 1) et à sa longueur, c’est- à-dire à la corde Co, chacun des points perçus sur l’arc lui-même. Autrement dit, tout se passe comme si l’on évaluait la courbure en fonction d’un rectangle de référence de hauteur F et de longueur Co (voir le cadre rectangulaire de la fig. 1), chaque point considéré de l’arc étant alors perçu comme distant du grand côté inférieur du rectangle (donc de la corde Co) d’une valeur A et comme étant en même temps distant du grand côté supérieur du rectangle d’une valeur A’ : les distances A et A’-(dont la somme donne toujours A + A’ — F) constituent donc les distances entre chaque point perçu sur l’arc et le cadre formé par les éléments de référence F et Co (que nous représentons comme étant les deux dimensions d’un rectangle virtuel servant de cadre de référence).

II se produit alors les effets perceptifs suivants selon que les deux parties A et A’ de la hauteur F sont égales ou inégales. Lorsque l’on a A’ > A, la partie A’ est surestimée et la partie A dévalorisée, ce qui a pour résultat de déplacer l’arc dans la direction de A (en traits interrompus sur la fig. 1, aux deux extrémités de l’arc, c’est-à-dire en dessous de sa médiane horizontale M). Lorsque l’on a A’ < A, la partie A est surestimée et la partie A’ dévalorisée, ce qui a pour résultat de déplacer l’arc dans la direction A’ donc dans le sens de la hauteur (voir sur la fig. 1 les traits interrompus dans la région centrale, donc au-dessus de la médiane horizontale M). Lorsque l’on a enfin A’ = A, ce qui est le cas pour A = F/2 et A’ = F∣2, il n’y a ni surestimation ni sous-estimation et l’arc reste en place : c’est le cas des deux points extrêmes de la médiane horizontale M.

Au total, l’arc est ainsi distribué en deux parties : une région centrale que nous appellerons Ar et qui est située au-dessus de la médiane M

et deux régions latérales, que nous appellerons Ar’ (toutes deux réunies) et qui sont situées en dessous de la médiane. En vertu des inégalités A > A’ qui caractérisent la région Ar, cette partie Ar de l’arc est déplacée perceptivement vers l’extérieur et en vertu des inégalités A’ > A qui caractérisent Ar’ les extrémités de l’arc sont perceptivement rejetées vers l’intérieur. Le résultat de ces deux groupes d’actions est alors une accentuation de la courbure de l’arc, ce qui explique par le fait même la dévalorisation de la longueur de la corde sur les figures du type de la figure 4 (ou de la fig. 1).

Quant à la surestimation de la longueur de la corde sur les figures du type de la figure 3, l’explication en est la suivante. D’abord le processus décrit à l’instant à propos des figures 1 et 4 reste inchangé jusqu’au point où l’arc vaut une demi-circonférence, c’est-à-dire où la corde Co est égale au diamètre du cercle (voir Co₁ sur la fig. 8). En ce cas Ar

(voir Ar₁ sur la fig. 8) correspond à 120° et vaut 2,09 (pour un cercle de rayon 1), tandis que Ar’ correspond à 30° + 30° et vaut 1,05 ; ces deux régions Ar et Ar’ sont alors séparées par la médiane M₁ correspondant au quart du diamètre vertical du cercle. Lorsque la corde Co, au lieu d’être tirée selon le diamètre horizontal du cercle, se trouve en dessous (comme Co₂ sur la fig. 8), donc entre les points ½ et 0 du diamètre vertical du cercle, alors la déformation perceptive de la courbure de l’arc occupant la moitié supérieure du cercle se reproduit symétriquement (voir la ligne courbe en traits interrompus sur la fig. 8 en dessous de Co₁).

En effet, si à la partie II de la figure 9, on applique le processus décrit précédemment, fondé sur les inégalités A > A’ ou A < A’, on obtient une petite déviation qui donne déjà à elle seule une surestimation de Co₂ (voir la ligne en traits interrompus sur la partie II de la fig. 9); il suffit pour le comprendre, de retourner cette partie II de la figure 9 et de la comparer à la figure 1 : les raisonnements sont alors exactement les mêmes. Cette petite déviation se produirait telle quelle si la partie II de la fig. 9 était séparée de la partie I. Mais, si elle fait bloc avec elle (comme sur la fig. 8), alors il est clair que la déviation sur cette partie II

3

prolongera exactement la déviation qui se produit déjà par ailleurs sur la partie I de la figure 9. Autrement dit, sur la figure 8, la déviation se produisant dans la partie inférieure de la figure (voir fig. 8 en dessous de Coj) sera un peu plus forte que sur la partie II de la figure 9 parce que constituant le prolongement symétrique de la partie supérieure de la figure (voir fig. 8 au-dessus de Co₁). C’est pourquoi, en dessous d’une horizontale que l’on peut approximativement situer en M₂ (sur la fig. 8), symétrique de la médiane M₁ (toujours sur la fig. 8), la déviation en Ar₂ (symétrique de Ar₁ au-dessus de M₁) donne lieu à une surestimation de la longueur de la corde inférieure Co_i.

Cela dit, il est facile d’exprimer par une formule quantitative ces divers rapports. Pour ce faire, nous pouvons partir de la loi des centrations relatives :

∩> p , ∏L (Ci L¾) × (La : Lmax)

^{{ -} S

où P = la déformation perceptive ; L₁ = la plus grande et L₂ = la plus petite des deux longueurs comparées ; L_max = la plus grande longueur de la figure ; nL = le nombre de fois qu’intervient la différence (L₁ — L₂) ou le rapport (L₂ : L_max)¹ et S = la surface.

Dans le cas des courbures comme dans celui des angles, il existe deux différences (L₁ — L₂) à considérer :

a) La différence A — A’ en chaque point distinct de l’arc ; cette différence, qui est responsable de l’accentuation de la courbure, est fonction de la hauteur F (voir la fig. 1).

b) La différence Co — F, puisque la mesure se fait sur Co.

Mais, dans le cas des courbures, on peut ramener ces deux différences à une troisième, qui n’existe pas dans le cas de l’angle. En effet, en un angle à côtés égaux, la médiane ² (notion qui ne présente pas d’intérêt mathématique mais qui a une grande signification perceptive) coupe chacun des côtés en deux moitiés. Au contraire en un arc de cercle, la médiane M, également définie comme la droite qui coupe perpendiculairement à mi-hauteur la flèche F (équivalant à la bissectrice de l’angle), ne partage pas l’arc (ou le demi-arc s’étendant de l’une des extrémités de l’arc au sommet de F) en deux patries égales. Par exemple, dans le cas du demi-cercle, la médiane (M₁ sur la fig. 8) partage l’arc en deux parties dont l’une Ar vaut 2,09 et l’autre (Ar’) est composée de deux moitiés valant ensemble 1,05 (pour un cercle de rayon 1). Il intervient donc, dans le cas des arcs, une troisième différence :

c) La différence Ar — Ar’. Or les longueurs de Ar et de Ar’ sont univoquement déterminées si l’on connaît Co et F ; d’autre part, ces longueurs

¹n étant rapporté à l’unité de longueur L.

² Dans le cas de l’angle nous appelons médiane la droite qui coupe perpendiculairement la bissectrice à mi-hauteur (voir Rech. XXV).

de Ar et de Ar’ déterminent à leur tour la valeur des différences A — A’ ou A’ — A en chaque point perçu sur l’arc ¹.

On peut donc considérer la différence (Ar — Ar’) comme représentant perceptivement les deux autres, ce qui permet alors de poser, dans le cas des courbures :

(I) L₁ — L₂ = Ar — Ar’ ou Ar’ — Ar (représentant à la fois A — A’ et Co — F).

(II) L₂ : L_max = Ar’ : (Ar + Ar’) jusqu’à F = 3/4 du diamètre et Ar : (Ar + Ar’) de F = 3/4 à F = le diamètre entier.

(III) nL = F car le nombre des différences A — A’ ou A’ — A perceptivement distinctes qui interviennent en Ar — Ar’ est fonction de la hauteur F de l’arc : les longueurs de Ar et de Ar’ déterminent simplement la valeur des différences A — A’, mais, à égalité de longueur des cordes ², le nombre des comparaisons distinctes entre A et A’ varie en fonction de F, c’est-à-dire du fait que la courbure est objectivement plus ou moins forte.

(IV) S = CoF, c’est-à-dire la surface du rectangle de référence englobant la figure et délimitant les A et les A’ (voir la fig. 1).

L’expression de l’illusion, dans le cas des courbures, sera donc :

F (Ar — Ar’) × [Ar’ : (Ar + Ar’)] Ar’ (Ar — Ar’)

’ ⁼ ~ CoF ⁼ Co (Ar + Ar’)

jusqu’à F = 3/4 du diamètre (jusqu’à M₂ dans la fig. 8) et

p F (Ar’ — Ar) x [Ar : (Ar + Ar’)] Ar (Ar’ — Ar)

) ^{= +} CoF ⁼ Co (Ar + Ar’)

entre F = 3/4 du diamètre et F = le diamètre vertical entier.

En les prop. (2) et (3), (Ar + Ar’) signifie donc l’arc correspondant à la flèche F ; Ar représente l’arc correspondant à la moitié supérieure de la flèche F et Ar’ représente la longueur totale des deux arcs correspondant à la moitié inférieure de F.

Les calculs effectués au moyen de ces deux formules aboutissent à un maximum négatif lorsque F = la moitié du diamètre du cercle et à un maximum positif lorsque F = 29/32 du rayon du cercle. Voici le détail de ces calculs, les valeurs étant exprimées pour un cercle de rayon 1 (d’où F = 1 pour la moitié du diamètre) :

¹ Nous disons la valeur des différences, et non pas leur nombre, qui interviendra sous n.

² Nous nous sommes effectivement servis, pour les expériences, de figures à cordes de longueurs constantes.

a) Nous comptons donc, dans ces calculs, Ar = 2,09 entre F = 1 et F = 1,5 (voir la fig. 8, où F = 1 correspond à Co₁ et F = 1,5 à M₂et où, en dessous de Co₁, Ar demeure constamment égal à Ar₁ jusqu’au point où la corde coïncide avec M₂). Puis Ar repart de 0 au-delà de F = 1,5 et croît à nouveau jusqu’à F = 2 (voir dans la fig. 8 la région Ar₂ par opposition à Ar₁).

b) Quant à Ar’, sa valeur augmente progressivement jusqu’à F = 1,5 (correspondant à M₂ sur la fig. 8); après quoi il demeure constant (voir la fig. 8) : à partir de F = M₂, l’élément Ar’ reste compris une fois pour toutes entre M₁ et M₂.

c) D’autre part, Co est maintenu constant à partir de F = 1 (= Co₁sur la fig. 8), puisque Co intervient dans la formule de départ (prop. 2 et 3) uniquement à titre d’élément de la surface des rectangles de référence CoF.

d) Notons enfin que, si la courbe théorique débute à 0 pour F = 0, la déformation P prend aussitôt une valeur appréciable, car, pour les plus petites flèches, le produit Ar’ {Ar — Ar’) constitue une fraction importante du produit Co (Ar + Ar’). Mais il est évident que, sur une figure dessinée au moyen de traits comportant une épaisseur (0,1 à 0,3 mm au moins !), l’arc (Ar + Ar’) ne sera perçu comme arc ou comme courbure qu’à partir d’une valeur bien supérieure à la valeur théorique : les débuts de la courbe empirique seront donc plus proches de 0 que ceux de la courbe théorique. Or, en ce qui concerne les erreurs systématiques mesurées sur la corde, ces calculs correspondent d’une manière assez satisfaisante aux données expérimentales (voir les courbes, fig. 10) :

1° L’illusion positive maximum se trouve bien théoriquement à F = 29/32 comme dans toutes les moyennes expérimentales.

2° L’illusion négative augmente théoriquement avec lenteur de F = 2/32 à F = 16/32, ce qui correspond bien au plateau légèrement incliné que révèlent les mesures en cette région de la courbe.

3° L’illusion négative maximum est située théoriquement à F = 16/32 (soit au demi-cercle), ce qui correspond bien au point d’inflexion de la courbe expérimentale (diminution rapide des erreurs négatives après le plateau incliné dont il vient d’être question).

4° Le passage de l’illusion négative à l’illusion positive s’effectue théoriquement à F = 24/32 et s’observe expérimentalement aux environs de F = 22/32. Mais quand les figures sont présentées avec la corde au- dessus de la courbure ou verticalement (tabl. 5), ce passage est plus proche de F = 24/32 ¹.

Il existe certes de petits écarts entre la courbe expérimentale et le calcul théorique, qui, rappelons-le une fois de plus, ne porte que sur la valeur relative des erreurs (notamment la position des maxima et de l’erreur nulle médiane) et non pas sur leur valeur absolue. Mais, malgré ces légères divergences, l’accord est cependant assez satisfaisant pour permettre de considérer comme correspondant à quelque chose le schéma d’explication proposé. Cet accord ressort surtout du fait que la courbe des erreurs propre à cette illusion des arcs de cercle est une courbe assez spéciale, bien distincte de celles que l’on obtient dans le cas des illusions de Delbœuf, d’Oppel-Kundt, des rectangles ou des angles, etc. Or, l’allure générale de la présente courbe se conserve bien, identique à elle-même, lorsque l’on passe du modèle théorique à la courbe expérimentale.

Mais il nous reste à expliquer les deux sortes d’illusions positive et négative relatives à l’estimation de la flèche (ou hauteur), et du diamètre des cercles.

Pour ce qui est de la surestimation relative de la hauteur des petits arcs, ces faits ne soulèvent pas de problème nouveau, puisque c’est la même surestimation de la courbure (fig. 1), qui aboutit à dévaloriser la corde et à valoriser la flèche ou hauteur.

¹ II est donc probable que, quand la corde M₂ (fig. 8) est située au-dessous de la courbure, il s’ajoute aux effets de la prop. (3) une action de position (situation dans la partie inférieure du champ) qui la dévalorise légèrement par rapport à M, : elle est alors remplacée par la corde correspondant à F — 22.

Par contre, il s’agit de rendre compte des dévalorisations ultérieures de la hauteur (notamment du diamètre des cercles), ainsi que du fait que cette dévalorisation débute en moyenne à F = 24/32 soit F = 3/4 (tabl. 7 à 9). Or, ce fait que la dévalorisation ait lieu après F = 24/32 nous permet précisément de l’interpréter en fonction des calculs précédents.

En effet, jusqu’à F = 24/32, l’arc Ar₁ cumule son action avec celle des arcs Ar’ pour valoriser la hauteur F puisque la courbure de Ar₁ est accentuée et que la corde est rétrécie dans la région Ar’ (voir fig. 8). Par contre, à partir de F = 24/32, l’arc Ar₁ n’intervient plus dans le calcul et cède le terrain aux relations entre l’arc Ar₂, qui débute, et l’arc Ar’ demeurant constant autour du diamètre horizontal du cercle (soit Co₁ : fig. 8). Cela signifie qu’à partir du point où les arcs (Ar₁ + Ar’) sont avec Ar₂ dans un rapport de 2 à 1, la forme circulaire générale de la figure tend à l’emporter sur les déformations relatives aux petits arcs, étant donné que la comparaison directe devient possible entre les courbures de quatre arcs égaux : ½ Ar’ (à gauche), ½ Ar₁ (à gauche), ¹∕₂ ∙^r₁(à droite) et ½ Ar’ (à droite), cette égalité expliquant, d’autre part, l’erreur nulle médiane sur la corde (puisque Ar₁ = Ar’, d’où Ar₁ — Ar’ = 0). Il résulte alors de cette prégnance naissante de la forme circulaire que le diamètre horizontal (correspondant à Co₁ sur la fig. 8) étant sous- estimé, cela entraîne la sous-estimation des autres diamètres perceptibles (à partir de F = 24/32) et par conséquent la sous-estimation de la hauteur. De cette explication découle, enfin, le fait que cette sous-estimation de la hauteur (ou flèche) deviendra d’autant plus forte que le cercle sera plus complet, le maximum étant atteint (en valeur absolue) pour le cercle entier lui-même (F = 32/32). Par contre, en valeurs relatives (tabl. 9), on retrouve les maxima positif et négatif voisins de F = 16 et F = 29.

Ces considérations, jointes à celles qui concernent l’erreur sur la corde, autrement dit les interprétations des deux erreurs complémentaires (corde et flèche) relevant de la surestimation de la courbure des arcs de cercle, nous conduisent en conclusion à constater combien de tels faits parlent en faveur de la théorie des bonnes formes que nous avons opposée ailleurs (Rech. XVIII et XIX) à la conception gestaltiste de leur prégnance. Au lieu de concevoir cette prégnance comme le résultat d’une organisation immédiate tendant automatiquement vers la meilleure forme possible, nous avons, en effet, été conduits à admettre que les bonnes formes (il s’agissait en l’occurrence des carrés) présentent des déformations comme les autres figures, et en diffèrent simplement par le fait que ces déformations sont compensées au maximum. Or, nous voyons aujourd’hui la meilleure des « bonnes formes », le cercle, non seulement présenter une série de déformations lorsqu’elle est tronquée (ce qui est naturel puis- qu’alors les arcs de cercles ne sont plus des bonnes formes), mais encore comporter sous sa forme entière et parfaite, une sous-estimation générale de ses diamètres, comparée au carré ! On pourrait peut-être répondre que ce n’est pas alors le cercle qui est sous-estimé mais le carré qui est

surestimé. Seulement, d’une part, les mêmes carrés servent à déceler la surestimation de la corde au-delà de F = 24/32. D’autre part, nous savons (Rech. XVI) que les côtés du carré sont eux-mêmes sous-estimés par rapport aux droites isolées de mêmes longueurs : le carré est donc bien une norme acceptable par rapport à laquelle le diamètre du cercle est sous-estimé.

En bref, si les diamètres du cercle sont ainsi dévalorisés, même quand le cercle conserve sa forme parfaite, c’est donc que cette bonne forme est comme les autres le siège de déformations multiples, qui sont simplement compensées, mais non pas supprimées, grâce à la perception simultanée de l’égalité des diamètres et de celle des courbures entre les différents arcs « rencontrés » par le regard.

Le but de cette étude était de rechercher si la loi des centrations relatives s’applique aux illusions des courbures comme aux autres illusions géométriques primaires, ce qui s’est trouvé être effectivement le cas. L’illusion choisie a été celle des arcs de cercles : lorsqu’un cercle est sectionné en deux parties, la corde de l’arc est dévalorisée jusqu’à des arcs ayant pour flèche F les ³∕₄ du diamètre vertical du cercle et elle est surestimée pour F > ³∕₄. Réciproquement la hauteur de l’arc, donc F, est surestimée jusqu’à F < ³∕₄ et dévaluée pour F > ³∕₄. L’illusion s’est trouvée plus forte chez les enfants que chez les adultes, mais elle a présenté à tout âge la même allure qualitative. Cette allure a pu être exprimée par la formule suivante, tirée directement de la loi des centrations relatives :

Ar’ (Ar — Ar’) Ar (Ar’ — Ar)

P =  pour F < ³∕₁ et P =  pour F > ³∕₁

Co (Ar + Ar’) Co (Ar + Ar’)

où Ar = partie de l’arc supérieure à la médiane (de cet arc) ; Ar’ = partie inférieure à la médiane et Co = la corde.

Selon cette formule, l’illusion P passe par un maximum négatif pour F = ½, par O pour F = ¹∕₂ et par un maximum positif pour F = 29/32. Or, le maximum positif expérimental s’est trouvé à tout âge en ce dernier point ; le maximum négatif est moins net, mais il y a bien un point d’inflexion de la courbe à F = ½ et le passage à 0 s’effectue, selon les techniques, entre F = 22 et F = 24/32, donc près de F = ³∕₄.

Das Ziel dieser Arbeit war, zu ermitteln ob das Gesetz der relativen Zentrierungen für sog. Krümmungstäuschungen ebenso gültig ist wie für die übrigen primären geometrischoptischen Illusionen. Dies konnte erwiesen werden. Als Krümmungstäuschung wurde die Kreisbogentäuschung gewählt : an Kreissegmenten werden die horizontalen Sehnen und die Bogenhöhen wie folgt gesehen :

Die Sehne eines Bogens, dessen Höhe F < ³∕₄ D (D = Durchmesser des Kreises, aus dem der Bogen geschnitten wurde) wird unterschätzt, für F > ³∣_lD wird die Sehne überschätzt. Umgekehrt wird die Bogenhöhe F überschätzt für F < ³∕₄ D und unterschätzt für F > ³∕₄ D. Die Täuschungen sind grösser beim Kinde als beim Er-

wachsenen, doch zeigen sie den gleichen qualitativen Verlauf. Die folgende Formel, die direkt aus dem Gesetze der relativen Zentrierungen abgeleitet wurde, drückt den qualitativen Verlauf aus :

Ar’ (Ar — Ar’) Ar (Ar’ — Ar)

P =  - ’ für F < ³∕₄ und P =  für F > ³∕₄

Co (Ar + Ar’) Co (Ar + Ar’)

Ar steht für den Bogenteil der über der (virtuellen) Bogenmittelsehne (F/2) liegt ; Ar’ für die Summe der Bogenteile, die unter der Bogenmittelsehne, dh. zwischen dieser und der eigentlichen Bogensehne Co liegen ; Co ist die Sehne des ganzen Bogens, dh. Ar + Ar’.

Nach dieser Formel berechnet man ein negatives Maximum der Täuschung P für F = ½, die Täuschung verschwindet für F = ³∕₄ und hat ein positives Maximum für F = 29/32. Die experimentell gefundenen Werte des positiven Maximum fallen für alle Alter auf die letztgenannte Bogenhöhe. Das negative Maximum ist weniger genau bestimmt, doch findet sich ein Wendepunkt der Kurve für D = ½. Das Verschwinden der Täuschung fand sich je nach der Messmethode zwischen F = 22/32 und F = 24/32, dh. sehr nahe bei F = ³∕₄.

The aim of this study was to show whether the principle of relative centration (« loi des centrations relatives ») applies to illusions of curvature in the same way as it applies to other primary geometrical-optical illusions. It has been shown that this is indeed the case. Foι the purpose of investigating such an illusion, we have chosen a segment of a circle with a horizontal chord. The chord is underestimated, if the arrow F of the arc considered is smaller than ³∕₄ of the diameter D of the circle, and the chord is overestimated for F > ³∕₄, D. Conversely, the arrow F (height of the arc) is overestimated if F < ³∕₄ D, and underestimated if F > ³∕₄ D. The children show a more pronounced illusion than the adults, the general qualitative aspect of the curve is the same for all age groups. The following equation, derived directly from the law of relative centrations describes adequately these qualitative results :

Ar’ (Ar — Ar’) Ar (Ar’ — Ar)

P =  for F < ³∕₁ and P =  ¹ for F > ³∕₄

Co (Ar + Ar’) Co (Ar + Ar’)

Ar stands for the length of the part of the arc above a (virtual) horizontal chord at F/2 (median chord); Ar’ is the sum of the two parts of the arc situated below the median chord, i.e. between the median chord and the chord Co. Co is the chord of the complete arc formed by Ar + Ar’.

According to this equation, the illusion P shows a negative maximum at F = ½, it disappears for F ³∕₄ = and shows a positive maximum at F = 29/32. The positive maximum as determined experimentally coincides with the latter figure in all our age groups. The negative maximum is less evident, however there exists an inflection point at F = ½ and the point of zero illusion is found, according to the experimental technique used, between F = 22/32 and F = 24/32, i.e. very close to F = ³∕₄.