Méthode axiomatique et méthode opérationnelle (1957) ^a 🔗

Considérée sous l’angle psychologique, une axiomatique est un système de propositions, donc de pensées verbales (ou significations attachées à un système désignés). Il est inutile de rappeler, en notre „Société internationale de Signifique” que ces pensées verbales constituent essentiellement des actes de communication, c’est-à-dire que les propositions (et les démonstrations auxquelles elles donnent lieu les unes à partir des autres) sont avant tout des actions exercées sur autrui de manière à provoquer chez lui la formation d’un système de pensées correspondant, de façon bi-univoque, à celles qui constituent la théorie envisagée, telle qu’elle a été conçue par son créateur même.

Les opérations, au contraire, consistent psychologiquement en actions générales, exercées non pas seulement sur autrui, mais en premier lieu sur les objets eux-mêmes, que ces objets soient matériels ou symbolisés par des signes quelconques. Mais la plupart des opérations ne demeurent pas à l’état d’actions matérielles (telles une réunion d’objets réels en une collection, ou une mesure par superposition de

deux grandeurs physiques, etc.). Les opérations sont au contraire susceptibles de s’intérioriser sous la forme d’actions mentalisées qui constituent donc à leur tour des pensées, mais sans perdre leur caractère d’actions effectives : ce sont alors des actions simplement esquissées et portant sur des objets symboliques, mais conservant tous les autres caractères psychologiques de l’action matérielle. Il est donc erroné, ou du moins équivoque, de soutenir avec Mach, Rignano, Goblot, etc., que les opérations sont des „expériences” ou des actions „mentalement exécutées”: réunir deux objects symboliques A et A’ en une classe B est psychologiquement la même action que de réunir matériellement deux objets physiques en une collection, à cette seule différence près que la première de ces deux actions ne se déploie pas en gestes extérieurs mais demeure intériorisée, et cela parce qu’elle porte sur des objets symboliquement évoqués et non pas des choses physiquement données.

Mais les opérations ne sont pas simplement des actions intériorisées, car chacune de ces dernières ne constitue pas une opération. Toute opération comporte en outre deux caractères, que ne possède pas n’importe quelle action intériorisée. Le propre des opérations est d’abord de former entre elles des systèmes d’ensemble à propriétés définies relativement à leur totalité. C’est ainsi que l’action d’ordonner deux objets (exécutée matériellement ou intériorisée) ne constitue une opération que dans la mesure où elle peut être coordonnée à d’autres actions de même espèce (ordonner un troisième objet par rapport aux deux premiers, etc.) et où cette coordination obéit à certaines lois de totalité (systèmes semi-ordonnés, bien ordonnés, etc.) — On pourrait naturellement définir les opérations d’une manière qui ne comporte pas la présence nécessaire de ces systèmes d’ensemble mais, du point de vue psychologique, il existe une grande différence entre les niveaux que nous appellerons „préopératoires” (par exemple ceux où l’enfant ne peut pas tirer la conclusion A ≦ C des prémisses A ≦ B et B ≦ C, faute de transitivité, (c’est-à-dire faute de savoir sérier les relations asymétriques transitives) et les niveaux proprement opératoires (c’est-à-dire où les opérations permettent de telles coordinations): or, cette différence tient précisément à l’absence ou à la présence de systèmes d’ensemble (groupes, lattices, groupements, etc.) dont la formation peut être suivie ou étudiée psychologiquement et joue un rôle fonctionnel important dans la vie mentale, indépendamment des théories logiques ou mathématiques que l’on peut faire à leur sujet.

Le second caractère fondamental des opérations est ce qu’on peut appeler leur „réversibilité”, laquelle peut se présenter sous différentes

formes. Il en existe deux principales. L’un est la propriété, pour une opération donnée, de comporter une opération inverse (négation) qui l’annule : par exemple -j- A et — A. Cette propriété, qui est fondamentale des opérations de groupe, correspond à un caractère psychologique essentiel, qui est la possibilité du retour au point de départ par annulation de l’opération initiale. Mais toutes les opérations ne sont pas réversibles en ce sens particulier, et même les opérations qui comportent une inverse peuvent présenter une autre forme de réversibilité. Cette seconde forme est ce que nous nommerons la „réciprocité”, laquelle se rapporte, non pas à l’annulation d’un élément, mais à celle d’une différence, c’est-à-dire à l’équivalence (par exemple si a 3 b est vraie et sa réciproque b a également, on a a = b.).

De même que la présence des systèmes d’ensemble, la réversibilité (qui constitue d’ailleurs une propriété essentielle de ces systèmes eux-mêmes : l’opération inverse pour le groupe, la réciprocité pour le lattice, etc.) joue un rôle fondamental dans la constitution psychologique des opérations. On peut aller jusqu’à soutenir ( et c’est ce que toutes nos études sur la formation de l’intelligence chez l’enfant nous ont appris) que le développement même de l’intelligence *) se mesure aux progrès dé la réversibilité, et c’est ce que nous reverrons à l’instant.

Les systèmes d’axiomes, ou de propositions en général, et les systèmes d’opérations, d’autre part, étant ainsi caractérisés de ce premier point de vue, le problème psychologique des relations entre les méthodes axiomatiques et opérationnelles est alors de déterminer lesquels de ces deux systèmes sont les plus fondamentaux relativement à la formation des processus intellectuels. Je sais bien que l’opposition principale entre les axiomaticiens et les opérationnalistes est de caractère épistémologique : les premiers croient ordinairement saisir, par l’intermédiaire de la réduction axiomatique, une sorte de vérité en soi indépendante des opérations et surtout indépendante du devenir psychologique ; les seconds seuls, au contraire, sont habituellement accessibles à la notion de construction progressive. Il en résulte que la question dont nous nous occupons maintenant n’est sans doute d’aucun intérêt pour les premiers, à supposer même qu’elle présente une signification pour les seconds. Mais cela ne doit pas nous empêcher de la discuter, car si les vérités psychologiques n’ont aucun droit de cité en logique proprement dite, elles en acquièrent certainement un en épistémologie, sitôt que l’on accepte de près ou de loin les méthodes de l’épistémologie génétique.

Or, du point de vue psychologique, les opérations constituent une réalité plus fondamentale que les systèmes axiomatiques, car, même, si,

• Voir J. Piaget, La psychologie de l’intelligence, Coll. A. Colin (trad, en anglais, en allemand, etc.).

aux stades supérieurs d’évolution, l’action est orientée par la pensée grâce à une sorte de choc en retour de celle-ci sur celle-là, aux stades élémentaires l’action précède la pensée et celle-ci procède d’abord de celle-là. Plus précisément dit, la pensée commence par n’être qu’une intériorisation de l’action, avant de pouvoir consister en systèmes de propositions susceptibles d’assurer le réglage des actions opératives, et les systèmes opératoires constituent ainsi une sorte de donné préalable sur lequel la réflexion axiomatique ne saurait s’exercer qu’après coup.

Ce primat psychologique de l’action en général qui entraîne donc un primat psychologique des opérations eu égard aux pensées verbales ou aux propositions, ressort avec une clarté particulière de l’évolution de l’intelligence et de la pensée chez l’enfant. On peut, en effet, ramener ce développement à une succession de quatre périodes principales.

Durant la première, qui précède l’apparition du langage et par conséquent de la pensée (de la naissance à 1½ an à peu près), on voit déjà se constituer une forme élémentaire d’intelligence, mais qui s’appuie exclusivement sur les actions (perceptions et mouvements indissociablement coordonnés en systèmes sensori-moteurs). Or, cette intelligence sensori-motrice marque déjà certaines conquêtes importantes, telles que la construction du schème de l’objet permanent et celle de l’espace proche pratique. De plus les actions sensori-motrices s’organisent assez rapidement (fin de la première année) en systèmes d’ensembles cohérents, tels que les groupes des déplacements dans l’espace expérimental proche, groupe que H. Poincaré considérait même (à tort, croyons-nous) comme inné, et dont l’invariant est précisément l’objet permanent (possibilité d’un retour, en cas de disparition perceptive, par annulation du déplacement au moyen d’un déplacement inverse, ou d’un déplacement réciproque du corps propre).

La deuxième période débute avec l’apparition du langage et dure jusque vers 7— 8 ans. Elle est caractérisée par les premières conduites symboliques, telles que les représentations imagées et les récits verbaux. Les actions sensori-motrices, qui continuent de se déployer à l’extérieur, s’accompagnent ainsi dorénavant d’actions intériorisées, mais celles-ci demeurent, durant toute cette seconde période, à l’état irréversible et par conséquent prélogique. C’est ainsi que jusque vers 7— 8 ans l’enfant ne parvient pas à d’autres principes de conservation que celui de l’objet pratique dans l’espace proche : un liquide lui paraît augmenter ou diminuer de quantité lorsqu’on le transvase d’un bocal dans un autre de forme différente : une boulette de pâte à modeler lui paraît changer de poids et de quantité de matière lorsqu’on l’étire ou qu’on l’aplatit ; deux tiges de longueurs égales perdent cette égalité si l’on déplace l’une de manière à ce qu’elle dépasse l’autre ; etc.

Au cours d’une troisième période (7— 8 à 11— 12 ans) certaines opérations se constituent en tant qu’actions intériorisées, réversibles et formant entre elles des systèmes d’ensemble définis. Mais cette constitution n’a encore lieu que sur le plan concret, c’est-à-dire relativement à des objets manipulables, en réalité ou en s’appuyant sur des représentations imagées. Les opérations dont il s’agit ne consistent donc qu’en opérations portant sur des classes, sur des relations, sur des nombres ou des réalités spatiales (et physiques élémentaires), à l’exclusion des opérations proprement propositionnelles (logique des propositions indépendante de leur contenu).

L’indice psychologique le plus sûr de l’apparition de ces opérations concrètes est la constitution de notions de conservation, fondées sur la réversibilité opératoire. C’est ainsi qu’une boulette de pâte à modeler, ou qu’une certaine quantité de liquide, etc., dont on altère la forme, conservent leur quantité de matière, puis leur poids, parce que chaque modification de leur forme peut être annulée par une modification en sens inverse et par ce que l’accroissement apparent selon une dimension est compensée par les diminutions selon les autres dimensions. De même une collection d’objets discontinus dont on transforme la disposition spatiale est désormais conçue comme se conservant en sa totalité, et cela en vertu des mêmes raisonnements fondés sur la réversibilité. Bref, l’apparition des opérations réversibles entraîne en tous les domaines la formation d’un ensemble de schèmes de conservation, inconnus au cours de la période précédente et rendant dorénavant possible la constitution d’une logique concrète.

Or, cette logique des opérations concrètes se manifeste d’emblée par la formation de structures d’ensemble élémentaires dont les opérations particulières sont toujours dépendantes. Par exemple la construction de classes par emboîtement de la partie A dans le tout B est psychologiquement solidaire de l’élaboration d’une classification et la plus simple des classifications est formée par une succession de distinctions dichotomiques : A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc. (où A × A’ = O ; etc.)

C’est cette structure opératoire qui permet la constitution des premiers raisonnements logiques fondés sur la transitivité des inclusions et sur la disjonction des classes complémentaires. De même les premiers raisonnements fondés sur les relations asymétriques transitives, par exemple (A<B) -j(B<C) = (A<C) sont d’emblée solidaires d’une structure d’ensemble qu’on peut appeler l’enchaînement ou la sériation qualitative. Si nous appelons a la relation O < A ;

a’ la relation A < B ; etc. on a en effet un système élémentaire distinct du précédent et fondé sur l’addition ou la soustraction des relations de différence (et non plus des termes eux-mêmes qui constituent des classes) a-pa’=fe ; b-]-b’=c ; etc. où a’=zb — a ; b’— c — b ; etc.

Durant cette même période se constituent également les premiers systèmes multiplicatifs, ou tables à double entrée, dont le plus simple est constitué par les correspondances bi-univoques (qui sont qualitatives avant de devenir numériques ou „quelconques”, c’est-à-dire que les termes se correspondent en fonction de qualités communes avant d’être conçus comme de simples unités).

Mais, durant la période que nous envisageons maintenant ces structures opérations d’ensemble ne donnent encore lieu qu’à une logique concrète, c’est-à-dire dont les raisonnements portent sur les objets comme tels. Sitôt que l’on remplace les objets par de simples propositions verbales, l’enfant de 7— 8 à 11— 12 ans demeure prélogique, c’est-à-dire qu’il ne parvient plus à manier ces propositions de façon cohérente. Du point de vue psychologique, il est donc évident que la logique des classes et des relations — et encore sous la forme des groupements élémentaires que nous venons de rappeler — précède la constitution d’une logique des propositions.

Enfin, durant une quatrième période, qui débute à 11— 12 ans et recouvre toute l’adolescence, se constitue la logique formelle proprement dite ou logique des propositions. Le passage de la logique concrète à celle des propositions s’effectue psychologiquement de la façon suivante : à un ensemble de classes multiplicatives (ou de relations multiplicatives) se superpose tô t ou tard, en vertu des besoins du raisonnement déductif, T’ensemble des parties” correspondant à ces classes (ou à ces relations). Prenons comme exemple le groupement multiplicatif élémentaire (table à double entrée) consistant à multiplier l’une par l’autre deux classes

B₁ = A₁ + A’₁ et B₂ = A₂ + A’₂. On a :

B₁ × B₂ = A₁A₂ + A₁A’₂ + A’₁A₂ + A’₁A’₂

De cet ensemble de quatre classes fondamentales, on tire alors un „ensemble de parties” formé des 16 classes suivantes :

1 classe nulle

4 classes formées d’une seule classe fondamentale

6 classes formées de deux classes fondamentales

4 classes formées de trois classes fondamentales

1 classe formée par les quatre classes fondamentales.

Si nous faisons maintenant correspondre à la classe A_x la proposition p et à la classe A₂ la. proposition q (d’où p correspondant à A₁ et q à A₂), cet ensemble de 16 parties correspondra aux 16 opérateurs binaires (O ; p. q ; p. ~q ; etc.) de la logique bivalente des propositions.

C’est schématiquement ainsi que s’opère, entre 11-12 et 14-15 ans, le passage de la logique des classes et des relations à celle des propositons. On nous a parfois objecté qu’un tel passage était logiquement incorrect et que, du point de vue logique, le calcul des propositions précède celui des classes. Mais, autre chose est de „fonder”, comme fait l’axiomatique de la logique, et d’”expliquer” comme tente de le faire la psychologie. Psychologiquement, la logique des propositions dérive de celle des classes et des relations, et si un tel passage était logiquement incorrect, cela reviendrait à dire que la logique des propositions se construit, dans la réalité mentale, de façon non logique (ce que nous hésiterions, pour notre part, à admettre sans de meilleures raisons que celles des commodités ou conventions propres à l’analyse axiomatique). C’est sur un tel point qu’apparaît le plus clairement le conflit possible entre les méthodes axiomatiques et opérationnelles et l’utilité que présente une analyse strictement opératoire à titre de conciliation ou tout au moins d’intermédiaire entre les données psychologiques et les exigences logistiques.

Quoiqu’il en soit de cette question délicate, la logique des propositions se constitue donc seulement au cours de cette quatrième période dans l’esprit de l’enfant et de l’adolescent, en ce sens que les propositions sont dorénavant susceptibles d’être composées les unes avec les autres selon de purs rapports formels et indépendamment de leur contenu concret. En d’autres termes, le raisonnement devient hypothético-déductif et la logique formelle est enfin constituée. Mais il est évident que le sujet, tout en se soumettant désormais à ses règles, serait incapable de les formuler dans l’abstrait : la logique des propositions est donc encore essentiellement opératoire à ses débuts. Elle ne consiste pas d’emblée en une application d’axiomes énoncés au préalable, mais constitue la prise de conscience progressive d’un mécanisme opératoire sous-jacent. De l’action sensori-motrice aux opérations concrètes et de celles-ci aux opérations inter-propositionnelles ou formelles, on assiste psychologiquement au total, à une construction continue qui étape après étape aboutit, comme à ses formes d’équilibre finales, aux structures caractéristiques de la logique formelle du sens commun, sans jamais couper ses attaches avec les mécanismes opératoires de l’intelligence.

Du point de vue psychologique il faut donc conclure que, dans la

mesure où l’action’précède et prépare la pensée, les opérations préexistent à leur axiomatisation. De même que la pensée est cil partie déterminée par des lois d’organisation qui plongent leur racine jusque dans les structures de l’action, de même toute axiomatisation est solidaire de structures opératoires dont elle constitue essentiellement la prise de conscience. Si l’on analyse sous une telle perspective psychologique les quatre axiomes de la logique bivalente des propositions (p ⋁ p) ⇒ p ; p ⇒ (p ⋁ q); (p ⋁ q) ⇒(q ⋁ p) et (p ⇒ q) ⇒ {(p ⋁ r) ⇒ (q ⋁ r)} on y retrouve, en effet, les structures de l’emboîtement de la partie dans le tout, de l’auto-emboîtement du tout en lui-même, de la commutativité de l’addition des parties et de la transitivité des emboîtements, qui appartiennent déjà, non pas seulement aux opérations concrètes de classes et de relations, mais encore aux schèmes préopératoires de l’action sensori-motrice elle-même. A faire de telles constatations, on ne peut s’empêcher de penser que ce qui est primitif, au sein d’une axiomatique, rejoint tôt ou tard, à une profondeur suffisante d’analyse, ce qui est primitif opératoirement et même génétiquement.

La logistique moderne se présente tout d’abord sous les aspects d’une axiomatique, et cela est indispensable pour autant que l’on s’assigne comme but l’analyse des conditions de vérité du système. En d’autres termes, dans la mesure où l’on envisage la logique sous l’angle normatif, elle ne peut être traitée qu’axiomatiquement. Un tel point de vue est inattaquable et nous ne songeons pas le moins du monde à le discuter.

Mais la logistique est aussi un ensemble de techniques opératoires, et même, lorsque celles-ci sont fondées axiomatiquement, il reste à se demander à quelles lois de structure ces diverses opérations obéissent. Un certain nombre de travaux mathématiques ont par exemple mis en évidence les relations existant entre certaines structures logiques et certains groupes ou certaines formes de réseaux (lattices), et il y a là un genre de recherches dont la fécondité n’est sans doute pas épuisée.

Le problème spécifiquement logique des relations entre la méthode axiomatique et les méthodes opérationnelles nous paraît donc consister avant tout à déterminer les rapports existant entre une axiomatique déterminée et les structures opératoires auxquelles elle a recours. Or ces rapports sont loin d’être simples. En effet, toute axiomatique se donne un certain nombre de notions opératoires indéfinissables et part d’un certain nombre de propositions indémontrables (= axiomes)

utilisant entre autres ces notions. Il subsiste donc toujours, qu’on le veuille ou non, quelqu’élément implicite en une axiomatique, puisqu’on ne peut savoir ce qui se cache sous les indéfinissables et les indémontrables et que l’on convient même, par méthode, de ne point s’en occuper. La question est alors de savoir si cet implicite demeure réellement inopérant ou si, se référant à des structures d’ensemble sous-jacentes, il en projette malgré tout, sur l’édifice explicite, non pas seulement l’ombre, mais le pouvoir de systématisation.

Le problème se pose dès le choix des axiomes. Les axiomes d’un système doivent, en effet, remplir cette double condition d’être à la fois non-contradictoires entre eux et cependant indépendants. Or, l’histoire montre qu’il est difficile de démontrer cette dernière condition, puisque l’on s’aperçoit parfois après coup de la réduction possible d’un axiome jusque là tenu pour indépendant : par exemple P. Bernays a pu démontrer que l’un des cinq axiomes de Russell et Whitehead se ramenait aux quatre autres. Si, d’autre part, les axiomes choisis sont réellement indépendants, comment peut-on être assuré qu’ils ne conduiront jamais à une contradiction ? On l’est jusqu’à un certain degré d’approximation, mais la présence des indéfinissables empêche précisément la certitude absolue, faute de pouvoir jamais tout expliciter.

Or, du point de vue opératoire, cette double condition de non-contradiction et d’indépendance évoque immédiatement la notion de structure d’ensemble. Les opérations fondamentales constituant une structure étant à la fois distinctes et solidaires il en résulte que, si une axiomatique constitue le reflet d’une telle organisation opératoire, ses propositions premières devront reproduire ce double caractère, d’où leur pluralité nécessaire (indépendance relative) et cependant leur cohérence (non-contradiction). Un exemple particulièrement clair à cet égard est celui du célèbre axiome unique de J. Nicod, condensant en un seul énoncé complexe (à cinq propositions et deux opérations) les axiomes de Russell-Whitehead : nous avons cherché ailleurs * à montrer qu’il traduisait sans plus une structure élémentaire de « groupement” (nous reviendrons à l’instant sur cette notion).

On se trouve alors en présence du problème général suivant, qui touche à la signification même de la logique. Ou bien les fondements de la logique sont affaire de pures conventions, et alors il n’y a rien à chercher en deçà des axiomatiques : chacune se suffit à elle-même, mais la tâche devient en ce cas insurmontable de coordonner après coup ses résultats avec les données physiques et les données psychologiques. Ou bien, au contraire, les lois de la logique expriment, d’une

* Traité de Logique, § 35

maniéré ou de l’autre, celles de l’intelligence ou de la pensée, et alors ,il devient nécessaire de taire correspondre à tout système axiomatique une analyse en quelque sorte „préaxiomatique” tentant à dégager les structures opératoires dont les axiomes considérés expriment le réglage.

Or, en suivant cette seconde voie, on découvre une remarquable convergence entre les structures opératoires d’ensemble qui interviennent dans la logique bivalente des propositions et les lois psychologiques de la pensée, notamment en ce qui concerne la réversibilité, sous sa forme stricte (inversion) et sous celle de la réciprocité.

On s’aperçoit d’abord que les 16 opérateurs (ou les 256 opérateurs ternaires, etc.) obéissent aux lois d’un groupe de quatre transformations. Soit une opération quelconque telle que p ⋁ q. On peut alors :

La laisser inchangée : transformation identique 1.

L’inverser, c’est-à-dire déterminer sa complémentaire par rapport à l’affirmation complète (p. q) ⋁ (~p. q) ⋁ (p. ~q) ⋁ (~p. ~q)

L’inverse N de (p ⋁ q) sera donc ((~p. ~q)).

La transformer en sa réciproque R, ce qui revient à laisser inchangée l’opération elle-même (⋁) mais à nier les propositions qu’elle relie. Soit R(pvq)=~p ⋁ ~q = p/q.

La transformer en sa corrélative C, ce qui revient à permuter les (⋁) et les (.) dans la forme normale de l’opération, mais sans modifier le signe des proposition. Soit C (p ⋁ q) = p. q

On constate alors que ces quatre transformations constituent un groupe commutatif, tel que :

R C (=CR)= N ; N C (=CN)=R ; N R (=RN)=C (1)

et R N C (= NRC=CRN=etc.)=I (2)

Un tel groupe comporte la table de multiplication suivante :

I R N C

R I C N

N C I R

C N R I

En effet, si C de p ⋁ q est p. q alors RC est ~p. ~q, qui est bien N de (p ⋁ q). De même NC est p/q (N de p. q.), qui est bien la R de p ⋁ q); etc.

De même l’opération p ⇒ q comporte une N (qui est p. ~q), une R (qui est ~p ⇒ ~q = q ⇒ p) et une C (qui est ~p. q), lesquelles, avec la transformation identique I reproduisent le même groupe I N R C. Il est à noter seulement que dans certains cas (comme l’équivalence p = q), on a R = I et C = N et que dans d’autres cas (comme dans celui de l’opération p. q ⋁ p. ~q) on a R = N et C = I. Mais les propositions (1) et (2) sont toujours vérifiées, même dans ces cas où les quatre transformations ne sont pas toutes distinctes. Précisons encore que le même groupe

se retrouve au sein des 256 opérations ternaires, des 65.536 opérations quaternaires, etc. de la logique bivalente des propositions.

On constate donc que la généralité d’un tel groupe logistique converge de la façon la plus claire avec ce que nous apprend l’analyse psycho-génétique de l’intelligence, à savoir que les deux formes complémentaires d’équilibre vers lesquelles tend le développement des opérations mentales sont l’inversion (présence d’une opération inverse qui annule l’opération directe) et la réciprocité.

En certains groupes moins complets, comportant seulement une opération et son inverse (comme les deux groupes de la disjonction exclusive et de l’équivalence qu’admet l’anneau propre à l’algèbre de Boole) c’est la réversibilité stricte (inversion) qui est mise en évidence.

Mais, comme on le sait bien, les opérations de la logique des propositions forment aussi un „réseau” (ou lattice), dont la „borne supérieure” est constituée par la disjonction non exclusive (⋁) et la „borne inférieure” par la conjonction (.). Or, le lattice apparaît de plus en plus comme une structure d’ensemble de nature très générale, dont on retrouve la présence dans les domaines les plus nombreux des mathématiques et même de la physique, et dont l’importance semble aujourd’hui égale à celle du groupe. Il est donc intéressant de se demander, à la lumière de l’analyse opératoire de la logique des propositions, à quoi tient ce caractère fondamental du lattice. Dans le cas du groupe, on comprend d’emblée l’accord entre les caractères de cette structure formelle et les lois de la pensée, puisque la réunion d’une opération directe et de son inverse constitue la condition même d’un état d’équilibre, et converge ainsi directement avec les caractères de cet équilibre mobile vers lequel tendent les opérations de l’intelligence. Mais, dans le cas du lattice, quelle est la raison.de sa prégnance ?

Si le groupe, en sa forme générale, est l’expression de l’inversion (négation), le lattice, en sa forme générale, est l’expression de la réciprocité. Deux caractères fondamentaux le montrent immédiatement. En premier lieu, la borne supérieure (le „meet”) et la borne inférieure (le „join”) sont dans une relation de corrélativité (C) du point de vue de l’opération composante a (⋁). En effet, si la borne supérieure de deux opérations x et y est x ⋁ y, leur borne inférieure est x.y. Or, la corrélative est l’inverse (donc la forme négative) de la réciproque de a. En second lieu, lelattice comporte une certaine loi de dualité laquelle consiste pour une expression donnée, à permuter les (⋁) et les (.) ainsi que les relations „succède” et les relations „précède". Si nous appliquons cette loi à la relation existant entre la borne inférieure et la borne supérieure, nous obtenons :

(x.y) précède (x ⋁ y) →(x ⋁ y) succède à (x.y)

On constate alors que cette transformation ne consiste pas à nier la première expression, mais simplement à la convertir, par permutation des termes et renversement du rapport, ce qui est une forme de réciprocité puisque l’expression transformée est équivalente à l’expression initiale). Il est d’ailleurs possible d’ajouter la négation à la transformation, ce qui donne :

(x.y) précède (x ⋁ y) → (~x ⋁ ~y) succède à (~x.~y)

Mais on voit d’emblée que ~x ⋁ ~y est la réciproque de x ⋁ y du point de vue de l’opération composante a (ici ⋁) et que (~x.~y) est la réciproque de x.y. du même point de vue (ici .).

De façon générale, si nous appelons a l’opération composante (⋁) et Ca sa corrélative (.), on a donc :

Ra succède à Ra Ca

Ca précède a

a succède à Ca

Par exemple „(p. q) précède (p ⋁ q)’’ entraîne par dualité soit „(p ⋁ q) succède à (p. q)” soit „(p/q) succède à (~p. ~q)”. On ne sort donc pas des réciprocités, puisque (p/q) est la réciproque de (p ⋁ q) et (~p. ~q) de (p. q): or, la raison en est précisément que la relation entre les bornes inférieures et supérieures est une relation de corrélativité (Ca).

Précisons maintenant que le lattice peut également s’accompagner d’inversion proprement dite (lors qu’il existe des complémentaires de première et de seconde espèce, comme c’est le cas dans le lattice constitué par la logique bivalente des propositions), de même que le groupe peut s’accompagner de réciprocité (comme c’est le cas du groupe exprime essentiellement l’inversion et le lattice la réciprocité).

Il se pose alors deux questions, du point des relations entre les mécanismes opératoires et les lois psychologiques de la pensée : c’est celle des relations entre l’inversion et la réciprocité dans la construction même des structures bivalents à 1, 2, …… propositions, et c’est celle de ce que l’on pourrait appeler la succession opératoire de ces structures d’ensemble.

Pour résoudre la première question, dressons d’abord les tables des opérations possibles pour 1, 2, 3, etc. propositions. Une seule proposition, que nous appellerons q donne les quatre possibilités q ; ~q ; q ⋁ ~q ; q.~q(=0)

que nous pouvons déjà mettre sous la forme d’une table (fig. 1):

o q

q q ⋁ ~q

présentant les mêmes propriétés que les tables suivantes, sans qu’il soit besoin d’y insister dès maintenant. Pour construire la table des opérations binaires, multiplions ces quatre opérations uniaires par la proposition p et par sa négation p.    Nous obtenons :

p. o = O ; p. q ; p. ~q ; p. (qv~q) et ~p. o = O ; ~p. q ; ~p. ~q ; ~p. (q ⋁ ~q).

Disposons maintenant ces deux suites selon les deux dimensions d’une table à double entrée et faisons correspondre à chaque terme de la première suite sa réciproque dans la seconde suite (puisque par hypothèse la structure du latticfe est fondée sur la réciprocité).

Il suffira alors d’additionner (v) membre à membre les termes de la première suit aux termes correspondants de la seconde pous obtenir toutes les bornes supérieures du lattice des 16 opérations binaires. Le tableau complet comporte, en effet, les 16 possibilités suivantes (fig. 2):

(Pour ce qui est des notations nous désignerons par [q] l’expression qvq ; par w la disjonction exclusive et par* la tautologie ou affirmation complète p. qvp.qvp.qvp.q)

Cette table est naturellement isomorphe aux tables de valeur de vérité de v. Wittgenstein, que l’on peut disposer comme dans la fig. 2 en écrivant la ligne supérieure sous la forme oooo ; oloo ; looo et lloo et la colonne de gauche sous la forme oooo ; oolo ; oool et ooll.

Mais le problème est ici de dégager les relations entre l’inversion et la réciprocité, ou, de façon générale, entre les groupes et le lattice que constituent, pas leur structure d’ensemble, les 16 opérations binaires de la table ainsi construite.

A cet égard, il convient de relever les propriétés suivantes de la table :

(1) Chaque opération est le produit additif (v), donc la „borne supérieure” (meet) des termes correspondants appartenant à la ligne supérieure et à la colonne gauche du carré. Par exemple :

(pwq) = (p. q) (p. q) ou (p. q) = (p. q) ⋁ o.

(2) Chaque opération est le produit multiplicatif (.), donc la „bome inférieure” (join) des termes correspondants appartenant à la colonne de droite et à la ligne inférieure du carré. Par exemple :

(pwq) = (p ⋁ q).(p/q) ou (p ⋁ q) = (pvq.).(p*q).

(3) Les symétriques par rapport au centre (-}-) du carré sont les inverses (N) les uns des autres : par exemple (pwq) et (p=q) ou (p. q) et (p^q).

(4) Les symétriques par rapport à la diagonale / sont les réciproques

(R) les uns des autres : par exemple (p^q) et (q^p) ou (p/q) et (pvq).

(5) Les symétriques par rapport à la diagonale \ sont les corrélatifs (C) les uns des autres : par exemple (p. q) et (pvq) ou (p. q) et (p/q).

(6)Les opérations appartenant à la diagonale / présentent les proprié-

tés R = N et C = 1. Par exemple la R de p[q] est p[q] et son inverse N également ; par conséquent sa corrélative C est p [q]

(7) Les termes appartenant à la diagonale \ présentant les propriétés R = 1 et C = tV. Par exemple la R de p— q est aussi p=q et sa corrélative C est identique à son inverse N, c’est-à-dire à pwg.

(8) Lorsqu’une opération z résulte de la réunion de deux autres x et y, c’est-à-dire lorsque z constitue la borne supérieure de x et y, alors l’inverse de z, soit z, constitue le produit multiplicatif (la borne inférieure) des inverses de x et de y, soit :

si x ∨ y — z alors x.y=z

Par exemple si p[q] ∨ {p. q)=.{pjq) alors p[q]. (p^q) = (p. q).

Il y a là simultanément une application des lois du groupe 1 NRC puisque x.ÿ est l’inverse (N) de x ∨ y, et des lois du lattice puisque x.ÿ est la réciproque Ra de la borne inférieure x.y correspondant à la borne supérieure x vy et constituant sa corrélative Ca (du point de vue de a = v).

Considérons maintenant trois propositions p,q et r. On aura pour q et r 16 possibilités correspondant à celles du tableau de la fig. 2. Multiplions les par

On remarque que la seconde suite est ordonnée de façon à ce que chaque terme constitue la réciproque R du terme correspondant de la première suite. Il suffit alors de mettre la première suite sur la ligne supérieure d’une table à double entrée et de disposer la seconde suite sur la colonne de gauche de cette table (avec le O comme sommet supérieur gauche du carré) pour obtenir, selon le même principe additif que celui de la fig. 2, la table des 16 x 16 = 256 opérations ternaires.

Avec quatre propositions, il suffira de multiplier les 256 opérations ternaires q, r, s par p et p pour obtenir une table à double entrée de 256 x 256 = 65.536 opérations quaternaires, qui présentera les mêmes propriétés ; et ainsi de suite.

La conclusion à tirer de cette analyse est que, dans la logique bivalente des propositions, les lois du groupe et celles du lattice, ou, ce qui revient au même, les structures d’inversion et les structures de réciprocité sont inextricablement mêlées. En effet, d’une part, le groupe fondamental 1NR C englobe la réciprocité en même temps que l’inversion. D’autre part, les rapports entre les bornes supérieures et in-

férieures du lattice (⋁) et (.) constituent eux-mêmes un groupe, puisque si (⋁) = fl et (.) = Ca, on a Ra =. NaCa et Raca = Na, ainsi que RaCaNa — a ; cela revient donc à dire que le lattice (⋁) et (.) tout en portant essentiellement sur les corrélativités et réciprocités, englobe à son tour l’inversion (Ca =NaRa).

Pour dégager les rapports entre l’inversion et la réciprocité quant à leur importance dans les mécanismes opératoires élémentaires de la pensée, on ne saurait donc se contenter d’une analyse statique et il s’agit de tenter un essai d’investigation sur la succession même des structures d’ensemble. Nous dirons qu’une structure B succède à une structure A quand elle la contient tout en lui ajoutant d’autres opérations. A cet égard, on ne saurait dire que le groupe 1 NRC précède le lattice (⋁) et (.) ni le contraire, puisque chacun comporte certaines opérations de l’autre tout en les complétant par des mécanismes opératoires propres.

Mais il est des structures logiques plus élémentaires que ce groupe et ce lattice. Si l’on se reporte aux structures que nous avons décrites plus haut(§ 1) à propos des opérations concrètes (accessibles à l’esprit avant les opérations formelles, au cours du développement mental), on y trouve des systèmes opératoires tels que la classification élémentaire la sériation ou les tables à double entrée résultant de leur multiplication (cf. l’exemple donné de B₁ × B₂).

Or, ces structures élémentaires méritent de retenir l’attention. Le mathématicien et le physicien peuvent à bon droit les ignorer, car elles n’ont plus cours dans leurs sciences depuis les Présocratiques ou Aristote. Mais il est à noter que la biologie descriptive et systématique n’ont point encore renoncé à leur usage : les classifications zoologiques et botaniques, les séries et les tables à double entrée de l’anatomie comparée consistent toutes entières en de telles structures.

Or, ces structures, que nous avons appelées „groupements”, constituent simultanément des lattices incomplets et des groupes imparfaits, précédant donc à la fois ces deux autres structures. Du point de vue du lattice, le groupement” de la classification simple n’est, comme on le voit d’emblée, qu’un demi-réseau puisqu’il lui manque la fermeture que constituerait l’emboîtement des A’, B’, C entre eux : c’est un réseau qui possède des „bornes supérieures” (B, C, D, etc.) mais dont toutes les „bornes inférieures” entre classes de même rang sont nulles (A x A’ = O ; B x B’ = O ; etc.). Du point de vue du groupe c’est un système comportant les opérations directe A -f A’ − B) et inverse (− A − A’= − B d’où B − A’ = A ; etc.). Mais tous ses éléments étant idempotents, on ne peut composer la tautologie A -\-A = A avec l’opération inverse A— A = O de façon entièrement associative :

A + (A − A) = A et (A + A) − A = O. En faisant abstraction de la tautification A + A =A et en ne retenant que les additions disjonctives (additions de classes entièrement disjointes) on trouve le groupe de Boole-Bernstein. Mais ce groupe ne s’obtient qu’en déboîtant les classes élémentaires A, A’, B’, etc. de leurs emboîtements initiaux, tandis que dans le groupement de la classification, la mobilité du système est limitée à la fois par les tautifications A + =A et par la nécessité de procéder de proche en proche en toute composition (contiguïté): c’est ainsi que A´ + E´ ne donne pas une classe définie (par exemple la carpe et le lapin), mais n’est composable que sous la forme A´ + E´ =F −A −B´−C´ −D’.

Or, du point de vue qui nous occupe ici, c’est-à-dire du caractère plus ou moins primitif ou élémentaire de l’inversion et de la réciprocité, les groupements de classes et de relations présentent cet intérêt de présenter ces deux mécanismes opératoires fondamentaux de la pensée à l’état dissocié et cependant nécessaire dans les deux cas. C’est ainsi que l’opération inverse du groupement de la classification (−A) est une inversion proprement dite : +A − A = O (le O étant la classe nulle). Au contraire, l’opération inverse du groupement de la sériation (relations asymétriques transitives) repose en fait sur la réciprocité : s’il existe entre A et B une différence a’, l’opération directe

a’

consiste à ajouter cette différence (+ →) et l’opération inverse à la

a’ a’

retrancher (— → ce qui équivaut à + ←). Le produit des deux donne alors,

non pas une classe nulle comme pour l’inversion, mais une différence nulle, c’est-à-dire une équivalence :

a’ a’ o a’ a’ o

(A →B) + (B ←A) = (A ⇔ A) ou (B ← A) + (A→B) = (B ⇔ B).

Il y a donc ici réciprocité et non plus inversion proprement dite. D’une manière générale, l’inversion caractérise les groupements de classes, dans lesquels l’opération inverse consiste à supprimer des termes ou des emboîtements, et la réciprocité caractérise les groupements de relations, dans lesquels l’opération inverse consiste à convertir relation (c’est-à-dire à parcourir la différence A → B ou l’équivalence A₁ ⇔ A₂ dans le sens inverse). Notons qu’il en est de même dans les opérations interpropositionnelles, où l’inversion consiste à supprimer une combination au profit de sa complémentaire (par exemple p^q au profit de p. q) et où la réciprocité, dans le cas des opérations comportant une relation d’ordre, comme l’implication, à intervertir l’ordre, le produit des réciproques étant alors à nouveau une équivalence : (p^q).(q^p)={p=q) ou (p^q).(q^p)==(p=q) (c’est-à-

dire p ⋁ q . p/q = p w q); etc.

L’inversion et la réciprocité sont donc élémentaires l’une et l’autre. L’analyse des structures d’ensemble les plus simples de la logique, qui sont les „groupements” permet, puisque ces deux mécanismes opératoires fondamentaux sont alors dissociés l’un de l’autre, de mettre en évidence leur vraie nature, qui est de se correspondre biunivoquement l’une à l’autre en deux domaines distincts, l’inversion portant sur les termes comme tels (individus ou classes) et la réciprocité sur les relations (y compris les rapports d’inclusion tels

A < B → B < C, d’où A < B → B < A)

ce qui revient en définitive à dire que la première se réfère à l’extension ou à la quantité et la seconde à l’ordre, donc à la qualité ou à la compréhension.

Il est alors intéressant de déterminer comment on passe des „groupements”, dans lesquels l’inversion et la réciprocité sont dissociées et pour ainsi dire parallèles, aux lattices (ou systèmes semi-ordonnés) fondés sur l’ordre, donc sur la réciprocité, et aux groupes, qui reposent sur l’inversion. Nous avons déjà vu plus haut (voir le § 1) comment on procède des groupements multiplicatifs (de classes on de relations) à la construction de luers „ensembles de parties”. Précisons encore que l’„ensemble des parties” peut être considéré comme la généralisation de la „classification”: c’est l’ensemble de toutes les classifications distinctes que l’on peut effectuer avec n éléments (pour 4 éléments A₁A₂; A₁A’2, etc. on aura ainsi : 1 classe nulle ; 4 classes A₁à A_N; 6 classes B ; 4 classes C et une classe D). D’un tel point de vue, si les groupements élémentaires de classes et de relations „précèdent” les structures d’ensembles de parties, isomorphes aux structures de propositions, les lois de composition du groupement ne s’en appliquent pas moins aux ensembles de parties, donc à la logique bivalente des propositions, et nous avons montré ailleurs la possibilité de réduire celle-ci à un groupement unique, obéissant aux mêmes lois de composition que les groupements de classes et de relations. Or, ce groupement unique, qui réunit en lui tous les mécanismes opératoires propres aux divers groupements élémentaires, constitue alors un lattice complet (en tant qu’englobant toutes les classifications possibles, par opposition au demi-lattice de la classification simple et comporte simultanément un groupe I  N R C, en tant que transformation des divers éléments les uns dans les autres. Ainsi la réciprocité et l’inversion deviennent étroitement solidaires, la première parce qu’inhérente au lattice et parce que constituant deux des transformations (R par rapport à I et C par rapport à N) du groupe I NRC, la seconde parce que caractérisant les complémentaires (de première et de seconde espèce) du lattice et les deux autres

transformations N par rapport à I et C par rapport à R) du groupe INRC.

Il resterait naturellement à analyser de ce même point de vue les logiques polyvalentes, dans lesquelles l’inversion subit d’importantes retouches, mais ceci est en dehors du domaine que nous nous sommes circonscrit et qui est celui des opérations les plus élémentaires de l’intelligence.

Mais, même à en rester à l’intérieur d’un tel domaine restreint, on voit les services que la méthode opérationnelle peut rendre à l’analyse de l’esprit. Sans doute ce genre de recherche ne constitue-t-il pas, à proprement parler, de la logique. C’est, si l’on veut, une logique à l’usage de la psychologie, comme il en faudra de plus en plus à l’intention de chaque science particulière. Or, la technique opératoire de la logistique nous paraît plus riche d’enseignements, au point de vue auquel nous no.us sommes ainsi placés, que la méthode axiomatique : si l’analyse opératoire demeure peut-être insuffisante pour fonder une logique pure, elle s’avance sans doute plus profondément dans ce qui constitue les fondements épistémologiques, et par conséquent psychologiques, de la logique.

On peut concevoir l’épistémologie de deux manières, l’une classique ou philosophique, et l’autre consistant à restreindre son objet de façon à le rendre homogène aux méthodes mêmes des sciences qu’elle a pour rôle d’interpréter.

La première de ces deux manières est statique, c’est-à-dire qu’elle envisage la connaissance comme un état, pour se demander ce qu’elle est en elle-même. Une telle position du problème aboutit le plus sou vent à un réalisme métaphysique revenant à décider une fois pour toutes de ce qu’est le sujet et de ce qu’est l’objet ; ou encore elle aboutit . à un positivisme pur, mais menacé par un dualisme fondamental, tel que celui de la syntaxe tautologique, d’une part, et des vérités de fait, d’autre part, ce qui pose alors le difficile problème de leur coordination après coup.

La seconde manière est génétique, et consiste à se demander, non pas d’emblée ce qu’est la connaissance, mais au préalable comment s’accroissent les connaissances, c’est-à-dire comment l’on procède, en l’un ou l’autre des domaines de la connaissance commune ou scientifique, d’une moindre connaissance à une connaissance jugée accrue ou supérieure par les sujets eux-mêmes (l’enfant, les hommes en société, les spécialistes de la branche considérée). Les méthodes de l’épistémo-

logie génétique sont donc essentiellement l’analyse psycho-génétique et l’analyse historico-critique. *

Or, il est indéniable que le choix des méthodes axiomatiques ou opérationnelles est en bonne partie dicté par des préférences épistémologiques relatives aux deux points de vue précédents, l’axiomaticien étant orienté vers un certain réalisme statique et l’opérationnaliste vers une notion de la connaissance en perpétuel développement. Bien qu’une axiomatique soit toujours relative au choix des notions indéfinissables et des propositions indémontrables de départ, il est même probable que tout axiomaticien caresse tôt ou tard, consciemment ou inconsciemment à des degrés divers, le rêve de la prise de possession d’un absolu, qu’il s’agisse d’une loi a priori de la pensée, d’un reflet des universaux on d’une syntaxe de toutes les syntaxes. Artificiellement détachée de sa substructure opératoire, une axiomatique risque donc de mener à un réalisme excluant la notion de construction. L’opérationalisme conduit au contraire de lui-même à la notion d’une connaissance liée à notre action sur les choses et sur autrui, donc d’une connaissance en construction continuelle.

Mais qui a raison ? Il n’est pas question d’en décider ici. Nous ne songeons en rien à combattre l’hypothèse d’un absolu auquel serait ligée la connaissance ou certains types de connaissance, et n’en avons pas les moyens. Nous constatons simplement la pluralité et la divergence des absolus auxquels se réfèrent les épistémologistes de la première manière et ce spectacle nous paraît peu réconfortant, ce qui nous oblige à chercher une méthode comportant le minimum de présuppositions. Nous sommes même contraints à faire deux remarques sur le terrain purement formel et technique des axiomatiques, ce qui nous conduira à la même prudence épistémologique. La première tient à l’étonnement qu’éprouve le logicien d’occasion (dont nous sommes) lorsqu’il cherche à se documenter auprès d’authentiques spécialistes : il s’aperçoit que les points de vue les plus „purs’’ sont toujours suspects de manque de rigueur aux yeux d’auteurs plus purs encore, à tel point qu’il souhaiterait voir se constituer un concile ou tout au moins une académie restreinte d’axiomaticiens, qui puisse décider chaque six mois de ce qu’il faut encore ou nouvellement croire et de ce qu’il n’est plus permis de croire. La seconde remarque donne à la première un fondement plus objectif : il reste malgré tout surprenant que des esprits aussi passionnés de rigueur que les grand logisticiens contemporains n’aient pas réussi à se mettre d’accord sur un certain nombre de questions dont l’importance épistémologique est fondamentale, telle que la réduction du nombre cardinal à la classe

Voir notre Epistémologie génétique, Paris 1956, t.I, Introduction.

logique,¹ ou la nature du raisonnement par récurrence, etc. Que reste-t-il, sur ces sujets, des solutions simples de Frege ou de Russell et, si l’on ne peut répondre par „tout” ou par „rien”, pourquoi les progrès de l’axiomatisation nous éloignent-ils du rêve initial de la logistique contemporaine ?

Bref, si l’axiomatisation constitue un procédé irremplaçable de dissection, quant à l’analyse des normes formelles de vérité, elle ne saurait suffire à résoudre l’ensemble des problèmes épistémologiques. L’épistémologie réclame aujourd’hui avant tout une méthode qui la garantisse contre les spéculations, et cette méthode doit satisfaire simultanément à deux exigences parfois difficiles à concilier : ne rien exclure à titre de moyens d’information et préjuger le moins possible. Or, ne rien exclure implique la présence de la méthode axiomatique, qui a renouvelé les mathématiques, la logique et une partie de la physique. Mais préjuger le moins possible exclut l’acceptation de commencements absolus et impose par conséquent l’obligation de situer dans son contexte ce qu’on pourrait appeler le „moment axiomatique”, lorsqu’il apparaît au cours du développement de certaines connaissances.² Or, cc contexte, c’est le développement entier de ces connaissances, et, même si l’axiomatisation marque un état d’équilibre atteint au terme (terme d’ailleurs toujours relatif) d’une longue histoire, c’est encore à cette histoire qu’il faut recourir pour juger ne fût-ce que du succès même de cette axiomatique.

Or, sitôt faite une place, si restreinte soit-elle, au développement historique des connaissances, l’analyse psycho-génétique intervient nécessairement. Même si, après des siècles de transformations, une axiomatique nous livrait aujourd’hui une vérité universellement valable, qui fût acceptée par tous et définitivement, il resterait à expliquer psychologiquement ce passage de l’état de transformation à un état d’équilibre permanent, et une épistémologie se privant de cette explication demeurerait inachevée : l’absolu ne saurait, en effet, constituer un objet de connaissance que moyennant l’emploi d’instruments intellectuels, sur le mécanisme réel desquels il serait indispensable d’être renseigné avant de se croire à l’abri d’illusions collectives (ou simplement générales). A plus forte raison ce qui demeure relatif dans la connaissance — et jusqu’à plus ample informé il faut envisager à titre d’hypothèse que tout pourrait demeurer tel — requiert une analyse psychogénétique.

¹ Voir à cet égard les divergences entre Russell et Hilbert, ou v. Wittgenstein, etc.

² Voir à ce sujet les travaux de F. Gonscth et la discussion, dans Dialectica, sur nos convergences et nos divergences.

Or, le mérite particulier de la méthode opérationnelle est précisément d’assurer la liaison entre cette psychologie de l’intelligence, dont l’épistémologie ne saurait se passer, et les études axiomatiques dont il serait également impossible de la priver. La psychologie est inapte comme telle à atteindre le normatif, mais l’axiomatique n’épuise pas à elle seule ce même normatif : le passage de l’une à l’autre est alors assuré par l’analyse des opérations, analyse qui, d’une part, prolonge les résultats de la psychologie, tout en étant tôt ou tard axiomatisable, mais qui, d’autre part, comporte une vérité logique et épistémologique quel que soit son degré de formalisation.

La conclusion à laquelle nous parvenons ainsi nous permet en fin de compte, après avoir marqué au cours de tout cet article les oppositions existant entre la méthode axiomatique et la méthode opérationnelle, de les réconcilier tout au moins conditionnellement. La condition de l’accord, c’est l’acception de cette vérité historique et psychologique, qui est, croyons-nous, une hypothèse également valable pour la logique : que la formalisation ne constitue pas un état immobile mais un processus, peut-être même indéfiniment perfectible. Si tel est le cas, la méthode opérationnelle parvient, à l’encontre de cette science des faits qu’est la psychologie, à un premier palier de formalisation, palier sur lequel sont déjà en partie formalisés les mécanismes opératoires décrits à titre de faits d’observation ou d’expérience par la psychologie. A ce premier palier en succède alors nécessairement un second, qui est celui de l’axiomatisation proprement dite. C’est ainsi que la méthode opérationnelle est appelée à jouer un rôle conciliateur dans le conflit, sinon sans issue, entre la psychologie et l’axiomatique. Et c’est cette conciliation qu’attend d’elle l’épistémologie, tout au moins l’épistémologie génétique.