Introduction : la quatrième année d’activité (1958-59) et le quatrième symposium (22-26 juin 1959) du centre international d’épistémologie génétique : problèmes de la construction du nombre. Problèmes de la construction du nombre (1960) ^a 🔗

L’auteur de ces lignes avait jadis défendu l’hypothèse suivante, tirée des faits recueillis avec A. Szeminska. ¹ Le nombre entier est formé de composantes exclusivement logiques, tout en comportant un mode de composition qui ne relève ni de la logique des classes ni de celle des relations, mais d’un procédé synthétique sui generis. Les composantes du nombre entier seraient deux structures élémentaires, accessibles à l’enfant dès l’âge de 7 ans environ et remarquables surtout par leurs caractères limitatifs (composition de proche en proche, etc.) ; le « groupement » additif des classes (A+A’ = B ; B+B’ = C ; etc. où A × A’ = 0 ; B × B’ = 0 ; etc.) et le « groupement » additif des relations asymétriques transitives (sériations). Tant qu’il s’agit de classer ou de sérier des éléments qualifiés, on ne peut pas réunir ces deux groupements en un système opératoire unique ; mais si, pour des classes singulières A, A’, B’, etc., on fait abstraction des qualités tout en maintenant les éléments distincts, on synthétise alors les deux systèmes en un seul, qui présente de ce fait même les caractères des nombres naturels. En effet, la réunion de ces éléments non qualifiés en classes donnera lieu à une suite d’emboîtements qui se conserveront même si l’on permute les unités, tandis que ces éléments, tous équivalents, se distingueront seulement par leur ordre, cet ordre demeurant lui aussi le même si l’on permute les unités (ordre vicariant) ; cette fusion opératoire de l’emboîtement des classes ainsi généralisé et de l’ordre également généralisé libère alors le système des limitations du « groupement » et lui confère les caractères nouveaux propres à la suite des nombres entiers, ainsi conçue comme résultant d’une synthèse entre l’emboîtement des classes et l’enchaînement des relations asymétriques transitives.

Nous avions décidé d’un commun accord, au début de l’année, d’oublier cette hypothèse de manière à ne pas nous enfermer dans un cadre préalable. Mais nous avons été obligés de la réexaminer pour deux raisons qui se sont imposées presque dès le départ. La première est qu’au moment où il construit

1 Piaget et Szeminska, La genèse du nombre chez l’enfant, Neuchâtel et Paris, 1940 (Delachaux et Niestlé) ; Piaget, Classes, relations et nombres, Paris 1942 (Vrin) et Traité de Logique, Paris 1949 (Colin), chap. IV.

le nombre (ou assimile les nombres verbaux transmis par l’éducation) l’enfant ne dispose que de structures de classes et de relations, ce qui conduit nécessairement à préciser leurs liens avec le nombre naissant. La seconde est que ces schèmes élémentaires sont de nature très limitée et ne connaissent en particulier que des compositions de proche en proche, ce qu’exprime précisément la structure de « groupement » : il fallait donc aussi chercher à déterminer les liens entre ces « groupements » et les structures numériques en formation.

D’autre part, réexaminant comme il se devait le débat entre Poincaré et Russell sur les relations entre le nombre et la logique, nous avons été frappés par le fait que l’hypothèse rappelée à l’instant ne se réduit ni au dualisme radical maintenu par le premier entre le nombre et la logique ni aux « réductions » dans le sens du second.

La position de Poincaré comporte entre autres deux aspects intéressants pour nous : d’une part, la supposition qu’il existe une intuition primitive du n + 1 préfigurée dès l’action, par exemple dans la succession des pas au cours de la marche ; d’autre part, l’idée d’une solidarité étroite entre le nombre une fois constitué et la récurrence conçue comme un système spécifique d’inférences distinctes du syllogisme et des inférences logiques. On peut à cet égard caractériser notre problème central de cette année de la manière suivante : que se passe-t-il entre les « intuitions » initiales, en fait sensori-motrices (qu’elles préfigurent ou non le nombre, nous ne l’avons pas étudié) et les formes explicites de récurrence ? Il se produit entre deux une construction mentale très complexe dont on connaît encore bien mal les étapes, mais dont on peut tout au moins affirmer qu’elle comporte un mystère : sur le plan de la représentation (par opposition au domaine sensori-moteur toujours réservé), tous les éléments du nombre sont logiques, ou prélogiques, malgré Poincaré (collections préparant les classes ou prérelations conduisant aux relations), tandis que leur synthèse ne l’est pas, ceci dit cette fois en accord avec Poincaré. L’interprétation du nombre comme synthèse de la classe et la relation asymétrique pourrait constituer une réponse à une telle question si cette interprétation s’avérait, d’une part, susceptible d’être formalisée correctement et, d’autre part, conforme aux données d’expérience.

Quant aux thèses de Russell et Whitehead, cette même interprétation s’en rapproche en un sens, puisqu’elle admet aussi que tous les éléments du nombre sont logiques. Mais elle s’en écarte en invoquant une « synthèse », et non pas une réduction simple du nombre cardinal à la classe et ordinal à la relation asymétrique. En outre, la réduction des Principia (reprenant d’ailleurs celle de Frege) aboutit à dériver les entiers cardinaux des classes de classes en procédant par nombres isolés et indépendants, et non pas, faute

de récurrence, en suivant l’ordre de la série. Les nombres 15 ou 10 pourraient ainsi être construits avant le 1 et le 2, ce qui est antipsychologique (argument ne gênant pas la plupart des logiciens), mais montre surtout qu’à négliger la récurrence on n’atteint pas la réalité fondamentale qui est la suite même des nombres. D’autre part, faute de distinguer les correspondances qualifiées (un x à un x’, un y à un y’, etc. ; parce que x et x’ ont les mêmes qualités, distinctes de celles qui sont communes à y et y’, etc.) et les correspondances quelconques (1 à 1 qu’il s’agisse d’un x ou d’un y, etc.), on tire le nombre des classes « équivalentes par correspondance » (mais quelconque et non pas qualifiée), sans voir que cette forme de correspondance contient déjà le nombre puisqu’elle substitue aux individus qualifiés des unités numériques quelconques.

Pour ces diverses raisons, sur lesquelles nous nous sommes trouvés tous à peu près d’accord, il convenait, en plus de nos recherches expérimentales, d’assumer deux tâches théoriques ou proprement formelles : la critique de l’idée même de « réduction », utilisée lorsque l’on croit pouvoir réduire le numérique au logique ; et la formalisation éventuelle de l’interprétation du nombre entier comme synthèse de la classe et de la relation asymétrique.

La première de ces réalisations est due à l’initiative de Papert qui, dans l’une de ses études, a cherché à montrer les difficultés internes inhérentes à la réduction d’un système A de signification intuitive (par exemple l’arithmétique des entiers) à un système B de caractère purement formel (par exemple la logique des classes). Soit x₁, x₂, etc. les signes de A, et E toute expression de A consistant en combinaison des x selon des règles données. Une réduction de A à B sera alors une correspondance Ψ qui fera correspondre à chaque signe x de A une combinaison Ψ(x) de B et à chaque expression E de A une expression Ψ(E) de B. Par exemple à l’expression 2+3 = 5 de A correspondra une certaine expression Ψ(2+3 = 5) des Principia mathematica. On exige évidemment que Ψ(E) soit un théorème de B si et seulement si E est un théorème de A. Du point de vue de la technique mathématique, de telles réductions sont souvent fructueuses, mais elles ne suffisent pas à résoudre les problèmes épistémologiques. Comment démontrer, en effet, que E est équivalent à Ψ(E) ? S’il ne s’agit que d’une équivalence large au sens d’une implication matérielle réciproque, cela ne démontre que leur commune vérité. Si c’est en vertu de règles sémantiques formalisées, cela suffit si le système A est formel, sinon il faut recourir aux intuitions de A, ce qui conduirait à une pétition de principe. Si c’est enfin en recourant

à un langage commun U, alors on retrouve les mêmes problèmes lorsqu’il s’agit de faire correspondre les signes de U aux expressions de A. Bref une réduction comme celle qu’a tentée B. Russell du nombre cardinal aux classes de classes rend sans doute compte de l’un des aspects du nombre entier, mais ne démontre en rien la nécessité de conférer un privilège à cet aspect particulier. D’autres réductions peuvent alors être effectuées, mais rien ne prouve non plus qu’en continuant de la sorte on épuise la nature du nombre. ¹

Tant en vertu de considérations de ce genre qu’en conséquence du théorème de Gödel, Papert ne croit donc pas à la possibilité d’élucider formellement même la partie formelle de l’arithmétique. Il s’engagerait plutôt dans la direction d’une étude des structures au sens des Bourbaki, mais en relevant alors combien la notion de structure nous rapproche de la pensée « naturelle » : la rencontre entre l’analyse génétique des structures et l’analyse structurale des mathématiciens constituerait donc l’occasion la plus féconde pour une épistémologie du nombre (cela dit sans parler des essais de Papert sur la récurrence dont il sera question sous A III).

Quand au second problème, Grize nous a annoncé, au début de l’année, que pour se préparer à son rôle de nouveau logicien du Centre, il s’était essayé à formaliser certaines de nos hypothèses antérieures, notamment celles portant sur le passage des classes et relations au nombre, mais sans aucune garantie quant à la réussite de cette entreprise téméraire. Procédant alors systématiquement, au cours de l’année, il a d’abord formalisé la structure de « groupement » en réussissant par des postulats adéquats à conserver les caractères de limitation (et notamment de composition de proche en proche entre éléments « contigus ») qui sont les propriétés spécifiques de cette structure, dont l’intérêt tient à son caractère « élémentaire » au point de vue génétique et non pas général au point de vue de la construction formelle. Ayant ainsi construit des modèles formalisés cohérents du « groupement » des emboîtements simples de classes et de celui de l’enchaînement des relations asymétriques transitives, il a montré que, en faisant abstraction des qualités en jeu dans ces emboîtements et dans cette sériation donc en rendant équivalents tous leurs termes individuels, on obtient ce que nous avions appelé jadis un ordre « vicariant » (c’est-à-dire se conservant au travers de la permutation des éléments) respectant les emboîtements donnés : il s’ensuit alors

1 Voir « Sur le réductionnisme logique », Etude III de ce Fascicule.

que le système acquiert une nouvelle structure, qui nécessite le rejet des postulats limitatifs des « groupements », et cette structure n’est autre que la suite des nombres, vérifiant notamment les axiomes de Peano y compris celui de récurrence. Mais ce passage des structures de groupement de classes et de relations à la structure numérique ne consiste pas en une déduction, au sens de la « réduction » : il s’agit au contraire bien d’une « synthèse » au sens de Hegel, les classes et relations asymétriques constituant des « moments » du nombre, mais des moments dépassés (aufgehoben) sitôt que leur synthèse impose le remplacement des postulats limitatifs initiaux par de nouveaux postulats de nature générale (dont l’introduction résulte sans plus du rejet des précédents).

Nous attendions avec un vif intérêt la réaction de nos invités du Symposium final de l’année à cette tentative originale et l’on trouvera plus loin le résumé des discussions provoquées par son exposé. Indépendamment de celles-ci, l’effort de Grize a été pour nous tous d’un grand secours en introduisant la précision dans un ensemble d’énoncés jusque là « intuitifs » et relevant de la psychologie plus que de la pure logique.

L’interprétation précédente, dont la formalisation de Grize a montré la cohérence, est loin de suffire à la solution de tous les problèmes de la construction du nombre. Tout d’abord, puisque nous avions décidé de la considérer comme encore hypothétique, il restait à la soumettre à de nouveaux contrôles dans tout ce large domaine précédant la synthèse éventuelle des classes et relations en nombres, ce qui soulevait au moins les trois problèmes suivants.

(I) Il fallait en premier lieu déterminer avec quelque soin les relations chronologiques entre les classes, les relations asymétriques et les nombres et plus précisément entre les paliers successifs de construction de ces trois sortes de réalités. Or, nous savions déjà ¹ que l’évolution des classes passe par trois étapes successives : celle des collections figurales (où la classe est censée dépendre de la disposition spatiale des éléments), celle des collections non-figurales (avec levée de cette limitation, mais sans qu’il y ait encore d’inclusion) ² et celle des classes

1 Inhelder et Piaget, La genèse des structures logiques élémentaires, Neuchâtel et Paris, 1959 (Delachaux et Niestlé).

2 Voir à ce sujet la reprise des expériences d’inclusion par A. Morf dans le vol. IX des « Etudes ».

hiérarchiques ou opératoires (avec inclusions réglées et réglage des quantificateurs « tous » et quelques »). Nous savions, d’autre part, que la sériation des relations asymétriques transitives passe également par trois étapes semblables : échec à la sériation d’ensemble de quelques éléments donnés (ordination de sous-ensembles mais sans les coordonner en une série totale), sériation empirique (tâtonnements sans système) et sériation opératoire (avec système exhaustif). Mais pour ce qui est du nombre avant le niveau opératoire nous n’étions renseignés que sur l’évolution des correspondances avec leurs trois étapes analogues ¹ : échec à la correspondance bi-univoque, correspondance optique mais sans conservation des équivalences en cas de modification des mises en regard, et correspondance opératoire avec conservation. Il restait donc à explorer l’ensemble des autres aspects du nombre avant les conservations opératoires et notamment ses aspects positifs éventuels que Gréco a proposé d’étudier sous le nom d’« arithmétique préopératoire ». Entreprise difficile, car il s’agit avant tout de dissocier les démarches spontanées de la pensée de l’enfant et l’apport socio-éducatif qui est considérable en ce domaine dès l’apprentissage de la numération parlée. Mais entreprise nécessaire, si l’on veut étudier la construction du nombre sans présuppositions théoriques. Seule cette exploration de l’arithmétique préopératoire (commutativité, succession des nombres pairs et impairs, etc.) permettra alors entre autres de fixer avec quelque précision les relations chronologiques entre les niveaux respectifs des classes, des relations asymétriques et des nombres.

Il faut à cet égard envisager trois possibilités. La première, qui ne découle pas nécessairement, malgré les apparences, de l’interprétation du nombre comme synthèse des inclusions de classes et de la sériation, serait que les classes et les relations marquent une avance (constante ou à partir d’un certain niveau) sur les nombres et soient élaborées opératoirement avant que ne s’effectue leur synthèse éventuelle sous forme de nombres. La seconde qui est sans doute la moins probable mais qui est compatible avec l’interprétation en question, serait que la structure de nombre soit achevée la première et qu’elle rejaillisse éventuellement en retour, par dissociation, sur l’élaboration des classes et des relations ; ce passage psychologique du global à l’analyse n’exclurait naturellement en rien une formalisation procédant dans l’ordre inverse. La troisième possibilité, et a priori la plus probable, serait que classes, relations et nombres

1 Voir entre autres à ce sujet le vol. IV des « Etudes ».

se construisent simultanément, avec éventualité d’actions à chaque palier des deux premières sur les troisièmes mais aussi d’actions en retour.

(2) II va de soi que cet examen des chronologies respectives des classes, relations et nombres n’a d’intérêt que pour permettre de déceler les influences ou actions de l’une de ces trois structures en évolution sur les deux autres, et c’est pourquoi nous venons déjà de distinguer trois éventualités dans les influences possibles. Mais il est clair qu’il en subsiste une quatrième, qui serait l’absence d’interactions entre l’évolution des nombres et celle des classes et des relations. Le problème chronologique (1) conduit donc à un second problème génétique dont l’énoncé général est : le développement préopératoire du nombre ainsi que son développement opératoire ultérieur (mais en distinguant par méthode ces deux grandes périodes qui peuvent donner lieu à deux réponses différentes) constituent-ils des évolutions autonomes, indépendantes de celles des classes et des relations, ou bien y a-t-il actions ou interactions, et dans quels sens ? En d’autres termes, va-t-on constater une spécificité du nombre à tous les niveaux, y compris les plus élémentaires (conformément à la tendance de Poincaré), une absence de spécificité à tous les niveaux (compatible avec les interprétations russelliennes) ou encore une spécificité croissante et croissant de façon continue ou par tournants brusques, cette spécificité croissante étant en accord avec l’interprétation du nombre par la synthèse des classes et des relations (avec les deux éventualités d’une synthèse continue ou par paliers discontinus).

Ce second problème, portant sur la spécificité du nombre ou sur sa dépendance (et son mode de dépendance) à l’égard des classes et des relations est naturellement le problème central que doit se poser l’étude de la construction du nombre. On demandera sans doute par quelles méthodes le résoudre, car l’examen génétique fournit facilement les étapes de l’évolution des notions mais ne porte que difficilement sur leurs interactions, puisque celles-ci ne sont plus directement observables, mais supposent une reconstitution. Dans le cas particulier du nombre, des classes et des relations, il existe cependant un procédé assez direct d’analyse : celui qui porte sur les structures comme telles. Par exemple, un enfant sachant compter jusqu’à 15 ou à 20, la question est d’établir ce qu’il sait faire avec cette suite et jusqu’où il la traite comme une suite de nombres ou s’il ne s’en sert qu’avec les limitations des groupements de classes

et de relations ou même des structures inférieures au niveau du « groupement ».

(3) D’où un troisième problème qui peut paraître secondaire, mais qui est essentiel par sa liaison avec le précédent : le nombre se construit-il par pièces détachées ou par systèmes d’ensemble, et, en ce dernier cas, selon quelles structures ? Nous savons, en effet, qu’à partir d’un certain niveau il n’existe pas de classes sans classifications ni de relations asymétriques transitives sans sériations, la réalité psychologique fondamentale étant le système et non pas l’« atome » et celui-ci n’existant jamais isolément. Et il en est sans doute ainsi dès les stades initiaux, les structures totales en jeu étant simplement plus vagues et moins réglées. Or, en ce qui concerne le nombre, la question se pose de savoir s’il en est également ainsi. Du point de vue formel, le mode de construction de Russell et Whitehead aboutit à engendrer les nombres indépendamment les uns des autres, et les inconvénients d’un tel atomisme sont sans doute de leur avoir fait manquer la solution du problème de la récurrence. Du point de vue expérimental une telle position correspond néanmoins à l’une des éventualités que les faits pourraient comporter, et effectivement O. Kohler dans ses belles recherches sur la numération chez les oiseaux (qu’il a bien voulu exposer et discuter à notre Symposium final : voir plus bas sous B V) montre, par exemple, qu’un choucas dressé à reconnaître cinq objets ne possède pas pour autant le schème sensori-moteur de quatre ou de trois. Si les choucas et les perruches procèdent ainsi par nombres non-récursifs du type russellien, il en pourrait être de même du jeune enfant et c’est à l’expérience à nous détromper s’il y a toujours chez lui série ou système.

Nous verrons à l’instant (sous A 1V-VII) comment P. Gréco, B. Inhelder et A. Morf ont cherché à aborder ces problèmes, en même temps que ceux des étapes éventuelles de la récurrence. Mais il nous reste à parler de ce dernier problème auquel conduisent nécessairement les deux précédents (n° 2 et 3, surtout le n° 3).

En effet, si les nombres se construisent en fonction de structures totales, et si ces structures sont distinctes des classifications et des sériations, il est alors probable qu’il existe des formes d’inférence spécifiques au nombre, ce qui revient à

dire que le raisonnement par récurrence n’est pas réductible à une inférence sériale quelconque (tel que l’exemple fameux des Atrides : si le fils d’Atrée est un Atride, son petit-fils le sera également, etc.). Si par contre il n’y a pas de structures totales au départ ou qu’elles ne sont pas spécifiques, il n’y a pas non plus de raison de s’attendre à l’existence d’inférences numériques sui generis.

C’est ce problème de la spécificité des inférences numériques et de la formation de la récurrence qui fut en réalité notre problème de départ, avec les recherches de Gréco, Inhelder et Morf sur des inférences numériques élémentaires et une recherche de B. Matalon sur un cas de récurrence non numérique ou physique. On comprend d’emblée comment l’étude de cette question a conduit aux problèmes préalables déjà exposés (sous A I-II), mais il nous reste à montrer pourquoi les recherches sur la récurrence elle-même, ou plus précisément sur ses stades initiaux éventuels, ont également conduit, avec l’aide de Grize et surtout de Papert, à subdiviser cette question de la spécificité des inférences numériques en trois questions distinctes celle des paliers formels, celle des paliers génétiques et celle des relations entre ces deux sortes de niveaux.

Que ces questions de paliers s’imposent nécessairement, on pouvait s’y attendre. Chacun sait qu’il existe des formes affaiblies de récurrence, qui sont les « récursions » de diverses variétés. D’autre part, il est clair que, même si la synthèse des classes et des relations aboutit à une structure vérifiant, comme l’a montré Grize, les axiomes de Peano y compris la récurrence (et à supposer que l’enfant construise le nombre au moyen d’une telle synthèse), un enfant de 7-8 ans parvenant à la suite des entiers n’en a pas pour autant la notion d’infini : entre les débuts de la structure numérique opératoire et la récurrence généralisable à l’infini il y a donc, à coup sûr, à distinguer des paliers génétiques.

Trois nouveaux, problèmes surgissent ainsi. Le premier, qui est théorique et qu’a étudié Papert, revient à se demander si les divers axiomes de récursion et de récurrence que l’on a formulés ou les diverses opérations correspondant à ces variétés, peuvent être sériés ou sériées selon une échelle de force croissante.

Le second, qui est génétique, est d’établir si aux diverses étapes que peut révéler l’étude de la construction du nombre correspondent des formes d’inférences de complexité croissante aboutissant à la récurrence.

Le troisième, enfin, qui est spécial à l’épistémologie génétique consiste à rechercher s’il existe des relations entre les paliers théoriques ou même formels éventuels et les paliers génétiques.

Mais, si Papert nous a convaincus de la nécessité de reprendre et de traduire en termes actuels le vieux débat entre Poincaré et Russell, encore faut-il préciser explicitement que nous distinguerons deux aspects très différents dans ce débat, et notamment dans la position de Poincaré, dont l’un ne nous concerne en rien tandis que l’autre nous intéresse directement. La question qui nous intéresse (car l’épistémologie génétique peut contribuer à sa solution) est celle la spécificité du nombre et de la récurrence numérique ou de leur réduction aux structures logiques plus simples : à ce point de vue nous croyons que l’histoire de la logique depuis les Principia, notamment à partir de Gödel, a confirmé bien plus qu’infirmé les difficultés de cette réduction. Il nous paraît donc utile, sur le terrain génétique, de rechercher comment, au cours de la construction du nombre, les inférences relatives aux structures numériques se différencieront progressivement des simples généralisations, et, par hypothèse, se rapprocheront du raisonnement par récurrence au sens strict. L’autre problème, qui ne nous regarde pas (car l’épistémologie génétique ne saurait contribuer à sa solution), est celui du rôle de la récurrence dans la démonstration et la formalisation mathématiques, la pensée de Poincaré ayant été sur ce point, sinon controuvée, du moins largement dépassée et selon une série ininterrompue de travaux qui ont suivi une ligne beaucoup plus proche de celle des Principia.

Notre seul but, en inscrivant à notre programme l’analyse des formes élémentaires de récurrence, a donc été d’étudier la spécification progressive des inférences fondées sur le nombre par rapport à celles qui s’appuient sur les seules structures de classes et de relations. Pour aborder ces recherches il n’était donc nul besoin de choisir a priori un critère de la récurrence, puisqu’il ne s’agissait en rien de prendre parti quant à la portée de cette récurrence ou de ses multiples formes (axiomes de récurrence et de récursion, définitions et démonstrations par récurrence, etc.) dans le fonctionnement de la pensée mathématique formalisée. Il sera peut-être possible, une fois nos recherches terminées, d’établir a posteriori certains liens entre les processus génétiques et les schèmes abstraits, mais il serait dangereux d’anticiper de telles relations. Par contre, ce qu’il nous fallait, à titre d’instrument de référence, était un aperçu

des paliers éventuels de la récurrence envisagés sous l’angle de leur force démonstrative croissante, et c’est dans cette direction que s’est engagé Papert, du point de vue du logicien et du mathématicien qu’il est, mais à l’intention du généticien qu’il est aussi.

Il est inutile de décrire ici les diverses tentatives de Papert pour construire de tels paliers : on y reviendra sous B IV et l’on trouvera surtout dans la partie II de l’article de Papert sur la récurrence (Etude IV de ce fascicule) la version qu’il a choisie pour publication. Insistons seulement sur l’importance de son idée centrale : c’est que la récurrence n’est ni réductible à des inférences logiques simples, ni donnée toute faite par une intuition a priori, car elle se construit (Papert ne dit pas par synthèses successives mais) par décisions successives au fur et â mesure de l’élaboration du nombre et notamment de la série comme telle et du nombre « quelconque », deux notions dont il souligne avec vigueur l’extrême complexité. Du point de vue de Papert il y a donc connexion indissociable entre la construction théorique et la genèse réelle et l’on verra, à lire ses deux articles, avec quel art il sait unir sans cesse ces deux aspects du problème.

Pour résoudre les problèmes distingués sous A II et notamment celui des structures d’ensemble successives que revêtent les nombres entiers au cours de leur construction, diverses approches étaient possibles, parmi lesquelles l’étude de différents aspects de la série des nombres. Commençons par la connexité (au sens logique et non pas topologique du terme). Une relation est dite connexe si elle (ou sa converse) existe entre un élément quelconque d’un ensemble et chacun des autres, ces éléments étant tous différents. C’est ainsi que la relation utilisée dans une sériation qualitative (> ou < appliquée à des éléments de grandeurs différentes) est à la fois asymétrique, connexe et transitive. La suite des nombres entiers est également connexe du point de vue de cette relation de « successeur ». Mais elle l’est aussi du point de vue d’une relation qui n’appartient pas à une sériation quelconque : chaque entier est séparé de chacun des autres par une différence d’une unité ou d’un multiple de 1. ¹ Il en résulte que si l’on a dans une collection numérique

1 La série des entiers est donc connexe du point de vue de la relation de différence ± K × 1.

K un nombre N’ d’éléments supérieur à N, on est certain, en soustrayant une à une les unités de N’ de passer par un état où K = N. Au contraire, dans une série S d’éléments dont les différences sont quelconques et dont on ne connaît pas le nombre, si l’on soustrait du plus grand élément M un certain nombre de différences, on n’est pas certain (entre M et O) de passer par l’égalité avec un intermédiaire I, car il peut y avoir une infinité de transitions entre les éléments donnés dont seules quelques-unes sont représentées.

Nous nous sommes demandés si cette forme de connexité spéciale à la série des nombres était accessible à l’enfant de tout âge ou s’il commencerait par assimiler cette suite à une sériation qualitative quelconque. A. Morf a réalisé l’expérience en faisant tomber un à un le long d’une glissière une trentaine de cubes (à vitesses lentes ou rapides) et en demandant aux enfants si entre ce total et zéro on était certain de passer par l’égalité avec une collection-témoin de quelques unités seulement (par exemple 6 ou 9, l’enfant ayant vu au préalable que 30 > 9 par comparaison des rangées). Il a en outre procédé de manière ascendante, demandant si, en ajoutant des unités à une collection de nombre N on est certain de passer par un nombre supérieur N’. Cette dernière question met en jeu ce que l’on pourrait appeler une forme additive et numérique du principe d’Eudoxe-Archimède (si N < N’ alors nN > N’), et cela en dissociant les deux aspects N+1+1… >N’ et N+1+1… = N’.

Les résultats obtenus par Morf ont alors été, dans les grandes lignes, que le jeune enfant n’est pas certain en procédant de l’état K = N’ à l’état K = 0 de passer nécessairement par l’état K = N (où N < N’). Cette certitude n’apparaît pas avant 5 ans ½ pour les vitesses lentes ou 6 ans ½ pour les déplacements plus rapides, c’est-à-dire en fait pas avant les premiers débuts de la construction des opérations concrètes. D’autre part, si les sujets acceptent facilement qu’en ajoutant des unités à N on dépassera tôt ou tard N’ (> N), ils parviennent plus difficilement à accepter comme nécessaire qu’on passera par l’égalité K = N’ : la marche ascendante de 0 à N’ en passant par N est même moins aisée que la marche descendante de N’ à 0 en passant par N, parce qu’en marche descendante N’ est donné et N est contenu dans N’, tandis qu’en marche ascendante N’ est à construire et non impliqué par N.

L’intérêt de ces faits est donc de montrer que la connexité propre à la série des nombres (chaque élément distinct de chacun des autres d’une unité ou d’un multiple de 1) ne se construit

que peu à peu. Cette série n’est d’abord conçue que comme une sériation qualitative quelconque, et ceci avant que la sériation logique elle-même ne devienne opératoire, de telle sorte que aux environs de K = N (à la descente ou en marche ascendante) rien n’empêche de passer du > N au < N (ou l’inverse) sans traverser l’état K = N. Une telle constatation comporte deux enseignements. L’un est que, avant un certain niveau (débuts des opérations concrètes) et malgré l’aide considérable que constitue la série des nombres verbaux transmise par l’éducation, le nombre ne se différencie que peu des structures logiques qualitatives (ici la sériation, mais d’autres recherches montreront une indifférenciation analogue à l’égard des classes), tandis qu’avec les progrès de la synthèse numérique, il acquiert des propriétés spécifiques. L’autre est que cette spécificité se marque avant tout par la construction de l’itération : ce qui manque aux jeunes sujets pour résoudre le problème de Morf est essentiellement la notion du n+1 et ce qui rend évidente la solution dès 7-8 ans est la découverte du fait que tout passage d’un nombre à un autre est décomposable en une suite de passages élémentaires de formes n+1 ou n— 1. C’est cette structure itérative qui apparaît ainsi, dès cette première recherche, comme le caractère central dont il s’agit d’expliquer la formation parce qu’il constitue à la fois le moment décisif de la construction du nombre et le point de départ des inférences spécifiques au nombre, du moins en ce qui concerne leur caractère récursif.

Pour analyser les inférences portant sur n-1 nous avons choisi un exemple bien concret, où le nombre est appliqué à un problème géométrique de partition et où la relation entre n et n-1 est celle des parties (n) et des coupures (n-1) qui séparent ces parties. A. Morf a utilisé à cet égard deux techniques distinctes : une bande rectangulaire représentant un drapeau peut être découpée en n parties successives et il s’agit de prévoir le nombre n-1 de traits verticaux de crayon (ou de coupures aux ciseaux) séparant ces parties ; ou encore on empile l’un sur l’autre n ronds de carton (« gâteaux ») en les séparant par des feuilles de papier et il s’agit de déduire que ces feuilles intercalaires seront au nombre de n-1. Ce dernier dispositif rappelle celui des n tapis séparés par n-1 barrières qu’il s’agit de sauter pour passer d’un tapis à l’autre, dont nous nous étions

servi jadis avec A. Szeminska pour étudier cette même relation entre n et n-1. Mais l’inconvénient de ces dernières questions est que la relation entre n et n-1 n’est alors pas nécessaire indépendamment du dispositif conventionnel choisi, tandis que la relation entre les parties et les coupures est une relation topologique générale comportant une nécessité intrinsèque (aussi bien Mort ne s’est-il servi des gâteaux et papiers qu’à titre de contrôle pour comparer ces deux formes distinctes de nécessité).

L’intérêt du problème est alors relatif non pas tant aux étapes de la compréhension de la loi topologique elle-même portant sur la partition et sur le nombre des coupures, qu’à celles de la généralisation comme telle et à son processus : étant donné le caractère longtemps coercitif de la tendance à croire que pour n parties il faudra n coupures, comment l’enfant, constatant son erreur sur un cas particulier et étant obligé d’accepter en ce cas la relation entre n et n-1, en viendra-t-il à généraliser sa découverte au cas suivant, puis à tous les nombres, au moins connus de lui ?

Les résultats de Morf sont à cet égard assez instructifs. Après avoir passé par un stade où il découpe le drapeau d’une manière non exhaustive (donc sans anticipation d’une répartition de la totalité comme telle), puis d’une manière exhaustive mais en supposant simplement qu’à beaucoup de parties correspondent beaucoup de coupures, l’enfant en vient entre 5 ½ et 7 ans environ à la croyance systématique, s’imposant à lui dès le départ, qu’à n parties correspondront n coupures. Or, entre ce niveau et celui de la solution juste avec généralisation rapide, on observe une série de réactions intermédiaires qui doivent retenir l’attention, même si chaque sujet ne passe pas par chacune de ces transitions. Il y a d’abord l’absence de toute généralisation de la solution juste, même lors de la répétition d’un même nombre de coupures : Morf a vu, par exemple, des enfants répéter jusqu’à dix fois que 5 couleurs correspondront à 5 coupures, bien qu’ayant constaté lors de chaque nouvel essai effectif (par coupure matérielle et perceptivement constatée) que le nombre était de 4 ! Il y a ensuite la généralisation lors d’une simple reproduction du même nombre de parties, mais sans aucune généralisation au nombre suivant immédiatement : par exemple 4 coupures pour 5 parties (après constatation de l’erreur) puis 6 coupures pour 6 parties. On encore généralisation au nombre suivant, mais non au successeur du successeur. Il y a ensuite les cas liminaires où l’enfant ne

retient de sa constatation que l’aspect qualitatif et non pas numérique : à savoir que le nombre des coupures n’est pas égal à celui des parties, de telle sorte que, après avoir constaté par exemple 3 coupures pour 4 parties, il s’attendra, pour 6 parties, à 7 ou à 4 coupures. On assiste enfin au décrochage de la généralisation : vers 7 ans en moyenne, l’enfant généralise rapidement (mais souvent après une erreur initiale) la relation n-1 (coupures pour n parties) d’abord aux premiers nombres de la série, puis vers 8-9 ans à tous les nombres connus de lui.

La question qui se pose alors est naturellement de dissocier, en de telles généralisations, le contenu géométrique et la forme numérique : s’agit-il, autrement dit, d’une généralisation quelconque, orientée par la compréhension de son contenu, donc d’une loi topologique, ou d’une inférence fondée sur le fait que la relation de n à n-1 est de nature arithmétique et peut donc s’étendre à tous les nombres accessibles au sujet ?

Or, l’intérêt de la situation étudiée est précisément que, pour comprendre la généralité de la loi géométrique en question, il faut l’arithmétiser, c’est-à-dire considérer les « parties » en jeu comme autant d’unités équivalentes, bien qu’elles ne soient pas nécessairement égales entre elles lors d’un même partage, et qu’elles ne le soient jamais d’un partage à l’autre (les n parties d’un partage en n étant à considérer, par rapport aux n— 1 coupures, comme équivalentes aux m parties d’un partage en m par rapport aux m— l coupures, bien que la valeur de chaque m soit différente spatialement de celle de chaque n). Pour résoudre le problème géométrique (n parties correspondent à n— 1 coupures quel que soit n), il faut donc concevoir les parties (et les coupures) non pas seulement comme dénombrables au sens d’énumérables, mais comme des unités itérables, c’est-à-dire à la fois équivalentes et distinctes et dont les compositions soient à la fois cardinales et ordinales. On comprend alors pourquoi le décrochage de la généralisation ne s’effectue qu’à l’âge où se constitue le nombre opératoire, et d’une manière assez brusque avec développement rapide, tandis qu’une généralisation quelconque portant sur un constat empirique devrait s’acquérir de façon beaucoup plus continue (quant à attribuer ce tournant soudain de 7 ans à un insight ou compréhension accélérée de la loi géométrique comme telle, cela revient à ce que nous avançons, puisque précisément cette compréhension suppose une arithmétisation préalable).

Mais le second problème qui se pose alors est de comprendre pourquoi cette généralisation, d’apparition relativement brusque, ne s’étend pas immédiatement à tous les nombres connus de l’enfant, mais seulement aux 7 ou 8 premiers termes de la série des entiers. Il y a là un second résultat intéressant de Morf et qui converge avec tous ceux de P. Gréco : la suite apprise des nombres imposée par l’entourage adulte avant la compréhension des structures numériques, semble ne se structurer que par paliers progressifs ou par zones, sans généralisation immédiate aux nombres 7-15 ou 15-30, etc., de ce qui est compris pour le premier palier de 1 à 7 ou 8. Notons d’abord que le décalage, dans le cas de l’expérience de Morf, confirme précisément la nature arithmétique et non pas empirico-géométrique des généralisations en jeu, car, si l’enfant se bornait à comprendre qu’il y a toujours une coupure de moins que de parties, pourquoi serait-il gêné d’appliquer cette loi à 15 plutôt qu’à 8 en disant simplement, par exemple, « de nouveau une de moins » ? Nous nous trouvons au contraire en présence d’un processus beaucoup plus profond et plus général, que l’on pourrait désigner du terme d’arithmétisation progressive (et par paliers) de la série des entiers, connue verbalement avant que d’être comprise. Ce qui reviendrait à dire que, si le nombre résulte, selon notre hypothèse, d’une synthèse des emboîtements de classes et de la sériation, cette synthèse ne s’effectue pas en une fois mais à la manière d’une intégration graduelle (au sens psychologique du terme).

C’est cette arithmétisation progressive de la série des nombres naturels qui constitue le principal problème auquel s’est heurté P. Gréco au cours de ses nombreuses recherches de l’année.

L’une de ces recherches a porté sur l’alternance des nombres pairs et impairs : après avoir disposé en série des collections ordonnées A, B, C, … de jetons de nombres 5, 6, 7, …, et après avoir fait constater que certaines collections peuvent être divisées en deux parties égales et d’autres non, Gréco pose cinq sortes de questions : trouver toutes les collections divisibles par deux (en partant d’une collection paire) ; prévoir de proche en proche si les successeurs d’une collection paire de

départ (D par exemple) sont pairs ou impairs ; même question pour les prédécesseurs ; prévoir si une collection éloignée de D est paire ou impaire (sans subdiviser les intermédiaires) et enfin prévoir pour des collections que l’on construit en partant de D sous la forme D+1 ; D+2 ; D+n.

Or, ce n’est que vers 8 ans que la compréhension de l’iteration permet de prévoir de façon méthodique l’alternance des pairs et des impairs, mais cela encore avec deux limitations : (a) si le sujet utilise l’itération de proche en proche il ne sait toujours pas l’employer à distance, dans une chaîne d’inférences : sachant ainsi que D est pair il en conclura bien que E est impair mais ne saura se décider pour H ; (b) procédant systématiquement par itération dans le sens ascendant il n’atteint pas le même degré de systématisation dans le sens descendant tout en sachant bien que le prédécesseur de n est n— 1. Ce n’est qu’à 9 ans, c’est-à-dire au palier d’équilibre des opérations concrètes, que l’itération et la composition des unités sont employées systématiquement.

Avant 7 ans, il est remarquable que l’enfant qui n’utilise pas l’itération même de proche en proche, découvre immédiatement que si D est pair, D+1 (c’est-à-dire D auquel on ajoute effectivement un élément) est impair, etc. La difficulté n’est donc pas de représentation figurale. On relève également des erreurs systématiques significatives, celle par exemple qui consiste à traiter seulement la série comme une série ordonnée croissante : si D est pair, E est impair « parce qu’il y en a plus » et tous les successeurs F, G, etc… le sont aussi, « parce qu’il y a encore plus » (ou l’inverse).

Un autre problème touchant aux inférences récursives consiste à prévoir la différence numérique entre un nombre n et le successeur de son successeur, soit S(Sn) et à généraliser cette différence dans des situations analogues (en variant n). On commence par demander combien il faut ajouter d’éléments à A pour avoir B, à B pour avoir C, etc. ; puis combien il en faut ajouter à A pour avoir C. Ayant constaté (matériellement) qu’il en faut deux pour passer de A à C l’enfant est alors prié de prévoir combien il en faut pour passer de J à L ; en cas d’échec on procède de proche en proche.

Or, avant 7 ans, l’enfant sachant que Sn = n+1 et que S(Sn) = Sn+1 n’en conclut pas nécessairement aussitôt que S(Sn) = n+2 ; SS(Sn) = n+3, et ainsi de suite. Ayant à comparer deux termes de la série, soit D et E, il procédera plus

volontiers par soustraction cardinale (F-D, ou D+2 = F ¹), après avoir « identifié » ces termes (s’ils sont assez petits et si la série commence à 1) par leur rang. Mais il est incapable de raisonner d’emblée sur la structure itérative de la série, c’est-à-dire de considérer F, quelle qu’en soit la valeur cardinale, comme pouvant être formé à partir de D par itérations successives de l’unité, ce qui permettrait une lecture directe de la différence. On voit donc qu’il peut y avoir une certaine correspondance ordinale-cardinale, mais, paradoxalement, sans que cette correspondance implique une compréhension méthodique de l’opération d’itération. D’où l’imparfaite réversibilité de la suite : étant donné n, l’enfant admet que Sn = n+1, mais non pas toujours que le prédécesseur Pn = n-1.

En revanche, après avoir constaté que la différence entre A et C est de 2, qu’elle est encore de 2 entre B et D …, une proportion notable d’enfants de 6-7 ans admettent la constance de cette différence, au moins sur une partie de la série, pour tous les couples définis comme n et S(Sn). Mais il est remarquable que cette généralisation s’accompagne rarement de justifications itératives, et ne s’appuie, semble-t-il, que sur l’homologie des couples elle n’exigerait alors que des représentations intuitives sur la « régularité » de la série, l’équidistance de ses termes, etc., intuitions sans doute « articulées », mais qui restent de caractère qualitatif et prénumérique. Réussites et erreurs procéderaient ainsi également, en cette épreuve, du caractère sérial, et seulement sérial, de la suite des nombres.

La recherche sur la commutativité de l’addition, comme celle sur la conservation des quotités dont nous reparlerons sous A VII, met en évidence le rôle privilégié que jouent précocement les schèmes de la correspondance terme à terme. En effet, dès avant 7 ans, avant même que les notions de conservation soient acquises, la correspondance bi-univoque sert à justifier la conservation paradoxale des quotités (sept jetons écartés deviennent « plus nombreux » que sept jetons serrés, mais restent sept !) et la commutativité de l’addition des ensembles (M+N = N+M, notamment si M+N a d’abord été distribué par correspondance terme à terme dans un mesurant commun C = M’+N’ tel que M’ = M et N’ = N).

Les résultats sont en vérité un peu plus complexes. Gréco a étudié en effet la commutativité de l’addition en comparant la

1 Ce qui est une composition non réversible, D + 2 → F n’équivalant pas à F = D + 2 faute de l’inversion D = F — 2.

situation dans le cas de longueurs a+b et d’ensembles numériques M+N. Dans les deux cas, la comparaison des sommes se fait soit directement, soit par l’intermédiaire d’un mesurant commun. Ainsi, pour les longueurs, l’enfant est invité à prévoir si a+b = b+a, ou si a+b étant égal à c, on aura b+a = c, ou encore si a+b étant égal à a’+b’ (avec a = a’ et b = b’) on aura a’+b’ = b+a. Dans le cas des collections on procède de même, soit par la mesure de l’extension spatiale, soit par l’intermédiaire d’un mesurant discontinu comme indiqué plus haut.

A partir de 7 ans, la commutativité est acquise dans les différents domaines étudiés. On trouve même, dans le cas des collections discontinues, des justifications assez fines par la permutabilité des unités. Avant 7 ans, à un niveau où la non-conservation est de règle, la commutativité commence par être contestée puis est admise en certaines situations et non en d’autres, comme si elle relevait de deux processus contemporains et distincts, qu’on peut favoriser ou inhiber selon les conditions expérimentales et les consignes. Certains sujets la refusent pour les longueurs mais l’admettent spontanément pour les collections numériques en s’appuyant sur la « quotité » (les éléments sont considérés alors comme des unités équivalentes quelconques) ou sur la correspondance préalable avec les unités du mesurant. D’autres au contraire l’acceptent pour les longueurs et pour les collections mesurées par leur extension spatiale ils s’appuient alors sur l’idée d’une permanence du tout ; mais paradoxalement ils la refusent pour les collections rapportées au mesurant commun (et souvent pour les longueurs rapportées au mesurant a’+ b’) c’est qu’ils procèdent alors à une comparaison de parties ou de sous-classes inégales, sans pouvoir composer les différences par addition logique ; on a en effet b<a’ et a>b’, ou bien N<M’ et M>N’.

De tels résultats semblent donc montrer à la fois la liaison génétique du logique et du numérique et leur distinction dès les niveaux préopératoires. Ici encore les réussites et les échecs sont également instructifs. Les échecs tiennent en effet à l’imparfaite structuration des opérations logiques qui ne forment pas encore des groupements réversibles (notamment les groupements de classes ou de relations assurant la conservation). Quant aux réussites, elles s’appuient sur des schèmes semi-structurés dont la correspondance bi-univoque est le meilleur exemple. Ces schèmes ne sont déjà plus exclusivement logiques, puisque leur mise en œuvre suppose notamment l’abstraction des qualités qui constitue l’unité numérique et assure la corres-

pondance quelconque. Mais ils ne suffisent pas à définir un système opératoire cohérent et général, et leur limitation tient justement à l’absence de groupements. Comme ils donnent lieu en certains cas à des équivalents d’opérations, P. Gréco les appelle des quasi-structures, en les caractérisant toutefois par leur fonction instrumentale plutôt que par leur organisation interne. En dépit des succès constatés dès avant le niveau de 7 ans (dans le domaine des inférences numériques, de la commutativité, de la conservation des quotités, etc.), il conclut qu’« il n’y a pas d’arithmétique préopératoire formant une structure d’ensemble cohérente ». On peut dire que s’il en est ainsi, c’est qu’il n’y a pas à ce niveau de groupements achevés de classes et de relations. Mais on peut voir également dès ce niveau la spécificité des quasi-structures numériques, qu’on ne saurait réduire ni à des préclasses, ni à des prérelations seulement, mais qui témoignent sans doute d’un début de synthèse, entre elles deux (sans donc atteindre le palier qui sera caractérisé par la synthèse complète entre les groupements eux-mêmes de classes et de relations, engendrant les premières structures proprement numériques).

Ces diverses recherches de Gréco l’ont amené à constater un fait important et assez général, que nous avons déjà mentionné en A V sous le nom d’arithmétisation progressive de la série des nombres. Cette série, imposée sous forme verbale avant toute compréhension opératoire n’est en effet que graduellement assimilée, et le processus même de cette assimilation peut être intéressant à analyser du point de vue de la construction du nombre. Or, cette analyse est facilitée du fait que l’enfant ne commence pas par réduire tous les nombres à une certaine structure de niveau (a), puis tous les nombres à la structure (b), et ainsi de suite. En effet, si l’on observe bien une succession de ce genre en ce qui concerne les premiers nombres (1 à 7 ou 8) dc la série, il s’y ajoute le fait que la série elle-même n’est structurée que par paliers, avec décalages chronologiques entre ceux-ci. Il en résulte que vers 6-7 ans, au début des opérations concrètes et de la construction des premières structures numériques, la suite des nombres entiers présente dans les grandes lignes quatre paliers, dont le premier est déjà semi-opératoire et les suivants de moins en moins, le dernier ne constituant qu’un résidu des niveaux les plus élémentaires

(a) De 1 à 7 ou 8 la série est quasi-structurée, avec coordination de la succession et de l’itération, ce qui permet de

résoudre les problèmes précédents pour ces petits nombres. Ceux-ci demeurant essentiellement. figuraux au niveau préopératoire, dès 5-6 ans certains équivalents d’opération sont possibles sur eux.

(b) De 8 à 14 ou 15, on peut parler d’une série ordonnée de termes équidistants c’est-à-dire que, si la correspondance ordinale-cardinale est en général encore reconnue, la succession et l’itération sont habituellement dissociées, l’itération n’étant plus employée pour les prévisions demandées.

(c) De 15 à 30 ou 40 on n’a plus affaire qu’à une série ordonnée. L’itération n’est plus reconnue et l’ordre n’est habituellement retrouvé qu’en récitant la série entière, les successeurs d’un nombre étant plus facilement retrouvés que ses prédécesseurs.

(d) Au-delà de 30 ou 40 l’ordre n’est plus assuré.

Or, ce caractère de progression relativement discontinue, ou par paliers successifs, que présente l’arithmétisation graduelle de la série des nombres projette une certaine lumière à la fois sur le mécanisme de la construction du nombre et sur les raisons de l’apparition tardive de la récurrence ainsi que sa formation par étapes assez longues passant par diverses formes, d’abord élémentaires puis lentement améliorées, de récursions.

Rappelons d’abord que si la série des nombres met ainsi un temps remarquablement grand à s’arithmétiser, l’idée même de série qualitative est au contraire très précoce. Non seulement la sériation des relations asymétriques transitives est préparée, aux niveaux préopératoires, par de nombreuses ébauches souvent assez poussées (dont une anticipation imagée des séries dès 5 ans ¹), mais encore les premières classifications, qui prennent la forme de « collections figurales », ² sont en général d’abord distribuées en « rangées » quasi sériales. Si la série verbale des nombres est si vite apprise, c’est donc qu’elle répond à un intérêt à la fois sérial et de classification figurale, dès le niveau initial où les noms de nombre ne sont que des moyens pour individualiser les individus bien rangés, sans conservation des totalités, etc.

Si ces circonstances n’accélèrent pas davantage l’arithmétisation spécifique de la série des nombres, c’est donc qu’il

1 Voir Inhelder et Piaget, La genèse des structures logiques élémentaires, op. cit., chap. IX.

2 Ibid., chap. I.

existe un obstacle de nature proprement numérique, et on l’aperçoit d’emblée : il s’agirait, pour que la série consiste immédiatement en « nombres », que toutes les unités soient équivalentes entre elles et cependant distinctes or l’unité ajoutée à elle-même (1+1 = 2) n’a pas la même valeur subjective que l’unité ajoutée à 10 (soit 10+1 = 11) ou à 40 ou à 100, etc., et elle cesse presque d’être distincte lorsqu’il intervient de grands nombres. La raison en tient naturellement à la structure de la pensée préopératoire, voisine des structures perceptives et obéissant comme elles à une sorte de loi de Weber élargie (de même que 10 grammes ajoutés à 10 gr. sont très perceptibles, mais que 10 gr.+ 1.000 gr. ne se distingue plus d’un kilogramme, de même 1.000.000+1 ne diffère guère subjectivement d’un million et 1.001 frs à payer sont subjectivement égaux à 1.000 frs, tandis que 11 frs ne le sont pas à 10) !

Il reste alors à se demander par quel mécanisme va s’assurer cette équivalence générale des unités par ailleurs distinctes, et en faveur de quelle interprétation parle ce caractère très lent et progressif de l’arithmétisation de la série des nombres verbaux. Or, si la construction du nombre reposait sur une intuition primitive du n+1, indépendante de toute logique, cette itération d’emblée spécifique devrait entraîner, en premier lieu, une arithmétisation immédiate de la série apprise des noms de nombre, et, en second lieu, une prise de conscience précoce des processus récursifs puis proprement récurrentiels que comporte le maniement de cette série ainsi arithmétisée. Si, d’autre part, la construction des nombres cardinaux procédait de celle des classes de classes, et celle des ordinaux des relations asymétriques comme le suggèrent les Principia en invoquant deux mécanismes formateurs indépendants et séparés, la série même ferait problème, ainsi que la coordination des cardinaux et des ordinaux, mais n’importe quel nombre même élevé pourrait être structuré indépendamment de n’importe quel autre, et la récurrence, assimilée à une inférence sériale quelconque, devrait se rencontrer à tous les niveaux « opératoires » de développement (donc dès 7-8 ans).

L’interprétation du nombre rappelée sous A I et formalisée par Grize nous paraît par contre fournir les deux éléments indispensables à la solution du problème : le caractère à la fois primitif et fondamental de la série, d’une part, fourni par les « groupements » de la sériation des relations et de l’emboîtement des classes ; et, d’autre part, le fait que cette série ne s’arithmétise que moyennant une synthèse, non pas d’une classe

séparée et d’une relation isolée, mais des deux « groupements » en un seul système, de telle sorte que cette synthèse correspond nécessairement, du point de vue psychologique, à une intégration ou équilibration lente et graduelle, et non pas soudaine ou immédiate. En effet, une sériation, au niveau des opérations « concrètes » (c’est-à-dire s’appliquant aux objets manipulables eux-mêmes et non pas à de simples hypothèses énoncées de manière exclusivement verbale) ne porte que sur quelques éléments perceptivement donnés et ne se prolonge pas indéfiniment. Une suite d’emboîtements de classes est encore plus courte dans l’expérience usuelle. La synthèse des deux « groupements » en une suite d’unités à la fois équivalentes et distinctes est par contre virtuellement illimitée (et la formalisation de notre schéma, par Grize montre bien que cette synthèse implique les cinq axiomes de Peano, y compris la récurrence), mais il va de soi qu’à 7-8 ans l’enfant, habitué à construire des sériations de dix à vingt éléments et des classifications à quatre ou cinq emboîtements ne va pas tirer d’un seul coup de leur synthèse une série de nombres s’étendant à l’infini. La nature même des opérations concrètes l’oblige à procéder pas à pas, et l’hypothèse d’une fusion synthétique de « groupements » d’opérations concrètes implique, en vertu des limitations propres à ces opérations, la notion d’une synthèse psychologiquement progressive et non pas instantanée (cette distinction ne pouvant naturellement pas comporter de traduction formalisée puisqu’une formalisation est, par sa nature même, de caractère extratemporel).

Quant aux résultats communs à Morf, Gréco et Inhelder sur le caractère tardif des inférences récursives et encore bien plus tardif des raisonnements par récurrence (dont tout semble jusqu’ici indiquer qu’il faudra attendre, pour les rencontrer, le niveau des opérations propositionnelles, dites « formelles » par opposition aux opérations « concrètes » fondées sur les classes, les relations et les premiers nombres), ils s’accordent assez directement avec le même schéma d’interprétation en effet, si les inférences récursives et récurrentielles traduisent la spécificité du nombre, eu égard aux inférences plus simples fondées sur les seuls emboîtements de classes ou les seules sériations, il va de soi que leur élaboration suivra de près les étapes de la construction même du nombre et qu’à une construction inachevée ne saurait correspondre un mode de raisonnement impliquant l’infini ni même des récursions de mobilité indéfinie.

Les recherches de B. Inhelder sur la correspondance en action et celles de P. Gréco sur la correspondance entre rangées présentées visuellement complètent de façon essentielle les analyses précédentes, d’une part en reprenant pour les affiner notablement nos anciennes expériences sur les équivalences numériques par correspondance et, d’autre part, en insistant sur les aspects inférentiels propres à ces situations.

B. Inhelder fait placer, par l’enfant lui-même, une perle contre une dans deux verres de formes et dimensions identiques, avec répétition de cette action. Les résultats sont d’abord visibles, puis masqués et enfin il s’agit d’anticiper ce que donneraient un grand nombre de répétitions. Une seconde procédure consiste à reprendre la première et la troisième de ces phases avec des verres de formes différentes et, dans une variante, avec des perles de qualités différentes. L’expérience est ensuite reprise avec une inégalité au départ (par exemple de 1), la question étant de savoir si elle se conservera indéfiniment lors d’adjonctions équivalentes (par correspondance 1 à 1). Une autre épreuve consiste à partir d’une correspondance 1 contre 2 puis à diviser par deux la collection 2n, pour savoir si 2n : 2 sera égal à n. Enfin les expériences sont présentées en ordre soustractif : si l’on enlève, par correspondance 1 contre 1 un nombre n d’éléments à deux collections initialement égales ou inégales, les collections restantes seront-elles nécessairement égales dans le premier cas et inégales dans le second ?

Cette recherche a donné lieu à deux sortes de résultats d’intérêt général, les premiers portant sur le développement des inférences et les seconds sur les indifférenciations initiales entre les structures de classes et de nombres. Sur le premier point, on assiste à une évolution entre le refus complet d’inférer l’égalité ou l’inégalité des collections (au moment où l’on interrompt l’action en masquant le total, etc., et a fortiori en ce qui concerne la continuation des actions), et les reconstitutions ou anticipations exactes. Seulement le refus complet d’inférer ne s’observe que chez les sujets les plus jeunes et très rapidement l’action même de disposer les éléments un contre un entraîne une égalisation, mais fondée sur la répétition de cette action comme telle avant d’impliquer une itération des unités en tant qu’unités numériques. Les problèmes, qui seront repris dans le compte rendu du Symposium (voir plus bas, sous B VI) sont

donc d’établir comment s’effectue le passage de l’itération centrée sur l’action à l’itération du +1 et si cette dernière finit ou non dans le cas particulier de ces expériences par donner lieu à des inférences récurrentielles.

Mais un autre intérêt des faits recueillis est de mettre en évidence certaines indifférenciations initiales entre les structures de classes et les structures numériques. Il arrive, par exemple, souvent aux petits de penser que deux collections de valeur n (soustraites par correspondance 1 à 1) sont inégales si elles sont extraites de deux collections totales inégales, comme si la valeur numérique du tout se transmettait à la partie par une sorte de participation qualitative. Pour comprendre le phénomène que nous avions parfois observé jadis avec A. Szeminska et que P. Gréco a retrouvé également, il faut savoir que, au cours de la construction des structures de classes, la difficulté centrale pour l’enfant est la coordination de l’extension et de la compréhension. ¹ Tant que cette coordination n’est pas achevée (et elle ne l’est qu’au niveau de 7-8 ans avec la constitution des groupements opératoires), il se produit un ensemble d’indifférenciations plus ou moins systématiques entre l’extension et la compréhension, de telle sorte que la propriété d’être plus ou moins « nombreux » caractérisant la classe totale en son extension peut fort bien, à l’occasion, se transformer en une propriété en compréhension et se transférer par conséquent aux sous-classes. Or, il est d’un certain intérêt de retrouver cette indifférenciation dans le domaine des correspondances un contre un, deux collections n tirées par correspondance un contre un n’étant pas jugées égales si elles dérivent de collections totales inégales M < N, comme si les n tirés de N étaient plus « nombreux » que les n tirés de M du fait même qu’ils héritent mais en compréhension des caractères généraux de N. De telles réactions semblent, en effet, indiquer qu’avant la construction opératoire du nombre, les « prénombres » (si l’on peut s’exprimer ainsi) sont encore très proches des « préclasses » comme ils le sont par ailleurs des « prérelations » (voir sous A IV l’assimilation de la série des entiers à une sériation qualitative quelconque) : ces réactions s’accordent ainsi avec l’hypothèse selon laquelle la série numérique procéderait d’une synthèse entre les groupements de classes et de relations, les phases antérieures à la synthèse étant alors caractérisées par des semi-synthèses ou par des indifférenciations variées.

1 Voir Inhelder et Piaget, La genèse des structures logiques élémentaires, chap. I-IV.

P. Gréco a repris, d’autre part, nos anciennes expériences sur la mise en correspondance par l’enfant de quelques jetons avec une rangée de sept ou huit jetons espacés, la correspondance optique étant ensuite détruite par modification de l’une des rangées et la question étant de savoir si l’équivalence se conserve malgré cette altération. Gréco a transformé cette épreuve en problèmes d’inférences proprement dites, tout en distinguant soigneusement les aspects proprement numériques des questions (même nombre), spatiaux (rangées plus ou moins longues) et quantitatifs (plus on moins de jetons, indépendamment de ces longueurs). Il a posé à cet égard les questions suivantes : deux collections N et M étant correctement jugées égales par correspondance optique, empiler l’une d’entre elles et prévoir successivement son nombre et sa quantité, connaissant le nombre de l’autre ; N étant plus grand que M, prévoir la conservation des inégalités (quantitative ou numérique) en cas de modifications figurales analogues à celles de nos expériences antérieures ; N et M étant égales (= 7), on transforme la correspondance optique en une figure telle que M6 se trouve au-dessous de N7, l’élément M7 dépassant donc la rangée des N et donnant l’impression M > N, voire M = N+ 1.

Ces modifications de l’épreuve initiale permettent alors de mettre en évidence l’existence d’égalités numériques (quotités) avant la conservation de la quantité. Cette dernière notion étant sans doute solidaire de l’extension des classes et de leurs emboîtements, le fait qu’il puisse se présenter des égalités numériques mais non quantitatives entre des collections dont la correspondance optique terme à terme est détruite semble indiquer que c’est alors surtout l’aspect serial ¹ de la suite des entiers qui fonde cette égalité, sans synthèse complète avec l’aspect d’inclusion entre classes. Les noms de nombre n’étant au départ que des moyens d’individualiser les éléments, sans que le tout en tant que quantité soit jugé nécessairement équivalent à la somme de ces éléments, ² il s’y ajouterait ici que deux collections (objectivement) égales M = N, mais distribuées sans correspondance optique, sont estimées comporter le même nombre, dans la mesure où le sujet s’attend, en individualisant les éléments par dénombrement 1 … 7 en N, à retrouver la même suite énumérative en M, mais sans que cela implique encore M = N du point de vue quantitatif de la valeur du tout. Il est en effet, à noter que cette discordance entre l’égalité

1 Mais dans le sens d’une simple suite énumérative ou d’une numération sérlale.

2 Voir le Fasc. IV des « Etudes ».

« numérique » et l’égalité quantitative vient s’insérer entre un niveau où la première n’existe pas encore et un niveau où les deux sont réunies en une synthèse stable : le progrès entre la non conservation du nombre lui-même et sa conservation, mais sans équivalence quantitative, ne peut donc guère être interprété que comme résultant d’un appel à l’aspect sérial de la numération, encore dissocié de son aspect d’emboîtements successifs ou cardinal (ce qui ne signifie naturellement pas que le nombre ordinal se constitue avant le cardinal, parce qu’en d’autres expériences la cardination semble précéder).

Pour analyser avec quelque sécurité les inférences que nous comptions rencontrer dans la solution des problèmes faisant intervenir le nombre, il était indispensable de disposer d’un élément de référence fourni par des cas comparables mais où le nombre n’intervient pas et où cependant la simple transitivité sériale (ou la simple hérédité de la relation de successeur) s’accompagne d’un passage matériel pouvant se produire ou ne pas se produire entre un élément quelconque et le suivant de la série. Cette nécessité s’imposait d’autant plus qu’il nous fallait pouvoir juger de la portée génétique de cette opinion soutenue entre autres par B. Russell que le raisonnement par récurrence se réduit à une suite d’inférences de la forme : si le fils d’Atrée est un Atride, le fils du fils d’Atrée le sera également et tous ses descendants mâles le seront sans exception. Mais la filiation biologique ne s’accompagnant pas d’un passage matériel accessible à l’observation directe des enfants, il nous fallait trouver une autre forme d’hérédité aussi simple que celle du caractère « Atride » et ne soulevant d’objections ni du point de vue du dispositif expérimental ni de celui des convenances sociales. La question principale que nous nous proposions de résoudre était alors la suivante : étant donné un système d’inférences s’appuyant sur un passage matériel direct, dont le contexte est immédiatement perceptible (alors que dans un raisonnement par récurrence arithmétique, le passage d’une propriété de n à n+1 ne consiste pas en un passage matériel, mais repose sur une démonstration pouvant au mieux être facilitée par la constatation du fait que n et n+1 possèdent tous deux la même propriété), et un système indépendant de toute structure numérique, allions-nous trouver que ce système est de

formation si élémentaire et précoce qu’il constitue probablement la source des récursions et récurrences numériques, ou, au contraire, qu’il est d’apparition assez tardive pour suggérer un développement simultané des inférences qualitatives reposant sur un « passage » et des inférences numériques, avec même peut-être quelqu’avance de celles-ci sur celles-là ?

B. Matalon, qui a pris ses grades en chimie avant de devenir psychologue, a trouvé un dispositif à la fois ingénieux et très simple : huit verres contenant soit un peu d’eau pure soit un acide transparent sont alignés devant l’enfant et les questions posées porteront toutes sur le passage matériel de l’acide d’un verre au suivant par transvasement direct d’une partie du contenu. On commence par montrer deux verres hors série, A contenant de l’acide et B de l’eau pure, et par faire constater qu’un papier de tournesol bleu ne change pas de couleur en B et devient rouge en A. Après quoi on verse devant l’enfant un peu du contenu de A dans B et le sujet constate que cette fois l’indicateur rougit en B comme en A. C’est alors que commence l’interrogation sur les huit verres alignés. (a) On verse un peu du verre 1 en 2, de 2 en 3, etc. jusqu’à 8, puis on met un indicateur en 5 où il tourne au rouge et où on le laisse pour mémoire ; on pose alors sept questions successives portant sur les verres. 8, 6, 7, 8, 4, 1 et 2-4, et consistant à prévoir si le tournesol rougira ou non en chacun de ces verres, et pourquoi. (b) Dans la seconde partie de l’interrogation, on met en plus (et on laisse) un papier indicateur en 3 et on constate qu’il reste bleu ; on pose alors sept nouvelles questions, de même forme que précédemment, sur les verres 1, 2, 4, 6, 7, 4 et 1, suivies de deux questions sur ce qui se passerait après le verre 8 si l’on continuait à verser dans de nouveaux verres et enfin de la dernière question : montrer, parmi les huit verres, ceux où l’on est certain qu’il y a de la « teinture », ceux où l’on est certain qu’il n’y en a pas, et ceux pour lesquels on n’a pas de certitude.

Les réponses obtenues ont pu être hiérarchisées au sens de Guttmann (avec un coefficient de reproductibilité très élevé : 0,97 !) en dix niveaux successifs, dont le plus bas est l’échec général, puis le modus ponens (avec enchaînement dans la seconde partie de l’épreuve, mais d’abord sans et ensuite avec enchaînement dans la première partie), puis le modus tollens (avec variantes) et enfin la reconnaissance de l’indécidabilité pour les verres 1 à 4 avant d’avoir constaté l’absence d’acide en 3.

Or, à 7 ans, 9 sujets sur 15 sont du premier niveau (échec à toutes les questions) et 6 des divers niveaux du modus ponens ; à 9 ans, 8 sujets sur 15 en restent au modus ponens et 7 parviennent en plus au modus tollens, mais sans compréhension de l’indécidabilité de 1-4 ; à 11 ans, 5 sujets sur 15 ne dépassent par le modus ponens et 3 seulement atteignent le niveau supérieur (prévision correcte pour les 8 verres).

Il est donc évident que ce genre d’inférences n’a rien de primitif et ne saurait servir de source unique aux récursions numériques dont nous avons constaté les débuts entre 7 et 9 ans. Il nous faudra attendre d’être mieux renseignés sur les progrès de la récurrence au niveau des opérations « formelles » (11-12 ans et plus) pour juger de leurs relations avec les raisonnements étudiés par Matalon, mais, jusqu’à plus ample informé, le tableau le plus probable au niveau des opérations « concrètes » (7-10 ans) semble être celui de systèmes d’inférences progressant simultanément sur trois fronts, correspondant respectivement aux structures de classes, de relations et de nombres, avec peut-être une avance des raisonnements s’appuyant sur la série des nombres au fur et à mesure de son arithmétisation réelle, et peut-être même une action en retour de ces inférences numériques sur les inférences qualitatives (de même qu’on observe parfois une meilleure structuration de l’extension des classes sous l’influence du nombre).

Excellent expérimentateur et surtout excellent théoricien du courant behavioriste et de l’apprentissage, ancien élève de Hull mais avec une grande indépendance d’esprit, D. Berlyne a tenu à passer une année en notre Centre pour étudier les connexions possibles entre les tendances genevoises et celles qu’il représente. Il nous a ainsi rendu, mais en psychologie encore plus qu’en logique (bien qu’il domine également celle-ci) le même service que précédemment L. Apostel, en incarnant parmi nous l’empirisme logique et cela à nouveau sous sa forme la plus souple et la plus compréhensive. Désirant généreusement incorporer ses recherches dans celles de l’équipe entière, il a choisi comme thèmes d’analyses la formation des classes d’équivalence et des relations d’ordre, deux notions fondamentales dans la construction du nombre. Ses travaux sur ces deux points ont été particulièrement suggestifs pour nous. Notre tendance naturelle, en présence de tels problèmes consiste, en effet, à ne supposer

comme donnés dans le milieu possible de l’action (dans le « monde extérieur » si l’on préfère ce langage) que des objets égalisables ou ordonnables, mais non pas, dès le départ, déjà équivalents ou ordonnés ; ce qui revient à dire que, ni les classes d’équivalence, ni l’ordre, n’existent tout faits au sein des objets, ni d’ailleurs dans l’« esprit », mais qu’ils se construisent par interactions successives entre les objets et le sujet, avec intervention nécessaire des activités de celui-ci sous forme d’actions modifiant les objets et à partir desquelles seront peu à peu abstraites ces équivalences et cet ordre. La tendance naturelle de Berlyne est au contraire de croire à l’existence des équivalences objectives et de l’ordre et à se demander par quels moyens le sujet les découvrira. Or, ces divergences épistémologiques de départ sont particulièrement fécondes pour un Centre d’épistémologie génétique, car non seulement elles n’empêchent pas l’accord sur les faits psychogénétiques eux-mêmes, mais encore elles conduisent à une critique plus poussée de la portée épistémologique de ces faits en obligeant à serrer de plus en plus près les modes d’acquisition propres aux connaissances élaborées par le sujet, dans le sens soit de la « découverte » soit de la « construction ».

Cela étant quant aux oppositions de départ, il faut reconnaître que Berlyne a fourni un effort considérable et plein d’intérêt pour réduire, non seulement nos résultats, mais encore les notions-clefs servant à leur interprétation théorique, à un schéma tiré de la combinaison (qui est la première originalité de cet auteur) entre la théorie de l’information et la théorie, surtout hullienne, de l’apprentissage. Mais pour opérer cette réduction, Berlyne a été obligé à un certain nombre d’adjonctions, qu’on peut presque appeler des retouches, aux théories classiques de l’apprentissage et la question qui se pose est de savoir jusqu’à quel point ces modifications en transforment la portée épistémologique.

Il faut d’abord rappeler un mot de Berlyne, qui n’est pas dans son texte mais qui l’éclaire singulièrement : « Au commencement était la Réponse » a-t-il déclaré à l’une de nos premières séances de l’année, pour résumer son point de vue sur le comportement et sur le schéma stimulus-réponse. Et le passage le plus nouveau de son étude sur les classes d’équivalences est sans doute celui où il incorpore, parmi les « réponses », les transformations elles-mêmes, au sens où nous parlons de transformations opératoires ou d’opérations logico-mathématiques. « Cette démarche, ajoute-t-il alors, entraîne une

modification radicale des conceptualisations de Hull et d’autres, qui ont écrit comme si le fait de penser, par exemple, à une suite d’événements équivalait à se représenter les situations-stimuli par lesquelles la séquence passe successivement. L’innovation consisterait à interposer entre ces représentations de situations-stimuli les représentations des transformations qui conduiraient d’une situation à la suivante » etc. On peut donc se demander si l’essai de Berlyne ne revient pas à substituer au schéma de la connaissance-copie, dont l’influence est si évidente dans la pensée de Hull, un schéma de connaissance-assimilation qui dissocierait l’interprétation des structures par l’« apprentissage » de son contexte empiriste habituel.

Et, de fait, en développant, à côté des généralisations-stimuli et des généralisations-réponses, le concept de généralisation stimulus-réponse, prévu mais non utilisé par Hull, Berlyne parvient au moyen de cette notion et de celle des réponses-transformations, à interpréter les groupes de transformations, les « groupements » et la réversibilité en termes de « familles hiérarchiques d’habitudes » et d’apprentissage associatif. Tant les classes d’équivalences, avec leurs variétés qualitatives et numériques, que la notion d’ordre (objet de sa seconde étude), s’expliquent ainsi dans un tel contexte, sans parler des processus d’équilibration auxquels Berlyne consacre des pages suggestives en partant des relations entre la motivation et les conflits cognitifs.

Mais, fidèle malgré tout à l’empirisme logique, Berlyne n’aborde pas ce qui nous paraît le problème central, à savoir la construction même des opérations. Les « transformations » sont pour lui des réponses apprises, et, n’étant plus apprises (ou plus seulement apprises) par copie des situations-stimuli, elles doivent l’être à partir d’une autre source : cette autre source sera alors constituée par le langage. A vrai dire, Berlyne semble invoquer tour à tour les deux sources, la première (situations-stimuli) pour les transformations physiques et la seconde pour les transformations logico-mathématiques : « Quand il s’agit d’atteindre un but pratique ou de reconstituer le déroulement d’une suite d’événements naturels, les « transformations » correspondront à des processus physico-chimiques qui pourraient avoir lieu réellement. Quand il s’agit du raisonnement logique ou mathématique, les transformations seront des substitutions d’une formule à une autre, conformément aux règles syntactiques et aux règles d’inférence du langage employé ». En d’autres termes, les transformations physiques ne sont peut-être pas conçues comme des « assimilations » aux trans-

formations logico-mathématiques, et celles-ci ne sont pas nécessairement conçues comme émanant des activités du sujet ¹ mais comme pouvant être apprises à partir d’un langage donné.

C’est pourquoi, lorsque nous publierons les deux études de Berlyne sur les classes d’équivalence et sur la notion d’ordre, nous les ferons suivre d’une courte analyse sur la portée épistémologique de sa tentative, en nous demandant à quelles conditions on peut interpréter le système des « réponses » et notamment des réponses transformatrices introduites par l’auteur comme comportant une « activité » du sujet, au sens épistémologique du terme.

Tout en comptant s’associer aux recherches de notre équipe sur le nombre (et l’on a vu sous A I sa contribution essentielle à cet égard), J.B. Grize est venu à nous avec des intérêts sur les relations entre les diverses variétés d’implications formalisées et ce qu’on peut appeler l’implication naturelle. B. MataIon s’intéressant aux mêmes problèmes, nous avons pensé qu’ils pouvaient s’inscrire dans le cadre de nos recherches à un double point de vue. D’une part, nos quelques « Etudes » sur l’épistémologie de la logique (vol. I-X) restant très fragmentaires, nous saisirons toujours l’occasion de les compléter. D’autre part, le problème des nombres « naturels » devant tôt ou tard rejoindre celui de la récurrence, il convient de ne négliger aucune source d’information sur les diverses formes d’inférences possibles dans la logique « naturelle ».

Mais on sait assez que n’importe quelle question se rapportant à la logique naturelle soulève immédiatement le redoutable problème de savoir si une telle logique existe et ce qu’il faut entendre sous ce nom, car, nous l’avons déjà vu, si chacun s’accorde à accepter que la pensée commune parvient aux nombres appelés pour cette raison « naturels », beaucoup d’auteurs ne voient pas de contradiction à nier toute possibilité d’une logique naturelle.

Aussi bien, Grize et Matalon, tout en organisant quelques expériences sur l’implication dans la pensée adulte et en cher-

1 Nous entendons par activité du sujet le fait que celui-ci, en « répondant » (si l’on veut parler ainsi) à un stimulus, introduit dans sa réponse des éléments nouveaux non empruntés aux stimuli actuels ou antérieurs (donc pas non plus au langage ambiant), bien que pouvant leur correspondre.

chant à formaliser les raisonnements obtenus, ont-ils été conduits par la force même des choses à réfléchir surtout sur les conditions préalables de l’étude expérimentale et de l’analyse formelle du raisonnement naturel. Préoccupés de ces problèmes durant l’année, ils ont encore été renforcés dans cette voie par les réactions des membres du Symposium final, car il est actuellement impossible de toucher à la question de l’implication naturelle sans provoquer un débat la fois passionné et montrant la complexité des problèmes en jeu.

Le résultat auquel ont abouti Grize et Matalon est donc une « Introduction à une étude expérimentale et formelle du raisonnement naturel », qui paraîtra dans un prochain fascicule de notre collection et qui contient, mais en appendice, un « Essai de vérification expérimentale d’un schéma d’inférence plausible ». Œuvre d’un logicien et d’un psychologue, cette « Introduction » cherche à éviter tout psychologisme de la part du premier et tout logicisme de la part du second. Mais elle part du fait incontestable que le logicien rencontre dans son travail des théorèmes « paradoxaux » qui le gênent « pour des raisons qu’il faut bien appeler psychologiques » et qu’il y a donc intérêt pour lui à rechercher les conditions formelles d’un système sans paradoxes ou d’un système « naturel ». Mais deux principes méthodologiques sont alors à respecter : (1) s’il veut être renseigné sur ce qu’est la pensée « naturelle » (indépendamment de toute formalisation), le logicien ne saurait se contenter d’introspections, car elles sont toujours faussées par des idées préconçues, mais doit recourir aux résultats des méthodes expérimentales du psychologue ; (2) à supposer qu’il aboutisse à formaliser un système correspondant à la pensée naturelle, ce système ne sera formellement ni meilleur ni moins bon qu’un autre, car l’expérience psychologique ne saurait en aucun cas constituer le critère de la validité formelle. Réciproquement le psychologue a intérêt à recourir au formalisme du logicien qui l’aidera à analyser les faits qu’il découvre, mais, lorsqu’il s’agit de questions de faits, la démonstration, formelle ne saurait en aucun cas se substituer au contrôle expérimental.

Armés de cette méthode à la fois souple et claire, Grize et Matalon ont d’abord réexaminé la théorie des diverses formes d’implication, et les inférences plausibles de Polyà, etc., puis se sont attachés à distinguer les problèmes que soulèvent l’analyse formelle et l’étude expérimentale de la pensée naturelle, en insistant, de ce second point de vue, sur les questions de méthode (observation et expérimentation, rôle du langage, rôle

de la décision, etc.). L’appendice donne un échantillon des recherches possibles, en analysant les réactions d’adultes, non logiciens à un schéma d’inférence plausible de Polyà. On trouvera plus bas (B XI) un résumé des discussions du Symposium sur ce dernier essai.

Pour introduire son exposé sur l’épistémologie mathématique, Papert est parti d’un problème fondamental du point de vue de nos recherches : la logique des propositions ou l’arithmétique peuvent s’appuyer formellement sur des axiomes qui sont équivalents quant à leur portée formelle, mais qui ne le sont nullement quant à leurs correspondances avec la pensée effective ou l’arithmétique naturelle. Par exemple on peut fonder la logique des propositions soit au moyen de l’axiome unique des logiciens polonais soit au moyen des axiomes de Hilbert, soit encore en utilisant l’axiomatique « naturelle » de Gentzen. Mais certains de ces axiomes ne correspondent à rien dans la pensée effective, tandis que d’autres se rapprochent davantage de ce qui est élémentaire au point de vue génétique. Il en est encore plus clairement ainsi en ce qui concerne les axiomes de l’arithmétique (voir sous B III).

Le problème était ainsi posé (et il rebondit à plusieurs reprises au cours de la semaine) de préciser en quel sens nous comptions coordonner les analyses formelles portant soit sur la récurrence, soit sur les connexions entre classes, relations et nombres, etc., avec les structures mentales dégagées au moyen des analyses expérimentales ou génétiques. Commençons donc par résumer ce débat général, non pas qu’il fût le premier en date (il ne débuta heureusement qu’après quelques exposés de faits ou d’analyse formelle délimitée, qui purent servir d’illus-

trations concrètes), mais parce qu’il soulève les questions logiquement préalables.

En une brillante intervention ¹, Martin souligna en s’inspirant de Tarski les difficultés de la liaison entre les systèmes formels et la pensée naturelle, ou pour parler comme Tarski entre théories formelles et théories « naïves », mais il insista aussi sur la nécessité de cette coordination et sur le fait que la psychologie occupe à cet égard une position plus forte qu’elle ne le croit. D’une part, il est vrai qu’une théorie formelle n’utilise que des expressions sans signification concrète et que seule la sémantique ou métalangue assure la liaison entre cette théorie formelle et la théorie naïve correspondante. Il est vrai, en outre, qu’on définit dans la métalangue la notion d’isomorphisme entre deux structures de la théorie formelle et que par conséquent on ne saurait employer la même relation d’isomorphisme pour désigner les correspondances entre la théorie formelle et la théorie naïve, cette correspondance elle-même étant, comme l’a montré Tarski, source de difficultés. Mais, d’autre part, le logicien ne peut éviter de recourir à une métalangue et par cela même à une sémantique « naïve ». En outre, il convient de distinguer entre appliquer une structure logico-mathématique sur la pensée naïve et l’appliquer sur les structures sous-jacentes à cette pensée. D’une manière générale, même si la théorie formelle est trop fine pour s’adapter à la pensée naturelle, et celle-ci trop peu structurée pour être formalisée, le problème s’impose et ne saurait être écarté d’établir la liaison entre ces deux sortes d’activités du sujet.

Pour Beth la situation s’est modifiée à partir du moment où, au milieu du siècle dernier, ont pris naissance les mathématiques « pures ». Auparavant on pouvait considérer la géométrie comme fondée sur la physique et l’arithmétique comme reposant sur des processus psychiques. Avec les nouvelles géométries, le rôle croissant de l’infini, etc., le problème s’est posé d’un fondement unique pour l’ensemble des mathématiques, ce qui exige par cela même un degré bien plus élevé, d’abstraction. La solution la plus aisée pour étayer une telle abstraction a été le retour à une interprétation platonicienne. Mais elle aussi soulève des difficultés. Sans se prononcer sur les relations entre les mathématiques et la vie mentale, Beth reconnaît qu’il existe au moins un problème psychologique : celui d’établir comment nous en venons à « comprendre » l’infini, etc.

1 Qui sera développée en un article que nous publierons dans un prochain fascicule des « Etudes ».

Gonseth estime que s’il n’intervient pas un moment psychologique de certitude dans le maniement du nombre, ce maniement est lui-même compromis. L’émergence de la notion de nombre chez l’enfant suffirait à elle seule à justifier le « principe de la dualité » que la doctrine de Gonseth considère comme inhérent à toute connaissance ouverte : on ne saurait s’en tenir à un seul horizon, logistique ou psychologique, et il est indispensable de trouver un cadre épistémologique tel que l’intégration des deux horizons soit possible.

Guilbaud ne conteste pas l’intérêt de la logique, mais il attribue une importance plus grande au cheminement qu’au point de départ, c’est-à-dire à l’« activité mathématisante » qu’aux fondements. Ce qui le surprend alors est l’existence de certitudes mathématiques qu’il n’est pas facile d’acquérir bien que l’objet dont on parle soit assez primitif et l’énoncé de ses propriétés assez simple pour être compris de tout le monde. La didactique des mathématiques (algèbre, combinatoire, structures finies, etc.) en fournit de nombreux exemples. Guilbaud cite en particulier des problèmes d’ordre : (1) Disposer des jetons de couleurs variées ; si l’on met assez de jetons relativement au nombre des couleurs disponibles, on apercevra des périodicités (trois jetons blancs séparés par le même intervalle, etc.) et on peut démontrer qu’il est impossible d’éviter ces régularités. (2) Disposer des points dans un plan et examiner toutes les configurations partielles formées de cinq points : il est impossible que parmi tous ces pentagones il n’y en ait pas au moins un qui soit convexe. Or, il ne s’agit pas là de propriétés topologiques, mais de combinatoire. En mettant ces questions sous forme abstraite on retrouve des problèmes de représentation (Ph. Hall, Ramsay, Van der Waerden) et des questions rappelant celles de Sperner (triangles colorés). Il est alors aisé de constater que la logique en jeu dans ces démonstrations est vraiment élémentaire, tandis que la preuve elle-même est compliquée. Pourquoi cette dissymétrie ? Il y a là entre autres un problème psychologique.

Lloyd ne pense pas que la certitude ou l’évidence logiques relèvent de la psychologie, car il faut distinguer la recherche des fondements de celle des causes. La forme logique d’un énoncé ne s’identifie pas avec le contenu de la pensée réelle. La relation entre le langage et la pensée ne serait pas formelle (verba significant res mediantibus conceptis) mais causale. L’égalité de l’analysans et de l’analysandum ne serait valable qu’en extension et non pas en compréhension, etc. Cependant, tout en distinguant les fondements et les causes, il n’est pas

nécessaire de les dissocier radicalement, ce qui souligne le problème de l’épistémologie génétique. A cet égard, l’axiomatisation de la logique conduit à distinguer la syntactique, la sémantique et la pragmatique (sans parler du problème difficile de la relation entre la sémantique et les « choses » statut ontologique des nombres, etc.). Or, l’indépendance pure de la « vérité logique » soulève des difficultés : pour se servir des constantes logiques, il faut les définir dans le cadre sémantique, ce qui peut conduire à des cercles ; on recourt alors à la pragmatique, ce qui ouvre une porte à l’épistémologie génétique. Il est vrai que ce remplacement de la sémantique par la pragmatique a été gravement critiqué, mais quelques-unes des critiques mettent cependant en jeu des faits psychologiques. D’autre part, le contenu d’un système logique consiste en abstractions (le signe + par opposition à l’addition concrète), et, une fois épuisée l’analyse logique, il faut bien se demander de quoi sont tirées de telles abstractions. Dans la mesure où les raisonnements quotidiens présentent certaines structures opératoires, comme Piaget et d’autres l’ont souligné, cela conduit à une seconde ouverture sur l’épistémologie génétique, ce qui est la façon la plus convaincante selon Lloyd. Néanmoins il convient de distinguer l’analyse psychologique et la recherche des fondements, sans quoi la logique perdrait sa raison d’être. Il convient en particulier de distinguer soigneusement l’activité propre au raisonnement naturel, qui est un calcul, d’avec l’activité formalisatrice du logicien-arithméticien.

Répondant à l’objection selon laquelle il ne saurait y avoir d’isomorphisme entre une théorie formelle TF et une théorie naïve TN, Grize reconnaît d’abord :

(1) que TF ne contient que des expressions qui sont, par définition, dépourvues de signification concrète, par exemple la suite de lettres et d’intervalles contenus entre les guillemets dans « Chicago est une grande ville ».

(2) Pour formuler TF d’une part, pour en exprimer ensuite les propriétés, il faut faire usage d’une métalangue ML. Celle-ci contient entre autres : des mots pour parler des signes de TF, une logique naïve, une arithmétique naïve et une langue naturelle U (le français par ex.).

(3) On définit dans ML le concept d’isomorphisme entre deux structures de TF. Il n’est donc en effet pas possible de parler d’un isomorphisme entre expressions de TF et de TN.

(4) En revanche, rien n’empêche a priori, de définir dans ML un concept de correspondance qui soit une relation entre

expressions de TF et de TN (relation sémantique). Tarski a montré que cette façon de faire conduisait à des difficultés. Mais on peut noter : (a) que ces difficultés sont fonction du niveau de rigueur exigé, non pas dans TF mais dans les correspondances mêmes ; (b) qu’elles dépendent de la généralité des correspondances envisagées ; et (c) qu’il existe au moins, et dès le départ, un instrument qui permet de parler de TF et de TN : cet instrument est U.

(5) Il ne faut pas perdre de vue non plus que TF n’est pas établie sans s’appuyer sur TN. Cela signifie que TF contient deux sortes d’expressions : (a) celles tirées « par abstraction » de TN ; et (b) celles qui lui sont propres.

S’il est plausible qu’on ne puisse pas établir de correspondance entre les éléments propres de TF et quelque élément de TN, il ne semble pas impossible d’établir des correspondances entre les éléments de TF et ceux de TN dont ils ont été abstraits. Par exemple : xℇ{y} si et seulement si l’objet x est l’unique objet de la boîte {y}. Ou pour reprendre l’exemple de « Chicago… » si et seulement si Chicago (la ville) est une grande ville.

(6) De tels procédés, même s’ils sont délicats (et on ne voit pas pourquoi l’épistémologiste devrait être dépourvu de tout doigté) ne paraissent : (a) ni contradictoires ; (b) ni détruire la logique en tant que logique (comme le craignait Lloyd) ; (c) ni faire dépendre le système formel de la possibilité concrète des vérifications expérimentales (comme le supposait Gonseth).

(7) La recherche, l’établissement et la mise à l’épreuve de telles correspondances justifient la présence de logiciens et de mathématiciens dans un Centre comme celui de Genève.

Selon Piaget, enfin, la liaison entre les théories formelles et la pensée naturelle correspond à un problème qui se pose nécessairement, pour les raisons suivantes

(1) Il existe une logique et une mathématique du sujet, même si elles sont incomplètes, et elles sont en partie indépendantes de celles du logicien et du mathématicien, car il est psychologiquement possible de montrer que l’enfant n’acquiert ni toute sa logique ni toutes ses mathématiques en fonction des seules transmissions sociales. Il peut donc être intéressant

1 Mais cette logique du sujet comporte la distinction normative du vrai et du faux.

de formaliser certaines de ces structures « naturelles », comme l’a fait Grize pour celle de « groupement », et d’établir leurs relations avec les structures plus riches utilisées par la pensée formelle sous sa forme générale.

(2) Le mathématicien et le logicien sont aussi des « sujets », au sens psychologique du terme, et, en se livrant aux formalisations les plus raffinées, ils ne sortent pas de la « nature » des sujets mais construisent seulement de nouvelles formes de pensée, distinctes des formes usuelles. Dire, par exemple, que les entiers positifs sont « naturels » et que les nombres complexes sont artificiels ou « imaginaires » signifie simplement que toute forme de pensée emploie les premiers, tandis que les seconds supposent des variétés de pensée plus élaborées. De même, la pensée formalisée poursuit ses fins propres et élabore ses propres structures, mais cette activité normative n’échappe pas davantage à la vie mentale (et sociale) que, par exemple, celle du juriste n’échappe à la société : on pourrait donc faire une psychologie de la formalisation en prenant les mêmes précautions à l’égard des « faits normatifs » que celles qui sont observées par la sociologie du droit.

(3) La formalisation est née historiquement de la pensée « naturelle » et l’on peut suivre pas à pas la manière dont le besoin de « fonder » s’est dissocié, par réflexion rétroactive ou analyse régressive, du courant orienté vers la construction directe. Même si la formalisation a fini (mais pour combien de temps encore ?) par constituer un état dans l’état, elle tire donc ses origines d’une recherche des « fondements » déjà à l’œuvre sous une forme implicite dans les essais de démonstration propres à la pensée naturelle.

(4) Les épistémologies logico-mathématiques même les plus formelles se réfèrent toujours, implicitement et parfois explicitement, à une psychologie, car pour marquer les frontières et les oppositions entre la théorie formelle et la pensée naturelle il faut connaître celle-ci comme celle-là : autant alors se référer à une psychologie vérifiée qu’à une psychologie introspective, ou spéculative. En un mot il faut une bonne psychologie pour éviter le psychologisme (négatif autant que positif…).

1 On appelle « fait normatif » la présence et l’action d’une norme dans l’esprit du sujet, en tant que cette présence et cette action sont constatées titre de faits par un observateur. La notion de fait normatif repose donc sur la distinction du sujet et de l’observateur et ne comporte ainsi aucune contradiction.

(5) La psychologie des opérations intellectuelles semble aujourd’hui en état d’expliquer la formation des mathématiques pures. Beth, Lloyd et d’autres ont parlé d’abstraction. Mais abstraction à partir de quoi ? S’il s’agit d’une abstraction à partir des objets, comme l’a supposé la psychologie empiriste (de l’associationnisme classique aux théories de Hull), cette formation demeure inexplicable, et c’est sans doute en se référant à de tels modèles et en assimilant inconsciemment psychologie et empirisme qu’est née la méfiance historique des formalistes à l’égard des psychologues. Mais s’il s’agit d’une abstraction à partir des actions, et si l’on ajoute qu’abstraire une structure à partir des coordinations d’actions consiste toujours à construire une nouvelle structure plus raffinée et épurée pour « réfléchir » la première, alors la psychologie est apte à rendre compte de l’élaboration des mathématiques pures, ce qui ne signifie naturellement pas les « fonder » mais expliquer leur genèse…

(6) La nécessité logique est certes distincte de la certitude subjective dans la mesure où l’on se réfère, pour la première, à une pensée formalisée et, pour la seconde, à une « théorie naïve ». Mais la nécessité formelle est encore un état psychologique, propre à certaines situations bien délimitées caractérisées par leur intentionnalité, et par les opérations intellectuelles mises en jeu à un certain niveau mental (ce qui ne signifie pas que le logicien, en dehors de son activité spécifique et professionnelle fasse intervenir la nécessité logique dans les raisonnements de sa vie pratique quotidienne !)

(7) Pour toutes ces raisons il semble légitime de chercher à établir, ne disons pas des isomorphismes partiels si l’expression paraît impropre, mais des correspondances structurales (en se référant à la distinction admise par Martin, Lloyd, etc. entre la pensée « naturelle » et les structures sous-jacentes) entre les structures de la pensée formalisée et celles de la pensée naïve : en effet, correspondance ne signifie en rien réduction comme y a insisté lumineusement Papert ; et la mise en correspondance conduit à mettre en évidence les différences autant que les ressemblances. A ces deux conditions la recherche que nous poursuivons conduira tout à la fois à sauvegarder le caractère spécifique de la formalisation en sa poursuite des

1 Lorsque Beth reconnaît l’existence d’un problème psychologique relatif à la manière dont la pensée parvient à « comprendre » l’infini, on peut se demander si « comprendre » une notion ne revient pas toujours à la reconstruire.

fondements, et à la relier aux activités du sujet dont l’intervention semble nécessaire pour interpréter épistémologiquement ces fondements, sitôt dépassé le platonisme pur.

S’il s’agit donc de chercher des correspondances entre la formalisation et la pensée « naturelle », encore faut-il décider selon quelle sorte d’interprétation psychologique on manipulera les données de cette pensée naturelle. D’où un second groupe de questions préalables qui ont été soulevées à propos des deux exposés de Berlyne sur les classes d’équivalence et sur la genèse de la notion d’ordre.

A. Nous ne résumerons pas ici les exposés de Berlyne en leur ensemble, puisque ces travaux paraîtront in extenso dans les « Etudes », et nous nous bornerons à rappeler ceux de leurs aspects qui intéressent le problème général mentionné à l’instant. En ce qui concerne la formation des classes d’équivalences (équivalences numériques et équivalences quantitatives en général, soit entre configurations perçues soit entre transformations, etc.), Berlyne s’est, en effet, appliqué à montrer que l’on pourrait en fournir une interprétation dans le langage des théories usuelles de l’apprentissage et notamment dans la perspective de Hull, mais moyennant trois modifications importantes :

(1) Il est tout d’abord possible de traduire les structures réversibles de groupement et même de groupe dans le langage des « familles hiérarchiques d’habitudes », mais à la condition de parler en termes de transformations et pas seulement de réponses.

(2) Il est en second lieu nécessaire d’introduire, en plus des généralisations primaires (généralisation immédiate du stimulus) et des généralisations secondaires (médiatisées), une troisième forme de généralisation, envisagée par Hull mais jamais exploitée par lui : une généralisation fondée sur les couples stimulus-réponse. Mais encore faut-il (et là est l’essentiel) que cette troisième forme de généralisation porte sur les résultats des mêmes transformations et qu’elle soit ainsi liée à l’interprétation des familles hiérarchiques en termes de transformations.

(3) II convient en troisième lieu d’introduire une nouvelle gamme de facteurs motivationnels et de récompenses ou ren-

forcements en relation avec la curiosité : en plus des renforcements externes, il faut invoquer les conflits d’origine endogène (inconséquences, incompatibilités, surprises, etc.) et leurs liquidations, ce qui correspondrait aux déséquilibres et rééquilibrations invoqués par Piaget (avec leurs facteurs de renforcements internes).

La discussion qui s’ensuivit manifesta deux sortes de réactions opposées. Piaget, mis en cause, se déclara fort intéressé, mais pour deux raisons distinctes. La première est que les idées gagnent à circuler d’un mode d’interprétation à un autre, ce qu’elles peuvent avoir de fondé devenant ainsi l’invariant commun à ces diverses traductions. La seconde est qu’en l’espèce, la traduction exige un certain nombre d’adjonctions au système dans lequel cette traduction est faite, sans sacrifice apparent pour celui à partir duquel elle s’effectue…

Papert, par contre, trouve la traduction incomplète. Le système de Hull présuppose un réel déjà construit : il ne semble donc pas possible de tirer de la doctrine de Hull, même modifiée, l’explication de la construction du réel chez l’enfant.

Pour Smedslund, la théorie de Piaget est une théorie des structures ; celles de l’apprentissage reposent sur une psychologie des contenus. Or, toute la signification des références à la logique dépend de cette différence.

Bresson reconnaît qu’une fois introduites les modifications dans le système de Hull, la traduction est aisée. Mais comment les introduire ? Lorsque l’on s’accorde la possession de structures (du monde ou du sujet), on peut étudier comment s’effectuent les correspondances. Mais lorsqu’on ne les postule pas, comment se constituent-elles ?

B. Le second exposé de Berlyne a porté sur l’acquisition de la notion d’ordre, prélude nécessaire à la construction du nombre. Conformément à sa perspective habituelle, Berlyne cherche à expliquer cette formation de l’idée d’ordre en fonction des lois de l’apprentissage sériel, et, à la suite d’une expérience sur la recognition des relations d’ordre au sein de séries arbitraires soit de mots soit d’objets, il montre que quatre classes d’hypothèses sont possibles pour rendre compte de cette ordination : (1) la capacité de former des relations d’ordre constituerait un produit direct des associations apprises ; (2) elle dépendrait des différences entre les quantités de liens proactifs ; (3) elle dépendrait des différences entre les quantités de traces des éléments antérieurs et (4) elle suppo-

serait l’intervention d’une sorte de « compteur » ou d’« horloge » intérieurs. Or, en demandant aux sujets de signaler lequel de deux éléments est apparu après l’autre dans la suite, on s’aperçoit qu’une capacité significative d’ordonner les éléments existe bien avant que la suite des éléments puisse être récitée : la quatrième classe d’hypothèse semble donc la plus conforme aux résultats de l’expérience, sans d’ailleurs que le « compteur » supposé dépende d’une représentation des relations d’ordre temporel par des relations spatiales.

La discussion a alors surtout porté sur ce qu’il convient d’entendre par « compteur ». Lloyd s’est demandé s’il ne faut pas un compteur pour compter le compteur, ce qui revient sans doute à dire qu’on n’échappe pas à une telle régression sans faire intervenir une activité d’ordination. Gonseth s’étonne que le mot de « mémoire » n’ait pas été prononcé alors que la mémoire semble correspondre à un fait plus immédiat qu’un « compteur ». Mais le signataire de ces lignes lui rappelle que les travaux modernes sur la mémoire ont de plus en plus insisté sur l’aspect de reconstitution que cette fonction comporte, par opposition à l’aspect d’enregistrement passif. Or les faits décrits par Berlyne montrent précisément que les relations d’ordre sont introduites avant la mémorisation entière de la série : cela implique donc une activité de reconstitution quant à l’ordre des éléments. Piaget se demande également si le mode d’activité que recouvre la notion globale de « compteur » n’est pas comparable à celui qui intervient dans les effets perceptifs de centralisation autour de la moyenne proportionnelle des séries, lors des comparaisons sans étalon que l’on demande en décalant progressivement les séries en jeu et leur médian : dans les deux cas, il se constitue une sorte d’organisation spontanée de toutes les relations d’ordre en jeu, qui témoigne, non pas d’une sériation automatique des « traces » ni d’une simple lecture d’un ordre déjà donné, mais bien d’une mise en relation active et continuelle. Cela revient à dire que l’ordre n’existe pas tout fait en dehors du sujet et n’est pas simplement enregistré par lui, mais que le « compteur » construit l’ordre tout en l’enregistrant, parce qu’il n’est pas un organe des sens du sujet mais l’expression même de son activité ordinatrice.

Bresson, dans le même sens, rappelle les expériences de Florès dans lesquelles les listes d’apprentissage sont présen-

1 Piaget admet comme critère d’une « activité » du sujet le fait que le sujet construit une relation pour l’attribuer à l’objet au lieu de la tirer de celui-ci par simple enregistrement (ainsi que le suggère le terme de compteur).

tées dans un ordre chaque fois différent. Les sujets introduisent néanmoins un ordre spontané : vient-il alors du compteur ?

Ces principes étant admis quant aux rapports entre la formalisation et la pensée naturelle (B I) et quant à la nature opératoire des constructions intellectuelles (B II, qu’on les relie ou non aux processus d’apprentissage), la première question à discuter était celle de la signification de nos résultats relatifs à la construction du nombre.

Après l’exposé de Grize sur sa formalisation de l’interprétation de Piaget selon laquelle la suite des nombres entiers résulterait d’une synthèse entre le groupement de l’emboîtement simple des classes et celui des relations asymétriques transitives, ¹ une discussion nourrie s’engagea sur les différents points suivants. Beth se demande d’abord s’il n’existerait pas, du point de vue mathématique, plusieurs façons de construire des « groupements ». Il faut peut-être en outre distinguer des sous-types de groupements : c’est le problème de la « représentation » qui se pose alors. Il voudrait enfin savoir comment un système de relations peut être isomorphe à un système de classes. Grize lui répond que Piaget a montré huit manières différentes de construire des « groupements » (voir Traité de Logique ²). Il existe en outre un certain isomorphisme entre les groupements de classes et de relations puisque tous les deux sont des « groupements ».

Guilbaud ayant demandé ce que signifie la « parenté » entre structures, notamment entre le groupement et le semi-lattice, Grize lui répond que son postulat G₅, quatre relations tirées des autres postulats du groupement et la relation de quasi-ordre définissent un semi-lattice soustractif. Mais ce n’est pas un isomorphisme : l’opération inverse et l’élément neutre sont propres au groupement, qui n’est ainsi que « plongé dans » le semi-lattice soustractif.

Guilbaud voudrait savoir ensuite si le groupement avec ses caractères d’incomplétude, est nécessaire pour la construction arithmétique développée par Grize ou bien si l’on aurait pu parvenir au nombre par une construction à partir du semi-lattice soustractif. Grize ne peut pas répondre : il s’est occupé du groupement parce que celui-ci a un correspondant, psycho-

1 Voir plus haut sous A. I.

2 Paris. A. Colin, 1949.

logique. Papert répond en outre que ce qui lui paraît central, c’est la représentation, donc le groupement de classes et non pas la structure de semi-lattice. Guilbaud demande alors pourquoi axiomatiser la représentation au lieu de partir de cette représentation elle-même. A quoi Grize répond que la représentation ne correspond qu’à une conduite des sujets : l’axiomatisation est donc nécessaire pour formaliser là construction « synthétique » qui conduit du groupement au nombre.

Martin cherche de son côté ce que signifie le fait de considérer des éléments comme à la fois équivalents et non-équivalents entre eux et si cette contradiction apparente a un sens psychologique. Piaget lui répond que quand l’enfant compte (ou met en correspondance, etc.) des jetons de dimensions et couleurs égales il lui reste à distinguer ces unités équivalentes pour ne pas dénombrer deux fois la même ni en omettre aucune il ne subsiste alors comme seul critère de distinction que l’ordre, et, du point de vue de cet ordre d’ailleurs vicariant, les éléments ne sont plus équivalents. C’est pourquoi, sitôt que l’on fait abstraction des qualités, le seul moyen d’assurer psychologiquement la distinction des éléments et d’éviter logiquement la tautologie A+A = A est de se référer à l’ordre, la synthèse des emboîtements de classes et de cet ordre constituant alors le nombre.

Beth ajoute que, même si le passage de la classe au nombre ne se faisait pas ainsi, il reste intéressant de montrer qu’il n’y a pas de « crise » dans une telle forme de passage. Beth fait en outre remarquer que dans un « groupement » de classes le maximum de la somme donne la somme arithmétique.

Piaget, à propos de l’incomplétude du « groupement » dont a parlé Guilbaud, précise que l’intérêt d’une telle structure élémentaire, bien moins générale que les groupes et les lattices, n’est pas seulement génétique et relatif au développement de l’enfant : certaines formes de pensée scientifique demeurent, peut-être nécessairement, liées à cette structure, telles par exemple que les classifications zoologiques et botaniques.

Flament voudrait savoir si l’on ne pourrait pas chercher à affaiblir encore le groupement (par exemple en supprimant la commutativité), ce qui permettrait peut-être, du point de vue psychologique, de rendre compte des comportements préopératoires.

Cette question rejoint une suggestion que P. Gréco avait faite en conclusion de ses exposés, du point de vue méthodologique. Avant le palier où apparaissent, sous une forme rela-

tivement complète, stable et générale, les structures d’ensemble qui caractérisent les stades du développement, l’observation génétique décrit des niveaux successifs de conduite, qui marquent donc les étapes de la construction effective des structures. L’ordre constant de ces étapes renseigne évidemment sur les processus de formation, mais aussi conseille une certaine interprétation épistémologique des notions considérées. Le problème reste de savoir si l’on peut faire un pas de plus dans la « représentation » de la genèse. Par exemple, avant que les structures n’apparaissent avec leurs critères habituels, on peut trouver des quasi-structures (articulations intuitives aboutissant, en certaines situations, à des jugements équivalents aux inférences structurales), ou des structures partielles (structures déjà organisées comme telles, mais ne s’appliquant qu’à un domaine limité) etc. Il serait important de pouvoir formaliser ces concepts descriptifs, c’est-à-dire de savoir si les conduites antérieures aux stades proprement dits peuvent être représentées par d’autres structures, plus faibles, ou comportant une règle supplémentaire de limitation, ou même toutes différentes des structures terminales. La méthode d’interprétation génétique et l’interprétation épistémologique y gagneraient simultanément.

De ses multiples réflexions de l’année, Papert a surtout tiré, en vue du Symposium, quelques propositions concernant les paliers de la récurrence. Il en a suggéré en particulier cinq :

1) Le raisonnement du vrai au vrai, passant de F(1) à F(2) et de là à F(3) et ainsi de suite mais de proche en proche et sans la généralisation contenue dans le symbole « etc. » ou dans celui que constituent trois points de suspension (…).

2) La généralisation inductive simple.

3) La généralisation dépassant l’induction.

4) Le sujet se convainc de F(n) comme s’il avait compté jusqu’à n (n étant un nombre donné, imaginé ou représenté selon un mode concret). Le progrès est ici de pouvoir « s’insérer » ou « se déplacer » dans la suite des entiers. Papert suppose à cet égard que cette opération de « faire comme si l’on a compté jusqu’à n » n’est pas la seule voie possible à ce niveau, une autre qu’il suppose équivalente (ce qui donnera

lieu à de nouvelles recherches) étant le retour au principe selon lequel tout sous-ensemble d’entiers comporte un plus petit élément.

5) L’opération (4) est employée de façon réversible et en combinaison avec d’autres opérations. Cas particulier important : l’opération (4) est insérée dans un raisonnement par l’absurde.

Dans les discussions qui suivirent, Martin propose pour sa part les trois paliers suivants :

1) Le passage du vrai au vrai, par exemple P(3) → P(4)

2) Le passage P(n) → P(n+1) sans (n)P(n) ¹

3) (n),P(n) → P(n+1)

P(0)

Papert s’étant référé à plusieurs axiomatiques distinctes utilisant la récurrence, Beth remarque qu’elles sont complètes et il se demande si les axiomatiques incomplètes, dont il existe des exemples, ne rendraient pas mieux compte des paliers génétiques inférieurs.

Beth et Martin s’accordent, d’autre part, pour souligner que la démonstration de P(1), P(2), P(3), … P(k) n’équivaut pas à (n)P(n). Il y a là deux paliers de récurrence.

A ce propos un échange de vues s’engagea sur les relations entre la récurrence et le nombre quelconque n. Papert ayant affirmé tantôt que le nombre quelconque est nécessaire à la récurrence, tantôt que la récurrence est nécessaire à n, Guilbaud se demande s’il n’y avait pas là cercle et si, pour le lever, on ne pourrait pas dire que la récurrence est nécessaire axiomatiquement au nombre quelconque, tandis que celui-ci serait nécessaire génétiquement à la récurrence (ou l’inverse ?).

Gonseth répondit que le mathématicien passe sans cesse du nombre quelconque à la récurrence et réciproquement.

Pour Piaget, si axiomatiquement on peut, selon le système adopté, suivre l’un des ordres ou l’autre et éviter tout cercle formel, le cercle existe certainement sur le terrain génétique et est comparable au « cercle génétique » du jugement et du concept : le concept est un produit de l’activité de juger, mais l’on ne juge qu’en combinant des concepts. On peut supposer de même que la récurrence exprime le dynamisme dont le nombre quelconque est un instantané statique, et qu’entre les

1 (n)P(n) : pour tout n, la propriété P(n) est vérifiée.

nombres et la récurrence il existe, comme entre les concepts et les jugements, une relation analogue à celle des états et des transformations pour une seule et même structure.

Pour Gréco, on peut voir dans les nombres et la récurrence deux comportements alternatifs, produits d’une même structure. Mais, à considérer la manière dont l’enfant construit la série des nombres par paliers successifs (de I à 7-8, de 8 à 15, etc. : voir sous A VI) avec structuration lente et progressive, on peut se demander si, sur chaque palier, ne se constituerait pas une forme particulière de récurrence qui permettrait alors la construction des nombres (au sens d’une meilleure structuration) du palier ultérieur. On verra (Etude IV ci-après, pp. 147-148) que Papert aboutit à la même conclusion.

Au total, il ressortit donc de la discussion un accord assez général sur la notion même de paliers de récurrence ¹ de force démonstrative croissante et sur la correspondance éventuelle entre de tels paliers et les niveaux génétiques. Mais les deux difficultés principales sont, d’une part, d’établir les derniers niveaux en évitant les filiations artificielles et en retrouvant les processus de formation réels et, d’autre part, d’établir des équivalences entre des paliers se référant à des axiomatiques distinctes. On sait, par exemple, que le principe de minimum (tout sous-ensemble d’entiers comporte un plus petit membre) est de même force que le principe de récurrence classique. Mais comment homologuer d’une série â l’autre les paliers inférieurs correspondant respectivement à ces points distincts et cependant équivalents d’arrivée ?

A passer maintenant aux données génétiques, un moment particulièrement instructif du Symposium fut la présentation et la discussion des films d’Otto Kohler sur la numération chez les oiseaux et les écureuils. Les animaux sont capables, en présence de diverses figures comportant des ensembles de 1 à 7 éléments dont l’une particulière sera signalisée, de parcourir une rangée de bols renversés et de retourner le n^ième (par exemple le 5^ième) dont le nombre correspond à celui de la figure signalisée. Bien plus ils sont capables, en présence de n signaux successifs, de faire correspondre à leur nombre total (par exemple quatre), le nombre équivalent dans la rangée des bols (ici

1 Mais avec des réserves de Guilbaud qui ne parlerait de « paliers » que pour quelques domaines et pour chaque classe de problèmes.

le quatrième). Il y a donc là, dans les actions elles-mêmes, la possibilité d’une équivalence entre deux collections par correspondance bi-univoque, ce qui constitue bien, mais sous une forme figurale et sensori-motrice, un début ou une préfiguration de structuration numérique. Mais l’un des aspects intéressants de ces étonnants résultats est que l’apprentissage sur un nombre n n’entraîne pas sans plus le maniement des nombres inférieurs : un choucas dressé à chercher son ver sous le bol 6, par exemple, n’est pas capable pour autant de réagir au nombre 4. II procède ainsi, si l’on peut dire, comme dans les Principia : par nombres indépendants, sans tenir compte de la série.

L’enfant est naturellement aidé, dans sa construction, de la série, par l’acquisition de la numération parlée qui est imposée par l’entourage social bien avant, en général, que les constructions opératoires spontanées ne rendent possible son assimilation complète. Il était donc intéressant de discuter, du point de vue des inférences numériques les plus élémentaires, les nouvelles expériences inspirées à B. Inhelder par nos anciennes recherches sur la correspondance un contre un sans intervention nécessaire de la numération : l’enfant met simultanément avec chaque main une perle dans deux verres de formes soit identiques soit différentes, et, après plusieurs répétitions, on lui demande, non plus seulement d’évaluer le résultat actuel mais d’anticiper ce que donnerait la continuation de cette opération, telle quelle ou avec diverses variantes (perles de grandeurs différentes, correspondance 1 à 2, ou 1 à 1 avec soustractions, etc. : voir A VII).

B. Inhelder exposa deux sortes de résultats. Les uns sont relatifs aux indifférenciations initiales entre la classe et le nombre. Par exemple, deux collections égales soustraites par correspondance n à n de d’eux collections numériques inégales sont d’abord jugées inégales. Ou encore, dans l’expérience de correspondance 1 à 2, le total 2n obtenu dans l’un des récipients et divisé par 2 n’est jugé que vers 8 ans égal au total n obtenu dans l’autre récipient : une collection k prélevée en 2n paraît longtemps plus grande que la même collection de k prélevée en n. De façon plus générale, l’enfant distingue les collections équivalentes des non-équivalentes avant de découvrir la différence numérique : il sait qu’il y a plus mais sans pouvoir

dire de combien. Nous reviendrons sur ces indifférenciations (sous B VII).

Les autres résultats sont relatifs aux inférences. Les plus jeunes sujets après des correspondances 1 à 1 se refusent à anticiper ce que donnerait la continuation de l’opération (« quand on ne voit plus les perles on ne peut pas savoir ») et se refusent même à évaluer son résultat actuel sans le dénombrement ( il faut compter : quand il y en a trop on ne peut plus savoir »). Les plus grands reconstituent et anticipent les équivalences et B. Inhelder conclut que des réactions telles que « une fois que je sais, je sais pour toujours » ne reposent ni sur un raisonnement récursif complet ni sur une simple induction physique, mais sur une inférence de nature déjà numérique consistant à itérer indéfiniment une égalité entre deux unités.

Beth est surpris par les réactions initiales de l’enfant et se demande si, lorsque celui-ci exige le dénombrement pour admettre l’égalité, il ne se borne pas à recourir à une technique apprise, parce qu’elle est déjà installée, tout en la sachant plus ou moins longue et inutile.

Papert pense qu’il y a au début simple itération mais de l’action elle-même et sans compréhension de la correspondance comme telle. Pour expliquer la certitude finale l’itération de la correspondance suffit, sans avoir besoin de recourir à la récurrence.

Gonseth de même pense que l’expérience porte moins sur la récurrence que sur l’axiome de grandeur (à deux quantités égales, ajouter ou enlever deux quantités égales conserve l’égalité).

Guilbaud par contre hésite entre deux interprétations. La première, qui est celle de Papert, revient au schéma suivant : on a Ax = Bx et on demande si Aⁿx = Bⁿx et comme A = B il n’y a pas récurrence mais simple substitution. Par contre on pourrait avoir, en désignant par x l’égalité des collections et non plus la valeur de chacune : (Ax = x) — (Aⁿx = x). En ce cas, la mise en forme de ce raisonnement impliquerait la récurrence. C’est aux psychologues à décider lequel des deux schémas correspond aux faits.

Berlyne pense qu’il y a ici conservation plus que transmission, alors que dans l’expérience de Matalon où l’on verse une partie du contenu d’un verre dans le suivant, il y a transmission : en ce dernier cas le sujet a besoin de se souvenir de toute la série antérieure, tandis qu’ici ce n’est pas nécessaire.

Gréco remarque par contre que les égalités répétées sont obtenues par Inhelder à un âge où l’on n’observe en général pas de conservation.

Piaget ajoute que, dans la situation de correspondance 1 à 1, il intervient plus qu’une répétition d’égalités A = B : les unités successives étant aussi égales entre elles on a A = A’ = A” etc. et B = B’ = etc. en même temps que A = B, A’ = B’, etc. Il en résulte que dans le premier des deux schémas de Guilbaud, soit Aⁿx = Bⁿx, le terme A suppose, en plus des substitutions, une itération. Il y aurait donc lieu de faire des contrôles avec des unités continues (segments de droites) A = B, A’ = B’, etc. mais avec A ≠ A’, etc. aussi bien qu’avec A = A’, etc. ; ou encore en introduisant entre A et B, A’ et B’, etc. des inégalités de longueurs et en faisant porter les questions à la fois sur le nombre des segments (toujours égal) et sur les longueurs totales (égales ou inégales). Quant à la situation étudiée jusqu’ici, elle est intéressante par le passage entre la simple répétition de l’action et la transmission de l’égalité des éléments sur lesquels porte l’action, la rapidité de ce passage étant sans doute due précisément au fait que A = A’ = A” = etc., ce qui comporte un aspect numérique puisqu’il y a équivalence des unités successives. Il est donc probable que, sans faire encore appel à une récursion, les inférences en jeu préparent déjà ces formes élémentaires de récurrence par le fait qu’elles assurent une certaine transmission de l’égalité, par délégation de l’équivalence des actes successifs à celle des éléments eux-mêmes.

Une autre expérience sur la correspondance a été la reprise par Gréco de nos anciennes épreuves (avec Szeminska) sur la correspondance optique entre deux rangées de jetons et la conservation de l’équivalence en cas d’espacement des éléments de l’une de ces deux rangées. Mais, comme on l’a vu (sous A VII), Gréco a introduit des variantes destinées à dissocier l’aspect numérique (conservation du nombre total) et l’aspect quantitatif (l’extension de la collection, non pas en tant que longueur spatiale mais en tant qu’extension de classe et traduite en termes de « plus », « moins » ou « autant » de jetons). Et effectivement Gréco a trouvé un stade où l’enfant, ayant compté le nombre N des éléments de l’une des rangées, peut anticiper le nombre N’ des éléments de l’autre sous la forme

N = N’ tout en admettant qu’il y a « plus » de jetons dans la rangée la plus longue ou la plus serrée (et sans se borner à soutenir qu’il semble y en avoir davantage, cette distinction entre l’apparence et la réalité étant par ailleurs comprise mais n’intervenant pas comme telle dans la croyance, propre à ce stade, qu’une égalité numérique n’entraîne pas sans plus l’égalité quantitative). Gréco trouve ainsi trois stades (ce qui ramène à quatre nos trois anciens stades) : non-conservation du nombre ni de la quantité, conservation du nombre mais sans la quantité et conservation des deux.

Gonseth est frappé par le rôle simplement énumératif du dénombrement aux stades initiaux et en conclut que le nombre semble étranger aux instruments que l’enfant emploierait spontanément à ces niveaux.

Berlyne se demande ce que l’on observerait en remplaçant les questions verbales par des actions plus spontanées de l’enfant et en renforçant la motivation. A quoi Piaget répond qu’il n’y aurait sans doute pas de différences (on a essayé avec des tablettes de chocolat, etc. en faisant choisir en termes de « plus à manger » etc.), sinon un décalage chronologique avec légère accélération. Gréco trouve pertinentes les remarques de Berlyne mais rappelle que les expériences de Wohlwill ¹ n’aboutissaient même, semble-t-il, à aucun décalage.

Papert est intéressé par la distinction de Gréco entre les équivalences numériques et quantitatives et suggère de subdiviser encore davantage. La « quantité » de Gréco se réfère sans doute à l’extension des classes et par conséquent à leurs emboîtements. Quant au nombre les résultats de Gréco semblent, indiquer que l’acquisition de la série verbale, même sans conduire à la découverte de sa structure propre, ne reste pas purement verbale : il y aurait aussi sans doute à distinguer l’équivalence par énumération et l’équivalence par correspondance biunivoque. On se trouverait donc en présence d’un faisceau de propriétés initialement distinctes, mais qui s’intègrent finalement dans la structure totale de nombre.

Guilbaud rappelle la distinction de Cournot entre quantité et quotité, celle-ci étant elle-même distincte du nombre. Quant à l’interprétation que Papert donne des prénotions conçues comme des notions (sans préfixe) mais peu stables parce que non encore intégrées en un système total, Guilbaud croit discerner dans la pensée de Papert une tendance à considérer les structures naturelles comme des approximations des structures

1 Cf. fasc. IX des Etudes, Etude IV.

formelles : c’est bien possible, mais il est aussi possible qu’il n’en soit pas ainsi et Guilbaud pense qu’on n’en peut rien dire d’assuré.

Piaget pense au contraire qu’un des résultats encourageants du Symposium de cette année, non pas quant à notre étude de la récurrence qui n’en est qu’à ses débuts et sera continuée l’an prochain à des niveaux d’âges plus élevés, mais quant à la construction du nombre, est un progrès réel dans la convergence entre la formalisation (cf. l’essai de Grize : A I et B III) et l’expérience. Les faisceaux de propriétés dont parle Papert correspondent à des « groupements » en formation (emboîtement des classes pour la quantité-extension, sériation et correspondance sériale pour l’équivalence par énumération, etc.) et le nombre résulte de leur « synthèse », entendue psychologiquement comme une intégration.

Les deux autres exposés de Gréco (successions des pairs-impairs, différences S(Sn) et commutativité n’ont donné lieu qu’à des échanges de vues sur la technique des expériences, chacun se ralliant aux interprétations mêmes de l’auteur, présentées à la fois avec prudence et une grande force de persuasion.

L’exposé de Morf sur les difficultés de l’enfant à être certain qu’en passant de n objets à 0 on trouvera un état où la collection est de m(< n) (voir A IV) a donné lieu à diverses remarques. Beth pense qu’il est difficile de comparer une collection dont le nombre change sans cesse à une autre dont le nombre est stable. Gonseth et Morf lui répondent que la même situation avec quantités continues (liquides) donne lieu à une réponse aisée, ce qui semble indiquer la présence d’un obstacle de nature spécifiquement numérique.

Guilbaud pense que la connexité est difficile à comprendre pour deux raisons distinctes. L’une est qu’il s’agit de l’abstraire d’un continuum temporel. L’autre est qu’il faut l’abstraire du continu lui-même, la connexité étant, en effet, séparable de toute continuité. Martin propose à cet égard une expérience avec des réglettes égales : par exemple, n réglettes de 10 cm aboutiront-elles nécessairement à égaler ou dépasser 60 cm ?

Grize remarque que l’inégale difficulté du procédé ascendant et descendant rappelle les emboîtements du « groupement »,

le procédé descendant étant plus facile puisque le sujet retrouve simplement un élément inférieur déjà emboîté dans les supérieurs.

Quant à la correspondance entre n parties et n-1 coupures (voir A V) la discussion s’est d’abord attachée à trouver les raisons de la difficulté éprouvée par l’enfant : selon Beth, difficulté à utiliser toute la surface, à quoi Morf répond que l’erreur est la même lorsqu’il n’y a pas partition (comme dans sa contre-épreuve des gâteaux séparés par des feuilles de papier) ; selon Guilbaud le fait que si chaque geste correspond à une couleur, le dernier aboutit à une aubaine (une couleur de trop !) dont le sujet n’est pas certain qu’elle se reproduira.

Piaget insiste sur le fait que, s’il est intéressant de connaître les causes des difficultés initiales de l’enfant, le vrai problème. pour nous est d’établir comment il les surmonte : plus la difficulté est systématique (même lorsque les raisons en sont extérieures au raisonnement dont on veut étudier les étapes), mieux on pourra analyser le détail de la généralisation d’un constat particulier « k correspond à k-1 » à la loi s’appliquant à n termes (n étant proche ou plus éloigné de k). Or, si la vitesse de cette généralisation dépend des difficultés initiales, sa structure en est indépendante.

Matalon demande ce que fait le sujet quand on le prie de mettre une seule couleur. Morf répond que si la question est posée ainsi, même les sujets qui ont trouvé la loi pour n = 2, … k répondent « une barre pour une couleur » en tombant dans le piège. Mais si l’on dit simplement « fais tout en rouge » ils répondent « pas de barre ».

B. Matalon, avant d’exposer son expérience sur le passage d’un acide d’un récipient au suivant (voir A VIII), en montre les relations avec les recherches sur la récurrence numérique. Celle-ci suppose, selon Matalon, (1) l’itération et (2) la transitivité des implications selon le modus ponens. L’itération numérique n’intervenant pas dans son expérience, il n’étudie que l’enchaînement des implications, conçue par hypothèse comme une condition nécessaire mais non suffisante de la récurrence. Il faut d’ailleurs comprendre que Matalon emploie le terme d’implication dans un sens large. Au sens limité d’opération interpropositionnelle, l’implication n’apparaît qu’au niveau de

11-12 ans ; au niveau précédent des opérations « concrètes », les enchaînements en jeu dans les raisonnements du sujet portant sur le passage de l’acide sont essentiellement relatifs à la transitivité des inclusions et même d’inclusions partitives (c’est-à-dire portant sur des objets continus — les liquides — et non pas sur des classes d’objets discontinus).

Après quelques remarques de Flament sur la signification des erreurs dans les conduites hiérarchisables selon une échelle de Guttmann — et de Smedslund, qui aurait voulu une prévision des résultats avant le début de l’expérience elle-même, Lloyd demande si au niveau de 11 ans on peut distinguer les réponses « Je ne sais pas » et « On ne peut pas répondre », ce dont Matalon n’est pas certain dès cet âge-là.

Gonseth insiste sur la différence entre cette expérience, qui porte sur une dilution progressive, donc une série décroissante, et la série croissante des nombres et pense que la solution du problème suppose une assez forte abstraction. Mais Matalon répond que la dilution n’intervient que chez quelques sujets de niveau supérieur et n’intervient pas chez les petits. Gonseth poursuit en notant que dans l’expérience pédagogique on connaît un âge assez précis (environ 12 ans) à partir duquel devient possible un raisonnement par l’absurde ou fondé sur une hypothèse irréelle. L’expérience de Matalon lui paraît décisive à cet égard.

Berlyne se demande si l’enfant ne confond pas les énoncés qui ne sont pas vrais et ceux que l’on ne saurait vérifier. Gonseth n’a pas eu le sentiment que cette confusion se produirait au niveau de 11 ans.

Puisque nous nous intéressions au problème de l’implication « naturelle », E. W. Beth a bien voulu exposer au Symposium une application de sa méthode des tableaux sémantiques à la logique de l’implication, qui semblerait indiquer une certaine conformité entre la logique intuitionniste et notre conception « naturelle » de l’implication. Cette communication, qui paraîtra dans les « Etudes » a donné lieu aux réactions suivantes. Papert constate que les tableaux de Beth confirment le caractère impeccable de la logique intuitionniste du point de vue constructiviste. Mais ils laissent ouverte la possibilité d’une série de logiques plus fortes (quoique plus faibles que la

logique classique), également impeccables. Cela semble indiquer qu’il n’existe pas encore de démonstration que la logique intuitionniste exprime tout le contenu de l’intuitionnisme lui-même.

Grize demande si l’on peut adapter à la logique intuitionniste des schémas tels que les tables de vérité. Oui, répond Beth : des tableaux infinis.

Guilbaud conclut en disant que le système naturel de Gentzen est de l’algébrique plaqué sur la structure du discours cohérent.

Après que Grize et Matalon eurent posé leur problème (voir A X) et décrit leur essai d’expérimentation, Guilbaud rapproche ces expériences de ce qu’on observe dans l’enseignement, notamment lors du passage d’un lemme à un théorème et montre les liaisons possibles entre ce genre de recherche et la théorie de la décision. Comme le fait aussi Papert, il pose le problème de savoir si l’on trouvera les mêmes inférences selon qu’il s’agit de résoudre un problème « gratuit » ou d’utiliser l’inférence pour une décision.

Beth se demande si les inférences observées ne constituent pas simplement le reflet de la logique apprise par les sujets non pas dans les traités, mais en tant qu’implicite dans les mathématiques, la grammaire, le catéchisme, etc. Il se peut donc que la « logique naturelle » ne soit qu’un dérivé d’acquisitions variées et, en ce cas, elle serait comparable aux notions « naturelles » sur l’électricité que l’on trouverait en étudiant des adultes non initiés à la physique. Gonseth est du même avis et pense à la « géométrie naturelle » des gens qui ont oublié leur initiation mathématique.

Matalon refuse l’analogie entre la logique naturelle et la physique « naturelle » car celle-ci n’est qu’un contenu mal assimilé tandis que la logique d’un sujet non spécialiste traduit son utilisation quotidienne d’inférences. Papert, de même, distingue entre les connaissances et les procédés d’acquisition, ceux-ci comportant une logique qui dépend, bien sûr, de l’ambiance sociale, mais qui relève aussi d’activités spontanées.

Piaget reconnaît que chez l’adulte la frontière est bien difficile à tracer entre les activités du sujet et les résultats d’acquisitions antérieures. C’est pourquoi les recherches sur les adultes donnent des résultats plus pauvres que celles sur les enfants, comme on l’a bien vu dans notre essai sur les liaisons analyti-

ques et synthétiques (vol. IV des « Etudes »). En ce qui concerne, par, contre, la construction de la logique du sujet chez l’enfant, il est relativement aisé de dissocier l’organisation spontanée des influences extérieures, car l’enfant n’apprend qu’en utilisant des instruments d’assimilation : c’est alors en analysant ceux-ci que l’on atteint une logique « naturelle » au même titre qu’une arithmétique spontanée, etc. (cf. les nombres « naturels »).