De l’itération des actions à la récurrence élémentaire. La Formation des raisonnements récurrentiels (1963) ^a 🔗

Le raisonnement par récurrence soulève deux grands problèmes à la solution desquels l’analyse génétique peut fournir quelque contribution, surtout en ce qui concerne le second : (1) s’agit-il d’un mode d’inférences spécial au domaine des nombres et des classes aussi « bien structurées » qu’eux ou, comme le veut B. Russell, d’un raisonnement de nature très générale ? (2) Dans le cas d’un raisonnement spécifiquement numérique, s’agit-il d’une forme tardive d’inférence, portant « sur » la série des nombres après seulement que celle-ci ait été constituée de zéro à l’infini, et supposant donc le maniement des notions du « quelconque » au sens fort et du « tous » y compris l’infini, ou au contraire la récurrence intervient-elle dès les débuts de la construction des nombres et à titre de mécanisme constitutif de leur série ?

Or, l’un et l’autre de ces deux problèmes nous intéressent très directement si le nombre se construit génétiquement selon le processus que nous avons décrit psychologiquement (et que Grize a formalisé) dans le vol. XI des « Etudes », c’est-à-dire non pas par déduction simple à partir des classes ou des relations mais par une synthèse des groupements de classes et de relations, synthèse originale et non réductible à ces « groupements » en tant que structures élémentaires. Si tel est le cas, il va alors de soi que, à cette synthèse spécifique, correspondra un type également spécifique d’inférence dont la forme achevée serait constituée par le raisonnement récurrentiel, ainsi considéré comme distinct des simples transitivités fondées sur les emboîtements de classes ou sur les sériations. D’autre part, pour déterminer le rôle exact de ces raisonnements par récurrence, il s’agit d’examiner s’ils ne s’élaborent qu’une fois achevée la construction de la série complète des nombres naturels, ou s’ils interviennent au cours et à l’intérieur même de cette construction (dont on a vu le caractère beaucoup plus graduel et complexe qu’on aurait pu imaginer, une fois élaboré

le début de la série) ; ou encore si, comme c’est le plus probable, il faut distinguer des échelons de récurrence, de complexité croissante, conduisant des formes élémentaires, immanentes à la série, à des formes supérieures procédant après coup sur la série une fois construite.

C’est à la solution de ces deux problèmes que peut servir l’étude d’une forme très élémentaire d’inférence numérique comme celle qui conduit l’enfant à accepter l’égalité de deux collections croissantes s’il les a construites par adjonction d’éléments en correspondance terme à terme. Le caractère très précoce de ce genre d’inférences, se constituant à un niveau où en général la conservation des nombres et des ensembles n’est pas acceptée en cas de modification des configurations, soulève d’abord la question de leur structure logique ou spécifiquement numérique : d’une part, le raisonnement n’aurait plus de sens s’il ne s’agissait pas d’unités toutes équivalentes, c’est-à-dire arithmétiques ; mais, d’autre part, comment expliquer que ces inférences s’imposent avant que s’achève, vers 7-8 ans, les premières synthèses de classes et de relations asymétriques aboutissant à l’élaboration opératoire des premiers nombres entiers (1 à 7 ou à 15), et que ces mêmes inférences puissent porter sur des collections non dénombrées par l’enfant et dépassant même souvent les frontières de la numération parlée ? Ne serait-ce pas parce que l’action demandée, dans le cas particulier, d’ajouter les uns aux autres des couples successifs d’éléments se correspondant terme à terme, comporte déjà sous une forme implicite (a) une addition cardinale d’éléments tous équivalents faute de distinctions qualitatives, et (b) une succession ordinale de ces actions d’ajouter, permettant de distinguer par leur ordre ces éléments les uns des autres ? En ce cas, la syntèse de ces deux aspects des actions, réalisée par l’unité même de leur fonctionnement, réaliserait par anticipation la synthèse ultérieure plus générale des groupements de classes et de relations asymétriques (sériation) dont sera faite la série des entiers, et cela d’autant plus facilement qu’il n’y a ici aucun dénombrement explicite à effectuer. C’est ce qui expliquerait alors le caractère précoce et privilégié des inférences en jeu, en tant qu’elles reposeraient sur une préfiguration de la synthèse numérique, avant même que soient respectivement équilibrées les emboîtements de classes, les sériations et le début de la série des nombres, avec les diverses variétés de transitivités qui correspondent à ces trois sortes de structures.

On voit alors l’importance théorique de la seconde question que soulève ces inférences, et qui est celle de leur nature récurrentielle ou non. 11 va de soi, en effet, que si l’on pouvait démontrer le caractère récurrentiel de ces raisonnements précoces, antérieurs aux synthèses numériques stables mais résultant déjà d’une préfiguration de ces synthèses, ce serait bien la preuve que le raisonnement par récurrence est à l’œuvre dès les débuts de la construction du nombre. Cela n’excluerait naturellement en rien la possibilité de paliers successifs correspondant à des formes chaque fois plus larges et plus précises de récurrences, mais l’existence de paliers élémentaires et seulement quasi-opératoires de récursion montrerait tout au moins, et là est l’essentiel, qu’à chaque progrès de la synthèse numérique peut correspondre un progrès dans les inférences récurrentielles sans que celles-ci ne se constituent qu’après coup et une fois achevée la compréhension de la série des nombres.

Cherchons donc à préciser ce que pourrait être ici l’inférence par récurrence, de manière à mieux conduire l’analyse qui va suivre et qui devra décider entre cette hypothèse et les interprétations par simple conservation sans transmission proprement dite de l’égalité, lorsque l’on passe d’une action à la suivante :

(1) L’enfant commence par mettre un élément en chacun des deux récipients, par correspondance un à un, et en conclut à l’égalité numérique des deux classes singulières résultant de cette action.

Appelons S₄ = S\ cette première action (double) d’une série qui va se poursuivre et appelons Ci = l’égalité cardinale des collections ainsi formées (ici 1 = 1).

(2) L’enfant met un nouvel élément en chacun des deux récipients (action S₂ = S’₂) et en conclut à l’égalité cardinale des collections formées grâce aux actions SS\ et SS’₂, soit C₂ — C’₂ (ici 2 = 2).

(3) Etc. pour SS’₃, SS’₄, etc., d’où C₃ = C’₃, etc. (résultant de SS’i à SS’_s ou à SS’₄) mais sans que le sujet se rappelle les nombres en jeu, ni ait besoin de compter le résultat.

(4) D’où, en fin de compte, (S_n = S’_n) - » (C_B = C’J.

La question essentielle est alors de savoir sur quoi raisonne le sujet. S’il raisonne sur les collections x elles-mêmes

et exclusivement sur elles, on aurait alors x = x’, d’où x+n = x’+n. En ce cas la récurrence est inutile et il n’interviendrait que 1’« axiome de grandeur » et la conservation (solution étrange, notons-le d’emblée, car au niveau de 5-6 ans, les enfants n’acceptent en moyenne ni l’un ni l’autre, comme nous l’avons établi précédemment J). Si par contre, l’enfant ne part que de l’itération des actions elles-mêmes SS’j, SS’₂, SS’₃ … SS’_n, il fait un raisonnement plus simple tout en aboutissant à une découverte, de son point de vue : c’est que, de la succession ordinale des actions d’ajouter en correspondance terme à terme va résulter une égalité cardinale des collections correspondantes. Or, cela, il le sait au départ, pour SS’j et SS’₂ en tous cas, donc pour CC\ et CC’₂, mais l’étonnant est qu’il en reste assuré pour les collections CC’_n, CC’_n+1, etc., dont il ne connaît pas le nombre et qui changent de valeur lors de chaque action nouvelle SS_n. La preuve qu’il y a là une découverte, c’est que cette égalité n’a rien d’évident pour les plus jeunes sujets, qui renoncent à l’égalité sitôt perçues les configurations finales. A invoquer une simple conservation ou l’axiome des grandeurs, il restera donc à expliquer comment ils se constituent. Dans l’hypothèse récurrentielle, nous dirions au contraire que l’enfant ne part pas d’une propriété <p du nombre comme tel soit w(n), mais d’une propriété de l’action SS’ et de l’itération de cette action. Seulement, comme il s’agit d’une action qui est doublement constitutive du nombre, d’abord parce qu’elle est à la source de l’opération n+1 et ensuite parce qu’elle constitue l’égalité par correspondance, le passage de la suite ordinale SS’i, SS’₂ … SS’_n au^x égalités cardinales CC\, CC’₂ … CC’_nreprésente pour le sujet une construction effective et récursive en tant que chaque égalité cardinale C_n = C’_n résulte de la totalité des actions antérieures SS’_n SS’₂ … SS’_n, ne se distinguant les unes des autres que par leur seule succession ordinale (il est facile d’en faire la preuve en masquant jusqu’à CC’n— 1 des collections résultant de cette itération des actions additives). On pourrait alors dire que, pour l’enfant, la propriété (S_n = S’_n) -* (C_n = C’_n) se présente comme suit :

(a) Elle est vraie de 1 puisque (Sj = S\) -* (Ci = C’,). (Elle sera même généralisée à 0 dans la mesure où ne rien ajouter laisse la collection inchangée.)

1 Pour l’axiome de grandeur d’Euclide, voir Piaget, Inhelder et Sze- minska, La géométrie spontanée de l’enfant, Paris (P.U.F.), 1948, chap. XI.

(b) Si elle est vraie de n, elle reste vraie de n + 1 : c’est ainsi que sont interprétées les actions successives SS’_n.

(c) Elle est donc vraie de tous les nombres, « tous » étant pris non pas dans le sens d’une suite infinie considérée en tant que système total, mais de tout nombre suivant immédiatement le précédent.

Il s’agit donc, dans ce qui suit, de décider entre les deux interprétations, par la conservation ou par la récurrence. La méthode à suivre à cet égard consistera à analyser le plus soigneusement possible les contrastes entre les situations dans lesquelles l’enfant réussit précocement à reconnaître la nécessité de l’égalité C_n = C’„ des collections résultant de la répétition des mises en correspondances et les situations dans lesquelles il échoue à prévoir ou à accepter ces égalités C_n=C’_n. Comme ces situations d’échec sont naturellement nombreuses au niveau préopératoire, la généralisation progressive à toutes les situations des procédés ayant permis les réussites initiales limitées constituera le meilleur terrain de contrôle pour choisir entre les deux interprétations indiquées, puisque c’est naturellement en étudiant la généralisation d’un mode de raisonnement que l’on a le plus de chances de découvrir la nature de ce dernier.

Nous avons étudié cinq questions principales, plusieurs d’entre elles se subdivisant en questions particulières :

I. Equivalence par itération de correspondance terme à terme entre éléments discrets et égaux entre eux. — On commence par s’assurer que le sujet comprend correctement certaines expressions telles que « peu », « beaucoup », « plus que » (par exemple 6 plus que 5), « moins que » (par exemple 4 moins que 5), etc., tout cela à propos de perles de même couleur ou de deux couleurs distinctes (sauf dans le cas où celles-ci, ce qui arrive parfois, gênent les jugements d’égalité). Il s’agit surtout de s’entendre sur les locutions exprimant l’équivalence : « autant », « le même nombre », « la même chose », « pas plus dans l’un que dans l’autre », etc. Cela dit, on présente deux verres de formes et dimensions soit identiques (IA) soit différentes (IB) :

1 A. Collections d’abord visibles en des verres identiques puis généralisation à des collections invisibles. —   L’enfant introduit simultanément une perle dans chacun des deux verres de même forme et l’on insiste sur cette simultanéité en relevant même l’indice constitué par les bruits de chute de ces perles. L’interrogation se déroule alors selon trois phases :

a) Après quelques introductions des couples de perles on demande si les deux collections constituées dans les verres sont égales *.

b) Après quelques adjonctions nouvelles on cache les verres en les entourant d’une boîte de carton, l’enfant glisse les perles par des trous pratiqués dans les couvercles et l’on continue à demander si les collections sont égales.

c) Après quelques répétitions, on demande d’anticiper ce qui se passerait en continuant « toute l’après-midi » ou « longtemps, longtemps de suite », etc.

Lors de chacune de ces trois sortes de questions on insiste pour obtenir des justifications : « Comment sais-tu ? », « Comment savoir quand on ne peut plus voir les perles ? » et « Ça ne fait rien qu’il y en ait beaucoup ? ». On recourt également à des contre-suggestions : « Un petit garçon m’a dit qu’on ne pouvait plus savoir parce qu’on ne voit plus les perles… ou parce qu’il y en a trop… etc. »

Variantes. —   On peut introduire la considération de sous- ensembles en mettant par exemple 3 perles bleues dans chaque verre, puis 5 rouges, 6 jaunes, etc. (non égalité des sous- collections successives). On pose ensuite les questions d’égalité C_B = C’_a entre ce qui est dans un verre et ce qui est dans l’autre, mais en distinguant alors l’égalité par sous-ensembles (3 = 3, etc.) et celle des totaux non dénombrés.

I B. Mêmes questions avec des verres de formes différentes. —   En mettant une perle dans un verre large et une perle dans un verre de même hauteur mais étroit, les collections formées par répétition de ces correspondances diffèrent de plus en plus l’une de l’autre, du point de vue figuratif, ce qui constitue un nouvel obstacle à leur égalisation inférentielle. Il est alors intéressant de poser les mêmes questions a-c que sous IA, mais sans cacher les verres (question b) ou en ne les cachant que

1 Mais on ne le demande pas chaque fois, de manière à éviter les persévérations.

momentanément pour accentuer les contrastes perceptifs ou pour empêcher que l’enfant n’assiste à la modification continue des collections. Il est essentiel par contre de conserver les questions c d’anticipation L

On peut en outre demander d’anticiper où sera le niveau des perles dans chacun des verres en continuant les adjonctions par correspondances, par exemple où il se situera dans le verre large quand le verre étroit (de même hauteur) sera rempli, etc.

Pour ce qui est de l’argumentation de l’enfant, on lui pose les questions habituelles comme en IA, mais en insistant sur les différences apparentes : « Comment sais-tu que c’est la même chose (ou le même nombre) quand même cela monte plus haut ici ? » ou « quand ça a l’air plus ici que là ? », etc.

Variante. — L’expérience se fait d’abord au moyen de perles de même grandeur, mais on peut ensuite compliquer les questions au moyen d’objets discrets de différentes formes ou grandeurs : perles de volumes différents, perles contre allumettes, etc. ou enfin correspondances terme à terme entre objets inégaux à tous les points de vue : cailloux, agrafes, perles, etc.

II. Conservation d’inégalité. — Les questions I portent donc sur l’inférence (S_n = S_n)-> (C„ = C’_n), qu’elles soient récurrentielles ou non, étant donné que les collections cardinales initiales sont C = C’ = 0 ou 1. Mais si l’on part de collections initiales inégales C₁<(C’₁)+1, les correspondances répétées S_n = S’_n vont-elles ou non, aux yeux de l’enfant, conserver cette inégalité :

(S_n = S’_n)^ ([C_n] < [(C’_n)+1]) si [CJ < [(C’0+1] ?

Et encore si l’on met chaque fois deux perles d’un côté contre une de l’autre aura-t-on ou non le raisonnement suivant :

(S_n - S’_n)- » ([C_n] < [(C’_n)+1]) si [CJ < [(C’0+1] ?

1 II est utile de noter que les questions IB diffèrent de nos anciennes expériences de conservation dont le schéma était le suivant : remplir de perles deux verres identiques A et B par correspondance terme à terme, puis transvaser le contenu de B dans un verre de forme différente C et demander si les collections A et C sont encore égales. Dans les présentes expériences IB, il n’est pas question de transvaser (sauf parfois pour contrôle), mais simplement d’anticiper si les collections directement formées en des verres différents (correspondant à A et O resteront toujours égales en cas d’adjonctions d’éléments par correspondance terme à terme. C’est pourquoi ces questions IB sont en moyennes plus faciles que les problèmes de conservation avec transvasements.

Ce sont là les deux nouvelles questions II A et II B :

II A. Inégalités additives. — L’expérimentateur pose au début une perle dans l’un des deux verres et, au besoin, laisse à titre de témoin une perle sur la table. On passe alors aux correspondances terme à terme SS’j, SS’₂, etc. et on demande en cours de route et naturellement à la fin : (a) si les collections C sont égales ou non ; (b) de combien est la différence ; et (c) si, en continuant longtemps de suite on pourrait parvenir à l’égalité (ou encore à diminuer la différence si l’on a mis plus d’une perle en plus au départ, comme on va l’indiquer).

Variante. — On peut n’ajouter la perle supplémentaire qu’en cours de route et non pas dès le départ. On peut aussi mettre au départ deux ou n perles en plus dans l’un des deux verres en ayant alors soin de laisser un même nombre de témoins sur la table.

II B. Inégalités multiplicatives. — On demande à l’enfant de prendre d’une main une perle et de l’autre deux perles (ou trois, si l’expérience du double a d’emblée réussi) et de les faire tomber simultanément dans les deux verres. On continue ainsi dix à vingt fois de suite cette correspondance deux à un, soit S’_n=S_2n. Une fois les ensembles constitués, on commence par demander (éventuellement en cachant les collections) s’il y a égalité ou non et si l’inégalité est de 1 ou davantage (« beaucoup plus ? », etc.). L’enfant pouvant ne pas savoir désigner le double, on lui fait alors partager la collection la plus nombreuse C’_n en deux sous-collections C’A et C’B, par correspondance terme à terme et on lui demande : (a) si les deux collections C’A et C’B sont égales entre elles, et (b) si elles sont respectivement égales ou non à la collection C_n.

III. Soustraction à partir des ensembles correspondants. —   Une fois constituées deux collections égales C_n = C’_n par correspondance terme à terme, dans les verres ou sur la table (rangées), on fait soustraire deux sous-collections égales B=B’, par correspondance terme à terme également, et l’on demande si les restes sont égaux mais en s’arrangeant pour que la configuration des collections et sous-collections ne suffise pas à décider de cette égalité des restes par simple inspection perceptive.

Cette question III devrait en particulier nous être utile pour décider si les raisonnements de l’enfant en I et en II sont dus à une simple application de l’axiome des grandeurs (de deux

quantités égales, en ajoutant ou en retranchant deux quantités égales on obtient encore deux quantités égales) ou s’il s’agit d’inférences plus élémentaires.

Ces questions III peuvent encore être raffinées en soustrayant des quantités égales à partir de collections inégales, ce qui revient à une généralisation des questions IIA mais sous forme de soustractions.

IV. Quantités continues (liquides). — Dans l’expérience initiale 1 on procède au moyen de perles toutes équivalentes. Il en résulte que le sujet n’est pas seulement en présence des égalités Si = S\, S₂ = S’₂, etc., mais encore des égalités Si = S₂ = S₃, etc. et S’j = S’₂ = S’₃, etc. On peut alors se demander ce qui subsisterait des généralisations précoces observées si l’on compliquait le problème en supprimant ces dernières égalités. Nous avons donc utilisé cinq couples de petits verres de liquide égaux entre eux par couples mais inégaux d’un couple au suivant. L’enfant verse ainsi l’un des petits verres de l’un des couples dans le grand verre Cj pendant qu’il verse l’autre petit verre du même couple dans le grand verre C\, et il répète ces actions de mise en correspondance mais en changeant chaque fois de couple. On a donc chaque fois Si = S’_u S₂ = S’₂ ; etc., mais on n’a plus comme précédemment Si = S₂ = S₃, etc. Les questions posées sont à nouveau de savoir si les quantités totales sont égales C_n = C’_net ces questions sont présentées de deux manières correspondant à I A et à I B :

IV A : Les grands verres dans lesquels on verse les couples de petits verres sont de formes et dimensions égales, mais ils sont opaques de manière à obliger à une déduction. On demande également d’anticiper ce qui se passerait en continuant indéfiniment les adjonctions par correspondance mais en de très grands récipients.

IV B : Mêmes questions mais avec de grands verres transparents de formes différentes (cache après la première action d’introduire des sous-ensembles égaux).

V. Quantités continues et discontinues (réglettes). — Au lieu des couples de petites quantités de liquides considérés sous IV on peut encore employer des paires de réglettes de longueurs égales par paires et inégales d’une paire à l’autre. D’où une complication de plus : si l’on se place au point de vue des longueurs on a alors = S’_n S₂ =S’₂, etc. mais non pas

Si = S₂, etc., ce qui présente le même avantage qu’avec les liquides. Par contre, si l’on se place au point de vue du nombre des réglettes en comptant chacune comme une unité indépendamment de sa longueur, on a aussi Sj = S₂ = etc., ce qui rend les questions comparable aux questions I-III (perles). L’intérêt est alors de pouvoir combiner ou dissocier à volonté les questions sur les quantités continues (longueurs) ou discontinues (nombres).

On commence par une introduction consistant à faire différencier les longueurs des nombres : on demande à l’enfant de construire avec les réglettes des chemins de même longueur avec des nombres différents d’éléments et des chemins de longueurs différentes avec des nombres égaux de segments. Cette distinction une fois comprise, on procède comme pour les questions I-IV mais au lieu de faire remplir de grands verres, on demande de construire deux longs chemins parallèles (par juxtaposition des réglettes bout à bout), mais dont l’un reste masqué par une coulisse de telle sorte que l’enfant parvient à rajouter des segments à volonté mais sans voir la longueur totale. Les questions posées se succèdent alors dans l’ordre suivant :

1) Additions avec égalité de nombres et de longueurs (égalité inter-couples Sj = S₂ = etc. comme intra-couples Si = S’i, S₂ = S’₂ ; etc.). On demande donc, après ces mises en correspondances entre éléments tous égaux (a) si les chemins totaux ont la même longueur et (b) s’ils ont le même nombre d’éléments.

2) Additions avec égalités intra-couples mais inégalités inter-couples. L’enfant doit donc à nouveau prévoir que les chemins totaux auront les mêmes longueurs et les mêmes nombres d’éléments, bien que cette fois ceux-ci soient inégaux d’un couple au suivant.

3) Additions par correspondances conservant une inégalité intra-couple initiale (on met au début une réglette représentant le double de son correspondant, en laissant un témoin sur la table). L’enfant doit donc prévoir que les nombres finaux seront les mêmes, mais les longueurs inégales.

4) Additions par correspondance (avec égalités intra-couples) mais conservant une inégalité initiale par adjonction d’une réglette en Ci sans correspondant en C\ : cette fois l’enfant doit prévoir que les nombres finaux seront inégaux comme les longueurs.

Telle est la technique à laquelle nous avons abouti pat- tâtonnements successifs. Mais il va de soi que chaque enfant ne passe pas par cet ensemble de questions : nous avons procédé par petits groupes répartis selon les divers problèmes à résoudre. Il va de soi également que nous n’avons pas poussé l’analyse au même degré pour chacune de ces questions : nous nous sommes en plusieurs cas contentés de sondages lorsqu’il s’agissait de contre-épreuves plus que du problème central. Celui-ci demeure, en effet, de savoir si les raisonnements provoqués par les questions 1A et IB témoignent d’une forme élémentaire et précoce de récurrence ou s’il ne s’agit que d’une conservation liée elle-même à une sorte de persévération.

(A) Les réactions les plus primitives que nous ayons observées (à 4 ou 5 ans, car on ne peut descendre au-dessous) consistent à accepter l’équivalence C_n = C’_n pour les verres de mêmes formes et de mêmes dimensions, y compris lorsqu’on les cache, mais à se refuser à toute généralisation (sauf par persévération verbale) et surtout à refuser l’équivalence dès qu’il s’agit de configurations de formes différentes :

Com(5 ; 1 ) met les perles dans les verres : « Est-ce qu’il y a la même quantité, la même chose, ou pas ? — Oui. — Pourquoi ? — Il y a deux verres, on les a mis dedans. —   Comment ? — On a pris avec les mains. —   (Com continue) Il y a toujours la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — Pourquoi ( = parce que) on les prend là. — (On cache les verres. Com continue jusqu’à 9). Il y a la même chose de perles ? — Oui. — Tu es sûr ? — Oui. — Pourquoi ? — Pourquoi on les prend là. —   Mais on pourrait les prendre là sans qu’il y ait la même quantité ? — Oui. — Alors comment sais-tu que c’est la même chose ? — … — (Com en est à 15). — Et maintenant il y a plus ici (C’) ? — Non, il y a la même chose. —   Si on mettait beaucoup, beaucoup de fois une ici et une là, toute la journée, on pourrait savoir ? — Non, je ne sais pas. »

Verres différents (IB) : Com met une perle dans chaque et dit « un chacun », puis « deux chacun », < trois chacun », etc., mais à 6 elle cesse de compter : « C’est la même chose ? — Oui. —   Et si on continuait beaucoup, beaucoup de fois ? — 

Ce serait la même chose. —   Pourquoi ? — Pourquoi (= parce que) c’est tout plein (elle continue). Non il y en a plus ici parce que là c’est tout bas. — Et si un petit garçon disait « 11 y a la même chose parce qu’on en a mis un de chaque côté », il aurait raison ? — Non. »

Gras (5 ;1) : « C’est la même chose. — Pourquoi ? — T’avais mis chaque fois deux ». On cache les verres : « Ça sera la même chose. (Elle continue). — Les verres seront-ils pleins en même temps ? — Je ne sais pas. — Pourquoi ? — H y a d’un côté plus, je ne sais pas. —   (Elle continue). Mais maintenant c’est la même chose dans les deux verres ou pas ? — Oui, parce j’ai mis toujours comme ça (geste). »

Verres différents. L’enfant place les perles par couples jusqu’à ce que la différence de niveaux soit nette : « Il y a plus là. — Pourquoi ? — // y a la même chose mais, parce que c’est tout petit ( = mince) c’est devenu plus haut. — Si on fait des colliers avec les perles de ce verre et avec celles de ce verre, il y aura un collier plus long ou pas ? — Un collier plus long. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus là (verre étroit). — Un garçon m’a dit qu’il y avait la même chose dans les deux verre. — Alors c’est quand même la même chose. —   Pourquoi ? — Je ne sais pas. — (Elle continue). — Il y a plus d’un côté ou c’est la même chose ? — Plus. — Tu es sûre ? — Oui. —   Et si tu continues ? — Il y aura encore plus là. — Combien ? Un de plus ou beaucoup ? — Un de plus. — Ou 10 ou 15 ? — Dix, quinze. —   1 ou 15 ? — Quinze. »

Il est inutile de multiplier ces exemples, dont la nature est suffisamment claire ainsi. D’une part, l’enfant est convaincu d’avoir déposé le même nombre de perles, même sans pouvoir les compter, tant qu’il ne se croit pas contredit par les configurations spatiales des collections. Mais ce début de déduction fondée sur les actions de mise en correspondance est encore si peu résistant que, en présence des verres de formes différentes, le sujet est ébranlé dans sa conviction sitôt que les niveaux atteints par les perles deviennent trop inégaux. Le sujet Gras est pourtant capable d’entrevoir que cette inégalité des niveaux peut tenir à la forme des verres (« parce que c’est tout petit, c’est devenu plus haut »), mais elle n’en admet pas moins que le collier fait avec les perles du verre mince serait plus long que l’autre et qu’il y a différence numérique entre les deux collections. Le sujet Com a beau commencer par affirmer que l’égalité se conservera, elle n’en change pas moins spontanément d’opinion en voyant que dans l’un des verres le niveau reste « tout bas ». D’autres sujets nous disent explici-

tement : « le verre mince est plus vite rempli que le gros verre, il y a davantage de perles », « les perles montent plus haut, alors il y en a plus », etc.

Pour ce qui est de notre problème central de savoir si l’égalité des collections provient d’une transmission récurrentielle ou d’une simple conservation du résultat des actions répétées de mises en correspondance, ces réactions initiales sont déjà instructives en nous montrant que la récapitulation cumulative des actions antérieures ne suffit ni à la transmission ni à la conservation. Le sujet Gras est déjà capable, contrairement à Corn, de justifier l’égalité en disant « Parce que j’ai mis toujours comme ça », mais ce « toujours » n’a précisément pas le sens, ni de la conservation puisque l’égalité ne subsiste plus dans les verres de formes différentes, ni de la transmission récurrentielle puisque Gras ne peut même pas prévoir si les deux verres semblables seront rempli simultanément. Ce « toujours » ne signifie donc que « jusqu’ici » et tout le problème est de savoir comment le sujet en arrivera au vrai « toujours » exprimant la généralisation indéfinie.

Pour l’instant, les sujets se bornent, lorsqu’on leur demande d’anticiper la suite, à répondre « la même chose » par persévération verbale, c’est-à-dire sans justification, ou, quand ils sont plus intelligents, ou simplement plus honnêtes « je ne sais pas » (Corn, etc.)¹. En d’autres termes, ils veulent bien admettre que la répétition des mises en correspondance a abouti à une égalité des collections totales, mais à la double condition de pouvoir la vérifier perceptivement et de ne pas s’engager pour la suite : « Il faut regarder pour savoir si c’est la même chose » dit un autre sujet de 5 ans (ce qui entraîne, dans le cas des verres différents : « On voit tout de suite qu’il y en a un peu plus ici que là »). En cas de masquage des verres, Corn reste confiante mais Gras doute déjà de l’égalité. Pour d’autres sujets « quand on ne voit plus les perles on ne peut plus savoir s’il y en a autant des deux côtés » au « je ne les vois plus, je ne peux plus rien dire », etc. Enfin plusieurs sujets prétendent qu’on ne saurait décider sans compter. Par exemple Roh (5 ; 10) se refuse à toute généralisation au-delà des correspondances déjà réalisées, parce que « il y en aura tellement qu’on ne pourra plus les compter. On ne pourra plus savoir ». Ou d’autres : « Il faut compter toutes les perles, alors

1 On peut se demander si le doute, quand il est sincère, n’est pas lié à un certain pouvoir d’anticiper des obstacles possibles ou de prévoir l’apparition de nouvelles questions.

on saura », « Si je ne les vois plus, je ne peux pas les compter : je ne sais pas s’il y en a autant dans un verre et dans l’autre », « Il y en a si beaucoup, on ne peut pas savoir s’il y a le même nombre ou pas » et enfin : « Il y en a tellement que je ne pourrais pas les compter, et quand on ne sait pas le nombre on ne peut pas savoir s’il y en a la même chose ».

Au total, cette première étape est caractérisée par un refus plus ou moins complet de se fier à la correspondance terme à terme dès qu’il y a contradiction apparente avec la configuration des collections ou dès qu’il s’agit de généraliser dans le domaine des correspondances non encore effectuées. Et cependant ce genre de réactions, si cohérentes avec tout ce que nous savons du niveau préopératoire (non-conservation, etc.) est en réalité peu abondant et très vite dépassé par les réactions intermédiaires dont nous allons parler, tant est considérable le pouvoir de la correspondance terme à terme même en cette phase initiale où elle ne constitue pas encore une opération proprement dite (faute précisément de conservation et de réversibilité).

(B) La deuxième étape est celle des cas intermédiaires qui oscillent entre le doute et l’affirmation de l’égalité. Ces cas méritent donc un examen attentif, de manière à saisir l’émergence du raisonnement correct, et par là même sa nature :

Stion (4 ;11, avancé) commence ses correspondances : < Si on mettait dix fois de suite de chaque côté une perle, y aurait-il la même quantité ou bien on ne peut pas savoir ? — On pourrait pas très bien savoir. Il en faut pas trop, autrement on peut pas bien savoir. (Il continue jusqu’à 10 perles). — Il y a la même chose de chaque côté ? — Oui. —   Comment sais-tu ? — Je regarde. —   On peut savoir autrement ? — Je ne crois pas. — Si on continuait longtemps, longtemps, toute la journée, on pourrait savoir ? — Non, je ne crois pas, parce qu’il y en aurait trop. — (On cache les boîtes et il continue jusqu’à 20-25). Il y a la même chose ? — On peut pas tellement savoir. — Pourquoi ? — Parce qu’on ne voit pas. — Regarde (on enlève le cache). — C’est la même chose. —   Comment sais- tu ? — Je regarde les deux. »

Verres inégaux : « C’est moins large ici, on peut moins bien savoir. —   Pourquoi ? — Il y en a qu’on ne voit pas. (Il continue jusqu’à 6). — C’est la même chose ? — Oui. — Comment sais-tu ? — On les voit encore (il continue). — C’est encore la même chose ? — Elles sont cachées. Ah ! Il y a la même chose parce qu’on peut quand même savoir, parce qu’on met une dans

chaque vase ! — Et si on continuait toute la journée ça ferait encore la même chose ? — Non, on pourrait pas savoir (il continue) oui, on peut quand même savoir, on met chaque fois une dans chaque vase. On peut pas compter, mais on peut quand même savoir. — Un petit garçon m’a dit « Il y en a plus parce que c’est plus haut ». Qui a raison, lui ou toi ? — Moi, parce que je dis que c’est plus mince. — Plus mince et ? — Plus haut. — (L’expérimentatrice continue) Et maintenant c’est plus ici (le bocal mince) ? — On peut quand même avoir la même chose puisqu’on met toujours une perle dans chaque vase. — Et si je continue beaucoup de fois ? — On ne peut pas savoir, parce qu’il y en a trop. » On verra plus loin les réactions du même sujet à 5 ans 9 mois, lorsqu’il dira « Une fois que l’on sait, on sait pour toujours ! »

Tho (5 ;4) : « Y a-t-il le même nombre des deux côtés ? — Oui, parce qu’on a pris des deux mains. » Etc. « Si on faisait ça très longtemps, on pourrait être sûr que ça reste toujours la même chose des deux côtés ? — Oui. — Tout à fait sûr ? — Non, si on met trop longtemps, on ne peux plus. — Mais il y aurait plus d’un côté ? — Oui. — Une petite fille m’a dit que si on mettait toujours deux perles dans les deux verres à la fois, ça serait toujours pareil ; qui a raison, elle ou toi ? — C’est elle. — On peut savoir qui a raison ? — Non. »

Verres inégaux : « C’est la même chose, parce qu’on a mis dans chaque main une. — Tout a fait sûr ? — Oui. — Si on continuait très longtemps, ce serait pareil ? — Non. — (On change le verre mince contre un verre plus mince encore). C’est la même chose ? — (Hésitation) Oui, parce qu’on a mis dans chaque maine une…. Non, celui-là plus », etc.

H in (5 ;6) avec les verres cachés et les verres inégaux oscille sans cesse entre l’affirmation de l’égalité « parce que j’ai mis là un et là un » et le refus d’affirmer « parce qu’il y a si beaucoup ».

Cour (6 ;2) regarde l’expérimentatrice mettre d’une main une allumette et de l’autre une perle neuf fois de suite dans les deux verres masqués : « Il y a le même nombre de perles et d’allumettes ? — Je ne suis pas sûr. — Compte les perles. — Neuf. — Combien y a-t-il d’allumettes ? — Neuf, je crois. —   C’est sûr ? — Non. — (On continue.) — Il y a le même nombre ? — Bien sûr. — Compte les perles. — Seize. — Et les allumettes, tu dois les compter ou tu sais ? — Je sais. —   (On continue). — Et maintenant ? — Je ne peux pas être sûr. —   Pourquoi ? — Parce qu’on ne peut pas être sûr de tout. —   (On continue). Et maintenant ? — Les deux la même chose. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a mis 1 et l. —   Tu disais qu’on ne pouvait pas savoir ? — Quelques fois seulement. —   Mais on peut savoir si c’est le même nombre ? — Oui, on peut savoir. — 

Pourquoi ? — Parce qu’on a mis (I, 1), (1, I). — Et si on continue longtemps, longtemps ? — On peut toujours savoir : quand on commence à savoir, on peut savoir ! ( = quand on trouve la raison, on peut déduire). »

Des perles d’un côté et des éléments hétérogènes de l’autre. « Même nombre ou pas ? — C’est la même chose de tout. —   Comment sais-tu ? — Je sais presque toujours. —   (On continue). Même nombre ? — Un peu plus là (éléments mélangés). — Pourquoi ? — Ça devrait être au moins plein ici (il juge donc au volume supposé). — Compte les perles. — Douze. — Et ça ? — Il y a plus de douze. — (On continue). Même nombre ? — Oui. — On aurait cru plus ici ? — Oui, parce que c’est plus grand. — Mais c’est le même nombre ? — Même nombre. —   Pourquoi ? — On a mis partout un et un, je peux être sûr. —   Même si on ne peut plus compter ? — Oui. »

Ces cas de transition font clairement comprendre, par la nature même de leur conflit central, la différence entre l’attitude de refus de généralisation propre aux sujets les plus jeunes (sous A) et la compréhension complète déjà esquissée par moments à ce niveau avant de s’affirmer définitivement (sous C). On voit d’emblée, en effet, à lire ces quelques réponses, que la réflexion du sujet peut être centrée soit sur les collections déjà constituées soit sur l’action même d’ajouter un contre un ; et lorsqu’ils se réfèrent à l’action, ce peut être encore en deux sens distincts, qui nous ramènent à la même dualité : ou bien ils pensent au résultat seul de l’action (« j’ai mis un et un »), ce qui revient à penser en termes de collections une fois constituées, ou bien ils comprennent le dynamisme opératif de cette action (on ajoute un et un) et peuvent alors subordonner la collection à son processus formateur, c’est-à-dire à l’opération n+1. Or, le conflit propre à ces cas intermédiaires provient précisément de ce que cette subordination des collections à l’action constructrice qui les engendre n’a rien d’immédiat et que les jeunes sujets peuvent fort bien ne raisonner que sur les collections en leur aspect figuratif au lieu de déduire en fonction de sa construction elle-même, d’où alors l’indécision quant à leur égalité sitôt que les configurations deviennent ou dissemblables ou indéterminées.

C’est ainsi que Hin, durant toute une interrogation qu’il est inutile de transcrire tant elle est monotone, oscille sans discontinuer entre l’affirmation de l’égalité des collections, lorsqu’il pense à l’action « j’ai mis là un et là un » et la négation de toute certitude lorsqu’il pense aux collections « parce qu’il

y en a si beaucoup » ! Tho oscille de même entre l’égalité « parce qu’on a pris des deux mains » et, soit l’inégalité dans le cas des verres inégaux soit l’indétermination dans le cas des collections non encore construites parce que « si on met trop longtemps » on ne peut plus « penser » ce qui revient à dire que des mises en correspondance non encore exécutées sont encore plus difficiles à considérer que les correspondances réelles comme déterminant univoquement l’égalité des collections à construire, d’autant plus que les collections futures n’ont pas encore de configuration ! Avec Stion, malgré son jeune âge on assiste au cours des oscillations à une prédominance progressive de l’action constructrice par opposition à son seul résultat. Il commence par subordonner l’action à la considération des collections en leur configuration : on ne peut être certain de l’égalité qu’en la vérifiant perceptivement, et cela par conséquent à la condition qu’il n’y ait « pas trop » d’éléments en jeu. Mais ensuite Stion admet qu’« on peut quand même savoir », « puisqu’on met toujours une perle dans chaque vase », le « toujours » prenant alors un sens d’itération constructive et non plus seulement de récapitulation des résultats. Mais il n’y a pas encore généralisation en cas d’accroissements indéfini « parce qu’il y en a trop ». Ce pas décisif est par contre franchi par Cour et cela pendant l’expérience même et en quelque sorte sous nos yeux. Cour commence par rappeler qu’« on ne peut pas être sûr de tout », puisqu’il s’agit de collections à configurations trop dissemblables (perles et allumettes). Après quoi il se dit qu’on peut quand même reconstituer les égalités « puisqu’on a mis (1, 1), (1, 1) ». Et alors, quand il s’agit d’anticiper la suite, il en tire ce remarquable passage de la construction antérieure à la construction future : « quand on commence à savoir, on peut savoir ! », ce qui revient à dire que si l’on a subordonné les collections à leur mode de construction, rien n’empêche en ce cas de généraliser à tout couple de collections ainsi formées. Lorsque l’on passe aux assemblages d’objets hétérogènes, Com présente encore un bref retour à la considération des configurations, puis il surmonte l’obstacle définitivement : « Je peux être sûr. »

En bref, ces cas intermédiaires nous font assister au passage du « toujours » récapitulatif (voir Gras, sous A) au « toujours » itératif et presque récurrentiel. Or, il ne s’agit pas là de sujets exceptionnels. Un autre sujet (5 ans) commence aussi par dire « on ne peut pas tellement bien savoir s’il y a le même nombre de perles : on ne les voit pas, je ne peux plus

les compter » pour déclarer un instant plus tard : « On peut quand même savoir parce qu’on met chaque fois une perle dans chaque verre. » Quant à l’anticipation des résultats d’une répétition indéfinie, le sujet hésite à nouveau « je ne saurai rien dire » pour se reprendre aussitôt : « Je saurai quand même : on n’a jamais mis une perle de plus dans un verre (que dans l’autre). » Or ce « jamais » concerne ici la suite non encore réalisée (en non par le passé, donc le passage des n à n+1, et, comme on le voit, ce passage s’accompagne d’un rudiment de démonstration que l’on pourrait formuler comme suit : (a) 11 ne saurait y avoir inégalité entre les collections que si l’on mettait plus d’éléments dans l’une que dans l’autre ; (b) or l’on ne rajoute « jamais » qu’un élément de chaque côté et non pas deux contre un ; (c) donc les collections seront toujours égales.

(C) La troisième étape est atteinte par les sujets qui généralisent d’emblée l’égalité des collections au cas de répétition indéfinie des correspondances (anticipation) ainsi qu’en cas de configurations nettement dissemblables :

Stion (5 ;9) dont on a vu les réactions (intermédiaires) à 4 ans 11 mois est repris à 5 ;9 avec les mêmes expériences qu’il a eu le temps d’oublier en 10 mois. On commence par des verres identiques : « Il y a la même chose. — (On les cache à la huitième adjonction). Pas besoin de cacher, je sais ! Si j’avais pris une fois deux (contre un) ce serait différent, mais j’ai jamais pris plus qu’une d’une main. —   Et si l’on continuait longtemps, toute l’après-midi ? — Il faudrait avoir des verres tellement grand, ça n’existe pas des verres si grands. — Mais on peut imaginer ? — On ne saurait plus combien il y en a. —   D’accord, mais peut-on savoir s’il y a la même chose ou pas ? — Ah ! oui : une fois qu’on sait, on sait pour toujours ! »

Verres différents : « Pas besoin de continuer : je sais, il n’y aura jamais plus dans un verre (que dans l’autre). — (On cache et on continue puis on découvre). — Ça monte beaucoup plus haut ici (verre mince). — Mais peut-on savoir s’il y a autant de perles dans les deux ? — On sait, on a toujours, toujours mis la même chose dans les verres. — Mais ça monte si haut. — Ça a l’air plus, c’est mince, mais c’est quand même la même chose, on sait, on a toujours mis une contre une. »

Ros (5 ;10). Verres identiques : « C’est la même chose, parce que j’ai mis tout le temps une dans chaque verre. — (On cache). Et maintenant ? — C’est la même chose. —   Un petit garçon m’a dit qu’on ne pouvait pas savoir. Comment tu lui expliquerais ? — // faut réfléchir. Si on prenait deux perles dans une main et une perle dans l’autre, là ce ne serait pas

la même chose. — Et si on continue longtemps, longtemps, est- ce que pour finir il y en aura plus d’un côté ? — Non, toujours la même chose. — Ces verres seront pleins en même temps ou l’une avant l’autre ? — Les deux en même temps. »

Verres différents : « C’est la même chose. — Un petit garçon m’a dit qu’il y en avait plus là ? — Non, parce que c’est plus mince, etc. — Comment peux-tu être sûre ? — Parce que fai toujours mis une perle (ici et là). — Un de ces verres sera plein le premier ? — Oui, celui-là (le mince). — Et si on fait des colliers avec les perles de ces deux verres, ils auront la même longueur ou pas ? — Oui, parce que j’ai toujours mis une chaque fois. »

Mad (5 ;5) met un caillou contre une perle dans des verres identiques, cachés : « Plus de cailloux ou plus de perles ? — La même chose. —   Tu as compté ? — Non. —   Tu sais quand même ? — Oui (elle continue). — Même chose dans les deux verres ou pas ? — Oui (elle continue). — Si on continue longtemps, longtemps comme ça, ça sera toujours la même chose ou à la fin plus de perles ou plus de cailloux ? — Toujours la même chose. — (Elle continue). — Et si on comptait les perles ? — (Elle compte) Dix-huit. —   Et les cailloux, tu sais déjà ? — Non. — Elle compte dix (mais l’expérimentatrice en garde huit dans la main et elle continue jusqu’à 18 sans voir les 8 derniers). — Fini, ou bien il en reste ? — Il n’en reste plus. »

Hel (5 ;6). Mêmes réponses initiales. On cache les verres identique : l’égalité subsiste parce que < j’ai mis la même chose des deux côtés. — Et si je continuais longtemps, longtemps ? — Ce serait des deux côtés la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’on peut pas mettre deux à la fois. — On peut être sûr ? — Oui on peut être sûr. —   Tout à fait ou à moitié ? — Tout à fait. » Verres inégaux : mêmes réactions.

Pie (6 ;2). Mêmes réactions pour les verres égaux « parce qu’on a tout le temps mis comme ça (geste des deux mains). — Et si j’en mettais beaucoup, beaucoup de fois ? — Il y en aurait beaucoup ! — Mais la même chose dans les deux ? — Oui. » Verres inégaux : il affirme l’égalité et résiste à toutes les suggestions. « Si on en mettait toute la journée ? — Ça ferait 5000. — Mais la même chose des deux côtés ? — Oui (l’air de dire : ça va de soi). »

Req (7 ;7) : « Tout le temps la même chose. — Pourquoi ? — On met toujours un là et un là. — Et si on continue tellement qu’on peut plus compter, on peut encore savoir ? — Toujours la même chose. »

Ces réactions ne sont intéressantes qu’à cinq ans, tant la réponse paraît évidente à 6 et à 7 ans même en ce qui con-

68 RAISONNEMENTS RECURRENTIELS

cerne l’anticipation d’une suite indéfinie ou la correspondance dans les verres inégaux. Or, cette précocité est en elle-même très instructive, puisque la conservation d’un ensemble de perles transvasées en des verres de formes différentes n’est admise que par le 54 % des sujets de 6 ans. C’est donc bien la correspondance terme à terme qui constitue ici le support de ces déductions précoces.

Pour conclure, fournissons quelques chiffres. Insistons d’abord sur le fait que les réactions du niveau C sont si précoces qu’il est difficile de considérer les niveaux A, B et C comme des stades proprement dits, d’une part parce que leurs âges moyens sont trop rapprochés et d’autre part, à cause de la fréquence trop grande des passages de l’un à l’autre ^x. Nous avons tenté néanmoins de construire un tableau statistique, mais à titre purement indicatif puisque les interrogations diffèrent d’un enfant à l’autre et dépendent naturellement aussi du savoir-faire de chaque expérimentateur, suivant qu’il est plus ou moins rompu à la méthode clinique ou d’exploration :

Niveaux

A

B

C

5 ans

5

35

60

6 ans

0

7

93

7 ans

0

9

91

Tableau I :

Réactions aux questions IA et IB (66 sujets), en %.

5

ans

Coquetiers (75 sujets) A C

50 50

Transvasements de (90 sujets)

A B

38 40

perles

C

22

6

ans

25

75

6

40

54

7

ans

20

80

0

4

96

Rappelons, pour comparaison, les résultats obtenus par Vinh-Bang-Inhelder sur la conservation des équivalences lors de correspondances terme à terme en rangées spatiales (coquetiers) et sur la conservation des ensembles lors des transvasements de perles d’un verre en un autre de forme différente ² :

1 Cette remarque signifie simplement que l’on ne saurait situer avec certitude un sujet dans les niveaux A ou B, ou encore B ou C, mais elle ne signifie en rien que l’ordre de succession des niveaux A, B et C ne soit pas constant.

2 A comparer également ce tabl. 1 ou tabl. 2 concernant les mêmes questions avec quantités continues (liquides, 5 7).

ITERATION ET RECURRENCE 69

On voit qu’il existe une nette avance de la transmission des égalités par itération des correspondances sur la simple conservation par transvasement et encore une certaine avance de la première sur la conservation des équivalences par correspondance simple (coquetiers). Ces deux faits sont à retenir pour l’interprétation finale que nous proposerons au § 9.

Deux points sont à noter à cet égard. C’est d’abord la fréquence des justifications déjà signalées au niveau B, selon lesquelles l’égalité est nécessaire puisqu’on ne prend jamais deux éléments contre un : Stion, Ros et Hel y insistent, mais on retrouve sans cesse le même argument : « Je n’ai jamais mis une de plus d’un côté que de l’autre », etc. C’est ensuite le caractère constamment itératif que prennent désormais les termes « toujours » ou « jamais ». Cette signification, déjà entrevue au niveau B, et qui devient la règle à ce niveau C, demeure implicite chez la plupart des sujets, mais est parfois explicitée de façon remarquable, comme c’est le cas chez Stion : tout en affirmant qu’en continuant indéfiniment les correspondances on ne pourrait plus ni compter ni même trouver de récipients assez grands, ce sujet de 5 ans 9 mois n’en affirme pas moins que l’égalité se conservera parce que « une fois qu’on sait, on sait pour toujours » ! Il est difficile de mieux exprimer à cet âge le passage de n à n+1.

Il semble donc évident que, à ce niveau C, se généralise ce que nous appelions précédemment l’itération de l’action elle- même en tant que constructive et en opposition avec la seule considération des collections déjà constituées, c’est-à-dire du résultat cumulatif des actions antérieures sans passage à une itération ultérieure indéfiniment possible. Lorsque nous en viendrons à la discussion du caractère récurrentiel ou non de tels raisonnements, ce ne sera donc pas une objection décisive que de réduire ceux-ci au produit d’une simple itération des actions, pour en exclure la transmission d’une propriété v(n) du nombre n au nombre n + 1, car cette itération constitue précisément l’instrument élémentaire d’une transmission ; et, si élémentaire soit-elle, elle n’en résulte pas moins d’une conquête difficile, débutant au niveau B seulement et ne s’achevant qu’au niveau C, par rapport à un niveau A initial où l’action d’ajouter 1 et 1 par correspondance ne s’itère pas à proprement parler et ne transmet donc a fortiori rien, mais consiste exclusivement à poser deux nouveaux éléments qui peuvent être réunis après coup aux précédents en une collection d’une configuration don-

née, sans qu’il y ait là véritablement série au sens d’un accroissement jamais achevé.

Avant d’en venir à la discussion de ces problèmes généraux il nous reste à procéder à une série de contre-épreuves dont la première a trait à la transmission ou à la conservation (ne décidons point encore) des inégalités (voir le § 2 sous II) sous une forme soit additive (collections inégales au départ et adjonctions par correspondance terme à terme) soit multiplicative (correspondance deux à un).

Il pourrait sembler qu’en rompant les correspondances terme à terme par adjonction d’un élément dans l’un des verres sans correspondant dans l’autre, on complique plus qu’on ne facilite la tâche des jeunes sujets. En réalité, ils sont si sensibles à cette inégalité (et c’est bien là la contre-épreuve que nous cherchions) que leurs estimations en sont rendues plus aisées jusque, et y compris, aux anticipations en ce qui concerne la suite des correspondances. Autrement dit, si l’on retrouve toujours un niveau A de réponses erronées en ce qui concerne déjà les verres identiques mais masqués (la question n’a point de sens ici pour les verres inégaux), le niveau B caractérisé par les doutes sur les anticipations possibles est beaucoup plus instable et le niveau C des réponses correctes plus rapidement atteint I

Le niveau A est ici caractérisé par deux sortes de réponses : croyance suivant laquelle l’inégalité initiale disparaît tôt ou tard avec les adjonctions de quantités égales, ou difficulté à maintenir constante l’inégalité initiale lors de ces mêmes adjonctions de quantités égales. Voici des exemples :

Com (5 ;6) : « Tu vois je mets une perle dans le verre là et toi tu continues (voir le début de l’interrogation au § 3, niveau A sous I) à mettre une perle dans chaque verre (elle le fait quatre fois). — Où est-ce qu’il y en a plus ? — Là, plus (juste). — Pourquoi ? — Pourquoi (= parce que) vous en avez mis une de plus. — (Elle continue). Et maintenant ? — Là, plus (juste). — Pourquoi ? — Pourquoi (= parce que) vous avez commencé, vous. — Et si on en mettait toute la journée, il y aurait la même chose ou pas ? — Oui, pourquoi (= parce

que) ce serait tout plein. — (Elle continue). — 11 y en a plus d’un côté (on cache les verres sous des cartons) ? — Oui, là (juste). — Combien de plus ? — Je ne sais pas. —   Qu’est-ce qu’on pourrait faire pour savoir ? — Les compter. — Continue. — C’est tout plein. — Est-ce qu’il y en a plus d’un côté ? — (L’enfant n’en est visiblement pas certain, il enlève les caches, agite les verres en regardant attentivement) Là, plus (juste). — Pourquoi ? — Pourquoi (= parce que) vous avez commencé. —   Et si on continuait toute la journée ? — Ce serait tout plein. —   Ce serait la même chose ? — Oui. »

Gras (5 ;1) est au contraire portée, sauf hésitations, à conserver l’inégalité mais sans qu’elle demeure constante. On commence comme précédemment par mettre une perle dans l’un des verres, puis l’enfant ajoute trois fois par correspondances mais sous cache : « Et maintenant c’est la même chose ? — Non, plus là et là moins. — Combien ? — Trois là et quatre là. —   (Elle continue). — Et maintenant ? — Plus là. —   Combien ? — Je ne sais pas. — Si on faisait un collier avec les perles et un autre avec celles-là ? — Celui-là serait plus long. —   Beaucoup plus long ou seulement un peu ? — Beaucoup plus long. — Comment ? — (Geste de 8-10 cm). — Par exemple si on continue longtemps et qu’il y eu vingt là, ça fera combien ici ? — Onze. —   Et si on continue très, très longtemps. — Il y en aura moins ici. — Un petit garçon m’a dit que pour finir ça devient la même chose. C’est le petit garçon qui a raison ou toi ? — Le petit garçon a raison. — Un verre sera rempli avant l’autre ? — Oui, celui-là (juste). — Et si tu continues ? — Il y a plus. — Comment sais-tu ? — Je sais qu’il y a plus là, j’ai vu avant. »

Xyl (5 ;3). Mêmes réactions, mais : « Au commencement on sait qu’il y en a une de plus mais après on oublie parce qu’au fond il n’y avait qu’une perle. » « Quand deux verres sont presque remplis, on ne peut plus savoir s’il y en a une de plus ou pas, on ne voit plus… »

Ver (5 ;4). 1 élément de plus dans l’un des deux verres de même forme, transparents. Après cinq répétitions : « Là il y a un de plus. (Après 10 contre 10). On ne voit plus très bien. —   On peut quand même savoir ? — Moi je dis qu’il y a plus (sur le ton d’un pari). — Pourquoi ? — (Montre du doigt. On cache les verres. Après 15 répétitions) : On ne voit plus du tout, peut-être plus, peut-être la même chose. — Tu saurais de combien ? — Non. — Si on continue longtemps, longtemps, ce sera toujours plus dans un verre ou une fois la même chose ? — On ne saura plus. — Et si on pouvait compter ? — Sais pas, peut-être une de plus, on ne peut pas savoir. » On recommence le tout avec 4 perles en plus d’un côté (qu’il a comptées). Après 5 répétitions : « Plus là. — Combien ? — Difficile mais plus. — 

(Après 10 répétitions): Tu sais encore si plus ? — Non, il y a beaucoup. —   Tu crois que c’est la même chose ? — Plus ici. — Combien ? — Sais pas. — Une de plus ? — Sais pas. —   Cinq ? — Sais pas. — Et si on continue longtemps, peut-on savoir ? — Alors non ! — Pourquoi ? — Parce qu’il y aura beaucoup, beaucoup. »

Les réactions de ce niveau A sont d’un certain intérêt à titre de contrôle de ce que nous avons vu du même niveau au § 3 : qu’au lieu de raisonner en fonction des actions mêmes en leur itération, l’enfant commence par ne considérer que les résultats de ces actions et par se centrer ainsi sur les collections comme telles en leur configuration perceptive. Or, du point de vue perceptif, la loi de Weber empêche d’attribuer aux différences une valeur absolue et cela reste vrai des estimations intuitives ou représentatives de nature préopératoire : une différence de 1 franc est sensible pour un article d’environ 5 francs et nulle pour un article de 50 francs. A ne raisonner que sur les collections, en leurs configurations il y a donc deux réactions probables pour une différence d’une seule perle : ou la négliger avec l’accroissement des nombres, ou la renforcer pour la rendre relative. La première solution est celle de Corn et de Xyl, parce que, quand les verres sont pleins, il n’y a plus entre eux de différence figurale, « on ne voit plus » comme dit Xyl et on « oublie » c’est-à-dire qu’on peut l’annuler. La seconde solution est celle de Gras, qui pour les petits nombres maintient une différence de 1 et pour une vingtaine de perles indique quelques centimètres d’écart de longueur entre les colliers correspondants.

En bref, de même que les sujets du niveau A ne croient plus nécessaire l’égalité des collections correspondantes quand elles deviennent trop grandes pour constater perceptivement une correspondance optique, de même ils ne disposent d’aucun moyen pour conserver une inégalité initiale lors des mêmes accroissements des collections, et sont alors conduits ou à la supprimer ou à l’exagérer pour la maintenir sensible.

Voici maintenant deux sujets du niveau B, caractérisés comme tous ceux de ce niveau, par une hésitation momentanée entre les considérations figuratives et le raisonnement lui- même :

Stion (Z ;ll), à la suite de la première interrogation que l’on a lue (§ 3 sous B), recommence les mises en correspondance, mais après que l’on a mis une perle dans l’un des verres sans

correspondance dans l’autre. Après six répétitions : « Y a-t-il la même chose ? — Un peu plus ici (juste). — On peut savoir ? — Non, c’est un peu trop serré (il ne pense donc qu’à la vérification par constatation perceptive tout en sachant très bien ce qui en est comme il le dit ensuite). — Mais comment peut-on savoir ? — Il y en a une qui manque ici et une de plus ici. —   Comment le sais-tu ? — J’ai vu, j’ai tiré un peu les perles, j’ai tiré là dans le vase (tirer = séparé mentalement, puisqu’il ne touche pas l’intérieur des vases). — (On cache les verres et il continue). Y a-t-il plus d’un côté ? — Non, je ne crois pas. Oui, un peu plus de ce côté, moins de celui-là. »

Smi (6 ;0) : « Là il y a deux, là une. Vous avez mis une mais je n’en ai pas mis (en regard de celle-là). » Après quelques adjonctions par correspondance une à une : « Et maintenant où y a-t-il le plus de perles ? — Les deux la même chose. —   Pourquoi ? — Parce que… non, là il y a moins que là. — Pourquoi ? — On en a mis, mais tout le temps il n’y avait pas la même chose. — Et si on continuait à en mettre beaucoup, beaucoup, une de chaque côté, ça ferait quoi ? — 5000. — Ça serait la même chose des deux côtés ? Oui. —   Sûr ? — Oui. —   Réfléchis bien. — Ça débordera. — Mais on prendra de plus grands verres. — Là, plus. — Combien en plus ? — Sais pas… là il y a sept et là six. — Et si on continuait longtemps, on ne pourrait pas les compter, mais combien y aurait-il en plus ? — Sais pas. »

On voit ainsi que ces sujets sont convaincus de la permanence de l’inégalité (« tout le temps il n’y avait pas la même chose »), mais au lieu de se borner à raisonner, ils continuent comme ceux du niveau A à essayer de se représenter le détail des collections de quantité croissante (« j’ai tiré un peu les perles », « ça débordera », etc.) et alors ils retombent momentanément dans les deux erreurs systématiques du niveau A : ou la négligence de la différence, ou son indétermination faute d’attribuer une valeur suffisante à une différence de « un ».

Mais contrairement à ce qui se produit pour la généralisation des égalités (§ 3), au cours de laquelle le sujet accepte de transférer l’égalisation en passant à une action effective à la suivante tout en refusant souvent d’anticiper le résultat des actions ultérieures ou virtuelles, ce problème des inégalités donne lieu à une anticipation presqu’immédiate sitôt que l’enfant renonce à vouloir visualiser chaque collection en sa configuration perceptive. Cela revient à dire que le niveau B est faiblement représenté et qu’il y a passage des niveaux B à C presque plus rapide encore que dans le cas des épreuves

d’égalité. Voici un de ces cas de passage brusque entre les niveaux B et C :

Del (5 ;3) : « Il y a plus d’un côté (on met le cache et Del continue). Plus ici. — Pourquoi ? — Parce que j’avais mis trois ici et quatre là. —   Et si on continue jusqu’à la récréation il y aura plus là ou la même chose ? — Sais pas — (Elle continue). Et maintenant ? — Plus là. — Si on continue très, très longtemps peut-on savoir si ça restera comme maintenant ? — Il y aura toujours d’un côté plus parce que j’avais mis 3 et 4. —   Les deux verres seront pleins en même temps ? — Non, ici avant (juste). — Ce sera beaucoup plus plein ou un peu ? — Beaucoup. —   Qu’est-ce que tu ferais pour avoir la même chose de perles ? — Voilà (en remet une !). »

On voit ainsi comment après une brève hésitation le sujet passe au « toujours » itératif et il rétablit l’égalité future par une simple adjonction d’un seul élément tout en visualisant une différence bien plus grande. Voici maintenant des cas francs du niveau C :

Tho (5 ;4) : « D’un côté il y a plus. — Combien de plus ? — Une perle. —   (Il continue). Et maintenant ? — Plus. — Combien ? — Une perle (on met les caches et il continue). — C’est la même chose des deux côtés maintenant ? — Non, une de plus. — Si je continue beaucoup, beaucoup de fois, pour finir ça changerait ? — Une de plus ici. — On peut savoir ? — Oui parce qu’on a mis une de plus dans celui-là. — Et si on fait encore beaucoup de fois, il y aura un verre plein avant l’autre ? — Oui, ici. »

Stion (5 ;9). Après dix adjonctions : « Plus de mon côté. —   Pourrait-il y avoir une fois la même chose des deux côté ? — Jamais. Ah ! oui, si on rajoute une perle dans votre verre. —   Même si on continue très longtemps et qu’on ne voit plus de différence ? — On ne voit plus, mais on sait. »

Rob (5 ;9) : « Plus d’un côté. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en avait déjà une là dedans (on met le cache et il continue). Plus d’un côté. — Si on continuait toute l’après-midi il y en aurait toujours plus ici ? — Oui, il y avait une avant dans celui- là. — Et si on faisait des colliers ? — Celui-là serait plus long. — Comment le sais-tu ? — Parce que j’avais mis une perle avant. — Et si on continue longtemps, longtemps, pour finir ça change ? — Une de plus. »

La différence entre ces réactions et celles du niveau B est sans doute simplement que le sujet ne cherche plus à se représenter les collections elles-mêmes, mais qu’il garde l’image des

collections inégales initiales tout en tirant de la conscience des actions successives d’adjonction par correspondance terme à terme cette conclusion que de telles actions ne comportent aucune raison de modification : d’où la permanence de l’inégalité. Mais on remarque que le sujet Tho qui appartient ici au niveau C en restait au niveau B pour les égalités et ce décalage se répète parfois. L’explication en est sans doute qu’une inégalité étant donnée, les adjonctions par correspondance ne peuvent la modifier si l’on raisonne sur les actions elles-mêmes, parce que cette inégalité tient précisément aux collections initiales, tandis que l’égalité sur laquelle portent les questions 1 (§ 3) est reconstruite à chaque nouvelle adjonction : il est en ce cas moins facile de spéculer sur les actions futures (car alors on ne sait jamais…) que de s’en tenir aux actions déjà effectuées. En bref, la source de l’inégalité, dans cette question II A, étant située dans le passé (= à l’origine des itérations), l’opposition entre les actions futures et les actions actuelles s’estompe notablement, car toutes deux présentent en constance ce caractère négatif de ne comporter aucune raison de changement, tandis que la source des égalités, dans les questions I, étant à chercher et à rechercher en chaque nouvelle action, le passage des actions réelles ou déjà effectuées aux actions virtuelles ou à continuer dans l’avenir est beaucoup plus lourd de conséquences.

On comprend donc que, si récurrence il y a, nous considérerons sa part comme plus importante dans le cas des problèmes I d’égalité que dans celui de ce problème II A d’inégalité.

Avec la question II B, par contre, la part éventuelle de récurrence redevient comparable à ce qu’elle était pour les égalités, puisqu’il s’agit d’inégalités croissantes ou multiplicatives dues à des correspondances 1 à 2 et qu’elles reviennent à conserver, pour chaque nouveau couple de collections n et n’ le rapport n’ = 2 n ou n = 2 n/2. Seulement, si le problème est alors analogue à celui des correspondances terme à terme, il est beaucoup plus difficile pour l’enfant et n’est guère résolu avant 8 ans. Mais l’analyse du développement de ces nouvelles

réactions n’en est que plus instructive car il nous montrera sous une forme plus complexe, ralentie et en quelque sorte grossie ce qu’il s’agit de discerner dans le développement plus simple des conduites de correspondance terme à terme. Nous exposerons les faits en deux temps, d’abord sous leur forme directe (1) et ensuite en les complétant par l’emploi d’une technique de partage de la plus grande des deux collections (2).

(1) Un premier niveau A est celui des sujets qui admettent une inégalité constante entre les deux collections (aucun sujet n’a soutenu une égalité finale des collections puisque chaque adjonction 2 à 1 rappelle sans cesse l’inégalité de construction), c’est-à-dire une inégalité conçue comme absolue et comme égale à 1 ou à 2… Voici des exemples :

Gras (5 ;1) : « Plus là. — Et si on continue longtemps est-ce que pour finir ça sera la même chose ? — Non, toujours plus là. — Beaucoup de plus ou peu ? — Beaucoup. — Combien ? — Deux de plus. —   Pourquoi ? — … — S’il y en a six là, combien y aura-t-il ici ? — Cinq. — Et s’il y en a neuf là, combien ici ? — Huit. »

Mas (5 ;3) place deux perles dans l’un des verres et une dans l’autre. « Il y a plus d’un côté ou non ? — Oui, dans celui-là. — (On met le cache et Mas continue six fois, chaque fois 2 contre 1). Il y a un côté où il y a plus ? — Oui, ici. — Beaucoup plus ? — Non, un de plus. — Pourquoi ? — Parce qu’on met deux ici et un ici. — Tu es sûr ? — Oui. »

Del (5 ;3), avec le cache : « Plus d’un côté. — Si on continue très longtemps, etc. ? — Ce côté aura plus. — Pourquoi ? — Parce qu’on a mit 2 et 1 (Elle continue 7 fois). — Et maintenant combien y en a-t-il ici (on enlève le cache sur la collection simple en le laissant sur la double) ? — (Elle compte) Sept. — Et ici ? — Deux de plus. — Pourquoi ? — On a mis deux et un. (On continue). — Et maintenant combien faut-il en mettre ici pour que ce soit la même chose ? — Deux. —   Une petite fille m’a dit : il faut en mettre beaucoup plus pour que ce soit la même chose. Qui a raison, elle ou toi ? — Moi. »

Gas (5 ;6) : « Plus ici. — Pourquoi ? — Parce que j’avais mis toujour deux. — Quand il y en avait un là, combien y en avait-il ici ? — Deux. —   Et quand il y en avait deux là ? — Trois ici. —   Et trois là ? — Quatre ici. »

Ces réactions si générales du début sont d’un grand intérêt, car elles nous obligent déjà à distinguer ce qui est mal discernable dans le cas de la correspondance terme à terme : ce

que l’on pourrait appeler la « répétition » simple de l’action et son « itération ». Pour ces sujets il n’y a que répétition sans itération : la première action de mettre 2 contre 1 a produit une inégalité de 1, la seconde action consiste comme la première à mettre 2 contre 1 et comporte également une différence de 1, etc., donc la différence finale sera de 1 (ou 2 si le sujet pense aux 2 contre 1) puisque l’action s’est répétée sans cesse. Tel est le raisonnement, à un niveau où les états ou configurations (ici les collections) ne sont point encore conçus en fonction des transformations. Dans le cas de la correspondance 1 à 2, cette répétition sans itération conduit à un résultat absurde et on le distingue donc immédiatement de l’itération des actions, selon laquelle chaque nouvelle différence de 1 va s’additionner aux précédentes. Mais dans le cas des correspondances terme à terme, le résultat des « répétitions » coïncide avec celui des « itérations », puisque l’égalité peut se conserver automatiquement lors des « répétitions » aussi bien que se construire activement lors des « itérations » ; aussi bien rencontre-t-on alors quelque difficulté à distinguer ces deux sortes d’attitudes. Mais nous comprenons maintenant rétroactivement pourquoi, dans ce cas des correspondances terme à terme, les jeunes sujets (dont nous savons dorénavant qu’ils procédaient par « répétition » et non pas par « itération ») se refusaient mystérieusement à anticiper qu’il y aurait « toujours » égalité dans la suite, tandis que l’accès à 1’« itération » autorise cette généralisation.

A un niveau B, qui se prolonge assez longtemps étant donnée la difficulté de la solution correcte (lorsque l’on n’emploie pas la technique des partages à laquelle nous reviendrons sous II), le sujet présente des réactions déjà itératives, mais sans parvenir à l’itération exacte, c’est-à-dire à la proportion du double ou simple. En voici des exemples :

Lar (5 ;9) : « Il y a plus ici parce que vous avez mis 2. —   Quand il y avait un de ton côté, ça fait combien du mien ? — Quatre. — Et deux de ton côté, combien du mien ? — Six. —   Comment tu sais ? — … »

Bru (5 ;11), après une correspondance 1 à 2 : « Il y a la même chose ou plus d’un côté ? — Plus là : il y en a deux. —   (On cache les verres). Tu sauras le jeu : toujours une d’une main et deux de l’autre (refait trois fois). — Toujours plus là. — Sais-tu combien de plus ? — Non je ne sais pas, mais plus. — Une de plus ? — Ah ! non, la première fois oui, mais maintenant il y a plus (qu’une). — Quand il y a 4 ici, combien

crois-tu que là ? — 5 ou 6. Ah ! non, encore plus. — Quand il y avait 1 ici il y avait 2 là, quand il y avait 2 ici il y avait combien là ? — 3, je crois 3 ou 4. — Et quand il y avait 3 ici ? — 4 ou 5, je ne sais pas. — Et quand il y aura beaucoup ici, 10 ? — Plus que 10. — 11 ? — Plus ? —   Combien tu penses ? — 12, non je crois plus : 14. — Pourrait-il y avoir 20 ? — Je crois pas, c’est trop. »

Fer (6 ;0) débute correctement : « Là une, là deux. — • (Deuxième fois). — Là 2, là 3, non 4, c’est 2 et encore 2. —   (Troisième fois). — Là plus. — Combien as-tu ? — 3. — Et moi ? — 4, non je crois plus. Je sais : 6. —   Et si on continue, tu pourrais savoir ? — Non. — Quand ily a 3 d’un côté, il y a 6 de l’autre. Et quand il y a 6 ici il y aura combien là ? — 9. — Pourquoi ? — , Encore 3 de plus. — Et quand il y a 10 ? — 13, non encore 4 de plus. »

On voit que Lar fournit des différences arbitraires, Bru toujours plus que 1 mais pas le double, tandis que Fer commence par comprendre la duplication pour retomber ensuite dans des différences additives, mais croissantes.

Arrivons-en au niveau des réponses correctes C, étant entendu qu’il est faiblement représenté tant que l’on ne complète pas cette technique directe par la question du partage des collections doubles, étant donné le fait qu’avant un certain apprentissage des opérations numériques l’enfant a bien les notions de la moitié et du double mais sans connaître en général la valeur arithmétique du double pour un nombre donné. Il n’en est que plus intéressant de constater que, pour des petits nombres, certains sujets assez formés à la numération parlée peuvent résoudre notre problème. En voici des exemples, à commencer par une fillette de 5 ans 10 mois qui sait compter au-delà de 100 et qui débute néanmoins par une solution de type A (différence absolue), pour comprendre ensuite brusquement la nécessité d’une duplication :

API (5 ;10) met 2 perles contre 1 jusqu’à 6 et 3 : « C’est la même chose ? — Non, on voit (elle compte), là 6 et là 3. —   (On cache et elle continue). C’est la même chose ? — Il y a plus là. — Combien en plus ? — Trois. —   Pourquoi ? — Avant il y avait 3 là et 6 là,, donc il y a toujours 3 en plus. — Et si on continue longtemps ? — Il y aura toujours 3 en plus. —   Un petit graçon pense qu’il y aura beaucoup plus. Il a raison ? — Non. — (On continue). C’est la même chose ? — Non, beaucoup plus. — Combien ? — 10 en plus. — Pourquoi ? — Parce que j’en ajoute toujours deux de plus. —   Les verres seront pleins en même temps, si on continue longtemps ? — 

Un sera plein avant. — Il y aura combien de perles en plus ? — Une de plus. — Compte les perles de ce verre (on laisse l’autre caché). — 24. —   Alors combien dans l’autre ? — Là 24 alors il y en a 25 en plus (par fusion de l’hypothèse de 1 et de l’hypothèse naissante du double). — Si j’ai 10 ici, combien dans l’autre ? — Vingt. —   Si j’ai cinq combien dans l’autre ? — Dix. —   Quand celui-là sera plein, jusqu’où iront les perles de l’autre côté ? — Jusqu’à la moitié (1). — Tu peux m’expliquer ? — Un est la moitié de deux. Au début il y en avait une là et deux là. »

Poi (6 ;0) met six fois de suite 2 contre 1 : « Qu’est-ce que tu penses ? — Il y en a trop ici. —   Combien de trop ? Un ? — Non. —   Combien ? — Cinq (il a compté les répétitions de l’action mais oublié la première pose). — (L’expérimentateur continue quatre fois). — Combien ici en trop — Neuf (=5 4-4). » On demande ensuite à Poi après quelques nouvelles corespondances, d’indiquer la longueur des colliers que l’on pourrait faire avec les perles : il donne pour la collection double un collier approximativement deux fois plus long.

Men (6 ;0) après quelques correspondances : « Quand il y a une perle dans ton verre, combien dans le mien ? — Deux. —   Et quand il y en a deux ? — Quatre. — Et quand il y en a quatre ? — (Il compte intérieurement). — Pourquoi quatre quand il y en a deux ? — Parce qu’on a mis deux contre un. »

Graf (6 ; 11) : « C’est la même chose ? — Non. — Pourquoi ? — On a pris deux en même temps et une dans l’autre. —   Il y a combien de perles là (découvert) ? — Quatre. —   Et là (caché) ? — Huit. — Comment tu sais ? — J’en ai pris 2 et 1. —   Et maintenant il y a combien ici (caché) ? — Dix. —   Et ici (caché) ? — Cinq. — Et s’il y en a six, combien dans l’autre ? — Douze. —   Et dix ? — Vingt. » « Quand ce verre sera plein, l’autre ira jusqu’où ? — La moitié. »

Ces solutions, comparées à celles des niveaux B et surtout A, témoignent assurément d’une « itération » des actions, par opposition à leur simple « répétition » : ce sujet comprenant donc que la différence itérée est chaque fois de « un » au sens d’une nouvelle unité et non plus de la même tautologiquement répétée, le procédé le plus direct pour calculer chaque différence relative est celui de Poi qui compte le nombre d’adjonctions et en conclut qu’il y a autant d’éléments en « trop » qu’il y a eu d’actions successives par correspondance deux à un. De là l’enfant en vient alors naturellement (et spontanément) à comprendre que la collection simple représente la moitié de l’autre, ce que Poi traduit par la longueur des colliers, et ce que Api et Graf expriment explicitement.

De plus, comme les termes de ce rapport du simple au double sont à reconstruire lors de chaque nouveau couple de collections, tandis que dans le cas de la correspondance terme à terme il suffit d’ajouter un de chaque côté lors de chaque action, il est difficile de ne pas penser que, dans le cas particulier, l’itération des actions entraîne une construction quasi- récurrentielle : c’est chaque fois une nouvelle différence qu’il s’agit de déduire de la précédente par un passage de n’ = 2 n à n’+2 = 2(n + l). Or, ici à nouveau la comparaison entre ce processus lié à la correspondance 2 à 1 et celui qui caractérise les généralisations dans la correspondance terme à terme est instructive en ce qui concerne ce raisonnement plus simple. Il ne paraît simple que dans la mesure où l’on confond la répétition des actions et leur itération, mais lorsque l’on fait cette distinction dont les présents résultats imposent la nécessité, on s’aperçoit du fait que la permanence de l’égalité dans le cas de la correspondance terme à terme n’est plus simple qu’en degré par rapport aux différences croissantes dont on vient d’analyser la découverte mais suppose elle aussi une construction complexe conduisant non seulement de la répétition à l’itération, mais encore sans doute de l’induction de possibilité limitée à une quasi-récurrence.

(2) Mais le désavantage de la technique directe qui précède est qu’elle suppose chez les sujets une certaine maîtrise de la numération parlée ainsi que la connaissance de certaines opérations numériques telles que 2X4=8, 2X5=10 ou 2X10 = 20. C’est pourquoi les sujets de 6 ans que nous venons de citer sont-ils exceptionnels pour cet âge. Aussi avons-nous complété l’analyse précédente de la façon suivante (voir § 2 sous II B). Etant données les collections C_n et C’_n (où n est ici le nombre d’actions successives de mise en correspondance 1 à 2), on fait partager C’_n en deux sous-collections C’A et C’B (par correspondance terme à terme) et les questions sont alors simplement de prévoir si C’A = C’B et si C’B = C_n.

L’inconvénient de cette technique est qu’elle nous éloigne de la considération des inégalités comme telles et de la découverte spontanée de la valeur numérique des différences. Mais l’avantage est que, en reposant le problème sous une autre forme, on peut à nouveau chercher comment l’enfant en arrivera à anticiper, de façon quasi-récurrentielle ou autre, la permanence pour tous les nombres de la propriété 2 n : 2 = n. Or, cette nouvelle manière de poser le même problème que sous 1

nous a permis de retrouver curieusement au niveau A une nouvelle manifestation de la distinction proposée (sous 1) entre la répétition tautologique de l’action et son itération. Il s’est souvent produit, en effet, le phénomène suivant qu’une sous- collection x prélevée en 2 n paraît à l’enfant plus grande que la même sous-collection x’ = x prélevée en n et cela par une confusion ou indifférenciation entre la relation de partie à tout considérée en extension ou en quantification numérique et les liaisons dues aux propriétés communes en compréhension (comme si le sujet disait : la collection 2n est « plus nombreuse » que n donc la sous-collection x prélevée en 2 n est plus nombreuse que x’ prélevé en n). Cette confusion témoigne donc d’un niveau prénumérique plus proche du concept que du nombre et c’est précisément cette même attitude prénumérique et plus voisine de la tautologie conceptuelle A+A = A que l’on observe lorsque l’enfant, dans les correspondances 2 à 1 admet l’existence d’une différence absolue de 1 qui ne s’itère pas mais se « répète » tautologiquement lors de chaque nouvelle opération.

Voici de ces sujets du niveau A, dont les réactions consistent à ne pas admettre l’égalité C’B = C_n ni même, une fois qu’elle a été constatée, sa reproduction nécessaire pour les collections ultérieures, la collection C’B paraissant plus nombreuse parce qu’extraite de C’_n :

Han (5 ;11) 1 contre 2 : « 11 y a la même chose dans les deux ? — Non, là il y a une perle et là deux. (On continue 7 fois avec cache). Il y a moins dans l’un et plus dans l’autre. —   Combien de plus ? — Sais pas. —   Une ? — Non, plus. — 2 ou 3 ? — J’sais pas. Plus, je crois. — Il y en à 8 ici, crois-tu qu’il y en a 9 là ? — Non. plus. — Combien ? — 11 ou 12. (On continue 4 fois). — Toujours plus ici. — Et si on continue longtemps, il y aura une fois le même nombre ? — Non, jamais ! — On va partager les perles du verre où il y en a beaucoup (partage de C’_n en C’A et C’B, par correspondance 1 à 1). — Dans les deux verres là (C’A et C’B) il y a la même chose ou pas ? — Une là et une là, oui il y a la même chose. —   Et là (C’B) et là (C_n = verre non partagé) ? — Non, là (C’B) il y a plus. — Pourquoi ? — Parce qu’il y avait beaucoup plus avant (en C_n non partagé). — Et si on pouvait compter ? — Plus ici (C’B). — Mais on l’a partagé ? — Quand même, ça fait plus ! »

Fra (6 :4). Corresp. 1 à 2 (après 3 fois) : « Toujours plus là. —   « Combien ? — 3 ou 4 de plus. — (Après 10 fois). Toujours plus là. — Combien, 1 ? ■— Non, plus qu’un. — 6 ? — Oui,

à peu près. — (On partage C_n). — Même chose dans ces deux là (CA et C’B). —   Et dans les 3 verres ? — Non, plus ici (C’A et C’B). — Pourquoi ? — Parce que là (C’_n il y avait plus. — Mais on n’a pas pris que la moitié ici (C’A). Il y a quand même plus ici (C_n) ?— Oui. — (On enlève les caches). — C’est le contraire : c’est la même chose ! —   Et si on continue longtemps, une ici, deux là et qu’on partage ensuite ça (C’_n), ce sera la même chose (C_D et C’A) ? — On ne peut pas savoir. » On recommence alors le tout mais par correspondance 1 contre 3, (3 en C’_n) et on divise C’_n en trois tiers égaux (par correspondance 1 à I). « Et maintenant là (C_n) et là (C’A) ça fera la même chose ou pas ? — Plus là (C’A) parce qu’il y en avait beaucoup (en C’_n). — Regarde (on enlève les caches). — Ah I la même chose. —   Ça t’étonne ? — Oui. »

On voit d’abord que ces sujets appartiendraient au niveau B avec la technique précédente (1), puisqu’ils pensent que la différence entre C’_n et C_n est de plus que 1, sans pour autant atteindre le double (sauf pour Fra au début). Néanmoins lorsque l’on partage C’_n en deux sous-collections, l’une d’entre elles leur paraît plus nombreuse que C_n pour cette seule raison qu’elle provient de la collection C’_n la plus nombreuse, et sans se douter qu’elle ne peut dépasser le double. En fait, le sujet ne raisonne donc que comme s’il s’agissait de l’extension de classes, à juger intensivement en plus ou en moins, mais sans encore de quantification numérique. Et encore en demeure-t-il à un niveau d’indifférenciation relative entre l’extension et la compréhension, de telle sorte que le caractère « plus nombreux » de la collection C’_n par rapport à la collection C_nleur paraît devoir être délégué aux sous-collections C’A et CB comme s’il s’agissait d’un caractère en compréhension (tel que « en bois » ou « en porcelaine »).

Seulement cette interprétation suppose que l’enfant, n’ayant d’abord donné à la différence entre C_n et C’_n qu’une valeur inférieure à la proportion du simple au double n’en vienne pas en cours de route à considérer C’_n comme supérieure au double de C_n. C’est pourquoi nous avons fait un contrôle sur une série de sujets, consistant à partir de deux collections visibles différant du simple au double et à en faire tirer par correspondance 1 à 1 deux sous-collections égales invisibles, la question portant sur l’égalité ou l’inégalité de ces dernières. Les réactions sont alors décisives. En voici un exemple :

Hou (5 ;4). Correspondance 1 à 2 jusqu’à 10 et 20 (visibles) : « Il y a beaucoup plus ici. — 1 de plus, ou 2 ? — Non beau-

coup. — Tu vois maintenant on prend une là (A) et une là (B) (il le fait trois fois). — Dans tes petits verres (A et B, cachés), il y a le même nombre de perles ou plus dans l’un ? — Plus dans celui-là (B tiré de C’^. —   Continues. Combien de perles sors-tu ? — Une, une ; une, une. —   Tu n’as pas la même chose (en A et B) ? — Non (hésite), oui… non. — (On continue 6 fois). — Peux-tu savoir si tu as la même chose dans les petits verres cachés ? — Pas la même chose, parce que fai pris là (en C’_n > C_n). — Quand on continue jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien dans ce verre (C_n), ça fera la même chose dans ces deux verres (A et B) ? — (Secoue la tête négativement). Non, plus là, moins là. »

On voit que même la correspondance directe un contre un dans les extractions, sans le détour du partage, ne suffit pas à l’emporter sur la tendance à croire qu’une sous-collection est plus nombreuse quand elle est tirée d’un ensemble plus grand. Ce contrôle annonce d’ailleurs les questions III de soustractions et nous retrouverons le même phénomène à propos de la soustraction de quantités égales à partir de quantités inégales (§ 6).

Il est à noter enfin que les réactions de ce niveau, de même que celles du niveau B se retrouvent couramment jusqu’à 7 ans. Quant à la croyance à l’inégalité des sous-collections tirées terme à terme de collections inégales, elle est un peu moins durable mais encore fréquente à 6 ans.

Au niveau B on trouve une série de réactions intermédiaires. (a) La plus élémentaire, qui est cependant en progrès sur celles de niveau A, consiste à admettre l’égalité des trois collections, mais sans autre justification que le fait de les avoir établies par correspondance 1 à 1 (ce qui est une raison pour accepter C’A = C’B mais non pas C’B = C_n en l’absence d’un rappel de la correspondance 1 à 2 initiale) et sans anticipation quant à la suite, (b) Une réaction un peu supérieure consiste à justifier l’égalité des trois collections, mais sans anticipation pour la suite, (c) Enfin on trouve en plus des débuts d’anticipation mais après hésitations :

Cur (5 ;9) est un exemple de la réaction a. Lors de la correspondance 1 à 2 il se refuse à préciser les différences parce que « On est allé vite, on ne peut pas savoir ». Après le partage de C’_n en C’A et C’B, il accepte l’égalité C’A = C’B. « Et les trois, il y a la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que j’ai mis un, un, un. —   Mais pourquoi ça fait la même chose ici (C_n) et là (C’A) ou là (C’B) ? — On voit. —   Et si on continue en rajoutant 1 ici, 2 là et en partageant, si on continue

longtemps comme ça, ça fera le même nombre dans les trois verres ? — Pas le même nombre. »

Top (5 ;9) présente une réaction b. Même début puis on partage C’_n : « C’est la même chose dans les trois ? — Oui. —   Comment le sais-tu ? — Parce que j’ai mis un, un, un. — Et si on continue ? — Ça fera la même chose. — Comment cela se fait ? — On a mis un là (en C_n), et deux là (en C’_n), puis on a partagé (C’_n), alors ça fait la même chose. —   Et si on continue beaucoup, beaucoup de fois ? — Là il y aurait moins. —   Pourquoi ? — Ou bien plus. »

Bee (6 ;7) parvient à la réaction c : « C’est la même chose (les trois collections). — Pourquoi ? — Il y avait plus là et on a partagé. — Tu peux expliquer mieux ? — Là on avait deux et là un, il y en avait plus, alors on a partagé. — Et si on le fait encore beaucoup de fois, en ajoutant 2 et 1 et en partageant, ça sera toujours pareil ? — Il y aura plus dans un et un de moins. — Pourquoi ? — Non, c’est la même chose. —   Tu peux savoir ? — Oui. Parce qu’il y en avait 2 et là I. »

Le fait instructif, en une telle suite progressive de réactions, est l’existence de cas (ici celui de Top) qui fournissent une explication correcte et se refusent d’anticiper pour les collections plus grandes. La raison en est évidemment que le sujet, n’ayant pas trouvé par lui-même en fonction de ses actions répétées, que la différence entre C_n et C’_n sera toujours du simple au double, se borne alors à faire un raisonnement après coup fondé sur le partage de C’_n mais non pas sur le déroulement spontané de ses actions devenues itératives : en ce cas l’extrapolation à « toujours » est plus fragile et a besoin d’un appui sur la suite des nombres considérée comme homogène ; or, l’on sait (voir le vol. XI des « Etudes », en notre Introduction et dans le chapitre de P. Gréco) combien tardive est, chez l’enfant, l’arithmétisation complète de cette série. En bref, les actions itératives se constituent moins précocement pour la correspondance un à deux que terme à terme, à ceux de la complexité intrinsèque du problème, il s’y ajoute que, faute d’une émergence à partir de ces actions elles-mêmes, la généralisation récursive en est rendue plus abstraite, ou pour mieux dire moins immédiate que celles dont nous avons suivi pas à pas la formation en fonction des correspondances un à un.

Ces raisons expliquent donc le décalage du niveau C par rapport au niveau correspondant du § 3. Voici des exemples des réactions de cette dernière étape :

Rhé (6 ;3) après avoir fait le partage, dit sans hésiter : « Oui, il y a le même nombre dans les trois verres. — Tu es tout à fait sûr ? — Oui, tout à fait. —   Et si on faisait ça très longtemps, et qu’on partage après, tu crois qu’on pourrait savoir ? — Ça serait plus vite avec deux (= on verrait plus vite en cas de correspondance terme à terme). — Mais on peut savoir d’avance ? — Oui. — Alors il y aurait le même nombre ou pas le même nombre ? — (11 hoche la tête, négativement puis affirmativement). — Pourquoi ? — Parce qu’on a partagé. On met un là et deux là et puis on partage ! —   Tu es tout à fait certain ? — Oui, tout à fait. »

Sta (7 ;2) : « Mêmes quantités dans les trois, parce qu’on a mis un contre deux et on a partagé. —   Et si on continue très longtemps ? — Toujours la même chose parce qu’on en a toujours mis une. — Mais on en met deux contre une. — Oui, mais on partage. »

Rou (7 ;4) : « Moi j’ai fait deux, vous un et après on a partagé. —   Alors ? — Tous la même chose. — Et si on employait toujours plus de perles ? — Toujours la même chose. —   Tu es certain ? — Oui. — Mais sans l’avoir fait tu peux savoir à l’avance ? — Oui. — Et c’est tout à fait certain ? — Oui. »

On voit ainsi que dès les débuts du stade des opérations concrètes une propriété peut être généralisée d’un couple de nombres correspondant au suivant pour autant que la démonstration trouvée par le sujet prolonge ses actions itérées de mise en correspondance, ce qui n’était pas le cas au niveau B pour la correspondance un à deux mais le devient au présent niveau dès 7 % à 8 ans en moyenne.

Faisons d’abord le point, pour mieux saisir l’intention des questions dont nous allons traiter. L’étude des questions I (§ 3) nous a montré l’existence d’une forme de déduction conservant les égalités particulièrement précoce en tant que fondée sur l’itération des actions d’ajouter en correspondance terme à terme. Mais trois interprétations peuvent en être données : quasi-récurrence, conservation simple ou application de l’axiome de grandeur. La question IIA (§ 4) portant sur la permanence d’une inégalité additive nous a mis en présence d’un problème légèrement différent et à certains égards plus

simple, ce qui parle en faveur du caractère plutôt récurrentiel du problème précédent. La question II B (§ 5) portant sur les inégalités multiplicatives liées à la correspondance deux à un nous a ramené par contre à un problème quasi-récurrentiel, dont nous avons vu les analogies, mais en plus complexe, avec celui des égalisations terme à terme. Il convient donc maintenant de chercher à nous orienter dans la direction de l’axiome de grandeur, et pour ce faire, à aborder les questions III de soustractions de quantités égales à partir de quantités égales ou inégales, le tout toujours par correspondance terme à terme.

On construit deux rangées Ri et R₂ de 20 à 25 perles ou « chemins » parallèles par correspondance terme à terme, l’enfant posant une perle sur son chemin pendant que l’expérimentateur en pose une sur le sien. Ces chemins sont de longueurs égales ou inégales (comme les verres du § 3 sont de formes identiques pour les questions I A et différentes pour les questions I B), mais, s’ils sont de longueurs égales on enlèvera les perles en des points différents sur l’un et sur l’autre de manière à empêcher que les jugements sur l’égalité des restes ne soient portés que par inspection perceptive. Une fois les « chemins » construits (ils ont tous deux environ 50 cm ou l’un 50 et l’autre 30), on enlève des couples de perles par correspondance terme à terme, l’une prise sur le premier des chemins et l’autre sur le second (mais donc en des endroits non correspondants spatialement), et l’on dépose ces perles l’une dans un verre V, correspondant au chemin R^ et l’autre dans le verre V₂ correspondant au chemin R₂. Après quelques soustractions, la question est alors d’indiquer, d’une part, s’il reste autant de perles en R_t et en R₂ (chemins) et, d’autre part, s’il y a autant de perles dans les verres et V₂.

Ces questions une fois résolues dans un sens ou dans un autre, on peut aussi (et nous l’avons fait tantôt sur les mêmes sujets tantôt sur d’autres groupes d’enfants) soustraire des quantités égales à partir de quantités inégales : une fois les rangées Ri et R₂ construites par correspondances terme à terme, on ajoutera une ou n perles à l’une de ces rangées, de façon bien visible pour l’enfant (en en mettant sur un coin de la table une ou n perles témoins comme aide-mémoire) et l’on posera les mêmes questions de soustraction : en ce cas les perles enlevées formeront des collections égales dans les verres Vj et V₂ tandis que les restes seront inégaux en Ri et R₂ (mais à nouveau sans que l’estimation puisse être fournie par voie simplement perceptive).

On voit ainsi que, tout en constituant l’inverse des questions d’addition du § 3, ces nouvelles questions peuvent être considérées comme se rapportant directement à l’axiome des grandeurs d’Euclide (de deux quantités égales soustraire deux quantités égales redonne deux quantités égales) puisqu’il s’agit de comparer entre elles les quantités restantes tout en comparant par ailleurs entre elles les quantités soustraites. Ces questions sont en outre exactement pareilles à celles que nous avions étudiées jadis en termes de surfaces : de deux grandes surfaces égales (deux prés), enlever par correspondances terme à terme des surfaces partielles égales (maisons construites sur les prés et diminuant la surface d’herbe) et juger si les surfaces restantes sont les mêmes ^x. Or cette épreuve n’est réussie qu’à 7 ans (70 %) parce qu’il y intervient une notion de conservation, les surfaces restantes n’ayant pas la même forme (les maisons étant massées au coin de l’un des prés et dispersées sur l’autre). Il est donc intéressant de chercher si le problème des soustractions de perles sera résolu au même niveau précoce que celui des égalités par itération (§ 3) ou plus tardivement comme celui des soustractions de surface.

(A). Voici d’abord des réactions du niveau initial A :

GRA (5 ;1)². On fait avec l’enfant deux rangées de longueurs égales : « Même chose. —   Et maintenant (on enlève une perle à chaque extrémité) ? — Oui. — Pourquoi ? — Vous avez enlevé deux. — (On enlève une de chaque côté vers le milieu). Et maintenant ? — Oui, parce que vous enlevez une là et une là. — (On en enlève cette fois trois de chaque côté mais à des endroits différents de telle sorte que les rangées restantes sont devenues assez dissemblables). 11 y a la même chose ou plus d’un côté ? — Il y a plus ici. — Pourquoi ? — Parce que vous enlevez trois là et trois là. — Mais ça veut dire qu’il y a plus ou que c’est la même chose ? — Plus d’un côté. —   Et si je continue comme ça, il n’y aura pour finir plus de perles des deux côtés ou bien il en restera une là ou là. — Il en restera une là. —   (On remet les rangées en correspondance optique). — Ah ! c’est la même chose. »

Cot (5 ;6). Deux rangées de même longueur : « C’est la même chose. —   Pourquoi ? — Parce qu’on met une par une. —   (On enlève une perle aux extrémités droites de chaque rangée). Et maintenant ? — C’est la même chose : on enlève deux et

1 Voir La géométrie spontanée de l’enfant, chap. XI.

2 Voir ses réactions au § 3.

puis il reste encore la même chose. — (On enlève une perle au milieu de la première rangée et une autre à l’extrémité de la seconde rangée). — Il n’y a pas la même chose parce qu’on a enlevé une et là aussi. — Ce n’est pas la même chose de perles des deux côtés ? — Non. — (On recommence de la même manière). — Ce n’est pas la même chose. — De quel côté il y a plus ? — Là (montre un bout qui dépasse). — Pourquoi ? — Parce qu’on en a enlevé deux là (montre la rangée devenue moins longues et à éléments plus serrés). — Si on continuait à enlever une là et une là jusqu’à la fin, est-ce qu’il n’y aurait plus de perles en même temps des deux côtés ou bien il en resterait d’un côté seulement ? — Il en resterait plus là (rangée desserrée). — Pourquoi ? — Parce qu’on en a enlevé deux des deux côtés (!). — On a enlevé 2 là et 2 là et il en reste quand même plus là ? — Oui. — Si on faisait un collier avec ces perles et un autre avec celles-là ? — Celui-là serait plus long. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a enlevé seulement là (au milieu d’une rangée) et l’autre côté on a enlevé là (extrémité de l’autre rangée). — Si on enlève tout le temps une perle des deux côtés, il y a un côté qui finit avant ? — Oui, celui-là (rangée serrée). »

Guy (6 ;0) réagit par contre sans cesse en disant « On peut pas savoir (sans compter) » et finalement « Sur ce chemin il y en a plus parce que c’est plus long » (on a enlevé deux perles à une extrémité tandis que c’était au milieu pour l’autre rangée).

Voici maintenant des cas de soustraction de quantités égales à partir de quantités inégales :

Mag (5 ; 1 ). On construit deux rangées égales. « Et si j’ajoute une perle ici, ça reste la même chose ? — Non, une de plus sur mon chemin. —   Maintenant on enlève une ici et une là, etc. (plusieurs fois). Il reste la même chose sur les chemins ? — Non, plus ici (son chemin). — Et dans les verres (où l’on a mis les perles enlevées, chaque fois l’une dans un verre et l’autre dans l’autre) il y a le même nombre ? — Non. — Pourquoi ? — Là, plus (son verre) parce qu’ici (son chemin) il y a une de plus. —   Alors si on prend la même chose des deux côtés ou qu’on met dans les verres il y a plus dans le tien si on les prend sur le chemin plus long ? — … — Pourquoi une de plus dans ton verre ? — … — Si on enlève encore une

perle ici et une là il reste la même chose sur les chemins ? — 

Non. —   Où plus ? — Ici, une. — Et si on continue longtemps

il en restera combien sur ton chemin ? — Une. — Et sur le

mien ? — Une aussi. — Tu es sûre ? — Oui. — (On continue). Même chose ? — Une de plus ici (son chemin). — Et dans les verres ? — Moi plus. »

Bes (5 ; 10). Différence de 1. On soustrait 1 à 1 plusieurs fois : « Il y a la même chose sur les chemins ? — Non, on a rajouté

un ici. — Et dans les verres ? — Pas la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’on a rajouté un sur ce chemin. — Ça ne fait rien qu’on ait mis à la fois une perle dans chaque verre ? — — Ça ne fait rien. — Et si on continue beaucoup de fois. — H y aura un de plus ici (chemin). — Et dans les verres ? — Pas la même chose. »

Ocs (6 ;5). Différence de 1. Après quelques soustractions : « Le même nombre sur les deux chemins ? — Non. —   Où plus. — Là (juste). — Pourquoi ? — Parce qu’on les a mis serrés. —   Combien de plus de ce côté ? — Je ne peux pas savoir. —   Mais au commencement on a rajouté combien ? — Un (mais la configuration serrée semble à Ocs constituer une raison de plus). — Et dans les verres il y a la même chose ? — Non. —   On les a toujours mis un là et un là (dans les verres) ? — Oui. — Et il n’y a pas la même chose ? — Non. »

Pour ce qui est des soustractions à partir de quantités égales, on voit que les sujets ne croient nullement à l’égalité des restes pour cette raison que les rangées, bien qu’initiale- ment de longueurs égales (pour les sujets cités) changent de configuration au fur et à mesure des extractions : il se produit alors le même phénomène qu’à propos des épreuves de conservation, les rangées les plus longues et les plus espacées paraissant les plus nombreuses bien qu’ayant été construites en correspondances terme à terme. Quant à ces sujets, on a omis de les interroger sur l’égalité des quantités soustraites (faute d’avoir imaginé d’emblée la technique complète avec verres) mais on peut penser qu’ils auraient, comme les sujets du second groupe, douté également de l’équivalence des ensembles de perles retranchées. Nous sommes en possession, à cet égard, d’une standardisation de l’épreuve du marchand (échange d’un sou contre un objet jusqu’à neuf fois de suite), conduite par Vinh-Bang et B. Inhelder, et dans laquelle on demandait de juger (a) de l’égalité des sous et des marchandises au cours d’un premier échange direct et (b) de l’égalité des restes pour un échange inverse s’arrêtant à mi-chemin (il reste par exemple 4 objets chez l’enfant qui doit en déduire qu’il reste 4 sous dans la main du partenaire) : or les réponses correctes à ces deux questions ne sont que de 4 % à 4 ans, 46 % à 5 ans, 64 % à 6 ans et 88 % à 7 ans.

Quant aux soustractions à partir de quantités inégales, cette inégalité se perd au cours des soustractions par correspondance (sauf chez Ocs), mais la réaction la plus surprenante et qui semble à peu près générale à ce niveau est le refus de croire à l’égalité des collections soustraites pour cette raison

que les perles x tirées de la rangée la plus nombreuse doivent être elles-mêmes plus nombreuses que les perles x’ tirées de la rangée moins nombreuse quand même les sous-collections x , et x’ ont été obtenues par correspondance terme à terme ! La

réaction s’impose même tellement à l’enfant que Ocs, par exemple, tout en réussissant à conserver l’inégalité des rangées, échoue à admettre cette égalité des perles soustraites. Nous gavons déjà signalé ce phénomène (§ 5 sous 2) à propos du partage de la collection 2n faisant croire que la sous-collection tirée de 2n par dimidiation vaut plus que la collection n correspondante. Mais en cette situation la correspondance entre n et la moitié de 2n n’est qu’indirecte sauf dans les cas de contrôle, tandis que dans le présent cas on tire x et x’ par correspondance terme à terme directe des deux rangées inégales et celles-ci ne diffèrent elles-mêmes l’une de l’autre que d’un terme ! Et, quand l’enfant affirme que x > x’, on lui rappelle en général qu’il y a eu correspondance terme à terme : à quoi Bes répond tranquillement que « Ça ne fait rien », comme s’il était évident pour chacun qu’une sous-collection tirée d’une collection plus nombreuse doit elle-même être plus î, nombreuse^x.

Au total les réactions de ce niveau A montrent que l’axiome de grandeur n’a rien d’une évidence première et que si l’on est tenté d’y recourir plutôt qu’à une quasi-récurrence pour expliquer les raisonnements précoces du § 3, il reste à expliquer sa constitution graduelle, ce qui concerne les niveaux B et C à examiner maintenant.

(B). Les réactions intermédiaires de type B consistent sans plus à osciller entre les exigences de la correspondance terme à terme et les influences figurâtes ainsi que dans la confusion préconceptuelle entre la compréhension et l’extension, faisant croire qu’une sous-collection extraite d’une collection plus nombreuse contient de ce fait même plus d’éléments :

Ber (6 ;7). Une perle de plus sur l’une des rangées. Après quelques soustractions : « Même nombre dans les deux verres ? — Oui, le même. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a mis chaque fois une perle. —   Quand il y aura deux perles sur ce chemin, il y en aura combien sur l’autre ? — Trois (juste). — Et si

[. 1 Nous avons à nouveau vérifié la fréquence de ce phénomène, indé-

I pendamment des rangées correspondantes, en présentant deux collections très inégales de perles (4 < B) et en tirant x et x’ par correspondance terme à terme : en ce cas les Jsunes sujets affirment que x > x’ si x est tiré de B 11 et x’ de A !

on a mis dans les verres tout ce qu’on a pris, ça fera la même chose ? — Non, plus dans un verre, parce qu’il y en a un de plus ici (rangée). — Oui, mais on ne les met pas tous. — Un tout petit peu plus. — Combien ? — Un en plus. —   Pourquoi ? — Sais pas. »

JAO (6 ;11). Rangées inégales, après quelques soustractions : « Plus ici, parce qu’on avait remis une perle avant. — Et dans les verres ? — Il y a la même chose de perles parce qu’on en avait remis toujours une (contre une). » Mêmes réactions plusieurs fois, jusqu’au moment où elle pense qu’il y a une perle de plus dans son verre parce qu’on avait « rajouté une perle » à sa rangée, puis : « Non, on les a mises en même temps dans les verres », la correspondance l’emportant donc finalement.

(C). Quant au niveau C il est caractérisé par le primat immédiat et définitif de ces correspondances, ce qui n’est guère le cas avant 7 ans en moyenne :

Can (7 ;6). Rangées inégales : « Si on continue jusqu’au bout ? — H y a plus de votre côté parce qu’on a rajouté une perle. — Quand je serai à 2 il y aura combien sur ton chemin ? — 1. —   Et dans les verres ? — Toujours la même chose. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a mis les deux ensemble. »

En conclusion, ces réactions à une situation relevant de l’axiome de grandeur ne témoignent d’aucune antériorité de formation sur les itérations précoces du § 3 parce que pour trouver des quantités égales ou inégales B ou B’ en soustrayant de quantités égales ou inégales Aj ou A\ deux quantités égales A₂ ou A’₂ il faut (a) conserver l’égalité Aj = A’, ou l’inégalité Ai < A\ et conserver l’égalité A₂ = A’₂. Or, ni l’inégalité Ai < A\ ni les égalités Aj = A’j et surtout A₂ = A’₂ne se conservent sans plus, tant à cause des changements de configuration des collections qu’à cause des difficultés de l’inclusion faisant croire, aux niveaux préopératoires, qu’une sous- collection hérite de l’extension de la collection totale comme de sa compréhension. Pour vaincre ces obstacles et assurer ces conservations il faut donc utiliser des moyens non donnés comme tels dans l’axiome de grandeurs, et ces moyens sont ici relatifs à l’itération des correspondances termes à termes, ce qui nous renvoie aux mêmes problèmes qu’aux § § 3-5. Il nous paraît donc exclu d’expliquer les inférences quasi-récurrentielles transférant les égalités successives d’un couple de collections à un autre (niveau C du § 3) par l’axiome de grandeur, les réactions adéquates à ce dernier étant à la fois génétiquement plus tardives et structuralement plus complexes.

Il nous reste à examiner la question suivante (car, avant l’expérience, on ne sait jamais si une question est secondaire ou essentielle) : si les termes correspondants a et d, b et b’, c et c’, etc., ne sont égaux qu’en correspondance, a = a’, b = b’ et c = c’, mais sont inégaux en leur succession « g i g c etc., les inférences dont nous cherchons à déterminer la nature en seront-elles altérées ou non ? Le caractère privilégié de la série des nombres tient, en effet, sans doute à l’homogénéité des unités successives a = b = cl’unité 1 ayant toujours la même valeur en n+1 quelle que soit la valeur de n.

L’expérience a été faite au moyen de liquides, que l’on ajoute les uns aux autres au moyen de petits récipients 1-5 égaux par couples mais différents d’un couple à l’autre. Les quantités totales s’additionnent dans de grands verres soit de mêmes formes et dimensions A = A’, soit l’un bas et large A et l’autre mince et élevé B. Pour le dire d’emblée les résultats obtenus ont été les mêmes qu’avec les perles homogènes tant qu’il y avait addition en des verres de mêmes formes A et A’, tandis que le problème n’est résolu en moyenne que vers 8 ans pour les verres de formes différentes A et B, soit beaucoup plus tard qu’avec les perles (question I B : § 3) et même avec un léger retard par rapport aux épreuves de conservation par simple transvasement de liquide (réussite : 75 % à 7 ans). Il valait donc la peine d’étudier cette question.

Les questions se posent de la manière suivante. Dans la première partie de l’interrogation IV A on utilise les grands verres A = A’ soit transparents soit opaques (entourés d’une gaine). Les deux séries de petits verres 1-5 sont alignées devant l’enfant, par couples égaux 1 = 1’, etc. (a) On prend d’abord les petits verres 1 et 1’ et on fait vérifier l’égalité de leurs contenances, puis on les remplit l’un d’un « sirop » rouge l’autre d’un sirop jaune. On les verse respectivement en A et A’ et l’on demande si les quantités versées sont les mêmes, (b) On procède de même avec les petits verres 2 et 2’ puis 3 et 3’ en demandant si les quantités totales en A et A’ sont égales ou sont devenues différentes, (c) Après quoi on demande d’antici-

per les résultats pour 4-4’ et 5-5’ et finalement (d) avec ou sans vérification à 5-5’, on demande si en continuant ainsi très longtemps avec des verres totaux A A’ bien plus grands, on conserveraient ou non l’égalité, (e) La réponse une fois donnée, on attire l’attention du sujet sur les inégalités successives entre les couples 1,1’ ; 2,2’ ; 3,3’ ; etc. et on demande si ces inégalités permettent « quand même » l’égalité finale ou la modifient, etc., avec ensuite suggestion contraire (« un enfant m’a dit… etc. ») quelle que soit la réponse pour s’assurer du degré de conviction. Cette première partie de l’interrogation une fois terminée, on passe à une seconde partie B avec les grands verres inégaux A et B, en posant à nouveau les mêmes questions particulières a à e.

IV A. Nous n’allons pas insister sur le détail des questions a à b, qui donnent lieu avec les liquides, à des réponses tout à fait analogues à ce que nous avons vu au § 3 avec les perles (7 A), puisqu’il y a à nouveau correspondance terme à terme et que les grands verres A et A’ sont égaux quoique de contenu invisible :

On ne trouve aucune négation de l’égalité, mais parfois des hésitations : « Je ne peux pas voir. — Peux-tu savoir quand même ? — Non. — Et si on voulait boire ? — Oui, c’est la même chose. —   Comment le sais-tu ? — Je crois mais je ne sais pas » (Cha, 5 ;4). On trouve surtout des affirmations immédiates : « C’est la même chose parce qu’on a mis la même chose dans les petits verres » (Jea, 5 ;8). Ou : « Je suis sûr que c’est la même chose parce qu’on avait la même chose les deux dans le même verre (montre 1 et 1’, etc.) » (Dan, 6 ;6), etc.

Quant aux questions c et d d’anticipation, on retrouve les trois niveaux A, B et C de non généralisation, d’oscillation puis de déduction justifiée par les itérations :

Wa (5 ;6) est du niveau A : « Si on continue avec les verres (4 et 4’ ; 5 et 5’) ce sera la même chose ? — Non, on ne peut pas savoir. — Et si on continue longtemps à verser la même chose avec les deux petits verres, ça fera la même chose ici (A et A’) ? — On peut pas savoir à l’avance. »

Luc (5 ;8) est du niveau C : « Toujours la même chose parce qu’on a mis toujours la même chose dans les verres (montre les couples de petits verres). »

Par contre, il est intéressant de noter les réactions à la question e, qui consiste à faire remarquer à l’enfant l’inégalité

des couples successifs 1,1’ puis 2,2’, etc., et à lui demander de répondre à l’objection possible. On ne trouve pas, en ce cas, de changements d’opinions, mais parfois des hésitations passagères suivies de retour à l’égalité avec ou sans explications valables, ou des égalités maintenues d’emblée et fondées sur la correspondance entre les sous-ensembles :

Yvo (5 ;6) commence par hésiter : « Tu peux savoir ? — Non, ils sont pas de la même grandeur. —   Alors il y a ici (les grands verres A et A’) la même chose ? — Non. — Mais avant, tu disais que ce serait la même chose ? — Oui, ce sera la même chose. —   Et pourtant ceux-là ne sont pas de la même grandeur (1 et 2, 3, etc.) ? — Ça ne fait rien, parce que ça (1) c’est la même chose que ça (1’), et ça (2) que ça (2’), etc. »

Ris (5 ;3) : « Ça fera la même chose quand même ? — Oui, mais ils sont tous de la même grandeur, ces deux et ces deux (par paires). — Alors la différence ne fait rien ? — Tant pis, parce que l’un à côté de l’autre, il y a quand même la même chose ! »

Gab (6 ;4) : « Ceux-là (1, 1’) ils sont toujours de la même grandeur et vous mettez toujours la même chose dedans. »

Eve (7 ;2) : « Ça fait rien s’il y a deux mêmes grandeurs là dedans (par paire). S’il y a un qui est plus grand et un qui est plus petit (par paires), alors ça serait pas la même chose, mais comme ils sont la même grandeur alors c’est la même chose. »

On voit ainsi la remarquable résistance que présente, et cela dès 5 ans, la correspondance terme à terme en tant que facteur d’égalisation, malgré les différences inter-groupes (1, 2, etc.) sur lesquelles on insiste avec un accent intentionnel de suggestion. Or, comparé à ce qui va suivre, ce résultat est très instructif pour notre propos, puisqu’il y a contraste complet entre une telle résistance, tant que l’on procède pas à pas par correspondance terme à terme, et la non-conservation des totalités A et B dès que l’on verse le contenu des petits verres correspondants en de grands verres de formes inégales. La raison en est évidemment que, au fur et à mesure du remplissage, les petits verres 1 et 1’, etc., constituent des objets semi-discrets et semi-dénombrables, tandis que dans les grands verres les quantités deviennent continues : en cas de grands verres égaux A et A’, les correspondances antérieures entre petits verres semi-discontinus suffisent alors à maintenir l’égalité, mais si les récipients finaux A et B sont de formes différentes ces correspondances antérieures ne sont plus suffisantes. Il s’agit

donc maintenant de chercher pourquoi, car dans le cas des perles (question I B § 3) les correspondances aboutissent précisément bien mieux à l’égalisation finale et presqu’aussi bien que dans les verres égaux !

IV B. Pour résoudre ce problème des verres inégaux A et B il peut être utile de reprendre l’analyse niveau par niveau :

Voici d’abord des exemples de réactions initiales (niveau A):

Ris (5 ;3). Transvasement de 1 et T : « Y a-t-il la même chose ici et là (verres A et B découverts ? — Non, moi j’ai peu. — Et quand je verserai ça (2 et 2’) ? — Non, parce que là (A) il y en aura plus peu que là (B), alors ça continuera : là il y en aura (encore) plus (On transvase). Là il y en a plus peu (A) et là (B) beaucoup. —   Et pour ça (3 et 3’) ça donnera la même chose ? — Non, parce que là (B) ça continue plus haut et là (A) plus bas.. S’ils seraient la même chose, ces deux pots, alors ça serait la même chose. Bien sûr que moi (A) je pourrai pas vous rattrapper, parce que ça (B) c’est plus grand que ça (A). — Mais pourtant on a versé la même chose de sirop (en A et B) ? — Non (Ris l’admettait fort bien pour les verres égaux comme on l’a vu à l’instant : « Tant pis parce que l’un à côté de l’autre… » etc.). — Mais il y a la même chose ici (1 et 1’, etc.)? — Oui. — Et maintenant ? — Non vous avez plus. — Pourtant, tout à l’heure (partie I) tu m’avais dit que même sans voir on savait qu’il y avait la même chose parce qu’on avait mis la même chose dans les petits verres ? — Non, parce que celui-là (B) est plus grand. —   Une petite fille m’a dit qu’il est plus haut mais plus mince et qu’alors ça fait la même chose. — Non, elle se trompait, c’est pas la même chose. »

Mie (5 ;6). Même début pour 1 et 1’. A 2 et 2’ : « Il y a plus là (B) parce que là (A) il y a peu et là beaucoup. Je vois. » 3 et 3’ : mêmes réactions. « Et si on continue ? — Là toujours plus, etc. — Un petit garçon m’a dit que c’est pareil parce qu’on a toujours versé des petits verres la même chose : 1 et 1’, etc. — Il a raison, parce qu’il y avait la même chose dans les petits verres. — Alors il y a la même chose (en A et en B) 7 — Non, plus là et moins là. »

Pour mieux comprendre ces résistances initiales, examinons maintenant les cas intermédiaires (niveau B) ;

Dan (5 ;7). 1 et 1’ : « Non, ce n’est pas la même chose : ici (B) c’est plus haut. —   Avant c’était pareil ? — Oui, mais ce bol est plus haut. — (2 et 2’). — Même chose, mais pas tout à fait :

c’est plus haut. — Plus de sirop ici (B) ? — La même chose. —   (3 et 3’). — Même chose, mais celui-là est plus haut. — Si on continue ? — Ça (B) viendra tout haut et ça (A) jusqu’ici. —   Si tu veux boire, lequel sera plus ? — Ça (B). — Ça fera plus à boire ? — Non, ce sera la même chose. —   Comment sais-tu ? — Parce que c’est trop haut. » Question e : « Tu vois que ces petits verres (1, 2, 3, etc.) ne sont pas de la même grandeur. Si on verse tout ça (1 et 1’, 2 et 2’, etc.) là dedans (A et B), on peut savoir à l’avance s’il y a plus d’un côté ou la même chose ? — Là (B) plus et là (A) moins. — Un petit garçon m’a dit que c’est la même chose. — Je n’avais pas raison : ça (B) c’est plus haut. — Mais maintenant ? — Même chose, mais c’est plus haut. »

Hen (6 ;5) présente les mêmes oscillations : « La même chose… mais pas tout à fait parce que là c’est plus mince », etc., jusqu’au moment où on lui rappelle les petits verres : « Qu’est-ce qu’on avait ici (1 et 1’, etc.) ? — On a mis le sirop. — C’était la même chose ou pas ? — Oui. — Alors ici (A et B) c’est la même chose ou pas tout à fait ? — (Hésitation). Pas tout à fait parce que c’est plus mince. — Mais à boire ? — On aurait la même chose. »

En bref, tant qu’il y a centration sur le résultat final, la solution est indécidable pour des raisons figurales et dès qu’il y a rappel des correspondances terme à terme il y a reconnaissance de l’égalité. Mais le problème subsiste de comprendre pourquoi ce rappel ne se produit que si tardivement sous une forme spontanée. Voici deux exemples de ce niveau C :

Luc (6 ;0) : « (1 et 1’) Ça fait la même chose ? — Oui, mais on dirait que dans le tien il y a plus. — Comment peut-on savoir qu’il y a la même chose ? — Parce qu’il y avait la même chose ici (1 et 1’). — (2 et 2’) Oh ! Ce qu’il est rempli le tien ! —   As-tu moins que moi ? — La même chose », etc. « Et si on continue ? — Ce sera la même chose parce qu’on met toujours la même chose dans les pots (montre 1 et 1’, 2 et 2’). — Et si on continuait encore très longtemps ? — Ça serait toujours la même chose. »

Gil (7 ;6) : « Même chose. — (3 et 3’). — La même chose dans les deux. — Comment sais-tu ? — Parce qu’il y avait la même chose dans ces deux (1 et 1’) et dans ces deux (2 et 2’), etc. »

Or, ces réactions de conservation immédiate ne se produisent qu’entre 7 et 8 ans pour le 75 % des cas, ainsi qu’en témoigne le tableau récapitulatif suivant (11 sujets par âge):

Tableau II :

Réactions aux questions IV d’égalité des liquides.

Rappelons, d’autre part, que la conservation des liquides (transvasements en des verres différents est affirmée d’emblée par le 4 % des sujets à 5 ans, le 18 % à 6 ans et le 74 % à 7 ans, tandis que celle des perles l’est par le 22 % des sujets à 5 ans, le 54 % à 6 ans et le 96 % à 7 ans. Il est donc évident que le caractère discret et dénombrable des perles en favorise la conservation (ce n’est pas leur propriété solide car la conservation de la substance, dans l’épreuve des boulettes d’argile n’est acquise que par le 32 % des sujets à 7 ans et le 72 % à 8 ans), tandis que le caractère continu du liquide constitue un obstacle.

Dans le cas des présentes épreuves, où il ne s’agit pas de simples transvasements mais d’une construction par adjonctions correspondantes, on voit que les correspondances répétées aboutissent à une sérieuse avance sur les épreuves de conservation, pour les liquides eux-mêmes comme pour les perles, tant que les récipients finaux sont de même forme (mais à contenu masqué), alors que, pour des récipients de formes

différentes, le retard est notable pour les liquides et insignifiant pour les perles. On peut en ce cas invoquer deux facteurs possibles : celui, à nouveau, de la continuité et de la discontinuité et celui de l’inégalité des couples successifs de petits verres correspondants (1 égal à 1’ mais différent de 2 ; etc.). Pour décider entre ces deux facteurs, nous avons fait un contrôle en présentant des couples successifs avec égalités intercouples et intra-couples. On pouvait, en effet, se demander si l’égalité des ensembles était plus facilement anticipée en cas d’égalité complète des sous-ensembles, ceux-ci pouvant être assimilés plus facilement aux unités discrètes et numériques. Or, les quelques sondages faits semblent indiquer qu’il n’en est rien et que l’enfant se trouve en face de la même opposition entre la construction itérative et le résultat global en apparence différent qu’en cas de sous-ensembles composés d’inégalités inter-couples et que la solution de problèmes par quasi-récurrence est alors solidaire de la conservation des liquides lors du transvasement.

On présente deux verres de formes différentes et cinq couples de petits verres tous égaux et on emploie la procédure traditionnelle : après transvasement du premier couple on cache les grands verres et on ne les découvre qu’à la fin (ce qui renforce sans doute l’effet de contraste). A 5-6 ans on ne note que peu de prise de conscience du mode de construction, les résultats en fonction de l’équivalence finale s’appuyant davantage sur des comparaisons. Les résultats, qualitatifs et numériques (qu’il est inutile de citer en détail) parlent en faveur de difficultés de même degré pour les deux procédures inter- et intra-couples. L’identité ou la non-identité entre couples ne semble donc pas jouer de rôle important, même en cas de quantités continues. L’essentiel reste le conflit entre le mode de construction et le résultat en apparence inégal ; et ce qui est très tardif est la mise en relation des itérations et des conservations avec possibilité de passer des unes aux autres L

1 II n’est même pas impossible que les sous-ensembles égaux donnent lieu à un léger retard, l’enfant ayant alors moins besoin de tenir compte des égalités par couples.

Notre hypothèse étant que le caractère précoce des raisonnements décrits au § 3 (égalités des collections de perles) tenait, d’une part, aux actions de mises en correspondance successives mais aussi, d’autre part, au fait que ces correspondances étaient numériques (portant sur des unités toutes égales entre elles), un premier contrôle nous a été fourni par les épreuves du § 7 précèdent : lorsqu’il s’agit de liquides et que les quantités ajoutées ne sont pas égales d’un couple de correspondance au suivant, on observe un certain retard par rapport aux correspondances de perles. Il nous reste à compléter ce contrôle en utilisant des quantités à la fois continues et dénombrables, telles que des paires de réglettes dont la mise bout à bout constituera deux chemins caractérisés par leurs longueurs, mais qui restent séparables et peuvent donc donner lieu à des dénombrements ou (ce qui est seul demandé) à des jugements d’équivalence numérique indépendamment des longueurs.

On présente au sujet une certaine quantité de réglettes de cinq longueurs distinctes (8, 6, 4, 2 et 1 cm) qui seront alignées par l’enfant en une boîte à deux coulisses parallèles, mais recouvertes de manière à ce que le sujet ne perçoive jamais le résultat de ses manipulations. On commence par habituer l’enfant à distinguer le nombre des réglettes et leur longueur ou la longueur du chemin qu’elles formeront en les mettant bout à bout. Après quoi on pose les cinq sortes de questions suivantes en insistant toujours, d’une part, sur les égalités ou inégalités résultant des actions déjà effectuées et, d’autre part, sur la prévision de ce que donnerait la continuation de ces actions :

(a) Nombres égaux de réglettes et longueurs égales, intercouples (d’un couple au suivant) aussi bien qu’intra-couples.

(b) Nombres égaux et longueurs intra-couples égales mais longueurs inégales inter-couples (comme dans l’épreuve des liquides au § 7).

(c) Nombres égaux et longueurs intra-couples inégales avec différence absolue constante (une suite de petites réglettes correspondant terme à terme à une suite de longues).

(d) Nombres inégaux (simple au double) et longueurs intra- couples et inter-couples égales, en ce sens qu’à chaque longue réglette correspondent deux courtes constituant chacune la moitié de la longue, de façon constante.

(e) Correspondance terme à terme entre éléments égaux mais avec une adjonction, de telle sorte qu’à n éléments d’un côté correspondent n + 1 éléments de l’autre, les longueurs totales différant par cette seule adjonction ; ou encore avec insertion d’un élément plus long que les autres mais en respectant les égalités numériques.

Nous avons en outre posé des questions de soustractions analogues aux questions III (§ 6), en déposant dans de grands verres les éléments soustraits terme à terme à partir de chemins égaux ou inégaux.

Il est inutile, pour le but de cet article, d’entrer dans le détail de toutes ces questions. Le résultat essentiel, qui seul nous importe du point de vue de l’interprétation générale des faits précédents, est la différence massive aux questions a et b (60 à 70 % de réussite complète de 5 à 7 ans) et les réponses aux questions c et d (9 à 28 % de réussite complète chez les mêmes 36 sujets), ce qui constitue un fait nouveau pour la discussion déjà amorcée sur les relations entre les répétitions ou les itérations des actions et les modifications cumulatives des collections construites par les actions.

Voici d’abord des exemples d’échec aux questions c et d chez des sujets qui réussissent aux questions a et b :

For (5 ;7). Quest. a et b : mêmes nombres et mêmes longueurs, même si on continue longtemps. Question d (correspondance 1 à 2 mais mêmes longueurs) : « Les chemins ont la même longueur ? — Oui. —   Et il y a le même nombre de baguettes ? — … — Compte là. — Un. — Et là. — Deux. —   C’est le même nombre ? — Oui. —   Un et deux c’est le même nombre ? — … — Et c’est la même quantité ? — Oui. —   (On continue). Ça fait la même longueur ? — Oui. — Et le même nombre ? — … — On peut savoir ? — Oui. — Alors c’est le même nombre ? — … — Un petit garçon dit qu’il y en a plus ici, qui a raison ? — Moi. — Et si je continue longtemps, on aura le même nombre ? — Non. — Et la même longueur ? — 

Non. » For se refuse d’abord malgré l’évidence à accepter qu’il y a un nombre plus grand quand il y a la même longueur, puis, quand il cède, il conteste la même longueur.

Pat (5 ;7). Même début. Question d : « Tu prends 1 là et moi 2, regarde, ça fait la même longueur ? — Oui. — Et est-ce qu’il y a le même nombre ? — Non, là il y en a plus. — Oui (on continue deux fois). C’est le même nombre ? — Celui-là en a des petits et deux, celui-ci des grands et un (donc énoncé parfait). — Alors si je continue longtemps, pour finir il y aura le même nombre ? — Non, toujours différent. — Et ça fera les mêmes longs chemins ? — Non. » Pat pense donc comme For pour terminer, qu’à nombres inégaux doivent correspondre des longueurs inégales, malgré son excellent départ.

Mor (6 ;9) à la question d reconnaît au début l’égalité des longueurs et l’inégalité des nombres, mais ensuite, de même : « Si on continue longtemps, ça fera le même nombre ? — Non. — Et la même longueur ? — Non, ici plus long et là plus court. — Pourquoi ? — Parce qu’on a mis ici deux et là un. »

Mur (6 ;11). Question a et b réussies. Question d : « Regarde (1 et 2), ça fait la même longueur ? — Oui. —   Et le même nombre ? — Non. — Bien, toi tu mets les petites et moi les grandes (on continue 2 fois). — C’est la même longueur ? — Oui. — Et le même nombre ? — Non. — Maintenant on cache mon chemin (on continue). Jusqu’où va ton chemin ? — Ici. —   Et le mien ? — Là. C’est la même longueur. — Et toi et moi nous avons le même nombre de baguettes ? — Oui. — Le même si on comptait ? — Oui. — Comment ça ? — Parce que vous avez mis deux et moi un. — Alors j’avais plus et maintenant j’ai pareil ? — Oui. — Ça fait juste le même nombre ? — Le même nombre. — Et maintenant nous avons le même nombre ? — Oui. — Tu en as cinq. De mon côté il y en a plus ou

moins ? — Cinq (hésitation). Non, moins (!) parce que vous

avez mis des petites. —   Combien ? — Quatre. —   Mais au début tu en avais un et moi ? — Deux. — Et maintenant c’est

moi qui en ais moins ? — (Perplexité). C’est moi qui en ai

le plus, parce que vous avez mis deux petites et moi une grande. Le mien a des baguettes plus longues. Il arrive là. —   Et le mien ? ■— Là (moins long). — Tout à l’heure tu disais que c’est la même longueur ? — Oui, c’est la même parce que vous avez mis deux petites et moi une grande. — Nous avons le même nombre ou pas ? — Oui… non, vous avez mis des petites alors il y a moins (1). — Comptons, tu veux ? — 1,2, 3… 10 (sur les petites) et 1, 2, 3… 10 (sur les grandes mais en comptant deux nombres par élément !). C’est le même nombre, j’ai compté la moitié (= 1 par moitié de grande). » On compte ensuite élément par élément et Mur est d’accord que cela fait

10 et 5. « Et si on continue encore très longtemps comme ça (on montre 2 à 1), pour finir les chemins auront la même longueur ? — Oui. — Et il y aura les mêmes nombres ou pas ? — Oui, avec les deux mêmes nombres. » !

Question c (correspondance numérique terme à terme, mais avec longueur du simple au double): « Tu en as posé ? — Cinq — Et moi ? — Cinq. — Ça fait le même nombre ? — Moi plus des grandes. — Et nos chemins ont la même longueur ? — Le mien est beaucoup plus long. — (On continue plusieurs fois). Et si on continue longtemps ? — Ce sera toujours celui-ci qui sera le plus long. —   Et si on compte les baguettes ? — Ici (grandes) il y aura plus. — Ça fait combien maintenant ? — Cinq (en reste à ce qui était visible). — Et moi ? — Cinq. —   Et si on continue à ajouter toi une grande et moi une petite, ça fera le même nombre ? — Ici plus. » Mais à la fin Mur comprend brusquement et passe au stade suivant : le nombre « ne changera pas parce qu’il y a des petites et des grandes. —   S’il y a 100 ici, combien y aura-t-il là ? — 100 aussi. »

Bad (5 ;8). Question c. L’enfant commence par reconnaître l’égalité des nombres et l’inégalité des longueurs, mais, quand on cache, il réagit à l’inverse de Mur : « Jusqu’où arrive le mien ? — Là. — Et le tien ? — Là (égalité). — Pourquoi ? — C’est la même chose long. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a toujours fait en même temps (= geste de correspondance). — Te rappelles-tu ce qu’on a fait ? — Oui, le vôtre un peu plus petit. —   Et maintenant ? — Même longueur. »

Bos (6 ;7) de même (quest. c) : la longueur est « la même chose, parce qu’on les met tous ensemble (= par correspondance). — (Réexplication : on montre l’inégalité des éléments). Alors un des chemins plus long que l’autre ? — Oui, celui-là. —   Et si on continue longtemps ? — Ce sera la même longueur parce qu’on les met toujours ensemble. »

Ver (6 ;2), même question c, s’en tire, pour concilier l’inégalité des longueurs avec l’égalité des nombres, en disant : « Parce qu’on a mis trois et trois, ça sera aussi long, mais il y a des petites et des grandes » I

Mul (8 ;0) à huit ans encore affirme, pour cette même question c, que la rangée de l’expérimentatrice compte « moins de baguettes que moi parce qu’elles sont plus petites », tout en ayant accepté l’égalité des nombres tant que le dispositif était visible.

Nous avons tenu à multiplier ces cas car ils montrent de la manière la plus spectaculaire les pouvoirs et les limites du

nombre naissant. Ces pouvoirs, car la correspondance terme à terme permet toutes les inférences quasi-récursives tant que les éléments en jeu peuvent être tenus pour équivalents (et cela même, comme on l’a vu au § 7, en cas de différences intercouples pourvu que les différences intra-couples soient respectées). Mais les limites, car dès qu’il y a conflit entre le nombre et la quantité (ici la longueur), les sujets des niveaux préopératoires font tout pour imposer l’assimilation des deux termes, au prix d’une déformation des rapports de longueur sous la pression des rapports numériques ou même (ce qui est nettement plus rare ¹ mais avec de superbes exceptions comme celle du cas de Mur) au prix d’une déformation des rapports numériques pour les plier aux exigences des longueurs.

Un fait frappant, quant à ce primat habituel de la correspondance numérique par rapport aux longueurs est la réaction à la question e (adjonction d’un élément supplémentaire d’un côté seulement ou insertion d’un élément plus long). On se rappelle que la question II A (§ 4) qui correspond au même problème mais avec un matériel d’unités équivalentes et discrètes (perles) donnait lieu à une conservation de l’inégalité aussi précoce que celle des égalités, car il s’agissait d’un nombre proprement dit, rompant la correspondance numérique. Au contraire lorsque nous reposons la même question en termes de longueur (quest. e) l’adjonction due à un élément nouveau non correspondant ou à l’allongement d’un des éléments correspondant, paraît à l’enfant s’annuler avec la continuation de la rangée :

Oo (5 ;0). Quest. e : 2 éléments d’un côté, 3 de l’autre : « Le tien va plus loin. — Pourquoi ? — Tu as mis un de plus. —   (On cache et la correspondance terme à terme continue). Mon chemin a la même longueur que le tien ? — Non. —   Combien as-tu ? — Cinq. —   Et moi ? — Six. —   Et si on continue, ce sera toujours plus grand pour finir ou cela reviendra-t-il au même ? — Ça va être la même chose long. — Maintenant c’est la même chose ? — Non. — Et si on continue beaucoup de fois, ça sera la même chose ? — Oui. »

Autre forme de la quest. e : 3 de chaque côté mais un élément double dans la rangée de l’enfant. « Mêmes longueurs ? — Non parce que moi quand j’ai mis une grande tu en a mis

1 En cas de correspondance terme à terme se poursuivant de proche en proche, sinon l’assimilation du nombre à la longueur est courante chez les petits.

un court. — Et si on continue longtemps, ça sera la même longueur ou pas ? — La même. — Pourquoi ? — Quand tu en as mis un là, moi aussi (correspondance). — Ça ne fait rien que tu as mis une fois une grande ? — Non. »

Gho (5 ;4). Un élément plus long d’un côté avec un pareil sur la table pour rappel : « Mêmes longueurs ? — Non, parce que vous en avez mis un comme ça (montre le témoin). — Et si on continue ça fera la même longueur ? — Oui. —   Jusqu’où arrivera le mien ? — Là. —   Et le tien ? — (Id.). — Pourquoi ? — Parce qu’on en a mis beaucoup. — Ça ne fait rien que j’en ai mis un comme ça ? — Non. »

Même réaction avec un élément supplémentaire.

Hun (5 ;9). Mêmes situations : « Le vôtre sera plus grand que le mien, mais pour finir ils auront la même longueur. »

To (6 ;5). Même réaction : « On a mis une grande là et une petite ici, mais après on a mis tout le temps la même chose. »

En bref, lorsqu’il s’agit d’égalités ou d’inégalités numériques, une différence d’un élément (perle) ne se perd pas, mais, s’agissant de longueurs, une petite différence se noie dans la masse avec la répétition des correspondances : ce qui revient à ériger une loi perceptive (celle de Weber) en règle de calcul.

Il nous reste à citer des cas de réussites aux questions c-e précédentes :

Mao (6 ;8). Quest. c : « (3 et 3) même nombre ? — Non… oui. — Pourquoi as-tu dit « non » d’abord ? — Parce que celui-là est plus petit. —   Mêmes longueurs ? — Non. — (On continue). S’il y a 6 ici, combien là ? — Six aussi. J’ai mis autant de petites que de grandes. Ça ne fait pas la même longueur, mais si je mets plus de petites que de grandes je peux avoir la même longueur. — Quand ce chemin sera très grand comment sera l’autre ? — La moitié du grand. » Corespondance 1 et 1 même longueur. On en soustrait quelques éléments par correspondance : « Comment sont les chemins ? — Avant ils étaient faits du même nombre de baguettes. J’ai enlevé chaque fois deux alors il reste le même nombre. — Et si on continue ? — Ça sera pareil. »

Quest. c : (1 à 1, longueurs 2 à 1). Soustraction de 3 couples (sous cache) : « Dans ces godets il y a le même nombre ou pas ? — Oui. — Et sur les chemins ? — Oui puisqu’on a enlevé toujours deux en même temps. —   Mêmes longueurs ? — Non. »

Am (6 ; 11). Quest. e (élément supplémentaire : « Ce sera le même nombre, si on continue longtemps ? — Ce sera tou-

jours différent parce qu’on en a mis là un de plus au commencement. — Et les longueurs ? — Aussi. »

Quest. d (un double contre deux). « Mêmes longueurs ? — Oui parce que les deux qu’on mettait ensemble là ça faisait chaque fois la même longueur que celle qu’on mettait ici. —   Et à la fin ça donnera le même nombre ? — Non parce qu’on met toujours deux là et une ici. — Et la même longueur ? — Oui. » On met maintenant 2 contre 1 mais sans équivalence entre les deux côtés. « A la fin si on continue, ça fera le même nombre ? — Non parce que là une et là deux ensemble. —   Et la même longueur ? — Non, parce qu’on a là deux petites qui ne font pas ensemble la longueur de la grande. » A noter les termes « toujours », « chaque fois », etc.

GRE (7,-3). Correspondance 1 à 1 d’éléments inégaux pris au hasard : « Si on continue longtemps ça fera le même nombre ? — Oui parce qu’on en met toujours, toujours autant. —   Et la même longueur ? — Non, on a pris chacun différent. »

Sec (7 ;10). Question d : « Si on continue longtemps, longtemps, ce sera toujours la même longueur ? — Oui. — Et le même nombre ? — Non, là il y a des entières et là des moitiés, une entière pour deux moitiés. — Tu as besoin de compter pour savoir ? — Non, ce n’est pas la peine. Si on met toujours 1 contre 2, on sait que si on recommence deux fois il y a 2 et 4. »

Soustraction (on prend 4 et 2) : « Ça fait la même longueur ? — Oui, parce que vous avez pris 4 et moi 2. »

Question c. « Si on continue longtemps ce sera toujours le même nombre ? — Oui, j’ai mis un à la fois et vous aussi. —   Et si mon chemin arrive jusqu’à la fin du corridor (devant la salle) où arrivera le tien ? — A la moitié. »

On voit ainsi que les sujets âgés de 6 ;8 à 7 ;10 parviennent à des généralisations quasi-récurrentielles aussi sûres, par correspondance 1 contre 2 que les petits du § 3 y arrivent par correspondance 1 à 1. En outre, quelle que soit la question posée, en soustraction comme en addition, ils coordonnent sans erreur le raisonnement sur les longueurs avec la déduction sur les nombres.

De façon générale, ces épreuves sur les réglettes nous permettent de dissocier nettement ce qui relève de la répétition ou de l’itération des actions et de l’accroissement cumulatif des collections résultant de ces actions. Dans les cas où les éléments manipulés sont tous équivalents, comme les perles du § 3. la succession des actions de mise en correspondance entraîne univoquement un accroissement cardinal des collée-

tions, ce qui facilite la déduction. Mais, comme nous l’avons vu, il faut déjà distinguer en ces situations la répétition tautologique des actions et leur itération proprement dite, celle-ci seule permettant de passer du « toujours » récapitulatif au « toujours » itératif ou récursif. Dans le cas des quantités continues et surtout des réglettes, on retrouve cette distinction, mais avec un décalage provenant de cette difficulté supplémentaire qu’il s’agit de coordonner de diverses manières les quantités partielles ou totales et le nombre des éléments. 11 en résulte qu’en procédant de la répétition des actions à l’itération de leurs résultats les sujets, qui résoudraient facilement et récursivement les problèmes de perles, en restent longtemps à un niveau intermédiaire où ils assimilent encore le nombre à la longueur ou l’inverse. Ce n’est donc qu’avec un retard notable que les solutions du dernier niveau (Mao à Sec) sont trouvées, mais avec toute la rigueur désirable et d’une manière qui éclaire rétroactivement les solutions récursives données aux problèmes de perles, lorsque le passage de la répétition des actions à l’itération des résultats est rendu plus facile par l’équivalence générale des éléments-unités.

Notre problème était d’établir la nature de certains raisonnements précoces affirmant que deux collections seront indéfiniment égales si on les construit par correspondance terme à terme (§ 3). Quatre solutions seulement, semble-t-il, peuvent être envisagées à cet égard : (a) transmission de l’égalité par récurrence ou quasi-récurrence ; (b) application de l’axiome de grandeur ; (c) conservation de l’égalité sans transmission et (d) conservation fondée sur la seule répétition de l’action et non pas sur la considération des collections comme telles. Pour décider entre ces quatre solutions, nous avons fait un certain nombre de contrôles permettant entre autres de dissocier ce qui est réellement précoce dans les raisonnements en question et ce qui est plus tardif ou dérivé. Nous avons constaté notamment que la conservation des inégalités numériques additives (§ 4) est aussi simple que celle des égalités, tandis que celle des inégalités multiplicatives (correspondances 1 à 2 : § 5) est beaucoup plus complexe. Quant aux soustractions de quantités égales à partir de quantités égales ou inégales (§ 6), elles nous ont mis en présence de raisonnements assez différents des

transmissions d’égalités du § 3 parce que, d’une part, l’égalité ou l’inégalité des restes soulève des questions de conservation en conflit avec les configurations et que, d’autre part, les relations de partie à tout se sont révélées difficiles à dominer à cause de l’indifférenciation entre la compréhension et l’extension. Enfin, les correspondances portant sur des quantités continues (§ § 7 et 8) se sont montrées également plus complexes parce que, sitôt que les termes a a’, b b’, c c’, etc. à mettre en correspondance ne sont plus équivalents successivement (a b c) ni surtout simultanément (a a’, etc.), il y a conflit entre le nombre et la quantité ainsi qu’entre les actions mêmes de mise en correspondance et la détermination des collections résultant de cette correspondance.

I. En possession de ces données supplémentaires, il nous est alors possible de choisir entre les quatre interprétations susceptibles de rendre compte des constructions d’égalité (§ 3), et nous soutiendrons qu’il s’agit là d’une forme élémentaire | de récurrence en nous fondant sur les considérations suivantes : j (1) l’axiome de grandeur suppose la conservation des quantités ou collections avec tout ce que comporte de difficultés psychologiques l’élaboration de cette conservation ; (2) les conservations sont de constitution plus tardive que les raisonnements récursifs qu’il s’agirait d’èxpîîqùer ëf ne sauraient donc en rendre compte ; (3) la répétition des actions est bien au point de départ de ces quasi-récurrences mais elle se prolonge en une itération des résultats grâce au fait que les actions particulières en jeu sont précisément constitutives du n + 1 c’est-à- dire du nombre, et que l’égalité par correspondance ne suppose pas la connaissance de chacun des nombres individualisés de la suite : cette égalité par correspondance donne lieu au contraire "à une synthèse provisoire de l’ordre de succession et de la cardination, qui est antérieure à la synthèse, définitive requise i par la construction des nombres individualisés 1, 2, 3, …, mais ’ qui permet déjà exceptionnellement, en tant que synthèse provisoire, une forme de déduction quasi-récurrentielle.

Pour justifier ces différents points, il convient d’abord de préciser notre vocabulaire et de distinguer ce qu’il faut enten- » dre par « transmission » et par « conservation ». Dans tous les cas où nous avons étudié précédemment la constitution de ^J notions de conservation (conservation des ensembles ou classes, des nombres, des longueurs, surfaces, volumes, des quantités physiques, etc.) nous n’avons jamais parlé de la « conservation » d’une propriété au travers des modifications d’un objet

ou d’une collection que quand cette propriété appartenait à une totalité achevée (objet ou ensemble), ne se transformant qu’en ses relations internes (changement de configuration, ou partage, etc., laissant invariante la somme). Nous dirons par contre qu’il y a « transmission » (et non pas simplement conservation) d’une propriété lorsque celle-ci caractérise d’abord une totalité A et se retrouve inchangée en une nouvelle totalité B si la totalité A est transformée en B : en ce cas il n’y a plus seulement invariance par rapport à des modifications internes mais aussi par rapport à la construction d’un nouvel objet ou d’une nouvelle collection. On parlera ainsi d’une « transmission » causale si un objet est modifié de l’extérieur, ou d’une « transmission » récurrentielle si une propriété <p passe de n à n + 1.

En ce sens, il est clair que, dans le cas de notre raisonnement conservant l’égalité des collections par adjonctions successives en correspondance terme à terme, on peut parler de « transmission » et pas seulement de conservation. Mais la question demeure entière de savoir (1) s’il en est ainsi pour le sujet lui-même et (2) si cette transmission éventuelle n’est « qu’une extension de la conservation en général ou si elle procède d’une source distincte, par exemple spécifiquement numérique (correspondance « unité » à « unité » et non pas qualité à qualité).

II. Examinons d’abord l’hypothèse suivant laquelle la transmission de l’égalité ne serait due qu’à l’axiome de grandeur : à deux quantités égales ajouter ou enlever deux quantités égales ramène à deux quantités égales.

11 convient en premier lieu de rappeler qu’avant d’affirmer cette transmission des égalités l’enfant passe précisément par un niveau A (voir § 3, sous A) où il se refuse à toute généralisation, notamment dans le cas où les verres sont de formes différentes (et en ce cas la difficulté est encore considérable au niveau B). Il est donc clair que si l’on peut invoquer l’axiome de grandeur, ce n’est pas à titre de connaissance a priori, mais en tant qu’il se constitue peu à peu et ne s’achève qu’à un stade donné du développement. La question est alors d’établir si cette constitution est plus simple que celle d’une récurrence fondée sur l’itération des correspondances ou si elle exige davantage de conditions.

Nous avons étudié deux exemples faisant intervenir à coup sûr l’axiome de grandeur : la soustraction de petites surfaces

égales à partir de grandes surfaces congruentes¹ et, au § 6 du présent article, la soustraction d’ensembles de perles à partir d’ensembles plus grands, égaux ou inégaux. On peut en outre naturellement résoudre le problème des égalités successives (§ 3) par un procédé d’additions relevant sans plus d’un tel axiome. A comparer ces trois situations demandons-nous donc ce que requerrait de la part de l’enfant une telle solution du point de vue de ses conditions préalables.

Soit Ai et A’i les collections de départ supposées égales, A₂ et A’₂ les collections égales que l’on ajoute (ou retranche) et B et B’ les collections finales dont on veut démontrer l’égalité, de manière à la faire ensuite pour C et C’, D et D’, etc., avec généralisation à « toutes ». Trois conditions au moins interviennent alors :

(a) Il faut en premier lieu un procédé d’égalisation. Dans le cas de l’article cité sur les surfaces, il y avait correspondance terme à terme entre les surfaces soustraites et vérification de leur égalité par congruence. Dans le cas des perles (additions ou soustractions) la correspondance terme à terme suffit, l’équivalence des unités étant donnée sans problème.

(b) Il faut en second lieu pour démontrer B = B’ une conservation des collections A_t et A\ et surtout A₂ et A’₂, puis une conservation des A₄ A\ et B B’ pour démontrer C = C’, etc., le terme de conservation étant pris ici au sens strict défini sous I, indépendamment de la transmission. Or, tout en étant plus « faible » que l’axiome de grandeur, ce postulat de conservation demeure une exigence très lourde, puisque l’inspection des collections restantes suffit souvent à la tenir en échec et puisque, en moyennes, les notions de conservation sont acquises plus tard que les inférences précoces dont il est question ici.

(c) Enfin, ayant passé de A₄ = A\ à 5 = B’ par l’adjonction de A₂ et Â’₂, il faut pouvoir passer de B = B’ à C = C’ par l’adjonction de A₃ et A’₃, et de C = C’ à D = D’ par l’adjonction de A₄ et A’₄, etc. En procédant pas à pas, cela ne présente pas d’autres difficultés qu’en (b), mais pour généraliser à toutes les paires de collections ultérieures, il faut être en possession d’un instrument de généralisation qui respecte à la fois les conditions (a) et (b), (b) pour tout ce qui a déjà été réalisé (conservation des égalités antérieures) et (a) pour

1 Piaget, Inhelder et Szeminska, La géométrie spontanée de l’enfant, chap. XI.

tout ce qui viendra (procédé d’égalisation par anticipation des collections ultérieures) ; c’est cette généralisation par coordination des conditions (a) et (b) qui constitue la troisième condition et constitue le principal problème.

Or le caractère remarquable des solutions décrites aux niveaux B et C du § 3 est de ne pas passer par une constitution préalable des notions de conservation comme dans le cas des soustractions de surfaces (article cité) ou des soustractions de perles (§ 6), mais de sauter directement de la condition (a) à une généralisation (condition c), en tirant de là une conservation provisoire (c’est-à-dire spéciale à la situation momentanée et non généralisable en dehors des raisonnements en jeu). Et s’il en est ainsi, c’est simplement que les collections ajoutées A₂ et A’2, A₃ et A’₃, etc., sont conçues comme toutes équivalentes à A₄ et A\, puisqu’il y a correspondance terme à terme d’unités égales entre elles (et égales du point de vue inter-groupes comme intra-groupes). Autrement dit, le moteur commun du postulat (provisoire) de conservation et de l’axiome (provisoire) de grandeur n’est autre, dans le cas particulier, Ique l’itération des mises en correspondances terme à terme et, sans ce point d’appui fondamental, le sujet serait perdu à ces niveaux, qui sont antérieurs aux formes stables de conservation.

En résumé, l’axiome de grandeur suppose les conservations Jet celles-ci ne sont point encore acquises au niveau considéré id, tandis que ütération des correspondances terme à terme suffit à les assurer dans le contexte voulu et à permettre une généralisation par une voie plus simple en tant que reproduction indéfinie du procédé même qui a permis les égalisations de départ.

III. Une autre solution consisterait à voir dans la transmission des égalités une simple généralisation d’une forme de conservation se constituant dans la situation considérée. Cette solution n’est pas contredite par les seules considérations qui précèdent car on pourrait concevoir une conservation momentanée se constituant sous certaines influences (correspondance terme à terme, etc.) et suffisant ensuite aux généralisations observées. La question n’est donc pas seulement de se demander si nos inférences précoces s’élaborent avant les notions générales de conservation, ce qui est certainement le cas, mais comment se forment les notions de conservation et si leur mode de formation explique la réccurence apparente des raisonnements en jeu ou tout au moins la constitution des variétés

momentanées de conservations constatées au cours des raisonnements de nos sujets.

De manière générale, comme nous l’avons vu sous I, une conservation est l’invariance de propriétés appartenant à une totalité qui ne se transforme pas en une autre, mais dont les relations internes (configuration, etc.) sont momentanément modifiées. C’est ainsi que, dans nos expériences antérieures^J, lorsque l’on remplit de perles deux verres semblables A et A’ et que l’on verse le verre A en un verre de forme différente B, il y a conservation si la quantité A est censée rester la même en passant en B, ce qui s’assurera par la reconnaissance de l’égalité A’ = B, résultat de la transitivité A = A’, A = B donc A’ = B. Mais il va de soi qu’il y a conservation de A et B indépendamment de la présence de A’, ne servant que de témoin, et indépendamment de la manière dont on a rempli A et A’ (correspondance terme à terme, etc.) : il suffit des deux verres A et B pour s’assurer s’il y a ou non conservation, celle-ci ne consistant ici qu’en l’affirmation de l’invariance quantitative de la seule et même collection totale qui passe de A en B. Ainsi définie, la conservation est le résultat d’opérations réversibles sous leurs trois aspects suivants : (a) réversibilité par inversion, qui est ici la possibilité de reverser B en A pour retrouver le résultat initial ; (b) réversibilité par réciprocité : la configuration de B est plus haute mais plus mince d’où la compensation des transformations ; (c) identité mais en tant que se référant aux opérations (on n’a rien ôté ni ajouté, etc.) ou à titre de dissociation entre la variation et l’invariance (on n’a fait que verser, etc.), bref en tant qu’identité opératoire et non pas statique.

Or, affirmer qu’on retrouve deux collections égales C₂ et C’₂ en partant d’une première mise en correspondance Sx et S\, d’où Ci = C’i et en procédant à la mise en correspondance suivante S₂ et S’₂, c’est à la fois plus et moins que de postuler une conservation. C’est plus, parce que les collections C₂ et C’₂ ne sont pas identiques aux collections Ci et C\ et ne résultent pas de leur simple modification interne mais bien d’une transformation de Ci et C\ en deux nouvelles collections. Mais il y a là moins qu’une conservation, d’abord puisque les actions en jeu Si et S’i ne sont pas encore des opérations réversibles (on a vu au § 6 que les soustractions ne sont effectuées correctement qu’en net décalage sur les additions) et ensuite puis-

1 Piacet et Szeminska, La genèse du nombre chez l’enfant.

qu’il n’intervient point alors de systèmes de compensations, mais un simple effet cumulatif d’itération. Le passage décisif à franchir n’est donc pas celui de la non-conservation à la conservation, mais celui d’une égalité C_{1( 2}, 3… = C’i, 2, 3 — reconnue, comme fait mais sans généralisation nécessaire, à une égalité C_n=C’_n anticipée comme devant se produire « toujours » et nécessairement si l’on a S_xS’i… S_nS’_n.

11 est vrai qu’en plusieurs des situations étudiées intervient une situation de quasi-conservation, en particulier (dès le § 3) lorsque l’on fait déposer les collections égales dans des verres de formes différentes : en ce cas il arrive effectivement que le sujet fasse remarquer que l’un des verres est plus haut mais plus mince, pour justifier son égalisation, ce qui rappelle alors de près l’ancienne expérience sur le transvasement des perles avec comparaison des formes A et B. Mais, d’une part, il est essentiel de noter qu’en ce cas ce n’est nullement la découverte d’une conservation qui assure l’égalisation, mais au contraire la certitude de l’égalité qui entraîne une quasi-conservation, cette certitude étant due à la seule mise en correspondance terme à terme. D’autre part cette quasi-conservation n’est que provisoire ou momentanée, puisque dès les épreuves de soustraction le sujet échoue à faire les mêmes raisonnements par compensation, etc.

Au total, le problème central étudié en ces pages est un problème de transmission et non pas de conservation et celle- Ici ne saurait expliquer celle-là. 11 est vrai qu’aux niveaux A et B il n’y a pas encore transmission du point de vue du sujet : ce dernier se borne à récapituler ce qu’il a fait et son égalisation peut alors être assimilée à ces sortes de pseudo-conservations ou « persistances » que l’on observe lorsqu’on fait anticiper des transvasements de perles ou liquides d’un verre A à un verre différent B et que le sujet s’attend à ce que tout reste pareil y compris les niveaux (quitte à croire à la non- conservation lorsqu’il constate ensuite que les niveaux sont « inégaux). Mais lorsque le sujet passe du « toujours » récapitulatif au « toujours » itératif et anticipateur, il y a authentiquement transmission et cela (1) antérieurement à la constitution des conservations proprement dites et (2) sans que les mécanismes formateurs soient les mêmes, comme on l’a vu à l’instant. L’interprétation de cette transmission ne peut donc être cherchée que dans les mécanismes de mise en correspon-

dance et d’itération propres aux débuts de la formation du nombre lui-même et c’est ce qu’il s’agit d’examiner maintenant.

IV. Il reste donc la solution consistant à soutenir que les égalisations précoces observées ne prennent une forme de récurrence que parce que s’appuyant sur la répétition même des actions de l’enfant. Solution évidemment exacte si l’on veut dire"que les sujets, aux premiers niveaux de réaction (A et B), débutent de cette manière, mais solution incomplète si elle prétendait affirmer que l’enfant en demeure là. La succession des réactions nous paraît, en effet, montrer que l’enfant passe progressivement d’un niveau de simple répétition où la transmission n’est qu’apparente à un niveau d’itération proprement dit où l’on peut parler de transmission effective et de quasi-récurrence.

Tout le problème est alors à centrer sur les relations établies par le sujet entre sa propre action et les résultats qu’elle entraîne. Ces relations s’étagent entre deux états extrêmes que l’on pourrait symboliser par les deux expressions rencontrées : « j’ai mis… » et « on ajoute toujours » et qui, du point de vue du comportement sont caractérisés, le premier par le refus de toute anticipation pour une suite indéfinie (sinon parfois par persévération verbale) et le second par la certitude que l’égalité se retrouvera « toujours ».

Le premier de ces deux états n’est qu’un cas parmi bien d’autres de la situation générale propre aux niveaux préopératoires : le sujet est centré soit sur l’action propre, mais en ’ tant qu’action produite par lui-même et indépendamment des transformations qu’elle introduit dans l’objet, soit sur les résultats finaux, mais en tant que configuration nouvelle et indépendamment du processus de transformation dû à l’action ¹ elle-même. Dans le cas particulier, d’une action qui se répète, le sujet ou bien prend conscience de cette répétition comme telle, mais sur un mode tautologique et affirme donc l’égalité au nom de cette répétition même, sans transmission effective faute de songer aux transformations introduites au fur et à mesure dans les collections constituées. Ou bien, au contraire, < il est centré sur les collections mais en oubliant l’action qui les a constituées et ne voit ou n’imagine que leur configuration, niant par exemple l’égalité des perles en cas de verres de formes différentes.

A l’autre extrême (niveau C des § § 3 et 4) le sujet coordonne au contraire l’action et son résultat, aboutissant ainsi

I à l’itération et à la transmission. Mais il faut bien comprendre qu’il y a là une réaction très exceptionnelle au niveau préopératoire et le problème est de rendre compte de cette exception.

P En effet, dès qu’il s’agit de quantités continues, notamment des réglettes (§ 8), nous avons vu combien fortement subsiste l’attitude précédente : il suffit qu’il y ait à considérer à part les nombres et les longueurs pour que le sujet, et cette fois jusqu’au niveau opératoire, ou bien ne pense plus qu’à la répétition des actions et égalise alors des quantités inégales, ou bien pense à l’inégalité de l’un des résultats et considère alors aussi comme inégale l’autre quantité pourtant égalisée terme à terme par l’action. Ce résidu des réactions initiales confirme bien ce que nous en disions à l’instant. Mais dans le cas des perles aditionnées par correspondance terme à terme (§ 3), l’enfant en arrive donc dès le niveau préopératoire à une i avance exceptionnelle dans la coordination des actions et de leurs résultats, et il s’agit maintenant de comprendre comment il peut en être ainsi et pourquoi cette situation privilégiée conduit jusqu’à une itération proprement dite et à un début de I récurrence par transmission de l’égalité dans les collections elles-mêmes C_n = C’_n à partir de la succession des actions itérées S_n = S’_n.

Les raisons de la situation privilégiée sont d’abord que les unités sont toutes constituées puisque toutes les perles sont équivalentes, mais ceci n’est qu’une occasion à itération puisque, avec des objets hétérogènes mais discrets, la correspondance est aussi facile à peu de chose près ; ensuite que les actions peuvent être répétées identiquement tout en portant chaque fois sur des éléments nouveaux quoiqu’équivalents aux précédents ; et enfin que la correspondance terme à terme est fune source directe d’égalisation. En ces conditions il devient particulièrement facile de coordonner les actions à leurs résultats, puisque, à la succession d’actions toutes semblables Si S’^ 828’2 correspond une addition d’éléments tous semblables C_t C’x, etc. et autant de couples égaux s’additionnant en C₂ C’_2>C₃C’₃, etc. D’autre part, on ne demande en rien la valeur absolue de ces collections mais seulement leur valeur relative d’égalité deux à deux.

Pour expliquer le passage de la répétition tautologique des actions comme telles à leur itération impliquant la transmission des égalités au travers de l’accroissement additif des collections, il suffit alors de constater que de telles conditions conduisent, au cours de l’action même, à une synthèse de

l’ordre et des classes en leur extension, cette synthèse étant précisément constitutive du nombre ^x. Nous n’entendons nullement affirmer par là que nos jeunes sujets de niveau préopératoire sont ainsi amenés à construire la série des nombres entiers, puisqu’aussi bien ils n’en ont nul besoin pour résoudre leur problème : cette synthèse complète ne se constituera sous sa forme stable que vers 7-8 ans et bien au-delà (par arithmé- tisation très progressive de cette suite des nombres). Nous soutenons simplement que, dès que l’enfant introduit une coordination entre la succession de ses actions et leur résultat, il se ^f constitue par cela même une synthèse, locale et restant spé- \ ciale à ces actions, entre leur ordre de succession SjS’i, S₂S’₂,!ll etc. et l’accroissement des collections Ci C\, C* C₂, etc., cette. [ synthèse étant alors de caractère numérique ou prénumérique même sans dénombrer le contenu de ces collections. En effet, chaque action, tout en répétant tautologiquement la précédente, en diffère par son rang dans l’ordre de succession, tandis qu’elle ajoute une unité de plus à celles qui sont déjà réunies dans les collections issues de cette itération. Il y a donc là, dans l’union même des actions et de leur résultat cumulatif une préfiguration en quelque sorte pratique ou même motrice, de la synthèse numérique, et cette synthèse en acte ou provisoire suffit à la solution du problème.

En effet, si ce qui précède est exact, il intervient par là même en cette synthèse un caractère de récurrence : d’une i, récurrence élémentaire ou, pour mieux dire, coextensive de la 1/ construction même du nombre, et cela dès èënë’pféïrgüfàtîdn ’ pratique. En éffèf, cë~qüe découvre l’enfant dès qu’il généralise^* les égalités d’abord constatées, ce n’est pas tant que ces égalités sont vraies de 1 ou de n, c’est surtout que si elles sont vraies de n elles le sont nécessairement encore de n + 1. Nous avons fait remarquer à cet égard combien souvent revient spontanément chez nos sujets cette démonstration, rudimentaire mais d’autant plus remarquable : « si on avait mis 2 d’un côté et 1 de l’autre il n’y aurait plus la même chose, mais, comme on met toujours 1 et 1,… » etc. Dès lors, constatant les égalisations C_x = C’i ; C₂ = C’₂, etc. au moment des premières positions ou adjonctions en correspondance terme à terme S_x S’_vS₂S’₂, etc., puis comprenant ou déduisant que si (S_n = S’_n)-> (C_n = C’_n) est vrai de l’un des rangs quelconques de la succession de ses actions on aura nécessairement encore (S_n+i =

1 Voir le vol. XI des « Etudes ».

S’_n+i)- » (C_n+1 = C’_n+1), il en conclut enfin à « toujours »: « on peut toujours savoir, disait ainsi Cour à 6 ;2 (§ 3 sous B) : quand on commence à savoir, on peut savoir ! » ou encore « une fois qu’on sait, on sait pour toujours » (Stion à 5 ;9).

V. Telle est la forme élémentaire et précoce de récurrence (si précoce qu’elle précède même les conservations opératoires) que nous avons cru utile de signaler, car aucun exemple n’est plus propre, nous semble-t-il, à montrer que le raisonnement par récurrence est lié à la nature même du nombre, puisqu’on en trouve des manifestations dès les premiers débuts de la synthèse entre la sériation et l’emboîtement des classes qui constitue les entiers. Dans le cas particulier, il s’agit d’une quasi-récurrence en ce sens que la transmission conduisant d’un rang au suivant des actions successives SS’_n et d’une paire de collections CC’_n à la suivante ne porte pas sur une propriété des nombres eux-mêmes, soit q>(n), mais sur une propriété des actions d’ajouter en correspondance terme à । terme. Seulement, comme l’action complexe dont il s’agit se décompose en deux actions élémentaires, l’une d’ajouter, qui est constitutive du n+1, et l’autre de mettre en correspondance, terme à terme, qui est constitutive dé l’égalisation numérique ^x, la transmission en jeu n’en intéresse pas moins le nombre lui- même.

Notons à cet égard que les deux difficultés générales que l’on rencontre à vouloir mettre en évidence l’existence d’un raisonnement par récurrence sont relatives (a) au passage de qn à (n + 1) et (b) au passage à « tous » les nombres. Or, ces difficultés sont de nature très différente. Le « tous » suppose seulement l’achèvement de la notion même de la suite des nombres, achèvement bien plus tardif qu’on ne croit chez l’enfant, c’est entendu, mais qui est préfiguré en notre exemple par la compréhension du « toujours » itératif s’appliquant à l’action même qui engendre le n + 1. Le passage de <p(n) à (n + 1) est par contre psychologiquement toujours relatif au contenu de <p, de telle sorte que quand un sujet ne parvient pas à géné- i raliser une propriété comme (m+n) = (m +l)+(n— 1) (exem- ’ ’ pie de P. Gréco), cela peut tenir à la difficulté de comprendre cette relation aussi bien qu’à une difficulté de la récurrence elle-même. Mais il existe un grand nombre de <p(n), triviaux

1 II s’agit, en effet, d’une correspondance « quelconque », soit unité à unité, et non pas qualifiée ou terme de propriété X à terme de même qualité seulement.

pour le mathématicien et pour l’adulte normal mais nullement pour l’enfant si l’on pense aux niveaux initiaux de non-conservation, aux difficultés pour la commutativité, etc. P. Gréco a étudié, par exemple, la fonction récursive selon laquelle le successeur du successeur d’un nombre est séparé de lui par, 2 unités cardinales et a montré que, s’il y a bien généralisation à un niveau donné, celui-ci n’est nullement aussi primitif que l’on pourrait penser, puisqu’il ne se situe que vers 9 ans ! Il faut donc également considérer comme une fonction récursive ne s’acquérant que progressivement celle suivant laquelle le successeur ordinal d’un nombre est séparé de celui-ci par une unité 1 présentant « toujours » la même valeur cardinale. Les réactions des niveaux 4 et B du § 4 (conservation d’une inégalité de I) ne suffisent pas à démontrer que l’unité 1 perd de sa valeur dans n + 1 au fur et à mesure que s’accroît n parce que la question n’est pas posée en ces termes mais en opposant une suite d’égalités à une différence initiale, seulement ils ren- + dent très probable une telle interprétation. Si elle se montrait exacte (et elle est appuyée par tout ce qu’a montré Gréco de l’itération ordinale et cardinale ^x) ce serait bien par une récurrence élémentaire que serait acquise la valeur permanente de l’unité 1 pour n’importe quelle valeur de n + 1.

Tout cela revient à dire — et c’est là le sens général de nos présents résultats — que la récurrence est, à ses débuts, indissociable de la construction même de la série des nombres entiers et qu’elle en constitue d’abord sans plus l’aspect infé- rentiel (bien avant que s’élaborent les formes supérieures de _fraisonnement par récurrence procédant alors sur la série et non plus seulement au cours même de sa construction). Le 4 problème se pose en ce cas de décider si c’est la récurrence qui engendre la série ou la série aux diverses étapes de son éla- ’ boration qui conduit à la récurrence. C’est là un cas particulier du problème classique des relations entre le concept et le jugement : le concept est issu de jugements mais on ne juge qu’en coordonnant des éléments conceptualisés. Il y a donc là un « cercle génétique » indissociable, ce qui n’empêche naturellement pas de dissocier les termes par formalisation dans un sens de parcours ou un autre.

De telles considérations parlent en faveur de la thèse de H. Poincaré selon laquelle le raisonnement par récurrence constituerait un système d’inférences spécifiques et propres aux

1 Voir vol. XI des « Etudes ».

réalités numériques. Opposer à cette thèse, comme le fait B. Russell, l’objection que les propriétés « héréditaires » ne sont posées telles que par définition ne nous paraît pas suffisant, d’abord parce que distinguer les définitions récurrentielles de celles qui ne le sont pas ne revient qu’à déplacer les problèmes, et ensuite, de manière générale, parce qu’une définition n’est qu’une conduite rétroactive formalisant une construction préalable et que seul l’examen de cette construction permet de décider de la nature des opérations en jeu.

Or, le fait décisif en une telle discussion nous paraît être que, dans le domaine des objets discrets ou discontinus, seule la série des nombres constitue une suite linéaire par nature et non pas par simplification artificielle. A considérer, par exemple, une sériation d’éléments ordonnés selon une différence croissante (des réglettes que nous faisons sérier à l’enfant selon leur longueur croissante ou des boules de même volume selon leur poids (croissant) il ne s’agit naturellement d’une (série discontinue et linéaire que par simplification, car, d’une part, les différences pourraient être continues et, d’autre part, on a éliminé les termes équivalents. A considérer, par ailleurs, une suite discontinue par nature et linéaire en un sens, comme t la série A, B, C, etc. où B est le père de A, C le père de B, etc., elle n’est linéaire que dans le sens de parcours, tandis que dans l’autre C et B, peuvent avoir plusieurs fils.

Il en résulte que, à comparer une propriété récurrente numérique à une propriété héréditaire en général, un ensemble de différences soulignent la spécificité de la première. Prenons comme exemple la proposition : « Si le premier animal d’une lignée est de caractère x (unicellulaire, etc.) le second le sera aussi, etc. » On constate d’abord que s’il y a transmission du premier au second (au sens du cas si souvent invoqué des Atrides) le premier peut avoir plusieurs descendants et il n’y (a plus de transmission entre eux. En second lieu un individu peut ne pas avoir de successeur, tandis qu’un nombre en a nécessairement. En troisième lieu la transmission ne se produit I que jusqu’à mutation toujours possible en droit. En quatrième lieu, et dans la mesure où ces mutations se préparent par différences infinitésimales jusqu’à un seuil macroscopique, la différence entre un individu et le suivant n’est pas toujours identique, tandis que dans la série des nombres la différence entre n et n+1 est toujours la même. En cinquième lieu, et surtout, la transmission héréditaire n’est que constatée ou expliquée cau- salement, tandis que dans le cas du nombre elle est construite.

La raison principale de la spécificité numérique de la récurrence nous paraît donc tenir à la distinction entre ce que l’un de nous a appelé ailleurs les classes bien structurées et les classes faiblement structurées J. Soit une classe quelconque telle que celle des Oiseaux comprenant celles des Rapaces, des Palmipèdes, des Passereaux, etc., et caractérisée par un certain nombre de caractères communs en « compréhension », de même que chacune des sous-classes, les caractères communs de la classe totale étant plus pauvres que ceux des sous-classes. Nous disons qu’il s’agit en ce cas d’une classe faiblement structurée parce qu’il n’est pas possible de déduire les caractères d’une sous-classe à partir de ceux des autres ni à partir des caractères communs de la classe totale et que ces derniers ne peuvent pas non plus se construire les uns au moyen des autres. En une classe structurée ou bien structurée, comme les nombres, au contraire, il n’y a pas de rapport inverse entre l’extension et la compréhension et les caractères d’une sous- classe peuvent être déduits à partir de ceux de la classe totale. En une classe semi-structurée, comme celle des éléments d’une sériation, on se trouve dans une situation intermédiaire, car si l’on a A < B < C…, on ne peut pas déduire sans plus A < C de A<B, mais on le peut de la réunion (A < B)+(B < Q. Or, à cette différence entre les classes non-structurées et les classes structurées correspond une différence essentielle en ce qui concerne les modes d’inférences. Aux classes non structurées correspond une forme d’implication telle que si l’on a p n q on a aussi p’ ^q mais sans que p p’ ni l’inverse. Le propre du raisonnement par récurrence qui correspond aux classes bien structurées est au contraire d’introduire une relation d’équivalence entre p et p’ sans qu’ils soient pour autant identiques puisque p et p’ se rapportent à des nombres successifs ².

Au total, il semble donc que la forme élémentaire de récurrence décrite en cette étude constitue l’expression inférentielle de la synthèse entre l’inclusion des classes et la sériation, synthèse en laquelle consiste le nombre entier et dont les débuts sont amorcés ou favorisés par les actions mêmes demandées à nos sujets. L’intérêt d’un processus récurrentiel aussi précoce, se cristalisant à un âge où les déductions qualitatives ne sont point encore assez élaborées pour assurer l’avènement des notions de conservations, est alors de mon-

1 Voir J. Piacet, Traité de Logique, A. Colin, 1949, pp. 69-70.

2 Ibid., p. 385.

trer la solidarité étroite entre les mécanismes formateurs du nombre et ceux de la récurrence elle-même : on peut ainsi admettre l’existence d’une forme élémentaire de récurrence immanente à la construction progressive et spontanée du nombre par opposition aux formes supérieures et explicites de raisonnements récurrentiels procédant, mais seulement après coup, sur la série des nombres une fois construite et achevée.