Les travaux de l’année 1960-1961 et le VIe symposium (19-24 juin 1961) du centre international d’épistémologie génétique. L’Épistémologie de l’espace (1964) ^a 🔗

Dans un exposé introductif, Piaget distingue trois problèmes principaux que nous avons rencontrés en étudiant le développement des opérations spatiales :

(A) C’est d’abord le problème de la nature de l’intuition géométrique : nature opératoire ou relevant de la représentation imagée, ou encore des deux à la fois ? A cet égard l’image mentale visuelle joue un rôle particulier dans le domaine géométrique, du fait qu’elle est elle-même de caractère spatial. De façon générale, l’image n’est qu’un symbole, qui représente concrètement les concepts qu’elle symbolise. Il en résulte que, dans le domaine des classes ou des nombres, l’image en tant que signifiant symbolique demeure hétérogène au signifié notionnel. C’est pourquoi si l’on demande à des sujets, même adultes, quelle image ils se donnent de la suite des nombres entiers, on trouve une grande diversité de représentations imagées : bâtons alignés en une suite sans fin, disques empilés, colonnes de 1, 2, 3, …, éléments rangées en escalier, paliers superposés par dizaines, etc. Or, aucune de ces images n’est

(B) Le second problème général que nous avons rencontré sans cesse en étudiant l’épistémologie génétique de l’espace est celui des relations entre l’espace physique et l’espace logico- mathématique.

Une fois parvenues à leur état d’équilibre, c’est-à-dire à partir des niveaux opératoires, les connaissances logico-mathé- matiques et physiques sont relativement faciles à distinguer du fait que les premières procèdent par composition exclusivement opératoire ou déductive, tandis que les secondes recourent à l’expérience. Mais aux niveaux préopératoires (ainsi qu’en présence de problèmes trop nouveaux pour le sujet, qui peut, en ce cas encore recourir à des tâtonnements préopératoires), il existe une expérience logico-mathématique, c’est-à-dire un appel à des constatations de fait (par exemple pour vérifier la commutativité ou la transitivité d’une composition élémentaire). Or, cette expérience logico-mathématique diffère de l’expérience physique par les deux caractères suivants.

En premier lieu, l’expérience physique porte sur les objets eux-mêmes et procède par abstraction à partir de ces objets comme tels : par exemple constater que le poids d’un objet moins volumineux peut être plus grand que celui d’un second objet plus volumineux. Au contraire, l’expérience logico-mathématique porte sur les actions exercées sur les objets et procède par abstraction à partir de ces actions ou, ce qui revient au même, à partir des propriétés que ces actions ont introduites dans l’objet : par exemple, constater que 2+3 jetons = 3+2 jetons, soit qu’on les compte en ordre inverse soit que l’on permute l’ordre des deux tas.

En second lieu, l’abstraction physique peut être dite « simple » en se sens que, portant sur des contenus tirés de l’objet, elle leur reste attachée au travers des diverses manipulations opératoires possibles. Or, il ne saurait en être de même de l’abstraction logico-mathématique par rapport aux propriétés des actions, sinon cela reviendrait à affirmer que toutes les structures logico-mathématiques sont préformées dans les actions les plus élémentaires et qu’il suffit de les en dégager, ce qui est assurément inacceptable puisque ces structures donnent lieu à une construction très lente et très laborieuse. Cette seconde forme d’abstraction est donc à la fois « réfléchissante », au double sens du terme, et constructive. D’une part, en effet, pour abstraire des actions ou de leur coordination un élément structural quelconque, par exemple

une relation d’ordre, il faut d’abord en prendre conscience, car cet élément fonctionne d’abord de façon inconsciente : or, pour en prendre conscience, il faut le « réfléchir » (au sens physique du terme) sur un nouveau plan (celui de la représentation interne, etc.). Mais, d’autre part, pour le réfléchir ainsi, il faut le reconstruire et l’intervention même des instruments de cette reconstruction conduit à une réflexion (au sens cognitif du terme) qui aboutit à une nouvelle construction plus riche et plus générale.

Or, contrairement aux structures logico-arithmétiques, les structures spatiales relèvent des deux types d’expérience, physique comme logico-mathématique (c’est d’ailleurs sans doute pourquoi l’image visuelle joue un rôle privilégié dans l’intuition géométrique) et des deux types d’abstraction, simple et réfléchissante.

Comme exemples d’expériences physiques de l’espace, avec abstraction simple, on peut citer un certain nombre de lectures des données de la perception. C’est ainsi que, à un niveau où l’enfant ne parvient pas par voie déductive aux conservations élémentaires de surface, il aura besoin d’une expérience par superposition d’éléments pour constater qu’un rectangle composé de six carrés groupés sous la forme 2X3 aura la même surface que le rectangle résultant de l’alignement de ces six carrés, soit 6X1 : en ce cas l’abstraction de la surface peut être dite simple parce que ne comportant aucune reconstruction sur le plan de la pensée pour comparer les deux formes.

Comme exemple d’expérience logico-mathématique de l’espace avec abstraction réfléchissante, rappelons au contraire le passage du « groupe » sensori-moteur des déplacements au « groupe » représentatif. Dès le milieu de la seconde année, l’enfant est capable de s’y retrouver dans son appartement et son jardin, avec possibilité de détours et retours, ce qui constitue un « groupe » de translations, mais par actions successives s’enchaînant de proche en proche ; il est de même capable de retourner un objet pour en retrouver les différentes faces, ce qui constitue un « groupe » de rotations, sous-groupe lui aussi du groupe des déplacements. Mais il faut attendre quelques années pour obtenir une représentation (par simple arrangement, sur un plan, de petits objets symbolisant les points de repère connus) de trajets effectués journellement, comme entre l’école et la maison ; ou pour imaginer le résultat des rotations autour d’un grand objet, par exemple pour reconstituer les

relations entre les parties du bâtiment d’école selon qu’on les perçoit d’un côté ou d’un autre (inversions du premier et de l’arrière plans ou de la gauche et de la droite). En effet, une première différence distingue ces groupes représentatifs des groupes sensori-moteurs : c’est qu’ils conduisent à une comparaison d’ensemble et simultanée de ce qui, au niveau des seules actions, est successif et ne permet donc la composition que de proche en proche. D’où une deuxième nouveauté : la possibilité de compositions proprement déductives ; par exemple, comprendre que sur un trajet linéaire conduisant de A à Z, puis de Z à A mais avec un ensemble de navettes partielles telles que ADB, BMG, GXD, DZ, etc., la somme des déplacements dans le sens AZ (symbolisés par des fils bleus mesurant chaque mouvement partiel) équivaudra nécessairement à la somme des déplacements dans le sens ZA. Or, on voit d’emblée que, si un tel groupe représentatif est bien tiré du groupe sensori-moteur ou expérimental, c’est bien par une abstraction qui est (a) réfléchissante puisqu’il y a « réflexion » au sens d’une projection des actions sur le plan des représentations ; et (b) constructive (par réflexion mentale) au sens où une déduction remplace la constatation expérimentale, cette déduction étant plus riche que les constatations parce que plus mobile et de champ beaucoup plus large. Ces deux caractères se retrouveront ensuite sur chaque nouveau palier de structuration, par exemple lorsqu’il s’agira pour l’enfant, après 11-12 ans, de raisonner selon deux systèmes de référence à la fois (composer les déplacements d’un escargot sur une planchette avec ceux de la planchette par rapport à la table, etc.).

D’une manière générale, on peut ainsi supposer que l’espace physique étant abstrait des objets, l’espace logico-mathéma- tique est au contraire abstrait des actions exécutées sur les objets : or, comme ces actions sont susceptibles à la fois d’imiter les configurations et les transformations de l’objet (dessin des contours, déplacements, sections, etc.) et de les dépasser librement, l’espace logico-mathématique est plus riche que l’espace physique. Et comme, d’autre part, à un certain niveau d’analyse, les propriétés spatiales de l’objet physique sont toujours solidaires de ses autres propriétés (masses et résistances, vitesses, etc.) il n’existe pas en science de géométrie physique autonome comme la géométrie pure, mais des théories physiques géométrisées à des degrés divers, ce qui ne revient pas au même ; au contraire la géométrie logico-mathématique

en se libérant de l’expérience, même sous la forme qui lui est propre, tend tôt ou tard à rompre les cloisons qui la séparent de l’algèbre générale, etc., et à perdre ainsi sinon sa spécificité du moins ce genre de spécificité qui résulte des compartimentages initiaux.

(B bis) Du point de vue de l’épistémologie génétique, le problème B se précise alors sous la forme d’une question de filiations. Quatre hypothèses sont génétiquement concevables :

(« ) L’espace logico-mathématique serait tiré de l’espace physique, ce qui est la solution de tous les auteurs ayant cherché à rendre compte des géométries à partir de la perception (l’un des derniers est F. Enriques pour qui l’espace projectif trouve sa source dans la vision, la métrique euclidienne dans les perceptions tactilo-kinesthésiques, etc.).

(b) L’espace physique serait issu de l’espace logico-mathématique, ce qui est acceptable dans une perspective aprioriste (comme celle de Poincaré eu égard au groupe des déplacements) ; et ce qui comporterait sans doute une vérité partielle selon l’interprétation que l’on donne des processus de schématisation invoqués par Gonseth.

(c) L’espace physique et l’espace logico-mathématique se développeraient en interaction l’un avec l’autre mais sans filiation complète de l’un à partir de l’autre.

(d) Leurs développements respectifs ne comporteraient pas d’interaction au sens strict mais une simple correspondance structurale jusqu’au point ou la géométrie pure serait susceptible de construire des structures sans signification physique (du moins contemporaine de leur élaboration théorique).

Or, si ce que nous avons dit (sous B) des deux types d’es- périences et des deux types d’abstractions physique et logico- mathématique se vérifie dans la suite, les deux hypothèses (a) et (b) seraient difficiles à soutenir, même au cas probable où ces deux formes d’expérience s’accompagnent toujours l’une l’autre au cours des stades initiaux et où les deux types d’abstractions ne se différencient nettement qu’au cours des stades ultérieurs. En effet, si les structures logico-mathéma- tiques élémentaires procèdent des actions effectuées sur les objets, leur élaboration s’accompagnera nécessairement d’informations prises sur ces derniers, dans la mesure même où une action sur l’objet suppose la présence de celui-ci. 11 n’en

reste pas moins qu’il est légitime de distinguer, à l’analyse, ces deux sources de connaissances ; bien plus, précisément parce qu’elles sont indissociables au début au lieu que l’une précède l’autre génétiquement (car il y a déjà des structurations logico- mathématiques dès la perception ²), il semble exclu de dériver l’une de l’autre selon les filiations (a) ou (à).

Quant aux hypothèses (c) et (d) il est difficile d’en décider par expérience directe au cours des stades initiaux. Par contre l’analyse des formes d’abstraction au niveau de la pensée scientifique et l’examen historico-critique des relations entre les mathématiques, la physique mathématique et la physique dans l’élaboration et la succession des théories pourraient conduire à justifier la solution (d). En outre, entre les stades initiaux et les niveaux supérieurs, toute la psychogenèse des opérations spatiales serait aussi de nature à fournir des indices utiles dans la même direction, ce qui nous conduit à notre troisième problème.

(C) Ce dernier problème que soulève l’épistémologie génétique de l’espace, et que nous avons mis au programme de cette année, est celui des relations entre les opérations spatiales et les opérations logico-arithmétiques. Les premières sont-elles entièrement spécifiques ou ne rencontre-t-on aux niveaux opératoires élémentaires (dès 7-8 ans mais avec préparation préopératoire auparavant) que des opérations isomorphes aux opérations logico-arithmétiques, la spécificité des premières se réduisant à une intervention des voisinages ou du continu, mais sans structurations d’ensemble sui generis ? Or, ce problème est d’intérêt général et ne se réduit nullement à une simple question psychogénétique. Dans la perspective classique où la théorie des nombres, l’algèbre et l’analyse étaient censées épuiser les mathématiques « pures », tandis que la géométrie passait pour « appliquée » au monde des perceptions, on aurait dû s’attendre, ou bien à une absence complète d’opérations spatiales particulières (les opérations géométriques n’étant que des opérations numériques ou algébriques, etc. mais appliquées à un contenu sensible), ou bien à des opérations sui generis calquées sur leur contenu perceptif. Dans la perspective contemporaine, au contraire, où la géométrie est logicisée et où sa partie la plus générale qui est la topologie

2 Voir vol. VI des « Etudes » : Les isomorphismes partiels entre les structures logiques et les structures perceptives.

entretient avec l’algèbre les relations les plus étroites, il faut s’attendre à ce que les opérations géométriques ne se distinguent pas des autres opérations logico-mathématiques sinon par l’intervention des notions de voisinage ou de continu.

Or, les faits psychogénétiques réunis jusqu’ici semblent indiquer, d’une part, que les opérations spatiales ne sont pas simplement des opérations logico-arithmétiques appliquées à l’espace en tant que pur contenu distinct de ces formes, mais que, d’autre part, les premières de ces opérations sont isomorphes aux secondes et ne présentent ainsi qu’une spécificité restreinte. Un bon exemple est celui de la constitution de la mesure spontanée chez l’enfant³, qui ne se réduit nullement à une simple application du nombre aux grandeurs spatiales mais qui se développe au contraire de façon à la fois indépendante et isomorphe à la construction du nombre. On se rappelle, en effet, (Vol. XI des « Etudes ») que le nombre résulte d’une synthèse progressive entre l’inclusion des classes et la sériation des unités, cette synthèse expliquant le passage de l’addition tautologique A + A = A à l’addition itérative 1 + 1=2 dans la mesure où la seconde unité 1 est distincte de la première en tant que venant « après » elle (ordre vicariant). Or, même dans le cas de la mesure d’une longueur, l’unité spatiale n’est pas donnée puisqu’il s’agit d’un continu. La première opération intervenant dans la mesure sera donc la partition du continu avec son inverse l’addition partitive, isomorphe à l’addition des classes (sauf qu’il ne s’agit plus d’objets discrets et de leurs réunions mais de parties ou morceaux et de leurs réunions). Mais, en second lieu, pour aboutir à un système d’unités, il faut encore égaliser les parties et pour cela reporter l’une d’entre elles sur la suite du continu ; la seconde opération constitutive de la mesure sera donc le déplacement d’une partie en une suite de positions ordonnées, ce qui constitue l’isomorphe de l’ordre sérial des unités numériques. En bref la mesure apparaît comme une synthèse de la partition et du déplacement comme le nombre lui-même est une synthèse de l’inclusion et de la sériation, et ce n’est qu’une fois la mesure ainsi constituée de façon autonome, mais isomorphe à la construction du nombre, que celui-ci peut être « appliqué » à l’espace.

3 Voir Piaget, Inhelder et Szeminska, La géométrie spontanée de l’enfant, Paris (P.U.F.), chap. I.

De façon plus générale, on peut caractériser les opérations spatiales par leur échelle. Les opérations logico-arithmétiques partent des objets (type 0) et les réunissent en classes de divers rangs (type 1 … n) ou les sérient selon divers ordres, etc., sans s’occuper de l’échelle intérieure aux objets. Les opérations spatiales au contraire ont pour limite supérieure un objet d’un seul tenant (une figure, un plan, un espace en sa totalité, etc.) et le décomposent en parties qu’elles relient de diverses manières : nous appellerons donc « infra-logiques » de telles opérations (ce qui ne signifie en rien prélogiques, mais se réfère à la seule échelle), étant entendu qu’elles sont isomorphes aux opérations logico-arithmétiques (et ne s’en distinguent en rien du point de vue formel) mais d’échelle inférieure.

Discussion. —   Cette introduction de Piaget a donné lieu à un bref échange de vues. Gonseth ayant demandé la différence entre les hypothèses de filiation c et d (voir sous Sbis) on lui répond que c implique encore une sorte de filiation mais morcelée, tandis que l’hypothèse d invoque une adéquation mutuelle progressive. Libois propose : « auto-développement avec adéquation progressive » et il se demande si l’auto-développement de la géométrie mathématique est donné dès le départ ou par différenciation graduelle à partir de la géométrie physique. Gonseth précise qu’il ne tire pas la première de la seconde mais que la première s’élabore « devant » ou « en face » des réalités physiques. Libois insiste en outre sur la multiplicité des espaces et sur le fait que l’espace de l’action a plus de trois dimensions et Nowinski souligne le parallélisme des constructions spatiales et physiques.

Grize a discuté ce problème en un exposé que nous résumerons moins en détail que le précédent puisqu’il paraîtra dans les « Etudes ». On peut adopter plusieurs méthodes pour rendre compte du fait géométrique : l’axiomatisation des relations spatiales, la réduction à l’algèbre, la recherche d’invariants, etc. Or, les deux premières suggèrent deux sortes d’analyses distinctes en œuvre dans la géométrie naturelle : celles que l’on peut appeler intra-figurales, portant sur les éléments d’une même figure et celles qu’on nommera inter-jigurales, consistant

à réunir des éléments en classes en fonction de qualités communes. L’analyse intra-figurale conduit alors aux opérations « infralogiques » (voir 1 sous C) et l’analyse inter-figurale aux opérations logiques (à commencer par les « groupements » et à passer aux groupes et aux corps). Si les structures algébriques et les structures d’ordre tirent leur origine des groupements de classes et de relations, donc des activités inter-figurales du sujet, les structures topologiques s’appuient par contre sur ses activités intra-figurales. On ne peut donc réduire la géométrie à la logique et, quand on l’a fait (Tarski et Beth, Piéri), on a pris pour point de départ des notions contenant déjà un double aspect logique et spatial (continuité, etc.).

Bresson se demande si la dualité des aspects topologique et métrique de l’espace ne se retrouve pas déjà dans la perception, selon que celle-ci appréhende les relations dans l’objet ou en fonction des mouvements du sujet. Grize n’est pas certain que les distinctions qu’il a faites aient un fondement perceptif. Piaget pense qu’on assiste à deux constructions successives, l’une perceptive et l’autre représentative, avec fort décalage temporel entre deux. Bresson est d’accord à condition de voir dans la seconde un dépassement de la première.

Greniewski discerne deux tendances dans les reconstructions de la géométrie. L’une aboutit à considérer les points comme des individus et les lignes, les plans, etc., comme des classes de points. C’est l’attitude classique ce qui ne signifie, ni qu’elle soit la plus primitive, ni qu’elle soit vieillie. La seconde tendance, qui se manifeste déjà dans le Manuel du pape Sylvestre II revient à partir des corps en tant qu’individus et à considérer les surfaces, les lignes et les points comme des abstractions ou des produits de constructions artificielles (cf. la notion de point chez Tarski). Greniewski se demande si cette distinction ne serait pas utile au point de vue génétique. Il désirerait en outre que l’on donne à la notion d’ordre un statut plus large que chez Pasch et Cantor, en considérant quatre formes d’ordre : linéaire ou cyclique, fléché ou bifléché. — Grize accepte cette dernière suggestion et, pour ce qui est des deux attitudes à l’égard du point, trouve la seconde la plus justifiée dans une perspective génétique : au commencement n’était pas le point !

Greniewsi n’est pas non plus certain que la topologie soit la géométrie-mère. Une géométrie plus primitive encore serait une interprétation spatiale de la logique de Boole, selon l’essai

développé par Jaskgwski. Grize répond que sa propre tentative est analogue, mais il a moins insisté sur la structure de l’algèbre de Boole que sur les éléments spatiaux nécessaires à ajouter pour en tirer une géométrie.

Libois insiste à nouveau sur la multiplicité des espaces et croit indispensable de les analyser directement au lieu ou avant de les reconstruire les uns à partir des autres. Gréco souhaiterait une étude des relations « topographiques » liées à des structures d’objet non encore opératoires mais dépassant le niveau de la perception.

Appliquant les réflexions précédentes à l’histoire de la géométrie grecque, Grize présente les trois remarques suivantes :

(a) Cette géométrie est essentiellement intrafigurale. Il n’y est pas question d’espace. Pour Ménon la figure est la limite d’un objet ou d’une surface et pour Euclide c’est ce qui est limité par des frontières. Ces figures demeurent particulières : il n’y a pas de mot pour désigner les « courbes ». Le géomètre n’invente pas les propriétés de la figure ni ne les construit à partir d’un système logique. Mais il ne les tire pas non plus simplement de l’objet. Par exemple le point est pour Euclide « ce qui n’a pas de parties » mais aussi ce qui a une position (cf. les Seconds Analytiques d’Aristote), ce qui est très différent de l’unité arithmétique.

(b) On assiste en second lieu à une mise en relation des figures et des nombres, et cela selon diverses étapes. Grize insiste en particulier sur la technique du gnomon qui assure la correspondance entre la figure et sa transformée, et sur la théorie des proportions qui introduit une correspondance entre la forme et le nombre : Eudoxe construit une théorie des proportions spatiales parallèle aux proportions numériques au lieu de confondre mesure et nombre.

(c) La géométrie grecque tend à devenir une reconstruction sur le plan logique de propriétés découvertes : la recherche est une chasse, comme le dit Platon qui n’en distingue pas moins les êtres géométriques des nombres (« En aucune manière, les nombres ne peuvent être revêtus d’un corps visible »). D’où sont alors tirées ces propriétés géométriques ? En un sens d’une

physique, mais d’une physique de la figure quelconque, comme dans le passage où Aristote compare la géométrie de la droite à une sorte de physique de cette droite, mais en tant que celle-ci n’est précisément pas physique⁴ ! Si l’on se rappelle combien Euclide hésite à invoquer les mouvements, même sous la forme de simples déplacements, il faut conclure qu’il n’y a pas chez lui abstraction simple à partir des objets physiques : l’objet géométrique conserve un statut intermédiaire entre l’objet physique et l’Idée pure, ce qui explique entre autres la distinction entre les postulats (dont trois sur cinq portent sur l’existence d’objets) et les notions communes ou axiomes vrais.

Granger pense que si la géométrie grecque était intermédiaire entre une physique et une mathématique, les Grecs auraient dû aboutir à une physique mathématique. Libois lui rappelle l’hydrostatique d’Archimède et invoque les deux courants distincts de la pensée grecque représentés par Platon et Euclide, d’une part, Thalès, Démocrite et Archimède, d’autre part. Quant à la théorie des proportions, qui est parfaite chez Eudoxe, il en faudrait connaître les étapes préeudoxiennes.

Greniewski insiste sur l’idée atomistique du point chez Euclide et rappelle comment Tarski définit le point en termes de logique booléenne, ce qui lui permet de construire une géométrie sans points.

Beth croit à l’importance des références tactiles dans la géométrie d’Euclide, en plus des références visuelles et motrices : si cette géométrie est finitiste c’est qu’on ne peut saisir manuellement qu’une figure finie. Avant d’admettre qu’on peut prolonger indéfiniment une droite , Euclide définit le segment.

Pour faire la transition entre les réflexions théoriques qui précèdent et les résultats psychogénétiques obtenus sur l’espace, résumons encore les quelques remarques que Papert a groupées en l’un de ses exposés dans le but de souligner la complexité des êtres et des constructions géométriques.

Pour construire une géométrie, il faut partir d’êtres simples et d’opérations permettant de les transformer ou de les mettre

4 Cf. Szabô, « Anfânge des euklidischen Axiomensystems », Archive for History of exact science, 1960, 1.1, 37-106.

en rapport (par plongements, incidences, relations de dedans- dehors, de proximité, d’ordre, etc.) : d’où résultent les êtres complexes dont la composition conduit enfin aux schémas constitutifs des figures.

Mais qu’est-ce qu’un « être simple » ? Une droite est une donnée perceptivement très primitive, les trajectoires linéaires sont fréquentes chez l’animal et dans les conduites sensori-motrices de l’enfant. Et cependant l’idée de « chemin le plus court » n’est pas fournie par l’expérience. Pour démontrer que la droite AB est le chemin le plus court entre A et B, on partira, par exemple, d’un chemin quelconque c en soutenant que, s’il était le plus court, son symétrique c’ le serait également, d’où la conclusion que le chemin le plus court se réduit bien à la droite AB. Mais cette démonstration suppose (1) l’unicité du chemin le plus court, et (2) la conservation des longueurs par symétrie.

En fait, dès les propriétés les plus élémentaires, le « donné » est assimilé à des structures variées, à commencer par les structures nerveuses. En manipulant ces « données », le sujet (enfant, etc.) peut alors aboutir à des contradictions et le problème est donc de les surmonter. Tel est le principe des démonstrations réelles ou « dynamiques » : à partir de données D et d’une structure S on démontrera une hypothèse H en établissant que : (D, S, non-H) → contradiction.

C’est cette interaction entre données en voie de structuration qui conduit peu à peu, et en passant par des déséquilibres variés, aux transformations proprement opératoires et aux conservations ou invariants dont sont munis les êtres géométriques complexes constitutifs des figures. On peut donc concevoir une correspondance entre les processus génétiques et les étapes de l’axiomatisation logico-mathématique, sauf (et ceci est essentiel) en ce qui concerne les soi-disant êtres « simples ».

Ces remarques de Papert (illustrant sur quelques exemples spatiaux ce qu’il exposera plus largement, sous 14, au sujet de son modèle cybernétique du développement) ont donné lieu aux interventions suivantes.

Piaget retient deux points importants de l’essai de Papert. Le premier est que les « êtres simples » sont aussi complexes que les êtres dits « complexes », mais d’une autre manière : ceux-là sont riches de contenus implicites, mais aussi de contradictions possibles (comme Poincaré y avait insisté à propos

du continu physique du perceptif, soumis à la loi de Weber : A = B, B — C mais A ≠ C), et ceux-ci sont riches par leur composition équilibrée. L’effort de Papert (deuxième point essentiel) consiste donc à reconstituer une genèse par alternance de déséquilibres et d’équilibrations partielles, d’une manière qui puisse être mise en parallèle avec les étapes de la formation. Mais cette axiomatisation reste à faire.

Gréco et Grize demandent si les schémas constitutifs des figures sont le produit d’une combinatoire de type logique ou non ? Papert répond qu’il les a représentés par une structure de réseau, mais sans que cela implique une classification logique.

Granger s’accorde à souligner les pétitions de principes et les cercles inhérents aux « êtres simples » : la démonstration que la droite est le plus court chemin relève des premières et la notion de la mesure d’un segment implique déjà la droite.

Greniewski rappelle que la genèse n’est pas à chercher que chez l’enfant : l’ethnographie et l’histoire des techniques fournissent des documents essentiels sur la construction des notions géométriques. Il lui est répondu que chacun de nous reconnaît ces exigences comparatistes, mais l’avantage inappréciable des enfants est que l’on peut multiplier les expériences et surtout les répéter pour contrôles.

Après ces exposés théoriques (1-4), nous résumerons maintenant les discussions provoquées par les résultats expérimentaux, en groupant ceux-ci selon les trois problèmes distingués sous 1 : (A) celui des images spatiales (voir 5), celui (B) des relations entre l’espace physique et l’espace géométrique (voir 6) et celui (C) de la nature des opérations spatiales (7-13).

Images spatiales et opérations géométriques. — B. Inhelder dégage les principaux résultats des multiples recherches qu’elle a dirigées avec Piaget sur le développement des images mentales. L’image n’est pas un simple prolongement de la perception mais comporte un facteur d’imitation active (et intériorisée), ce qui implique certaines relations entre son développement et celui de l’intelligence. Quoique bien distincte des opérations de la pensée (cf. la distinction fondamentale des

aspects figuratifs et opératifs de la connaissance), l’image n’évolue pas de façon autonome, car ses formes supérieures, qui portent sur l’anticipation des transformations ne se constituent qu’orientées par les opérations. Il faut, en effet, distinguer les images de simple reproduction et les images anticipatrices. Or, même les premières demeurent longtemps étonnamment statiques : cf. la difficulté qu’éprouvent les jeunes sujets à imaginer le déplacement d’un carré superposé à un autre, immobile, faute de se représenter les déplacements de frontière, ou d’imaginer la rotation de 90° d’une tige verticale, ou encore la transformation d’un arc en une droite par étirement d’un fil de fer. Quant aux images anticipatrices, elles n’atteignent d’abord (et encore assez tard) que le résultat des transformations avant de pouvoir figurer les étapes de celles-ci (cf. les difficultés à se représenter ou même à reproduire au ralenti par geste, en tenant l’objet en mains, les étapes de la rotation de 180° d’un tube de carton culbutant en l’air). B. Inhelder commente en particulier les résultats des deux épreuves suivantes : se représenter la position d’un véhicule suivant de près le bord découpé d’un lac et prévoir que l’un des longs côtés (coloré en rouge) de ce véhicule sera toujours face au lac malgré les contours multiples ; ou se représenter les positions d’un escargot rampant à l’intérieur des quatre côtés d’un cadre carré. En conclusion, malgré le caractère privilégié de l’image spatiale qui parvient à une union particulièrement étroite du figuratif et de l’opératif, cette image ne joue pas un rôle prépondérant dans la constitution de l’intuition géométrique, car même sur ce terrain (ou surtout sur ce terrain), l’image ne se développe et ne parvient à remplir ses fonctions reproductrices et anticipatrices que dirigée par les opérations.

La discussion qui suit met en évidence un accord général sur certains points et un désaccord relatif sur d’autres, mais instructif quant à la nature mixte et difficile à saisir de l’image.

L’accord est général sur le fait qu’il n’y a pas de pures images au sens de réalités indépendantes à évolution autonome, etc. : chacun reconnaît le caractère de schématisation propre aux images spatiales ainsi que leur subordination par rapport à l’opérativité croissante qui les modifie et les structure. En ce sens, Gonseth en vient à récuser le terme d’image et à soutenir que l’image d’un carré est un invariant construit au sein d’un groupe de transformations. Mais Féraud demande alors si l’on parle bien de l’image ou au contraire du concept.

L’accord cesse par contre quand il s’agit d’atteindre l’image comme telle. Oranger s’étant demandé si la condition préalable d’une schématisation imagée comme dans le problème du lac ne consistait pas à réduire le tridimensionnel au bidimensionnel, Gonseth répond que l’important n’est pas le nombre des dimensions mais la pluralité des images et le fait qu’à toutes les images distinctes la géométrie fait correspondre un seul concept. Grize pose alors la question de savoir si le propre de l’image n’est pas d’être simplement symbolique, ce que contestent les uns à cause de son adéquation relative et ce qu’acceptent les autres à cause de son inadéquation relative (l’image d’une ligne a une largeur, celle d’un point une surface, etc.).

Piaget soutient que l’image ne fournit que des instantanés (par cela même symboliques) là où l’opération atteint la transformation comme telle. La fameuse critique de l’intelligence de Bergson fondée sur son soi-disant procédé cinématographique (reconstituer le continu au moyen de fragments discontinus et le devenir de la transformation au moyen d’instantanés statiques) est en réalité une critique de la représentation imagée, car c’est elle et elle seule, par opposition à l’opération, qui utilise la méthode cinématographique.

Papert insiste d’autre part, sur les différences entre les rapports topologiques inclus dans la perception et ceux qui interviennent dans la représentation graphique et il souligne les contradictions entre la copie par le dessin, qui respecte primitivement les relations topologiques et les échecs à l’épreuve de l’escargot, ce qui conduit à distinguer les problèmes de continuité (topologie) et de « ressemblance » (logique) dans les déplacements de l’espace.

Dans un exposé intitulé « De l’objet physique à la figure géométrique », E. Vurpillot fournit d’intéressantes données sur les réactions des enfants à des épreuves consistant à retrouver une forme (par exemple un triangle) dans une figure complexe qui la contient, mais englobée dans un ensemble de lignes plus ou moins enchevêtrées présentant bien d’autres combinaisons figurales (épreuves de Gottschaldt). Analysant les erreurs commises par les sujets de 5 à 7 ans, E. Vurpillot montre qu’elles s’expliquent dans la mesure où l’on admet que l’enfant

attribue à ces figures une sorte de matérialité, traitant les figures fermées comme des plaquettes rigides et les figures ouvertes comme composées de fils de fer. Il s’ensuit que l’enfant ne peut faire subir aux dessins que des décompositions applicables à des objets physiques : par exemple une droite frontière entre deux figures est traitée comme ne pouvant appartenir à la fois à ces deux figures ; on ne peut lui emprunter un segment et elle n’est utilisée qu’en entier ou pas du tout ; etc. E. Vurpillot distingue six étapes successives dans les conduites observées entre ces réactions « physiques » et les réactions proprement géométriques.

Les plus significatives de ces étapes (un exposé complet de cette recherche paraîtra dans les « Etudes ») sont celle où l’enfant décompose la figure en un ensemble de parties ou « morceaux » non décomposables eux-mêmes, puis celle où il isole une partie d’un des morceaux déjà séparés en pensée.

Piaget souligne l’intérêt de ces faits qui montrent le passage entre un état où le géométrique est indifférencié du physique et un état où il s’en dissocie par abstraction progressive. Mais on ne saurait tirer de cette abstraction la conclusion d’une filliation de l’espace géométrique (ou logico-mathématique) à partir de l’espace physique, et cela pour deux raisons. La première est que l’espace physique initial n’est pas purement physique, car il ne peut être appréhendé qu’au moyen d’un cadre logico-mathématique issu des actions du sujet sur l’objet, ce qui revient simplement à dire que l’objet est structuré en fonction des actions exercées (ou pouvant l’être) sur lui, et que ces actions comportent déjà des mises en relations d’emboîtement ou d’enveloppement, d’ordre et de grandeurs, etc. Dans le domaine du nombre, également, l’enfant ne commence par classer, sérier et dénombrer que des objets physiques, sans que les classes, relations et nombres soient pour autant tirés de ces objets puisqu’ils sont introduits par les actions s’exerçant sur eux. Dans le cas des propriétés spatiales, celles-ci appartiennent simultanément aux objets et aux actions s’exerçant sur eux (et là est bien la différence essentielle entre le géométrique et le logico-arithmétique), mais on ne saurait pour autant tirer l’espace inhérent aux actions de l’espace des objets comme tels : ces espaces sont d’abord indissociables et se correspondent structuralement, mais (pour l’observateur sinon pour le sujet) ils sont distincts dès le départ puisqu’un même objet est structuré différemment selon les différents sujets ou les niveaux

successifs du même sujet. La seconde raison pour laquelle l’espace logico-mathématique ne saurait être conçu comme tiré de l’espace physique est que l’abstraction progressive qui l’en dissocie est une abstraction réfléchissante et constructive (voir sous 1, en B) et non pas une abstraction simple, et cela puisque 1’« abstrait » est plus riche que le concret : non seulement il y a plus d’« espaces » ou de « géométries » en mathématiques qu’en physique, mais encore, dès les étapes infantiles décrites par E. Vurpillot, la structure finale des emboîtements de parties et de « parties de parties » est géométriquement plus riche que la structure initiale de plaquettes et de fil de fer.

Lunzer insiste de même sur l’élément d’abstraction à partir des mouvements qui suivent les contours de l’objet et Nowinski sur les différentes manières dont le sujet peut assimiler les figures.

Zangwill rappelle les expériences américaines sur les réactions des blessés du cerveau aux figures de Gottschaldt et se demande si l’on trouve des relations entre les conduites de l’enfant et ces effets de désintégration.

Libois pense que la difficulté à pouvoir rattacher une même ligne à deux figures différentes se retrouve jusque chez des étudiants de 18 ans et souligne le fait que des adultes non géomètres seraient plus proches des enfants, ce qui montre à nouveau tout ce que le sujet peut ajouter à l’objet figurai.

6 bis. E. Vurpillot a présenté une seconde expérience qui, quoique très différente et portant sur la perception des formes, a soulevé des problèmes voisins. Il s’agissait du rôle privilégié du plan fronto-parallèle dans la constance perceptive de la forme et la question centrale était de savoir si cette « régression au plan fronto-parallèle » comme l’appelle E. Vurpillot intéresse aussi des formes irrégulières inconnues du sujet ou seulement les bonnes formes géométriques connues. Deux expériences ont été faites sur des enfants de 5 à 12 ans : (I) Quatre formes inconnues ont été présentées à 60° d’inclinaison et il s’agissait (a) de reconnaître (par une méthode de choix) l’inclinaison et (b) de discerner (par choix également) ce que pourrait être l’aspect fronto-parallèle. Dans l’expérience (II) une forme inconnue et un carré sont présentés chacun à 45° à 60° et à 72° et il s’agit de reconnaître la projection.

Les résultats ont été que : (1) il y a régression au plan fronto-parallèle dans toutes les conditions ; (2) cette régression diminue avec l’âge ; (3) à 5 ans les réponses sont les mêmes

pour toutes les inclinaisons du stimulus. Les enfants de 5 ans sont donc portés à choisir parmi les variables celle qui, pour eux est la plus « typique » et le prototype est le plus souvent très proche de l’aspect fronto-parallèle. Dans la suite, la réaction témoigne d’un compromis entre ce prototype et la projection adéquate, le premier jouant un rôle de moins en moins important au cours du développement. En bref, au début, il y a indifférenciation entre l’objet et son aspect projectif, puis des aspects différents sont attribués à un objet unique, mais sans coordination, et vers 11-12 ans les états sont reliés aux transformations mais avec encore certaines absurdités métriques.

Lunzer estime que ces faits se rapportent directement au problème des relations entre l’espace physique et l’espace mathématique. La réaction de 5 ans est une réaction à l’objet fonctionnel (relatif aux actions du sujet), tandis qu’il y a ensuite différenciation des propriétés projectives. Pour Bresson la perception appréhende déjà des espèces de « classes », mais pas au sens d’un invariant de groupe, et, quand l’enfant fait un choix exact, cela n’est déjà plus du figurai. Il y a dans la perception des opérations isomorphes à celles de la pensée opératoires, mais elles ne sont pas dégagées. Pour Gréco le problème ne se place pas au plan de la perception, mais de la construction figurale (des « schèmes morphologiques » voir plus loin sous 10), du moins à 5 ans où il ne s’agit pas de constance perspective. Pour Piaget ce n’est en effet, pas une expérience purement perceptive (lorsque c’est le cas, les petits ont une meilleure estimation projective que les grands) et Vinh-Bang compare ces résultats avec les siens, lorsqu’il y a centration sur les aspects extrêmes chez les enfants de 5 ans. Pour Granger il intervient cependant un aspect perceptif, puisque la distorsion va toujours dans le même sens ; il ne s’agit donc pas d’un processus purement opératoire. Gréco maintient qu’il y a construction, mais à partir du figurai perceptif.

Vinh-Bang a utilisé une technique élégante pour analyser les conflits possibles entre l’intuition et la déduction opératoire. Le principal problème choisi étant de construire la plus grande surface possible au moyen d’un périmètre constant P, Vinh- Bang a utilisé une collection de spaghettis de 22 cm de long : chacun peut alors constituer le périmètre P de la figure trian-

gulaire, carrée, hexagonale, etc., que construira l’enfant en coupant ce spaghetti, en 3, 4, 6, etc. morceaux et en ajustant ceux-ci en une figure fermée. La question des surfaces se subdivise alors en deux : (1) il s’agit d’abord pour un triangle S3, un quadrilatère S4, etc. de trouver pour quelles relations entre les côtés (inégaux ou égaux) la surface considérée sera minimum et pour quelles relations elle sera maximum ; (2) il s’agit ensuite de comparer les S3 max, S4 max, puis de construire S6 max, et enfin, par comparaison entre S3 max, S4 max et S6 max, d’en inférer la position des surfaces S5 max et S7 max ; etc. jusqu’à généralisation de la loi (éventuellement jusqu’à la limite où le S max du même périmètre P n’est autre que le cercle).

Les résultats obtenus sur les enfants de divers âges et sur les adultes non géomètres sont surtout instructifs par les conflits qu’ils manifestent entre les résultats de l’intuition imagée et ceux de la déduction opératoire. Tandis qu’à 9-10 ans la première méthode prédomine encore, la seconde l’emporte dès 13-14 ans ; vers 11-12 ans on assiste à un mélange des deux procédés pouvant aller jusqu’à des contradictions. Les solutions intuitives de 9-10 ans n’en conduisent pas moins parfois à des résultats presque corrects, tandis que les solutions « réfléchies » du même âge peuvent être plus confuses et même aberrantes. Mais à partir d’un certain niveau, seule la solution déductive finit par atteindre la loi et quelques fois même sa généralisation jusqu’à la limite (le cercle).

La discussion porte d’abord sur le faible rôle que jouent les angles dans les raisonnements de l’enfant, comme le remarque Grize, qui suppose que les angles sont attribués par le sujet à l’objet en tant que tel plus qu’à son contour ou au « périmètre ». Beth pense qu’un des obstacles à la solution du problème est que les sujets ne disposent pas d’une notion générale de contour ou de « courbe ». Papert répond que ce qui manque plutôt est la notion de polygone régulier, une des difficultés de la question provenant de ce qu’il n’y a pas de variation régulière de la surface en fonction de la longueur des côtés. Le problème n’est donc pas seulement un problème de surface, mais surtout de fonction.

Lunzer trouve que la question la plus délicate est celle de la limite. Existe-t-il dès le départ une intuition de la limite et comment l’expliquer, qu’elle soit précoce ou tardive ? Des sujets de 13-15 ans imaginent assez facilement qu’un carré

ait une surface plus grande qu’un rectangle de même périmètre (voir 8-9), que la surface du cercle de périmètre P soit plus grande que celle du carré, etc., mais peut-être que l’intuition de la limite est gênée plus que favorisée par les sections successives du spaghetti. De toutes manières l’expérience de Vinh-Bang est extraordinairement riche, non seulement du point de vue de l’irréductibilité des opérations aux images mais encore à celui de la multiplicité des opérations qui interviennent et interfèrent dans la solution de ces problèmes.

Libois trouve que le problème peut se poser de façon assez différente selon que l’on utilisera un spaghetti rigide, flexible (cuit), une ficelle, etc., à quoi Vinh-Bang répond qu’il a utilisé également des ficelles en marquant les angles avec des épingles : les résultats ont été les mêmes. Libois suggère que si les angles ne jouent que peu de rôle, c’est qu’en bourrant une valise, un sac ou une poche, le contenu augmente d’autant plus que l’on tend vers la sphère. Dans le cas des surfaces, l’intuition suffit à montrer que plus la figure est régulière plus la surface augmente.

L’exposé précédent de Vinh-Bang ne portait que sur un cas particulier d’une recherche plus générale qu’il a poursuivie en parallèle avec une étude de Lunzer (voir 9). Le point de départ de ces travaux a été une question que Lunzer a eu le mérite de soulever au début de l’année : lorsque l’enfant de 7-8 ans en vient à élaborer ses premières notions de conservation, n’observera-t-on pas en outre la constitution de fausses conservations, telles que celle de la surface d’une figure que l’on modifie tout en laissant constant son périmètre ? Tandis que Lunzer a étudié ce problème du point de vue des raisonnements relatifs aux invariants de groupes ou notions de conservation (voir n° 9), Vinh-Bang l’a repris du point de vue des conflits entre le raisonnement opératoire et les estimations perceptives (voir 8 bis) ainsi que du point de vue des caractères généraux des raisonnements en jeu.

Vinh-Bang a utilisé à cet égard huit techniques différentes ⁵, dont il a retenu les deux dernières pour son exposé.

5 Ce travail paraîtra ultérieurement dans les « Etudes ».

(1) Un fil de coton de 40 cm bouclé forme le pourtour d’un carré de 10 cm de côté. En déplaçant trois des épingles qui retiennent le fil aux quatre angles, on transforme le carré en rectangles de moins en moins larges jusqu’à atteindre, par paliers discontinus, la surface limite nulle (par jonction des deux grands côtés). (2) Partant d’un carré de 100 cm² on le transforme par paliers en rectangles de surfaces égales mais dont le périmètre varie cette fois de 40 cm à l’infini.

Les principaux problèmes soulevés du point de vue des opérations géométriques sont d’abord ceux de la continuité, de la sériation possible et de la limite des transformations, et ensuite ceux des relations entre la conservation et la variation. Il est tout d’abord frappant de constater combien, jusqu’au début du niveau des opérations hypothético-déductives (11-12 ans), la notion de variation progressive reste difficile à construire par l’enfant (donnée qui sera précieuse pour nos recherches ultérieures sur les fonctions) : ou bien la surface transformée garde une valeur maximale, puis disparaît brusquement, ou bien elle demeure voisine d’un certain « seuil », pour rapetisser ensuite très rapidement (seuls certains sujets de 7 ans semblent admettre une certaine continuité de variation, mais parce qu’ils commettent l’erreur d’emboîter les surfaces décroissantes, faute d’imaginer les transformations). Il n’intervient donc pas de sériation des surfaces successives, sauf pour de petites séries si l’on part de S = 0, et la limite de la surface S = 0 est plus facile à saisir (8-9 ans), que la limite du périmètre de longueur infinie. Quant aux relations avec la conservation, le sujet oscille jusque tard entre des transformations sans conservation ou de pseudo-conservation nuisant à la représentation des transformations.

La discussion débute par une question de Deal sur l’influence possible de l’enseignement scolaire des surfaces. Vinh- Bang la croit nulle. Papert demande d’où vient cette conviction, parfois presque superstitieuse, du mathématicien que si une quantité tend vers 0 elle décroît régulièrement depuis le début. Nowinski pense que pour saisir les transformations finales il faut comprendre que la transformation a été toujours la même. Libois trouve difficile de dissocier ce qui est perceptif et le rôle de la logique (puis il suggère des expériences complémentaires), mais, pour Papert, il n’y a pas là une question de perception ; l’image elle-même, si c’est une pure image, ne sert à rien en géométrie. Bresson soutient aussi que le problème

n’est pas perceptif, sinon on ne se trouverait pas seulement en présence de deux classes. Greniewski rappelle la critique du continu physique chez Poincaré et Piaget souligne sa parenté avec la critique du continu perceptif chez Kœhler (a = b, b = c mais a ≠ c) : le continu authentique est de nature opératoire. Gréco insiste dans le même sens : il n’y a de continuité que reconstruite et il n’existe ni continu perceptif ni continuité dans l’évolution d’une perception. Beth considère le continu rationnel comme tardif et relevant de la seule pensée scientifique : la pensée spontanée se satisfait du discontinu, comme dans l’explication d’une maladie. Lunzer remarque que cependant les sujets de Vinh-Bang finissent par construire la continuité.

8 B. En complément du travail précédent, Vinh-Bang a distribué au Symposium un document que le manque de temps a empêché de discuter, sur les aspects perceptifs des figures qu’il a utilisées. En les présentant à d’autres sujets selon les techniques de mesures perceptives, il a constaté une sous- estimation générale des périmètres et une surestimation générale des surfaces, diminuant toutes deux avec l’âge, et particulièrement sensible à partir de certaines proportions objectives des figures, ce qui explique à la fois la situation des « seuils » observés lors des jugements dans la recherche opératoire et les conflits notés entre les jugemenst inspirés par la perception et ceux qui sont dus à la seule déduction logique ou préopératoire.

Lunzer a été frappé par le fait que, lors de la construction des notions de conservation, il intervient en général des jugements de compensation dictés par la réversibilité naissante, mais qui précèdent toute analyse quantitative accessible à l’enfant de ce niveau (7-8 ans). Par exemple, dans le cas du transvasement d’un liquide d’un verre large et bas dans un verre mince et élevé, le sujet dira que la quantité se conserve parce que ce qui est gagné en hauteur est perdu en largeur, mais sans être capable de le justifier par des arguments quantitatifs (qui impliqueraient la proportionnalité). Lunzer a alors fait l’hypothèse qu’à ce palier des compensations qualitatives l’enfant doit sans doute généraliser sa tendance aux

conservations en l’appliquant à des cas de transformations non-conservantes, comme celui des variations du périmètre avec surface constante. Lunzer a en outre supposé (deuxième hypothèse) que ces fausses conservations seraient accompagnées d’un sentiment de nécessité résistant davantage aux démentis de l’expérience que les erreurs préopératoires (centrations privilégiées, etc.) et enfin (troisième hypothèse) que leur généralisation s’accentuerait au niveau des opérations propositionnelles.

Pour vérifier ces hypothèses Lunzer a fait deux expériences : (I) un fil rigide sert de barrière à un pré carré que l’on transforme en rectangle de plus en plus allongé, le problème étant de savoir si la surface demeure constante comme le périmètre ; (II) un pré carré est transformé en parallélogramme de plus en plus étiré (par déplacement d’un triangle rectangle coupé dans la partie inférieure du carré et placé sur le côté supérieur) et le problème est de savoir si le périmètre se conserve comme la surface. Les questions posées sont les mêmes en I et en II : (1) un bonhomme aura-t-il le même chemin à faire en suivant la frontière du pré (périmètre) ? Et (2) une vache aura-t-elle la même quantité à manger (surface verte) ? L’enfant est prié de vérifier ses jugements par des mesures (fils ou cartes superposables).

Les deux premières hypothèses de Lunzer se sont trouvées vérifiées, mais non pas la troisième, car la dissociation des propriétés conservées et non conservées s’effectue sous l’influence des mesures dès la fin du niveau des opérations concrètes et par anticipation déductive dès celui des opérations formelles (avec avance générale à la question II par rapport à la question I).

9 B. Par ailleurs Lunzer s’est demandé pourquoi la conservation des longueurs (dans le cas de tiges dont l’une est décalée après vérification de leur congruence) est d’apparition sensiblement plus tardive que la sériation de réglettes selon leurs tailles, alors que celle-ci semble comporter une telle conservation. Il a donc repris ces problèmes sur un certain nombre d’enfants en y adjoignant les épreuves de conservation des distances (espaces vides) et est parvenu aux conclusions suivantes : (1) La conservation qui intervient dans la sériation opératoire des longueurs concerne les caractères intrinsèques de l’objet, sans relations avec les éléments environnants, tandis que, dans le cas des tiges décalées, la détermination des points

limites suppose une mise en relation de l’un des éléments avec l’autre, ainsi que l’intervention des déplacements, donc une conservation portant sur des propriétés différenciées et non plus intrinsèques à l’objet. (2) Dans le cas de la conservation des distances (malgré l’intercalation d’objets dans l’espace vide) il intervient également un intervalle entre points limites, mais pas de déplacements, de telle sorte que cette épreuve est de difficulté intermédiaire entre les deux précédentes. (3) Par contre, ces considérations ne suffisent pas à rendre compte de la complexité de la conservation des longueurs (avec décalage) dont le caractère tardif (vers 9 ans seulement) paraît à Lunzer attester l’intervention d’autres facteurs encore⁶.

Dans la discussion de ces résultats, Gréco se demande si ce que Lunzer appelle une différenciation des propriétés n’est pas simplement une abstraction, ce qui reviendrait à dire que conservation et abstraction sont un seul et même processus. Papert ajoute que dans la sériation aussi, les décalages sont des indices utiles de telle sorte que, là aussi, il faut dégager l’objet de la situation. Nowinski rappelle l’utilité de distinguer l’abstraction simple et l’abstraction constructive et différenciatrice (abstraction « réfléchissante »).

9 C. Mais la discussion des idées de Lunzer a surtout porté sur les suggestions qu’il a présentées en marge de ses résultats expérimentaux et qui visent à interpréter le développement des opérations dans la perspective de Pavlov. Pour Lunzer le pavlovisme ne se réduit nullement à la théorie des réflexes conditionnés, qui ne suffisent, en effet, pas à tout expliquer : le mécanisme de base n’est pas l’arc réflexe mais l’association entre réactions corticales et, dès le premier système de signalisation, l’excitation simultanée de réflexes compatibles donne lieu à l’élaboration de schèmes (les stéréotypes dynamiques). Au niveau du second système, il ne se produit d’abord qu’une « imitation » du premier système, tant que le système représentatif ne parvient pas à se rendre indépendant (entre 1 et 5 ans, par exemple dans le jeu symbolique « non dirigé » ou dans les représentations préopératoires) ; mais lorsque le

6 Les recherches faites depuis dans le domaine de l’image mentale ont justifié cette prudence : le caractère tardif de cette forme de conservation semble être dû à la difficulté de se représenter la compensation entre le dépassement terminal de la tige déplacée et le dépassement inverse initial, parce que le jugement tend à surestimer le dépassement terminal, en tant que prolongeant le mouvement de la tige décalée, tandis que l’image tend à le dévaluer en tant que dépassant la frontière de l’autre tige.

second système peut le devenir, il engendre de nouveaux schèmes : d’où la formation des opérations.

Pour Bresson, cette interprétation a le mérite de libérer le pavlovisme du caractère atomistique qu’on lui prête en général et de concevoir le premier système déjà comme très structuré. Mais alors qu’est-ce qu’une structure et en quoi celles du premier système diffèrent-elles de celles du second ? Par les contenus, répond Lunzer, parce que des contenus incompatibles dans le premier deviennent compatibles dans le second. Mais est-ce une incompatibilité dans les réponses, demande Bresson, ou dans les structures elles-mêmes, ce que soutient Lunzer ? Celui-ci répond que la représentation rend compatibles des informations incompatibles au niveau du premier système. Ajuriaguerra est d’accord que dans le premier système intervient, pour Pavlov, un facteur qui dépasse le simple réflexe : il y a réalisation de la fonction et cela met en jeu le « fond » et non pas seulement la mosaïque neuronique ; d’où la notion de stéréotype dynamique. Paillard se demande si la physiologie du système nerveux est en état de répondre à ces questions, mais Ajuriaguerra n’est pas si pessimiste car elle est passée d’une vision purement innéiste à l’étude des structures qui se construisent. Piaget voit bien l’analogie du stéréotype dynamique et du schème, mais il aperçoit moins clairement comment rendre compte des opérations, qui sont essentiellement activité et transformations, au moyen d’un second système de signalisation insistant surtout sur la représentation. Papert, de son côté, trouve le système pavlovien si « abstrait » au point de vue logique qu’il peut tout expliquer : l’inhibition correspondant à la négation et l’induction réciproque à la conjonction, avec la négation et la conjonction on rend compte de tout ! Lunzer répond qu’au point de vue fonctionnel il y a chez Pavlov des degrés entre 0 et 1.

Les deux premières des trois recherches poursuivies par P. Gréco portent sur la nature opératoire de la représentation géométrique — aussi les réunissons-nous — tandis que la troisième portera sur l’isomorphisme de ces opérations avec les opérations logiques.

Dans la première recherche on présente à l’enfant un anneau de Mœbius à une seule torsion dont les surfaces sont divisées

en quatre régions successives de couleurs différentes A, B, C, D. On annonce qu’on va couper le ruban M entre B et C et le mettre à plat : le sujet doit prévoir le résultat en coloriant un ruban blanc et plan qu’on lui fournit. On commence par un anneau M à deux couleurs seulement avant de passer à l’épreuve à quatre régions. En cas de réussite on passe à des anneaux plus complexes (trois couleurs, double torsion, etc.). La réussite complète dépasse à peine les 50 % à 12 ans et elle est précédée par quatre étapes, dont celle de 9-10 à 12 ans est caractérisée par des solutions correctes mais après de laborieux tâtonnements. Cette hiérarchie de solutions et surtout l’observation du comportement des sujets semblent montrer qu’en une situation complexe la représentation imagée a besoin d’être organisée par une analyse méthodique et que les diverses relations intuitivement saisies du point de vue figurai se coordonnent très progressivement selon des systèmes de composition de type opératif. Comme le dit Gréco « l’image est raisonnée » ⁷.

Dans le cas de cette seule épreuve il est difficile de décider si le système organisateur est intrinsèque aux représentations et notions spatiales ou s’il s’impose à elles du dehors. L’épreuve suivante nous rapproche de la première solution. Sur un carton 28X21 cm divisé en douze carrés égaux sont placés cinq triangles F de mêmes formes et dimensions, mais de couleurs et d’orientations différentes. Quatre sortes de questions sont posées : (1) choisir parmi cinq couples de modèles, sans les déplacer (ils sont disposé selon différentes orientations) ceux qui pourraient être superposés aux triangles F (avec plusieurs questions annexes sur la transitivité, etc.) ; (2) disposer sur une feuille divisée comme le modèle cinq triangles congruents aux F ; (3) on demande au sujet de construire (avec le même dispositif qu’en 2) la figure qu’il verrait s’il était assis en face de sa position actuelle ; (4) imaginer et construire la figure qui résulterait d’une rotation plane de 180° du modèle.

Ces stades observés sont analogues à ceux qu’avaient obtenus Piaget et Inhelder pour des épreuves de même nature : passage d’un espace égocentrique, centré sur le point de vue actuel du sujet à des coordinations progressives et, après 10 ans, immédiates. Mais surtout l’espace référentiel (haut et bas, gauche et droite du carton) et l’espace des figures (haut et bas,

7 Les citations sans références qu’on trouvera sous 10-12 sont tirées des résumés polycopiés distribuées par les auteurs comme papiers de travail au début du Symposium.

gauche et droite des triangles) n’aboutissent à un système unique qu’à partir de 9-10 ans et l’orientation propre des figures n’est précocement différenciée qu’en certaines situations privilégiées seulement.

Gréco en conclut à une distinction entre les « schèmes figu- raux » ou morphologiques et les « figures géométriques » structurées par des opérations : « S’il existe un « triangle général » géométrique, ce n’est donc pas de la contemplation d’une collection de triangles divers qu’il est abstrait, mais de l’ensemble des triangles que l’on peut superposer, déplacer, retourner, etc., c’est-à-dire du système des actions possibles sur ces triangles et compatibles avec la structure des objets. C’est en ce sens que nous comprendrons l’idée de Piaget que l’expérience géométrique porte simultanément sur l’objet et sur l’action. »

Dans la discussion, Papert insiste sur l’aspect formel (combinatoire) de la solution du problème de l’anneau de Mœbius et rappelle qu’il faut savoir regarder pour « voir ». Mais Lunzer répond que cela n’élimine pas le facteur spatial, et Bresson, tout en accordant que la succession des couleurs relève d’une logique, se demande si la compréhension de la torsion n’exige pas un facteur figurai. Libois répond que la torsion suppose trois dimensions et que, si l’appel à l’intuition paraît ici envelopper un piège, comme le déclare entre temps Gonseth, c’est que le sujet débute par une intuition bi-dimensionnelle. Gonseth insiste cependant sur le résidu d’image qui subsiste dans l’intuition géométrique et défend surtout cette intuition sous son double aspect imagé et opératoire ; une intuition purement figurale n’est pas celle du géomètre et n’est qu’une « inspection ». Piaget souligne l’accord sur le fond, sinon sur le vocabulaire : si l’image joue un rôle dans l’intuition géométrique, c’est en tant qu’elle est dirigée par les opérations, mais les opérations géométriques trouvent en l’image une traduction plus adéquate qu’en d’autres domaines, puisque l’image est spatiale.

Gréco a poursuivi en outre la recherche commencée l’année précédente ⁸ dont le principe est le suivant. Soit une figure F,

8 Voir vol. XVII des « Etudes », chap. I, § 12, Représentations de rotations dans le plan et hors du plan.

une transformation spatiale T et soit F’ la transformée de F sous T : (1) étant données F et T imaginer F’ et (2), étant données F et F’ imaginer T. Les transformations choisies pour T sont une rotation plane de 180°, et des rabattements autour d’un axe vertical ou horizontal. Etudiés d’abord sur des lettres de l’alphabet et sur une étoile à huit branches coloriées différemment, ces problèmes ont été repris cette année avec des boîtes rectangulaires divisées en quatre secteurs égaux, en y ajoutant certaines questions concernant les inversions, la commutativité, des produits de transformations distinctes et certaines transformations impossibles.

Les résultats convergent entièrement avec ceux de l’année précédente et si les réussites peuvent varier selon les épreuves, l’analyse des erreurs ou procédés de solution donne des tableaux cohérents selon les groupes d’âge et permet de distinguer cinq stades avec réussite dès 9-10 ans. Mais surtout, comme le dit Gréco, « ils nous renseignent sur la construction d’un groupe, non pas comme structure abstraite, mais comme système implicite de coordination des représentations opératoires. Ils laissent apparaître un isomorphisme entre opérations géométriques et opérations logiques, avec, dans certains cas, une avance des structures spatiales qui empêche de considérer celles-ci comme résultant d’une application de structures logiques préconstituées au contenu spatial ». D’autre part, « l’évolution ne va pas du physique au géométrique, c’est-à-dire de l’objet au concept, mais d’une organisation préopératoire à une organisation opératoire de l’espace, par la coordination des transformations d’objets « c’est-à-dire des actions exercées sur les objets mais accommodées aux propriétés de ceux-ci. Cette conclusion corrobore donc et complète celles que suggérait la recherche sur les « cinq triangles » (voir sous 10).

Libois, dans la discussion qui suit, insiste sur l’importance d’un tel champ d’études, qui est mathématiquement difficile mais qui est ramené ici à des problèmes simples. Granger, par contre, doute qu’il s’agisse en ce cas d’une étude psychologique portant sur la structure de groupe, car ni l’identité ni l’associativité n’interviennent dans les questions. Gréco répond qu’au contraire la transformation identique a été analysée systématiquement et Libois que l’associativité n’est pas nécessaire dans les déplacements. Papert, de même, voit dans les réactions du sujet l’intervention d’une classe de transformations peu à peu structurées en un groupe, mais Granger maintient que rien ne

prouve encore que l’enfant possède une telle structure. Pour Gonseth, on ne demande naturellement pas à l’enfant de rendre compte des propriétés des groupes, mais il n’en reste pas moins qu’il les réalise par ses réponses. Nowinski insiste sur le fait que, si le groupe est explicite et formulable dans l’esprit de l’observateur, il n’en est pas de même chez le sujet, ce qui n’empêche en rien le groupe d’intervenir dans la coordination de ses actions. Gréco précise qu’il n’a, en effet, nullement voulu étudier la « conscience » du groupe chez l’enfant mais bien la structure des opérations qu’il utilise et coordonne en un groupe sans pour autant réfléchir sur cette structure. Granger retire alors son objection.

Parmi les questions que nous nous étions posées au début de cette année figurait le double problème suivant : (1) Les opérations géométriques résultent-elles d’une application à l’espace d’opérations logiques préalables ou se constituent-elles de façon autonome sur le terrain spatial ? (2) Et, si le second terme de l’alternative est le vrai, se constituent-elles de façon isomorphe aux opérations logico-arithmétiques (comme l’est la construction de la mesure, en correspondance avec la construction du nombre mais non pas en application de cette dernière : voir 1 sous C), ou existe-t-il des opérations spatiales sui generis c’est-à-dire sans correspondance avec des opérations logico-arithmétiques. On a vu comment toutes les recherches précédentes, en particulier celles de Gréco (sous 10 et 11) parlent en faveur d’une construction des opérations géométriques à la fois autonome (donc ne résultant pas de l’application d’une logique préalable) et isomorphe à celle des opérations logico-arithmétiques. Mais il manquait à ces résultats une contre-épreuve, c’est-à-dire l’analyse d’opérations spatiales en apparence sui generis. Morf s’est intéressé à cette question et a fait l’hypothèse que si de telles opérations existaient il faudrait les chercher dans la direction des rapports figuraux : il se pourrait en principe que des rapports figuraux s’organisent entre eux pour évoluer vers un équivalent d’opérations géométriques, mais en restant dans le domaine du figurai. » Morf avait, en effet, observé occasionnellement des enfants de 4 ans ½ qui parvenaient à distinguer des faux nœuds de vrais nœuds, par simple inspection directe et sans analyse topolo-

gique, mais sans se fonder non plus sur de simples indices isolés. Il a donc repris cette analyse en cherchant, d’une part, à atteindre les facteurs rendant possibles ces intuitions élémentaires et, d’autre part, à étudier les coordinations éventuelles naissant de ces intuitions lors de complications des situations.

Les résultats obtenus ont conduit à infirmer cette hypothèse d’une sorte de « calcul figurai », du moins dans ce domaine pourtant privilégié des nœuds. D’une part, la distinction précoce des faux nœuds et des vrais nœuds n’est pas générale et les cas observés peuvent être dus à des expériences acquises occasionnelles. D’autre part, même dans les cas où les intuitions élémentaires se révèlent solides, il ne se réalise guère de coordinations à formes opératoires. « Jusqu’à l’établissement des structures logiques, les opérations sur les nœuds subissent les mêmes déséquilibrations que toutes les autres. » Un sondage portant sur des apprentissages à court terme a donné les mêmes résultats.

La relation d’ordre semble se construire par une coordination des voisinages : si le sujet note seulement que B est voisin de A, on peut avoir l’ordre BA(C) comme AB(C) (par exemple si A, B et C sont trois perles d’un collier à reproduire), mais s’il établit que B est à la fois voisin de C et de A sans que C soit voisin de A, il ne peut en résulter que l’ordre ABC ou son inverse CBA. De cette coordination découle également le caractère privilégié de la relation « entre » puisqu’elle demeure inchangée au cours de l’inversion. Mais, d’autre part, la question se pose d’établir si elle n’est que privilégiée, tout en étant construite à partir des voisinages (double voisinage de B par rapport à A et à C), ou si elle est primitive et non construite à partir des voisinages, ce qui infirmerait l’hypothèse d’une construction de l’ordre au moyen des voisinages et conduirait à considérer la relation d’ordre, ou tout au moins la relation « entre », comme aussi primitive que celle de voisinage.

En étudiant jadis la rotation d’une tige le long de laquelle sont enfilées trois perles A, B, C nous avions observé ⁹ un cer-

9 J. Piaget, Les notions de mouvement et de vitesse chez l’enfant, Paris (P.U.F.) 1946, pp. 5-16.

tain nombre de sujets de 4-5 ans qui prévoyaient la possibilité, après plusieurs rotations, d’un ordre BAC ou CAB, etc., donc la non-conservation de la position « entre » au cours des inversions. P. Gréco, reprenant ces mêmes épreuves à Genève¹⁰, n’a plus retrouvé de tels cas après 5 ans, mais a constaté qu’en faisant desssiner les trajectoires des perles et non pas seulement le résultat des rotations, on trouvait souvent pour la perle B des trajets analogues à ceux des autres (et E. Siotis a relevé cette réaction chez le 90 % des sujets à 4 ans, 65 % à 5 ans, 23 % à 6 ans et encore 8 % à 7 ans) ¹¹. Par contre W.R. Charlesworth a obtenu à nouveau chez les jeunes sujets une prévision du déplacement de l’élément médian dans les positions extrêmes ¹².

Il est donc utile de réunir de nouvelles informations sur la relation « entre » et c’est à quoi s’est attachée S. Taponier. Sa technique a consisté d’abord à présenter 3 ou 5 figures fermées irrégulières, emboîtées et se serrant de près, représentant des « pistes de courses » A’B’C’ ou A’B’C’D’E’. Sur chaque piste est posé au même point de départ un objet de couleur A pour la piste A’, B pour B’, etc., qui est censé parcourir la piste correspondante sans la quitter. Le problème est d’anticiper la position de ces mobiles A, B, etc. en différents points du parcours (celui-ci étant donc assez irrégulier pour comporter des circuits variés et des demi-boucles).

Les résultats de cette première expérience ont été que presque tous les enfants de 5 ans anticipent correctement la position de l’élément médian pour trois éléments, ce qui confirme le caractère privilégié de cette relation, mais à 4 ans ou avant il y aurait sans doute problème car il y en a déjà pour cinq éléments. La moitié des sujets justifient la position médiane en disant « parce qu’il est au milieu » ou « sur la ligne du milieu » avec ou sans reproduction correcte de l’ordre de la série, mais d’autres reproduisent d’abord l’ordre (toujours direct ABC, l’ordre inverse reste encore difficile) et justifient la position médiane de B par le voisinage : « parce qu’il est à côté de A ». Avec cinq chemins A’… E’, les erreurs sur le terme

10 P. Gréco, « L’apprentissage dans une situation à structure opératoire concrète » in : Apprentissage et Connaissance, Et. Epist. Génét. t. VΠ. Paris : P.U.F., 1959, pp. 68-181.

11 Résultats à paraître dans un ouvrage sur l’image mentale que nous préparons avec B. Inhelder.

12 W.R. Charlesworth, The Growth of Knowledge of the Effects of Rotation, Communication (multicopiée) à la Minnesota Psychological Association Convention de 1962.

médian C sont de 14 sur 71 réponses, la plupart consistant à confondre C avec B ou D mais en un cas avec A ou E eux- mêmes !

Dans une seconde expérience on présente au sujet une série de cinq éléments ordonnés (en fait cinq cercles concentriques A < B < … < F dessinés chacun sur une carte transparente), séparément d’abord puis par couples d’éléments voisins (superposition de deux cartes : deux cercles emboîtés) : l’enfant peut- il alors conclure que C est entre B et D sans pouvoir décider de l’ordre BCD ou DCB ? (On fait dessiner les trois cercles en noir en faisant reconstituer la couleur du cercle intermédiaire). La réussite de cette épreuve est nettement plus tardive (guère avant 11 ans).

Au total, on peut penser qu’il existe une relation « intermédiaire » de nature présériale plus précoce que la relation sériale « entre » qui suppose une construction opératoire de l’ordre.

Dans la discussion, Grize se demande si la précocité de la relation « intermédiaire » ne tient pas à la rigidité de l’objet et si elle ne nuit pas à la construction de l’ordre sérial. Il faudrait la compliquer en la comparant avec elle-même (transitivité, etc.). Papert trouve que ces résultats jettent une vive lumière sur la différence entre la topologie préopératoire et la topologie opératoire ; on voit aussi de façon nette que la représentation imagée n’est pas une donnée première : la construction de l’image de proche en proche requiert l’opération. Lunzer trouve que ces expériences aident à comprendre les formes inférieures du niveau des opérations formelles et soulèvent le problème du mode de fixation des constatations. A ce propos Granger montre que les redondances peuvent aider la compréhension, mais peuvent aussi jouer un rôle de bruit de fond. Beth pense que si l’on avait pris 4 ou 6 éléments les choses eussent été plus compliquées. Gonseth souligne que les relations « extérieur » et « intérieur » sont d’abord saisies comme de faux absolus, ce que S. Taponier compare aux réactions connues au test de Burt « Edith est plus claire que Suzanne et plus foncée que Lili ; laquelle… etc. ? » ¹⁸, mais, en ce cas on comprend les faux absolus verbaux tandis que dans le cas des cinq cercles concentriques les figures devraient favoriser Fin

is Avant 11-12 ans l’enfant réagit en disant qu’alors Edith et Suzanne sont claires, Edith et Lili foncées et qu’alnsi Lili est la plus brune des trois.

terprétation relationnelle. Libois conclut en distinguant trois sortes de mathématiciens : pour les premiers la poule vient de l’œuf, pour les seconds l’œuf vient de la poule et pour les troisièmes il faut poser le problème correctement et, dans ce but, introduire le temps. La question est de distinguer l’ordre fléché, l’ordre non fléché et l’ordre circulaire.

Indépendamment de cet ensemble de résultats sur l’épistémologie génétique de l’espace, le Symposium a encore entendu et discuté quelques communications de nos chercheurs portant sur des problèmes plus généraux.

S. Papert suppose que, si la neurologie ne nous apprend pas encore grand chose sur la perception et la pensée opératoire, c’est en partie parce que l’on n’a pas su formuler les questions de façon univoque pour trouver un traitement commun. Il existe une superstition selon laquelle il faut expliquer le complexe par le simple : or il convient au contraire de chercher jusqu’où peut aller le système nerveux et de s’engager dans la direciton des modèles évolutifs réels plus que dans celle de la simplicité artificielle. Papert expose alors ses idées sur un modèle (le « génétron ») imitant le développement par étapes et par équilibrations progressives, dont la description a été fournie dans le vol. XV des « Etudes ».

Dans la discussion qui a suivi, Paillard souscrit à l’idée que les problèmes sont souvent mal posés à la neurologie et reconnaît qu’il vaut souvent mieux étudier les capacités maximales et les problèmes limites (par exemple pourquoi VOcto- pus perçoit les horizontales et les verticales mais pas les obliques). Ajuriaguerra se demande ce qui se passe dans la machine en cas de détériorations graves : névroses expérimentales ou suppléances fonctionnelles ? En cas d’ablation du lobe occipital gauche (entraînant la dyslexie) un adulte peut réapprendre à lire. Tant qu’elle n’« imite » pas de telles suppléances, une machine, si ouverte soit-elle (et celle de Papert est très ouverte par rapport aux machines classiques), reste trop fermée. L’existence de voies finales communes pour la réalisation de la fonction n’empêche pas la différence entre les organisations d’ensemble. Papert répond qu’il a voulu seulement montrer qu’il fallait un équilibre préalable suffisant des méca-

nismes primaires pour que les mécanismes secondaires soient construits. Quant aux problèmes soulevés par Ajuriaguerra, ils n’excluent pas la possibilité de modèles mathématiques. Bresson demande si le modèle comporte déjà un système discrimi- natif ou s’il a besoin de renforcements ? Papert répond que ceux-ci ne proviennent pas nécessairement de l’extérieur. Bresson poursuit en évoquant une genèse « optimale » : un ordre des informations qui permettrait à la machine d’apprendre davantage et plus vite. Au point de vue psychologique, on a l’impression que les événements nous influencent en succession aléatoire et que cependant l’ordre d’acquisition est génétique. C’est, répond Papert, que l’ordre génétique est relativement indépendant de l’ordre des inputs, mais celui- ci peut rendre l’apprentissage plus rapide, plus lent ou plus difficile. L’idée d’un ordre aléatoire des inputs est assez arbitraire et Papert ne peut suivre von Neumann dans son calcul de ce qui tombe sur la rétine « au hasard ». Lunzer pense que la différence d’avec la genèse psychologique est que celle-ci comporte un moment actif de recherches, et Papert répond que l’important pour la machine est ce qui est assimilable. Granger se demande comment se signale la réussite. Soit directement, répond Papert, soit par feed-back. L’ordre des inputs, ajoute Gréco à propos de ce qui est assimilable, est en partie déterminé par les états successifs de la machine, mais il reste que celle-ci ne se déplace pas, tandis qu’un organisme peut le faire en le sachant. En effet, conclut Papert, on a donné à la machine des séries de cercles comme elle en aurait si elle s’était déplacée, mais c’est l’expérimentateur qui arrange ces déplacements…

Nowinski discerne chez les logiciens contemporains deux points de vue inconciliables au sujet de l’existence : ou l’existence est définie par la satisfaction d’une fonction φ(x) (« être c’est constituer l’argument d’une variable liée », Quine), ou bien on part de faits extra-linguistiques (être perçu, être « indiqué du doigt »). Or, ces deux définitions que l’on trouve l’une et l’autre chez Russell sont peu cohérentes et Quine a bien noté cette dualité en distinguant « ce qui existe pour un langage donné » et « ce qui existe » en général. La théorie de la signification est prisonnière de cette ambiguïté et l’on peut même se demander si elle ne repose pas souvent sur un cercle.

Il faut donc remettre en question la méthode et se placer au point de vue génétique ou dialectique. D’un tel point de vue, la définition de l’existence par la fonction est « assimilation » pure (au sens de Piaget) et la définition par la désignation est « accommodation » pure : or, il n’y a point d’assimilation sans accommodation et réciproquement. Il en résulte que l’existence ne peut être définie que relativement à un échange fonctionnel entre le sujet et l’objet, ce qui signifie que relativement à des structures d’ensemble. Les logiques analytiques échouent parce qu’atomistiques, tandis qu’une définition par les structures d’ensemble peut s’appliquer, non seulement aux mathématiques (seul cas formalisé par Russell) mais à toutes les sciences en développement.

Oranger marque son accord avec ces thèses et même avec le vocabulaire de la maison (ou « piagénétique » comme dit Gréco). Deux corroborations : (1) Nowinski a raison de lier les théories de l’existence et de la signification (c’était déjà le cas avant Russell chez Frege avec sa distinction du « Sinn » et de la « Bedeutung ») ; (2) on pourrait définir l’existence par la possibilité d’être présent à une expérience, mais étant entendu qu’il y a plusieurs niveaux d’expérience. Pour Beth, par contre, Nowinski a été injuste à l’égard de Russell, qui a voulu faire la théorie générale du langage et non pas seulement celle d’un langage particulier. Le langage quotidien peut être un langage réaliste mais peut aussi être un langage de fiction. Pour Papert le langage réaliste ne pose pas de problème à Russell : les problèmes commencent avec le langage de la Science (existence d’un triangle, d’un atome, etc.). Or, ce dont l’analyse de Russell ne rend pas compte, et ne peut pas rendre compte, c’est que la pensée dépasse toujours ce qui a été une fois formalisé. C’est là la limite obligatoire du positivisme et dont le réductionnisme est la conséquence inévitable et la plus contestable. Beth réaffirme que l’annalyse de Russell vaut pour chaque langue classique, mais, pour Gonseth cette analyse ne s’applique à aucune langue ! Il y a des systèmes formels mais il n’y a pas de langue formelle. Toute discipline a sa langue mais aucune discipline n’est tout entière contenue dans sa langue. Mays soutient que Russell s’intéresse à la langue formelle, tandis que le langage ordinaire est plus riche (effet de contexte). Tout essai pour relier ces deux mondes séparés se solde par un échec (cf. Carnap). Beth maintient que, pour la logique, la définition de Russell suffit, mais Papert ne le pense

pas : pour la logique même il y a déjà difficulté comme le montre le problème des axiomes de choix.

Greniewski pense que l’acte de désigner du doigt un objet générique est impossible. On ne peut pas montrer « un verre » : on montre cet objet particulier, tandis que « verre » est un terme générique. Un geste ne définit univoquement qu’un objet individuel, tandis que pour atteindre le générique il faut une « structure », par exemple une « structure de gestes » (donc des facteurs sociaux). Papert ajoute qu’un système de gestes ne suffit pas : il faut toute une activité cohérente et, même si la théorie de Russell suffisait au point de vue logique, elle demeurerait insuffisante pour l’épistémologie.

15 B. De la sémantique, Nowinski passe ensuite à la praxis, et se propose, pour atteindre une logique dialectique, de dégager les procédés de pensée implicites en trois sortes de conceptions du développement : Darwin pour la biologie, Marx pour la sociologie et les théories de la maison pour la psychologie. Il s’en tient à ces dernières dans son exposé au Symposium, et montre que le problème pour une explication psychogénétique du développement des opérations logico-mathé- matiques est de concilier la continuité (assimilation et accommodation, équilibration, etc.) et la discontinuité (structures successives) du processus historique, en rendant compte à la fois de la possibilité du passage d’un palier à un autre et de la vection nécessaire du processus total. Or, un tel programme comporte non seulement une méthodologie nouvelle, mais encore, selon Nowinski des « opérations logiques nouvelles » : par exemple des classes construites dans un système de relations d’ordre, des relations connectant des termes qui n’existent pas l’un sans l’autre, les spécialisations de fonction ne procédant pas par simples substitutions mais par des « manifestations » et « concrétisations ». « Chaque objet et chaque structure achevée devient dans ce nouveau mode d’assimilation du réel un « point de passage » dans le flux continu du développement. »

Beth n’accepte pas cette interprétation. Les Eléates ont déjà supposé que la logique formelle était incapable d’expliquer le développement et Aristote a tenté vainement de faire usage d’une logique modale, mais après de tels échecs on est toujours parvenu à intégrer les théories de développement dans la logique, comme le montre la physique mathématique. Papert est d’accord avec Beth (ce qui n’arrive pas tous les jours, dit-

il) : il n’y a pas la science d’un côté et la dialectique de l’autre. Il est arrivé, comme en microphysique ou en embryologie, qu’on se croie acculé à affirmer simultanément x et non-x, mais on a toujours fini par trouver une interprétation telle que l’on ait effectivement x w x. Granger ne pense pas non plus que la dialectique soit une superlogique, comme l’ont cru certains marxistes rigides. Nowinski voit dans ces positions un malentendu essentiel et pense que Papert verse sur ce point dans le fossé positiviste : les concrétisations ne s’expliquent pas par leurs sources, ce qui reviendrait à les considérer comme des substitutions, et les filiations impliquent discontinuité et constructions spécifiques, ce qui suppose des opérations nouvelles. Pour Greniewski on peut schématiser l’histoire de la logique comme l’a fait Beth, mais il reste que quand un formalisme « intègre » ce qui d’abord lui échappait, ce n’est déjà plus le même formalisme. Le formalisme se transforme donc lui-même et sans sortir de la logique formelle on peut dire que le développement de la logique est dialectique.

Pour Piaget, enfin, le seul problème est de savoir s’il existe ou non une logique dialectique spécifique. Il espère que oui, mais elle n’est point encore constituée. Il est possible qu’elle ne comporte pas à proprement parler d’opérations nouvelles, mais des modes nouveaux de construction et c’est bien sur le terrain des filiations qu’il faut poser le problème. Par exemple Grize, pour formaliser le passage du « groupement » au « groupe » (vol. XI des « Etudes ») n’a pas eu à introduire des opérations nouvelles tout en parvenant à une « synthèse » authentiquement dialectique et distincte d’une simple déduction : il a résolu le problème par un mode spécifique de construction et il n’est pas exclu que l’on puisse en dire autant du processus éminemment dialectique que reconstitue Papert dans les équilibrations successives de son « génétron ».