Problèmes du temps et de la fonction. L’Épistémologie du temps (1966) ^a 🔗

Vinh Bang s’est ainsi proposé de dégager, sur des enfants de 5 à 12 ans, les connexions entre les simples relations et les fonctions témoignant d’un certain niveau de quantification.

1) Étant donné un fil de longueur constante L répartie en deux segments d’abord égaux A et B formant un angle droit, on peut faire varier les longueurs de A et de B en conservant leur perpendicularité dès 7 ans environ, l’enfant comprend que tout allongement de A entraîne un raccourcissement égal de B et réciproquement. Est-ce là une relation ou une fonction, ou les deux ? (Fig. 1).

2) Que ce soit l’une ou l’autre, il est frappant de constater que le même problème, en doublant simplement L sous la forme

initiale d’un carré, les segments A et B devenant ensuite le grand et le petit côté d’un rectangle, n’est résolu qu’après 11-12 ans. Les sujets de 7-8 ans ne procèdent que par compensations de proche en proche, puis il y a simples sériations sans régularité quantitative (8-9 ans) et enfin (10-11 ans) essais de compensations en « escalier » mais avec généralisations tardives. C’est que, peut-être, entre la simple compensation, ne faisant intervenir que les seules relations d’égalité ou d’inégalité, et l’établissement d’une

fonction impliquant des covariations doubles en plus des égalisations, il intervient une élaboration de la proportionnalité elle-même.

3) De même Vinh Bang présente aux sujets dix cercles de diamètre croissant de 1 à 10 cm et cinq baguettes horizontales de 10, 25, 50, 75 et 100 cm présentées en un ordre quelconque. Le problème est de trouver la place qu’occupent les cercles intermédiaires sur chacune des baguettes si l’on met le centre du plus petit cercle à l’une des extrémités et le centre du plus grand à l’autre. Après des conduites préopératoires, puis de simple sériation intensive, les sujets ne parviennent qu’après 11 ans à déduire la place de l’un des cercles en fonction de leur grandeur et de celle des baguettes.

Encore un exemple : une voiture à laquelle on peut fixer des roues de différents diamètres (R¹, R², R³, …) parcourt des distances D¹, D², etc., avec un système de marques lorsque la roue a fait un tour complet.

On peut alors poser deux sortes de questions :

4) Prévoir que la distance parcourue on un seul tour de roue est indépendante de la vitesse, puis trouver cette distance

pour R² connaissant celles qui correspondent à R¹ et à R³ ; enfin construire la série des R à partir des distances parcourues en un seul tour et réciproquement ;

5) Si l’on fait varier à la fois les distances totales D¹, etc. (plusieurs tours), la grandeur des roues R et le nombre de tours (vitesse-fréquence F), trouver que pour deux voitures A et B si D¹ > D² et R¹ = R² alors F¹ > F² ; que si D¹ = 2 D² et R¹ = R² alors F¹ = 2 F² ; que si D¹ = 2 D² et si R¹ = ½ R² alors F¹ = 4 F² ; etc. Or, les questions 5) qui paraissent plus compliquées, sont mieux réussies que les questions 4) entre 9 et 11 ans, peut-être parce qu’il s’agit de combiner des relations directes et inverses et surtout parce que les fonctions s’appuient en ce cas sur des schèmes de proportionnalité.

Dans les discussions qui ont suivi ces exposés et auxquelles ont pris part Apostel, Bresson, Costa de Beauregard, Fraisse, Gonseth, Gréco, Lunzer, Nowinski, Papert et Piaget, on a d’abord souligné l’élégance des techniques. Bresson, en particulier, trouve très ingénieuse la façon dont sont utilisées la continuité et la fonction linéaire dans des situations non métriques, et, à propos de la différence entre le premier problème (longueur L) et le second (carré et rectangles), il se demande si, avant les niveaux de fonctions proprement dits, il n’y aurait pas un niveau d’« actions fonctionnelles » (ce que nous appelions plus haut les fonctions constituantes). Fraisse se demande si la difficulté du problème des rectangles ne provient pas d’une incidence de fausse conservation de la surface. Nowinski pense que dans le problème de la double droite L l’accent est mis sur l’objet, tandis que dans celui des rectangles il faut manipuler formellement des relations, ce que Piaget

mettrait sous la forme d’une proportion qualitative ,

tandis que dans le cas de la ligne L seule, le sujet se contenterait d’égalisations directes (x ajouté à B égale y enlevé à A).

Papert insiste d’abord sur l’équivoque possible de la notion de fonction, tant chez les mathématiciens que dans ces recherches génétiques : y = f (x) et « au point P (x, y) on fait correspondre un point P’ (x + δ, y — δ) par une transformation ». Mais surtout, ce qui complique la discussion, en psychologie et même dans la logique des fonctions, c’est que l’on considère celles-ci comme données. Or, en aucun de nos problèmes ce n’est

le cas. Le problème n’a pas la forme y = f(x) car, ce que doit trouver le sujet ce n’est pas x à partir de y : c’est la fonction elle-même ! C’est donc un problème d’équation fonctionnelle que l’on donne au sujet, et, si l’on veut savoir combien de variables entrent en jeu, il faut examiner les éléments de la situation considérés par le sujet, les indices qu’il utilise, et les y qu’il élabore sont alors l’expression de son comportement à leur égard : ajouter et soustraire, mettre en relations plusieurs variables, etc.

De ces fonctions constituantes invoquées par Papert, on revient aux fonctions constituées à propos des remarques de Fraisse sur le problème des cercles à situer sur les baguettes. Fraisse s’étonne d’abord du peu de généralisation dont témoignent les sujets et Apostel enchaîne en disant que considérer deux variables comme fonction l’une de l’autre c’est en premier lieu parier sur une extrapolation. Comment passe-t-on alors de la situation d’induction à la déduction géométrique ? N’est-ce pas l’admission de règles qui assure ce passage ? Fraisse se demande ensuite pourquoi Bang a choisi des cercles pour les poser sur ses baguettes au lieu de se contenter de points ? Bang répond qu’il a commencé au moyen d’un rond qui s’agrandit pour faire le pendant des transformations du rectangle et Grize montre que si l’on s’était contenté de points, on n’aurait pas dépassé le niveau de la proportionnalité, tandis qu’avec cette technique on peut espérer étudier les fonctions de fonctions.

Quant à la facilité plus grande de la question 5 (voitures) par rapport à la question 4 (un seul tour de roue), Gréco et Piaget pensent que, sans constituer le caractère propre de l’idée de fonction, la causalité facilite la mise en relation de deux séries différentes et favorise ainsi la recherche des fonctions, tandis que pour Papert elle n’intervient pas nécessairement comme guide du comportement.

A) Cette suggestion de placer des points à des distances proportionnelles sur des lignes d’inégales longueurs coïncide avec la technique adoptée par Marianne Meylan-Backs, en liaison avec les préoccupations de Grize. Des baguettes garnies de trous équidistants (empruntés à un jeu de « matador » connu

de l’enfant), sont présentées au sujet ainsi que de petits objets distincts A, B, C…, pouvant être enfilés dans les trous. Une baguette courte comportant un objet par trou, le problème est de savoir comment l’enfant disposera les objets correspondants A’, B’, C’…, sur une baguette de longueur double ou supérieure. Or, à 6-7 ans la solution qui prévaut dans les 90 % des cas consiste à choisir un intervalle de y = x + 1, à 8 et 9 ans la solution dominante est y = x + k où k est une constante > 1 et à 10-12 ans les 60 % des sujets parviennent à la solution y = 2 x.

Cette expérience servait ainsi de champ d’analyse à l’interprétation de Grize qui cherche à dégager les liaisons entre la fonction et les schèmes de proportionnalité. La construction de Grize (voir plus loin sous VI) part en effet de cette remarque essentielle qu’un objet n’est jamais fonction d’un autre objet : il peut être en relation avec lui, en connexion causale ou en interaction, mais il n’est pas fonction. Ce qui est fonction d’autre chose, c’est une propriété de l’objet, pouvant être en particulier susceptible de varier, ce qui situe la fonction au niveau des relations entre relations, donc des schèmes de proportionnalité. De telles fonctions « constituées » sont alors tardives et il est intéressant de constater que, même dans un cas aussi simple que celui dont on vient de voir les résultats le schème y = 2 x apparaisse aussi tard.

Bresson ne s’étonne pas de ce caractère tardif, puisque l’on se place à un niveau métrique, mais il faut alors distinguer les « actions fonctionnelles », telles que des correspondances injectives, beaucoup plus primitives, et les fonctions de fonctions ou compositions de niveau plus élevé. Fraisse se demande si le passage de y = x + 1 à y = 2 x n’est pas retardé du seul fait que l’on présente deux modèles initiaux et que le sujet reste simplement fidèle au premier. Mais Lunzer rappelle combien cette difficulté semble générale et donne des exemples observés sur les réglettes Cuisenaire où les sujets restent longtemps accrochés à des procédés d’addition et de soustraction de différences avant d’en arriver aux schèmes de proportionnalité. Piaget rappelle l’expérience dans laquelle on demande à l’enfant de prolonger les trajets initiaux de deux automobiles de longueur l et 2 l : on constate alors que le sujet fait longtemps correspondre à nl non pas 2 nl mais nl + l.

B) La recherche précédente présente les inconvénients suivants ; 1) Les deux grandeurs à mettre en liaison fonctionnelle sont de même nature ; 2) Cette liaison reste arbitraire ; et 3) Les unités de grandeur sont données d’avance. Pour y remédier, Marianne Meylan-Backs a utilisé un dispositif tel qu’un ressort r est fixé à une ficelle de longueur constante dont une partie y est horizontale et l’autre partie y’ descend verticalement (en contournant un clou) et supporte un poids z fixé à son extrémité : ainsi quand z augmente, y’ augmente également, y diminue et r augmente de longueur.

Au cours d’une première étape (avant 7 ans), l’enfant note les indices fournis par le poids et le ressort mais sans s’occuper des variables intermédiaires y et y’. Ensuite (7-10 ans) il assimile toutes les variations en présence mais qualitativement, tout en saisissant sans difficulté la connexion entre les fonctions directes et inverses. Enfin, vers 11-12 ans il introduit une proportionnalité numérique.

Durant la discussion, Grize fait remarquer qu’une partie des difficultés auxquelles l’enfant se heurte tient à l’obligation où il est de construire lui-même les grandeurs à relier (intervalles parcourus par le ressort qui s’allonge et nombre des poids fixés à son extrémité). Bresson demande alors si l’enfant en vient à éprouver spontanément le besoin de transformer les échelles qualitatives en échelles métriques : M. Meylan-Backs lui répond qu’elle a observé des enfants de 7 ans déjà qui comptaient les intervalles sans aucune suggestion.

Papert n’est pas certain que le jugement de l’enfant, qui va de l’allongement du ressort au poids, corresponde vraiment à la loi inverse qui va du poids à l’allongement.

Elsa Schmid-Kitsikis a étudié un problème de composition de fonctions dans la situation expérimentale suivante. Un bocal cylindrique A se vide progressivement grâce à un robinet situé à son extrémité inférieure : les intervalles entre les niveaux successifs équidistants seront appelés x 5, …, x 1 et la hauteur totale de départ Hx. L’eau qui s’écoule remplit par étapes un premier bocal conique B dont la pointe est orientée vers le bas : les intervalles successifs inégaux en B seront appelés y 1, …, y 5,

la hauteur totale d’arrivée Hy et la largeur finale du niveau Ly. Mais l’eau coulant de A peut aussi remplir par étapes un second bocal conique C dont la pointe est orientée vers le haut : d’où les intervalles z 1, …, z 5 et la largeur Lz. On fait d’abord anticiper, avant tout écoulement matériel, les différents niveaux et largeurs en A, B, et C, puis on fait contrôler les premiers résultats prévus, et corriger éventuellement les suivants, en redemandant des explications sur les nouvelles prévisions.

Au palier de 5-6 ans, les sujets commencent par ne prévoir aucune inversion, le sens du déplacement des niveaux du liquide s’orientant de haut en bas en B et C comme en A, ce que corrige rapidement l’expérience. Mais surtout, et bien qu’on insiste sur le fait que l’eau écoulée sera de même quantité lors de chaque ouverture du robinet, il y a assimilation entre la quantité restante et la valeur des intervalles : si A se vide en partie alors les intervalles x diminuent. Puis, malgré les premiers essais, le sujet reste centré sur ce qu’il voit en A et ne tient aucun compte des différences de forme et de dimensions en A, B, et C : chaque variable est considérée isolément ou en identité avec A.

Entre 7 et 9 ans, il y a compréhension immédiate des différents sens du mouvement du liquide et début de différenciation des intervalles y et z par rapport aux x, avec croissance ou décroissance de leurs valeurs en fonction de la forme des récipients et de leur position. Mais ce début de sériation des intervalles demeure confus et souvent ceux-ci restent égaux entre eux. Il y a cependant des essais de mesure spontanée mais très approximative.

Dès 10-11 ans les relations sont de plus en plus correctes et en particulier il y a prévision possible des largeurs L en fonction des hauteurs et réciproquement, de façon spontanée et systématique.

Lors de la discussion de ces résultats, Grize insista sur la structure d’ensemble des fonctions. Les fonctions vivent en famille et il faut en dégager les lois de totalité dans lesquelles les oppositions jouent un rôle aussi essentiel que les correspondances. Il est intéressant de constater que l’inverse apparaît au même niveau que la composition. Par contre il y a léger décalage pour la compréhension des relations hauteur × largeur.

Guilbaud souligne de même la présence d’un morphisme, qui finit par dominer le tout globalement. Les étudiants perdent parfois cela, au profit d’une correspondance point par point.

Bresson constate que malgré leurs erreurs les petits répondent et qu’ils partent d’emblée d’une recherche de correspondance, dont l’idée est très profondément enracinée, et assez distincte de ce qui se passe dans les processus de conservation. Inhelder se demande si cette correspondance joue vraiment dès le départ ou s’il n’y a d’abord que des mouvements ordonnés de liquides, avec ensuite découverte de l’inversion et de la correspondance.

Papert voit ici un double jeu de conservation et de non-conservation, une conservation globale qui s’accompagne de non-conservations, et Piaget constate que toutes les opérations accessibles à l’enfant interviennent dans ce système : partition du continu (avec réunions et emboîtements des parties), sériations, correspondances, etc. La fonction apparaît donc assez clairement ici comme étant à la fois le point de départ et le point d’arrivée des opérations : point de départ car c’est bien la recherche des liaisons fonctionnelles qui oriente non seulement le choix mais encore l’élaboration des diverses opérations et point d’arrivée car les opérations sont finalement coordonnées en un nouveau système d’ensemble. Mais ce point d’arrivée n’est naturellement qu’un nouveau point de départ, puisque ce système va tout à la fois se différencier et se coordonner avec d’autres, la fonction quoique constituée jouant un nouveau rôle dynamique et constituant. Il semble donc de plus en plus malaisé de voir une dualité de nature entre fonctions et opérations, la dualité étant plus affaire d’aspect momentané que de propriétés. Le seul dualisme est peut-être simplement celui du fonctionnement et de la structure.

La recherche de Francine Orsini porte précisément sur ce passage du fonctionnement le plus spontané à la fonction et de la fonction constituante à la fonction constituée. Au lieu de partir d’un dispositif rigide dont les lois fonctionnelles sont imposées par une structure préétablie, F. Orsini a voulu utiliser les structurations les plus élémentaires que l’enfant manifeste dans

ses jeux de construction et les variations ou covariations introduites à cette occasion, la covariation étant considérée comme le critère de la fonction. Le jeu utilisé consiste simplement à combiner librement des boules blanches et rouges à partir d’une structure initiale donnée telle que, par exemple, une rouge et deux blanches. L’enfant choisit ses boules dans une collection de 50 rouges et 50 blanches mélangées et il les place dans un casier longitudinal de 24 cases dont toutes sont cachées par une glissière sauf, en ordre de succession, la case encore vide où le sujet va mettre sa boule. Après que l’enfant a indiqué un certain nombre de lois, suivies de leur formulation verbale, l’expérimentateur essaie d’en induire de nouvelles ou présente lui-même des séries de covariations déjà constituées et demande à l’enfant de les identifier.

Les résultats peuvent se schématiser en distinguant les niveaux successifs suivants : 1) Simple reproduction du modèle, mais itérée plusieurs fois ; 2) Recherche d’un complément pour maintenir constante une figure ; 3) Lois de compensations avec variations additives régulières ; 4) Dès 10 ans variations additives et certaines variations multiplicatives simples (double ou moitié) ; 5) Variations multiplicatives immédiates puis, spontanément ou sous induction, les autres variations des niveaux antérieurs.

Après que Beth et Papert eurent insisté sur la question de la cohérence des réponses et que Grize eut montré leur complexité logique croissante, la discussion s’est centrée sur le fait général (en bien d’autres domaines, encore, comme l’a montré N. Van den Bogaert) de la priorité de l’addition sur la multiplication. Hirsch invoque la simplicité de l’addition en un champ d’appréhension temporelle très court comme celui de l’enfant. Mais dans le domaine des classes, comme le rappelle Piaget, les groupements multiplicatifs se construisent synchroniquement avec les groupements additifs. Par contre, répond Grize, on a ici affaire à des nombres naturels, et les nombres se construisent additivement.

Papert part de cette constatation que le système nerveux comporte des millions de degrés de liberté, correspondant à peu près à 300 bits par seconde, tandis que l’information pou-

vant être recueillie n’est que de l’ordre de 3 bits/s. L’organisme calcule donc d’abord des fonctions à grande perte d’information comme dans la perception. Si je regarde une figure et juge que c’est un carré, que c’est grand, etc., je transforme des inputs très complexes en des valeurs binaires à signification simple : chaque catégorisation comporte ainsi une grande perte d’information.

Une seconde étape est celle des fonctions à petite perte d’information : par exemple un jugement portant sur une surface comme produit de la hauteur et de la largeur, celles-ci pouvant être des fonctions de première espèce ou de seconde (selon le niveau) ou des deux à la fois.

A réexaminer d’un tel point de vue l’évolution de l’intelligence, on constate que les fonctions de première espèce sont presque seules en jeu jusque vers 5-6 ans on ne trouve ainsi qu’un répertoire très limité de « schèmes fonctionnels » et on peut prévoir dans les grandes lignes les réactions du sujet aux problèmes qu’on lui pose, par assimilation à ces schèmes fonctionnels : par exemple le primat du schème additif dans les résultats de F. Orsini.

Le grand problème est alors celui de la formation des fonctions plus évoluées, qui s’accumulent ensuite à commencer par celles de la seconde espèce. A vouloir saisir ce passage, il faut d’abord se libérer de toute définition de la fonction en extension (correspondances explicites, couples, etc.). La meilleure représentation s’apparente à la notion de « catégorie » (au sens d’Eilenberg et de Mac Lane) et d’un tel point de vue il faut concevoir la fonction comme un « transport de structure ». Par exemple la fonction logarithmique n’est pas qu’une correspondance elle « transporte » les éléments du groupe multiplicatif des nombres réels sur ceux du groupe additif. De même, chez l’enfant, toute la genèse de la proportionnalité s’explique par des transports de structures, d’abord qualitatives (voir les recherches de Bang) avant d’être numériques. Les résultats d’E. Schmid-Kitsikis ne s’expliquent pas, eux non plus, par une simple correspondance de niveaux mais par un transport « diminution de niveau en haut » sur « augmentation de niveau en bas », etc.

Ainsi la genèse des fonctions d’ordre supérieur est à chercher en de tels transports, qui aboutissent soit à des emprunts soit à des

conflits et « mettent en marche des cycles de déséquilibration-rééquilibration », ce qui constitue le moteur des synthèses ou constructions nouvelles.

Apostel se félicite des possibilités ainsi ouvertes quant à l’explication des mécanismes de passage. L’école de Genève a surtout insisté jusqu’ici sur les paliers d’équilibre caractérisant chaque stade mais il reste à interpréter le passage d’une structure aux suivantes, ce à quoi chacun travaille et ce que facilitera peut-être l’analyse de Papert.

Inhelder éprouve par contre quelque difficulté à saisir d’où provient l’« accumulation des fonctions » que postule Papert une fois épuisé le stock un peu pauvre des schèmes fonctionnels initiaux. Il ne s’agit pourtant pas d’une accumulation additive ?

Gréco s’attache à la même difficulté. Cette accumulation peut être due à deux sortes de facteurs. On peut en premier lieu multiplier les indices ou les épurer, ceci dans la manière dont on aborde la situation. Mais surtout, pour passer du niveau stochastique au niveau structural, il est possible qu’il ne s’agisse pas d’une accumulation de fonctions différentes, mais de l’usage répété d’un même genre de fonctions : en ce cas, on aboutit à des résultats compatibles ou contradictoires. Le problème essentiel est de savoir d’où vient l’économie générale qui correspond aux structures réversibles il y a moins là accumulation qu’un recul à prendre pour rendre compatible ce que ne l’était pas au niveau intuitif.

Piaget, de même, souhaiterait des précisions sur l’ancrage de la réversibilité. Papert insiste avec raison sur les relations « transversales » entre structures contemporaines et pas seulement sur les filiations longitudinales (¹). Or, ces relations transversales sont une source non négligeable de déséquilibres et de rééquilibrations (en plus des conflits internes dus aux généralisations d’une seule et même structure). Ne serait-ce pas par là même un facteur de réversibilité, étant donné la parenté entre les notions d’équilibre et de réversibilité ?

Grize, se référant au stock des schèmes fonctionnels de départ, se demande si l’on ne pourrait faire l’inventaire et éventuellement les rattacher aux opérations de classes ou de relations.

Gonseth insiste de son côté sur les relations entre les processus invoqués par Papert et la construction des notions de conservation.

J.-B. Grize, qui a eu le mérite avec Apostel et Papert d’orienter notre Centre vers l’étude génétique des fonctions, s’intéresse particulièrement à celles des fonctions qui se constituent à la suite des structures opératoires élémentaires, donc après 7-8 ans. L’activité première dont il part est celle d’ordonner. La notion de grandeur est ensuite élaborée, d’où celle de lois fonctionnelles portant sur les covariations entre les grandeurs. De là on peut passer aux proportions qualitatives ou logiques (au sens où nous avons tiré du groupe de quaternalité IRNC les proportions I : R = C : N, etc.) et finalement aux proportions numériques et métriques qui paraissent être à Grize « le noyau constitutif de l’idée de fonction » dans la perspective psychologique.

Dans le détail, Grize introduit une relation d’ordre dans la classe E = α υ β ; et soit Ο¹ une opération dans α et Ο² une opération dans β, qui sont associatives, commutatives, monotones et cancellables par rapport à la relation. On peut définir entre les couples (a ε α, b ε β) une relation d’équivalence =. Nous dirons que la classe des couples équivalents détermine une relation de proportionnalité. Si l’on identifie Ο¹ et Ο² à O, définie dans E, on peut introduire une relation d’équivalence = , dont l’invariant est maintenant assuré par compensation et n’est plus simplement l’ordre. « Enfin si on étend de façon naturelle l’opération O aux couples eux-mêmes, l’ensemble des couples C (E) forme un groupe abélien. » Ceci suggère une filiation possible passant de E à C (E) et qui est distincte de la filiation passant de E aux parties de E.

Apostel trouve le processus élégant mais très extensionnel et ne voit pas dans les faits (de M. Meylan, par exemple) les emboîtements de classes. Grize lui répond que les distances emboîtées qui interviennent en fait sont isomorphes à des inclusions de classes.

Apostel se demande, d’autre part, s’il n’y aurait pas deux genèses de la notion de fonction et qui pourraient se croiser. Il y a d’une part une généralisation de l’arithmétique, une

coordination de la théorie des quantités avec la théorie générale des ensembles, donc une généralisation à partir de variables mathématiques élémentaires. Mais il y a aussi, historiquement, la fonction à partir de grandeurs variables dans le temps : x = f (y) de ce point de vue signifie que deux variables dépendent causalement l’une de l’autre et c’est là une considération essentielle à retenir. Pour reprendre les classes ordonnées de Grize, il y a davantage que des ensembles et de l’ordre : il faut encore compléter la définition des deux classes ordonnées en faisant intervenir leur interaction : c’est là qu’est le problème de la genèse de la fonction.

Gonseth rappelle que la proportionnalité se rencontre chez les Grecs, mais en soulevant de grandes difficultés quant à l’irrationnel. On s’en est tiré par un « truc extensionnel ». Mais la tradition grecque a été interrompue : elle a été retransmise par la tradition arabe avec, quant à la fonction, des influences hindoues : celle-ci est née de la généralisation des polynômes. Quant à la définition de la fonction par la relation, elle ne conduit à rien de pratique.

Guilbaud maintient la dualité des fonctions et des classes, les premières ne pouvant être subordonnées aux secondes : toutes deux sont nécessaires. On peut parler de couples mais Grize se donne des transformations et construit une « analogie » : mais du même coup on se donne le groupe quaternaire et c’est ce qui permet de faire la dissociation. Dans la langue commune déjà, et pas seulement dans le langage formel, il existe certaines connivences avec la quaternalité.

Apostel demande en outre si ces fonctions propositionnelles rentrent dans le schéma de Grize. Celui-ci désire ne pas se prononcer encore.

Nowinski par contre est pour l’unité des fonctions logiques, mathématiques et causales. L’histoire de la physique montre une analogie profonde entre la causalité et la construction mathématique : que l’on conçoive cette dernière comme une production de structures abstraites et la causalité comme une production de phénomènes mais décrite et interprétée grâce aux structures fournies par l’analyse, la théorie des groupes ou l’algèbre générale, il y a parallélisme entre les deux évolutions et une seule et même genèse. La logique couronne alors un tel développement.

Qu’on nous permette, au terme de ces diverses recherches expérimentales et théoriques sur le rôle de la fonction de revenir à notre problème de départ : l’analyse du développement des fonctions aboutit-elle à un nouveau mode de filiations ou conduit-elle plus simplement à englober les filiations opératoires dans un système plus large et plus dynamique ?

Avant de formuler certaines thèses à cet égard nous avons pris la précaution, ne serait-ce que pour préciser le vocabulaire, d’interroger quelques mathématiciens de carrière, entre 30 et 50 ans : « Quelle est la différence entre une fonction et une opération ? » Les réponses furent nettes (et indépendantes de l’âge), mais réparties en trois catégories : 1) La notion de fonction est plus large : un automorphisme, par exemple, est une fonction et non pas une opération ; 2) La notion d’opération est plus large. un élément de groupe, par exemple, est une opération et non pas une fonction ; 3) C’est exactement synonyme : une application, par exemple, peut être dite une fonction ou une opération (¹).

Ce n’est pas le lieu d’insister sur l’intérêt de ces fluctuations relatives à la prise de conscience et aux définitions nominales chez des représentants de la plus précise des sciences. Bornons-nous à constater que ces divergences nous laissent quelque liberté quant à l’interprétation psychologique des relations de filiation génétique entre les fonctions et les opérations. Génétiquement, en effet, on peut considérer trois phases dans la formation de chaque système de fonctions ou d’opérations : l’une où la fonction précède l’opération (et serait donc plus large au sens de l’opinion 1), la seconde où fonctions et opérations sont suffisamment structurées pour procéder de pair et la troisième où de nouvelles fonctions résultent d’une élaboration opératoire différenciée (cf. l’opinion 2).

Mais il est évident qu’une telle interprétation et que les fluctuations historiques des mathématiques quant à la notion de fonction, supposent l’existence d’au moins deux termes extrêmes celui des fonctions les plus élémentaires et les plus générales, qui orientent la structuration et celui des fonctions d’ordre supérieur qui résultent d’une élaboration de plus en plus raffinée. Du point de vue psychogénétique nous nous croyons donc, non pas seulement autorisé par les considérations qui précèdent, mais même obligé par l’ensemble des faits recueillis, de distinguer deux sortes de fonctions : les fonctions constituantes qui interviennent au départ et les fonctions constituées qui marquent un aboutissement, les formes intermédiaires étant à la fois l’une et l’autre par rapport à celles qu’elles préparent et à celles dont elles résultent, mais toutes trois étant tôt ou tard indissociables des structures opératoires.

A) A considérer d’abord les fonctions constituantes, il est évident qu’elles aboutissent à des opérations. Les « actions fonctionnelles » étudiées par F. Orsini aboutissent à des opérations additives ou multiplicatives, à des itérations ou à des réunions de sous-ensembles complémentaires, etc. Quant à l’effort de Papert, qui a mis le maximum de soin à opposer fonctions et opérations et qui représente le courant nouveau centré sur les « catégories » par opposition aux structures bourbakistes, ses résultats sont extrêmement révélateurs quant à la parenté profonde des fonctions et des opérations, et cela tant en ce qui concerne les exemples choisis que la thèse générale.

La thèse étant que la fonction est un transport de structures (latéral ou transversal et non pas dans le sens longitudinal du temps), un de ses exemples est celui de la correspondance étudiée par E. Schmid-Kitsikis, non pas niveau à niveau mais écoulement à écoulement. Or c’est là un beau cas de ce que nous avons appelé la structure opératoire de « correspondance sériale » par opposition à celle de correspondance terme à terme (par classes ou éléments). De même les transports qui interviennent dans les proportions qualitatives analysées par Vinh Bang relèvent d’une mise en forme des variations dans un schème opératoire de quaternalité, etc.

La fonction constituante apparaît donc comme exprimant le dynamisme qui aboutit à des structures opératoires et ceci reste

vrai de la thèse générale d’un « transport de structures ». Un tel transport intervient, en effet, explicitement dans un certain nombre des systèmes opératoires que nous avons décrits, à commencer par les groupements multiplicatifs. Soit, par exemple, deux classifications : A¹ + A’¹ = B¹ ; B¹ + B’¹ = C¹ ; etc., et A² + A’² = B² ; B² + B’² = C² ; etc. Transporter l’une sur l’autre ces classifications aboutit à cette sorte de produit cartésien de classes que nous avons appelé le groupement multiplicatif des classes : A¹ A² + A¹ A’² + A’¹ A² + A’¹ A’² ; etc. D’autre part, la formation du nombre par synthèse des inclusions et de la sériation, ou celle de la mesure par synthèse de la partition et du déplacement, etc., résultent elles aussi de transports « latéraux » de structures.

Nous ne contestons nullement pour autant que la fonction précède l’opération et oriente la structuration opératoire. Mais une telle organisation fonctionnelle n’aboutit pas à des produits hétérogènes par rapport à ces structures. La fonction constituante représente bien plutôt le fonctionnement de l’intelligence et celui-ci se cristallise en structures qui sont inévitablement opératoires (ce terme d’« inévitables » est celui qu’employait un mathématicien américain pour désigner les structures-mères des Bourbaki après un exposé où nous montrions leurs analogies avec les structures opératoires élémentaires de l’enfant). Parler d’un transport de structures c’est se référer nécessairement à trois fonctions fondamentales de l’intelligence, le terme de « fonctions » étant pris ici en un sens psychobiologique qui coïncide en fait avec la « fonction » logico-mathématique au sens de Papert : 1) L’assimilation, source de schèmes logiques, arithmétiques, etc., tels les « schèmes de fonctions » que Papert met au départ des opérations additives ou multiplicatives ; 2) La coordination des schèmes par assimilation réciproque, en quoi consiste le « transport » lui-même ; et 3) L’équilibration de ces coordinations, et dont on sait l’emploi fait par Papert en ses modèles cybernétiques. En ces conditions la fonction constituante exprime le noyau fonctionnel (au double sens psychobiologique et logico-mathématique) de l’intelligence en marche, et, dans la mesure précisément où ce fonctionnement se caractérise entre autres par une équilibration, celle-ci entraîne la réversibilité opératoire puisque cette réversibilité constitue le résultat structural du fonctionnement équilibrateur. Entre la

fonction structurante et l’opération il n’existe ainsi au total qu’un rapport de fonctionnement à structure, qui est essentiel à la compréhension de l’intelligence mais ne comporte pas par lui-même deux modes de filiations hétérogènes.

Par contre, la nouveauté dans la perspective de Papert consiste à analyser ce fonctionnement en termes probabilistes. Étant donné un ensemble de réactions fonctionnelles initialement probabilistes et indépendantes, c’est à ce niveau préopératoire que l’augmentation des interactions « latérales » conduirait aux opérations générales dont procèdent les conservations et le détail des structures opératoires. En ses travaux les plus récents, Papert cherche à quantifier les flux d’influences en termes d’information et de néguentropie, ce qui aboutit à dégager effectivement un étage nouveau dans les fondements de l’édifice qui aboutit aux paliers opératoires (1).

B) Quant aux fonctions constituées, de formation plus tardive et de caractère génétiquement supérieur, il est fort possible, comme le suppose Grize, qu’elles résultent de synthèses particulières, distinctes de celles qui sont déjà connues (et rentrant d’ailleurs dans le schéma général que Papert appelle un transport de structures). Mais ces synthèses ne sont pas de nature hétérogène par rapport aux filiations générales des structures opératoires, d’autant moins que Grize fait intervenir les opérations dans sa reconstruction formalisée.

Il reste il est vrai la dualité possible dont a parlé Apostel entre la fonction qui relie des variables mathématiques et la fonction d’inspiration physique entre grandeurs variables dans le temps, c’est-à-dire de nature causale. Nous touchons ici à un problème fondamental qui reste à notre programme : celui du développement de la causalité et de ses relations avec celui des structures opératoires logico-mathématiques. Or, sans anticiper sur le résultat de recherches non encore terminées, on peut tout au moins discerner trois aspects dans les faits déjà connus. 1) La causalité qui est d’abord une simple assimilation des processus constatés à l’action propre (finalité, etc.), évolue dans le sens d’une assimilation aux opérations, y compris leurs lois de conservation (compensations, etc.) ; 2) Cette opérationnalisation ou rationalisation de la causalité ne se produit en général

que nettement après l’élaboration des premières structures opératoires logico-mathématiques, comme si l’irrationalité était plus résistante sur le plan physique que le défaut de cohérence au niveau logico-mathématique ; 3) Lorsque néanmoins une séquence physique semble être au point de départ d’une structuration opératoire (comme ce sera le cas en physique mathématique), c’est qu’elle pose un problème nouveau mais celui-ci n’est résolu que par la construction d’un modèle opératoire qui s’adapte aux faits sans en résulter simplement, puisque ceux-ci sont alors enrichis d’un apport structural de nature logico-mathématique. Nous ne sommes donc pas certain de la dualité d’origine des fonctions constituées selon qu’il s’agit de variables mathématiques et de variables dans le temps, d’autant plus qu’au niveau des « opérations concrètes » toutes les variables sont considérées de proche en proche dans le temps et que l’extemporané logique ne s’élabore qu’au palier des opérations hypothético-déductives.

Nicole Van den Bogaert, assistante du P^r Libois à Bruxelles (géométrie) a voulu étudier chez nous un exemple de construction d’ordre temporel chez le jeune enfant et a utilisé le dispositif suivant. Cinq maisons disposées de façon irrégulière mais constante sont rejointes successivement par un camion selon des circuits compliqués (ordre ne correspondant à aucune bonne forme perceptive). Devant chaque maison se trouve un personnage de couleur ayant devant lui quatre jetons de la même couleur, que lui et, lors du passage du camion, l’expérimentateur prend l’un de ces jetons et le place dans la benne en ordre d’alignement. On pose alors deux questions successives : A) Pour- quoi les jetons sont-ils alignés de cette manière sur le camion (pourquoi le rouge est-il devant le jaune, etc.) ? Et B) Devant quel

personnage le camion s’est-il arrêté d’abord ? A-t-il passé d’abord devant celui-ci ou celui-là ? Etc. Dans une seconde expérience, les jetons ne sont pas devant les personnages mais à disposition de l’enfant et l’on demande à celui-ci (question C) de s’en servir pour reconstituer l’ordre des déplacements du camion (pour éviter l’emploi de la seule mémoire on dispose ici comme précédemment d’un second camion avec itinéraire différent). L’interrogation a porté sur 50 enfants par âge de 5 à 9 ans et les résultats ont été très nets : dès 5 et 6 ans les 60 et les 68 % des enfants comprennent que l’ordre d’alignement des jetons dans le camion correspond à l’ordre de succession temporelle des personnages visités par le camion (question A), mais seuls 28 % des sujets à 5 ans et 44 % à 6 ans parviennent à retrouver cet ordre de succession en partant de l’alignement des jetons dans le camion, par correspondance réciproque (question B réussie à 7 et 8 ans dans les 76 % et les 92 % des cas). De plus on trouve les combinaisons (réussite = + et échec = — ) A — B — , A + B — et A + B + mais pas A — B + ! Quant à la question C, que l’on peut poser soit avant, soit après, les questions A et B, elle n’est réussie dans les deux cas que vers 8 ans (80 %), tandis que les sujets de 5, 6 et 7 ans ne donnent que 0 et 8 %, 8 et 24 % et 52 et 56 % de constructions exactes.

Dans la discussion, Grize souligne l’intérêt des deux étapes découvertes par N. Van den Bogaert et pense que la causalité en jeu dans la situation étudiée facilite la découverte de la loi fonctionnelle.

Guilbaud est frappé par le fait qu’on ne trouve pas de réponses A — B + mais seulement A + B — (ou A + B +) : on a à ce niveau un bimorphisme qui n’est pas un isomorphisme ! C’est un cas admirable puisque l’enfant fournit ici malgré lui une situation qu’on ne rencontre qu’en mathématiques supérieures ! Mais pourquoi parler de fonctions ? « Isomorphisme » suffit.

Papert soutient que les isomorphismes sont génétiquement les fonctions les plus simples. Dans le cas particulier, on a au point de départ une assimilation à un schème fonctionnel ».

Piaget voit ici un bel exemple de fonction constituante qui aboutit ensuite à des opérations : la correspondance initiale (A + B — ), qui est biunivoque et non réciproque (Mirimanoff déjà parlait de « correspondances biunivoques et réciproques »

pour préciser que l’un n’entraîne pas nécessairement l’autre) ne constitue pas encore une opération réversible faute de réciprocité, tandis qu’au niveau II (A + B +) le schème fonctionnel entraîne l’opération. Du point de vue de la sériation temporelle, d’autre part, il s’y ajoute que pour retrouver l’ordre de succession des visites aux personnages en partant de la succession spatio-temporelle des jetons dans le camion, il faut remonter le cours du temps, ce qui est une difficulté avant 7-8 ans, car cela suppose la constitution d’une réversibilité temporelle opératoire en opposition avec l’irréversibilité du contenu des événements successifs.

Francine Orsini s’est proposé de comparer l’estimation des durées physiques et celle des durées psychologiques (sans les opposer l’une à l’autre) en des situations relativement comparables, de manière à vérifier si toutes deux sont évaluées au moyen du travail accompli (ou de l’espace parcouru) relativisé par rapport à la vitesse. L’hypothèse était que cette relation, proposée par Piaget, se vérifierait au niveau opératoire mais que l’estimation du temps psychologique demeurerait préopératoire. Il s’agissait, en outre, de soulever le problème de la conservation du temps.

Le dispositif choisi consistait en un disque tournant à 17 ou 21 tours-minutes dont chaque tour découvre une ouverture par laquelle il s’agit d’introduire un petit objet (« des fruits pour nourrir le singe qui est dans la cage »). En situation A le sujet se borne à regarder agir l’expérimentateur, en B il agit lui-même et en C son action est compliquée par un choix obligé parmi les objets. En chaque situation la question est de comparer les durées, qui sont objectivement égales, aux deux rythmes de 17 et 21 tours-minutes.

Les résultats obtenus montrent une différence sensible entre le temps de l’observation (A) et le temps de l’action (B et C). En A les sujets se réfèrent à la vitesse, selon le rapport direct « plus vite = plus de temps » jusqu’à 7 ans environ et le rapport inverse après 7 ans. En B les indices se compliquent jusque vers 11 ans où l’on retrouve le rapport inverse du temps et de la vitesse. En C enfin les sujets invoquent des indices variés et

incoordonnés et, à 11 ans, surtout la quantité ou la difficulté du travail accompli.

Fraisse et Papert se demandent pourquoi la situation A peut être considérée comme relevant du temps physique et s’accordent à penser que c’est parce que tous les indices sont donnés objectivement.

Piaget admet qu’en effet c’est le seul critère possible du temps physique mais il est utile d’ajouter : 1) Que le temps de l’action est sans doute évalué au moyen des mêmes indices (ce que l’on fait, donc le travail accompli, et la vitesse à laquelle on le fait) mais évalués subjectivement ; 2) Que toute séquence temporelle extérieure ou « physique » s’accompagne d’une durée psychologique (temps de l’observation, avec les facteurs d’intérêt ou d’ennui, d’attention et d’effort, de facilité ou de difficulté de l’observation, d’attente, etc.), de même que la durée vécue s’accompagne en général de séquences temporelles extérieures : la différence n’est donc que de degré ou d’accent ; 3) Que plus l’enfant est jeune, plus les deux formes de temps sont indifférenciées, ce qui revient à dire que plus il évaluera le temps physique au moyen d’indices subjectifs ; 4) Mais que néanmoins le temps « physique » est peut-être primitif, car même dans l’attente, les jeunes sujets considèrent sans doute surtout les événements extérieurs.

F. Orsini ayant soutenu que le problème de la conservation se pose en d’autres termes pour le temps que dans les autres domaines, parce qu’il n’est pas isolable de son contenu, Grize l’appuie, parce que le temps est changement. Papert pense au contraire que le rôle de la compensation dans la conservation est de libérer des mauvais indices et Piaget ajoute qu’il en résulte surtout une nécessité déductive qui, même sans métrique, intervient dans la mise en relation de la durée et de la vitesse.

Fraisse s’étonne que cette vitesse soit perçue dans le cas de la différence entre 17 et 21 tours, qui est à la limite du seuil différentiel et Apostel se demande en quoi consiste la difficulté de l’action du sujet. F. Orsini répond que quand, de spectateur, le sujet devient acteur, les indices restent les mêmes mais sont plus difficiles à évaluer, car il est moins facile de juger sa propre action que celle d’autrui toutes choses égales d’ailleurs. La différence en question reste perceptible mais n’est pas coercitive.

Piaget précise que quand les sujets de niveau préopératoire

concluent de « plus vite » à « plus de temps » ils négligent précisément la vitesse en tant que déroulement et ne considèrent que son résultat (= plus d’espace parcouru ou plus de travail fait), de telle sorte qu’ils ne parviennent pas au rapport durée = espace (ou travail) relativement à la vitesse et se centrent sur le premier des deux termes « physiques » (situation A), mais il faut attendre 11 ans pour qu’il en soit de même du temps de l’action propre (situation B), et lorsqu’on complique la tâche avec un choix obligé (situation C), ils en demeurent, même à 11 ans, à la situation préopératoire en jugeant d’après la quantité du travail ou sa difficulté. Les résultats obtenus sont donc très cohérents.

P. Fraisse a bien voulu exposer au Symposium de 1963 le résultat de ses recherches en cours avec N. Zuili sur l’estimation de la durée lors de deux tâches à comparer, l’une facile et rapide (transporter à la main des anneaux d’une boîte dans une autre), l’autre plus difficile et plus lente (transporter avec une pince des petits jetons). En moyenne on transporte 2,5 fois plus d’anneaux que de jetons à tout âge.

Deux méthodes ont été employées, la première consistant à faire comparer les durées apparentes de deux périodes d’activités successives de 20 s (ordre des présentations contrebalancé). La durée de transport des anneaux est jugée plus longue selon les pourcentages suivants :

5 ans (160 sujets)

9 ans (160)

13 ans (40)

70 %

60 %

45,6 %

On voit que la compensation n’est complète qu’aux environs de 13 ans. La seconde méthode consiste à faire reproduire une durée de 20 s avec une tâche différente :

Ordre

Durées reproduites

5 ans (160)

9 ans (160)

13 ans (42)

I. — Anneaux (20 s)-jetons .

II. — Jetons (20 s)-anneaux .

64 .s

15,7 s

39.3 s

14 s

28,5 s

13 s

Les effets d’ordre sont considérables et s’expliquent surtout par le fait que dans l’ordre I les sujets tendent à transporter autant de jetons que d’anneaux (d’où rallongement de la durée reproduite) et dans l’ordre II autant d’anneaux que de jetons (d’où un raccourcissement de la durée reproduite). En outre l’évolution est différente dans les deux situations parce que l’erreur dite temporelle ou de position (surestimations de la seconde durée) entre en interaction avec le phénomène principal.

« Il ressort en définitive que l’influence de la fréquence des transports sur l’estimation du temps diminue avec l’âge. »

Papert demande si les sujets se rendent compte des différences de durée et il trouve frappante l’analogie avec les expériences sur le métronome à rythmes différents où le sujet tend aussi à égaliser les battements.

Sur le premier point Fraisse répond que dans la méthode de reproduction on peut, en effet, se le demander mais que dans la méthode comparative ils jugent sur des durées totales. Quant au métronome, le facteur dominant est la perception d’une fréquence, tandis que dans le présent cas il n’y a pas fréquence mais gestes de transports : chaque transport est un élément isolé.

Piaget se demande s’il n’intervient pas cependant un certain rythme, donc une fréquence, et F. Orsini trouve les résultats cohérents parce que le facteur dominant est la quantité. Le but de la recherche, répond Fraisse, était de tester la difficulté de la tâche, et c’est la quantité qui l’emporte.

Hirsch veut savoir si les résultats sont les mêmes quand les enfants sont spectateurs et. non pas acteurs ? En gros oui, répond Fraisse, mais les indices deviennent moins prégnants.

Piaget propose de distinguer les jugements préopératoires où dominent la quantité des objets transportés, c’est-à-dire une sorte de fréquence mais avec négligence au moins partielle de la vitesse, et la coordination finale dans laquelle il ne voit pas comment expliquer la compensation sans faire intervenir la vitesse.

Fraisse admet qu’il y a coordination de plusieurs éléments, mais y en a-t-il toujours un qui serait la vitesse et pourquoi celle-ci serait-elle nécessaire ? Il faut, d’autre part, se méfier des compensations, car les mêmes résultats peuvent être dus à des facteurs variés.

Piaget continue à penser que la vitesse est nécessaire, du point de vue de la logique non pas du psychologue mais de l’enfant lui-même. Sans doute y a-t-il multiplicité d’indices et il reconnaît volontiers que ses anciennes analyses des niveaux préopératoires étaient trop simples. Mais la plupart des indices tendent à allonger la durée apparente : espace parcouru, travail accompli, etc., et ici le nombre des éléments transportés. Pour qu’il y ait compensation, il faut donc des facteurs qui diminuent la durée : or seule la vitesse est telle, qu’il s’agisse de la vitesse-déplacement, de la vitesse-fréquence ou de toute autre forme (comme les accélérations intérieures dues à l’intérêt).

Fraisse ayant fait jadis un certain nombre d’objections à l’auteur de ces lignes concernant la signification des stades préopératoires de la notion du temps (¹), il importait de réexaminer ces questions. Une psychologue anglaise, Katleyn Henry, qui s’était déjà occupée des conduites temporelles, a bien voulu reprendre à Genève quatre des expériences de Fraisse-Vautrey concernant des mobiles dont les sujets peuvent percevoir les trajets et les vitesses avant de juger de celles-ci et des durées employées. Et elle a eu l’ingénieuse idée de doubler ces expériences d’autres toutes pareilles à cette seule différence près que les mouvements sont en ce second cas invisibles (un écran percé de 3 ou 4 trous permet seulement de percevoir les points de départ et ceux d’arrivée, ces derniers étant symbolisés par deux maisons dont chacune entoure un orifice de l’écran). En outre, K. Henry ne s’est pas contentée de sujets de 5 ans, comme l’avaient fait Fraisse et Vautrey dans le cas particulier, mais elle a vu 20 enfants de 5 ans et 10 de chaque âge entre 6 et 8 ans (ces 50 sujets tous anglophones étant d’un niveau quelque peu supérieur aux enfants des classes genevoises correspondant à celles des écoles internationales utilisées).

Les deux questions principales à résoudre étaient, en effet, de décider si les niveaux préopératoires témoignent ou non d’une évolution et si la coordination du temps et de la vitesse joue un rôle essentiel en ce développement.

Les quatre expériences retenues ont été les suivantes :

I (= exp. 6 de Fraisse-Vautrey). : un mobile met un temps plus long (3/2) pour parcourir un espace plus grand (3/1) à une vitesse supérieure ;

II (= 8 de F.-V.) : un mobile met un temps plus long (2/1) pour parcourir un espace plus court (1/2) à une vitesse inférieure ;

III (= 4 de F.-V.) : un mobile met le même temps pour parcourir un espace double à une vitesse supérieure (2/1) ;

IV (= 10 de F.-V.) : deux mobiles parcourent synchroniquement le même espace à la même vitesse mais avec un décalage spatial (égal à un demi-parcours).

Les résultats ont été à 5 ans à peu près identiques à ceux de Fraisse pour ce qui est de la technique des mobiles visibles (trains), à trois petites divergences près : a) Meilleures réussites pour la durée dans la question I (95 % contre 62 %) ; b) Moins bonnes réponses pour la durée dans la question II (30 % contre 54 %) ; et c) Beaucoup moins bonnes réponses pour la vitesse dans la question IV (5 % de réussites contre 59 %).

Par contre, si l’on compare la technique des mouvements visibles (trains) à celle des mouvements invisibles (maisons) et si l’on examine le développement de 5 à 8 ans, on trouve ce qui suit :

1) Pour la question I, le masquage du trajet fait tomber les réussites pour la vitesse de 95 % à 40 % (et à 6-8 ans de 90 ; 95 et 100 % à 60 ; 70 et 80 %) parce que les dépassements ne sont plus visibles. Les réussites pour la durée passent alors de 95 % (5 ans) à 50 % parce que le seul indice est en ce cas l’ordre de succession temporelle des points d’arrivée qui ne sont pas simultanés ;

2) Dans la question II les réussites pour le temps demeurent de 30 % à 5 ans, parce qu’il y a rapport inverse entre la durée et la vitesse, tandis que celle-ci reste correctement évaluée (90 % contre 100 % avec les trains) parce que le mobile le plus rapide s’arrête avant l’autre (1 à 2) en arrivant deux fois plus loin ;

3) Dans les questions III et IV les jugements de durée sont nettement améliorés (50 % contre 10 et 5 %) parce que les départs

et les arrêts sont respectivement simultanés et qu’il est plus facile de tenir compte de ces simultanéités (seul indice visible) quand les trajets sont masqués. Cette simultanéité des arrêts sans dépassement visible gêne au contraire l’évaluation de la vitesse à 5 ans (25 % contre 85 dans la question III) ;

4) D’une manière générale le masquage des trajets ne favorise donc l’estimation de la durée que quand celle-ci s’encadre dans un ordre de simultanéités données sans qu’il soit nécessaire de les abstraire, tandis que dans la question la plus facile 1) où la plus longue durée correspond au plus grand espace parcouru et à la plus grande vitesse les réponses correctes à la durée et à la vitesse à la fois passent à 5 ans de 95 % à 35 % lors de ce masquage (de 90 à 50 % à 6 ans, de 100 à 70 % à 7 ans et de 100 à 80 % à 8 ans) ;

5) Il y a évolution régulière de 5 à 8 ans pour toutes les questions, ce qui semble témoigner d’une coordination progressive des indices ou d’une articulation graduelle des intuitions, comme nous disions jadis, et ce qui paraît justifier l’existence d’un stade intermédiaire entre le niveau initial où prédomine la relation « plus vite = plus de temps » et le niveau opératoire ;

6) Les % des sujets admettant cette correspondance directe entre durée et vitesse sont, en effet, les suivants, abstraction faite de la question I (où le rapport est indécidable puisque, objectivement le mobile plus rapide marche plus longtemps) :

II

III

IV

Trains

Maisons

Trains

Maisons

Trains

Maisons

6 — 

7 — 

8 — 

70 60 50 30

60

60

10

0

75 50 50 20

35

20

10

0

60

30

20

0

40

20

20

0

On assiste donc à une inversion progressive du rapport, inversion plus précoce dans le cas des maisons en III et IV puisqu’alors les durées sont synchrones et les simultanéités données (perception des seuls points d’arrivée et de départ) sans

que le sujet ait à les abstraire de l’ensemble des trajets, ceux-ci restant invisibles (¹).

Papert remarque d’abord que dans les questions III et IV la diminution de l’information (masquage des trajets) favorise au lieu de compliquer la solution du problème, ce qui n’est plus vrai de la question I. En d’autres termes, dans les situations III et IV où il y a conflit quand tout est visible, les réponses sont meilleures sans la vitesse, ce qui tend à prouver qu’en situations non simplifiées le sujet se sert de la vitesse, même quand ses effets sont plutôt nuisibles. En effet, du point de vue génétique, les facteurs « nuisibles » ou qui compliquent la tâche ont un sens capital : tant qu’ils ne sont pas intégrés, le sujet ne peut pas dépasser son stade.

Quant aux stades, Papert insiste sur leur relativité partielle par rapport aux interprétations théoriques et il importe dans le cas particulier de les décrire en termes de coordinations générales des indices, selon un modèle de fonctions probabilistes.

Fraisse enchaîne en précisant qu’il s’intéresse davantage aux conduites temporelles qu’à l’intelligence ou à la compréhension comme telles, qui constituent les problèmes de l’épistémologie génétique. D’un tel point de vue il n’est pas évident que les situations « turfistes » de dépassements de mobiles soient privilégiées dans les conduites temporelles. Il y a quantité d’expériences de la durée qui ne doivent rien à ces problèmes de mobiles. Ces premières expériences temporelles de l’enfant sont indépendantes de telles situations : tout ce qui est intervalle entre la naissance d’un besoin et le moment de sa satisfaction est beaucoup plus important comme indice.

Quant au passage du préopératoire à l’opératoire, Fraisse est intéressé par le schéma des descripteurs et des fonctions. L’enfant se sert, au niveau préopératoire d’une quantité de critères pour l’évaluation de la durée. Un petit changement de situation modifie leur utilisation et il passera sans cesse d’un bon à un mauvais critère ou l’inverse et puisqu’il y a un stade d’intuition articulée comme dit Piaget, il faut essayer de le concevoir

comme un stade où ces critères se recoupent et commencent à se coordonner. C’est alors que peut se poser le problème des conduites intelligentes conduisant aux niveaux opératoires.

Marianne Meylan-Backs a repris en liaison avec Piaget une recherche de Fraisse, sur les relations entre la durée et la fréquence. On présente aux sujets dans une visionneuse deux séries de clichés : 8 à 3 s et 4 à 6 s, ou 16 clichés à 2 s et 8 à 4 s, soit un temps global de 32 s, en alternant naturellement l’ordre des séries. Après chaque série on demande une évaluation de la durée, au moyen de six baguettes dont les longueurs symbolisent des durées inégales. L’interrogation comporte trois parties : évaluation simple, explication (donc estimation réfléchie) et suggestion d’égalité pour voir si elle est acceptée et, en ce cas, comment elle est justifiée. Les réactions observées sont de trois sortes. Avant 8 ans l’enfant juge surtout de la durée par la fréquence absolue : plus d’images, plus de temps. Vers 8-9 ans le sujet pense au contraire qu’avec l’augmentation de la fréquence la durée diminue parce que cela va « plus vite » et que chaque image est présentée moins longtemps. En troisième lieu, mais moins souvent que chez Fraisse (qui travaillait sur adultes et faisait juger du temps métriquement), il y a égalité par compensation.

Piaget commence par exprimer sa dette de reconnaissance à Fraisse, avec lequel les discussions ont toujours été extrêmement stimulantes et fructueuses. Sur le terrain de la durée l’accord n’a pas encore pu se faire en particulier quant au rôle de la vitesse. Pour Fraisse la durée est évaluée directement, en fonction de divers indices dont le principal est le nombre des changements perçus par le sujet. Pour Piaget la durée est au contraire une relation : espace parcouru ou nombre de changements, etc., mais relativement à la vitesse. Seulement comme, au niveau préopératoire, cette mise en relation demeure approchée ou même manquée, un des termes du rapport est accentué par rapport à l’autre qui peut être négligé : d’où les situations conformes aux descriptions de Fraisse. En particulier l’expression « plus vite = plus de temps » revient en fait à une négligence de la vitesse en tant que déroulement et

revient à : « Plus loin, plus de changements », etc. (= résultat de la vitesse), donc « plus de temps » tandis que l’expression « plus vite = moins de temps », témoigne de la mise en relation correcte avec la vitesse en tant que déroulement. Les résultats de M. Meylan-Backs témoignent à cet égard d’une mise en relation croissante, où les réactions à la vitesse-fréquence sont très homogènes aux réactions observées précédemment quant à la vitesse-déplacement.

Fraisse insiste sur la difficulté du problème. Nous sommes au stade de l’accumulation des faits et n’en avons pas encore assez pour une systématisation générale. Après avoir souligné l’élégance de la technique, Fraisse suppose que l’utilisation de longueurs spatiales comme mesure de la durée peut expliquer la différence entre les réponses de ses sujets adultes, qui aboutissaient statistiquement à une égalité générale (avec évaluations en degrés allant de 21 à 45 s), et celles des adultes interrogés ici, dont peu atteignent l’égalité. Finalement, Fraisse se demande s’il n’existe pas plusieurs types de conduites vis-à-vis du temps et plusieurs notions hétérogènes : le temps spatialisé, le temps de coordination des vitesses, le temps de la relativité (coordination des observateurs), etc.

Piaget répond que si l’on parle de la multiplicité des temps, l’accord devient possible : si le temps est un rapport pouvant prendre plusieurs formes, mais dont le dénominateur comprend la vitesse sous un aspect ou sous un autre, le sujet peut accentuer l’un des termes du rapport et négliger l’autre, d’où la multiplicité des évaluations. En présence de cette multiplicité des temps, l’effort que l’on peut tenter est la classification de ces accentuations ; en ce cas les illusions du temps vécu ou perçu tiennent à ces variétés d’accentuation, tandis que la notion c’est le rapport lui-même. La divergence se réduit donc à peu de choses : Fraisse semble d’accord sur le temps opératoire ou « complet » mais pas sur l’intervention de la vitesse dans les formes intuitives, tandis que Piaget se borne à ajouter que quand la vitesse est négligée par le sujet elle devrait intervenir pour passer de l’estimation erronée à l’évaluation exacte.

Reuchlin pense que le passage des estimations multiples à la notion unifiée est sans doute affaire de socialisation : le temps de la mécanique, c’est le temps commun à tous les

sujets. Et cette construction du temps commun ne résulte-t-il pas d’une équilibration qui comporte une certaine réversibilité ? Le temps commun n’est d’ailleurs pas le seul que nous utilisons et nous continuons de vivre en fait dans les autres.

Cohen montre que quand nous représentons le temps par un symbolisme spatial (comme dans le cas des baguettes de M. Meylan) cela ne signifie pas pour autant que la durée comporte des composantes spatiales. Par contre, si l’on examine dans ses propres expériences (effet Kappa, etc.), les relations entre le temps et la vitesse on trouve des corrélations nettes. L’espace reste à part. Cela pourrait être dû à un artefact mais Cohen ne le pense pas.

Papert hésite entre les difficultés et la possibilité d’une estimation perceptive directe du temps. La difficulté principale est de définir ce qu’est une estimation directe : c’est en général le cas des jugements au sujet desquels le sujet ne parvient pas à dire quels indices il a employés ! Le nombre des indices et des influences parasites est proprement infini et le premier problème serait de chercher ceux qui jouent un rôle important. Il n’y a donc pas d’expérience cruciale possible à cet égard. Mais, d’autre part, pourquoi ne pas se livrer à des expériences un peu « propres » en tachistoscope, pour la durée comme pour l’espace ? Par exemple faire évaluer les durées s’écoulant entre deux points lumineux situés sur des segments invariants de droite (¹). Papert avoue à cet égard ne pas apercevoir de différences de nature entre les perceptions temporelles et les perceptions spatiales.

Fraisse répond qu’une différence fondamentale demeure à cet égard : pour des distances on peut recourir à des comparaisons simultanées, tandis qu’il n’en est rien dans le cas des durées.

Papert est bien d’accord, mais il reste que si l’on parle de la multiplicité des estimations du temps il faut en dire autant de l’espace : on distingue par exemple la droite de la visée, la droite géodésique, etc., et la notion de droite c’est précisément la coordination de tous ces éléments. Il en est de même pour la

notion du temps et dans les deux cas, il faut tenir compte de tout ce que nous a appris la théorie de la relativité.

Gonseth pense qu’une certaine indétermination entache toujours l’estimation des durées longues. Pour ce qui est des durées courtes, par contre, l’estimation est possible, mais il faut épurer les indices. On peut en particulier faire supporter la durée par une fréquence. Notre cerveau est porteur de rythmes qui varient selon nos occupations : pourquoi n’y aurait-il pas intégration à ces rythmes ? Mais c’est par des expériences sur la conservation de la durée que l’on pourrait atteindre l’inaliénabilité de la vitesse aussi bien que celle de la durée et de la distance. Dans notre activité insérée, durée, vitesse et espace sont inséparables : ce qu’il faudrait donc étudier, c’est la durée de deux phénomènes que l’on rendrait par ailleurs aussi identiques que possible. « C’est parce que nous sommes capables d’actions efficaces que je vais jusqu’à dire que l’intégration de la vitesse est inévitable. »

Apostel insiste sur les relations entre le temps et l’incertitude. On peut concevoir le temps comme une sorte d’opération qui transforme le passé en présent et en futur : le futur est l’incertain partiellement contrôlable en fonction d’une certitude présente et passée qu’on ne peut modifier. L’évaluation des temps ne dépendrait-elle pas de ces facteurs d’incertitude et de contrôle ? Et, pour ce qui est des facteurs affectifs réductibles à des régulations, il y a toujours anticipation du futur et des perturbations possibles : n’est-ce pas là à nouveau un facteur d’incertitude ?

Bresson et Isaacs développent ce même thème, le premier en suggérant des expériences possibles et le second en insistant sur la logique de la prévision qui se développe sans doute chez l’enfant, en fonction des besoins quotidiens, bien avant la logique des rapports et des mesures. Cohen montre en quoi le futur est une image distordue du passé, avec différences systématiques des évaluations d’intervalles.

Fraisse conclut cette longue discussion en distinguant trois paliers temporels : celui de l’intégration physiologique des durées celui du temps vécu avec ses indices extrêmement divers et celui des conduites rationnelles où l’on essaie de coordonner l’ensemble des phénomènes. Or sans doute ces trois plans sont en interaction.

P. Gréco a eu l’excellente idée de reprendre notre ancienne expérience sur les promenades de personnages, mais en éliminant tout indice perceptif sur les espaces parcourus et les vitesses. Au lieu donc de déplacer les bonshommes de manière visible sur la table ou de façon trop imaginable derrière un écran, Gréco a demandé aux enfants de se promener eux-mêmes aux alentours de l’école, pendant 3-4, 5-6 ou 9-10 minutes, chacun des deux partenaires A ou B ignorant tout de l’itinéraire et de la vitesse de l’autre et ne connaissant que l’ordre des départs et des arrivées. Si nous désignons par > la relation « après » et par < la relation « avant » les quatre ou cinq situations étudiées sont caractérisées par les départs et arrivées de formes suivantes :

(1) = > ; (II) > < ; (III) < < ; (IV) > = ; et parfois (V) = = (pour les petits).

Seule la situation III est indécidable puisque l’un des sujets part avant l’autre et arrive aussi avant l’autre. Les questions ont porté d’abord sur les durées de parcours et leur justification, mais aussi ensuite sur les espaces parcourus et les vitesses, bien que ces indices, utiles à connaître du point de vue du raisonnement de l’enfant, soient ici logiquement indéterminés.

Les résultats obtenus permettent de distinguer quatre stades. Au cours du premier (24 sur 25 sujets de 6-7 ans et 1 sur 20 à 7 ans) les sujets, même pour les évaluations justes, ne font presque jamais spontanément mention des décalages d’ordre et cela même s’ils s’en servent implicitement (ce qui arrive parfois mais peu) : l’argument essentiel est la description des parcours (dont le sujet ignore cependant toujours l’un !) en termes globaux de longueur, vitesse et durée. La question III donne toujours lieu à une réponse jugée décidable et la question V à une inégalité. Au cours d’un second stade (7-8 ans), l’ordre des arrivées est pris en considération, mais pas celui des départs. La durée est jugée en fonction des distances (imaginées) et aussi des vitesses, avec tantôt l’équivalence « plus vite = plus loin = plus de temps » tantôt « plus

vite = plus vite arrivé = moins de temps ». Au troisième stade (environs de 9 ans) la coordination de l’ordre des départs et des arrivées est assurée mais les questions d’espace et de vitesse ne sont pas jugées indécidables, pas plus (sauf pour les 20 % spontanément et les 40 % après discussion) que la question III. Le quatrième stade, enfin (les 60 % à 9-10 ans), marque une coordination générale (entre autre sous la forme « plus vite = moins de temps ») et une reconnaissance des situations indécidables.

Lunzer se demande s’il s’agit de stades proprement dits, étant donné la multiplicité des critères. Gréco répond qu’il a seulement voulu établir l’existence d’une évolution régulière avec l’âge et qu’il est prêt à ne parler que de niveaux.

Tajfel note que dans ses propres expériences on obtient même chez les adultes des résultats très distincts selon que l’on pose les questions en termes de similarités ou de différences. Chez l’enfant, on peut obtenir à propos de longueurs des dialogues du genre de celui-ci : « Est-ce que ce sont les mêmes ? — Oui. — Maintenant montre-moi le plus grand ? — Celui-là. » Gréco répond que le principe de la maison est de ne poser que des questions contre-suggestives. D’autre part, on ne demande pas qu’un jugement mais aussi les justifications. Papert trouve les questions « avant » ou « après » dénuées d’ambiguïté, et si un sujet du stade II modifie ses jugements selon qu’on le centre sur les points de départ ou sur ceux d’arrivée, c’est une réaction d’autant plus intéressante qu’elle disparaît lors des coordinations des stades III et IV.

Fraisse est frappé par le fait que malgré la cohérence introduite par les stades, les enfants ne se réfèrent pas tous aux mêmes indices. D’autre part, il est curieux de ne trouver aucune allusion aux indices affectifs : belle promenade, effort, succès, etc. Gréco répond qu’il n’est cependant pas seul à avoir interrogé les 85 sujets… Fraisse poursuit en notant l’intérêt des coordinations opératoires entre l’ordre de succession et les durées. Mais pour ce qui est des critères la variabilité reste grande et on a l’impression que quand l’enfant répond « plus quelque chose » ce qui compte avant tout c’est « plus ».

Gréco précise que son problème était d’étudier cette coordination entre l’ordre et la durée en vidant celle-ci de tout contenu perceptif pour voir si l’on retrouverait ainsi les mêmes suites

d’étapes. Or, c’est bien le cas. D’autre part, la capacité finalement acquise, de coordonner l’ordre et la durée doit bien faire intervenir un système susceptible d’assurer cette coordination.

Une seconde expérience de P. Gréco a porté sur la métrique temporelle, non pas pour en vérifier l’interprétation donnée jadis par Piaget (synthèse opératoire des emboîtements partitifs et de l’ordre des déplacements, en isomorphisme avec la formation de la métrique spatiale et avec la synthèse des inclusions et de l’ordre pour ce qui est de la construction des nombres), mais pour tirer de l’utilisation de cette métrique même, des informations sur la compréhension du temps. Le dispositif consiste à présenter au sujet deux mesurants identiques F¹ et F², soit deux métronomes dont le second donne un nombre de battements double du premier N² = 2 N¹, soit deux plateaux tournants (plateaux d’électrophones) dont le second donne un nombre de tours double du premier. Le sujet doit d’abord comparer directement ces deux mesurants (durées simultanées) et établir le rapport de vitesses, à lui seul ou avec l’aide de l’expérimentateur. Cela fait ou présente une durée D en fonction de F¹ (ou de F²) au moyen d’une lampe restant allumée pendant D et on demande ensuite de reproduire une durée égale D’ = D en fonction de l’autre mesurant. En cas d’échec, on fait reproduire D’ avec le même mesurant puis l’on passe au second.

Les résultats mettent d’abord en évidence la difficulté jusqu’à 7-8 ans à saisir le rapport N² = 2 N¹ auquel est substitué une relation N² = N¹ + k. Même quand ce rapport a été spontanément saisi et énoncé, une seconde difficulté subsiste jusqu’à 8-9 ans pour égaliser D’ à D, l’enfant commençant alors par se contenter de N² = N¹. Avec les disques la réponse correcte est encore plus tardive (40 % à 9-10 ans), la réponse N² = N¹ + k prédominant jusqu’à 8-9 ans.

Fraisse insiste sur cette différence des réactions aux disques et aux métronomes, celles-ci bénéficiant d’un effet de rythme. Gréco remarque cependant que la synchronisation sur les métronomes n’aboutit pas toujours à des constatations exactes.

Apostel souligne le rôle de la vitesse et remarque que Piaget

la définit de façon très large : une mesure du degré de changement par unité de temps. Mais comment la mesurer ? Papert pense qu’il faut imaginer une série de niveaux de vitesses et une série de niveaux de temps. Il y a solidarité entre les deux mais lesquels dérivent des autres ? La réponse pourrait être ni les uns ni les autres. Il semble pourtant que la vitesse soit à l’origine, même si cette vitesse initiale est pauvre. Il y a toute une série d’indices très simples, perceptifs, qui permettent de définir non pas une vitesse structurée mais une vitesse qui serait suffisante pour obtenir une première construction temporelle, laquelle permettrait ensuite un affinement de la notion de vitesse.

Charles Legg, qui fut collaborateur de J. Cohen à Manchester, nous a été aimablement proposé par ce dernier pour contribuer aux recherches du Centre sur le temps, et il a bien voulu passer une année à Genève pour approfondir l’analyse de l’effet « kappa ». On sait que cet effet, étudié par Cohen (¹) consiste en une surestimation de la durée sous l’influence de l’espace : si l’on allume successivement trois lumières A, B, C avec un intervalle temporel égal t¹ entre A et B et t² (= t¹) entre B et C mais un intervalle spatial d¹ entre A et B supérieur à d² entre B et C (les trois lampes se succédant sur une même droite), la durée t¹ est en général surestimée sous l’influence de d¹ > d², du moins en présentation horizontale. En vertical, c’est la durée associée au segment spatial supérieur qui est en général surestimée.

Cohen a émis l’hypothèse que de tels effets pouvaient être dus à des facteurs d’expectations liées aux vitesses : en supposant une vitesse constante en horizontal le sujet aura la tendance en reliant par un mouvement les trois lumières A, B, et C, à surestimer la durée correspondant à un espace plus grand. D’autre part, les illusions en vertical seraient dues à l’habitude de voir s’accélérer le mouvement descendant et se ralentir le mouvement ascendant.

Pour contrôler ces hypothèses, Ch. Legg a imaginé d’intro-

duire deux nouvelles lumières A² et A³ entre A et B et modifier les vitesses entre A et B par rapport au segment BC : en cas de ralentissement en A A² A³ B il devrait alors y avoir diminution de l’effet en BC et en cas d’accélération l’inverse. Or, Legg, en variant les situations de plusieurs manières, a trouvé une augmentation de l’illusion en cas de ralentissement et un effet nul avec l’accélération. En outre l’effet en vertical est faible en montant mais fort en descendant indépendamment des distances (effet de direction non observé par Cohen sous cette forme indépendante).

L’hypothèse invoquée ne suffit donc pas, mais la technique de Legg ne fournit pas non plus d’explication car il a été obligé de faire varier les espaces en même temps que les vitesses.

Depuis lors G. Voyat a continué les recherches et est conduit à rétablir le rôle de la vitesse, mais sans « expectation » et en tant que mise en rapport avec l’espace parcouru. Quand celui-ci est centré plus que la vitesse il y a alors surestimation des durées par simples effets de contrastes ou de « centrations relatives ».

Cohen déclare que les résultats de Legg ne lui déplaisent pas parce qu’il ne croit plus beaucoup à son hypothèse de l’expectation. Il existe d’ailleurs une différence notable entre les techniques d’estimation utilisées par Legg et ses propres techniques d’ajustement ou de reproduction, qui fournissent des effets plus forts. Il expose ses nouvelles expériences en cours qui situent l’effet kappa parmi bien d’autres et rappelle l’effet tau ou influence du temps sur l’espace.

Bresson après s’être renseigné sur l’hétérogénéité des résultats intra-sujets, qui est grande, se demande si l’on ne retombe pas dans un problème de centration (ce que G. Voyat a donc vérifié depuis). Hirsch précise qu’en élargissant l’angle visuel jusqu’à 58° l’effet kappa n’existe plus : il est presque fovéal. Dans le domaine auditif il n’existe pas.

Papert propose de n’utiliser que deux lumières, avec variation de la distance et de refaire l’expérience avec deux sons.

Dans l’interprétation de Piaget la durée implique la vitesse qui est considérée par le sujet aux niveaux opératoires et nécessaire aux coordinations objectives adéquates du temps, mais

négligée ou considérée dans ses seuls résultats (plus vite = plus loin) aux niveaux préopératoires, d’où les estimations subjectives et inadéquates de la durée. Par contre la vitesse ne suppose pas initialement la durée et repose aux niveaux élémentaires (perception et intuitions préopératoires jusqu’aux débuts, y compris, du niveau des opérations concrètes) sur la considération ordinale du dépassement (et ensuite la considération hyperordinale de la grandeur décroissante ou croissante des intervalles entre les mobiles), ce qui permet d’éviter le cercle entre la vitesse et la durée. Mais si cette interprétation est cohérente sur le terrain de la vitesse-déplacement, elle laisse encore sans solution le problème de la vitesse-fréquence, car en un rythme l’intervalle entre les battements, par exemple, est de nature temporelle et non plus spatiale : faut-il alors admettre deux formes hétérogènes de la vitesse, dont l’une des deux seules serait indépendante de la durée, ou bien peut-on considérer que le rythme, dont Fraisse a très clairement montré le caractère de Gestalt dynamique, comporte lui aussi un élément de vitesse — le tempo — dont l’estimation pourrait reposer sur des anticipations cinématiques indépendantes, en leur mécanisme, de la durée comme telle ?

Chose curieuse, cette perception du tempo ou de la vitesse-fréquence a été fort peu étudiée. Magali Bovet a bien voulu se charger d’organiser quelques investigations à cet égard, dans le but de dégager certaines voies d’approche. Retenons les deux premières des quatre sortes d’expériences envisagées et dont les résultats donneront lieu à une publication plus détaillée :

I. — Estimations temporelles d’intervalles correspondant à différentes vitesses-fréquences : A) Intervalles très brefs (20 à 40 centisecondes, fréquence 300 à 150 battements par minute) ; B) Intervalles moyens (50 à 150 cs, fréquence 120 à 40 par minute) ; C) Intervalles longs (200 à 300 cs, fréquence 30 à 20). Il s’agit en ces trois cas de comparer deux intervalles déterminés par 3 battements successifs, en 5 jugements selon une déformation de 0 ; ± 5 et 10 %.

II. — Estimations de fluctuations cinématiques : 1) Dans la zone B : fréquence 75 par minute ; 2) Dans la zone A : fréquence 150 ; 3) En une vitesse encore plus rapide (fréquence 300 à 600 par minute). Il s’agit en ces cas de comparaisons  de

deux suites successives de battements en 5 jugements selon les mêmes déformations.

Les résultats obtenus sont déjà instructifs. En premier lieu il n’y a pas coïncidence des zones de perception optimale : celle de la durée se situe aux environs de 80 cs d’intervalle alors qu’à 20 cs la précision est moindre ; celle du tempo se situe aux intervalles de 20 à 40 cs, tandis qu’à 80 cs la précision diminue. En second lieu la précision générale semble supérieure dans le cas du tempo : la précision de 5 % est obtenue par les 80 % des sujets, tandis que la même pour la durée n’est que de 50 % (à moins qu’on n’ait pas obtenu le point optimal à cet égard). A 20 cs la durée n’est estimée à 5 % que par les 19 % des sujets, et le tempo à 82 %. A 10 cs cette précision est encore atteinte par les 44 % des sujets pour le tempo.

Il semble donc exister, et c’était la question principale à résoudre, une estimation des vitesses-fréquences (tempo) indépendante de celle des durées et reposant donc moins sur l’intervalle que sur la liaison d’un battement au suivant. M. Bovet n’exclut pas qu’une composante temporelle intervienne au niveau des intervalles dont la durée est évaluable quantitativement, mais l’examen des acuités ou degrés de précision semble indiquer que la durée demeure même alors dépendante des données fréquentielles, tandis qu’aux intervalles courts, un contenu temporel exactement perceptible ne paraît pas nécessaire pour les estimations fréquentielles précises.

Papert propose de continuer l’expérience en étudiant l’apprentissage du tempo. On peut songer à un système interne de résonance qui vibrerait à différents degrés de sensibilité selon la coïncidence de son rythme fréquentiel avec celui du stimulus.

Hirsch pense à un phénomène de texture. Pour les temps longs on atteint la durée, tandis qu’aux intervalles plus serrés les choses changent.

Fraisse note d’abord que les tâches du sujet diffèrent d’une expérience à l’autre. Une vitesse ne peut être estimée que si elle dure assez longtemps. Piaget reconnaît que cela est vrai des vitesses-déplacements tandis que les vitesses-fréquences de M. Bovet sont distinguées pour des temps très courts. Il y a donc lieu de chercher à quoi correspond la fréquence. Ce pourrait être la « densité » qui joue un rôle essentiel, répond

Fraisse. Oui, dit Piaget, mais à condition de lui conférer un sens cinématique : il n’y a pas simplement estimation par rapport au tout, comme dans l’illusion d’Oppel où le tout est donné dans un seul regard. Il y a cependant, poursuit Fraisse, référence globale par rapport aux rythmes physiologiques.

On peut faire l’hypothèse d’un compteur interne qui jouerait pour le tempo, suggère Bresson. Mais Piaget voudrait atteindre le continu cinématique inhérent à la marche du compteur : l’essentiel est d’atteindre un dynamisme qui dépasse et englobe le temps au lieu d’en dériver. Au reste, ajoute-t-il, tout cela est en accord avec deux thèses essentielles de Fraisse : 1) Qu’aux petites durées leur estimation est encadrée par la succession ordinale des événements entre lesquels se situent les intervalles (la durée des intervalles est évaluée plus correctement à l’intérieur des séquences rythmiques que dans les intervalles entre les séquences) ; et 2) Que le rythme constitue une Gestalt dynamique plus prégnante que la durée et comportant un facteur cinématique. On peut donc supposer, dans les expériences de Magali Bovet, que la perception du tempo ou vitesse-fréquence est affaire de comparaison entre la cadence du stimulus et celle du sujet (physiologique ou psychologique, acquise sur place ou en fonction d’expériences antérieures, etc., peu importe ) : les fines différences perçues aux intervalles très courts témoigneraient ainsi d’une sorte de comparaison ordinale en termes de dépassements dans le cas de la vitesse-fréquence comme dans celui des vitesses-déplacements, et seraient donc pour cette même raison indépendantes de la durée. Mais de même que la vitesse-déplacement se coordonne tôt ou tard avec la durée, des coordinations analogues peuvent se produire, sur le terrain du tempo ou vitesse-fréquence, avec l’allongement des intervalles puisque ceux-ci ne sont pas spatiaux et imposent donc assez tôt une évaluation temporelle.

Dans une recherche dont il est difficile de rendre la richesse sans entrer dans le détail des formules (sa publication suivra), Grize se propose de formaliser, non pas le temps de la mécanique ni les théories psychologiques du temps, mais le temps du

sujet lui-même tel qu’il se construit psychogénétiquement. Grize se donne deux relations : P relation d’ordre « précède » (transitive et asymétrique, donc irréflexive) et C relation de coïncidence dans un voisinage spatio-temporel. On en tire F, relation de cofamiliarité (F = df P C P—  ¹), transitive, symétrique et réflexive, comme C elle-même. Grize cherche alors à montrer que la notion de temps procède d’une coordination des mouvements ou des familles d’événements : T = C/P/C, c’est-à-dire qu’un événement x précède un événement y s’il existe un événement u et un événement v tels que x coïncide avec u, u précède v et u coïncide avec y.

On introduit ensuite la notion de durée Dur (x, y) comme la classe des événements qui sont intermédiaires par la relation T à x et à y ; et la notion de simultanéité (S = ~ T ⋂ ~ T^— 1) qui, dans cette construction, n’est pas par elle-même transitive.

Si l’on pose alors qu’une durée vide entre x et y, équivaut à la simultanéité de x et de y, la notion de temps possède ses caractères essentiels, notamment la connexité et la densité.

Grize montre en outre comment ces coordinations qui caractérisent le temps objectif peuvent être préparées par diverses relations intéressant les évaluations préopératoires et dont il donne la liste dans les perspectives soit de Fraisse soit de Piaget.

Apostel voit bien comment un tel schéma permet de passer des relations temporelles élémentaires (génétiquement les relations d’ordre et celles de voisinage spatio-temporel sont effectivement très précoces) au temps de la mécanique. Mais la notion de temps n’est pas unique chez l’adulte : il y a le temps vécu, le temps des événements quotidiens, etc.

Pour Fraisse, le problème fondamental est que l’enfant est capable à tout âge de certains jugements sur le temps dont les uns sont justes et les autres faux : le problème est de trouver les indices ou les variables qui entraînent de tels jugements. Fraisse est d’accord avec l’analyse du temps opératoire de Piaget, mais il reste toutes les évaluations non opératoires que l’on retrouve à chaque niveau et jusque chez l’adulte : quels sont les critères qui interviennent alors, tel est le problème qui l’intéresse et il demande à Piaget en quel sens il fait rentrer la durée perceptive dans les niveaux préopératoires.

Celui-ci répond que le problème des facteurs constitue effec-

tivement l’essentiel et que les stades ne sont utiles à découper que pour faire mieux apercevoir l’évolution des modes d’organisation de ces facteurs. Mais il faut se garder de concevoir les stades comme des transformations totales dont chacune anéantirait les conduites des niveaux antérieurs. C’est ainsi que le stade des opérations temporelles est caractérisé par l’apparition (tardive) de certaines structures intéressant les notions et les inférences relatives au temps, dont les sujets plus jeunes ne sont pas capables. Mais cela ne signifie en rien que le sujet de niveau opératoire ni l’adulte emploieront ces structures opératoires pour évaluer une durée vécue (ennui, attente, etc.) : aux stades successifs I, II, III, etc., de développement correspondent donc chez le sujet des stades finaux une hiérarchie de conduites I’, II’, III’, etc., dont les plus élémentaires prolongent simplement celles des stades antérieurs (I’ pour I, II’ pour II, etc.) et conservent les mêmes structures. A cet égard l’adulte lui-même conserve les structures préopératoires pour juger du temps vécu, etc., et la durée perceptive n’est qu’un cas ou un niveau particulièrement élémentaire de ce temps préopératoire. Cette situation se retrouve dans le cas de toutes les autres notions : à côté des opérations arithmétiques il peut arriver à l’adulte de juger d’un nombre d’après la figure ou par l’espace occupé (« numérosité » perceptive, etc.), mais, pour ce qui est du nombre, la plupart des situations permettent une évaluation opératoire, tandis qu’on est plus souvent conduit à évaluer la durée sans regarder sa montre et sans faire de raisonnements faute de données suffisantes. Quant au problème central, il est bien pour Piaget comme pour Fraisse, d’analyser les facteurs des estimations justes ou fausses, mais il est surtout, partant de là, de décider si ce temps est en fin de compte une relation et une coordination ou un absolu indépendant de son contenu et notamment des vitesses (donc aussi de ce que l’on fait et de la rapidité à laquelle on le fait) ^[*].

Gonseth s’intéresse à la formalisation de Grize mais n’y trouve pas le temps de la relativité, sans doute parce qu’il déborde du cadre de la psychogenèse. « Ce n’est pas à dire, ajoute-t-il, que la psychogenèse ne soutient pas le mouvement qui ira jusque-là. » Pour compléter la formalisation de Grize dans la direction relativiste, il faudrait introduire au moins deux observateurs, etc.

Fraisse remarque que si l’on peut comprendre la théorie de la relativité on ne peut pas la « vivre » et que, en ce sens le temps relativiste déborde bien le cadre de la psychogenèse. Mais Piaget pense que la psychogenèse concerne la formation des notions aussi bien que le vécu et qu’ainsi les conditions de possibilité de toute structure opératoire nouvelle lui posent un problème. Il rappelle l’ouvrage d’Abelé et Malvaux qui utilisent la vitesse ordinale, dégagée par la psychogenèse, dans leur reconstruction des notions relativistes. Il rappelle aussi les analyses de Poincaré sur les conditions très limitatives d’un constat de simultanéité, ce que confirme de près la psychogenèse.

Pour Papert, le temps de la relativité, c’est le temps lui-même et il est donc indispensable de l’englober dans la perspective génétique. Einstein a réussi à justifier sa notion du temps en s’appuyant sur des intuitions très faciles à accepter. Pour comprendre comment on peut en arriver là il faut partir de sujets qui ont des notions de temps profondément différentes : l’enfant, d’une part, et certaines tribus Comme les Obi, qui distinguent simplement le manifeste (présent et passé récent) et le non-manifeste (avenir et passé lointain). Dans cette perspective tous les apports de la psychogenèse sont fondamentaux. Mais il reste à savoir si ces diverses notions du temps relèvent d’une construction d’ensemble ou demeurent hétérogènes. Or, il est dangereux de retenir cette diversité sans critique. De ce qu’au jeu des échecs il s’est superposé une science des échecs qui a introduit de multiples notions nouvelles, on ne saurait conclure à une multiplicité hétérogène.

Le problème fondamental du temps est de savoir s’il correspond à une intuition simple (au sens kantien, par exemple) ou s’il s’appuie sur d’autres notions. Or, à un certain âge les enfants choisissent comme indice du temps le chemin parcouru, ce qui est un bon indice. Mais parfois cela ne marche plus, il y a contradiction et il faut faire intervenir les différences de vitesses. Il en résulte que « du point de vue a priori et du point de vue expérimental, tout porte à croire que la vitesse joue un rôle capital ».

Sous ces deux titres, Papert a conduit une série de recherches et fait plusieurs exposés, qui ont débuté par les considérations méthodologiques suivantes :

1) La solution de tout problème particulier est solidaire d’une interprétation structurale d’ensemble. Soutenir que le temps est nécessairement lié à la vitesse, c’est, tout autant que de dire « la masse de l’électron est x », se référer non pas seulement à des faits d’expérience mais encore et nécessairement à des présuppositions théoriques et épistémologiques générales.

2) On met souvent en question les descriptions « logicistes » utilisées par Piaget (les groupements de sériation pour le temps, le groupe INRC, etc.). Il y a là trois problèmes : a) Ces analyses s’imposent-elles ; b) Quels sont leurs critères de vérification ; et c) Quels sont leurs rapports avec les explications causales de l’intelligence (psychophysiologie) et avec le contenu de la pensée consciente du sujet ? D’une manière générale où est l’équilibre entre logicisme, psychologisme et « animisme » ou données introspectives ? Or, si ces problèmes ne sont pas résolus, on ne saurait les éviter sans tomber dans une série de cercles vicieux.

3) L’antinomie fondamentale qu’il s’agit de surmonter est que « le cerveau humain, en tant que système physique, est régi par des lois qui doivent être en fin de compte formalisables alors qu’aucun système formel ne semble pouvoir rendre compte de toutes les propriétés des structures logico-mathématiques ».

En outre, Papert compare plaisamment les étapes historiques de l’étude génétique de l’intelligence aux stades de celle-ci : un stade préopératoire (associationnisme ou Denkpsychologie, etc.), le stade des opérations concrètes marqué par les ouvrages de Piaget sur le nombre, les quantités, le temps, etc., et le stade des opérations formelles anticipé par Piaget avec les recherches sur les « groupements », le groupe INRC, etc., mais qui ne s’est développé qu’avec les travaux du Centre d’Epistémologie génétique et n’a pas encore trouvé son point d’équilibre. Ce dernier stade est caractérisé par le fait qu’au lieu de procéder par secteurs (nombre, temps, etc.), la recherche procède par isomorphismes ou homologies, par analyses fonctionnelles et transports de structures.

C’est cette méthode que Papcrt veut appliquer à l’étude du temps. Ses deux idées centrales à cet égard sont que les réactions temporelles dépendent d’une série très complexe d’indices dont l’enregistrement et l’organisation sont fonction des structures les plus générales de l’intelligence au niveau considéré (par transports latéraux de ces structures ou de ces schèmes) et surtout que la durée est le résultat d’une conservation.

Commençons par ce second point qui est fondamental. Si l’on veut comprendre la constitution des opérations relatives à la durée il faut les replacer dans le cadre général de l’élaboration de toutes les quantités. Or, ce cadre de conservation peut se caractériser comme suit. Soit D (x, y, z) la description d’un objet assimilé aux structures du sujet (par exemple la boulette d’argile). Une loi de conservation revient à dire que si l’on remplace la valeur des paramètres x, y, z par celles qui résultent d’une transformation d (x, y, z) → (φ x), (φ y), (φ z) d’une certaine classe, alors la quantité considérée ne change pas. Exprimée ainsi la loi de conservation se transpose sans obstacle au domaine temporel : soit D (x, y, z) la représentation d’une série d’événements (un mobile d’une vitesse x sur un chemin y, etc.) : « La durée de ces événements est un invariant sous une classe de transformations qui modifient d’une certaine façon les vitesses, les distances, etc. »

C’est pour démontrer cette hypothèse qu’il s’agit de replacer le temps dans l’ensemble des lois fonctionnelles de l’intelligence (voir plus haut sous V : Schèmes fonctionnels et transports de structures). La méthode consiste alors à dégager pour chaque classe d’indices les sous-systèmes ou groupements fonctionnels auxquels ils donnent lieu et à analyser les coordinations ou transports latéraux entre ces sous-systèmes jusqu’à l’élaboration du système total qui constitue le temps. D’un tel point de vue des relations telles que t = e/v, etc., sont trop pauvres pour épuiser le temps. C’est par une quantification des flux d’influence en termes probabilistes d’information ou de néguentropie qu’on parviendra à cerner l’organisation fonctionnelle progressive des sous-systèmes d’indices particuliers puis de leurs combinaisons en un système d’ensemble qui finit par aboutir aux opérations temporelles.

Bresson est très intéressé par ce projet d’interpréter d’une manière probabiliste le rôle des indices dans la décision que prend

le sujet de répondre d’une façon ou d’une autre. Mais ne risque-t-on pas des cercles ? D’où vient que certains indices sont prépondérants, sinon de ces « décisions » mêmes ? Et l’interaction même entre ces probabilités, a-t-on intérêt à la traiter elle-même en termes de probabilité ? Ou est-ce structural ?

Papert ne voit pas là de grande différence. Quand un critère est prédominant il suffit souvent d’un jeu de nouveaux petits indices pour renverser le jugement.

Fraisse est également intéressé par le projet de trouver des indices descriptifs, car, si l’on ne peut pas faire dire à l’enfant n’importe quoi, il reste que ses interprétations verbales demeurent sujettes à caution. Seulement on peut poser des questions « ouvertes » et des questions « fermées ». Dès qu’elles sont ouvertes il apparaît une foule de choses : l’enfant parle d’effort, d’événements agréables ou pénibles, etc. Or, tout cela, on ne peut pas l’ignorer et il est douteux que les jugements temporels ne portent que sur des mobiles.

Papert souhaiterait alors que les psychologues lui expliquent quelles sont les conduites devant être présentées par l’enfant pour qu’il puisse être dit faire appel à un certain indice. Apostel pense que le critère est à chercher dans les formes de situations objectives exigeant le recours à un jugement de temps, mais Piaget répond que même en ce cas il y a toujours multiplicité d’indices et qu’il faut donc les dissocier, ce qui entraîne un choix théorique. Papert voudrait remonter aux perceptions, mais reconnaît l’existence de conflits dès les niveaux perceptifs. Il faut donc d’abord imaginer des situations épurées, mais Lunzer note que cela revient encore à partir de modèles théoriques.

Gonseth distingue les raisons invoquées par le sujet et les indices qu’il emploie en fait et Papert le remercie de cette distinction essentielle. Mais Gréco demande s’il existe une appréciation directe de la durée ou si Papert refuse de l’admettre comme indice : « Je refuse de l’admettre », répond Papert.

Piaget trouve suggestive la position du problème du temps en termes de schèmes de conservation. Il reconnaît volontiers que ses anciennes descriptions des stades préopératoires sont trop pauvres : en plus de la relation « plus vite = plus de temps », il intervient effectivement bien d’autres processus et

une multiplicité d’indices. Mais Piaget maintient qu’il y a finalement rapport, non pas seulement entre l’espace et la vitesse, mais entre « ce qui se fait » (travail, espace parcouru, etc.) et quelque chose qui implique la vitesse (vitesse-déplacement ou fréquence, puissance, etc.). En effet, dans la formule de Papert d (x, y, z) → (φ x), (φ y), (φ z), il est impossible que toutes les transformations s’orientent dans le même sens, sinon il n’y aurait ni compensation ni conservation : il faut donc un φ orienté en sens contraire des autres, et ce ne peut être que la vitesse sous une forme quelconque.

Le signataire de ce rapport étant juge et partie dans la question du temps et présentant, d’autre part, un article d’ensemble sur ce sujet (¹), il s’agira simplement pour conclure de chercher s’il est possible de tirer de tous les travaux précédents quelques éléments communs, malgré la diversité des thèses particulières. Or, ces éléments existent et leur formulation permet de mieux comprendre les divergences, réelles ou apparentes, qui subsistent entre les différents auteurs, ainsi que les problèmes qui restent à résoudre pour aboutir à l’unification.

1) Le premier point sur lequel tout le monde est d’accord est la multiplicité des indices qui interviennent dans les estimations de la durée et qui peuvent déborder ceux qu’une analyse logique aurait considéré comme exhaustifs. Mais il faut distinguer les indices agissant effectivement et les raisons invoquées par le sujet, encore qu’ils puissent se recouvrir, et un certain désaccord subsiste entre les auteurs quant à leurs relations : Papert exclut les données introspectives qu’il qualifie d’indices « poétiques », Fraisse pense qu’elles soulèvent des problèmes non négligeables et Piaget suppose que si la prise de conscience est en retard sur le comportement elle n’en obéit pas moins à des lois, et à des lois en relation avec celles de ce dernier.

2) Chacun a dû reconnaître également que les stades du développement de la notion du temps (au sens large des conduites

temporelles préopératoires puis opératoires) ne peuvent être caractérisés par la simple présence ou la simple prédominance de tel ou tel indice particulier (tels que « plus vite = plus de temps » ou l’inverse). Ils le sont par les modes successifs de coordination des indices et ce sont ces modes successifs de coordination qui soulèvent des problèmes non encore résolus.

3) A considérer les faits recueillis et les analyses proposées, on constate d’abord que certains indices objectifs A donnent toujours lieu, lorsqu’ils interviennent seuls c’est-à-dire lorsqu’ils ne sont pas compensés ou relativisés par d’autres, à une augmentation de la durée apparente selon une fonction directe : tels sont (à part les décalages ordinaux des points de départ ou d’arrivée, d’ailleurs invoqués tardivement : voir XIII) l’espace parcouru, le nombre ou la quantité dans une fréquence et la quantité de travail effectué.

4) Quant aux indices objectifs B qui donnent lieu à une diminution de la durée selon une fonction inverse, ils se réduisent tous à une forme ou une autre de vitesse : vitesse-déplacement, vitesse-fréquence ou de façon générale vitesse d’un changement.

4 bis) Ces vitesses elles-mêmes semblent pouvoir être toujours évaluées par des processus ordinaux ou hyperordinaux initialement indépendants de la durée. Il restait un doute à cet égard quant à la vitesse-fréquence ou tempo, mais l’analyse de M. Bovet (XVI) tend à le dissiper.

5) Pour ce qui est des indices subjectifs (intérêt ou ennui, facilité ou difficulté de la tâche, attente, etc.), l’accord est plus difficile en raison des valeurs différentes que les auteurs leur accordent (voir sous 1). Mais pour ceux d’entre eux qui se réfèrent à des modèles de régulations du type P. Janet, il semble aisé de les réduire toujours à deux composantes comparables aux facteurs A et B : ce que fait le sujet et la vitesse à laquelle il le fait. Ainsi l’intérêt s’accompagne d’accélérations (ou augmentations de puissance au sens de la dynamogénisation de Claparède), l’attente est caractérisée par une discordance des vitesses, etc.

6) A en revenir aux indices objectifs, on paraît s’accorder en outre sur le point essentiel suivant : si la diminution de durée apparente selon une fonction inverse implique toujours une vitesse (moins de temps  =  plus vite) la réciproque n’est pas vraie, et, à certains niveaux ou dans certaines situations, on a

« plus vite = plus de temps ». Les uns en concluent que le terme de vitesse change de signification suivant les cas (et Rey a noté que physiologiquement le ralentissement comportait de tous autres caractères qu’une accélération), d’autres invoquent un défaut de coordination. L’auteur de ces lignes pense que si dans le rapport inverse (v = t^— 1) la vitesse est considérée comme processus ou transformation, dans le rapport direct (v = t) elle n’est envisagée qu’en ses résultats (non actuels mais habituels : plus vite = plus d’espace parcouru ou plus de travail accompli).

7) Ces données rappelées, cherchons à caractériser les thèses en présence (dans leur ordre chronologique de publications). Celle de J. Piaget se réduit aux trois points suivants :

a) Les opérations temporelles constituent le point d’aboutissement des régulations propres aux conduites préopératoires (celles-ci subsistant d’ailleurs à tous les niveaux sur les terrains de la perception ou du temps vécu) ;

b) Les opérations temporelles apparaissent donc comme le produit d’une mise en relation progressive entre les indices A (ce qui s’est passé : espace, quantité, travail, etc.), et les indices B (vitesses). On peut écrire cette relation sous la forme d’un rapport t = A/B, sans que celui-ci implique d’emblée une métrique, mais parce que le sujet en vient tôt ou tard à inverser qualitativement la relation entre le temps et la vitesse ;

c) Les fluctuations ou erreurs propres aux estimations préopératoires s’expliquent par le fait que le sujet surestime ou néglige l’un ou l’autre des termes du rapport.

8) La différence entre les thèses de Fraisse et les précédentes ne tient peut-être pas principalement au rôle de la vitesse (cette question ne se posant qu’à titre de conséquence) mais aux relations entre les opérations temporelles et les conduites préopératoires.

a) Pour Fraisse les opérations temporelles (à la description desquelles il se rallie sans difficulté) constituent des raisonnements sur le temps et non pas le prolongement direct des conduites préopératoires relatives au temps vécu : d’où sa conception des trois niveaux du temps physiologique, du temps vécu et des conduites rationnelles (tandis que pour Piaget ce sont les étapes d’une seule et même construction à laquelle se réduit le temps) ;

b) Si la vitesse est nécessaire aux opérations temporelles elle ne l’est alors plus au temps vécu, qui relève d’une multiplicité d’indices non réduits jusqu’ici à des dénominateurs communs.

9) Pour Papert comme pour Piaget les opérations temporelles dérivent des conduites préopératoires et le temps n’est rien d’autre que l’ensemble de ces conduites et opérations. Mais le temps ne se réduit pas à un rapport simple du type A/B : il relève d’une multiplicité de fonctions progressivement coordonnées et englobant peu à peu la vitesse à titre de fonction inverse.

10) Les problèmes en suspens sont donc en nombre de trois, d’ailleurs interdépendants :

a) Peut-on réduire ou non les indices de type A (augmentation du temps) à un dénominateur commun (« travail » entre guillemets, y compris l’espace parcouru, etc., et les indices de type B (diminution du temps) à un autre dénominateur commun impliquant la vitesse ?

b) Le temps correspond-il à une « nature simple », à un rapport (¹) de type A/B ou à une multiplicité de fonctions ?

c) Y a-t-il continuité ou hétérogénéité entre les niveaux successifs, considérés alors ou non comme les stades d’une même construction ?

Pour aborder l’étude de la causalité P. Gréco s’est imposé, par méthode et non par principe, de distinguer l’aspect opérationnel du problème de son aspect notionnel : le premier concerne les processus ou inférences par lesquels le sujet découvre et élabore les légalités objectives et le second la représentation qu’il se donne des mécanismes « réels » de la causation. Or, ces deux aspects se sont révélés indissociables. En effet, l’induction des lois, dont Gréco avait déjà entrepris l’analyse en 1958-1959 (vol. X des Etudes : La logique des apprentissages), dépend elle-même à la fois des mécanismes de l’apprentissage et de ceux qui aboutissent au raisonnement hypothético-déductif, lequel intervient naturellement dans la causalité.

Gréco s’est donc proposé d’étudier concurremment trois sortes de situations parallèles : une situation A entièrement aléatoire et présentée comme telle, une situation B partiellement déterminée mais relativement simple et une situation C complètement déterminée par une loi stricte mais plus complexe.

La situation A n’est qu’un tirage au sort de billes à partir d’un sac de composition connue 2 X : 1 Y, la consigne étant seulement de deviner et de « gagner le plus possible ». La situation B est cette fois semi-systématique, non connue d’avance et dont le sujet doit énoncer la loi : une association entre un antécédent (1 ou 2 x) à des conséquents (X¹ Y), (Y¹ A), etc., dont trois sont strictement déterminés et le quatrième stochastique (le tout sous la forme d’un jeu de boîtes ou de cartes). Les quatre stades obtenus au moyen de ces deux sortes d’épreuves A et B semblent confirmer l’hypothèse que tout apprentissage porte sur le secteur de situation que le schématisme opérationnel est capable d’organiser. Les structures objectives ne se traduisent en structures conceptualisées que par la différenciation progressive de schèmes fonctionnant comme hypothèses, les constatations empiriques ayant en quelque sorte pour rôle et pour effet d’en établir la « raison suffisante ». On voit la signification de ces faits pour le problème de la causalité.

Quant à celle-ci, Gréco l’a étudiée à propos d’une loi de forme P . (Q v R) . (S v ~ S)… où P est un antécédent nécessaire, Q ou R également mais à choix, où S est un antécédent qui ne

joue aucun rôle et où la liaison… conduisant au conséquent T peut représenter suivant les cas un simple lien associatif de coprésence, une implication mutuelle ou un rapport non symétrique de causalité. En effet, la loi proposée est présentée sous trois formes distinctes :

C I) Modèle arbitraire : P, Q, R, S sont des points de couleur dont les combinaisons de 2 et 3 termes sont présentées au verso d’une carte dont le recto comporte ou non une croix T selon les combinaisons valables ou non. La consigne est : 1) De prévoir la présence ou l’absence de T ; 2) D’énoncer la loi ; et 3) De la prouver.

C II) Modèle causal : P, Q, R, S sont les interrupteurs commandant l’allumage d’une lampe T. Il s’agit ici d’expérimenter (allumer la lampe de diverses façons), de prévoir les cas, donc d’énoncer la loi et finalement de l’expliquer.

C III) Modèle intermédiaire (pour les sujets de 5-7 ans) : un ours est satisfait T si, et seulement si, on lui présente une pomme P et, à choix, une poire Q ou une banane R, la fraise S le laissant indifférent.

L’épreuve C I a permis de distinguer quatre étapes : 1) Avant 7 ans aucune découverte spontanée de la loi et échec à la classification exacte des sous-classes ; 2) De 7 à 9 ans la loi est découverte au cours de l’« apprentissage » (moyenne 57 essais) mais par mémorisation des cas favorables beaucoup plus que par structuration ; 3) De 9 à 11 ans, 140 présentations ne suffisent plus pour la découverte de la loi parce que le sujet cherche une loi unique embrassant tous les facteurs en remplaçant la substituabilité de Q et de R par des alternances, etc. Par contre la loi est énoncée après inventaire des facteurs et donne lieu à un début de démonstration ; 4) Après 11 ans réussite rapide (29 présentations en moyenne) avec formulation exacte et démonstration après inventaire des facteurs.

Les épreuves C II et C III permettent de retrouver dans le détail les étapes des procédures « expérimentales » de combina-toire inductive décrites par Inhelder et Piaget et le caractère causal des situations conduit à une planification de niveau un peu supérieur aux classifications de C I. Mais les types de réactions demeurent les mêmes, avec certains décalages instructifs : les sujets du stade (2) passent plus rapidement au niveau (3) quand la structuration l’emporte ou reculent sans cela

au niveau (1). Les types d’explication passent d’un simple phénoménisme à des compositions par effets séparés et à la recherche d’un schéma unique allant jusqu’à des modèles de câblage pour l’épreuve C II.

Gréco conclut de ces résultats à une interprétation « paralléliste » de la causalité, les notions causales évoluant conjointement au développement des opérations qui permettent de constituer l’ordre légal.

Costa de Beauregard, Guilbaud et Hirsch pensent que la causalité tend à disparaître au profit d’un ordre légal correctement déduit. « Nous fabriquons des lois logiques » dit Costa et elles suffisent à l’élaboration des théories physiques.

Apostel imagine au contraire que chez les sujets étudiés la recherche des lois et celle des causes sont bien distinctes. Leur langage traduit, d’une part, une hiérarchie des facteurs et finalement la construction d’un modèle.

Piaget est du même avis et pense qu’il est bien différent de déduire formellement des lois les unes à partir des autres et de construire un modèle qui incarne cette déduction dans le réel. De façon générale, la causalité commence par être une assimilation des processus physiques à l’action propre (d’où la finalité, etc.), pour devenir assimilation aux opérations dans la mesure où celles-ci se dégagent de l’action par décentration progressive. En ce dernier cas il y a bien parallélisme, comme dit Gréco, entre les opérations permettant de structurer l’ordre légal et les mêmes opérations mais projetées en un modèle explicatif servant de support à l’ordre légal (que ce modèle soit déterministe ou probabiliste, peu importe).

Les opérations spatiales dont nous avons étudié certains aspects au cours des années précédentes nous sont apparues comme isomorphes aux opérations logico-arithmétiques, le caractère distinctif des premières provenant du fait que les emboîtements en jeu reposent sur des relations de voisinage et de continuité par oppositions aux relations de ressemblances et de différences quelconques pouvant unir des objets discrets indépendamment de toute distance. Mais, le voisinage jouant par ailleurs un rôle fondamental dans les structures perceptives

et dans la représentation imagée, autrement dit dans ce que l’on peut appeler les secteurs ou les aspects figuratifs des mécanismes cognitifs, il s’ensuit que les opérations spatiales s’accompagnent d’une « intuition géométrique » dont la nature semble demeurer essentiellement opératoire mais qui comporte également un caractère figuratif sur lequel certains se sont plu à insister pour opposer sa nature sensible au formalisme opératoire. Il était donc d’un grand intérêt, tant pour la théorie des opérations spatiales que pour l’étude plus générale des relations entre les aspects figuratifs et opératifs de la pensée de pouvoir étudier le développement opératoire de sujets dont les possibilités figuratives diffèrent systématiquement de celles des sujets normaux. Le Centre a eu le privilège à cet égard de pouvoir s’associer pendant un an une spécialiste de l’étude des jeunes aveugles, Yvette Hatwell, dont les recherches portent sur l’ensemble de l’évolution intellectuelle et qui a analysé pendant son séjour à Genève une épreuve portant sur la représentation des déplacements en ordre circulaire et de rotations.

Dans le cas du déplacement circulaire le dispositif a consisté en un train circulant autour d’une planche de forme irrégulière (¹) : l’enfant doit alors prévoir les positions des wagons en différents points du parcours. D’autre part, un cadre comportant six objets fixes est mis en rotation selon l’axe horizontal ou l’axe vertical et le sujet doit prévoir les positions successives des objets. Chacune des épreuves est soumise à des enfants voyants travaillant sans ou avec écran, à des aveugles de naissance et à des sujets devenus aveugles après 4 ans. Les principaux résultats ont été les suivants :

1) Les aveugles passent par les mêmes étapes que les voyants et présentent exactement les mêmes types d’erreurs selon les stades successifs ;

2) L’âge moyen de réussite est par contre considérablement retardé chez les aveugles-nés : près de 6 ans pour l’épreuve du train (réussite à 10-11 ans au lieu de 4-5 ans chez les voyants) et 4-5 ans pour les rotations (réussite 11 ans au lieu de 6-7 ans) ;

3) Ce retard est particulièrement sensible dans le cas des opérations spatiales. Les problèmes d’inclusion de classes sont

résolus à 8-9 ans chez les aveugles de naissance comme chez les voyants et ceux de sériation verbale simple (A est plus grand que B et B plus grand que C : lequel est le plus grand ? Etc.), semblent même dominés un peu plus tôt chez les premiers (8-9 ans). Les classifications et sériations d’objets manipulables ne donnent lieu qu’à 1-2 ans de retard. Par contre les conservations physiques présentent 3 ans de retard pour la substance, 4 ans pour le poids et plus encore pour le volume ;

4) Il n’y a pas eu de différence pour les épreuves spatiales chez les voyants travaillant avec ou sans écran. C’est d’ailleurs le cas en général, sauf pour certaines épreuves de classement par contraste perceptif ;

5) Par contre il existe une différence systématique entre les réactions des aveugles-nés et celles des sujets devenus aveugles après 4 ans. ce qui met en évidence l’importance des premiers apprentissages et spécialement de ceux du niveau sensori-moteur.

Y. Hatwell rappelle que le champ tactilo-kinesthésique, dont l’aveugle doit se contenter avec le champ auditif, est beaucoup moins étendu et de parcours beaucoup moins rapide que le champ visuel et elle conclut à l’importance des éléments figuratifs dans le développement de la pensée rationnelle, tant à titre d’auxiliaires ou des supports symboliques des opérations qu’à titre de stimulants des activités de transformation et de reconstruction (l’absence de cette « motivation cognitive » est fréquente chez l’aveugle-né).

Bresson demande si dans ces épreuves les aveugles se servent des deux mains comme dans la lecture du Braille, et, sur réponse affirmative, il suppose que la mobilité des mains est plus grande que celle des yeux mais la coordination inférieure, en ce qui concerne par exemple le sens des parcours. Y. Hatwell n’a par contre pas l’impression d’une différence qualitative entre les deux claviers tactile et visuel, bien qu’effectivement le sens du parcours et le déplacement comme tel fassent difficulté très longtemps : il y a plutôt simple grossissement de ce qui se passe au plan visuel. Par contre la grande difficulté pour l’aveugle est de reconstituer un tout avec des séries de mosaïques.

Vinh Bang insiste sur cette même difficulté de se représenter le cadre comme un seul objet et il pense que chez l’aveugle l’ordre temporel l’emporte sur l’ordre spatial.

Fraisse relève également cette absence d’espace ordonné. Les difficultés de l’aveugle-né par opposition aux aveugles tardifs ou aux voyants travaillant derrière un écran montrent l’importance des schèmes sensori-moteurs. Chez l’aveugle ces schèmes diffèrent des nôtres, non seulement parce qu’autrement orientés perceptivement mais surtout à cause de la faible possibilité des contrôles. Pour nous chaque expérience s’insère en un cadre de références extérieur ; pour l’aveugle il n’y a que la référence à son corps propre. Tout cela valorise beaucoup et l’importance de l’espace figuratif et celle des schèmes sensori-moteurs.

Nowinski constate que la relation « entre » est toujours conservée et pense que les aveugles peuvent nous apprendre beaucoup sur les schèmes temporels.

B. Inhelder se demande si, dans l’hypothèse où l’imagerie figurative dérive des mouvements imitatifs il y aurait chez l’aveugle des difficultés systématiques dans l’acquisition des imitations non auditives, ce que confirme Y. Hatwell.

Gonseth insiste sur le rôle de la proprioceptivité et des postures et Y. Hatwell répond qu’en effet pour comprendre les réactions des aveugles il faut étudier leur schéma corporel.

Piaget est intéressé par la pente des courbes d’acquisition. L’opérativité des aveugles est fortement retardée par l’insuffisance des schèmes sensori-moteurs et des auxiliaires figuratifs, mais, quand elle se décroche il semble y avoir accélération : il serait instructif de les étudier de près.

A. Rey qui assistait à cette séance se demande si l’étiologie variable des cas analysés permet d’assimiler le groupe des aveugles à un ensemble homogène d’enfants normaux moins la vision. Fraisse répond qu’au point de vue des niveaux mental et scolaire cela semble admissible.

Les résultats décisifs obtenus par Y. Hatwell sur les aveugles quant au rôle des schèmes sensori-moteurs et des auxiliaires figuratifs exigeaient une comparaison avec l’influence du langage dans la formation des opérations. P. Oléron, dont on connaît les beaux travaux sur les sourds-muets, a déjà publié à cet égard un intéressant article sur l’acquisition de

certaines notions de conservation, où il constate un retard considérable dans le cas de la conservation des quantités lors du transvasement de liquides en des récipients de formes différentes (¹). Mais avant de conclure de là à une action directe du langage articulé (par opposition à la fonction symbolique en général, que possèdent les sourds-muets) sur la constitution des structures opératoires, il importait de se demander si l’exemple de transvasement des liquides était le plus représentatif, étant donné les difficultés techniques particulières que l’on rencontre en essayant de faire comprendre aux sourds-muets la question elle-même (et cela sans doute à cause des confusions possibles entre les propriétés des récipients et celles des contenus). Nous avons donc prié F. Affolter, une autre spécialiste des sourds-muets, d’étudier le développement, chez ces derniers et des normaux soumis aux mêmes techniques d’un certain nombre de notions opératoires de conservations. Les résultats de ce sondage, qui seront publiés mais n’ont pu être soumis aux discussions des Symposiums, ont été les suivants sur 12 à 26 sourds-muets par problème et 5 pour un contrôle :

1) Les mêmes stades se retrouvent chez les sourds-muets et les entendants et dans le même ordre de succession. Par exemple, les transformations de la boulette d’argile donnent lieu, chez les premiers comme chez les seconds, à la conservation de substance (vers 8 ans), puis à celle du poids (vers 9 ans) et enfin à celle du volume (vers 11 ans) ;

2) Dans le cas de ces trois formes de conservation relatives à l’épreuve de la boulette d’argile, les âges de réussite chez les sourds-muets (8, 9 et 11 ans), présentent un léger retard par

rapport à ceux des entendants examinés au moyen des mêmes techniques (10, 7 et 6 sujets) mais correspondent par contre aux âges moyens fournis par les standardisations sur les enfants genevois. La conservation des surfaces (enlever des surfaces partielles égales en des points différents de surfaces totales égales et juger de l’équivalence des surfaces restantes), donne par contre lieu à une différence de 2 ans (10 ans 1/2 contre 8 ans 1/2) de même que la conservation, plus tardive, des volumes lors des modifications de l’arrangement des parties ;

3) Seule l’épreuve des transvasements des liquides (conservation malgré la différence de forme des verres) provoque un retard de 3 ans (11 ans 1/2 contre 8 1/2) mais la technique de F. Affolter a donné lieu à un âge de réussite en avance nette sur celui qui correspond à la technique d’Oléron (16 ans) ;

4) Enfin les jeunes sourds-muets (4-5 ans) présentent souvent, avant de nier toute conservation, un stade préalable de conservation globale apparente. Cette réaction, que F. Affolter n’a pas rencontrée chez les jeunes entendants, correspond par contre à la « pseudo-conservation » que l’on observe souvent à 4-5 ans lorsqu’on demande aux sujets, avant les manipulations effectives de prévoir ce qui se passera lors de ces dernières : par exemple, dans l’épreuve du transvasement des liquides les petits affirment fréquemment qu’en passant d’un verre A à un verre B plus mince et plus haut le liquide se conservera en tout, niveau compris (c’est ensuite en voyant que le niveau change qu’ils nient la conservation de la quantité elle-même).

Au total on voit ainsi combien ces résultats diffèrent de ceux qu’Y. Hatwell a obtenus chez les aveugles. Alors que ceux-ci, dans les épreuves de la boulette d’argile, présentent des retards de 3 ans pour la substance, 4 ans pour le poids et davantage encore pour le volume, les sourds-muets ne témoignent que des décalages peu significatifs du point de vue de l’opérativité elle-même et les différences de retard d’une épreuve à l’autre tiennent moins à son contenu opératoire spécifique (comme c’est le cas de l’espace chez l’aveugle) qu’aux difficultés relatives aux techniques utilisées pour faire comprendre le problème aux sujets. Certes il existe un certain retard global évidemment dû à la carence du langage, mais le rôle de celui-ci semble consister davantage à stimuler l’activité intellectuelle générale et à favoriser la mobilité corrélative aux échanges qu’à

engendrer les opérations en leur structure même. Le langage n’est, en effet, qu’un aspect particulier de la fonction sémiotique ou symbolique et le sourd-muet domine parfaitement les autres de ses aspects (imitation, jeu symbolique, images mentales et langage par gestes), ce qui lui permet de prolonger ses schèmes sensori-moteurs en schèmes représentatifs et d’accéder ainsi aux opérations plus tôt que l’aveugle, dont le schématisme sensori-moteur et les instruments figuratifs sont plus gravement handicapés (¹).

Admettant avec Piaget et Inhelder que dès l’âge de 12-13 ans le préadolescent et l’adolescent sont capables d’utiliser chacune des 16 opérations binaires de la logique bivalente des propositions, A. Papert-Christophides s’est demandé lesquelles d’entre elles pourraient être comprises au niveau des opérations concrètes (groupements de classes et de relations, etc.), à condition de les traduire en liaisons elles-mêmes « concrètes », c’est-à-dire portant directement sur des objets manipulables. Elle a donc étudié celles de ces opérations qui sont exprimées dans le langage courant (« et », « ou », « ni… ni », « si… alors ») en employant de telles

liaisons à l’occasion d’un jeu de poupées.

On montre à l’enfant 4 poupées (ou plus) dont l’une porte une jupe et un chapeau, la seconde seulement une jupe, la troisième seulement un chapeau et la quatrième rien du tout. On demande de montrer les poupées : 1) qui ont une jupe et un chapeau ; 2) qui ont une jupe ou un chapeau ; 3) qui n’ont ni jupe ni chapeau ; et 4) de montrer celles qui ont compris la règle : « Si vous voulez mettre une jupe, vous devez alors mettre aussi un chapeau. »

Les résultats sont d’abord que de 5 à 7 ans il n’y a aucune difficulté à comprendre le « ni… ni » mais qu’une certaine indifférenciation subsiste quant à « et » et à « ou ». De 7 à 10 ans ces deux facteurs ne soulèvent plus aucun problème dans le cas du matériel utilisé. Par contre il y a impossibilité à comprendre le « si… alors », qu’il s’agisse d’une équivalence ou d’une implication : tous les sujets présentent une forte tendance à l’assimiler à « et ». A partir de 11 ans cette liaison commence à être comprise.

Grize remarque que le « ou » exclusif n’existe pas chez Boole, mais, grâce à l’idempotence de « et », il parvient néanmoins à exclure la trichotomie au profit de la seule dichotomie. D’autre part, « et » et « ou » peuvent être intérieurs à des propositions, tandis que « si… alors » comporte une relation entre propositions, d’où sa plus grande complexité.

Papert de même pense que si « et » et « ou » sont précoces, c’est qu’ils correspondent aux opérations concrètes de réunir ou de dissocier, tandis que l’implication p ⊃ q suppose une covariation.

Guilbaud et Gréco cherchent à dissocier dans le langage employé ce qui est « dialecte » logique et ce qui est d’usage courant et M. Sinclair, invitée à la séance pour nous prêter le secours de ses connaissances linguistiques, insiste sur les significations multiples des termes employés. Dans la phrase « Tu t’arrêtes ou tu auras une gifle » le ou est proche de la causalité et de l’implication (p ⊃ q = ~p v q). Le et peut signifier « et puis » aussi bien qu’une conjonction simultanée : il peut donc exprimer une séquence ou même une itération et la simultanéité est difficile à abstraire.

A. Papert-Christophides n’en pense pas moins que les difficultés principales ne sont pas dans l’incompréhension de la

langue, mais Piaget conseille de poursuivre la recherche sur les deux plans linguistique et logique pour dégager les rapports du développement de la logique avec une linguistique génétique qui reste encore à constituer (et à l’établissement de laquelle travaille M. Sinclair).

Grize, qui reste préoccupé par les différences entre la logique du logicien et celle de tous les jours, porte son attention sur le négation. Cette opération, qui a donné lieu à des systèmes formels plus ou moins forts, est aussi utilisée de façons très diverses par les sujets, enfants ou adolescents. Il soumet à l’appréciation des participants deux techniques d’approches. La première consiste à introduire la notion de domaine d’une proposition, soit en posant que p et q feront partie d’un même domaine s’il existe entre elles une relation telle que de la valeur de vérité de l’une on puisse concrètement conclure à la valeur de vérité de l’autre, soit telle que la connaissance de la valeur de vérité de l’une modifie la probabilité de la valeur de vérité de l’autre. La seconde consiste en une analyse plus détaillée des transformations R, N et C du groupe de Piaget et en l’introduction de modalités.

Papert doute que l’étude expérimentale des modalités puisse être significative. Quelques sondages sur des adultes ont, en effet, montré que ceux-ci ne distinguaient pas toujours « nécessaire » de « peut-être ». Beth estime aussi que, formellement, on peut toujours s’en tirer avec deux valeurs, à condition d’introduire des matrices de vérité incomplètes et Gréco l’appuie en rappelant que la « pensée rustique » est une pensée « bricolée pour être cohérente ».

Apostel et Guilbaud enfin pensent que l’introduction des probabilités est la meilleure façon pour définir des domaines, au sein desquels il se pourrait alors que la négation fût parfaitement classique.