Les problèmes principaux de l’épistémologie des mathématiques. Logique et connaissance scientifique (1967) a 🔗

L’alternance de réalisme et de constructivisme dans les interprétations historiques de la nature des objets mathématiques🔗

Si le propre des « êtres » mathématiques est que l’on n’est parvenu à s’entendre ni sur leur nature ni sur leur localisation (pour ainsi parler) par rapport aux autres plans de réalité, il est alors une possibilité qu’il convient de laisser ouverte dès le départ : c’est que non seulement ils ne consistent pas en « êtres » comme les autres, mais encore qu’ils ne constituent peut-être pas des « êtres » du tout. Il importe donc de se demander d’abord, à leur sujet, si le primat de l’être s’impose avec nécessité pour définir l’objet d’une science ou s’il faut réserver l’éventualité d’autres modes d’objectivité, selon lesquels l’être serait toujours relatif à des opérations, à des transformations ou à des constructions.

Or, à examiner les multiples manières dont les mathématiciens ont conçu dans l’histoire l’objet de leur science, ce qu’on trouve est moins une loi simple d’évolution qu’une série d’alternances entre le primat de l’être, dû [p. 557] au fait que le résultat d’une construction finit toujours par sembler exister indépendamment d’elle, et la prise de conscience de la construction elle-même (ces alternances n’excluant d’ailleurs pas une vection générale dont elles ne marqueraient alors que les oscillations).

Dans une belle étude, toujours utile à méditer à condition d’en prolonger les lignes jusqu’à l’état actuel, P. Boutroux a cherché à caractériser l’Idéal scientifique des mathématiciens, c’est-à-dire en fait la manière dont ils ont conçu au cours de l’histoire l’objet de leur discipline. Trois grandes périodes sont ainsi distinguées, mais, en les complétant par l’examen de la période contemporaine, l’impression de succession dialectique presque achevée que donnent ces périodes de Boutroux fait place à un sentiment de dialectique ouverte et sans fin.

La première de ces périodes est dite « contemplative » et elle caractérise les mathématiques grecques. Or, elle est utile à méditer pour notre propos parce que, avec le recul, on y aperçoit avec un fort grossissement les raisons permanentes du réalisme de l’être, raisons toujours à l’œuvre, sous des formes plus subtiles jusque dans les réactions contemporaines.

Période contemplative, parce que les objets de la mathématique sont conçus comme des êtres indépendants de nous et que l’esprit contemple du dehors (le terme de « théorème » qui signifie contemplation étant déjà symbolique à cet égard). L’exemple type est celui de Pythagore qui, bien qu’ayant substitué à la technique empirique des Égyptiens une méthode formelle et rigoureuse (d’où la généralisation et la démonstration du théorème qui porte son nom), n’en considère pas moins le nombre comme existant indépendamment des opérations d’addition et comme constituant une sorte d’atome spatial du réel pour ce qui est de l’unité et d’agrégat composé de tels indivisibles pour ce qui est de ses successeurs. Seuls les nombres entiers, positifs et finis, sont ainsi des nombres et c’est là un premier cas particulier de cette tendance générale des Grecs à limiter le domaine des objets mathématiques en raison d’une logique trop étroite asservie au primat de l’être. Cette notion substantialiste du nombre a alors donné lieu à la [p. 558] crise ouverte par la découverte des incommensurables, crise si profondément analysée par J. T. Desanti au chapitre traitant de la découverte des nombres irrationnels.

La géométrie, de même, est limitée aux « êtres » jugés indépendants de leur construction, c’est-à-dire aux figures que l’on peut dessiner au moyen de la règle et du compas, comme si ces instruments se bornaient à permettre de copier de telles figures, sans leur donner naissance, tandis que les « courbes mécaniques » (quadratrice, conchoïde, cissoïdes) sont éliminées du domaine parce qu’engendrées en quelque sorte artificiellement. D’autre part, ni le déplacement ni les axes de coordonnées ne sont occasion à des théorèmes, bien que le premier soit parfois utilisé explicitement et les seconds implicitement.

De même l’algèbre (malgré les procédés de Diophante d’Alexandrie) n’est pas promue au rang de science mathématique, parce que le calcul est l’affaire du sujet et demeure sans rapport avec l’objet même du savoir, étant dépourvu de substantialité. D’où enfin la prudence à l’égard de l’infini et si les textes d’Aristote à son sujet, valorisés par M. Cantor et Desanti et dévalorisés par Brunschvicg, décrivent bien les procédés usuels du mathématicien à l’égard des grandeurs croissantes ou décroissantes, ils ne correspondent pas à une généralisation technique suffisante pour englober l’infini dans les êtres mathématiques.

Ces différents traits permettent alors de comprendre les deux événements les plus frappants de cette glorieuse période. L’un, positif, est la promotion épistémologique d’un tel réalisme dans la philosophie platonicienne des mathématiques, qui confère aux êtres de raison, d’abord situés par le pythagorisme dans la réalité physique, une permanence transcendantale les soustrayant à toute contamination de la part des activités du sujet. L’autre, négatif, est l’extraordinaire arrêt de ce courant créateur au cours de la période alexandrine, comme si les précautions prises pour séparer les « êtres » mathématiques des conditions opératoires de construction auxquelles on se refusait de les subordonner aboutissaient à une extinction, du fait même de cette séparation d’avec les sources effectives.

Ce réalisme ou substantialisme notionnel de la « période [p. 559] contemplative » s’explique de la manière la plus directe par une prise de conscience incomplète du rôle des opérations. Autre chose est, en effet, d’utiliser des opérations (y compris les opérations hypothético-déductives ou formelles, étrangères aux mathématiques égyptiennes et que les penseurs grecs ont conquises mais peut-être de fraîche date), autre chose est de prendre conscience de leur mécanisme et surtout d’en faire l’objet d’une réflexion. À se référer aux lois de la prise de conscience (chapitre « Introduction et variétés de l’épistémologie »), il est clair que le résultat d’une opération est centré bien avant celle-ci en son déroulement. D’autre part, atteindre la conscience de ce déroulement n’entraîne nullement encore la découverte du fait que le résultat est engendré par l’opération et non pas simplement atteint par elle comme du dehors (comparer avec la tendance populaire, d’origine infantile, à situer les noms dans la chose nommée, tout en ayant conscience du déroulement de la parole). Lorsque l’on constate que, même dans les épistémologies de Platon et d’Aristote, le sujet n’est pas conçu comme jouant dans la connaissance un rôle, autre que celui d’effectuer des enregistrements (directs ou par réminiscence), il va de soi que l’attitude des mathématiciens tendue vers la découverte et la démonstration n’était nullement orientée vers le problème même de la nature constructive des opérations.

La belle analyse de Desanti nous met certes en présence, à propos de la crise des incommensurables, d’un conflit entre l’aspect ontologique du nombre (multiplicité d’unités) et son aspect : opératoire (multiplicité de mesures) pour montrer que si l’obstacle est bien la tendance à substantifier les résultats, que nous venons de rappeler, la voie vers la solution adoptée finalement est l’autonomie des compositions opératoires. Mais il est frappant de constater que ces opérations restaient centrées sur la mesure et non pas sur la construction comme telle du nombre : le type même de l’« objet » mathématiquement composable était non point le nombre entier, mais la fraction de grandeur. Or, cela n’est point un hasard, puisque la mesure peut apparaître comme un simple procédé pour atteindre un objet indépendant d’elle, tandis que la conscience du groupe additif des nombres entraînerait celle de leur construction même.

[p. 560] Il est vrai qu’il en est sorti une théorie de la mesure et que son point culminant a été une théorie des proportions, si bien que l’on pourrait voir en l’une et en l’autre une prise de conscience des opérations comme telles en tant que sources de relations. Mais si ténue que puisse paraître la différence, il ne s’agit en fait que d’une objectivation des relations en tant que propriétés des figures, donc en tant que résultats (au sens où Couturat encore considérait l’opération comme « anthropomorphique » et la relation seule comme existant logiquement) et d’une objectivation propre à laisser indifférenciés relations et attributs, puisqu’Aristote, qui parle cependant des proportions (Topiques, 158 b 25) n’en a point tiré l’idée de construire une logique des relations.

Quant à la carence du groupe des déplacements et de tout système de coordonnées, elle tient, comme l’a montré J. B. Grize (Études d’épistémologie génétique, vol. XVIII), au caractère intra et non pas interfigural des relations établies par la géométrie grecque : or cet accent mis sur les figures comme telles par opposition à l’espace qui les contient témoigne à nouveau de la tendance à dissocier du dynamisme des opérations leurs résultats en tant qu’objectivés et substantialisés.

La seconde période distinguée par P. Boutroux est appelée par lui synthétiste en tant que la mathématique est dorénavant conçue comme le produit de synthèses opératoires où se déploient librement les constructions du sujet. Contemporaine de la découverte du sujet épistémique avec le Cogito, c’est la période de l’incorporation de l’algèbre dans le domaine de la science, le calcul algébrique cessant d’être considéré comme un ensemble de recettes en quelque sorte privées ; de la découverte de la géométrie analytique en tant qu’intéressant l’espace interfigural lui-même et que mettant en évidence le parallélisme de la grandeur continue et de la quantité algébrique ; et de l’invention du calcul infinitésimal par généralisation de l’algèbre aux séries infinies (le mouvement lui-même étant intégré à l’ensemble des êtres mathématiques).

Cette période correspond ainsi à ce que l’on pourrait appeler la prise de conscience historique des opérations, les êtres mathématiques cessant de constituer des objets indépendants de leur construction et apparaissant comme [p. 561] le résultat même des synthèses. D’où l’intérêt de ce texte de Lagrange cité par P. Boutroux (page 129) :

Les fonctions représentent les diverses opérations qu’il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l’on cherche, et elles ne sont proprement que le dernier résultat de ce calcul.

À cet idéal synthétiste, Boutroux rattache également, et les raisons en sont évidentes, le développement des nombres complexes en tant que combinaisons purement constructives des opérations algébriques, ainsi que la découverte des géométries non euclidiennes. Mais il y réunit aussi la découverte des groupes de transformations, le mouvement logistique sous son double aspect de création de la logique et d’effort de réduction de la mathématique à la logique, et enfin tout le courant axiomatique moderne. Or, comme la troisième période est caractérisée par la découverte selon laquelle « derrière la forme logique il y a autre chose. La pensée mathématique ne se borne pas à déduire et à construire » (p. 170), on peut se demander si la découverte des groupes et l’effort de formalisation ne conduisent pas précisément à cette autre chose : l’idée générale de « structures » (au sens Bourbaki) pour ce qui est des groupes, et l’idée fondamentale d’une hiérarchie de constructions de plus en plus « fortes » pour ce qui est de la formalisation à partir des théorèmes de Gödel.

La troisième période de P. Boutroux est donc marquée par l’apparition d’une résistance à la construction. Période « analytique », dit-il de façon peut-être discutable, et surtout période au cours de laquelle on redécouvre l’existence de « faits mathématiques » (p. 203), non pas extérieurs à nous mais dotés d’une « objectivité intrinsèque » : preuves en soient les complexités croissantes et imprévisibles de la théorie des fonctions et surtout l’obligation dans laquelle se trouve de plus en plus le mathématicien de « choisir » plutôt que de construire librement.

Malgré le caractère en quelque sorte transopératoire que P. Boutroux semble attribuer à ce dernier « idéal » d’objectivité intrinsèque, on pourrait, en relevant la juste remarque selon laquelle la construction n’est souvent possible « si l’on peut dire, qu’en puissance » [p. 562] (p. 175), y voir l’achèvement d’une synthèse dialectique : la thèse platonicienne de l’être et l’antithèse synthétiste de l’opération aboutiraient ainsi à la synthèse des structures intrinsèques, à la fois résistantes comme le sont des êtres et relatives à des constructions mais de plus en plus réglées, comme le veulent les opérations lorsqu’elles se coordonnent en structures d’ensemble. Or, comme il est à nouveau conforme aux lois de la prise de conscience que l’on découvre l’existence des opérations particulières avant de remonter aux totalités structurales dont elles sont l’expression, il est naturel qu’un grand décalage historique ait séparé cette période d’objectivité intrinsèque, caractérisée alors par la découverte finale des « structures », de la période synthétiste où la construction paraissait plus libre faute précisément d’avoir dégagé les conditions générales du fonctionnement opératoire.

Nous allons chercher à montrer qu’il en est bien ainsi dans les grandes lignes, c’est-à-dire que, à considérer la succession historique des inventions et des démarches méthodologiques, on assiste effectivement à un processus général d’évolution orienté dans le sens de l’intériorisation par rapport au sujet. Mais ce processus est marqué, d’autre part, par des séries d’oscillations ou d’alternances entre le primat de l’opération et ce qui peut paraître des retours au primat de l’être, seules les analyses comparatives (ou historico-critiques et génétiques) permettant alors de montrer que ces « êtres » se situent en fait à des niveaux bien distincts de réalité et demeurent simplement relatifs à la tendance générale (mais réapparaissant sous des formes nouvelles sur chaque palier) consistant à détacher des opérations leurs résultats et des constructions leurs produits sitôt bien structurés.

Le premier point à établir, pour justifier ces interprétations, est que les « structures » auxquelles ont abouti les efforts propres à la période d’« objectivité intrinsèque » marquent en réalité (et malgré toutes les apparences) un progrès dans l’intériorisation par rapport aux opérations plus isolées de la période synthétiste. Mais, pour ce faire, il convient au préalable de rappeler une fois encore l’équivoque éternelle qui pèse sur tout recours aux activités du sujet et qui conduit les esprits non avertis de la psychophysiologie à confondre le sujet individuel et le sujet épistémique ou « quelconque ».

[p. 563] À faire la comparaison entre une opération particulière, comme d’appliquer l’extraction de la racine carrée à un nombre négatif, et les règles de composition d’une structure opératoire, comme dans la construction d’une suite ordonnée, on constate, en effet, que la première seule donne lieu à des décisions en fonction d’un ensemble de raisons plus ou moins conscientes tenant aux habitudes d’esprit d’un sujet individuel par opposition aux autres sujets : il a fallu une telle décision pour inventer cette opération sans objet que paraissait au début le nombre « imaginaire » (ou « feint », comme on disait) √—1, et une décision où la volonté de généralisation opératoire l’emportait sur l’absurdité apparente. À cela semble donc se borner l’activité du sujet, tandis qu’une fois constitués le calcul des quaternions de Hamilton, le calcul de l’extension de Grassmann et l’algèbre des nombres complexes de Gauss, le sujet paraît évincé de la scène au profit de structures indépendantes de lui, et cela est bien vrai si l’on ne songe qu’au sujet individuel en ses décisions particulières. Mais, à chercher les racines d’une structure très générale, comme celle d’une suite ordonnée, on s’aperçoit que sous les décisions d’un sujet individuel se manifestent une série de présuppositions beaucoup plus profondes, qui jouent un rôle nécessaire en tant que conditions des activités mêmes de tout sujet quel qu’il soit : c’est ainsi que pour constater la présence d’un ordre dans une suite empirique A, B, C, … (pensons à un nourrisson qui regarde une suite de barreaux), pour ordonner dans l’action la succession des moyens et des fins, pour ordonner un récit, pour introduire un ordre d’énumération quelconque et finalement pour construire une suite ordonnée si abstraite soit-elle, il est indispensable que le sujet de n’importe quel niveau soit capable de mettre en œuvre un ordre dans ses propres mouvements oculaires, ou manuels, dans ses représentations ou ses idées, bref de posséder déjà des instruments d’ordination si rudimentaires soient-ils, applicables à ses propres activités. Et cette capacité liée aux structures de ses actions remonte à des niveaux bien plus élémentaires encore, puisqu’un réflexe comporte un ordre de succession et que les processus organiques les plus généraux ne sont point étrangers à l’ordre. Sous le sujet individuel, en sa conscience et son idéalisation [p. 564] particulières, il faut donc considérer les structures des coordinations d’actions communes à tous les sujets et ce sont ces coordinations générales (psychobiologiques autant que mentales) que nous appellerons le sujet épistémique.

Cela ne signifie naturellement en rien que les structures de connaissance soient inscrites a priori dans le système nerveux ou dans la pensée : elles se construisent de palier en palier, mais par abstraction réfléchissante à partir de structures plus élémentaires selon une régression (génétique) sans fin. Il en résulte néanmoins que, si une opération particulière peut sembler dépendre des décisions du sujet individuel, la composition des opérations en structures d’ensemble est réglée de l’intérieur par un ensemble de conditions préalables, de telle sorte que les structures les plus intériorisées sont les plus indépendantes des décisions « subjectives » en tant qu’individuelles.

Ces remarques faites, il n’y a donc aucun paradoxe à soutenir que le structuralisme auquel a abouti la période de l’« objectivité intrinsèque » marque un mouvement certain dans le sens de l’intériorisation, par rapport, non seulement au primat de l’être du réalisme platonicien, mais encore aux libres synthèses de la période opératoire précédente. Les données génétiques fournies dans un chapitre précédent, nous ont montré suffisamment, sans qu’il soit nécessaire d’y revenir, en quoi les structures mères de Bourbaki étaient profondément enracinées dans le fonctionnement naturel de l’intelligence : les structures algébriques sont liées à de multiples structures élémentaires qui préfigurent celle de « groupe » (avec réversibilité par inversion), les structures d’ordre aux sériations et structures de relation (avec réversibilité par réciprocité) et les structures topologiques aux structures élémentaires fondées sur les voisinages (par opposition aux équivalences et différences qui interviennent dans les autres structurations de classes ou de relations).

Mais, que les structures les plus « générales » atteintes par les méthodes d’isomorphisme du structuralisme correspondent aux structures les plus « élémentaires » au point de vue génétique ne constitue qu’un argument relatif aux sources. Il reste à voir si les produits les plus élaborés tirés de ces origines propres au sujet épistémique [p. 565] demeurent eux-mêmes intériorisés au sens de reliés aux activités de ce sujet : il convient donc de comparer ce que Lichnerowicz appelle (chapitre « Remarques sur les mathématiques et la réalité ») les niveaux inférieurs et supérieurs de l’échelle. Or la profonde analyse que fournit ce chapitre nous offre à cet égard une réponse décisive : il n’y a plus d’« êtres » mathématiques au sens ontologique du terme, puisqu’à chaque niveau de l’échelle on peut prendre comme objets les éléments des niveaux inférieurs et que « les opérations elles-mêmes, ainsi que les structures, peuvent devenir à leur tour objets mathématiques pour une théorie située à un niveau supérieur ».

Ainsi le propre d’un tel constructivisme est de renoncer définitivement à l’abstraction aristotélicienne à partir de l’être pour généraliser le procédé de l’abstraction réfléchissante qui tire ses éléments d’un palier inférieur d’activité (et à partir de ces actions mêmes) pour les « réfléchir » ou les projeter sur un palier supérieur où ils donnent lieu à une nouvelle structuration, point de départ elle-même de nouvelles constructions.

Que chaque palier, une fois dépassé, puisse donner lieu rétrospectivement à un retour de réalisme ontologique, rien de plus naturel puisqu’il sert de tremplin à la construction suivante et peut donc être interprété comme devenu indépendant des mises en isomorphismes qui ont permis d’en atteindre la structure. Aussi bien perçoit-on souvent des accents platoniciens dans la contemplation bourbakiste des structures une fois dégagées, encore qu’il soit de plus en plus difficile de penser en termes d’existence à des formes dont les contenus initiaux étaient par ailleurs étonnamment hétérogènes. Mais l’analyse de Papert montre assez comment le passage des « structures » aux « catégories » est de nature à ébranler une fois de plus ce « primat de l’être » sans cesse renaissant. Et du point de vue de l’intériorisation de ces « êtres » et de l’abstraction réfléchissante qui leur donne naissance, il est particulièrement suggestif de constater que ce rétablissement constant du primat de l’opération s’accompagne dans le cas particulier d’une tendance à substituer ce que Papert appelle l’opération « du mathématicien » aux opérations « de la mathématique », la première étant effective parce que liée à un [p. 566] domaine de réalisation analysé en tous ses éléments et la seconde en quelque sorte virtuelle parce que trop schématiquement généralisée.

Construction et rigueur🔗

Si les êtres logico-mathématiques apparaissent comme les produits d’une construction continue, le problème qui se pose inévitablement est de comprendre comment elle est susceptible de se régler et de demeurer rigoureuse tout en produisant des objets nouveaux et des structures non contenues dans les précédentes. Ou bien, semble-t-il, il y a construction réelle et celle-ci doit être libre, de telle sorte qu’on ne voit pas comment les éléments nouveaux échappent au risque d’introduire des contradictions ou des hétérogénéités par rapport aux éléments antérieurs, ou bien les structures nouvelles demeurent rigoureuses, cohérentes avec les précédentes et l’on peut se demander s’il y a vraiment construction et non pas simplement explicitation de ce qui était déjà implicitement présent dans les cadres initiaux. Le structuralisme des Bourbaki, introduit, par exemple, une unité dans les mathématiques bien supérieure à ce que comportaient les différentes branches classiques jusque-là compartimentées selon des cloisons plus ou moins étanches : ne faut-il donc pas conclure que si ces structures sont logiquement cohérentes avec tout ce qui précède, c’est qu’elles étaient déjà à l’œuvre et revêtues de la même « existence » avant aussi bien qu’après leur découverte, mais qu’on les avait insuffisamment aperçues, ce qui préserve la rigueur mais met en question la construction elle-même. Réciproquement quand la construction cantorienne des ensembles a abouti, comme ce fut le cas à un moment donné, à une série de paradoxes qui ont été fort malaisés à lever, on a pu croire quelque temps qu’il y avait bien là construction de réalités proprement nouvelles, mais que dans cette mesure précisément elles mettaient en danger la rigueur. On sait assez que les débuts du calcul infinitésimal ont connu la même situation.

C’est là le problème classique de la fécondité et de la [p. 567] rigueur. Faux problème selon les uns, parce que le premier de ces deux termes est tenu pour illusoire, mais problème réel dès que l’on prend au sérieux l’idée de construction. Mais ce problème se subdivise en réalité en deux sous-questions, la première surtout logique et la seconde surtout psychologique, encore que l’une et l’autre comportent les deux aspects, ce qui est le propre de tout problème épistémologique. La question logique est celle du réductionnisme : les structures nouvelles que paraît engendrer la construction se réduisent-elles, c’est-à-dire sont-elles en définitive identiques, à celles qui ont servi de matériaux à cette construction, ou bien celle-ci introduit-elle des nouveautés irréductibles, ce qui légitime logiquement la notion de construction. La question psychologique est d’établir si une découverte était prédéterminée ou préformée dans l’ensemble des connaissances déjà acquises, donc s’il n’y a eu que « découverte », ou s’il y a eu proprement invention, c’est-à-dire formation d’une combinaison effectivement nouvelle. Or, ces deux problèmes ne se recouvrent pas entièrement. Par exemple, la découverte de nombres irrationnels par les pythagoriciens constitue le modèle d’une découverte par opposition à une invention et le chapitre de Desanti rappelle assez que cette découverte est apparue comme éminemment fâcheuse et même dramatique à ses auteurs, puisqu’elle a ruiné le pythagorisme : c’est que le carré et sa diagonale étaient déjà bien connus, mais que l’on n’avait pas encore aperçu le caractère numérique particulier de leur rapport. Mais le fait que les nombres irrationnels étaient prédéterminés ou même déjà contenus dans les objets mathématiques antérieurement analysés n’entraîne pas qu’ils soient identiques aux nombres rationnels, ni que les nombres en général soient réductibles aux êtres logiques, etc. Inversement, l’invention des nombres imaginaires par Cardan a paru comme le modèle d’une combinaison nouvelle, et même très audacieuse, ce qui ne résout pas pour autant le problème de savoir si, étant donné les entiers négatifs et les opérations d’extraction de la racine, la combinaison √—1 est simplement tautologique ou non.

Il y a donc bien en fait deux problèmes : l’un concernant le sujet et la manière dont il construit la science [p. 568] mathématique en tant que produit de son activité mentale ou que système réel de connaissances objectives ; l’autre concernant l’objet ou les objets de cette connaissance en tant, soit que construits par cette activité ou (ce qui n’est pas entièrement la même chose) que prédéterminés en tout ou en partie par les conditions mêmes de son fonctionnement et de ses coordinations internes, soit qu’existant indépendamment de toute activité du sujet et constituant un univers autonome de nature ou bien multiple et différenciée à des degrés divers ou unitaire et essentiellement tautologique.

La solution du problème logique de la réductibilité ou de la construction a passé par diverses phases. Précisons d’abord qu’il y a réduction d’une structure ou d’une théorie à une autre quand les axiomes de celle-ci suffisent à démontrer la première. Quant à l’idée de construction, on peut la prendre dans un sens étroit : spécification des objets dont l’existence est garantie par les axiomes, donc possibilité de les produire et de les désigner un à un (et dans ce sens étroit on ne parvient pas à reconstituer la totalité des mathématiques classiques). Nous parlons au contraire de constructivisme dans un sens large qui est celui de la non-réductibilité, donc de l’intervention de nouvelles propriétés pour passer d’une structure à une autre au cours de leur élaboration.

On a d’abord pu opposer à l’idée de construction celle d’identification : une équation mathématique consistant à introduire une identité entre le second membre et le premier, une démonstration d’ensemble se réduirait ainsi à une cascade d’identités. Mais une équation n’est pas une identité : c’est une équivalence et il existe une multiplicité de formes et de degrés d’équivalences, dont l’identité pure A = A n’est qu’un cas très restreint. L’équivalence logique p = q signifie simplement que p implique q et réciproquement, c’est-à-dire que p et q sont toujours vraies ensemble ou fausses ensemble sans être pour autant identiques. Dans la logique courante il existe déjà des degrés indéfinis d’équivalence : x et y peuvent être le même animal individuel, observé en deux phases ou circonstances distinctes, ou équivalentes en tant qu’appartenant à la même lignée, ou à la même espèce, ou au même genre, etc., ou encore être un végétal [p. 569] et un animal, mais équivalents en tant qu’êtres vivants. Il en est a fortiori ainsi des êtres mathématiques beaucoup mieux structurés et leurs formes d’équivalences se sont enrichies de plus en plus jusqu’à ces ressemblances particulièrement remarquables que sont les « isomorphismes » : en retrouvant « la même structure » par mise en isomorphisme de deux domaines complètement différents en leurs contenus, on construit une équivalence fort éloignée de l’identité pure, non pas en raison de ces contenus, qui sont alors négligés, mais bien de la complexité des mises en correspondances elles-mêmes.

Le mouvement logistique a introduit deux idées nouvelles à l’encontre de celle de construction, et deux idées distinctes mais que l’on a cherché à solidariser : celle d’une réduction des mathématiques à la logique elle-même et celle de la nature tautologique de l’une et de l’autre.

Commençons par la seconde, déjà discutée d’ailleurs au chapitre « Méthodes techniques et problèmes épistémologiques », où nous avons constaté que, même sur le terrain limité de la logique des propositions, où la tautologie présente un sens technique précis, elle ne se réduit nullement à une identité mais repose sur une combinatoire et exprime la situation dans laquelle un ensemble d’alternatives est toujours vrai : « ou bien p et q sont vraies à la fois, ou bien l’une est vraie sans l’autre ou toutes deux sont fausses ». Mais la double ambition des logiciens qui, à la suite de von Wittgenstein, voulaient réduire les mathématiques à la tautologie a été, d’une part, de généraliser cette combinaison élémentaire pour l’appliquer à tout théorème quel qu’il soit, et, d’autre part, d’en tirer finalement une réduction à l’identité simple A = A. Or, aucun de ces deux buts n’a été atteint et Wittgenstein lui-même a modifié assez radicalement ses positions initiales dans une direction qui n’est plus très éloignée d’un constructivisme à résonances psychologiques. Même à demeurer sur le terrain de la stricte logique, il est donc exclu de réduire celle-ci à la tautologie, puisque cette dernière met en jeu toute une combinatoire et qu’il reste alors à rendre compte des structures qui la rendent possible.

Quant à la réduction des mathématiques entières à la [p. 570] logique, qui constituait l’idéal des Principia mathematica, on sait assez ce qu’il en est advenu et les chapitres de J. Ladrière et de D. Dubarle développent les différentes raisons de cet échec. À commencer par les notions particulières, certains chapitres précédents (voir les pp. 73-75, 121-124 et 406-412) ont assez insisté sur l’impossibilité de déduire sans plus les nombres des classes et relations logiques sans une synthèse nouvelle pour qu’il soit inutile d’y revenir. Mais cette synthèse nouvelle que comporte le nombre est d’un certain intérêt au point de vue de la rigueur autant qu’à celui de la constructivité en ce qu’elle provoque la constitution du raisonnement par récurrence permettant de généraliser une propriété à la suite entière des nombres une fois vérifiée pour le point de départ et une fois démontré qu’elle se transmet d’un nombre quelconque n au suivant » + 1. En effet, en un système faiblement structuré tel qu’une classification (groupement additif des classes), les objets à classer sont donnés avec leurs propriétés et la construction se borne à répartir ces objets selon certaines réunions ou dissociations en fonction des propriétés données ; il en résulte que si, les classes une fois définies, on peut passer de l’une à l’autre par voie d’addition ou de soustraction, ce n’est qu’en fonction des emboîtements établis mais sans que rien permette, en A < B < C de construire les propriétés caractéristiques de A ou de C en partant de celles de B. Un système numérique est, au contraire, fortement structuré en ce sens qu’un nombre est construit à partir du précédent par une opération uniforme + 1 et que ce mode même de construction détermine un ensemble de propriétés. En ce cas non seulement la série comme telle préserve des propriétés structurales d’ensemble en plus de celles des éléments (structure de groupe, d’anneau, de corps, de réseau, etc., tandis que les propriétés d’ensemble du groupement sont très limitées), mais encore la loi de construction confère des propriétés aux éléments mêmes dont certains peuvent alors se transmettre récursivement, ce qui assure au raisonnement par récurrence une fécondité constructive en même temps qu’une rigueur bien supérieures à ce que l’on peut tirer d’un système moins fortement structuré. Alors que B. Russell ne voyait dans les inférences récurrentielles que l’expression de définitions [p. 571] s’appliquant d’avance à toute la série, la récurrence témoigne simultanément d’un pouvoir de construction et d’une capacité de transmission assurant son réglage.

Mais le problème général de la construction et de la rigueur se pose aujourd’hui sur le terrain des limites et des conditions de la formalisation (voir le chapitre « les Limites de la formalisation »). Du moment qu’une théorie formalisant une structure ne parvient pas à assurer sa cohérence ou non-contradiction par ses propres moyens ou par les moyens plus faibles empruntés aux sous-structures qui lui sont subordonnées, il n’existe qu’une voie pour atteindre cette rigueur inaccessible au palier considéré et cette voie est en même temps décisive du point de vue du constructivisme : c’est de recourir à des moyens plus « forts », c’est-à-dire de construire un système dépassant le précédent tout en l’englobant. C’est ainsi que Gentzen a pu assurer la non-contradiction de l’arithmétique classique en s’appuyant sur les ensembles transfinis, système déjà construit en l’occurrence mais qui aurait pu l’être en cette intention particulière. Seulement le système supérieur qui garantit ainsi la rigueur du système subordonné n’est pas lui-même en état d’assurer sa propre cohérence et n’y pourra parvenir que par des constructions situées à un niveau encore plus élevé, etc.

Une telle perspective modifie profondément l’architecture des mathématiques pour parler comme le structuralisme. Dans la perspective ancienne on pouvait se représenter celles-ci comme une pyramide reposant sur une base à la fois large et se suffisant à elle-même, les étages supérieurs étant à la fois plus restreints et de plus en plus dépendants. Dans la nouvelle perspective, au contraire, il existe une hiérarchie entre les systèmes « faibles » et les systèmes de plus en plus « forts » (cette hiérarchie dans la « force » des instruments de démonstration étant l’un des grands services positifs qu’ont rendus les théorèmes de limitation), mais il ne s’agit plus d’une hiérarchie immobile ou statique comme dans l’image de la pyramide (sans quoi il s’agirait d’une pyramide suspendue par son sommet, mais par un sommet s’élevant toujours davantage…) : il ne peut donc s’agir que d’une suite de constructions successives, dont chacune est appelée à combler les lacunes de la précédente, [p. 572] ce qui permet d’assurer les progrès de la rigueur en même temps que la constructivité.

Mais il subsiste deux problèmes. L’un a été soulevé par Cournot qui distinguait avec profondeur deux sortes de démonstrations mathématiques : les unes se bornent (et c’est en général le cas des démonstrations par l’absurde) à établir la vérité de la conclusion mais sans que l’esprit atteigne sa nécessité interne ; les autres fournissent en plus la raison de cette conclusion, c’est-à-dire qu’elles sont explicatives et pas seulement démonstratives ; l’on peut donc se demander en quoi consistent de telles « raisons ». L’autre de ces problèmes est celui du réglage même de la construction, car si la mathématique n’est pas réductible à la logique, comme le montrent aujourd’hui les théorèmes de limitation, il reste alors à comprendre comment ces constructions qui le dépassent conservent leur cohérence et leur rigueur.

Il est fort difficile de fournir une réponse générale à la question de la nature explicative ou de la « raison » d’un théorème. Mais, à se contenter d’approximations en plus ou en moins, il semble qu’une démonstration satisfait d’autant plus l’esprit qu’elle fait plus souvent appel, implicitement ou explicitement, aux lois de composition de la structure d’ensemble le plus proche dont dépend ce théorème. Une démonstration simplement logique n’est pas explicative dans la mesure où elle ne s’appuie que sur les structures trop générales dont relève la logique (algèbre de Boole, etc.) : leur emploi est à la fois explicatif et démonstratif s’il s’agit d’un théorème de logique ou dont le domaine est situé dans son voisinage, mais cesse de fournir sa « raison » à un théorème dont le domaine est plus éloigné, tandis qu’un recours aux structures les plus proches la dégagera, par le fait qu’une structure comporte sa propre intelligibilité en vertu de ses lois de composition. Une structure, comme l’a souligné Bourbaki dans son texte général sur l’architecture des mathématiques, est, en effet, comparable à une sorte d’« organisme en plein développement » (par opposition au « squelette sans vie » de la logique formelle, ajoute-t-il avec quelque exagération, car la logique comporte, elle aussi, une organisation structurale) : cela revient à dire que’ les articulations d’une structure reposent les unes sur les autres en un [p. 573] système fermé sur lui-même, quoique ouvert par rapport aux constructions qui l’intégreront à leur tour, et c’est ce caractère d’organisation du système qui fournit sans doute la clef de l’intelligibilité par opposition aux déductions non subordonnées à de telles totalités.

La réponse au problème du réglage interne des constructions procède du même principe. Le logicien Goblot, qui a fait de la construction l’objet central de ses réflexions, soutient que déduire c’est « construire la conséquence avec l’hypothèse » et que, si cette conséquence est nécessaire, ce n’est pas parce qu’elle est « contenue dans l’hypothèse mais parce qu’elle est obtenue par des opérations réglées, c’est-à-dire dont aucune n’est arbitraire ». Rien n’est plus juste et il faut le suivre encore lorsqu’il montre que ces règles ne sont pas celles de la logique, ou du moins que celles-ci ne suffisent pas. Mais lorsque Goblot ajoute que ces règles sont « les propositions antérieurement admises, soit en vertu de démonstrations précédentes, soit à titre de définitions et de postulats », la solution semble incomplète, car il reste précisément à se demander à quelles conditions ces définitions, postulats et propositions antérieures suffisent à un tel réglage. Or, ce n’est pas à n’importe quelles conditions, car de deux choses l’une : ou bien ces propositions antérieures n’interviennent qu’à titre de propositions et les conclusions à démontrer sont d’avance contenues en elles, ce qui écarte la constructibilité, ou bien il y a construction, mais qui risque de n’être plus réglée dans la mesure où les opérations ne sont pas liées par une organisation interne les coordonnant les unes aux autres avec nécessité. Celle-ci n’est donc assurée que si postulats et définitions caractérisent une « structure », par exemple celle de groupe (d’où le caractère démonstratif des raisonnements par récurrence dont Goblot a sous-estimé et peut-être mal compris la portée), et c’est donc à nouveau la réalité des Structures qui assure le réglage en même temps que la constructivité.

Ces considérations logiques et, en particulier, celles qui sont relatives aux limites de la formalisation et à l’emboîtement des structures plus faibles dans des structures de plus en plus fortes présentent un parallélisme assez frappant avec les considérations psychologiques [p. 574] et épistémologiques qui s’imposent dans la discussion du problème correspondant : à considérer, non plus une hiérarchie de structures dont les niveaux sont caractérisés par leur « force » progressive, mais une suite de niveaux correspondant aux constructions chronologiquement successives (historiquement ou génétiquement), les propriétés nouvelles qui surgissent sont-elles prédéterminées par les propriétés antérieures, ce qui assure leur nécessité mais rend illusoire l’idée de construction, ou bien sont-elles authentiquement nouvelles et, en ce cas, ne perdent-elles pas toute nécessité ?

Psychologiquement ce problème s’exprime sous la forme classique : les nouveautés constituent-elles l’objet d’une découverte ou d’une invention ? On parle de découverte lorsque l’objet nouveau existait avant d’être connu, comme l’Amérique avant Christophe Colomb. Au contraire, une invention se réfère à une création sans préexistence, le terme de création signifiant lui-même combinaison non réalisée jusque-là d’éléments pouvant préexister en tant qu’éléments : par exemple l’invention d’une langue artificielle empruntant ses mots et sa syntaxe à des langues connues ou les construisant par analogie avec elles. Une invention comporte donc une part de liberté dans le choix des combinaisons et dans celui des éléments.

À s’en tenir à ces définitions courantes, l’invention mathématique, malgré l’usage consacrant ce terme et suivi par J. Leray en son beau chapitre « l’Invention en mathématique », n’est à proprement parler ni une invention ni une découverte et témoigne de la nécessité d’un tertium.

Elle n’est pas une invention, au sens strict du mot, parce qu’elle comporte une part bien plus grande de nécessité. Aucun mathématicien inventant une structure nouvelle n’éprouve le sentiment de pouvoir la rendre différente de ce qu’elle est. Et pourtant, dans le détail des démonstrations, il est libre de partir de tels axiomes plutôt que de tels autres, mais s’il choisit les axiomes A plutôt que les axiomes B il devra démontrer les propositions B à titre de théorèmes en s’appuyant sur les axiomes A, tandis que s’il part des axiomes B il devra démontrer les A et il lui restera à vérifier en quoi les systèmes d’axiomes possibles sont équivalents ou non [p. 575] équivalents : s’il y a liberté relative dans la formalisation, et même dans les grandes lignes de la démonstration, la structure de base demeure elle-même résistante et inchangée.

L’invention mathématique constitue-t-elle alors une découverte ? Non plus, car on ne peut jamais soutenir qu’une réalité nouvelle existait telle quelle avant cette découverte. Deux cas exceptionnellement favorables à l’idée de simple découverte peuvent être cités ici. Le premier est à nouveau celui des structures bourbakistes puisque certains membres de l’école décrivent comme une sorte d’induction ou de « quasi-induction » la mise en isomorphismes qui conduit à les dégager : la « structure » existait donc puisqu’on en analyse les articulations pas à pas, à la manière dont on découvre l’anatomie d’un organisme jusque-là inconnu. Oui, mais la structure étant le produit de ces isomorphismes, qu’était-elle et qu’étaient ces isomorphismes avant qu’un sujet, au sens du mathématicien lui-même, caractérise une telle opération et se livre à sa mise en œuvre effective ? Des essences, au sens platonicien ou hilbertien ? En ce cas, les théorèmes de limitation des formalismes nous obligent à les suspendre à une construction jamais achevée et nous retombons sur l’intervention nécessaire d’un sujet, transcendant ou humain. Les objets antérieurs à la découverte étaient donc tout au plus « isomorphisables », si l’on peut dire, mais la mise en isomorphismes réels et la structure qui en a été tirée ne sont pas comparables à ce qu’est une photographie par rapport à un tableau qui était « photographiable » : ils le sont par contre à l’assimilation qu’effectue un organisme à l’égard de substances qui étaient « assimilables », car de même que cette assimilation organique suppose un jeu complexe de transformations, de même l’assimilation intellectuelle qui conduit à la structure nouvelle comporte un jeu d’opérations actives qui n’était pas donné dans les divers objets simplement isomorphisables, et c’est ce système d’opérations qui constitue la structure. Cette construction n’était certes pas libre, puisqu’elle procède par abstraction à partir de propriétés données, mais elle aboutit à un résultat nouveau et non pas préexistant comme tel, puisque cette abstraction est réfléchissante, c’est-à-dire constructive, en tant que produisant un être [p. 576] mathématique à la fois inconnu jusque-là et inconnaissable sans son secours et surtout en tant que procédant au moyen d’opérations non contenues dans les objets sur lesquels elles portent.

Un second exemple est celui de la découverte des groupes de transformations par Galois. En ce cas (plus primitif, génétiquement parlant), on peut être tenté de dire que la structure comme telle préexistait, et non pas seulement ses éléments, puisque la notion de groupe était implicitement contenue en toute démonstration algébrique et géométrique et surtout puisqu’elle est déjà à l’œuvre dans l’intelligence spontanée du sujet : nous en trouvons, en effet, des formes élémentaires dans les opérations utilisées par l’enfant et jusqu’au niveau sensori-moteur pour ce qui est du groupe des déplacements. Seulement ici, et plus clairement encore, les « transformations » que coordonne le groupe portent certes sur une réalité « transformable », mais supposent en plus un sujet qui les effectue au moyen, soit d’une pensée qui réfléchisse sur les lois de ces transformations, soit d’une pensée qui les manipule effectivement mais inconsciemment et sans « réflexion » sur leur mécanisme interne, soit encore d’actions élémentaires sans aucune pensée. La question est alors de savoir s’il s’agit des mêmes transformations et il est évident que non. Un enfant qui parle ne construit pas pour autant une linguistique générale en tant que réflexion systématique sur le langage. Le « groupe de transformations » formulé par Galois n’est pas identique aux transformations utilisées par l’enfant et dont le psychologue seul découvre, en les rapprochant et en les comparant entre elles, qu’elles présentent une structure de groupe, tandis que l’enfant n’en a aucune conscience. L’abstraction réfléchissante à laquelle s’est livré Galois n’était certes pas libre, puisqu’elle portait sur des procédés de pensée déjà à l’œuvre chez les mathématiciens antérieurs et même très primitifs génétiquement parlant : elle n’en a pas moins construit une structure nouvelle en tant que structure devenue tout à la fois indépendante, abstraite et généralisable, située à un autre niveau de manipulation que celles dont elle dérivait.

En bref, l’invention mathématique n’est à proprement parler ni une invention ni une découverte, puisqu’elle [p. 577] est à la fois nécessaire (rigueur) et nouvelle (construction). Elle procède par abstractions réfléchissantes à partir d’éléments qui la déterminent mais consiste à ajouter à ces éléments une organisation d’ensemble située sur un nouveau plan et qui les intègre. Le résultat en est que, de niveaux en niveaux, les structures construites sont de plus en plus riches, mais ces structures ne sont nullement des créations ex nihilo parce qu’elles ne sont pas l’œuvre du sujet individuel en ses décisions libres ou arbitraires : elles sont déterminées par les activités du sujet épistémique, c’est-à-dire par le noyau fonctionnel commun à tous les sujets individuels. Ces activités consistent en coordinations générales de l’action (emboîtements et ordre, etc.), c’est-à-dire qu’elles sont subordonnées à un fonctionnement aussi permanent et aussi résistant que peut l’être le fonctionnement vital en ses caractères les plus généraux. Les constructions du sujet sont donc réflexives autant que constructives, en ce sens qu’elles remontent à ces coordinations générales tout en reconstruisant et recombinant leurs éléments à un niveau supérieur. Cela ne signifie donc en rien que toutes les structures étaient préformées dans les organisations de départ, pas plus que formellement les structures fortes ne sont contenues d’avance dans les structures faibles. Mais cela ne signifie pas non plus que les constructions nouvelles soient libres ou arbitraires, puisqu’elles sont obligées de se coordonner avec toutes les constructions antérieures jusqu’aux coordinations « initiales » (nous verrons plus loin ce que peut comporter un tel terme) et que plus augmente l’ensemble des constructions, plus s’accroissent par le fait même les exigences de cohérence par coordination nécessaire des structures nouvelles avec l’ensemble des structures antérieures jusqu’à leurs sources.

Construction et accord avec la réalité physique🔗

La signification évidente du constructivisme ainsi décrit est que, s’il y a possibilité de construction sans fin (en conformité avec le schéma si profondément [p. 578] analysé par Lichnerowicz, chapitre « Remarques sur les mathématiques et la réalité »), il y a, d’autre part, nécessité de régression sans fin. Cette régression, qui assure la rigueur, est naturellement finie du point de vue logique, puisque le logicien l’arrête techniquement en posant ses axiomes. Mais elle est sans fin épistémologiquement, car les coordinations « initiales » ne le sont jamais que relativement à notre analyse. Or, ce qui pourrait paraître ainsi la source de difficultés insurmontables constitue au contraire la raison profonde de l’autre aspect des mathématiques non discuté jusqu’ici : leur accord avec le réel. En effet, si les structures logico-mathématiques sont construites à partir des coordinations les plus générales des actions du sujet, celles-ci dépendent à leur tour des coordinations nerveuses et finalement organiques, de telle sorte que c’est jusqu’au plan biophysique qu’il faut remonter : les structures logico-mathématiques apparaissent alors finalement comme l’expression de la réalité entière, en un sens aussi physique que l’on voudra, mais cela par l’intermédiaire des processus internes bio-neuro-psychologiques et non pas grâce aux expériences pauvres et limitées que le sujet individuel effectue par le canal de ses perceptions et ses tâtonnements sensori-moteurs ou mentaux.

Pour justifier une telle thèse, qui revient donc à rendre le constructivisme logico-mathématique solidaire de toute la morphogenèse vitale, il importe d’abord de rappeler ce que signifie dans le déroulement même des sciences l’accord des mathématiques avec la réalité.

Cela signifie d’abord que toute réalité extérieure aux mathématiques mêmes est mathématisable, et selon un processus d’assimilation qui est devenu de plus en plus intime au cours de l’histoire. Lorsque Platon a dégagé la nature sui generis des êtres mathématiques par un processus de dialectique ascendante remontant du réel aux Idées, il n’a pas été en mesure, faute des instruments techniques nécessaires, de fonder une physique mathématique par une dialectique descendante retournant des idées au réel, et Aristote a pu en conclure que, si la physique était conforme à la logique, elle devait en rester, par sa nature même, à un niveau d’analyse qualitative : les liens entre la physique et les mathématiques se trouvaient en ce cas inversés, les êtres mathématiques [p. 579] pouvant être tirés par abstraction simple (ou aristotélicienne) des données perceptives fournies par la réalité ambiante. À partir de la création de la physique expérimentale, il est apparu, au contraire, que toute donnée d’expérience, sur un tel terrain, trouvait sa correspondance dans les êtres construits par déduction mathématique selon une sorte de parallélisme tel que celui, admis par Descartes, entre l’« étendue » et la « pensée ».

Mais un tel parallélisme, orienté cependant d’emblée dans la direction d’une assimilation du physique au logico-mathématique, comporte encore une sorte de double nature : d’un côté des êtres physiques, tous mathématisables mais sans qu’un cadre logico-mathématique intervienne dès le contact même avec eux, donc dès leur prise de possession par l’expérience (aujourd’hui conçue comme solidaire de tout un appareil opératoire à commencer par ses aspects probabilistes); d’un autre côté des « êtres » mathématiques situés sur un autre plan et adaptables après coup à la réalité physique.

Avec les mathématiques et la physique contemporaines, l’assimilation est bien plus poussée. Comme le montre Lichnerowicz le jeu subtil des isomorphismes permet de mathématiser les réalités les plus étrangères en apparence au calcul (sociologie, linguistique, réalités biologiques et mentales), les êtres mathématiques n’étant plus situés à un niveau particulier mais se déployant sur des niveaux multiples qui embrassent les opérations mêmes servant à cette assimilation. Réciproquement la prise de contact expérimentale est toujours solidaire de structures, mais de structures les plus variées : d’une géométrie quelconque (si abstraite soit-elle) ou d’un système d’opérateurs algébriques (si complexe soit-il) jusqu’aux instruments probabilistes applicables aux « décisions » elles-mêmes (théorie des jeux).

Or les trois caractères les plus frappants de cette assimilation progressive et déjà multiséculaire sont les suivants :

Il y a toujours tôt ou tard réussite de la mathématisation. Sans doute pourrait-on objecter que des structures particulièrement complexes comme celle d’un organisme vivant en sa totalité n’ont point été traduites en termes mathématiques. Mais c’est que les données de fait ne [p. 580] sont pas encore connues, tandis que les structures partielles connues par analyse expérimentale ne sont jamais irréductibles à l’assimilation mathématique, notamment par l’analyse cybernétique des autorégulations.

Cette réussite n’implique en rien que les mathématiques se bornent à copier le réel ou se limitent aux structures et transformations correspondant à des processus réels. Il y a, au contraire, dépassements continuels et c’est même souvent dans la mesure où ces dépassements sont libres que l’adéquation au réel devient plus efficace. Ce n’est pas par exemple en se limitant aux parties finies des structures qu’on les adapterait mieux à la réalité toujours finie et c’est au contraire en ne les mutilant pas mathématiquement qu’on les rend efficaces. J. Leray rappelle, dans le chapitre « l’Invention en mathématique », comment les nombres « imaginaires » interviennent en théorie physique et jusque dans la représentation d’un phénomène aussi banal qu’un courant alternatif.

Or, la généralisation toute formelle de Cardan précède de beaucoup l’électrotechnique moderne et ceci nous conduit au caractère le plus remarquable de l’adéquation dont nous discutons : il y a fréquemment anticipation du cadre mathématique par rapport au contenu physique (ou réel en général) qui finit par le remplir, cette anticipation pouvant même porter sur des intervalles de temps assez considérables. On cite souvent comme exemple la théorie de la relativité qui supposait, comme instruments préalables d’adéquation au réel, la géométrie riemanienne et le calcul tensoriel, deux structures nées de généralisations formelles et non point d’intentions proprement physiques. La microphysique contemporaine abonde en anticipations tout aussi spectaculaires quant aux diverses classes d’« opérateurs ».

Cela dit, le problème est donc de comprendre comment des constructions essentiellement déductives sont capables d’assimiler le réel, de le dépasser sans compromettre cette assimilation (tandis qu’en une science presque purement expérimentale comme la psychologie, dépasser le domaine des vérifications de fait consiste à s’engager dans une psychologie dite « philosophique » dont on pourrait caractériser la méthode par la simple omission des cas défavorables) et surtout d’anticiper le réel indépendamment [p. 581] de toute intention d’adéquation effective.

La première hypothèse qui s’impose à l’esprit consiste alors à penser que les mathématiques, si déductives soient-elles en leur méthode, empruntent en fait une partie de leur substance à l’expérience elle-même, ce qui suffirait en ce cas à expliquer leur adéquation générale. L’adéquation serait donc assurée ou bien dans la mesure où les éléments tirés de l’expérience seraient eux-mêmes d’un caractère suffisamment « quelconque » pour permettre toutes les généralisations ; ou bien, au contraire, dans la mesure où certaines théories seraient construites ad hoc, à l’occasion de faits physiques précis, mais conduiraient à d’autres généralisations adéquates.

Deux cas doivent donc être distingués : celui des expériences générales que ferait le sujet dans les phases de formation préscientifique des mathématiques, et celui des expérimentations particulières, de niveaux supérieurs, qui ont été à l’origine de la construction de nouvelles théories mathématiques.

Pour ce qui est des premières, il faut rappeler la position de L. Brunschvicg qui, malgré ce qu’on est convenu d’appeler l’« idéalisme brunschvicgien », voyait dans l’arithmétique, la géométrie et l’algèbre élémentaires des disciplines « physicomathématiques » à cause de leur appel constant à des actions proprement matérielles : la correspondance terme à terme, en usage dans les échanges commerciaux par troc (de même que chez l’enfant), est source des ensembles et des nombres, la pratique du dessin, source de l’abstraction des formes géométriques et les coordinations opératoires, sources de la vérité algébrique.

Mais si de telles actions jouent un rôle formateur indéniable, il convient de rappeler qu’il existe deux types d’expérience, l’une, physique, procédant par abstraction à partir des objets eux-mêmes et l’autre, logico-mathématique, tirant ses informations des coordinations comme telles de l’action et des propriétés introduites par cette action dans les objets (ordre, somme, etc.) et non par des objets en leurs propriétés physiques. Or, l’expérience logico-mathématique ne fournit pas de connaissances physiques et, d’autre part, elle n’est qu’une préparation à la déduction, à la manière dont un mathématicien de tout niveau peut se livrer à des tâtonnements [p. 582] empiriques avant de construire de façon strictement déductive. On ne saurait donc invoquer les phases prédéductives des mathématiques naissantes comme un apport de l’expérience physique à la constitution de la vérité mathématique.

Il est vrai que les objets se laissent faire et qu’il y a donc là indirectement quelque information prise sur leurs propriétés. Notons d’abord que ce n’est pas toujours le cas : deux cailloux plus deux cailloux donnent bien quatre cailloux mais deux gouttes d’eau ajoutées à deux autres n’aboutissent pas nécessairement à quatre, sans jamais ébranler pour autant la confiance en l’addition numérique. Mais même là où les objets se soumettent, il existe une disproportion flagrante entre le champ de vérification concernant l’adéquation des coordinations élémentaires d’actions et les adéquations de niveaux supérieurs, comme en mécanique céleste ou en microphysique où cependant l’accord entre les structures déductives, le calcul et les faits est bien plus intime. Dira-t-on par exemple que les prévisions en jeu dans la marche et la régulation d’une fusée spatiale se réalisent avec une approximation de plus en plus fine parce que l’enfant, avant sept ou huit ans, a dû vérifier par expérience matérielle que la commutativité 2 + 3 = 3 + 2 correspond bien aux faits ?

Un autre ensemble d’arguments peut paraître plus pertinent : c’est celui des théories construites à l’occasion d’expériences physiques et vérifiées par elles. Les exemples en sont innombrables, à partir de l’astronomie grecque jusqu’aux théories de tous genres servant aujourd’hui à la biophysique, à l’économétrie, à l’analyse de l’information ou de la communication aussi bien qu’à la physique en général ou à la physique atomique. Mais que sont les théories de ce genre et quelles sont leurs relations avec les données d’expérience ? L’illusion de l’interprétation qui consisterait à considérer de telles théories mathématiques comme un produit des données expérimentales, provient de ce que l’on est porté à partir de deux séries parallèles et de deux seulement : les faits, qui seraient indépendants de leur structuration logico-mathématique, et la théorie, d’autre part, qui serait conçue en ce cas à titre de copie ou réduplication des faits, mais « traduits » en un langage déductif.

[p. 583] En réalité il y a au moins quatre phases à distinguer et dont la quatrième est bien distincte des trois autres, quoique toutes les quatre aboutissent à cette assimilation du réel aux structures logico-mathématiques à laquelle a fait allusion le début de ce paragraphe :

l’établissement des données d’expérience (physique expérimentale) ;

le modèle intuitif et surtout qualitatif que veut s’en donner le physicien pour l’orienter dans la recherche d’un schéma explicatif ;

la mathématisation de ce modèle sous la forme d’une théorie déjà abstraite, mais relevant encore de la « physique théorique » parce que ne connaissant toujours comme critère ultime de vérité que l’accord avec les faits d’expérience ;

le passage de la physique théorique à la « physique mathématique », les théories du troisième palier étant re-structurées non plus du seul point de vue de leur adéquation au réel, mais « dans leur cohérence interne » de manière à « les faire naître à l’existence mathématique », comme le dit Lichnerowicz (Leçon inaugurale, 1952), ce qui en général renforce au surplus leur accord avec le réel.

Or la première phase, qui est celle de l’établissement des faits, n’est déjà elle-même nullement indépendante d’une mathématisation, comme on pourrait le penser dans une perspective positiviste cherchant à réduire les « faits » à de simples données sensorielles ou perceptives. La raison en est qu’il est impossible de constater ou d’enregistrer un fait, si élémentaire soit-il, sans un cadre de référence logico-mathématique, si élémentaire soit-il, lui aussi : classification, mise en « relations », en « correspondances », mesure, etc. Dès la perception elle-même, de telles structures (géométriques ou autres) interviennent nécessairement et, dans l’établissement d’un fait physique constaté en laboratoire au moyen d’instruments, le cadre logico-mathématique préalable est naturellement bien plus riche et bien plus complexe encore.

La deuxième phase, sur laquelle nous reviendrons à propos de l’épistémologie de la physique (« les Données génétiques de l’épistémologie physique »), pourrait-elle aussi être conçue comme strictement « physique » puisqu’il s’agit du schéma intuitif et qualitatif que le physicien se donne à titre de fil conducteur avant la mise en forme [p. 584] par la physique théorique. Mais ces termes d’intuitif et de qualitatif désignent simplement une phase antérieure à la traduction des données métriques en un système d’équations. Or, cette traduction ne saurait être immédiate tant que le problème n’est pas suffisamment élaboré et c’est pourquoi il importe de construire au préalable un schéma explicatif. Mais il s’agit, d’une part, d’un perfectionnement du cadre logico-mathématique dont les faits sont solidaires dès le départ et surtout, d’autre part, de l’imagination d’un modèle en référence avec un tel cadre : or, sans être d’emblée métrique, un tel modèle consiste naturellement à exprimer les faits en un système de fonctions de nature encore générale mais toutes mathématisables.

La troisième phase est celle de la mise en équation du modèle et des données métriques, et, à un tel niveau qui est celui de la « physique théorique », le rôle des mathématiques pourrait apparaître comme celui d’un simple langage, exprimant des faits d’expérience et sous une forme imposée par cette seule expérience. Seulement, comme il y a eu mathématisation dès le départ, dans l’établissement (1) et l’imagination causale (2) des faits eux-mêmes, le langage final qui met en forme d’équations fonctionnelles les faits et leur interprétation est en réalité bien plus qu’un langage : il constitue une structuration, dont l’expérience seule confirme certes le bien-fondé, mais qui contient bien davantage que les données d’expérience puisqu’elle comporte tout un apport provenant des structures logico-mathématiques du sujet. La physique théorique constitue donc un mixte dans lequel l’expérience ne suffit pas à rendre compte de la structure, ni l’inverse, mais dans lequel le donné expérimental est assimilé à une structure beaucoup plus riche que lui, donc dépassant largement ce que les faits extérieurs comportaient à eux seuls. C’est ainsi, nous dit Lichnerowicz (Notice sur ses travaux, Dunod, 1962, p. 1), que « les équations fondamentales elles-mêmes ne peuvent être atteintes expérimentalement. C’est le treillis serré des conséquences des équations de base qui doit seul valoriser celles-ci ».

Vient enfin la quatrième phase de la physique mathématique « avec coupure nette, du point de vue épistémologique, par rapport aux précédentes ». S. Bachelard [p. 585] a remarquablement développé ce point en une belle étude historico-critique (la Conscience de rationalité, PUF, 1958, dont les pages 15-175 ne peuvent qu’emporter une conviction générale à condition de remplacer le mot « phénoménologique » par « épistémologique » et le mot « psychologique » de la page 40 par celui de « naïf »). Le propre de cette phase (4) est alors de promouvoir le mixte de la phase (3) « à l’existence mathématique » et le problème est de décider si cette promotion consiste à tirer de l’expérience physique de nouveaux êtres mathématiques, ce qui serait contraire à tout ce qui précède ou si le mathématicien, ayant résolu mathématiquement, donc déductivement, des problèmes posés par la physique, se borne ici à dégager et restructurer leur forme, mais cette fois sans la subordonner à leur contenu. Or, comme il n’existe pas d’expérience « pure », indépendante de tout sujet (au sens où il existe des mathématiques « pures », c’est-à-dire indépendantes de tout objet particulier) mais que le donné expérimental est, dès le départ (et de plus en plus au cours des phases 1-3), assimilé à des structures, il va de soi que ces structures peuvent faire l’objet, en la phase 4, d’un traitement exclusivement mathématique puisqu’elles n’ont pas été dictées mais seulement utilisées par l’expérience. En d’autres termes la physique mathématique ne tire pas ses structures de l’expérience : elle les accommode à l’expérience après leur avoir assimilé celle-ci, cette assimilation débutant dès les structurations élémentaires qui interviennent lors de la lecture même des faits.

Mais une accommodation peut aboutir à une imitation et personne ne contestera que quand la physique mathématique parle de champs, d’ondes et de corpuscules, de magnétohydrodynamique relativiste, de spin, de propagateurs tensoriels ou spinoriels, d’espaces fibrés, etc., elle ne moule ses concepts sur des réalités expérimentales ; et que si les mécaniques classiques, relativiste et ondulatoire, constituent des tentatives de déduction intégrale, ces déductions épousent les articulations du réel, et même selon des approximations de plus en plus précises : n’est-ce donc pas là la preuve que les structures logico-mathématiques proviennent partiellement, en de tels cas, de l’expérience physique elle-même ? Trois remarques montreront que la situation est plus complexe.

[p. 586] La première est que, pour qu’une connaissance puisse être considérée comme la « copie » d’un objet ou d’un processus, il faut que ceux-ci soient indépendants. Or, si toute la physique consiste à poursuivre des réalités postulées comme extérieures à nous, elle ne les atteint que par un jeu d’actions matérielles et d’opérations mentales (prolongeant ces actions) dont l’objet extérieur n’est jamais indépendant ; et (ceci est essentiel) plus s’affine l’objectivité, plus riche et complexe est le système d’opérations, qui rend possible ce progrès : ce n’est donc pas parce qu’on s’approche du réel que la part de la construction s’affaiblit, au contraire, et c’est de cette construction et non plus de l’objet qu’elle vise, que s’occupe la physique mathématique par opposition à la physique théorique.

En second lieu, rien n’exclut (au contraire) que les structures ultimes du réel soient isomorphes aux structures logico-mathématiques. Dans le cas de l’espace, on se trouve en présence d’espaces physiques, d’une part, ou plus précisément de dimensions spatio-temporelles de tout processus à certaines échelles, et d’espaces géométriques d’autre part, construits déductivement. Dès la petite enfance il existe parallèlement, et au début indissociablement, une expérience physique et une expérience logico-mathématique de l’espace, la seconde construisant par des coordinations d’actions et d’opérations ce que la première découvre approximativement dans les objets. Ce n’est donc pas une raison parce que le ds² des relativistes donne lieu à des mesures physiques pour qu’il ne constitue pas par ailleurs un être mathématique.

En troisième lieu, et de façon plus générale encore, dans la mesure où il peut s’avérer qu’une théorie particulière a été élaborée en imitant, pour ainsi dire, un modèle expérimental extérieur à elle, cette imitation ne saurait qu’obéir aux lois communes à toute imitation : accommodation à l’objet, mais en fonction d’un schème d’assimilation qui rattache par ailleurs cet objet aux activités du sujet.

En bref et à tous les niveaux, les structures logico-mathématiques s’accordent de la façon la plus intime avec la contexture du réel, mais sans provenir pour autant de façon directe de celui-ci sous peine de perdre [p. 587] leur rigueur et d’être réduites au rang d’inductions expérimentales approchées.

Si l’on exclut cette genèse empirique des structures logico-mathématiques, il ne reste alors que deux solutions : une harmonie préétablie, telle que l’a soutenue D. Hilbert en se référant explicitement à des intuitions a priori, donc à un sujet transcendantal, ou bien une harmonie génétique, entre le sujet source des constructions déductives, et le réel dont il fait partie.

L’harmonie préétablie présente l’avantage de clore la discussion en rattachant le sujet et le réel à un axiome initial, ce qui peut séduire les esprits épris de formalisme mais satisfait moins ceux qui restent attachés au réel et à l’objet. L’harmonie génétique et non pas préétablie consiste au contraire à écarter l’a priori et la référence au transcendantal pour chercher les attaches entre le sujet et la réalité, non pas certes dans les conduites expérimentales de ce sujet aux prises avec des objets extérieurs à lui (donc dans des conduites finales ou tout au moins tardives), mais bien dans les conditions initiales, c’est-à-dire de plus en plus internes et profondes, qui rendent possibles les activités constructives s’accordant avec le réel.

Nous avons maintes fois constaté jusqu’ici que, à vouloir interpréter le constructivisme logico-mathématique par des abstractions réfléchissantes à partir des structures opératoires du sujet, et de là à partir de la coordination générale des actions, on s’engage dans une régression sans fin : or, c’est cette régression même qui va nous servir maintenant à rejoindre la réalité biophysique, mais pour ainsi dire à l’intérieur du sujet et non pas dans ses tâtonnements empiriques ou externes.

La première étape de la régression est la mise en relation de la pensée logico-mathématique scientifique avec les opérations logico-mathématiques de la pensée naturelle ; le chapitre sur « les Données génétiques de l’épistémologie des mathématiques » nous a montré ainsi que la pensée spontanée ou naturelle élabore déjà un correspondant des structures mères au sens bourbakiste, des opérations de classes de relations et de propositions (y compris un groupe de quaternalité), des nombres « naturels » et des opérations topologiques et spatiales. La genèse des mathématiques apparaît ainsi comme due à une série [p. 588] d’abstractions réfléchissantes à partir de structures de base, bien plus pauvres quant à leur prise de conscience ou de réflexion, mais déjà riches de possibilités.

La seconde étape est la mise en relation de ces structures de la pensée naturelle avec les structures sensori-motrices ou coordinations générales des actions. Sans retrouver à ce niveau inférieur toutes les structures précédentes, on y discerne néanmoins leurs racines : des schèmes d’emboîtements et d’ordre, des organisations en formes de « groupe » (le groupe des déplacements comme coordination de mouvements successifs, mais avec les retours et les détours qui préfigurent la réversibilité et l’associativité du groupe), des invariants (constances de la grandeur et de la forme liées au schème de l’objet permanent), etc.

La troisième étape est la mise en relation de ces structures sensori-motrices (et des structures opératoires de la pensée qui en dérivent) avec les structures du système nerveux. McCulloch et Pitts ont montré dans une analyse célèbre que les connexions neuroniques pouvaient être considérées comme isomorphes aux liaisons combinatoires intervenant dans la logique des propositions, ce qui ne prouve pas que la logique soit contenue d’avance dans le cerveau mais que l’action peut tirer des coordinations nerveuses de quoi construire des structures logiquement cohérentes. Les modèles cybernétiques montrent de leur côté la liaison entre les opérations élémentaires (arithmétique binaire, etc.) et les mécanismes auto-régulateurs matériels permettant la solution de problèmes après programmation convenable.

La quatrième étape sur laquelle nous savons beaucoup moins de choses est la mise en relation des structures nerveuses avec les structures de la morphogenèse organique. Mais, d’une part, la vie est créatrice de formes, suivant l’expression célèbre de Brachet et, d’autre part, l’organisme est un sujet qui réagit au milieu et non pas un objet entièrement déterminé par ce milieu : les structures de l’organisme sont donc à l’égard du milieu dans un rapport analogue à celui d’un sujet par rapport aux objets, abstraction faite des différences de conscience et de pensée qui concernent le niveau de développement mental et non pas les mécanismes généraux de la structuration en tant que source des instruments futurs de [p. 589] connaissance. Les idées actuelles sur le caractère adaptatif des recombinaisons génétiques conçues comme des réponses aux tensions du milieu, et sur les mécanismes régulateurs inhérents au génome lui-même, s’orientent en cette direction.

La cinquième étape enfin sera la mise en relations des structures morphogénétiques avec les lois de la biologie moléculaire, donc avec la biophysique entière : aux sources de la connaissance se trouve donc peut-être une réalité biophysique qui assurerait l’accord entre l’organisme et les structures physiques, selon une harmonie qui se serait donc établie sans être « préétablie ».

De telles vues sont sans doute encore passablement théoriques, mais ce qui l’est beaucoup moins c’est d’affirmer simplement que, si les structures logico-mathématiques sont abstraites des lois générales de la coordination des actions (et donc des opérations qui en dérivent par intériorisation), elles sont alors reliées aux modes d’organisation de la vie en général, ce qui suppose d’une manière ou d’une autre une relation (mais par l’intérieur et pas seulement par adaptation externe) avec les structures physiques englobées dans la constitution de l’organisme : il n’y a rien d’incompréhensible en ce cas à ce que les déductions les plus abstraites rejoignent la réalité physique, puisque, de proche en proche, elles sont abstraites (malgré leur enrichissement considérable, mais en continuité avec leurs sources) d’une organisation conditionnée en son départ par les secteurs biophysiques de cette réalité générale.

Empirisme — platonisme — apriorisme et dialectique🔗

Il nous reste, non pas à reprendre la discussion des positions épistémologiques classiques à l’égard des mathématiques, discussion déjà suffisamment fournie aux deux premiers chapitres de cette partie, mais à la réexaminer à la lumière des résultats précédents. Ceux-ci aboutissent, en effet, à une sorte de « panmathématisme » (y compris les logiques) voisin de celui de Lichnerowicz, qui modifie naturellement les perspectives quant à ces positions [p. 590] classiques en ce sens qu’il soulève pour chacune des problèmes non impliqués dans leurs formulations initiales.

En ce qui concerne l’empirisme, le problème prend la forme suivante : si tout est mathématique ou mathématisable, pourquoi l’expérience physique (au sens large d’expérience des objets) ne suffit-elle pas à découvrir les êtres mathématiques ? La raison apparente en est que le réel comporte une part de mélange ou de hasard à un degré tel qu’il est fort possible de concevoir les phénomènes en dessous d’une certaine échelle, comme strictement aléatoires, les régularités ne se dessinant qu’en vertu d’un jeu de compensations aux échelles supérieures et ne se présentant elles-mêmes qu’enchevêtrées à des degrés divers. Mais, d’une part, l’aléatoire est lui aussi mathématisable, même si le probabilisme est à situer déjà au niveau de la mesure et des prises de contact les plus élémentaires. D’autre part la dissociation des facteurs, qui est le propre de la méthode expérimentale, constitue la réponse à l’argument de l’enchevêtrement des fonctions, de telle sorte que l’expérience devrait suffire à leur « découverte » sans le constructivisme interne décrit précédemment.

La première raison essentielle des insuffisances de l’empirisme tient à ce fait très général, si bien formulé par G. Lippmann, que l’être vivant (et cela est vrai de ses fonctions cognitives comme de tous ses organes quels qu’ils soient) est composé d’« appareils » tandis que le milieu physique ne consiste qu’en « phénomènes ». Or un appareil exécute des travaux, ce qui revient à dire que le milieu est sans cesse transformé par l’être vivant qui l’assimile sur tous les plans : physico-chimique, fonctionnel et cognitif. Il se trouve alors que la connaissance repose à tous les niveaux sur des interactions entre le sujet et les objets, et que, même quand la connaissance prend le sujet comme objet, il y a construction d’interactions entre le sujet-qui-connaît et le sujet-connu. Il en résulte qu’aucun objet de connaissance quel qu’il soit (sujet compris) n’est jamais connu en lui-même, sinon par approximations successives tendant vers une limite au sens précis du terme, c’est-à-dire reculant à l’infini. À partir de ces interactions, au début indissociables, la connaissance s’engage alors dans deux directions opposées : un pôle d’intériorisation, constitué [p. 591] par les coordinations internes nécessaires aux actions et à ces interactions, coordinations dont l’analyse réflexive dégage les structures logico-mathématiques, et un pôle d’extériorisation, caractérisé par la poursuite de l’objet et la connaissance expérimentale. C’est pourquoi même si le réel est de nature logico-mathématique, sa contexture n’est que mathématisable sans que les êtres logico-mathématiques soient directement accessibles par l’expérience.

Il s’y ajoute (et c’est la seconde raison essentielle des insuffisances de l’empirisme) que cette assimilation du réel par les « appareils » des êtres vivants et pensants ne saurait être que progressive. Il en résulte que ni la lecture des données d’expérience ni la prise de conscience des structures du sujet ne sont « immédiates » et qu’une double construction, de l’objectivité comme des systèmes déductifs, est toujours nécessaire.

C’est cette double construction qui tient, d’autre part, en échec le platonisme. On a vu plus haut comment les théorèmes de limitation, du point de vue de la formalisation, entraînent la nécessité d’un constructivisme, puisqu’un système déductif ne peut être achevé qu’en s’appuyant sur les suivants et non pas sur les précédents. Dans la perspective d’un panmathématisme où le réel lui-même est de nature mathématique, on pourrait au contraire se demander si l’univers des Idées n’est pas justifié pour autant, le constructivisme n’étant alors que relatif au sujet humain, tandis qu’une pensée embrassant la totalité du réel verrait l’univers en tant qu’ensemble des êtres logico-mathématiques entièrement réalisés, l’expérience physique comme un mode inférieur ou aléatoire de sondage au sein d’un tel ensemble et la déduction constructive comme la voie royale pénétrant en son intimité. Telle était à peu près la pensée de G. Juvet (La Structure des nouvelles théories physiques), pour qui le monde de l’expérience ne constituait qu’un « secteur minuscule » du monde mathématique, car toute explication valable en physique mathématique revient à replonger les lois découvertes expérimentalement dans l’univers des structures : toute théorie physique aboutissait ainsi, selon Juvet, à subordonner les transformations constatées à un « groupe » de transformations, « archétype des structures mathématiques » en [p. 592] même temps que principe fondamental de la causalité physique. Quant à cet univers des structures sous-jacentes, il était pourvu selon lui d’une « existence » de nature générale, source de la réalité sensible aussi bien que de la permanence des vérités logico-mathématiques. Poincaré avait tort, pour Juvet, de définir l’existence des êtres mathématiques par leur simple non-contradiction : c’est au contraire parce qu’ils existent qu’ils ne risquent jamais de devenir contradictoires.

Un tel platonisme sans sujet transcendantal semble au premier abord se borner à prendre acte de ce double processus reconnu par chacun : la mathématisation progressive de la réalité sensible et la nécessité interne croissante des constructions déductives. Toute la question est alors d’établir si l’on a le droit de raisonner sur la totalité du réel au moyen des mêmes instruments opératoires qui légitiment les conquêtes obtenues pas à pas dans les secteurs limités, expérimentaux ou déductifs. Or l’histoire des idées scientifiques témoigne des paralogismes dans lesquels on est tombé lorsque l’on a cherché à parler de l’univers physique en sa totalité (cf. les métaphysiques tirées du principe de Carnot) ou d’ensembles mathématiques en leur réunion totale (cf. les paradoxes de la théorie des ensembles). Décider de la non-contradiction d’un univers formel au nom de son existence supposée est donc une belle aventure au sens platonicien du terme, mais ce n’est qu’une aventure.

À en demeurer sur le terrain des affirmations vérifiables, on ne peut parler que de deux courants de la pensée scientifique : la conquête de l’objectivité physique due au double apport des approximations expérimentales toujours affinées et de la mathématisation par assimilation déductive ; et la construction des structures logico-mathématiques par le double apport de la synthèse progressive et de l’analyse régressive ou formalisante. Ces deux courants peuvent se poursuivre indéfiniment, auquel cas le système des sciences apparaîtra comme une sorte de cercle ou de spirale sans cesse élargis (voir le chapitre sur « le Système et la classification des sciences »). Au cas où ils se rejoindraient, comme il y a rencontre des travaux lors de la percée d’un tunnel à ses deux extrémités, on pourrait peut-être vérifier le platonisme immanent d’un Juvet. En attendant, une épistémologie soucieuse [p. 593] de ne point dépasser l’interprétation des procédés du savoir effectif ne saurait que prendre acte de la multiplicité des démarches de la pensée et des coordinations partielles qui s’établissent après coup entre elles.

L’apriorisme constitue une autre manière de rendre compte de la constructivité indéfinie des mathématiques, de leur rigueur ainsi que de leur accord avec l’expérience, puisqu’une structure synthétique a priori est tout à la fois source de synthèse et de nécessité ainsi que condition préalable de toute expérience. Il importe de reconnaître, d’autre part, qu’en rattachant les structures logico-mathématiques aux formes de la coordination générale des actions, nous faisons par cela même appel à une sorte d’a priori fonctionnel qui conditionne chaque action et opération particulières. Il est essentiel par ailleurs de constater que si la connaissance constitue bien, comme cela semble évident, un cas particulier des relations entre l’organisme et le milieu, toute la biologie moderne est orientée en une direction favorable à l’apriorisme, en tant qu’elle considère les structures héréditaires comme ne dépendant pas directement des influences du milieu.

Mais la lacune fondamentale de l’apriorisme classique est son caractère statique, dû lui-même à son exigence illusoire de transcendantalisme ou commencement absolu. Il importe donc tout à la fois de relativiser l’a priori et de l’assouplir sous la forme d’une construction progressive.

Le relativiser parce que les frontières entre l’expérience et ses conditions préalables ou entre la libre construction et ses cadres nécessaires sont essentiellement relatives aux sujets considérés selon les étapes de leur développement historique ou génétique. Pour un sujet A il existe toujours des conditions à la fois préalables et nécessaires pour son expérience ou ses constructions, mais ce ne sont pas les mêmes à un niveau N et à un niveau N + 1. D’autre part, cet a priori relatif au sujet A peut être objet d’expérience ou de construction pour un sujet B (épistémologiste, historien ou psychologue) qui étudie le sujet A, le sujet B étant lui-même naturellement assujetti à ses propres a priori, etc. Il n’est donc pas obligatoire de recourir à un apriorisme transcendantal, alors qu’une dialectique historique ou génétique [p. 594] conserve toute la vérité de l’a priori (conditions préalables et nécessaires) sans la soustraire aux exigences générales de l’analyse scientifique, constructiviste ou expérimentale.

D’où le point essentiel : sous sa forme statique, l’apriorisme est un préformisme, qui oblige les structures synthétiques a priori à contenir en avance et toutes faites les structures logico-mathématiques dans leur ensemble. Il en résulte alors les démentis de l’histoire : la découverte des géométries non euclidiennes a pu paraître ruineuse pour le kantisme, qui exigeait le caractère euclidien de cette forme a priori de la sensibilité qui est l’espace dans cette perspective statique. Dans la perspective constructiviste, au contraire, les structures sont à la fois nécessaires en leurs racines et constamment ouvertes sur des constructions ultérieures qui les intégreront : les exigences propres à cette nécessité intrinsèque augmentent alors progressivement au lieu de s’amenuiser, ce qui renforce la vérité attachée aux interprétations aprioristes tout en les libérant d’un a priori statique et transcendantal et surtout d’un insoutenable préformisme.

L’interprétation la plus adéquate aux mathématiques contemporaines semble donc être une interprétation dialectique. Les deux idées centrales de toute dialectique sont celles de développement et de synthèse, et, en ce qui concerne la première, tout le constructivisme opératoire décrit précédemment y correspond assez clairement pour qu’il soit inutile d’insister.

Quant à la notion de synthèse, sa présentation traditionnelle consiste à poser une thèse T, à la nier sous la forme d’antithèse non-T et à dépasser l’une et l’autre en une conciliation S qui retient l’essentiel de T et de non-T, mais avec adjonction de propriétés nouvelles levant la contradiction. La notion de synthèse comporte donc elle-même les trois idées de négation, de dépassement et de conservation des éléments antithétiques au sein du dépassement.

Il est inutile de soulever à ce propos la question de savoir s’il existe ou non une « logique dialectique » distincte des logiques déjà connues. Une discussion au Centre d’épistémologie génétique de Genève a mis en présence les positions suivantes. Pour les uns il est nécessaire de construire une logique dialectique pour [p. 595] rendre compte de tout développement constructif et elle devra faire jouer un rôle nouveau et positif au principe de contradiction, mais on est obligé de reconnaître qu’une telle logique n’existe pas encore sous une forme axiomatisée. Pour les autres, les logiques connues sont assez souples et multiples pour qu’il ne soit pas nécessaire de « changer la logique », et leurs prolongements suffiront à faire place à tous les changements et toutes les évolutions comme cela a toujours été le cas dans le passé (voir la manière dont ont été surmontées la crise de l’éléatisme et celle du calcul infinitésimal). Pour le logicien polonais Greniewski, enfin (et c’est là une conciliation dialectique !), la logique tout court a toujours rencontré et surmonté les crises en se modifiant ou en s’enrichissant au fur et à mesure des besoins : elle est donc elle-même dialectique…

Cela dit, les deux situations dans lesquelles se pose le problème de l’existence éventuelle de synthèses du type (T) + (non-T) → S sont celle où une construction nouvelle paraît contredire les systèmes antérieurs et celle où la nouvelle structure paraît dériver sans plus des précédentes.

Les premières situations sont courantes et ce sont elles qui ont inspiré à G. Bachelard sa belle étude sur « la philosophie du non ». À la géométrie euclidienne s’opposent les géométries non euclidiennes, à la droite archimédienne les droites non archimédiennes, aux algèbres commutatives les algèbres non commutatives, etc., et la synthèse consiste en la construction d’une structure permettant de passer de T à non-T par transformation directe ou par inclusion en un système plus large. En de tels cas le caractère dialectique du développement saute aux yeux.

Quand, par contre, la construction semble se faire par simple généralisation, celle-ci est, comme chacun sait, bien différente des inductions amplifiantes, à cause de son caractère constructif, mais à comparer cette situation aux précédentes, on s’aperçoit du fait que la différence entre la généralisation logico-mathématique et l’induction amplifiante tient précisément à une extension du processus dialectique : le non-T peut être alors une inversion, une réciprocité, une complémentarité, etc. C’est ainsi que le passage des nombres naturels aux [p. 596] entiers est dû à l’inversion de l’addition, ce qui engendre les nombres négatifs, la construction des nombres réels est due à l’inversion de la multiplication, etc. La récurrence, la structure de groupe, la loi de dualité des réseaux (qui est une réciprocité), etc., sont ainsi les produits de compositions dans lesquelles une inversion de sens, une opération inverse, etc., constituent le moteur des dépassements par une dialectique multiforme, qui ne se limite pas à celle du oui et du non (intervenant dès les tables de vérité de la logique) mais s’étend à celle du « même » et de l’« autre » comme s’exprimait Platon, et cela selon tous les degrés d’équivalence et de non-équivalence.

En un mot, la réalité des mathématiques est celle de leur construction, et si celle-ci est solidaire des caractères les plus généraux de l’organisation vivante, comme nous ont conduit à le penser les conclusions du paragraphe précédent, la dialectique interne qui anime cette construction constitue une substructure d’une résistance qui n’a rien à envier à celles du platonisme ou de l’apriorisme tout en témoignant d’un dynamisme beaucoup plus proche du cheminement effectif de ce type fondamental de connaissance.

Bibliographie🔗

E. W. Beth et J. Piaget, Épistémologie mathématique et psychologie, PUF, Paris, 1961.

G. Bouligand et J. Desgranges, Le Déclin des absolus mathématico-logiques, Sedes, Paris, 1949.

N. Bourbaki, L’Architecture des mathématiques, dans Les Grands courants de la pensée mathématique, présentés par F. Le Lionnais, « Cahiers du Sud », Paris, 1948.

L. Brunschvicg, Les Étapes de la philosophie mathématique, Alcan, Paris, 1912.

F. Gonseth, Les Fondements des mathématiques, Blanchard, Paris, 1926.

A. Lautman, Les Schémas de structure et les schémas de genèse, Hermann, Paris, 1938.

J. Piaget, Introduction à l’épistémologie génétique, vol. I, La Pensée mathématique, PUF, Paris, 1949.