À propos de la généralisation. Gymnase cantonal de Neuchâtel, 1873-1973 (1974) ^a 🔗

Les recherches du Centre international d’épistémologie génétique ont visé une fois de plus durant l’année 1972-1973 à éclairer le processus le plus mystérieux du développement cognitif, c’est-à-dire la production de nouveautés. L’analyse de l’abstraction réfléchissante a montré que ce processus tient essentiellement à des combinaisons de différenciations et d’intégrations ¹. L’étude des abstractions de types variés nous a renseignés sur les différenciations. Mais il restait à préciser comment s’effectuent les intégrations et quelles sont les raisons de leur équilibre avec les différenciations : c’est ce que nous chercherons à comprendre en examinant les généralisations. D’une part, en effet, ce sont elles qui sont responsables de la construction des totalités, donc de l’intégration. Mais, d’autre part, leurs rapports avec les différenciations permettent de creuser davantage un domaine encore peu clair des mécanismes de l’équilibration : si l’on comprend bien pourquoi il doit toujours y avoir équilibre entre les schèmes d’assimilation et les objets auxquels ils sont obligés de s’accommoder, ou équilibre entre les sous-systèmes (par exemple nombre d’éléments et longueur de leur alignement, etc.), sous peine d’incohérences et de contradictions, on ne [p. 212] voit guère encore pourquoi une différenciation plus poussée des sous-systèmes entraînerait d’emblée la formation d’un système total de rang supérieur et bien intégré, c’est-à-dire présentant ses lois propres de composition, en plus de la coordination des sous-systèmes entre eux. C’est pourtant ce qui se passe tôt ou tard avec la formation de nouveaux concepts englobants (par exemple la multiplication par rapport aux successions d’additions, les proportions par rapport aux corrélats qualitatifs, etc.) et il serait trop simple de dire que des différenciations trop nombreuses ou trop profondes exigent une compensation dans le sens de l’intégration, sous peine de compromettre l’unité du tout, car il reste à comprendre pourquoi, si les sous-systèmes s’équilibrent localement, le sujet aurait encore besoin de systèmes totaux. Nous espérons que l’étude de la généralisation répondra à cette question, qui reste centrale pour une théorie de l’équilibration.

(1) Pour juger de ces relations entre les parties et le tout (par opposition aux rapports des parties entre elles ou à ceux d’un schème particulier et de son objet ou contenu), on peut considérer les liaisons classiques entre la compréhension et l’extension. Soit une classe comme celle des Vertébrés et ses sous-classes (Poissons, etc.) : l’extension, en tant que nombre des individus possédant les caractères communs de la classe est plus grande dans le cas de la classe totale, mais la compréhension en tant que propriétés communes est plus riche dans celui des sous-classes : il y a donc rapport inverse entre deux. Par contre, les nombres naturels N sont moins nombreux que les entiers Z (positifs et négatifs) et ceux-ci moins nombreux que les réels R dont ils font partie : or les R de plus grande extension sont également plus riches en compréhension, de telle sorte qu’en ce cas le rapport est direct. De même il existe moins de triangles isocèles que de triangles quelconques, mais comme ceux-ci ont par définition trois côtés, devant alors être nécessairement inégaux ou égaux, deux par deux ou tous trois, les propriétés spéciales des isocèles ne constituent qu’un cas particulier des variations impliquées dans les caractères de la classe totale. Au contraire, pour ce qui est des Vertébrés, on ne saurait considérer les glandes mammaires des Mammifères comme un cas particulier [p. 213] des variations possibles des vertèbres, car il s’agit d’une adjonction extérieure ou différenciation exogène (au point de vue logique) et non pas d’une spécification endogène. On voit d’emblée, d’autre part, que le plus grand nombre des R que des Z ou des N est dû à l’intervention d’opérations (+), (×) et (:) mais qui étaient déjà en jeu dans le cas des N, quoique non généralisables en ce monoïde.

En fait la loi de la proportion inverse entre la compréhension et l’extension est générale mais il convient, dans le domaine logico-mathématique, de distinguer deux sortes d’extensions, selon qu’il s’agit du nombre des modèles d’une structure donnée ou du nombre des éléments compris dans les modèles. Or si ce dernier nombre a une signification claire dans les cas de N ou Z, qui sont des modèles de monoïdes et de groupes tous deux numériques, il peut rester mal déterminé en d’autres cas, tandis que de juger du nombre des modèles est plus aisé, du moins ordinalement.

On constate alors que, pour des structures emboîtées, le nombre des modèles est en rapport inverse de celui des propriétés (ou théorèmes). C’est ainsi que dans la série « groupoïdes > semi-groupes > monoïdes > groupes » le nombre des propriétés augmente de gauche à droite (compositions fermées d’opérations quelconques, puis associativité entre opérations binaires, puis élément neutre et enfin opérations inverses), tandis que le nombre des modèles diminue. La situation est donc la même que dans le cas du rapport inverse entre l’extension et la compréhension des classes qualitatives comme celles d’une classification zoologique ².

Pourquoi, en ce cas, le rapport peut-il être direct entre la compréhension (nombre de propriétés) et l’extension au sens du nombre des éléments (et non plus des modèles), comme dans la série R > Q (rationnels) > Z > N, où le nombre des propriétés s’accroît de droite à gauche comme celui des éléments, tandis que dans la série Animaux > Vertébrés > Mammifères > [p. 214] Quadrumanes, le nombre des éléments décroît de gauche à droite pendant que celui des propriétés augmente ? La raison en est simplement qu’entre les caractères de la classe la plus pauvre en propriétés et ceux de la classe la plus riche, il intervient dans le cas R > N des généralisations qui engendrent de nouveaux êtres par l’extension des propriétés des précédents (opérations additives et multiplicatives). De même dans le passage des triangles isocèles aux triangles quelconques en faisant varier les côtés, ou de l’ellipse à l’équation générale des sections coniques, etc. Par contre, dans le cas des classes emboîtées d’une classification naturelle (animaux, etc.), les extensions en jeu se définissent par les ensembles d’individus existant indépendamment de nous dans la nature et non pas engendrés par des opérations comme le sont les nombres, ou par les propriétés des sous-classes ou des classes générales (nous y reviendrons sous 2) : comme déjà dit, des caractères généraux des animaux on ne saurait déduire les vertèbres, ni de celles-ci les glandes mammaires, ni de celles-ci la formation de quatre ou même de deux mains, et, si cela n’était dû qu’à notre ignorance, autrement dit si l’on découvrait les transformations logico-mathématiques rendant ces constructions déductivement nécessaires, la classe des animaux deviendrait la classe la plus riche à la fois en extension et en compréhension.

Dans le cas de la sériation A < B < C par opposition aux classifications qualitatives, on pourrait dire qu’à une plus grande extension (ABC comparés à AB) correspond aussi une plus grande compréhension, si l’on entend par là qu’il intervient alors plus de relations (B < C et A < C en plus de A < B). Mais il s’agit en ce cas d’une seule et même relation simplement généralisée à de nouveaux termes, et, si A < C est composable par additions de A < B et B < C, on ne saurait par contre, sans une loi supplémentaire de quantification des différences (par exemple l’égalité des différences élémentaires) construire A < B et B < C à partir de A < C sinon à titre de composantes complémentaires, mais de valeurs indéterminées à part leur identité qualitative. On saurait encore moins, en une sériation quelconque A < B < C < D déduire la valeur de C < D de celle de A < B sans introduire en plus des opérations quantitatives.

(2) Cet examen des relations entre la compréhension et l’extension montre que le problème central de la généralisation tient au caractère plus ou moins fortement structuré des classes ou systèmes en jeu, autrement dit aux relations entre les formes et les contenus.

Nous appellerons faiblement structurés les systèmes dans lesquels les propriétés de la totalité ne peuvent pas être engendrées déductivement à partir de celles qui sont particulières aux sous-systèmes et réciproquement, pas plus que les propriétés des sous-systèmes ne peuvent l’être les unes à partir des autres. Un système est par contre d’autant plus fortement structuré que ces constructions internes sont possibles entre les propriétés du tout et des parties ou des parties entre elles. L’exemple de la sériation montre que l’on peut trouver tous les degrés entre les systèmes faiblement et de plus en plus fortement structurés selon que la différence en jeu dans la relation < reste de valeur quelconque ou que l’on a affaire à des différences égales ou croissantes et que l’on précise ou non la loi de cette croissance (une exponentielle par exemple).

Cela dit, il est facile de comprendre pourquoi les classifications de la pensée naturelle (y compris celles de la systématique biologique) demeurent faiblement structurées avec rapport inverse entre la compréhension et l’extension (au sens du nombre des individus) : c’est que leur contenu est extralogique, seules les formes étant construites par le sujet. Ces formes débutent par une réunion des individus en classes avec mise en relations de leurs propriétés en compréhension, mais ni ces individus ni leurs propriétés ne constituent des « formes » au point de vue logique, et ils demeurent donc par définition « extralogiques » (type 0 dans la théorie des types), seule la classe qui les réunit étant déjà une « forme » (type 1). Les classes de rangs supérieurs sont des classes de classes, etc. (types 2, 3, etc.), mais il ne s’agit alors que d’emboîtements fondés sur les degrés de généralité des caractères observés, et, ceux-ci demeurant à l’état de contenu extralogique, il est donc exclu de les construire déductivement à partir de ces formes élémentaires d’emboîtements et tout aussi exclu de modifier le nombre des individus en extension, puisque ces quantités (dont les formes se réduisent aux quantificateurs intensifs « tous », « quelques », « un », et « aucun ») expriment [p. 216] également des données de faits non construites par le sujet. Il va de soi qu’en de telles situations les généralisations en jeu ne peuvent demeurer qu’extensionnelles (« inductions »), seule la thématisation des formes (inclusion, transitivité, etc.) pouvant conduire par abstractions réfléchissantes à un début de généralisation constructrice, mais portant sur des structures qui demeurent donc très élémentaires (syllogistique, « groupements », etc.) et ne suffisant en rien à engendrer déductivement les contenus.

Quant aux systèmes fortement structurés de nature logico-mathématique, ils présentent ce caractère remarquable de pouvoir engendrer leurs propres contenus et de procéder ainsi par généralisations constructrices pour ainsi dire inscrites dans leurs propriétés mêmes. En effet, la « compréhension » d’une structure consiste en lois de composition, par exemple n + 1 (comporter un successeur), etc., de telle sorte qu’en son fonctionnement même la structure conserve et prolonge l’activité généralisatrice qui lui a donné naissance.

Que de tels systèmes engendrent leurs propres contenus à partir de leurs formes et puissent ainsi englober un nombre d’éléments en rapport direct avec la richesse de leurs propriétés, cela se reconnaît au fait que tout « être » mathématique, au lieu de reposer en fin de compte sur un contenu extralogique, comme les êtres physiques, est toujours à la fois un contenu par rapport aux formes qui l’englobent et une forme par rapport à des contenus de rangs inférieurs que l’on peut engendrer en son intérieur. C’est ainsi que les nombres entiers positifs et négatifs constituent des contenus par rapport aux formes générales n + 1 et n − n’, mais ils consistent par ailleurs et simultanément en formes, puisque, contrairement à l’individu physique correspondant au type 0 d’une suite d’emboîtements et ne pouvant donc pas être subdivisé (sinon par des opérations infralogiques donc non composables avec ces emboîtements ³), l’unité arithmétique I peut être subdivisée en une infinité de nombres fractionnaires, rationnels et irrationnels. Dès cet exemple banal, on voit donc qu’une généralisation logico-mathématique, lorsqu’elle n’est pas appliquée à des objets extérieurs, mais qu’elle fonctionne [p. 217] à l’état pur, revient à « engendrer » de nouveaux contenus grâce à des formes opératives, et non pas à « retrouver », en des ensembles de plus en plus larges d’objets donnés, des propriétés également données, tous deux consistant donc en contenus « extralogiques » en extension et en compréhension. Il en va a fortiori de même dans le cas des nombres réels R engendrés par les « formes » multiplicatives, des nombres imaginaires construits grâce aux formes factorielles (inverses), des transfinis dus aux formes de correspondances et de types d’ordre, etc.

La conclusion de ce qui précède est donc qu’il existe deux types de généralisations, selon que celle-ci porte sur des contenus extralogiques ou sur des êtres de pensée qui sont à la fois des contenus et des formes selon leurs rapports hiérarchiques : dans le cas des contenus extralogiques, propres aux systèmes faiblement structurés, la généralisation ne peut être qu’extensionnelle, tandis que dans le second cas elle engendre elle-même ses contenus et peut être de ce fait taxée de constructrice ou « constructive ».

Le problème est alors de situer les généralisations physiques par rapport à la bipolarité précédente. Celle-ci n’a été examinée jusqu’ici que du seul point de vue des structures logico-mathématiques, à partir des plus faibles (classifications naturelles) puis dans la direction de plus fortes. Or, sur le terrain des raisonnements expérimentaux et des généralisations du physicien, on retrouve cette même bipolarité et cela est d’un grand intérêt, car la physique la plus mathématique et la plus théorique a toujours besoin, en tant qu’elle désire correspondre à la réalité, de se référer tôt ou tard à des faits expérimentaux, donc à des contenus extralogiques. Mais les rapports entre les contenus et les formes sont différents selon que celles-ci (autrement dit les structures opératoires logico-mathématiques utilisées par le physicien) sont simplement « appliquées » aux contenus objectaux, de manière à pouvoir les enregistrer par une assimilation adéquate, ou sont en plus « attribuées » à ces contenus, donc aux objets, dans le but de construire des modèles explicatifs, autrement dit d’atteindre la causalité au-delà des observables. En effet, cela revient en ce cas à enrichir les contenus extra-logiques [p. 218] au moyen de nouvelles formes : celles-ci deviennent donc en un sens elles aussi des contenus, mais logico-mathématiques et en partie engendrés par les formes et les procédures de généralisation en jeu dans les modèles construits.

À commencer par les opérations appliquées, il va de soi que la description d’un fait grâce à des mesures adéquates, et la formulation de la loi grâce à des calculs et à une élaboration symbolique, peuvent déjà donner lieu à une structuration plus ou moins poussée des classes et relations utilisées, comme nous l’avons vu sous (1) à propos de la sériation. Mais il ne s’agit là que du jeu et de la composition des opérations logico-mathématiques utilisées à ces fins d’application. Quant à savoir si les relations décrivant le fait sont répétables et si la loi à laquelle on a abouti est générale et surtout généralisable à un autre ensemble de phénomènes qui apparemment (ou intuitivement malgré certaines apparences contraires) semblent analogues, c’est là un tout autre problème, qui est celui dit de l’« induction » et qui consiste à confronter la « forme » trouvée avec un échantillon plus ou moins suffisant de contenus « extralogiques » (puisqu’il ne s’agit alors que de faits) : même si l’échantillonnage suppose de nouveaux calculs souvent très complexes, la question est en ce cas d’établir si la loi se vérifie bien pour « tous » les faits (avec fluctuations possibles) et il ne s’agit donc là que de généralisations extensionnelles.

Par contre, avec les modèles explicatifs, donc le passage de la légalité à la causalité, les opérations alors attribuées aux objets engendrent de nouveaux contenus formels consistant en coordinations inférentielles qui complètent les observables mais en les dépassant, et qui tendent à rejoindre de nouveaux contenus extralogiques, mais cette fois seulement supposés et pour ainsi dire putatifs tout en demeurant sous la dépendance des formes opératoires du sujet. Les généralisations en jeu sont en ce cas nettement constructrices, malgré les contrôles expérimentaux nécessaires et bien que les contenus ainsi construits à partir des formes du sujet viennent s’insérer parmi les contenus extralogiques et en soient considérés (ce en quoi consiste précisément l’« attribution ») comme une partie essentielle. En un mot cela revient à dire qu’au plan de l’explication, la généralisation cesse d’être seulement extensionnelle et consiste avant tout à inventer [p. 219] de nouvelles notions unissant les faits connus à de nécessaires constructions déductives.

Un premier exemple instructif est celui de la table de Mendeleev qui, au départ, n’était qu’une classification, mais bien plus fortement structurée qu’une classification zoologique puisqu’elle pouvait reposer sur des données métriques (la suite des masses atomiques selon les modèles de nombres naturels et les périodicités selon des propriétés mesurables). Cette structuration interne des opérations, d’abord simplement « appliquées » aux contenus extralogiques a même été d’emblée assez forte pour permettre, à partir du tout et des relations entre les sous-systèmes, de calculer la nécessité d’éléments nouveaux devant remplir les cases vides : telle la case 88, ensuite occupée par le radium. Mais avec les modèles explicatifs de la physique quantique et de la théorie des électrons, de nouveaux contenus sont engendrés par ces formes, en fonction du nombre des électrons et de leurs trajectoires discontinues, d’où une explication des valences et de la périodicité. Or ces contenus construits déductivement se sont montrés si solides que l’on a pu, selon une voie expérimentale dictée par eux (adjonction de nouveaux électrons), fabriquer de nouveaux éléments au-delà de la case 92 (uranium), mais dont la radioactivité les rendait trop instables pour être observés dans la nature : il s’agit alors à la fois de contenus extralogiques, puisque ces éléments existent en dehors de nous, et de contenus engendrés par les formes logico-mathématiques, puisqu’on les a déduits à titre d’êtres de pensée avant de vérifier leur existence matérielle fugace !

Un autre exemple a été excellemment développé par l’un de nous : celui des généralisations dans le domaine des températures et de la chaleur montrant que la compréhension de ces phénomènes a été due à l’invention de nouveaux concepts et non pas seulement à l’extension dans l’enregistrement des observables. Pour la chaleur, le tournant décisif a été d’en faire une forme d’énergie correspondant à la perte d’énergie mécanique, et de renoncer ainsi aux essais infructueux de lui attribuer les caractères d’une substance. Il en résulte que le lien entre la théorie explicative qu’est la thermodynamique et les données d’expériences (mesures effectives des températures et des quantités de chaleur) passe par une série de concepts formalisés de [p. 220] signification mécanique, énergétique en général, etc., y compris les lois axiomatisées des gaz parfaits et le postulat que les gaz réels les admettent pour limite aux basses pressions. En ces conditions les « faits » cessent, comme dans l’expérience précédente, de constituer de purs contenus extralogiques pour s’insérer en des contenus déductifs engendrés par les formes logico-mathématiques elles-mêmes.

Dans les deux cas différents de généralisation que nous avons distingués, on se trouve tôt ou tard en présence de problèmes de différenciation et d’intégration. Lorsqu’une généralisation extensionnelle est mise en défaut par de nouveaux faits, il s’agit alors soit de différencier la loi en fonction de facteurs plus nombreux que prévus, soit de limiter la loi à un domaine restreint et d’en formuler une autre sur de nouveaux terrains : dans les deux cas, les constatations simplement légales devront alors faire place à un modèle causal chargé de concilier les différenciations imposées du dehors avec leur intégration en une nouvelle totalité. Dans le cas des généralisations constructives où les contenus sont engendrés par les formes, la situation est parallèle mais semble plus claire du fait que les nouveautés sont imaginées par le sujet : ou bien celui-ci introduit sans plus des variations au sein de caractères déjà admis (exemple les valeurs de n et de n’ dans l’opération n − n’ qui engendrera les nombres négatifs si n’ > n), ou bien il se livre à des adjonctions au système considéré jusque-là en le complétant par des opérations nouvelles (par exemple réunir deux groupes en un corps) et dans les deux cas il s’agit de coordonner la différenciation des nouveaux sous-systèmes avec l’intégration en une nouvelle totalité (Z succédant à N ou un corps à deux groupes).

Mais, à en rester aux généralisations constructives de type logico-mathématique, on doit d’abord constater que la distinction entre une adjonction et une variation interne est difficile à faire : évidente au point de vue axiomatique, elle perd de sa consistance au point de vue psychogénétique, car l’examen de l’abstraction réfléchissante montre qu’en bien des cas ce qui paraît ajouté du dehors est préparé par des variations déjà en jeu dans le système antérieur. Ce qui est plus intéressant qu’une [p. 221] telle opposition est alors la détermination des caractères généraux. Or, la variation introduit des valeurs en (+) et en (−) qui sont les négations les unes des autres, tandis que l’adjonction consiste à relier à un système de caractères a, b, c, etc. une opération ou une structure différentes, c’est-à-dire de caractère non-a ou non-b, etc. tout en conservant certaines propriétés communes. Dans les deux cas il s’agit donc d’une coordination entre caractères positifs et négations, et en certains cas où la distinction entre variations internes et adjonctions extérieures est particulièrement malaisée, on constate que la généralisation a consisté essentiellement à nier dans le nouveau système une propriété qui paraissait fondamentale dans la structure antérieure : exemple les algèbres non commutatives ou le passage de √n à √− n, etc.

Cela dit, on peut concevoir sous l’angle de la négation, la différenciation et l’intégration comme des sortes d’opérations réciproques ou plus précisément converses : la différenciation consiste à introduire en un tout des négations partielles, génératrices de sous-systèmes, et cela en conservant les caractères positifs du tout ; l’intégration consiste à réunir en un tout, caractérisé par des propriétés positives communes, des systèmes jusque-là indépendants ou considérés comme tels et dont les caractères différentiels sont générateurs de négations partielles conservant par ailleurs leurs aspects positifs. Tout cela est entièrement trivial du point de vue formel, mais ne l’est ni sous l’angle psychogénétique (difficultés à coordonner les additions et soustractions dans la quantification de l’inclusion, etc.), ni même dans la perspective historique (construction tardive des nombres négatifs, etc.). On comprend alors la nature particulièrement délicate de l’équilibration entre la différenciation et l’intégration : tandis que l’équilibre entre un schème du sujet et les objets correspondants, ou entre sous-systèmes de même rang, ne revient qu’à concilier les caractères communs et les différences, le jeu des affirmations et négations pouvant demeurer implicite, tout équilibre entre un tout et ses parties suppose, en tant que faisant intervenir des rapports hiérarchiques, un réglage plus ou moins explicite des affirmations et négations, et en particulier des opérations directes et inverses ; d’où les situations si souvent observées où les différenciations ne sont pas suivies par [p. 222] les intégrations nécessaires, ou bien où les assimilations intégratrices sont déformantes faute de différenciations suffisantes. En effet, chacun de ces deux processus aboutit à l’autre comme une relation à sa converse, mais on sait assez, lors de la construction des sériations, la difficulté des jeunes sujets à comprendre que la série ascendante (différences croissantes <, <, etc.) équivaut entièrement à la série décroissante (>, >, etc.). Lorsque le sujet commence par l’un des deux processus différenciateur ou intégrateur sans le compléter par l’autre, le risque est donc que le premier disloque le tout ou que le second déforme les parties.

De façon générale, le fait essentiel est que l’équilibration de la différenciation et de l’intégration conduit à la formation d’une nouvelle totalité, caractérisée par la compensation entière des caractères positifs et des négations, et c’est en quoi cet équilibre est constitutif des généralisations constructives. Même lorsque la synthèse des caractères communs et des différences peut sembler précocement achevée, comme c’est le cas des classifications hiérarchiques préopératoires (collections non figurales mais sans quantification de l’inclusion), il suffit de questionner le sujet sur les relations entre le tout et les parties pour ébranler cet équilibre apparent et l’on voit alors les raisons rendant nécessaire une nouvelle structuration. A fortiori, lorsqu’il ne s’agit plus simplement de ressemblances et différences en compréhension, mais que tous les contenus doivent être quantifiés, chaque différenciation ou intégration nouvelle exige la restructuration de la totalité avec ses lois propres de composition, mais sous une forme plus riche et plus complexe qu’auparavant. Réciproquement, lorsque les négations ne sont pas imposées du dehors, comme cela reste le cas dans les généralisations extensionnelles et, en partie, dans les modèles physiques explicatifs, c’est cette nécessité d’une continuelle reconstruction des totalités, avec un réglage obligé des négations comme des affirmations, qui explique comment les diverses formes de généralisations constructives parviennent à engendrer leurs propres contenus.