La tour Eiffel
www.tour.eiffel.fr
Cette activité permet de travailler la proportionnalité entre masse et volume, en particulier quand l’objet a une dimension privilégiée. Elle conduit en outre à constater l’impossibilité de construire des modèles fidèles.
Discipline
Mathématiques et physique
Objectifs péfagogiques (PER)
MSN 23: Résoudre des problèmes additifs et multiplicatifs
MSN 31: Poser et résoudre des problèmes pour modéliser le plan et l'espace
MSN 33: Résoudre des problèmes numériques et algébriques
MSN 34: Mobiliser la mesure pour comparer des grandeurs
MSN 35: Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques
Degrés concernés
10e- 11e HarmoS (13 -14 ans)
Enoncé destiné aux élèves
Quelle est la masse d’un modèle en acier de la Tour Eiffel haut de 30cm ?
Données (éventuellement laisser chercher les données aux élèves): la tour Eiffel mesure 324 m et sa masse est de 7300 tonnes.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tour_Eiffel
Matériel
Pouvoir montrer un modèle concret de la tour Eiffel est un plus pour le déroulement en classe. A défaut, on peut trouver plusieurs photos de modèles sur internet.
http://french.alibaba.com/products/eiffel-tower-model.html
Durée de l'activité
45 minutes
Commentaires didactiques
La tour Eiffel a une dimension privilégiée : sa hauteur. Dans le cas présent, du réel au modèle on passe d’environ 300 m à 30 cm ce qui correspond à un rapport de réduction de 1 000. La prégnance de la hauteur conduit souvent à une résolution un peu « naïve » du problème en réduisant la masse dans le même rapport. Cette résolution amène à trouver que le modèle a une masse de 7,3 tonnes ! Lors d’une première étape en travail individuel, généralement plusieurs élèves de la classe font ce raisonnement, qu’ils invalident majoritairement par l’énormité du résultat. Ils sont donc conduits à réajuster leur démarche.
Selon le niveau, un travail en groupe peut être nécessaire pour permettre à toute la classe de se convaincre qu’il y a une erreur. Si aucun élève dans la classe ne s’étonne devant ce résultat de 7,3 tonnes, l’enseignant peut rappeler que 1 tonne = 1 000 kg et que 1 tonne est l’ordre de grandeur de la masse d’une voiture.
La suite du travail de groupe doit permettre aux élèves de trouver que ce n’est pas seulement la hauteur qui doit être été réduite de 1 000 fois, mais aussi la largeur et la longueur de la tour Eiffel. Le calcul donne alors assez facilement … 7,3 g. Toutefois des difficultés peuvent survenir lors des changements d’unités et des grands nombres en jeu. Cela peut être l’occasion de travailler l’écriture scientifique des nombres.
A ce point, il faut faire à nouveau appel au sens critique des élèves pour réaliser que cette masse de 7,3 g est beaucoup trop petite pour un objet en acier mesurant 30 cm de hauteur. Eventuellement des poids marqués peuvent faire constater aux élèves que 7 g est vraiment une petite masse. Ce peut être alors le bon moment de remettre les élèves en groupe classe pour mener une discussion sur ce résultat.
La suite du travail va consister à comprendre pourquoi un simple calcul de proportionnalité conduit à un résultat impossible. Il ne s’agit plus ici seulement de validité mathématique mais aussi de prendre en compte des contraintes conjointes de construction de la vraie tour Eiffel et d’un modèle réduit. La découverte de l’explication peut être favorisée par une observation fine du modèle et de la tour Eiffel réelle (si vous ne pouvez pas aller à Paris avec votre classe, des images prises sur internet peuvent faire l’affaire). Le modèle est beaucoup plus grossier que son original. En effet, les poutrelles de la tour Eiffel ont une épaisseur de quelques dizaines de centimètres ce qui, réduit 1 000 fois, donne moins d’un millimètre : il n’est donc pas possible pour des questions de faisabilité (rigidité) de construire un modèle à l’échelle. Les poutrelles dans le modèle ne peuvent pas être toutes représentées et celles qui le sont seront reproduites à une échelle moins fine.
La grandeur physique qui permet de prendre en compte cette caractéristique de la tour Eiffel est le néoconcept d’ « aérianité », défini comme le rapport du volume réel à l’espace occupé. En considérant la tour Eiffel comme une pyramide de base carrée de 100 m de côté (en réalité l’emprise au sol est un carré de 124 m de côté http://fr.wikipedia.org/wiki/Tour_Eiffel), l’espace occupé se calcule par la formule du volume d'une pyramide, à savoir approximativement 100 x 100 x 300 /3, ce qui donne un volume de l'ordre de grandeur de 1 million. Quant à son volume réel, on peut le calculer à partir de sa masse et de la masse volumique de l’acier, ce qui donne approximativement 7 300 000 kg / 8 000 kgm-3 = 900 m3. Son « aérianité » est donc de 1/1 000, autrement dit seulement le millième de l’espace qu’elle occupe est de l’acier et le reste c’est de l’air !
Référent
- Laura Weiss
- Weiss L. (2012) Les modèles réduits : comment des considérations sur la masse d’un objet permettent d’approfondir la réflexion sur la proportionnalité. Math-École 218, 24-27, février 2012.
- http://www.ssrdm.ch/mathecole/218/Mathecole218.pdf
- Weiss L. (2012) Question 1: The Eiffel Tower. Fermi Questions by Larry Weinstein. The physics teacher Vol. 50, 272. September 2012.
- http://scitation.aip.org/journals/doc/PHTEAH-home/fermi/sep2012.pdf