Le groupement additif des relations asymétriques (sériation qualitative) et ses rapports avec le groupement additif des classes (1941) ^a 🔗

Soit 0 a→ A ; A a’→ A’ ; A’ b’→ B’ ; … une suite de relations asymétriques, transitives et connexes exprimant une série quelconque de différences (par exemple les rapports donnés entre des perceptions de grandeurs, au cas où les termes A, A’, B’ … sont tous ≷ les uns par rapport aux autres). Les converses en seront A ←a 0 ; A’ ←a’ A ; B’ ←b’ A’…

Nous écrirons (0 a→ A) + (A a’→ A’) = (0 b→ A’) en attribuant à cette opération la signification de : « si j’ajoute la différence a’, existant entre A et A’, à la différence a, existant entre 0 et A, j’obtiens la différence b > a existant entre 0 et A’ ». Nous conférons un sens à − (A a’→ A’) : « je soustrais la différence a’→ ». Par exemple (0 b→ A’) − (A a’→ A’) = (0 a→ A). Nous posons en outre que la soustraction d’une différence équivaut à l’addition de la relation converse, soit − a’→ = + a’←. Par exemple (A a’b’→ B’) + (B’ ←a’ A’) = (A a’→ A’). Nous écrivons alors les équations de définitions :

(0 a→ A) + (A a’→ A’) = (0 b→ A’) ;

(0 b→ A’) + (A’ b’→ B’) = (0 c→ B’) ; …, etc. (0)

et les identités :

(A a’→ A’) = (A a’→ A’)

et

(A a’→ A’) − (A a’→ A’) = (A 0→ A) (0’)

où (A 0→ A) signifie : « il n’y a pas de différence entre A et A ».

Toutes les équations vraies portant sur un système de relations asymétriques emboîtées forment un groupement.

En effet, l’opération directe sera l’addition d’une équation (0) ou (0’) de signe +. L’opération inverse sera la soustraction de la même équation (par exemple − a→ − a’→ = − b→) ou, ce qui revient au même, l’addition de l’équation formée des relations converses (par exemple ←a + ←a’ = + ←b). L’identique générale sera l’équation 0→ + 0→ = 0→, c’est-à-dire l’addition [p. 119] (ou la soustraction) des relations de différence nulle. Les identiques spéciales sont constituées par la tautologie a→ + a→ = a→ et la résorption a→ + b→ = b→. Enfin toute suite homogène (= formée uniquement d’équations 0 et 0’) est « immédiatement » associative et les suites hétérogènes (= contenant au moins une équation tautologique) de façon « médiate ».

Les règles de calcul sont les mêmes que pour l’addition des classes (théor. I et II, loc. cit.).

Nous appellerons « série qualitative » toute série de relations groupée selon le mode précédent et « classification qualitative simple » tout système de classes groupées sur le mode A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc. Une classification « complète » sera celle dont chaque classe secondaire A’ B’ C’… contient une classification simple poussée jusqu’au terme d’ordre correspondant (la classe A’ peut contenir des sous-classes d’ordre A ; la classe B’ des sous-classes d’ordre A et B ; C’ des sous-classes d’ordre A, B et C, etc.) ². Nous appellerons, d’autre part, « substitution partielle » une substitution déterminée entre les termes A, A’, B’, C’… dans une série ou une classification simple, et « substitution généralisée » l’opération consistant à remplacer par A n’importe quelle classe secondaire A’ B’ C’… d’une classification simple ou par a→ A n’importe quelle relation a’→ A ; b’→ B’ ; c’→ C ; … d’une série qualitative. Enfin, nous dirons que deux classifications ou deux séries qualitatives sont différentes si les termes (ou les relations) primaires A, B, C… (ou a’→ ; b’→ ; c’→ …) qui les composent ne sont pas inconditionnellement substituables à égalité d’ordre.

Toute substitution partielle entre les classes d’une classification qualitative simple transforme celle-ci en une autre classification qualitative simple ; et toute substitution [p. 120] partielle entre les termes d’une série qualitative transforme celle-ci en une autre série de même forme mais qualitativement différente.

En effet, il va de soi que dans une classification simple A₁ + A’₁ = B₁ ; B₁ + B’₁ = C₁ ; … si l’on permute par exemple A₁ et B₁, on peut toujours construire une classe A₂ formée de B₁ et une classe B₂ formée de A₁, mais alors les classes A₂ et A₁ ; B₂ (= A₂ + A’₁) et B₁ (= A₁ + A’₁) ne seront plus identiques, pas plus que les classes C₂ (= B₂ + B’₂) et C₁ (B₁ + B’₁). La classification change donc de signification qualitative, mais ce sera à nouveau une classification simple.

D’autre part, si l’on permute deux ou plusieurs termes d’une série qualitative (par exemple X a’→ Y permutés en Y a’→ X), il est évident qu’on détruit la série initiale. Mais on peut toujours concevoir une autre série de relations qualitatives qui conserve le nouvel ordre, ne fût-ce que celle constituée par l’« ordre de désignation ». Seulement, même à s’en tenir à celle-ci, l’ordre Y a’→ X caractérise une série qualitativement différente de l’ordre X a’→ Y.

Si l’on a A + A’ = B, alors on a A + B = B et A’ + B = B, c’est-à-dire que les classes A et A’ sont « co-incluses » en B. D’autre part, si nous appelons A₁ une classe A et A’ la classe A₁ = B − A₁, nous pouvons transformer en A₂ cette classe A (ou une partie de A’) et en A’ la classe A₁ (ou B − A₂) : nous dénommerons « substitution complémentaire » ou « vicariance » la transformation A₁ + A’ = A₂ + A’ qui laisse invariante la classe B. Nous dirons alors que A et A’ sont équivalents en B, si A et A’ sont simultanément co-inclus en B et vicariants. Nous écrirons cette équivalence qualitative A B= A’. On a de même B C= C ; C D= C’ ; etc.

L’identité logique est alors l’équivalence par rapport à soi-même, soit A A= A.

Les relations a→ et a’→ d’une série qualitative ne sont pas équivalentes, car, si elles sont co-incluses en b→, elles ne sont pas vicariantes. Le groupement des relations asymétriques [p. 121] consiste donc à sérier des « différences » (bien que le signe = de l’équation a→ + a’→ = b→ marque l’identité) et celui des classes à réunir des termes « équivalents » (bien que les classes primaires A, B, C, D… ne soient pas équivalentes entre elles). D’où le :

On ne peut pas réunir en un même groupement le groupement additif des classes et celui des relations asymétriques transitives, quoique à chaque classification qualitative simple corresponde une série qualitative des classes primaires A, B, C … et une série qualitative formée de la classe primaire initiale et des classes secondaires, soit A, A’, B’, C’… ; et quoique à chaque série qualitative corresponde une classification simple qui conserve cette sériation.

En effet, les classes primaires A, B, C… étant incluses chacune en la suivante, et la relation d’inclusion étant elle-même asymétrique et transitive, leur suite constitue toujours une série qualitative. Quant aux classes secondaires, A’ étant incluse en B, B’ en C, etc., les classes A, A’, B’, C’… constituent également une série déterminée par la suite des classes primaires.

D’autre part, lorsqu’une suite quelconque de termes α ; α’ ; β ; β’ ; etc. soutiennent entre eux les relations d’une série également quelconque, il est toujours possible de construire une classe A formée du terme a, une classe A’ formée de a’, une classe B formée de α + α’ ; une classe B’ formée de β’ ; une classe C formée de α + α’ + β’ …, etc.

On peut donc établir une correspondance bi-univoque entre n’importe quelle opération du groupement des relations et une opération du groupement des classes, et réciproquement. On peut par conséquent déterminer les transformations possibles d’un système de classes au moyen des relations d’ordre de la série des classes élémentaires A, A’, B’, … ou déterminer les relations d’une série d’après les emboîtements des classes initiales formées des termes de ces relations.

Néanmoins, il ne s’agit là que d’une correspondance qualitative entre les opérations des deux groupements et non pas de leur fusion en un seul groupement. En effet : 1° Les classes A [p. 122] et A’ sont équivalentes en tant que B parce que vicariantes, tandis que les relations a→ et a’→ ne le sont pas en b→, puisque changer leur ordre revient à changer b→. 2° Si les classes A’ B’ C’… ne sont pas singulières, on peut les subdiviser en sous-classes et transformer ainsi la classification « simple » en classification « complète ». Au contraire la subdivision d’une relation a’→ ; b’→ ; c’→ ; etc. ne donne pas de relations d’ordre a→ ; b→ ; etc. Un système de classes est donc une hiérarchie comportant autant de classifications simples possibles qu’il y a d’éléments dans les classes secondaires du groupement principal, tandis qu’une série de relations asymétriques peut être subdivisée en autant de segments qu’on le voudra, sans cesser de constituer la même série. 3° D’autre part, les qualités qui définissent les classes d’une classification simple ne sont pas toutes sériables, c’est-à-dire que les différences a et a’ ne donnent pas nécessairement a + a’ = b > a, et les sériations possibles de ces classes n’expriment qu’une partie de leur définition. L’opération A + A’ = B ne laisse donc pas réduire à l’opération a→ + a’→ = b→, ni l’inverse, et ces deux opérations caractérisent ainsi deux groupements distincts dont le premier porte sur la réunion des termes eux-mêmes, considérés dans leurs équivalences, et dont le second porte sur la réunion des différences données entre les termes, abstraction faite de leurs équivalences.