Préface. Recherches sur la compréhension des règles algébriques chez l’enfant (1956) ^a

Le problème de la compréhension des règles algébriques, bien qu’intéressant directement la pédagogie des mathématiques, dépasse largement les frontières d’un tel domaine et rejoint en réalité les questions les plus centrales de la psychologie de l’intelligence en général.

La leçon proprement pédagogique qui se dégage de l’ouvrage de M^lle L. Müller suffit déjà à le faire pressentir. Pour que l’élève, parvenu au niveau de l’enseignement de l’algèbre, comprenne réellement la « règle des signes » à titre de mécanisme opératoire formel, il est indispensable que les opérations ne demeurent pas suspendues dans le vide, mais qu’elles s’appuient, en tant précisément qu’elles constituent des opérations, sur des actions concrètes susceptibles de leur conférer une signification (voir à cet égard p. 179-180 le procédé utilisé par M. Extermann dans son enseignement des débuts de l’algèbre). Or, ces actions ou opérations concrètes sont accessibles à l’enfant dès le niveau de 7-8 ans, c’est-à-dire bien avant les débuts de la structuration formelle requise par l’enseignement de l’algèbre ; et M^lle Müller insiste avec raison sur le fait que plus l’enfant aura manipulé les doubles inversions au cours de ce stade des opérations concrètes, mieux il comprendra plus tard le formalisme de l’algèbre. Une telle filiation entre les actions et les opérations, ainsi qu’entre les opérations concrètes et les opérations formelles montre déjà, à elle seule, combien la compréhension des règles algébriques tient à des mécanismes qui se manifestent au cours de toute l’évolution intellectuelle de l’enfant et non pas seulement au niveau de 14-15 ans.

La généralité de ces mécanismes tient à des raisons profondes qu’il importe de rappeler ici, car les pédagogues et même les psychologues oublient trop souvent que les règles algébriques élémentaires, et notamment celle dite des signes, ne constituent pas simplement un petit secteur des mathématiques (dont on imagine alors que l’on peut avoir ou ne pas avoir la compréhension ou la « bosse »), mais qu’elles correspondent à l’une des structures fondamentales de l’intelligence humaine.

Rappelons d’abord qu’au terme de son effort pour dégager l’« architecture » des mathématiques, l’école Bourbaki a montré la possibilité de reconstruire l’ensemble de celles-ci sur la base de trois « structures-mères » irréductibles ; les structures algébriques, dont le prototype est le groupe, les structures d’ordre, dont la forme courante est le réseau, et les structures topologiques (espace). Or, au niveau de ces structures fondamentales, les mathématiques ne font qu’un avec la logique, chacune de ces trois structures se retrouvant précisément dans les systèmes d’opérations logiques.

Cela étant, la question n’est plus alors que de décider si les structures logiques font partie de l’intelligence en actes, c’est-à-dire caractérisent les coordinations générales de l’action, ou si elles ne constituent qu’un produit linguistique et culturel, se transmettant d’une génération à la suivante par l’intermédiaire du langage seul. Or, tout ce que nous savons aujourd’hui du développement de la logique chez l’enfant nous montre précisément que la logique correspond aux mécanismes fondamentaux de l’intelligence elle-même, dès les coordinations de l’action, et que les opérations formalisées représentent, même sous leur forme symbolique ou verbale, le terme d’une longue structuration au cours de laquelle les actions concrètes jouent un rôle essentiel avant de pouvoir s’intérioriser en opérations proprement dites. Nous avons insisté ailleurs ¹ sur le fait que, d’un tel point de vue, les trois structures-mères des Bourbaki sont en réalité des structures « naturelles », dont on peut suivre pas à pas l’évolution à partir de formes particulières élémentaires dans les opérations de la logique des classes, de la logique des relations et dans les structurations topologiques de l’enfant.

On comprend alors pourquoi la question de la compréhension des règles algébriques chez l’enfant rejoint en réalité tous les problèmes de la logique et de l’intelligence en formation. Par exemple, la « règle des signes », si spéciale semble-t-elle (puisque la majorité des adultes cultivés en ont oublié l’usage, sous sa forme technique et spécifiquement algébrique), ne présente ce caractère de spécialisation que lorsqu’elle est formulée symboliquement : (− x) × (− y) = + xy. En fait, elle dérive de l’une des lois les plus générales de la logique bivalente, à savoir la double négation : « non (non p) = p » (soit : « il est faux que p soit faux » = « p est vrai »). Et cette loi générale participe elle-même de l’un des caractères les plus fondamentaux de l’intelligence, c’est-à-dire de sa réversibilité, qui est le pouvoir, une fois parcouru en pensée ou en action le chemin conduisant de A à B, de refaire le même chemin en sens inverse et de retrouver le point de départ inchangé.

Les intéressantes expériences de M^lle L. Müller permettent ainsi de suivre pas à pas les étapes de la compréhension de ces règles mystérieuses, ou, pour mieux dire, de ces règles que l’on enveloppe artificiellement de mystère dans la seule mesure où l’on détache arbitrairement leur point d’arrivée symbolique de l’ensemble des démarches opératoires et des actions réelles qui ont permis leur constitution. Il faut savoir gré à l’auteur d’avoir ajouté une série de faits nouveaux et consciencieusement établis à ce que nous savions déjà des étapes de la structuration logico-mathématique de l’intelligence de l’enfant.

Outre leur intérêt théorique, ces faits apportent une contribution précieuse à la pédagogie, toujours si discutée, de l’enseignement mathématique. Si vraiment les mathématiques se trouvent reliées, par une continuité complète, à la logique, et si vraiment la logique procède des lois de l’intelligence en actes et pas seulement du langage, alors il faut avouer que le problème des meilleures méthodes didactiques propres à une telle branche du savoir n’est pas encore résolu, étant donné le nombre d’élèves intelligents et d’adultes respectueux de la logique qui ne comprennent rien, ou croient ne rien comprendre, à cette science universelle. La raison en est peut-être que les mathématiciens de formation, parmi lesquels se recrutent les professeurs de mathématiques, ne se sont pas suffisamment penchés sur la question de la genèse psychologique des structures formelles. Épris de formalisme, ils se méfient de l’action et de ses schèmes opératoires, sans voir que la meilleure préparation à l’exercice des opérations formelles est la construction d’une solide substructure d’opérations concrètes en dehors de laquelle le formalisme perd toute signification. Ou bien, au contraire, désireux de faciliter la tâche des élèves, ils recourent à l’« intuition » sans voir que ce mot équivoque peut recouvrir plusieurs sens, les uns relatifs à la simple perception des configurations ou à la simple lecture d’expériences physiques, les autres (les seuls féconds au point de vue psycho-pédagogique) se rapportant non pas aux objets comme tels, mais bien aux actions ou aux opérations que le sujet effectue sur ces objets. Le jour où les éducateurs tireront parti des relations psychologiques existant entre l’action et les opérations, ainsi qu’entre les structures opératoires concrètes et les structures formelles, ce jour-là le succès des élèves en mathématiques sera réellement fonction de leur niveau intellectuel général et non plus seulement de cette aptitude particulière qu’est la compréhension du langage symbolique utilisé entre eux par les mathématiciens (à supposer que le mot aptitude ait ici un sens et ne soit pas lui-même de nature symbolique).