Les structures mathématiques et les structures opératoires de l’intelligence (1955) ^{1 a} 🔗

Qu’on se place au point de vue pratique du pédagogue chargé d’enseigner les vérités mathématiques ou au point de vue théorique de l’épistémologiste réfléchissant sur la nature des êtres mathématiques, le problème central semble être dans les deux cas de savoir si les connexions mathématiques sont engendrées par l’activité de l’intelligence ou si celle-ci découvre celles-là comme une réalité extérieure et toute faite. Or, ce problème, aussi ancien que la philosophie occidentale, peut aujourd’hui être posé en termes de psychologie et même de psychologie de l’enfant : c’est entre autres à l’étude du développement mental de nous montrer si le jeu des actions du sujet, puis des opérations de la pensée, suffit à expliquer la construction des êtres mathématiques, ou si ceux-ci sont découverts du dehors, comme le sont les êtres physiques avec leurs propriétés objectives, et comme le sont aussi ces sortes d’êtres idéaux constitués par les syntagmes du langage imposé à l’individu par le groupe social dont il fait partie (et l’on sait assez que la comparaison entre les êtres logico-mathématiques et les liaisons linguistiques est [p. 12] soutenue par un grand nombre de logisticiens, que leur préoccupation dernière soit de nature conventionnaliste ou de nature platonicienne).

Or, si les méthodes d’approche de ce problème éternel peuvent être rajeunies par l’appel à la psychologie génétique, les termes mêmes du problème ont été récemment renouvelés par les perspectives ouvertes, grâce aux Bourbaki, sur l’architecture des mathématiques et par le rôle fondamental attribué dans ces travaux à la notion de « structure ».

À la base de l’édifice des mathématiques, on a longtemps cherché quelques natures simples, imaginées sur un mode plus ou moins atomistique. C’étaient les nombres entiers, que Kronecker attribuait à Dieu lui-même par opposition à toutes les autres variétés numériques, relevant de la fabrication humaine. C’étaient le point, la ligne, etc., dont les compositions engendraient l’espace. Mais c’étaient toujours des êtres donnés en eux-mêmes, que l’esprit était appelé soit à contempler soit à manipuler, selon que la réflexion n’avait point encore pris conscience du rôle des opérations ou qu’elle superposait celles-ci aux natures simples, comme les outils qu’un maçon utilise pour cimenter les matériaux donnés au préalable en vue de la construction d’un mur ou d’une maison.

Mais si les fondements consistent en « structures » et si la construction procède grâce à elles à la fois du simple au complexe et du général au particulier, les perspectives sont autres. Une structure telle que, par exemple, un « groupe » est un système opératoire : la question est alors de savoir si les éléments de nature très diverse auxquels s’applique la structure existent préalablement à celle-ci, c’est-à-dire ont une signification suffisante indépendamment d’elle, ou si c’est au contraire l’action de la structure — action non explicitée d’abord, parce que l’ordre de la prise de conscience renverse l’ordre de la genèse — qui confère aux éléments leurs propriétés essentielles. Plus précisément, le problème psychologique (et c’est le seul dont nous ayons à traiter) est d’établir si les êtres servant d’éléments aux structures constituent le produit d’opérations qui les engendrent ou s’ils préexistent aux opérations s’appliquant à eux après coup.

Or, les remaniements qu’entraine l’idée de structure dans le jeu des définitions et des démonstrations sont significatifs à cet égard. Au lieu de définir les éléments isolément, par convention, ou par construction, la définition structurale consiste à les caractériser par les relations opératoires qu’ils entretiennent entre eux en fonction du système. Et la définition structurale d’un élément tiendra lieu de démonstration de la [p. 13] nécessité de cet élément, en tant qu’il est posé comme appartenant à un système dont les parties sont interdépendantes. Ainsi un principe de totalité est donné dès le départ, et cette totalité est nécessairement de nature opératoire. Même en un système de pures relations comme les structures d’ordre, si le produit de deux relations est encore une relation, c’est que les relations sont coordonnées entre elles par des opérations de la logique des relations.

Non moins révélatrices sont les transformations introduites grâce à la notion de structure dans l’« architecture » des mathématiques, ce qui revient à dire dans l’ordre de construction ou de filiation des innombrables classes qu’il est possible de distinguer en ces êtres abstraits. On peut dire à cet égard que l’introduction des structures représente un progrès analogue à celui que l’anatomie comparée a réalisé en biologie, en substituant une classification fondée sur les connexions internes et génétiques à une classification se contentant des caractères extérieurs, en leurs discontinuités statiques. Partant de quelques structures fondamentales, la marche suivie consiste à les différencier, du général au particulier, et à les combiner entre elles, du simple au complexe : d’où une hiérarchie substituant aux anciens domaines juxtaposés une série de plans superposés selon ces deux modes de génération. Il s’ensuit à nouveau un principe de totalité subordonnant les éléments ou les classes d’éléments au dynamisme d’une construction proprement dite.

Notons encore le grand intérêt, pour la psychologie de la pensée mathématique, du mode de découverte des structures — et ceci nous ramène à notre alternative de départ de la continuité entre le travail de l’intelligence et la construction mathématique ou de l’extériorité d’êtres idéaux que l’esprit appréhenderait comme du dehors. Au premier abord, l’examen des démarches du mathématicien pour atteindre les structures fondamentales semble parler en faveur de la seconde de ces thèses : loin de les déduire d’emblée, il part d’analogies découvertes après coup entre les formes de raisonnement en jeu dans des domaines sans affinité apparente, puis, en quelque sorte inductivement, et comme l’on procède en présence de faits expérimentaux, et reconstitue les mécanismes communs jusqu’à dégager les lois les plus générales de la structure cherchée ; c’est alors seulement qu’intervient l’axiomatisation, puis l’exploitation, c’est-à-dire l’application de ces lois générales aux théories particulières par différenciation progressive. De plus, le passage des structures mères aux structures secondaires se fait par combinaison de structures multiples : ici encore cette combinaison n’est pas une déduction, car il faut faire intervenir à propos de chaque structure [p. 14] nouvelle de nouveaux axiomes pour pouvoir y intégrer de nouveaux éléments.

Mais cette démarche en quelque sorte inductive de la découverte des structures est au contraire très révélatrice des relations que soutiennent les structures avec les éléments divers qu’elles ordonnent. Si, historiquement, ces éléments semblent donnés antérieurement à la découverte de la structure, et si cette dernière joue ainsi essentiellement le rôle d’un instrument réflexif destiné à dégager leurs caractères les plus généraux, il ne faut pas oublier que, psychologiquement, l’ordre de la prise de conscience renverse celui de la genèse : ce qui est premier dans l’ordre de la construction apparaît en dernier à l’analyse réflexive, parce que le sujet prend conscience des résultats de la construction mentale avant d’en atteindre les mécanismes intimes ². Loin de constituer un argument décisif en faveur de l’indépendance des « structures » par rapport au travail de l’intelligence, leur découverte tardive et quasi inductive tendrait donc au contraire à faire soupçonner leur caractère primitif et générateur. Mais si ce qui est fondamental apparaît au terme de l’analyse, la réciproque n’est pas nécessairement vraie et le problème reste donc ouvert de dégager les connexions éventuelles entre les structures mères de l’édifice mathématique et les structures opératoires que l’étude du développement mental permet de considérer comme constitutives de la construction logico-mathématique. C’est ce qu’il s’agit d’examiner maintenant sur le terrain de la psychogénèse.

Les trois structures fondamentales sur lesquelles repose l’édifice mathématique, selon les Bourbaki, seraient les structures algébriques, dont le prototype est le « groupe », les structures d’ordre, dont une variété couramment utilisée aujourd’hui (avec excès d’ailleurs en certains cas) est le « réseau », et les structures topologiques. Ce nombre de trois n’est au reste pas exhaustif, et le développement des mathématiques pourrait conduire à l’augmenter. Mais, en l’état actuel des connaissances, ces trois structures se trouvent seules irréductibles les unes aux autres, et jouent ainsi le rôle de structures mères.

Or, il est du plus haut intérêt de constater que, si l’on cherche à retracer jusqu’en ses racines le développement psychologique des opérations arithmétiques et géométriques spontanées de l’enfant, et surtout des opérations logiques qui en constituent les conditions nécessaires [p. 15] préalables, on retrouve à toutes les étapes, d’abord une tendance fondamentale à l’organisation de totalités ou de systèmes, en dehors desquels les éléments n’ont pas de signification ni même d’existence, et ensuite une répartition de ces systèmes d’ensemble selon trois sortes de propriétés qui correspondent précisément à celles des structures algébriques, des structures d’ordre et des structures topologiques. C’est ce que nous allons tenter de, montrer en les examinant une à une, pour dégager ensuite la leçon générale que cette convergence comporte.

Il convient d’abord de rappeler que la notion de structure est devenue depuis quelques décades, et indépendamment de l’évolution récente des mathématiques, l’une des notions courantes de la psychologie des fonctions cognitives (perception et intelligence). Dans les domaines les plus divers, les psychologues ont été conduits à admettre que la marche « naturelle » de l’esprit, qui consiste à chercher les éléments antérieurement aux totalités et à engendrer celles-ci par la composition de ceux-là, reposait sur des analogies trompeuses avec la fabrication matérielle. Sur le terrain de la perception, en particulier, où les actions de champ sont faciles à analyser expérimentalement, on en est venu à constater que les prétendus éléments sont toujours le produit d’une dissociation ou d’une ségrégation à l’intérieur d’une totalité préalable et qu’aucune relation particulière ne saurait être dégagée sans procéder dès le départ des caractères structuraux d’ensemble.

Sur le terrain spécial de l’intelligence, qui seul nous intéresse ici, ce rôle des totalités est aussi constant, mais celles-ci présentent une autre forme que dans le domaine perceptif. L’intelligence apparaît essentiellement, en effet, comme une coordination des actions. Ces dernières sont d’abord simplement matérielles ou sensori-motrices (c’est-à-dire sans intervention de la fonction symbolique ni de la représentation), mais, déjà alors, elles s’organisent en schèmes qui comportent certaines structures de totalité. Puis, avec l’aide de la fonction symbolique et notamment des images mentales et du langage, les actions s’intériorisent progressivement, et, après une phase plus ou moins longue de transition entre l’acte matériel et la représentation (période que nous appellerons de la pensée préopératoire, entre 2 et 7-8 ans), elles se constituent en « opérations » proprement dites et présentent alors sous une forme typique les structures d’ensemble caractéristiques de l’intelligence.

[p. 16] Pour comprendre la nature de ces structures opératoires, il faut partir du fait fondamental que, contrairement aux processus perceptifs qui sont irréversibles, parce que reposant sur un mode de composition probabiliste, l’intelligence s’oriente dès le départ vers une réversibilité qui augmente sans cesse d’importance au cours du développement. Sans doute les actions sensori-motrices initiales sont-elles encore irréversibles parce que dirigées à sens unique vers le but pratique qu’il s’agit d’atteindre. Mais dès la coordination des schèmes sensori-moteurs l’intelligence devient capable d’une certaine mobilité se marquant par des détours et des retours et l’on voit alors poindre un début de réversibilité plus ou moins systématique qui se retrouvera sur le plan des représentations. Sur ce nouveau plan, la réversibilité est d’ailleurs loin de s’imposer immédiatement. Durant toute la phase préopératoire, le sujet raisonne sur les configurations plus que sur les transformations et il s’agit pour lui d’apprendre à penser ce qu’il est parvenu à faire en actions (par exemple de se représenter un système de déplacements alors qu’il a déjà appris à les effectuer matériellement). Aussi bien la représentation naissante présente-t-elle encore, durant toute cette phase importante de la petite enfance, une difficulté systématique à la réversibilité et par conséquent à la conservation des invariants élémentaires (longueurs, distances, ensembles discontinus, quantités physiques, etc.). Mais dès cette phase préopératoire, un jeu toujours plus dense de régulations conduit à une compensation progressive des erreurs dues à l’irréversibilité de départ et annonce ainsi la réversibilité opératoire.

L’apparition des premières opérations systématiques, vers 7-8 ans, marque donc l’arrivée à l’état d’équilibre vers lequel tendait la pensée durant la phase inchoative précédente et il faut bien comprendre cette relation d’équilibration progressive entre la phase préopératoire et la première période opératoire (de 7-8 à 11-12 ans), pour ne pas considérer celle-ci comme une sorte de commencement absolu. Les opérations naissantes, ainsi préparées par les coordinations sensori-motrices et par les régulations représentatives préopératoires, présentent alors les caractères suivants. Elles sont des actions proprement dites, prolongeant les actions matérielles antérieures mais intériorisées en pensée grâce à la fonction symbolique. Elles sont essentiellement réversibles, c’est-à-dire que l’opération est une action pouvant se dérouler dans les deux sens et que la compréhension de l’un des sens entraîne ipso facto la compréhension de l’autre. Et surtout, elles sont dès le départ solidaires d’un système : il n’existe pas d’opération isolée, car une action isolée est à [p. 17] sens unique et n’est donc pas une opération. Une opération est ainsi nécessairement solidaire d’autres opérations et la nature même de l’opération tient à cette capacité de composition mobile et réversible à l’intérieur d’un système. Il y a donc structure opératoire dès qu’il y a opération et la structure d’ensemble n’est pas un produit après coup des compositions entre opérations préalables puisque l’action initialement irréversible ne devient opératoire et réversible qu’à l’intérieur d’une structure et sous l’effet de son organisation.

Notons encore, avant de pouvoir détailler les types de structure, que la réversibilité, constituant ainsi sans doute la loi fondamentale des compositions propres à l’intelligence, se présente dès le départ (donc dès les schèmes sensori-moteurs) sous deux formes complémentaires et irréductibles : l’inversion ou négation et la réciprocité. Lorsqu’un bébé de 10 à 12 mois, qui commence à organiser de façon systématique les déplacements dans son espace proche, a déplacé un objet de A en B, il peut annuler cette transformation par la transformation inverse en ramenant l’objet de B en A ce qui, au total, équivaut bien à un mouvement nul. Mais il peut aussi laisser l’objet en B et se déplacer lui-même de A en B, ce qui reproduira la situation initiale où l’objet était en face de son corps propre : en ce cas le mouvement de l’objet n’a point été annulé, mais simplement compensé par un déplacement réciproque du corps propre, ce qui constitue une autre transformation. Sans vouloir mettre en formules logistiques les conduites d’un bébé, notons cependant que cette différence essentielle entre la négation ou inversion et la réciprocité ou compensation constitue ainsi dès le départ deux formes essentielles de la réversibilité, que nous retrouverons côte à côte durant tout le développement et qui ne parviendront à une synthèse en un système unique qu’au niveau des opérations formelles après 11-12 ans, lorsque se constituera le groupe des quatre transformations interpropositionnelles (qui, pour reprendre cet exemple des déplacements, permettra à l’enfant, mais seulement alors, de coordonner en un même tout les déplacements selon deux systèmes de références à la fois, l’un mobile et l’autre fixe).

Nous voici donc en mesure de préciser en quel sens les trois structures fondamentales des Bourbaki correspondent à des structures élémentaires de l’intelligence, dont elles constituent le prolongement formalisé et non pas naturellement l’expression directe.

Les structures algébriques, et notamment celle de « groupe », correspondent aux mécanismes opératoires de l’intelligence régis par la première des deux formes de réversibilités, que nous avons appelée inversion ou négation (le produit d’une opération par son inverse étant alors l’opération identique ou transformation nulle).

Il convient d’insister fortement, à cet égard, sur le fait que, si tardive qu’ait été la découverte de la notion de groupe en tant qu’être mathématique (xix^e siècle), une telle structure exprime en réalité certains des mécanismes les plus caractéristiques de l’intelligence. Relevons, de ce point de vue, la signification de quatre des propriétés élémentaires du groupe : que le produit de deux éléments du groupe donne encore un élément du groupe, que toute opération directe corresponde à une et une seule opération inverse, qu’il existe ainsi une opération identique et que les compositions successives soient associatives. Exprimées en langage d’actions intelligentes, ces quatre propriétés signifient : (1) que la coordination de deux schèmes d’action constitue un nouveau schème s’ajoutant aux précédents ; (2) qu’une coordination peut à volonté se faire ou être supprimée, et plus simplement dit, qu’une action intelligente (opération) peut se dérouler dans les deux sens ; (3) que le retour au point de départ permet de retrouver celui-ci inchangé et (4) que le même point d’arrivée peut être atteint par des chemins différents sans être modifié par le chemin parcouru. D’une manière générale, le « groupe » est donc la traduction symbolique de certains des caractères fondamentaux de l’acte d’intelligence : la possibilité d’une coordination des actions, la possibilité des retours et celle des détours.

Mais il y a plus. Les transformations propres à un groupe sont toujours solidaires de certains invariants, d’où il résulte que la constitution d’un groupe va de pair avec la construction d’invariants qui s’y rapportent. Or, il en va exactement de même en ce qui concerne les formes d’organisation spontanées que se donne l’intelligence au cours de son développement : à l’irréversibilité initiale des actions correspond une absence de conservation et à la construction de structures réversibles correspond l’élaboration de notions de conservation relatives au domaine ainsi structuré.

C’est dès le niveau sensori-moteur que de tels processus peuvent être observés, par une sorte de préfiguration pratique (et liée à l’espace proche) de ce que seront les opérations sur le plan de la représentation [p. 19] ou de la pensée. C’est ainsi que durant les premiers mois de l’existence, les déplacements ne peuvent encore être organisés en un « groupe » parce que centrés sur le corps propre et composés selon certaines erreurs systématiques en fonction de cet égocentrisme ³ : à ce niveau il n’y a pas encore, non plus, d’objets permanents à trajectoire indépendante de l’action propre. Vers la fin de la première année, au contraire, il y a simultanément constitution de ce groupe expérimental des déplacements déjà invoqué par H. Poincaré (mais qu’il croyait inné alors qu’il constitue une forme d’équilibre finale de l’organisation sensori-motrice) et élaboration du schème de l’objet permanent (en fonction des localisations successives, ainsi que des détours et des retours).

Le développement de la pensée représentative, au cours de la phase préopératoire et au niveau des premières opérations concrètes (7 à 11 ans) donne lieu à un tableau analogue. Tant que l’emporte l’irréversibilité de la pensée, il ne saurait y avoir de notions de conservation même dans les domaines d’observation les plus simples (conservation d’un ensemble en cas de modification de la configuration des éléments ; conservation de l’équivalence entre deux ensembles correspondants lorsque les éléments, après avoir été en regard les uns des autres, ne présentent plus de correspondance optique ; conservation de l’égalité de longueurs de deux tiges rigides lorsque l’une est légèrement décalée par rapport à l’autre ; conservation de la distance entre deux éléments immobiles lorsque de nouveaux objets sont intercalés entre eux ; etc., etc.). Au contraire, la construction des premières structures représentatives réversibles, vers 7-8 ans, entraîne par le fait même l’élaboration des notions correspondantes de conservation.

Il est inutile de reproduire ici la description des nombreuses structures réversibles de type algébrique que nous avons signalées ailleurs dans l’élaboration, par l’enfant de 6-8 ans, des notions de nombre entier, de droites projective ou euclidienne, de mesure géométrique, de temps, etc. L’important est de rappeler que chacune de ces constructions suppose une élaboration logique préalable, participant entre autres de la logique des classes, et que les premières opérations de cette logique qui soient accessibles à l’enfant supposent également, pour se constituer, certaines structures de type algébrique non encore identiques au groupe, mais présentant cependant quelques-uns de ses caractères.

Prenons comme exemple l’inclusion d’une classe partielle A en une classe totale B. Rien ne parait plus simple à comprendre qu’un tel [p. 20] emboîtement, lorsque tous les éléments sont fournis simultanément dans le même champ perceptif (ainsi lorsque B = une collection visible de perles en bois, A = une partie de B formée de 20 perles brunes et A’ = une autre partie formée de 2 à 3 perles blanches). Cependant, il suffit de demander à l’enfant si le tout B est plus ou moins nombreux que la plus grande partie A (= « Y a-t-il ici plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? » etc.) pour apercevoir la complexité opératoire de cet emboîtement inclusif. Avant 7 ans en moyenne l’enfant répond que A l’emporte sur B et cela parce que, sitôt le tout B dissocié en parties, ce tout n’existe plus comme tel et ce qui reste de B n’est alors que l’autre partie A’ (« Il y a plus de brunes que de perles en bois parce qu’il reste seulement deux blanches » dira ainsi l’enfant tout en sachant que les brunes sont elles aussi en bois). Pour établir la relation A < B, l’enfant doit passer par l’opération réversible A + A’ = B, d’où A = B − A’ et A’ = B − A. C’est seulement une fois acquise cette réversibilité de l’addition et de la soustraction logiques des classes que le tout B se conserve indépendamment des subdivisions que l’on peut introduire en lui. En d’autres termes, l’inclusion de la partie dans le tout suppose elle-même une structure algébrique préalable.

En quoi consiste cette structure ? Sa forme la plus simple, que nous avons dénommée structure des « groupements » élémentaires, peut être illustrée par l’exemple de la classification ou groupement additif des classes. Ses opérations constitutives sont :

(1) A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ; etc.,

où toutes les classes de même rang sont disjointes (A × A’ = 0 ; B × B’ = 0 ; etc.).

(2) −A − A’ = −B, d’où A’ = B − A ; etc.

(3) A − A = 0.

(4) A + A = A (tautologie).

(5) Associativité limitée aux opérations non tautologiques :

(A + A’) + B’ = A + (A’ + B’)

mais

A + (A − A) ≠ (A + A) − A.

On reconnaît en cette structure certaines transformations communes avec le « groupe » telles que +A, −A et 0. Mais, d’une part, l’associativité est restreinte. D’autre part les transformations ne sont effectuées que de façon contiguë, c’est-à-dire en passant par la complémentarité sous la classe immédiatement supérieure. Ces deux limitations diminuent naturellement beaucoup la généralité de cette structure. Mais, du point de vue génétique, elle n’en présente pas moins un intérêt suffisant puisqu’elle atteste sans doute la nécessité de passer par une structure algébrique pour atteindre les plus simples des constructions logiques.

[p. 21] Notons d’ailleurs que certaines formes de la pensée scientifique en demeurent à des structures de ce type, par exemple la classification zoologique dans laquelle on retrouve chacun de ces caractères y compris la contiguïté (on ne peut dissocier deux classes quelconques, telles que le Chameau et le Lombric, pour en faire une nouvelle classe sans passer par une série de déboîtements du type : A’ + C’ = D − B’ ; etc.).

Nous verrons, d’autre part, que de telles structures constituent également, du point de vue des structures d’ordre, des réseaux incomplets puisque toutes les bornes inférieures entre classes de même rang sont nulles. Mais, du point de vue qui nous intéresse ici, qui est celui de la filiation des structures à partir des mécanismes du développement spontané de l’intelligence, il est d’autant plus précieux de trouver ainsi, en deçà des structures de portée générale, certaines formes inchoatives d’organisation qui, précisément parce qu’elles ont échappé à la formulation des logiciens et des mathématiciens, attestent leur caractère primitif.

Les structures d’ordre, auxquelles nous pouvons en venir maintenant, sont, nous dit-on, des structures de relations et non pas d’opérations : tel, par exemple, le « réseau » ou « lattice ». Mais encore faut-il s’entendre. Sans doute peut-on définir entièrement le réseau en termes de relations au lieu d’introduire les opérations + et × : en ce cas, on considère comme primitives les relations « x précède y » ou « y succède à x » au lieu de les tirer des opérations x × y = x et x + y = y. Mais même en ne considérant que les relations entre éléments semi-ordonnés, il reste que la transitivité « x précède y, y précède z, donc x précède z » consiste à enchaîner deux relations en une seule, ce que nous considérerons comme une opération additive mais portant sur des relations.

Mais le réseau n’est pas seulement une structure opératoire : il est par le fait même une structure réversible. Seulement — et c’est là le grand intérêt psychologique de tels systèmes — sa réversibilité n’est plus, sous sa forme générale, l’inversion ou négation (seules certaines variétés de réseaux distributifs sont complémentés de façon définie et possèdent ainsi des « éléments complémentaires de première et de deuxième espèces ») : la réversibilité générale propre au réseau est la « réciprocité ». En effet, le réseau comporte une loi de dualité qui consiste à permuter les × et les +, ainsi que les relations « précède » et « succède ». Appliquons alors la loi de dualité à l’exemple suivant, en notant ici par le symbole → la relation « précède » et par le symbole ← la relation « succède » :

(1) AB → A et AB → B ; A → (A + B) et B → (A + B), d’où :

(2) (AB) → (A + B)

Par dualité, on a en ce cas :

(3) (A + B) ← (AB)

Or, on constate que (3) n’est nullement la négation de (2) mais au contraire une simple conversion de la relation (2). D’une manière générale, la loi de dualité propre au réseau n’aboutit pas à une inversion ou négation comme c’est le cas dans les structures algébriques, mais à une transformation fondée sur la réciprocité, c’est-à-dire sur la permutation de l’ordre. Tandis que l’inversion revient à nier l’opération elle-même, indépendamment des relations d’ordre, la réciprocité revient à transformer l’ordre sans négation des opérations en jeu.

Les structures d’ordre sont donc aussi fondamentales pour le mécanisme de l’intelligence que les structures de groupe (ou autres structures voisines), et il serait facile de montrer, comme nous l’avons fait pour ces dernières, qu’elles sont en voie de formation aux niveaux préopératoires, dès les conduites sensori-motrices et a fortiori durant toute la période des représentations imagées s’étendant de 2 à 7-8 ans. Mais bornons-nous à caractériser le rôle qu’elles jouent au niveau des opérations concrètes (7 à 11 ans), avant l’apparition des opérations propositionnelles ou formelles (11-12 ans), et à chercher quels sont leurs rapports, à ce premier niveau opératoire, avec les structures algébriques. Les structures d’ordre sont constituées, durant ce stade de 7 à 11 ans, par les systèmes de relations. Tandis que les « groupements » élémentaires de classes reposent sur un mode de réversibilité qui est l’inversion ou négation (+A et −A), les « groupements » de relations reposent sur un second mode qui est celui de la réciprocité.

L’exemple le plus simple de ces systèmes spontanés, dont on peut suivre le développement dès les conduites sensori-motrices et qui parvient à son palier d’équilibre (c’est-à-dire à son niveau opératoire) dès l’âge de 6-7 ans, est celui de l’enchaînement des relations asymétriques transitives ou « sériation qualitative ». Dès le niveau sensori-moteur, lorsqu’un petit de 1 ½ à 2 ans s’amuse à construire une tour, en mettant à la base le plus gros de ses plots et en continuant selon un ordre décroissant, on peut dire qu’il élabore empiriquement et par une méthode de tâtonnements (essais et erreurs) un schème pratique préparant la sériation. Mais il ne s’agit encore que d’un schème empirique, fondé sur une configuration perceptive et sur l’inégalité, immédiatement perçue, des quelques éléments à disposition. Si, au lieu de ces éléments dont les [p. 23] dimensions relatives sont jugées au simple coup d’œil, nous présentons à l’enfant des éléments qu’il s’agit de comparer de façon plus détaillée et par comparaison deux à deux (par exemple dix tiges de 10 à 19 cm disposées au hasard), en demandant de les disposer en ordre de grandeurs croissantes, nous constatons que la sériation systématique est autre chose que cette sériation empirique et qu’elle suppose un jeu complexe d’opérations. En effet, après une série d’étapes préparatoires (couples ou petits ensembles non coordonnés entre eux, séries empiriques avec corrections après coup, etc.), l’enfant en vient, mais seulement vers 6 ½-7 ans, à découvrir une méthode, qui cette fois assure la construction d’une sériation complète et exacte, sans tâtonnements ni erreurs : il cherche, par comparaisons deux à deux, la plus petite de toutes les tiges, A et la pose ; puis, il détermine par les mêmes comparaisons la plus petite de toutes les tiges restantes, B et la pose à côté de A ; il trouve de même la tige C, la plus petite de toutes celles qui demeurent non sériées, et ainsi de suite. La méthode ainsi construite suppose donc la compréhension des relations suivantes : (I) qu’un élément quelconque, comme E, soit plus grand que tous ses prédécesseurs : soit E > A, B, C, D ; (II) que le même élément E soit plus petit que tous ses successeurs : E < F, G, H, etc. De plus, il est essentiel de noter qu’au niveau des sériations par tâtonnements, l’enfant n’est nullement certain de la transitivité des inégalités : après avoir vu les deux éléments côte à côte A < B et les deux éléments B < C il n’est pas persuadé de la relation A < C si l’on cache A en laissant C dans le champ visuel. Au contraire, la découverte des deux relations E > D, C, etc., et E < F, G, etc., entraîne ipso facto la transitivité (III) A < C si A < B et B < C.

Or, si l’on cherche à formuler les relations utilisées par l’enfant dans cette sériation, on trouve une structure analogue à celle de la classification, mais portant sur les seules relations. Appelons a la relation A < B, b la relation A < C, c la relation A < D, etc., et appelons a’ la relation B < C, b’ la relation C < D, etc. On a alors :

(1) a + a’ = b ; b + b’ = c ; etc.

(2) b − a’ = a ; etc.

(3) a − a = 0

(4) a + a = a et (5) associativité incomplète comme p. 20.

Mais on constate que, si la soustraction des classes A − A = 0 donne la classe nulle, ce qui est le propre de l’inversion, la soustraction des relations a − a = 0 donne la différence nulle, ce qui n’est pas la même opération, puisqu’une différence nulle est une équivalence. La composition, [p. 24] dans le domaine de la relation, consiste donc simplement à lire la relation entre les éléments extrêmes de deux segments de sériation juxtaposés : A (a) B + B (a’) C = A (b) C et l’opération inverse à permuter l’ordre A (b) C − B (a’) C = A (b) C + C (a’) B = A (a) B. D’un tel point de vue la réversibilité en jeu dans de tels systèmes repose donc sur la réciprocité et non plus sur la négation : c’est pourquoi a − a aboutit à une équivalence et non pas à une relation nulle.

On peut donc soutenir que, de 7 à 11 ans, au niveau des opérations concrètes (groupements élémentaires de classes et de relations portant sur les objets eux-mêmes, par opposition aux énoncés verbaux dissociés de toute manipulation), les structures de classes relèvent de l’inversion (structures algébriques) et les structures de relations de la réciprocité (structures d’ordre). Mais ces deux types de structures coexistent-elles ainsi, en leur période inchoative, sans liaisons entre elles, ou peut-on au contraire discerner quelque connexion rattachant l’un de ces systèmes à l’autre ?

Du point de vue de la psychologie des opérations de la pensée et sans nous préoccuper de la formalisation éventuelle de ces systèmes opératoires primitifs, il convient de faire à cet égard une remarque essentielle. Si l’on se réfère à la distinction classique de l’extension et de la compréhension des concepts, on doit naturellement admettre (ce sur quoi tout le monde est d’accord) que l’extension est constituée par les systèmes de classes, qui correspondent donc à l’inversion et aux structures algébriques ; mais, psychologiquement, la compréhension est toujours constituée par des systèmes de relations, et c’est ce que l’on ne reconnaît pas toujours. Que les caractères connotés dans la compréhension d’un concept consistent en prédicats d’apparence non relative (les arbres sont « ligneux », l’herbe est « verte », etc.) ou en relations explicites (les ainés sont « plus âgés » que les puînés, etc.), il n’en est pas moins impossible de penser les prédicats du premier type autrement qu’en termes de relations : « vert » signifie ou bien une qualité en plus ou en moins dans la série continue des teintes conduisant du jaune ou du bleu au vert, ou bien une qualité commune à différents objets ; « vert » est donc psychologiquement une relation asymétrique ou symétrique selon les contextes.

D’un tel point de vue, il existe donc entre les structures de classes fondées sur l’inversion et les structures de relations fondées sur la réciprocité, une connexion étroite qui est celle de l’extension et de la compréhension des concepts. C’est pourquoi les quatre « groupements » élémentaires que nous avons pu distinguer dans les structures de classes [p. 25] au niveau des opérations concrètes (groupements additifs et multiplicatifs, et à formes de correspondance bi-univoques ou co-univoques) correspondent terme à terme à quatre « groupements » élémentaires de relations. Autrement dit, les mêmes collections d’éléments peuvent être structurées soit selon le modèle des classes, soit selon celui des relations, ce qui assure l’unité psychologique du système. Mais, du point de vue de la structure opératoire, il n’existe pas, au niveau des opérations concrètes, de structure qui réunisse l’ensemble de ces propriétés en un même système de transformations et qui assure ainsi la synthèse de l’inversion et de la réciprocité : cette synthèse des deux formes fondamentales de réversibilité ne s’effectuera qu’au dernier palier d’équilibre du développement des opérations logiques, c’est-à-dire au stade des opérations interpropositionnelles dont nous parlerons sous VI.

Si les structures algébriques et les structures d’ordre semblent ainsi profondément enracinées dans le fonctionnement psychologique des opérations intellectuelles, peut-on en dire autant des structures topologiques ?

Il est d’un certain intérêt de constater d’abord, à cet égard, que l’ordre de construction des notions et des opérations géométriques dans le développement spontané de l’enfant ⁴ n’est nullement conforme à l’ordre historique des étapes de la géométrie et se rapproche davantage de l’ordre de filiation des groupes fondamentaux sur lesquels reposent les divers types d’espaces. Historiquement la géométrie euclidienne ou métrique a précédé de nombreux siècles la géométrie projective, et la topologie n’a donné lieu à une réflexion autonome qu’à une époque bien plus récente encore. Du point de vue des groupes fondamentaux au contraire, la topologie est première et l’on en peut tirer simultanément la géométrie métrique euclidienne (par l’intermédiaire de la métrique générale) et la géométrie projective (celle-ci rejoignant la métrique euclidienne par l’intermédiaire de la géométrie affine et de celle des similitudes). Or, sans que l’enfant parte naturellement de schèmes topologiques généraux (car ses intuitions topologiques sont subordonnées à certaines conditions perceptives rapidement structurées sur [p. 26] un mode euclidien ⁵), il n’en est pas moins frappant que, lors des débuts du dessin, l’enfant ne distingue pas les carrés, cercles, triangles et autres figures métriques, mais qu’il différencie fort bien les figures ouvertes ou fermées, les situations d’extériorité ou d’intériorité par rapport à une frontière (y compris la position « sur la frontière »), les séparations et les voisinages (sans conservation de la distance), etc. Or, partant ainsi d’intuitions topologiques fondamentales, il s’oriente ensuite simultanément dans la direction des structures projectives et dans celle des structures métriques.

Du point de vue proprement opératoire, il convient d’ajouter que, à côté des opérations de classes et de relations qui constituent les seules opérations logiques en jeu au niveau des opérations concrètes, il faut distinguer ce que nous avons appelé les « opérations infralogiques ». Tandis que l’opération logique part de l’objet individuel et aboutit en extension à des classes demeurant indépendantes de la configuration spatiale des éléments qui les composent, l’opération infralogique décompose au contraire l’objet d’un seul tenant ou le recompose à partir de ses éléments, ce mode de composition différant donc du précédent par l’intervention du continu et des configurations. Distinctes en leur structure des opérations logiques, les opérations infralogiques ne les précèdent d’ailleurs pas dans le temps : au niveau préopératoire il y a indifférenciation entre les premières intuitions infralogiques et les premières intuitions logiques, tandis qu’au niveau des opérations concrètes les deux sortes de structures se constituent parallèlement. Il est intéressant de noter ce parallélisme au niveau des premières structures opératoires spontanées, car, si modestes et insuffisamment structurées que soient les formes élémentaires d’organisation opératoire, on pourrait y discerner les racines de cette parenté ou plutôt de cette complémentarité profonde entre les structures topologiques et les structures algébriques que certains développements récents de la topologie ont mis en évidence ⁶.

Il n’est donc pas exagéré de soutenir que les structures opératoires de l’intelligence en formation manifestent dès le départ la présence des trois grands types d’organisation correspondant à ce que deviendront en [p. 27] mathématiques les structures algébriques, les structures d’ordre et les structures topologiques. Mais il convient en outre de relever que, très rapidement, les structures mères se coordonnent entre elles et engendrent, par leurs compositions interstructurales, certaines structures plus tardives dont l’importance n’est pas moins grande pour la construction des notions logiques et mathématiques.

Au niveau des opérations concrètes, liées à la manipulation des objets et ne comportant ainsi que certaines opérations de classes et de relations (« groupements » élémentaires), il n’existe encore aucune structure d’ensemble qui fusionne en un même système de transformations les inversions propres aux structures algébriques et les réciprocités propres aux structures d’ordre. Mais, vers 11-12 ans en moyenne, il se surajoute à ces opérations concrètes un ensemble d’opérations nouvelles portant cette fois sur des propositions et non plus sur des objets et ces opérations interpropositionnelles constituent alors une double structure de groupe et de réseau, mais dont chacun de ces deux aspects concilie pour sa part l’inversion propre aux structures algébriques et la réciprocité propre aux structures d’ordre.

Le groupe qui entre ainsi en jeu comporte quatre transformations (groupe de Klein) que l’on peut définir de la façon suivante dans le cas particulier des opérations interpropositionnelles :

(1) L’inverse ou négation N d’une opération est sa complémentaire sous l’ensemble des associations de base. Par exemple :

N (p ∨ q) = p ∨ q = (p . q) ou N (p ⊃ q) = (p ⊃ q) = (p . q).

(2) La réciproque R d’une opération est la même opération mais entre propositions niées. Par exemple :

R (p ∨ q) = (p ∨ q) = (p / q) ou R (p ⊃ q) = (p ⊃ q) = (q ⊃ p).

Notons que la réciproque revient ainsi à permuter l’ordre des termes de l’implication, ce qui présente une signification générale puisque toute opération propositionnelle peut prendre la forme de l’implication.

Exemple :

(p ∨ q) = (p ⊃ q). Or R (p ⊃ q) = (q ⊃ p) = (p / q).

(3) La corrélative C d’une opération résulte de la permutation des (∨) et des (.) dans la forme normale de cette opération. Par exemple :

C (p ∨ q) = (p ∨ q) . (p ∨ q) . (p ∨ q) = (p . q)

C (p ⊃ q) = (p ∨ q) . (p ∨ q) . (p ∨ q) = (p . q).

[p. 28] (4) La transformation identique I laisse l’opération inchangée. On a alors le groupe commutatif :

NR = C ; NC = R ; RC = N et NRC = I.

Par exemple dans le cas de p ⊃ q, on a :

N (q ⊃ p) = (p . q) = C (p ⊃ q) soit NR = C

N (p . q) = (q ⊃ p) = R (p ⊃ q) soit NC = R

R (p . q) = (p . q) = N (p ⊃ q) soit RC = N

R (p . q) = (p . q) et N (p . q) = (p ⊃ q) soit NRC = I.

Il en va de même des opérations ternaires, etc. ⁷ Mais, en certains cas (diagonales de la table des opérations binaires, tertiaires, etc.), on a R = N et C = I ou R = I et C = N mais l’inverse N est naturellement toujours distincte de I.

On constate donc que ce groupe INRC, qui constitue une structure algébrique, s’incorpore néanmoins les réciprocités, qui constituent la forme de réversibilité des structures d’ordre. Psychologiquement, ce groupe constitue ainsi à la fois la synthèse et la forme d’équilibre finale des deux séries de structures opératoires jusque-là distinctes et fondées l’une sur l’inversion et l’autre sur la réciprocité.

Mais le système des opérations interpropositionnelles constitue en même temps un réseau : tout couple d’opérations comporte une borne inférieure définie par leur partie commune (.) : exemple (p = q) . (p ∨ q) = (p . q) ; et une borne supérieure définie par leur réunion (∨) : exemple (p . q) ∨ (p . q) = (p = q). Seulement, du fait même qu’il est complémenté, ce réseau admet donc des opérations inverses. En outre, et ceci est important à souligner, deux opérations quelconques, leur borne inférieure (= BJ) et leur borne supérieure (= BS) constituent ensemble un groupe, qui n’est pas le groupe INRC mais qui lui est isomorphe et porte sur les transformations que nous appellerons Ia Na Ra Ca et définirons de la manière suivante.

Soit une opération binaire telle que p ∨ q. Elle peut être conçue comme composée de deux opérations uninaires p et q reliées par l’opération composante (∨). De même une opération ternaire telle que :

(p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) ∨ (p . q . r) = [(q ⊃ p) ⋅ (p ⊃ r)]

peut être conçue comme composée de deux opérations binaires (q ⊃ p) et (p ⊃ r) reliées par l’opération composante (.). Nous appellerons [p. 29] Ia, Na, Ra et Ca les transformations I, N, R et C appliquées à l’opération composante. Cela dit, si nous appelons x et y deux opérations quelconques du réseau, BJ leur borne inférieure et BS leur borne supérieure, on a le groupe ⁸ :

(Ia) x . y (= BJ)

Et

(Ia) x ∨ y (= BS)

(Na) x / y = x ∨ y

(Na) x . y

(Ra) x . y

(Ra) x / y = x ∨ y

(Ca) x ∨ y (= BS)

(Ca) x . y (= BJ)

On a donc :

Ca (BJ) = BS et Ca (BS) = BJ.

On a de plus :

Na (BJ) = Ra (BS) et Na (BS) = Ra (BJ).

Et toutes les transformations habituelles du groupe :

Na (x . y) = Ra Ca (xy) ; Na Ra Ca (x . y) = x . y ; etc.

En d’autres termes, si le groupe INRC s’incorpore la réciprocité, le réseau des opérations interpropositionnelles s’adjoint l’inversion et admet une structure de groupe quant à la relation fondamentale entre les bornes et les opérations qu’elles relient.

Or, du point de vue génétique, cette double structure de groupe et de réseau que constituent les opérations interpropositionnelles n’est que l’aboutissement des structures élémentaires de « groupements » (qui représentent, avons-nous vu, des groupes imparfaits, faute d’associativité entière, et des semi-réseaux). Le passage des groupements de classes et de relations à la structure de groupe et de réseau des opérations propositionnelles peut, en effet, se concevoir comme résultant de l’intervention d’opérations combinatoires se substituant aux opérations simplement additives ou multiplicatives. En d’autres termes, aux emboîtements simples d’une classification, etc., le réseau substitue un « ensemble de parties » par combinaison n à n de ces parties, entre elles. Mais une telle composition combinatoire n’est elle-même qu’une généralisation de la classification : l’ensemble des parties, qui constitue la double structure de réseau et de groupe dont il vient d’être question, résulte, en définitive, de l’ensemble des classifications possibles appliquées aux éléments du groupement, eux-mêmes traduits en langage propositionnel.

Il nous reste à conclure et c’est ce que nous ferons du point de vue de l’interprétation générale des mathématiques, laquelle influence nécessairement l’éducateur — qu’il le veuille ou non — et du point de vue des applications pratiques.

En ce qui concerne la première de ces deux questions, le problème essentiel est de savoir si l’éducateur, pour être fidèle à l’esprit des mathématiques contemporaines, doit s’inspirer d’un logicisme rigoureux à tendance platonicienne ou s’il peut considérer la pensée mathématique comme prolongeant les constructions spontanées de l’intelligence et recourir ainsi aux enseignements de la psychologie autant qu’à ceux de la logique.

Or, si les données psychogénétiques qui précèdent sont bien exactes, le conflit entre le logicisme et le psychologisme semble devenir susceptible de quelque atténuation, à condition, tout au moins, d’introduire un certain nombre de distinctions qui reviennent d’ailleurs simplement à dissocier la psychologie elle-même du « psychologisme » et la logique elle-même du « logicisme ».

Le « psychologisme » est une tentative pour fonder la logique sur des lois psychologiques : « Pour le psychologisme, dit ainsi L. Apostel, les lois logiques sont des lois psychologiques et décrivent le raisonnement réel, soit le plus fréquent, soit le plus normal, soit le plus efficient pratiquement. ⁹ » Plus familièrement dit, le psychologisme est donc une manière d’appliquer la psychologie en un domaine où elle n’est plus compétente, puisque les lois psychologiques reposent sur des constatations de fait et que les lois logiques relèvent de la nécessité déductive ou normative.

Réciproquement le « logicisme » est une intrusion de la réflexion du logicien dans le domaine des faits. Il consistera par exemple à affirmer que l’intelligence d’individus en chair et en os (qu’il s’agisse des savants eux-mêmes ou des écoliers débutants en mathématiques) ne parvient à la rigueur logique qu’en suivant certaines voies seulement : intuition des essences, ou soumission de l’individu aux règles d’un langage acquis de l’extérieur, etc., etc.

Mais, si l’on convient de laisser à la psychologie le soin d’étudier les faits et à la logique celui d’analyser les fondements, il se trouve que [p. 31] ces deux sciences présentent entre elles davantage de contacts que le cas des philosophies en « ismes » dont on a voulu les rendre solidaires. Or, ce sont les contacts qui sont utiles à l’éducateur plus que les oppositions doctrinales étrangères à la marche même de telles sciences.

La psychologie tend, en effet, une main à la logique en montrant que l’intelligence est orientée spontanément vers l’organisation de certaines structures opératoires qui sont isomorphes à celles ou à quelques parties de celles que les mathématiciens mettent au départ de leur construction ou que les logiciens retrouvent dans les systèmes qu’ils élaborent. Mais cet isomorphisme partiel ne signifie pas que les règles logiques sont des lois de la pensée. Les structures d’ensemble vers lesquelles s’oriente l’intelligence au cours de son développement ne correspondent ni à des structures nerveuses préformées (ou à des formes a priori) ni à des structures physiques empiriquement enregistrées : ce ne sont que des lois d’équilibre se présentant sous la forme de systèmes d’opérations possibles, dont certaines seulement sont actualisées en fonction des conditions ambiantes physiques et sociales. Ce sont ces possibilités dont la logique étudie par ailleurs les ensembles complets et libre à elle de leur fournir les fondements qu’elle entend : on ne saurait ainsi concevoir de points de friction entre l’analyse déductive et exhaustive des possibles logiques, d’une part, et, d’autre part, la détermination expérimentale des possibilités ou des impossibilités qui caractérisent les formes d’équilibre correspondant aux différents niveaux d’organisation de l’intelligence. Sans doute, les techniques algébriques du logicien peuvent-elles être utiles au psychologue dans sa description des formes d’équilibre ou structures, mais cela ne signifie pas qu’il ait la candeur d’assimiler sans plus les lois de la logique à celles de la pensée.

Quant à savoir si la logique cherchera en retour quelque contact avec la psychologie, ce, sera à l’histoire des recherches futures de nous le montrer. Certains logiciens restent dominés par la méfiance à l’égard du psychologisme en général, comme notre ami Beth dont l’intéressant chapitre (voir plus bas chap. II) précisera la position. Mais la question est de savoir si la crainte du psychologisme résulte de l’attitude logique elle-même ou d’un résidu de logicisme conduisant à son insu le logicien à opter sur le terrain psychologique en faveur d’une conception plutôt que d’une autre de la manière dont l’individu en vient à atteindre les connexions logiques. D’autres logiciens, comme Apostel, distinguent entre le psychologisme traditionnel et un recours plus subtil à la psychologie : « … nous n’affirmons pas comme les psychologistes du xix^e siècle [p. 32] (Sigwart, Heymans, Wundt, Erdmann) que les règles logiques sont des lois de la pensée. Nous disons seulement : il y a des lois de la pensée telles que, dans une certaine structure sociale et pour des individus possédant certaines propriétés, nous pouvons infailliblement (avec nécessité physique) contraindre ces individus à accepter nos conclusions s’ils acceptent nos prémisses, et pourvu que nous exécutions certaines opérations, dont les étapes sont décrites par les règles de la démonstration correcte. ¹⁰ » D’une manière générale, il est fort possible que les travaux actuels sur les relations entre la logique et le langage finissent par aboutir à cette constatation que la langue elle-même plonge ses racines, dans la mesure précisément où ses structures reflètent celles de la logique, en des systèmes opératoires plus profonds que les connexions existant entre les seuls signes verbaux.

En bref, l’avenir des relations entre la psychologie et la logique reste largement ouvert et ne saurait être préjugé en fonction des erreurs passées. Du point de vue pratique, il ne saurait donc être question, pour l’éducateur, d’un choix entre les méthodes formalistes fondées sur la logique et les méthodes actives fondées sur la psychologie : le but de l’enseignement des mathématiques reste toujours d’atteindre la rigueur logique ainsi que la compréhension d’un formalisme suffisant, mais seule la psychologie est en état de fournir aux pédagogues les données sur la manière dont cette rigueur et ce formalisme seront obtenus le plus sûrement. Or rien ne prouve qu’en mettant le formalisme au départ on le retrouve à l’arrivée sous ses espèces authentiques et les ravages d’un pseudo-formalisme ou formalisme demeurant verbal parce que trop précoce montrent au contraire les dangers d’une méthode ignorant les lois du développement mental.

En réalité, si l’édifice des mathématiques repose sur des « structures », qui correspondent par ailleurs aux structures de l’intelligence, c’est sur l’organisation progressive de ces structures opératoires qu’il faut baser la didactique mathématique. Or, psychologiquement, les opérations dérivent d’actions qui, en s’intériorisant, se coordonnent en structures. Il est donc vain d’imaginer que le recours initial aux actions [p. 33] compromette la rigueur ultérieure et favorise l’empirisme. Il y a empirisme lorsque l’éducateur substitue à la démonstration mathématique une expérience physique avec simple lecture des résultats obtenus. Mais lorsque l’expérience sert d’occasion à la coordination des actions et que l’abstraction porte sur ces actions elles-mêmes ¹¹ et non pas sur l’objet, l’expérience prépare l’esprit déductif au lieu de le contrecarrer. Si toute connaissance, chez l’enfant, suppose une participation de l’expérience pour se constituer, cette constatation psychologique ne justifie en rien l’empirisme, car il existe donc deux sortes d’expériences : l’expérience physique conduisant à une abstraction de propriétés tirées de l’objet lui-même et l’expérience logico-mathématique avec abstraction à partir des actions ou opérations effectuées sur l’objet et non pas à partir de l’objet comme tel. Ainsi le recours à l’expérience et à l’action, et de façon générale la pédagogie dite active parmi les procédés d’initiation mathématique ne compromettent en rien la rigueur déductive ultérieure mais la préparent au contraire en lui fournissant des bases réelles et non pas simplement verbales.