Quelques expériences sur la conservation des quantités continues chez l’enfant (1939) ^a 🔗

On présente en premier lieu au sujet deux récipients cylindriques [p. 38] de mêmes dimensions (A₁ et A₂) contenant la même quantité de liquide (l’égalité des quantités étant reconnaissable à celle des niveaux), puis on verse le contenu de A₂ dans deux récipients plus petits et semblables l’un à l’autre (B₁ et B₁), pour demander à l’enfant si la quantité transvasée de A₂ en (B₁ + B₂) est restée égale à celle de A₁. Au besoin, on peut ensuite verser le liquide contenu en B₁ dans deux récipients égaux entre eux et plus petits encore (C₁ et C₂), puis, le cas échéant, verser B₂ dans deux autres récipients C₃ et C₄, identiques à C₁ et C₂ : on pose alors les questions de l’égalité entre (C₁ + C₂) et B₁ ou entre (C₁ + C₂ + C₃ + C₄) et A₂, etc. D’une manière générale, on soumet ainsi les liquides à toutes les déformations possibles en posant chaque fois le problème de conservation sous la forme d’une question d’égalité ou de non-égalité avec le verre-témoin. Inversement, on peut naturellement aussi, en vue de l’analyse des réponses obtenues, remplir un verre de forme quelconque et demander à l’enfant de constituer une quantité égale au moyen d’un récipient de forme différente. Mais le problème principal demeure celui de la conservation comme telle.

Les résultats obtenus semblent démontrer que les quantités continues ne sont pas d’emblée considérées comme constantes, mais que leur conservation se construit peu à peu selon un mécanisme intellectuel que nous allons précisément chercher à expliquer. En sériant les réponses fournies aux diverses questions posées à l’enfant, il est possible de distinguer trois stades successifs. Au cours du premier stade, l’enfant considère comme naturel que la quantité du liquide varie selon la forme et les dimensions des récipients dans lesquels on les transvase : la perception des changements apparents n’est donc nullement corrigée par un système de relations ou d’opérations assurant l’existence d’un invariant de quantité. Durant un second stade, qui constitue une période de transition et d’élaboration, la conservation s’impose progressivement, mais si elle est découverte dans le cas de certains transvasements, dont il nous faudra chercher à déterminer les caractères, elle n’est pas généralisée à tous. À partir d’un troisième stade, enfin, le sujet postule d’emblée la conservation des quantités dans chacune des transformations que nous effectuons avec lui, ce qui ne signifie nullement, cela va sans dire, que cette généralisation de la constance soit étendue [p. 39] (ou ne le soit pas) au-delà des limites du domaine étudié ici.

Quant à l’interprétation de ces faits, nous pouvons partir des hypothèses que voici et dont les unes nous ont conduits à la position des problèmes étudiés dans ce chapitre, tandis que d’autres sont nées au cours des expériences. On peut, en effet, se demander si l’élaboration de la notion de la conservation de la quantité ne se confond pas entièrement avec la construction de la quantité elle-même : l’enfant ne parvient pas d’abord à la notion de la quantité pour lui attribuer ensuite la constance, mais il ne découvre la quantification réelle qu’au moment où il est capable de construire des totalités qui se conservent. Au niveau du premier stade, la quantité se réduit ainsi aux rapports asymétriques donnés entre les qualités, c’est-à-dire aux comparaisons en « plus » ou en « moins » impliquées dans les jugements tels que « c’est plus haut », « moins large », etc. Mais ces rapports demeurent perceptifs et ne constituent point encore des « relations » proprement dites, car ils ne peuvent être coordonnés les uns aux autres selon des opérations additives ou multiplicatives. Cette coordination qui débute avec le second stade, aboutit ensuite à une notion de quantité intensive, donc sans unités, mais susceptible de cohérence logique. Or, sitôt constituée, cette quantification intensive permet à l’enfant de concevoir, antérieurement à toute autre mesure, la proportionnalité des différences et par conséquent la notion d’une quantité totale d’ordre extensif. Cette découverte, qui seule rend possible le développement du nombre, proviendrait ainsi des progrès mêmes de la logique au cours des stades envisagés à l’instant.

Selon les enfants du premier stade, la quantité de liquide transvasée augmente ou diminue en fonction de la forme ou du nombre des récipients. Les raisons invoquées en faveur de la non-conservation (différence de niveau, de largeur, nombre des verres, etc.) varient d’un sujet à l’autre ou d’un moment à l’autre, mais tout changement perçu est considéré comme entraînant une modification dans la valeur totale du liquide. Voici des exemples :

Blas (4 ans), fille. « Tu as une amie ? — Oui, Odette. —  Et bien, tu vois, on te donne à toi, Clairette, un verre de sirop rouge (A₁ rempli aux ¾) et à Odette un verre de sirop bleu (A₂, même niveau). Est-ce qu’une de [p. 40] vous a plus à boire que l’autre ? — La même chose. —  Voilà ce que Clairette fait : elle verse son sirop dans deux autres verres (B₁ et B₂ ainsi remplis jusqu’à mi-hauteur). Est-ce que Clairette a la même chose qu’Odette ? — Odette a plus. —  Pourquoi ? — Parce qu’on a mis moins (en B₁ et B₂ : Blas montre les niveaux, sans tenir compte du fait qu’il y a deux verres). — (On verse alors également le sirop d’Odette en B₃ et B₄.) — C’est la même chose. —  Et maintenant (on transvase le sirop de Clairette de B₁ + B₂ en L₁, le long tube mince, qui est alors à peu près rempli) ? — C’est moi qui a plus (= Clairette, en L₁). — Pourquoi ? — On a versé dans ce verre (L₁, Blas montre le niveau) et ici (B₃ et B₄) pas. —  Mais avant, c’était la même chose ? — Oui. —  Et maintenant ? — C’est moi qui a plus. » Ensuite on reverse le sirop rose de Clairette (L₁) dans les verres B₁ et B₂ : « Tu vois, Clairette verse aussi comme Odette. Alors tout le bleu (B₃ + B₄) ensemble et tout le rouge (B₁ + B₂) ensemble, est-ce que c’est la même chose ? — C’est la même chose (accent de conviction). — Alors voilà ce que Clairette fait (on verse B₁ dans C₁ qui est ainsi rempli, tandis que B₂ demeure à moitié plein). — Vous avez la même chose à boire ? — Moi j’ai plus. —  Mais d’où vient ce qu’il y a en plus ? — De là-dedans (B₁). — Qu’est-ce qu’il faut faire pour qu’Odette ait la même chose ? — Il faut prendre ce petit verre (elle verse une partie de B₃ dans C₂). — Et maintenant, c’est la même chose ou quelqu’un a plus ? — Odette a plus. —  Pourquoi ? — Parce qu’on a versé dans ce petit verre (C₂). — Mais c’est la même chose à boire, ou une a plus que l’autre ? — Odette a plus à boire. —  Pourquoi ? — Parce qu’elle a trois verres (B₃ presque vide, B₄ et C₂, tandis que Clairette a C₁ plein et B₂). »

Un moment après, nouvelle expérience. On présente encore les verres A₁ et A₂ remplis aux ¾, l’un de sirop rouge pour Clairette et l’autre de sirop bleu pour Odette. « C’est tout à fait la même chose ? — Oui (Blas vérifie les niveaux). — Et bien, Odette va verser son verre (A₂) dans tous ceux-là (C₁ ; C₂ ; C₃ et C₄, ainsi remplis chacun jusqu’au milieu environ). — Est-ce que vous avez la même chose de sirop ? — C’est moi qui a plus. Elle a moins. Pour les verres, il y a moins (Blas regarde attentivement les niveaux). — Mais avant, vous aviez la même chose ? — Oui. —  Et maintenant ? — Ici (montre le niveau de A₁) ça fait plus, et ici (montre en bloc les 4 verres C) ça fait moins. »

Enfin, l’on présente simplement à Blas le grand verre A₁ presque plein de liquide rouge : « Tu vois, voilà ce que Clairette fait : elle verse comme ça (dans B₁ et B₂ jusqu’aux ⅘). Est-ce que maintenant il y a plus de sirop à boire qu’avant, ou moins, ou la même chose ? — Elle en a moins (sûre). — Explique-moi comment ça se fait ? — Quand on a versé, ça a fait moins. —  Mais les petites bouteilles ensemble ça ne fait pas la même chose ? — Ça fait moins. »

Sim (5 ans). On lui montre A₁ et A₂ à moitié remplis. « Il y a la même chose d’eau dans les deux verres, n’est-ce pas ? — (Elle vérifie) Oui. —  Regarde, Renée, qui a le bleu, verse son sirop comme ça (on verse A₁ dans B₁ et B₂ ainsi remplis aux ⅗ environ). Vous avez encore la même chose à boire ? — Non. Renée a plus, parce qu’elle a deux verres. —  Est-ce que tu pourrais faire quelque chose pour en avoir autant ? — Aussi verser [p. 41] dans deux verres. (Elle verse A₂ en B₃ et B₄.) — Est-ce que vous avez la même chose ? — (Elle regarde longuement les 4 verres) Oui. —  Maintenant Madeleine (elle-même) va verser ses deux verres dans trois (B₃ et B₄ en C₁ ; C₂ ; et C₃). Ça fait la même chose ? — Non. —  Qui a plus à boire ? — Madeleine, parce qu’elle a trois verres. Renée doit aussi verser dans trois verres. —  (On verse les B₁ et B₂ de Renée dans C₅ ; C₆ et C₇.) Voilà. — C’est la même chose. —  Mais, tu vois, Madeleine verse dans un quatrième verre (C₄, que l’on remplit au ⅓ avec un peu de C₁ de C₂ et de C₃). Vous avez la même chose à boire ? — Moi j’ai plus. —  De quoi il y a plus à boire, du bleu (C₅, C₆ et C₇) ou du rouge (C₁, C₂, C₃ et C₄) ? — Du rouge. —  (On pose alors les deux grands verres A₁ et A₂ devant l’enfant.) Tu vois, on va remettre tout le sirop bleu ici, comme avant (A₁) et tout le sirop rouge là. Où arrivera le bleu ? — (Montre un certain niveau.) — Et le rouge ? — (Montre un niveau plus élevé.) — Le rouge arrivera plus haut que le bleu ? — Oui, il y a plus de rouge (montre le niveau prévu), parce qu’il y a plus de rouge ici (montre les 4 verres C₁ à C₄). — Tu dis que ça arrivera jusqu’ici ? — Oui. —  (On marque le niveau prévu avec un élastique. Sim verse alors elle-même le liquide et constate avec plaisir qu’il s’élève jusqu’à cette marque, mais ensuite elle est fort étonnée en versant le liquide bleu dans A₁, de constater qu’il atteint le même point.) C’est la même chose ! —  Comment ça se fait ? — Je pense qu’on a remis un petit peu, et maintenant c’est la même chose. »

On voit donc que jusqu’ici Sim n’a évalué les changements de quantité qu’en fonction du nombre des verres. Mais à la suite de la question précédente, elle fait intervenir le niveau : « Regarde. Maintenant Madeleine verse le sirop rouge dans le verre là (on verse A₂ en L₁, plus étroit et plus haut : le liquide monte aux ⅓, tandis qu’en A₁ le bleu atteint le ½). — Il y a plus de rouge parce que c’est plus haut. —  Il y a plus à boire, ou on dirait seulement ? — Il y a plus à boire. —  Et maintenant (on verse le bleu dans B₁ et B₂ et le rouge en D₁ et D₂ larges et bas) ? — C’est le rouge qui a plus, parce qu’ici (les D), il y en a beaucoup. —  Et alors, si on reverse le bleu et le rouge ici (A₂ et A₁), le rouge arrivera plus haut ou ce sera la même chose ? — Plus haut. » Sim reverse D₂ et D₂ en A₂ et B₁ et B₂ en A₁ : elle est à nouveau très étonnée de voir que c’est le même niveau.

Lac (5 ans ½). « Voilà deux verres de sirop (A₁ rempli à moitié de liquide bleu et A₂ un peu moins rempli de liquide rose). Le bleu est pour toi, le rose pour Lucien. Alors Lucien est fâché parce qu’il a moins. Maintenant il partage son sirop dans les deux verres (on verse A₂ en B₁ et B₂). Qui a plus ? — (Lac regarde les niveaux) Moi. —  Toi aussi tu partages ton sirop dans les deux verres (B₃ et B₄ dont les niveaux sont ainsi un peu supérieurs à B₁ et B₂). Qui a plus ? — Moi. —  Et maintenant Lucien prend ce verre (B₁) et le partage dans ces deux (C₁ et C₂, qui sont alors pleins, tandis que B₂ reste à moitié rempli). Qui a plus ? — (Lac compare les niveaux et montre les C) Lucien. —  Pourquoi ? — Parce que [les verres] ils deviennent plus petits [et leurs niveaux deviennent donc plus élevés]. — Mais comment ça s’est fait : avant c’était toi qui avais plus et maintenant c’est lui ? — Parce qu’il y a beaucoup d’eau. —  Mais comment ça s’est fait ? — On a pris de l’eau. —  Mais où ? — … —  Et comment ? — … —  Quelqu’un a [p. 42] plus ? — Oui, Lucien (convaincu). — Et si je verse tout le sirop rose et tout le sirop bleu dans les deux grands verres (A₁ et A₂), qui aurait le plus ? — C’est moi (il se rappelle donc les conditions initiales). — Alors où il est passé le sirop que tu avais de plus ? — … —  Comment tu pourrais faire pour avoir la même chose que Lucien ? Tu peux prendre n’importe lequel de ces verres. — (Lac prend alors B₃ dont il verse une partie dans un C vide, C₃. Il le remplit et le met en regard des C₁ et C₂ de Lucien. Puis il compare B₃ au B₂ de Lucien et constate qu’il y a moins de liquide en B₃ qu’en B₂. Il reprend alors C₃, il le reverse dans B₃, et présente alors une mimique de déception, puis s’écrie :) Mais pourquoi c’était ici (C₃) tout plein, et maintenant (B₃) ce n’est plus plein ? »

Mus (5 ans) n’invoque pas seulement, comme les sujets précédents, le nombre des récipients ou leur niveau, mais un facteur auquel plusieurs sujets pensent également et qui est la grosseur même du bocal, sans doute la « voluminosité ». Mais Mus n’en adopte pas moins trois systèmes successifs de motivation :

I. Grosseur des récipients. —  On présente, par exemple, A₁ et A₂ remplis aux ¾ : « Vous avez la même chose les deux ? — Oui. —  Olga verse comme ça (A₂ en B₁ et B₂ presque pleins). Est-ce qu’elle a encore la même chose ? — Non. —  Qui a plus à boire ? — Gertrude (A₁). — Pourquoi ? — Parce qu’elle a une bouteille plus grande. —  Comment ça se fait qu’Olga a moins ? — … —  Et si je verse de nouveau ça (B₁ et B₂) dans celui-là (A₂), comment ça serait ? — La même chose (qu’en A₁). — (On le fait.) Et si Olga reverse comme ça (à nouveau A₂ en B₁ et B₂ presque pleins). Ça fait la même chose ? — Non. —  Pourquoi ? — Ça fait moins. »

II. Niveau. —  « Maintenant Gertrude verse comme ça (A₁ dans C₁ et C₂ presque pleins. Il reste ⅓ en A₁). Comme ça qui a plus, Gertrude avec ça de bleu (A₁ + C₁ + C₂) ou Olga avec ça de rouge (B₁ et B₂) ? — (Mus regarde les niveaux, qui sont sensiblement égaux) Tous les deux la même chose. —  Olga verse encore dans un verre (un 3^e B, ce qui fait baisser le niveau général de ses bocaux). — C’est Gertrude qui aura plus. Olga aura moins. —  Olga verse encore dans ces verres (on verse B₁ et B₂ en C₃ et C₁ qui sont alors pleins). — Elle aura plus (niveau). — Mais avant elle avait moins, et maintenant plus ? — Oui. —  Pourquoi ? — Parce qu’on a remis ici (en C) ce qu’il y avait dans les gros verres (B). » L’argumentation est donc juste l’inverse de ce qu’elle était en I.

III. Nombre de verres et niveau réunis. —  « Si on te donne une tasse de café une fois dans une tasse, ou bien qu’on verse cette tasse dans deux verres, c’est la même chose ? — J’ai un peu plus. —  Où ? — Eh ! bien, dans les deux verres. —  Ta maman te donne deux verres de café (B₁ et B₂). Et puis on verse ça (B₂) dans ça (C₁ et C₂) ? — C’est plus là (C₁ et C₂) : il y a deux verres tout pleins. Là il y a seulement un. —  Et ça (B₁ et 4 verres C), qu’est-ce que tu préfères ça (B₁) ou tout ça (4 C) ? — Le grand (B₂). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus : le verre est grand. »

Telles sont les réactions les plus primitives de l’enfant en présence du problème de la conservation des quantités. La signification [p. 43] en est claire : le sujet n’est nullement enclin à admettre qu’une même quantité de liquide puisse demeurer invariante au travers des changements de forme liés à ses transvasements.

On pourrait, il est vrai, se demander parfois s’il a bien saisi la question : comprend-il toujours que cette dernière porte sur la quantité totale elle-même, ou bien pense-t-il simplement qu’on l’interroge sur les variations du nombre des verres, de leur niveau ou de leur grosseur ? Mais le problème est précisément de savoir si l’enfant est capable de concevoir une quantité en tant que totalité, résultant de la coordination des divers rapports perçus : le fait d’isoler l’un de ces rapports, comme les enfants que nous venons de citer, peut donc provenir d’une incompréhension des notions un peu autant que de la question verbale elle-même.

Par contre, on pourrait se demander si les transvasements auxquels est soumis le liquide sous les yeux de l’enfant ne comportent pas d’illusions de perceptions qui contrecarrent son jugement de conservation. On sait, en effet, quelle abondance de matériaux a réunis M. Egon Brunswik ² pour prouver que la perception des longueurs, des poids, etc., bref des données quantifiables en général conduit à une série de déformations systématiques si l’on se place au point de vue de la constance de l’objet, et combien difficilement cette constance est perçue comme telle. Mais il va de soi que ces faits, loin de constituer un obstacle à l’étude que nous abordons ici, nous sont au contraire précieux pour en fixer les conditions préalables. Là où la constance est perçue directement, il n’y a, en effet, pas de problème pour nous : ce que nous nous demandons uniquement, c’est comment l’intelligence parvient à élaborer la notion d’une quantité constante malgré les indications opposées de la perception immédiate. C’est une question de jugement et non point de perception que nous cherchons à résoudre. Or le jugement ne fonctionne précisément que lorsque la perception ne suffit point à renseigner le sujet : découvrir qu’une quantité donnée de liquide ne varie pas si on la transvase d’un récipient de forme A dans un ou deux récipients de forme B suppose ainsi, de la part de l’enfant, [p. 44] un acte de compréhension intellectuelle qui sera d’autant plus important et d’autant plus facilement analysable que la perception immédiate est plus trompeuse. Notre problème n’est donc pas de découvrir pourquoi cette perception est trompeuse, mais pourquoi les sujets d’un certain niveau se fient à elle sans plus, tandis que d’autres la corrigent et la complètent par l’intelligence. Au reste, de deux choses l’une : ou bien le réalisme de M. Brunswick est légitime, c’est-à-dire que la perception doit être étudiée « du point de vue de l’objet », et alors c’est l’intelligence qui constituera toujours en dernier ressort la source de la constance, ou bien la perception implique une organisation qui élabore déjà la constance sur son plan propre, et alors son fonctionnement et ses structures successives supposent une activité sensori-motrice qui est d’emblée intelligente, ainsi que nous avons cherché à la montrer jadis à propos précisément de la construction de l’« objet » durant la première année ³. Dans cette seconde interprétation, le développement de la notion des quantités invariantes prolongerait ainsi, sur un plan nouveau et abstrait, le travail déjà entrepris par l’intelligence sensori-motrice dans le domaine de la conservation de l’objet comme tel.

Cherchons à interpréter de ce second point de vue les faits caractéristiques de ce premier stade. Le fait frappant, à cet égard, et qui nous paraît dominer toute la question de savoir pourquoi l’enfant ne parvient pas d’emblée à la notion de la conservation de la quantité, est l’insuffisance de la quantification des qualités perçues et l’incoordination des relations quantitatives en jeu dans les perceptions. Partons, par exemple, des premières réponses de Blas (4 ans). Cet enfant commence par croire que la quantité de liquide diminue lorsque l’on verse les ¾ d’un grand verre dans deux verres plus petits, mais qu’elle augmente lorsque l’on transvase le contenu de ces petits verres dans un tube allongé : c’est donc le niveau seul et non pas le nombre ni la largeur des verres qui semble être le critère de Blas. Mais un instant après il y a davantage de liquide dans trois petits verres dans lesquels on a versé le contenu du récipient initial que dans deux verres moyens remplis de la même quantité première. Deux caractères étonnent en une telle réaction. [p. 45] Le premier est que le sujet est sans cesse conduit à se contredire : tantôt il croit que le liquide bleu est plus abondant que le rouge, tantôt il croit l’inverse, sans pour autant penser qu’il a eu tort auparavant. Sans doute, si l’on érige en principe la possibilité pour un liquide de se dilater ou de se concentrer sans permanence aucune, il n’y a là aucune contradiction. Seulement l’enfant invoque, pour justifier ses affirmations contraires, des motifs qu’il ne coordonne pas entre eux et qui conduisent à des affirmations incompatibles les unes avec les autres. C’est là qu’est la vraie contradiction : c’est ainsi que tantôt Blas se fonde sur le niveau des récipients, et alors la quantité diminue si l’on verse un grand verre dans plusieurs petits ; tantôt c’est le nombre des verres qui est invoqué, et alors le même transvasement est considéré comme impliquant une augmentation de quantité. Ou bien encore l’enfant utilise la grosseur (la largeur) des récipients pour évaluer le changement, et oublie le nombre des verres ou le niveau, puis il pense à l’un de ces facteurs et conclut le contraire. D’où un second caractère qui va de pair avec les contradictions logiques : tout se passe comme si l’enfant ignorait la notion d’une quantité totale, ou multi-dimensionnelle, et ne pouvait jamais raisonner que sur une seule relation à la fois sans la coordonner aux autres. Or ce que nous venons de rappeler de Blas est vrai de tous les sujets cités plus haut.

On peut donc, semble-t-il, interpréter comme suit les réactions de ce stade. Il faut tout d’abord chercher, dès le contact perceptif le plus élémentaire avec l’objet, le principe de la différenciation entre la quantité et la qualité. Toute perception et tout jugement concret attribuent, en effet, des qualités à des objets, mais ils ne peuvent appréhender ces qualités sans les mettre par le fait même en relation les unes avec les autres. Ces relations elles-mêmes ne sauraient être que de deux sortes : les rapports symétriques, qui expriment les ressemblances, et les rapports asymétriques, qui expriment les différences. Or, les ressemblances entre qualités n’aboutissent qu’à leur classement (par exemple : les verres C₁ C₂ C₃… sont « également petits »), tandis que les différences asymétriques impliquent le plus et le moins et marquent ainsi le début de la quantification (par exemple : « A₁ est plus grand que B₁ » ou « A₁ est moins large que P »). Sous sa forme élémentaire, la quantité est donc [p. 46] donnée en même temps que la qualité : elle est constituée par les rapports asymétriques qui relient nécessairement entre elles les qualités quelles qu’elles soient. Il n’existe pas, en effet, de qualités en soi, mais seulement des qualités comparées et différenciées, et cette différenciation, en tant qu’enveloppant des rapports de différences asymétriques, n’est autre chose que le germe de la quantité. De ce point de vue, il est clair que les jugements propres à ce premier stade sont déjà quantitatifs au sens ainsi défini : lorsque Sim, par exemple, déclare : « Il y a plus de rouge, parce que c’est plus haut », il traduit sans plus en termes de quantité un rapport perceptif de différence entre deux qualités.

Seulement, à ce premier niveau, que nous pouvons appeler le stade de la « quantité brute », la quantification ne dépasse pas davantage le rapport perceptif immédiat que la « qualité brute », ou qualité directement perçue, n’est elle-même susceptible d’engendrer une classification achevée. Les rapports de ressemblance entre les qualités aboutiront, certes, tôt ou tard, à un système de classements, mais cette classification ne deviendra possible qu’une fois élaborée des suites d’inclusions hiérarchiques impliquant toute la logique des classes et des relations symétriques. Quant aux rapports de différence ou de quantité brute, qui seuls nous intéressent pour le moment, ils donneront lieu à toute une quantification systématique dont nous étudierons les étapes principales au cours des stades ultérieurs. Mais pour y parvenir, ils doivent au préalable satisfaire à deux conditions qui ne sont précisément pas remplies à ce niveau, d’où l’absence de quantité mesurable et de conservation.

La première condition est que, de simples rapports perceptifs, ils deviennent relations véritables et engendrent ainsi des systèmes de graduations ou de quantités intensives. Il est clair, en effet, qu’un rapport perceptif ou pratique ne constitue pas comme tel une relation. Le critère de l’existence psychologique des relations est la possibilité de leur composition, autrement dit la construction de leur transitivité logique (ou la justification de leur non-transitivité si elles ne peuvent pas devenir transitives). Or les rapports perceptifs de quantité brute utilisés par les enfants de ce niveau ne sont précisément pas composables entre eux, ni additivement ni multiplicativement.

[p. 47] L’addition des relations asymétriques, c’est leur sériation, en acte ou en pensée, avec les conséquences qui en découlent quant à la graduation des termes sériés. La multiplication des mêmes relations, c’est leur sériation du point de vue de deux ou plusieurs relations à la fois. Si nous n’avons pas demandé aux enfants cités à l’instant de construire de sériations simples, ils ont eu par contre à comparer sans cesse deux quantités à plusieurs points de vue à la fois (hauteur du niveau, largeur, nombre des verres, etc.), ce qui constitue bien des multiplications de relations. Or, la principale caractéristique de ce stade est précisément, on l’a vu, l’incapacité de l’enfant à effectuer de telles coordinations : lorsque le sujet conclut que la quantité augmente parce que le niveau s’est élevé, il oublie de considérer la largeur du récipient, et s’il le fait ensuite, il oublie le niveau, etc.

Il est facile de vérifier la chose directement au moyen de l’expérience suivante. On donne à l’enfant les deux récipients A, et L, de même hauteur, mais dont le premier est large et le second étroit, et l’on remplit le verre A jusqu’à un certain niveau (¼ ou ⅕) : on demande alors au sujet de verser en L une quantité égale de liquide (« la même chose de sirop »). En réalité, les dimensions sont telles que, pour obtenir en L une quantité égale à celle de A, il faut que le liquide atteigne un niveau 4 fois plus élevé, c’est-à-dire jusqu’au bord de L pour ¼ de A ou ⅘ de L pour ⅕ de A. Or, malgré cette différence si notable de proportions, les sujets de ce stade demeurent incapables de comprendre qu’à un plus petit diamètre de L doit correspondre au niveau plus élevé. Les cas francs de cette première période se bornent, en effet, à verser en L une quantité de liquide atteignant exactement le niveau de A et croient obtenir ainsi « la même chose à boire » :

Blas (4 ans) : « Tu vois, ta maman s’est versé un verre de sirop (A) et elle te donne ce verre (L). Il faut te verser autant de sirop que ta maman a dans son verre. — (Blas verse un peu brusquement et dépasse le niveau égal à A qu’elle voulait atteindre.) — Vous aurez autant l’une que l’autre comme ça ? — Non. —  Qui aura plus ? — Moi. —  Montre jusqu’où il faut verser pour avoir la même chose à boire ? — (Verse jusqu’au même niveau.) — Tu auras autant à boire que ta maman, comme ça ? — Oui. —  Tu es sûre ? — Oui. —  Regarde ce qu’on va faire (on pose L₂ à côté de L₁), on va verser celui-là (A) dans celui-là (L₂). Ça fera la même chose là (L₂) [p. 48] que là (L₁) ? — Oui. —  (On verse). — (L’enfant rit). La maman a plus. —  Pourquoi ? — …

Mus (5 ans) : « Tu vois (même histoire). Montre avec ton doigt jusqu’où je dois verser. — Là (montre la même hauteur en L qu’en A). — (On verse un peu plus haut.) Est-ce que ce sera la même chose à boire ? — On a mis trop. Il y a un petit peu plus là (en L). Moi j’ai un petit peu plus à boire. —  Qu’est-ce que tu pourrais faire pour voir si c’est la même chose ? (On pose L₂ à côté de L₁.) — … —  Où ça arrivera, si on verse celui-là (A) dans celui-là (L₂) ? — Là (montre le même niveau qu’en A). — (On verse.) — Elle a plus (très étonnée). — Comment ça s’est fait ? — Parce que le verre (L₂) est plus petit (Mus semble donc comprendre la relation hauteur × largeur, mais ce n’est, comme on va le voir, qu’une lueur momentanée). — Et si je verse de nouveau ça (L₂ dans celui-là (A), qui aura le plus, celui-là (A) ou celui-là (L₁), qui aura le plus ? — Tous les deux peu, tous les deux la même chose. —  (On verse.) Qui a plus à boire ? — Tous les deux moins. »

Telles sont les réactions typiques des sujets du premier stade à cette question de contrôle. On voit ainsi qu’au point de départ, l’enfant ne parvient pas à tenir compte simultanément des relations de niveau et de largeur des colonnes d’eau à comparer. Ce n’est pas qu’il ne remarque pas la largeur du verre A lorsque les faits le forcent à cette comparaison (comme Mus lorsque l’on verse A dans L₂). Mais dès qu’il s’agit d’évaluer simplement les quantités en jeu dans A et dans L₁, l’enfant en revient à négliger la largeur pour ne s’occuper que du niveau.

Bref, faute de composition des rapports de différence entre eux (des différences de niveau avec celles de largeur), l’enfant de ce stade ne saurait parvenir à la notion d’une quantité totale ou multidimensionnelle. La quantité du liquide n’est pas, en effet, pour lui, le produit des diverses relations de niveau, largeur, de verres plus ou moins nombreux, etc., puisque chacune de ces relations est envisagée à part et indépendamment des autres. Chacun de ces rapports ne constitue ainsi qu’une « quantité brute », nécessairement unidimensionnelle. Même lorsque parmi les critères utilisés par l’enfant se trouve le rapport de « gros » ou « grand » (voluminosité), cette qualité demeure également, comme le montre le cas de Mus, une simple donnée perceptive, qui n’est pas composable non plus avec les autres en un système de multiplications de relations et qui consiste donc, elle aussi, en une « quantité brute » unidimensionnelle (de ce point de vue de la multiplication relative).

[p. 49] À fortiori les rapports perceptifs en jeu au cours de ce stade ne sauraient-ils remplir une seconde condition des quantifications réelles, qui vient s’ajouter à celle de la graduation intensive : la partition en unités égales ou la décomposition en dimensions proportionnées. Pour admettre la conservation du liquide et pour élaborer ainsi la notion d’une quantité totale d’ordre extensif et non plus seulement intensif, il est, en effet, nécessaire de comprendre que toute élévation de niveau est compensée par une diminution de largeur, ces deux valeurs étant inversement proportionnelles l’une à l’autre. Sur ce point encore, il est clair que les simples rapports perceptifs, source de quantité brute, ne pouvaient suffire à résoudre le problème avant d’être soumis à une composition, qui n’est alors plus seulement logique mais proprement mathématique. Or, il est frappant de constater que, même dans la question si simple de l’augmentation du nombre des verres, les enfants de ce stade ne parviennent pas à comprendre qu’une quantité versée d’un récipient initial dans deux ou trois récipients plus petits demeure la même quantité. Il n’y a donc pas de composition par partition plus que par relations.

En conclusion, si les sujets de ce premier niveau ne comprennent pas la conservation de la quantité, c’est qu’ils ne sont pas parvenus à construire la notion de la quantité elle-même, en tant que quantité totale. Et s’ils n’y parviennent pas, c’est faute de pouvoir composer les relations ou les parties en jeu, leur esprit ne dépassant pas le niveau des qualités ou des quantités « brutes ».

Entre les réactions des enfants qui ne parviennent pas à la notion de la conservation des quantités, et ceux qui la postulent comme une nécessité à la fois physique et logique, viennent se situer un certain nombre de comportements intermédiaires qui caractérisent un second stade (sans naturellement que tous les enfants passent à coup sûr par cette étape de transition). Il convient de relever au moins deux de ces réactions de passage. Dans la première, l’enfant est capable de postuler la conservation du liquide lorsque l’on verse celui-ci d’un verre A dans deux verres B₁ et B₂ ; mais, si l’on fait intervenir trois récipients ou davantage, il retombe dans la croyance à la non-conservation. La seconde réaction de transition consiste [p. 50] à affirmer la conservation dans le cas des faibles différences de niveau, de largeur ou de voluminosité, mais à en douter dans le cas des grandes différences.

Voici des exemples du premier type :

Edi (6 ; 4) : « Il y a la même chose dans ces deux verres (A₁ et A₂) ? — Oui. —  Ta maman te dit : Au lieu de te donner ton lait dans ce verre (A₁), je te le donne dans ces deux verres (B₁ et B₂), l’un le matin et l’autre le soir. (On verse.) Où auras-tu le plus à boire, là (A₂) ou là (B₁ + B₂) ? — C’est la même chose. —  Bien. Alors, au lieu de te donner ton lait dans ces deux verres (B₁ et B₂), elle te le donne dans trois (on verse A₂ dans C₁, C₂ et C₃), un le matin, un à midi, un le soir. C’est la même chose ou pas, dans ces deux ou dans les trois ? — C’est la même chose dans 3 que dans 2… Non, dans 3 il y a plus. —  Pourquoi ? — … —  (On reverse B₁ et B₂ dans A₁.) Et si tu reverses les 3 (C₁ + C₂ + C₃) dans celui-là (A₂), ça ira jusqu’où ? — (Il montre un niveau plus élevé que celui de A₁.) — Et si on verse ces 3 dans 4 verres (on le fait en C₁ + C₂ + C₃ + C₄, d’où une baisse générale du niveau) et qu’on reverse tout dans le grand (A₂), ça ira jusqu’où ? — (Montre plus haut encore.) — Et avec 5 ? — (Niveau encore plus haut.) — Et avec 6 ? — Ça n’aurait plus de place dans le verre. »

Pie (5 ans) : « Il y a la même chose ici (A₁) et là (A₂) ? — (Il vérifie les niveaux.) — Oui. —  (On verse A₁ en B₁ + B₂). Est-ce qu’il y a à boire la même chose dans ces deux ensemble que dans l’autre ? — (Il examine les niveaux de B₁ et B₂ qui sont supérieurs à A₁.) Il y a plus ici. —  Pourquoi ? — Oh, oui, c’est la même chose. —  Et si je verse les deux verres (B₁ et B₂) dans ces trois (C₁ + C₂ + C₃), c’est la même chose ? — Dans les 3 il y a plus. —  Et si je verse de nouveau dans les 2 ? — Alors c’est la même chose dans (B₁ + B₂) que là ».

Voici un exemple du second type :

Fried (6 ; 5) constate que A₁ = A₂. On verse A₁ dans B₁ + B₂. « Est-ce qu’il y a autant de sirop bleu que de rouge ? — Oui. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils (B₁ + B₂) sont plus petits que (A₂). — Et si on verse le sirop rouge (A₂) aussi dans deux verres (B₃ et B₄, mais on verse davantage en B₃ qu’en B₄), il y a la même chose ? — Il y a plus de sirop rouge (donc B₃ + B₄ lui paraissent plus que B₁ + B₂) que de bleu. »

Un instant après, on présente A₁ rempli à moitié et A₂ au tiers seulement : « C’est la même chose ? — Non, il y a plus ici (A₁). — (On verse A₁ dans plusieurs verres B.) — C’est la même chose maintenant (en A₂ qu’en B₁ + B₂…, etc.). » Mais enfin Fried déclare : « Non, ça ne change pas, parce que c’est le même sirop (donc A₁ = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ et A₁ > A₂). »

Ces deux types de réactions intermédiaires sont importants l’un et l’autre et permettent d’écarter une objection qui s’est sans doute présentée à l’esprit du lecteur au cours du § 2. Au lieu d’attribuer [p. 51] la genèse de la notion de conservation à une quantification proprement dite due elle-même à une coordination progressive des rapports en jeu, on pourrait se demander si l’absence de conservation ne provient pas simplement d’une incompréhension de la question de la quantité d’ensemble : l’enfant comparerait sans plus des niveaux à des niveaux ou des largeurs à des largeurs sans penser à la totalité du liquide, mais cela ne prouverait pas qu’il en soit incapable. Dans cette seconde interprétation, il y aurait alors nécessairement à un moment donné découverte brusque de la conservation, sitôt surgie l’idée de la quantité totale : l’enfant comprendrait d’emblée que le liquide demeure constant, puisque rien n’est enlevé ni ajouté. Et effectivement, lorsque Edi, et bien d’autres sujets avec lui, déclarent au début d’un interrogatoire que (A₂) et (B₁ + B₂) « c’est la même chose », on a souvent l’impression que la différence entre eux et les enfants du § 2 tient uniquement à une autre manière de comprendre la question : la solution juste serait donc trouvée par une sorte d’identification immédiate, sans qu’il soit besoin de faire intervenir un processus complexe de quantification. Or, les réponses intermédiaires propres à ce second stade permettent précisément d’écarter cette interprétation trop simple : s’il y a hésitations, réponse juste pour de faibles variations et absence de conservation pour de plus grandes altérations de la forme d’ensemble, c’est évidemment que l’enfant comprend bien le problème, mais n’est nullement convaincu a priori de l’invariance de la quantité totale.

Cela dit, comment interpréter le progrès manifesté par les sujets de ce stade ? On peut constater que les deux conditions décrites au § 2 comme définissant le passage de la quantité brute à la quantification proprement dite commencent à être remplies.

En premier lieu, l’enfant cherche à coordonner les rapports perceptifs en jeu et à les transformer ainsi en relations véritables, c’est-à-dire composables. On se rappelle, en effet, que, si l’on présente à l’enfant du premier stade un bocal de forme A remplir au ¼ ou au ⅕ en lui demandant de constituer une quantité égale en L (mince et haut), le sujet se borne alors à verser en L une colonne de liquide de même niveau qu’en A, sans tenir compte des largeurs respectives des récipients. Or, les sujets du second stade cherchent, [p. 52] au contraire, à tenir compte des deux relations à la fois, mais, chose curieuse, ils n’y parviennent pas et oscillent sans fin entre cet essai de coordination et la soumission aux illusions perceptives. Cette réaction d’essai infructueux de coordination s’observe déjà chez les enfants les plus évolués du premier stade (les cas intermédiaires entre le premier et le second), mais en moyenne elle est typique de la présente période. Voici quelques exemples, à commencer par l’un de ces cas avancés du premier stade et à continuer par des cas francs du deuxième.

Lac (5 ½) : « Ton frère Lucien a ce sirop rouge (A = ⅕). Tu prendras autant de sirop que lui, dans ce verre-là (L). — (Il verse en L au-dessus du niveau de A.) Non, moi j’ai trop (il reverse et atteint le ⅕, c’est-à-dire le même niveau). — C’est la même chose ? — Non (il rapproche L de A et se demande à lui-même) : qui est-ce qui a le plus ? —  Oui, qui a le plus ? — (Il montre le verre A :) C’est celui-là, parce qu’il est plus grand. —  Mais tu dois avoir autant que Lucien. — (Il rajoute un peu de liquide en L et compare les deux niveaux.) C’est trop. (Il reverse L et recommence. Il s’attribue le même niveau qu’en A, puis en rajoute une quantité minime, les ⅖ environ.) Ah, c’est trop. Ce n’est pas la même chose. (Pour rétablir l’égalité de quantité entre son verre L et le verre A, il égalise alors les niveaux.) — Tu dis que c’est la même chose à boire, comme ça ? — Oui. —  (On verse alors A dans L₂.) — (Très étonné.) Ah ! c’est plus ! » On voit que Lac demeure bien en fin de compte un sujet du premier stade, bien que le début de ses réactions annonce le second stade.

Edi (6 ; 4) : Le verre A est rempli au ⅕. « Tu dois prendre autant de sirop ici (L) qu’il y en a là (A). — (Il verse à la même hauteur.) — C’est la même chose à boire ? — Oui. —  Tout à fait ? — Non. —  Pourquoi pas ? — Ça (A) c’est un plus gros verre. —  Qu’est-ce qu’il faut faire pour avoir la même chose ? — Rajouter (il remplit L). — C’est juste ? — Non. —  Qui a plus ? — Moi (il enlève le surplus). — Non, c’est la maman qui a plus (A). — (Il rajoute, enlève à nouveau, etc., sans parvenir à se satisfaire.) »

Wir (7 ans) : « Tu peux en prendre autant ici (L) qu’il y en a là (A ¼) ? — Autant ? (Il verse au même niveau.) — C’est la même chose ? — Non. (Il rajoute en L, jusqu’à ½ et compare ensuite les hauteurs.) Non c’est trop (il rétablit l’égalité des niveaux). — Qui aura le plus à boire ? — La maman (A) parce que le verre est plus gros (il rajoute en L). — Vous avez la même chose maintenant ? — Non, moi j’ai plus (il enlève le surplus). — C’est la même chose, maintenant, ou quelqu’un a plus ? — La maman (A) parce qu’elle a un verre plus gros. (Il rajoute en L.) Non, maintenant j’ai plus (il reverse et rétablit l’égalité de niveau). Non, c’est la maman qui a plus (ne trouve pas de solution satisfaisante). »

On voit l’intérêt de ces observations. Dans chacun des cas cités, l’enfant commence, comme durant le premier stade, par verser le [p. 53] liquide dans le verre étroit L au même niveau que dans le récipient plus large A. Mais, à l’opposé des sujets précédents, il s’aperçoit alors, en comparant les deux colonnes de même hauteur, que l’une est plus large que l’autre, et il déclare alors que le premier verre contient plus de liquide, parce que plus « gros », plus « grand », etc. Une seconde relation, celle de la largeur, est donc explicitement invoquée à côté de celle des niveaux et « logiquement multipliée » avec cette dernière. Pour rétablir l’égalité, l’enfant verse en effet un peu de liquide dans le verre L, conduite qui atteste la réalité de cette multiplication de relations. Seulement, et c’est là qu’apparaissent en toute clarté les difficultés de cette opération multiplicative, sitôt que le niveau de la colonne dépasse dans le verre étroit L celui du liquide contenu dans le verre large A, l’enfant oublie les largeurs et croit que le premier de ces récipients contient plus que le second. D’autre part, dès qu’il rétablit l’égalité des niveaux, il est frappé à nouveau par l’inégalité des largeurs, et ainsi de suite. En bref, quand l’enfant considère les niveaux inégaux, il oublie les largeurs, et quand il perçoit les largeurs inégales, il oublie ce qu’il vient de penser des relations de niveaux : ce n’est donc qu’à niveaux égaux qu’il essaie de multiplier logiquement les relations de hauteur et de largeur entre elles, mais, sitôt cette opération esquissée, l’une des relations l’emporte sur l’autre en une alternative sans fin.

Seulement, il est évident que, même si l’opération de la multiplication logique des relations était effectuée intégralement par les enfants de ce stade, elle ne suffirait point à les conduire à la conservation de la quantité totale : une colonne d’eau qui augmente de hauteur et diminue de largeur par rapport à une autre colonne peut être plus volumineuse, égale, ou moins volumineuse que cette dernière. Pour que l’on puisse être assuré de l’égalité, il faut qu’une quantification extensive complète la graduation intensive, c’est-à-dire que l’on doit pouvoir établir une proportion proprement dite, et non pas seulement une corrélation qualitative, entre ce qui est gagné en hauteur et ce qui est perdu en largeur. En d’autres termes, il faut qu’une partition quelconque double la mise en relations.

Or, il est précisément à noter que, en liaison étroite avec la coordination d’ordre logique dont nous venons de parler, l’enfant [p. 54] commence également, durant le second stade, à comprendre qu’un tout demeure identique à lui-même si on le répartit en deux moitiés. C’est ce qu’ont affirmé plus haut Edi et Pie, par exemple (c’est-à-dire les sujets du premier type), lorsque l’on a versé A₁ en B₁ + B₂. Mais, de même que la multiplication des relations demeure incomplète, de même cette compréhension de la partition demeure courte et fragmentaire : il suffit de verser B₁ et B₂ en C₁ + C₂ + C₃ pour qu’Edi et Pie ne croient plus à la conservation : « Dans trois il y a plus », disent-ils, et Edi pousse cette opinion jusqu’à l’absurde, en admettant qu’il suffît de fragmenter successivement une même quantité pour en augmenter indéfiniment la valeur totale.

En conclusion, la multiplication des relations et la partition semblent aller de pair, c’est-à-dire apparaître et commencer de se développer l’une et l’autre au cours de ce même second stade, pour s’arrêter en cours de route et en fonction des mêmes limitations. Quel est donc le lien qui unit ces deux sortes d’opérations ? C’est ce que l’analyse du troisième stade va nous apprendre.

Les réponses qui caractérisent ce troisième stade affirment d’emblée ou presque d’emblée la conservation des quantités de liquide, et cela indépendamment du nombre et de la nature des transvasements effectués. Or, au moment où l’enfant découvre cette invariance, il l’affirme comme une chose si simple et si évidente qu’elle paraît indépendante de toute multiplication des relations et de toute partition. Le problème se pose donc de savoir si cette indépendance est réelle ou seulement apparente, et dans ce cas de déterminer les liens existant entre les facteurs en jeu.

Voici d’abord les faits :

Aes (6 ; 6). Après avoir rempli A₁ et A₂ aux ¾, on verse A₁ en P₁ (large et bas) : « Ça fait encore autant de sirop qu’il y avait dans l’autre verre ? — Ça fait moins. —  (On verse A₂ en P₂.) Et toi (A₂ est censé être son verre), est-ce que tu auras encore la même chose à boire ? — Ah oui ! C’est la même chose. Il semble qu’il y a moins, parce que c’est plus grand (= large), mais c’est la même chose. —  (On remet P₁ et P₂ en A₁ et A₂, et on verse A₁ en B₁ + B₂.) Est-ce que Roger a maintenant plus que toi ? — Il a comme moi (sûr). — Et toi, si je verse ton sirop dans 4 verres (A₂ en C₁ + C₂ + C₃ + C₄) ? — Encore la même chose. »

Geo (6 ; 6). Son verre est A₁ rempli à moitié, et A₂ est attribué à Madeleine avec ⅓ seulement. « Qui a plus ? — Moi j’ai plus. —  Bien. Alors [p. 55] Madeleine veut avoir la même chose. Elle partage son sirop en deux verres (C₁ + C₂) et elle dit : « Maintenant j’ai plus ou en tout cas la même chose que toi. » Qui a plus maintenant ? — (Réfléchit.) Encore moi. —  Elle verse alors dans 3 verres (C₁ + C₂ + C₃). Qui a plus maintenant ? — Toujours moi. —  Elle verse alors dans beaucoup de verres (on remet C₁, C₂ et C₃ en A₂ et on répartit le contenu de A₂ en 6 petits verres C). Qui a plus maintenant ? — C’est Madeleine qui a plus, parce qu’on a versé dans les autres bouteilles. —  Et si on remet tout (les 6 C) ici (en A₂), ça montera jusqu’où ? — (Réfléchit.) Non, Madeleine a moins. Je croyais qu’elle avait plus, mais ce n’est pas vrai. —  Ça ne peut pas faire plus ? — Non. —  (On reverse les C en A₂, puis A₂ en 8 petits verres.) Et maintenant ? — Non, c’est toujours la même chose. C’est tout le temps la même chose. » On présente enfin deux nouveaux récipients A₃ et A₄, remplis chacun jusqu’à la moitié, et on verse A₃ en B₁ + B₂ : « Elle a la même chose. —  Tu es sûre que c’est la même chose ? — Oui, on n’a fait que verser. »

Sert (7 ; 2) : « Le rouge (A₁ aux ⅔) est pour Jacqueline, le bleu (A₂ à la ½) est pour toi. Qui a plus ? — Jacqueline. —  Toi, tu verses (A₂) dans ceux-ci (B₁ + B₂ : ils sont alors pleins). — Qui a plus ? — C’est quand même Jacqueline. —  Pourquoi ? — Parce qu’elle a plus. —  Et si tu verses (B₁) dans (C₁ + C₂) ? — C’est quand même Jacqueline, parce qu’elle a beaucoup. —  Toutes les transformations aboutissent à ce même résultat : « C’est Jacqueline, parce que j’ai vu avant qu’elle avait plus. » Maintenant A₃ = A₄, puis A₃ versé en C₁ + C₂ : « C’est quand même la même chose, parce que j’ai vu avant dans l’autre bouteille que c’était la même chose. —  Mais comment c’est encore la même chose ? — Vous videz (l’une) pour remettre dans les autres ! »

Eus (7 ; 2). A₁ est rempli aux ⅔, et A₂ à la ½. On verse A₂ en (C₁ + C₂ + C₃) : « C’est la même chose maintenant ? — Non. On verse du même verre (A₂). Comme ça on ne peut jamais faire la même chose. » Puis A₁ = A₂ et A₂ en B₁ + B₂, etc. : « C’est toujours la même chose, parce que ça vient toujours de la même bouteille. »

Ces quelques cas d’arrivée à la réponse juste suffisent à montrer clairement laquelle des deux hypothèses distinguées au § 3 répond à la réalité du développement. À ne considérer que les réponses des deux enfants de 7 ans, Bert et Eus, il semblerait que la comparaison globale de l’état initial et de l’état final des transformations suffise à l’enfant pour lui permettre d’affirmer la conservation indépendamment de toute multiplication des relations ou de toute partition : « C’est toujours la même chose, dit Eus, parce que ça vient toujours de la même bouteille. » À un certain niveau du développement, la conservation semble donc être due à une déduction a priori et analytique, qui rend inutile l’observation des relations ainsi que l’expérience elle-même. Seulement, si l’on examine les réponses de Aes et de Geo, qui hésitent encore un instant avant [p. 56] de parvenir à la certitude, ou à une certitude généralisée, on voit comme à nu le mécanisme de leur construction et l’on est conduit à reconnaître que le raisonnement qui aboutit à l’affirmation de la conservation consiste en son essence en une coordination des rapports, sous son double aspect de multiplication logique des relations et de composition mathématique des parties et des proportions.

Aes, par exemple, commence par croire que le contenu d’un verre A transvasé dans un verre plus large P donne une quantité moindre, mais il ajoute aussitôt : « Il semble qu’il y a moins parce que c’est plus grand (= plus large), mais c’est la même chose. » Autrement dit, Aes corrige son erreur en coordonnant entre elles les relations de hauteur et de largeur. D’une manière générale, lorsque l’on présente aux sujets de ce stade la question des verres A et L, on obtient des réponses qui, à la différence de celles des derniers stades, témoignent d’une coordination correcte des relations en jeu :

Aes (6 ; 6) commence, il est vrai, par verser en L (long et mince) une colonne de même hauteur qu’en A pour obtenir une même quantité, mais il se corrige tôt après : « C’est la même chose ? — Oui, c’est la même hauteur… Ah ! non, celui-là (L) est plus mince et celui-là (A) plus large (il rajoute du liquide en L). »

Geo (6 ; 6) verse d’emblée jusqu’aux ¾ du verre L pour égaler le ⅕ du verre A : « Est-ce que c’est juste ? — Ça va. —  Est-ce que c’est la même chose à boire ? — C’est la même chose. —  Pourquoi ? — Parce que c’est plus mince ici (L) et c’est plus large là (A). — Qu’est-ce que tu peux faire pour être sûr que c’est la même chose (on lui présente les verres) ? — (Geo prend un verre A₂ et y verse le liquide de L : c’est à peu près la même quantité qu’en A₁.) »

Bert (7 ; 2) commence par mettre le même niveau en L qu’en A, puis rajoute du liquide : « parce que le verre est plus petit : on croit que c’est la même chose, mais c’est pas vrai ».

Eus (7 ; 2) met d’emblée en L une colonne de liquide plus haute (¾) qu’en A (⅕) et motive la chose en disant : « Ici (A), c’est plus bas, mais c’est la même chose que là (L). »

Ela (7 ans) : « Dans celui-ci (L) il faut verser plus, parce que c’est plus mince », et « dans l’autre il y a plus de place, parce que c’est plus large ».

On voit combien ces enfants, qui sont tous parvenus par ailleurs à affirmer la conservation des quantités, arrivent aisément, dans la présente expérience, à multiplier les relations de hauteur et de largeur résultant de la comparaison des verres A et L. Or, et il [p. 57] convient d’y insister, cette question sur les rapports entre A et L a été posée chez tous nos sujets, avant l’interrogatoire portant sur la conservation des quantités : ce n’est donc pas la découverte de la conservation qui entraîne la possibilité de multiplier les relations, mais bien l’inverse. Cela est d’autant plus vrai que la présente question est en moyenne un peu plus facile que celle de la conservation en général, c’est-à-dire que les réponses justes marquent une légère avance sur celles qui postulent l’invariance. Il y a là une nouvelle raison d’admettre que la conservation des quantités, même lorsqu’elle est affirmée d’un bloc à la manière d’un jugement a priori, suppose une construction beaucoup plus complexe qu’il ne semble au premier abord.

Mais la multiplication logique des relations suffit-elle à assurer la découverte de l’invariance des quantités totales ? Il est évident que non, et le moment est venu d’établir pourquoi. Lorsque, après avoir évalué les quantités du seul point de vue des rapports perceptifs unidimensionnels (« quantités brutes »), l’enfant coordonne ces rapports les uns avec les autres, il construit bien ainsi une totalité multidimensionnelle, mais c’est une totalité qui demeure « intensive » et qui n’est pas susceptible de mesures « extensives » tant que, en plus de la multiplication logique, le sujet n’introduit pas de considérations d’ordre proprement mathématique.

Qu’est-ce, en effet, que la multiplication logique des relations de hauteur et de largeur ? Soit une série de récipients de forme A, contenant des liquides de niveaux de plus en plus élevés : A₁ ↑a₁ A₂ ↑a’₁ A₃…, etc. Nous dirons que l’enfant sait additionner ces relations ⁴, si de A₁ ↑a₁ A₂ et de A₂ ↑a’₁ A₃ il sait conclure à A₁ ↑b₁ A₃. Cette opération n’intervient dans nos expériences que sur le plan pratique, puisque les niveaux sont donnés directement à la perception et sont ainsi sériés intuitivement sans qu’il soit besoin de raisonnements. Soit d’autre part une série de bocaux de plus en plus larges L a₂→ B a’₂→ A b’₂→ P…, etc. Nous appellerons également addition la coordination unidimensionnelle de tels rapports. Par contre, nous dirons qu’il y a « multiplication logique des relations » [p. 58] lorsque l’enfant comparera les bocaux entre eux du point de vue de ces deux relations à la fois. Par exemple, si L contient une colonne plus haute et plus mince que A, on a L ↓a₁ a₂→ A ou A ↑a₁ ←a₂ L, etc. (D’où si L ↓a₁ a₂→ A et si A ↓a’₁ a’₂→ P alors L ↓b₁ b₂→ P ; etc.)

Or de telles multiplications logiques de relations interviennent nécessairement dans les solutions de l’enfant, puisque celui-ci n’attribue aucune valeur numérique à ces deux dimensions et ne peut ainsi les multiplier arithmétiquement entre elles. De plus, c’est cette opération logique qui permet au sujet de concevoir une nouvelle relation, celle précisément de la quantité totale, produit logique de la hauteur et de la largeur. Par exemple, si l’on présente le verre A rempli au ⅕ et le verre P plein jusqu’au bord, la seconde masse de liquide étant à la fois plus large et plus haute que la précédente, aucun enfant n’hésitera à conclure que P contient plus de liquide que A (nous écrirons A g→ P). Soit A ↑h l→ P = A g→ P. De même, lorsque Geo compare A₁ rempli à moitié à A₂ rempli au tiers, il n’hésite pas à conclure qu’à largeur égale la colonne plus élevée indique une plus grande quantité. Nous écrirons : A₁ ↓h A₂ l↔ A₂ ←g A₂. Bref, la multiplication des relations apparaît comme l’intermédiaire nécessaire entre la quantité brute ou unidimensionnelle, et la quantification extensive dont il va être question plus bas.

Seulement, ces opérations élémentaires ne sauraient aboutir, cela est clair, qu’à de simples sériations ou graduations « intensives ». En effet, les seules conclusions permises sont les suivantes :

1° ↑h × l→ = g→ ou ↓h × ←l = ←g ;

2° ↕h l→ = g→ ou ↑h × l↔ = g→ ;

Et 3° ↕h × l↔ = g↔.

Autrement dit, si les deux relations varient dans le même sens, si l’une reste égale et que l’autre seule varie ou si les deux demeurent invariantes, alors on peut savoir si la quantité totale augmente, diminue ou demeure identique. Par contre, si la hauteur augmente et que la largeur diminue ou l’inverse, il est impossible de savoir sans plus si la quantité totale augmente, diminue ou reste constante. D’une manière générale, le sujet pourra ainsi concevoir des séries [p. 59] croissantes et décroissantes sous certaines conditions, mais il ne pourra ni savoir de combien une quantité quelconque est supérieure à une seconde, ni si la quantité totale augmente ou diminue lorsque les relations qui la composent varient en sens inverse l’une de l’autre.

Or la notion de la conservation des quantités totales, à laquelle parviennent les enfants de ce stade, suppose précisément une quantification étendue au cas où les relations élémentaires varient en sens inverse, et par conséquent la découverte des quantités « extensives ». En effet, pour affirmer la conservation, il ne suffit pas au sujet de savoir qu’en versant A₁ et A₂, la hauteur et la largeur de la colonne restant égales, la quantité totale ne variera pas : il lui faut inférer en outre que, si l’on verse A₂ en L, par exemple, la quantité demeure constante bien que la hauteur augmente et que la largeur diminue. Soit A₂ ↑h ←l L = A₂ g↔ L. Or cela n’est pas une conclusion possible si l’on s’en tient aux limites de la multiplication logique des relations. Comment donc l’enfant dépassera-t-il ces limites sans données numériques ni mesures proprement dites ? Toute la question est là, et mesure, en général, tout le problème du passage de la quantité intensive à la quantité extensive.

On sera sans doute tenté, parvenu à ce point, de renoncer à analyser plus avant les jugements de conservation et de conclure sans plus avec Geo « on n’a fait que verser » ou avec Eus « ça vient toujours de la même bouteille ». Il y aurait ainsi conservation par simple identification logique, sans intervention d’aucune mathématique. Mais à une telle simplification du processus génétique on sera toujours en droit d’opposer, nous semble-t-il, la question suivante qui resterait alors sans solution : pourquoi faut-il que l’enfant parvienne au troisième stade pour découvrir cette identification ? Les petits de 4 à 5 ans savent, en effet, aussi bien que les grands qu’« on ne fait que verser » et que « ça vient de la même bouteille », et cependant, pour eux, la quantité varie ; pourquoi donc ne peuvent-ils pas identifier l’état terminal à l’état initial, alors qu’à 6 ou 7 ans ils le feront sans difficulté aucune ?

C’est ici qu’intervient un second processus, qui, chose très intéressante, se trouve être à la fois synchronique et distinct du précédent, et dont les relations avec lui doivent être établies avec soin, [p. 60] car elles dominent tout le développement des notions mathématiques : c’est l’intervention de la notion d’« unité », c’est-à-dire la quantification extensive sous forme soit de partition arithmétique, soit, ce qui revient au même, de proportions proprement dites.

Partons d’un exemple concret. Lorsque Aes cherche à obtenir en L une quantité égale au liquide contenu en A (⅕), il verse une colonne plus élevée et conclut « c’est la même chose… parce que c’est plus mince ici (L) et c’est plus large là (A) ». Qu’est-ce à dire ? S’il se bornait à la multiplication logique (A ↑h ←l L), il ne pourrait pas conclure A = L (ou A ↔ L). Il y a donc dans son raisonnement quelque chose de plus : c’est le sentiment d’une proportion précise telle que ce que L perd en largeur il le gagne en hauteur. Si nous appelons hA et hL la hauteur de A ou de L et lA et hL la largeur de A et de L, le sujet Aes postule donc une nouvelle relation, que l’on pourrait écrire (hA/lA) = (hL/lL) ou si l’on traduisait la chose en termes de rapports qualitatifs : (A ↑h L) × (A ←l L) = (A = L) ; soit : la hauteur de A est à sa largeur comme la hauteur de L est à sa largeur ; ou plus simplement : l’augmentation de hauteur de A à L équivaut à la diminution de largeur correspondante.

Or, si nous traduisons les choses en formules symboliques, c’est que l’on aperçoit d’autant mieux, de la sorte, qu’une opération nouvelle intervient nécessairement ici. Au niveau du premier stade, l’enfant se borne, en effet, à établir des différences qualitatives simples ou unidimensionnelles : A l→ P ou A ↑h L, etc. Au cours des stades suivants, lorsqu’il se limite à de pures multiplications logiques des relations, il gradue en plus ces différences, selon une ou plusieurs dimensions, en sériations « intensives » de deux ou quelques termes. Mais ces séries, à part le cas de l’égalité complète A₁ = A₂, ne comportent que des relations asymétriques de différences : en tant que ces différences sont sériables, donc graduables, elles assurent bien une quantification intensive, mais lorsque deux quantités ne se présentent pas sous des relations identiques de hauteur et de largeur, rien ne permet de les égaler. En d’autres termes, la multiplication des relations est une sériation à plusieurs dimensions, mais elle n’aboutit jamais qu’à de nouvelles sériations, et rien ne permet de tirer de cette opération la répartition d’une [p. 61] quantité donnée en unités considérées comme égales les unes aux autres tout en étant distinctes. Au contraire, tant la proportion hA/lA = hL/lL ou (A↑h L) × (A ←l L) = (A = L) que la partition (A₁ = B₁ + N₂) impliquent une fusion des relations asymétriques de différence (↑ ou →) avec celles d’égalité (=), et c’est cette combinaison des égalités et des différences, ou plus brièvement cette égalisation des différences, qui constitue le passage de la quantité intensive à la quantité extensive et qui explique l’arithmétisation de la multiplication logique.

Cherchons à exprimer les choses en langage d’opérations effectives et psychologiquement réelles. Il est clair, tout d’abord, que, si l’on faisait simplement comparer à l’enfant les diverses quantités A₁ et (B₁ + B₂) ou P ; L, etc., il ne disposerait d’aucun moyen pour juger de leur égalité et de leur non-égalité. L’égalité est certes suggérée par l’acte de transvaser le même liquide d’un récipient à un autre. Mais nous avons vu à l’instant que ce transvasement ne suffit pas à expliquer la conservation, puisqu’une altération de forme est jugée par les petits comme entraînant un changement de quantité. Par contre, le transvasement conduit à la notion de l’invariance de la quantité dès qu’il est structuré par les opérations suivantes. Soit le bocal A à l’état vide (nous appellerons Q₀ la quantité nulle). On le remplit au ⅕. La quantité introduite (nous l’appellerons A) diffère ainsi de Q₀ par une largeur et une hauteur données ↑a₁ et b₂→ (soit Q₀ ↑a₁ b₂→A). Si maintenant l’on verse (réellement ou en pensée) A en L, la masse de liquide contenue en L sera plus haute de ↑a’ et moins large de ←a’. Soit A ↑a’₁ a’₂ L, les relations a’₁ et a’₂ marquant donc simplement les différences entre A et L. Tant que le sujet demeure sur le plan de la sériation qualitative ou intensive, il peut bien coordonner entre elles deux relations de niveau (Q₀ ↑a₁ A + A↑a’₁ L = Q₀ ↑b₁ L) ou de largeur (Q₀ b₂→ A + A ←a’₂ L = Q₀ a₂→ L) ou les deux à la fois. Cela revient psychologiquement à dire que, en comparant les liquides contenus en A et en L, il voit d’emblée que L est plus haut que A, le niveau de L étant donc égal à b₁ > a₁, c’est-à-dire égal à celui de A (a₁) plus une différence qui s’ajoute à lui (a’₁). De même, en comparant les liquides, il voit que L est plus mince que A, la largeur de L étant donc égale à celle de A (soit C₂) moins une certaine différence (a’₂), [p. 62] soit (a₂ − a’₂). Mais rien, dans les simples comparaisons ou sériations qualitatives (ou intensives), ne permet de quantifier ces relations autrement qu’en plus ou en moins : ni a₁, ni b₁, ni a’₁ n’ont de valeur numérique, pas plus que a₂ ; b₂ ou a’₂ ; l’enfant voit seulement que b₁ > a₁, etc. Par contre nous prétendons — et c’est là toute notre hypothèse — qu’à un moment donné le sujet comprend que les différences se compensent : il parvient donc à égaler ↑a₁ à ←a₂ (ou plus précisément a’₁ × a₂ = a’₂ × a₁) et c’est ainsi, que débute la quantification extensive, parce qu’alors deux rapports qualitatifs hétérogènes (une augmentation de niveau +a’₁ et une diminution de largeur −a’₂) sont conçues comme égaux tout en conservant leur signification de différence asymétrique. Ainsi naît donc la proportion, par combinaison de l’égalité avec la relation asymétrique.

Or cette proportion est déjà en un sens une partition. Poser +a’₁ = −a’₂, ce n’est plus seulement concevoir la quantité d’ensemble comme une totalité qualitative qui change de valeur à chaque déformation, c’est la structurer en tant que somme décomposable en unités. Sans même connaître le rapport numérique existant entre a’₁ et b₁ ou entre a’₂ et b₂, le sujet conçoit nécessairement a’₁ et a’₂ dans la mesure où il pose a’₁ = a’₂ (ou a’₁ × a₂ = a’₂ × a₁), comme deux parties proprement dites et non plus seulement comme deux différences qualitatives. Le critère à employer est le suivant. Il y a partition dès que les éléments d’un tout peuvent être égalés bien qu’étant distincts, tandis que, lorsqu’une relation d’ensemble ou une classe sont décomposées en sous-relations ou en sous-classes, leurs réunions n’impliquent aucune égalité entre elles mais seulement leur co-inclusion dans le tout. Or de ce point de vue, le fait de poser a’₁ = a’₂ consiste bien à concevoir les différences de niveau ou de largeur sur le mode de la partition et non plus de la simple addition logique (des classes ou des relations).

Mais il y a plus. L’égalisation des différences, dont nous venons de faire le principe de la quantification extensive, engendre précisément, au cours de ce même troisième stade, une partition proprement dite, qui est non seulement synchronique mais complémentaire de la découverte des proportions. Pour Aes, par exemple, dont les réponses concernant les quantités A et L viennent d’être rappelées, [p. 63] il va de soi que A₁ versé en 2 B ou en 4 C donne toujours A₁. Geo hésite à admettre que 6 C sont égaux ensemble à A₂, mais il l’affirme ensuite et généralise à 8 C ; etc. Or, on se rappelle qu’au cours du premier stade un tout n’était nullement conçu comme se conservant une fois réparti en 2 ou en 4 fractions, etc., et que, durant le second stade, cette notion n’était soutenue que pour de faibles partitions pour être abandonnée lors des divisions trop poussées. Comment donc expliquer la genèse de ces relations ?

Si A comparé à la quantité nulle Q₀ est Q₀ ↑b₁ b₂→ A, alors il est clair que B₁ et B₂, dans lesquels est transvasé le contenu de A, diffèrent chacun de A par une diminution de niveau A↓a’₁ B₁ (et A↓a’₁ B₂) ou de largeur A ←a’₂ B1 (et A ←a’₂ B₂). Appelons a₁ B₁ la hauteur perçue en B₁ ; a₁ B₂ celle de B₂ ; a₂ B₁ la largeur de B₁ et a₂ B₂ celle de B₂. Appelons d’autre part a’₁ B₁ la différence de hauteur entre B₁ et A (et a’₂ B₂ celle de B₂) ; a’₂ B₁ la différence de largeur entre B₁ et A (et a’₂ B₂ celle de B₂). Comprendre que B₂ + B₂ = A, c’est donc comprendre non seulement que B₁ = B₂, c’est-à-dire que a₁ B₁ = a₁ B₂ et a₂ B₁ = a₂ B₂, mais encore que B₁ égale la différence entre A et B₂ et que B₂ égale la différence entre A et B₁, soit (a’₁ B₁ × a’₂ B₁ = a₁ B₂ × a₂ B₂) et (a’₁ B₂ × a’₂ B₂ = a₁ B₁ × a₂ B₁). Psychologiquement, cela revient donc à dire qu’une moitié est non seulement une unité égale à une autre unité lorsque, réunie à celle-ci, elles constituent un tout, mais encore que la moitié est égale à la différence entre le tout et l’autre moitié. Sans cette seconde condition, le rapport entre la moitié et le tout ne saurait être compris et la notion du tout s’évanouirait après le partage. La partition est donc bien en son essence une égalisation de différences comme la proportion elle-même, mais dans le cas de A = B₁ = B₂ les deux moitiés B₁ = B₂ sont conçues comme égales, tandis que dans le cas de A = L seules les différences (les parties différentielles a’₁ = a’₂) sont égalées l’une à l’autre, les parties communes n’étant pas prises en considération.

On voit ainsi, en conclusion, combien simple est au fond le processus de quantification dont témoigne la découverte de la conservation des quantités par l’enfant. Le sujet commence — et en reste là durant le premier stade — par ne considérer que des rapports perceptifs non coordonnés entre eux d’égalité ou de différence [p. 64] qualitatives, constituant ainsi respectivement les qualités et les quantités brutes, non composables comme telles. Puis débute au cours du second stade un processus de coordination logique, qui s’achève au troisième stade, et qui aboutit à classer les égalités et à sérier les différences (additivement et multiplicativement), cette sériation aboutissant à la constitution des quantités intensives. Enfin, le troisième stade est marqué par la constitution des quantités extensives, grâce à l’égalisation des différences intensives et par conséquent grâce à l’arithmétisation des groupements logiques.