L’axiomatique des opérations constitutives du temps (1941) ^a

Si nous cherchons à formuler axiomatiquement les opérations en jeu dans la construction psychologique qui précède, nous retrouvons le même mécanisme que dans la genèse du nombre conçu comme une synthèse de la classe et de la relation asymétrique. Cette notion, déjà exposée en une communication antérieure ¹, apparaît ainsi comme applicable à la formation des quantités en général puisqu’elle se retrouve dans le cas de cet autre quantum qu’est le temps : au reste, il est immédiatement visible qu’une fois quantifiés l’ordre temporel et l’emboîtement des intervalles correspondent à l’ordination et à la cardination numériques.

I. Le temps qualitatif

1. L’ordre temporel

Le temps qualitatif repose à la fois sur l’ordre des événements (notion de l’avant et de l’après) et sur la durée des intervalles (moments plus ou moins longs). Mais comme ces deux constructions s’appuient l’une sur l’autre, il est indifférent de commencer par l’une ou par l’autre. Partons donc de l’ordre.

Soit une suite d’événements (par exemple les niveaux successifs dont il a été question plus haut) : A₁ ; B₁ ; C₁ ; etc. Il suffit pour les sérier de leur appliquer les règles du « groupement des relations asymétriques » ² :

(1) A₁ a→ B₁ a’→ C₁ b’→ D₁ c’→ …, etc.

Ce qui signifie simplement que l’état A₁ précède l’état B₁ ou que l’état C₁ succède à l’état B₁, etc. Indépendamment de toute métrique, d’une part, et de toute considération sur la durée des intervalles, d’autre part, une telle sériation implique que si A₁ précède B₁ et que si B₁ précède C₁ alors A₁ précède C₁ (soit A₁ a→ B₁ + B₁ a’→ C₁ = A₁ b→ C₁). En fait ces opérations logiques sont nécessaires à la construction de la série et il est facile de constater psychologiquement leur intervention effective. Les mêmes lois s’appliquent naturellement à la série A₂ a→ B₂ a’→ C₂ … etc.

2. La simultanéité

Chacune des sériations précédentes constitue donc une suite additive de relations asymétriques a + a’ = b ; b + b’ = c, etc. Si maintenant nous voulons mettre ces deux suites en relations réciproques, il suffit de les multiplier l’une et l’autre (grâce à la « multiplication logique des relations qualitatives ») par une troisième relation susceptible d’assurer cette correspondance. En faisant abstraction du temps nécessaire à la première et à la dernière goutte pour le trajet entre les bocaux I et II (c’est-à-dire si nous considérons les colonnes I et II comme contiguës ou la vitesse de chute dans l’air comme infinie), cette relation unissant A₁ à A₂, B₁ à B₂, etc., sera la simultanéité :

(2)	A₁	a→	B₁	a’→	C₁	b’→	D₁…,	etc.
	↕a		↕a		↕a		↕a
	A₂	a→	B₂	a’→	C₂	b’→	D₂…,	etc.

La simultanéité est une relation symétrique qui peut être conçue formellement comme le produit de deux relations d’ordre mais inversés : si A₁ a→ ←a A₂ c’est-à-dire si A₁ précède A₂ et lui succède à la fois, alors l’ordre est annulé : (a→ + a← = 0) et A₁ est simultané par rapport à A₂.

D’autre part, pour introduire physiquement la simultanéité, nous avons dû faire une abstraction grossière en introduisant une vitesse infinie. Or, toute simultanéité réelle requiert une abstraction de ce genre. Même si je vois dans un même champ visuel deux mobiles s’ébranler « en même temps », il a fallu que mon regard passe de l’un à l’autre et je dois faire abstraction de la vitesse du mouvement de mes yeux (qui n’a rien d’infini). La simultanéité n’est donc jamais en fait que la limite d’une relation d’ordre entre deux événements dont les lieux sont séparés et la simultanéité absolue n’est matériellement possible que pour un seul et même événement bien localisé (A₁ a→ ←a A₁).

3. La durée

En dehors de toute métrique, nous ne savons rien du temps absolu écoulé entre A₁ et B₁. Par contre, et c’est en ceci que consiste le temps qualitatif, nous savons d’emblée qu’entre A₁ et C₁ il s’écoule plus de temps qu’entre A₁ et B₁. L’emboîtement des intervalles permet donc une évaluation relative de la durée dont voici le principe. Considérons pour simplifier le temps comme un objet, tel qu’une ligne dont les segments constituent les parties. Nous pouvons alors appliquer aux durées le groupement additif des classes ³ : soient α₁ = l’intervalle s’étendant de A₁ compris à B₁ non compris ; α’₁ = idem de B₁ compris à C₁ non compris ; β’₁ = idem entre C₁ et D₁ ; etc. On a :

(3) α₁ + α’₁ = β₁ ; β₁ + β’₁ = γ₁ ; γ₁ + γ’₁ = δ₁ ; etc.

Ce qui signifie : l’intervalle α₁ réuni à l’intervalle α’₁ constitue un intervalle β₁, etc. D’où β₁ > α₁ et β₁ > α’₁ ; γ₁ > β₁ et γ₁ > β’₁, etc. Mais naturellement on ne sait rien du rapport entre α₁ et α’₁, etc., ou entre β₁ et β’₁ ou encore entre α₁ et β’₁, etc. Notons que l’addition de ces intervalles est commutative α₁ + α’₁ = α’₁ + α₁ tandis que l’addition sériale ne l’est pas, ce qui montre assez la différence des deux opérations. Il n’en reste pas moins que l’on peut partir de l’emboîtement des intervalles α₁, β₁, γ₁, etc., pour en déduire l’ordre des événements limites aussi bien que l’inverse.

II. Le temps métrique

La structuration qualitative du temps conduit donc à deux opérations essentielles : la sériation des événements (y compris leur mise en simultanéité) et l’emboîtement des intervalles, mais sans que le rapport entre ces deux groupements permette de comparer un intervalle α au suivant α’. Nous pouvons seulement dire que les intervalles α et suivant α’ sont qualitativement équivalents en tant qu’emboîtés tous deux en β (soit α = α’), mais alors nous faisons abstraction de leur caractère d’être successifs ; ou que leurs termes limites se succèdent, mais alors nous ne parlons plus des intervalles. Du point de vue qualitatif, l’égalité α = α’ signifierait l’identité α = α d’où α + α = α et non pas 2α. Nous n’avons donc jamais α = α’ au sens de l’égalité inconditionnelle de deux durées successives.

Le passage du temps qualitatif au temps métrique s’effectue donc dès qu’il y a possibilité de considérer les intervalles comme étant à la fois égaux entre eux et cependant différents par leur ordre de succession, soit ⁴ :

α + α’ (α’ = α) = β (= 2α) ; β + β’ (β’ = α) = γ (= 3α) ; etc.

Comment s’opère cette transformation ? Par la promotion d’un temps α en unité mobile susceptible d’itération, c’est-à-dire applicable à des moments successifs du temps : alors seulement l’addition sériale a → + a’→ se confond avec l’addition des intervalles α + α, car dans α + α = 2α l’addition est à la fois commutative et sériale (ou, plus précisément, cardinale et ordinale).

Mais une telle mesure du temps suppose 1° une métrique spatiale (l’égalisation α = α’ repose sur l’égalité des espaces parcourus par un même déplacement de durée constante : ici la hauteur A₂↑B₂). 2° Une cinématique : conservation de la vitesse du mouvement et isochronisme, donc V, T et E. 3° Enfin et surtout la possibilité de parcourir par la pensée le temps dans, les deux sens : le temps n’est mesurable que s’il est réversible et cette réversibilité, préparée par la sériation et l’emboîtement hiérarchique, s’achève avec leur fusion opératoire, laquelle seule constitue une métrique.