Le problème de la comparaison visuelle en profondeur (constance de la grandeur) et l’erreur systématique de l’étalon (1943) ^a 🔗

La comparaison dans le plan nous a paru dépendre au moins de trois sortes de facteurs : 1) la valeur respective des « transports » de l’étalon B₀ ou des variables A et C (si l’on a objectivement A < B₀ et C > B₀), soit Tp (B₀) ⋚ Tp (A ; C) ; 2) l’agrandissement, le rapetissement ou la conservation du terme « transporté », soit E₂ ⋚ E₁ (où E₂ est le terme après transport et E₁ le même terme auparavant) ; 3) la possibilité, selon l’écart transversal entre les termes, de construire ou non une figure, soit Tp ⋚ Fig selon que la longueur des « transports » nécessaires dépasse ou non le champ de la construction possible d’une figure aidant la comparaison. C’est alors selon les valeurs de l’équation (9) que l’erreur systématique P_st sera positive, négative ou nulle. En est-il de même en profondeur et peut-on réduire les faits [p. 279] de surestimation, de sous-estimation ou de vision constante de l’objet éloigné à trois facteurs analogues ?

Il n’est pas douteux, tout d’abord, qu’il existe un « transport » en profondeur comme dans le plan. En comparant la tige proche et la tige éloignée, le sujet cherche soit à tirer une ligne conduisant du sommet de l’une à celui de l’autre, soit même à appliquer mentalement l’un des objets contre l’autre, comme c’est le cas lors des comparaisons dans le plan. Seulement les mouvements intervenant en un tel transport ne consistent plus en une simple rotation de l’œil et de la tête : il s’y ajoute une modification de l’accommodation visuelle. Dès lors, le problème n’est plus seulement de savoir si le transport du mesurant dans la direction du mesuré équivaut au transport inverse, soit Tp (B₀) = Tp (A ; C), mais si tous deux s’effectuent sur un parcours équivalent à la distance réelle qui sépare les objets l’un de l’autre. Dans le cas de la comparaison en plan ce problème ne se pose pas puisque la distance est donnée sans plus, ou du moins est perçue indépendamment de la grandeur respective attribuée à chacun des deux objets. En profondeur, au contraire, la distance suivant laquelle il convient de transporter les objets pour les comparer l’un à l’autre doit être estimée en même temps que la grandeur de l’objet éloigné, ces deux estimations étant solidaires l’une de l’autre, mais soulevant deux questions distinctes et de difficulté égale. Si nous appelons donc Tf le transport en profondeur, il convient donc de dissocier la question Tf (B₀) ⋚ Tf (A ; C) et la question de la distance sur laquelle nous reviendrons à l’instant.

En second lieu, la question se pose, pour la comparaison en profondeur comme pour la comparaison en plan, de savoir si les éléments comparés sont agrandis, rapetissés ou maintenus constants au cours même du transport. Mais, ici encore, les termes du problème sont à ajuster aux données nouvelles. Dans le cas de la vision projective, l’objet éloigné apparaît plus petit et l’objet proche plus grand : il s’agit donc, pour les comparer, d’agrandir le premier et de rapetisser le second, tandis qu’en plan il suffirait de les maintenir invariants. Nous dirons ainsi que le transport en profondeur maintient constants les objets « transportés » si les agrandissements et rapetissements auxquels ils sont soumis ne dépassent pas les agrandissements et rapetissements nécessaires pour traduire la vision projective en une perception correcte de la grandeur respective de ces [p. 280] objets ¹⁵. Nous écrirons en ce cas E₂ = E₁. Nous dirons au contraire que le transport agrandit l’objet soit E₂ > E₁ si cet agrandissement est supérieur à celui qu’exige cette traduction, et que le transport rapetisse l’objet, soit E₂ < E₁ dans le cas inverse.

Il reste la troisième condition Tp = Fig, c’est-à-dire la question de savoir si la longueur du transport excède ou non la distance à laquelle la construction d’une figure d’ensemble est possible. Or, dans le cas de notre présente recherche cette condition n’intervient plus comme telle, puisque même avec un écart transversal de 3-5 cm (situations 3 et 4) une figure d’ensemble ne saurait plus être construite en plan : à 3 m de distance l’un de l’autre les deux objets ne peuvent, en effet, être vus distinctement à la fois, l’accommodation visuelle devant se faire tantôt sur l’un tantôt sur l’autre. C’est ce qui explique qu’il n’y ait pas renversement de l’erreur systématique pour les grands et petits écarts transversaux comme en plan, et que les moyennes pour 1 + 2 et 3 + 4 soient toutes deux positives (le renversement dépendant seulement de la position, proche ou éloignée, de l’étalon). En outre l’erreur systématique est presque toujours plus forte, contrairement à ce qui se passe en plan, pour les petits écarts transversaux (3 + 4) que pour les grands (1 + 2), et ceci pour la même raison : le changement d’accommodation est facilité par le plus grand écart transversal. Par contre, dans le cas des petits écarts transversaux, la vision projective est plus aisée et si une figure d’ensemble intervient, ce ne peut être qu’une figure perspective. Or, la vision projective est précisément celle qui fournit au sujet adulte l’estimation la plus simple de la distance en profondeur. Mais la question se pose, étant données en particulier les difficultés de l’enfant jusque vers 7-8 ans de dessiner en perspective ou de se représenter projections et perspectives, de savoir si les petits savent traduire aussi bien que nous une longueur projective en distance réelle. La question se pose naturellement aussi de savoir si tous les adultes la traduisent de la même façon ou si des fluctuations se manifestent qui seraient en relation avec celles de l’estimation des grandeurs en profondeur. Dans le cas de l’adulte comme dans celui de l’enfant, il faut donc prévoir une troisième condition de la perception en profondeur, correspondant dans le plan à [p. 281] celle des rapports entre le transport et la construction d’une figure. Si nous appelons Dist la distance entre les objets à comparer à des profondeurs distinctes, et Tf la longueur des transports tels qu’ils sont effectués en fonction de la vision projective, cette troisième condition s’exprimerait par le rapport Dist ⋚ Tf : selon que le transport effectivement accompli est plus petit, plus grand ou égal par rapport à la distance en profondeur, l’objet éloigné sera, en effet, estimé de grandeur différente.

Cela dit, la comparaison en profondeur dépend donc au minimum des conditions suivantes :

(1) [Tf (B₀) ⋚ Tf (A ; C)] × (E₂ ⋚ E₁ × [Dist ⋚ Tf] = P’_st

où B₀ est l’étalon et A ; C des variables telles que l’on ait objectivement A < B₀ < C. Le symbole P’_st désigne l’erreur systématique globale intervenant dans la comparaison en profondeur.

Il est alors possible, en s’appuyant sur l’analyse des erreurs systématiques en plan contenue dans l’article précédent, de chercher à exprimer selon une telle formule, les résultats indépendants de l’âge énumérés au § 3, et de décomposer en ses éléments l’erreur globale P’_st.

Commençons par faire abstraction des questions de distances, c’est-à-dire du troisième des rapports de l’équation (1) et n’envisageons que les deux premiers, qui sont communs à la comparaison en profondeur et à la comparaison dans le plan. Nous pouvons alors expliquer très simplement l’erreur systématique de l’étalon en faisant intervenir les facteurs de centrations différentielles dont nous avons vu (Recherches II, prop. 27) qu’ils conditionnaient les inégalités de transports. Comme nous l’avons déjà vu à propos de l’illusion de Delbœuf (Recherches I), puis à propos des erreurs systématiques propres à la comparaison dans le plan, le fait de centrer le regard sur un objet ou une figure suffit à en surestimer les dimensions par opposition à la périphérie de la zone centrale, les termes périphériques étant sous-estimés. Lorsqu’un élément demeurant fixe et servant ainsi de mesurant est comparé à des éléments variables faisant ainsi fonction de mesurés, il est clair que le premier sera davantage « centré » que les seconds, soit à cause de sa qualité d’étalon soit quantitativement à cause des durées de fixation : étant davantage centré, il sera alors surestimé et les variables sous-estimées, et cela indépendamment de la profondeur [p. 282] même s’ils sont disposés en profondeur l’un par rapport à l’autre. Or, on a vu (II, prop. 27) qu’en moyenne celui de deux termes comparés qui est le plus centré est par le fait même davantage « transporté ». On peut donc formuler de la façon suivante l’explication des faits constatés sous 1 au § 3 :

On a d’abord, en vertu de la prop. 27 (art. précédent) :

(2) Ct (B₀) ≶ Ct (A’ ; C) = Tf (B₀) ≶ Tf (A’ ; C’)

et Ct (B’₀) ≶ Ct (A ; C) = Tf (B’₀) ≶ Tf (A ; C)

où B₀ est l’étalon proche et B’₀ le même étalon mais éloigné ; A et C les variables proches plus petites et plus grandes que l’étalon et A’ et C’ les mêmes variables mais éloignées.

Nous admettrons ensuite que, en profondeur comme en plan, c’est l’étalon qui est davantage « transporté ». Nous ne pouvons l’affirmer en fait. Nous savons seulement qu’il existe un transport en profondeur comme en plan et que dans les moyennes du tableau II l’étalon est toujours surestimé. Il est donc probable, puisqu’il y a erreur systématique de l’étalon, que ce dernier est « transporté » plus que les variables. Si cela n’était pas le cas, il suffirait d’ailleurs d’inverser les signes de tous les rapports en jeu, puisque c’est leur combinaison qui importe (voir art. précédent, § 4) et non pas la valeur absolue de chacun d’eux.

Quant à l’agrandissement ou au rapetissement du terme transporté, nous pouvons admettre, également par analogie avec ce qui se passe en plan, que E₂ > E₁ (avec les corrections que l’on vient de voir quant à la signification de ce symbole en profondeur).

Cela dit, et en faisant abstraction des questions de distance (en supposant donc pour un instant que Dist = Tf), on obtiendrait, comme interprétation de l’erreur de l’étalon, les formules :

(3) [Tf (B’₀) > Tf (A ; C)] × [E₂ > E₁] × [Dist = Tf] = [A < B’₀ = C]

c’est-à-dire que l’étalon éloigné étant surestimé dans sa comparaison avec A et C proches, il paraîtra égal à C qui est plus grand que lui, et inégal à A qui est plus petit : il y a en ce cas surestimation en profondeur. Mais on a d’autre part :

(3 bis) [Tf (B₀) > Tf (A’ ; C’)] × [E₂ > E₁] × [Dist = Tf] = [A’< B₀ = C’]

ce qui signifie cette fois que l’étalon proche étant surestimé, les variables vues en profondeur sont sous-évaluées, d’où [p. 283] l’égalité apparente de B₀ et de C’ et l’inégalité apparente, supérieure à l’égalité réelle, de B₀ et de A’.

Ces propositions (3) et (3 bis) correspondent sans plus à ce que l’on observe pour la moyenne des enfants de 5 à 8 ans (tableau II). Chez l’adulte, il se produit le même phénomène mais, pour les situations 1 et 3 (cf. prop. 3 bis) l’erreur de l’étalon prévue par le calcul (3 bis) se trouve être compensée, et même surcompensée par une surestimation systématique en profondeur, sur laquelle nous reviendrons au § 5 sous 8°.

Nous avons vu que, contrairement à ce qui se produit dans la comparaison en plan, les erreurs systématiques observées ne se sont pas trouvées directement, mais au contraire presque inversement proportionnelles à l’écart transversal. Or, la chose est au premier abord surprenante : dans les situations 1 à 4 l’élément éloigné étant situé à des profondeurs analogues par rapport au sujet (3 m 10 pour 1 + 2 et 3 m 70 pour 3 + 4) et l’élément proche à des profondeurs constantes (70-80 cm) il semblerait que la différence d’écart transversal (1 m environ pour 1 + 2 et 3-5 cm pour 3 + 4) dût jouer un rôle prépondérant. Or, non seulement, nous voyons par les résultats numériques qu’il n’en est rien, mais les sujets ont dans la majorité des cas éprouvé à l’introspection, une difficulté beaucoup plus grande à faire la comparaison dans le cas du petit écart que dans celui du grand : dans le premier cas, en effet, le changement d’accommodation doit s’effectuer sur une très courte distance angulaire, tandis que dans le second, il se fait progressivement au cours d’un transport beaucoup plus long (transversalement).

Cette remarque nous conduit à l’explication du rôle de l’écart transversal, qui est aisée à fournir. Dans le cas de la comparaison en plan, l’erreur systématique est fonction de cet écart pour des raisons, qu’on se rappelle, de relations entre la longueur du transport à fournir et la distance conditionnant la possibilité de construire une figure : pour les petites distances la comparaison se fait en général au moyen d’une figure supposée (soit Fig > Tp) et alors l’erreur systématique est à la fois plus faible et négative (par surestimation du mesuré) tandis que pour les grandes la figure étant impossible à construire (soit Tp > Fig) l’erreur est plus forte et positive (par surestimation de l’étalon). Or, dans le cas de la comparaison en profondeur la situation est inverse, [p. 284] pour les raisons que l’on a vues au début de ce § , sous (0). Toute figure plane étant alors exclue, il ne subsiste que la possibilité d’une figure projective s’accompagnant elle-même d’un transport de l’objet en profondeur. D’où la question de savoir si le transport en profondeur, effectivement réalisé par les mouvements et l’accommodation des yeux, correspond à la distance ou si (Dist ≶ Tf). Dès lors, pour un écart transversal faible, il y a une probabilité plus grande pour que le transport effectué ne corresponde pas à la distance et ceci à cause des changements brusques d’accommodation que nécessite le passage de l’objet proche à l’objet lointain. Pour un écart transversal plus considérable, au contraire, les facteurs de distances et de transport en profondeur tendent à s’égaliser et seule la longueur du transport transversal subsiste comme cause d’erreur. On aurait ainsi, pour les petits écarts transversaux (si P_st II est l’erreur en profondeur indépendamment de l’erreur de l’étalon) :

(4) [Tf (B₀) > Tf (A ; C)] × (E₂ > E₁ × [Dist ≶ Tf] = [P_st II₁]

et pour les grands écarts :

(4 bis) [Tf (B₀) > Tf (A ; C)] × [E₂ > E₁] × [Dist ⇄ Tf] = [P_st II₂] où P_st II₂ < P_st II₁

étant admis, naturellement, qu’il s’agit là, pour les erreurs systématiques en profondeur P_st II₁ ou P_st II₂ de simples valeurs statistiques se combinant avec les autres facteurs et en particulier avec l’erreur de l’étalon résultant de la longueur même du transport, quelle que soit la direction de ce dernier.

2 bis. Excédent de l’erreur systématique en profondeur sur l’erreur systématique en plan. — L’interprétation que nous venons de tenter du rôle de l’écart transversal prend d’autant plus de vraisemblance qu’elle s’apparente à celle que nous allons être conduits à donner de l’erreur systématique en profondeur. Nous avons, en effet, constaté jusqu’ici qu’il existe en profondeur comme en plan une erreur de l’étalon et que tout porte donc à admettre une interprétation semblable dans les deux cas ; cette erreur résulterait donc du mécanisme des « transports » (valeurs Tf B0 ≶ Tf A ; C et E₂ ≶ E₁). Le rôle de l’écart transversal étant, d’autre part, différent dans les deux cas, nous l’avons attribué en profondeur à un rapport (Dist ≶ Tf) distinct quoique parent du rapport qui intervient en plan (Fig ≶ Tp). S’il en est ainsi, c’est précisément ce facteur (Dist ≶ Tf) dont les [p. 285] valeurs > ou < doivent rendre compte du sens des erreurs en profondeur.

La chose est aisée à comprendre. Si la comparaison en profondeur résulte d’un même processus de « transports » qu’en plan, donnant lieu aux mêmes erreurs de l’étalon, comment ce processus expliquera-t-il en outre qu’il y ait surestimation ou sous-estimation systématiques selon la troisième dimension, et cela en plus de l’erreur de l’étalon ? Dans la comparaison en plan, en effet, l’erreur de l’étalon est simplement fonction de la distance entre les objets comparés. En profondeur, au contraire, il intervient deux nouveautés : 1° l’erreur de l’étalon n’est plus fonction de la distance transversale comme on vient de le voir et 2° elle peut être, selon les cas, renforcée ou diminuée par les estimations en profondeur comme si celles-ci étaient indépendantes du mécanisme entraînant l’erreur de l’étalon. Pour rétablir l’unité entre ces deux sortes d’erreurs tout en rendant compréhensible le fait qu’elles peuvent soit se surajouter l’une à l’autre soit se compenser, il faut donc décomposer P’_st (qui est défini par la prop. 1), de la manière suivante :

a) Les inégalités de transport, soit (Tf B₀ ≶ Tf A ; C) × (E₂ ≶ E₁), résultant elles-mêmes des inégalités de centrations, provoqueraient l’erreur de l’étalon.

b) Ces mêmes transports (de B₀ sur A ; C ou l’inverse) peuvent être dans leur ensemble trop grands ou trop petits par rapport à la distance réelle qui sépare les objets. C’est ce que nous exprimons en disant que la longueur des transports (Tf) évaluée par le sujet (en vision projective) est trop petite ou trop grande par rapport à (Dist).

On peut alors appeler P_st F l’erreur (a), puisqu’elle est analogue à celle que l’on observe en plan et P_st II l’erreur résultant de (b). On a donc :

(5) P’_st = (P_st I’) + (P_st II) où (P_st I’ ≶ P_st I)

Ce qui explique pourquoi l’erreur systématique globale en profondeur dépasse toujours, pour les mêmes distances, l’erreur systématique dans le plan (voir § 2 n° 2 bis).

Quant à l’erreur P_st II, qui dépend donc de la quantité (Dist ≶ Tf), on peut la décomposer elle-même comme suit : 1° le degré d’inégalité entre Dist et Tf explique, comme on l’a vu par les prop. 4 et 4 bis, le rôle de l’écart transversal dans la comparaison en profondeur (Dist ≶ Tf donne P_st II₁ et [p. 286] Dist ≶ Tf donne P_st II₂) ; 2° le signe > ou < donne alors le sens de l’erreur d’estimation en profondeur et c’est ce que nous allons voir maintenant.

Le sens concret de l’interprétation que nous proposons est donc fort simple : bien que la comparaison des objets en profondeur repose, comme en plan, sur un mécanisme de transport qui les agrandit ou les rapetisse au cours du déplacement du regard et explique ainsi l’erreur de l’étalon, il subsiste cette différence qu’en profondeur le transport peut situer l’objet éloigné trop loin ou trop près de l’objet proche, ce qui a pour résultat de faire juger le premier des deux plus grand qu’il n’est en réalité ou plus petit et cela indépendamment de son rôle de mesurant ou de mesuré. En effet, s’il est estimé plus éloigné qu’il n’est en réalité, sa grandeur apparente fera surévaluer sa grandeur réelle et s’il est estimé trop proche, sa grandeur apparente fera sous-évaluer sa grandeur réelle. Dans le premier cas, nous disons que la distance appréciée d’après la vision projective dépasse la distance réelle ou, si l’on préfère, que le transport en profondeur dépasse la distance, soit Tf > Dist, et dans le second cas nous disons l’inverse, soit Dist > Tf. Comment alors expliquer le détail des résultats obtenus ?

On a vu (§ 3, n° 3) que dans les situations 2 et 4 l’étalon vu en profondeur est toujours surévalué, c’est-à-dire que la variable est sous-évaluée. Dans les situations 1 et 3, au contraire, la variable éloignée est surévaluée par les adultes et sous-évaluée par les enfants. En outre, la surestimation de l’étalon lointain en 2 et 4 est plus forte chez l’adulte que chez l’enfant. Tout se passe donc comme s’il existait différentes erreurs systématiques en profondeur, de sens inverse les unes des autres, c’est-à-dire par surestimation ou sous-estimation de l’objet éloigné, et qui peuvent tantôt s’ajouter à l’erreur de l’étalon tantôt la compenser, selon que l’étalon est lui-même lointain ou proche. Il s’agit alors pour expliquer ces deux erreurs possibles en profondeur Tf > Dist ou Tf < Dist, de les réduire à des facteurs analogues à ceux de l’erreur de l’étalon.

Supposons d’abord que la variable éloignée soit vue plus grande qu’elle n’est en réalité. On peut alors indifféremment admettre que sa grandeur apparente est augmentée à une distance correcte, ou qu’elle est perçue selon sa grandeur exacte [p. 287] mais à une distance trop grande, car, dans les deux cas, la grandeur apparente donne lieu à une surestimation de la grandeur réelle. Or, lorsqu’il s’agit de l’erreur de l’étalon, une surestimation peut être due soit à un excès de transport (Tf B₀ ≶ Tf A) soit à un agrandissement de l’élément en cours de transport (E₂ > E₁). Si A est surestimé en profondeur (soit A’ > A), on peut donc attribuer ce fait soit à un transport plus grand de A’ que de l’étalon (soit Tf A’ > Tf B₀) soit à un agrandissement différentiel de A’ transporté sur B₀ et de B₀ transporté sur A’ (soit A’₂ > A’₁ et B₂ < B₁). Mais d’admettre Tf A’ > Tf B₀ soulève cette difficulté que l’erreur de l’étalon, qui n’est nullement abolie par l’erreur en profondeur, implique le rapport inverse Tf B₀ > Tf A’. Supposons donc que l’on ait A’₂ > A’₁ et B₂ < B₁, ce qui reviendrait à dire que le terme éloigné est agrandi (au cours du transport permettant de le comparer à l’étalon) davantage que l’étalon proche n’est lui-même rapetissé (au cours du transport permettant de le comparer à la variable distante). Mais comment expliquer cet agrandissement différentiel des deux termes transportés ? C’est ici que nous pouvons choisir entre les deux hypothèses de départ : surévaluation de la grandeur apparente avec évaluation correcte de la distance ou surestimation de la distance. Or, la première supposerait à nouveau un transport de type Tf A’ > Tf B difficilement compatible avec l’erreur de l’étalon. La seconde, au contraire, rendrait précisément compte de l’inégalité (A’₂ > A’₁) : en effet, si le terme éloigné est perçu selon sa grandeur apparente exacte (réserve faite de l’erreur de l’étalon qui porte justement et exclusivement sur ce point), mais selon une figure projective qui surévalue la distance, alors, il devient naturel, d’une part, que son transport entraîne un agrandissement A’₂ > A’₁, et, d’autre part, que l’erreur en profondeur résulte d’un excès de transport Tf > Dist distinct des inégalités de transport qui expliquent l’erreur de l’étalon. On peut donc choisir comme modèle explicatif le système :

(6) (B₀ + A’) × (Tf > Dist) = (A’₂ > A’₁) + (B₂ < B₁) ¹⁶

Voyons maintenant le cas de l’étalon éloigné B’₀ et de la variable proche A, lorsque la surévaluation en profondeur vient se surajouter à la surévaluation de l’étalon. Le même raisonnement donne alors :

(6 bis) (B’₀ + A) × (Tf > Dist) = (B₂ > B₁) + (A₂ < A₁)

l’excès de transport (Tf > Dist) venant se superposer à l’inégalité (Tf B₀ > Tf A ; C), cause de l’erreur de l’étalon.

Lorsque, d’autre part, la variable éloignée est sous-évaluée par rapport à l’étalon proche, on aura :

(7) (B₀ + A’) × (Tf < Dist) = (A’₂ < A’₁) + (B₂ > B₁)

c’est-à-dire qu’il y aura agrandissement trop faible du terme éloigné au cours de son transport vers l’étalon, les transports de B₀ sur A et inversement étant eux-mêmes trop faibles par rapport à la distance réelle en profondeur, qui est sous-estimée. L’erreur en profondeur se surajoutera donc ici à l’erreur de l’étalon, ce qui est le cas de la moyenne des enfants.

Enfin, lorsque l’étalon éloigné est sous-estimé en tant que vu en profondeur, on aura :

(7 bis) (B’₀ + A) × (Tf < Dist) = (A₂ > A₁) + (B₂ < B₁)

c’est-à-dire que l’erreur en profondeur tendra à compenser l’erreur de l’étalon.

Si maintenant, l’on compose ces prop. 6 et 7 avec les prop. 3 et 3 bis, selon le cadre général de la prop. 1, on obtient les quatre possibilités suivantes :

1° Pour Tf > Dist (prop. 6 et 6 bis composées avec 3 bis et 3) :

(8) [Tf (B₀) > Tf (A’ ; C’)] × [E₂ > E₁] × [Tf > Dist] 
= [Tf (B₀) > Tf (A’ ; C’)] × [{(B₀)₂ > (B₀)₁} + {(A ; C)₂ >
 (A ; C)₁}] × [{(B₀)₂ < (B₀)₁} + {(A’ ; C’)₂ > (A’ ; C’)₁}] 
= prob. [A’ = B₀ < C’]

où le symbole « prob » désigne la conclusion simplement la plus probable. En effet, si (B₀)₂ > (B₀)₁ résultant de E₂ > E₁ est compensé par (B₀)₂ > (B₀)₁ résultant de Dist < Tf alors (A ; C)₂ > (A ; C)₁ provenant de E₂ > E₁ est renforcé sans plus par le même rapport issu de Dist < Tf, d’où la surestimation de A’ et de C’ et l’erreur systématique A’ = B₀ < C’.

Si, au contraire, B₀ est éloigné et A ; C proches, on a :

(8 bis) [Tf (B’₀) > Tf (A ; C)] × [{(B₀)₂ > (B₀)₁} + {(A ; C)₂ > (A ; C)₁}] × [{(B’₀)₂ > (B’₀)₁} + {(A ; C)₂ < (A ; C)₁}] 
= prob. [A < B’₀ = C]

2° Pour Tf < Dist (prop. 7 et 7 bis composées avec 3 bis et 3) :

(9) [Tf (B₀ > Tf (A’ ; C’)] × [{(B₀)₂ > (B₀)₁} + (A ; C)₂ 
> (A ; C)₁}] × [{(B₀)₂ > (B₀)₁} + {(A’ ; C’)₂ < (A’; C’)₁}] 
= prob. [A’ < B₀ = C’]

et, si B₀ est éloigné et A ; C proches :

(9 bis) [Tf (B’₀) > Tf (A ; C)] × [{(B₀)₂ > (B₀)₁} + {A ; C)₂) 
> (A’ ; C)₁)] × [{(B’₀)₂ < (B’₀)₁) + {(A ; C)₂ > (A ; C)₁}] 
= prob. [A = B’₀ < C]

Les prop. 8 et 9 correspondent aux situations 1 et 3 et les prop. 8 bis et 9 bis aux situations 2 et 4. On obtient ainsi pour la prop. 8 une surestimation de la variable en profondeur A’ ; pour la prop. 8 bis une surestimation de l’étalon en profondeur B’₀ ; pour la prop. 9 une sous-estimation de la variable en profondeur (B₀ proche est égalé à C’ plus grand que lui) et pour la prop. 9 bis une sous-estimation de l’étalon en profondeur. Les prop. 8 et 8 bis correspondent à ce qu’on observe chez l’adulte. La prop. 9 correspond aux situations 1 et 3 chez l’enfant. Quant à la prop. 9 bis, qui prévoit la conclusion probable A’ = B₀ < C’ par compensation de (B₀)₂ > (B₀)₁ et de (B₀)₂ < (B₀)₁ elle ne correspond qu’au 33 % des enfants, 50 % d’entre eux faisant dominer (B₀)₂ > (B₀)₁ par erreur de l’étalon sur (B₀)₂ < (B₀)₁ par sous-estimation à distance.

On comprend donc le caractère complexe de l’erreur systématique globale en profondeur P’_st et la nécessité de la décomposer en erreurs systématiques spéciales susceptibles de se cumuler ou de se compenser.

Si nous introduisons ce que nous ont appris les prop. 8 à 9 bis dans le cadre de la prop. (5), nous obtenons en effet les combinaisons suivantes, qui expliquent la fréquence des diverses erreurs systématiques et en particulier des surconstances :

1° Pour Tl > Dist (nous désignons par +P_st une erreur systématique positive et par −P_st une erreur négative), on a en vertu des prop. 8 et 8 bis :

a) dans les situations 1 + 3 (étalon proche) :

(10) + P_st I’ − P_st II = − P’_st si P_st I’ < P_st II

d’où la surestimation de la variable en profondeur ;

b) dans les situations 2 + 4 :

(10 bis) + P_st I’ + P_st II = + P’_st

d’où une double surestimation de l’étalon en profondeur.

[p. 290] 2° Pour Tf < Dist, on a, d’autre part, en vertu des prop. 9 et 9 bis :

a) dans les situations 1 + 3 (étalon proche) :

(11) + P_st F + P_st II = + P’_st

d’où une forte sous-estimation de la variable en profondeur par addition des deux erreurs systématiques de même signe ;

b) dans les situations 2 + 4 :

(11 bis) + P_st I’ − P_st II = + P’_st

si

P_st I’ > P_st II

d’où une surestimation légère de l’étalon en profondeur par compensation partielle entre les deux erreurs de signes contraires.

On se rappelle (voir II, prop. 24) les rapports que le seuil d’égalité, dont l’extension s’exprime par la déformation P_rd, soutient dans les comparaisons en plan avec l’erreur systématique P_st. Dans la mesure où l’un des termes comparés entre eux, l’étalon B₀ ou une variable A ou C, est centré par le regard, il donnera lieu à un transport plus ou moins important dans la direction de l’autre terme et sera plus ou moins agrandi au cours de ce transport. Si l’on désigne par Cp (B₀) l’agrandissement de B₀ au terme de son transport et par Cp (A ; C) celui des variables A ou C au terme du leur, on a alors :

P_st = Cp (B₀) − Cp (A ; C)

ou

Cp (A ; C) − Cp (B₀)

c’est-à-dire que l’erreur systématique exprime l’asymétrie de ces déformations (d’où

P_st = 0 si Cp B₀ = Cp A ; C)

et

P_rd = Cp (B₀) + Cp (A ; C)

c’est-à-dire que P_rd exprime l’extension même des déformations.

Il s’ensuit que, tout en ayant les mêmes causes, l’erreur systématique et l’extension du seuil soutiennent entre elles des relations complexes : l’existence d’une erreur systématique implique l’extension du seuil, et réciproquement la non-extension du seuil aboutit à la suppression de l’erreur systématique, mais la suppression de l’erreur systématique n’entraîne pas celle de l’extension du seuil et réciproquement la présence de cette dernière n’implique pas l’existence d’une erreur systématique. La chose se comprend aisément par l’illustration graphique : si l’on représente la hauteur constante de l’étalon par une horizontale et les agrandissements Cp (B₀) ou Cp (A ; C) par des obliques d’autant plus inclinées que Cp est considérable, l’extension du seuil P_rd est alors représentée par l’ouverture de l’angle [p. 291] ainsi formé entre les obliques et l’erreur systématique P_st par leur obliquité médiane eu égard à l’horizontale (voir art. précéd., fig. 2).

Or, dans le cas de la comparaison en profondeur, cette interprétation se confirme pleinement. En plus des déformations Cp (B₀) ou Cp (A ; C) communes aux comparaisons dans le plan et en profondeur (= P_rd I), l’extension du seuil dépendra naturellement aussi de (B’₀)₂ ≷ (B’₀)₁ ou de (A’ ; C’)₂ ≷ (A’ ; C’)₁ c’est-à-dire des mêmes déformations mais en profondeur. Appelons x’ le terme éloigné en profondeur et x le terme proche. On aura donc, si Cp (x’) et Cp (x) sont les accroissements (ou rapetissements) résultant de Dist S Tf, donc supérieurs ou inférieurs à ceux qui correspondraient à la distance exacte (Dist = Tf) :

P_st II = Cp (x’) − Cp (x) ou Cp (x) − Cp (x’) ;

et

P_rd II = Cp (x’) + Cp (x)

Il en résulte alors les conséquences suivantes. En premier lieu, l’extension globale du seuil sera plus considérable en profondeur qu’en plan (et cela pour un même écart transversal). En effet, on a :

(12) P’_rd = P_rd I’ + P_rd II

où

P_rd I’ ⇄ P_rd I = Cp (B₀) + Cp (A ; C) = (B₀)₂ ≷ (B₀)₁ + (A ; C)₂ ≷ (A ; C)₁

et

P_rd II = Cp (x’) + Cp (x) = (B’₀)₂ ≷ (B’₀)₁ ⇄ (A ; C)₂ ≷ (A ; C)₁

ou

(B₀)₂ ≷ (B₀)₁ + (A’ ; C’)₂ ≷ (A’ ; C)₁

Les symboles P’_rd désignant l’extension globale du seuil en profondeur ; P_rd I l’extension du seuil dans le plan et P_rd I’ l’extension du seuil en fonction de l’erreur de l’étalon mais intervenant dans la comparaison en profondeur.

En second lieu, si l’extension du seuil en profondeur résulte ainsi de la réunion de ces différentes asymétries, qui interviennent toutes également dans l’erreur systématique en profondeur, il doit y avoir dans les grandes lignes corrélations entre les valeurs de l’une et de l’autre. Or, c’est précisément ce que l’on constate (voir § 3, n° 4) et même de la façon la plus claire dans les tableaux I, II et IV dont nous pouvons, extraire les valeurs suivantes :

Les transformations de l’extension du seuil étant ainsi corrélatives à celles de l’erreur systématique, on peut donc, en se fondant sur les prop. 10 à 11 bis, formuler les premières de la façon suivante. Comme le montre la prop. 12, l’extension globale du seuil P’_rd se décompose en P_rd I’ et P_rd II, la valeur P_rd I’ se rapportant aux inégalités E₂ ≷ E₁ qui sont communes aux comparaisons en plan et en profondeur et la valeur P_rd II se rapportant à (A ; C)₂ ≷ (A ; C)₁ + (B₀)₂ ≷ (B₀)₁. Il s’ensuit que P_rd I’ correspond à P_st I’ et P_rd II correspond à P_st II. Si l’on applique alors les prop. 10 à 11 bis, on peut admettre que les valeurs P_rd I’ et P_rd II s’additionnent l’une à l’autre ou se compensent partiellement (par soustraction), selon que les erreurs systématiques correspondantes se trouvent entre elles dans ces mêmes rapports. D’où :

1° Pour Tf > Dist (correspondant aux moyennes adultes), on a d’abord, dans les situations 1-3 :

(13) + P_rd I’ − P_rd II = P’_rd (1-3)

d’où un seuil moyen pour (1-3) inférieur à (2-4). En effet : dans les situations 2-4 on a (si Tf > Dist) :

(13 bis) + P_rd F + P_rd n = P’_rd (2-4) > P’_rd (1-3)

2° Pour Tf < Dist (correspondant aux moyennes enfantines), les situations 1-3 donnent :

(14) + P_rd I’ + P_rd II = P’_rd (1-3)

d’où un seuil moyen supérieur à (2-4). En effet, on trouve dans les situations 2-4 :

(14 bis) + P_rd I’ − P_rd II = P’_rd (2-4) < P’_rd (1-3)

On constate donc que les quatre valeurs numériques de l’extension du seuil, rappelées à l’instant, s’expliquent aisément par les compositions de deux seuils élémentaires P_rd I’ et P_rd II correspondant l’un à l’erreur de l’étalon et l’autre à l’erreur d’estimation en profondeur. Le facteur commun à ces deux extensions de seuils est l’agrandissement ou le rapetissement des éléments au cours des transports, tels que nous les avons détaillés dans les prop. 8 et 8 bis (cf. 13 et 13 bis) et 9 et 9 bis (cf. 14 et 14 bis). On constate alors, et toute l’explication se réduit à cette cause simple, que quand on a agrandissement de l’étalon à la fois par erreur de l’étalon, soit (B₀)₂ > (B₀)₁ et par surestimation à distance, soit (B’₀)₂ > (B’₀)₁, l’extension du seuil augmente tandis que si l’erreur de l’étalon agrandit [p. 293] celui-ci pendant que l’erreur en profondeur le diminue, le seuil diminue d’extension. Dans le cas Dist < Tf (adultes) le seuil s’étend donc davantage lorsque l’étalon est éloigné et dans le cas Dist > Tf (enfants) lorsqu’il est proche, d’où les prop. 13 à 14 bis et la corrélation entre les extensions globales du seuil et les erreurs systématiques globales (prop. 10 à 11 bis).

Pourquoi, tout d’abord, le seuil d’égalité tend-il, dans la moyenne de tous les sujets (enfants et adultes), à diminuer d’extension en cours d’expérience ? P. ex., dans la situation 3 le seuil des enfants passe de 10,65 à 9,35 ; 7,90 et 5,75 des premières à la quinzième mesure, tandis que celui des adultes passe de 5,00 à 4,50 ; 4,25 et < 2,50, etc. Sans doute, la technique concentrique, au moyen de laquelle l’expérimentateur resserre peu à peu les mesures, peut jouer un rôle dans la production d’un tel phénomène. Mais il n’en demeure pas moins que le sujet, jugeant d’abord égales à l’étalon des hauteurs présentant entre elles une différence n initiale se refuse en fin d’expérience à de telles égalisations et ne les maintient que dans une limite n’ > n. Si la technique concentrique l’a aidé à affiner son estimation, il n’en reste donc pas moins qu’il s’est laissé aider. La preuve qu’il y a là une réaction active de la part du sujet est précisément qu’elle n’est pas générale mais simplement dominante en moyenne. En quoi consiste cette réaction ? On ne peut pas, à strictement parler, invoquer l’apprentissage, puisque le sujet ne connaît pas ses résultats successifs et ne saurait donc se corriger intentionnellement. Mais il est clair qu’il est permis, par contre, d’invoquer un certain type d’exercice inhérent à la répétition même de l’action d’estimer (à l’assimilation reproductrice). Que cet exercice ne soit pas rigoureusement général, mais simplement probable, cela se comprend de soi selon que les fixations alternatives du mesurant et du mesuré produisent des compensations — cas le plus probable — ou des déformations — cas moins probable — dans leurs actions successives les unes sur les autres. On est ainsi en présence d’un phénomène analogue à celui que nous avions déjà décrit à propos de l’illusion de Delbœuf (Recherches I, prop. 39, p. 97) et que l’on peut donc formuler de la même manière. Si nous appelons P_rd Cp¹₀ l’extension du seuil (P_rd) propre à la comparaison (Cp) entre l’étalon (₀) et le premier mesuré (1) et P’_rd Cpⁿ₀ l’extension du [p. 294] seuil propre aux comparaisons entre l’étalon (₀) et n termes successifs, on a donc, en moyenne :

(15) P’_rd Cp¹₀ > P’_rd Cp ⁿ₀

par analogie avec la prop. (39) :

P Ct¹x > P Ctⁿx (I, p. 97).

Mais comment expliquer ce rétrécissement général en cours d’expérience ? S’il y avait diminution de toutes les valeurs, y compris celle de l’erreur systématique, la chose serait aisée. Or, il est à noter — et cela soulève un problème d’un grand intérêt — que, si l’extension de tous les seuils adultes et enfantins diminue, l’erreur systématique s’accentue au contraire chez l’adulte, au cours des mesures, alors que seule l’erreur enfantine diminue. Pourquoi donc, en ce cas, le seuil se resserre-t-il sans exceptions ? Si l’on admet une diminution générale de Cp (B₀) et Cp (A ; C) ainsi que de Cp (x) mais une variation possible de Cp (x’) en + ou en − (le symbole Cp désignant donc l’agrandissement ou la diminution du terme éloigné x’ et du terme proche x), on peut alors obtenir simultanément une augmentation de l’erreur P’_st et un rétrécissement du seuil P’_rd. P. ex. si Cp (x) au début des mesures était de 2 et Cp (x’) de 2 également, et que Cp (x) tombe à 0,5 pendant que Cp (x)’ monte à 2,5, on aurait une erreur systématique (P_st II = Cp x’ + Cp x) de 0 au début et de 2 à la fin pendant que le seuil (P_rd II = Cp x’ + Cp x) descendrait de 4 à 3. Il suffirait alors que la diminution de P_st I’ soit inférieure à l’augmentation de P_st II pour qu’il subsiste une augmentation globale de P’_st pendant que P’_rd diminue. Nous reprendrons la chose sous 10 (§ 5).

La meilleure preuve que l’erreur d’estimation en profondeur telle qu’elle se présente globalement à la mesure (soit P’_st) constitue le produit complexe de la composition de deux sortes au moins d’erreurs P’_st I et P_st II, est que l’évolution de P’_st avec l’âge se présente sous deux [p. 295] formes exactement opposées l’une à l’autre selon les situations 1 + 3 et 2 + 4. Dans le premier cas, l’étalon étant proche et la variable éloignée, la valeur de P’_st diminue notablement avec l’âge (moyennes arithmétiques comme algébriques), tandis que dans le second (étalon éloigné en profondeur), elle augmente de façon tout aussi notable (voir § 3, n° 6).

Il suffit alors d’utiliser les décompositions de Ferreur globale P’_st que formulent les prop. (10) à (11 bis) pour traduire de la façon suivante sa double évolution avec l’âge.

1° Situations 1 + 3 :

(16) (P_st I’_Ef + P_st II_Ef) > (P_st F_Ad − P_st II_Ad)

2° Situations 2 + 4 :

(17) (P_st I’_Ef − P_st H_Ef) < (P_st I’_Ad + P_st II_Ad)

les indices Ef et Ad désignant les valeurs pour les enfants et pour les adultes.

Mais si la décomposition de P’_st en P_st I’ et en P_st II explique ainsi sans plus l’évolution différente avec l’âge de P’_st selon les situations 1 + 3 et 2 + 4, le problème subsiste entier de savoir si les deux erreurs composantes P_st I’ (étalon) et P_st II (profondeur) diminuent ou augmentent chacune avec l’âge, ou encore si l’une diminue et l’autre augmente, et pourquoi.

Nous constatons d’abord, en comparant les résultats obtenus (tableaux II et IV) avec les prop. (10) et (11 bis), que chez l’adulte l’erreur P_st I’ est plus faible que P_st II puisque le produit P_st I’ − P_st II est négatif (prop. 10) et que chez l’enfant le rapport est inverse (prop. 11 bis). On a donc :

(18) (P_st I’_Ad < P_st II_Ad) et (P_st F_ei > P_st II_Ef)

On a d’autre part, comme le montrent les tableaux II et IV une erreur adulte pour les situations 2 + 4 (9,02 et 10,65 de moyennes alg. et arith.) supérieure à ce qu’est l’erreur enfantine pour les situations 1 + 3 (5,45 et 7,45). En vertu des prop. (10 bis) et (11) on peut donc écrire :

(19) (P_st I’_Ad + P_st II_Ad) > (P_st I’_Ef + P_st II_Ef)

En troisième lieu, les mêmes tableaux montrent que l’erreur enfantine pour les situations 2 + 4 (soit 3,70 et 6,90 de moyennes alg. et arith.) est plus grande que l’erreur adulte pour les situations 1 + 3 (soit − 1,85 et 5,70). On a donc, en vertu de (11 bis) et de (10) :

(20) (P_st I’_Ef − P_st II_Ef) > (P_st I’_Ad − P_st II_Ad)

[p. 296] De ces trois propositions (18), (19) et (20), il est alors possible de conclure que l’erreur de l’étalon P_st I’ est plus forte chez l’enfant que chez l’adulte mais que la surestimation en profondeur est plus forte chez l’adulte que n’est chez l’enfant la sous-estimation correspondante :

(21) (P_st I’_Ef > P_st I’_Ad) et (P_st II_ef < P_st II_Ad)

En effet, si l’on admettait que l’erreur de l’étalon est plus faible chez l’enfant et l’erreur en profondeur plus faible chez l’adulte, ce serait contradictoire avec les prop. (18 et 19). Si l’on supposait, d’autre part, que les deux erreurs sont toutes deux plus grandes ou toutes deux plus petites chez l’enfant, ce serait contradictoire avec les prop. (19) et (20).

Mais pourquoi l’erreur de l’étalon diminue-t-elle avec le développement ? Il suffit de se référer à ce que nous a appris la comparaison dans le plan, puisque l’erreur P_st I’ est comparable à l’erreur de l’étalon en général. Les prop. (38) et (39) de l’article précédent Recherches II peuvent donc servir d’explication sur ce point. Autrement dit la diminution de l’erreur de l’étalon au cours du développement mental s’expliquerait par un progrès de la capacité sériale.

Quant à l’accroissement avec l’âge de l’erreur en profondeur P_st II, nous allons l’étudier sous les points suivants.

Lorsque, pour des positions en profondeur maintenues constantes et de mêmes écarts transversaux, on permute le mesurant et le mesuré (B₀ et A ; C) soit de la situation 1 à la situation 2 soit de 3 à 4, on observe un renversement de l’erreur, incomplet (= + n), complet (= 0) ou surcomplet (= − n). Or, nous avons vu (tableau V) que l’enfant en demeure à des renversements incomplets (+ 2,10 et + 1,82) tandis que l’adulte parvient à des surrenversements de − 0,37 et − 0,12. On pourrait être tenté d’attribuer sans plus cette évolution à ce progrès de la réversibilité que nous avons déjà noté maintes fois dans le mécanisme des perceptions adultes ou intellectualisées par opposition à celui des perceptions enfantines. Et, en un sens, cela est exact, si la surestimation en profondeur (Tf > Dist) qui semble bien caractériser les réactions adultes est due à une compensation d’ordre régulatoire. Mais le renversement lui-même, qui se produit lors du passage des situations 1 + 3 aux situations 2 + 4, n’est pas dû à cette surcompensation, [p. 297] puisqu’il se produit (sous une forme complète, surcomplète ou partielle) indépendamment du sens absolu des erreurs. S’il est plus fort chez l’adulte que chez l’enfant, puisqu’il y a surrenversement chez le premier et renversement partiel chez le second, cela s’explique simplement par le fait que chez l’adulte la surestimation en profondeur est plus grande que l’erreur de l’étalon, tandis que chez l’enfant celle-ci dépasse la sous-estimation en profondeur (prop. 18). En effet, le mécanisme du renversement est le suivant chez les adultes :

(22) (P_st I’_Ad − P_st II_Ad) → (P_st I’_Ad + P_st II_Ad)

où P_st I’_Ad < P_st II_Ad

et chez les enfants de 5-8 ans :

(22 bis) (P_st I’_Ef + P_st II_Ef) ← (P_st I’_Ef − P_st II_Ef)

où P_st I’_Ef > P_st II_Ef

Si alors nous désignons par a₁ et b₁ les valeurs de P_st I’ chez l’adulte et chez l’enfant et par b₂ et a₂ les valeurs de P_st II chez l’adulte et chez l’enfant (étant entendu que b + a = c ; que b > a et que b = a + a’), on a pour l’adulte :

(23) (a₁ − b₂) → (b₂ + a₁) donc (− a’ → c)

et pour l’enfant :

(23 bis) (b₁ + a₂) ← (b₁ − a₂) donc (c ← + a’)

le renversement (− a’ → c) étant ainsi plus fort que le renversement (+ a’ → c), ce qui rend compte des faits observés.

Venons-en au problème capital que soulève le changement de sens avec l’âge de l’erreur systématique en profondeur P_st II (par opposition à l’erreur globale P’_st). Tous les résultats que nous avons obtenus convergent, en effet, qu’il s’agisse des variations de l’erreur globale P’_st, des renversements analysés à l’instant, etc., vers cette conclusion que, dans la comparaison en profondeur de deux éléments isolés, l’enfant de 5 à 8 ans sous-estime le terme éloigné et que l’adulte le surestime. Même dans les cas (situations 2 et 4) où l’enfant le surévalue également, il s’agit alors d’une interférence avec l’erreur de l’étalon, et la décomposition de l’erreur globale résultant de telles interférences permet de retrouver la sous-estimation en profondeur. Il reste naturellement à étudier par la même méthode les comparaisons avec sériations, etc., mais, pour ce qui est de la comparaison [p. 298] isolée, cette décomposition est de nature à permettre de concilier les résultats souvent contradictoires obtenus par les auteurs, et de confirmer l’hypothèse d’une évolution des constances avec l’âge, soutenue par Beyrl, Brunswick, etc. Mais comment expliquer le passage de la sous-estimation à la surestimation, observé chez nos sujets enfantins et adultes ?

Une seconde conclusion nous paraît s’imposer : c’est qu’une telle évolution, dont l’aboutissement n’est pas la constance comme telle, mais cette « surconstance » signalée par plusieurs auteurs (et comme une sorte d’accident sur lequel on n’insistait pas) ne saurait être le produit ni d’expériences pures, ni d’une simple maturation, mais suppose un jeu complexe de régulations. En effet, la constance exacte ne s’observe chez l’adulte que dans le 7 % des cas, tant dans les situations 1 + 3 (étalon proche) que dans les situations 2 + 4 (étalon éloigné), alors que chez l’enfant elle est de 8,25 et 11 %, au total 9,62 % ! Tout se passe donc comme si, oscillant statistiquement autour du point de constance vraie, les processus perceptifs donnaient lieu à une régulation incomplète chez l’enfant et à une surcompensation chez l’adulte. Mais par quelle méthode atteindre ces régulations ?

Essayons de procéder, par analogie, du mieux au moins connu, et de comparer le mécanisme des estimations en profondeur à celui des estimations dans le plan. Quelles que soient les différences, la ressemblance s’impose puisqu’on retrouve dans les deux cas l’erreur de l’étalon, donc le processus des transports en fonction des centrations. Mais là s’arrête peut-être l’analogie, puisque cette erreur dépend de l’écart latéral dans le plan, tandis qu’en profondeur intervient une distance inconnue selon la troisième dimension.

Soit deux grandeurs x et x’. Dans le plan, il suffit de centrer x pour le surestimer et pour sous-estimer par le fait même x’ en tant que périphérique ; puis il suffira de centrer x’ pour renverser ces rapports : la centration alternative sur x et x’ conduira donc à une décentration, qui sera absolue si l’intervalle voit ses propres déformations intercalaires réduites par le regard oscillant entre les deux termes (voir Recherches I, Déf. VI, § 10). En profondeur, par contre, il s’ajoute à cela, le fait que l’élément éloigné présente une grandeur apparente distincte de celle que lui attribuera la perception régulée. Entre les grandeurs apparentes des termes à comparer, il s’établit d’abord [p. 299] un jeu de centrations et de décentrations, qui explique Terreur de l’étalon et sur lequel nous sommes déjà renseignés. Mais il reste à résoudre le problème essentiel : comment le sujet procède-t-il de la grandeur apparente à la grandeur jugée réelle ? Essayons de concevoir les régulations conduisant à cette dernière sur le modèle des décentrations propres à l’erreur de l’étalon.

Pour ce faire, cherchons à décrire les centrations et décentrations en profondeur de la même manière que nous l’avons tenté dans le plan (Rech. I), c’est-à-dire en analysant directement et naïvement, sans présuppositions psychologiques ou, encore moins, physiologiques d’aucune sorte, ce qui est donné dans l’expérience immédiate. Oublions donc les mécanismes de l’accommodation, de la parallaxe binoculaire, etc., etc., et demandons-nous sans plus ce qui se produit lorsque l’on fixe alternativement deux objets situés à des profondeurs inégales, suffisamment écartés l’un de l’autre pour que leurs centrations soient bien distinctes et pas assez cependant pour qu’elles soient indépendantes.

Voici p. ex. le coin d’un meuble situé à 2 m devant moi et le coin d’un autre situé à 3 m, séparés tous deux par un écart d’environ 1 m 50. Lorsque je fixe le premier, le second vu dans la périphérie me paraît peu net et éloigné. Je fixe ensuite le second : il semble se rapprocher et s’élever quelque peu, tandis que le premier, en passant dans la périphérie de cette seconde fixation, me paraît brusquement et tout à la fois reculer, diminuer de hauteur et se déjeter du côté opposé au second. Je déplace à nouveau d’un trait le regard sur le premier : il se rapproche alors soudain de moi et s’agrandit, tandis que le second rapetisse, s’éloigne et est rejeté du côté inverse, etc. À considérer naïvement les choses, il semble donc que deux phénomènes se produisent en de telles fixations : d’une part, un agrandissement du terme fixé et un rapetissement du terme périphérique (c’est le processus que l’on retrouve en plan et que nous avons retenu jusqu’ici comme caractéristique de la centration) ; d’autre part (et ceci est spécial à la profondeur) un rapprochement de l’élément centré, comme si sa distance diminuait selon la troisième dimension, et un éloignement en profondeur de l’élément périphérique. Notons encore que si celui-ci est très éloigné du premier, en écart transversal, mais assez proche du sujet, il n’est plus reculé en profondeur lorsqu’il est vu en périphérie, mais simplement déjeté de côté.

Rappelons-nous maintenant le champ creux hémisphérique [p. 300] de fixation lorsque les yeux sont dans la position primaire : tout se passe comme si l’on voyait la calotte centrale sous la forme d’une petite surface à la fois plane et plus rapprochée de l’œil que la périphérie, ce caractère s’appliquant alors tantôt à l’un, tantôt à l’autre des deux objets comparés à l’instant, lorsqu’ils sont centrés alternativement, c’est-à-dire précisément situés à tour de rôle dans la calotte centrale de ce champ en profondeur.

Cherchons à exprimer les choses sous une forme plus générale. Appelons x’ l’élément le plus éloigné du sujet et x” sa grandeur apparente, et x l’élément proche dont la grandeur apparente se confond à peu près avec la grandeur jugée réelle. Lorsque le regard se fixe sur x’, cette centration en x’ agrandit légèrement x’’ et diminue légèrement x, comme on vient de le rappeler, mais, en même temps, elle donne, par le fait même de l’accommodation visuelle, l’impression de rapprocher x’ du sujet, tandis que x, vu dans la périphérie de la zone centrale dont x’ occupe le centre, paraît s’écarter et souvent même s’éloigner dans une région peu distincte (faute d’accommodation simultanée sur x et sur x’). Au contraire, lorsque le regard se fixe sur x, le terme se rapproche et s’agrandit, tandis que x’, vu dans la périphérie de la nouvelle centration, semble s’éloigner (avec rapetissement de x’’). Il y a donc deux mécanismes distincts à considérer dans les centrations en profondeur : 1° Du point de vue des grandeurs apparentes, il y a surestimation de x’’ et sous-estimation de x en cas de centration sur x’, et l’inverse en cas de centration sur x. C’est ce processus déjà décrit (Rech. I et II) qui explique donc l’erreur de l’étalon. 2° Mais, en même temps, il y a le processus, spécial à la profondeur, d’un rapprochement par rapport au sujet de l’élément éloigné x’, lorsqu’il est centré, et d’un écartement corrélatif de l’objet proche x (vu dans la périphérie de x’ ou zone non accommodée), puis d’un rapprochement de l’élément proche x, lorsqu’il est centré à son tour, avec éloignement très distinct de l’objet éloigné x’ perçu alors sans netteté dans la périphérie non accommodée de la nouvelle zone centrale. Or, c’est ce second mécanisme, ou, plus précisément cet aspect caractéristique de la centration selon la troisième dimension qui nous paraît expliquer l’erreur initiale en profondeur, alors que la décentration correspondante expliquera sa correction et son évolution avec l’âge. En effet, si le terme centré est trop rapproché et le terme périphérique trop éloigné, par rapport aux distances réelles séparant l’objet [p. 301] du sujet, la décentration en profondeur consistera à corriger l’une par l’autre les centrations sur x et sur x’ et à attribuer à ces objets des distances plus exactes à l’égard du sujet. C’est ce que nous allons voir plus en détail.

Notons d’abord que ce rapprochement apparent de l’objet centré en profondeur, lors de l’accommodation visuelle, et cet éloignement corrélatif de l’objet vu dans la périphérie non accommodée des zones centrales, obéissent à un même principe que l’agrandissement et le rapetissement des objets centrés ou vus en périphérie dans le plan : dans les deux cas, la centration consiste à relier l’objet perçu au sujet par un rapport privilégié (agrandissement, en plan, ou rapprochement, en profondeur), et dans les deux cas, la décentration consistera à détacher l’objet du sujet (objectivation des dimensions, en plan, et de l’éloignement, en profondeur).

Seulement, si la centration et la décentration relèvent ainsi d’un même principe, en plan et en profondeur, il n’en reste pas moins que leurs effets sont orientés en sens contraire dans ces deux cas, quant à l’attribution des dimensions jugées réelles de l’objet. En effet, dans le cas de la comparaison en plan, la centration agrandit trop l’objet centré, la vision périphérique le rapetisse trop et la décentration lui confère des dimensions plus petites que la première et plus grandes que la seconde. En profondeur, au contraire, ce n’est que la grandeur apparente x’’ qui est surestimée par centration (d’où l’erreur de l’étalon). Pour ce qui est, par contre, du rapprochement de l’objet centré, il a pour résultat non pas une augmentation mais bien une diminution de la grandeur jugée réelle. Il est clair que pour une grandeur apparente donnée (même si celle-ci est surévaluée) l’objet sera estimé d’autant plus grand en réalité qu’il semble plus éloigné et d’autant plus petit qu’il paraît plus proche : un même chalet vu au loin sur les flancs d’une montagne est ainsi considéré comme grand si on le croit très distant, et comme plus petit si on le croit plus proche, et c’est souvent à la taille des sapins qui l’entourent que l’on pourra décider tout à la fois de ses dimensions et de son éloignement. La centration sur x’, tout en agrandissant x” (grandeur apparente), aboutit donc à la sous-évaluation de sa grandeur réelle, s’il est assez distant ¹⁷, tandis que la centration sur x proche aboutit [p. 302] à sa surévaluation. L’erreur initiale en profondeur, par sous-estimation de l’élément éloigné s’explique ainsi d’emblée par les caractères de la centration selon la troisième dimension. Cette centration se manifeste par le résultat Tf < Dist, d’où x’₂ < x’₁ et x’₂ > x’₁ c’est-à-dire par un « transport » trop court par rapport à la distance réelle (rapprochement excessif de l’objet centré), d’où l’agrandissement insuffisant de l’objet éloigné au cours du transport (x’₂ < x’₁) et le rapetissement insuffisant de l’objet proche au cours du transport inverse (x₂ > x₁).

Quant à la décentration, son mécanisme est exactement analogue, mutatis mutandis, en profondeur et en plan. En plan, en effet, elle aboutit à corriger l’une par l’autre les deux centrations successives, en percevant l’intervalle séparant les termes comparés comme une zone neutre à partir de laquelle ils sont vus l’un en relation réciproque avec l’autre : la décentration absolue, en plan, consiste donc en une suppression des déformations de l’intervalle lui-même. Or, en profondeur, le jeu des rapprochements et éloignements excessifs dus aux centrations successives aboutit également à une compensation portant sur l’intervalle : celui-ci n’étant autre que la distance séparant les objets selon les deuxième et troisième dimensions, la décentration exacte aboutirait donc à Tf = Dist, d’où x’₂ = x’₁ et x₂ = x₁. Seulement, tandis qu’en plan, l’intervalle est donné dans la symétrie des termes comparés par rapport au sujet, l’égalité Tp (x) = Tp (x’) suffisant à conduire à la compensation exacte Tp = Dist indépendamment de l’évaluation de la distance absolue, en profondeur l’asymétrie de la relation unissant le terme proche x au terme éloigné x, explique le fait que, même si les transports relatifs sont égaux (Tf x’ = Tf x) et si le terme éloigné n’est pas plus agrandi au cours de son transport vers le terme proche que celui-ci n’est rapetissé dans le transport inverse (donc E₂ = E₁), la distance absolue en profondeur n’en est pas pour autant correctement évaluée : faute de ce frein, la décentration peut donc aboutir, en profondeur, à un renversement de l’erreur initiale (due à la centration) et l’on a alors surcompensation Tf > Dist, c’est-à-dire x’₂ > x’₁ et x₂ < x₁, d’où l’erreur par « surconstance » des sujets qui corrigent trop bien la sous-estimation en profondeur.

Il devient donc facile de formuler le mécanisme des erreurs en profondeur et de leur évolution avec l’âge. Commençons, pour mieux distinguer ce que nous admettrons sans démonstration [p. 303] et sur la seule foi de l’observation introspective directe, par énoncer deux postulats analogues à ceux qui nous ont servi pour la centration et la décentration en plan (Rech. I, post. I-III et IV-V) :

Postulat I. Tout élément X’ centré en profondeur, avec accommodation adéquate, semble par le fait même se rapprocher du sujet et sa grandeur apparente X” est légèrement surévaluée. Tout élément Y perçu dans la périphérie non accommodée de la zone centrale de X’ semble alors s’éloigner et sa grandeur apparente Y” est légèrement sous-évaluée. Les éléments Y comprennent l’élément proche X.

Postulat II. Les centrations successives réelles sur l’élément éloigné X’ et l’élément proche X aboutissent à une décentration en profondeur dont les effets contrebalancent ceux de la centration et tendent notamment à augmenter l’éloignement de X’.

Sans revenir sur l’erreur de l’étalon relative à la grandeur apparente x”, on peut alors écrire les propositions suivantes. Si nous appelons Ctf la centration en profondeur, on a d’abord :

(24) Ctf (x’) = (Tf < Dist) = (x’₂ < x’₁)

et si nous désignons par Ctf (x) la centration du terme proche mais comparé en profondeur à x’ on a ensuite :

(24 bis) Ctf (x) = (Tf < Dist) = (x₂ > x₁)

La prop. (24) postule donc que la centration naïve du regard sur un objet éloigné consiste à le rapprocher (Tf < Dist), d’où son agrandissement insuffisant (x’₂ < x’₁) au cours du transport et par conséquent sa sous-estimation finale.

On a, enfin, par une décentration en profondeur Dtf dont le mécanisme serait analogue à celui de la comparaison en plan :

(25) Dtf (x x’) = (Tf = Dist) = (x₂ x’₂ = x₁ x’₁)

Quant à la surcompensation, dont le résultat est d’exagérer la distance, on peut la concevoir comme une centration sur cette dernière, d’où :

(26) Ctf (Dist) = (Tf > Dist) = (x,₂ > x,₁) + (x₂ < x₁)

Etant donné l’objet limité de cette étude, nous ne saurions naturellement décider encore dans quelles conditions il y a régulation exacte (25) et dans lesquelles apparaît la surcompensation (26). Il est possible que celle-ci soit liée aux comparaisons isolées et qu’un système de comparaisons avec sériation rapproche la perception de l’état (25).

[p. 304] Par contre, il est facile de rendre compte, en s’appuyant sur les prop. (24) à (26), de l’évolution avec l’âge de l’erreur systématique en profondeur. Les prop. (24) et (24 bis), tout d’abord, expriment l’erreur initiale par sous-estimation de l’élément éloigné (l’erreur des enfants). On a, en effet, si Dist > Tf, l’égalité suivante :

(27) [Ctf (x’) + Ctf (x)] = [Dist = Tf + P_st II]

où P_st II est la transformation non compensée par l’accroissement de Tf, lorsque la distance augmente, donc la déformation en profondeur. Le signe + de cette déformation est ici sans rapport avec le sens de l’erreur systématique, calculée sur l’étalon, dans les prop. 10 à 11 bis et en général dans ce qui précède : il indique simplement en (27) une déformation positive.

La décentration (25) donne alors une régulation :

(27 bis) [Dtf (x x’)] = [Dist = Tf + (P_st II = 0)]

puisque P_st II changeant de signe et tendant vers 0 constitue par définition (Rech. I, Déf. IV, p. 38) une régulation.

Il suffit alors d’admettre qu’avec l’âge la décentration augmente sous l’influence d’un progrès général de la réversibilité, inhérent au développement intellectuel, et des « rapports virtuels » (cf. Rech. I, Déf. VII-VIII) que cette réversibilité croissante entraîne, pour comprendre le renversement de l’illusion :

(27 ter) [Dist < Tf] = [Dist = Tf − P_st II]

le signe − indiquant la surcompensation qui prolonge la transformation (27 bis).

Les renversements avec l’âge dans le % des cas de « sur-constance » (voir § 3, n° 8 bis) et dans les proportions des erreurs systématiques (n° 8 ter) vont alors de soi.

Rien n’est plus propre à confirmer les interprétations qui précèdent que l’examen des transformations du seuil d’égalité avec l’âge. L’erreur systématique globale P’_st ne diminue en effet, avec l’âge, que dans les situations 1 et 3, mais elle augmente notablement, de l’enfance à l’âge adulte, pour les situations 2 et 4. On pourrait donc s’attendre à ce que les seuils d’égalité se resserrent également, avec l’âge, dans les situations 1-3 mais se dilatent dans les situations 2-4, puisque, sans être identiques les déformations P_st (erreur systématique) et P_rd (extension du seuil) sont en général corrélatives. Seulement, nous venons d’interpréter [p. 305] les erreurs systématiques en profondeur de sens négatif (− P_st II), que présentent les adultes (donc la surestimation des objets éloignés), non pas comme une transformation non compensée, c’est-à-dire une déformation illusoire à la manière des erreurs + P_st II de l’enfant, mais bien comme une illusion par surcompensation, si l’on peut s’exprimer ainsi. En ce cas il n’y a pas de raison pour qu’il y ait extension avec l’âge du seuil d’égalité, dans les situations 2-4 pas plus que dans les situations 1 + 3. Or, l’examen des faits (tableau I) donne une réponse décisive : tous les seuils se rétrécissent en moyenne avec l’âge, pour les situations 2 + 4 aussi bien que 1 + 3. Il y a seulement, en vertu des prop. 13 à 14 (bis), rétrécissement moindre pour les dernières de ces situations que pour les premières, mais il y a, et c’est là l’essentiel, rétrécissement général. C’est donc bien que l’évolution avec l’âge se fait dans le sens de la décentration et de la régulation, sans quoi l’extension du seuil devrait augmenter en corrélation avec la surestimation des objets à distance.

Mais comment expliquer ce paradoxe d’une régulation progressive aboutissant à la surcompensation, c’est-à-dire, malgré tout, à une illusion (à une « erreur systématique » par surestimation) et cela sans accroissement mais au contraire avec diminution générale de l’extension des seuils ? Il ne suffit pas de constater la chose, ni d’y voir la preuve de l’intervention d’une décentration : il faut expliquer le double mécanisme de l’augmentation de P’_st ou de P_st II et du rétrécissement de P’_rd 0 de P_rd II, et cela d’une manière cohérente avec les prop. (24) à (27 ter).

Rappelons d’abord que la centration initiale des enfants sur les objets proche (x) et éloigné (x’) a pour effet de trop peu rapetisser le premier dans son transport vers le second (soit x₂ > x₁) et de trop peu agrandir le second dans le transport inverse (soit x’₂ < x’₁. Appelons Cp_Ef (x) et Cp_Ef (x’) ces déformations. On aura donc :

P_rd II_Ef = Cp_Ef (x) + Cp_Ef (x’) et P_st II_Ef = Cp_Ef (x) − Cp_Ef (x’)

Sous l’effet des décentrations (25) et des régulations (27 bis), on aura ensuite une diminution de Cp₁ (x) et de Cp₁ (x’) mais avec possibilité d’une exagération de la distance Dist (cf. prop. 26) d’où la surcompensation et le renversement de l’erreur systématique (prop. 27 ter) : soit x’₂ > x’₁ et x₂ < x₁. Mais dans quelles proportions vont se faire ces transformations ? Que l’objet distant x’ soit éloigné par la surcompensation plus qu’il [p. 306] ne l’est en réalité, cela est conforme à (26) et comme les faits nous montrent qu’il y a plus grande illusion P_st II chez l’adulte que chez l’enfant, on peut donc admettre :

(28) Cp_Ad (x’) > Cp_E (x’) où Cp_Ad (x’) = (x’₂ > x’₁) et Cp_Ef (x’) = (x’₂ < x’₁)

Mais, même si nous supposons que l’objet proche (x) est trop rapetissé, pour les mêmes causes, au cours de son transport, soit x₂ < x₁ (prop. 26), il n’y a aucune raison pour admettre que cette seconde déformation, donc Cp_Ad (x), soit plus forte que la déformation correspondante de l’enfant Cp_Ef (x), donc x₂ > x₁. Au contraire, l’objet proche sera vu plus objectivement en général que l’objet éloigné et, puisque le seuil se rétrécit avec l’âge, il faut bien, si x’ est déformé par surcompensation, que l’autre terme x soit moins déformé encore que chez l’enfant. Posons donc :

(29) Cp_Ad (x) < Cp_Ef (x)

et précisons même que Cp (x) est minime et que l’on a :

(29 bis) Cp (x) = (x₂ ≤ x₁) c’est-à-dire que Cp_Ad ⇉ 0

En ce cas, on aura :

P_rd II_Ad = Cp_Ad (x) + Cp_Ad (x’) et P_st II_Ad = Cp_Ad (x’) − Cp_Ad (x)

Il suffit alors d’admettre que

(30) [Cp_Ad (x’) − Cp_Ad (x)] > [Cp_Ef (x) + Cp_Ef (x’)]

et que

(30 bis) [Cp_Ad (x) + Cp_Ad (x’)] < [Cp_Ef (x’) + Cp_Ef (x)]

pour que l’on ait à la fois augmentation de l’erreur systématique P_st II avec l’âge et diminution de la largeur du seuil P_rd II.

L’erreur de l’étalon P_st I’ et le seuil correspondant P_rd I’ diminuant tous deux avec l’âge, il suffit donc de combiner les prop. (28) à (30) avec les prop. (10 à 11 bis) et (13 à 14 bis) pour trouver l’interprétation de l’augmentation de P’_st pour les situations 2 et 4 et de sa diminution pour les situations 1 et 3, sans contredire au rétrécissement général des seuils P’_rd pour toutes les situations.

Rien n’est plus propre à augmenter la probabilité de l’ensemble des interprétations qui précèdent que de constater la parfaite opposition (dans [p. 307] les moyennes naturellement) des adultes et des enfants de 5-8 ans en ce qui concerne leur adaptation progressive aux objets présentés successivement en cours d’expérience : comme nous l’avons vu sous 4, tous, les enfants aussi bien que les adultes, rétrécissent en moyenne leurs seuils en fonction de l’exercice inconscient qui leur est imposé, mais, tandis que les enfants s’accordent, dans les quatre situations, à diminuer également leur erreur systématique et apprennent donc à estimer de plus en plus objectivement l’élément éloigné, il se trouve que les adultes font l’inverse et s’écartent de plus en plus de l’évaluation correcte ! Ce paradoxe serait entièrement incompréhensible s’il ne s’agissait pas là d’une surcompensation issue du mécanisme des régulations. D’une part l’enfant, sous-évaluant au début l’objet éloigné dans les situations 1 + 3, rectifie par décentration son jugement initial, et lorsqu’il le surévalue en apparence, grâce en fait à l’erreur de l’étalon (situations 2 + 4) il corrige de même sa surestimation par décentration relative à l’étalon. Par contre, l’adulte qui surestime d’emblée l’objet éloigné, comme s’il avait peur d’être trompé par les grandeurs apparentes, le surestime de plus en plus en cours d’expérience par un excès croissant de cette compensation initiale : l’erreur systématique positive augmente ainsi dans les situations 2 et 4 (surévaluation de l’étalon éloigné) et l’erreur négative s’accroît de même dans les situations 1 et 3 (surévaluation de la variable éloignée). Mais, d’autre part, tout en s’écartant de la sorte toujours davantage de l’estimation correcte, l’adulte rétrécit cependant sans cesse ses seuils comme l’enfant, ce qui montre assez combien son erreur croissante s’accompagne elle aussi d’une décentration graduelle !

L’évolution des réactions enfantines et adultes au cours de l’expérience constitue donc, à condition de juxtaposer les secondes aux premières (et en reconstituant l’intervalle par intrapolation), comme un abrégé du développement génétique entier, analysé sous 6-9 : elle est comme une « genèse actuelle » selon la juste expression de l’école de Leipzig. En effet, partant de la sous-estimation des éléments éloignés, l’enfant corrige peu à peu cette erreur initiale, tandis que l’adulte, l’ayant déjà dépassée, part de la surestimation et accentue toujours plus cette compensation. Nous avons donc là, en abrégé, la reproduction exacte (en même plus régulier !) de ce que nous donnent les moyennes observées entre 5 ans et l’âge adulte, et cela par [p. 308] une sorte de parallélisme, non pas onto-phylogénétique, mais entre la « genèse actuelle » et la genèse réelle.

Aussi bien, les formules établies sous 9 (prop. 28 à 30 bis) suffisent-elles, mutatis mutandis, à expliquer cette évolution au cours même de l’expérience. On aura d’abord, pour les enfants :

(31) Cp_Ef (x)₂ < Cp_Ef (x₁)

et

Cp_Ef (x’)₂ < Cp_Ef (x’)₁

d’où :

(31 bis) (P_rd II_Ef)₂ < (Prd II_Ef)₁ et (P_st II_ef)₂ < (P_st H_ef)₁

tandis que pour les adultes, étant donnée la surcompensation sur x’, on aura :

(32) Cp_Ad (x)₂ < Cp_Ad (x)₁

mais

Cp_Ad (x’)₂ > Cp_Ad (x’)₁

d’où

(32 bis) (P_rd II_Ad)₂ < (P_rd II_Ad)₁

mais

(P_st H_Ad)₂ > (P_st II_Ad)₁

Dans le cas de l’enfant, la modification de P’_rd I et de P’_rd II en cours d’expérience se faisant dans le même sens que (31 bis) on aura au total abaissement général de P’_rd et de P’_st. Chez l’adulte il suffit d’admettre que la diminution de P’_st I est plus faible que l’augmentation de P_st II pour conserver, au total, le sens des transformations (32 bis), soit une augmentation de P’_st et une diminution de P’_rd.