Groupements, groupes et latices (1946) ^a 🔗

Le développement de l’intelligence, tel qu’il apparaît à l’analyse psychologique ou génétique, présente une série de stades plus ou moins différenciés. Il peut être utile de les caractériser autrement que par une simple description empirique. À cet égard l’étude des « structures » auxquelles aboutit le fonctionnement mental est indispensable, pour autant en particulier que certaines d’entre elles s’élaborent à un stade défini et sont ignorées aux stades précédents. Parmi ces structures, les plus intéressantes sont celles qui correspondent à un état d’équilibre de l’intelligence ou de la pensée, et qui se conservent ainsi jusqu’au niveau de l’intellect adulte normal. Ces structures équilibrées consistent en système d’opérations, caractérisées par leur capacité indéfinie de composition à la fois mobile et cohérente.

À un certain âge, par exemple, on peut observer que certains systèmes d’opérations prennent la forme de « groupes ». Tel est le cas pour l’ensemble des passages d’une pièce à l’autre, dans un appartement. Tel est aussi le cas pour certains autres ensembles de mouvements (rotation, etc.) que l’enfant sait effectuer et coordonner entre eux.

Qu’est-ce qu’un groupe d’opérations ? C’est un système opératoire satisfaisant aux conditions suivantes : chaque opération peut être « annulée » par une opération inverse ; la succession de deux opérations du système (leur produit) se résume toujours en une opération du système ; et ces produits sont associatifs.

En ce qui concerne l’application de la notion de groupe aux structures mentales étudiées par la psychologie, il faut relever spécialement la première de ces trois exigences celle de la réversibilité de toutes les opérations du groupe. Dans le cas du groupe de l’appartement, par exemple, tout passage d’une pièce A dans une pièce B peut être annulé par le passage de B en A.

[p. 2] Or, il faut immédiatement remarquer que l’apparition des structures groupées est relativement tardive, du moins sur le plan de la représentation ou de la pensée. Si l’on peut déjà parler d’une sorte de groupe empirique des déplacements au niveau de l’intelligence sensori-motrice, comme l’avait prévu H. Poincaré (mais sans que cette construction soit innée, car elle suppose l’élaboration des conduites de détour et de retour), les premiers stades de l’intelligence réflexive ou conceptuelle sont au contraire caractérisés par l’absence systématique de compréhension de la réversibilité, même pour les plus simples des opérations.

Le moment où la réversibilité apparaît doit donc être considéré comme un moment décisif du développement. C’est pourquoi il est d’une certaine importance de décrire ou d’imaginer le schéma des structures d’opérations les plus élémentaires, qui, sans être encore des groupes, permettent cependant une réversibilité définie.

C’est dans cette intention que l’un de nous ¹ a introduit, pour les besoins de la psychologie génétique, la notion du « groupement ». Rappelons les caractères essentiels de cette notion.

Supposons qu’à partir d’une classe (ou d’un certain nombre de classes), on effectue des partitions dichotomiques successives. Voici (fig. 1), par exemple, le schéma des partitions dichotomiques effectuées sur une classe B, contenant des objets bleus, des objets rouges et des objets verts, et basées uniquement sur la différence de ces trois couleurs :

B se trouve dichotomiquement partagé en A et A’

ou bien en A₁ et A’₁

ou bien en A₂ et A’₂

[p. 3] A et A’, par exemple, étant des classes sans éléments communs, qu’on peut dire complémentaires sous B ; de même pour A₁ et A’₁ ; A₂ et A’₂.

De même A’ se trouve dichotomiquement partagé en A₁ et A₂, A₁ et A₂ étant complémentaires sous A’ ; et ainsi de suite.

Ce schéma montre qu’en partageant dichotomiquement une classe en classes complémentaires (au sens indiqué) on n’obtient pas toujours de nouvelles classes différentes les unes des autres ².

On est ramené finalement à une série de classes sans élément commun (deux à deux), qu’on pourrait appeler les classes élémentaires de la partition considérée. (Il peut être utile de remarquer que chacune de ces dernières contient ce qu’on appelle la classe nulle, c’est-à-dire la classe vide de tout élément ; la considération de cette classe présente parfois certains avantages formels.)

À partir des classes élémentaires, le schéma peut aussi être reconstitué par les opérations inverses des partitions dichotomiques envisagées. Ainsi A’ est la classe comprenant les éléments de A₁ et de A₂, et ceux-là seulement. On peut appeler addition de classes cette opération de reconstitution de la classe A’.

On pourra écrire :

A₁ + A₂ = A’

De façon analogue, la partition de A’ en A₁ et A₂ pourra être indiquée par l’une ou l’autre des deux équations :

A₁ = A’ − A₂

ou

A₂ = A’ − A₁

ou par

A’ = A₁ + A₂

Trois éléments tels que A’, A₁ et A₂, dont les deux derniers sont complémentaires sous le premier, seront dits contigus. (Si, conformément à cette définition A et A’ sont contigus avec B, il n’en est pas de même de A’ et de A’₁ par exemple.)

De trois éléments contigus, deux déterminent sans équivoque le troisième, l’addition et la partition dans lesquelles ils peuvent entrer. Cette addition et cette partition sont alors des opérations inverses, dont l’une annule l’autre. Chacune est donc une opération réversible.

(1) D = C + C’ (2) C = B + B’ (3) B = A + A’

seront elles-mêmes dites contiguës ; de même pour les additions correspondantes.

En effectuant les deux premières l’une après l’autre, on obtient naturellement une partition en trois classes :

C’ B et B’.

On pourra donc poser (par définition) :

(4) D = B + B’ + C’

et l’on voit, sans qu’il soit besoin d’insister, par quelles règles formelles cette équation (4) peut être obtenue à partir de (1) et de (2). (Mais il faut remarquer que cette partition obtenue par la succession de deux partitions dichotomiques n’est plus elle-même dichotomique.) On peut également définir une partition à l’aide de (1), (2) et (3), et ainsi de suite. En remontant vers D, on peut naturellement définir l’opération inverse de cette dernière partition : ce sera l’addition des trois classes B, B’ et C, dont la somme sera D.

L’ensemble de ces opérations forme un groupement ³. Ce n’est pas un groupe, car on ne peut combiner, comme nous venons de l’expliquer, que des opérations contiguës ou des chaînes d’opérations contiguës.

[p. 5] On voit ainsi que, selon la définition de l’addition des classes (déjà adoptée dans l’ouvrage cité ⁴), la possibilité de ces opérations est liée à une condition restrictive qui en diminue la mobilité : il est nécessaire que les additions et les partitions de classes se fassent de proche en proche, ou, comme nous disons, de façon « contiguë ».

Du point de vue de l’étude abstraite des structures, la notion du groupement peut paraître artificiellement limitée. Néanmoins c’est sous la forme de groupements de classes que se constituent toutes les classifications qualitatives, envisagées dans leur construction même, par opposition à l’utilisation abrégée que l’on en peut faire après leur achèvement. Par exemple les classifications zoologiques ou botaniques sont parmi les plus exactes des classifications d’ordre purement qualitatif (la classification des éléments chimiques repose au contraire, depuis la table de Mendeleïev, sur un système de rapports quantitatifs). Or, elles constituent précisément des groupements additifs de classes : chacun connaît ainsi les tableaux synoptiques permettant de déterminer une plante par une succession de distinctions dichotomiques et tout biologiste systématicien sait que l’on ne peut réunir ou partager des classes zoologiques ou botaniques qu’en respectant la clause de la contiguïté. De même, les tables à double entrées, telles que celles qui expriment les correspondances qualitatives dont use l’anatomie comparée constituent des groupements de caractère multiplicatif, etc. Du point de vue génétique, d’autre part, c’est sous la forme de groupements que se présentent les premières structures réversibles dans le développement de l’intelligence enfantine, ce qui revient à dire à nouveau que les groupements de classes (inutile d’insister ici sur les groupements de relations) traduisent les classifications dans leur formation même.

Une fois achevée, une classification rend assurément possible l’usage de raisonnements succincts, se libérant de la condition restrictive de la contiguïté pour relier des classes éloignées les unes des autres. C’est ainsi que dans le syllogisme classique : « Les chevaux (A) sont des mammifères (B), tous les mammifères (B) sont des vertébrés (C), donc les chevaux (A) sont des vertébrés [p. 6] (C) , il est inutile de préciser quelles sont les classes complémentaires A’ (les mammifères « autres » que les chevaux), et B’ (les vertébrés « autres » que les mammifères). Mais seul un groupement préalable a rendu possible la construction des emboîtements A + A’ = B ; B + B’ = C, dont ce syllogisme tire ses relations comme en abrégé.

L’expression « groupement » montre assez que ces structures ont été envisagées comme des groupes imparfaits. Une suite de classes singulières A, A’, B’, C’, etc. dont les additions donnent A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D, etc., ne peut par exemple être transformée en un groupe de nombres 1 + 1 = 2 ; 2 + 1 = 3 ; 3 + 1 = 4, etc. qu’à la condition non seulement de renoncer à la clause restrictive de la contiguïté, mais encore de se donner le droit de substituer librement les unes aux autres les classes élémentaires A, A’, B’, etc., en faisant abstraction de leurs qualités différentielles et en les transformant ainsi en unités homogènes A = A’ = B’ … = 1 (d’où B = 2 ; C = 3, etc.) ⁵.

Mais que se produira-t-il si, tout en renonçant également à la condition de contiguïté, on maintient la structure des emboîtements qualitatifs (des classes logiques elles-mêmes) ?

L’étude mathématique des structures a fait, ces derniers temps, des progrès qui font voir que la notion de groupement peut être mise en relation avec certaines structures ordonnées que les auteurs américains ont baptisées « latices » (mais une fois levée, précisément, la restriction concernant la contiguïté).

Pour définir un latice, il faut partir d’un ensemble d’éléments partiellement ordonnés, c’est-à-dire dans lequel est définie par avance une relation d’antériorité : dans un tel système on doit savoir que de deux éléments, a et b, a vient avant b, ou bien que b vient avant a, ou bien que a et b sont sans rapport d’antériorité.

Par exemple, si l’on ordonne selon le sens du courant l’ensemble des localités sises sur le bord d’un fleuve et de ses affluents, [p. 7] on obtient un système partiellement ordonné spécialement simple. La même règle pourrait servir à ordonner les localités sises sur les bords d’un réseau de canaux, dans lequel le courant ne se refermerait jamais sur lui-même.

Autres exemples simples : un système de nombres dans leur ordre de grandeur ; un système de classes emboîtées les unes dans les autres ; etc.

Or, parmi les systèmes ainsi ordonnés, il en est dans lesquels on peut définir, pour toute paire d’éléments, un troisième élément (un seul !) qu’on appelle leur « join » : c’est le moins antérieur de tous les éléments qui leur sont antérieurs à tous deux. (Il est certaines structures partiellement ordonnées dans lesquelles cette exigence ne peut pas être univoquement satisfaite.) Pour obtenir un latice il faut encore exiger que l’on puisse obtenir pour toute paire a, b un quatrième élément, leur « meet » : c’est le moins postérieur des éléments qui leur sont postérieurs à eux deux.

Cela dit, un système de classes logiques constitue un système partiellement ordonné : l’emboîtement de deux classes constitue une relation d’antériorité, la classe contenante vient, par exemple, avant la classe contenue.

Pour faire de cet ensemble un latice, il faut d’abord introduire l’opération qui attribue à deux classes quelconques, A et B, leur « join ». Le join sera la plus petite des classes dans lesquelles A et B sont toutes deux contenues ce sera donc ce que la logique classique appelle le genus proximum de A et de B. Soit donc J le join de A et B. Il est univoquement déterminé ⁶. Quant au meet M de deux classes A et B, il est la plus grande classe qui soit à la fois contenue dans A et dans B.

Cela posé, on peut transformer tout groupement de classes en latice en levant la restriction de la contiguïté. Par exemple le schéma de partition de la fig. 1 (source du groupement des vicariances) est un latice, puisque les classes A’ et A’₁ ont un join, qui est B, et un meet, qui est A₂ (de même les classes A’ et A’₂ ont un join, qui est aussi B, et un meet, qui est A₁).

[p. 8] Il en va de même des groupements de multiplications des classes : ils portent sur des classes à éléments communs, dans lesquels il est par conséquent facile de déterminer univoquement un join et un meet pour chaque paire de classes quelconques.

Quant au groupement de l’addition simple des classes (fig. 2) il est clair que toute paire de classes quelconques possède un join (abstraction faite de la condition restrictive de contiguïté) : par exemple les classes A et C’ ont pour join la classe D (voir la fig. 2) ; les classes A et A’ ont pour join la classe B, etc. D’autre part, lorsque l’une des deux classes est emboîtée dans la seconde (comme B en C) le meet est la plus petite de ces deux classes (soit B) ; quant au meet de deux classes disjointes, telles que A et A’, il est constitué par la classe nulle (voir plus haut la remarque sur l’utilité formelle des classes nulles).

On pourrait à cet égard introduire la notion de semi-latice pour désigner des latices dans lesquels on ne détermine a) que le join, à l’exclusion du meet ou b) que le meet, à l’exclusion du join. En un tel cas, les groupements purement additifs, une fois levée la clause de la contiguïté, constitueraient des semi-latices du premier de ces deux types, et les groupements purement multiplicatifs des semi-latices du second type. Par contre, les groupements dans lesquels interviennent à la fois des additions et des intersections de classes, comme celui des vicariances (fig. 1) aboutissent à des latices complets lorsque les opérations ne sont plus effectuées seulement de manière contiguë. Le latice complet serait donc à concevoir comme une réunion des opérations additives et multiplicatives, ce que sont tous les groupements implicitement, tandis que les semi-latices seraient constitués par les systèmes opératoires insistant explicitement soit sur l’addition soit sur la multiplication.

Seulement, en de tels latices ou semi-latices, si la détermination du join par le genus proximum est univoque, l’opération inverse, qui consiste à retrouver deux classes quelconques A et B à partir de leur join ne constitue pas une partition stricte. Certains éléments de la classe J (leur join) peuvent être attribués à la fois à A et à B. D’autres éléments de J peuvent n’être attribuables ni à A ni à B. Cependant cette opération existe. Il existe donc une certaine réversibilité de la détermination du genus proximum. Mais l’intérêt de cette réversibilité est faible, puisque, si J est univoquement déterminé par A et B, A n’est pas toujours déterminé de même par A et J, ni B par A et J.

[p. 9] Cette analyse montre bien pourquoi le groupement mérite de retenir l’attention. L’addition des classes qui y figure permet par extension la détermination du join, telle que nous venons de l’expliquer en général. D’autre part, en se bornant aux classes contiguës et aux opérations immédiatement réversibles, il caractérise, par ses restrictions mêmes, une structure particulière connotant les constructions logiques réversibles les plus élémentaires.

En résumé, les groupements de classes expriment la nature des classifications purement logiques envisagées dans le sens de leur construction comme telle. Mais les restrictions qu’ils s’imposent restreignent leur mobilité. Le latice, au contraire, gagne en mobilité ce qu’il perd en réversibilité. Il traduit par conséquent entre autres les raisonnements de la logique formelle usuelle, mais psychologiquement parlant ceux-ci constituent, au moins dans le domaine purement qualitatif des classes non construites mathématiquement, le schéma abrégé que l’esprit extrait de groupements préalables.