La soustraction des surfaces partielles congruentes à deux surfaces totales égales. Miscellanea psychologica Albert Michotte : études de psychologie offertes à M. Albert Michotte à l’occasion de son jubilé professoral (1947) ^a

Un axiome fameux d’Euclide dit que, soustraites deux parties égales à deux quantités égales, il reste deux quantités égales. Nous nous proposons de rechercher ici si cette proposition apparaît à tout âge comme une évidence nécessaire, et pourquoi oui, ou pourquoi non. Et si par aventure, il arrive que, conformément à ce que nous savons de la prélogique du petit enfant, cette vérité était tout d’abord contestée, il importait de savoir comment elle se construit. Or, on aperçoit que cette construction même soulève dès l’abord le problème de la conservation des surfaces. Supposons, en effet, que deux surfaces totales B₁ et B₂ soient formées chacune de parties A et A’ (soit A₁ + A’₁ = B₁ et A₂ + A’₂ = B₂) et que les parties correspondantes A₁ et A₂ soient égales. Pour savoir que B₁ − A₁ = B₂ − A₂ (= A’₁ = A’₂), il importe à coup sûr que ni les parties A, ni les parties A’ ne s’altèrent au cours de leurs transformations et que le tout B, virtuel ou actuel, soit toujours comparable de façon invariante par la réunion de A et de A’. En mettant l’accent sur l’addition ou la soustraction des parties, c’est donc bien leur conservation, ainsi que celle du tout, que nous allons étudier. Et l’on aperçoit du même coup, combien cette analyse est indispensable à celle de la mesure, puisque la mesure d’une surface, comme de tout autre quantité, implique la réunion en un tout invariant d’unités partielles susceptibles de conservation.

§ 1. Technique et résultats généraux

Nous présentons à l’enfant deux feuilles de carton rectangulaires et congruentes, d’environ 20 × 30 cm et colorées en vert, de manière à représenter deux prés. Pour exciter l’intérêt des plus petits, nous mettons même à côté de chacun de ces prés une toute petite vache de bois qui est censée en manger l’herbe et un tout petit bonhomme de bois qui en figure le propriétaire. L’enfant est prié de constater, à vue ou par juxtaposition, que les deux prés sont exactement « la même chose grand » et que les vaches auront donc exactement la même chose à manger. Mais voilà que le propriétaire du premier pré a décidé d’y placer une maison : on pose alors sur le carton vert, soit une petite maison de bois (de p. ex. 1 × 2 cm de base), soit un petit cube (ou parallélépipède) figurant la maison et l’on demande si les deux vaches auront encore la même chose à manger : tous les sujets conviennent alors facilement que la vache du pré sans maison aura plus à manger, tandis que celle du pré avec maison sera privée de l’herbe correspondant à la surface occupée par la maison. Il importe, dès cette première question, d’introduire clairement la notion de surface au moyen des termes : « plus ou moins de place d’herbe », ou de « place de vert », par opposition à la « place de la maison », etc. ; dans la suite, il suffira de dire « plus de vert » ou « moins de vert », etc. pour que toute équivoque soit exclue, le « vert » étant distribué en surface et pas autrement. — Après quoi, le propriétaire du second pré décide de construire lui aussi une maison : on place alors une maison exactement pareille (en faisant constater la congruence des surfaces de base et choisissant les mêmes couleurs, ornements, etc. (ou les mêmes cubes figurant les maisons) et l’on demande si cette fois les deux vaches auront encore « la même place de vert » ou « d’herbe » ou « la même chose de vert », etc., ce que tous admettent sans peine, semblant ainsi certains de la nécessité de l’axiome d’Euclide.

Mais, dès cette seconde question déjà, on peut introduire la transformation qui constituera le problème essentiel lors des questions suivantes : on peut, ou bien mettre la maison exactement dans la même position par rapport au premier pré (les deux prés sont toujours eux-mêmes placés de la même manière et en regard direct l’un de l’autre), et dans ce cas, on la déplace ensuite en demandant : « Et comme ça, les deux vaches auront encore la même chose de vert ? », ou bien on peut d’emblée la situer en un autre endroit du pré. Les positions à adopter sont de préférence les suivantes : le premier propriétaire placera ses maisons en plein champ, à mi-distance des côtés, et espacées les unes par rapport aux autres (la première était à mettre à peu près au centre), tandis que le second propriétaire serrera le plus possible ses maisons les unes contre les autres dans un coin du pré, de manière à laisser le plus grand espace perceptif libre. Dès la seconde question, on met donc la maison du second propriétaire dans un angle du second pré, soit d’emblée, soit en la déplaçant après l’avoir mise d’abord au même endroit que la première.

Les deux premières maisons posées ainsi différemment, on passe aux questions suivantes. Le premier propriétaire pose une seconde maison (donc en pleine herbe et éloignée de la première), le second fait de même (mais cette fois directement serrée contre la première) : « les deux vaches ont-elles encore la même chose de vert » ou « d’herbe à manger » ? Ici déjà, l’interprétation de l’axiome d’Euclide peut varier avec l’âge, les grands jugeant évident que le pré moins deux maisons donnera la même surface quelle que soit la disposition de celles-ci, les petits étant plus sensibles à la configuration perceptive. La réponse donnée, on continue patiemment, avec un troisième couple de maisons, un quatrième, un cinquième, etc., celles du premier pré étant donc toujours espacées et celles du second toujours serrées. Il importe de continuer un moment et si le sujet marque quelque hésitation, d’aller jusqu’à quinze ou vingt couples de maisons (toujours exactement pareilles). Nous avons vu des sujets tenir bon et conserver fermement, en apparence, l’axiome d’Euclide jusqu’à quatorze couples, et fléchir brusquement au quinzième parce que la configuration perceptive devient trop différente et que la surface verte paraît visuellement bien plus considérable dans le cas du second pré.

Les résultats obtenus sont exactement comparables à ceux de la composition des longueurs, à une ou à deux dimensions. Au cours du stade I on éprouve quelque difficulté à pousser l’interrogatoire, mais au niveau II A encore, où l’enfant s’intéresse visiblement au problème, l’égalité des surfaces restantes est entièrement niée, souvent dès le premier couple de maisons placées différemment : la composition opératoire n’existe encore nullement et le sujet se borne à l’évaluation perceptive. Au niveau II B, on observe toute la gamme des réactions intermédiaires, le sujet acceptant jusqu’à un certain nombre de couples l’égalité des surfaces restantes, puis la niant dès que la configuration perceptive devient trop dissemblable : il n’y a donc pas encore composition opératoire nécessaire, mais articulation intuitive plus ou moins poussée. Enfin, le stade III, dès le niveau III A (6 ans ½ à 7 ans en certains cas, 7 ans ½ en moyenne), l’égalité des différences est affirmée une fois pour toutes en vertu d’opérations senties comme nécessaires.

§ 2. Le niveau II A : évaluation perceptive et défaut de soustraction ou d’addition opératoires

Jusque vers 5 ans ½ à 6 ans la question est résolue par simple intuition perceptive. Lorsque les plots ou les maisons sont placés dans les mêmes positions sur les deux champs rectangulaires, l’enfant parvient donc facilement à reconnaître que la surface verte restante est la même des deux côtés, mais il suffit que la disposition diffère sur les deux prés pour que cette égalité des restes soit entièrement niée. Quant à la différence de configuration suffisante pour donner au sujet l’impression de l’inégalité des parties demeurant vertes, elle varie insensiblement des plus faibles aux plus grandes, selon l’âge des sujets :

Gar (4 ; 10). Un plot (parallélépipède) sur B₁ (nous appellerons ainsi le premier pré, et B₂ le second) et un plot placé de même façon sur B₂ : « Il reste autant de vert ici et là ? — Oui, c’est la même chose. — Et comme ça (le plot est au milieu de B, et orienté dans le sens de la longueur du pré, et il est à une extrémité de B₂ en largeur) ? — Non, il reste plus de vert ici (B₂) — Pourquoi ? — Parce qu’il reste tout ça (espace libre). — Et comme ça (deux plots sur B₂ espacés et un seul au centre de B₁) ? — Il reste plus ici (B₁) (donc juste). — Et comme ça (deux plots sur chaque pré, aux mêmes endroits) ? — La même chose. — Pourquoi ? — (Il montre la surface verte restante de même forme dans les deux cas.) — (On place les deux plots écartés sur B, et serrés dans un coin de B₂_.) Il reste la même chose de vert ? — Non, il reste plus de vert ici (B₂). — Pourquoi ? — Parce que les maisons se touchent et il reste beaucoup de vert. — Et ici (B₁) ? Il n’y a de vert en plus (entre les deux plots) ? — Oui. — Alors ? Il y a plus de vert d’un côté que de l’autre ? — Plus ici (B₂). — Si on découpait le vert qui reste des deux côtés (on découpe du papier vert pour en recouvrir les surfaces vertes restant libres sur les deux cartons), on pourrait mettre le vert qui reste ici (B₂) sur celui qui reste là (B₁) ? — Il y a plus de blocs ici (sur B₁. Il n’y en a donc que deux de chaque côté : c’est leur assemblage perceptif que Gar appelle « plus de blocs » !). Il y aurait plus de vert là (B₂). — Et comme ça (on serre les blocs de B₁ et on desserre ceux de B₂) ? — Il y a plus de vert ici (B₁) parce qu’ils sont tout serrés. — Et comme ça (même disposition des deux côtés) ? — Ça fera la même chose de vert. — Et comme ça (formant angle l’un avec l’autre sur B₁ et dans le prolongement l’un de l’autre sur le bord de B₂) ? — Plus de vert ici (B₂). — Et comme ça (presqu’au même endroit, mais avec un petit écart en plus entre les deux plots sur B₂) ? — Il y a plus de vert ici (B₁). — (On diminue l’écart) ? — La même chose. — (On l’augmente très peu.) ? — Plus de vert ici. »

Doc (5 ; 4). « Un plot sur B₁ et un sur B₂ (même disposition) ? — Il reste la même chose de vert. — Et comme ça ? (l’un au centre de B₁ l’autre sur un bord de B₂) ? — Aussi. — (Deux sur B₁) ? — Il reste plus de vert ici (B₂) parce qu’il n’y a qu’un plot (juste). — Et comme ça (deux espacés en B₁ et serrés en B₂) ? — Il reste la même chose de vert parce qu’il y a deux maisons de chaque côté. — (Trois sur B₁ et deux sur B₂) ? — Il y a plus de vert ici (B₂) parce qu’il y a moins de plots. — (On en rajoute un sur B₂ et on dispose les trois de la même manière sur B₁ et sur B₂) ? — Ça fera la même chose de vert. — (On serre les trois de B₁ et on espace les trois de B₂.) Et comme ça ? — Il reste plus de place verte ici (B₁) parce qu’ils sont tous serrés. — Regarde ça (on prend deux paquets de 16 cubes bleus formant deux carrés de 4 × 4 cubes dont on fait vérifier la congruence puis on dispose les premiers 16 cubes sur l’espace vert de B₁). Ça ne fait pas la même chose ? — Ah ! non ! Parce qu’ici (B₁) ils sont tous serrés (le même raisonnement vaut donc pour le mesurant et pour le mesuré). — (On remet les plots selon la même disposition sur B₁ et B₂, en enlevant les 16 cubes.) Et comme ça il reste la même chose de vert ? — Oui. — Et comme ça (on met les trois plots en ligne, mais dans le sens de la largeur du rectangle vert, en B₂ et dans le sens de la longueur en B₁) ? — Il y a plus de vert ici (B₂). »

Nous pourrions citer des séries de ces cas du niveau II A, qu’il nous a été facile de multiplier en faisant varier le nombre et la position des maisons ou des blocs diminuant la surface verte. Mais ces réactions sont toutes semblables à celles des deux sujets cités ici, et s’échelonnant de la façon la plus insensible en fonction de la complication perceptive graduelle des situations. 1°) Dans le cas d’un seul plot A₁ ou A₂ (les deux étant égaux A₁ = A₂), posés sur B₁ ou sur B₂, les différences A₁ ou A₂ (nous appellerons A’₁ la différence entre la surface verte totale B₁ et la surface des plots A₁, donc la surface verte restante sur B₁ et A’₂ la surface verte restante sur B₂), nous voyons Gar nier déjà l’égalité des restes A’₁ et A’₂ si les plots A₁ et A₂ sont posés différemment. Par contre Doc et la plupart des sujets de ce niveau croient à l’égalité des parties restantes A’₁ = A’₂, dans le cas d’un seul élément A₁ = A₂ soustrait à la surface totale quelle que soit sa position. Mais il va de soi que cette intuition immédiate, dont on pourrait formuler le résultat opératoirement (B’₁ − A’₁ = B₂ − A’₂ si A₁ = A₂ et si B₁ = B₂) n’est nullement encore une opération, puisqu’il suffirait d’agrandir A₁ et A₂, ou qu’il suffit d’ajouter d’autres plots différemment placés, pour que l’intuition en question cesse de fonctionner. 2°) Pour deux plots (2A₁ ou 2A₂), le sujet admet naturellement que B₁ − 2A₁ = B₂ − 2A₂ si les objets sont placés de la même manière, mais il suffit souvent du moindre changement de position pour que l’égalité des restes A’₁ et A’₂ soit niée. Autrement dit, l’enfant compare directement les parties vertes restantes A’₁ et A’₂ sans songer que les restes résultent de la soustraction de parties égales à des totalités égales : si la comparaison fournit une égalité perceptive, il admet A’₂ = A’₂, mais si la perception ne donne pas d’elle-même l’égalité, les plus jeunes sujets ne la construisent pas. Par contre, des sujets un peu plus développés comme Doc répondent aussi facilement juste avec deux objets qu’avec un seul. 3°) Seulement il suffit de mettre trois plots (3A₁ et 3A₂) pour que tout soit à recommencer : s’ils sont disposés de la même manière, tous les sujets admettront que les surfaces vertes restantes A’₁ et A’₂ sont égales, mais s’ils sont serrés d’un côté et espacés de l’autre, l’égalité cesse d’être reconnue. 4°) On trouve d’autre part des sujets qui répondent aussi facilement avec trois plots qu’avec deux, que les restes sont égaux (A’₁ = A’₂), mais il suffit alors de refaire l’expérience avec quatre plots pour que l’égalité des surfaces restantes soit niée. 5°) Etc. 6°) Peut-on détromper l’enfant en se servant d’une commune mesure pour lui prouver l’égalité des restes A’₁ = A’₂ ? On découpera ainsi du papier vert que l’on posera sur l’espace libre ou bien on recouvrira celui-ci de cubes-unités en nombre égal de chaque côté. Le sujet Gar nous montre à quoi aboutit cette démonstration (sans parler déjà notion de commune mesure que le sujet ne possède pas à ce niveau, comme nous l’avons vu sans cesse jusqu’ici) il nie que les 16 cubes recouvrant entièrement A’₁ égalent les 16 cubes recouvrant entièrement A’₂, pour cette raison que les uns sont « tous serrés » et les autres pas, autrement dit que la disposition perceptive n’est pas la même ! Il applique donc au mesurant le même procédé d’estimation qu’au mesuré, ce qui est parfaitement naturel, mais exclut, il va de soi, toute mesure des surfaces à ce niveau (de même que toute mesure des longueurs). 7°) Quant à la somme des plots nA₁ et nA₂, elle n’est pas plus constante pour un nombre n donné que les surfaces restantes : ainsi Gar dit « il y a plus de blocs ici » pour 2A₁ comparés à 2A₂ simplement parce qu’ils sont moins serrés (cf. La Genèse du nombre chez l’enfant, chap. III et IV).

Mais, si claires que soient les raisons pour lesquelles l’axiome d’Euclide, dont nous nous occupons en cette section, ne saurait être reconnu valable au niveau II A, il reste que ces sujets soulèvent un problème d’un grand intérêt, par le fait que, tout en refusant toujours, à un moment donné, à admettre que B’₁ − A’₁ = B₂ − A₂ (si B₁ = B₂ et si nA₁ = nA₂, du moins au point de départ), ils l’admettent cependant jusqu’à une certaine valeur de n, cette valeur étant variable d’un sujet à l’autre. Prenons comme exemple le cas de Doc : Il cède à l’apparence perceptive dès que n = 3, c’est-à-dire dès que trois plots sont posés différemment sur B₁ et sur B₂, tandis qu’il résiste à la suggestion des configurations perceptives pour deux plots (n = 2). D’autres sujets cèdent pour deux plots, mais résistent pour un ; d’autres encore tiennent jusqu’à trois, mais cèdent à quatre, etc. En quoi consiste alors le genre de composition qui conduit ces sujets à maintenir l’égalité des parties restantes jusqu’à un certain point, sans leur permettre de la généraliser au-delà ? Il ne saurait s’agir de perception, puisque celle-ci les trompe précisément au-delà des limites de cette composition élémentaire. Il ne saurait non plus s’agir d’opérations, puisque la composition en jeu n’est pas généralisable. Nous avons coutume de parler d’intuition simple, lorsque le sujet parvient à évoquer par l’image une figure statique imitant celle que fournirait la perception, et d’intuition articulée, lorsque la représentation porte déjà sur des transformations élémentaires, dépassant le donné perceptif mais sans atteindre la mobilité, la réversibilité et la généralité opératoires. Seulement les intuitions articulées sont ordinairement caractéristiques du niveau II B (et c’est bien ce que nous verrons plus loin dans les cas parvenant progressivement au seuil de l’opération). L’intérêt de la présente expérience — comparable en cela aux épreuves concernant l’ordre des éléments dans un dispositif en rotation ¹ — est au contraire de nous fournir les transitions les plus insensibles entre l’absence de composition, les compositions intuitives simples puis articulées, et enfin opératoires : chaque étape de ce développement continu pourrait être caractérisée par la solution juste en cas d’adjonction d’un plot de plus, jusqu’au moment où cette solution est généralisée à toutes les situations. C’est en de tels développements qu’on voit le mieux combien le système opératoire final est préparé dès les processus sensori-moteurs les plus élémentaires, sous-jacents à la représentation symbolique, et dont ce système constitue la forme d’équilibre terminal.

Il est, en effet, évident que les compositions élémentaires, dont nous parlons à propos des cas de ce niveau II A, tiennent à des mécanismes de simple anticipation ou reconstitution quasi perceptives avant d’être intuitives ou imagées. Lorsque Gar, par ex. (à la fin de l’interrogatoire) raisonne sur deux plots que l’on écarte ou rapproche alternativement (et très peu chaque fois), on constate que deux dispositions semblables des plots 2A₁ et 2A₂, donnent lieu à un jugement d’égalité quant aux surfaces vertes restantes (A’₁ et A’₂), que deux dispositions un peu différentes donnent lieu à un jugement d’inégalité, mais qu’un très petit écart ramène à l’égalité : dans ce dernier cas, il est clair que, tout en voyant la différence, le sujet anticipe le rapprochement possible et perçoit, pour ainsi dire d’avance le résultat (par une perception virtuelle due à l’activité perceptive anticipatrice et non pas encore par une perception réelle). De ces anticipations de la perception aux anticipations intuitives, on voit alors la filiation possible : il suffit que l’image ou la représentation symbolique prolonge ce qu’esquisse au point de départ l’activité perceptive. Et il en va ainsi de suite jusqu’à cette mobilité réversible qui caractérise l’opération elle-même, au terme équilibré d’un tel processus évolutif (stade III).

En conclusion, les sujets de ce niveau II A sont déjà capables d’un début de composition intuitive, mais non pas opératoire : sous certaines conditions, ils perçoivent et conçoivent les réunions des plots A₁ et A₂ comme égales en B₁ et en B₂, ainsi que les surfaces laissées libres A’₁ et A’₂. Mais ces conditions sont déterminées par les lois de la configuration perceptive, et, bien que tempérées par les anticipations de la perception et de l’intuition représentatives, elles demeurent très restrictives : sitôt passée la limite qu’elles assignent à la composition naissante, tant la somme des plots A que la surface restante sont sujettes à altérations et la soustraction de parties égales (ou du moins initialement égales) à des totalités égales cesse d’engendrer des produits égaux, faute de tout critère d’égalisation. Un logicien dirait peut-être, il est vrai, qu’en ce cas l’axiome d’Euclide demeure respecté par ces sujets : puisque les quantités d’abord égales (A₁ = A₂) soustraites à des totalités égales (B₁ = B₂), cessent en cours de route d’être égales, il est naturel que les restes (A’₁ = A’₂), perdent également leur égalité. Mais il est clair que ce n’est nullement ainsi que raisonne l’enfant : incapable de maintenir l’invariance, ni des parties enlevées, ni des parties restantes (ni par conséquent du tout, bien que la question ne soit point posée ici), tant l’opération de la soustraction des surfaces que celle de leur addition ou de leur réunion, perdent de ce seul fait toute signification pour lui.

§ 3. Le niveau II B : réactions intermédiaires ; le stade III : composition opératoire

On peut suivre, comme nous l’avons vu, selon une progression continue les sujets du niveau II A qui admettent l’égalité des surfaces libres restantes pour 1, 2, 3… n plots posés sur la surface totale, mais qui ne l’admettent pas pour 2, 3, 4… n + 1 plots. Quel que soit le nombre critique n à propos duquel s’observe cette sorte de régression dans le raisonnement du sujet considéré, il vient un moment où ses convictions sont ébranlées et où il se demande si le fait de déplacer les plots A₁ ou A₂ sur les surfaces B₁ et B₂ change quelque chose à l’étendue des surfaces vides restantes A’₁ ou A’₂. C’est cette phase d’articulation plus mobile des intuitions (cette mobilité étant elle-même croissante dès le début, ainsi que nous y avons insisté), qui nous paraît caractériser le niveau II B (de 6 à 7 ans). En voici quatre exemples, à commencer par un cas de transition entre le niveau II A (première partie de l’interrogatoire) et II B (troisième partie de l’interrogatoire) et à continuer par trois cas sériés selon leurs acquisitions progressives :

Vin (6 ; 0). Deux plots serrés sur B₁ et deux plots aux deux extrémités de B₂ : « Il reste plus de place verte ici (B₁). — Et comme ça (un plot sur B₁ et un sur B₂ : mêmes dispositions ? — Il reste la même chose. — Et comme ça (on déplace le plot de B₂) ? — C’est la même chose : on l’a seulement mis comme ça. — Et comme ça (deux plots serrés sur B₁ et deux espacés sur B₂) ? — Il y a moins de place ici (B₂). — Et comme ça (on resserre un peu ceux de B₂) ? — Il reste la même chose. — Et ça (on desserre ceux de B₁ et on resserre encore ceux de B₂) — Il y a plus de place ici (B₂). — Et comme ça (espacés des deux côtés, mais différemment) ? — La même chose. — Et maintenant (espacés davantage en B₂) ? — Plus ici (B₂) ».

Après quoi l’on passe à l’une des expériences de la conservation dont il sera question dans la Sect. II : on assemble des carrés en figures de différentes formes en demandant si la surface ou la « place » demeure constante. Vin réagit comme précédemment, conformément aux croyances du niveau II A. Mais à un moment donné, on décale légèrement trois carrés constituant la moitié d’un rectangle par rapport aux trois carrés formant l’autre moitié : Vin répond « c’est la même chose, mais ça fait quand même plus de place ici (rectangle à moitiés décalées) », ce qui constitue une réaction intermédiaire propre au niveau II B.

On reprend ensuite la question des prés et des maisons, et Vin réagit alors autrement qu’au début, pour trois plots serrés au bas de B₁ et appliqués sur le côté de B₂ et dit : « Il reste la même chose de vert. — Et comme ça (on met les trois plots de B₂ au centre, un peu obliquement) ? — C’est la même chose de vert. — Et comme ça (espacés sur B₂) ? — Il y a plus de vert ici (B₂). — Qu’est-ce qui enlève le vert ? — C’est les maisons. Ah ! C’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que c’est toujours trois maisons : on les a seulement mises comme ça. — Et comme ça (quatre plots serrés sur B₁ et espacés sur B₂) ? — Ça fait moins ici (B₂). Ah ! non ! c’est la même chose parce qu’il y a quatre maisons des deux côtés. — Et comme ça (encore plus espacés) ? — Cette fois, ça fait moins de vert. Ah ! non, la même chose. — Mais le vert qui reste des deux côtés, ça fait la même place — Ça fait un peu moins. Ah non !… Oui… » etc.

Lou (6 ; 1). Un plot sur B₁ et un plot sur B₂ : « Il reste la même chose de vert. — Et comme ça (autre disposition) ? — La même chose. — Et maintenant (deux plots sur B₁ et deux sur B₂, autre disposition) ? — Il reste la même chose. — Pourquoi ? — Parce que c’est les deux mêmes carrés. — Et comme ça (serrés sur B₁ et espacés sur B₂) ? — C’est la même chose parce qu’il y a deux maisons dans chaque champ. — Et comme ça (trois plots contre trois côtés de B₁ et trois plots espacés en pleine surface de B₂) ? — Même chose… non là (B₁) c’est plus grand le vert. — Regarde (on promène les petites vaches sur les surfaces vertes restantes) ? — C’est la même place parce qu’il y a trois maisons de chaque côté. — (On ajoute deux plots sur B₁ et deux sur B₂, les cinq serrés sur B₁ et espacés sur B₂.) ? — C’est la même chose parce qu’il y a autant de maisons de chaque côté. — (Encore deux : d’où sept serrés sur B₁ et sept espacés sur B₂.) ? — Toujours la même chose. — (On les espace davantage sur B₂.) On pourrait recouvrir tout le vert d’ici avec tout le vert de là (B₂) ? — Non, il y a plus de vert ici (B₁). — Pourquoi ?… »

Hex (6 ; 4) commence par ne pas égaler les surfaces vertes restantes, même pour deux plots sur B₁ et B₂, mais après quelques déplacements, il résout ce premier problème. Pour trois plots, il admet l’égalité lors de dispositions semblables, mais il suffit que les trois plots soient serrés contre le bord supérieur de B₁ et que les trois plots correspondants, également serrés les uns contre les autres, soient un peu détachés de ce bord sur B₂ pour qu’il croie que la surface restante est plus grande sur B₁. Après quelques déplacements, il reconnaît par contre l’égalité des restes A’₁ et A’₂ dans toutes les positions. Pour quatre plots, les mêmes hésitations reviennent, puis la même solution juste s’impose après leurs déplacements. Pour cinq objets, même processus, etc. Hex parvient donc à généraliser l’égalité des surfaces restantes pour un nombre donné de plots après avoir raisonné sur leurs déplacements et constaté chaque fois que ceux-ci ne changent rien à l’espace libre restant, mais il ne généralise pas au nombre suivant.

Jor (6 ; 6) répond d’emblée juste pour deux et trois plots « parce que ce sont les mêmes maisons ». On lui présente alors 12 plots serrés à l’extrémité de B₁ et 9 plots répartis en trois suites espacées sur B₂, avec trois autres isolés au milieu des intervalles verts (il a naturellement vérifié au préalable l’égalité des deux ensembles) : « Il reste la même chose de vert sur ces deux champs ? — Sûr que c’est la même chose, puisqu’on a mis les mêmes maisons ; elles sont seulement autrement arrangées. — Et si dans chaque champ on coupe les morceaux de vert qui restent et qu’on les mette ensemble, ça se recouvrira ? — Non, il y a moins ici (sur B₂). — Pourquoi ? — Ah non ! c’est juste la même chose. — Les deux vaches auront la même chose à manger ? — Un peu plus sur ça (B₁) parce que c’est tout plein (continu). — Pourquoi ça fait plus ? — Ah ! non, c’est la même chose parce ce qui cache (= les plots) est le même, alors ce qui reste (= le vert) est aussi le même ».

On constate la différence entre les articulations intuitives et la mobilité restreinte du niveau II A et on voit surtout poindre les débuts de l’opération à partir de ces articulations progressives. Par exemple, Vin, après avoir commencé exactement comme tous les sujets du niveau précédent par des surfaces restantes à cause de leurs différences d’apparence perceptive, découvre qu’une surface rectangulaire de six carrés doit être égale à une autre si trois de ces six carrés sont simplement un peu décalés par rapport aux trois autres. Mais, il est si peu convaincu encore, qu’il s’en tient à cette affirmation conciliatrice, ou, si l’on peut dire, prudemment contradictoire : « C’est la même chose, mais ça fait quand même plus ici ». Revenu à l’épreuve du pré et des maisons, il témoigne alors d’une réaction nouvelle. Au lieu de se laisser dominer par l’apparence perceptive, à partir du moment où les maisons trop espacées paraissent supprimer davantage d’herbe, l’enfant oscille, jusqu’à la fin de l’interrogatoire, entre deux attitudes : l’une est l’évaluation directe, mais l’autre, qui la tient en échec, consiste à égaliser les surfaces restantes en fonction du nombre égal de maisons (« C’est la même chose parce que c’est toujours trois maisons ; on les a seulement mises comme ça »). On assiste donc, chez lui, à un conflit sans issue entre la composition intuitive à son déclin et les débuts de la composition opératoire : celle-ci ne paraît pas en ce cas résulter de celle-là, par le fait que son intuition le pousse à composer les surfaces restantes en elles-mêmes, tandis que son mécanisme opératoire naissant l’oriente vers la comparaison des plots, sans tenir compte des surfaces restantes, et à déduire de l’égalité des premiers celle de ces dernières. Chez Lou il en est de même et la dualité des méthodes laisse à nouveau le conflit sans solution, mais il est plus près de céder à la composition opératoire. Chez Hex, au contraire, nous assistons à une évolution continue et de composition intuitive dans le sens de l’opération, par l’examen des déplacements des maisons et des changements de forme des surfaces restantes, d’où l’idée de compensation qui le conduit à admettre l’égalité. Mais lorsqu’il a admis cette égalité des restes pour trois maisons, il lui faut recommencer son raisonnement pour quatre. Une fois achevé pour quatre, le jeu de bascule recommence pour cinq. On a donc ici l’image d’un système de régulations intuitives continues tendant dans la direction de la composition opératoire sans l’atteindre encore jamais sous sa forme généralisée. Enfin, chez Jos, nous assistons à la victoire de la composition opératoire sur l’articulation intuitive, victoire presque complète et qui conduit ce sujet au seuil du stade III (à part les résidus intuitifs amusants qui interviennent dans ses réserves finales).

Voici maintenant des exemples de réaction du stade III (niveau III A) :

Mar (7 ; 6). Pour trois maisons serrées sur B₁ et espacées sur B₂ (sans autre question préalable) : « Il reste la même chose de vert puisqu’il y a trois maisons de chaque côté. — Et comme ça (cinq maisons serrées en B₁ et dispersées en B₂) ? — C’est sûr qu’il reste la même chose de vert, puisque les maisons sont de la même grandeur et qu’il y en a autant. — Et là (dix éléments sur B₁ et B₂ avec dispositions différentes) ? — C’est toujours la même chose. — Mais on le voit, à regarder ? — Non, on dirait que là (B₁ = maisons serrées contre le bord) il y a plus de vert, mais ce n’est pas vrai puisqu’il y a, la même chose de maisons. — Et si on découpait tous les petits bouts de vert qui sont ici (B₂), on pourrait refaire le grand bout (B₁) ? — Mais sûr, puisque les maisons sont les mêmes, c’est forcé que ce qui reste est aussi le même. — Et sur le grand pré (B₁), la vache n’aura pas plus à manger que sur ces petits bouts (B₂) ? — Sûr que non ».

Aug (7 ; 8). D’emblée douze plots serrés autour du bord de B₁ et dispersés sur la surface de B₂ : « Il reste la même chose de vert ? — (Il rit) Sûr puisqu’il y a douze maisons sur chaque pré. — Mais ici elles laissent beaucoup de place et là ces petits bouts ? — Oui, mais tous ensemble, ça fait la même place ».

On voit assez la différence entre ces réactions et celles du niveau précédent : il n’y a plus d’évaluation perceptive, mais une composition opératoire immédiate par réunion de toutes les surfaces enlevées (nA) et soustraction de cette somme au tout initial (B − nA = A’) d’où l’égalisation des surfaces restantes (B₁ − nA₁ = B₂ — nA₂ =A’₁ = A’₂), cette égalité étant conçue nécessaire (« c’est forcé », « c’est sûr ») et générale (« toujours la même chose »).

Au total, la succession de ces réactions fournit un joli exemple, particulièrement simple et clair, d’évolution des régulations intuitives et même, au départ, perceptives, dans le sens de la composition opératoire mobile et réversible. Alors que tous les sujets sont d’accord à tout âge que n plots disposés de la même manière sur les rectangles égaux B₁ et B₂ enlèvent la même surface et laissent en vert la même surface restante — parce qu’alors ils n’ont pas besoin de déduire mais perçoivent immédiatement ces égalités — il suffit, au début, du plus petit changement de position (donc du plus petit déplacement) d’une ou de deux maisons déjà, pour que cette composition additive et soustractive d’égalités cesse d’être valable aux yeux du sujet. Dans la suite, au contraire, il anticipera les compensations dues à un faible déplacement (l’espace occupé étant compensé alors par l’espace laissé libre), mais échouera à des compositions plus étendues. Puis il généralisera à trois, quatre éléments, etc. jusqu’au moment où l’ensemble des anticipations intuitives et des régulations qu’elles entraînent aboutira à cette mobilité réversible générale qui caractérise la composition opératoire.

Deux remarques sont à faire au sujet de cet achèvement. En premier lieu : Découvrir que si les n maisons occupent une certaine surface du champ considéré, en laissant une certaine place vide ou surface inoccupée, ces mêmes n maisons une fois déplacées (à l’intérieur du même champ) occuperont la même surface, mais ailleurs, et laisseront la même place libre, mais différemment disposée, c’est refaire exactement, mais à propos des surfaces, ce que le sujet a appris à effectuer à propos des longueurs et des distances : c’est comprendre qu’un objet conserve ses dimensions en se déplaçant et que les emplacements fixes sont constamment les mêmes, occupés ou inoccupés ; c’est surtout comprendre la vicariance, ou compensation réciproque, des espaces libres et pleins, principe de la construction des distances et des longueurs comme de la composition des surfaces.

En second lieu, il est clair que les réactions précédentes impliquent déjà le problème de la conservation des surfaces. Si les petits du niveau II A encore (et a fortiori du stade I) ne parviennent à aucune composition additive (et par conséquent à aucune soustraction de parties égales à des totalités égalés), c’est que les surfaces occupées ne se conservent pas en se déplaçant et que les surfaces libres changent de valeur en modifiant leur forme. Si les grands, au contraire, parviennent à une compensation réversible, c’est que le « groupement » en jeu, comme tout groupement aboutit, avant toute métrique ou toute quantification extensive, à une conservation générale des surfaces occupées comme des emplacements libres du plan.