Sur la logique des propositions (1950) ¹ ^a

I. Considérons d’abord une seule proposition p. Selon que cette proposition est affirmée (p) ou niée (p), quatre cas sont possibles eu égard à l’opération additive (∨) :

(o ∨ o) ; (p ∨ o) ; (p ∨ o); (p ∨ p). (1)

On peut alors dresser une table à double entrée :

o	p
p	(p ∨ p)

(2)

On constate que les termes soutenant entre eux une symétrie centrale sont inverses (N) les uns par rapport aux autres : p et p ; o et (p ∨ p) (= tout).

De plus les diagonales / et \ présentent respectivement les propriétés R = N et R = 1, donc C = 1 et C = N. En effet, p est à la fois la réciproque et l’inverse de p ; et (p ∨ p), qui est sa propre réciproque R, est à la fois l’inverse N et la corrélative de (o).

II. Examinons maintenant le cas de deux propositions p et q.

La proposition q donne lieu, en vertu de (2), aux quatre possibilités o ; q ; q et (q ∨ q). Multiplions alors ces quatre cas par p et par p (conjonction : .). On aura donc :

p . (o) ; p . (q) ; p (q) ; p . (q ∨ q) (3)

p . (o) ; p . (q) ; p (q) ; p . (q ∨ q) (4)

Disposons maintenant ces deux suites (3) et (4) selon les deux dimensions d’une table à double entrée et faisons correspondre à chaque terme de (3) sa réciproque R en (4). Additionnons en outre, sur chaque point d’interférence de la table, les termes correspondants de (3) et de (4). On aura ainsi 16 possibilités :

o .	p . _	p . q	p [q] (5)
p . q	p W q	q [p]	P ∨ q
p . q	q [p]	p = q	q ⊃ p
p [q]	p/q	p ⊃ q	p q*

On reconnaît les 16 opérations binaires de la logique bivalente des propositions. On constate en outre que :

1° Chaque opération est le produit additif (∨) des termes correspondants appartenant aux côtés supérieur et gauche du carré. Par exemple : (p W q) = (p . q) ∨ (p . q) ;

2° Chaque opération est le produit multiplicatif (.) des termes correspondants appartenant aux côtés inférieur et droit du carré. Par exemple : (p W q) = (p ∨ q) . (p / q) ;

3° Les symétriques par rapport au centre sont les inverses (N) les uns des autres : par exemple (p. q) et (p ∨ q) ;

4° Les symétriques diagonales / sont réciproques (R) : par exemple (p . q) et (p . q) ;

5° Les symétriques \ sont corrélatifs (C) : par exemple (p . q) et (p ⊃ q) ;

6° Les termes appartenant à la diagonale / présentent les propriétés R = N et C = 1 ;

7° Les termes appartenant à la diagonale \ présentent les propriétés R = 1 et C = N ;

8° Lorsqu’une opération 5 résulte de la réunion de deux autres, x et y, on a alors (x . y) = (z). Soit :

Si x ∨ y = z, alors x . y = -. (6)

Par exemple, si

si (p . q) ∨ (p . q) = (p W q), alors (p ⊃ q) . (q ⊃ p) = (p = q)

III. Considérons maintenant trois propositions p, q et r. On aura donc pour q et r 16 possibilités (5). Multiplions-les par p et p :

0 ; p . (q . r) ; p. (q . r) ; p . (q . r) ; p . (q . r) ; p . q [r]; p. q [r] ;

p . r[q] ; p . (q = r) ; p . (q W r) ; p . r [q] ; p . q [r] ; p . (q ∨ r) ;

p. (r ⊃ q) ; p . (q ⊃ r) ; p . (q/r) ; p . (q * r) (7)

0 ; p . (q . r) ; p . (q . r) ; p . (q . r) ; p . (q . r) ; p . q [r] ; p . r [q] ;

p . (q = r) ; p . (q W r) ; p . r [q] ; p . q [r] ; p . (q/r) ; p . (q ⊃ r) ;

p . (r ⊃ q) ; p . (q ∨ r) ; p . (q * r). (8)

On peut alors construire une table à double entrée selon le même principe que (5) mais avec 16 × 16 = 256 combinaisons. Cette table présentera les mêmes propriétés 1° à 8° que (5).

IV. Avec quatre propositions, il suffira de multiplier les 256 opérations ternaires q, r, s par p et p pour obtenir de même une table à double entrée de 256 × 256 = 65 536 possibilités, qui présentera les mêmes propriétés ; etc.

V. Ces tables constituent simultanément des groupes, des réseaux et des groupements selon que l’on envisage les seules transformations IRNC, les emboîtements (bornes supérieures : V ; et inférieures : .), ou que l’on combine le groupe et les emboîtements en un système unique. En particulier, les côtés supérieur et gauche, générateurs de la table, constituent chacun un système dichotomique simple ou vicariant (groupements de classification).