Essai sur l’illusion de la médiane des angles en tant que mesure de l’illusion des angles (1955) a 🔗

§ 1. Technique et résultats obtenus sur les adultes🔗

Nous appelons médiane de l’angle la droite reliant les points médians des deux côtés lorsque ceux-ci sont de longueurs égales. Cette notion est évidemment dépourvue d’intérêt mathématique, mais elle présente une signification perceptive puisque, dans le cas de tous les angles aigus et des plus petits des angles obtus, cette médiane, lorsqu’elle est dessinée, semble située trop haut et ne pas couper les côtés en deux parties égales. Lorsque la médiane n’est pas dessinée et qu’on demande au sujet d’évaluer la moitié de la hauteur de l’angle, il situe cette médiane virtuelle trop bas par rapport au sommet. Lors d’un premier sondage sur cette illusion 2, nous nous étions contentés de la mesurer en fonction des hauteurs : parmi neuf dessins dont l’un comportait une médiane exacte et les autres des médianes surélevées ou abaissées, il s’agissait de choisir celui ou ceux qui paraissaient traduire la médiane vraie, mais en jugeant les figures globalement et en fait surtout selon la comparaison des segments de hauteur h₁ et h₂ (fig. 1). Il nous a paru préférable, pour une mesure systématique, de faire comparer les segments de côtés c₁ et c₂ car l’estimation de la longueur de ces derniers varie davantage en fonction de la grandeur des angles que l’évaluation des hauteurs h₁ et h₂.

Nous avons ainsi étudié les angles de 10, 20, 30°, etc., jusqu’à 160°, de 10 en 10° sauf des mesures spéciales pour 45 et 55° (et quelques mesures pour 65°, 135°, etc.) et avons procédé, pour chacun de ces angles, à un examen de 7 à 11 figures dont la médiane était soit en place, soit à 1, 2, 3 ou 4 mm au-dessus, soit à 1, 2… 5 ou 6 mm au-dessous de sa position normale. En présence de chacune de ces figures 3 le sujet était prié de comparer les segments c₁ et c₂ (à gauche ou à droite, le sommet étant orienté vers le haut), la question étant la suivante : « La ligne horizontale coupe-t-elle bien les deux côtés en leur milieu ou l’un de ces deux segments (c₁ et c₂) vous paraît-il plus long que l’autre ? »

L’expérience a d’abord porté sur des adultes, au moyen des trois variétés suivantes de dispositifs :

I. Figures en triangles (c’est-à-dire avec base dessinée en plus de la médiane), à hauteurs constantes de 6 cm et côtés de longueurs variables (de 6,1 cm pour 10° à 34,2 cm pour 160°).

II. Figures en triangles à côtés de longueurs approximativement constantes, mais à hauteurs variables (de 6 cm pour 10° à 1 cm pour 160°).

III. Figures angulaires (sans ligne de base) à côtés de longueurs constantes et hauteurs variables (environ les mêmes dimensions qu’en II).

Chacun de ces dispositifs présente de sérieux inconvénients. Les figures de type I deviennent de plus en plus grandes dans le cas des angles obtus, ce qui rend difficile la comparaison des segments de côtés c₁ et c₂.

Il est vrai que le jugement demandé, étant fonction de la position de la médiane, s’appuie sur l’ensemble de la figure et pas exclusivement sur les segments c₁ et c₂, ce qui facilite l’estimation. Mais il n’en reste pas moins que les grandes figures ne sont pas entièrement homogènes aux petites.

Les dispositifs II et III, par contre, avec leurs hauteurs variables, ont l’avantage de ne pas différer beaucoup de grandeur. Mais l’inconvénient est que la hauteur diminuant de plus en plus pour les angles très obtus, les segments c₁ et c₂ deviennent difficiles à évaluer parce que la médiane et la base font avec eux des angles (3 et 4) de plus en plus aigus, ce qui diminue la netteté des points d’intersection.

Le dispositif angulaire III remédie en partie à cet obstacle en supprimant l’angle (4). Mais il reste toujours l’angle (3). D’autre part, le segment inférieur c₂ ayant une extrémité libre n’est pas entièrement homogène au segment supérieur c₁.

En fait, c’est le dispositif I qui a fourni les résultats les plus réguliers. Aussi l’avons-nous utilisé sur 30 adultes, et les dispositifs II et III sur 18 et 20 adultes. Nous avons en outre fait quelques sondages avec des figures angulaires à hauteurs constantes et avec les figures I en présentation renversée (sommet en bas), mais sans résultats appréciables.

Nous donnerons donc séparément les moyennes respectives obtenues avec les dispositifs I à III sans les réduire à des moyennes générales étant donné leur hétérogénéité. Par contre, pour faciliter les comparaisons, nous fournirons les résultats en mm d’écart de la médiane et non pas en % rapportés à la longueur des côtés. D’ailleurs la question posée portant essentiellement sur la situation de la médiane, et la longueur des segments c₁ et c₂ n’intervenant que pour faciliter cette évaluation, il est légitime de s’en tenir ainsi aux déviations en mm vers le haut ou le bas sans rapporter ces déviations à la longueur des côtés. Au surplus les courbes en mm ou en % présentent la même allure et les mêmes maxima, les différences ne portant que sur la valeur absolue des erreurs.

Voici donc les résultats obtenus sur 68 adultes :

D’autre part, il est utile de connaître, pour chaque valeur d’angle, le % des cas d’erreurs positives (médiane surélevée), négatives (médiane abaissée) et nulles :

On constate ainsi que pour le dispositif I (hauteur constante de 6 cm et côtés de 6 à 34 cm) la médiane est surélevée pour les angles aigus avec un maximum entre 50 et 60° (élévation de 2 mm environ) et un passage à l’illusion nulle à 120° ; la médiane est au contraire située trop bas (illusion négative) entre 130 et 150° avec un maximum négatif à 140°. Cette illusion négative représente entre 130 et 150° le 30 au 41 % des cas (tabl. 2) contre 27 à 34 % d’illusions positives et 25 à 43 % d’illusions nulles.

Le dispositif II donne des résultats moins réguliers, bien que le maximum positif se retrouve pour les angles de 50°. Mais surtout les illusions négatives se présentent en plus faibles proportions (maximum à 140° : 41 % contre 41 % de positives et 18 % nulles). La raison en est sans doute que dans ce dispositif la longueur des côtés étant constante et la hauteur variable, plus l’angle est obtus et plus la hauteur est faible (1 cm à 160°); il s’ensuit qu’il est de plus en plus malaisé de juger d’après les seuls segments c₁ et c₂ : le sujet englobe alors les hauteurs h₁ et h₂ (fig. 1) dans son jugement (ce qui n’est pas le cas pour les grandes figures du dispositif I, mais l’est nécessairement pour les petites figures du dispositif II ; par exemple 11,5 × 1 cm à 160°). Or, dès que la hauteur intervient, le segment h₂ compris entre les deux parallèles du trapèze inférieur de la figure n’est plus homogène au segment h₁ compris entre la médiane et le sommet de l’angle et, à égalité h₁ = h₂ le segment h₂ paraît un peu plus grand. C’est pourquoi, dans la Rech. X (p. 290, tabl. VII), lorsque nous mesurions les médianes d’après les hauteurs h₁ et h₂ la médiane des angles de 120° paraissait encore surélevée de 0,55 mm chez les adultes.

Dans le cas du dispositif III (mêmes dimensions qu’en II mais sans ligne de base), l’illusion positive maximum est à nouveau comprise entre 45 et 55° et on retrouve une illusion nulle comme en I à 120° (0,05). Mais l’illusion négative est peu représentée comme en II, bien qu’à un degré un peu plus fort (42 % contre 35 % à 120° et 50 % contre 35 % à 150°). La raison de cet affaiblissement de l’illusion négative est la même qu’en II (rôle de la hauteur quand les segments c₁ et c₂ deviennent peu distincts). Mais, du fait qu’il n’y a pas de ligne de base, la hauteur joue un rôle moindre et le segment c₂ est plus facile à estimer : d’où la situation intermédiaire de ces résultats du dispositif III par rapport à ceux des dispositifs I et II.

Au total, on peut résumer comme suit les résultats obtenus :

1) Il existe pour les angles aigus, l’angle droit et les angles de 100 et 110° une illusion systématique positive (surélévation de la médiane).

2) Le maximum de cette illusion est compris entre 45 et 60°, avec les valeurs les plus fortes à 50° et 60° ; le maximum positif est donc probablement de 55°.

3) Cette illusion positive s’annule à 120° environ.

4) Elle fait place au-delà à une illusion négative qui est plus faible mais systématique lorsque le jugement porte principalement sur les segments de côtés c₁ et c₂ (dispositif I).

5) Le maximum de cette illusion négative est situé entre 140 et 150°.

6) L’illusion négative s’atténue sensiblement lorsque le jugement porte sur la hauteur ou englobe ce facteur (dispositifs II et III) parce que la médiane partage la figure en un triangle supérieur et un trapèze inférieur et que les hauteurs h₁ et h₂ de ces deux parties de la figure ne sont pas homogènes.

Les présents résultats confirment donc ceux de la Rech. X en ce qui concerne la surélévation de la médiane dans le cas des angles aigus (ceux de 30° et de 60° avaient déjà été étudiés à cet égard). Par contre, dans le cas des angles obtus (seuls ceux de 120° avaient été analysés), la présente recherche fournit ce nouveau résultat que, si l’erreur fondée sur l’estimation des hauteurs h₁ et h₂ demeure positive, elle devient négative dans un % appréciable des cas entre 120 et 130° lorsque l’illusion est mesurée en fonction des segments de côtés c₁ et c₂.

§ 2. Résultats de la technique I chez les enfants🔗

Nous avons examiné 9 enfants de 6 ans, 12 de 7 ans et 8 de 8 ans au moyen du dispositif I et obtenu les résultats suivants :

Quant au pourcentage des cas d’illusions positives (surélévation de la médiane), négatives (abaissement) ou nulles, on a :

On constate ainsi que les illusions de l’enfant sont quantitativement supérieures mais qualitativement semblables à celles de l’adulte (avec le dispositif I) :

1) Du point de vue quantitatif, les illusions enfantines sont plus fortes en ce sens que, pour un même groupe de figures, l’enfant perçoit l’égalité c₁ = c₂ (donc la position de la médiane) avec un écart sensiblement plus grand que chez l’adulte : par exemple, l’erreur positive maximum est en moyenne de 3,00 entre 6 et 8 ans et de 2,02 à 2,03 chez l’adulte, soit un rapport de 3 à 2 ; l’erreur négative maximum est en moyenne de − 1,18 à 6-8 ans et de − 0,65 chez l’adulte ; etc.

Par contre, l’allure qualitative de la courbe est sensiblement la même :

2) L’erreur positive maximum est en moyenne située à 55-60° : à 55-60° à 6 ans, à 55-65° à 7 ans et à 50° à 8 ans, mais en moyenne à 55-60°, avec répartition bien symétrique des erreurs autour de 55° (entre 40 et 70°).

3) L’erreur positive fait place à l’erreur négative à partir de 120°. L’illusion nulle médiane est donc située entre 110 et 120° (à 120° chez l’adulte), avec quelques écarts sans doute fortuits (à 100° à 6 ans, à 130° à 7 et à 110-120° à 8 ans).

4) L’erreur négative maximum s’observe à 130° en moyenne, et à 140° à 8 ans (comme chez l’adulte).

Au total, l’évolution avec l’âge de cette illusion de la médiane des angles obéit donc bien aux lois des illusions primaires : diminution de l’erreur en fonction du développement, mais conservation de l’allure qualitative de la courbe, avec ses inversions de sens et ses maxima. Notons seulement que les plus grandes figures (150° et 160° à 6 ans, 140-160° à 7 ans et 160° à 8 ans) ont donné lieu chez l’enfant à certaines difficultés d’évaluation : la trop grande variabilité des réponses et surtout leur instabilité nous ont donc empêché d’assigner des moyennes à ces quelques résultats, faute de pouvoir les considérer comme valables. Pour les autres figures, par contre, la dispersion des résultats et leur intervariation ont été tout à fait normales.

§ 3. L’illusion de la médiane🔗

En possession des nouveaux résultats mesurés sur les segments de côtés c₁ et c₂ il apparaît que l’illusion de la médiane constitue un simple cas particulier de l’illusion classique des côtés de l’angle, elle-même fonction de l’illusion des angles en général. La seule différence entre l’illusion de la médiane et celle des côtés de l’angle est que la première est une illusion composée, dépendant d’au moins deux angles, tandis que la seconde constitue une illusion simple, constitutive de la première.

Si l’on se reporte à la fig. 3 pour les angles aigus (et à la fig. 2 pour les obtus), on constate, en effet, que les longueurs des segments de côtés c₁ et c₂ sont évaluées en fonction de quatre angles dont deux distincts (1 et 2) et deux égaux entre eux (3 et 4). Dans le cas des angles aigus on a alors à considérer les actions suivantes :

a) L’angle (1), qui est aigu, est surestimé, ce qui dévalorise ses côtés c₁. Cette première action tend donc à déplacer la médiane vers le haut.

6) Les angles (2) sont toujours obtus, ce qui entraîne une surestimation de leurs côtés c₂. Cette seconde action tend donc elle aussi à déplacer la médiane vers le haut, de telle sorte que dans le cas des angles aigus (fig. 3), les actions a) et b) sont cumulatives.

c) L’angle (3) est aigu, de telle sorte qu’il tend à dévaloriser le segment c₁ et cette action s’ajoute à l’action a).

d) L’angle (4) qui est aigu et égal à l’angle (3) tend à dévaloriser le segment c₂ et cette action contrecarre donc l’action b).

Mais comme les actions c) et d) sont égales et de sens contraire, on peut considérer leur résultante comme nulle et ne retenir que les actions a) et b). Il suffira donc, pour calculer théoriquement les déplacements perceptifs de la médiane, d’additionner la déformation P₁ due à l’angle (1) et la déformation P₂ due à l’angle (2). On obtiendra ainsi la déformation totale P valable entre 0 et 90° inclus :

Prop. (1) P = Pa + Pb (de 0 à 90°)

Dans le cas des angles obtus, par contre (fig. 2), on est en présence des quatre actions suivantes :

a) L’angle (1) étant obtus, le segment c₁ s’en trouve surestimé, ce qui tend à déplacer la médiane vers le bas (erreur négative).

b) L’angle (2) étant lui aussi obtus, le segment c₂ est également surestimé, ce qui tend à déplacer la médiane vers le haut et contrecarre l’action a).

c) et d) Les angles (3) et (4) sont aigus, le premier ayant pour effet de dévaloriser le segment c₁ et le second le segment c₂. Ces deux actions c) et d) s’annulent donc l’une l’autre par le fait de l’égalité des angles (3) et (4).

Il ne reste donc à considérer que les effets a) et b), mais, dans le cas des angles obtus, ils sont orientés en sens contraires et sont ainsi à soustraire l’un de l’autre. On aura donc :

Prop. (2) P = P_b − P_a (de 91 à 180°)

Il nous suffira maintenant d’exprimer quantitativement les déformations P_a et P_b pour construire la courbe théorique des variations de P en fonction de la grandeur des angles (1) et pour chercher si les courbes expérimentales vérifient ces déductions.

Donnons d’abord, pour l’ensemble des figures utilisées, la table des correspondances entre les angles (1) et (2) :

Il s’agit ensuite d’établir la formule qui nous servira à exprimer les déformations perceptives des angles, et, comme il se pose encore certaines questions quant à la détermination des maxima des illusions relatives aux angles, la confrontation entre les courbes théoriques et les courbes expérimentales à laquelle nous allons nous livrer nous permettra simultanément de vérifier les prop. (1) et (2) et d’établir une formule adéquate aux maxima des déformations angulaires correspondant aux maxima expérimentaux des déplacements de la médiane.

§ 4. La formule des illusions angulaires🔗

La Rech. XXIV a montré que l’on peut réduire les illusions d’angles au renforcement apparent de l’inclinaison de la diagonale C d’un rectangle, ce qui nous a conduits aux formules suivantes. Tout d’abord, l’effet de base (diagonale du rectangle), peut être déduit de la loi des centrations relatives, en posant :

L₁ = A (ou A’) ; L₂ = A’ (ou A) ; L_max = C ; nL = H (puisque le nombre des comparaisons A −A’ ou A’ −A est fonction de H) et S = BH. D’où :

(3) P₁ = ± (H (A − A’) × (A’ : C)) / BH ou ± (H (A’ − A) × (A : C)) / BH

Or, l’expression (A − A’) × A’ ou (A’ − A) × A peut s’écrire Bk puisque A et A’ sont des fractions constantes (k) de B qui seul varie. On peut donc abréger l’expression (3) sous la forme :

(3 bis) P₁ = ± (H (Bk) : C) / BH

Dans le cas des angles aigus et obtus, cette action P₁ (3) intervient deux fois. Il s’y ajoute une action P₂ due à la différence et au rapport de la hauteur H et de la médiane M de ces angles.

En effet, la différence entre les angles aigus, droits et obtus tient essentiellement, du point de vue perceptif, au fait que les rapports entre la médiane M et la hauteur H sont M < H pour l’angle aigu, M = H pour l’angle droit et M > H pour l’angle obtus (fig. 6). Nous avons suffisamment insisté dans la Rech. X sur l’importance de ces trois rapports objectifs dans la perception des angles pour n’y point revenir ici. Mais il reste à les formuler, ce qui est à nouveau facile en partant de la loi des centrations relatives (que nous n’avions pas encore dégagée sous sa forme générale lors de cette Rech. X). Il suffit en effet de poser :

L₁ = H (ou M) ; L₂ = M (ou H) ; L_max = C ; nL = 1 H ; S = MH

Nous avons alors, pour l’action P₂ :

(4) P₂ = + (H (H − M) × (M :C)) / MH

dans le cas des angles aigus et

(5) P’₂ = − (H (M − H) × (H : C)) / MH

dans le cas des angles obtus.

L’illusion des angles peut alors être considérée comme un produit des effets P₁ et P₂ puisque l’effet P₁ intervient dans tous les angles mais selon les deux modes de symétrie représentés par la fig. 2 (Rech. XXIV) dans le cas M < H (angles aigus) et par la fig. 3 (Rech. XXIV) dans le cas M > H (angles obtus).

Pour obtenir le produit, il nous suffira donc de multiplier entre elles les expressions (3 bis) et (4) ou (5), mais en comptant deux fois l’effet (3 bis), puisque l’angle a deux côtés, et une seule fois la surface BH = MH, puisqu’elle est la même (car B = M : voir fig. 4), ainsi que nL = H puisque H demeure unique (= 1). On obtient ainsi pour les angles aigus (fig. 4) :

(6) P = + (2 [H (Bk) : C] × [(H − M) × (M : C)]) / MH

qui se simplifie (puisque B = M) en :

(7) P = (2 Mk (H − M)) / MH

Quant aux angles obtus, on aura (voir la fig. 5 où les B et H de la fig. 4 sont permutés) :

(8) P’ = (2 [B (Hk) : C] × [(M − H) × H : C]) / MH

qui se simplifie, puisqu’on a encore B = M (voir fig. 5) 6.

(9) P’ = − (2 Hk (M − H)) / C²

La signification géométrique des prop. (7) et (9) est simple. Nous l’exposerons dans le cas du demi-angle (fig. 5), c’est-à-dire en faisant abstraction du coefficient 2 (l’angle total vaut 2 α). On a d’abord :

(10) M / C = B / C = sin α

et (11) H / C = sin β (complémentaire de α)

Donc l’expression H − M / C représente la différence entre le sinus de β et celui de α, et l’expression (M (H − M)) / C² représente le sinus de a rapporté à la différence entre le sinus β et le sinus α. En effet, lorsque sin α = sin β, alors sin α = sin β = sin 45° et H −M = 0, ce qui annule (2M (H − M))/C2 pour l’angle 2α = 90°.

On obtient alors la distribution suivante des erreurs systématiques P pour les angles aigus et obtus, en faisant le calcul sur une figure élémentaire (moitié gauche de la fig. 4 et de la fig. 5, ou fig. 1 de la Rech. XXIV) de longueur constante = 1 (= H dans les fig. 1-3 de la Rech. XXIV) :

Le contrôle expérimental de ces hypothèses nous est alors fourni par la mesure de l’illusion de la médiane des angles. Calculons, au moyen des prop. (1) et (2) et du tabl. 5, la distribution théorique des erreurs de la médiane des angles en partant des valeurs précédentes de l’illusion des angles tirées des prop. (7) et (9). On obtient d’abord, entre 10 et 90° :

Et, entre 100 et 180° :

On constate alors que l’accord est relativement satisfaisant entre cette distribution théorique des erreurs et les distributions expérimentales fournies par les tableaux 1 et 3 (dispositif I) (fig. 18) :

1) Le maximum positif théorique est compris entre 50 et 60°, alors qu’il l’est aussi avec le dispositif I chez l’adulte et dans la moyenne générale des enfants de 6-8 ans.

2) Le passage par l’erreur nulle entre les erreurs positives et les erreurs négatives s’effectue théoriquement à 120° alors qu’il est aussi situé à 120° chez l’adulte avec le dispositif I. Il a lieu entre 110 et 120° chez la moyenne des enfants, avec des oscillations entre 7 et 8 ans et un écart notable à 6 ans seulement.

3) Le maximum négatif théorique est situé aux environs de 150° alors qu’il l’est entre 140 et 150° chez l’adulte avec les dispositifs I et III. Chez l’enfant par contre il se trouve à 140° à 8 ans et à 130° en moyenne entre 6 et 8 ans mais les mesures se sont montrées assez imprécises chez les sujets de ces âges à partir de 140° (on retrouve à 8 ans un nombre de cas négatifs pour 160° supérieur aux cas positifs).

Ainsi la convergence entre les résultats expérimentaux et le calcul théorique de l’illusion peut être considérée comme encourageante et comme confirmant dans une certaine mesure l’interprétation que nous proposons de l’illusion de la médiane des angles et par conséquent l’interprétation de l’illusion des angles en général. Cet accord relatif entre la théorie et l’expérience est, en effet, d’autant plus frappant que l’illusion de la médiane est en réalité une illusion composée, résultat soit de l’addition soit de la soustraction des effets simples P_a et P_b, eux-mêmes complexes puisque les prop. 7 et 9 expriment le produit des effets P₁ (prop. 3 et 3 bis) et P₂ (prop. 4 et 5). En de telles conditions, on aurait pu s’attendre à des écarts plus notables entre des formules tirées de la loi des centrations relatives et les mesures empiriques, toujours trop peu nombreuses et toujours aléatoires…