Les illusions relatives aux angles et à la longueur de leurs côtés (1949) ^a 🔗

S’il est facile de constater qualitativement les déformations auxquelles donne lieu la perception des angles, il est plus malaisé de trouver un système de mesures objectives. Nous avons adopté une méthode dont l’avantage est d’être pratique mais dont l’inconvénient est qu’elle ne s’applique guère aux sujets de moins de 7 ans : trouver à vue le double d’un angle aigu, ainsi que la moitié [p. 282] ou le tiers d’un angle obtus (la question du tiers est elle-même trop difficile à 7-8 ans). Voici les questions posées :

Ia. On présente au sujet un angle aigu de 60°, de 8 cm de côtés, placé la pointe en bas et la bissectrice verticale et on le laisse en place à titre d’étalon. Puis on demande de trouver parmi une suite de variables présentées une à une celle qui paraîtra égale au double de l’étalon. Ces angles variables ont tous également 8 cm de côté et sont choisis selon des différences de 5 en 5°. Mais on les présente par une méthode concentrique, pour éviter dans la mesure du possible les effets de série et pour neutraliser les anticipations. Leur nombre varie selon le jugement des sujets.

Ib. On présente un angle obtus de 120° posé également le sommet vers le bas, la bissectrice verticale, et de côtés de 8 cm. Il s’agit alors de trouver, parmi des variables construites et présentées selon les mêmes principes qu’en Ia, un angle jugé égal à la moitié de l’étalon de 120°.

Ic. Même technique mais en demandant un angle égal au tiers de l’étalon de 120°.

IIa. On présente simultanément au sujet cinq angles égaux de 60° mais dont les côtés sont respectivement de 70, 75, 80, 85 et 90 mm, en demandant si l’un de ces angles est plus grand que les autres ou non. Si le sujet perçoit des inégalités, on insiste naturellement sur le fait que l’évaluation doit porter sur l’écartement (l’angle lui-même) et non pas sur la longueur des côtés.

IIb. Même question avec cinq angles de 120° dont les côtés sont aussi de 70, 75, 80, 85 et 90 mm.

Les mesures prises au cours des expériences I sont alors exprimées par les calculs suivants :

Ia. — Si nous appelons V la variable choisie par le sujet comme étant égale à deux fois l’angle étalon (de 60°) et si nous appelons M ce modèle ou étalon lui-même, l’illusion en %, c’est-à-dire rapportée à l’étalon M de 60° sera de :

P (Ia) = (V − 2M)/M

Ib et c. — L’étalon M sera ici l’angle constant de 120° et la variable V l’angle jugé égal à la moitié ou au tiers de M. D’où les illusions :

P (Ib) = (V — (M/2))/(M/2) et P (Ic) = (V — (M/3))/(M/3)

[p. 283] Il est à noter que si, logiquement, le rapport Ib constitue l’inverse du rapport Ia, il n’en est pas de même perceptivement, car, de ce dernier point de vue si B > A il n’en résulte pas A < B et si B = 2A il n’en résulte pas 2A = B (irréversibilité de la perception opposée à la réversibilité de l’opération). En effet, dans le cas Ia la variable est l’angle obtus et l’étalon l’angle aigu, tandis qu’en Ib et Ic c’est l’inverse. Dès lors une « erreur de l’étalon » (voir Rech. II et III) viendra altérer la réciprocité des rapports Ia et Ib et c’est ce que nous verrons effectivement à l’instant.

Les sujets examinés ont été 20 enfants de 7 à 8 ans, 40 enfants de 9 à 12 ans (dont la moitié vus par H. Wursten et la moitié par L. Johannot indépendamment l’un de l’autre) et 15 adultes. Les résultats ont été les suivants (voir tableaux I, II et III) ¹.

Ces tableaux permettent de faire un certain nombre de constatations intéressantes, notamment en ce qui concerne le rôle de l’erreur de l’étalon (laquelle, à notre connaissance n’a pas été signalée à propos de la mesure des angles).

On pourrait concevoir qu’une déformation perceptive portant sur les angles eux-mêmes se borne à écarter ou rapprocher en apparence les côtés en laissant leur longueur invariante. On sait au contraire depuis longtemps que la longueur des côtés des angles aigus est sous-estimée et celle des côtés des angles obtus surestimée. Il s’agit donc de tenir compte de ces faits dans l’explication d’ensemble de la perception des angles et c’est dans ce but que nous avons tenu à contrôler l’existence et la fréquence du phénomène :

IIIa. On présente au sujet cinq droites verticales de 70, 75, 80, 85 et 90 mm. Puis on lui remet l’angle aigu de 60° à 80 mm de côtés (voir § 1) en le priant de choisir parmi les droites celle qui lui paraît correspondre à la longueur du côté de l’angle. La figure représentant celui-ci peut être manipulée par le sujet comme il l’entend et c’est généralement en plaçant verticalement l’un des côtés de l’angle qu’il fait sa comparaison.

IIIb. Même technique, mais avec un angle obtus de 120° et de 80 mm de côtés.

IV. On fait comparer les côtés de l’angle de 120° (80 mm) à variables composées de côtés d’angles aigus (tous de 60°), côtés dont les longueurs sont de 70, 75, 80, 85 et 90 mm.

[p. 287] V. Enfin on présente un angle de 60° accolé à un angle obtus « supplémentaire », de 120°. La figure comporte donc trois segments de droites de 80 mm ; les segments a et c qui se prolongent l’un l’autre horizontalement, a étant l’un des côtés de l’angle obtus et c l’un des côtés de l’angle aigu (fig. 1) ; la droite b, qui est oblique, est le côté commun à l’angle aigu et à l’angle obtus supplémentaire. On demande si ces trois côtés sont égaux, et, sinon, lequel est le plus grand et lequel est le plus petit.

La mesure des illusions III et IV se fait comme suit. Si V est la variable (l’une des droites en IIIa et IIIb, ou le côté de l’un des angles aigus en IV) et M le modèle à mesurer (côté de l’angle aigu en IIIa ou de l’angle obtus en IIIb et en IV), on définira la déformation P comme suit :

P = ((V − M) 100/M)

Les résultats obtenus figurent dans le tableau V.

Les côtés de l’angle aigu sont donc bien sous-estimés et ceux de l’angle obtus surestimés. L’illusion paraît ici plus forte chez l’adulte que chez l’enfant (du moins en ce qui concerne les côtés des angles obtus) contrairement aux déformations portant sur l’angle comme tel. Mais, il s’agit de la même « erreur de l’étalon » que nous avons vue à l’œuvre à propos de l’estimation des angles. Dans le cas de l’exp. IIIa l’étalon est, en effet, le côté de l’angle aigu tandis qu’en IIIb et en IV c’est le côté de l’angle obtus : or l’adulte, qui semble en toutes ces expériences regarder l’étalon davantage que la variable (contrairement à l’enfant), surestime alors l’étalon, en IIIb et en IV, à la fois à titre d’étalon et en tant que côté d’un angle [p. 288] obtus, tandis qu’en IIIa les deux effets se compensent. Chez l’enfant la situation s’inverse, ce qui explique l’irrégularité apparente de l’évolution avec l’âge pour les résultats des exp. IIIb et IV.

Quant à la question V, elle a donné des résultats convergents, en ce qui concerne la nature des déformations (tableau VI).

Le côté a jugé maximum par le plus grand nombre des sujets est donc celui qui appartient en propre à l’angle obtus. Le côté c, jugé minimum par la grande majorité est le côté propre à l’angle aigu. Le côté commun b donne lieu à des jugements intermédiaires.

Nous appellerons médiane d’un angle dont les côtés sont égaux la droite reliant les points médians de ces deux côtés et les coupant ainsi en deux parties égales. Or, l’interprétation que nous avons été [p. 289] conduit à donner des illusions relatives aux angles, comporte cette conséquence que, plus l’angle est aigu, plus la médiane est perçue comme déplacée vers le sommet de l’angle (voir fig. 2). Nous avons donc tenu à vérifier la généralité de cette illusion et à en fournir une mesure moyenne en fonction de l’âge des sujets.

VI. Nous avons choisi des angles de 30°, de 60° et de 120°, dont les côtés de 80 mm restent constants. On présente au sujet, dans un ordre concentrique, des séries de 9 cartons par angle, dont l’un comporte le dessin de la médiane exacte (tracée d’un trait de même épaisseur que les côtés) et dont les autres sont pourvus de fausses médianes s’étageant entre − 5 mm et + 2 mm par rapport à la position de la vraie. L’ordre de présentation a été varié selon l’ordre 30° → 120° ou l’inverse.

VII. L’expérience a en outre été faite exactement comme en VI mais avec des figures fermées, c’est-à-dire avec des triangles pourvus de vraies ou fausses médianes (par opposition avec angles ouverts de VI).

L’expérience VII a été faite parfois après ou parfois avant l’expérience VI. En règle générale le sommet des angles et des triangles a été orienté vers le bas, comme dans les expériences I-IV. Mais, pour un groupe de sujets les figures ont été présentées la pointe en haut, à titre de contrôle.

Les expériences VI et VII ont été faites sur 20 enfants par groupes d’âge (5-6 ; 7-8 ; 9-10 ; 12-14 ans) et sur 20 adultes. L’erreur est indiquée en mm par rapport au milieu de la bissectrice (dont la hauteur varie puisque les côtés des angles de 30°, 60° et 120° restent invariants). Les moyennes négatives indiquent un déplacement de la médiane vers l’ouverture de l’angle ou la ligne d’écartement ; les moyennes positives, au contraire, expriment un déplacement vers le sommet de l’angle ou du triangle.

Nous avons aussi cherché à mesurer l’illusion en présentant un dispositif tel que la médiane, au lieu d’être tracée, est établie par le sujet au moyen d’un petit fil de fer rectiligne, très mince, dont la hauteur est réglée à volonté. Mais l’illusion est alors en général plus forte, en ordre concentrique aussi bien qu’ascendant, et la mesure est moins précise.

Les résultats obtenus ont été les suivants (voir tableau VII).

Les moyennes arithmétiques diffèrent à peine des précédentes, les seules erreurs positives se rapportant aux angles de 120° (et ne [p. 290] se présentant qu’à raison de 1 ou 2 cas sur 20). La signification de ces chiffres est donc bien claire :

1. Lorsque la figure est fermée par le bas (exp. VII) il y a, pour tous les âges, forte diminution de l’illusion en fonction de l’agrandissement de l’angle : plus l’angle est aigu, plus on a tendance à déplacer la médiane vers le sommet de l’angle.

2. L’erreur est toujours négative (à quelques rares exceptions près pour les angles très obtus), c’est-à-dire que la médiane n’est que rarement déplacée vers la ligne d’ouverture de l’angle. (Le fait de varier l’ordre de présentation des figures ne change rien à l’allure typique d’une courbe relative à un âge particulier).

3. L’évolution de l’erreur en fonction de la grandeur de l’angle est la même chez l’adulte, pour les figures ouvertes (exp. VI) et pour les figures fermées (exp. VII). Elle est inverse chez les petits [p. 291] de 5 à 8 ans (et irrégulière entre 8 ans et l’âge adulte). Ce renversement intéressant est évidemment dû au fait que les petits ne savent pas tirer une ligne droite virtuelle entre les extrémités des deux côtés de l’angle, lorsque la figure est ouverte : faute de cette référence virtuelle (que l’adulte lui-même a quelque peine à établir pour les angles très obtus), ils rejettent alors naturellement la médiane vers le sommet, tandis que pour les figures fermées (exp. VII) ils suivent la règle générale de l’illusion ; de plus, la droite virtuelle en question étant d’autant plus difficile à tirer qu’elle est plus longue, le déplacement de la médiane vers le sommet est alors proportionnel au caractère obtus de l’angle, d’où un renversement apparent de l’illusion en fonction de la grandeur de l’angle. Ce fait est instructif et converge avec tout ce que nous savons de la difficulté des petits à construire des lignes ou des figures perceptives virtuelles ³.

4. Mis à part les effets propres aux figures ouvertes, l’évolution de l’illusion avec l’âge (avec mesures en figures fermées) marque une diminution assez nette en fonction du développement, notamment en ce qui concerne les angles obtus.

Il valait ainsi la peine d’étudier cette illusion, relative à la médiane des angles, qui fournit un utile complément à l’étude des déformations intéressant la longueur des côtés ou l’estimation de l’angle comme tel.

Comme toute figure perceptive, l’angle est un système de rapports. Il s’agit donc de déterminer quels sont ces rapports et lesquels d’entre eux intéressent le plus la perception elle-même. On pourrait d’abord se demander si la relation essentielle n’est pas [p. 292] celle de la ligne d’ouverture A avec la hauteur H, chaque angle à côtés égaux correspondant ainsi à un rectangle de côtés A et H (voir fig. 3). Il est immédiatement visible qu’il n’en est rien. En de tels rectangles, le grand côté serait surestimé et le plus court dévalué, ce qui aurait pour résultat d’agrandir les angles obtus, de dévaluer les angles aigus et d’allonger les côtés des premiers et de laisser à peu près invariants ceux du second : autant d’effets qui sont contraires aux illusions observées. Il en serait de même si la bissectrice H était comparée directement à la ligne d’ouverture A comme dans la fig. 4, puisque la première serait surestimée dans le cas des angles aigus et dévaluée dans les cas des obtus.

Il est donc nécessaire d’admettre que la hauteur ou bissectrice H n’est pas seulement mise en relation avec la ligne d’ouverture A, mais aussi avec les lignes d’écartement parallèles à A et coupant H en un point quelconque compris entre le sommet de l’angle et A. Or, parmi ces lignes d’écartements, il en est qui seront choisies avec moins de probabilité que d’autres : ce sont celles qui sont proches du sommet ou proches de la ligne A elle-même. Il en est une, par contre, dont la probabilité de choix est maximum : c’est la ligne située à mi-chemin du sommet et de A, c’est-à-dire précisément la médiane, étudiée au § 3 (et dont les estimations perceptives diverses expliqueront les déplacements apparents). On aura donc un premier rapport fondamental à envisager dans la perception des angles : celui qui existe entre la hauteur H et la longueur de la médiane A’ (voir fig. 5). Mais il s’y ajoute immédiatement un ensemble plus complexe de relations qui englobent le rapport précédent : les droites A’ et A forment, en effet, avec les segments (des côtés de l’angle) qui relient leurs extrémités, un trapézoïde dont le grand côté est A et le petit côté A’. En outre, selon les lignes d’écartement que parcourt le regard, au-dessus et au-dessous de A’, l’angle sera décomposable perceptivement en une suite de [p. 293] trapézoïdes virtuels, superposés ou interférents (fig. 6), qui peuvent jouer également un rôle dans l’estimation d’ensemble.

Distinguons maintenant parmi ces relations celles qui, objectivement, sont constantes ou varient en fonction de la grandeur de l’angle, puis nous chercherons à montrer comment les données objectives, invariantes ou variables, sont déformées par la perception.

Partons du trapézoïde dont les côtés parallèles sont la médiane A’ et la ligne d’ouverture A. Sa hauteur H’ sera toujours égale (en vertu de la définition de la médiane) à la moitié de la hauteur totale de l’angle, soit H’ = H/2. Introduisons en outre une ligne virtuelle DA’, qui sera essentielle dans l’évaluation perceptive des inclinaisons (donc de l’angle) : c’est la différence entre les longueurs A et A’, soit 2DA’ = A − A’.

Or, on constate que dans tous les trapézoïdes ainsi construits par décomposition d’un angle à côtés égaux (fig. 6), que cet angle soit aigu, droit ou obtus, on retrouve trois mêmes rapports constants :

(a) A’ = A/2 (puisque A’ est la médiane de l’angle dont la ligne d’ouverture est A).

(β) DA’ = A’/2 (puisque A’ = A/2 et que 2DA’ = A − A’).

(β bis). DA’ = A/4 (résulte de α et de β).

(γ) H’/DA’ = H/A’ (puisque H’ = H/2 et que la médiane A’ coupe la hauteur H en son point médian).

Par contre, la relation qui varie selon que l’angle est aigu, droit ou obtus, est le rapport entre H et A’. On a, en effet :

(δ) H > A’ si l’angle est aigu ; H = A’ si l’angle est droit et H < A’ si l’angle est obtus.

Il en résulte, puisque H’ = H/2 et DA’ = A’/2 :

(ε) H’ > DA’ si l’angle est aigu ; H’ = DA’ si l’angle est droit et H’ < DA’ si l’angle est obtus.

[p. 294] Cela dit, le principe de l’explication fondée sur les effets de centrations relatives (voir Rech. IV) est que toute inégalité est renforcée perceptivement, sauf dans la petite zone d’indétermination (seuil d’égalité) qui sépare les inégalités de sens contraires. Il s’agit donc de dégager d’abord ce que donneront, de ce point de vue, les rapports constants caractérisant le trapézoïde précédent, puis de voir en quoi les relations perceptives ainsi caractérisées seront modifiées par les variations de hauteur et l’intervention des autres trapézoïdes que le regard peut découper dans l’ensemble de l’angle.

En ce qui concerne les rapports constants du trapézoïde de départ (fig. 7), deux sortes de déformations (ou transformations non compensées P) sont en conflit. On a en premier lieu l’inégalité entre A et A’ qui sont de valeurs 2 et 1 en vertu de la relation (a) : la longueur de A dévalorisera donc celle de A’ et celle-ci renforcera celle de A, soit :

(1) P (A₂ > A’₁) > 0

Mais on a, en second lieu, les inégalités A’ > DA’ (= 2 > 1) et A > DA’ (= 4 > 1) qui tendront à dévaloriser DA’, soit :

(2) P (A₄ > DA’₁) > 0 et (2bis) P (A’₂ > DA’₁) > 0

Ces deux déformations (2) et (2bis) sont orientées en sens contraires de (1), puisque dévaloriser DA’ c’est sous-estimer la différence qui sépare A de A’ : or, cela revient à renforcer la ressemblance dimensionnelle de A et de A’, c’est-à-dire à allonger A’ et à rapetisser A. Les deux effets sont donc antagonistes ⁴.

Il s’ajoute à cette opposition le fait que A est perçu comme égal à A’ + 2 DA’, soit :

(3) P (A = A’ + 2 DA’) = 0

Cette compensation (3) contraignant la perception à s’orienter soit dans le sens (1) soit dans le sens (2) et (2bis). Or, ces derniers effets sont plus forts, quantitativement, que la déformation (1), puisqu’ils sont deux et que l’un des deux correspond au rapport objectif (4 > 1). Ce sont donc les déformations (2) et (2bis) qui primeront : ils caractérisent effectivement l’illusion bien connue de la perception des trapézoïdes, c’est-à-dire la surestimation du petit côté (A’) et la dévaluation du grand côté (A).

À s’en tenir à ces rapports indépendants de la hauteur, tout angle devrait donc être sous-estimé : en effet, si la médiane (A’) [p. 295] de l’angle est surévaluée et la ligne d’ouverture (A) dévaluée, cela signifie que les côtés non parallèles du trapézoïde seront perçus moins inclinés qu’ils ne le sont, et que par conséquent l’angle total (dont les côtés prolongent ces côtés inclinés du trapézoïde) sera plus aigu, c’est-à-dire moins grand. Les rapports objectifs entre A, A’ et DA’ étant les mêmes dans tous les angles, la conclusion qui précède est donc commune à tous les trapézoïdes construits au moyen de la médiane de l’angle et de sa ligne d’ouverture, qu’il s’agisse d’angles objectivement aigus, droits ou obtus.

Mais c’est ici qu’interviennent les variations de hauteur H, et avec elles, les rapports impliqués dans les autres trapézoïdes que le regard discernera dans la figure angulaire d’ensemble. Examinons donc successivement les trois possibilités différentes : H < A’ (angles obtus) ; H = A’ (angles droits) et H > A’ (angles aigus).

La caractéristique objective de l’angle obtus est le rapport H < A’. Il en résulte perceptivement que la longueur de A’ sera surestimée, ce qui renforce l’effet précédent. Il est vrai que l’inégalité H’ < DA’ (dérivant objectivement de H < A’) aboutit à surévaluer DA’ et que l’inégalité H < A agit de même sur A. Mais les longueurs A, A’ et DA’ étant proportionnelles (dans les rapports de 4, 2 et 1), leur renforcement simultané ne modifie en rien les déformations décrites au § 4 en ce qui concerne le trapézoïde dont les côtés parallèles sont A et A’. On a donc, si nous désignons par − P (DA’) > 0 la dévaluation de la différence entre A et A’ :

(4) [P (H < A’) > 0] → [− P (DA’) > 0]

où le symbole → signifie « entraîne ».

Autrement dit, à ne considérer que le trapézoïde de départ (à côtés parallèles A et A’), plus l’angle est obtus (c’est-à-dire plus grande est l’inégalité H < A’) et plus il sera dévalué ⁵. Mais ce trapézoïde n’est pas seul en cause et il faut distinguer les autres cas possibles et leurs relations avec la hauteur.

[p. 296] I. En comparant les diverses lignes d’écartement de l’angle, que nous appellerons A’’ (voir la fig. 8) à la ligne d’ouverture A, le regard décompose, en effet, au sein de l’angle, un certain nombre de trapézoïdes de hauteurs quelconques (dont celui formé par la médiane A’ et la ligne de base A n’est qu’un cas particulier). Bornons-nous d’abord à envisager le rapport entre la longueur A’’ et celle de la ligne DA’’ qui marque la différence entre A’’ et la ligne d’ouverture A, soit 2DA’’ = A — A’’. Nous constatons alors que, dans tous les angles, aigus comme obtus, la différence DA” s’accroît régulièrement de l’ouverture A au sommet de l’angle. À la hauteur 0 (c’est-à-dire sur la ligne A), la valeur de DA’’ est 0. À la hauteur H/3, la différence DA’’ vaut A’’/4 (en effet 2DA’’ occupent alors le ⅓ de la largeur du rectangle dans lequel l’angle est inscrit comme dans la fig. 8 : dès lors 2DA’’ = A’’/2 et DA’’ = A’’/4). À la hauteur ½, DA’’ que nous avons alors appelé DA’ (§ 4) vaut A”/2 (c’est-à-dire A’/2). À la hauteur ⅔, on a par contre DA’’ = A’’. Etc.

Or, en vertu des mêmes effets qui produisent une dévaluation de la différence DA’ dans le cas de la médiane (voir prop. 1 à 4), on aura, à partir de la hauteur ⅔, donc sitôt que DA’’ > A’’, une sous-estimation de A” et une surestimation de la différence DA”. Ce nouvel effet viendra alors renforcer l’inégalité A” < A. Soit :

(5) [P (DA’’ > A’’) > 0] + [P (A’’ < A)] → [− P (A’’)]

Autrement dit, dans le dernier tiers de la hauteur, les trapézoïdes dont les côtés parallèles sont A’’ (< DA’’) et A agissent en sens contraire de l’effet (4) et manifestent une déformation contraire à celle des trapézoïdes habituels : sous-estimation du petit côté et surévaluation du grand ⁶.

Mais comme il ne s’agit que du dernier tiers de la hauteur de l’angle, cet effet (5) ne saurait être efficace à lui seul : il n’intervient que renforcé, ou inhibé, par les facteurs de hauteur et c’est à partir de cette intervention que se marquent les différences entre les angles obtus et aigus.

II. Le deuxième rapport essentiel est alors celui de la longueur de A’’ et de la hauteur totale de l’angle (H). En effet, [p. 297] tandis que les différences DA’’ entre les lignes A’’ et la ligne d’ouverture A croissent régulièrement comme on vient de le voir sous I, et ceci de la même façon pour tous les angles quels qu’ils soient, le rapport entre A’’ et H se transforme au contraire plus ou moins rapidement selon la valeur de H, c’est-à-dire selon que l’angle est plus ou moins obtus ou aigu. C’est ainsi que l’égalité A” = H ne se réalise que tout près du sommet pour un angle très obtus ; elle est vraie à mi-hauteur pour un angle droit (H = A’ où A” = A’ = la médiane) ; elle ne se réalise que près de la ligne d’ouverture A (si A > H) pour un angle assez aigu et ne se réalise même pas du tout si les côtés de l’angle aigu sont trop courts et si l’on a A < H. La vitesse de transformation, si l’on peut dire, du rapport entre A’’ et H est tout autre que celle du rapport entre DA’’ et A’’ puisque cette dernière est commune à tous les angles (en fractions de hauteur, cela va de soi et non pas en hauteurs absolues), tandis que la première varie d’un angle à l’autre.

Or, de même que le rapport entre A’’ et DA’’ tend à la sous-estimation de tous les angles en ce qui concerne les premiers ⅔ de la hauteur, et ne s’inverse qu’au dernier tiers (prop. 5), de même le rapport entre H et A’’ ne tend à dévaluer A’’, donc à surévaluer l’angle, qu’à partir seulement du point où l’on a H > A’’. Dans le cas de l’angle obtus, qui présente une médiane plus grande que la hauteur (A’ > H), cet effet n’est donc possible que dans la partie proche du sommet de l’angle, et dans une partie d’autant plus petite que l’angle est plus obtus. En dessous du point H = A’’, compris entre la médiane et le sommet, on a au contraire :

(6) [P (H < A’’) > 0] → [P (A’’) > 0]

c’est-à-dire une surestimation de A”, d’où un renforcement de l’effet (4).

III. Un troisième rapport à envisager varie, comme le second, d’un angle à l’autre : c’est le rapport entre une ligne d’écartement quelconque A’’ et la hauteur H’’ qui la sépare de la ligne d’ouverture A. En effet, tant que l’on aura H’’ < A’’ l’écartement A’’ sera surestimé d’autant et l’angle sous-évalué :

(7) [P (H’’ < A’’) > 0] → [P (A’’) > 0]

Or, comme la médiane d’un angle obtus est plus grande que la hauteur totale, il est clair que le rapport (7) ne saurait en ce cas s’inverser que près du sommet sous la forme (H’’ > A’’) et (− P (A’’) > 0).

[p. 298] IV. Enfin la hauteur absolue de l’angle joue un rôle évident, en ce sens que sa valeur conditionne le nombre de centrations distinctes du regard et par conséquent l’intervention respective plus ou moins poussée des rapports précédents. Plus la hauteur absolue est grande, en effet, plus la partie de l’angle comprise entre la médiane et le sommet prendra de l’importance, ce qui joue un rôle certain puisque c’est dans cette région que presque tous les rapports précédents s’inversent (dans le sens de la surestimation de l’angle). Or, plus l’angle est obtus, plus sa hauteur absolue est faible, à même longueur de côtés que les angles droits ou aigus auxquels la perception les comparera : il y a là une raison de plus en faveur de la sous-estimation des obtus.

Au total, l’angle obtus est dévalué : (1) parce que le trapézoïde dont les côtés parallèles sont formés par la médiane A’ et la ligne d’ouverture A renforce la longueur de A’ et diminue celle de A ; (2) parce que cet effet primaire, commun à tous les angles, est renforcé par le rapport A’ > H, qui conduit à la surévaluation de A’ ; (3) parce que les rapports (DA’’ > A’’) ; (H > A’’) et H’’ > A’’ (définis sous I, II et III) n’interviennent que dans la partie de l’angle comprise entre la médiane et le sommet, et que la hauteur absolue de l’angle obtus est faible (à longueurs de côtés constantes), ce qui rend ces rapports relativement inopérants.

Les mêmes relations appliquées à l’angle droit permettent de comprendre pourquoi, en moyenne, son estimation ne donne pas lieu à des déformations appréciables.

Le trapézoïde formé des côtés parallèles A’ (médiane) et A ligne d’ouverture aboutit, il est vrai, à une surestimation de A’ et à une sous-estimation de A (comme dans le cas des autres angles). Mais comme la hauteur H est égale à la médiane A’, cette égalité stabilise la figure :

(8) [P (H = A’) = 0] → [P (DA’) = 0]

D’autre part, on a comme toujours, à partir des deux tiers de la hauteur DA” > A” (prop. 5) ce qui tend à dévaluer A”, mais on a la relation inverse entre la médiane et la ligne d’ouverture.

[p. 299] On a de même, à partir des deux tiers H’’ > A’’, puisque dans le cas de l’angle droit H’’ = DA’’. Mais en dessous de ce point, on a la relation inverse H’’ < A’’ (cf. prop. 7). Enfin la valeur absolue de la hauteur ⁷ est suffisante pour que l’on puisse comparer perceptivement les parties supérieures et inférieures à la médiane de l’angle. En vertu de ce qui précède il s’ensuit alors une compensation approximative des facteurs de surestimation et de sous-estimation.

Mais la raison principale de stabilisation est sans doute le facteur 8. Il s’y ajoute que l’angle droit, si l’un de ses côtés est regardé verticalement, constitue le croisement d’une horizontale et d’une verticale et que s’il est tourné le sommet vers le haut ou vers le bas, ses côtés sont perçus comme constituant les diagonales de deux carrés adjacents. Ces deux circonstances contribuent également à stabiliser la figure, la seule des figures angulaires ouvertes qui tende vers l’état de bonne forme en vertu de l’égalité (8).

Le renversement de l’illusion, dans le cas de l’angle aigu, est dû tout entier à la manière dont les facteurs de hauteur tiennent en échec les facteurs (1) à (4) relatifs à l’illusion du trapézoïde. En effet, le rapport fondamental qui oppose l’angle aigu aux angles obtus et droit est l’inégalité H > A’ (hauteur surpassant la médiane), qui aboutit à dévaloriser la médiane, sinon absolument, du moins relativement à la ligne d’ouverture A. On a donc, dans le cas de l’angle aigu, contrairement à celui de l’angle obtus :

(9) [P (H > A’) > 0] → [P (DA’) > 0]

C’est-à-dire que la dévaluation de A’ par la hauteur H entraîne le renforcement de la différence DA’ entre A’ et A, c’est-à-dire la plus grande inclinaison des côtés et la surestimation de l’angle.

Mais la hauteur n’intervient pas seulement sous la forme (9) qui ne suffirait pas à elle seule à expliquer la forte surestimation des angles aigus. Reprenons à cet égard les quatre facteurs distingués à propos de l’angle obtus (§ 5 sous I à IV).

I. Il y a d’abord, comme dans le cas de tous les angles le renversement du rapport entre DA’’ et A’’ à partir des ⅔ de [p. 300] la hauteur (prop. 5 et fig. 8). Or ce renversement, qui aboutit à dévaluer la ligne d’écartement entre les ⅔ et le sommet de l’angle, donc à écarter les côtés et surestimer l’angle, joue un rôle tout autre dans le cas de l’angle aigu que dans celui de l’angle obtus : en ce dernier cas, il demeure inopérant, parce que contraire au rapport H > A’ et parce que la faible hauteur absolue empêche une analyse suffisante des régions voisines du sommet. Dans le cas de l’angle aigu, au contraire, les rapports DA’’ > A’’ (à partir des ⅔) et H > A’ se renforcent et la région comprise entre les ⅔ de la hauteur et le sommet donne lieu à un nombre possible de centrations d’autant plus élevé que l’angle est plus aigu (jusqu’à une limite à partir de laquelle l’illusion faiblit parce que les côtés tendent dans la direction du parallélisme).

II. Le rapport entre la hauteur H et les diverses lignes d’écartement A’’ se présente tout autrement dans les angles obtus et aigus, puisque les premiers comportent le rapport H < A’ et les seconds H > A’. Il résulte, en effet, de H > A’ que l’égalité H = A’’ se trouve située en dessous de la médiane (à supposer que cette égalité existe, c’est-à-dire que l’on n’ait pas A < H). Entre la médiane et le point A” = H on aura donc une zone de dévaluation de la ligne d’écartement A’’, zone d’autant plus grande que l’angle est plus aigu :

(10) [P (H > A’’) > 0] → [− P (A’’) > 0]

Il en résulte que la plus forte inclinaison des côtés, donc la surestimation de l’angle débute en dessous déjà de la médiane.

III. Quant au rapport entre une ligne d’écartement A’’ et la hauteur H’’ qui la sépare de la ligne d’ouverture A, il est également important, dans le cas des angles aigus, puisqu’il représente la relation entre le petit côté et la hauteur des trapézoïdes dont les côtés parallèles sont A’’ et A. Or, pour les moins aigus des angles aigus, le rapport H’’ > A’’ débute entre la médiane et les ⅔ de la hauteur (cf. le cas des angles droits), tandis que pour les angles plus aigus on a H’’ > A’’ dès au-dessous de la médiane (et d’autant plus en dessous que l’angle est plus aigu). Il en résulte :

(11) [P (H’’ > A’’) > 0] → [− P (A’’) > 0]

c’est-à-dire une nouvelle cause de dévaluation de A” et de surestimation de l’angle.

IV. Enfin la hauteur absolue de l’angle aigu, à longueur des côtés constante, est d’autant plus grande que l’angle est plus aigu. Il en résulte que les facteurs de dévaluations agissant entre [p. 301] la médiane et le sommet (ce qui est le cas des quatre facteurs I-IV) influencent d’autant plus sensiblement la perception que les zones de centrations sont alors plus nombreuses en cette région supérieure (relativement aux angles obtus).

Au total, l’angle aigu est surestimé : (1) parce que les effets habituels du trapézoïde dont les côtés parallèles sont A’ et A sont compensés par l’intervention des facteurs de hauteurs ; (2) parce que la médiane A’ est dévaluée par la hauteur de l’angle (A’ < H) ; (3) parce que les rapports (H > A’’) et (H” > A’’) interviennent soit dès en dessous de la médiane soit entre elle et les ⅔ de la hauteur ; (4) parce que la hauteur absolue relativement grande rend sensibles les effets se produisant entre la médiane et le sommet de l’angle, notamment l’effet DA’’ > A’’ qui intervient à partir des ⅔ de la hauteur totale.

I. Rien n’est plus propre à confirmer les interprétations précédentes de l’estimation des angles que les résultats du tableau IV : tout angle, obtus aussi bien qu’aigu, paraît s’agrandir si l’on allonge ses côtés, donc si l’on augmente H. Il est clair, en effet, qu’en allongeant les côtés d’un angle sans modifier celui-ci, on laisse constantes toutes les proportions entre A, A’, DA’, H’ et H (ou A’’, H’’ et DA’’), puisque la nouvelle figure est « semblable » à l’ancienne. L’effet de l’allongement des côtés ne peut donc tenir aux seules valeurs objectives de la figure, et l’on ne saurait comparer ici la perception des deux figures semblables à un simple champ physique dont on augmenterait la surface en multipliant toutes les valeurs par un même coefficient. Si l’angle à côtés allongés paraît plus grand que le même angle à côtés plus courts, c’est donc que cette plus grande hauteur absolue (cf. § 5 et 7 sous IV) offre au regard une plus grande liberté de combinaisons et, par conséquent, la possibilité de découper dans la partie de la figure comprise entre la médiane et le sommet de l’angle un plus grand nombre de trapézoïdes selon les lignes virtuelles passant d’un côté à l’autre. D’où les conséquences suivantes :

1° Pour l’angle obtus, la sous-estimation de l’angle est due, nous l’avons vu, à la prédominance des trapézoïdes de faible hauteur. Si l’on allonge les côtés, il va de soi que les trapézoïdes [p. 302] de petits côtés A’’ tels que DA’’ > A’’ et H’’> A’’ (voir § 5 sous I et III) deviennent alors plus probables, d’où l’apparence d’une augmentation de valeur de l’angle (malgré la constance du rapport H < A’).

2° Pour l’angle aigu dont la surestimation est due simultanément au rapport H > A’ et à la prédominance probable des trapézoïdes de type A’’ < DA’’ et A’’ < H’’, il est clair que l’allongement des côtés, tout en conservant le même rapport entre H et A’ (puisque la médiane A’ est alors déplacée) renforce la probabilité des trapézoïdes de petits côtés A’’ < DA’’ et A’’ < H’’.

Le facteur expliquant l’accroissement apparent de l’angle est donc le même pour l’angle obtus et pour l’angle aigu lors de l’allongement des côtés, et c’est ce qui nous paraît confirmer les interprétations des § 4 à 7.

II. Quant aux illusions relatives à la médiane, elles sont également d’un intérêt théorique évident. La médiane A’ apparaît d’autant plus décalée dans la direction du sommet que l’angle est plus aigu et d’autant plus proche du milieu de la hauteur que l’angle est plus obtus. Pour expliquer ce fait il faut d’abord invoquer, naturellement, le rapport H/A’ : dans le cas de l’angle aigu, où l’on a H > A’ la médiane est dévalorisée par la hauteur et paraît donc plus proche du sommet. Mais alors pourquoi, dans le cas de l’angle obtus, où l’on a H > A’ la médiane ne paraît-elle pas plus proche de l’ouverture ? C’est que si l’on dessine la médiane sous la forme d’un trait matériel, il intervient, en plus de ce premier facteur, une déformation due à l’estimation de la longueur des côtés eux-mêmes. En effet, la médiane, en rejoignant chacun des deux côtés de l’angle, engendre elle-même deux angles supplémentaires, l’un aigu (du côté du sommet de la figure totale), l’autre obtus (du côté de l’ouverture A de la figure totale) : il s’ensuit, en vertu de l’illusion relative aux côtés des angles obtus et aigus (voir tabl. VI), que le segment a sera surévalué et le segment b dévalué (fig. 9-10). C’est pourquoi, [p. 303] dans le cas de l’angle obtus, la médiane A’ ne paraît pas décalée dans la direction de l’ouverture A et reste un peu décalée dans le sens du sommet.

Mais ne pourrait-on pas dire alors que cette illusion relative à la position de la médiane s’explique entièrement par ce second facteur (dévaluation de b et surestimation de d) sans faire intervenir le rapport H/A’ ? Au contraire, les considérations précédentes démontrent clairement l’importance de ce rapport. En effet, plus l’angle général (la figure entière) est obtus, et plus les angles engendrés par la médiane A’ sont, l’un obtus (côté d) et l’autre aigu (côté b). Réciproquement plus l’angle général est aigu et moins les deux angles supplémentaires sont l’un obtus (côté d) et l’autre aigu (côté b). Si l’influence de ces angles engendrés par la médiane était seule en jeu, l’illusion de déplacement de cette médiane devrait donc être plus forte dans le cas de l’angle obtus (fig. 10) que dans celui de l’angle aigu (fig. 9). Or, c’est l’inverse qui se produit et ce fait remarquable démontre donc l’importance du rapport entre H et A’, qui dévalorise la médiane virtuelle A’ dans les angles aigus et l’allongerait dans celui des angles obtus sans l’intervention des effets secondaires que l’on vient de constater.

III. Les deux illusions que nous venons de chercher à interpréter (sous I et II) convergent donc entièrement avec les rapports invoqués pour expliquer la déformation des angles eux-mêmes. Quant à la surestimation des côtés de l’angle obtus et à la sous-estimation de ceux de l’angle aigu, elles ne posent aucun problème nouveau. Il va de soi, en effet, que dans la mesure où l’angle obtus sera dévalorisé par un redressement de l’inclinaison de ses côtés, ceux-ci ne se rejoindront qu’au-delà de ce sommet, ce qui les allonge (fig. 11). Réciproquement, dans la mesure où la surestimation de l’angle aigu repose sur un rétrécissement des largeurs voisines du sommet, les côtés se rejoindront en deçà de celui-ci, ce qui les raccourcit (fig. 12).