Formulations nouvelles de la structure des « groupements » et des conservations. Psychologie expérimentale et comparée : hommage à Paul Fraisse (1977) ^a 🔗

Elles comportent d’abord un système d’« applications » surjectives et injectives. Rappelons que l’application d’un ensemble de départ E sur un ensemble d’arrivée E’ doit être exhaustive à gauche (« tous » les x de E) et univoque à droite (sur les x de E’). Il y a surjection si chaque élément de E’ reçoit « au moins 1 x » de E, et injection si les x de E’ ne reçoivent qu’« au plus 1 x » de E, donc 1 ou 0. Il y a enfin bijection (isomorphisme) si chaque x de E correspond à un seul x de E’ et réciproquement. Cela dit, soit, en une classification quelconque, une classe B₁ formée de sous-classes A₁, A₂, etc., et un certain nombre d’individus x à classer possédant tous le caractère b₁ propre à B₁ mais en outre les caractères différentiels a₁, a₂, etc., propres aux A₁, A₂, etc. : il y a alors surjection de ces individus dans les classes A. De même, celles-ci [p. 55] sont surjectées en B₁ (mais non pas en B₂, B₃, etc., qui avec B₁ sont surjectées en C₁, etc.). Quant à l’inclusion A₁ ⊂ B₁, elle est une injection des individus possédant les caractères a₁ b₁ dans l’ensemble des termes de B₁ de caractères b₁, ne retrouvant alors que ceux qui possèdent en outre les caractères a₁ sans correspondance avec les autres B₁ : il s’agit donc des mêmes individus a₁ b₁, mais d’une part en tant que formant la classe A₁ et d’autre part en tant qu’appartenant aussi à B₁. Mais cette application injective est importante parce que sa réciproque (« sous-jection » des B₁ en A₁ en tant que les B₁ ne correspondent pas tous aux A₁, et qui n’est donc plus une application) est nécessaire à la quantification de l’inclusion (|B₁| > |A₁| si A₁ ⊂ B₁). On sait, en effet, que pour une collection B de 10 fleurs dont 6 marguerites = A et 4 autres fleurs A’, les jeunes sujets comprennent bien que tous les A sont des B aussi bien que tous les A’ ; mais, quand on leur demande s’il y a là « plus de fleurs B ou plus de marguerites A ? » ils répondent « plus de A » en ne comparant alors les A qu’aux autres fleurs A’, comme si, une fois les A dissociés en pensée de B, il y avait isomorphisme entre les B et les A’ : en termes de correspondance, on voit ainsi que ce qui fait problème est la réciproque de l’injection, que nous appelons « sous-jection » en tant que correspondance incomplète (non-application).

Mais si ces diverses correspondances surjectives et injectives sont cotransformationnelles en tant que liées aux opérations de réunions et d’emboîtements, il reste qu’elles sont déterminées par un contenu qualitatif extra-logique, d’où l’obligation de fait (distincte de la nécessité normative) de procéder par enchaînements contigus : la réunion de deux sortes quelconques d’individus comme des vers de terre et des éléphants ne donne lieu qu’à des correspondances si générales que la classe en résultant demeure ouverte à un nombre considérable d’autres termes et n’est donc pas « naturelle », tandis que la réunion des éléphants et des hippopotames donnera lieu à davantage de correspondances en compréhension et à une classe plus restreinte et donc naturelle. En outre, ces correspondances cotransformationnelles peuvent être subséquentes par rapport aux transformations (réunions d’abord) ou antécédentes, les réunions ne se constituant que sur la base de ressemblances établies initialement, ce qui est généralement le cas.

[p. 56] Cependant, en une classification systématique en forme d’arbre plus ou moins touffu, si deux rameaux quelconques éloignés l’un de l’autre ne donnent pas lieu à eux deux à la construction d’une classe élémentaire et ne se correspondent donc pas en ce sens, il y a par contre bijection précise entre deux secteurs de la classification : qu’il s’agisse de lombrics ou d’éléphants, une « espèce » (classe de type 1) est incluse en un « genre » (type 2), celui-ci en une « famille » (type 3) faisant partie d’un « ordre » (type 4) inclus en une « classe » ¹ (type 5) elle-même située en un « embranchement » (type 6). Il est donc clair qu’en faisant abstraction du contenu, les formes en jeu dans le groupement sont reliées par des morphismes bien définis, dont la reconnaissance est ici facilitée par le fait que les différents « types » de classes ont reçu des noms spéciaux. Mais, même en l’absence de ces dénominations, il est toujours possible (et dès la psychogenèse) de faire correspondre une classification à une autre en respectant la hiérarchie des types.

Mais il y a plus. La classification zoologique ne porte que sur les classes, sans nomenclature spéciale quant aux relations. Mais on pourrait nommer et définir les relations distinctes unissant ces classes : on comparerait par exemple à des « frères » les taxons A (espèces) réunis en un même genre B comparables à leur « père », tandis que le « frère B’ du père B » serait assimilable à un « oncle » et ses « fils » leurs « cousins », etc. Il est alors clair que de telles relations, quoique non dénommées, sont isomorphes à celles d’un arbre généalogique familial (dont on éliminerait les alliances par simplification) et donnent lieu à des combinaisons inépuisables pour n générations et des cousinages au n^e degré, avec composition des surjections, injections et bijections conforme à ce qui a été vu plus haut, mais en s’en tenant aux pures formes. Nous avons étudié récemment chez les enfants de 4-5 à 12-15 ans ces relations de famille, en utilisant comme matériel de petites poupées toutes semblables mais avec un ensemble de flèches distinctes pour concrétiser les diverses sortes de correspondances. Or, si les sujets de 7-10 ans en restent à des relations limitées, on obtient dès 11-12 ans des compositions remarquables même sans avoir besoin d’une figuration en arbre.

Si B = A₁ + A’₁, nous disons qu’il y a vicariance si B est subdivisé par ailleurs en B = A₂ + A’₂, où A₂ ⊂ A’₁, et A₁ ⊂ A’₂ ². En ce cas, il y a : 1) surjection des éléments de B en A₁ et A’₁ ; 2) surjection analogue de B en A₂ et A’₂ ; 3) correspondance entre les deux surjections en ce triple sens qu’il s’agit d’une même opération, que les deux réunions A₁ + A’₁ et A₂ + A’₂ sont égales à B, et que, dans les deux cas, on a B − A = A’, que A soit A₁ ou A₂ et que sa complémentaire sous B soit A’₁ ou A’₂ ; 4) il y a surtout injection de A₂ en A’₁ et de A₁ en A’₂ et ces deux injections se correspondent en tant que réciproques ou symétriques ; 5) enfin la vicariance A₁ + A’₁ en A₂ + A’₂ est inversible.

Il semble donc légitime de parler ici de morphismes conservant la structure, d’autant plus que l’on peut continuer en B = A₃ + A’₃, etc., de façon quelconque (par transformations libres). Il en résulte que la vicariance représente un automorphisme, ce qui est normal puisque le système des classifications constitue une catégorie si on y englobe la classification complète en arbre (et non pas seulement une suite linéaire d’emboîtements A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc.), et que l’on s’en tienne aux formes indépendamment des contenus. Mais il convient de préciser que cette catégorie ne comporte que des compositions entre morphismes de mêmes rangs (malgré l’emboîtement des classes de « types » croissants), et non pas des morphismes de puissances supérieures. Pour ce qui est, en particulier, des vicariances de vicariances, il est clair qu’elles conduisent à l’« ensemble des parties » comme nous l’a montré une récente recherche ³ : elles ne consistent pas simplement à généraliser la forme A + A’ en A₂ + A’₂, A₃ + A’₃, etc., mais à changer de forme en procédant par paires (A₁ + A₂) = (A’₁ + A’₂), etc.

a) À chaque élément, sauf au dernier, correspond un successeur « plus » grand, « plus » foncé, « plus » éloigné en →, etc. [p. 58] b) Chacun correspond à un prédécesseur sauf le premier. c) À toute relation < correspond une relation >, par bijection et symétrie. d) Le premier terme et tous ses successeurs = le dernier et tous ses prédécesseurs (cf. A₁ + A’₁ = A₂ + A’₂) par vicariance des termes due à la réciprocité des < et des >. e) Pour chaque terme X ou Y on a S (successeurs), X + P (prédécesseurs), X = SY + PY = ∑ (< ou >) = nombre d’éléments − 1. Autrement dit, pour X ou Y on a :

n(> X) + n’ (< X) = n (> Y) + n’ (< Y) = ∑ des relations.

f) Un exemple de cette vicariance, facilité par le fait que les diverses relations < ou > portent des noms distincts, est celui de la sériation linéaire des ascendances et descendances familiales directes : « A est le père de B, qui est le grand-père de D » = A est le grand-père de C, qui est le père de D = A est (dans les deux cas) l’arrière-grand-père de D. En ce cas, l’injection réciproque de A > B en A > C et de C > D en E > D est de même nature que celle de A₁ en A’₂ et de A₂ en A’₁ dans une vicariance de classes. Quant à la correspondance n(> X) + n’(< X) = n(> Y) + n’(< Y), c’est celle qu’utilise le sujet opératoire lorsque pour construire la série il cherche l’un après l’autre un élément E qui soit à la fois le plus petit de tous ceux qui restent (donc E < S) et plus grand que ceux déjà posés (E > P), par une double surjection en E de ses successeurs (S > E) et de ses prédécesseurs (P < E), avec vicariance continuelle puisque E est chaque fois le nouvel élément à trouver, et qu’il partage donc chaque fois d’une autre façon le même total de relations < et >.

Il semble donc clair que la sériation, comme les systèmes de classes, constitue une catégorie avec automorphismes lors des vicariances et compositions sous forme de récursivité, transitivité et réciprocité qui caractérisent les relations sériées.

En un article récent (Inhelder et al., 1975), nous avons proposé une nouvelle interprétation des conservations, en admettant que les sujets y parviennent lorsque sont remplies les deux conditions suivantes : 1) qu’un changement de forme d’un [p. 59] objet (ou collection) soit compris comme le résultat de simples déplacements des parties ; et 2) qu’en tout déplacement ce qui est ajouté au point d’arrivée soit enlevé ou soustrait au point de départ (« commutabilité »). Il en résulte ainsi que les instruments catégoriels des conservations sont fondés sur la commutabilité et la vicariance, puisque la première exprime l’identité d’une partie en cas de déplacement et la seconde l’invariance du tout indépendamment des partitions : il s’agit donc, pour obtenir les morphismes, de combiner les partitions avec les déplacements.

Appelons A une partie déplacée lors d’un changement de forme de l’objet B (ou d’une collection) et A’ les parties demeurant immobiles. Désignons par aA un A à son point de départ et par bA le même A à l’arrivée. Désignons par u une réunion avec un certain voisinage entre un A et un A’ et par w une réunion avec un autre voisinage en un point différent de A’. On a alors :

(1) (aA₁ uA’₁ = A’₁ wbA₁) ⇔ (aA₂ uA’₂ = A’₂ wbA₂) ⇔ (aA₃ uA’₃ = A’₃ wbA₃) ⇔ etc. = B

L’objet total B se conserve donc au travers de toutes ces égalités (= ou ⇔) puisque les parties A’ demeurent en place et que les parties A changent simplement de position. Mais, comme on le voit, il y a là une combinaison de deux morphismes résultant tous deux des acquisitions du niveau opératoire des groupements (vers 7-8 ans) :

1) On a d’abord la correspondance entre les aA et les bA, en tant qu’il s’agit des mêmes morceaux simplement déplacés et non pas d’un accroissement de quantité dû à la nouvelle position, comme le croient les sujets préopératoires oubliant qu’une addition en bA suppose une soustraction en aA (ce morphisme d’identité exprime donc la commutabilité).

2) Vient ensuite l’isomorphisme entre cette commutabilité aA₁ = bA₁ et celles que l’on retrouve lors de partitions différentes (entre A₂ et A’₂ ; A₃ et A’₃, etc.), autrement dit lorsqu’on les compose avec des vicariances. Les surjections des A et A’ en B propres à la vicariance sont ainsi généralisées de façon quelconque. Quant aux injections réciproques des A₁ dans les A’₂ et des A₂ dans les A’₁, elles signifient simplement ici que, [p. 60] si une partie mobile A est rattachée aux immobiles A’, une partie de ces dernières est à son tour déplacée, ce qui va de soi sitôt comprise la commutabilité. Cela est bien clair pour le sujet dès 5-6 ans lorsque la technique consiste à déplacer les A sans se borner à les pousser, mais en les enlevant sur un point pour les remettre en un autre. Par contre, lorsqu’on n’effectue aucune partition et que l’on change sans plus les formes par simples étirements, etc., la découverte plus tardive de l’invariance du tout, motivée par les mots « on n’a rien enlevé ici ni ajouté », semble ne faire appel qu’à la commutabilité. En effet, bien que les morceaux déplacés ne soient pas délimitables, le sujet découvre que (aA uA’ = A’ wbA) par un morphisme de compensation : ce que l’objet perd selon une dimension (diamètre), il le gagne selon l’autre (longueur). Mais, si un déplacement avec commutabilité ne constitue pas encore un changement de partition et ne consiste qu’en une nouvelle « répartition » (puisque les A et les A’ restent inchangés), par contre l’équivalence des résultats de plusieurs changements de répartitions (donc les ⇔ situés en dehors des parenthèses dans la formule utilisée) est bien une vicariance puisque les A et les A’ se modifient (en A₁ ; A₂ ; A₃ ; etc.) et qu’on a A₁ + A’₁ = A₂ + A’₂ ; etc.

Ces diverses transformations devenant ainsi quelconques ou libres, on peut conclure que le système total symbolisé plus haut comporte bien un automorphisme et constitue ainsi une catégorie, comme les groupements de classification ou de sériation, dont il représente d’ailleurs un corrélat nécessaire (à la fois condition et conséquence). Par contre, il ne s’agit encore que d’une catégorie de rang élémentaire faute de morphismes à la n^e puissance. En effet, relier des changements de répartitions (commutabilité) par des vicariances exprimant l’équivalence de leurs résultats, c’est composer des morphismes de même rang, portant sur des relations « entre » eux sans engendrer une nouvelle structure construite « sur » eux comme le serait « un ensemble de parties » par détermination de toutes les parties possibles ou un groupe de permutations portant sur toutes les substitutions possibles.

Mais le problème est alors naturellement de savoir comment caractériser les morphismes de même rang lorsqu’il s’agit de [p. 61] formes différentes comme les commutabilités et les vicariances. Dans le cas des opérations de groupement, la réponse est qu’elles portent sur des objets concrets et non pas sur des formes (bien qu’elles aient elles-mêmes leurs formes), tandis qu’une combinatoire, etc., porte sur toutes les formes pouvant structurer un même contenu. Mais alors se pose la question de la récursivité propre à la formule précédente, car il va de soi que, dans le continu, un morceau déplacé A₁ ou A₂, etc., change lui-même de forme au cours du déplacement, de telle sorte que ses sous-morceaux α₁ ou α₂, etc., donnent eux-mêmes lieu, lors de leurs changements de position, à des commutabilités et des vicariances que l’on peut écrire pour A₁, etc. :

(2) (aα₁ uα’₁ = α’₁ wbα₁) = (aα₂ uα’₂ = α’₂ wbα₂) = etc. = A₁

Mais ce qui change ici entre (1) et (2) c’est l’échelle des contenus (morceaux A, sous-morceaux α, sous-sous-morceaux, etc.) et non pas des formes : alors que pour n éléments à permuter, on a n sériations possibles, ni plus ni moins, on ne sait pas par contre combien d’équations (2) correspondent à l’équation (1) et celle-ci n’est donc pas une opération sur des opérations mais simplement une opération répétable à diverses échelles de contenus, de telle sorte que l’on pourrait faire l’économie des A, donc de l’équation (1) en divisant d’emblée le tout B en morceaux d’échelle inférieure α (cf. l’équation 2).

En conclusion de ces quelques remarques présentées en l’honneur de notre cher ami P. Fraisse, on peut donc dire que les « groupements » et les conservations qui en résultent ne consistent pas seulement en systèmes d’opérations (transformations), mais aussi de correspondances. Or si celles-ci préparent celles-là (comparer avant de réunir, etc.), elles en résultent ensuite par déductions nécessaires, une fois que ces opérations sont coordonnées en structures à compositions bien réglées.

Inhelder (B.), Blanchet (A.), Sinclair (A.), Piaget (J.). — Relation entre les conservations d’ensembles d’éléments discrets et celles de quantités continues, L’Année psychologique, 1975, 75, 23-60.

Wermus (H.). — Formalisation de quelques structures initiales de la psychogenèse, Archives de psychologie, 1971, 41, 271-288.