Les groupements de la classification complète et de l’addition des relations symétriques (1941) a

Soit un système de classes A1 + A’1 = B1 ; B1 + B’1 = C1 ; etc. groupées selon le principe de la classification « simple » 1. Il est possible, si les classes A’1 ; B’1 ; C’1 … contiennent les éléments suffisants, de retrouver en A’1 des classes d’ordre A (dont il existe au moins A2) ; en B’1 des classes d’ordre A, A’ et B (dont au moins B2) ; en C’1 des classes d’ordre A, A’, B, B’ et C (dont C2) : il y aura en ce cas classification « complète ». Les classes A2 ; B2 ; C2 … existent toujours, mais peuvent être singulières, auquel cas B2 ; C2 ; etc. ne sauraient être subdivisées elles-mêmes. On peut alors construire un nouveau groupement, dont l’opération directe est la « substitution complémentaire » ou « vicariance » (cf. loc. cit.) : A1 + A’1 = A2 + A’2 où A2 est une classe incluse en A’1 et où A’2 inclut A1 (avec pour cas limite A1 = A’2 et A2 = A1). On a donc A2 + A’2 = B1.

Théorème VIII

Les substitutions complémentaires ou vicariances effectuées à l’intérieur d’une classification « complète » forment un groupement.

En effet, deux vicariances sont encore une vicariance, puisque (A1 + A’1 = A2 + A’2) + (B1 + B’1 = B2 + B’2) = (A1 + A’1 = A2 + A’2 +B1 = B2 + B’) et si B2 = Ax + A’x, alors (A1 + A’1 + B’1 = Ax + A’x + B’2) ; etc.

L’opération directe est l’addition d’une équation de type (A1 + A’1 = A2 + A’2) ; l’opération inverse est la soustraction de l’équation ; l’identique générale est 0 + 0 = 0 + 0 et les identiques spéciales l’addition d’une équation à elle-même (tautologie) ou à une équation d’ordre supérieur (résorption). L’associativité est immédiate pour les suites homogènes et « médiate » pour les suites hétérogènes.

Les règles de calcul sont les mêmes que pour l’addition simple des classes, mais le calcul comporte les complications et plus que A1 se résorbe en A’2 et A2 en A’1 et que A’1 et A’2 ne sont pas tautologiques l’un par rapport à l’autre ; etc.

La « classification complète »

Il va de soi que l’on peut joindre au groupement précédent les opérations additives du groupement de la classification « simple ». On a alors un groupement général de la classification « complète », dont ces deux groupements constituent des « sous-groupements ».

Les relations symétriques

L’une des utilités de ce groupement général est qu’il permet de construire un prototype des systèmes de relations symétriques. Celles-ci constituent, en effet, lorsqu’elles sont positives, les relations d’équivalence existant : 1° soit entre deux termes co-inclus dans la même classe, 2° soit entre deux termes à la fois non co-inclus dans une classe déterminée et co-inclus dans la classe d’ordre supérieur à la première. Or la « vicariance », propre au groupement précédent, permet précisément de composer entre elles les relations de ce second type.

Hypothèses. —  Si A est une classe (par exemple les fils d’un même père) et que α1 et α2 lui appartiennent tous deux, on a α1 a↔ α2 ; on a de même α1 b↔ β1 ; α1 c↔ γ1 ; etc. si α1 et β1, etc. appartiennent à la même classe B (par exemple les petits-fils d’un même grand-père), C, etc. Nous attribuons à α1 0↔ α1 le sens « α1 est le même individu que lui-même ». Nous pouvons d’autre part conférer une signification aux relations : α1 0’↔ α2 (par exemple si α1 et α2 ont le même père, a↔, mais ne sont pas identiques, 0↔, alors ils sont frères 0’↔) ; α1 a’↔ α2 (par exemple si α1 et α2 ont le même grand-père b↔ mais pas le même père a↔, alors ils sont cousins germains a’↔) ; etc. (nous excluons naturellement par hypothèse les parentés par alliances). Nous devons, enfin, poser les relations α ā↔ β ; α ā’↔ β, etc. ; par exemple « α n’a pas le même père que β », « α n’est pas le cousin germain de β », etc. Il va de soi que ces relations ne sont pas les inverses de a↔ ; a’↔ ; etc., puisque appliquées aux mêmes termes, elles seraient contradictoires : ce sont simplement d’autres relations symétriques, qui marquent la non-conclusion.

Définitions

Nous appellerons « relations d’équivalence positive » les relations a↔ ; b↔ ; etc., qui sont symétriques, transitives et réflexives (avec pour cas limite l’identité 0↔). Nous avons déjà rencontré précédemment (cf. loc. cit.) les équivalences entre les classes elles-mêmes (A B= A’). Nous appellerons « altérités positives » les relations du type 0’↔ ; a’↔ ; etc. qui sont symétriques mais intransitives et irréflexives. Les relations a↔ seront dites « équivalences négatives » (symétriques, intransitives et irréflexives) et a’ ↔ « altérités négatives » (symétriques intransitives et réflexives). Enfin, nous appellerons produit additif de deux relations symétriques entre trois termes α, β et γ la relation symétrique de l’ordre le plus faible déterminé entre α et γ par les relations données entre α et β et entre β et γ, soit (α ↔ β + β ↔ γ = α ↔ γ). On peut aussi additionner les relations symétriques données entre deux mêmes termes (α ↔ β + α ↔ β) et, à la limite, les relations réflexives (α ↔ α + α ↔ α).

Théorème IX

Toutes les équations vraies portant sur un système de relations symétriques d’équivalence et d’altérité positives et négatives forment un groupement.

En effet, vingt types de composition sont possibles en associant deux à deux les quatre relations d’équivalence et d’altérité positives et négatives reliant entre eux soit trois termes, soit deux mêmes termes. On constate d’abord que le produit de deux relations d’équivalence positive entre trois termes est celle d’ordre supérieur (nous n’écrirons pour simplifier que les relations elles-mêmes sans désigner leurs termes, par exemple a + a = a signifiera α a↔ β + β a↔ γ = α a↔ γ). Exemple : a + a = a ; b + b = b ; a + b = b ; b + c = c ; etc.

La raison est que si α1 et α2 appartiennent à une même classe (par exemple à A) et si α2 et β co-appartiennent à une autre classe (par exemple B) tous trois appartiendront à la plus grande de ces deux classes, puisque la plus petite est alors nécessairement emboîtée en elle. En second lieu, le produit d’une altérité et d’une équivalence (ou l’inverse) positives entre trois termes est celle des deux relations qui est d’ordre supérieur. Exemples :

a + a’ = a’ ; a + b’ = b’ ; etc.

et

b + a’ = b ; c + a’ = c ; c + b’ = c ; etc.

En effet, la relation d’équivalence exprime que deux des trois individus appartiennent à une classe commune X. Si l’un de ces deux individus est en relation d’altérité avec le troisième qui appartient à une classe Y non incluse en X alors l’autre l’est aussi, d’où r + r’ = r’ si r’ > r. Si au contraire Y est incluse en X, alors tous les trois appartiennent à X, d’où r + r’ = r si r’ < r. En troisième lieu, le produit de deux altérités positives entre trois termes est celle d’ordre supérieur si elles sont d’ordre différent ou bien est l’équivalence d’ordre immédiatement supérieur aux deux altérités si celles-ci sont de même ordre. Exemples :

0’ + a’ = a’ ; a’ + b’ = b’ ; etc.

et

a’ + 0’ = a’ ; c’ + b’ = c’ ; etc.

et

0’ + 0’ = a ; a’ + a’ = b ; b’ + b’ = c ; etc.

En effet, quand les altérités sont d’ordre différent, les deux termes reliés par l’altérité d’ordre inférieur, par exemple 0’ + a’ = a’ sont équivalents dans la classe d’ordre immédiatement supérieur à l’ordre de cette altérité, ce qui nous ramène au cas de la composition entre une équivalence et une altérité. Lorsque, au contraire, les altérités sont de même ordre, la composition ne peut plus reposer sur la tautologie et la résorption des classes correspondantes, comme les symétries précédentes, puisqu’elle exprime alors la vicariance de ces classes. Soit, par exemple a’ + a’ = b : la première de ces deux altérités constitue la relation entre A1 et A’1 et la seconde entre A2 et A’2 ; or, comme A’1 + A’2 = B, le produit a’ + a’ ne saurait être que b (par exemple le cousin germain paternel de mon cousin germain paternel a le même grand-père que moi, qu’il soit mon cousin germain, mon frère ou moi-même).

Il est donc évident que toutes les compositions entre équivalences et altérités positives dérivent sans plus des tautologies, résorptions et vicariances des classes correspondant à ces relations. Quant aux équivalences et altérités négatives, on constate d’abord que la composition d’une équivalence positive avec une équivalence ou une altérité négative entre deux mêmes termes α1 et α2 dérive de la soustraction des classes correspondantes. Exemple :

b + a = a’ + b + a’ = a ; c + b = b’ ; etc.

En effet, si α1 et β2 appartiennent à la même classe B mais pas à la même classe A ils sont a’↔ ; etc.

Enfin le produit de deux équivalences ou altérités négatives entre trois termes sera :

a + a = z ; a’ + a’ = z ; etc.

et

a + b = z ; b’ + a’ = z ; etc.

équations qui traduisent, si Z est la classe la plus générale du système envisagé, les vicariances (Z − A1 + Z − A2 = Z), etc.

Cela étant, il est clair que les équations exprimant ces opérations constituent un groupement, le produit de deux relations symétriques étant toujours une relation symétrique composée selon l’un des principes exposés précédemment. L’opération directe sera l’addition d’une équation vraie. Par exemple :

(x a↔ y + y a’↔ s = x a’↔ s) + (x a’↔ s + s b’↔ t = r b’↔ t) = (x b’↔ t)

L’opération inverse est, comme dans le groupement des relations asymétriques, l’addition de l’équation formée des relations converses, l’ordre des relations étant alors lui-même inversé. Or la converse de

x a↔ y est y a↔ x que l’on pourrait écrire − (x a↔ y)

L’identique générale, produit des opérations directe et inverse est la relation 0↔, soit (x a↔ y + y a↔ x) = (x 0↔ x). Par exemple :

(x a↔ y + y a’↔ s = x a’↔ s) +(s a’↔ x = s a’↔ y + y a↔ x) = (x 0↔ x)

Les identiques spéciales sont la tautologie (x a↔ y + x a↔ y = x a↔ y) et la résorption (x a↔ y + x b↔ y = x b↔ y). Quant à l’associativité, elle est, comme dans tous les groupements, immédiate dans les suites homogènes et médiate dans les suites hétérogènes.