Les travaux de l’année 1959-1960 et le cinquième symposium (27 juin - 2 juillet 1960) du Centre international d’épistémologie génétique. La Formation des raisonnements récurrentiels (1963) ^a 🔗

Nous pouvons aborder le résumé des discussions sur les inférences numériques en partant de l’exposé de Matalon sur le « nombre quelconque ». Ce problème est lié à celui de la récurrence pour deux raisons complémentaires : d’une part, il [p. 12] semble bien que le raisonnement par récurrence exige, pour démontrer la loi de passage de n à n + 1, la compréhension du nombre quelconque ; réciproquement, la généralisation à partir d’un nombre quelconque fait intervenir le caractère itératif de la série des nombres et présente sans doute par là un aspect récursif. Toute information sur le développement de la notion du nombre quelconque est donc instructive quant à notre problème central. L’hypothèse étant que le caractère tardif de la compréhension du « quelconque » est dû au fait qu’elle suppose une combinatoire, c’est-à-dire l’une des structures caractéristiques des opérations hypothético-déductives, Matalon a donc étudié deux questions en apparence bien différentes mais se complétant l’une l’autre. La première porte sur une généralisation proprement dite : si l’on double un nombre (inconnu) et que l’on ajoute 1 au résultat, le nombre ainsi obtenu est-il pair ou impair ? Sous cette forme, le problème n’est résolu qu’à partir de 10 ans environ, c’est-à-dire durant la phase préparatoire des opérations hypothético-déductives. Jusque-là on trouve les solutions suivantes : réponse au hasard, non justifiée ; essai d’un exemple choisi arbitrairement, avec généralisation mais simplement inductive au sens de probable ; essai de deux exemples, l’un pair et l’autre impair, avec généralisation également inductive ; constitution d’un échantillon d’exemples, avec généralisation du même type ; essai sur un ou plusieurs exemples, avec même généralisation, mais ensuite avec démonstration du résultat. Enfin vient la démonstration immédiate, qui se présente alors, même chez l’adolescent, sous deux formes distinctes : démonstration séparée sur un nombre pair et sur un impair quelconques, et démonstration sur un seul nombre quelconque. Il est d’ailleurs probable que la première de ces deux démonstrations est simplement destinée à insister sur le fait que, même si n est pair, alors 2n + 1 est nécessairement impair. Notons, en outre, que, si les généralisations antérieures à celles de 10-11 ans restent d’un type qui peut sembler s’apparenter à une induction physique ou plus précisément expérimentale ³, il s’y ajoute, quant à la probabilité subjectivement estimée du résultat, une confiance, fréquemment affirmée par les sujets, dans la régularité de la série des nombres.

Mais, précisément puisqu’elle est préparée par cette intuition de la série des nombres, le problème subsiste de comprendre [p. 13] pourquoi la compréhension du « quelconque » est si tardive. Sans doute parce que, comme il a été dit plus haut, pour travailler sur la série et non pas simplement pour l’engendrer de l’intérieur, il faut pouvoir diriger sa pensée avec toute la mobilité d’une structure combinatoire. Or, comme l’un de nous a cherché à le montrer jadis ⁴, la combinatoire apparaît génétiquement comme une classification de toutes les classifications possibles et la découverte de toutes les classifications possibles est elle-même assurée par une généralisation de l’opération concrète de la « vicariance », dont le type élémentaire (compris dès 7-8 ans) est A₁ + A’₁ = A₂+A’₂ = … = B. Matalon a donc choisi comme seconde question sur le nombre quelconque, un problème de partition vicariante : on place devant l’enfant deux rangées de jetons en correspondance terme à terme, chacun des jetons rouges de la première rangée étant en regard de l’un des jetons blancs de la seconde ; puis l’on mélange les deux collections et l’on demande s’il est assuré que l’on puisse épuiser le total ainsi formé en sortant les jetons par couples au hasard. En cas d’échec, cette question (1) est suivie d’une question (2), qui est la même mais en précisant que l’on prendra dorénavant chaque fois un jeton rouge et un jeton blanc (sans naturellement rétablir la correspondance optique, les couples rouge-blanc étant donc sortis au hasard) ; (3) enfin si la question (2) est réussie, on pose à nouveau le problème de la sortie par couple quelconque. La question générale (1) n’est résolue que vers 9-10 ans, c’est-à-dire un peu plus tôt que le problème 2n + 1. Jusque vers 6-7 ans il y a échec complet aux trois questions. À 7 ans en moyenne le sujet réussit la question (2) mais échoue à (1) et à (3) ; dès 7 % ans en moyenne, par contre, la solution correcte de la question (2) entraîne celle de la question (3), mais avec encore échec initial à (1). Il est à noter enfin que cette épreuve présente une corrélation très forte avec une épreuve de conservation du nombre, ce qui est intéressant et montre une fois de plus la solidarité de l’apparition des conservations avec les structures opératoires, y compris la vicariance. Aussi bien, Matalon parle-t-il, d’« opération quelconque », comme condition préalable de la compréhension du nombre quelconque, mais étant entendu que, dans ce cas particulier, l’opération en jeu est une vicariance, ce qui semble confirmer et la liaison de la combinatoire avec la vicariante et le fait que [p. 14] la découverte de la notion du quelconque est liée à cette combinatoire en formation dès le développement de la vicariance.

La discussion de ces résultats a donné lieu à diverses remarques, les unes de technique, les autres de fond. Sur le premier point, Quine note que pour l’adulte la distinction des pairs et des impairs est donnée par l’examen du dernier chiffre : si certains enfants l’apprennent ainsi, ils n’ont pas besoin de combinatoire pour résoudre ces problèmes, tandis que cet obstacle n’interviendrait pas dans un problème de division par 3, car on n’apprend pas par la méthode digitale. Matalon répond que les seuls sujets ayant fait allusion à la distinction des nombres pairs et impairs (notions n’intervenant pas dans l’énoncé des problèmes) sont précisément du niveau supérieur quant à leurs procédés de démonstration. Jonckheere se demande si les résultats ne sont pas fonction de la manière dont les jetons ont été placés devant l’enfant (perception plus ou moins claire des couples) : Matalon répond que tous les sujets ont disposé d’eux-mêmes les jetons par couples, sauf un seul qui s’est borné à compter.

Quant aux questions d’interprétation, Bouligand se demande si l’expérience ne pourrait pas conduire l’enfant à des niveaux encore supérieurs et si le fait de partir de nombres figuraux ne constitue pas un « escalier » menant nécessairement à l’invariance du nombre. Gréco répond que ces nombres figuraux ne véhiculent pas à eux seuls l’invariance. Gonseth note que les enfants vus par Matalon savent déjà écrire les nombres et que cette écriture comporte déjà une généralisation. Papert répond que si l’écriture et même la numération parlée comportent effectivement une suggestion de récurrence, en fait ce n’est pas de telles pratiques que l’enfant tire la récurrence. « La récurrence est réduite, dans le cas particulier, à l’extension indéterminée qui véhiculerait une idée de quelconque », continue Gonseth. « Oui, dit Papert, on peut bien parvenir à une notion verbale du quelconque. Mais pour qu’elle soit effective, il faut l’insérer dans une structure. » Et Gréco rappelle que précisément jusqu’assez tard la suite des nombres est différemment structurée de 1 à 7, de 8 à 15, etc. Pour Piaget, l’enfant cité par Matalon et invoqué par Gonseth, parvient bien à la notion du « quelconque » lorsqu’il dit « Je prends celui-là, mais je pourrais en prendre un autre », à cette condition près toutefois qu’il s’agisse effectivement d’une manipulation opératoire : l’« opération quelconque » pour parler comme Matalon, précède le nombre quelconque, ce qui parle [p. 15] en faveur de la nécessité préalable d’une mobilité combinatoire, préparée elle-même par la vicariance. Grize, enfin, rappelle l’histoire de la notion du quelconque, notamment les précautions de Fermât pour obtenir des exemples « bien quelconques » et trouve plausible l’hypothèse du rôle de la combinatoire.

Gréco a fait deux exposés, pour présenter trois ensembles d’expériences sur des inférences arithmétiques exigeant la coordination des aspects cardinal et ordinal, et s’appuyant donc sur la structure itérative de la suite des nombres naturels. Le dispositif commun à ces trois recherches est constitué par des tas de jetons A, B, C, … disposés en ordre sur la table par l’enfant lui-même, et figurant les nombres successifs 1, 2, 3 … jusqu’à 25 ou 30.

Dans la première expérience (« divisibilités ») qui prolonge une recherche antérieure sur l’alternance des pairs et des impairs ⁵, on montre par exemple à l’enfant que les jetons du tas F peuvent être rangés en trois colonnes égales, et on lui demande de trouver tous les autres tas qui possèdent cette propriété. De même, à partir du tas J, il doit trouver les collections divisibles par 5, puis à partir du tas L les collections divisibles par 4. On s’arrange pour que le sujet n’utilise pas de connaissances scolaires (liste des nombre divisibles par 3, 4 ou 5), et même pour qu’il fasse ses prévisions en ignorant quel nombre représente effectivement chaque collection. Des questions subsidiaires consistent à demander, sachant par exemple que J peut être mis sur 5 colonnes, combien il manquera ou combien il y aura de jetons en trop à L, à H, etc., si on effectuait ce rangement.

La seconde expérience porte sur des opérations ordinales et cardinales à la fois : on ajoute 3 éléments à F, par exemple, et on doit trouver un tas égal au nouveau tas ainsi formé ; ou bien, sachant que E + k = M, (k étant un nombre inconnu, mais fixe, de jetons), trouver le tas égal à F + k, à G + k, etc.

Dans la troisième expérience, l’expérimentateur désigne deux tas éloignés l’un de l’autre, soit F et N, et attribue à l’enfant [p. 16] le successeur G de F et le prédécesseur M de N, ou bien G et O, ou N et E, etc., et le sujet doit décider quelle est la somme la plus forte. Ou encore, l’expérimentateur choisit pour lui F + N, et attribue G à l’enfant qui doit chercher un second tas lui permettant d’avoir autant de jetons que l’expérimentateur, etc.

Les résultats détaillés de ces expériences paraissant dans ce volume, nous nous bornerons à souligner qu’elles montrent l’extrême difficulté que l’enfant rencontre, avant 12 ans, pour raisonner sur la série comme telle. Jusque-là, il recourt à des évaluations cardinales plus ou moins arbitraires, ou à des inférences de type sérial mais non itératif, et il ne parvient guère à traiter une collection désignée comme une collection : « quelconque » n, dont la suivante vaudrait n + 1 quel que soit n. L’évolution des conduites montre, si l’on ose écrire ainsi, une quelconquification » progressive des nombres et c’est à 14-16 ans seulement que l’adolescent, s’il désire opérer mentalement sur des cardinaux, substitue la suite 1, 2, 3 … à n’importe quelle succession de tas, en justifiant cette succession arbitraire. Enfin, dans la deuxième et la troisième recherche notamment, si l’enfant comprend assez tôt qu’avancer d’un rang dans la série équivaut à ajouter 1, reculer d’un rang à retrancher 1, il faut attendre le niveau formel pour que le sujet sache coordonner ces deux sortes d’opérations cardinale et ordinale (p. ex. : combien il faut ajouter à M pour avoir la même chose que K + 5). La combinaison de deux opérations inverses telles que « retrancher » et « reculer » n’est possible qu’à l’âge où l’adolescent possède le groupe des 4 transformations INRC (quoiqu’ici, bien entendu, la combinaison NR ne donne pas une opération nouvelle C).

Ces exposés ont d’abord donné lieu à des questions concernant la signification technique des expériences faites (interventions de Beth, Jonckheere, Piaget et Gréco), ainsi que les parts respectives de la culture ambiante ou de la scolarisation et du développement spontané de l’enfant dans les résultats obtenus (Gonseth, Bouligand et Gréco) jusqu’au moment où Gonseth a suggéré plus d’audace et demandé ce que ces faits nous apprennent sur l’Homo mathematicus. On peut classer comme suit les thèmes alors abordés :

Papert se demande si les faits exposés nous font assister à une évolution spécifique du nombre ou au développement d’une logique générale. Il est frappé par les analogies, à peu [p. 17] près aux mêmes âges, entre les réactions observées par Gréco et les généralisations observées dans le problème topologique du lac (voir § 13). Gréco se méfie des comparaisons entre expériences trop différentes et croit discerner dans les réactions qu’il a étudiées une sorte de confiance dans la bonne conduite des nombres, qu’on ne trouve pas (ou moins) en d’autres domaines.

Gonseth, Beth, Martin et Bouligand rouvrent une discussion sur la notion du nombre quelconque en relation avec la récurrence : il en ressort qu’au niveau où l’enfant choisit comme quelconque un nombre particulier, mais auquel il fait jouer le rôle de « n’importe lequel » d’un point de vue opératoire, un tel choix en une série indéterminée attesterait la possibilité d’un raisonnement par récurrence.

Quant à cette récurrence même, il y a accord général sur la notion de paliers de récurrence. Bouligand souligne le fait que la construction des suites récurrentes a précédé historiquement la prise de conscience du raisonnement par récurrence. Quine reprenant les séries génétiques de Gréco voit un début de récurrence dans la conduite consistant à réciter les nombres (1, 2, 3… 11, 12, 13… 21, 22, 23…) mais considère qu’une telle conduite précède de loin les inférences récurrentielles : ce qui les précède de près est bien plus intéressant. Gréco reconnaît que les séries élémentaires peuvent prendre une forme récursive, mais leur acquisition risque de demeurer le fait d’un simple apprentissage. Quine s’accorde alors à penser que la distinction essentielle est à chercher entre construire de proche en proche par un procédé récurrent et réfléchir après coup sur ce procédé ou sur les suites construites.

Piaget se félicite des résultats obtenus par Gréco et notamment de la manière ingénieuse et imprévue dont il a retrouvé le groupe des quatre transformations INRC en tant qu’instrument permettant aux préadolescents et aux adolescents de raisonner sur la série (au sens de la distinction rappelée par Quine à l’instant), en coordonnant les transformations cardinales et les transformations ordinales. La solution de Gréco fait assez exactement la synthèse de deux hypothèses d’où nous étions partis et qui paraissaient exclusives. En premier lieu, on retrouve jusque fort tard la continuation (par décalages successifs) des procédés de construction utilisés dès les débuts de la constitution du nombre entier : la synthèse de l’aspect inclusif ou cardinal et de l’aspect sérial ou ordinal est si progressive [p. 18] qu’on redécouvre jusqu’au niveau des opérations hypothético-déductives (après 12 ans) des erreurs comparables à celles des petits. En second lieu, pour raisonner sur la série, il faut donc, étant données ces difficultés de construction, davantage qu’une simple capacité hypothético-déductive : il faut un instrument permettant de reconstruire cette coordination de l’ordinal et du cardinal par « abstraction réfléchissante ». Cet instrument sera donc le groupe INRC, dont l’un des couples (IN) permettra d’exprimer les transformations cardinales et l’autre (RC) les transformations ordinales. Seulement, en troisième lieu, cette utilisation nouvelle du groupe des quatre transformations demeure assez différente de ses applications habituelles : d’une part, les deux couples de transformations sont ici inséparables quoique logiquement distincts, puisque tout déplacement ordinal dans la série entraîne une modification cardinale et réciproquement ; d’autre part, et en conséquence, le groupe INRC ne conduit point alors à la constitution de nouveaux êtres mais permet simplement de retrouver par abstraction réfléchissante, dans les raisonnements sur la série, ce qui intervenait dans la construction interne de cette série.

A. Morf s’est demandé si l’accès aux notions de l’infini est fourni par simple prolongement des opérations dont est issue la construction des premiers nombres ou s’il y a intervention de mécanismes opératoires nouveaux, et il a fait partir son analyse sur la compréhension de la limite d’une série convergente 1 + ½ + ¼… (au moyen de deux techniques, soit avec les éléments donnés au départ sous forme de tiges que l’on sectionne matériellement, soit par divisions successives du reste). Il a observé dès 10-12 ans de nombreuses oscillations suivies de compromis : « On arrive jusqu’à 2, mais il reste quelque chose », « on dépasse 2 mais d’un tout petit peu », « on peut toujours couper en deux mais au bout d’un moment les moitiés sont zéro », « un tout petit morceau peut être coupé en deux, mais les deux moitiés ne font pas le tout », etc. Ce n’est que vers 14-15 ans que la série donnée est différenciée de la série harmonique divergente 1 + ½ + ⅓ + ¼

La discussion a d’abord souligné quelques analogies historiques. Grize trouve que ces réactions d’enfants éclairent certaines [p. 19] objections présentées à Newton et Gonseth rappelle que vers le xiv^e siècle la série 1 + ½ + ¼… a été présentée comme une démonstration de l’infini actuel. Le problème relatif à un nombre infini de partages (comment loger dans un espace fini un espace infini ?) se retrouve dans les réponses obtenues par Morf qui éclairent plusieurs opinions d’écoles historiques jusque vers 1820. Il y a peut-être là selon Gonseth un exemple de parallélisme onto-phylogénétique, à quoi Piaget répond que l’enfant est en un sens antérieur à l’histoire car les auteurs du xiv^e siècle eux aussi ont commencé par être des enfants ; mais en un autre sens l’enfant, comme y insiste Gonseth est naturellement influencé (quoique non entièrement façonné) par la culture ambiante qui, elle, dépend de l’histoire.

Papert, d’autre part, souligne que n’importe qui d’entre nous peut retrouver dans sa propre pensée, les difficultés et même les contradictions observées chez l’enfant.

Beth élargit le débat en précisant que la solution du problème a été fixée arbitrairement, car il existe des systèmes géométriques non archimédiens et l’on en trouve certains aspects chez l’enfant. Pour Martin c’est la notion même de continuité qui est en cause et il faudrait remonter non pas à 200 mais à plus de 2000 ans en arrière pour reconstituer cette genèse des notions, sauf que l’on ne dispose pas de textes… Beth répond qu’Euclide fournit déjà une démonstration correcte, mais la discussion a repris jusqu’à Berkeley, avec toujours les mêmes objections. Gonseth souligne l’existence d’étapes décisives : par exemple quand Newton renonce à la notion d’indivisibles pour proposer celle de fluxion, c’est-à-dire d’un processus à l’état naissant. On a dû alors fixer arbitrairement la notion de limite. Martin répond que cette notion de limite remonte à Archimède (problème de la quadrature de la parabole), mais Gonseth soutient que malgré la méthode d’exhaustion d’Archimède les Grecs ont cherché à éviter le problème de l’infini. Bouligand décrit comment l’opération a souvent pris le pas.

Ash Ghobar conclut en soulignant la différence entre une épistémologie normative dont les solutions sont nécessairement conventionnelles et une épistémologie génétique qui recherche le pourquoi de tels choix. À quoi Grize ajoute que toutes les conventions ne sont pas également bonnes et qu’on peut concevoir une influence possible et utile de l’étude génétique sur le choix des conventions par les mathématiciens.

En relation avec ces travaux expérimentaux, Papert s’est livré à de nouvelles réflexions sur la formalisation du nombre et en fait part au Symposium sous cette forme spontanée, directe et incisive qu’on lui connaît et qui suscite toujours les plus vivantes discussions.

Papert part des Fondements de l’arithmétique où Frege ironise contre le psychologisme. Papert y dénonce deux « scandales » : (1) On ne peut encore dire ce qu’est un nombre et (2) les arithmétiques formelles ne sont pas consistantes (à l’époque considérée). Sur ce dernier point, Frege croit résoudre le problème en se donnant (a) une définition du nombre et (b) un système formel n’utilisant que des principes logiques dont l’évidence s’impose. En termes modernes, cela revient à dire que Frege construit un modèle des axiomes de Peano au sein d’une théorie des classes plus ou moins formalisée.

Quant au problème central de ce qu’est le nombre, Frege pense, non seulement qu’on doit pouvoir écrire, par exemple 2 = df…, mais encore que cette définition doit être vraie. Au contraire, Quine, par exemple, construit une suite {Ʌ}, {(Ʌ,(Ʌ)},… qui jouit de certaines propriétés essentielles dans le but considéré, mais sans s’occuper de savoir si elle présente d’autres propriétés analogues à celles des nombres. Le réductionnisme est ainsi dépassé : on ne peut plus dire que tel ou tel a tort qui part d’une certaine notion du nombre différente de celle qui repose sur la propriété considérée.

D’une manière générale le réductionnisme est une illusion due en bonne partie à un processus de réification aussi bien sur le terrain de l’arithmétique intuitive que sur celui de l’arithmétique formalisée : l’illusion consiste à croire que deux types différents d’objets peuvent être assimilés comme une seule et « même chose ».

Ce n’est que récemment que l’on a été conduit à ne pas partir d’objets pour en former des classes. Par exemple on peut substituer des « catégories » aux fonctions définies sur des classes de valeurs. Ou encore on peut construire une topologie sans points (comme Papert l’a tenté lui-même dans sa thèse de Cambridge sur les fondements de la topologie).

Quant à la distinction entre l’arithmétique intuitive et l’arithmétique formelle, ni Frege ni ses adversaires ne parviennent [p. 21] encore à la reconnaître nettement. Il reste aujourd’hui à savoir sur quel terrain il vaut mieux discuter la nature de l’arithmétique intuitive. Ce n’est certainement pas à l’intérieur d’une formalisation qu’il faut se placer en ce but : il ne reste donc qu’à s’adresser à l’étude psychologique, ce qui est possible sans tomber dans le psychologisme.

Après que Piaget eut rappelé quelques usages de terminologie (la psychologie s’occupe des faits, la logique porte sur les questions de validité, le psychologisme est la tendance illégitime à trancher ces dernières questions au nom des faits et le logicisme la tendance inverse), Gréco appuyé ensuite par Ash Ghobar, soutient que les critiques maintes fois développées contre le psychologisme de Mill visent toujours essentiellement son empirisme, notamment chez Husserl. Papert pense qu’on attaque trop souvent Mill superficiellement et n’est pas si certain qu’on le dit de son psychologisme. Nowinski soutient qu’il faut distinguer deux plans. Une étude historique du psychologisme en logique et du logicisme en psychologie conduit à mieux préciser les relations entre les deux domaines, psychologique et logique. Mais ces relations changent lorsqu’on aborde l’analyse des fondements, qui supposent au contraire une collaboration.

Quine, Bouligand et Papert entrent ensuite en discussion sur le sens précis à donner aux remarques de ce dernier concernant les catégories.

Papert ayant soutenu que la mise en correspondance entre un système formel et la réalité (une arithmétique naïve) n’est pas affaire de sémantique, Martin se refuse à le suivre et à condamner la sémantique : du fait que, dans certains cas, on ne trouve pas d’interprétation sémantique naïve à un formalisme, on ne saurait conclure que la méthode soit à rejeter ni que la sémantique ne puisse en aucun cas assurer cette correspondance. Qu’est-ce que le réductionnisme ? Russell et Quine nous l’ont montré. Ces auteurs construisent par exemple des classes et en tirent ensuite les nombres. On leur répond que les choses ne se passent pas ainsi chez l’enfant. Et alors ? Ce n’est pas encore un flagrant délit de circularité : le logicien se sert d’une arithmétique minimum (et celle de l’enfant n’est guère plus forte que celle du métasystème). Certains philosophes ou psychologues voudraient que le logicien fabrique l’arithmétique sans avoir de nombres dans sa manche méta-linguistique ! Le logicien n’est cependant pas Dieu le Père…

[p. 22] Quine, mis en cause par Piaget et par Martin se déclare d’accord avec Papert dans son interprétation de Frege. Frege, en un sens, a été lui aussi « psychologiste », en cherchant « ce qui est fondamental ». La question de « ce qui est fondamental » n’a pas de sens logique, mais seulement psychologique. Si Quine le pouvait, il préférerait réduire la classe au nombre ! Mais il existe des « réductions » qui ne visent pas la poursuite de ce qui est « fondamental » : réduire le nombre, c’est alors montrer que, si l’on dispose de certaines notations utilisées dans une théorie, les problèmes particuliers au nombre peuvent être évités. D’un tel point de vue aucune définition « réductionniste » ne prétend dire en quoi consiste le nombre ; et il n’existe aucune concurrence entre les différentes réductions possibles, puisqu’aucune ne prétend nous dire ce qui est le nombre. Mais ce point de vue purement technique n’est pas celui que soutinrent Frege et Russell, et, si le réductionnisme signifie l’adhésion aux épistémologies de Frege ou de Russell, Quine n’est en effet pas réductionniste.

Selon Beth, Frege cherchait des axiomes simples et « naturels » — des axiomes « triviaux ». C’est son tort et de là provient son échec (s’il avait réussi personne ne contesterait le réductionnisme). On sait aujourd’hui qu’il faut pour cela des axiomes compliqués et nullement triviaux. À quoi Papert répond que même si le système des classes comportait une axiomatique simple, cela ne justifierait ni le réductionnisme ni la position de Russell contre Poincaré.

Pour Gonseth, le problème, lorsque l’on tente une réduction, est de savoir comment faire le départ entre ce que l’on retient et ce qu’on laisse. À cet égard le formalisme est fatal : il explicite ce qu’on est obligé de retenir ou d’accepter pour réduire quelque chose à autre chose. C’est une solution limitée mais sincère lorsqu’il ne prétend pas à une réduction totale.

En liaison avec ces problèmes fondamentaux, Grize a exposé ses idées sur la limitation des formalismes. Les théorèmes de limitation (Gödel) ayant fait reconnaître l’impossibilité d’assimiler « rationnel » et « formel » il s’agit de réexaminer le problème du point de vue de l’épistémologie génétique. Or, d’un tel point de vue, il n’y a pas hétérogénéité complète entre [p. 23] la pensée naturelle et les structures formalisées, d’une part en raison du fait que les structures les plus élémentaires sont déjà partiellement isomorphes aux structures formelles (cet isomorphisme partiel ou correspondance structurale augmentant de stade en stade), d’autre part en raison du fait que le caractère le plus général de la formalisation est de constituer « l’ensemble des procédures qui permettent de placer une connaissance à l’abri de la contradiction ». « Il s’ensuit, déclare Grize, qu’une théorie naïve TN peut être considérée comme actuellement plus ou moins formalisée, et comme tendant vers une forme-limite, celle d’un système formel SF. Mais les considérations de limitation montrent, par ailleurs, qu’il est illégitime de passer à la limite. »

Cherchant alors à dégager les principales différences entre les SF et les TN, Grize en trouve six :

(1) Les objets d’un SF sont construits à partir d’atomes sans que rien ne corresponde à cet atomisme dans la TN (même au niveau de la perception).

(2) Les objets d’une TN sont en relations circulaires avec leurs propriétés. Il est constitutif d’un SF de suivre au contraire un ordre linéaire (indépendance des objets construits au niveau n par rapport à ceux des niveaux suivants).

(3) Les SF forment des totalités fermées (clauses finales des définitions inductives). Les TN forment aussi des totalités, mais non fermées parce que réflexives, c’est-à-dire qu’un nouvel objet construit en partant d’elles leur appartient encore (à noter en particulier ce caractère réflexif des propositions indécidables).

(4) En vertu de ce qui précède les SF sont situés hors du devenir, sont libérés de leur genèse et englobent en droit de façon actuelle toutes les conséquences des définitions et axiomes.

(5) Le traitement des prédicats en extension dans un SF ne correspond pas à leur maniement dans les TN, où extension et compréhension reposent l’une sur l’autre ⁶.

(6) Au total, un SF est conçu comme un objet pur, les activités du sujet étant rejetées dans la métalangue. En revanche, dans une TN, sujet et objets sont toujours liés puisqu’une TN ne comporte pas de métalangue. En outre, si l’activité du sujet [p. 24] fait corps avec la TN, elle peut également faire sortir du domaine du SF correspondant (procédé de la diagonale de Cantor).

D’où cette conclusion fondamentale de Grize : « Le développement de la connaissance résulte d’un double mouvement : l’un qui résulte du besoin d’expliciter l’implicite toujours présent dans une TN en tant qu’apport du sujet, ce qui conduit dans la direction des SF ; l’autre qui résulte du caractère toujours incomplet des SF et renvoie à la connaissance implicite et naïve. »

La discussion qui a suivi s’est ouverte par une remarque de Bouligand : la zone floue de Grize s’observe sans cesse dans l’activité du mathématicien qui cherche à établir un concept. Puis le débat s’institue autour d’une opposition de Beth qui semble ne pas contester la plupart des distinctions introduites par Grize mais se refuse à admettre que les SF et les TN diffèrent par un atomisme qui caractériserait les premiers et resterait étranger aux secondes. Dans la formalisation des groupes, par exemple, où sont les atomes ? Grize répond qu’il pensait alors aux nombres. « Mais, poursuit Beth, dans une TN les phrases sont formées de mots et les mots de lettres. — Oui, mais le mot n’a de sens que par la phrase et la phrase par les mots. — Il en est de même dans le SF : voir les définitions implicites. — Mais les définitions implicites n’ont de sens que sémantique et non pas syntactique. Quant aux TN il faut distinguer des degrés dans le naïf et il y a d’autant moins d’atomisme que ces degrés sont plus élémentaires. » Gonseth intervient alors en notant que le langage naïf reste ouvert à des initiatives que s’interdit le langage formel et qui ne sont pas liées à des conventions explicites : d’où la porte ouverte à des circularités et l’exclusion de l’atomisme. Beth conclut en disant qu’il ne conteste pas la circularité mais l’atomisme en tant que critère de distinction entre SF et TN, et Quine propose de considérer la sémantique de Tarski plutôt que celle de Carnap parce que la première donne des règles de traduction en nombre fini, mais non pas forcément des traductions pour termes isolés.

Piaget ayant insisté sur l’idée qui lui est chère de l’opposition entre le caractère linéaire des SF et le caractère circulaire des TN (cf. entre autres, les définitions circulaires dont foisonnent les dictionnaires courants), Beth pense que la raison profonde de cette opposition tient à ce qu’une TN suppose toujours [p. 25] un certain modèle particulier (par exemple les nombres naturels, dans le cas de l’arithmétique naïve), tandis que les SF sont obligés d’accepter tous les modèles, même ceux que nous ne connaissons pas (Skolem) et même les modèles pathologiques… Grize répond que c’est précisément le fait que la pensée naïve porte sur un seul modèle qui entraîna sa circularité. Gonseth précisant que la formalisation n’est jamais recherchée sans but, Beth revient sur l’idée que les SF doivent formaliser tous les modèles à la fois : la formalisation du langage est précisément corrélative à l’exigence de discuter plusieurs modèles simultanément. Dans l’arithmétique naïve la zone floue est dans le langage et non pas dans le modèle ; dans l’arithmétique formalisée le flou n’est plus dans le langage mais dans les modèles (possibilité des modèles pathologiques, etc.). Mais, répond Gonseth, des expressions comme « l’ensemble des modèles » ou « tous les modèles possibles » sont déjà floues. La difficulté (ou la vraie raison), conclut Beth, tient à ce qu’il s’agit de systèmes infinis.

Une autre présentation de Grize au Symposium a porté sur un essai de filiation ou de généalogie des structures logiques, dans le but de fournir un modèle abstrait correspondant (pour autant que cette correspondance est possible) à la série génétique qui conduit, en fait, dans le développement de l’enfant et de l’adolescent, des « groupements » élémentaires aux structures de groupe et de réseau.

Grize part de la structure de groupement pour en dégager un aspect équationnel, qui le conduit à des groupes et à des anneaux, et un aspect sérial qui le mène à des lattices de plus en plus complexes, la fusion des deux aspects fournissant une algèbre de Boole. Il cherche à justifier les modifications qu’il apporte successivement en s’appuyant sur des interprétations, qui correspondent en gros aux « contenus » sur lesquels travaille l’enfant : extensions de classes, compréhensions de prédicats, propositions traduisant des jugements sur les extensions et les compréhensions. Il fait l’hypothèse que chaque élargissement d’une structure répond au souci d’étendre l’une ou l’autre des interprétations jusqu’au moment où elles seront toutes également possibles et complètes.

[p. 26] Martin se demande si ce que Grize appelle « interprétations » présente un statut cohérent. Il ne peut en tout cas pas s’agir de modèles au sens précis de la logique, un modèle ne pouvant pas être tantôt d’une espèce, tantôt d’une autre, selon les besoins de la cause. Grize répond qu’il ne cherche pas à passer d’une interprétation à une autre à l’intérieur de la structure finale achevée, mais que celle-ci résulte d’un certain nombre de structures plus pauvres. Il est possible de faire correspondre une interprétation stricte à chacune de ces structures, à la condition de les isoler. Mais comme, en fait, elles ne le sont jamais dans la pensée concrète, il lui a paru intéressant d’examiner quelles relations elles pouvaient avoir entre elles.

De son côté, Quine remarque que de telles relations se manifestent dans certaines ambiguïtés du langage quotidien. Il cite la conjonction « et » qui renvoie tantôt à une disjonction, tantôt à une conjonction et se demande si cela ne résulterait pas de ce que l’addition des compréhensions équivaut à la multiplication des extensions.

Martin ne conteste pas qu’on puisse donner des interprétations duales de l’algèbre de Boole, mais il craint que Grize ne se soit contenté d’interpréter des sous-systèmes de son système final, sans parvenir, avant la fin, à des interprétations duales valables.

Smedslund demande des explications sur le sens du mot « réversible » dans cette filiation et Piaget lui répond qu’il y a, en effet, lieu de distinguer la mobilité psychologique et la réversibilité opératoire dont les symboles de Grize veulent rendre compte, la première étant une condition nécessaire de la seconde.

Enfin Nowinski suggère qu’il y aurait intérêt à considérer un système qui ressortirait à la logique trivalente. Mais Beth estime qu’on a un peu tendance à exagérer l’importance de la logique trivalente dans la pensée naturelle et qu’il semble que nos convictions s’expriment dans des systèmes bivalents incomplets plutôt que dans des systèmes trivalents à proprement parler.

Dans ce même ensemble d’exposés revenant sur de nouveaux aspects de problèmes généraux déjà traités antérieurement, [p. 27] Papert présenta un ensemble de réflexions sur les questions d’équilibre en relation avec le développement des structures logiques. On ne résume pas un exposé de Papert, tant ses idées jaillissent d’abondance. On peut par contre le lire et ses résultats sur ce sujet ont paru dans le fascicule XV des Études. Mais, pour rendre intelligible la discussion qui a suivi, il convient de rendre le sens général de ses préoccupations, en insistant sur deux de leurs aspects.

Le problème psychologique nous est bien connu. S’agissant par exemple d’une collection de perles contenant exclusivement des perles en bois dont quelques-unes sont bleues, la question est d’établir par quel mécanisme l’enfant parvient à comprendre qu’il y aura là « plus de perles en bois (B) que de perles bleues (A, donc B > A). Or, aucun apport extérieur (lecture perceptive, etc.) ne suffit à expliquer cette acquisition, car pendant longtemps l’enfant se borne, soit à considérer le tout B, soit à considérer les parties (A = bleues et A’ = non-bleues), mais en ne parvenant alors à comparer la partie A qu’à l’autre partie A’, puisque le tout B est en ce cas divisé, donc rompu, et qu’il cesse d’exister en tant que tout. Le problème étant ainsi d’expliquer l’apprentissage de l’inclusion A < B par un mécanisme interne (« le sujet ne parvenant à se hisser qu’en tirant sur les lacets de ses propres bottes »), il s’agit alors de songer à un processus d’équilibration progressive (cf. Logique et équilibre, Partie II) en concevant chacune de ses étapes comme rendue la plus probable en fonction des déséquilibres ou équilibres partiels propres aux étapes précédentes. Le premier apport de Papert consiste alors à essayer de traduire ce processus en termes d’opérations partielles (dans un modèle analogue à une machine de Turing, par exemple), qui, à elles seules, ne suffiraient pas à conserver ce qui importe (en l’occurrence le tout B et conduiraient à des contradictions ; puis à montrer comment les déséquilibres (contradictions) entraîneraient de nouvelles liaisons (rendues probables en fonction de l’état immédiatement antérieur) qui transformeraient alors ces opérations initialement partielles en opérations plus compréhensives, et ainsi de suite jusqu’à solution du problème. En outre, l’idée propre de Papert est de toujours faire intervenir au moins deux systèmes, S₁ et S₂ de préopérations, dont les interactions seraient d’abord sources de contradictions ou déséquilibres puis d’opérations nouvelles et équilibrantes. Dans le cas particulier du problème de l’inclusion les opérations partielles initiales seraient, par exemple, empruntées aux débuts [p. 28] de la construction des classes et aux débuts de la quantification numérique et l’inclusion résulterait d’un équilibre assurant à la fois leur stabilisation aux classes et aux nombres et se manifestant par la création de nouvelles opérations.

Mais derrière ce projet audacieux (et qui à lui seul pourrait paraître un peu gratuit), se profilent des idées cybernétiques précises. Il y a longtemps déjà que l’auteur de ces lignes songeait à comparer les processus d’équilibration psychologique à ce qui se passe dans un homéostat parvenant à résoudre les problèmes par équilibration rapide (et non plus lente comme dans la genèse réelle). Seulement l’homéostat d’Ashby, qui constitue à cet égard le modèle le plus tentant, présente cet inconvénient majeur que les équilibrations successives s’effectuent sans liaison entre elles, donc sans paliers progressifs, c’est-à-dire sans « flèches » ou lois de direction. Papert et ses collaborateurs londoniens ont donc essayé, comme il a déjà été dit plus haut, de construire théoriquement un modèle d’équilibrations progressives ou « dirigées » (au sens de paliers tels que les modifications nouvelles se produisant au palier n supposent comme condition préalable la stabilisation du palier n − 1) et ils y sont parvenus en modifiant assez profondément le perceptron de Rosenblatt et en l’adaptant à ces nouveaux problèmes.

Les logiciens ont ouvert la discussion qui a suivi en faisant de la bonne psychologie. Quine a remarqué que le passage d’un palier à un autre suppose que l’enfant, tout en débutant par des contradictions, ne s’y complaise pas et cherche à en sortir, ce qui paraît conforme aux faits. Beth a comparé ingénieusement la situation où la classe totale B se détruit, lorsque le sujet considère les sous-classes partielles, à cette autre situation (décrite par Matalon : voir sous § 1) où, pour démontrer que 2n + 1 est toujours impair, l’enfant considère à part les n pairs et les n impairs, en disloquant ainsi la classe totale des nombres pour ne considérer que les sous-classes, paires et impaires, qui sont disjointes et exhaustives. Beth a rappelé en outre la démonstration subtile du philosophe chinois selon laquelle un cheval blanc n’est plus un cheval !

Piaget souligne le fait qu’il intervient deux sortes de réversibilités dans les schémas logiques de Papert : la réversibilité d’une opération considérée en elle-même, par exemple dans la situation S₁ ou dans la situation S₂ et la réversibilité possible du sujet conduisant de S₁ à S₂, ou l’inverse : cette seconde [p. 29] forme de réversibilité joue un rôle dans l’équilibration et peut donner naissance à de nouvelles opérations. Papert se déclare d’accord, de même qu’avec Grize lorsque celui-ci réclame la possibilité d’un passage par petites étapes d’une structure à une autre.

Gonseth souligne le fait que la structure finale n’est pas visée d’avance. Mais ce qui est visé est, dans le langage de Gonseth, une situation d’« efficacité ». Papert accepte la formule à la condition de ne pas se référer seulement à un pragmatisme extérieur. Gonseth précise qu’il pense surtout à la cohérence. Les conflits surgissent qu’il s’agit de surmonter en les dépassant. Nowinski voudrait une loi d’évolution adaptative à quoi Piaget répond que l’intérêt de la notion d’équilibre est qu’une telle loi n’est précisément pas présupposée dans ce cadre explicatif. Papert conclut que le but de sa recherche est de construire une dynamique orientée par des exigences internes mais sans finalité.

Ash Ghobar demande pourquoi une structure équilibrée n’est pas définitive et éternelle, à quoi Piaget répond que l’équilibre n’est pas un repos final mais une ouverture sur de nouveaux systèmes, le système antérieur étant équilibré lorsqu’il peut être intégré en ces systèmes nouveaux sans être pour autant modifié en sa structure même. Rutschmann constate que telle réponse (« plus de perles bleues ») est considérée à un moment donné comme la plus probable. Est-ce une condition nécessaire ? Non, répond Papert. — L’équilibre auquel on aboutit, poursuit Rutschmann, est-il le seul possible étant donné les conditions ? — Non. Il suffit qu’un équilibre soit plus probable que les autres. Les interventions extérieures (nouvelles données) peuvent infléchir l’équilibre dans une nouvelle direction.

Smedslund, qui participa aux travaux du Centre en 1957-58, a continué et développé à Oslo, où il enseigne actuellement, les recherches qu’il avait organisées pour déterminer le rôle respectif des renforcements externes et de l’équilibration (conflits entre schèmes des sujets et renforcements internes) dans l’apprentissage de structures logiques de conservation et de transitivité. Il a commencé par y refaire, pour contrôle, ses expériences de Genève puis a imaginé les jolies expériences [p. 30] suivantes. Vérifiant d’abord qu’un sujet peut fort bien, sans dominer encore la conservation, accepter qu’une quantité diminue, dans le cas des boulettes d’argile, si l’on enlève de la glaise et augmente si l’on en rajoute, il a alors créé des conflits cognitifs en combinant des déformations avec des additions ou soustractions. Par exemple une boulette est déformée en un boudin mais auquel on enlèvera un morceau, de telle sorte que les augmentations supposées de quantité, dues à l’allongement, entrent en conflit avec la diminution effective due à la soustraction. Le problème est alors d’établir si de tels conflits, dont la solution n’est naturellement pas fournie du dehors (par constatations spontanées ou provoquées et encore moins par indications verbales), vont provoquer un apprentissage par réorganisation des schèmes (équilibration) ainsi éventuellement que des transferts d’un domaine d’expérience à un autre (conservation des quantités dans le cas des boules d’argile et dans celui du transvasement des liquides).

Smedslund communique alors ses premiers résultats, sur 154 sujets examinés un à un, et montre qu’avec cette méthode, voisine de celle de Wohlwill (voir L’Apprentissage des structures logiques, vol. IX des Études, Partie IV), il obtient de nombreux apprentissages ainsi que de nombreux transferts (dans le sens liquides → boulettes comme dans le sens inverse). La conclusion du papier introductif qu’il a distribué à cette occasion est : « Taken as a whole the data seem to fit very well into the conceptual framework of assimilation and equilibration and to weaker an empiricist (S-R) learning theory interpretation. The most promising lead opened up by the experiments seems to be the demonstration of cognitive development as a function of internal conflicts and reorganization and in the absence of external reinforcement ».

Piaget se félicite de ces résultats, qui atténuent les quelques difficultés partielles dont témoignaient encore les données recueillies en 1957-1958 (voir « Apprentissage des notions de la conservation et de la transitivité du poids », in vol. IX cité, partie III) et ne doute pas que Smedslund développera une interprétation originale à l’intérieur du cadre théorique général devenu commun à eux deux.

Bang signale des cas observés par lui où les opérations d’addition sont situées sur un autre plan que les liaisons utilisées par l’enfant pour justifier la non-conservation. Tel sujet dira par exemple « Il y a moins » si l’on enlève un peu de [p. 31] liquide à l’un des deux verres à transvaser. « Comment faire pour avoir la même chose ? — Remettre. » Puis, lorsque l’on transvase l’un des verres dans un autre de forme différente : « Il y a plus ici. — Et si on enlève un peu d’eau dans ce verre, ça fera la même chose ? — Non. » Piaget répond qu’en d’autres cas au contraire, la non-conservation initialement admise est corrigée aux yeux du sujet par une addition ou une soustraction rarement à des niveaux égaux entre les verres de formes différentes. L’observation de Bang suggère l’existence de deux paliers analogues à ceux que Gréco a établis dans le domaine des correspondances numériques (non-conservation de la quantité ni du nombre, puis conservation du nombre mais pas de la quantité) ⁷.

Bouligand propose de combiner le schéma expérimental de Smedslund avec un dispositif de vases communicants.

La paradoxe de l’« implication matérielle » p ⊃ q est que, si deux propositions p et q sont vraies, elles s’impliquent toujours. Cette notion formelle ne coïncide alors évidemment pas avec ce qu’est l’implication dans la pensée naturelle et l’on peut donc se proposer de chercher ce que réclame la pensée pour accepter que p implique q. Une expérience antérieure avait montré que la compréhension de l’implication, sur un certain matériel concret donnait lieu à trois paliers génétiquement distincts : le modus ponens (P), le modus tollens (T) et la reconnaissance de l’indétermination (I) correspondant au cas où l’antécédent est faux et le conséquent vrai. Le problème a été repris en faisant comparer deux situations, l’une dans laquelle les liaisons sont évidentes et « compréhensibles », l’autre dans laquelle elles demeurent arbitraires. Dans la première situation, un personnage habitant en dehors d’un village ne peut se rendre à la poste que par un seul chemin passant devant une maison déterminée : d’où les inférences possibles « S’il a été à la poste il a passé devant cette maison », etc. Dans la seconde situation on présente deux lampes dont l’une (verte) ne s’allume pas si l’autre (rouge) n’est pas allumée, mais non réciproquement. Les réactions que l’on peut obtenir sont alors, [p. 32] en plus de P, T et I, l’énumération de cas possibles et impossibles (E) et leur reconnaissance motivée (R).

La situation du village a donné lieu entre 6 et 9 ans à l’ordre suivant de succession génétique dans les réussites : P, R, T, I, E. Au contraire, la situation des lampes aboutit, et seulement entre 9 et 12 ans, à la succession génétique : P, R, E, T, I. On voit ainsi que, lorsque la situation apparaît comme arbitraire, non seulement le problème est plus difficile, mais encore la succession génétique est différente : la possibilité d’énumérer les cas possibles et impossibles semble constituer la condition préalable des inférences autres que P, tandis que dans la situation « compréhensible » (village) les inférences sont comme dictées par le contenu.

Quine note que dans l’expérience des lampes comme dans l’ancienne expérience de Matalon sur les verres (voir un résumé dans le vol. X, partie I, § § A viii et B ix) les deux termes de la connexion sont symétriques ; dans le cas du village, non. Thomson demande si l’emploi de la négation explique les difficultés du modus tollens : Matalon ne le croit pas puisqu’il est relativement facile dans la situation du village.

Beth voudrait qu’on étudie des cas où le sujet rejette l’implication, ce que Matalon trouve facile. Piaget rappelle les expériences sur le pendule où il s’agit d’exclure certains facteurs (poids, etc.) et où le sujet contrôle l’implication p ⊃ q en cherchant si l’on trouve ou non la situation p . q.

Jonckheere propose que l’on donne les consignes en termes de « ou » (p ⊃ q = p ∨ q) et Grize insiste sur la distinction entre les deux sortes de liaisons (naturelles) qui s’expriment par « si… alors » et « il faut… », cette dernière englobant une relation d’ordre correspondant à un lien causal.

Selon Papert on devrait dire, en présence des résultats de Matalon, que les tables de vérité schématisent une propriété de l’implication et non pas qu’elles la définissent (comme on s’exprime classiquement en logique). Matalon répond que, dans le problème des lampes, la table de vérité est indispensable. Mais à 11-12 ans certains sujets imaginent d’ingénieux systèmes de liaisons électriques pour fournir un modèle causal des liaisons possibles et se passent alors de table de vérité (à moins, pense Piaget, que le tableau des combinaisons causales ne soit alors isomorphe à celui des combinaisons logiques propres à la table de vérité).

Ash Ghobar, qui avait demandé à passer une année au Centre à titre privé après avoir soutenu à l’Université de Wisconsin (USA), une thèse intéressante sur les concepts abstraits et s’était proposé de consacrer cette année à des études théoriques sur certains problèmes de relation entre la logique et la psychologie, en prolongement de ses travaux antérieurs, a été contagionné par l’atmosphère expérimentale du Centre et a désiré se livrer à un sondage sur le rôle du langage dans l’acquisition des opérations propositionnelles. Choisissant l’opération de disjonction exclusive, il a présenté un dispositif tel que la lumière surgissant dans une pièce peut être due à l’une seulement de quatre lampes C₁ … C₄, sans que l’on voie laquelle : la réponse juste est donc C₁ w C₂ w … → E. En comparant alors deux groupes de sujets, les uns s’initiant par manipulations et observations directes, les autres étant initiés par un procédé purement verbal, Ash Ghobar trouve un résultat bien meilleur de beaucoup avec la première forme d’apprentissage.

Les participants à la discussion qui suivit ont surtout insisté sur le fait que l’échec de l’apprentissage verbal constitue une contre-épreuve peu décisive tant que l’on n’a pas démontré la possibilité pour le sujet de comprendre le problème lui-même. Or, étant donnée l’opération choisie, la question peut demeurer ambiguë sans un certain nombre de précautions difficiles à assurer. Quine a formulé la difficulté de saisir la liaison (p w q) au moyen d’un exemple qui a eu grand succès : si l’on demande, a-t-il dit, « ce papier est-il (blanc ou noir) ? », il y a alors deux réponses exactes, qui sont « blanc » ou « oui ».

Piaget pense que si Ash Ghobar n’a pas prouvé l’inefficacité de l’apprentissage verbal, tandis qu’une recherche antérieure de Morf (vol. III des Études) a fourni des résultats valables, d’ailleurs rappelés par Ghobar, celui-ci a au moins montré la possibilité, pour des enfants de 7 ans, d’acquérir par manipulation une opération qui ne leur est point naturelle. Il s’agit seulement de se rappeler qu’une telle opération, acquise à l’état isolé, n’équivaut point à ce qu’elle est une fois insérée dans le système des 16 opérations binaires, avec leur combinatoire et leurs transformations INRC.

Pour introduire maintenant aux travaux sur l’épistémologie de l’espace, destinés à préparer les recherches de l’année suivante, nous pouvons commencer par les deux exposés complémentaires de Seagrim, l’un expérimental et l’autre théorique, dont la saveur particulière provient de la manière dont ce pur psychologue en est venu à concevoir les relations épistémologiques entre le sujet et l’objet dans le domaine spatial. Si l’espace, pense Seagrim, se construit en fonction des activités du sujet, il convient alors de partir d’une différenciation progressive des diverses catégories de relations pouvant s’établir entre le corps propre et les objets, entre les objets eux-mêmes ainsi qu’entre le corps propre ou les objets et l’espace englobant. Mais pour dissocier ces relations le sujet utilise son corps et la question préalable que se pose Seagrim est d’établir si l’asymétrie subjective du corps favorise ou complique ces différenciations et influence leur ordre de succession. Et pour résoudre cette question, Seagrim ne combine pas, comme certains d’entre nous y eussent songé, l’expérimentation sur l’enfant avec une construction abstraite : il complète ses expériences sur enfants et adultes par un procédé équivalant précisément à une construction théorique, mais en termes concrets, c’est-à-dire qu’il imagine des bonshommes dont il modifiera la structure et les plans de symétrie de manière à calculer leurs réactions spatiales, reprenant ainsi une tradition inaugurée par Poincaré (lorsqu’il imaginait des êtres entièrement plats), par Nicod et par Goody.

Les expériences de Seagrim, à commencer par elles, portent sur la relativité des points de référence dans un contexte spatial avec l’inversion. Elles sont difficiles à résumer dans le détail mais paraîtront dans ces Études. Le principe en est d’abord de faire reproduire des trajets incurvés différemment orientés, tracés au moyen d’un doigt soit sur la main du sujet soit autour ou à l’intérieur de triangles ou de cercles, avec conflits entre la perception tactilo-kinesthésique et la perception visuelle du tracé, ces conflits étant provoqués par un dispositif de miroirs créant des situations d’inversion entre les deux sortes de perceptions. En outre, Seagrim, conduit ainsi à s’intéresser à l’invariance de l’ordre au cours de mouvements inverses, a imaginé un système de rotations de figures, [p. 35] dans lequel le sujet doit décider s’il y a équivalence ou non entre les résultats de différentes sortes de relations (par exemple dans le cas de deux carrés concentriques pouvant tourner en sens contraires), mettant ainsi en évidence les difficultés de l’associativité chez les jeunes sujets.

Un des résultats de ces expériences étant que, chez les petits, la direction des rotations n’intervient pas mais que des rotations de +90° ou de −270° donnent cependant des résultats différents, Seagrim s’est alors efforcé de construire théoriquement des bonshommes qui, avec une intelligence adulte, une motilité intacte et un appareil perceptif cohérent adapté à notre monde, commettraient cependant les mêmes erreurs (par exemple découverte d’un ordre mais sans la direction de cet ordre, ce qui sera le fait du bonhomme III), en conséquence de leur structure corporelle.

Le bonhomme I de Seagrim comporte par exemple un côté gauche replié sur son côté droit : s’il est touché sur la main gauche il sait qu’il est atteint sur une main et s’il est touché sur les deux mains simultanément, il éprouve deux sensations distinctes mais en « transparence ». L’une de ses erreurs systématiques consistera alors à ne percevoir un cercle que sous la forme d’un croissant, s’il est à son intérieur, tandis qu’il verra le cercle comme tel si celui-ci ne l’entoure pas. Le bonhomme II n’est pas replié mais, touché sur l’un de ses côtés il se sentira atteint sur les deux côtés, d’où indétermination systématique sur le plan sagittal. Le bonhomme III est doté de symétrie radiale, de telle sorte que touché en un point il se réfère à tous les autres points : il distinguera donc les points sur l’axe vertical mais non pas en horizontal : d’où entre autres la découverte de l’ordre entre trois points mais sans la direction de l’ordre.

Piaget se félicite de la manière originale dont Seagrim aborde, grâce à ses modèles concrets, le problème des relations entre le sujet et les objets dans la construction de l’espace. La comparaison entre les réactions de ces bonshommes théoriques et celles des enfants de divers niveaux est, en effet, très instructive, mais en particulier pour la raison suivante. Telle réaction observée chez l’enfant par Seagrim s’explique, par exemple, selon lui par le fait que l’enfant ne distingue pas sa gauche de sa droite. Il invente alors un bonhomme dont la structure corporelle exclut cette distinction entre la gauche et la droite et retrouve les mêmes erreurs systématiques. Seulement le bonhomme de Seagrim raisonne en toute logique et [p. 36] c’est à cause de son incapacité de recueillir certaines informations qu’il aboutit à ses conclusions, tandis que, pour nous, c’est faute de structurer les informations possibles selon une certaine logique des relations, et non pas faute d’informations possibles, que l’enfant parvient aux mêmes conclusions (cela dit en tenant naturellement compte du fait que certaines informations sont plus faciles et d’autres plus difficiles à cause des asymétries et des symétries de notre corps). Le problème général soulevé par les modèles de Seagrim est donc celui des parts respectives à attribuer (1) aux probabilités distinctes des divers types d’information cognitive de ces informations, en fonction du niveau perceptif, notamment, opératoire (logique), etc., du sujet. Or, Seagrim, s’il n’a pas encore construit de bonshommes théoriques enregistrant les mêmes informations mais les organisant au moyen de structures logiques différentes (groupes, etc.), a lui-même mis en évidence, dans ses expériences, des différences de structuration soit logiques (défaut d’associativité chez l’enfant à propos des rotations de carrés concentriques) soit quasi perceptives (en cas de conflit, les adultes ne sentent pas la trace sur la main quand ils voient une figure différente dans le miroir, tandis que les enfants disent sentir la trace mais assimilent ce qu’ils sentent à ce qu’ils voient ⁸).

Papert dit des choses analogues en parlant d’abord de la fameuse question de l’image rétinienne qui d’après lui a été définitivement réglée par Berkeley. Dans le cas des bonshommes de Seagrim on ne sait pas exactement ce qu’ils voient, parce qu’il faut encore savoir quel groupe de transformations T on leur donne. Le bonhomme III est construit pour que son espace sensoriel S soit une droite. Or il est impossible de représenter un espace euclidien (x, y, z) sur une droite. Seagrim ajoute une autre dimension t avec la possibilité d’oscillations ⁹ et on impose d’autre part au bonhomme un groupe de transformations sous lesquelles lui-même demeure invariant. Seulement il applique cette invariance aux objets extérieurs : si l’on veut savoir quel univers il peut construire, il suffit alors de savoir quel groupe de transformations on lui accorde, de [p. 37] manière à ce qu’il structure d’une manière ou d’une autre les informations qu’il enregistre en fonction de sa forme corporelle.

Gonseth, rappelant les problèmes que posent les yeux des abeilles, insiste sur le fait que la compréhension de l’espace ne dépendra pas du nombre des points visuels mais de l’ensemble et de la structure des connexions, et Beth soutient que si plusieurs des bonshommes de Seagrim peuvent communiquer, ils parviendront malgré leurs limitations à construire un univers convenable.

Ghobar ayant demandé que l’on formule en bref la leçon épistémologique des bonshommes de Seagrim, Papert propose la réponse suivante : « Il est dangereux de déduire les propriétés du monde de celles de notre système nerveux » !

Quant aux expériences mêmes de Seagrim, Bouligand l’a loué d’avoir insisté sur le facteur d’asymétrie et Quine souligne le fait que, en vivant la tête en l’air et les pieds sur le sol, la distinction de la gauche et de la droite est moins immédiate que celle du haut et du bas. La situation doit être bien différente par exemple chez les poissons. Papert remarque qu’on ne fait pas toujours suffisamment la distinction entre le tactile et le kinesthésique, et que les résultats de Seagrim dépendent surtout du premier de ces deux aspects. Seagrim est d’accord et note que quand ses sujets ont à parcourir eux-mêmes les trajets avec leur doigt (ce qui relève alors du tactilo-kinesthésique et non plus du tactile seul) les erreurs sont moins nombreuses. Papert poursuit en indiquant qu’avec les lunettes déformantes l’inversion gauche-droite donne les mêmes résultats que l’inversion haut-bas : le sujet change sa vision au cours de l’expérience, parce qu’il ne peut pas changer sa kinesthésie, mais, à chaque fois, il prend d’abord pour vrai ce qu’il voit et s’en étonne. Notre espace kinesthésique est génétiquement primitif. S. Cassirer remarque à ce propos qu’il est cependant moins dangereux d’inverser la gauche et la droite que le haut et le bas. Elle se demande en outre pourquoi, si nous formons nos premières connaissances spatiales par voie tactilo-kinesthésique comme il le semble, la vision finit par dominer entièrement. Les illusions optico-géométriques peuvent-elles être corrigées par voie tactile ? Les psychologues présents en doutent unanimement mais reconnaissent que ce résultat négatif pose en effet un problème.

Dans le but d’introduire à des recherches plus systématiques sur la nature de l’intuition géométrique dans ses relations avec l’opération, P. Gréco, qui s’intéresse spécialement aux problèmes de symétrie, a entrepris certaines expériences, destinées à s’insérer dans le plan général suivant, qui est par ailleurs celui que nous nous sommes donné avec B. Inhelder dans les recherches actuelles de l’Institut des Sciences de l’éducation (et qui aboutira à un ouvrage d’ensemble) : soit F une figure, T une transformation et F’ l’image de F après la transformation T, on peut soit donner F, indiquer T et faire anticiper F’, soit donner F’ et T et faire reconstituer F, soit encore donner F et F’ et faire imaginer T.

Les expériences préliminaires de Gréco ont alors porté sur deux sortes de figures F : des « unités figurales » présentant en chaque position différente une signification immédiate, en l’occurrence les lettres p, b, d, q en minuscules script ; et des « complexes figuraux » ou figures à éléments multiples qu’il s’agit de décomposer et de mettre en relations, en l’occurrence une étoile à huit branches dont chacune porte un point de couleur différente. Les transformations T choisies sont soit des rotations planes R de 180°, 90° et 45°, soit des rotations de 180° hors du plan, effectuées autour d’un axe vertical (V), ou d’un axe horizontal (H) ou des deux successivement (V × H). Gréco a, d’autre part, comparé les résultats obtenus selon que les T sont indiquées directement au sujet par le geste, etc., ou impliquées dans des situations « concrètes », plus ou moins facilement compréhensibles et contrôlables : situation de vis-à-vis (on demande à l’enfant de « se mettre (mentalement) à la place » de l’expérimentateur assis en face de lui, etc.), miroir vertical, etc. Enfin, pour certaines épreuves, on a comparé les résultats obtenus selon trois techniques de réponses : « lecture » (réponse énoncée verbalement), choix (parmi des modèles représentant différentes solutions possibles) et dessin.

Pour les rotations planes, les erreurs diminuent régulièrement avec l’âge, et sont toujours plus nombreuses pour une R de 180° que pour 90°, pour 90° que pour 45°. Dès 6-7 ans, l’épreuve R. 45° est significativement mieux réussie que les autres, et les sujets construisent F en suivant l’ordre des [p. 39] points sur F. Mais la construction par l’ordre ne s’étend à R. 90° qu’à partir de 8 ans, à R. 180° qu’à partir de 12-14 ans. Auparavant, les sujets procèdent par permutations de couples (points diamétralement opposés), et souvent ne les réalisent que partiellement : ainsi, pour R. 180°, après avoir constaté que le point situé « tout en haut » du modèle est déplacé « tout en bas », les enfants en concluent que la transformation consiste à permuter le haut et le bas (mais non la gauche et la droite). Jusqu’à 8 ans, 50 % des erreurs sont de ce type.

Pour les rotations hors du plan, les résultats sont, dans l’ensemble, meilleurs avec les « unités figurâtes » qu’avec les « complexes figuraux », comme on pouvait s’y attendre. Mais : 1°) on retrouve, à un léger décalage chronologique près, les mêmes types d’erreurs et la même évolution dans les deux cas ; 2°) les procédés de réalisation sont les mêmes (l’analyse en termes de haut/bas, gauche/droite, qui seule permet de réussir l’épreuve « étoiles », s’applique aussi bien, vers 8-9 ans aux lettres, l’enfant disant par exemple que la « boule » du p va « passer de l’autre côté de la barre », etc. ; 3°) la coordination des deux transformations V × H, qui n’apparaît pas avant 9-10 ans, n’est pas réalisée plus facilement pour les lettres que pour les étoiles.

De même, si la situation de vis-à-vis paraît plus simple avec les lettres et la technique du dessin (réussites précoces par inversion des gestes grapho-moteurs), elle donne lieu à davantage d’erreurs dans les autres cas, notamment lorsque les sujets « géométrisent » inexactement cette situation en l’assimilant à une symétrisation H.

Gréco conclut en insistant sur la précarité (et l’insuffisance pour les tâches demandées) de la représentation imagée proprement dite. Les transformations exercées en pensée sur les données figurales s’inscrivent dans un cadre opératif qui assure leur organisation. Les erreurs systématiques, les commentaires par lesquels les enfants expliquent leurs anticipations correctes, marquent également l’existence d’un système « logique » de relations, structurant de l’intérieur les représentations spatiales.

Il avait tiré des conclusions analogues à propos de ses expériences avec miroir (qui comprenaient différentes situations d’apprentissage), expériences dont il avait donné un bref aperçu à la suite de l’exposé expérimental de G. Seagrim.

[p. 40] La discussion qui suivit cet exposé a porté essentiellement sur la signification de la symétrie. Pour Bresson, qui a fait une expérience dans ce domaine, il n’est pas si certain qu’on veut bien le dire que la symétrie bénéficie d’un privilège systématique, sauf peut-être pour l’axe vertical à cause de la position de nos deux yeux. Gréco s’en trouve d’accord et si, dans le cas de ses étoiles il y a parfois meilleure réussite avec l’axe horizontal qu’avec le vertical, c’est qu’il s’agit non pas d’une symétrie perceptive immédiate au sens de la Gestalt mais d’une symétrisation progressive et active : la permutation haut/bas serait en ce cas mieux comprise que la permutation gauche/droite. (Mais c’est le contraire en d’autres situations.)

Papert défend l’hypothèse que le privilège relatif de la symétrie selon l’axe vertical serait dû à la perception des deux yeux d’autrui. « Non, répond Bresson, de ses deux yeux à soi, parce qu’au niveau du système nerveux visuel il y a déjà distribution selon l’axe vertical. » Gonseth n’accepte l’idée qu’à cette condition que l’axe de symétrie permette de relier entre elles des figures extérieures. À quoi Bresson répond qu’il ne s’agit pas de savoir si l’on peut percevoir ou non les symétries : on les perçoit aussi selon des axes horizontaux ou obliques. Il s’agit seulement d’établir s’il existe un privilège d’un axe de symétrie sur un autre et c’est en ce sens qu’il croit à une prédominance de l’axe vertical pour les raisons indiquées.

B. Inhelder a exposé les résultats de l’épreuve du lac décrite plus haut, le raisonnement demandé à l’enfant portant sur la conservation d’un voisinage au cours de transformations continues et connexes. Ces résultats sont de deux sortes. En premier lieu, si nous appelons « orientation » de la voiture longeant les bords du lac la relation avant-arrière par rapport au sens du parcours et « direction » ses positions par rapport au système euclidien des coordonnées, on constate que la conservation des voisinages ¹⁰ de proche en proche est très précoce sauf en cas de conflit entre l’orientation et la direction : dans les tournants, par exemple, l’orientation demeure inchangée, tandis que la direction se modifie. Il faut d’ailleurs ajouter que [p. 41] les plus jeunes sujets demeurent parfois insensibles aux conflits eux-mêmes (faute de saisir les changements de direction qui supposent un minimum de références), d’où l’apparence possible de généralisations rapides là où il n’y a simplement pas eu problème. En second lieu, les généralisations ne procédant pas de proche en proche supposent des anticipations reposant sur un jeu d’images mentales, et, si celles-ci se révèlent tardives, c’est qu’elles sont elles-mêmes façonnées et informées par des opérations non élémentaires (vers 8 ans en moyenne) qui assurent le maniement des transformations continues. Ajoutons que l’adjonction de ponts reliant deux rives du lac, de tunnels, etc., ainsi que les questions sur la position des mains gauche et droite du conducteur permettent d’observer des décalages conformes à la même loi générale d’évolution.

Nous assistons ainsi à la formation d’un raisonnement topologique quasi-récurrentiel et Papert enchaîne directement avec l’exposé de B. Inhelder en analysant la nature de ce raisonnement. Soit f : x → y où f est connexe et continue. Si f est localement constante, elle l’est aussi globalement. Comme dans le cas des récurrences numériques, nous sommes donc en présence du passage d’une propriété locale à une propriété générale. Selon Papert, il n’y aurait pas, entre la géométrie et l’arithmétique une différence aussi forte que le pensait Poincaré, qui ne connaissait pas d’arithmétique non péanienne. Du point de vue génétique, il existe des analogies étroites entre la formation des conservations en général et celle de la conservation du voisinage dans cette expérience. Il s’agira donc d’analyser de près la genèse des opérations géométriques en relation avec celle des opérations arithmétiques. Papert n’aperçoit entre ces deux catégories d’opérations que deux différences, dont l’une n’est que de degré et dont l’autre n’est qu’apparente. La différence de degré est que la géométrie est plus complexe, en elle-même et en tant que liée à la physique. La différence apparente est que dans le domaine géométrique les opérations semblent s’appuyer de plus près sur des images que dans le domaine arithmétique. On nous dit, par exemple (allusion à Piaget), que l’image d’un triangle est un triangle tandis que l’image d’une classe n’est pas une classe. Or, ce n’est pas vrai !

— Eh si ! interrompt Quine. Il y a des images de carrés qui sont à peu près carrées, mais il n’y a pas d’images de classes ! Thompson ajoute que l’image d’une classe (cercles d’Euler ou images d’un contenu représentatif) suppose une [p. 42] convention, à quoi Papert répond qu’il intervient aussi des conventions dans l’image d’une figure géométrique. Piaget essaye de réconcilier Quine et Papert en rappelant qu’il existe de nombreux niveaux dans la formation de la classe, entre autres un niveau où l’enfant ne réussit à classifier que par « collections figurales » liées à des configurations spatiales — des « tas », dit alors Quine — et que quand Papert parte d’images de classes il pense assurément à des images de collections ou de « tas », tandis que si l’on pense à la classe logique des chats comprenant tous les chats du globe terrestre et encore passés, présents et futurs, sans tes juxtaposer dans l’espace en une collection figurale, chacun admettra qu’il n’y a pas d’image de cette classe ! « Je suis toujours d’accord avec Piaget, répond Papert, mais pas quand Piaget dit que je suis d’accord avec Quine. La distinction entre les « tas » et les « classes » est récente (Frege) et fort utile en psychologie de l’enfant. Mais il faut aller plus loin et distinguer un grand nombre d’intermédiaires… »

On ne peut pas photographier une classe, soutient alors Quine, tandis qu’on peut photographier un carré approximatif… ce qui déclenche l’opposition de Gonseth, puis de Beth, celui-ci suggérant qu’on ne « voit » pas un carré si on le définit comme un ensemble de points… etc.

Piaget cherche à clore ce débat sur l’image en distinguant deux questions. Il y a d’abord la question psychologique de savoir si l’image dans le domaine de l’espace est différente ou non de ce qu’elle est dans le domaine des classes ou des nombres, etc., et ici l’expérience finira bien par décider entre (1) Quine, Tompson et Piaget qui la croient différente en ces deux cas ; (2) Papert qui la croit analogue parce que relativement adéquate dans les deux cas ; et (3) Beth et Gonseth qui semblent (du moins en cette discussion) la croire analogue parce qu’inadéquate dans les deux cas. Mais il y a ensuite le problème épistémologique : même si l’image spatiale est différente des autres, il reste à savoir si cette image, relativement adéquate, constitue la source des opérations géométriques ou si au contraire l’image spatiale est sans cesse modifiée et façonnée par tes opérations elles-mêmes (comme l’a montré B. Inhelder dans son exempte du raisonnement topologique). Or, ici tout le monde sera d’accord si l’on ne tire pas de cette spécificité des images spatiales la conclusion que la connaissance géométrique consiste simplement à « lire » les propriétés [p. 43] d’images toutes faites, car ces propriétés résultent au contraire de manipulations opératoires préalables.

Papert accorde qu’en termes d’opérations une classe est invariante sous un plus grand nombre de transformations que le « tas ». « Les opérations sur le tas sont des opérations physiques, dit alors Jonckheere, et les opérations sur les classes sont des opérations logiques. Cela résume-t-il la pensée de Papert ? — Non, ce n’est pas si simple que ça. — Dans le maniement des « tas », ajoute Piaget, il intervient bien des expériences physiques. Mais il y a alors expériences simultanément physiques et logico-arithmétiques, car les préopérations logiques interviennent avant que ne se constituent les classes. — D’accord, conclut Jonckheere, si l’on parle de préopérations sur les tas et d’opérations sur les classes ».

La discussion revenant au problème du lac, Grize pense que quand l’enfant de 7-8 ans en arrive à des généralisations justes, il s’agit surtout de la continuité, qui est connue par le déplacement, et non pas de la connexité puisque le sujet ignore qu’il est en présence d’une courbe de Jordan ! Pour étudier la connexité on pourrait introduire des coupures.

Jonckheere suggère deux lacs, en 0 et en 8 comprenant chacun deux îles. Quant à la récurrence, il n’est pas d’accord. « Il faudrait que l’enfant admette qu’en tout point le côté rouge de la voiture est placé du côté du lac. — Il en va de même pour les nombres, répond Papert. — Non, en termes de voisinage il faut distinguer : pour tout point, dans son voisinage ; et pour un point, dans tout voisinage. Il faudrait demander à l’enfant s’il croit qu’en tout point un petit déplacement laisse le côté rouge invariant. — C’est bien ce sur quoi on l’interroge ! »

Quine demande si l’on peut établir qu’à 5 ans certaines relations topologiques sont maîtrisées, qui se dégraderaient ensuite. Il suggère l’étude d’un labyrinthe comportant un grand nombre de chemins tels qu’en prenant toujours celui de droite on finirait à coup sûr par rentrer chez soi.

En présentant sa recherche, dont l’intention a été indiquée plus haut (Introduction), Vinh-Bang commence par indiquer [p. 44] les difficultés d’établissement des faits (dépouillement des résultats) et d’interprétation que comporte la méthode employée, nuis il distingue quatre sortes de relations spatiales perçues, la première entre chaque élément et le cadre général de référence et les trois autres entre les éléments eux-mêmes. Appelons « position » la relation (1) entre chaque élément et le cadre. La relation (2) sera dite de « situation » et concerne les propriétés qualitatives d’intériorité, extériorité, etc., d’un élément par rapport à un autre. La relation (3) ou de « direction » exprime non plus comme en (1) la position de l’élément par rapport au cadre, mais sa position par rapport à un autre élément : au-dessus, à gauche, etc. Enfin la relation (4) concerne les « distances ». Le premier résultat de Bang est alors que l’ordre des fréquences est différent chez le jeune enfant et chez l’adulte. Chez ce dernier, l’ordre est : direction, situation, position et distance ; on trouve au contraire chez les jeunes sujets l’ordre suivant : situation, direction, distance et position. Lors des secondes présentations des figures, l’adulte précise ses références extérieures (cadre) et se livre à une sorte de quantification des distances, tandis que l’enfant cherche à ajuster ses références intérieures avec conflit entre la position et la direction et aboutit à préciser les relations de situation. En un mot, plus le sujet est jeune et plus il a la tendance à négliger le cadre pour insister, souvent au mépris de la direction et surtout de la position, sur les relations qualitatives, de situation qui sont les plus proches des relations topologiques.

Dans la discussion qui suivit, Piaget a insisté sur l’absence de cadre de référence chez l’enfant ainsi que sur le fait que, dans les perceptions brèves (et cela, en partie, même chez l’adulte) la structuration euclidienne est moins bonne qu’en position libre et a fortiori que sur le plan de la représentation tandis que les relations qualitatives s’imposent d’emblée.

Papert se demande quelle est la confiance à accorder à l’ordre observé, en attendant une analyse hiérarchique. Le décalage adulte-enfant est en tous cas certain.

En plus de ces divers exposés, les membres du Symposium eurent le plaisir d’entendre une communication de G. Bouligand sur les problèmes de la recherche mathématique, en ses divers degrés d’abstraction, sur l’importance de la constructivité [p. 45] et sur le rôle de la « causalité » dans la hiérarchie des démonstrations.

Pour la séance de clôture, où nous avons coutume d’échanger quelques idées quant aux projets possibles d’avenir, nous avions demandé à F. Gonseth de nous faire quelques suggestions pour l’étude de l’espace dans la perspective de l’épistémologie génétique. L’œuvre de Gonseth est, en effet, axée essentiellement sur l’épistémologie de la géométrie et ses idées maîtresses peuvent à bien des égards servir de point de départ à une analyse génétique. La connaissance de l’espace suppose, en effet, d’après Gonseth trois sources dont chacune est nécessaire et aucune suffisante : certaines expériences des objets et notamment des mobiles indéformables dont avait déjà parlé Poincaré, certaines intuitions et certaines formalisations. Mais pour Gonseth aucune de ces variétés de connaissances n’est indépendante : on ne connaît l’espace physique qu’au travers de schémas théoriques, comme l’avait déjà dit Lobatchevsky, et Gonseth fait remonter très haut, du point de vue génétique, cette « schématisation axiomatique » ; et réciproquement aucune formalisation géométrique ne se dégagerait entièrement de ses racines expérimentales ou intuitives.

Nous retrouvons ainsi, à titre de programme des travaux ultérieurs du Centre sur l’épistémologie génétique de l’espace, les trois problèmes indiqués dans l’introduction de cette revue générale de l’année écoulée.

Le premier de ces problèmes est celui de la nature de l’intuition géométrique. D’un point de vue simplement historique, constitue-t-elle, comme il pourrait sembler, une « troisième force » stable, insérée entre l’expérience et la formalisation, et dont le rôle croît au fur et à mesure des progrès de ces dernières, ou au contraire correspond-elle d’abord à une zone intermédiaire entre l’expérience et la déduction, zone qui se rétrécit au fur et à mesure que se dissocient et progressent séparément l’expérience de l’espace physique et la formalisation géométrique ? À cet égard, l’étude génétique des relations entre l’image et l’opération au sein de l’intuition spatiale peut être de quelque secours, car si le développement des images spatiales était autonome et progressait indépendamment des opérations, cela parlerait en faveur de la première de ces deux thèses, tandis qu’une subordination croissante des images aux opérations empêcherait de voir dans l’« intuition » un processus relativement indépendant et de signification aussi importante que l’expérience et que la déduction.

[p. 46] Le second problème est celui des relations entre l’expérience physique de l’espace et l’expérience logico-mathématique en général ou logico-géométrique en particulier (avec donc abstraction à partir des actions et non plus des objets). Or, la question se pose aux niveaux génétiques les plus élémentaires. Par exemple, lorsque Poincaré invoque l’expérience des « solides indéformables », il est probable, du point de vue psychologique, qu’il n’y a pas là une simple expérience physique, car l’ensemble des travaux sur les conservations représentatives et sur les constances perceptives sont de nature à faire pressentir la complexité extrême d’une telle notion ou d’un tel schéma. Aussi Papert s’est-il déjà engagé dans l’analyse des conditions préalables de la reconnaissance de cette indéformabilité et nous pouvons être assurés de trouver sur ce terrain, si primitif puisse-t-il paraître, mainte occasion de réflexions sur les relations entre l’expérience physique de l’espace et l’expérience logico-géométrique, puis entre la première et la déduction géométrique elle-même.

Quant à cette dernière, notre troisième problème étant de déterminer les relations entre les opérations logico-arithmétiques et les opérations spatiales ou infralogiques en général, c’est sans doute dans le domaine de la topologie que nous aurons le plus de chances de trouver des éléments de solutions. Aussi Grize a-t-il déjà annoncé un réexamen des hypothèses de Nicod (La Géométrie dans le monde sensible). Mais toute la géométrie de l’enfant étant qualitative avant de devenir métrique, c’est en chacune de ses divisions (euclidienne, projective, affine, etc.) que nous pouvons espérer rencontrer le même problème.