Remarques psychologiques sur les relations entre la classe logique et le nombre et sur les rapports d’inclusion. Recueil de travaux publiés à l'occasion du quatrième centenaire de la Fondation de Université (1937) ^{1 a} 🔗

Pour étudier l’inclusion, c’est-à-dire le rapport de « quelques » à « tous » sous la forme sous laquelle cette question de logique se rapproche le plus du problème de la conservation des quantités ou de la nature des totalités envisagées du point de vue mathématique, nous avons élaboré une série d’épreuves du type suivant. Soit E un ensemble d’éléments constituant une classe logique définissable en termes purement qualitatifs et A une partie de cet ensemble définissable elle aussi en termes qualitatifs, c’est-à-dire constituant une [p. 62] classe incluse dans la classe E : le problème est simplement de savoir s’il y a plus d’éléments dans E que dans A, autrement dit si l’ensemble E est plus grand ou plus nombreux que l’ensemble A.

Nous avons commencé par nous servir du matériel précédemment utilisé pour les questions de correspondance et de conservation des quantités. Soit, par exemple, une boîte ne contenant que des perles en bois (= ensemble E), dont la plupart sont brunes (= ensemble A), mais deux ou trois sont blanches : la question est uniquement de savoir si, dans cette boîte, il y a davantage de perles en bois (E) ou de perles brunes (A). Or, comme le problème, malgré toutes les tentatives faites pour le concrétiser (par exemple : « Le collier construit avec les perles brunes serait-il plus ou moins long que le collier construit avec les perles en bois ? », etc.) demeure d’une grande difficulté pour les petits enfants, nous l’avons parfois posé en termes plus familiers. Nous avons ainsi dessiné une collection de fleurs comprenant une vingtaine de coquelicots et deux bluets, d’où la question : « Quel bouquet serait le plus gros, celui fait avec toutes les fleurs ou avec les coquelicots ? » Ou encore nous avons dessiné une vingtaine de garçons et deux filles, en disant au sujet : « Ça c’est une classe d’école. Est-ce qu’il y a dans cette classe davantage de garçons ou davantage d’enfants ? »

Analysons les réponses données à ces quelques questions. Voici d’abord la réaction des petits au problème des perles brunes et des perles en bois. Nous avons commencé par poser la question simplement comme suit :

Stro (6 ans), F. : « Est-ce qu’il y a dans cette boîte plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de perles brunes. — Pourquoi ? — Parce que celles en bois, il y en a que deux. — Mais les brunes ne sont pas en bois ? — Ah ! Oui. — Alors il y a plus de perles brunes ou de perles en bois ? — Il y a plus de perles brunes ».

Mais, étant donnée la constance des réponses du type de celle de Stro, nous avons progressivement concrétisé la question, en commençant par amener l’enfant à se représenter les colliers susceptibles d’être construits au moyen des perles brunes et des perles en bois :

Bis (6 ; 8) : « Y a-t-il plus de perles en bois ou de perles brunes ? — Plus de brunes, parce qu’il y a que deux blanches. — Les blanches sont en bois ? — Oui. — Et les brunes ? — Aussi. — Alors il y a plus de brunes ou plus de perles en bois ? — Plus de brunes. — Un collier avec les perles en bois aurait quelle couleur ? — Brun et blanc (on voit donc que Bis comprend fort bien les données du problème !) — Et un collier fait avec les perles [p. 63] brunes ? — Brun. — Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois ou avec les perles brunes ? — Avec les perles brunes. — Dessine-moi les colliers. (Bis dessine une série de ronds noirs pour le collier des perles brunes, et une série de ronds noirs plus deux blancs pour le collier des perles en bois.) — Très bien. Alors quel collier sera le plus long, celui des perles brunes ou celui des perles en bois ? — Avec les perles brunes ». On voit combien, malgré une compréhension exacte et une représentation graphique correcte des données du problème, Bis ne parvient pas à le résoudre par une inclusion véritable de la classe des perles brunes dans la classe des perles en bois !

Fat (7 ; 3) : « Est-ce qu’il y a plus de perles en bois ou plus de brunes ? — Plus de brunes ». Nous dessinons alors sur une grande feuille blanche les perles brunes et deux perles blanches. « Mets dans un rond toutes les brunes. — (L’enfant entoure les brunes d’un cercle tracé au crayon.) — Fais maintenant un rond autour des perles en bois. — (Fat trace un cercle autour des deux perles blanches seulement.) — Et les brunes ne sont pas en bois ? — Ah ! Oui (il efface le cercle entourant les deux blanches et fait un rond autour de l’ensemble des perles.) — Alors si on faisait un collier avec les perles en bois et un collier avec les perles brunes, lequel serait le plus long ? — Avec les brunes. »

La difficulté restant la même pour l’enfant, nous avons essayé de simplifier encore le problème en plaçant, à côté de la boîte contenant les perles, deux boîtes vides destinées à recevoir symboliquement l’une les perles brunes et l’autre les perles en bois. Mais le problème demeure néanmoins insoluble pour les petits :

Bes (6 ; 2) : « Est-ce que toutes ces perles sont en bois, ou pas ? — Elles sont toutes en bois. — Y a-t-il plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Il y a plus de perles brunes. — Si je mets les perles brunes dans cette boîte est-ce qu’il restera des perles dans celle-là ? — Oui, les blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte vide, il en restera ici ? — Non. — Alors si on faisait un collier avec toutes les perles en bois qui seraient dans cette boîte (la première boîte vide) et si on faisait un autre collier avec les perles brunes qui seraient dans cette autre boîte (la seconde boîte vide), lequel serait le plus long ? — Celui des brunes. »

Eug (5 ; 6) : « En quoi elles sont ces perles ? — En bois. — Quelle couleur ? — Brunes. — Et celles-là ? — Blanches. — Et en quoi elles sont ? — Aussi en bois. — Et si je mets toutes les perles en bois dans cette boîte vide, il en restera ? — Non. — Et si je mets toutes les brunes dans cette autre boîte vide, il en restera ? — Oui, les blanches. — Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les perles en bois dans cette boîte (vide) ou celui qu’on ferait avec les perles brunes dans cette autre boîte (vide) ? — Avec les brunes ».

Oli (5 ; 2) : « Elles sont toutes brunes, ces perles ? — Non, il y a deux blanches. — Elles sont toutes en bois ? — Oui. — Si on versait toutes les perles en bois ici, il en resterait — Non. — Si on versait là toutes les perles brunes, il en resterait ? — Oui, les deux blanches. — Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les brunes de cette boîte ou celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois de cette autre boîte ? — Avec les brunes ».

Voici un dernier essai pour simplifier le problème, essai qui l’a au contraire compliqué encore pour l’enfant, mais qui met peut-être en évidence une des difficultés centrales de la solution :

[p. 64]Laur (5 ; 5) : « Si je mets les perles brunes dans cette boîte, il en restera ? — Oui, les deux blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte, il en restera ? — Non. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont toutes en bois. — Alors, dis donc, il y a deux petites filles qui voudraient faire des colliers avec ces perles : une voudrait faire son collier avec les perles brunes, et l’autre avec les perles en bois. Tu comprends ? — Oui, mais celle qui fait le collier en bois, elle prend seulement les blanches ? — Non. — Aussi les brunes ? (À noter le caractère spontané de ces deux questions.) — Qu’est-ce que tu penses ? — Oui. — Pourquoi ? — Elles sont aussi en bois. — Alors quel collier serait le plus long, avec les perles brunes ou avec les perles en bois ? — Avec les brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Montre-moi les perles que prendrait celle qui veut faire le collier avec les brunes ? — (Montre juste.) — Et montre-moi les perles que prendrait la fille qui veut faire son collier avec les perles en bois. — Celles-là (montre les deux blanches). — Seulement celles-là ? — Il n’y en a pas d’autres ! »

Sout (6 ; 10) : « Si je mets les perles brunes dans cette boîte, il en reste ? — Oui, les blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte, il en reste ? — Non. — Alors, écoute, il y a deux petites filles qui voudraient faire des colliers avec ces perles : une voudrait faire le sien avec les perles brunes et l’autre avec les perles en bois. Quel collier serait le plus long ? — Le collier avec les perles brunes serait le plus long, parce qu’il y en a plus. — La petite fille qui prendrait les perles brunes, lesquelles prendrait-elle ? — Celles-là (les brunes). — Et celle qui veut faire son collier avec les perles en bois, lesquelles prendrait-elle ? — Elle prend les blanches. — Pourquoi ? — Parce que l’autre fille a pris les brunes ».

Nous reviendrons sur ces deux cas dans nos conclusions. Voici enfin trois exemples d’enfants qui se sont révélés capables (ou presque), de parvenir à la réponse correcte, au cours d’interrogatoires dont les moments successifs sont intéressants pour l’analyse des difficultés du problème :

Gail (6 ; 0) F : « Si tu fais un collier avec les perles brunes qui sont dans cette boîte ou avec les perles en bois qui sont là, lequel serait le plus long ? — C’est le collier des perles brunes qui sera le plus grand. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de perles brunes. — Y a-t-il plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de perles brunes. Non, plus de perles en bois. Non, c’est la même chose ! » On voit que Gail parvient presque à inclure l’une des classes dans l’autre : ce qui lui manque seulement, c’est de comprendre que la classe en bois a deux termes de plus que la classe brune.

Gon (7 ; 2) : « Si on fait un collier avec toutes les perles en bois ou un collier avec les perles brunes, lequel sera le plus long ? — La même chose. — Dessine-moi le collier avec les perles en bois. — (Gon dessine une série linéaire de perles brunes accolées). — Elles sont toutes brunes, les perles en bois ? — Ah ! Non, il y a deux blanches (il les rajoute). — Et dessine le collier de perles brunes. — (Il les dessine serrées le long d’une ligne). — Lequel est le plus long ? — Les deux la même chose. — Pourquoi ? — C’est les mêmes. — Les colliers sont pareils ? — Il y en a un qui n’a que des brunes, et l’autre a aussi des blanches. — Alors lequel est le plus long ? — La même chose. — Combien y a-t-il de perles brunes ? — À peu près quarante. — Et de blanches ? — Deux. — Alors lequel est le plus long ? — Ah ! Celui en bois. — Pourquoi n’as-tu pas trouvé avant ? — Je croyais que c’était la même chose ».

Tail (7 ; 2) : « Est-ce qu’il y a plus de perles brunes ou de perles en bois dans cette boîte ? — Plus de brunes. — Les blanches sont en bois ? — Oui. — Et les brunes ? — Aussi. — Alors il y a plus de perles en bois ou de perles brunes ? — Plus de perles en bois, [p. 65] parce qu’il y en a deux blanches de plus. — Quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les perles brunes ou celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois ? — Les deux égaux. — Mais les blanches sont en bois ? — Oui. — Alors quel collier serait plus long, celui… en… ? — Ah ! Le plus long sera en bois parce qu’il y a les deux blanches ».

On voit ainsi combien est systématique la difficulté du petit enfant, avant 7-8 ans, pour inclure une classe dans une autre et comprendre que la classe totale est plus grande ou plus nombreuse que la classe incluse. Mais deux sortes d’objections au moins peuvent être faites aux expériences précédentes, la première relative au rôle du langage et la seconde à celui de la perception.

En premier lieu, en effet, une classe logique ne trouve sa définition et sa délimitation que lorsqu’elle est désignée par un mot ou par une combinaison de mots. Grâce au langage tout fait transmis par l’adulte, l’enfant se trouve même, et relativement tôt, en possession d’un système de classes déjà hiérarchisées et incluses les unes dans les autres grâce à leur emploi bien défini et réglé collectivement. C’est ainsi que l’enfant, en apprenant à se servir des mots « moineau », « canard », « poule », etc., ainsi que du mot « oiseau », se trouve contraint d’inclure les classes correspondant aux premiers de ces vocables dans la classe générale des « oiseaux ». Qu’il n’y parvienne pas d’emblée, c’est ce que l’observation et l’expérience montrent clairement et ce qui prouve d’ailleurs la constance des difficultés relatives à l’inclusion ³. Mais, il y parvient tôt ou tard grâce au système des mots eux-mêmes. Dès lors, dans le cas de nos perles, la difficulté semble accrue du fait qu’aucun mot particulier ne désigne la classe générale et les classes spéciales mais seulement des combinaisons de mots (« perles en bois », « perles brunes » et « perles blanches »), dont chacune contient le même terme initial « perle ». Que se passera-t-il donc lorsqu’on fera l’expérience avec des classes comportant chacune un nom spécifique (par exemple des coquelicots et des bluets, rentrant dans la classe « fleurs ») ?

En second lieu, on peut se demander si le fait d’opposer une quarantaine de perles brunes à deux perles blanches seulement ne crée pas une illusion systématique dans l’esprit de l’enfant. Il est clair qu’une telle présentation semble indispensable pour nécessiter [p. 66] le raisonnement, autrement dit pour que la réflexion l’emporte sur une simple lecture des données de la perception. Mais ces données n’empêchent-elles pas peut-être précisément la réflexion, tant elles sont polarisées du point de vue purement perceptif ? Que se passera-t-il donc lorsque l’on variera les proportions ou les qualités perçues ?

Pour répondre à la première objection, nous avons posé les mêmes questions à l’enfant, mais en recourant à des classes logiques désignées chacune par un mot particulier : « coquelicots » + « bluets » = « fleurs », et « garçons » + « filles » = « enfants ». Voici quelques exemples de réponses relatives aux fleurs :

Arl (5 ans) F. : « Tu vois, dans ce pré (dessin représentant 20 coquelicots et 3 bluets), il y a beaucoup ou peu de fleurs ? — Beaucoup. — Comment elles sont ? — Rouges et bleues. — Les rouges sont des coquelicots et les bleues des bluets ? — Oui. — Je veux faire un très gros bouquet. Alors faut-il cueillir les fleurs ou les coquelicots ? — Les coquelicots. — Montre les coquelicots ? — (Montre juste). — Montre les fleurs. — (Elle désigne d’un geste circulaire l’ensemble du dessin). — Alors quel bouquet sera le plus gros, si je prends les fleurs ou les coquelicots ? — Les coquelicots. — Si je cueille les coquelicots, qu’est-ce qui restera ? — Les bleues. — Et si je cueille les bluets, qu’est-ce qui restera ? — Les coquelicots. — Et si je cueille les fleurs, qu’est-ce qui restera ? — (Réflexion) Rien du tout. — Alors quel bouquet sera le plus gros, celui des fleurs ou des coquelicots ? — Mais je t’ai déjà dit. — Réfléchis (on répète la question). — Le bouquet de coquelicots sera plus gros. — Et celui des fleurs ? — Il sera pas la même chose. — Plus gros ou plus petit ? — Plus petit. — Pourquoi ? — Parce qu’on a fait un gros tas de coquelicots ».

Ric (5 ; 11) F. : « Tu vois ces coquelicots et ces deux bluets. Si je prends toutes ces fleurs ou si je prends les coquelicots, quel sera le bouquet le plus grand ? — Le bouquet de coquelicots, parce qu’il y en a plus. — Montre les coquelicots. — (Juste). — Montre les fleurs. — (Montre l’ensemble). — Alors quel sera le bouquet le plus grand, avec toutes les fleurs ou avec les coquelicots ? — Avec les coquelicots ».

Stro (6 ans) nous regarde dessiner quinze boutons d’or et deux bluets : « Qu’est-ce que c’est ? — Des boutons d’or. — Et là ? — Des bluets. — C’est tout des fleurs ? — Oui. — Il y a plus de fleurs ou plus de boutons d’or ? — Plus de boutons d’or. — Pourquoi ? — Il n’y a que deux bluets. — Mais les boutons d’or sont des fleurs ? — Oui. — Alors il y a plus de boutons d’or ou plus de fleurs ? — Plus de boutons d’or ».

Et voici deux exemples de réponses obtenues au moyen de la question des filles et des enfants :

Juil (5 ; 6) nous regarde dessiner douze filles et deux garçons : « Dans cette classe il y a plus de filles ou plus d’enfants. — Plus de filles. — Mais les filles sont des enfants ? — Oui. — Alors plus d’enfants ou plus de filles ? — Plus de filles ».

Bes (6 ; 2) : « Il y a là plus de filles ou plus d’enfants ? — Plus de filles. — Pourquoi ? — Il y a seulement deux garçons. — Mais les filles sont des enfants ? — Oui. — Alors il y a plus de filles ou d’enfants ? — Plus de filles ».

On voit donc qu’en principe ces deux questions donnent lieu à des réponses identiques à celles que provoque le problème des [p. 67] perles. Néanmoins la question des filles et des enfants est nettement plus facile que celle des perles. C’est ainsi que la moitié des enfants de 6 ans que nous avons vus et même une partie de ceux de 5 ans arrivent à la résoudre. Quant au problème des fleurs, il est de difficulté intermédiaire entre les deux autres. Ces résultats sont intéressants et montrent assurément que le fait de désigner les classes totales et partielles par des noms spéciaux aident à les différencier et à les hiérarchiser. Mais, par le fait même que, dans le cas des perles, l’enfant doit construire ces classes sans que le langage l’y contraigne, on peut considérer cette question comme mettant davantage en évidence les difficultés propres à la pensée du sujet interrogé.

Quant à la seconde objection, relative aux facteurs de la perception, nous avons fait trois séries de contre-épreuves pour obvier aux inconvénients de la technique adoptée primitivement. 1. En premier lieu, nous avons présenté aux enfants un jeu de perles dont la classe totale soit définie par la couleur et non plus par la matière, de manière à ce que cette qualité du tout soit plus frappante. Dans ce cas, les classes partielles ont été choisies d’après leur forme (rondes ou carrées). 2. En second lieu, nous avons repris l’expérience des perles brunes et des perles en bois, mais en ne donnant qu’une vingtaine de brunes contre 15 à 17 perles blanches (ou vertes, pour mieux attirer l’attention du sujet). 3. Enfin, lorsqu’il s’est agi de construire fictivement deux colliers, l’un avec la classe totale (les perles bleues ou les perles en bois des séries que nous venons de désigner par 1. et 2.), l’autre avec la classe partielle (les perles carrées de 1. et les perles brunes de 2.), nous avons présenté deux jeux de perles, dans deux boîtes distinctes pour faciliter la dissociation du tout et des parties.

Or, ces nouvelles techniques, tout en facilitant légèrement l’arrivée à la réponse juste (du moins les deux dernières), ont néanmoins donné lieu à des réactions identiques aux précédentes, ce qui montre bien que la difficulté de l’inclusion est en bonne partie indépendante des facteurs de perception.

1. Voici d’abord des exemples de réponses relatives à la classe totale définie par la couleur :

Arl (5 ans) est mis en présence d’une dizaine de petits cônes bleus (des « toits ») et de trois perles rondes également bleues : « Regarde : il y a plus de bleus ou plus de toits ? [p. 68] — Plus de toits. — Les ronds sont comment ? — Bleus. — Et les toits ? — Aussi bleus. — Alors il y a plus de toits ou de bleus ? — De toits. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a beaucoup. — Et de bleus ? — Tout est bleu (!) — Alors il y a plus de bleus ou plus de toits ? — De toits ».

Dur (5 ½) est mis en présence de dix perles carrées bleues et de trois rondes également bleues : « Comment sont ces perles ? — Bleues. — Est-ce qu’elles sont toutes carrées ? — Il y a des rondes et des carrées. — Si je sors les carrées, il en reste ? — Les rondes. — Si je sors les bleues il en reste ? — Il n’en reste plus. — (Montre du doigt l’ensemble total.) — Une petite fille voudrait faire un collier avec les carrées, une autre pense qu’il faudrait faire le collier avec les bleues. Quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les carrées ou celui qu’on ferait avec les bleues ? — Celui des carrées ».

Jea (6 ans) même début d’interrogatoire. « Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les carrées ou celui qu’on ferait avec les bleues ? — Avec les carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de carrées ». Puis Jea dessine les deux colliers, l’un formé de perles carrées seules, l’autre de perles rondes et carrées (une dizaine de carrées pour le premier et huit carrées plus deux rondes pour le second). — « Très bien, alors lequel sera le plus long ? — Le collier des carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus ».

Hub (5 ½). Même début d’interrogatoire : « Une petite fille veut faire un collier avec les perles carrées. Une autre voudrait le faire avec les bleues. — (Hub rit et dit spontanément :) Elles sont toutes bleues ! — Oui. — Alors quel collier serait le plus long ? — Celui des carrées parce qu’il y en a plus ».

On voit ainsi que les réponses sont exactement du même ordre que celles données à propos des perles en bois et des perles brunes.

2. Voici maintenant quelques exemples de réactions aux questions de perles en bois et des brunes, mais en donnant deux parties sensiblement égales :

Tap (5 ½ ans). Même début d’interrogatoire (transvasements, etc.) : « Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les perles brunes (20 perles) ou celui avec les perles en bois (20 brunes plus 18 vertes) ? — Celui avec les brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus ». Nous donnons alors à Tap deux jeux de perles (voir 3.) en deux boîtes séparées contenant chacune 20 brunes et 18 vertes, toutes en bois. « Tu vois la petite fille qui a cette boîte fait son collier avec les perles brunes, celle qui a cette boîte fait son collier avec les perles en bois qui sont dedans. Quel collier serait le plus long ? — Les brunes, parce qu’il y en a plus. — Et le collier des perles en bois aurait quelle couleur ? — Seulement vert ».

Jea (6 ans), etc. : mêmes réponses.

Ros (5 ½ ans), qui n’a pas passé par les autres questions, est mis en présence d’une collection de 20 perles brunes et de 18 perles vertes, à propos de laquelle nous posons nos questions selon le même schéma, mais en appelant le tout « les perles rondes » : « Quelle couleur, celles-ci ? — Brunes. — Et celles-là ? — Vertes. — Et quelle forme ? — Elles sont toutes rondes. — Et si je mets les perles brunes dans ce couvercle, en restera-t-il dans la boîte ? — Oui, les vertes. — Et si je mets les rondes dans le couvercle-là, en restera-t-il dans la boîte ? — Non, elles sont toutes rondes. — Alors si tu fais un collier avec les brunes, et qu’après, quand il est défait, tu fais un autre collier avec les rondes, quel collier sera le plus long ? — Celui avec les brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus ». Je donne alors à Ros deux jeux identiques de vertes et de brunes, en deux [p. 69] boîtes séparées, et je lui dis : « Tu as deux amis à l’école ? — Oui, André et Olivier. — Alors je donne une de ces boîtes à André (je la mets à droite) et l’autre à Olivier (à sa gauche). Elles sont pareilles ? — Oui. — Alors André va prendre dans sa boîte les brunes et faire un collier avec et Olivier, pour faire son collier, va prendre les rondes qui sont dans sa boîte à lui. Lequel de ces deux colliers sera le plus long ? — Celui d’André, parce qu’il prend plus de perles : il y a plus de brunes ».

Enfin nous avons combiné ces proportions avec une question caractérisant le tout par la couleur :

Be (5 ½ ans) reçoit une boîte contenant 10 perles jaunes de grande taille et une quinzaine de perles jaunes de petite taille. Après un début d’interrogatoire identique aux précédents, je demande : « Quel collier sera le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les petites ou le collier avec toutes (!) les jaunes ? — Le collier des petites. — Pourquoi ? — Il y en a plus. — Mais elles sont aussi jaunes ? — Oui. — Alors quel collier serait le plus long ? etc. — Celui des petites ».

On voit ainsi qu’une proportion à peu près égale de la partie considérée et de l’autre ne change rien aux réponses obtenues, même lorsque l’on combine cette condition avec une définition du tout par la couleur ou la forme.

3. Enfin, le fait de donner deux jeux identiques de perles aux enfants facilite légèrement l’arrivée à la réponse juste, puisque le sujet peut simultanément regarder l’un des jeux en se disant qu’il n’en retire que les brunes et l’autre en se disant qu’il l’utilise en entier. Mais cette facilité ne supprime pas toutes les difficultés du problème. On vient déjà de le voir avec Tap et Ros mais voici encore d’autres exemples :

Er (5 ½ ans). Deux jeux de perles bleues contenant chacun 10 carrées et 3 rondes. « Quel collier sera le plus long ? — Celui des carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Elles sont bleues ou pas ? — Oui. — Alors quel collier serait le plus long, celui que A. fera avec les carrées qui sont dans cette boîte, ou celui que M. fera avec les bleues qui sont dans celle-ci ? — Celui avec les carrées ».

Suz (6 ans). Mêmes questions : « C’est le collier des carrées qui sera le plus long. — Il y en a combien ? — Dix. — Et de bleues ? — Trois. — Les carrées sont comment ? — Aussi bleues. — Alors ? — C’est celui des bleues. Elles sont aussi bleues, les carrées. — Alors si J. prend les carrées de cette boîte pour faire son collier et si L. prend les bleues de sa boîte pour faire le sien, quel collier sera le plus long ? — Celui des bleues. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de carrées ».

Il est inutile de multiplier les exemples, qui reviennent tous à ce même type et qui confirment ainsi les réponses obtenues avant ces modifications de la technique interrogatoire.

Les enfants dont nous avons transcrit les réponses ont tous compris la nature des totalités envisagées dans nos problèmes d’inclusion. Ils ont saisi que toutes les perles présentées étaient en bois (ou bleues, etc.) et l’ont montré soit verbalement, soit graphiquement, soit par une opération fictive de transvasement. Verbalement, Bio, Bes, Eug, etc., affirment d’emblée que les perles perçues « sont toutes en bois » ; Stro, qui commence par croire que les perles en bois ne sont qu’au nombre de deux (les deux blanches), reconnaît ensuite que toutes les brunes plus les deux blanches sont en bois, etc. Ces enfants semblent donc bien en possession de la proposition générale qui définit le tout considéré. Graphiquement, d’autre part, ils savent fort bien dessiner les deux colliers formés soit avec l’ensemble des perles, soit avec les deux brunes seules, le premier comportant en plus les deux perles blanches. En troisième lieu, tous les enfants parviennent, sans aucune difficulté, à comprendre que si l’on enlevait de leur boîte toutes les perles en bois pour les mettre dans une boîte vide, il ne resterait aucune perle, tandis que si l’on enlevait les brunes seules il resterait les blanches ! Il est donc impossible de contester que ces sujets ont bien la notion du tout ou de la classe totale dont il s’agit dans nos questions et parviennent bien à la proposition générale définissant cette classe : « Toutes ces perles sont en bois ».

D’autre part, et par cela même, ces enfants savent bien que les perles brunes constituent une partie de ce tout et qu’elles sont à la fois brunes et en bois.

Cependant, dès qu’il s’agit de penser simultanément au tout et à la partie, comme le veut notre question, les difficultés surgissent. Tout se passe comme si l’enfant, en pensant à la partie, oubliait le tout et réciproquement. Ou plutôt, l’enfant, lorsqu’il pense au tout, parvient bien à se représenter les parties non encore dissociées (puisque, par exemple, il dessine correctement le collier correspondant au tout et distingue fort bien dans ce tout une vingtaine de [p. 71] perles brunes et les deux perles blanches), mais, lorsqu’il cherche à dissocier l’une des parties, il n’arrive plus à se rappeler le tout ou à tenir compte de lui et il se borne à comparer la partie dont il s’occupe à la partie restante, c’est-à-dire au résidu du tout primitif : dès qu’il pense aux perles brunes, l’enfant ne les compare, en effet, qu’aux blanches et non plus à l’ensemble des perles de bois. En d’autres termes, les enfants dont nous avons cité les réponses ne parviennent pas à établir une hiérarchie ou une inclusion permanente entre le tout et les parties : dès que le tout est dissocié, même en pensée, les parties cessent d’être incluses en lui mais sont simplement juxtaposées sans synthèse.

C’est donc, en définitive, la relation d’inclusion qui apparaît comme incomprise de nos enfants ou non encore élaborée par eux : les totalités envisagées par eux ne constituent point des classes logiques définies quantitativement, mais des ensembles qualitatifs ou agglomérations syncrétiques, tels qu’il suffise de penser à l’une des parties et de la dissocier à un point de vue particulier pour qu’elle cesse d’être incluse, même aux autres points de vue, dans l’ensemble logique d’où elle est tirée. Ce n’est pas à dire, bien entendu, qu’il n’y ait point de relations entre la partie et le tout. Au contraire, nous avons vu que, dans certains cas, une partie extraite d’un tout reste si attachée dans l’esprit du sujet à cet ensemble primitif qu’elle en hérite certaines qualités (parce que dans ces derniers cas, le reste du tout primitif est relativement important par son volume et sa quantité ⁴, tandis que dans l’exemple que nous discutons actuellement, le reste est formé de deux perles seulement). Ce qu’il faut admettre, c’est que la relation entre la partie et le tout n’est pas pour l’enfant une relation quantitative ni même quantifiable, c’est-à-dire qu’elle n’est une relation ni de fraction ni d’inclusion, mais une relation de simple participation qualitative. L’enfant sait bien que les perles brunes sont aussi en bois et qu’elles font donc partie du même ensemble que les blanches : c’est pourquoi il sait fort bien dessiner le collier en bois en accolant les blanches aux brunes et qu’il peut fort bien dire, d’autre part, que, si l’on enlève de la boîte, toutes les [p. 72] perles en bois, il n’y restera plus rien. Mais, s’il s’agit de concevoir à la fois la classe des perles en bois et la classe des perles brunes, c’est-à-dire de se placer au point de vue quantitatif de l’inclusion de deux classes en leur extension, les difficultés réapparaissent et l’enfant ne peut plus inclure dans la classe « en bois » les éléments qu’il vient de compter dans la classe « brune ». On peut donc dire qu’au point de vue qualitatif le sujet comprend bien qu’une perle puisse être à la fois brune et en bois, mais qu’au point de vue de l’inclusion ou de la classification quantitative, il ne peut compter ou simplement situer ces mêmes perles dans deux ensembles à la fois : si l’on se borne à compter les perles en bois, l’enfant y inclut les brunes, mais si l’on compte d’une part les brunes et d’autre part les perles en bois, l’enfant compte les brunes dans le premier ensemble seulement et non pas dans le second, sans comprendre que le premier rentre lui-même dans le second, comme une partie dans un tout.

Cela dit, il est aisé de voir en quoi ce phénomène est apparenté à ceux qui caractérisent la constitution du nombre. Que l’on pense, par exemple, aux enfants qui, lorsque les perles contenues dans un récipient A sont versées en deux petits récipients B et B’, estiment que les perles ont ainsi augmenté ou diminué de nombre, ou bien que l’on pense aux enfants qui, lorsqu’ils comparent les deux ensembles (7 + 1) et (4 + 4) estiment le premier supérieur au second, quand bien même ils viennent de voir que (7 + 1) résultent d’un simple déplacement des éléments à l’intérieur du tout (4 + 4). Il est facile de voir que la difficulté essentielle pour ces enfants est de comprendre la permanence du tout au travers de ses transformations. La difficulté, autrement dit, est de comprendre que les perles mises en B et en B’ constituent le même tout que lors de leur réunion en A. L’enfant sait bien que les perles de B et de B’, replacées et réunies en A, peuvent redonner le même tout ; seulement, lorsqu’elles ne sont plus en A, ce tout n’existe plus comme tel. De même, l’enfant sait bien que (7 + 1) peuvent redonner (4 + 4), mais les éléments de (7 + 1) ne constituent plus le même tout que lorsqu’ils étaient disposés sous la forme de (4 + 4). Sur ce plan mathématique, qui est celui du fractionnement et non pas de l’inclusion, il se produit donc exactement le même phénomène que sur celui de l’inclusion [p. 73] conceptuelle, que nous examinons maintenant : la partie, un fois séparée du tout, n’est plus définie ni conçue en fonction de ce tout initial, mais seulement en fonction de la situation actuelle et des autres parties qui sont juxtaposées à celle envisagée par le sujet. Dans le cas des relations numériques rappelées à l’instant, comme dans celui de l’inclusion conceptuelle, nous pouvons donc dire que le rapport de partie à tout commence par n’être ni une relation de fraction ni une relation d’inclusion, mais simplement un rapport de participation qualitative : les parties mises en B et en B’ sont bien conçues comme émanant du tout situé primitivement en A, et comme susceptibles peut-être de le reconstituer, mais elles ne sont nullement considérées comme appartenant encore réellement à un tout logiquement indestructible. C’est pourquoi le tout, dans le domaine des nombres comme dans celui des concepts, n’est pas conçu d’emblée comme se conservant invariant, mais change de valeur qualitative au fur et à mesure des déplacements de ses parties.

Par conséquent, de même que, dans le domaine des ensembles numériques, l’enfant de moins de 7 ans n’est pas capable de l’acte de colligation assurant la permanence des totalités et constituant les parties de ces totalités en fractions véritables, de même, dans le domaine des concepts, l’enfant de moins de 7 ans n’apparaît pas apte à cette sorte de colligation qui constitue les classes logiques en extension et qui assure leur permanence en définissant l’inclusion de leurs parties. En d’autres termes, dans les deux cas les totalités ne se conservent pas, et cela faute de cette réunion sui generis des parties en un tout, synthèse en laquelle consiste l’élément de colligation commun aux ensembles numériques et aux classes.

Bien plus, de même ce défaut de synthèse entre le tout et les parties s’accompagne toujours, dans le domaine des ensembles numériques, d’une incoordination des relations en jeu, la coordination de ces relations étant indispensable à la constitution de la colligation elle-même, de même il n’est pas difficile d’apercevoir que, dans le cas des classes logiques que nous considérons ici, le défaut d’inclusion de la partie dans le tout s’accompagne d’une incoordination des relations comparable à toutes celles dont témoigne l’évolution des notions mathématiques avant 6-7 ans. En effet, on a vu que précisément pour [p. 74] concrétiser les données du problème, nous avons transformé pour l’enfant (comme on peut toujours le faire dans la mesure où sont connus les individus ou éléments d’une classe logique quelconque) les jugements d’inclusion (logique des classes) en jugements de relations proprement dits (logique des relations) : relations de « ± nombreux » (y a-t-il plus de perles en bois ou plus de perles brunes ?) de « ± long » (le collier des perles en bois sera-t-il plus ou moins long que celui des perles brunes ?), de déplacement dans l’espace (restera-t-il des perles si je mets toutes les brunes dans cette boîte vide ?) de grosseur (grosseur du bouquet dans la question des fleurs), etc. Or, il est évident que, en exact parallèle avec le défaut d’inclusion, on observe une incoordination de ces relations. Il semblerait même, à lire les réponses obtenues, que les jugements d’inclusion aient été plus corrects que les jugements de relations et que ce soient les considérations de relations qui embrouillent l’enfant. Celui-ci commence, en effet, par déclarer que les perles brunes sont aussi bien en bois que les blanches, et c’est seulement après que l’on ait posé la question du plus ou du moins, ou de la longueur des colliers, etc., que le sujet cesse d’inclure une classe dans l’autre. Mais il est évident qu’une telle interprétation serait trompeuse : l’inclusion apparente du début est simplement liée à la perception immédiate de la situation lorsque le tout initial n’a pas encore été dissocié, mais, dès que l’on cherche à abstraire la partie du tout, au moyen précisément des relations que nous venons d’énumérer, l’enfant ne parvient plus ni à coordonner ces relations ni à inclure la partie dans le tout. Les deux phénomènes du défaut d’inclusion et de l’incoordination des relations sont donc parallèles ou complémentaires. Mais peut-être dira-t-on au contraire que c’est à cause seulement du défaut d’inclusion que les relations établies par l’enfant ne sont pas correctes : ce serait parce qu’il ne comprend pas que les perles brunes font partie des perles en bois qu’il croirait que les premières sont plus nombreuses que les secondes, que le collier fabriqué avec les brunes serait plus long que l’autre, etc. Rien n’est plus exact, mais on peut aussi bien renverser les termes et dire que c’est dans la mesure où l’on fait intervenir les relations de nombre (y a-t-il plus de brunes ou de perles en bois), de longueur et de déplacement combinés, etc., [p. 75] que l’enfant n’inclut plus. Il y a donc là simplement les deux faces d’une même réalité.

Étant donc admis que l’incoordination des relations est parallèle au défaut d’inclusion, comme elle l’est aussi au défaut de colligation numérique, comment expliquer les nouveaux phénomènes énumérés dans cette étude ?

Une première approximation consistera évidemment à dire, dans ce cas aussi bien que dans celui des réalités numériques, que le défaut d’inclusion tient à une incapacité de synthèse, de synthèse des parties en une totalité stable et de synthèse des relations en jeu. Il est clair que c’est dans la mesure où l’enfant n’arrive pas à penser simultanément à la condition « bois » et à la condition « brunes » (ou aux conditions « bleues » et « carrées », etc.) qu’il n’arrive pas à dire qu’il y a plus de perles en bois que de perles brunes. Tant qu’il pense à la totalité des perles, il sait qu’elles sont toutes en bois, les brunes aussi bien que les blanches, mais c’est parce qu’à ce moment-là, il néglige les couleurs. Dès qu’on lui demande par contre de penser à la classe des perles brunes, il oublie qu’elles sont en bois, et ne peut dès lors plus attribuer à la classe des perles en bois que les deux perles blanches restantes. Dès que l’enfant arrive, comme Gon et Tail, à penser simultanément aux deux conditions, il résout à la fois le problème d’inclusion et le problème des relations de nombre et de longueur. Selon cette solution, l’inclusion de la partie dans le tout exigerait donc un acte de synthèse n’apparaissant qu’à un certain niveau psychologique, en dessous duquel l’enfant parviendrait bien à concevoir certaines totalités, mais dans la mesure seulement où les parties ne sont pas dissociées analytiquement, et où il arriverait également à concevoir les parties, mais en oubliant le tout. Ce défaut de synthèse expliquerait également la difficulté de l’enfant à coordonner les relations en un système cohérent, celui-ci étant nécessaire à la colligation d’ensemble qui assure à la fois la permanence des totalités et l’inclusion des parties.

Seulement, si évidente que soit cette explication, elle ne peut consister qu’en une première approximation : elle ne satisfait, en effet, que peu l’esprit et cela dans la mesure où elle demeure statique. Pourquoi la synthèse commence-t-elle par ne point se produire, [p. 76] pour s’opérer ensuite à un niveau donné du développement, et pourquoi ce niveau n’est-il pas plus précoce ou plus élevé ? Ce sont là des questions qui demeurent sans réponse si l’on se borne à invoquer la notion de synthèse comme seul facteur explicatif. Certes, c’est un résultat important que de pouvoir mettre en parallèle les présents phénomènes, relatifs aux classes logiques et à la colligation conceptuelle avec les résultats précédemment établis relatifs aux relations quantitatives et la colligation numérique. Mais le problème n’est ainsi que reculé.

Une seconde approximation consisterait à dépasser la notion statique de synthèse par la notion dynamique de réversibilité : on peut dire, de ce deuxième point de vue, que la synthèse du tout et des parties ou la coordination des relations ne sont possibles qu’en fonction de constructions intellectuelles réversibles opérées par l’enfant et que c’est dans la mesure où ses constructions mentales demeurent irréversibles que la coordination des relations, l’inclusion et la colligation lui sont impossibles.

Partons à cet égard des observations particulièrement claires de Laur (5 ; 5) et de Sout (6 ; 10). Laur, par exemple, commence par poser, avec toute la netteté désirable, que si l’on enlève les perles brunes de la boîte il restera les deux blanches et que si l’on enlève les perles en bois, il ne restera rien « parce qu’elles sont toutes en bois ». Il va même plus loin et, à propos du collier des perles en bois, il demande spontanément s’il faut « prendre seulement les blanches » puis, comme on lui répond que non, il ajoute « aussi les brunes »… « parce qu’elles sont aussi en bois ». Rien d’obscur ne semble donc subsister dans son esprit. Cependant, lorsqu’on lui demande lequel des deux colliers sera le plus long, de celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois, ou de celui que l’on pourrait faire avec les perles brunes, Laur répond, à notre grand étonnement « les brunes… parce qu’il y en a plus ». Nous le prions de montrer les perles correspondant à ces deux colliers possibles. C’est alors que surgit la première difficulté véritable rencontrée par cet enfant : il montre bien les brunes pour ce qui est du premier collier, mais, pour ce qui est du collier des perles en bois, il montre seulement les blanches « parce qu’il n’y en a pas d’autres », autrement dit parce que les brunes sont déjà mobilisées par la confection [p. 77] mentale du collier fait avec elles ! De même Sout, qui semble comprendre comme Laur les données du problème prétend que le collier des perles en bois ne peut être fabriqué par l’une des petites filles de l’histoire qu’au moyen des perles blanches « parce que l’autre fille a pris les perles brunes » ! On voit en quoi consiste l’obstacle pour ces enfants : ils arrivent bien à se représenter par une expérience mentale comment on tire de l’ensemble des perles les brunes seules pour en faire un collier, mais, lorsqu’il s’agit de construire mentalement un nouveau collier avec l’ensemble des perles en bois, ils considèrent que les brunes, déjà utilisées par hypothèse pour le premier collier, ne sont plus disponibles et que seules restent les deux blanches ! Or, il est évident que, pour nous, cette difficulté n’existe en aucune manière et que le propre de la déduction par opposition à l’expérience matérielle est précisément de pouvoir construire toutes les combinaisons possibles en revenant chaque fois au point de départ et en les comparant ensuite comme si elles étaient présentes simultanément devant l’esprit. De ce que je construis par hypothèse un collier de perles brunes, rien ne m’empêche d’employer mentalement ces mêmes perles brunes dans un autre collier que je fabrique hypothétiquement avec l’ensemble des perles en bois : au contraire, tout se passe comme si l’enfant attribuait à ses expériences mentales un caractère réel et comme si, ayant construit l’un des colliers mentalement il ne pouvait en construire hypothétiquement un autre avec les mêmes matériaux. Là où la mobilité et la réversibilité possible de la construction nous permettent de décomposer et de recomposer à volonté les ensembles de manière à dégager leurs diverses implications, inclusions et relations en général, l’irréversibilité de la pensée et de la représentation de l’enfant l’empêche d’acquérir le pouvoir de décomposition nécessaire à l’analyse et à la synthèse combinées, donc à la compréhension des inclusions et des relations.

Or, il est facile de constater que les autres observations peuvent également s’expliquer de cette même manière. L’enfant parvient bien à dessiner correctement les colliers, parce qu’il n’a pas besoin de penser à l’un quand il dessine l’autre. Mais dès qu’il s’agit de les construire hypothétiquement tous deux à la fois, la construction de celui des perles brunes exclut l’emploi de ces mêmes perles brunes [p. 78] pour celui des perles en bois. Si le dessin des colliers est correct tandis que leur construction mentale ne l’est pas, c’est donc que le dessin les représente à tour de rôle et les juxtapose simplement, ce qui n’implique aucune réversibilité interne des opérations, tandis que leur fabrication simultanée suppose au contraire l’emploi des mêmes éléments pour deux constructions et par conséquent la réversibilité de celles-ci ⁵. De même, l’enfant sait bien dissocier l’ensemble des perles pour déplacer hypothétiquement les brunes dans une boîte vide puis, ensuite, les perles en bois dans une autre boîte vide : dans ce cas également l’enfant, après avoir pensé aux brunes seules peut penser à l’ensemble des perles en bois en laissant de côté la question des couleurs. Il n’y a donc pas là de réversibilité spontanée de la pensée, mais simplement juxtaposition de deux réflexions successives sans lien logique entre elles, c’est-à-dire sans opérations qui les relient l’une à l’autre : c’est pourquoi, dès qu’il s’agit à nouveau de construire mentalement les deux colliers à la fois, les enfants qui ont répondu correctement aux questions précédentes (déplacement fictif dans les boîtes vides) retombent dans l’erreur parce que, après avoir construit hypothétiquement le collier brun, ils ne peuvent plus se libérer de cette construction irréversible pour construire hypothétiquement le collier des perles en bois en employant les mêmes matériaux ! — Au contraire, des exemples comme ceux de Gail, de Gon et de Tail, qui parviennent, ou presque, à la réponse juste, nous montrent que d’emblée ils parviennent à construire simultanément le collier de perles brunes et celui des perles en bois avec les mêmes matériaux, puisqu’ils commencent par considérer ces colliers comme de longueur égale : c’est donc que l’une de ces constructions n’empêche pas leur pensée de revenir en arrière pour en recommencer une autre. Aussi bien cette réversibilité naissante leur permet-elle tôt ou tard de découvrir l’inclusion exacte. Gail n’y parvient pas entièrement, Gon réussit lorsqu’au calcul des classes logiques il ajoute celui des nombres et Tail par intuition directe des rapports d’inclusion.

Mais il faut, avant de poursuivre, prévenir une objection possible. [p. 79] Il se pourrait que les difficultés à construire mentalement deux colliers simultanés ne soient pas dues, comme nous venons de le supposer, à l’irréversibilité de la pensée de l’enfant, mais simplement à une incompréhension verbale de la consigne : les sujets ne comprennent peut-être pas que les constructions des deux colliers sont des essais successifs à comparer après coup et ils croient peut-être qu’il va s’agir de fabriquer effectivement deux colliers avec les mêmes matériaux. Mais, c’est précisément pour répondre à cette objection que nous avons fini par nous servir de deux jeux de perles, déposés en deux boîtes distinctes dont l’enfant comprend bien que l’un pourrait servir à construire le collier de perles brunes et l’autre celui de perles en bois. Or nous avons vu que cette technique ne change rien aux résultats : preuve en soit que la difficulté tient bien à l’irréversibilité interne des opérations (l’une des constructions mentales excluant la possibilité de l’autre) et non pas à des questions verbales.

Mais on peut se demander si la notion de réversibilité ajoute quelque chose à celle de synthèse ou de coordination. Si l’enfant qui construit mentalement un ensemble (ou un collier) de perles brunes ne parvient pas ensuite à employer les éléments de cet ensemble pour construire le nouvel ensemble des perles en bois (comprenant les mêmes perles brunes plus deux blanches), n’est-ce pas précisément parce qu’il ne peut pas penser aux conditions « brun » et « en bois » à la fois, le défaut de synthèse expliquant ainsi à lui seul l’irréversibilité ? Ou, plus simplement, ne pourrait-on pas dire que les deux phénomènes vont nécessairement de pair ? Qu’ils soient corrélatifs, nous n’en doutons pas, puisque le défaut de synthèse signifie que l’enfant ne peut penser à toutes les données à la fois et que le défaut de réversibilité exprime son incapacité à exécuter toutes les opérations à la fois, ce qui revient au même. Mais le grand avantage de la notion de réversibilité sur celle de la simple synthèse est d’être dynamique et d’insister sur les opérations ou les constructions et non pas seulement sur les dimensions du champ de la conscience ou de l’attention. Il y a irréversibilité lorsqu’une opération, une fois exécutée, empêche l’opération suivante de se faire ou s’annule lorsque la nouvelle est exécutée, tandis qu’il y a réversibilité lorsque la première laisse le champ libre à la seconde et peut ensuite être comparée à elle : la réversibilité est donc source de [p. 80] synthèse, comme le libre jeu des mouvements est source d’équilibre, ou, si l’on préfère, la synthèse n’est que le résultat statique du dynamisme des opérations réversibles.

En effet, on se ferait de la pensée logique réelle et vivante une image bien fausse si l’on se bornait à la traduire dans le schématisme statique des classes en extension et des inclusions syllogistiques. Tout raisonnement est construction de relations et il existe autant de raisonnements divers que de types de relations. Les relations numériques ou spatiales donnent lieu directement à des raisonnements arithmétiques ou géométriques sans passer par le syllogisme des classes. Les raisonnements explicatifs combinent des relations de légalité et de causalité, etc. Sans doute, chaque domaine de relations peut-il donner lieu à des classifications. Aussi bien tout raisonnement ou plutôt tout système de raisonnements fondés sur n’importe quel type de relations comporte-t-il un arrière-fond d’inclusions et de classifications latentes qui s’actualisent en cas de besoin. Mais ce n’est que dans le cas des raisonnements portant explicitement sur des relations de classifications et ainsi construits dans une intention classificatoire proprement dite que le jeu des classes en extension et des inclusions intervient en toute clarté, comme précisément dans les raisonnements nécessités par les problèmes considérés ici. Or, dans ces cas-là, la pensée ne se présente nullement comme un emboîtement statique d’éléments, mais bien comme un système d’opérations actives de groupements et de dissociations, bref comme une construction véritable et continue. De même qu’un raisonnement arithmétique, algébrique ou géométrique consiste à combiner des objets (nombres, symboles ou figures) au moyen d’opérations de calcul ou de construction spatiale, de même un raisonnement classificatoire consiste à combiner les objets au moyen des opérations du calcul des classes (addition et multiplication logiques, etc.) et à grouper ainsi les objets et les classes en systèmes hiérarchiques ou à les dissocier les unes des autres. C’est ainsi que, dans notre problème, penser à la fois aux perles brunes et aux perles en bois revient, pour l’enfant, à grouper des objets puis à les dissocier pour reconstruire un autre groupement, chaque élément entrant à la fois dans l’une et l’autre construction. De même, coordonner les relations de grandeur, longueur, etc., consiste à [p. 81] construire une série réelle (le collier brun), puis à la défaire pour en reconstruire une autre avec deux éléments en plus.

Il est donc évident, si tel est le caractère actif et opératoire de la pensée classificatoire, que d’attribuer les difficultés d’inclusion simplement au fait de ne pouvoir penser à deux ou plusieurs données à la fois, c’est ne décrire que la surface des choses, c’est-à-dire se borner à noter dans le champ de la conscience les affleurements des opérations sous-jacentes : la vérité profonde, c’est le défaut de la mobilité nécessaire pour conduire les opérations, pour les combiner et les dissocier, pour construire et reconstruire simultanément. C’est donc en termes de réversibilité qu’il convient de décrire les difficultés de synthèse, ce qui revient simplement, si l’on peut dire, à ajouter une troisième dimension à une image en plan ou à mettre en mouvement les termes statiques de la description.

L’hypothèse, au point de vue psychologique, présente en outre cet intérêt d’être en liaison avec un grand nombre de particularités de la pensée propre à la petite enfance. C’est ainsi qu’avant 6-7 ans l’enfant ne parvient pas à faire d’hypothèses proprement dites, mais leur attribue d’emblée trop de réalité pour pouvoir ensuite les écarter, c’est-à-dire revenir au point de départ (réversibilité) et repartir à nouveaux frais. Lorsque, par exemple, on présente à l’enfant des images à classer en un récit ordonné chronologiquement, son premier classement, même reconnu ensuite faux par un acte spontané de correction, influencera les classements et récits ultérieurs ⁶ : faute de réversibilité dans la pensée, le premier essai n’a pas la valeur d’une simple hypothèse, mais bien d’un début de construction irréversible. De même, faute de réversibilité, l’enfant ne parvient pas à raisonner sur des assomptions, mais seulement sur des données réelles, d’où une incapacité systématique à la pensée formelle et à la déduction pure ⁷.

Mais la notion de réversibilité n’a pas qu’une valeur de simple description : elle nous paraît plonger très avant dans la nature psychologique des structures logiques elles-mêmes. Nous touchons même ici, nous semble-t-il, au problème central de la conservation [p. 82] des totalités et de la colligation, tant numérique que conceptuelle. Tant qu’il n’est pas capable de la synthèse du tout et des parties ou de la synthèse des relations qui, par leur coordination, définissent les totalités, l’enfant n’attribue de permanence ni aux ensembles quantitatifs continus ou discontinus, ni aux classes logiques en tant que totalités, une fois les parties dissociées les unes des autres, ne fût-ce que mentalement. Or, partout où la pensée scientifique a élaboré des principes de conservation, on peut considérer ces permanences comme le produit de « groupes » de transformation et les données mêmes qui se conservent comme constituant des « invariants de groupes ». Comme, d’autre part, la notion de groupe apparaît comme relativement primitive dans le comportant spatial de l’enfant et comme constitutive du premier des principes de conservation, celui de la conservation des objets eux-mêmes ⁸, on peut se demander si elle ne rendrait pas compte également de la conservation des totalités numériques et conceptuelles. Or, la notion de groupe se distingue précisément des notions ordinaires de synthèse et de coordination en ce qu’elle constitue un faisceau d’opérations à la fois interdépendantes et réversibles. Forme un groupe tout système d’opérations susceptibles de se composer entre elles en donnant comme produit une opération de l’ensemble lui-même, susceptibles par conséquent de revenir au point de départ, et comprenant donc nécessairement l’opération identique et les opérations inverses : le groupe est ainsi l’expression logique de la réversibilité.

Or, il suffit précisément de traduire les relations statiques d’inclusion en un système d’opérations d’additions et de soustractions de classes pour constituer un « groupe » qui est celui même des transformations exigées par tout problème analogue à ceux que nous analysons ici ⁹. En effet, pour saisir le rapport qui existe entre une [p. 83] totalité et les classes qui y sont incluses, il ne suffit pas d’additionner les secondes pour constituer la première, il faut encore pouvoir soustraire du tout n’importe quelle partie et comprendre que le reste est égal au tout moins la partie dissociée. Ce sont ces opérations réciproques de synthèse et de dissociation, ou, si l’on veut, d’addition et de soustraction logiques qui constituent le groupe des relations d’inclusion et qui permettent d’assurer l’invariance des totalités, aussi bien conceptuelles que numériques. Or la constitution d’un tel groupe suppose la réversibilité des opérations et c’est pourquoi l’explication du défaut de synthèse par l’irréversibilité de la pensée nous paraît s’appliquer aussi bien aux difficultés d’inclusion et de conservation des totalités conceptuelles qu’aux difficultés de conservation des quantités.

De plus, cette irréversibilité des opérations exécutées par l’enfant, dans le cas particulier des difficultés d’inclusion qu’elle explique précisément, projette une certaine lumière sur la nature du raisonnement propre à la petite enfance, du moins sous ses espèces de raisonnement classificatoire. En effet, dans la mesure où l’enfant ne parvient pas à inclure une classe dans une autre, ni à considérer comme constante la valeur des totalités en jeu, il est évident qu’il ne saura [p. 84] raisonner au moyen de ce mécanisme d’inclusions hiérarchiques que constitue nécessairement la déduction, mais seulement au moyen de fusions plus ou moins complètes de schèmes sans généralité vraie et sans nécessité formelle. Or, d’où vient ce manque de nécessité ? Précisément du fait que les opérations reliant ces schèmes les uns aux autres ne sont pas réversibles mais consistent en simples expériences mentales, c’est-à-dire non pas en constructions hypothético-déductives mais en l’équivalent d’opérations matérielles se déroulant dans le temps et dont chacune bouche ou même annule les précédentes.

Il reste à indiquer les raisons de cette irréversibilité de la pensée du petit enfant et du fait que ce caractère initial ne cède le pas qu’une fois atteint un certain niveau du développement. C’est à propos de ces questions, en effet, que l’on saisit l’avantage de la notion de réversibilité comparée aux concepts trop simples de synthèse ou de coordination.

L’effort permanent de la pensée, dès le plan de l’intelligence sensori-motrice sur lequel s’élaborent les premiers schèmes mentaux, est caractérisé par un processus continu d’assimilation, c’est-à-dire d’intégration du divers dans les schèmes conceptuels et de généralisation logique. Mais, si les schèmes assimilateurs sont facteurs d’unification et de totalisation, l’expérience les contraint sans cesse à une accommodation aux diversités et aux variations du réel. D’où la différenciation progressive des schèmes, non pas celle qui résulte de façon interne de leur assimilation réciproque et des combinaisons multiples qui en découlent, mais celle qu’impose de l’extérieur la résistance des choses. Dès lors, dans la mesure où l’assimilation et l’accommodation ne sont point complémentaires (et il est donc évident qu’elles ne peuvent l’être au début de l’évolution mentale ni avant un laborieux ajustement mutuel), l’assimilation, sur le plan de la pensée ne demeure que fusion syncrétique et l’accommodation que source de variations juxtaposées : d’où une double raison d’irréversibilité, les fusions assimilatrices restant commandées par le cours de l’activité du sujet et les différenciations dues à l’accommodation étant imposées par le cours de l’expérience externe. C’est pourquoi les raisonnements primitifs de l’enfant sont à la fois trop et trop peu généralisateurs, oscillant entre la pseudo-généralité du [p. 85] syncrétisme et une juxtaposition de propositions contradictoires. Au contraire, l’accord progressif de l’assimilation et de l’accommodation, c’est-à-dire donc de l’activité de la pensée et de l’expérience, aboutit à l’élaboration d’un schématisme qui domine aussi bien le courant de la conscience que celui de l’expérience en structurant les jugements au moyen d’un jeu toujours plus complexe de relations et d’inclusions susceptibles à la fois de généralisations et de dissociations réciproques.