Première partie
La pensée mathématique🔗
La possibilité d’une science mathématique à la fois rigoureusement déductive et s’adaptant exactement à l’expérience a constitué de tout temps le problème central de l’épistémologie. La question est plus troublante encore du point de vue génétique.
D’une part, en effet, les mathématiques s’accordent avec la réalité physique de la manière la plus détaillée. Il n’arrive jamais au physicien, quelques multiples et diverses que soient les structures ou les relations qu’il découvre dans le monde matériel, d’en trouver une qui ne puisse être exprimée avec précision dans le langage mathématique, comme s’il y avait harmonie préétablie entre tous les aspects de l’univers physique et les cadres abstraits de la géométrie et de l’analyse. Mais il y a bien plus encore : il arrive que cet accord se réalise non pas seulement au moment de la découverte d’une loi physique ou après coup, mais que les schémas mathématiques anticipent, à des années de distance, sur le contenu expérimental qui viendra s’insérer en eux. Les formes géométriques et analytiques peuvent, cela va de soi, être élaborées sans aucun souci de la réalité. Cependant, dans la mesure où elles sont déductivement cohérentes, on est assuré, non seulement que l’expérience ne les mettra jamais en défaut, mais encore, et c’est là le point paradoxal, que l’expérience les remplira en partie tôt ou tard et s’adaptera exactement à elles. L’exemple le plus beau de cette insertion du réel dans les cadres préparés par la déduction mathématique est sans doute celui de la géométrie riemanienne. Voilà une construction libre et audacieuse, poursuivie en marge de la géométrie classique, contredisant même ce fameux postulat d’Euclide que, à défaut de démonstration, l’on considérait comme imposé par l’observation directe. Voilà donc le type de ces libres créations de l’esprit mathématique insouciant du réel. Or, plus d’un demi-siècle après ce défi à la réalité physique, il se trouve que la physique elle-même en vient à considérer la géométrie riemanienne comme plus apte à rendre compte des phénomènes gravifiques que la géométrie euclidienne : la théorie de la relativité utilise sans plus le cadre ainsi préparé et l’expérience donne raison à ce coup de génie. Autre exemple, lié à la même période de renouvellement de la physique : en 1900, Ricci et Lévi-Civita, désireux de dégager la forme des équations différentielles indépendamment des systèmes de coordonnées, fondent un « calcul différentiel absolu » ; or ce schéma, pur travail de luxe de mathématiciens épris de rigueur, devient quelques années plus tard l’instrument essentiel dont se sert A. Einstein, car, sans le calcul tensoriel, la relativité eût été privée de sa technique spécifique. Un exemple classique des mêmes anticipations, est celui des nombres « imaginaires » : nés d’une simple généralisation des opérations arithmétiques (leur nom seul suffit à indiquer l’« intention du législateur » à leur endroit !) ils ont cependant joué un rôle de plus en plus important en géométrie, en mécanique et dans la théorie des variables complexes, par conséquent dans toute l’analyse avec ses applications innombrables. Il serait enfin facile d’accumuler les exemples dans le domaine de la microphysique actuelle, qui emploie les schémas mathématiques préexistants les plus divers, depuis le calcul des matrices (où l’on retrouve le rôle des imaginaires) jusqu’aux « espaces abstraits », dont la prise de contact avec le réel expérimental constitue peut-être l’un des plus curieux paradoxes de la recherche contemporaine.
Or, tout en correspondant ainsi toujours à quelque secteur de la réalité physique, les mathématiques la dépassent sans cesse par leurs généralisations. Et surtout elles ne se fondent plus aucunement, à partir d’un certain degré de leur développement, sur l’expérience elle-même. Sans doute, au point de départ, l’enfant a-t-il besoin d’un contrôle empirique pour être certain que 1 + 4 = 2 + 3, de même que les Égyptiens découvraient, par la mesure, les linéaments de la géométrie euclidienne. Mais, à partir de 11 à 12 ans chez l’enfant et à partir des Grecs dans l’histoire, la rigueur de la déduction mathématique s’est élevée au-dessus de la constatation expérimentale. L’expérience peut être occasion à des problèmes nouveaux, et elle l’est effectivement sans cesse, orientant ainsi parfois le mathématicien dans des directions où ses intérêts ne l’auraient porté d’emblée. Mais jamais les mathématiciens n’invoquent l’expérience à la manière de la physique, comme un critère de vérité. Une proposition mathématique est vraie dans la mesure où elle est rationnellement démontrée, et non pas dans la mesure où elle s’accorde avec la réalité extérieure : là-dessus, tout le monde est du même avis.
Comment donc expliquer ce pouvoir mystérieux d’opérations, qui semblent être nées d’actions portant sur l’expérience la plus proche mais qui, en se coordonnant les unes aux autres, s’éloignent de la réalité empirique d’un mouvement sans cesse accéléré jusqu’à pouvoir la dominer, la devancer et même se désintéresser superbement des confirmations qu’elle leur offre sur les terrains limités de l’actuel et du fini ? D’un côté, en effet, les mathématiques élémentaires paraissent résulter d’actions parmi les autres : déplacements, réunions ou dissociations, superpositions, correspondances. Au contraire, le règne des mathématiques supérieures constitue un monde de transformations opératoires débordant de toute part les frontières de l’expérience réelle ou effectivement réalisable. Au début, par conséquent, l’univers réel paraît infiniment plus riche que celui des opérations naissantes, tandis qu’au cours du développement les positions sont renversées et ce sont les opérations déductives qui dépassent les transformations réellement observables.
D’où les deux problèmes fondamentaux que soulève le développement des opérations mathématiques. Le premier est donc celui de l’accord permanent des opérations déductives et de la réalité physique : ces opérations étant à leur source des actions qui réussissent, l’accord semble alors ne point faire de mystère (apparence à discuter d’ailleurs de plus près) ; mais les mêmes opérations devenant, à leur terme, des actions symboliques, intérieures et plus riches que les transformations expérimentales comment s’accordent-elles encore avec ces dernières ? Or, ce premier problème en implique un second : celui de la fécondité du raisonnement mathématique. Dans la mesure, en effet, où le monde des constructions géométriques et analytiques dépasse le monde réel, tout en lui correspondant dans une partie commune, il s’agit de comprendre, non pas seulement cette correspondance, mais encore ce dépassement. De ce point de vue, le raisonnement mathématique apparaît comme une sorte de création (sauf naturellement à admettre d’autres solutions, telles que platoniciennes, etc., si l’étude du développement conduisait à ce résultat). Partant de quelques axiomes aussi peu nombreux et aussi pauvres que possibles de contenu, et de quelques définitions, le mathématicien élabore, au moyen d’opérations constructives, cet univers immense de relations que constituent les êtres dits abstraits. Le raisonnement mathématique semble donc constructif, que cette apparence se révèle fausse ou exacte au cours de l’analyse génétique : alors qu’en tous les autres domaines de la science, la déduction pure n’engendre que chimères, et que le progrès des connaissances suppose un appel continu à l’observation et à l’expérience, la déduction mathématique est au contraire, indéfiniment productive. Comment expliquer cette construction elle-même, qu’elle s’avère logiquement réelle ou ne corresponde qu’à une illusion psychologique ?
Ce sont ces deux problèmes classiques que nous aimerions examiner en cette première partie, mais exclusivement sous l’angle génétique et historico-critique. Notons, en effet, qu’indépendamment de toute philosophie et du fait que ces grandes questions ont inspiré les épistémologies métaphysiques de Platon à Descartes et de Kant à Husserl, les deux problèmes de l’accord des mathématiques avec l’expérience et de la construction des opérations mathématiques s’imposent à l’épistémologie génétique, même la plus restreinte, parce qu’ils s’imposent déjà à la psychologie de l’intelligence et jusqu’à la physiologie de la perception. On ne saurait comprendre ni le développement de l’intelligence chez l’enfant ni l’organisation des structures perceptives sans prendre position à l’égard de la formation du nombre et de l’espace. Or l’analyse de cette formation conduit nécessairement, soit à situer le nombre et l’espace dans les choses elles-mêmes, où les retrouverait la perception et d’où les extrairait l’intelligence, soit à chercher leur secret dans un certain rapport entre les choses et l’action, ou dans la structure du sujet pensant et percevant. Dans tous ces cas, le problème de l’accord des mathématiques et du réel est ainsi posé, et il serait aussi imprudent de le résoudre sur le terrain de l’opération, naissante, sans regarder d’un peu près ce que deviennent les opérations une fois constituées, que de se borner à cet examen des paliers supérieurs sans s’occuper du point de départ.