Chapitre premier.
La construction opératoire du nombre ^a 🔗

On sait que Kronecker et Helmholtz ont attaché leurs grands noms à une interprétation psychologique du nombre. En particulier Helmholtz, en ses multiples qualités de physiologiste et de psychologue des perceptions, d’une part, de physicien et de mathématicien, d’autre part, n’a pas hésité à soutenir que la construction du nombre pur (par opposition aux nombres appliqués à la mesure) repose sur des « réalités purement psychologiques ». Nous reviendrons au § 2 sur sa conception du nombre ordinal fondé sur la succession des états de conscience. Insistant davantage sur l’expérience externe que sur l’expérience intérieure, Mach et Rignano ont, d’autre part, interprété la formation du nombre en fonction d’une expérimentation appliquée mentalement à la réalité. L’« expérience mentale », nous dit Mach ¹, consiste à « imaginer » par la pensée « la variation des faits » (p. 200). On peut donc presque dire, avec son traducteur, qu’elle est l’« imitation mentale d’un fait » (p. 3). Du moins, « c’est la nature de l’expérience antérieurement acquise qui fait le succès d’une expérimentation mentale » (p. 206). Dès lors, si le concept de nombre se construit grâce aux expériences réelles de réunion et de distinction, d’arrangements et de correspondance (p. 317), il suffira ensuite d’évoquer par expérience mentale les collections de divers ordres ainsi formées et de les manipuler en imagination pour engendrer les opérations de l’arithmétique. Le calcul n’est lui-même qu’un prolongement, par la pensée, du dénombrement effectif, un [p. 59] « moyen indirect de compter » (p. 320). Cette explication des opérations mathématiques par l’expérience mentale a été reprise et longuement développée par E. Rignano ², puis par le psychiatre Ph. Chaslin ³. Le raisonnement, dit ainsi E. Rignano, « n’est pas autre chose qu’une suite d’opérations ou d’expériences pensées », ce qui semble souligner davantage l’aspect d’activité propre à la construction opératoire, mais tout l’accent ensuite est mis à nouveau sur l’expérience antérieure des choses elles-mêmes, ravivée par le souvenir et contrôlée par la simple attention. Seul Chaslin semble s’orienter vers l’interprétation proprement opératoire, en caractérisant les propriétés de l’objet arithmétique par les opérations que l’on peut effectuer sur lui.

Il n’est donc pas inutile d’aborder l’examen de la genèse du nombre par la discussion de cette notion d’expérience mentale, de manière à dissiper l’équivoque fondamentale qui s’est attachée à son interprétation. Du point de vue de la description même des faits, il n’y a rien à objecter à l’emploi d’un tel concept : il exprime au contraire fort bien cette observation générale que toute expérience matériellement exécutée est susceptible de s’intérioriser ensuite en une expérience imaginée, et ce qui est plus important encore, que toute pensée, si abstraite soit-elle, repose sur une telle mentalisation d’actions et d’expériences possibles. Mais cette constatation psychologique ne conduit pas nécessairement à l’empirisme épistémologique, pas plus (ni moins) que la constatation du rôle historique de l’expérience dans le développement des sciences n’y aboutit de son côté : en effet de même qu’il faut se demander, en chaque domaine délimité, en quoi consiste l’expérience, et quelles sont, dans sa constitution, les parts respectives de l’activité du sujet et des données objectives elles-mêmes, de même toute « expérience mentale » soulève l’ensemble des problèmes épistémologiques au lieu de les résoudre par sa seule existence.

De ce point de vue, une première distinction s’impose. Épistémologiquement, certaines expériences mentales (I) consistent simplement à imaginer une réalité extérieure au sujet, comme lorsque Galilée cherchait à se représenter l’accroissement des vitesses avant toute expérimentation effective ⁴. D’autres expériences [p. 60] mentales (II) reviennent au contraire à imaginer, non pas simplement « les variations des faits » comme dit Mach, mais les actions comme telles du sujet faisant varier les faits ce qui n’est pas la même chose. Dans le cas de l’action du sujet, en effet, peu importe que la transformation ait lieu matériellement ou « en pensée » : il s’agit toujours d’une activité inhérente au sujet ; inversement, dans le cas des modifications des choses elles-mêmes, il s’agit d’une variation extérieure, même imaginée intérieurement. Que l’addition 1 + 1 = 2 soit effectuée au moyen d’actions matérielles ou symboliquement, avec intervention d’objets physiques ou de façon tout « abstraite », le fait essentiel est que le sujet réunisse deux unités, c’est-à-dire qu’il agisse : même si cette action est extérieure, elle est déterminée par un mécanisme interne propre à l’activité du sujet. C’est donc jouer sur les mots que de confondre les « variations des faits » extérieurs représentés intérieurement et l’imagination d’actions possibles qui, déjà sous leur forme extérieure, manifestent l’activité intérieure du sujet. Or, Mach et Rignano passent sans cesse de l’un de ces sens à l’autre, et c’est ce qui leur permet de conclure sans plus de l’existence psychologique des expériences mentales à l’empirisme épistémologique.

Une seconde distinction intervient ensuite, d’un point de vue surtout psychologique, mais qui a son importance épistémologique. On pourrait objecter à ce qui précède qu’en agissant sur le réel le sujet se borne à y insérer une variation parmi les autres, dont il lira les résultats du dehors (même s’il les imagine par « constatation mentale ») : ce serait alors 1a justification de l’hypothèse empiriste. Or la distinction que nous allons proposer maintenant semble au premier abord conduire à cette conclusion. Dans le cas où l’« expérience mentale » revient à imaginer les actions mêmes du sujet (II), il faut, en effet, distinguer encore entre l’imagination d’actions mal différenciées, insuffisamment coordonnées entre elles et obligées par conséquent de s’appuyer sur la réalité extérieure pour aboutir à la prévision de leurs résultats, (II A) et l’imagination d’opérations proprement dites, c’est-à-dire (selon la définition que nous adopterons), d’actions devenues réversibles et suffisamment coordonnées pour donner lieu à des compositions susceptibles d’anticipations précises (II B). Ceci nous rapproche de la genèse du nombre, car les actions constitutives des opérations numériques commencent par présenter le premier de ces deux types (sous forme d’expériences matérielles puis [p. 61] d’expériences mentales II A) avant d’atteindre le second (II B).

Prenons comme exemple les expériences, effectives ou mentales, de mise en correspondance, sur lesquelles insistent Mach et Rignano, et cherchons à les analyser en leur racine infantile, du point de vue des deux distinctions introduites à l’instant.

Il y a dans ces premiers exemples toute une gamme d’expériences, effectives ou « en pensée », dont la variété confirme d’emblée la complexité du problème de l’expérimentation mentale et la nécessité des distinctions introduites à l’instant. Tout d’abord, lorsque pour obtenir deux collections équivalentes, le sujet imagine deux séries se correspondant optiquement (chaque terme étant en regard de son correspondant), ne peut-on pas dire que le raisonnement imite simplement le réel, l’expérience mentale consistant bien alors à « imaginer la variation des faits » (type I) ? Répondons d’abord que, si c’était le cas, ce serait déjà une preuve que l’imitation des faits extérieurs ne suffit point à engendrer le nombre, puisque la configuration perceptive de deux rangées se correspondant optiquement ne [p. 62] donne lieu ni à une équivalence durable entre les deux ensembles ni à une conservation de chaque ensemble en cas de changement de la figure intuitive. À cet égard, le cas des enfants qui croient à un retour possible à la configuration initiale est particulièrement significatif : ils imaginent mentalement ce retour sans en conclure à l’équivalence de la rangée espacée et de la rangée serrée ! Il y a donc plus, dans une mise en correspondance, que l’imagination ou que la perception directe de cette correspondance toute construite : il y a une suite d’actions inhérentes au sujet. Nous pouvons ainsi constater que ces expériences de l’enfant appartiennent à la deuxième des catégories distinguées au début (type II) : leur expérimentation réelle ou mentale consiste à lire le résultat des actions du sujet, et non pas directement la variation des faits.

Mais alors intervient la seconde distinction : ces actions, matérielles ou imaginées, ne donnent pas encore lieu à une composition déductive exacte, puisqu’elles n’aboutissent pas à la conservation des ensembles manipulés. L’enfant a donc effectivement besoin de l’expérience pour s’assurer de la possibilité d’un retour à la configuration initiale, ou pour comprendre le passage d’une configuration à une autre. Il en demeure ainsi au premier des deux types distingués dans la seconde catégorie d’expériences mentales (II A). Comment passera-t-il donc de là au second type (II B) et en quoi consiste le genre d’expériences auxquelles il se livre ? Voici d’abord les faits : à un niveau supérieur au précédent, c’est-à-dire vers 7 ans, l’enfant saura imaginer, sans avoir besoin d’aucune expérience réelle, que toute modification spatiale ou perceptive de l’une des deux rangées de jetons laissera invariante l’équivalence 6 = 6 ; celle-ci sera donc fondée sur une correspondance bi-univoque dorénavant conçue comme indépendante de la correspondance optique ; de plus, il considérera comme évidente et reposant sur une nécessité rationnelle la conservation de chaque ensemble au cours des déplacements possibles de ses éléments. Il fera même de cette équivalence durable et de cette conservation une sorte de vérité a priori, mais cet a priori, comme tous ceux que nous rencontrerons encore, apparaît au terme et non pas au point de départ du processus génétique, et caractérise donc sa phase d’équilibre final et non point de formation. Faut-il alors admettre simplement qu’ayant appris, par une suite d’expériences, la possibilité de retrouver toujours la même correspondance, le sujet se borne à imaginer mentalement de telles expériences jusqu’à en considérer le résultat comme nécessaire ? [p. 63] De l’expérience mentale de Mach et Rignano, ces faits nous feront-ils ainsi remonter jusqu’à l’empirisme de Hume et à son assimilation de la nécessité aux seuls produits de l’Habitude ?

Le développement de l’action caractérisé par la succession des deux phases (II A et II B) que nous venons de rappeler est plus complexe qu’un simple passage d’expériences matérielles et tâtonnantes à une expérience intériorisée en imagination. Si la notion d’expérience mentale garde toute sa valeur pour les phases initiales II A, c’est-à-dire lorsque le sujet se borne à se représenter intuitivement certaines actions possibles, elle devient simpliste et inefficace lorsqu’elle exprime la capacité d’exécuter mentalement un ensemble défini d’opérations (II B) : en ce dernier cas, en effet, l’expérience mentale découle de ces opérations, ou s’appuie sur elles, mais elle ne les explique pas. Une différence bien plus importante que l’imagination des actions possibles oppose, en effet, la phase de 5-6 ans et la phase de 6-7 ans dans les expériences précédentes : les actions propres à la première phase (II A) sont encore insuffisamment coordonnées entre elles, et c’est faute de cette coordination complète que le sujet est obligé de s’appuyer sans cesse sur l’imagination de leur résultat ou même sur la perception. En particulier, elles ne sont point encore réversibles, et lorsque le sujet admet un retour à la configuration initiale, il ne s’agit que d’un retour empirique possible au point de départ et non pas encore d’une opération inverse conçue comme nécessaire. Au contraire, dans la seconde phase (II B), chaque action est considérée comme pouvant être inversée, et c’est cette réversibilité qui entraîne le sentiment de la nécessité de la conservation des ensembles et leurs équivalences. Or, il serait absurde de voir dans la réversibilité un produit de l’imagination, de la perception et plus encore de l’habitude : une image succède à une autre ou une perception à une autre selon un flux irréversible, encore bien visible précisément au cours de la première de nos deux phases, et inverser une habitude consiste à acquérir une nouvelle habitude. En effet, même en percevant ou en imaginant les configurations successives dans un ordre inversé ou dans leur retour, l’enfant n’en conclut nullement, durant cette première phase II A, à une réversibilité des rapports eux-mêmes, faute précisément de mise en relations réversible, c’est-à-dire d’inversion des actions comme telles. C’est donc dans la coordination même des actions, c’est-à-dire dans leur composition progressive qu’est à chercher le passage de l’action [p. 64] empirique à l’opération réversible, et non pas dans la simple intériorisation de la première sous forme d’« expérience mentale ».

Si tel est le cas, nous apercevons alors en quoi consiste l’expérience propre à la première phase (II A) et précédant la coordination opératoire. Comme nous le reverrons en toutes les situations où une notion mathématique est préparée par un système d’actions, il s’agit bien davantage d’expériences que le sujet fait sur ses propres actes que d’expérimentation portant sur les objets comme tels. Lorsqu’il met en correspondance des jetons bleus et rouges, ces corps physiques ne jouent, en effet, pas de rôle en tant que physiques, sinon à titre d’instruments — et l’on pourrait presque dire d’aliments — pour l’action elle-même : ils sont assimilés au schème de cette action, bien plus que celle-ci ne s’accommode à eux comme s’il s’agissait d’étudier leur couleur, leur résistance ou leur poids. Ils remplissent donc une fonction appréciable tant que les actions sont relativement incoordonnées, mais, avec les progrès de cette coordination, leur importance s’efface et ils pourront être remplacés par des éléments de plus en plus symboliques. Il faut par conséquent distinguer soigneusement cette sorte d’expérience fonctionnelle portant sur des « objets quelconques » (dans le sens où Gonseth a caractérisé l’un des aspects de la logique) de l’expérience matérielle qui porte sur les propriétés physiques d’objets particuliers.

La conclusion de ces quelques remarques préliminaires est donc que le nombre ne saurait être expliqué par la simple notion d’« expériences mentales » en général. Si l’on distingue parmi elles celles qui retracent les « variations des faits » (I) et celles qui reproduisent en pensée les actions comme telles (II), le nombre dérive de ces dernières, mais le vrai problème est alors de comprendre le passage de l’action à l’opération. Le fait premier, du point de vue génétique (et cela est vrai de l’espace et même en partie du temps, comme du nombre) n’est, en effet, pas la prise de conscience de l’activité propre, mais bien cette activité elle-même en tant qu’organisation progressive et que modification de l’objet par le sujet. Dans le cas du nombre comme des notions logiques et de l’espace, qui se constituent en relation étroite avec lui, ces actions élémentaires consistent d’abord à réunir ou à séparer, à ranger ou à changer d’ordre, etc., bref à construire ou à défaire des assemblages déterminés. Il s’agit donc de dégager les caractères épistémologiques de ces actions initiales qui sont encore fort éloignées [p. 65] de l’opération rationnelle et de saisir le processus conduisant à ces dernières :

Pour en revenir au nombre entier, il est donc illusoire de vouloir l’expliquer par des expériences, même mentales, interprétées empiriquement. Sans doute est-il l’expression d’actions, mais ces actions sont, dès le départ, assimilation de l’objet au sujet autant qu’accommodation de celui-ci à celui-là. Dès lors on ne parviendra pas à expliquer les opérations finales, qui constituent le nombre, sans faire appel à cette activité assimilatrice, et l’on devra même, pour restituer aux opérations numériques leur nature de composition réversible, suivre palier par palier l’équilibre progressif qui s’établit entre l’assimilation et l’accommodation toujours mieux différenciées. L’expérience qui intervient au cours des premiers stades de ce développement ne parle donc pas, interprétée psychologiquement, en faveur de l’empirisme, mais d’une activité opératoire (ce qui n’est nullement la même chose) ; celle-ci s’annonce dès les formes actives et intuitives les plus primitives du nombre et ne se réalise pleinement que dans les systèmes d’opérations d’abord concrètes, puis formelles et axiomatisables.

La critique que nous venons de faire de l’explication du nombre par l’expérience mentale aboutit au résultat suivant : le nombre n’est pas abstrait des objets ou de la réalité sur laquelle porte l’expérience, mais bien des actions elles-mêmes, qui interviennent dans l’expérience (effective ou mentale) et qui la rendent possible. N’est-ce pas alors soutenir par cela même que le nombre a une origine empirique, mais interne et non plus externe ? Et l’abstraction à partir des actions n’est-elle pas de la même nature que l’abstraction à partir des objets, à cette seule différence près que l’objet d’expérience à partir duquel sont tirés par abstraction les éléments du nombre, serait le sujet lui-même, directement conscient de sa propre réalité empirique ? La discussion de la théorie de Helmholtz va nous fournir la double occasion d’examiner la notion épistémologique d’expérience intérieure, dans ses relations avec le point de vue des opérations et de distinguer les deux types d’abstractions par leur mécanisme opératoire.

On sait que dans son petit écrit Zählen und Messen, Helmholtz [p. 68] a cherché à montrer que le point de départ du nombre est situé dans l’intuition mnésique de l’ordre de succession temporelle de nos états de conscience : « compter est un procédé qui repose sur notre faculté de nous rappeler l’ordre de succession de nos états de conscience » ⁸. Autrement dit, les états de conscience se succédant dans le temps, selon un déroulement irréversible, constituent d’eux-mêmes une série dont l’« intuition interne » est fournie par la mémoire. Il suffit alors de « numéroter », par un procédé verbal conventionnel, les termes de cette série pour obtenir une suite de « numéros d’ordre » permettant de définir l’addition ordinale par leur simple succession et l’égalité des deux nombres ordinaux. Fondée sur l’empirisme de l’expérience interne la conception de Helmholtz se double donc d’une sorte de conventionnalisme quant à la manière dont la série temporelle se traduit par une suite de « signes » reliés au moyen d’une opération leur conférant la valeur d’unités (ordinales) homogènes.

Trois aspects de la théorie de Helmholtz sont donc à discuter : l’hypothèse selon laquelle la forme initiale du nombre est ordinale, le conventionnalisme de la numérotation et l’empirisme des sources.

Il est inutile d’insister dès maintenant sur l’insuffisance des théories ordinales. D’une part, L. Brunschvicg a montré de façon décisive ⁹ que, dans le fini, l’ordination suppose la cardination et vice versa : si des unités successives sont rigoureusement homogènes, on ne peut distinguer leur ordre de succession qu’en se référant aux collections formées par cette succession même (1 + 1 + 1 ne diffère, p. ex., de 1 + 1 que parce qu’il y a deux numéros d’énumérés avant le dernier au lieu d’un seul) ; inversement les collections cardinales ne peuvent être évaluées qu’à la condition d’être ordonnées si l’on veut être certain de n’avoir pas compté deux fois le même terme. D’autre part, la genèse psychologique du nombre, chez l’enfant, confirme de manière frappante cette interdépendance des deux aspects ordinal et cardinal en montrant que le nombre suppose la fusion des opérations d’emboîtement de classes (aspect cardinal) avec la sériation (aspect ordinal). C’est ce que nous verrons au § 6. C’est donc faute d’une analyse génétique des opérations spontanées que Helmholtz s’est borné à [p. 69] insister sur l’aspect ordinal, par une reconstitution psychologique artificielle.

Quant au conventionnalisme de Helmholtz, comme on l’a parfois appelé, il tient à la même raison. Pour combler l’abîme qui sépare la suite qualitative des états de conscience, avec ou sans mémoire, de la suite des nombres entiers, il fallait bien, en effet, intercaler un ensemble d’opérations : Helmholtz n’ayant pas recherché génétiquement celles qui se développent chez l’enfant construisant sa notion de nombre, il a suppléé à ces opérations spontanées par un ensemble d’opérations conventionnelles portant sur les signes de la numérotation.

Les difficultés de la théorie de Helmholtz tiennent donc, en fin de compte, à son point de départ, c’est-à-dire à l’hypothèse que le nombre peut être tiré de l’expérience intérieure. Or, cette erreur est d’autant plus significative qu’elle est ainsi associée à un très grand nom et que l’illusion d’une parenté génétique directe entre le nombre et le temps a été partagée par un certain nombre d’autres grands esprits, à commencer par Kant et à finir par Brouwer.

[p. 70] Bref, à vouloir tirer de l’expérience intérieure le nombre ordinal, ou même simplement l’idée de suite ordonnée, on se heurte exactement à la même difficulté qu’à les vouloir tirer de l’expérience externe : ni l’opération de la sériation qualitative, ni a fortiori celle de la numérotation ordinale ne sont données dans l’expérience, interne pas plus qu’extérieure. Ces opérations se surajoutent à l’expérience, à la manière dont une action s’applique à des objets, ces objets fussent-ils ceux du souvenir ou de la conscience actuelle, mais, structurant l’expérience directe, elles n’en dérivent pas sans plus.

D’où provient alors une opération comme celle qui consiste à sérier des objets matériels ou des événements remémorés, si ce n’est d’une certaine forme d’expérience intérieure ? Mais c’est précisément ici que la psychologie de la conduite ou de l’action a renouvelé celle de la conscience. L’opération dérive de l’action, mais l’action elle-même est une réalité plus profonde que l’expérience intérieure qu’elle est susceptible d’engendrer, car cette expérience n’est jamais qu’une prise de conscience plus ou moins inadéquate de l’action comme telle. Ce n’est donc pas à l’expérience intérieure qu’il faut recourir et cela à aucun stade du développement, mais c’est à ce développement même des actions et notamment au passage graduel de l’action mentalisée aux opérations.

Or, pour reprendre l’exemple de Helmholtz, il est parfaitement légitime de rapprocher la construction d’une suite ordonnée (une fois reconnu le caractère opératoire de cette construction par opposition aux caractères vécu ou simplement représenté), des conduites par laquelle nous ordonnons nos souvenirs (une fois reconnu également le caractère actif de la mémoire, qui s’apparente à la reconstitution du passé par l’historien ou à ce que P. Janet appelle la « conduite du récit »). Mais, pour tirer une opération de caractère relativement supérieur (la sériation opératoire n’apparaît chez l’enfant que vers 7 ans) d’une conduite un peu inférieure (la mémoire d’évocation débute sans doute avec le langage), il faut faire appel à une abstraction sui generis, qui est précisément l’abstraction à partir des actions, opposée à l’abstraction à partir des objets, selon la distinction que nous annoncions au début de ce § 3. C’est ainsi que la construction d’une suite ordonnée est une opération qui peut abstraire ses composantes, non seulement de la mémoire, mais aussi de l’ordre des mouvements dans une suite de gestes, etc., bref de tout ordre intervenant en des conduites inférieures, mais selon une abstraction dont il s’agit de préciser le mécanisme.

[p. 71] Le tort des explications par l’expérience intérieure consiste à croire que l’on peut abstraire un caractère emprunté à une intuition ou à une perception interne (p. ex. une intuition de durée ou une sensation kinesthésique) pour l’insérer directement en une conduite supérieure, telle qu’une opération, à la manière dont on abstrait de l’expérience extérieure une qualité quelconque, p. ex. la blancheur de différents objets, pour en construire une classe générale, celle des objets blancs. Or, il s’agit en réalité de deux formes d’abstraction fort différentes et il est important d’y insister dès le début de cet ouvrage, car ce problème se retrouve dans toutes les questions épistémologiques particulières (celles de l’espace, du temps, de la force, etc.) et c’est sa méconnaissance qui paraît avoir faussé un certain nombre de théories fondées sur des considérations psycho-génétiques, comme celle de F. Enriques, p. ex. (Introduction § 3).

La différence essentielle est que, dans le cas de l’expérience extérieure, la qualité abstraite de l’objet est déjà reconnue dans l’objet, sous la même forme, avant son abstraction : [p. 72] l’abstraction de la blancheur, p. ex. aboutit à ce résultat nouveau de permettre la comparaison entre plusieurs objets différents (p. ex. dans la constitution d’une espèce chimique ou biologique), mais cette blancheur était reconnue telle quelle en chacun de ces objets avant cette abstraction. Nous parlons naturellement d’une qualité physique, c’est-à-dire imposée au sujet par la perception des objets eux-mêmes, et non pas d’un caractère ajouté aux objets par l’action qui porte sur elle, p. ex. de constituer tel nombre. Or, en opposition avec cette abstraction des qualités physiques, l’abstraction d’un caractère mental qualifiant tel schème d’action et destinée à faire entrer ce caractère dans un schème plus complexe (et non en un simple concept descriptif de l’expérience intérieure) est une abstraction réfléchissante c’est-à-dire qui transforme la conduite même en la différenciant et par conséquent qui ajoute quelque chose à la qualité ainsi isolée par l’abstraction. Par exemple, la succession pratique, en jeu dans une conduite sensori-motrice, n’est pas nécessairement l’objet d’une prise de conscience de la part du sujet au niveau considéré : l’abstraire de son contexte d’action la transformera par conséquent en une succession représentée, et non plus simplement vécue, ce qui suppose la construction d’un nouveau schème appartenant à un niveau supérieur (au niveau de la pensée intuitive s’il s’agit, p. ex., d’une reconstruction mnésique de cette succession). Une nouvelle abstraction la transformera en opération proprement dite, s’il s’agit d’une succession pouvant être inversée ou reproduite à volonté (et non pas seulement en certains contextes représentatifs d’ensemble), etc. De même l’abstraction d’une suite construite par opérations concrètes en une suite formelle suppose une reconstruction de cette suite sous forme de propositions. C’est pourquoi cette succession d’abstractions (avec passage du sensori-moteur à l’intuitif et de là aux opérations concrètes plus formelles) s’étage entre 1 et 12 ans, soit pendant toute la durée du développement mental.

Bref, l’abstraction à partir de l’action est nécessairement constructive parce que réfléchissante. Elle ne conduit pas à une généralisation simple comme l’abstraction des qualités physiques lorsqu’elle est destinée seulement à la construction d’une classe générale ou d’un rapport généralisé (d’une loi constatée) : elle est constructive en tant que liée à l’élaboration d’une nouvelle action, de type supérieur à celle dont le caractère considéré a été abstrait. Elle est donc essentiellement [p. 73] différenciation et aboutit à une généralisation qui est une composition nouvelle, préopératoire ou opératoire, puisqu’il s’agit d’un nouveau schème élaboré au moyen des éléments empruntés aux schèmes antérieurs par différenciation, et d’un schème plus mobile et plus réversible, par conséquent plus équilibré ¹¹.

On voit assez, par ces remarques, en quoi une explication psychogénétique ne peut se réduire à un simple appel à l’expérience intérieure. Faute d’avoir aperçu le rôle des opérations réelles menant à la sériation, et de là à la construction effective du nombre, Helmholtz a dû remédier aux lacunes de son empirisme interne par le recours à des opérations hypothétiques, intéressantes du point de vue axiomatique mais étrangères à l’explication génétique, car une reconstitution véritable du nombre supposerait que les opérations invoquées fussent celles du sujet agissant lui-même. Or, celles-ci existent et suffisent à montrer que les notions sont construites activement par le sujet et non pas données toutes faites dans sa conscience. L’expérience intérieure ne serait source réelle de connaissances que dans l’hypothèse de notions préformées, données de façon innée et dont le sujet prendrait directement conscience à un moment déterminé de son développement. Or, nous venons de constater que lorsque le sujet abstrait, par une prise de conscience réfléchissante, quelque élément de ses conduites antérieures (y compris de ses réflexes héréditaires), cette réflexion est constructrice et ne se contente pas de transposer d’un plan à l’autre des schèmes tout élaborés, mais les élargir en les reconstruisant par leur découverte réflexive elle-même. L’abstraction à partir de l’action est donc source d’actions nouvelles, dont l’aboutissement est constitué par les opérations elles-mêmes. C’est ce passage de l’action à l’opération qu’il nous faut étudier maintenant.

Dans sa trop brève étude sur « la fabrication du nombre » ¹², H. Delacroix a écrit, sans toutefois soutenir que le nombre était qualité pure : « le nombre [p. 74] est formé d’éléments exclusivement qualitatifs, dont toute la matière est qualité » (p. 141). Alb. Spaier est allé, par contre, jusqu’à dire ¹³ que « le nombre est un concept qualitatif » (p. 125) et à concevoir la quantité elle-même comme « le résultat de la mesure » (p. 33), c’est-à-dire comme la « qualité mesurée » (p. 33), la mesure étant, d’autre part, l’application du nombre à la qualité… On tourne ainsi dans un cercle, la quantité étant la qualité mesurée grâce à la qualité elle-même ! Quant aux mathématiciens, ils opposent, comme on le sait, les notions numériques et métriques aux notions qualitatives, distinguant en particulier la géométrie qualitative de la géométrie métrique. Mais le problème se pose de savoir si ce qualitatif mathématique est de même nature que le qualitatif simplement logique.

Rien n’est donc plus équivoque, dans la terminologie courante, que les termes de qualité et de quantité, et les exagérations de Spaier montrent jusqu’où peuvent conduire ces amphibologies, puisque le nombre lui-même, dont on s’accordera cependant à considérer qu’il constitue la quantité par excellence, finit par être conçu comme qualité pure. C’est pourquoi il nous semble indispensable, pour analyser la signification épistémologique du nombre, de commencer par trouver des critères de délimitation.

En réalité, la qualité et la quantité sont inséparables, et cela aussi bien génétiquement que du point de vue d’une analyse logistique ou axiomatique. Les mêmes arguments qui aboutissent à supposer que tout est qualité pourraient, par ailleurs, conduire à affirmer la généralité de la quantité, car si l’on réussit à extraire sans plus la quantité de la qualité, c’est évidemment qu’elle y était contenue dès le départ. Seule l’imprécision d’un langage philosophique insuffisamment formalisé parvient à obscurcir une telle évidence, alors que les méthodes soit génétiques soit logistiques doivent pouvoir permettre les caractérisations nécessaires.

Mais dire que la qualité et la quantité sont indissociables ne signifie nullement qu’elles soient identiques : elles sont simplement aussi primitives l’une que l’autre, au point de vue génétique, et aboutissent, en leur état d’équilibre opératoire, à une forme de solidarité telle que l’on ne saurait définir l’une sans faire appel à l’autre.

Génétiquement, elles sont primitives l’une et l’autre, parce [p. 75] ce que, dès l’action sensori-motrice, elles se présentent de façon interdépendante. P. ex., réunir des objets semblables est une action consistant à introduire une certaine qualification (assimilation par ressemblance), mais en réunir davantage ou moins est une quantification de cette action : en un schème d’assimilation sensori-moteur déjà on peut donc distinguer une extension impliquant la quantité et une compréhension reposant sur la qualité. De même secouer un objet est une action caractérisée par une certaine qualité, mais on peut le secouer plus ou moins (plus ou moins vite, plus ou moins fortement, etc., ces diverses intensités de l’action constituant des quantités inhérentes aux rapports asymétriques). On répondra que deux actions distinctes par leurs intensités sont de qualités différentes : soit, mais le rapport de ces qualités entre elles est précisément une quantité !

On peut donc supposer qu’il existe, entre la qualité et la quantité, un rapport de dépendance mutuelle tel que celui dont relèvent la compréhension et l’extension des concepts logiques. Il est impossible, en effet, de concevoir la compréhension d’un concept sans se référer aux termes qui constituent le support des caractères définissant cette compréhension ; or, ces termes ne sont autres que l’extension du concept considéré. Mais, inversement, il est impossible de délimiter une telle extension sans se référer aux caractères des termes qu’elle englobe, c’est-à-dire sans s’appuyer sur la compréhension. Or, cette indissociable solidarité de la compréhension et de l’extension des concepts intéresse d’autant plus directement les rapports entre le qualitatif et le quantitatif, que les formes les plus élémentaires de la qualité et de la quantité se confondent précisément avec la compréhension et l’extension logiques.

En effet, on peut caractériser comme suit la qualité et la quantité, selon que l’on se place au point de vue des classes ou des relations. Pour ce qui est des classes, il va de soi que la qualité correspond à la compréhension du concept et la quantité à son extension. Le système des emboîtements qui déterminent les classes en extension constitue donc essentiellement un système quantitatif par opposition aux attributs ou prédicats (c’est-à-dire aux propriétés ne faisant pas mention de « tout » ou de « quelque » objet), qui énoncent les qualités ainsi quantifiées. Quant aux relations (et nous avons montré ailleurs ¹⁴ que tous les prédicats en compréhension [p. 76] constituaient sans doute des relations, même lorsqu’ils sont énoncés sous une forme absolue et sont attribués à un seul objet (x est « blanc » signifie p. ex. qu’il a « la même couleur que » les objets y et z), il faut distinguer également leur extension et leur compréhension. Or, l’extension d’une relation, c’est-à-dire les termes reliés par elle (domaine, co-domaine ou champ) n’est pas autre chose qu’une classe, ordonnée ou non ; indépendamment de son ordre éventuel, qui relève (en tant qu’ordre) de la compréhension, cette classe caractérise donc à nouveau une quantité définissable au moyen de son extension. Quant à la compréhension de la relation, il faut distinguer deux cas, celui des relations symétriques et celui des relations asymétriques. Les relations symétriques expriment une équivalence (p. ex. A est « aussi blanc que » B), une ressemblance (p. ex. A est « analogue » à B) ou une différence non ordonnée (p. ex. A « diffère » de B). Les relations symétriques traduisent donc soit la commune appartenance à une même classe (de termes ressemblants), soit une « altérité » ou non-appartenance à la même classe (A est d’une autre classe que B). Dans les deux cas, les extensions de ces classes déterminent des quantités, tandis que la qualité correspond à la compréhension de la relation comme telle (ressemblance ou différence symétrique). Quant aux relations asymétriques, elles expriment les différences ordonnées, bivalentes (A mange B), trivalentes (extérieur, intérieur ou sur la frontière) ou plurivalentes (A est plus petit que B, B plus petit que C, etc.). Leur qualité est donc à nouveau constituée par la compréhension de la relation (p. ex. large, rouge, vertueux, etc.) et leur quantité par l’extension de la classe correspondante ordonnée. Cependant, dans le cas des relations multivalentes, on pourrait dire que la quantité est aussi déterminée par la différence elle-même, puisque ces relations comportent le « plus » et le « moins » (« plus » ou « moins » large, rouge, vertueux, etc.). Mais il faut distinguer deux choses. Dire que A est « plus » (large, rouge, etc.) que B, c’est encore exprimer une différence de qualité, dans la mesure où le « plus » et le « moins » portent sur un attribut en compréhension. C’est seulement si l’on se réfère à la suite (ou sériation) en extension, qu’intervient la quantité, en tant qu’intervalle (ou segment) plus ou moins grand entre O et A, O et B, O et C, ou entre A et B, A et C, etc. Ainsi la quantité exprimée par les différences ordonnées des relations asymétriques multivalentes rejoint celle que traduit l’extension des classes.

[p. 77] D’une part, en effet, les inégalités d’extension entre classes (telles que les rapports d’inclusion dans le cas des classes emboîtées) sont des relations asymétriques parmi les autres et les différences d’extension sont ainsi comprises dans les rapports de différence ordonnée en général ; d’autre part, si l’on série des éléments selon une suite de mêmes relations asymétriques multivalentes, il y aura d’autant plus de termes intercalaires entre deux éléments donnés que la différence sera plus grande entre ces derniers, ce qui réduit réciproquement les intervalles ou segments, exprimant les différences, à des rapports d’extension (c’est-à-dire le cas particulier au « champ » plus ou moins étendu des relations considérées) ¹⁵.

Nous constatons maintenant que les rapports d’extension (ou différence ordonnée) peuvent se présenter sous trois formes distinctes, dont l’une caractérise la simple logique des classes et des relations, et les deux autres les mathématiques. Ce sont ces trois formes qui correspondent à ce que l’on désigne habituellement sous les vocables imprécis de rapports « qualitatifs » ou « quantitatifs », alors qu’il s’agit de trois formes distinctes de quantité, mais consistant toutes trois en rapports d’extension entre ensembles de termes qualifiés.

Les distinctions introduites au § précédent vont faciliter l’examen génétique des célèbres tentatives de Frege, puis de Russell et de Whitehead de réduire le nombre aux opérations simplement logiques. Ces essais ont été approuvés par la plupart des logisticiens et un grand nombre de mathématiciens, parce que la réduction du nombre à la logique paraît au premier abord la solution la plus naturelle, une fois reconnues inopérantes les explications empiristes du nombre. Une telle réduction a cependant provoqué la méfiance d’un certain nombre de mathématiciens illustres, au premier rang desquels il faut citer Poincaré, et d’épistémologistes en tête desquels s’est placé L. Brunschvicg. Le problème est donc maintenant de déterminer si les processus formateurs du nombre sont ou non les mêmes que ceux dont dérivent les classes et les relations. C’est à ce propos que les différents types de totalités opératoires examinés au § 3 devaient être distingués, car seul l’examen de leur déroulement génétique est de nature à permettre de trancher par l’expérience la question soulevée par les logisticiens cités.

Il est vrai que la vérité logistique est de caractère axiomatique, et non pas expérimental, et que l’on pourrait donc concevoir une filiation déductive entre le nombre et la logique, même si l’expérience démentait la filiation réelle. Seulement, si les opérations réelles demeuraient réfractaires à une telle réduction, il serait intéressant de traduire en un schéma logistique ces opérations une fois parvenues à l’état d’équilibre, et de le confronter avec le schéma russellien. Or, l’expérience, que nous avons tentée ²⁸ nous a conduit à reconnaître un parallélisme entre les questions génétiques et les questions logistiques bien plus qu’à un conflit entre les deux méthodes. C’est [p. 87] donc ce double aspect du problème que nous aimerions brièvement exposer ici.

Chacun connaît la théorie de Russell : deux classes, considérées en extension, engendrent une même « classe de classes » si les individus qui les composent peuvent être mis en correspondance bi-univoque, et cette classe de classes constitue précisément un nombre cardinal ; le nombre 1 est ainsi la classe des classes singulières, le nombre 2 la classe des duos, le nombre 3 celle des trios, etc. Or, la correspondance bi-univoque ne repose elle-même que sur l’identité logique : « x correspond bi-univoquement à y » signifie que, si x correspond aussi à y’, alors y’ est identique à y, et que, si y correspond aussi à x’, alors x’ est identique à x. Dès lors, la construction de la classe de classes équivalentes, en quoi consiste le nombre, ne requiert que des opérations purement logiques. Quant au nombre ordinal, il consiste de son côté en une classe de relations asymétriques « semblables », c’est-à-dire à nouveau comme le produit d’une correspondance bi-univoque, mais entre relations.

Une telle conception a soulevé deux sortes d’objections, les unes revenant à l’accuser de cercle vicieux parce que le nombre interviendrait déjà dans l’idée des objets singuliers mis en correspondance d’une classe à l’autre, et les secondes insistant sur les différences fonctionnelles de la classe logique et du nombre.

H. Poincaré (suivi par P. Boutroux, etc.) a particulièrement insisté sur le premier point, admettant que, dans l’expression « un » homme, etc. l’objet individuel ou la classe singulière comportent déjà la présence du nombre 1. À quoi Couturat a répondu que le « un » logique n’implique pas ce nombre 1 mais simplement l’identité : une classe A est singulière si dans les propositions « x est un A », « y est un A », etc. il y a identité entre x et y. De même les termes « quelques », « tous » et « aucun » n’impliquent pas l’intervention des nombres, mais simplement l’appartenance ou la non-appartenance des individus à la classe.

Cette première discussion est sans issue, tant que l’on se place au point de vue atomistique de la logique classique, laquelle croit pouvoir considérer une proposition à part, une classe ou une relation isolées, etc. Pour un tel atomisme, il est clair que l’expression « un homme » peut signifier à tour de rôle une unité numérique ou quelque objet qualifié dont les propriétés l’empêchent d’être identique à aucun autre, ce qui lui confère la valeur logique de seul élément d’une classe singulière. [p. 88] Tant Russell, en raisonnant sur des identités et des classes isolées, que ses adversaires en le suivant sur ce terrain pour y retrouver le rappel implicite de nombres isolés, s’engagent donc dans la direction d’un atomisme artificiel permettant de justifier tour à tour les thèses contraires, sans critère définitif, car l’identité appartient aussi bien aux mathématiques qu’à la logique « intensive ». Il est même à tel point de l’essence de l’explication russellienne de s’en tenir à cet atomisme, que les nombres y sont engendrés chacun pour soi, grâce à l’intervention de classes indépendantes les unes des autres (en tant que classes de classes), et non pas selon une loi de construction impliquant la progression 0, 1, 2, 3…

Or, seule la structure d’ensemble de la totalité opératoire dans laquelle sont insérés les éléments permet de distinguer leur nature, soit logique (quantité intensive), soit mathématique (quantité extensive ou numérique). Le terme « un homme » se réfère au nombre 1 s’il est élément d’opérations qui le comparent à « deux hommes » ou à « n hommes », parce qu’alors « un » joue le rôle d’unité itérable ; mais le même terme est indépendant du nombre s’il appartient à un système opératoire qui ne porte que sur les rapports d’individu à classe ou de classes partielles à classes totales. Il est donc évident que c’est le « groupement » ou le « groupe » des opérations en jeu qui est déterminant et non pas la nature des éléments comme tels, laquelle, s’ils sont isolés, reste indéterminable, à parler rigoureusement.

D’où le second type d’objections adressées à la théorie de Russell : celles qui opposent le rôle fonctionnel des classes à celui des nombres. La fonction de la classe revient à identifier, comme dit L. Brunschvicg, et celle du nombre à diversifier, d’où leur hétérogénéité foncière. Mais, en ce qui concerne cette argumentation tout autant que pour la précédente, ce sera naturellement le système opératoire d’ensemble qui déterminera les significations fonctionnelles, et non pas les éléments comme tels.

La question est donc la suivante : lorsque Russell nous parle de « classe de classes équivalentes », l’opération de correspondance bi-univoque au moyen de laquelle il construit cette équivalence est-elle encore de nature simplement logique, c’est-à-dire, ne relève-t-elle que de la quantité intensive qui intervient dans la formation des classes qualitativement définies, ou bien introduit-elle implicitement le nombre, non pas sous la forme de nombre isolé accolé à la classe considérée, [p. 89] mais dans la mesure où cette opération de mise en correspondance serait elle-même déjà de nature extensive et dépasserait ipso facto le domaine de la logique des classes qualifiées ?

C’est ici qu’il ne sert de rien, nous semble-t-il, de démontrer que la correspondance bi-univoque repose sur l’identité pure. Même si cela était vrai (mais il resterait à montrer que le rapport comme tel de mise en correspondance ne dépasse pas le cadre des équivalences logiques), la question n’est pas là, car une identité peut résulter soit des opérations propres à un « groupe » mathématique (p. ex. 1 × 1 = 1 ou 1 : 1 = 1, et de façon générale toute « opération identique ») soit de celles qui caractérisent un « groupement » logique (intensif). La vraie question est donc de savoir si la correspondance bi-univoque comme telle, c’est-à-dire en tant qu’ensemble d’opérations, caractérise un groupement ou un groupe. Dans le premier cas, la réduction de Russell serait efficace, puisque le nombre serait alors engendré par de pures classes reliées par la seule voie d’un « groupement » de classes. Dans le second cas, elle se révélerait vicieuse, parce qu’introduisant dans les classes un système opératoire déjà numérique pour en extraire ensuite trop facilement le nombre.

Or, tant l’examen génétique du développement que celui de la pensée scientifique en ses manifestations diverses et de niveaux différents fournissent ici une réponse décisive. Il existe en réalité deux types bien distincts de correspondance bi-univoques, l’une « qualifiée » ou logique (donc de caractère « intensif » pur), l’autre « quelconque » ou mathématique. Mais ce n’est pas la première de ces deux opérations que Russell applique à sa démonstration : c’est bel et bien la seconde, d’où le malaise produit par sa réduction. Celle-ci contient alors un cercle, puisque ce n’est pas, en ce cas, à la classe comme telle qu’il parvient à réduire le nombre cardinal, mais bien à la classe quantifiée au préalable par une opération de caractère déjà numérique.

En effet, il existe une correspondance bi-univoque de caractère simplement logique, c’est-à-dire telle que les éléments se correspondent un à un en vertu de leurs qualités différencielles et non pas en tant qu’unités quelconques. C’est cette opération de correspondance qualifiée qui caractérise les « homologies » de l’anatomie comparée, p. ex. lorsqu’une pièce du squelette d’une classe zoologique est mise en correspondance avec la pièce homologue du squelette d’une autre classe. Mais l’emploi d’une telle opération est beaucoup plus générale : [p. 90] c’est elle qui intervient, p. ex., lorsqu’on analyse les ressemblances entre deux objets en faisant correspondre une partie de l’un à une partie semblable de l’autre. Du point de vue génétique, la correspondance bi-univoque qualifiée est donc précoce : elle se prépare intuitivement dès le dessin et même dès l’apparition de l’imitation et devient opératoire vers 7 ans avec les comparaisons systématiques (fondées sur les opérations de multiplication logique).

Toute autre est la correspondance bi-univoque « quelconque », puisqu’elle n’est pas astreinte à déterminer les correspondances en fonction des ressemblances qualitatives mais qu’un élément quelconque de l’un des ensembles est associé à l’un des éléments également quelconque de l’autre ensemble (à la seule condition que cet élément ne soit compté qu’une fois). C’est ainsi que quand Russell construit le nombre 12 en faisant correspondre un à un les apôtres du Christ aux maréchaux de Napoléon, l’apôtre Pierre n’est pas associé au maréchal Ney en vertu de leurs qualités communes (comme lorsqu’un biologiste fait correspondre les poils des Mammifères aux plumes des Oiseaux), mais simplement en tant que l’un constitue une unité quelconque du premier ensemble et l’autre une unité, également quelconque, du second.

On voit donc que la correspondance bi-univoque qualifiée ne sort pas du domaine de la logique des classes et de la quantité intensive. Elle constitue même en « groupement » bien déterminé, celui de la multiplication bi-univoque des classes, dont voici un exemple :

Si B₁ = A₁ + A’₁ et si B₂ = A₂ + A’₂ la multiplication B₁ × B₂ donne :

B₁ × B₂ = (A₁ + A’₁) × (A₂ + A’₂) = ((A₁ A₂ + A₁ A’₂)(A’₁ A₂ + A’₁ A’₂)) = B₁ B₂

La correspondance qualifiée n’implique donc en rien l’intervention du nombre entier, mais simplement celle de qualités [p. 91] communes et de classes définies au moyen de ces dernières (les classes singulières elles-mêmes ne supposant pas autre chose que le « un » logique, c’est-à-dire la singularité qualitative). Au contraire, la correspondance bi-univoque quelconque est une opération extensive : du seul fait qu’elle élimine par abstraction les qualités propres aux éléments considérés, elle les transforme en unités numériques.

Dès lors, si Russell avait pu employer la correspondance bi-univoque qualifiée pour construire ses classes de classes, il aurait évité tout cercle vicieux. Mais les classes de classes reposant sur la correspondance qualifiée ne sont précisément pas des nombres. Ce sont des classes de classes purement logiques, à caractère multiplicatif (p. ex., la classe de tous les squelettes des vertébrés, ou la classe B₁ B₂). En utilisant la correspondance bi-univoque quelconque pour opérer sa réduction, Russell introduit au contraire, par le fait même, la notion d’unité dans les classes qu’il met en correspondance, et il n’est pas surprenant que les classes ainsi construites constituent des nombres : elles ne sont plus, en effet, de simples classes logiques, sitôt leurs éléments mis en correspondance quelconque, mais des ensembles d’unités, c’est-à-dire des classes numériques.

Quant au nombre ordinal conçu comme une classe de relations « semblables », la difficulté est la même, mais transposée en termes de relations. Qu’est-ce que la « similitude » qui intervient ici ? Est-ce une similitude simplement qualitative, telle que les relations asymétriques reliant les objets sériés soient les mêmes dans les deux séries correspondantes, sans que chaque relation partielle compte comme une unité ni par conséquent que les objets sériés se distinguent seulement par leur numéro d’ordre ? Ou bien est-ce une similitude généralisée, et par conséquent à nouveau « quelconque », faisant abstraction du contenu qualitatif des relations et ne retenant que la succession comme telle, c’est-à-dire les numéros d’ordre des objets et ceux des relations qui les unissent successivement ? Dans le premier cas, la similitude constitue un « groupement » intensif (celui des multiplications bi-univoques de relations asymétriques) ³⁰. Dans le second cas, elle engendre au contraire une succession mathématique d’ordre pur, qui implique par conséquent déjà la notion du nombre ordinal.

Faute de ces distinctions génétiques, qui conduisent à une distinction corrélative dans la logistique des opérations comme [p. 92] telles, et non pas seulement des classes et des relations isolées, la double réduction de Russell s’enferme ainsi dans deux cercles vicieux.

Le nombre n’étant pas réductible sans plus à la logique des classes ou à celle des relations, faut-il le concevoir comme le produit d’une intuition rationnelle, irréductible aux opérations logiques ? C’est le point de vue soutenu par un grand nombre de mathématiciens, d’ailleurs selon des sens assez divers s’étendant entre l’intuition de l’essence statique du nombre et l’intuition opératoire. Bornons-nous à cette dernière. Ainsi, H. Poincaré, tout conventionnaliste qu’il ait été dans le détail de la construction des diverses formes de nombre (de même que dans la question des rapports entre les divers espaces), admet que le nombre entier repose sur une sorte d’intuition, à la fois opératoire et a priori, de la raison (comme la notion du groupe des déplacements par rapport à l’espace) ; cette intuition se traduit elle-même dans le raisonnement mathématique par excellence : le raisonnement par récurrence. Pour Brouwer, qui a renouvelé l’intuitionnisme de Poincaré en l’opposant au formalisme logique dans le détail des raisonnements constructifs eux-mêmes (négation du principe du tiers exclu pour les collections infinies), le caractère essentiel d’une entité mathématique est, non pas simplement d’être exempte de contradiction (ce qui ne suffit plus, selon cet auteur, à lui assurer l’existence), mais bien de pouvoir être construite effectivement. Le domaine de l’intuition rationnelle s’étendra ainsi de l’a priori à la libre construction opératoire, mais le caractère commun de ses diverses interprétations reste la discontinuité entre l’intuitif et la simple logique.

Or, malgré l’autorité de ces grands esprits, il nous est difficile de les suivre sur le terrain de l’intuition du nombre, faute de pouvoir concilier avec les faits génétiques, c’est-à-dire avec ce que nous savons de la formation des opérations elles-mêmes, l’hypothèse de l’irréductibilité du nombre par rapport aux opérations logiques. Entre la réduction insuffisamment opératoire de Russell et l’intuition directe de Poincaré et de Brouwer, il peut exister un tertium.

Comment Poincaré caractérise-t-il, en effet, l’intuition du nombre pur ? Ce n’est pas par l’intuition de nombres donnés, mais bien par celle d’un nombre « quelconque » : c’est la « faculté de concevoir qu’une unité peut être ajoutée à une collection [p. 93] d’unités » ³¹. C’est donc l’intuition, non pas d’une forme achevée, mais d’un pouvoir de l’esprit, de ce pouvoir qui est à la base de la récurrence. Mais alors, de deux choses l’une. Ou bien le terme d’intuition n’ajoute rien à l’opération elle-même : de ce point de vue, toute opération qui se répète n’implique pas l’intuition de l’unité, et il s’agit d’expliquer la construction de cette unité dans le cas des opérations numériques. Ou bien les opérations numériques procèdent d’une intuition qui les oppose dès le départ aux opérations logiques, précisément en ce qu’elle contient d’avance la notion d’unité, mais c’est en cette seconde interprétation que réside la difficulté génétique.

Or, l’analyse génétique fournit sur ce point une réponse décisive : le passage des configurations perceptives ou imagées, dépourvues de conservation, aux collections logico-arithmétiques douées de conservation nécessaire résulte de la réversibilité progressive des actions de réunir et de sérier, et aboutit simultanément aux « groupements » de l’emboîtement des classes et de la sériation des relations asymétriques, ainsi qu’au « groupe » caractérisant la suite des nombres entiers. La « faculté de concevoir qu’une unité peut être ajoutée à une collection d’unités », dont Poincaré fait le propre de l’intuition du nombre pur, suppose donc elle-même la « faculté » de concevoir des collections invariantes emboîtées les unes dans les autres et la « faculté » d’ordonner dès le départ les éléments « ajoutés » : indissociable du « groupement » des classes et de celui des relations asymétriques, la suite des nombres ne saurait donc bénéficier du privilège d’une intuition première, et la construction de la notion de l’unité elle-même soulève un problème que l’on ne saurait par conséquent résoudre par le simple appel à cette intuition.

Qu’une fois construite, la suite des nombres donne lieu à une intuition rationnelle en quelque sorte terminale, et non plus préalable, en ce sens que le nombre serait appréhendé directement par l’esprit sans passer par l’intermédiaire de raisonnements discursifs ou « logiques », c’est là une autre question. Cette intuition finale ne saurait laisser de doute, mais au sens [p. 95] où l’on parlera, avec Poincaré, de l’intuition du joueur d’échec qui conduit sa partie : concentré instantané d’innombrables raisonnements antérieurs (et oubliés), cette intuition terminale n’est que l’expression de la compréhension intelligente elle-même, comme remarquait L. Brunschvicg, et ne nous renseigne en aucune manière au sujet de sa propre construction.

En bref, on ne saurait opposer une intuition du nombre pur, qui caractériserait la suite des entiers, à la construction artificielle ou conventionnelle des nombres généralisés (fractionnaires, etc.). La construction de l’unité à elle seule est exactement de même nature, à une différence de complexité près, que celle, des nombres n’appartenant pas à la suite des entiers (fractionnaires, imaginaires, etc.), ce qui supposerait, ou bien l’extension de la notion de l’intuition rationnelle à ces produits dérivés, ou bien l’extension de l’idée de convention à l’explication de l’unité elle-même. C’est donc au pouvoir opératoire en général de l’esprit, sous ses formes logiques comme arithmétiques, que s’attache le mystère, et où le conventionnalisme ne saurait l’éluder en ce qui concerne ses constructions les plus éloignées de l’action concrète, ni l’intuitionnisme aprioriste ne saurait l’expliquer, en découpant dans l’ensemble des opérations logico-arithmétiques, celles qui ont trait au nombre entier lui-même, par opposition aux classes et aux relations logiques. Quant à faire avec Brouwer, de la construction opératoire une réalité dépassant le non-contradictoire de caractère logique, c’est oublier que, à côté du jeu formel des propositions combinées en une axiomatique, la logique vivante elle-même requiert déjà ce caractère opératoire et que la non-contradiction effective se fonde elle-même sur la réversibilité inhérente aux opérations constructrices des classes et des relations en même temps que des nombres.

Le processus génétique au cours duquel s’élaborent les groupements de classes et de relations asymétriques, ainsi que le groupe des nombres entiers, témoigne d’une étroite interdépendance entre ces trois constructions. Tel est donc le fait dont il s’agit d’analyser la signification épistémologique. D’un certain point de vue, on pourrait aussi bien exprimer la chose en disant que les classes logiques et les relations asymétriques résultent d’une dissociation des opérations impliquées dans le nombre qu’en présentant celui-ci comme une synthèse des classes et des relations logiques réunies en un seul tout opératoire. Dans la [p. 96] mesure où il y a réduction, elle est donc réciproque, et cela en vertu d’un mécanisme génétique dont nous retrouverons bien d’autres exemples.

Cela rappelé, on comprend comment les réunions et séparations mentales des objets, dans la mesure de leur accession à l’état d’opérations réversibles et composables entre elles, engendreront de façon nécessairement interdépendante les classes, les relations asymétriques et les nombres, en portant simultanément sur les qualités comme telles et sur leurs rapports quantitatifs ³⁴ :

[p. 99] 1° On peut d’abord réunir les objets selon leurs ressemblances, ou les séparer selon l’absence de ces mêmes ressemblances, d’où la formation des classes emboîtées A, B, C, etc., selon des ressemblances de plus en plus générales, ou des classes B — A = A’ ; C — B = B’ ; etc., selon l’absence des ressemblances spéciales. C’est là le principe du « groupement » additif de l’emboîtement des classes que nous avons pris comme exemple au § 3. En poussant la classification à l’extrême, on aura une classe singulière A, dont le seul individu possède le caractère (A) et une classe singulière A’, dont le seul individu ne possède pas le caractère (A), mais possède avec A le caractère commun (B) : d’où la classe B = A + A’. Si ce caractère (B) manque à l’individu de la classe singulière B’, mais que les B et B’ aient en commun le caractère (C), on aura la classe C = B + B’ ou C − A + A’ + B’. Et ainsi de suite. De ce point de vue tout qualitatif, A et A’ sont donc équivalents (c’est-à-dire réciproquement substituables) l’un à l’autre en B ; A, A’ et B’ sont équivalent ou substituables en C ; etc. Mais A n’est pas équivalent à A’ en A, ni en A’ ; et B’ n’est pas équivalent ou substituable à A, ni à A’ en B ; etc. Ce sont donc bien ces équivalences qualitatives, ou ressemblances de plus en plus générales, qui constituent le principe de la réunion, et l’absence de qualités communes de divers ordres de plus en plus spéciaux qui constitue le principe de la séparation des classes.

Le propre du niveau intuitif préopératoire est que l’enfant n’est capable que de certaines de ces réunions, et encore sans réversibilité (voir fin du § 3), tandis que les opérations concrètes marquent la généralisation de ces emboîtements simples.

2° Soit maintenant une collection d’individus A, A’, B’, etc. (que nous ne distinguerons pas pour l’instant de leurs classes singulières) présentant une même qualité, mais selon des différences d’intensité croissantes (de plus en plus lourds, ou grands, etc.). On peut alors les sérier selon ces différences. On a alors une première différence a entre O et A, une différence a’ entre A et A’, une différence b’ entre A’ et B’, etc. D’où le groupement (additif) de la sériation des relations asymétriques : a + a’ = b ; b + b’ = c ; etc., dont l’opération inverse est l’addition d’une relation converse, + (−a) ce qui équivaut à la soustraction −a.

Ce groupement, qui se traduit en opérations concrètes par [p. 100] la conduite élémentaire de la construction d’une rangée d’éléments ordonnés, n’est pas accessible avant celui de l’emboîtement des classes : les petits ne parviennent ainsi à ordonner des grandeurs croissantes que par couples ou par petites séries empiriques, sans composition transitive ni réversible.

Mais, lorsque ce groupement est achevé (soit entre 6 et 7 ans comme celui de l’emboîtement des classes), on constate que, s’il est analogue au précédent, il ne lui est cependant pas identique du point de vue des opérations en jeu. En effet, si A et A’ sont sériés selon l’ordre A → A’, c’est en tant que différents l’un de l’autre, tandis que s’ils sont réunis en une même classe A + A’ = B, c’est en tant que ressemblants. L’addition a + a’ = b n’est donc pas commutative, tandis que l’addition A + A’ = B peut se faire aussi dans l’ordre A’ + A = B ³⁵. Bref, le groupement des classes, étant fondé sur la ressemblance des éléments, ne comporte pas d’ordre quant à la classification des classes singulières A, A’, B’, etc. en chacune des totalités B, C, D, etc., mais seulement quant à l’emboîtement des classes d’extension croissante A, B, C, D, etc. Le groupement des relations asymétriques étant fondé sur la différence progressive des éléments, comporte au contraire un ordre nécessaire, une fois choisie la qualité servant de principe de sériation (poids, etc.).

De ce point de vue, les deux groupements ne peuvent fonctionner simultanément avec les mêmes objets : ou bien les objets sont classés selon leurs diverses ressemblances partielles, ou bien ils sont sériés selon une seule qualité à la fois, mais ils ne peuvent être simultanément groupés selon leurs ressemblances et selon leurs différences croissantes. Les deux groupements sont donc « complémentaires » : si l’on groupe les objets selon leurs qualités, ou bien on en choisit une selon laquelle ils seront tous différents les uns des autres (relations asymétriques et sériation), ou bien on se fonde sur la hiérarchie des équivalences de plus en plus générales (relations symétriques et emboîtement des classes), mais on ne peut réaliser les deux groupements au moyen des mêmes opérations.

3° En quoi consiste alors le nombre ? À transformer les éléments en unités, c’est-à-dire à ne pas emboîter simplement [p. 101] les termes A et A’ en B, etc. ou les relations a et a’ en b, etc. en vertu des ressemblances ou différences qualitatives perçues, mais à se donner le droit de substituer A à A’, B’, etc. ou a à a’, b’, etc., au sein de n’importe quelle classe ou relation, partielle ou totale. Or, cette mise en relation des parties elles-mêmes entre elles revient précisément à fondre en un seul tout le principe de la sériation des différences et celui de la hiérarchie des équivalences, puisqu’alors les éléments A, A’, B’, etc. deviennent simultanément substituables sans restriction et sériables sans restriction, c’est-à-dire qu’ils sont transformés en unités à la fois équivalentes et distinctes. Mais cette fusion opératoire n’est réalisable qu’au prix d’une abstraction fondamentale, qui n’est pas possible sur le terrain des groupements qualitatifs (sur lequel les éléments sont emboîtés et sériés une fois pour toutes selon leurs qualités) : c’est en faisant abstraction des qualités différentielles elles-mêmes. Supprimons, en effet, ces dernières, ce qui revient à dire que nous généraliserons l’équivalence entre les éléments singuliers désormais privés de leurs qualités : les éléments A, A’, B’, etc. deviendront ainsi substituables entre eux au sein de n’importe quelle classe, même de rang A, A’, etc. et non plus seulement au sein des classes générales. Mais, en même temps conservons le droit de sérier ces éléments, ce qui est (puisqu’ils sont devenus équivalents) le seul moyen de les distinguer encore. Seulement, à défaut de qualités distinctives, sérions-les selon l’ordre le plus général, en généralisant ainsi le principe de la différence comme nous venons de généraliser celui de la ressemblance (ou équivalence) : il s’ensuivra que tous les ordres possibles deviendront semblables entre eux, parce que, dans les suites A, A’, B’… ou A’, A, B’… ou B’, A, A’… etc., il y a toujours un terme sans antécédent, un terme qui succède à celui que nous venons de définir, etc. C’est ce que nous appellerons un ordre « vicariant ». Cela admis, le nombre n’est pas autre chose qu’une collection d’éléments ainsi rendus tous équivalents par ressemblance généralisée, et cependant maintenus tous distincts grâce à un ordre vicariant ou différence généralisée. Chacun de ces éléments constitue, en effet, une unité à la fois cardinale (puisque A = 1 ; A + A’ = 2 A ; A + A’ + B’ = 3 A, etc.) et ordinale (puisqu’il y a toujours un premier élément quel que soit l’ordre choisi, ce premier rang étant celui qui n’a pas de précédent, puis un second élément, qui est le successeur du premier, etc.).

Le groupe additif des nombres entiers est donc le produit [p. 102] d’une fusion opératoire entre les groupements qualitatifs des classes et des relations asymétriques, mais par abstraction des qualités différentielles sur lesquelles sont fondés ces derniers. Le nombre est ainsi complémentaire par rapport aux classes et aux relations asymétriques, à elles deux, comme les classes et les relations asymétriques le sont entre elles : ou bien, en effet, on tient compte des qualités différentielles et l’on ne peut que classer selon les équivalences qualitatives de plus en plus générales, ou sérier selon les différences qualitatives ; ou bien l’on fait abstraction des qualités différentielles, et l’on ne peut alors que classer et sérier à la fois, car, si l’on ne les série pas, il n’y a plus d’éléments distincts, et si l’on ne les classe pas, ils ne peuvent plus être réunis en tant qu’équivalents : or classer et sérier à la fois, c’est précisément dénombrer.

En fait, c’est ainsi que les choses se passent à tous les niveaux dans la genèse réelle des nombres. C’est dans la mesure où les correspondances qualitatives intuitives sont transformées en correspondances bi-univoques « quelconques » (voir § 4) que le nombre prend en général naissance ; or cette transformation suppose à la fois l’emboîtement des collections d’extension croissante, c’est-à-dire le groupement additif des classes, et la sériation des éléments, c’est-à-dire le groupement additif des relations asymétriques.

D’autre part, cette construction explique par le fait même pourquoi les notions ordinales et cardinales du nombre sont nécessairement solidaires dans le fini, comme l’a montré de façon décisive L. Brunschvicg. La raison en est, génétiquement, que si le nombre est fait à la fois de classes et de relations asymétriques, chacune de ces deux composantes ne saurait engendrer la forme correspondante de nombre (cardinal pour la classe et ordinal pour la sériation) qu’en s’appuyant sur l’autre. Nous retrouverons d’ailleurs à l’instant cette question (§ 7).

En conclusion, le nombre ne se réduit pas aux êtres logiques, considérés en tant que « groupements » isolables, puisqu’il leur est complémentaire et exprime leur fusion opératoire en une seule totalité non réalisable sur le plan qualitatif. Les êtres logiques ne se réduisent pas non plus au nombre, puisqu’ils résultent de la dissociation de ses composantes cardinales (emboîtement) et ordinales (sériation), avec recours aux qualités différentielles. Mais, les classes, les relations asymétriques et les nombres forment à eux trois un système opératoire cohérent, à la fois unique par ses mécaniques et différencié [p. 103] selon les trois possibilités d’une coordination des ressemblances, des différences ou des deux à la fois. Le processus de construction ainsi décrit représente donc une troisième solution, à la fois distincte de la réduction russellienne et de l’irréductibilité postulée par l’intuitionnisme du nombre entier. Cette troisième solution présente l’intérêt d’être simultanément une réduction du nombre aux opérations logiques envisagées à titre de totalités complémentaires (puisque le nombre est fait exclusivement de classes et de relations asymétriques simplement groupées de façon nouvelle, par fusion de leurs « groupements » respectifs), et une réduction de la logique au nombre (puisque les « groupements » des classes et de relations sont assimilables à des « groupes » dont on limiterait la mobilité au profit de la contiguïté et de la dichotomie : voir § 3). Or une telle réduction mutuelle, par assimilation réciproque, est précisément conforme au modèle de toutes les réductions connues entre domaines voisins. C’est ce que nous aurons l’occasion de voir bien souvent dans la suite.

Nous avons constaté jusqu’ici l’existence de deux sortes de cercles génétiques. D’une part, le nombre entier suppose les opérations logiques portant sur les classes et les relations asymétriques qualitatives, mais ces opérations logiques elles-mêmes supposent à leur tour une quantification prénumérique, sous la forme des quantités intensives « un », « aucun », « quelques » et « tous » lesquelles deviendront numériques sitôt écartées les qualités différentielles. D’autre part, le nombre cardinal suppose une ordination des unités, nécessaire à leur différenciation, tandis que le nombre ordinal suppose la colligation des termes ordonnés, sans quoi n + 1 ne saurait être distingué de n. Or, ces cercles ne gênent nullement les axiomaticiens, qui parviennent à reconstruire sous forme de théories cohérentes et linéaires, c’est-à-dire exemptes de contradictions et de cercles vicieux, les diverses structures numériques, comme si elles subsistaient en une sorte d’absolu une fois posés les axiomes, les définitions et les notions indéfinissables de départ. Il nous paraît donc essentiel d’examiner, sur un exemple particulier, comment peut s’effectuer le raccord de l’analyse axiomatique et de l’analyse génétique, problème qui se retrouve sans cesse et sous les aspects les plus variés en une épistémologie psychologique.

[p. 104] À nous borner au nombre entier, il existe à son seul sujet, un grand nombre d’axiomatiques : celles de Hilbert, de Padoa, de Landau, etc. Rappelons simplement les cinq célèbres axiomes de Peano, qui suffisent à engendrer toute la numération une fois admis les trois concepts fondamentaux de zéro, de n (un nombre quelconque) et de successeur (la loi fondamentale + permettant de passer d’un nombre à son successeur) : (1) 0 est un nombre ; (2) le successeur d’un nombre est également un nombre ; (3) deux nombres n’ont jamais le même successeur (ou : si les successeurs de deux nombres sont identiques, ces nombres le sont aussi) ; (4) le successeur d’un nombre ne peut être 0 ; (5) si une classe contient 0 et un nombre quelconque n, et si le successeur de n en fait également partie cette classe contient tous les nombres (principe d’induction complète).

Le problème qu’il convient de nous poser est alors de déterminer les rapports entre une telle axiomatique et les analyses génétiques qui précèdent, tant en ce qui concerne les ressemblances que les oppositions, et tant en ce qui concerne la méthode elle-même que ses résultats.

Il est une première ressemblance qui s’impose, quelles que soient les différences de méthodes : pas plus l’analyse axiomatique que l’analyse génétique ne sauraient remonter à un point de départ absolu, toutes deux étant condamnées à une regressio ad infinitum si elles veulent se passer de données — données indémontrables ou indéfinissables dans le cas des axiomes et des notions axiomatiques de départ, et données inexplicables dans le cas de la psychogenèse. En effet, en ce qui concerne la régression génétique, il est possible de montrer comment les opérations numériques sont préparées par les opérations de classes et de relations, et comment celles-ci constituent le « groupement », par composition réversible, d’actions prenant racine dans les coordinations sensori-motrices. Mais dire que ces dernières tiennent à des coordinations organiques, ce n’est déjà plus rien dire de précis eu égard à l’explication du nombre, et remonter au-delà conduit en plein inconnu : c’est donc sur les stades supérieurs que portera l’explication, et une fois donnés les éléments qui la rendent possible. Or, en parallélisme avec cet arrêt forcé de l’analyse régressive, l’axiomatique se donne au départ des définitions et des axiomes, mais sans jamais pouvoir tout définir ni être assuré d’avoir atteint les axiomes les plus simples, envisagés isolément, ni les plus cohérents. C’est donc sur le terrain, non pas seulement de [p. 105] départ, mais de l’organisation préalable des notions utilisées pour la mise en marche de la construction axiomatique, que les cercles pourraient se retrouver.

En ce qui concerne d’abord les définitions, chacun sait que l’on ne saurait définir toutes les notions intervenant en un système abstrait, puisque l’on ne définit une notion qu’au moyen d’autres notions. Les notions utilisées constituent donc bien un cercle, et l’on n’évite ce cercle, du point de vue formel, qu’en répartissant toujours les concepts en définissables et en indéfinissables. Or, il va de soi qu’un concept n’est jamais en lui-même définissable ou indéfinissable, mais seulement eu égard au système adopté. On est donc toujours libre de choisir ses indéfinissables et ses définitions (c’est-à-dire les notions que l’on décide de définir et la manière dont on les définit), mais il y a toujours des concepts indéfinissables et ils sont aussi importants que les notions définies, car ils peuvent contenir une suite inépuisable d’implications opératoires. Seulement, la règle du jeu (en même temps que l’art de l’axiomaticien) consiste précisément à n’utiliser dans la construction formelle les notions définies qu’en s’en tenant à la manière dont elles ont été définies et à réduire les indéfinissables au minimum, sans avoir par conséquent à chercher ce qu’elles recouvrent. C’est ce qui permettra, en particulier, de s’en tenir aux notions ordinales (ou cardinales) que l’on désire introduire explicitement, en faisant abstraction des autres aspects du nombre, et il est évidemment interdit par la règle du jeu de réintroduire en cours de route ce qui a été écarté au départ. Mais d’un point de vue épistémologique, et non pas seulement de celui de la seule technique formelle, la question est naturellement alors de savoir si ces notions écartées ont pu l’être réellement, ou si elles sont toujours présentes (et par conséquent à l’œuvre) dans les indéfinissables. En d’autres termes, l’axiomatique s’en tient, et doit s’en tenir, à ses « définitions nominales », mais l’épistémologie est obligée de dégager les notions ou opérations réelles qui ont permis de les poser.

À cet égard, l’axiomatique du nombre entier de Peano est extrêmement instructive par le choix de ses trois concepts fondamentaux. Qu’est-ce, en effet, que la notion de successeur ? On peut la ramener au minimum, comme exprimant simplement la loi qui « crée les numéros les uns après les autres » ³⁶ et dont l’application sera symbolisée par le signe +. Mais, même [p. 106] en admettant que la construction portera sur de simples numéros et que le signe + conservera un sens purement ordinal, nous demanderons, pour autant qu’il s’agit de dégager la signification épistémologique d’une telle construction, en quoi consiste la succession de deux numéros et comment on distinguera le numéro n + 1 du numéro n ? Or, définir la notion de succession (même dans le cas de deux numéros) engagera évidemment toute la logique des relations asymétriques et fera rapidement intervenir des indéfinissables de caractère proprement opératoire, qui tiendront au pouvoir de l’intelligence (ou de l’action) de constituer un ordre. Quant à l’opération +, qui engendre la suite (1 numéro) + (1 numéro) + (1 numéro) + …, son emploi, qui traduira précisément les indéfinissables en jeu dans la notion de « successeur », sera toujours soumis à la condition suivante : ou bien un numéro quelconque ne se distingue du précédent que parce qu’il existe un nombre cardinal de numéros déjà écrits avant lui, ou bien chaque numéro est affecté d’un signe distinctif (nom, etc.) particulier. Mais ces signes distinctifs ne, peuvent eux-mêmes être définis qu’en distinguant le numéro n + 1 du numéro n par le fait que n + 1 comporte déjà un nombre cardinal n de numéros avant lui, tandis que le numéro n n’en comporte que n − 1. Dira-t-on qu’il est inutile de compter (cardinalement) les numéros puisque leur succession ordinale se suffit à elle seule et ne repose que sur l’absence d’antécédent pour le premier numéro et la suite des antécédents pour les suivants ? Mais précisément l’absence d’antécédent ordinal signifie une classe nulle ou un nombre cardinal nul d’antécédents et la suite ordinale des antécédents ultérieurs suppose un nombre cardinal d’actes, nécessaire à invoquer pour les distinguer les uns des autres : contrairement à une sériation simplement logique, dans laquelle les termes se distinguent par leurs qualités intrinsèques (par exemple A < B < C, etc.) sans qu’il soit besoin de les compter pour les différencier, de purs numéros d’ordre ne peuvent, en effet, différer les uns des autres que par le nombre cardinal des antécédents de chacun. Si l’on veut tout expliciter, l’opération numérique + implique donc un arrière-plan de cardination derrière l’ordination : cette cardination intervient d’ailleurs explicitement dans la proposition (5), dans laquelle il est question de la « classe » des numéros. Donc, à vouloir tout expliciter, le nombre se réduira à une synthèse de classes et de relations asymétriques axiomatiquement comme génétiquement. Mais l’axiomaticien se réserve précisément le droit de ne pas tout expliciter, [p. 107] en ce qui concerne les indéfinissables et l’utilisation délimitée des opérations introduites, quitte à n’en être que plus exigeant dans le corps même de la construction formelle élaborée grâce à eux.

Venons-en maintenant aux axiomes eux-mêmes. La question, pour l’axiomatique, est de savoir s’ils sont simples et cohérents, c’est-à-dire, d’une part, indépendants les uns des autres et, d’autre part, non contradictoires entre eux. Gonseth a fort clairement montré ³⁷ comment l’axiomaticien s’y prend pour remplir ces deux exigences, solidairement car « l’indépendance et la cohérence d’un système ne peuvent être traitées que simultanément » (p. 207). C’est en « construisant » successivement des axiomatiques négligeant l’un des axiomes en jeu que l’on voit si celui-ci est indépendant, car ces constructions peuvent alors aboutir à des résultats contraires à l’axiome négligé (p. 37). Mais c’est seulement de cette même manière indirecte que l’on s’assure de la cohérence, car on ne peut démontrer directement la non-contradiction d’un axiome ni celle de deux axiomes l’un par rapport à l’autre. Pour démontrer la non-contradiction d’un axiome isolé, il faudrait démontrer auparavant la non-contradiction de la logique elle-même : on voit alors réapparaître le cercle fondamental commun aux analyses génétiques et axiomatiques puisque, pour démontrer la non-contradiction de la logique il faut nécessairement employer cette dernière. Quant à la non-contradiction des axiomes entre eux, elle ne se vérifie que par l’examen de leurs résultats, car, à vouloir la démontrer directement il faudrait remonter à toutes les vérités préalables qu’ils impliquent, ce qui nous ramène à la non-contradiction de la logique elle-même. Les innombrables éléments implicites d’une axiomatique s’appuient donc les uns sur les autres en un cercle sans fin, que seul l’emploi d’axiomes choisis à titre de point de départ conventionnel de la construction peut transformer en une suite linéaire.

La conclusion à laquelle nous conduisent ces remarques est donc que la construction axiomatique est plus parallèle qu’il ne semble à la construction génétique, quoique la seconde soit librement remaniée par l’axiomatisation. La raison en est que si les différentes axiomatiques possibles sont élaborées de façon autonome, certaines connexions fondamentales demeurent communes à toutes parce qu’elles traduisent précisément les cercles génétiques. En quoi consistent ces connexions ? Il convient ici [p. 108] d’introduire une distinction essentielle. Il intervient, d’une part, en une axiomatique, un ensemble d’implications explicites, qui sont les implications entre propositions, déterminées par les définitions de départ. Mais d’autre part, il intervient comme nous venons de le voir, des liaisons implicites notamment entre les opérations et les notions indéfinissables. Or, au lieu de constituer simplement des implications entre propositions, ces liaisons représentent des implications entre opérations : p. ex. l’opération + implique à la fois les opérations d’ordre et de colligation, s’il s’agit d’additionner des unités homogènes ; etc. Par conséquent, ces implications entre opérations constituent le corrélatif de ce qu’est génétiquement cette abstraction sui generis à partir des actions ou opérations antérieures, décrite au § 2, et reposent ainsi sur la généralisation par composition opératoire et non pas par simple emboîtement des propositions particulières dans celles qu’elles impliquent. C’est pour cette raison que les analyses axiomatiques et génétiques sont en réalité complémentaires et non pas divergentes. En effet, une axiomatique ne porte pas directement sur les opérations elles-mêmes, mais sur des propositions qui expriment leurs résultats. Ce sont donc les implications entre ces propositions seules qu’envisage l’axiomaticien, et non pas les connexions préalables entre les opérations, connexions dont il retient uniquement le minimum dont il a besoin pour chaque construction particulière. Ce sont au contraire ces implications entre opérations elles-mêmes qui intéressent le généticien, et c’est en quoi les deux sortes de recherches sont complémentaires, l’une portant sur les liaisons préalables ou implicites, sans doute inépuisables, l’autre sur leur explicitation formelle, sans doute toujours partielle. Qu’il y ait entre ces deux attitudes, opérative ou formalisatrice, convergence possible, c’est ce que l’histoire atteste sans cesse ; mais qu’il y ait divergence apparente, c’est ce qu’elle ne montre pas moins, comme nous allons en voir maintenant des exemples avec les nombres dérivés des entiers positifs, à commencer par le nombre négatif.

La comparaison de l’histoire des nombres négatifs avec celle des entiers positifs est singulièrement instructive. Du point de vue opératoire, rien ne paraîtrait plus simple que d’ajouter ou d’enlever en pensée une première collection à une seconde, celle-ci fût-elle la plus petite des deux, momentanément ou définitivement ; le caractère réversible des opérations d’addition et de soustraction semblerait [p. 109] donc devoir entraîner sans plus la nécessité de compléter la suite directe des nombres entiers positifs par la suite inverse des entiers négatifs, ceux-ci résultant de la soustraction n₂ − n₁ si n₁ > n₂. La signification de telles opérations est même si générale qu’elle n’a rien de spéciale au nombre et se trouve déjà en jeu dans les réunions et séparations de classes qualitatives. Lorsque le langage courant dit « Tous les Mammifères, sauf (à l’exception de, hormis, etc.) les Cétacés, ont des pattes », il exprime l’opération B (= les Mammifères) − A (= les Cétacés) = A’ (= les Mammifères autres que les Cétacés). La classe des Cétacés sera donc affectée d’un signe de soustraction (− A) dans la transcription algébrique de cette phrase. Si maintenant l’on construit la classe des Vertébrés sans pattes, on dira inversement « Tous les Mammifères en sont exclus, sauf les Cétacés », ce qui s’écrira − (B − A) = − A’ ou encore + A — B = − A’, c’est-à-dire que le renversement des signes de l’équation logique B − A = A’ aboutira à la notion d’une classe négative − A’ résultant de l’exclusion (soustraction) d’un tout − B plus grand que la partie retenue + A. Quant aux opérations numériques spontanées, chacun a toujours compris, dès leur application aux échanges économiques ou aux chemins parcourus, qu’en achetant davantage que ce qu’on a payé on contracte une dette et qu’en reculant plus qu’on a avancé on fait au total une marche arrière, ce qui constitue proprement un emploi, dans l’action même, du nombre négatif.

Comment donc expliquer ce fait extraordinaire que les nombres négatifs n’aient été reconnus en mathématiques qu’avec l’arithmétique de Diophante, et surtout avec les débuts de l’algèbre, et soient restés étrangers à la pensée commune des Grecs ? C’est que, indépendamment de toute axiomatique, les deux attitudes opératoire et formalisatrice correspondent déjà à deux paliers bien distincts de la construction opératoire elle-même : celui des opérations concrètes, qui consistent à coordonner entre elles les actions mentalisées, et celui des opérations formelles, qui consistent à les réfléchir sous forme d’opérations symboliques ou hypothético-déductives et à les traduire en propositions. Que le nombre négatif prolonge directement le nombre positif sur le premier palier n’entraîne donc pas forcément cette conséquence que le mathématicien cherchant à formaliser les propriétés du nombre prenne conscience aussi rapidement des nombres négatifs que des nombres positifs, car la réflexion sur les opérations concrètes en renversera le sens d’orientation et partira de leur résultat avant d’atteindre [p. 110] leur mécanisme (ce que nous avons précisément vu au § 7 à propos de l’axiomatique du nombre entier lui-même). C’est pourquoi le résultat le plus simple des opérations concrètes, c’est-à-dire le nombre positif, donne lieu à une prise de conscience bien avant le nombre négatif, lié au développement du mécanisme opératoire comme tel.

Mais il y a plus. Par suite de cette même difficulté à la prise de conscience des opérations dans leur mécanisme intime (sur laquelle nous reviendrons sous sa forme générale au chap. III), le nombre négatif une fois formé a pu donner lieu à des doutes quant à sa valeur de connaissance, et ceci à cause du réalisme du nombre entier et faute de concevoir le nombre positif lui-même comme étant de nature opératoire.

C’est ainsi que J. d’Alembert, dont M. Müller a retracé la philosophie en un livre attachant ³⁸, en est venu à trouver obscure la notion de quantité négative, malgré les modèles économiques (dettes) ou géométriques (inversion de direction, etc.) qui en justifient pratiquement l’emploi. Il vaut la peine de peser les arguments de l’auteur du célèbre principe mécanique qui perpétue son nom. L’algèbre, a-t-il soutenu, est évidente ou du moins devrait l’être, en tant que généralisant des idées premières fondées sur la sensation. De ce point de vue, l’idée de nombre positif doit sa valeur au fait qu’il est abstrait des collections concrètes elles-mêmes et qu’il s’y rattache par le seul intermédiaire d’une désignation symbolique. Or, le nombre négatif ne saurait s’abstraire de rien de sensible, puisqu’il correspond à quelque chose d’inexistant ; s’il se réfère à une telle absence, ce n’est donc plus à la manière dont le nombre positif réunit les termes d’une telle collection présente : c’est relativement à une attente du sujet lui-même. En d’autres remarques, citées par M. Müller, et où d’Alembert semble avoir changé de point de vue, les quantités négatives sont dites « tout aussi réelles que les positives ; elles n’en diffèrent que par le signe qui les précède », mais « ce signe ne sert qu’à modifier et à corriger une fausse supposition » (p. 83). Cela revient encore à dire que la quantité négative diffère des positives relativement à l’attente du sujet (découverte d’une absence à la place d’une présence), sans pour autant correspondre comme elles à une réalité sensible désignée par la langue mathématique.

Ces hésitations du grand d’Alembert sont singulièrement [p. 111] instructives quant à la nature active et non point statique du nombre négatif et du nombre entier en général. Il est clair, en effet, que si l’on conçoit toute notion mathématique comme devant être dérivée de la perception, le nombre négatif ne saurait se justifier puisqu’il correspondrait à une absence de perception, ou moins encore, et qu’il n’y a pas de degrés dans les perceptions nulles. Mais l’étonnant est que cette contradiction entre l’interprétation sensualiste de la connaissance et la réalité mathématique, n’ait pas conduit un esprit aussi porté au concret et rompu aux considérations mécaniques que d’Alembert à comprendre que la nature essentielle du nombre n’est ni statique ni perceptive, mais bien dynamique et liée à l’action elle-même, intériorisée en opérations. De ce point de vue, le nombre négatif est entièrement comparable au nombre positif : il est dû à la même action, au sens le plus strict du terme, mais simplement orientée en sens inverse. Ajouter une unité constitue ainsi le nombre positif + 1 de la même manière que l’enlever constitue le nombre négatif − 1. Il est vrai que d’enlever − 1 à une collection déjà formée (p. ex. 5 − 1) semble ne pas conférer à − 1 la qualité de nombre négatif, mais appliquer seulement au nombre 1 l’opération de la soustraction, tandis que d’enlever − 1 à une collection nulle paraît constituer une action impossible ou purement imaginative (comme on dira plus tard « nombre imaginaire » pour l’extraction de la racine √1). Mais c’est justement le propre des opérations mentales que de prolonger l’action réelle, c’est-à-dire actuelle et matérielle, en actions futures ou passées, simplement possibles ou même impossibles à réaliser en fait de telles opérations n’en demeurent pas moins des actions, puisque d’enlever − 1 à 0, ce qui constitue le début des nombres négatifs au sens strict du terme, consiste à s’engager à enlever − 1 sitôt que la collection actuellement nulle, c’est-à-dire donnée à l’état de cadre sans contenu, se remplira d’un contenu positif. C’est p. ex. ce que le calcul des valeurs économiques fait chaque jour en présence d’une bourse ou d’un coffre vides.

Bien plus : du fait que le nombre négatif résulte des mêmes actions que le nombre positif, mais orientées en sens inverse, il s’ensuit que le passage de ces actes (ajouter ou enlever) aux aspects spatiaux et cinématiques de l’action s’effectue sans intervention de conventions nouvelles, conférant ainsi un aspect positif et négatif non pas seulement aux nombres comme tels mais aux unités de la métrique linéaire. Rien n’est plus simple p. ex. que de composer des distances selon que les mouvements [p. 112] sont orientés en sens direct ou inverse. Et, avant même la compréhension de ces notions, l’enfant parvient à inverser un ordre linéaire ABC en une suite CBA, ce qui correspond à nouveau aux opérations + et −.

Or, non seulement de tels faits prouvent à l’évidence le caractère actif et non pas perceptif du nombre négatif, mais encore ils vérifient par cela même l’hypothèse de la nature également opératoire du nombre positif lui-même. Il serait, en effet, inadmissible d’attribuer à la perception des collections d’objets l’origine des nombres positifs, c’est-à-dire de considérer ceux-ci comme « abstraits » à partir de ces objets, quand l’absence de cette perception n’empêche pas la formation des nombres négatifs. Sans doute cette perception des collections dénombrées joue-t-elle un rôle dans les facilités intuitives de l’action et, par conséquent, dans la prise de conscience du nombre positif, et c’est ce que l’on peut accorder à d’Alembert, mais les facilités intuitives ne se confondent pas avec les coordinations comme telles de l’action et la prise de conscience n’est pas la construction, [p. 113] puisqu’elle renverse même parfois l’ordre génétique de celle-ci. La découverte historique tardive du nombre négatif par rapport à l’emploi si primitif, non seulement du nombre positif, mais encore des opérations inverses constituant, dans l’action même, l’équivalent anticipé des nombres négatifs, ne confirme donc en rien l’empirisme ou le « sensualisme » : elle conduit simplement à dissocier, du point de vue du déroulement de l’histoire des idées autant qu’à celui de la construction psycho-génétique, le rôle respectif des facteurs de représentation et de coordination en jeu dans l’action opérative ainsi que dans sa prise de conscience ou sa formulation réfléchie. On pourrait sans doute soutenir simplement que le nombre positif est apparu bien avant le nombre négatif parce qu’une opération directe est plus facile à généraliser que son inverse. Mais cette explication demeure équivoque, parce qu’aucune opération n’est inverse en elle-même : il serait p. ex. légitime de considérer la séparation ou soustraction comme l’opération directe et la réunion ou addition comme son inverse, et c’est bien ainsi que l’on s’exprimerait dans un univers rigoureusement continu. Si l’on emploie le langage contraire et si la succession historique des découvertes réflexives a débuté par celle du nombre positif, c’est que la prise de conscience du mécanisme des actions procède de la périphérie au centre et commence par s’attacher aux objets sur lesquels porte l’action plus qu’aux phases de celle-ci : il est donc plus facile, dans le domaine du discontinu, de raisonner sur les objets réunis que sur l’acte même de la réunion, et c’est ce qui explique le primat du nombre positif puisque cette représentation périphérique facilitant la prise de conscience fait défaut aux collections séparées ou négatives.

En bref, plus encore que le nombre positif, le nombre négatif atteste la nature opératoire du nombre : on ne saurait abstraire des objets leur propre exclusion, comme on imagine, à s’en tenir au seul résultat extérieur de l’action de réunir, que l’on puisse extraire des collections déjà constituées leur pluralité positive. Le nombre négatif apparaît donc comme le modèle de l’abstraction à partir de l’action et non pas de l’objet, et cette conclusion confirme ce que nous ont déjà enseigné les entiers positifs eux-mêmes. Mais, plus encore que le nombre négatif, il est un nombre qui, à lui seul, aurait pu nous servir de critère décisif : c’est le nombre zéro, qui fournit le prototype à la fois d’une prise de conscience tardive et d’une impossible abstraction à partir de l’objet. C’est, en effet, l’une [p. 114] des grandes découvertes de l’histoire des mathématiques que d’avoir fait du zéro un nombre, car si le zéro logique (« aucun ») est sans doute aussi ancien que le langage (et peut-être même le « non » a-t-il toujours précédé le « oui »), il a fallu vaincre les mêmes difficultés pour prendre conscience du zéro arithmétique que du nombre négatif. Or, la raison de ces difficultés apparaît ici en plein jour : si la prise de conscience remonte de la périphérie au centre, la dernière de ses étapes consistera assurément à remarquer qu’une absence d’opération est encore une opération. Tant que l’on a cherché le nombre dans l’objet, la suite des nombres a commencé par conséquent à 1. Faire du zéro le premier des nombres, c’est au contraire renoncer à abstraire ceux-ci de l’objet (le zéro logique suffisant à exprimer son absence) et à les tirer des opérations seules, toute opération additive composée avec son inverse aboutissant alors à cette opération fondamentale qu’est l’absence d’opération, c’est-à-dire l’« opération identique »

Le nombre fractionnaire soulève, comme le nombre négatif, la question des rapports entre l’action opératoire et la représentation perceptive, et par conséquent entre les deux sortes d’abstractions, à partir de l’action ou à partir de l’objet lui-même. Bien qu’apparu plus tard que le nombre entier positif, le nombre fractionnaire a vu également sa formation favorisée par des considérations perceptives, fondées en l’espèce sur le fractionnement des objets continus autant que des ensembles discontinus. L’importance du partage a été, en effet, décisive dans sa découverte et la prépondérance attribuée souvent à la partition des objets continus, comme un champ ou un gâteau a conduit certains auteurs à attribuer au nombre fractionnaire une origine plus spatiale qu’arithmétique pure, et (ce qui ne revient d’ailleurs nullement au même) plus perceptive qu’opératoire. Il s’agit donc d’examiner comment la considération du rapport entre les parties au sein d’un même tout a imposé la notion de nombre fractionnaire : est-ce en vertu de coordinations opératoires analogues à celles que nous venons de voir à l’œuvre dans la construction du nombre entier positif ou négatif, ou l’intervention de la perception et de la représentation intuitive apparaît-elle ici comme nécessaire en un sens impliquant l’abstraction à partir de l’objet lui-même ?

Dans un intéressant passage de ses Étapes, L. Brunschvicg s’oppose à l’effort de Riquier pour justifier l’indépendance des [p. 115] fondements arithmétiques du nombre fractionnaire à l’égard des considérations physico-arithmétiques : « Pour nous, l’arithmétique des nombres entiers est déjà une discipline physico-arithmétique, et c’est ce qui en fait la valeur de science. Dès lors, si nous voulons conserver cette valeur, nous devons maintenir dans le domaine des fractions le même ordre de connexion que dans le domaine des nombres entiers, et concevoir qu’aux transformations mentales effectuées sur les expressions fractionnaires correspondent les transformations effectuées sur les choses elles-mêmes » ⁴⁰. Il va de soi que si l’on entend par « physico-arithmétiques » les opérations susceptibles d’« effectuer des transformations sur les choses elles-mêmes », nous nous rallions à la double thèse de Brunschvicg d’une continuité entre le nombre entier et le nombre fractionnaire et de la nature opératoire de ces sortes de nombres. Mais il ne faudrait conclure de là, ni que les nombres fractionnaires soient abstraits des objets physiques — puisqu’ils consistent en actions ou opérations exercées sur ces objets, et sont donc extraits du mécanisme de l’action elle-même — ni que l’expérience physique soit de même nature que l’opération mathématique. Si insensibles que demeurent les transitions entre les deux sortes de connaissances, l’expérience physique débute lorsque, en plus des opérations tirées de la coordination générale des actions, intervient une abstraction à partir de l’objet lui-même : la connaissance physique suppose en effet un ensemble d’actions spéciales, ne se bornant plus à réunir ou à séparer, à faire correspondre par associations ou à diviser, etc., c’est-à-dire à utiliser les aspects les plus généraux et la coordination même des actions, mais portant sur des qualités particulières (vitesse, temps, force, etc.) qui différencient les objets comme tels. De ce point de vue, il est évident que le nombre fractionnaire demeure, comme le nombre entier, relatif à la coordination opératoire elle-même et ne fait point intervenir ces actions spéciales.

Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des nombres fractionnaires comme dans celui des entiers positifs et négatifs, la prise de conscience qui a conditionné l’évolution historique de la notion s’est attachée d’abord aux représentations perceptives ou imagées avant de dégager l’élément proprement actif ou opératoire qui constitue le vrai moteur de cette généralisation [p. 116] du nombre. C’est pourquoi on a attribué si souvent l’origine des nombres fractionnaires à l’expérience physique du fractionnement, d’une part (opposée à l’action même de partager), ou à des considérations métriques, d’autre part : d’où l’hypothèse que le nombre fractionnaire est dû à des préoccupations spatiales plus que numériques.

Que deviennent alors les questions de la divisibilité de l’unité et de l’origine des nombres fractionnaires ? L’analyse génétique fournit à cet égard trois sortes de résultats. En premier lieu, il n’est pas certain que la notion de fraction soit découverte sur le terrain infralogique des objets continus avant de l’être sur celui des ensembles discontinus de caractère logico-arithmétique, ces deux sortes de fractions se construisant sans doute simultanément. En effet, au niveau des opérations concrètes, l’unité reste relative à la réalité dénombrée ou mesurée, de telle sorte qu’en présence de quelques billes ou jetons, l’unité peut être conçue aussi bien comme étant la collection elle-même (le « tas », etc.) que l’objet individuel : l’enfant concevra donc aussi facilement les fractions simples de la moitié (½), du quart ou même du tiers s’il décide de répartir la collection en deux moitiés ou quatre quarts, etc. que s’il s’agit des deux moitiés ou des quatre quarts d’un gâteau. Et s’il parvient de lui-même facilement à comprendre ces fractions dans les deux cas, à un certain niveau de développement, les difficultés seront les mêmes aux niveaux antérieurs et tiendront (dans les deux cas également) à une incompréhension des relations [p. 118] entre la partie fractionnée et les autres, ainsi qu’entre elle et le tout : « la moitié de la moitié » donnera p. ex. lieu aux mêmes tâtonnements initiaux dans le cas du gâteau que dans celui de la collection à répartir, faute d’un schéma d’emboîtement et de comparaisons entre les parties elles-mêmes.

En second lieu, même dans les cas où la notion de fraction apparaît sur le terrain des objets continus et de l’espace avant de s’appliquer aux collections numériques, l’isomorphisme étroit entre les opérations infralogiques et les opérations logico-arithmétiques, donc entre la formation de la mesure et celle du nombre, supprime toute opposition épistémologique entre la fraction métrique et la fraction numérique : l’une et l’autre supposent le même passage entre l’action, accompagnée d’intuition perceptive, et l’opération réversible concrète et, dans l’un et l’autre cas, le rapport exprimé par le fractionnement n’est qu’une généralisation des opérations formatrices du nombre lui-même (qu’il se présente sous la forme d’unités métriques ou d’unités simples).

En troisième lieu, toute différence entre les opérations infralogiques et logico-arithmétiques disparaît sur le plan formel, les deux sortes d’opérations étant alors traduites sous forme de propositions et les rapports de partition, de déplacement et de mesure se réduisant par le fait même à des rapports logiques ou logico-mathématiques comme les autres. De fait, l’homogénéité complète du nombre fractionnaire et du nombre entier a été mise en évidence, sur le terrain formel, par la théorie des couples développée par Weierstrass et étendue aux nombres complexes eux-mêmes par Hänkel : tout nombre étant, en ce schéma, représentable par un couple, il n’existe plus de distinction entre les nombres fractionnaires et les autres catégories de nombres.

La découverte du nombre irrationnel a soulevé sous une nouvelle forme ce problème de l’opposition apparente et de l’isomorphisme réel entre les opérations arithmétiques et les opérations géométriques. Que la découverte de ces nombres ait été due au développement, en général attribué à Théodore de Cyrène, des racines d’entiers qui ne sont pas des puissances parfaites, ou à la constatation de l’incommensurabilité du rapport du côté et de la diagonale des carrés (en un carré de côté 1, p. ex., la diagonale est, en vertu du théorème de Pythagore, de √2 qui est incommensurable), elle a été, comme chacun le sait, au point de départ de la crise du pythagorisme. Le divorce a dû être proclamé entre les rapports numériques [p. 119] simples et les relations spatiales élémentaires : la continuité de celles-ci semblait demeurer irréductible aux nombres entiers ainsi qu’aux fractions « rationnelles », ce vocable indiquant assez le jugement de valeur au nom duquel seuls certains rapports étaient censés épuiser la nature du nombre. La crise n’a pris fin, en fait, qu’avec l’analyse infinitésimale, d’abord, et surtout avec la double construction, géométrique et arithmétique, du continu. D’une part, Weierstrass a fourni simultanément l’expression du continu géométrique et la démonstration que les nombres rationnels ne peuvent correspondre terme à terme à l’ensemble des nombres réels, les premiers étant insuffisants pour combler l’intervalle entre deux nombres quelconques. D’autre part, Dedekind et Cantor ont analysé le continu géométrique par la méthode des coupures et des emboîtements convergents, tandis qu’ils définissaient parallèlement les nombres irrationnels, le premier par des coupures analogues et le second par les séries mêmes dont ils sont les limites. On sait d’ailleurs que les nombres irrationnels sont de multiples natures : les uns sont « algébriques » tandis que d’autres sont « transcendants », comme les nombres n et e, à signification géométrique bien connue et qui ne sont les racines d’aucune équation algébrique finie (rentrant ainsi dans les cas prévus par Abel et Galois où les racines d’une équation entière ne résultent pas de simples combinaisons algébriques). On s’accorde par conséquent à conclure que même si les nombres irrationnels ont pu être suggérés par des considérations géométriques et en particulier si le continu arithmétique, rendu possible grâce à eux, a été construit pour rejoindre le continu spatial, les nombres irrationnels relèvent d’une construction autonome. Ils constituent donc le point de jonction entre les opérations qui, génétiquement, sont issues des deux domaines parallèles de l’infralogique et du logico-arithmétique, et attestent jusque dans cette fonction même l’isomorphisme des constructions numériques et des constructions spatiales.

Bref, comme les nombres fractionnaires, les nombres irrationnels vérifient en réalité à la fois l’indépendance et le parallélisme entre les opérations arithmétiques et géométriques, bien que ce parallélisme ait d’abord paru en défaut dans le cas des seconds, tandis qu’il a d’emblée éclaté aux yeux dans le cas des premiers (et bien que cette indépendance ait pu être contestée dans les deux cas). Du point de vue génétique, ce même équilibre atteint par deux systèmes opératoires, indépendamment des circonstances ayant provoqué les découvertes [p. 120] ou motivé les prises de conscience montre assez combien la coordination opératoire se libère des objets auxquels elle s’applique au point de départ, parce que résultant des actions du sujet par opposition aux données perceptives ou aux intuitions imagées.

Avec la construction des nombres imaginaires ou complexes, contrairement au cas des nombres négatifs, fractionnaires et irrationnels, déjà connus de l’antiquité, nous abordons une généralisation du nombre qui a d’emblée pris une forme opératoire, sans intervention initiale des contingences sensibles ou même géométriques. Le problème est alors de préciser le sens de ces opérations pures : sont-elles demeurées à l’état de simple symbolisme formel, ou bien ont-elles rejoint, mais cette fois après coup et de façon par conséquent imprévisible au départ, les considérations géométriques ou même physiques ?

Application de l’opération de l’extraction de la racine carrée aux nombres négatifs (cette généralisation étant imposée entre autres par la solution des équations du deuxième degré), la notion du nombre imaginaire √− 1 fournit le modèle d’une « expérience mentale » qui n’aurait point d’objet, puisqu’il n’existe pas de carré négatif ou qu’une quantité négative est un objet exclu ou soustrait du domaine d’expérience considéré ! L’expérience mentale, invoquée par les empiristes comme une preuve de la soumission de l’esprit au réel, est donc bien ici ce que nous avons vu qu’elle était déjà dans la construction du nombre entier : la reproduction mentale d’une action ou d’une opération, indépendantes des caractères de l’objet sur lequel elles portent, et non pas la reproduction d’une réalité indépendante de l’acte, puisque précisément le nombre imaginaire a commencé par ne constituer que le schème d’une opération sans objet. Certes, ce schème constitue le prolongement, dans le virtuel, d’opérations réelles en leur source, mais comment une action, réelle en son point de départ, telle que l’extraction de la racine (cas particulier de la division), pourrait-elle se prolonger sans objet d’application, si, dès ce départ, l’opération ne consistait en quelque chose de surajouté à l’objet et non point en quelque chose d’extrait ou d’abstrait des objets ? Donc si le schème opératoire ne consistait en un schème d’assimilation (celle-ci étant par définition une adjonction à l’objet) et non pas en une simple accommodation ? Lorsque la physique [p. 121] applique à une autre échelle (plus grande, ou plus petite), les notions dues à une abstraction des qualités observées à notre échelle, cette extrapolation illégitime conduit à toutes sortes de difficultés (temps absolu inapplicable aux grandes vitesses, notion de corpuscules permanentes inapplicable à l’échelle micro-physique, etc.) : c’est précisément qu’il s’agit alors d’abstractions à partir de l’objet inutilisables en dehors de leur contexte d’observation. Si l’extraction de la racine carrée était due à une abstraction du même genre que celle d’une qualité physique tirée de l’expérience, son emploi deviendrait simplement absurde, passées les limites du réel. À titre de généralisation d’une action qui ajoute ses effets à l’objet et qui peut, par conséquent, se passer de lui, le symbole √− 1 est au contraire entièrement intelligible, au même titre que le symbole + 1. Tout « imaginaire » que soit le nombre i = √− 1, qui ne fournit effectivement aucune solution réelle à titre de racine d’une équation, il signifie, en effet, que i² = − 1. « Sans doute, il n’est pas contradictoire de faire reposer cette proposition sur une convention arbitraire. Mais, ce qui resterait à expliquer, comme le dit profondément L. Brunschvicg, c’est que la quantité − 1 issue du produit des deux symboles (i × i) ait pu être identifiée avec la quantité − 1 qui pour nous est le résultat naturel et vrai d’une opération telle que 1 − 2, sans que cette identification ait compromis l’équilibre et l’homogénéité du système de la science » (Étapes, p. 543). Or, Weierstrass et Dedekind ont montré que l’existence des nombres complexes est nécessaire pour donner à l’algèbre toute son extension, tandis que Gauss les introduisait dans la théorie des nombres elle-même. On a ainsi constitué une algèbre des nombres complexes, de forme (a + bi) conservant les lois de commutativité et complétant nécessairement l’algèbre ordinaire.

Or, chose remarquable, cette opération sans objet qu’est, au point de départ, le nombre imaginaire, non seulement s’est donc incorporée de la façon la plus intime au système des opérations arithmétiques et algébriques portant sur les ensembles d’objets, mais encore a acquis une signification géométrique, intervenant donc au sein des opérations formatrices de l’objet lui-même puisque la structure de l’objet est d’abord spatiale. Par delà la géométrie, il est même intervenu, grâce au calcul des vecteurs et des quaternions, jusque dans la construction des « opérateurs », dont l’emploi s’est généralisé ensuite et s’est révélé fondamental dans la physique moderne. [p. 122] On peut donc dire que l’« imaginaire » a rejoint le réel, comme si un système d’opérations effectuées sans objets avait constitué un schème opératoire susceptible de s’appliquer ultérieurement, aux particularités des objets ignorées des opérations réelles initiales.

Or, tant cette circonstance de la non-commutativité de telles formes de calcul, que le caractère d’opérateurs propre aux quaternions et à bien d’autres structures dont la construction a suivi la leur, ont eu sur le développement de la physique une influence importante, puisqu’aujourd’hui les algèbres non commutatives sont employées en micro-physique et que les opérateurs et matrices jouent un rôle considérable dans l’expression des lois quantiques (voir chap. VII § 4). La microphysique contemporaine a ainsi été conduite à puiser dans les structures opératoires construites depuis fort longtemps un ensemble de notions préparées par les mathématiciens, et dont la genèse, contemporaine de la théorie des groupes, a dû beaucoup aux algèbres généralisées sous l’influence des nombres complexes. Mais ce n’est naturellement pas seulement dans les opérateurs microphysiques que peut intervenir le nombre imaginaire : c’est en n’importe quelle transformation impliquant un jeu de vecteurs. P. ex. la description d’un courant alternatif par projection des phases successives requiert habituellement l’emploi des nombres complexes. D’une manière générale, ces derniers sont utilisés sitôt qu’il s’agit de marquer la liaison entre [p. 124] éléments dont l’un est censé demeurer à l’extérieur du système formé par les autres tout en agissant sur lui.

Cette destinée géométrique, puis proprement physique d’une opération primitivement sans objet mais acquérant dans la suite le sens d’un opérateur lié aux directions de l’espace et aux rotations, puis intervenant enfin au sein des opérateurs les plus essentiels employés par la physique contemporaine, éclaire de la façon la plus significative le rôle des opérations dans la construction du nombre en général. Contrairement au cas des nombres entiers positifs et des nombres fractionnaires, dans lequel l’action de réunir ou de diviser semble suggérée par la réalité sensible elle-même, qui imite sans cesse, par ses agrégats ou ses fractionnements, l’opération humaine correspondante, le nombre imaginaire est né sans aucune suggestion due à l’expérience perceptive. Cependant, tandis que la succession des nombres entiers de plus en plus grands ou des fractions de plus en plus petites s’éloigne toujours davantage du réel immédiat dans les directions ∞ ou 0, ce qui ne les empêche d’ailleurs nullement de servir d’instruments d’adaptation à l’expérience physique elle-même, le nombre imaginaire a acquis ce rôle d’instrument adaptatif sans aucune connexion apparente avec les circonstances qui ont motivé sa construction. Quelle est donc la connexion véritable entre cette opération l’expression √− 1 et le réel, dissimulée sous cette absence apparente de rapport ?

Il va de soi que l’opération de l’extraction de la racine carrée d’une unité négative serait incompréhensible à titre d’action isolée, puisqu’il s’agit en l’espèce d’une action impossible à exécuter matériellement : une telle opération n’a donc de signification qu’en fonction de la totalité des opérations numériques, ce qui revient à dire qu’elle tient à la coordination des actions entre elles et ne constitue pas une action isolable. Or, c’est précisément en cette coordination qu’est à chercher le secret de l’adaptation des opérations mathématiques au réel. Comment expliquer qu’une opération inventée en quelque sorte pour la symétrie (à la manière des fausses fenêtres ajoutées aux endroits où l’on en attend de vraies) rejoigne à un moment donné le calcul géométrique et même physique ? Si cette rencontre intervenue après coup devait être expliquée par le fait que la division, dont l’extraction de la racine carrée n’est qu’un cas particulier, est née de l’expérience physique, cela reviendrait à dire que l’adaptation acquise lors du partage d’un champ ou d’un gâteau s’est révélée assez précise pour que les [p. 125] règles tirées de cette action s’en soient trouvées préadaptées au calcul des vecteurs et des opérateurs, même dans les cas où il n’y a plus de trajectoires assignables ni d’objets permanents comme en microphysique. Au contraire, dire que la rencontre entre le réel et les nombres imaginaires, rencontre se produisant bien après la construction de ceux-ci, est de la même nature que la convergence immédiate des nombres entiers positifs avec les réalités élémentaires, parce que toutes deux tiennent à l’accord entre la coordination d’ensemble des opérations et les transformations physiques fondamentales, c’est simplement supposer que les structures de composition réversible atteintes par les groupements et les groupes d’opération expriment à la fois les lois les plus générales de la coordination des actions du sujet et les interactions les plus directes entre le sujet et le réel. Tant cette coordination que ces interactions, tout en se différenciant au cours de l’expérience, sont alors à concevoir comme ne dérivant pas de l’expérience extérieure, parce qu’étant seules à la rendre possible, mais comme émanant des conditions mêmes de l’organisation psycho-biologique.

La réflexion sur les imaginaires conduit donc à une vérification privilégiée de l’interprétation opératoire du nombre, non seulement parce que ce type de nombres est liée à la coordination d’ensemble du système, mais encore parce qu’il aboutit à dégager la nature propre aux schèmes d’opérations éloignés de la réalité concrète : une nature d’« opérateurs ». À cet égard, on est nécessairement conduit à se demander à partir de quel moment les nombres constituent des opérateurs, il est clair que ce n’est pas au-delà seulement d’une capacité à exprimer certaines transformations géométriques ou physiques, car le calcul des opérateurs et des matrices est d’un emploi dont la généralité dépasse la géométrie et surtout la physique. On peut même soutenir que si, techniquement, le terme d’opérateur doit être réservé aux systèmes d’opérations de degrés supérieurs, c’est-à-dire aux schèmes permettant d’opérer abstraitement sur un ensemble d’opérations subordonnées, en réalité le rôle d’opérateur peut être attribué aux opérations numériques les plus élémentaires. Plus précisément tout nombre peut être considéré soit comme le résultat statique d’une opération, soit comme l’opérateur lui-même en son dynamisme formateur : p. ex. dans l’expression n + 1 on peut déjà considérer n comme un nombre statiquement donné et + 1 comme l’opérateur qui transforme n en son successeur. [p. 126] D’une manière générale il n’existe donc qu’une différence de degré ou de complexité entre les opérations élémentaires et les opérateurs, mais les premières sont devenues si automatiques qu’elles ont perdu leur apparence active. Ce n’est donc que dans le cas des opérateurs d’ordre supérieur, c’est-à-dire suffisamment abstraits pour que la différence du donné et de la transformation opératoire soit à chaque instant sensible, que cette notion centrale prend sa vraie signification. Mais, génétiquement, elle ne fait que de confirmer la nature essentiellement opératoire du nombre, nature qui se manifeste dès la fusion des emboîtements de classes et des suites de relations asymétriques qui, par leur synthèse, engendrent le nombre entier.

Le problème de l’infini actuel est celui qui a toujours opposé de la manière la plus radicale les interprétations réalistes et les interprétations opératoires du nombre. Ce n’est pas qu’il soit contradictoire de concevoir un réalisme du fini, comme on l’a vu de Pythagore à Renouvier ; mais, de vouloir situer un infini actuel dans le monde, soit du réel soit des Idées, à la manière dont le réalisme conçoit les nombres finis, a soulevé une série de difficultés toujours pareilles, toutes les fois que le problème s’est posé au cours de l’histoire. Or, elles n’ont pu être évitées que par un appel, implicite ou explicite, au dynamisme intellectuel des opérations, seul support légitime des diverses formes d’infini, parce que substituant à la réalisation actuelle la virtualité d’un déroulement illimité.

On sait assez de quelle manière l’utilisation des séries indéfiniment décroissantes par le calcul infinitésimal a, soulevé le problème de l’infini, au cours du xvii^e et du xviii^e siècles. Une série telle que ½ + ¼ + ⅛ +… qui tend à égaler l’unité, parvient-elle jamais à cette égalité … = 1, puisque, étant infinie, elle est proprement inépuisable ? En raisonnant sur le réel « opéré » et non pas sur les opérations, Zénon était fondé à déclarer que la flèche n’atteindrait jamais son but, car à vouloir découper effectivement une distance selon cette série il faudrait disposer de toute l’éternité. Mais le propre d’une opération intellectuelle, telle que la dimidiation, est de pouvoir prolonger les opérations réelles initiales par des opérations virtuelles, dont la validité tient à leur composition possible et ne tient qu’à elle : il est donc légitime de réunir en un seul acte total la composition de l’ensemble de ces opérations, répétées [p. 127] indéfiniment, et de conclure à l’égalité ½ + ¼ + ⅛ +… = 1. Seulement où l’infiniment petit est-il alors à situer ? Peut-on assigner à la fraction 1/n une certaine valeur statique telle qu’elle constitue le dernier élément avant 0, c’est-à-dire le plus petit de ceux qu’il faut ajouter à la série pour que celle-ci égale 1 ? Autrement dit, existe-t-il un infiniment petit actuel ? Il est clair qu’une telle hypothèse est contradictoire, dans la conception opératoire du nombre, car s’il s’agit de construire cet infiniment petit actuel au moyen d’une opération également actuelle, donc effectuée à titre d’opération distincte des précédentes, on ne parviendra jamais à l’atteindre, et s’il s’agit de se contenter d’une opération virtuelle, c’est-à-dire précisément de celles qu’il est légitime de réunir en un tout pour égaler la série à 1, l’infiniment petit demeure lui aussi virtuel : or cela signifie, à proprement parler, qu’il est illégitime d’extraire de la suite ½ + ¼ + ⅛ +… = 1 cette opération virtuelle, puisque sa validité ne tient qu’à la composition comme telle de la suite et qu’à vouloir actualiser l’un des éléments sériés on s’oblige à en faire autant des autres, ce qui nous ramène à une suite sans fin. L’infiniment petit ne peut donc être isolé sous une forme actuelle qu’en s’appuyant sur une croyance réaliste ou extra-opératoire, astreinte par surcroît à compléter la réalité physique, toujours finie, par celle de nombres idéaux subsistant en eux-mêmes. L’arbitraire d’une telle hypothèse a d’abord conduit les esprits à justifier le calcul infinitésimal par l’argument pragmatiste de sa réussite, mais le besoin d’une telle justification révèle assurément un réalisme déçu, comparable à celui de d’Alembert à la recherche d’une réalité pouvant correspondre au nombre négatif. En fait, la notion de différentielle, en substituant au rapport des quantités finies Dx/Dy le rapport dx/dy ne fait jamais intervenir l’infiniment petit à titre de valeur statique ou actuelle, mais uniquement le rapport entre deux quantités décroissant indéfiniment. Il n’est donc qu’une manière d’éviter les impasses où s’engage le réalisme de l’infiniment petit : c’est de considérer avec Leibniz, magnifiquement interprété par L. Brunschvicg, l’infini comme l’expression du dynamisme même de la construction opératoire.

Le problème s’est retrouvé avec l’analyse des fonctions indéfiniment croissantes, c’est-à-dire sur le terrain de l’infiniment grand. Dans ses recherches sur la « théorie générale » des fonctions, qui s’opposent à la réduction de l’analyse au schème du nombre entier, Dubois-Reymond a cherché à dégager les [p. 128] conditions communes de convergence et de divergences de diverses opérations infinies. En étudiant les différentes rapidités d’accroissement, il aboutit ainsi à un « calcul infinitaire » définissant des séries de types croissants ou ordres progressifs d’infini. Mais ici à nouveau se pose le problème opératoire : l’échelle des fonctions atteint-elle un ou plusieurs infinis actuels, qui transcenderaient les opérations mêmes permettant de les atteindre, ou l’échelle ne porte-t-elle que sur les types d’opérations comme telles ?

Procédant précisément de l’opération à ses résultats, G. Cantor a fondé un calcul du « transfini » sur la considération des relations de correspondance entre ensembles. C’est ainsi que l’ensemble des nombres entiers correspond de façon bi-univoque à celui de leurs carrés, ou à l’ensemble des nombres pairs, etc. L’ensemble de tous ces ensembles sera donc la classe des ensembles dénombrables. Or, cette classe ne correspond pas à l’ensemble des nombres réels (rationnels et irrationnels), qui est donc d’une puissance supérieure, ou puissance du continu. Cela admis, la suite des nombres entiers est infinie, c’est-à-dire qu’il est impossible de lui assigner une fin et absurde de chercher, à l’intérieur même de cet ensemble, un nombre infini actuel qui constituerait le dernier de la série. Par contre, on peut assigner à cette suite une limite qui sera par définition extérieure à la série et à partir de laquelle commencera une nouvelle suite : ce premier « ordinal transfini » _ω sera donc le premier nombre qui suivra la série des nombres entiers sans lui appartenir. Grâce à la répétition même de ce procédé, on obtiendra alors les transfinis _ω + 1 ; _ω + 2… ; _ω + n ; 2_ω ; 2_ω + 1 ; 2_ω + 2… ; 3_ω… ; n_ω ; ω^{ω^ω} ; etc.

Ces ordinaux transfinis constituent ainsi des types d’ordre. Quant aux cardinaux transfinis, le premier en est la classe des ensembles dénombrables ℵ₀. Un autre cardinal transfini remarquable est la classe de toutes les classes que l’on peut extraire de ℵ₀ par combinaison de ses éléments, etc.

Mais le grand intérêt de cette réalisation de l’infini, laquelle transcende ainsi sans cesse les opérations constructives pour atteindre une suite d’infinis actuels emboîtés les uns dans les autres, est d’aboutir en fait à un affaiblissement du caractère spécifiquement numérique de la construction et de marquer un retour partiel aux composantes logiques du nombre. En effet, les cardinaux transfinis n’obéissent plus à la loi arithmétique d’itération mais aux règles de tautologie et d’absorption : ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ et ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀. Et cela se comprend de soi-même, [p. 129] puisque ces nombres ne sont plus à la fois cardinaux et ordinaux, comme les nombres finis, mais que la cardination y est dissociée de l’ordination : l’ensemble de tous les ensembles dénombrables est en réalité une classe logique formée de « toutes » les sous-classes dénombrables, donc une classe qualifiée née d’une simple réunion logique des sous-classes présentant la propriété commune d’être dénombrables. Il n’est donc pas un nombre engendré par une loi de formation analogue à celle qui permet de construire par exemple la suite des nombres entiers. En effet, la correspondance bi-univoque qui relie chaque élément individuel des sous-classes composantes à un élément déterminé de l’une des autres sous-classes (par exemple chaque entier a son carré, etc.) est une correspondance « réflective », c’est-à-dire qui permet d’égaler le tout à la partie (par exemple l’ensemble des nombres entiers à l’ensemble de leurs carrés, lesquels ne constituent cependant qu’une partie du premier ensemble) : or, cette correspondance n’aboutit pas à une équivalence additive entre le tout et la partie, mais bien à une équivalence multiplicative, comparable à celles des classes multipliées entre elles selon le schéma logique d’un tableau à double entrée. Soit p. ex. les deux suites :

Bref, les nombres transfinis de Cantor dissocient l’une de l’autre les deux structures fondamentales de la classe logique et de la relation asymétrique, qui fusionnent en un seul tout dans la construction des nombres entiers finis. C’est pourquoi, si la série des ordinaux finis correspond bi-univoquement à celle des cardinaux finis, tout nombre entier étant nécessairement à la fois cardinal et ordinal sur le terrain du fini, cette correspondance prend fin dans le domaine du transfini. Or, cette dissociation transfinie entre les deux aspects ordinal et cardinal du nombre entier, aboutissant à un retour aux schémas opératoires séparés de la relation asymétrique et de la classe logique, constitue la meilleure des confirmations de l’interprétation opératoire défendue au § 6 quant à la genèse du nombre [p. 131] entier fini, il suffit, en effet, que l’on passe de la loi de formation des nombres finis constituant la série illimitée 1 … n, à la considération transfinie de leur ensemble total, pour que la classe ainsi construite au moyen de « tous » ces nombres se dissocie ipso facto des relations asymétriques ayant servi à leur construction successive : l’itération de l’unité + 1 est donc bien un produit combiné de l’emboîtement des classes et de la sériation des relations asymétriques puisque, si l’une de ces deux composantes est séparée de l’autre, les cardinaux ne s’itèrent plus et cessent de correspondre bi-univoquement aux ordinaux.

Des actions les plus élémentaires, permettant à l’enfant ou au primitif de dénombrer les petites collections, jusqu’aux généralisations négatives, complexes et transfinies du nombre, qui semblent ne plus présenter aucun rapport avec ces actions concrètes, on retrouve en fait un même mécanisme opératoire se développant selon sa logique interne de la façon la plus continue et la mieux équilibrée, malgré son apparence souvent irrégulière, due aux difficultés de la prise de conscience.

C’est que, dès les actions initiales, le rapport entre le sujet et les objets se trouve témoigner d’enchevêtrements bien plus compliqués que ne le supposent les interprétations empiristes, aprioristes ou conventionnalistes courantes. Repartons donc de la source pour la relier ensuite aux orientations observables dans l’équilibre mobile final.

L’action de nombrer ne saurait assurément être déterminée par les objets seuls, puisqu’elle les structure selon un schème opératoire, qui est assimilation des choses à un double acte de réunir et d’ordonner et qu’assimiler signifie ajouter des caractères nouveaux aux objets qui n’y étaient point compris avant l’action du sujet : c’est ainsi que la réunion élémentaire 1 + 1 = 2 ajoute à chacun des objets comptés comme unités 1, 1, cette propriété nouvelle de constituer un tout 2. Mais de telles actions émanent-elles du sujet seul ou supposent-elles une accommodation aux objets et quelle sorte d’accommodation ? C’est pour résoudre ce problème épistémologique des rapports entre la construction assimilatrice et l’expérience possible qu’il convenait de pousser à la fois l’analyse psychologique des racines et l’examen du déroulement historique des généralisations du nombre.

[p. 132] Du point de vue psychologique, deux questions bien différentes sont à distinguer, que l’on confond trop souvent : celle de savoir si l’expérience est nécessaire pour que s’organisent les actions ou opérations de classes, de sérier et de nombrer, et celle de déterminer quel est le rôle de l’objet dans cette expérience éventuelle.

Que l’expérience soit indispensable à l’enfant (et au primitif) pour découvrir les rapports arithmétiques élémentaires, c’est ce qu’il nous paraît conforme à toutes les données connues. Le fait que 2 + 2 aboutissent toujours à 4 (et jamais à 3 ou à 5) n’est pas évident pour un enfant, indépendamment de toute définition nominale et conventionnelle, avant qu’il ait compris que 4 — 2 = 2 et que 4/2 = 2, c’est-à-dire avant que ses actions se soient organisées en opérations réversibles. La découverte empirique que 10 cailloux, comptés dans un certain ordre, donnent encore 10, comptés dans un ordre différent, a stupéfié comme enfant un mathématicien de nos amis, bien connu pour ses travaux épistémologiques, et il fait même remonter à cette expérience précoce son intérêt pour le nombre. Or cette vérité de la similitude des divers ordres possibles dans la numérotation des éléments d’une collection ne devient, elle aussi, déductive qu’en fonction de la réversibilité (réversibilité de la sériation logique ou de l’ordination elle-même). Il existe donc une phase intuitive et préopératoire de la pensée, au cours de laquelle l’expérience est nécessaire à la découverte et à la vérification des vérités arithmétiques et une phase opératoire à partir de laquelle la déduction commence à se suffire à elle-même.

Mais que l’expérience soit psychologiquement indispensable à la construction du nombre ne prouve nullement que celui-ci soit extrait des objets, sous une forme ou sous une autre, car autre chose est d’agir empiriquement et autre chose est d’abstraire un rapport des objets comme tels : le rapport établi entre ceux-ci peut leur avoir été ajouté par l’action, même si celle-ci débute par une phase de tâtonnement expérimental. En d’autres termes, un sujet agissant de façon empirique peut utiliser les objets à titre de simples supports ou d’occasions de l’action, mais expérimenter en réalité sur lui-même, c’est-à-dire sur la coordination de ses propres actions plus que sur les objets sur lesquels elles s’appuient.

Or, quel est le rôle des objets A, B, C … J, lorsque le sujet, après avoir dénombré A, B, … J = 10, découvre que, dans un autre ordre tel que J, I, H, G, … A, la suite est encore égale [p. 133] à 10 ? Il est d’abord évident que ce rôle serait tout différent s’il s’agissait de sérier dix couleurs ou dix poids, car, en ce cas, ce seraient les qualités mêmes des objets qui interviendraient dans la sériation. Pour ce qui est du simple dénombrement, l’objet est au contraire absolument quelconque en ce sens que ses qualités particulières n’entrent pas en jeu puisque le seul ordre entrant en cause est l’ordre même d’énumération. Il est vrai que, s’il s’agit de solides discrets, le dénombrement est plus facile, mais on pourrait concevoir dix éléments découpés dans un solide continu ou même dans un liquide ou un gaz : le repérage serait alors plus difficile et l’expérience n’en viendrait à bout que bien plus tardivement, mais l’action de dénombrer resterait possible, au moins à l’intérieur de certains champs perceptifs momentanés. Bref, l’objet ne joue en ce genre d’expériences que le rôle d’un support de l’action. Il n’est même à proprement parler qu’un indicateur : alors que l’expérience pourrait être faite sur des numéros, c’est-à-dire sur de purs signes, ou sur des symboles d’objets, elle est exécutée sur des objets réels, mais dont la valeur pour le sujet est celle d’indices perceptifs de ses propres actions de compter et non pas d’éléments du nombre lui-même.

Quoiqu’expérimental en sa source intuitive, le nombre est donc ajouté aux objets et non point extrait d’eux. Il est tout entier dans le schème d’assimilation opératoire. Quant à l’accommodation, elle n’en est pas moins réelle, mais elle n’est pas spécifique par rapport aux qualités distinctives des objets considérés : elle revient simplement à ceci que pour toute collection d’objets discrets ou d’objets quelconques séparés artificiellement (en acte ou en pensée), l’action empirique ou l’opération réversible aboutira à des combinaisons s’accordant avec les objets eux-mêmes. C’est ainsi que, dans l’exemple discuté, dix objets comptés dans un certain ordre se retrouveront dix dans un ordre différent, les objets comme tels n’infirmant donc pas la coordination des actions. Il y a donc équilibre permanent entre l’assimilation des objets au schème opératoire et l’accommodation de celui-ci à des objets quelconques, mais rien, dans la structure définitive du schème considéré n’a été « abstrait » de l’objet ; en effet, pour pouvoir abstraire le nombre des collections d’objets il faudrait savoir les classer et les ordonner, ce qui constitue des actions du sujet exercées sur ces collections : or, le schème du nombre se réduit précisément à ces seules actions de classes et d’ordonner, simplement groupées de façon nouvelle. [p. 134] Quant à l’« expérience intérieure » nous avons vu (§ 2) que le nombre ne saurait non plus en être tiré, à la manière dont Maine de Biran croyait pouvoir extraire une causalité toute faite de la lecture des états de conscience liés à l’action propre. Car, ni la sériation, ni le classement ni le nombre, ne sont donnés sans plus dans la conscience interne : ils résultent de la coordination des actions successives, c’est-à-dire de leur groupement, et de tels groupements s’appliquent aux données de l’expérience intérieure comme à celles de l’expérience externe, sans résulter davantage des premières que ces secondes, puisqu’il s’agit d’actions exercées sur elles et non pas d’intuitions premières. Bref, que l’on remplace la coordination des actions par celle des pensées, cette coordination est toujours une activité et ce qui importe n’est pas le retentissement de celle-ci sur la conscience : c’est le caractère actif de cette coordination, condition préalable de toute expérience et source de transformations enrichissant les objets de l’expérience interne comme de la réalité extérieure.

C’est cette nature particulière des actions ou opérations intervenant en mathématique (empiriques d’abord puis déductives mais dans les deux cas indépendantes des objets) qui explique le fait que de tels actes et leurs compositions peuvent être répétés et généralisés indéfiniment. Psychologiquement déjà, nous constatons que, sitôt dépassé le niveau des opérations concrètes et dès que les mécanismes formels prolongent l’action possible, la série des nombres accessibles à l’enfant de 11-12 ans déborde toute perception et même toute représentation particulières pour s’engager dans la direction de la construction pure. Dire, p. ex. que « l’on arrivera jamais au bout des nombres », selon l’expression de l’un de nos sujets de 11 ans, c’est découvrir le pouvoir indéfini d’itération de l’opération + 1, comparé à un schème fini et representable tel que celui d’un nombre donné, susceptible de réunir effectivement les termes d’une collection concrète d’objets. Autrement dit, le nombre consistant exclusivement en un système d’actions ou opérations exercées sur les objets, mais sans dépendre des propriétés particulières de ceux-ci, la construction du nombre peut se continuer de façon indéfinie au-delà des limites de la perception et même de la représentation imagée des collections formées par ces objets, donc bien au-delà des frontières de l’objet. L’emploi des diverses formes d’infini, indispensables au théoricien du nombre comme à l’analyste et au géomètre, n’est pas autre chose que le témoignage quotidien de cet affranchissement [p. 135] des êtres numériques à l’égard de l’objet, puisque l’objet d’expérience est nécessairement fini.

Quant aux généralisations du nombre dans la direction du négatif, de l’imaginaire, etc., nous avons vu combien plus paradoxale encore est leur nature psychologique d’opérations exercées avec une précision toujours mieux différenciée sur les objets, mais sans que l’on conçoive comment ils eussent pu jamais être extraits de ceux-ci. Or, les solutions habituelles de la question de leur adéquation à la réalité physique expliquent difficilement cette double nature. Les solutions aprioristes, selon lesquelles le nombre est une structure d’origine intérieure à l’esprit (ou un langage conventionnel élaboré par lui) et imposée à la réalité extérieure, n’expliquent pas pourquoi le nombre converge avec cette réalité. Quant aux solutions empiriques, qui prétendent malgré tout tirer directement le nombre de l’expérience, elles expliquent ni sa fécondité, ni sa nécessité. Dire que le nombre dérive des opérations ou des actions exercées par le sujet sur les objets sans émaner de ceux-ci, c’est au contraire permettre de concevoir les différents types de nombre comme le résultat de coordinations progressives en évitant de se donner d’avance le nombre tout fait dans l’esprit ou dans les choses. Bien que la source des coordinations soit à chercher dans l’activité du sujet, les diverses formes de nombre ne sont pas préformées en ce dernier, mais constituent les états finaux et nécessaires d’équilibre de coordinations débutant dès l’organisation des schèmes sensori-moteurs et perceptifs. Or, par delà le fonctionnement de ces schèmes psychologiques initiaux, de telles coordinations remontent jusqu’aux coordinations biologiques élémentaires. En un tel cas, l’adéquation du nombre au réel ne serait à expliquer ni par la pression extérieure de la réalité sur un esprit achevé, ni par une préformation intérieure à ce même esprit considéré en « acte » ou en « puissance », mais précisément par le fait que les mécanismes constructifs présidant au développement de l’esprit plongent leurs racines dans l’organisation vitale et par conséquent dans la réalité physique elle-même. C’est donc seulement par l’intermédiaire de l’organisme et de ses mécanismes intimes, et non pas sous l’influence des pressions directes du milieu extérieur, que se comprend l’accord des opérations logico-arithmétiques et des choses. Autrement dit, c’est dans les coordinations psychobiologiques rendant l’action possible, par opposition à ce que les philosophes considèrent comme les structures a priori de la pensée, qu’il faudrait chercher [p. 136] le secret de l’union des constructions intellectuelles fondamentales (groupements logiques et groupes arithmétiques) avec le réel, et non pas dans l’expérience extérieure ni même intérieure actuelles ⁴³.

Seulement, les deux difficultés principales d’une telle solution consistent à expliquer comment la construction graduelle due à l’activité du sujet, aboutit à des organisations finales nécessaires sans que celles-ci soient préformées dans l’esprit ou dans l’organisme, et comment cette même construction se différencie en structures multiples, en quelque sorte préadaptées à l’objet tout en émanant de coordinations initiales très simples et peu nombreuses. On ne saurait à cet égard désolidariser les formes supérieures du nombre de ses formes élémentaires. Kronecker attribuait à Dieu la création des entiers positifs, tout le reste étant dû à la fabrication humaine. C’est ce que le langage traditionnel exprime également en appelant nombres « naturels » la suite des entiers positifs, comme si les autres nombres étaient artificiels. En réalité il n’existe aucune opposition entre les procédés opératoires engendrant le nombre entier et les opérations généralisées engendrant les structures numériques ultérieures. Au contraire, seules ces formes généralisées du nombre rendent explicites les particularités mentales demeurant implicites dans la construction des nombres initiaux : tant ceux-ci que les nombres supérieurs dérivent d’un seul et même mécanisme opératoire, dont les manifestations successives ne sont que les phases d’une coordination graduelle. D’où les deux problèmes énoncés à l’instant : pourquoi cette coordination aboutit-elle à des structures nécessaires et comment expliquer sa fécondité, si ses racines ne plongent que dans les coordinations psychobiologiques élémentaires ? [p. 137] Autrement dit encore, comment concilier la nécessité finale des constructions numériques avec l’absence de préformation, et leur multiplicité à la fois créatrice et préadaptative avec la pauvreté de leurs sources ?

La question de la nécessité finale des structures numériques est la plus simple à résoudre des deux. À la nécessité donnée d’avance sous forme de structures a priori, le point de vue génétique permet, en effet, d’opposer la nécessité terminale caractéristique des états d’équilibre opératoire, mobile et réversible, vers lesquels tend le développement des actions considérées, et cela sans que la forme de cet équilibre intervienne dès le départ. À cet égard, l’interprétation selon laquelle le nombre entier est le produit d’une fusion entre les opérations que la logique qualitative utilise à l’état de groupements isolés (emboîtement des classes et sériation des relations asymétriques) permet à la fois de concevoir le caractère de nécessité rationnelle, revêtu par la synthèse finale, et la continuité reliant cette synthèse terminale aux coordinations les plus élémentaires et les moins formelles. En effet, d’une part les groupements logiques ne sont que le résultat intériorisé et équilibré des coordinations entre actions, coordinations qui, dès leurs formes les plus humbles, présentent des mises en relation entre mouvements successifs, des retours et des détours qui conduiront à la composition, à la réversibilité et à l’associativité opératoires. La logique est donc en germe dès les schèmes de l’activité sensori-motrice et perceptive tout en ne constituant que la forme finale d’équilibre de ces coordinations de départ ⁴⁴. D’autre part, dès les formes les plus basses d’activité mentale, on observe une sorte de dénombrement intuitif et perceptif qui annonce les coordinations ultérieures entre le classement et la sériation et résulte déjà de coordinations élémentaires entre de simples schèmes classificateurs et ordinateurs de caractère moteur. C’est ainsi que Otto Köhler a pu démontrer la discrimination d’ensembles de 2 à 6 objets chez les oiseaux et que l’on peut dresser des poules à piquer chaque second grain le long d’une rangée d’une dizaine d’éléments. Ces nombres intuitifs ou figuraux sont ceux que l’on retrouve chez le petit enfant avant la construction de la suite opératoire des entiers. Ici encore, par conséquent, il est facile d’expliquer le passage entre les coordinations élémentaires non rationnelles [p. 138] et les formes nécessaires finales, par un processus d’équilibration progressive, qui situe la nécessité au terme, sans qu’il soit besoin d’invoquer une préformation structurale : l’articulation progressive des configurations actives et intuitives et la réversibilité qui en résulte en fin de compte suffisent à cette explication sans intervention de l’a priori.

Quant à la fécondité croissante de la notion de nombre, comparée à la pauvreté de ses sources, le caractère frappant de cette évolution est que, procédant des actions de réunir et d’ordonner simultanément, qu’exerce directement le sujet sur les objets, le nombre s’oriente à la fois en deux directions divergentes et complémentaires : d’une part, il s’éloigne toujours davantage de l’action expérimentale du sujet pour s’engager en des compositions opératoires sans rapports avec cette action immédiate (l’infini, l’imaginaire, etc.) ; mais, d’autre part, il ne s’éloigne de l’apparence empirique des objets que pour mieux atteindre, en fin de compte, le mécanisme de leurs transformations intimes (p. ex. l’application de l’infini au calcul des variations continues ou de l’imaginaire à celui des vecteurs).

Or, cette double évolution, par intériorisation des actions du sujet, d’une part, et par pénétration au sein des modifications possibles de l’objet, d’autre part, ne s’est produite de façon régulière ni sous l’un ni sous l’autre de ces deux aspects. Pour ce qui est de l’intériorisation des opérations, ce n’est pas par le moyen d’une déduction simple et rectiligne que les progrès ont été accomplis dans la construction et la théorie des nombres : c’est bien souvent à coups de découvertes fortuites et par tâtonnements, comme si un système de lois objectives s’imposait peu à peu à l’esprit, mais découvertes du dedans et non pas à titre de réalités extérieures. Bien des mystères échappent d’ailleurs encore à cette investigation à la fois tâtonnante et constructive, tels que la loi de succession des nombres premiers. — Pour ce qui est de l’adaptation du nombre à l’objet, d’autre part, nous avons vu combien peu elle ressemble à une soumission graduelle de l’esprit à l’expérience physique, puisqu’au contraire il s’agit constamment de la rencontre après coup entre des schèmes préparés longtemps d’avance et les situations permettant leur utilisation imprévue. Si donc la construction du nombre marque un double affranchissement par rapport à l’action directe du sujet et par rapport aux structures immédiates des objets, et un double développement dans la direction des coordinations internes de l’un et des transformations intimes des autres, cette double évolution [p. 139] se révèle tout à la fois tâtonnante dans le premier cas, et anticipatrice dans le second, c’est-à-dire que, dans les deux cas, le sujet prend peu à peu conscience d’un élément, soit de coordination propre, soit de convergence avec le réel, qui dépasse son activité constructive actuelle parce que la conditionnant.

Autrement dit, ce double affranchissement s’effectue au profit d’un sujet universalisé comme d’un objet généralisé : le miracle du nombre est en effet, que, s’éloignant ainsi toujours davantage de l’action élémentaire qui l’engendre, il ne s’engage pas dans le monde de chimères comme cela a été le cas de toutes les notions physiques sorties de leur contexte initial d’action expérimentale et généralisées sans restriction, mais qu’il s’accorde toujours plus avec les opérations de l’esprit, au fur et à mesure de leur développement, et s’adapte toujours mieux à l’univers au fur et à mesure de ses changements de visage apparent. Or, l’intérêt épistémologique exceptionnel de cet accord interne et de cette adéquation extérieure tient à ce qu’ils semblent néanmoins procéder l’un et l’autre intégralement, malgré les heurts et les à-coups du déroulement psychologique et historique, d’une interaction donnée tout entière dans l’action élémentaire du sujet sur les objets.

Comment donc expliquer que de simples actions telles que de sérier et de classer à la fois puissent aboutir à ce prodige de construction cohérente et d’adéquation précise sans leur attribuer d’avance, par un préformisme analogue à celui de l’embryologie des « ovistes » et des « spermatistes », tout ce que le développement ultérieur du monde révèle peu à peu, ou sans attribuer ce développement à des facteurs extérieurs par rapport à ces actions initiales ?

La clef du mystère nous paraît tenir en premier lieu au fait que le nombre ne procède pas d’actions particulières, c’est-à-dire d’un type spécial d’actions parmi d’autres, mais qu’il exprime, sous une certaine forme à la fois mentalisée (c’est-à-dire intériorisée) et parvenue à l’état d’équilibre mobile, la coordination même des actions. Réunir et ordonner ne sont pas, en effet, des actions particulières comparables à celles de peser, de pousser, de soulever, etc. : ce sont des actions qui se coordonnent elles-mêmes entre elles parce que traduisant dès le départ une exigence de coordination, c’est-à-dire parce que résultant de la coordination de toutes les autres actions. Que ces coordinations aient d’abord besoin d’objets pour s’exercer et s’appliquer ne suppose donc nullement qu’elles extraient leur [p. 140] structure de l’objet comme tel : elles construisent au contraire ces structures au fur et à mesure de leur fonctionnement, à commencer par les rythmes organiques et psychobiologiques, à continuer par les régulations perceptives puis intuitives et à terminer par les opérations logico-arithmétiques, terme concret final de ce processus d’équilibration (et point de départ des formalisations ultérieures), mais aboutissement d’un processus de coordination qui débute avec l’organisation et l’assimilation psycho-biologique elles-mêmes. Le nombre est donc, avec les opérations logiques qu’il suppose et dont il réalise la synthèse, la forme la plus essentielle et la plus centrale de l’assimilation intellectuelle, en tant que celle-ci prolonge, par l’intermédiaire des formes intuitives et sensori-motrices, l’assimilation psychobiologique. D’où la possibilité de son affranchissement par rapport à l’action directe et au réel immédiat, sans cependant ébranler la permanence de son accord avec toutes les opérations de l’esprit ni avec toutes les transformations du réel. C’est que l’accommodation propre à une telle forme générale d’assimilation ne peut être qu’une accommodation à la fois anticipatrice, en tant que ne résultant pas des qualités différenciées des objets, et permanente une fois réalisée, puisque les coordinations des actions s’accorderont toujours avec le réel si ces coordinations n’expriment pas le résultat d’expériences particulières, mais la possibilité même de l’expérience c’est-à-dire de l’action sur un objet quelconque. La construction du nombre marque ainsi, au total, le prototype de cette assimilation du réel à l’esprit qu’effectuent toutes les mathématiques et qui consiste à insérer les transformations du réel dans les coordinations des actions, effectives ou possibles, du sujet agissant sur ce réel.

En second lieu, si les opérations logico-arithmétiques tiennent à la coordination même des actions et non pas au détail spécialisé de celles-ci, la multiplicité croissante des structures numériques, conçues à titre de structures mentales tardives et non pas a priori, relève alors d’un mode de construction, dont l’explication génétique dispose à titre de tertium, aussi éloigné du préformisme que de l’appel aux facteurs empiriques : la coordination des actions ne contient pas d’avance la logique ni le nombre, mais, les opérations logico-arithmétiques étant le produit d’abstractions à partir de l’action et non pas de l’objet, cette coordination fournit les éléments de telles différenciations possibles. En effet, l’abstraction et la généralisation par rapport aux actions sont, nous l’avons vu (§ 2) à la [p. 141] fois constructives et réflexives, en opposition avec l’abstraction et la généralisation par rapport aux objets. Autrement dit, en abstrayant et en généralisant des caractères de l’objet, on n’obtient en fin de compte que ce qu’on a emprunté au départ, sauf à y ajouter des caractères opératoires tirés de l’activité du sujet. Si le nombre et la logique n’étaient que des schématisations de l’objet, on comprendrait donc mal comment ils le dépassent aussi librement que le font les schèmes logico-arithmétiques. Au contraire une fois admise cette sorte d’a priori fonctionnel (fonctionnel et non pas structural, c’est-à-dire ne contenant aucune structure a priori) qu’est la coordination des actions du sujet (mais supprimer cette coordination reviendrait à faire de l’organisme une table rase à l’égard des actions du milieu, ce qui est contraire à tout ce que nous a appris la biologie), les opérations logiques et numériques se construisent à la fois par abstraction à partir de l’organisation sensori-motrice et par compositions généralisatrices des caractères ainsi abstraits, compositions toujours plus mobiles et plus réversibles parce que mieux équilibrées.

En effet, les schèmes sensori-moteurs nés de la répétition active des conduites et constituant, sur le terrain de la perception et de l’habitude motrice, les plus simples assimilations mentales du réel par le sujet, sont eux-mêmes issus d’une première abstraction à partir des cycles réflexes ou organiques, laquelle consiste à leur emprunter leur capacité de répétition et d’extension généralisatrice. Les schèmes sensori-moteurs aboutissent pour leur part à une sorte de logique de l’action, dont la cohérence particulière consiste p. ex. à ne pas accomplir, en même temps que lui, un acte contraire au but poursuivi par un autre, à appliquer le même schème d’action à des circonstances analogues quoique nouvelles, à ordonner les moyens et les buts, etc. Or la construction de cette logique sensori-motrice repose sur les coordinations précédentes par abstraction de leur pouvoir de mise en succession ou de classement pratiques (discriminations récognitives et généralisations par transfert). La pensée intuitive emprunte ensuite aux schèmes sensori-moteurs, grâce à de nouvelles abstractions, leur pouvoir d’assimiler le réel selon le double mécanisme de la succession et du classement, mais en traduisant ceux-ci sous la forme de représentations, c’est-à-dire d’actions intériorisées susceptibles d’anticipations et de reconstitutions plus poussées et mieux articulées. Les opérations concrètes abstraient de la pensée intuitive ces articulations, mais en les généralisant sous [p. 142] forme mobile et réversible. Enfin les opérations formelles abstraient ces opérations de leur contexte limité pour les traduire en propositions indépendantes de toute action concrète. Ainsi les opérations logiques et numériques se construisent par étapes tout en s’appuyant à chaque niveau sur des éléments abstraits des coordinations du niveau précédent. C’est de cette manière que les structures logico-arithmétiques plongent leurs racines dans les coordinations les plus élémentaires sans être pourtant préformées, et s’élaborent par un double processus d’abstraction réflexive (différenciations) et de généralisations consistant en compositions nouvelles s’intégrant les éléments des structures précédentes.

En troisième lieu, le propre de cette structuration par paliers, avec différenciations et intégrations corrélatives sur chacun d’entre eux, est de constituer, non seulement un enrichissement et un assouplissement graduels des formes successives de coordination, mais encore, jusqu’à un certain point, une répétition élargie des mêmes processus formateurs d’un palier à l’autre, avec décalage dans le temps. En effet, sur le palier sensori-moteur déjà, on voit se dessiner, mais à l’état d’esquisses peu différenciées les mêmes formes d’organisation qui se déploieront plus tard en grand sur le palier opératoire. Les schèmes sensori-moteurs comportent ainsi l’équivalent fonctionnel des classes (application d’un même schème à des situations multiples), des relations (rapports de différences ou de ressemblances utilisés dans l’action) et même d’une certaine quantification prénumérique par action combinée de la ressemblance et de l’ordre (répétitions cumulatives, avec p. ex. imitations distinctes selon qu’il s’agit de reproduire 1-2 fois ou 4-5 fois le même mouvement). En descendant du palier sensori-moteur au palier instinctif on retrouve, sous des formes plus élémentaires encore et plus rigides, des processus analogues, et ainsi de suite, selon une continuité fonctionnelle complète entre l’organique et le mental.

C’est pourquoi le nombre, produit de la coordination des actions et non pas d’actions particulières, produit d’abstractions réflexives sur lesquelles s’appuient les compositions sur chaque nouveau palier sans discontinuité fonctionnelle avec les plus lointains d’entre eux, est tout à la fois lié aux activités les plus fondamentales du sujet sans être contenu d’avance dans les coordinations de départ et rattaché sans cesse au réel par ces coordinations mêmes sans être abstrait des objets comme tels.