Chapitre III.
La connaissance mathématique et la réalité ^a 🔗

Dès 1894, Poincaré opposait dans les termes suivants la structure du raisonnement mathématique à celle des raisonnements non mathématiques. Ces derniers sont de deux sortes : le syllogisme, qui est rigoureux mais stérile, ne découvrant en ses conclusions que ce qui était inclus dans ses prémisses, et l’induction expérimentale, qui est féconde parce qu’aboutissant à la découverte de conclusions nouvelles, mais non rigoureuse parce qu’incomplète. Le raisonnement mathématique est au contraire à la fois rigoureux et fécond : les conclusions qu’il obtient sont toujours nouvelles et plus riches que les prémisses, et cependant elles sont certaines et non pas simplement probables. La raison en est qu’il procède par récurrence, selon le principe d’induction complète dû à Maurolico : si une propriété est vraie de n − 0 (ou n = 1) et si l’on établit que sa vérité pour n entraîne sa vérité pour n + 1 alors elle est vraie de tous les nombres entiers. À quoi Russell et Goblot se sont trouvés d’accord pour objecter que le raisonnement par récurrence repose lui-même sur des notions plus simples. Selon le premier elle résulte directement de la définition des nombres inductifs ou entiers : l’hérédité qui assure le transfert des propriétés d’un nombre à l’autre traduit ainsi la génération même de ces nombres. Goblot, d’autre part, objecte que le raisonnement par récurrence suppose une démonstration préalable (celle du transfert de la vérité de la propriété pour n à sa vérité pour n + 1) et que cette démonstration [p. 287] est une construction. Mais Poincaré considérait comme évidente cette intervention de la construction ; il la reconnaissait même comme nécessaire, mais non pas comme suffisante, car il s’agit en plus de relier ensuite les constructions successives par une formalisation en quoi consiste précisément le raisonnement par récurrence. Comme le disent fort justement Daval et Guilbaud, il « considère la récurrence comme une sorte de raisonnement sur le raisonnement, ou de raisonnement au second degré » ¹³ (ce qui rentre dans la formule que nous donnions chap. II § 9 de la pensée formelle : un système d’opérations portant sur des opérations). Le raisonnement par récurrence est donc une construction opératoire liée à la construction même des nombres puis réfléchie sous la forme d’opérations formelles permettant de condenser ces constructions en un seul tout sans être obligé de les refaire successivement pour chaque cas nouveau. La fécondité du raisonnement mathématique tiendrait ainsi, en dernière analyse, à l’intuition du nombre pur, en tant qu’irréductible à la classe logique et par conséquent en tant qu’irréductible au syllogisme, et sa rigueur proviendrait du fait que les opérations constructives, initiales ou formalisées, sont enchaînées, non pas par une suite finie de syllogismes, mais par une infinité de syllogismes (ce qui, remarquent Daval et Guilbaud à l’intention de Goblot, n’est pas la même chose), c’est-à-dire à nouveau par l’intuition d’un pouvoir de répétition dépassant le syllogisme et se ramenant à celle du nombre pur.

La valeur de la solution de Poincaré est donc suspendue à celle de l’hypothèse d’une intuition du nombre pur. Or, cette hypothèse soulève deux questions, correspondant précisément aux deux questions distinctes que recouvre le problème du raisonnement mathématique : celle de l’irréductibilité du nombre à la logique, et celle de la nature de l’acte au moyen duquel nous saisissons le nombre pur, c’est-à-dire un nombre quelconque en tant que produit de l’itération illimitée dont notre esprit détient le pouvoir.

Sur le premier point, nous avons déjà pris position (chap. I § 6) : sans être réductible à aucun des éléments logiques particuliers, le nombre constitue cependant leur synthèse, c’est-à-dire qu’il est plus proche d’eux que ne le voulait Poincaré. On peut aussi bien considérer, il est vrai, les classes et les [p. 288] relations asymétriques comme résultant d’une dissociation du nombre en ses composantes, que le nombre entier lui-même comme une synthèse des classes et des relations asymétriques ; mais, dans les deux cas, il n’y a pas une intuition du nombre radicalement distincte de celle des classes ou des relations. Il s’agit donc, pour comprendre en quoi le raisonnement mathématique est plus fécond que le syllogisme, de comparer la structure des nombres ou des êtres mathématiques à celle des classes et des relations logiques : or, la quantification extensive et numérique explique à elle seule cette différence de fécondité par rapport à la quantification intensive des seconds (voir pour ces trois sortes de quantifications le chap. 1 § 3) : si dans une suite d’emboîtements les parties peuvent être comparées entre elles, autant qu’avec les totalités successives, les combinaisons sont infiniment plus nombreuses que si l’on considère seulement les rapports de partie à tout. La structure numérique invoquée par la récurrence n’a pas d’autre sens. Mais le principe est valable aussi pour le raisonnement géométrique de caractère extensif, d’où sa fécondité égale.

Quant à l’intuition du nombre pur, en tant que pouvoir de se représenter qu’« une unité peut toujours être ajoutée à une collection d’unités » ¹⁴, il est clair que le problème qu’elle soulève est celui du schème opératoire lui-même. Étant donnée l’opération initiale + 1, élément du groupe additif des nombres entiers, dire que nous avons l’intuition du nombre pur revient à affirmer que la suite des opérations groupées constitue un schème anticipateur et que nous n’avons pas besoin de monnayer le détail des opérations successives pour en saisir la succession possible, non pas comme un tout statique, mais comme un dynamisme fait d’opérations virtuelles. L’hypothèse d’une intuition du nombre pur se ramène en ce sens à cette autre supposition fondamentale de Poincaré que la notion de groupe est donnée a priori dans l’esprit et qu’elle constitue donc aussi une intuition rationnelle (des déplacements pour l’espace et de l’addition de l’unité pour le nombre) : c’est ce qui explique le parallélisme entre le raisonnement géométrique et le raisonnement analytique, sans qu’il soit besoin, pour raisonner de façon rigoureuse et féconde sur les figures, d’avoir à évoquer l’infinité des nombres. Mais pourquoi parler d’intuition ou d’a priori ? D’une part, il y a construction génétique du groupe des nombres comme de celui des déplacements, et d’autre [p. 289] part, c’est l’acte même de l’intelligence, en son noyau opératoire le plus essentiel qui est alors qualifié d’intuitif, par opposition au déroulement détaillé des opérations particulières. Nous sommes donc, sur ce point, au cœur même de la question de la nature des objets mathématiques, et appeler intuition cette prise de possession de leur objectivité intrinsèque a plutôt pour effet de voiler la difficulté que de nous en livrer le secret.

L’interprétation du raisonnement mathématique fournie par Poincaré a trouvé deux sortes de contradicteurs : les logisticiens et Edm. Goblot. L’analyse des premiers, plus profonde que celle du second, exige un examen attentif, que nous ferons plus loin (§ 5). Elle aboutit, en effet, à sacrifier délibérément la fécondité à la rigueur, au point qu’il est aujourd’hui passé de mode et qu’il semble même, à certains, dénué de signification que de soulever encore le problème de la productivité du raisonnement. Mais à supposer que la question ne se pose vraiment plus en ce qui concerne la structure formelle de la déduction, elle réapparaît sitôt que l’on cherche à déterminer les rapports entre cette structure et la réalité. D’autre part, il suffit de chercher à exprimer une telle structure en termes d’opérations, même purement propositionnelles, pour que s’impose à nouveau la différence entre les inférences mathématiques spécifiques et la déduction bivalente en général. C’est pourquoi il importe de rappeler aussi la solution de Goblot, dont les lacunes mêmes sont instructives en ce qui concerne les exigences d’une solution opératoire complète : si les logisticiens de l’école de Vienne ont en effet éliminé la fécondité au profit de la rigueur, l’effort de Goblot a porté essentiellement sur l’explication de la fécondité et l’on peut se demander s’il ne lui a pas sacrifié la rigueur.

Déduire, c’est construire, redécouvre E. Goblot (un matin de février 1906, précise-t-il même, tant cette illumination lui paraît décisive). Mais construire, c’est : 1° effectuer des opérations concrètes, telles que des constructions graphiques, etc., qui selon Goblot constituent l’essentiel du raisonnement lui-même ; 2° combiner des propositions, en tant qu’elles traduisent ces opérations concrètes. Comment expliquer alors que la construction soit rigoureuse et non pas simplement approchée, comme celles des sciences expérimentales ? C’est que cette construction est réglée grâce aux propositions antérieurement admises, qu’applique le syllogisme, tandis que, dans l’induction, les propositions antérieures laissent une marge plus ou moins [p. 290] grande d’indétermination nécessitant le recours au contrôle empirique. Les règles de la construction ne sont pas celles de la logique, sans quoi les conclusions seraient à concevoir comme comprises d’avance dans les propositions antérieures ; les règles se réduisent à ces propositions elles-mêmes, dans leur contenu et en tant que ce contenu impose certaines conditions restrictives à des constructions par ailleurs nouvelles.

Deux auteurs de talent, Daval et Guilbaud, ont récemment montré ¹⁵ que la notion de construction propre à Goblot demeure insuffisamment élaborée, et que, une fois analysée, elle n’ajoute rien de nouveau à la solution de Poincaré, mal comprise par son continuateur. Dans la théorie de Poincaré, en effet, il intervient également une construction opératoire initiale, source de raisonnement de départ, puis une sorte de raisonnement au second degré, qui généralise cette construction en la réfléchissant. Mais, tandis que ce raisonnement au second degré est constitué, chez Poincaré, par le mécanisme de la récurrence, l’originalité de la conception de Goblot est de chercher à tirer des opérations primaires elles-mêmes, l’explication de la rigueur spéciale à la déduction : le raisonnement déductif reviendrait simplement à soumettre ces opérations à un ensemble de règles constituées par les « propositions antérieurement admises ». Cette détermination est-elle suffisante ?

Nous ne ferons pas grief à Goblot d’avoir appelé indifféremment « construction » les opérations concrètes, effectuées matériellement ou mentalement, et les propositions traduisant ces actions. Ce sont là, nous l’avons assez vu au cours du chap. II, deux paliers successifs de la pensée mathématique aussi essentiels l’un que l’autre ¹⁶ et il existe une logique des opérations concrètes comme une logique propositionnelle. En affirmant que la fécondité du raisonnement mathématique tient à la construction des rapports initiaux, et non pas à l’agencement des propositions qui les expriment, Goblot se rencontre même, en un sens, avec certaines thèses logistiques récentes, selon lesquelles l’arithmétique et le raisonnement par récurrence demeurent irréductibles au calcul des propositions et font de ce point de vue, intervenir un mécanisme extra-logique d’inférence. [p. 291] Tant l’induction complète de Poincaré que les « constructions » concrètes de Goblot relèveraient ainsi de la logique des classes, des relations et des nombres, et non pas de celle de la déduction pure. En d’autres termes, il serait légitime d’admettre avec Goblot que les constructions sont réglées par le contenu même des « propositions antérieurement admises » et non pas par les lois de la logique en tant que structure formelle de la déduction propositionnelle.

Mais il demeure un problème essentiel, et c’est sur ce point que subsiste, nous semble-t-il, une lacune surprenante dans la théorie de Goblot. Si concrètes qu’elles soient, les opérations inhérentes à la « construction » des rapports de départ supposent elles-mêmes une logique : non pas celle des propositions comme telles, mais précisément celle du contenu des propositions, si l’on peut dire, puisque ce contenu se réduit toujours à un système de classes, de relations ou de nombres. Qu’elles soient matérielles ou mentales, les opérations concrètes sont, en effet, réglées, non pas du dehors et par des « propositions antérieurement admises » quelconques, mais du dedans et par une logique opératoire se réduisant à des groupements de classes et de relations ou à des groupes spatiaux et numériques. C’est ce réglage interne des opérations qui manque à la solution de Goblot alors que, dans celle de Poincaré, il est assuré par le mécanisme même de la récurrence, c’est-à-dire, en fait, par le groupe des opérations itérées d’addition de l’unité qui constituent la suite des nombres.

Si des propositions antérieures quelconques constituaient le seul réglage des constructions nouvelles, on se trouverait, en effet, devant l’alternative suivante : ou bien les conclusions obtenues se trouvent déjà comprises dans les propositions antérieures et alors il y a réglage complet, mais ces conclusions ne sont pas nouvelles et la déduction n’est pas constructive ; ou bien les conclusions sont nouvelles, c’est-à-dire non contenues dans les propositions antérieures, mais alors celles-ci ne règlent qu’incomplètement la construction. Plus précisément, les propositions antérieures ne sauraient régler la construction que dans la mesure où les résultats ne sont pas nouveaux ; par contre dans la mesure où la construction est nouvelle, ces propositions constitueront tout au plus des barrières extérieures, qu’il est interdit de franchir, mais à l’intérieur desquelles la construction demeure contingente et échappe à tout réglage. C’est du moins ainsi que les choses se passeraient s’il s’agissait de propositions quelconques, c’est-à-dire non choisies [p. 292] expressément en vue de l’ajustement réciproque des opérations.

Or, en fait, les premières « propositions admises » c’est-à-dire les définitions et les axiomes, constituent précisément un système de règles opératoires qui déterminent la manière dont les opérations vont se combiner entre elles. C’est ainsi que les axiomes de Peano concernant le nombre entier (voir chap. I § 7) introduisent les notions de successeur ou de « suivant », de zéro et de l’égalité de deux nombres, de manière à pouvoir engendrer la suite caractérisée par l’addition + 1, + 1… : la construction est alors réglée parce que les opérations mêmes sont astreintes à une composition qui ne laisse place à aucun flottement. Le réglage est donc interne et non pas externe : c’est une loi de composition qui le constitue et non pas un système de propositions antérieures quelconques. Et, s’il en est ainsi, c’est que les propositions de départ ont été choisies justement dans ce but : c’est parce que les opérations + 1, − 1 et 0 forment entre elles un « groupe », et sont ainsi réglées par leur propre transitivité et leur propre réversibilité, que les axiomes mis à la source de la construction sont formulés de manière à retrouver une telle structure et à la régler explicitement et non plus seulement implicitement.

Bref, si, même sur le plan des opérations concrètes, la « construction » qui engendre le raisonnement est d’emblée réglée, c’est en vertu des lois de composition réversible qui caractérisent les opérations comme telles, et c’est ce réglage interne qui dirige le choix des propositions de départ. À négliger l’existence de cette composition réversible des opérations, la solution de Goblot s’avère insuffisante pour concilier la fécondité et la rigueur, parce qu’elle aboutit alors à confondre les opérations avec des actions matérielles (ou mentalisées) quelconques.

Si nous en revenons maintenant à la logique, nous constatons qu’elle-même ne procède pas autrement, et cela déjà avant qu’intervienne la formalisation propre à la logistique propositionnelle. Déduire par syllogismes, c’est également « construire », aussi bien que lorsque l’on raisonne mathématiquement, et les règles de cette construction sont à nouveau des lois de composition opératoire, et non pas des propositions antérieures quelconques. Tout syllogisme suppose, en effet, un système préalable de classes ou de relations emboîtées et ce système suppose une construction dont les lois sont celles des « groupements ». Dès lors la question posée par Goblot, après Poincaré, [p. 293] de savoir pourquoi le raisonnement mathématique est plus fécond que le raisonnement logique se retrouve de la manière suivante, mais déplacée sur le terrain du réglage interne : pourquoi les compositions réglées propres aux mathématiques sont-elles plus nombreuses que celles de la logique ? Pourquoi un groupement logique ne conduit-il qu’à quelques compositions restreintes, tandis que les « groupes » algébriques ou géométriques peuvent conduire à un nombre inépuisable de compositions ? La réponse ne peut tenir, on le voit, qu’à la structure même des totalités opératoires assurant simultanément la possibilité et la rigueur des compositions, et non pas à la notion beaucoup trop vague de simple « construction ».

« L’emploi de l’induction mathématique dans les démonstrations, [p. 306] écrit B. Russell ¹⁹, était autrefois quelque chose comme un mystère. On ne doutait pas que ce fût une méthode convenablement probante, mais personne ne savait bien comment elle était fondée… Poincaré considérait qu’il y avait là un principe de la plus haute importance, au moyen duquel un nombre infini de syllogismes pouvait être condensé dans un raisonnement unique. Nous savons maintenant que toutes ces vues sont erronées et que l’induction mathématique est une définition et non un principe. Il y a des nombres auxquels on peut l’appliquer et il y en a d’autres [les cardinaux transfinis] qui sont rebelles à son emploi. Nous définissons les « nombres naturels » comme ceux que l’on peut établir grâce à l’induction mathématique, c’est-à-dire comme ceux qui possèdent toutes les propriétés inductives. Par suite, ces déterminations peuvent être employées pour les nombres naturels non pas en raison de quelque intuition mystérieuse, d’un axiome ou d’un principe, mais elles se présentent comme une simple propriété littérale. Si nous définissons les « quadrupèdes » comme des animaux qui ont quatre pieds, il s’ensuivra que tout animal qui aura quatre pieds sera un quadrupède ; le cas des nombres soumis au régime de l’induction mathématique est exactement le même ».

Ce passage significatif de Russell se fonde sur la définition des classes « héréditaires » (telles que si n en est membre, n + 1 en fait aussi partie), ainsi que sur les notions de successeur ou de prédécesseur, de zéro et de « postérité de zéro », etc. (voir chap. I § 7 les notions premières de Peano, qui sont reprises et précisées par Russell en fonction de sa réduction du nombre entier aux classes). Cela revient à dire, et telle est la simplification essentielle que la logistique a introduite au cours de sa première phase, que le principe d’induction mathématique résulte sans plus de la construction des nombres entiers (finis). Que l’on admette la réduction des cardinaux aux classes logiques et des ordinaux aux relations asymétriques, on que l’on se borne, avec Peano, à adjoindre l’axiome d’induction à ceux qui déterminent la succession des nombres, le raisonnement par récurrence devient ainsi l’expression même de cette construction des entiers finis.

Mais, s’il y a là un progrès par rapport à l’interprétation de Poincaré, B. Russell exagère cependant quelque peu en comparant la suite des nombres à la classe des quadrupèdes… [p. 307] En effet, « définir » la première consiste à l’engendrer au moyen d’une loi de composition opératoire, relevant d’une structure de groupe, tandis que « définir » la seconde ne suppose que l’intervention d’une simple réunion d’individus, et non pas d’unités itérées. Dès lors, sans avoir à revenir à l’« intuition du nombre pur », le principe particulier de l’induction complète demeure irréductible à la logique des classes. C’est pourquoi le raisonnement par récurrence reste plus fécond que le syllogisme : il permet de généraliser de zéro, ou de un, à « tous », des propriétés non attribuées d’avance à tous les nombres, tandis que le syllogisme se borne à inclure les unes dans les autres des classes dont les parties et le « tout » résultent de simples emboîtements. Aussi bien, cette fécondité inhérente au raisonnement par récurrence a-t-elle été reconnue et maintenue par la plupart des logisticiens eux-mêmes.

Mais l’essai, réussi ou manqué (voir chap. 1 § 4), de réduction des êtres mathématiques aux classes et aux relations logiques portait en lui un germe d’unification, qui a abouti à la seconde phase de l’analyse logistique. De ce que les êtres logiques, considérés isolément (par opposition aux « groupements » sur lesquels nous avons insisté § 3 du chap. I), se réduisent à l’identité, et de ce que la mathématique semblait elle-même réductible à la logique pure, on en est venu à conclure au caractère « tautologique » de tout raisonnement logico-mathématique. La logique et les mathématiques se borneraient ainsi à constituer la syntaxe d’un langage destiné exclusivement à exprimer des « faits » c’est-à-dire des constatations expérimentales, et demeureraient radicalement infécondes en tant que pures syntaxes.

Partons de ce qu’on appelle des « propositions élémentaires », p. ex. « cet arbre est vert », proposition ne comportant aucune généralisation et se bornant à attribuer une propriété à un objet. On peut même distinguer, à l’intérieur de telles propositions, ce que Russell appelle « propositions atomiques » c’est-à-dire indécomposables en propositions plus simples (ce sont les « Sachlagen » de Wittgenstein) et qui résultent simplement de l’application de la négation à certaines données immédiates (« ceci n’est pas rouge »). Il existera alors des « propositions moléculaires », ou propositions résultant de l’application des opérations d’incompatibilité aux propositions atomiques, et les « propositions élémentaires » se réduiront, par définition, à des propositions atomiques et moléculaires prises [p. 308] ensemble. Cela dit, une proposition élémentaire peut être mise sous la forme d’une fonction propositionnelle : « x est vert » ou « f (a) » et d’autres objets que « cet arbre » peuvent convenir au prédicat f ; d’autre part, « cet arbre » lui-même peut comporter d’autres prédicats que f. Sans jamais quitter le terrain des « faits » on pourra ainsi, en substituant les données les unes aux autres à l’intérieur de la proposition, engendrer le calcul des classes et des relations, et, en combinant les propositions entre elles, développer le calcul propositionnel.

Mais il est clair que, si précises et, à certains égards sans doute définitives, que soient les découvertes techniques du calcul logistique, l’emploi de ce calcul ne comporte pas ipso facto [p. 310] l’adoption de l’épistémologie viennoise. Que cet emploi soit ruineux pour un certain mode métaphysique de penser par concepts impropres à toute formulation, nous l’accorderons volontiers, et suivrons même entièrement le mouvement du Cercle de Vienne lorsqu’il limite les modes effectifs de connaître à deux types seulement : l’expérience et la formalisation. Seulement, entre la réalité physique et la déduction logistique, il intervient nécessairement le fait mental. Dans l’exacte mesure où l’on renonce au platonisme initial de B. Russell, il s’agit donc d’appuyer le formalisme logique sur l’activité intellectuelle, et la question est alors de savoir si la psychologie de Wittgenstein et des Viennois suffit à cette mise en correspondance.

Il importe d’abord de souligner de la manière la plus nette que, en marge de leur formulation logistique, les Viennois ont adopté ou construit une certaine psychologie des fonctions intellectuelles : le contact entre le symbolisme et les « faits » n’a pu être assuré que moyennant deux sortes d’affirmations, les unes concernant la connaissance (perception et intelligence), les autres relatives à la fonction symbolique (rôle du signe, et rôle de la « syntaxe » ou du langage en général). Or, si la formulation logique est affaire de pur calcul ou de pure axiomatisation, ces affirmations psychologiques relèvent par contre de l’expérience seule, c’est-à-dire de l’expérimentation psychologique elle-même, et aucune déduction logistique ne suffit à trancher de telles questions de fait. C’est donc sur le terrain des faits mentaux qu’il convient de se placer pour éprouver la valeur de l’épistémologie « viennoise », en distinguant soigneusement cette question de celle de la valeur de la logistique comme telle.

Or, si l’on cherche à déterminer à quels « faits » psychologiques correspondent les « énoncés » formulés par les propositions « atomiques » et les structures formelles de divers ordres, on est obligé de reconnaître que, loin d’être en présence de simples constatations au cours desquelles le sujet enregistrerait les données extérieures en demeurant lui-même passif, on retrouve constamment une action réelle du sujet, qui opère sur le donné au lieu de l’accepter tel quel : il s’ensuit que les « énoncés » correspondent à des opérations psychologiques autant qu’à des « faits » physiques et que, par conséquent, le mécanisme opératoire refoulé de la « tautologie » logique doit, ou bien être intégré au réel lui-même en tant qu’énoncé, ou bien être réintégré dans l’interprétation des symboles logistiques en tant qu’énonçants.

Au total, il semble donc impossible de nier que la construction opératoire, écartée de la logique pure et des mathématiques par l’épistémologie viennoise au cours de cette deuxième période de (histoire des théories logistiques, ne réapparaisse nécessairement sur le terrain psychologique, ce qui réintroduit nécessairement le problème de sa formalisation logistique. Entre le symbole logistique et le « fait » physique, il intervient une action du sujet et l’opération se présenta ainsi [p. 314] à titre de lien indispensable entre le premier et le second. C’est d’ailleurs ce qu’avouent les « Viennois » en partie, pour ce qui est du fait de conscience : logiquement « tautologiques », les mathématiques sont vécues psychologiquement comme constructives et fécondes. Mais faut-il alors considérer ce sentiment comme une illusion subjective, ou bien est-il épistémologiquement nécessaire de conférer au sujet une activité réelle pour unir les « faits » à leurs « symboles » ?

Trois raisons paraissent imposer cette seconde manière de voir. La première est la convergence progressive entre l’analyse psychologique et l’analyse logistique. Tout le développement de l’intelligence se ramène à un passage de l’action irréversible aux opérations réversibles et ces opérations se constituent psychologiquement sous la forme de systèmes d’ensemble bien définis : or, ces systèmes correspondent, selon les opérations en jeu, soit à des « groupes » mathématiques (la suite des nombres, les déplacements dans l’espace, etc.), soit aux « groupements » plus élémentaires de classes et de relations dont nous avons vu la structure (chap. I § 3). Cette marche de la pensée vivante et des processus intellectuels concrets dans la direction de systèmes constituant leurs formes d’équilibre et se trouvant, par ailleurs, directement axiomatisables en structures logistiques, est un fait dont l’importance épistémologique ne saurait être négligée : ce sont ces données génétiques qui doivent être retenues si l’on veut parler vraiment d’une « unité de la science », par opposition à la psychologie un peu rudimentaire dont l’« empirisme logique » se contente.

En second lieu, du point de vue strictement logistique, on ne saurait réduire les mathématiques et la logique à une vaste tautologie que si tous les rapports en jeu dans les structures logico-mathématiques étaient assimilables à l’identité pure. Or, il n’en est rien et l’illusion contraire est née d’un procédé d’analyse essentiellement atomistique : lorsque Russell, p. ex., réduit à l’identité la correspondance bi-univoque d’un terme à un autre, il néglige les divers modes possibles de correspondance considérés en tant que systèmes d’ensemble ²³ (d’où son assimilation du nombre cardinal à une classe de classes). Si l’on analyse au contraire les totalités comme telles, ce n’est pas l’identité qui constitue le rapport logique fondamental, mais bien la réversibilité, et l’identité se réduit alors au produit des relations directes et inverses. Or, la réversibilité est une notion [p. 315] essentiellement opératoire et qui converge, nous venons de le voir, avec la forme même de l’équilibre des processus mentaux correspondants.

Une troisième raison de se refuser à réduire la logique et les mathématiques à une pure et simple tautologie est fournie par l’évolution même des travaux logistiques, à partir de la seconde période que nous considérons ici. L’hypothèse épistémologique de la tautologie générale propre aux « syntaxes » logico-mathématiques suppose, en effet, au minimum la réduction possible de tous les procédés d’inférence ou de raisonnement au schéma purement logique du calcul propositionnel. Elle implique tout au moins la possibilité de reconstruire les mathématiques à titre de système formel unique. Or, c’est précisément cette unicité qui est ébranlée par les travaux de la troisième période et notamment par ceux de Hilbert et de Gödel, dont nous allons voir maintenant les répercussions.

La troisième période de la logistique marque un renouvellement à la fois du point de vue de la réduction des mathématiques à la logique et en ce qui concerne la nature, tautologique ou non, des unes ou de l’autre. Préparée par les travaux de Hilbert sur l’axiomatisation de l’arithmétique, une crise proprement dite s’est produite avec les découvertes de Gödel, en 1929, et elle a obligé les anciens membres du cercle de Vienne lui-même à assouplir leur position jusqu’à faire de la logique une syntaxe de toutes les syntaxes (comme le soutient aujourd’hui Carnap), par opposition à la langue élémentaire au nom de laquelle on espérait d’abord supprimer les problèmes et « fermer » les axiomatiques.

Après avoir démontré la non-contradiction de la géométrie en s’appuyant sur celle de l’arithmétique, Hilbert a tenté, dès 1904, de démontrer la non-contradiction de l’arithmétique elle-même. Mais les résistances rencontrées l’ont conduit à modifier sur deux points essentiels la position initiale de Russell, développée par les Viennois : (1) En premier lieu, il a vite renoncé à une réduction pure et simple du mathématique au logique. Au contraire, en passant de la logique à l’arithmétique et de celle-ci à l’analyse, il introduit chaque fois de nouvelles variables et de nouveaux axiomes. Pour formaliser l’arithmétique il se donne p. ex. le calcul des propositions, les axiomes de l’égalité, les axiomes de récurrence pour l’addition et la multiplication et un axiome voisin de l’« axiome de choix ». Il n’y a donc plus réduction du supérieur à l’inférieur, p. ex. du nombre à la classe [p. 316] ou du raisonnement par récurrence à des enchaînements purement logiques d’inclusions ou de relations asymétriques : il y a au contraire subordination du mathématique simple au « métamathématique », c’est-à-dire à une discipline reconstruisant simultanément le logique et le mathématique et dont l’objet est de démontrer la non-contradiction et l’achèvement des axiomes de la mathématique formalisée. (2) En second lieu, et a fortiori, Hilbert renonce à toute interprétation tautologique de la logique et des mathématiques, et se trouve comme malgré lui replongé dans le problème de la fécondité. En effet, les trois critères qu’il assigne à toute axiomatique achevée sont l’indépendance des axiomes, leur non-contradiction et la saturation, c’est-à-dire la démonstratibilité de toutes les conséquences que l’on en peut tirer. Or, l’indépendance des axiomes s’est révélée si grande que, même sur le terrain de l’arithmétique pure, il n’est parvenu à démontrer ni la non-contradiction ni la saturation ! C’est assez dire que, sur le terrain proprement axiomatique lui-même, on ne saurait plus parler légitimement de la nature tautologique des connexions logico-mathématiques : les opérations dont nous venons de voir (sous II) qu’elles s’interposent nécessairement entre les « faits » et les énoncés logiques, se trouvent être si riches que les axiomes « indépendants » propres à l’axiomatique arithmétique elle-même n’ont point encore pu être démontrés compatibles entre eux… ²⁴

En effet, le problème soulevé par Hilbert s’est révélé bien plus complexe encore que l’illustre inventeur de la méthode métamathématique ne l’avait supposé. Sur ce point comme toujours, la crise ainsi ouverte s’est montré plus féconde que tous les dogmatismes. De 1929 à 1934 les efforts pour démontrer la non-contradiction de l’arithmétique et notamment l’axiome général d’induction complète se sont, en effet, enrichis des travaux de Herbrand, de Gödel et de Gentzen qui ont à bien des égards renouvelé les questions sans pour autant parvenir aux résultats proposés.

L’essai de Herbrand ²⁵ a consisté à réduire les opérations d’une démonstration à des opérations de plus en plus simples jusqu’à trouver une forme directement vérifiable. Procédant par [p. 317] disjonction finie de termes ne contenant plus de variables, jusqu’à décider si cette disjonction est une identité logique, il aboutit ainsi à démontrer un certain nombre de compatibilités, mais échoue devant l’axiome général d’induction complète, irréductible à cette méthode dite des champs.

En 1929, Gödel marque un tournant décisif en fournissant la raison positive de ces résistances. D’un théorème, devenu célèbre, portant sur un système de relations récurrentes, il déduit ce résultat essentiel que la non-contradiction d’une théorie ne se laisse pas démontrer au moyen des seuls éléments de cette théorie ni ne se laisse réduire à la non-contradiction d’une théorie plus simple. La non-contradiction de l’arithmétique n’est, donc pas démontrable logiquement, et, dans l’état actuel des connaissances, elle ne saurait être appuyée que sur une démonstration métamathématique recourant aux instruments transfinis. Il en résulte que la légitimité du raisonnement par récurrence ne saurait relever de la logique, non seulement faute d’une réduction directe possible, mais encore faute de pouvoir « saturer » le système des vérités arithmétiques : autrement dit la généralisation à tous les nombres d’une propriété vérifiée pour 0 et pour le suivant d’un nombre donné si elle est vraie pour ce nombre, ne peut être démontrée vraie ou fausse par le simple secours de la logique.

Après quoi Gentzen en 1934, par une méthode voisine de celle de Herbrand, parvient bien à démontrer la non-contradiction de l’arithmétique et à y englober l’axiome général d’induction. Mais c’est à la condition d’incorporer le transfini à son raisonnement et, comme il le dit lui-même, de recourir à « des moyens qui dépassent l’arithmétique » ²⁶.

Or, ces développements de la métamathématique hilbertienne sont gros d’enseignements logiques et épistémologiques. Que l’on ne puisse pas démontrer la non-contradiction de l’arithmétique en appliquant le critère classique (p . p = 0), sans s’appuyer sur un ordre de vérités supérieur à l’arithmétique (et qui la suppose par conséquent), cela prouve assurément, ou bien l’insuffisante cohérence des mathématiques ou bien l’insuffisance des procédés dont dispose actuellement la formalisation logistique. Or, il est extrêmement remarquable de constater que personne ne songe le moins du monde à mettre en doute la cohérence interne des mathématiques, bien qu’il soit actuellement impossible de les réduire à un système formel unique. Il [p. 318] ne reste donc qu’à s’engager dans la direction d’un perfectionnement de la logique, puisque les systèmes opératoires caractéristiques de l’arithmétique elle-même ne peuvent être démontrés non contradictoires au moyen des systèmes opératoires propres à la seule logique classique.

Ce réajustement de la logique a été entrepris ou peut être conçu de trois manières, qui sont d’ailleurs susceptibles de se rejoindre un jour. On a, en premier lieu, tenté de considérer la logique classique, qui est bivalente, comme un simple cas particulier de logiques plus générales à trois valeurs (par admission d’un tiers non exclu), à quatre valeurs ou même à une infinité de valeurs : l’effort d’extension porte alors sur le principe du tiers exclu jusqu’à en faire un principe du n^e exclu, dans l’idée plus ou moins explicite, d’aboutir ainsi à une logique de l’infini mieux adaptée aux mathématiques que celle des ensembles finis. En second lieu on peut perfectionner les métathéories jusqu’à construire des systèmes formels imitant avec toujours plus de précision les théories mathématiques elles-mêmes, ce qui tend en fin de compte à faire de la mathématique sa propre logique. Enfin on pourrait — mais cette troisième solution ne semble pas avoir été tentée — élargir le principe même de la non-contradiction : pourquoi l’expression p . p = 0, qui repose sur la simple complémentarité de p et de p dans l’univers du discours ne suffit-elle pas à assurer la non-contradiction de l’arithmétique ? Ne serait-ce pas qu’un système d’emboîtements susceptibles d’assurer une induction complète et reposant sur les groupes et le corps des nombres réels ne saurait être enfermé dans un système d’emboîtements simplement intensifs, c’est-à-dire définis par de pures complémentarités ? Ces trois solutions reviennent donc à dépasser de trois manières différentes le cadre de la logique bivalente, étant reconnue son insuffisance à absorber les mathématiques ou même à fournir, lorsque les structures logiques et mathématiques sont simplement mêlées les unes aux autres, le critère de la non-contradiction du mixte ainsi formé.

Les premières attaques contre la logique bivalente sont issues de l’intuitionnisme brouwerien. Résolu à n’admettre que les êtres mathématiques effectivement construits, Brouwer a été conduit à réexaminer la valeur des raisonnements portant sur les ensembles infinis et l’utilisation des démonstrations par l’absurde. Réduisant alors la logique à une simple classification verbale des ensembles finis, il a résolument mis en doute l’emploi [p. 319] du tiers exclu dans l’infini, en admettant la possibilité d’un tertium : l’indémontrable, situé entre le vrai, ou effectivement construit, et l’absurde. Après que Wavre eût montré la possibilité de formaliser un tel point de vue, Heyting a effectivement construit une logique trivalente susceptible de s’adapter à l’intuitionnisme. Outre la logique probabiliste polyvalente de Reichenbach et plusieurs autres essais (Gonseth, etc.), l’école polonaise, avec Lukasiewicz et Tarski, a généralisé ces tentatives jusqu’à construire un principe du n^e exclu et une logique d’une infinité de valeurs. Il y a là un effort d’un haut intérêt et dont la portée effective n’a certainement pas encore été épuisée. Néanmoins deux circonstances la restreignent jusqu’ici. D’une part, si de nouveaux cadres sont ainsi préparés, qui sembleraient notamment pouvoir s’ajuster un jour aux problèmes de récurrence, aucune application décisive n’a encore justifié aux yeux de tous de tels élargissements et bien des auteurs conservent l’impression d’une réduction possible de la polyvalence à la bivalence simple. D’autre part, une logique à une infinité de valeurs n’est point encore une logique de l’infini et une « logique générale » n’a pas été dégagée, le problème subsistant entièrement de savoir si elle est possible.

En second lieu, l’élargissement de la logique s’effectue au sein des théories métamathématiques elles-mêmes. À côté de la logique purement intensive représentée par les classes et les relations indépendamment du nombre et par la logique des propositions bivalentes, on peut concevoir une logique des mathématiques consistant en un mélange d’axiomes strictement logiques et d’axiomes empruntés à l’arithmétique, à l’analyse ou surtout aux structures transfinies. De tels agrégats qui caractérisent précisément les théories métamathématiques sont alors susceptibles de perfectionnements indéfinis, et c’est d’eux que l’on attend en général l’achèvement des formalisations mathématiques. Mais, même en dépassant ainsi la logique pure, et sans revenir à l’idéal illusoire de la réduction simple du mathématique au logique, on ne parvient à démontrer la non-contradiction des systèmes arithmétiques qu’en s’appuyant, nous l’avons vu, sur des axiomes d’ordre supérieur : plus encore que l’échec de la réduction russellienne du supérieur à l’inférieur, cette résistance à l’« achèvement » de la formalisation montre alors l’hétérogénéité du logique et du mathématique. Il y a donc autonomie relative des paliers supérieurs et par conséquent nécessité de construire une logique spécifique s’adaptant toujours mieux à eux par incorporations successives [p. 320] d’axiomes nouveaux étrangers à la logique pure. Or, plus cette logique mixte est développée sur le plan métamathématique et plus elle imite la mathématique elle-même jusqu’à la doubler avec un mimétisme croissant. Si l’on peut parler à ce sujet d’une assimilation progressive du logique et du mathématique, cette assimilation est en ce cas réciproque, et revient comme toujours à enrichir l’inférieur au moyen du supérieur aussi bien qu’à traduire celui-ci dans les structures de celui-là. Un exemple fera comprendre la chose. Hilbert démontre le principe du tiers exclu en s’appuyant sur un certain axiome de choix transfini : A (t A) ⊃ A (a) signifiant que si la propriété A convient à l’objet choisi (t A) elle convient alors à tous les (a). L’exemple donné dans le fini est le suivant : si A est la propriété d’être corruptible et que l’objet choisi (t A) soit le plus incorruptible des hommes, alors tous les hommes (a) sont corruptibles. Or, il est clair qu’en se donnant la possibilité de retrouver parmi l’ensemble des hommes le plus incorruptible d’entre eux, on s’attribue par cela même le pouvoir de sérier tous les hommes en les comparant deux à deux (ou classes à classes) du point de vue de la relation asymétrique transitive : « plus (ou moins) incorruptible ». Appliquer ce même pouvoir aux ensembles transfinis signifie alors s’accorder le droit de les ordonner tous (non pas nécessairement selon le rapport « bien ordonné » mais selon un ordre simple ou un jeu d’intersections préalables). Bref, introduire un tel axiome revient à se donner plus qu’il n’en faut pour logiciser un secteur mathématique particulier, mais, précisément, en se donnant trop, on enrichit d’autant l’inférieur au lieu de lui réduire le supérieur : c’est en quoi la logique élargie des métathéories est appelée à doubler les mathématiques en insérant la logique dans une métalogique, plus que l’inverse ; et cela jusqu’à faire des mathématiques elles-mêmes leur propre logique. Le principe d’induction complète reste, en ce cas aussi, à concevoir comme un mode d’inférence spécifique, irréductible à la seule logique bivalente.

En troisième lieu, on pourrait imaginer une solution revenant à élargir la notion de la non-contradiction elle-même, jusqu’à faire de la non-contradiction propre à la logique bivalente un simple cas particulier du non-contradictoire caractérisant la logique des opérations réversibles en général. En effet, que signifie l’expression classique p . p, symbole de la contradiction inter-propositionnelle? Tout simplement ceci, que l’univers du discours (appelons-le z) est partagé en deux classes de valeurs, [p. 321] les unes vérifiant la proposition p, les autres la proposition p et que ces deux classes correspondant à p et à p sont complémentaires sous z. On aura donc, par définition :

(1) p . p = 0

(2) p ∨ p = z

(3) p = z . p

(4) p = z . p

Si p. ex. p signifie « x est vivant », tous les x se répartiront en vivants et non-vivants (p) et la non-contradiction (p . p = 0) reviendra à affirmer qu’aucun x ne saurait être à la fois vivant et non-vivant, puisque, par définition, non-vivant est complémentaire de vivant. Il en résulte que les vivants seront tous les z qui ne sont pas non-vivants (4) et que les non-vivants seront tous les z qui ne sont pas vivants (3).

Mais un tel critère ne relève que de la complémentarité simple c’est-à-dire qu’il est de caractère purement intensif ²⁷ et ne suppose que les rapports d’emboîtement de la partie dans le tout : la seule relation connue entre l’une des parties (correspondant à p) et l’autre partie (correspondant à p) est, en effet, une relation de complémentarité, c’est-à-dire une relation se référant au tout : p = z . p. Faut-il alors s’étonner qu’une telle définition exclusivement intensive de la non-contradiction ne suffise plus à rendre compte de la cohérence propre aux systèmes extensifs et numériques ? Il est au contraire évident que de tels systèmes débordent le cadre intensif et relèvent par conséquent d’un critère plus délicat de la non-contradiction.

Supposons, p. ex., qu’en vertu des axiomes choisis mais en maintenant les définitions ordinaires des nombres 2, 4 et 5, on obtienne en un système arithmétique une proposition telle que 2 + 2 = 5. Si nous faisons correspondre 2 + 2 à la proposition p et 5 à la proposition p, la question est alors de savoir pourquoi elles sont contradictoires ? Est-ce à nouveau simplement parce que l’ensemble (infini) des nombres entiers se partage en deux sous-ensembles complémentaires, dont l’un comporte les rapports 0 + 4 = 4 ; 1 + 3 = 4 ; 2 + 2 = 4 ; etc. et dont l’autre contient toutes les autres relations vraies concernant les 5, 6, 7, …, de telle sorte qu’il n’existe pas d’équation comportant à la fois 2 + 2 dans un membre et un nombre autre que 4 dans l’autre membre ? Il est clair que, à raisonner d’une façon aussi simple, on n’arrivera jamais non [p. 322] pas seulement à démontrer mais même à assurer intuitivement la non-contradiction du système. Or, c’est à peu près ce que l’on fait en voulant soumettre l’arithmétique à la logique. La non-contradiction arithmétique tient au contraire au fait que les opérations génératrices des nombres entiers positifs et négatifs forment un groupe, tel que l’opération directe + 1 soit annulée par l’opération inverse − 1, sous la forme : + 1 — 1 = 0. C’est cette composition de l’opération directe + 1 et de l’inverse − 1 en l’identique 0 qui constitue le correspondant réel, sur le plan des nombres entiers, de ce qu’est l’équation logique p . p = 0. Sera contradictoire, par conséquent, toute équation numérique dans laquelle les opérations directes et inverses ne s’annuleront pas l’une l’autre : soit + n − n ≷ 0. Il en résulte que la non-contradiction arithmétique comporte un autre critère, et beaucoup plus fin, que la non-contradiction simplement logique ou intensive, relevant de la seule complémentarité.

Mais quel est alors le rapport entre ces deux sortes de non-contradictions ? Il tient précisément au jeu des opérations directes et inverses et l’on peut définir de façon générale la non-contradiction par la réversibilité, tout en différenciant les paliers distincts de non-contradictions selon la nature des systèmes opératoires tous caractérisés par leur composition réversible. En particulier, la non-contradiction logique p . p = 0 n’est pas autre chose qu’une composition réversible particulière consistant à annuler une opération directe (ou affirmation) par son inverse (ou négation), ce qui équivaut à l’opération identique 0.

En effet, comme nous l’avons montré ailleurs ²⁸ en nous appuyant sur la règle bien connue de dualité p ∨ q = p . q et p . q = p ∨ q, toute la logique des propositions est réductible à un « groupement » unique (voir pour la notion de « groupement » le chap. I § 3), dont l’opération directe est la disjonction p ∨ q et l’opération inverse la négation conjointe p . q. L’opération identique générale étant (∨) 0 et les identiques spéciales étant (p ∨ p = p) et (p ∨ z = z) on peut tirer toute la logique des propositions des équations (1) à (4) : p . p = 0 ; p ∨ p = z, p = z . p et p = z . p. Or, un « groupement » constituant le seul système de compositions réversibles compatibles avec [p. 323] les rapports purement intensifs d’inclusion de la partie dans le tout et de complémentarité, il en résulte que la non-contradiction logique p . p = 0 exprime simplement la réversibilité inhérente à un tel système. Il va donc de soi qu’elle ne saurait suffire à démontrer la non-contradiction de l’arithmétique, puisque cette démonstration reviendrait alors à réduire les rapports extensifs (de partie à partie) et notamment les rapports numériques (itération de l’unité et induction complète) aux seuls rapports intensifs (de complémentarité et d’inclusion) !

Au contraire, si la non-contradiction en général se ramène à la réversibilité en général, chaque ensemble de groupes enveloppe sa non-contradiction et comporte son critère spécial de contradiction, en référence avec l’opération identique du système. De ce point de vue encore, la logique des mathématiques se réduit aux structures mathématiques elles-mêmes.

Or, des considérations qui précèdent, il est possible de tirer une interprétation du raisonnement mathématique qui concilie sa fécondité et sa rigueur, tout en le distinguant du raisonnement simplement logique.

Le raisonnement logique est déjà fécond, parce que deux opérations logiques quelconques composées entre elles donnent une opération nouvelle non contenue dans les composantes. Soit p. ex. la conjonction (p . q) : elle affirme simplement la vérité de certaines combinaisons de valeurs admettant simultanément p vraie et q vraie (p. ex. p = x est Mammifère et q = x est Vertébré). Si nous affirmons, d’autre part (p . q), nous admettons la conjonction possible de q avec non-p (p. ex. si x est un Oiseau il est à la fois non-Mammifère et Vertébré, soit p . q). Or, la réunion de (p . q) et de p . q sous la forme [(p . q) ∨ (p . q)] contient plus que (p . q) et que (p . q) pris chacun à part : cette réunion disjonctive signifie, en effet, que q peut être affirmée indépendamment de la vérité ou de la fausseté de p. Ajoutons encore la vérité de p . q (ni Mammifère ni Vertébré) et nions celle de p . q (Mammifère et non Vertébré) : cette réunion [(p . q) ∨ (p . q) ∨ (p . q)], avec exclusion de (p . q), signifie alors que p implique q (soit p ⊃ q) c’est-à-dire affirme un rapport essentiel entre p et q, non contenu ni dans (p . q), ni dans (p . q) ni même dans [(p . q) ∨ (p . q)]. Ainsi la fécondité de la logique tient à ses compositions opératoires, que suppose toute déduction, aussi tautologique soit-elle d’apparence.

[p. 324] Quant à la rigueur du raisonnement logique, elle tient à la réversibilité des compositions possibles, puisque (nous venons de le voir) le critère de la non-contradiction (p . p = 0) n’est autre que la réversibilité elle-même. La rigueur de la logique des propositions provient donc du fait que ses compositions constituent, non pas seulement un réseau ou lattice, mais bien un « groupement » unique, c’est-à-dire un lattice rendu réversible par ses complémentarités hiérarchiques, et dont l’« opération identique » fondamentale est précisément (p . p = 0). La rigueur ne tient donc ni à l’identité simple p = p, ni à la non-contradiction conçue comme une forme statique indépendante, mais à la réversibilité du système d’ensemble, dont les compositions non identiques expliquent par ailleurs la fécondité ²⁹.

Si de la logique, nous passons au raisonnement mathématique, nous comprenons alors pourquoi la fécondité en est décuplée, quoique la rigueur y repose sur un principe équivalent, mais d’application plus affinée.

La fécondité du raisonnement mathématique dépasse sans commune mesure celle du raisonnement logique pour cette raison bien simple qu’au lieu d’emboîter sans plus la partie dans le tout ou de ne relier les parties entre elles que par complémentarité ou intersection (celle-ci étant à nouveau une inclusion), le raisonnement mathématique construit un ensemble toujours plus riche de relations entre les parties, considérées en elles-mêmes et sans passer par l’intermédiaire du tout (produits, correspondances bi-univoques, etc.). S’il s’est avéré impossible de « fonder » le principe général d’induction complète au moyen des seules ressources de la logique, c’est, en effet, que toute récurrence numérique suppose des relations directes entre les parties des totalités envisagées et qu’il est exclu de réduire de telles relations aux seuls rapports des parties avec le tout (inclusion et complémentarité). Dans la mesure où le nombre déborde la classe intensive, dans cette même mesure et pour les mêmes raisons le raisonnement par récurrence ne peut que demeurer irréductible aux compositions opératoires de la logique bivalente des propositions. L’extension considérable de fécondité que marque le passage du logique au mathématique tient donc à toute la différence qui séparent du simple « groupement » (ou composition réversible des relations de [p. 325] partie à tout), les groupes numériques, algébriques et géométriques fondés sur les relations directes des parties entre elles.

Or, c’est précisément cette structure fondamentale de groupe qui assure la rigueur du raisonnement mathématique (sitôt dépassés les rapports élémentaires de partie à tout qui se retrouvent dans la théorie des ensembles). Si la non-contradiction repose sur la réversibilité, on retrouvera ainsi, à partir de la non-contradiction logique, une suite de paliers de non-contradiction liés à des formes de réversibilité toujours plus affinées en fonction de la différenciation même des systèmes. Comme y a déjà insisté G. Juvet, c’est seulement en découvrant le « groupe fondamental » sur lequel repose une théorie, que l’on est certain de la cohérence interne de celle-ci ³⁰. C’est assez dire que la rigueur du raisonnement mathématique ne saurait faire qu’un avec sa fécondité : plus exactement dit, la fécondité tient au caractère illimité des compositions opératoires dont la réversibilité assure la rigueur.

De la sorte, l’analyse du raisonnement mathématique prépare et préfigure la solution à donner au problème des êtres abstraits : dans la mesure où le mathématique déborde le logique, l’existence opératoire s’avère, en effet, d’autant plus effective, qu’elle est ainsi doublement irréductible à la tautologie pure.

La pensée mathématique est féconde parce que, étant une assimilation du réel aux coordinations générales de l’action, elle est essentiellement opératoire.

Mais une opération comme telle est déjà une création du sujet, puisqu’elle est une action exercée par celui-ci sur les choses. Il est donc inexact de dire que la formation de la pensée [p. 337] mathématique soit due à une abstraction à partir de l’objet, comme si les matériaux de cette pensée étaient déjà contenus tels quels dans la réalité extérieure et qu’il suffise de les extraire pour engendrer les relations spatiales ou numériques. L’action, en quoi consiste l’opération à sa naissance, ajoute au contraire des éléments nouveaux à la réalité, et c’est en cette adjonction que consiste le début de la création propre aux mathématiques. Réunir des objets en une collection ou les en dissocier est un enrichissement apporté par l’action aux objets, car si la nature constitue à elle seule des ensembles ou les disloque, ce n’est pas à la manière d’une action libre (libre au sens où Brouwer caractérise le continu comme une suite de choix libres), mobile et réversible comme celles qui caractérisent la manipulation ou la pensée. De même construire ou mesurer des figures sont des actions qui ajoutent quelque chose à la réalité, car celle-ci en ignore les éléments les plus simples, tels les droites ou les plans et ne connaît, à une certaine échelle, que discontinuité et fluctuations.

Seulement la réalité extérieure se prête toujours à ces opérations ou à ces constructions, et c’est son accord sans cesse renouvelé qui motive la renaissance continuelle du réalisme. Là est le second caractère de la pensée mathématique : si elle est création, par rapport à la réalité physique et qu’elle ajoute quelque chose à cette dernière au lieu d’en abstraire ou d’en extraire sa matière, cependant dans la mesure où elle s’applique à la réalité, qu’elle dépasse par ailleurs considérablement (partout, p. ex. où intervient l’infini), l’expérience se trouve en accord avec le schème mathématique. Cet accord pose donc un deuxième problème, qu’il importe de résoudre dès le cas des opérations les plus simples, pour comprendre ce que sera une telle convergence lorsque la pensée mathématique anticipera des expériences à des années souvent de distance et leur fournira des cadres avant que l’idée même de telles expériences ait germé dans la pensée. Ces sortes d’anticipations montrent, en effet, que la rencontre entre les opérations mathématiques et le réel n’est pas nécessairement due à un ajustement réciproque, comme l’accord entre un principe de physique mathématique et les données expérimentales. Cherchons donc en quoi elle consiste dans les cas les plus élémentaires, c’est-à-dire dans ceux où l’ajustement réciproque semble évident, ce qui pourrait n’être qu’une apparence : p. ex. lorsqu’une collection de cailloux fournit le même nombre 10 quel que soit l’ordre dans lequel on les compte ou lorsqu’un triangle rectangle dessiné [p. 338] sur le papier présente effectivement une égalité approchée entre le carré de l’hypoténuse et celui des deux autres côtés.

Les solutions classiques de l’épistémologie philosophique s’enfermaient dans le dilemme : ou la réalité mathématique s’impose a priori à la réalité physique, ou la première s’extrait a posteriori de la seconde. La plupart des contemporains, tels Poincaré ou Meyerson, invoquent au contraire une troisième solution : mélange d’éléments empruntés au réel et de construction due au sujet pensant. À la limite de cette position, les logisticiens issus du cercle de Vienne réduisent l’apport du sujet à la seule syntaxe du langage destiné à exprimer le réel, tandis que tout ce qui dépasse la tautologie pure consiste en constatation de la réalité. Or l’hypothèse d’une assimilation du réel aux opérations issues de l’action nous paraît comporter une quatrième solution, consistant à n’attribuer les rapports mathématiques ni au sujet seul (a priorisme), ni à l’objet seul (empirisme) ni à une interaction actuelle entre le sujet et l’objet extérieur à lui, mais à une interaction entre eux deux, demeurant intérieure au sujet lui-même.

Une image fera comprendre la différence entre cette quatrième possibilité et les trois autres. Supposons que l’objet, donc le monde physique, soit différent de ce qu’il est : les mathématiques et la logique demeureraient-elles alors identiques à ce que sont les nôtres ? Oui, selon l’apriorisme ; l’empirisme et les solutions du troisième type répondront au contraire que non. Mais pourquoi non ? Parce que l’expérience physique, seule source (selon l’empirisme) ou source partielle (selon la troisième solution) de la connaissance mathématique, imposera à cette dernière une structure différente. La quatrième solution consiste au contraire à admettre que ce n’est pas l’expérience physique, donc l’action extérieure de l’objet sur le sujet, qui imposerait cette modification, puisque la logique et les mathématiques sont issues de la coordination des actions du sujet et non pas des actions particulières le reliant aux objets. Or, si le monde physique était autre qu’il n’est, ces coordinations mêmes en seraient modifiées pour une raison bien plus profonde que celle de l’expérience physique actuelle faite par chaque sujet : c’est parce que dans un monde différent, les structures mentales et physiologiques du sujet en général seraient autres, et que la vie elle-même serait issue d’une structure physico-chimique distincte de la nôtre. C’est donc de l’intérieur, et dans la mesure où le sujet tire son fonctionnement du réel par ses racines biologiques et physico-chimiques, et [p. 339] non pas au cours du déploiement de ses activités extérieures, que le sujet est en interaction avec l’objet en ce qui concerne les coordinations générales des actes, et c’est pourquoi ces coordinations s’accordent toujours avec le réel dont elles procèdent en leur source. Mais il reste à insister sur le fait que les coordinations élémentaires ne contiennent pas d’avance toutes les mathématiques (ce que nous verrons dans la suite) et surtout qu’elles interviennent seulement à l’occasion des actions sur l’objet, c’est-à-dire dans la mesure où elles coordonnent les actions physiques entre elles.

Cela rappelé, constatons à nouveau que les opérations logico-mathématiques sont précisément des actions qui n’empruntent pas leur contenu au détail des objets : ce ne sont pas seulement, en effet, des transformations caractérisant une « physique de l’objet quelconque », mais des « actions exercées [p. 340] sur l’objet quelconque », parce qu’elles portent sur les divers assemblages discontinus (logico-arithmétiques) ou continus (spatiaux) qu’il est possible de construire avec des objets quelconques, y compris leurs éléments. Comme l’a dit Poincaré, la géométrie commence avec la distinction des changements de position et des changements d’état, ceux-ci concernant la physique. Or, si cette distinction doit être construite, car les coordinations générales de l’action ne sont pas d’emblée dissociables des actions particulières qui sont coordonnées, elle marque bien 1e caractère des opérations spatiales, rendues indépendantes des transformations physiques de l’objet dans la mesure où le sujet parvient à différencier ce qui relève de ses actions particulières et ce qui intéresse leur coordination. À plus forte raison en est-il de même des opérations logico-arithmétiques, qui sont indépendantes des changements de position autant que d’état (sauf que, à nouveau, elles commencent par rester indifférenciées, au point de vue du sujet, des opérations spatiales, avant d’en être peu à peu dissociées).

Encore faut-il dissiper deux équivoques essentielles : d’une part, c’est toujours à l’occasion d’actions particulières exercées sur les objets que les coordinations élémentaires se manifestent, mais, de ce que ces coordinations coordonnent entre elles des actions physiques, cela ne signifie pas que la coordination comme telle de ces actions dérive d’elles ni des objets coordonnés par leur intermédiaire ; d’autre part et conséquemment, c’est toujours l’expérience qui enseigne à l’enfant les premières vérités logico-mathématiques, mais l’intervention de l’expérience ne signifie pas que ces vérités soient extraites des objets, car le résultat d’une expérience ne consiste pas nécessairement en une lecture de propriétés extraites de l’objet et il se réduit au contraire, dans le cas des expériences logico-mathématiques, à découvrir des liaisons nécessaires propres à la coordination des actions du sujet. Qu’il s’agisse donc des rapports entre la coordination générale des actes et les actions physiques particulières coordonnées par elle, ou entre l’expérience logico-mathématique et l’expérience physique, l’analyse génétique nous met en présence, dans les deux cas, d’une indifférenciation initiale et d’une différenciation toujours plus poussée dans la suite, mais les éléments d’abord indifférenciés, puis différenciés, n’en dérivent pas pour autant les uns des autres : la coordination logico-mathématique ne procède pas des actions physiques, ni l’inverse, et l’expérience logico-mathématique ne dérive pas de l’expérience physique, ni l’inverse.

Mais tous ceux des épistémologistes qui réduisent la connaissance aux deux seuls pôles de la pensée et de la sensation répondront que l’action est extérieure à la pensée et appartient déjà à la réalité sensible : l’action, dit-on couramment, est une donnée de l’expérience, sans doute en partie psychique et non pas seulement physique, mais d’une expérience étrangère à la pensée réflexive et connue uniquement grâce aux sensations internes ou musculaires, c’est-à-dire reposant, comme l’expérience physique, sur de pures sensations. C’est bien là qu’est le nœud de la question. Si l’on méconnaît le rôle essentiellement symbolique des sensations, ainsi que la continuité donnée entre les mouvements de l’organisme et les opérations de la pensée, il va de soi que l’action est à situer dans la réalité expérimentale et que les mathématiques proviennent en partie de cette réalité. Mais si l’on reconnaît en l’action sensori-motrice le point de départ de la pensée, en distinguant le mouvement lui-même de son signifiant symbolique qu’est la sensation kinesthésique, peu importe que nos mouvements et leur coordination [p. 343] soient connus de nous subjectivement (de même que le mécanisme psychologique de l’intelligence logique est inutile à introspecter pour régler son bon fonctionnement, et demeure en bonne partie « inconscient ») : l’action est alors l’expression du sujet connaissant, et non pas des réalités extérieures à la pensée, et l’opération mathématique est un schème d’assimilation active, simplement accommodé au réel et non pas extrait de lui.

Bref, en leur source les schèmes coordinateurs d’actions suffisent à engendrer les opérations logiques et mathématiques sans emprunter leur matière à l’objet. Ils sont cependant constamment accommodés au réel, mais par une accommodation active et non pas passive, c’est-à-dire qu’ils complètent la réalité physique en lui fournissant un système de rapports qui s’accordent avec elle sans être tirés d’elle. Et, s’il en est ainsi, c’est que les opérations logico-mathématiques agissent sur le réel sans transformer l’état des objets, parce qu’elles se limitent aux modifications (réelles ou virtuelles) de position ou d’assemblage, et qu’elles restent indépendantes des actions » physiques en jeu, simplement coordonnées par de telles opérations et non pas rendues solidaires de cette coordination même.

Cela dit, les deux mêmes problèmes de la construction des êtres logico-numériques ou géométriques et de leur accord avec le réel se retrouvent à tous les étages du développement de l’édifice mathématique et non pas seulement au point de départ ; mais, à partir d’un certain niveau, ils se posent de façon bien plus paradoxale puisque, d’une part, cette construction dépasse de plus en plus le réel, et que, d’autre part, parmi les cadres ainsi engendrés par voie déductive, il s’en trouve qui rejoignent le réel lors des progrès ultérieurs de l’expérience physique, c’est-à-dire avec une anticipation souvent considérable du cadre sur son contenu et sans qu’aucun fait extérieur n’ait pu servir de modèle au moment de la création du premier.

Comment, tout d’abord, les êtres logico-mathématiques en viennent-ils à dépasser le réel s’ils ont pour source les coordinations les plus générales de nos actions ? On le comprend en droit, puisque, si ces coordinations relient entre elles des actions exercées sur la réalité, la coordination comme telle n’emprunte pas ses éléments aux objets eux-mêmes, en tant que physiques. Que l’expérience soit nécessaire, au début, pour le développement de ces coordinations ne prouve pas, comme nous venons de le voir, que le schème de ces actions soit extrait du réel : [p. 344] l’expérience concrète est indispensable en fait, à la manière dont une figure aide à la compréhension d’une démonstration. Si la coordination logico-mathématique constitue des schèmes d’actions efficaces sur la réalité effective, telle qu’on la découvre peu à peu sous les apparences sensibles, il faut, à cet égard, renverser le rapport que l’on a coutume d’établir entre la notion « abstraite » qui constituerait un « schéma », c’est-à-dire un signifiant, et la réalité sensible qui serait le modèle et le signifié auquel correspond ce schéma : en fait, c’est le sensible (dans la perception, l’image et la représentation intuitive) qui constitue le symbole, c’est-à-dire le signifiant, tandis que le schème moteur ou opératoire qui atteint le réel par delà le sensible, est le signifié lui-même. Dès lors, il est naturel que, ayant atteint un degré suffisant d’élaboration, le système des opérations puisse fonctionner sans symbolisme sensible, c’est-à-dire en dépassant les réalités perçues elles-mêmes. C’est ce qu’on voit se préparer à toutes les étapes du développement opératoire de l’individu et ce que l’histoire des mathématiques montre à chaque nouveau palier de son déroulement.

Bref, la construction inépuisablement féconde des mathématiques tient à un double mouvement de généralisation opératoire qui crée les structures nouvelles au moyen d’éléments antérieurs, et d’abstraction réflexive ou de différenciation qui tire ces éléments du fonctionnement propre aux paliers inférieurs. Rudimentaires et approximatives en leur point de départ, les coordinations pratiques qui sont à la source de la pensée se prolongent ainsi en coordinations toujours mieux formalisées et de plus en plus abstraites, parce que l’abstraction qui les caractérise est une abstraction à partir des opérations et même des actions antérieures et non pas une abstraction à partir de l’objet. Il n’en reste pas moins, naturellement, que c’est toujours à l’occasion d’une action sur l’objet que les premières coordinations se structurent et que ce n’est pas en vertu d’un déroulement fatal ou d’une succession d’actes gratuits que ce progrès à la fois réflexif et généralisateur s’accomplit. C’est seulement une fois la science constituée, que les actes gratuits deviennent possibles. Et encore, il est, dans l’histoire des mathématiques [p. 346] une foule de découvertes qui ont eu pour occasion des problèmes concrets posés au mathématicien par l’expérience physique ou même chimique, biologique et économique. C’est cette connexion si fréquente entre les coordinations nouvelles et l’action expérimentale qui donne l’illusion que les structures mathématiques consistent en modèles simplifiés ou schémas d’une réalité donnée, car effectivement la théorie est parfois édifiée dans le but précis de construire de tels schémas. Mais si une coordination intellectuelle relie toujours entre elles des actions réelles ou possibles, ce n’est pas à dire que la coordination ait été tirée de l’expérience : ce que nous avons rappelé (sous I) de la genèse des êtres mathématiques élémentaires vaut a fortiori pour les schèmes supérieurs. Lorsque le mathématicien reçoit un problème de la part du physicien et s’efforce de trouver un instrument opératoire adapté aux transformations du réel pour en sembler constituer une copie, c’est à la manière dont le peintre ou le musicien puise son inspiration dans la réalité : celle-ci lui « donne des idées » comme on dit familièrement, mais, si réaliste soit-il, il n’en tire précisément que des « idées », c’est-à-dire que, au lieu d’enregistrer sans plus des photographies ou des disques sonores, il reconstruit le réel en l’assimilant à lui.

Ceci nous conduit au second problème : d’où vient cet accord permanent entre les opérations logico-mathématiques et les transformations du réel, au point que les premières puissent imiter les secondes, et comment se fait-il que dans les cas, bien plus nombreux encore, où le cadre mathématique dépasse le réel actuel, il puisse être rempli après coup grâce à des expériences nouvelles ? Malgré cette libération graduelle à l’égard de la réalité physique et même, dirait-on, à cause de cette libération, certaines structures mathématiques élaborées par pur souci déductif de généralisation abstraite, sans aucune considération expérimentale, se trouvent, en effet, rejoindre après coup la réalité : elles se trouvent « préadaptées », comme disent les biologistes, à des résultats d’expérience impossibles à prévoir au moment de leur construction. C’est ce problème crucial de l’anticipation du réel par les cadres logico-mathématiques abstraits, si voisin (du point de vue d’une épistémologie génétique) de la question biologique que Guyénot a appelé celle du « fonctionnement prophétique » ³⁴ de l’organisme et Cuénot de [p. 347] l’« ontogenèse préparante du futur », qui nous paraît constituer comme la pierre de touche de toute interprétation de la nature des êtres mathématiques.

La solution habituelle de cette question centrale consiste à dire que les mathématiques empruntant à l’expérience certains de ses éléments lors de la genèse des êtres abstraits, il est naturel qu’elles retrouvent l’expérience en fin de compte. Mais il est difficile de ne pas voir le caractère superficiel de cette réponse, puisqu’il ne s’agit précisément pas de la même expérience au départ et à l’arrivée : l’expérience, anticipée sans le savoir, qui vient remplir, après coup, un cadre mathématique contredit, en effet, les expériences initiales d’où l’on prétend tirer les notions primitives. C’est ainsi que la rencontre entre l’espace non archimédien et certaines données microphysiques ne saurait être expliquée par l’hypothèse que le continu archimédien ou métrisable serait extrait de l’expérience sensible, puisque justement l’expérience microphysique contredit sur un tel point l’expérience immédiate : de ce que Véronèse a pu construire un continu en écartant l’axiome d’Archimède (selon lequel, en reportant un certain nombre de fois le segment AB le long d’une droite, on dépassera toujours à un moment donné un point quelconque C situé sur cette ligne au-delà de B), et que ce modèle ait été employé comme représentation microphysique, cela ne saurait être dû au fait que l’enfant ou le sens commun aient tiré de l’expérience physique (macroscopique) l’idée que toute droite est mesurable par itération de l’un de ses segments ! Au contraire, c’est en se libérant de la réalité donnée que le modèle non archimédien a pu constituer un cadre préadapté à un secteur d’expérience contredisant cette réalité habituelle.

Pour expliquer la convergence, après anticipations involontaires, entre les mathématiques et le réel, il faut donc supposer entre ces deux termes des rapports bien plus profonds que ceux dont dispose l’expérience physique propre à chaque sujet. Faire intervenir l’« hérédité de l’acquis » affaiblirait encore l’hypothèse, car, à supposer que l’expérience géométrique des Vers ou des Mollusques se soit transmise à l’homme (par une hérédité de l’acquis bien peu vraisemblable en un tel cas particulier) elle nous aurait peut-être aidé à concevoir un espace à deux dimensions seulement, mais n’aurait expliqué ni Riemann ni Lobatschevski. C’est ici que l’indissociable connexion entre le sujet et l’objet, intérieure au sujet lui-même, assure un lien entre eux deux plus solide que celui dû à l’accommodation [p. 348] seule. À n’invoquer que l’accommodation au réel des schèmes d’actions ou de pensée, il serait paradoxal que la déduction géométrique, en contredisant les données perceptives et représentatives qui ont caractérisé ses accommodations initiales, finisse par construire des cadres correspondant à une réalité extérieure plus profonde et plus générale que celle de notre milieu ambiant avec ses approximations limitées. L’accommodation des schèmes spatiaux porte, en effet, sur un milieu caractérisé par une certaine échelle de grandeurs et de vitesses : comment expliquer alors que leur généralisation, en les faisant sortir de ce cadre, rejoigne une autre réalité, déterminée par une autre échelle et insoupçonnée au moment des accommodations primitives ? En admettant au contraire que le contact entre le sujet et le réel est assuré dès le départ, non pas grâce aux expériences individuelles ni à une problématique transmission de l’expérience ancestrale, mais parce que la structure psychophysiologique du sujet plonge ses racines dans la réalité physique tout en étant à la source des coordinations sensori-motrices puis intellectuelles qui aboutissent à la déduction logico-mathématique. Le cerveau et la pensée peuvent, il est vrai imaginer autant d’idées fausses que de vraies en ce qui concerne le réel, tout en étant réglés eux-mêmes par des lois biologiques et physico-chimiques ; par contre, lorsqu’il s’agit, non pas de penser les objets particuliers, mais d’appliquer les procédés généraux de coordination caractérisant toute composition motrice ou mentale, une fois parvenue à l’état d’équilibre, il est évident que, plus ces coordinations seront générales et mieux elles s’adapteront au réel parce qu’elles émanent elles-mêmes de la réalité physique par l’intermédiaire de la réalité biologique.

On répondra sans doute qu’alors s’impose l’alternative suivante : ou bien ces coordinations, qui plongent dans le réel par l’intérieur du sujet en général et retrouvent le réel dans les activités extérieures de chaque sujet individuel, se réduisent à un a priori et à l’« harmonie préétablie » invoquée par Hilbert dans la solution de ce problème, ou bien ces coordinations ne contiennent pas d’avance toutes les opérations logico-mathématiques et elles n’expliquent en ce cas pas mieux l’accord final des mathématiques et du réel que ne le fait l’hypothèse d’une accommodation individuelle à l’expérience.

On se rappelle (chap. II § 6) comment Hilbert, après avoir noté qu’il existe un « parallélisme important entre la nature et la pensée » (art. cité, p. 26), l’explique par une harmonie préétablie : [p. 349] un certain résidu intuitif constituerait ainsi un a priori pour la pensée tout en correspondant aux lois les plus profondes du réel : « On a, p. ex., aperçu que, dans la vie quotidienne déjà, il est fait emploi de méthodes et de notions exigeant une grande abondance d’abstractions, et qui ne sont compréhensibles que comme application inconsciente de la méthode axiomatique » (ibid., p. 25). N’est-ce pas là, en d’autres mots, exactement ce que nous soutenons quant aux coordinations psycho-physiologiques, qui constituent simultanément le point de jonction intérieur du sujet et de la « nature » ainsi que le point de départ de la construction logico-mathématique ? Certainement non, car les notions d’a priori, d’harmonie préétablie et d’application inconsciente de la méthode axiomatique impliquent un double réalisme statique : les mathématiques et la logique seraient à la fois immanentes à la réalité physique et données toutes faites au point de départ de la vie mentale. Or, dans notre hypothèse, les opérations logico-mathématiques s’appliquent au réel donné dans l’expérience et l’enrichissent sans y être contenues, et elles procèdent des coordinations mentales et physiologiques par un processus à la fois constructif et régressif, sans être préformées au départ.

Mais alors réapparaît la seconde branche de l’alternative : n’étant pas préformées dans les coordinations initiales, comment les généralisations mathématiques supérieures, qui dépassent la réalité perçue ou conçue lors des stades inférieurs, rejoindront-elles le réel lors d’expériences physiques plus approfondies ? La chose semble tenir à trois raisons conjointes dont les deux premières ont déjà été examinées sous (1). La première est que les coordinations mentales qui engendrent les opérations logico-mathématiques élémentaires sont elles-mêmes le résultat d’une réorganisation d’éléments empruntés à des structures antérieures, et cela indéfiniment (cette continuité étant assurée par celle des cycles assimilateurs eux-mêmes), jusqu’aux interactions élémentaires de la morphogenèse organique et de la réalité physique : le point de départ organique de la construction mentale, si indépendant soit-il de l’expérience individuelle, plonge ainsi dans l’univers physique, sans que nous sachions d’ailleurs selon quelles modalités tant que les problèmes biologiques centraux ne sont pas résolus. La seconde raison est que la construction mathématique s’avère toujours à la fois constructive et régressive, toute généralisation nouvelle s’appuyant sur une réélaboration des axiomes de départ : or, plus ce processus réflexif remonte haut, plus la reconstruction [p. 350] axiomatique converge avec l’analyse génétique. Ainsi les constructions nouvelles s’accordant de façon imprévue avec l’expérience physique sont dues à une recombinaison d’éléments opératoires génétiquement de plus en plus primitifs, que les actions plus simples sur la réalité immédiate avaient conduit d’abord à organiser autrement. Il s’ajoute alors un troisième facteur aux deux précédents. À la fois constructive et réflexive, c’est-à-dire progressive et régressive, l’élaboration des opérations ou notions logico-mathématiques procède par équilibrations successives, et, si une forme d’équilibre constituée par un système opératoire supérieur n’est pas contenue dans un système inférieur plus restreint et moins équilibré, le passage de l’inférieur au supérieur est cependant conditionné par la nécessité d’intégrer certains des éléments du premier dans le second et de réaliser un équilibre plus large et plus mobile tout en remontant plus haut dans l’analyse des éléments. Chaque nouveau système opératoire est donc caractérisé par une forme d’équilibre plus large, englobant de nouvelles opérations virtuelles (dans le sens où l’on parle de « mouvements virtuels »), en plus de celles qui ont été effectivement réalisées : sans que ce fait implique une préformation des systèmes nouveaux dans ceux de départ, il suppose cependant une certaine ligne directrice, déterminée par l’obligation de conserver ces derniers à titre de cas particuliers, et cette ligne est parcourue dans les deux sens de la construction généralisatrice et de l’analyse régressive. L’accord final avec le réel est ainsi explicable par une sorte d’« orthogenèse » comme on dit en biologie, mais impossible à caractériser d’avance, sinon par un accroissement de réversibilité, puisque la seule règle commune imposée aux constructions nouvelles est de s’intégrer les précédentes par un lien de réciprocité (donc de réversibilité), ce qui constitue la condition fonctionnelle de tout équilibre.

On comprend ainsi pourquoi les opérations logico-mathématiques sont accommodées de façon permanente aux objets en même temps qu’elles les assimilent au sujet : c’est que le cycle d’assimilation constitué par les coordinations initiales d’où procèdent ces opérations est au point de jonction entre les lois fonctionnelles les plus générales de l’organisme et les caractères les plus généraux des objets. Le corps propre est, en effet, simultanément un objet comme les autres, déterminé par les lois du réel et le centre d’une assimilation des autres objets à son activité. Dès lors, dans la mesure où il agit selon les formes les plus élémentaires de composition (emboîtements, [p. 351] ordre, etc.) ses actions expriment à la fois les exigences de l’univers, qui le détermine du dedans par sa constitution d’être vivant, et l’organisation imposée par l’action et la pensée à l’univers qu’elles assimilent : et, tandis que cette organisation opératoire est appliquée à l’univers extérieur au cours des actions portant sur lui, les lois générales de l’univers, dont ces actions sont par ailleurs le produit, sont analysées de l’intérieur, par la coordination même des actes et non pas du dehors par la pression des objets. C’est pourquoi la connaissance logico-mathématique constitue une espèce unique : d’une part, assimilation des objets à la coordination des actions du sujet, elle est, d’autre part, accommodation permanente aux objets, parce que cette coordination des actions du sujet consiste en actions générales convergeant avec les transformations quelconques de l’univers, dont le corps vivant émane avec ses lois d’assimilation coordinatrice. Et, comme le propre de l’assimilation est l’incorporation des objets à un cycle d’actions essentiellement fermé et continu, il ne saurait y avoir à ce processus de commencement absolu, d’où la démarche d’abstraction réflexive ou régressive propre à toute construction opératoire. Comme, d’autre part, l’équilibre entre l’assimilation et l’accommodation est la source de la réversibilité mentale, la construction, sous son aspect progressif est ainsi dirigée par cette exigence même de réversibilité, condition générale de tout équilibre et lien permanent entre le point d’arrivée des constructions et leur point de départ commun et sans cesse reculé.

Au total, le problème du contact entre les mathématiques et le réel est donc susceptible d’une solution qui lierait leur « objectivité intrinsèque » à l’objectivité physique ou extrinsèque mais par l’intermédiaire des coordinations psycho-physiologiques intérieures au sujet. Comme nous l’avons vu (§ 2 de ce chapitre III), l’acceptation entière de cette notion d’objectivité intrinsèque n’a rien de contradictoire avec l’interprétation opératoire des mathématiques. Une opération n’est pas une action isolée et arbitraire, témoignant simplement de l’activité combinatrice du sujet individuel, mais elle est toujours liée à un système d’ensemble, qui a donc ses lois propres et son objectivité en tant que système. Expliquer le développement des mathématiques par des schèmes d’action se prolongeant en systèmes opératoires revient donc à respecter jusqu’en ses extrêmes limites la cohérence interne des principes et des théorèmes de toutes les parties des mathématiques. Mais c’est en même temps rattacher cette objectivité intrinsèque à un principe [p. 352] d’équilibre, c’est-à-dire de réversibilité, susceptible de relier l’évolution des opérations concrètes et abstraites au développement mental lui-même, caractérisé en chacune de ses phases par un passage de l’irréversibilité à la réversibilité.

Mais, pour situer dans sa véritable perspective cette interprétation des connexions entre les mathématiques et le réel, par l’intermédiaire des structures psychobiologiques du sujet lui-même, il est nécessaire d’écarter simultanément trois sortes de réalismes possibles, mathématique, physique et physiologique, qui sont peut-être incompatibles entre eux mais n’en faussent que davantage, par leur action alternée, toute interprétation d’ensemble. Il convient donc, pour conclure, de se placer dans le cercle même des sciences, que nous continuerons d’analyser sur les terrains physiques et biologiques, au cours des chapitres suivants.

Que veut-on dire, tout d’abord, lorsque l’on affirme l’accord des mathématiques avec la réalité physique ? On entend exprimer ce fait que les actions portant sur les changements de position des objets ou sur leurs assemblages, peuvent se composer entre elles sans que ces compositions soient contredites par les constatations expérimentales, et que les actions portant sur les changements d’état des objets peuvent elles-mêmes être mises en correspondance avec les opérations de déplacement ou de rassemblement. Or, le fait important est que la constitution de cet accord, dont nous venons de rappeler le caractère de plus en plus anticipateur, s’accompagne toujours d’une transformation du réel lui-même. En effet, il se produit tôt ou tard, dans le cas de ces convergences obtenues après coup avec la réalité matérielle, un processus essentiel, sur lequel nous aurons à revenir à propos de la connaissance physique : c’est que l’appareil opératoire s’adapte de si près au phénomène dont il est appelé à fournir la mesure qu’il en devient partie intégrante ; le phénomène physique se révèle alors comme indissociable de l’opérateur qui en constitue un aspect. Ainsi donc, non seulement il y a adéquation de l’instrument intellectuel à l’objet, même quand le premier est préparé de façon anticipatrice et que le second est découvert avec retard par rapport aux moyens de connaissance servant après coup à le structurer, mais encore il est de moins en moins possible de savoir ce qu’est la réalité physique en dehors de cette structuration mathématique : il se produit une assimilation si complète du réel aux schèmes opératoires que la réalité physique [p. 353] est peu à peu transformée en relations spatiales et métriques et que à la limite du pouvoir de l’action (comme nous le verrons à propos de la microphysique) l’opération du sujet devient solidaire de l’objet.

Et cependant, malgré ce déplacement constant du réel dans le sens du mathématique, la grande majorité des physiciens demeurent convaincus de l’existence objective des êtres matériels : l’objet n’est connu qu’au travers des instruments intellectuels du sujet, mais il reste objet. Et, si ce réalisme donne lieu à des glissements et à des variations, il se renforce au fur et à mesure que l’on se rapproche des faits chimiques et biologiques. En effet, s’il existe quelques physiciens idéalistes, dans les secteurs extrêmes relatifs aux échelles astronomiques ou microphysiques (Jeans et Eddington), le réalisme se consolide en présence des cornues du chimiste et on ne trouvera plus aucun biologiste pour douter de la réalité des êtres organisés.

Or, c’est précisément sur le terrain de l’organisme vivant qu’une seconde incurvation remarquable nous paraît se produire dans la courbe reliant le sujet et l’objet. Tout en présentant une tendance constante à s’assimiler l’objectivité extrinsèque de la réalité physique, l’objectivité intrinsèque des mathématiques retrouve l’objet à l’intérieur du sujet, si l’on peut dire, dans l’exacte mesure où les processus mentaux qui engendrent les êtres logico-mathématiques sont eux-mêmes liés aux processus physiologiques caractérisant l’organisation vitale et dont dépendent les fonctions sensori-motrices.

Nous avons constaté plus haut combien la construction des êtres mathématiques est toujours corrélative d’une prise de conscience des racines propres aux totalités opératoires dont ces êtres sont extraits. La théorie des ensembles nous ramène, p. ex. aux opérations élémentaires de correspondance cornues des primitifs, de l’enfant, et même, en un sens sensori-moteur, de l’animal lui aussi (cf. l’exemple cité des poules ne piquant que les grains pairs ou impairs d’une suite rectiligne) ; la topologie fait appel à des rapports de voisinage, de frontière, d’enveloppement, etc., qui sont les plus simples que connaisse la perception ou l’action, et la théorie des groupes s’appuie sur des compositions opératoires qui, sous leur forme la plus générale, correspondent aux coordinations les plus élémentaires de l’action. Le progrès mathématique étant toujours, à la fois, réflexif et constructif, il comporte un facteur d’analyse régressive qui remonte jusqu’aux racines sensori-motrices de toute opération. Or, jusqu’où ces racines plongent-elles ?

[p. 354] Le propre du point de vue génétique, en épistémologie, est de se refuser à poser d’avance un sujet pourvu d’une structure intellectuelle toute faite, et constituant un point de départ en soi. Ce sont exactement les mêmes raisons qui empêchent d’accepter l’existence d’objets posés d’avance en eux-mêmes, indépendamment des activités du sujet, et qui obligent à expliquer ces activités en fonction de leur déroulement, progressif et régressif, ce qui revient à reculer sans cesse leur point d’origine apparent. Or, si le sujet semble constituer un commencement absolu, à l’égard des structures logiques et mathématiques, c’est dans la mesure seulement où l’on interrompt l’analyse régressive au niveau de la psychologie et, plus précisément, dans la mesure où l’on cède aux illusions d’une psychologie introspective, au lieu de se placer au point de vue de la conduite. Effectivement, la vie mentale n’est pas suspendue dans le vide. Recourir à l’action, et singulièrement aux mouvements, pour expliquer la genèse des opérations logico-mathématiques, c’est se référer nécessairement à la vie organique, et c’est donc s’engager dans une voie qui conduit en deçà du sujet apparent ou conscient, parce que la vie organique plonge ses racines dans la réalité physique elle-même. Dans l’exacte mesure où l’analyse des formes de pensée supérieures semble parler en faveur de l’idéalisme, en rendant l’objet solidaire des activités du sujet, l’analyse des sources de l’intelligence ramène le sujet à l’objet par l’intermédiaire de l’organisme. Si la physique éclaire l’une des zones de jonction entre le sujet et l’objet, c’est donc à la biologie à nous fournir la lumière sur la zone symétrique, en nous expliquant la genèse du sujet à partir de l’objet. De même que la physique contredit l’empirisme, en nous montrant combien l’objet est assimilé aux opérations du sujet, de même la biologie contredit l’apriorisme en reliant les opérations aux processus physiologiques. Il apparaît ainsi que l’empirisme et l’apriorisme sont nés l’un et l’autre d’une vision statique des choses, comme si le sujet et l’objet étaient donnés une fois pour toutes : génétiquement, au contraire le sujet et l’objet actuels consistent en tranches singulièrement étroites par rapport à l’histoire intellectuelle et biologique dans laquelle nous les découpons, et il s’agirait de reconstituer intégralement cette histoire, comprenant celle de la vie entière, pour pouvoir résoudre le problème épistémologique sous sa forme générale.

Nous ne pensons pas résoudre par ces remarques la moindre question positive, mais simplement montrer une partie du programme qui reste à remplir avant que l’épistémologie puisse prendre position quant aux relations entre le sujet et l’objet, lorsque ces relations sont intérieures à l’organisme et non pas seulement données dans l’action extérieure de chaque sujet. À cet égard, le rapport entre un acte de compréhension intelligente, caractérisée par ses combinaisons réversibles, les mécanismes nerveux du cerveau et les processus physico-chimiques ou même microphysiques se déroulant dans la substance cérébrale, serait aussi indispensable à connaître, pour traiter des relations entre le sujet et l’objet, que le rapport entre l’acte d’intelligence et l’objet physique extérieur à l’organisme, sur lequel il porte.

Mais si nos connaissances sur les rapports entre les structures intellectuelles et la vie elle-même sont encore singulièrement rudimentaires, notamment en ce qui concerne les structures [p. 356] logico-mathématiques, il n’en est pas moins certains faits déjà analysés qui donnent à réfléchir. C’est ainsi que la psychologie humaine fournit un grand effort pour réduire les éléments de l’espace, du nombre ou des classes et des relations, aux conduites sensori-motrices de la première année ou aux structures perceptives, etc. Mais ces comportements sensori-moteurs sont eux-mêmes précédés par des montages héréditaires ou réflexes, dont les manifestations sont vite intégrées chez l’homme dans les constructions acquises, mais qui s’épanouissent sous une forme bien plus pure et plus riche dans l’instinct animal. Or, il y aurait à faire toute une géométrie et une analyse logico-arithmétique des conduites et des constructions instinctives. Des alvéoles d’un rucher, des figures multiples d’une toile d’araignée aux relations d’ordre, aux emboîtements de schèmes d’action et aux quantifications elles-mêmes que suppose la succession des conduites réflexes propres à tous les instincts constructeurs, on trouverait les éléments, non pas d’opérations logico-mathématiques, mais d’une structuration sensori-motrice héréditaire de caractère logico-mathématique singulièrement poussé. Rien ne serait plus impressionnant, du point de vue épistémologique, que cette étude des structures pré-mathématiques instinctives.

Or, lorsque l’intelligence construit des « formes », qui sont celles des divers systèmes opératoires, ces formes paraissent immatérielles dans la mesure où les conduites propres aux opérations concrètes s’intériorisent en structures formelles à point d’appui purement symbolique. Mais les « formes » élaborées par l’instinct sont, en même temps que des formes de conduites, des « formes » liées à la structure des organes eux-mêmes. L’instinct est la logique des organes, et, si l’on peut parler à son sujet de structurations logico-mathématiques, il s’agit d’un prolongement des structures organiques elles-mêmes. C’est ainsi que les mouvements des pattes, des ailes ou des nageoires, des appareils buccaux, des organes copulateurs, etc. sont déterminés par des structures anatomiques précises et que, si l’on voulait dégager la géométrie ou la cinématique de tels mouvements, il faudrait partir de la caractérisation spatiale de ces structures elles-mêmes. Or, c’est précisément sur ce point que les mathématiques rencontrent la biologie de la façon la plus directe et la plus naturelle, et il faut regretter que nous ne possédions pas davantage de mathématiques biologiques que celle dont on use pour les besoins de la biométrie appliquée à l’étude de la variation ou des lois de l’hérédité. Il [p. 357] n’en faut signaler qu’avec plus d’intérêt l’étude remarquable du célèbre biologiste d’Arcy Thomson ³⁵ sur les rapports géométriques qui caractérisent la structure des organismes les plus divers, et notamment les formes d’espèces, genres ou familles voisins. On trouve en particulier dans l’ouvrage d’Arcy Thomson, les vues les plus suggestives sur les transformations géométriques marquant le passage d’une structure à une autre : p. ex. des étirements ou contractions topologiques ou affines reliant des formes de poissons métriquement différents, mais par ailleurs homéomorphes, etc. Une telle analyse appliquée, non seulement aux formes anatomiques, mais aux « formes » de comportement héréditaire ou instinctif (comportement moteur ou constructions) fournirait un apport essentiel à l’étude de la source biologique des structures mentales et par conséquent cognitives, y compris des structures logico-mathématiques ³⁶.

Mais, s’il n’est donc pas chimérique de songer à une analyse régressive des activités du sujet jusque sur le terrain des conduites instinctives et même de la morphogenèse organique en général, on s’engage évidemment dans un cercle. Le fait biologique est une variété particulière des faits physico-chimiques ou physiques, et tout un chapitre de la science s’écrit aujourd’hui sur les rapports de la microphysique et de la biologie. Si les mathématiques et la logique sont en accord constant avec la réalité physique extérieure au sujet, et expliquent cette réalité physique en l’assimilant toujours plus intimement à elles, les structures logico-mathématiques pourraient un jour paraître conditionnées par un fonctionnement organique qui plonge lui-même ses racines dans l’univers physico-chimique. À supposer que l’explication biologique atteigne tôt ou tard un caractère de précision et de construction théorique rigoureuse qui lui manque encore presque totalement, on se trouverait donc en présence d’un cercle réel.

Dans l’état actuel des connaissances, il ne s’agit par contre que d’un cercle idéal, faute de pouvoir dominer les rapports entre le mental et le biologique, d’une part, et entre le biologique et le physique d’autre part (deux sortes de rapports qui pourraient d’ailleurs bien interférer un jour). Il n’en reste pas [p. 358] moins que, du point de vue épistémologique, la ou les lacunes mêmes de ce cercle correspondent à un point d’importance capitale : les zones de jonction entre le sujet et l’objet ne sont pas seulement à situer sur le terrain frontière entre les mathématiques et la physique, mais aussi, et symétriquement, sur celui des rapports entre la biologie (ou la psycho-biologie) et la physique. Or, ces rapports peuvent comporter les combinaisons les plus différentes entre le sujet et l’objet. En rattachant au fonctionnement de la vie elle-même les mécanismes essentiels de l’intelligence et de la connaissance, on recule simplement la question centrale des relations entre le sujet et l’objet, devenue la question du rapport entre l’organisme et le milieu, mais on laisse ouverte la série des solutions épistémologiques possibles (dont nous verrons plus tard qu’elles correspondent terme à terme aux solutions du problème biologique de l’adaptation et de la variation). Rien, en effet, dans les connaissances biologiques contemporaines, ne nous oblige à considérer l’organisme comme passivement soumis aux actions du milieu, et rien ne nous contraint non plus à le regarder comme une expression directe des processus physico-chimiques actuellement connus. C’est le jour seulement où nous saurons caractériser les rapports exacts entre la vie et la matière inorganisée, d’une part, entre le fonctionnement organique et le milieu extérieur, d’autre part, que nous pourrons construire une épistémologie précise des rapports « intérieurs » entre le sujet et l’objet (par opposition aux rapports extérieurs entre l’activité opératoire et le monde physique sur lequel portent nos actions).

L’analyse que nous avons tentée de la connaissance mathématique, en cette première partie de notre ouvrage, réclame donc, à titre de complément indispensable, une étude des rapports entre la pensée mathématique et la connaissance physique (Partie II) mais aussi une enquête sur la portée épistémologique de la connaissance biologique (Partie III), avant de pouvoir revenir aux problèmes propres à la connaissance psycho-sociologique (Partie IV).