Essai d’une nouvelle interprétation probabiliste des effets de centration de la loi de Weber et celle des centrations relatives (1955) ^{1 a} 🔗

Étant donné l’ensemble des erreurs systématiques d’estimation ou « illusions » se produisant dans la perception des figures géométriques [p. 2] planes (les « bonnes formes » étant simplement celles dans lesquelles de telles déformations se compensent au maximum), le problème est d’abord de réduire ces erreurs systématiques à un jeu de surestimations ou sous-estimations relatives en fonction des liaisons de la figure, c’est-à-dire des dimensions objectives qui caractérisent ses diverses transformations possibles. Ce sont ces surestimations +P ou sous-estimations −P que la loi des centrations relatives cherche à déterminer, mais sans leur assigner de valeur absolue. Or, l’hypothèse qui a conduit à l’énoncé de telles relations est que ces surestimations ou sous-estimations relatives +P sont elles-mêmes fonctions de surestimations et sous-estimations élémentaires ou absolues (p) que la loi ne formule pas et qui proviendraient elles-mêmes des propriétés du champ visuel, par conséquent de la « centration » du regard sur telle ou telle partie ou sur l’ensemble de la figure considérée. En un mot, les surestimations ou sous-estimations relatives caractérisées par la loi proviendraient d’effets de centration que nous ne pouvons en général pas connaître en eux-mêmes, en tant que surestimations ou sous-estimations absolues, mais que nous atteignons dans leurs résultats composés, ou dans leur distribution globale en fonction des liaisons objectives de la figure. D’où le terme de « centrations relatives », qui indique la relativité des effets atteints, par opposition aux effets absolus non accessibles comme tels dans les conditions ordinaires de l’expérience.

Il n’en reste pas moins (et tel est le second problème) qu’il importe de prendre position quant aux interprétations que l’on peut donner de ces effets élémentaires de centration, puisque c’est d’elles que dépendra en définitive la signification de la loi. Ces interprétations n’auront bien entendu de valeur qu’en fonction des résultats expérimentaux. Mais il est indispensable, en retour, de se rappeler que, même en psychologie, l’expérience ne permet de résoudre les problèmes que quand ceux-ci sont bien posés, et que la position elle-même des questions suppose une schématisation préalable. C’est pourquoi nous voudrions revenir ici sur la question de la centration de manière à déterminer l’éventail des solutions possibles si l’on peut dire, et notamment à construire le schéma le plus général permettant une interprétation suffisante de la loi.

En retravaillant la question de l’explication probabiliste de la loi des centrations relatives, nous nous sommes, en effet, aperçu du fait que la représentation initiale que nous nous étions donnée des effets de centration ne constitue qu’un cas particulier parmi d’autres concevables, cas le plus fréquent, pensons-nous toujours, mais non nécessaire en ses particularités. D’autre part, à la suite de nos premiers travaux de vérification avec A. Morf (Rech. XX), nos amis A. Rey et P. Fraisse (que nous remercions bien vivement à cette occasion) ont bien voulu se livrer, chacun de son côté, à des recherches sur le même problème. M. Fraisse a notamment mis au point une technique tachistoscopique, que nous employons sur ses conseils pour notre part également dans des études [p. 3] en cours avec J. Rutschmann. En attendant que ces divers travaux soient achevés et paraissent (et ici même nous l’espérons), il nous a semblé d’autant plus utile de reprendre l’examen des hypothèses de départ que, comme il arrive toujours, en multipliant les techniques, les questions se multiplient aussi !

Le schéma le plus général dont nous aimerions repartir est alors le suivant. Étant donné un segment de droite L, nous dirons qu’il y a effet spatial de centration si l’estimation de sa longueur dépend du point sur lequel est fixé le regard et qu’il y a effet temporel de centration si cette estimation dépend de la durée et de l’ordre de succession des fixations. Le phénomène commun aux divers effets possibles de centration est alors la variation des estimations en fonction des fixations et par conséquent l’hétérogénéité relative du champ visuel spatio-temporel (ensemble du domaine perçu synchroniquement durant une fixation). Que la surestimation (comparable de ce point de vue à une sorte de dilatation des éléments ou des intervalles vides perçus) se produise dans la région centrale de vision nette ou dans la périphérie du champ, etc., peu nous importe pour le moment : la caractéristique la plus générale des effets de centration sera que l’estimation de la longueur de L ne sera pas la même selon qu’il sera centré sur un point ou sur un autre, ou vu en périphérie, etc., ou qu’il sera centré durant une durée t et avant ou après telle autre fixation. La question est alors de savoir si cette hétérogénéité de départ suffit à rendre compte des surestimations absolues dont dériveront les surestimations relatives qu’énonce la loi en fonction des liaisons des figures considérées.

Pour calculer ces effets de centration au sens large, introduisons la notion de « probabilité de rencontre ». Étant donné le fait expérimental des variations d’estimations en fonction des points de fixation, nous pouvons nous représenter la perception comme le résultat d’un ensemble de rencontres entre les segments de la ligne L et telles ou telles parties des appareils récepteurs du sujet (qu’il s’agisse de territoires rétiniens ou autres). De même que les degrés d’impression de la lumière sur une plaque photographique sont fonctions des rencontres entre les photons projetés sur la plaque et les particules de sel d’argent qui composent celle-ci, de même on peut se représenter les surestimations ou sous-estimations de la longueur d’une ligne L comme fonction des rencontres entre les segments de cette ligne et tels ou tels éléments appartenant aux organes du sujet.

Nous conserverons intentionnellement au terme de « rencontres » le sens le plus général possible, sans même nous prononcer sur ce qui, dans la rencontre, doit être attribué au sujet et ce qui doit être attribué à l’objet, autrement dit sur la répartition entre éléments rencontrés et éléments rencontrants. On peut, en effet, se représenter d’abord les rencontres sur le modèle de la plaque photographique : en ce cas les éléments projetés à partir de la ligne L seraient rencontrants et les éléments appartenant aux tissus ou courants nerveux du sujet seraient [p. 4] rencontrés ². Mais on peut aussi renverser les rôles dans le sens de l’activité du sujet : en ce cas, grâce aux déplacements du regard (ou aux petits mouvements oscillatoires du globe oculaire, etc.), ou à l’« attention », etc., ce seraient les éléments appartenant aux organes du sujet qui seraient rencontrants et les segments de la ligne perçue qui seraient rencontrés. Mais, dans les deux cas, nous considérerons la ligne perçue L comme partant d’une longueur subjective minimum et ses surestimations progressives (à partir de cet état initial) comme fonctions du nombre des rencontres effectuées.

Cela dit, il est aisé de fournir un modèle probabiliste de telles rencontres en fonction soit de la durée pendant laquelle l’objet est perçu soit du nombre d’éléments mobilisés par le sujet (attention, exploration, netteté, etc.). Soit :

a) N = le nombre des éléments rencontrables. Par exemple N = 1000 (qu’il s’agisse donc d’une répartition de la ligne L en segments de longueurs égales, si ce sont eux qui sont rencontrés, ou du nombre des cellules intéressées en un territoire rétinien, etc., si ce sont les organes du sujet qui sont rencontrés).

b) 1 élément rencontrant rencontre α éléments de l’ensemble N, donc α N éléments. Par exemple α = 0,004 et α N = 4.

c) n éléments rencontrants rencontrent α n N éléments. Nous abrégerons α n par le symbole β. Par exemple n = 100 ; β = 0,004 × 100 = 0,4 ; donc β N = 400.

En ce cas, après les premières n rencontres de βN éléments, il restera N₁ éléments non encore rencontrés, soit :

(1) N₁ = (N − Nβ) = N (1 − β)

P. ex. N₁ = (1000 − 400) = 1000 (0,6) = 600

Après les secondes n rencontres, il restera N₂ éléments non rencontrés :

(2) N₂ = (N₁ − N₁β) = N (1 − β)²

P. ex. N₂ = (600 − 240) = 1000 (0,36) = 360

Après les troisièmes n rencontres, il restera N₃ éléments non rencontrés :

(3) N₃ = (N₂ − N₂β) = N (1 − β)³

P. ex. N₃ = (360 − 144) = 1000 (0,216) = 216

Après les quatrièmes n rencontres il restera N₄ éléments non rencontrés :

(4) N₁ = (N₃ − N₃β) = N (1 − β)^4

P. ex. N₄ = (216 − 86,4) = 1000 (0,1296) = 129,6

N₅ = 77,76 ; N₆ = 46,65 ; N₇ = 27,99 ; N₈ = 16,79 ; N₉ = 10,07 ; N₁₀ = 6,04 ; etc.

[p. 5] Quant à la somme des éléments rencontrés, elle est après chaque nouvelle rencontre de n = 100, de :

Ces sommes fournissent ainsi le modèle de ce qui pourrait être la surestimation progressive (momentanée ou plus ou moins durable) d’une ligne perçue pendant des durées correspondant à n, 2 n, 3 n, etc., ou avec des intensités ou des nettetés croissantes correspondant à la même progression ³.

Or, on voit que ce modèle obéit dès le départ à une loi logarithmique puisque, à la progression arithmétique n, 2n, 3n, etc., correspond la progression géométrique (1 − β), (1 − β)², (1 − β)³, etc. Cette circonstance fondamentale rend compte du fait que les surestimations dues à la centration sont proportionnelles aux grandeurs des éléments perçus, et explique en outre pourquoi les couplages ou correspondances entre rencontres sur deux éléments comparés entre eux (voir § 2) donneront lieu également à une loi de proportionnalité (qui correspondra, en ce cas, à la loi de Weber elle-même).

Un tel modèle permet alors de poser en termes plus précis les problèmes de la centration. La question essentielle est naturellement de savoir si les estimations sont homogènes ou hétérogènes, selon la position des objets dans le champ visuel : si l’on centre une ligne L en la comparant à une ligne égale L’ non centrée par le regard, aura-t-on L − L’ ou L ≠ L’, et ceci pour les diverses positions possibles du sujet par rapport à L (notamment si L est centré à des distances ou selon des angles variables) ? S’il y a inégalité, l’élément périphérique est-il dévalué ou surestimé ? Ces dévaluations ou surévaluations obéissent-elles à des lois en fonction de la topographie du champ (latéralement et verticalement), ou sont-elles dépourvues de régularités générales, ainsi que de fidélité individuelle ? En cas d’irrégularités et d’inconstance, [p. 6] la question se pose naturellement alors du rôle possible de l’attention (avec polarisation sur le mesurant centré ou sur le mesuré périphérique) et des diverses anticipations relatives aux positions et aux dimensions.

Mais parmi l’ensemble des questions ainsi soulevées par le phénomène sans doute très complexe des changements d’estimation en fonction des points de fixation du regard, le problème dominant tous les autres reste le premier de ceux qui viennent d’être énumérés. On pourrait l’énoncer comme suit : la longueur apparente ou subjective d’une droite L est-elle indépendante de la région du champ visuel dans laquelle cette droite est perçue ou varie-t-elle en fonction de ses positions dans le champ ? Dans le premier cas, l’estimation perceptive des longueurs résulterait d’une sorte d’action de masse s’orientant dès le départ vers certaines constances objectives ou subjectives et le schéma probabiliste précédent perdrait sa signification, sinon éventuellement dans la phase d’élaboration de telles constances. Dans le cas d’une variation en fonction des positions dans le champ, même si cette variation présente de nombreuses irrégularités, le schéma des probabilités de rencontres acquerrait alors une certaine signification générale et caractériserait ce que nous appellerons désormais l’erreur élémentaire I ou erreur due à la centration ⁴.

Encore une remarque. En toute mesure des effets de centration impliquant une comparaison entre deux éléments L ou L’ ou entre L et des points de repère extérieurs (et l’on ne voit guère comment effectuer autrement de telles mesures), on ne saurait atteindre à l’état isolé l’erreur élémentaire I ni le mécanisme des probabilités de rencontres, car il intervient nécessairement alors, sous une forme plus ou moins directe ou atténuée, le second mécanisme dont il va être question.

Le problème est maintenant de se représenter le mécanisme de la surestimation d’une ligne, non plus par rapport à des états antérieurs de perception de la même ligne, mais par rapport à une autre ligne. Notons d’abord qu’il est équivalent de dire que la première de ces lignes est surestimée par rapport à la seconde, que la seconde est sous-estimée par rapport à la première ou que la première est surestimée et la seconde sous-estimée. Pour simplifier nous admettrons, comme à propos des rencontres, qu’il y a toujours surestimation au cours du processus perceptif et que, quand la première est surestimée par rapport à la seconde, c’est simplement qu’elle l’est davantage que cette seconde : ce langage est d’autant plus légitime qu’il s’agit ici de surestimations relatives et non plus absolues.

Cela dit, en cette situation de comparaison, chacune des lignes L₁ et L₂ (nous posons L₁ > L₂) donnera lieu à un certain nombre de rencontres, selon le mécanisme décrit au § 1, mais il s’y ajoutera un fait nouveau, qui est celui de la correspondance ou couplage entre les points de rencontre sur l’une des lignes et les points de rencontre sur l’autre.

De même que la notion de rencontre, celle de couplage peut revêtir diverses significations (entre lesquelles nous n’avons pas à choisir ici) selon que l’on met l’accent sur le seul enregistrement des données sensorielles ou sur une activité du sujet percevant. Du premier de ces deux points de vue, le couplage consiste simplement en une correspondance temporelle entre les points de rencontre sur L₁ et les points de rencontre sur L₂ pourvu que les uns et les autres soient simultanés ou simultanément efficaces. Du second de ces deux points de vue, on fera intervenir les déplacements du regard de L₁ à L₂ et réciproquement, et l’on définira à nouveau les couplages comme des correspondances entre les points de rencontre sur L₁ et sur L₂, à cette différence près que les correspondances résultent en ce cas des allées et venues du regard entre les deux lignes et constituent alors des sortes de « reports » ou « transports » ⁵. Notons encore qu’un segment ou point de couplage est nécessairement aussi un segment ou point de rencontre, mais que la réciproque n’est pas vraie, puisqu’il peut y avoir rencontre sur une ligne sans couplage avec l’autre.

Ceci nous mène à introduire les notions de couplage complet et incomplet. Répartissons d’abord les lignes comparées L₁ et L₂ en un certain [p. 8] nombre (arbitraire) de segments de longueurs égales (il y aura donc un même nombre de segments par cm sur L₁ et sur L₂ : par exemple 100 pour L₁ et 50 pour L₂) ; chacun de ces segments constitue ainsi un segment (ou point) de rencontre et de couplage possibles. Nous dirons alors que le couplage est complet si chacun des points de L₁ correspond à chacun des points de L₂ (donc correspondance un à plusieurs ou « co-univoque » de 1 à 50) et réciproquement si chacun des points de L₂ correspond à chacun des points de L₁ (donc correspondance co-univoque de 1 à 100), ce qui fait au total 50 × 100 = 5000 couples. Cette définition du couplage complet est en particulier utilisable si l’on conçoit le couplage en termes de déplacements du regard et de reports ou transports. Mais on peut donner une autre définition du couplage complet, qui sera valable si l’on conçoit le couplage comme une simple correspondance co-univoque temporelle entre les rencontres sur L₁ et sur L₂ (et cette seconde définition est équivalente à la première, moyennant certaines précautions de calcul) : le couplage sera dit complet si les points de rencontre sont répartis sur L₁ et sur L₂ simultanément à la même densité, tandis qu’il sera incomplet si les rencontres simultanées sur L₁ et sur L₂ ne sont pas homogènes c’est-à-dire si trop de rencontres interviennent sur l’une des lignes par rapport à l’autre.

Cela dit, il est aisé de fournir un modèle probabiliste des couplages complets et incomplets. Soit A un segment ou point de rencontre sur l’une des lignes données et B un même point sur l’autre. Admettons que la probabilité de couplage entre A et B soit p (par exemple 0,9). Introduisons un second segment ou point C sur la deuxième ligne : la probabilité de couplage entre A et C sera de p’ (admettons pour simplifier que p’ = p = 0,9). Mais quelle est la probabilité pour que les deux couples s’effectuent à la fois, c’est-à-dire l’un et l’autre et non pas l’un sans l’autre. Si les deux couples constituent des variables indépendantes (et tout notre schéma suppose précisément l’indépendance des points de rencontre les uns par rapport aux autres et des couples les uns par rapport aux autres) leur probabilité sera de pp’ donc p² si p = p (soit 0,81 si p = 0,9). Si nous introduisons un troisième segment ou point D dont la probabilité de couplage avec A est de p”, la probabilité pour que les trois couples se réalisent à la fois sera de p . p’ . p” soit p³ si p” = p’ = p (donc 0,729 si p = 0,9). Donc :

Probabilité de couplage entre A, B, C, D…= pⁿ ou n = nombre des B, C, D…

Appliquons maintenant ce calcul au cas des couplages entre une ligne L₂ invariante et une ligne L₁ formée de segments successifs L₁ − x = L₂ ; L₁ − x + x’ (où x’ = x) ; L₁ = x + x’ + x” (où x” = x’ − x), etc.

Admettons que L₂ et L₁ = x comportent respectivement m et n [p. 9] segments ou points de rencontre (ici m = n). Nous avons alors pour un point de rencontre sur L₂ la probabilité pⁿ de couplage complet avec les points de L₁. Pour tous les m points de L₂ la probabilité sera donc de :

(1) (pⁿ)^m pour L₁ = L₂

Par exemple si n = m = 2 et p = 0,9 on a p^m . n = 0,9⁴

Pour L₁ = x + r’ = 2 L₂, la probabilité de couplage complet sera de :

(2) [(pⁿ) pⁿ]^m = (p²ⁿ)^m = p^m . 2n

P. ex. si m = n = 2 et p = 0,9 on a p^rn∙²ⁿ = 0,9⁸

Pour L₁ = x + x’ + x” — 3 L₂ la probabilité sera de :

(3) {[(pⁿ) pⁿ] pⁿ}^m = (p³ⁿ)^m = p^m . 3n

P. ex. si m = n = 2 et p = 0,9 on a p^m .3n = 0,9¹²

Etc. (p^m . 4n = 0,9¹⁶ ; p^m . 5n = 0,9²⁰; etc.)

On constate ainsi que pour chaque accroissement d’une unité de segment la probabilité pⁿ augmente d’une puissance, c’est-à-dire que, à la progression arithmétique des segments, correspond une progression géométrique dont la raison est pⁿ, de telle sorte que nous retrouvons une loi logarithmique pour les couplages comme pour les rencontres. Il est d’ailleurs évident que l’on pourrait fonder le calcul précédent sur le raisonnement qui nous a déjà servi pour les probabilités de rencontres au § 1 en posant N = le nombre des couplages possibles, βN = le nombre des couplages incomplets et N₁ = N (1 − β) ; N₂ ; etc. = le nombre des couplages complets ⁶.

Mais l’essentiel de ce schéma consiste à admettre que les couplages jouent un rôle opposé à celui des rencontres, du fait que les rencontres sont facteurs de surestimation absolue, tandis que seuls les couplages incomplets déterminent les surestimations relatives. Il faut, en effet, supposer que, si les couplages sont complets, c’est-à-dire relient tous les points de rencontre sur L₂ à tous les points de rencontre sur L₁ (à densités égales sur les deux lignes), il ne saurait y avoir de surestimation [p. 10] relative s’ajoutant aux surestimations absolues, quelles que soient les valeurs de celles-ci. La raison en est que le couplage est un instrument de liaison, donc d’objectivité, et si nous attribuons les effets de centration aux « rencontres », il faut considérer les couplages effectués comme facteurs de décentration ⁷ dans la mesure où ils sont complets. Par contre, c’est dans la mesure où ils sont incomplets que le jeu des couplages entraîne les surestimations ou sous-estimations relatives s’ajoutant aux surestimations absolues.

En effet, si l’on conçoit les couplages comme de simples correspondances co-univoques temporelles entre points de rencontre simultanés à densité égale, un couplage incomplet signifie une inégalité de densité ou de répartition des points de rencontres : en ce cas, plus la différence objective entre L₁ et L₂ est grande et plus il y a de chances que les rencontres l’emportent sur L₁ ou sur la différence L₁ − L₂ à cause de l’asymétrie L₁ > L₂ ce qui entraîne par le fait même sa surestimation relative. Si les couplages résultent au contraire des allées et venues du regard entre les deux lignes L₁ et L₂ au cours des mouvements d’exploration, un couplage incomplet signifie une plus grande séparation entre les couples (= un moindre voisinage entre les liaisons), d’où une déviation des trajets de couplage. En ce cas si L₂ = 2 points et L₁ = 6 points, chaque point de L₂ comporte une correspondance 1 à 6 et chaque point de L₁ une correspondance 1 à 2, d’où un ensemble de déviations sur L₁, à cause de cette asymétrie même, qui seront sources de surestimation relative.

C’est ce mécanisme des couplages qui expliquerait le fait paradoxal (s’il s’avère constant), qu’en vision tachistoscopique les surestimations relatives peuvent être plus grandes bien que les centrations soient plus brèves : moins il y a de rencontres, plus faibles sont les surestimations absolues, mais, en ce cas, plus grandes sont les chances de couplage incomplet (dans le premier des deux sens possibles, celui des inégalités de densité), et plus fortes sont alors les surestimations relatives.

Remarque : continuité et discontinuité. — Le schéma probabiliste auquel nous venons de réduire les erreurs élémentaires I et II et qui nous permettra de rendre compte des lois de Weber et des centrations relatives, vient d’être décrit en un langage de discontinuité. Or, ce langage convient assurément au plan psycho-physiologique, sur lequel tout est discontinu (que l’on s’exprime en termes de cellules, d’influx, de balayage, etc.). Notons que ce même langage convient aussi au domaine du comportement perceptif, car les points de fixation du regard, reliés par les grands déplacements du globe oculaire, présentent, en vision libre, une alternance de pauses et de saccades qui se prête assurément, en liaison avec les données psycho-physiologiques, à une description en [p. 11] termes de discontinuité. Mais ce langage ne convient plus au plan psychophysique, où domine le continu. Seulement, même en un tel domaine, la succession continuelle des changements d’estimations (erreurs spatiales et temporelles) suggère invinciblement, non pas sans doute la discontinuité mais l’hétérogénéité ou la labilité du champ : tout en étant continue, une figure ou une ligne présentent à chaque instant des zones de dilatation ou de contraction, et l’observation directe montre qu’on ne perçoit pas, de façon ininterrompue, la même longueur de façon absolument invariante. Il est donc facile, là où nous nous sommes servis par commodité d’un langage de discontinuité (points ou segments de rencontre ou de couplage), d’utiliser le même schéma probabiliste en termes de continuité, mais en introduisant alors de continuels « déplacements d’équilibre » au sein du champ, ce qui revient à substituer aux points ou segments de ligne des zones ou centres de dilatation ou de déformation. En un mot, les schémas probabilistes précédents ne requièrent pas nécessairement le discontinu, mais simplement une certaine hétérogénéité à l’intérieur des champs.

La loi de Weber présente deux significations distinctes, l’une selon laquelle, aux environs du seuil, la sensation varie en fonction du logarithme de l’excitation (loi de Weber-Fechner), et l’autre selon laquelle une différence quelconque entre deux grandeurs L₁ et L₂ est perçue avec des déformations de valeurs proportionnelles à ces grandeurs. Ces deux significations ne sont équivalentes ni mathématiquement ni psychologiquement. Mathématiquement, si toute progression géométrique A, B, C, D, … suppose les proportions B/A = C/B = D/C… toute suite de fractions proportionnelles à numérateur ou dénominateur croissant (par exemple ²⁄₁ = ⁴⁄₂ = ⁸⁄₄ = ¹⁰⁄₅…) ne constitue pas une progression géométrique. Psychologiquement, la loi de Weber, en tant qu’elle affirme simplement la proportionnalité dans la perception des différences quelconques, se rapporte à une « erreur composée » et non plus élémentaire et se confond alors avec toute autre loi de proportionnalité, telle que celle des centrations relatives. Au contraire, la loi de Weber-Fechner relative aux seuils différentiels porte sur une forme d’erreur élémentaire et c’est elle que nous allons tenter de réduire aux probabilités de couplage.

La question est en ce cas de déterminer les déformations dimensionnelles relatives à la différence entre deux lignes L₁ et L₂ (pour nous en tenir à la perception visuelle). Appelons maintenant x la différence [p. 12] L₁ − L₂ et posons d’abord x = L₂ (fig. 5) : la perception de cette différence x sera par hypothèse fonction des couplages entre x et L₂ (puisque L₂ = L₁ − x).

Soit alors N = le nombre des points de couplages complets possibles entre x et L₂. Soit βN = le nombre des points de couplages incomplets et N₁ le nombre des points de couplages complets effectifs :

(1) N₁ = (N − βN) = N (1 − β)

Par exemple N = 100 ; β = 0,1 ; donc N₁ = 90

Doublons maintenant la valeur de L₂ en allongeant d’autant L₁ (fig. 6 : L₂ = 2 x et L₁ = 3 x). Nous aurons toujours le même nombre N de points de couplages possibles sur x, bien que les couples aient doublé. Mais nous aurons N₂ points de couplages complets effectifs :

(2) N₂ = (N₁ − N₁β) = N (1 − β)²

P. ex. N = 100 ; β = 0,1 ; donc N₂ = 81

Triplons maintenant la valeur de L₂ (fig. 7 : L₂ = 3 x ; L₁ = 4 x). Nous aurons en ce cas N₃ points de couplages complets effectifs :

(3) N₃ = (N₂ − N₂β) = N (1 − β)³

P. ex. N = 100 ; β = 0,1 N₃ = 72,9 … etc.

Le calcul est donc le même qu’au § 2, à deux différences près. L’une est que, pour simplifier, nous faisons porter ici le raisonnement sur les points de couplages et non pas sur le nombre des couplages eux-mêmes. L’autre est que, dans le schéma du § 2, L₂ est constant et L₁ varie tandis qu’ici x (= L₁ − L₂) est constant mais L₁ et L₂ varient concurremment. Ce que nous calculons maintenant n’est, en effet, pas la surestimation de L₁ par rapport à L₂ mais la dévaluation progressive d’une différence constante sous l’influence de l’accroissement de L₁ et de L₂. Cette dévaluation serait donc, dans notre exemple, de p = 0,9 ; 0,81 ; 0,729 ; … etc., et obéirait ainsi à la progression géométrique habituelle en ordre décroissant.

[p. 13] Plus simplement dit encore, si la probabilité de couplage complet, pour x et L₂ au cas où L₂ = x, est de p = 0,9 alors la probabilité pour L₂ = 2 x et de p² = 0,81 ; au cas où L₂ = 3 x elle serait de p³ = 0,729 ; etc. La progression arithmétique des accroissements de L₂ correspondrait ainsi à une progression géométrique décroissante des probabilités de couplage complet pour une différence constante.

Réciproquement, pour savoir de quelles valeurs la différence x = L₁ − L₂ devrait être accrue pour annuler cette dévaluation, c’est-à-dire pour donner lieu à la perception d’une même différence subjective, illusoirement constante, il suffirait d’inverser ces relations de la manière suivante :

Pour L₂ = x on aura (N/(1−β))

Par exemple si N = 100 et β = 0,1 alors (N/(1−β)) = 111,11… = 1/0,9

Pour L₂ = 2 x on a (N/(1−β)²)

Par exemple si N = 100 et β = 0,1 alors = 123,45… = (1−β)² = 0,81

Pour L₂ = 3 x on a (N/(1−β)³)

Par exemple si N = 100 et β = 0,1 alors (N/(1−β)³) = 137,17… = 1/0,729

… etc.

Ce qui revient à dire que ces valeurs croissent selon une progression géométrique de raison 1/09 = 1,111 au lieu de décroître selon la progression de raison 0,9 (dans l’hypothèse β = 0,1). En effet, ces droites x étant perçues à longueurs égales, selon des sous-estimations de 0,9 ; 0,81 ; 0,729, etc., ces sous-estimations seraient compensées par un allongement objectif de coefficients 1,111 ; 1,2345 ; 1,3717 ; etc., soit :

0,9 × 1,111… = 1 ; 0,81 × 1,234… = 1 ; 0,729 × 1,3717… = 1 ; etc.

En conclusion, le caractère logarithmique de la loi de Weber provient simplement du fait que, à l’accroissement additif des longueurs comparées L₁ et L₂, correspond la progression multiplicative des probabilités de couplage entre la différence x = L₁ − L₂ et la partie commune L₂.

Il est à noter que cette interprétation probabiliste de la loi de Weber n’est pas la seule possible. En 1927 déjà, Thurstone fondait cette loi sur un calcul probabiliste, mais en utilisant des considérations combinatoires dont nous n’avons pas besoin ici ⁸.

Des « erreurs élémentaires » I (rencontres) et II (couplages), cette dernière expliquant entre autres la loi de Weber, nous pouvons passer à l’examen des « erreurs composées » sur lesquelles porte la loi des centrations relatives. Mais, pour y parvenir, il convient au préalable de faire l’inventaire des différents types de couplages possibles, qui sont tous représentés dans cette loi de composition. En effet, si les couplages de différence (L₁ − L₂) L₂, sur lesquels porte la loi de Weber, constituent aussi les couplages essentiels intervenant dans la loi des centrations relatives, ils n’y sont point seuls en jeu mais sont précisément reliés par un rapport de probabilité à l’ensemble des autres cas possibles.

Nous distinguerons donc quatre types de couplages entre deux longueurs L₁ et L₂. Désignons d’abord par L’₂ la projection de L₂ sur L₁, par L₃ la différence L₁ − L₂ et par L’₃ la projection de L₃ sur le prolongement de L₂ (voir fig. 8). Nous appellerons alors :

1) Couplages de ressemblance R : les couples possibles entre L’₂ et L₂ qui seront au nombre de L₂².

2) Couplages de différence D : les couples possibles entre L₃ et L₂ qui seront au nombre de (L₁ − L₂) L₂.

3) Couplages D’ : les couples possibles entre L’₃ et L’₂, qui seront aussi au nombre de (L₁ − L₂) L₂.

4) Couplages D” : les couples possibles entre L₃ et L₄, qui seront au nombre de L₃² donc de (L₁ − L₂)².

Cela dit, nous pouvons décomposer la loi des centrations relatives de la manière suivante :

P = ± ((L₁ − L₂) L₂)/S × (nL/Lmax)

[p. 15] où P est l’erreur composée (positive ou négative selon l’effet mesuré); où L₁ est la plus grande des deux longueurs comparées ; où L₂ est la plus petite de ces deux longueurs ; où L_max est la longueur maximum de la figure (L_max = L₁ + L₂ ou = L₁ + 2 L₂ ou = n L₂ ou = L₁ selon les cas); où S est la surface : S = L₁ × L₂ ou (L₁ + L₂)², etc. selon les cas ; et où n L se décompose comme suit ⁹ : n est le nombre des comparaisons L₁ − L₂ (par exemple n = 2 si L₁ est inséré entre deux L₂, etc.) et L est la longueur déformée ou mesurée (en général prise pour unité).

La signification probabiliste de cette loi est alors extrêmement simple. Nous allons la dégager en examinant successivement le sens des expressions (L₁ − L₂) L₂ ; S ; et (nL : L_max).

I. L’expression (L₁ − L₂) L₂. — On reconnaît immédiatement en ce numérateur l’ensemble des couples de différence D, c’est-à-dire ceux qui donnent lieu à l’erreur élémentaire II sur laquelle la loi de Weber porte par ailleurs.

II. L’expression S. — La surface signifie en tous les cas l’ensemble des couplages possibles compatibles avec les liaisons de la figure. Mais, à cet égard, deux cas doivent être distingués selon qu’il s’agit de figures fermées (ou rapportées par la perception à un cadre de référence rectangulaire, etc.), ou de figures linéaires dans lesquelles L₂ se trouve dans le prolongement de L₁.

Dans le premier cas, la surface S équivaut aux couplages de ressemblance R et de différence D réunis, mais à l’exclusion des couplages D’ et D”. Par exemple, le rectangle a une surface L₁ × L₂ qui peut se décomposer en L₁ L₂ = L₂² + (L₁ − L₂) L₂. Or, l’expression L₂² équivaut à l’ensemble des couplages R et l’expression (L₁ − L₂) L₂ à l’ensemble des couplages D (fig. 9). Dans le cas des angles, courbures, etc., il en va de même : la surface S intervenant dans le calcul est celle du rectangle de référence par rapport auquel les côtés de l’angle sont déviés (voir Rech. XXIV et XXV) ou la courbure accentuée ; or, la surface de ce rectangle équivaut précisément à l’ensemble des couplages R + D.

Dans le cas des figures dans lesquelles L₂ prolonge L₁ (par exemple : deux segments de droite L₁ + L₂ ; ou un L₁ inséré entre deux L₂ ; illusion de Delbœuf qui réalise ce dernier même modèle mais en cercles concentriques ; illusions d’Oppel, de Müller-Lyer, etc.), la surface n’est plus [p. 16] L₁ L₂ mais (L₁ + L₂)² ou (L₁ + 2 L₂)², etc. En ce cas, la longueur maximale L_max est distincte de L₁ puisque L₁ n’en constitue qu’un segment. Il intervient alors, dans la perception de la figure, deux sortes de couplages : ceux qui résultent de la comparaison entre L₁ et L₂ et que nous appelons donc R + D + D’ + D’’, et ceux qui résultent des relations entre L₁ et L_max. Ces derniers couplages ont naturellement la même forme que les précédents, mais, pour les en distinguer, nous les appellerons R₂ ; D₂ ; D’₂ et D”₂. Or, il est évident que la surface (L₁ + L₂)² donc L²_max équivaut précisément à l’ensemble de ces derniers couplages.

En effet (L₁ + L₂)² = L₁² + L₂² + 2 L₁ L₂. Or L₁² = couplages R₂ ; L₁ L₂ = couplages D₂ ; L’₁ L’₂ = couplages D,₂ et L₂² = couplages D’’₂(fig. 10 et 11). Il est non moins clair que l’expression L₁², qui équivaut donc aux couplages R₂, comprend elle-même les couplages R, D, D’ et D” (par opposition à R₂ ; D₂ ; etc.). En effet, si nous appelons L₃ la différence L₁ − L₂, on a L₁² = L₂² + L₃² + 2 L₂ L₃. Or L₂² = couplages R ; 2 L₂ L₃ = couplages D et D’ ; enfin L₃² = couplages D” (fig. 10). Il en résulte ainsi que la surface (L₁ + L₂)² comprend l’ensemble des couplages possibles, d’ordre R, D, D’ et D” aussi bien que R₂, D₂, D’₂ et D”₂. Il serait facile de montrer qu’il en est de même dans le cas où la surface est (L_l + 2 L₂)² ou encore où elle est B² = (n L₂)² ; etc.

Mais la question est de savoir s’il est légitime de faire intervenir de la sorte les couples R₂, D₂, D’₂ et D’’₂ en plus de R, D, D’ et D’’ ou s’il ne s’agit que d’une adjonction artificielle pour justifier le calcul de la surface (L₁ + L₂)². En réalité les couples R₂, etc., interviennent le plus souvent dans le calcul de la déformation P, soit à titre exclusif (illusion d’Oppel), soit en composition avec l’effet dû aux couples R, D, etc. (Delbœuf mesuré sur le cercle extérieur, Müller-Lyer), et, lorsqu’ils ne jouent pas de rôle déterminant parce que la mesure porte sur un élément intérieur (Delbœuf mesuré sur le petit cercle), ils en jouent cependant un en fournissant le cadre de l’ensemble des déformations possibles.

Au total, la surface S présente toujours la même signification : elle représente l’ensemble des couplages possibles compatibles avec les liaisons de la figure. Dans le cas des figures où L₁ et L₂ sont perpendiculaires l’une à l’autre, ces couplages possibles se réduisent à l’ensemble R + D [p. 17] parce que les autres formes de couplage sortiraient du cadre rectangulaire fermé de la figure. Dans le cas où L₁ et L₂ se prolongent l’un l’autre, l’ensemble des couplages possibles embrasse alors non seulement les couples R, D, D’ et D” mais encore leurs correspondants résultant de la comparaison entre L₁ et L_max : mais cette comparaison s’impose perceptivement puisque, en de tels cas, L₁ constitue un segment de L_max.

De cette analyse résulte alors cette conclusion essentielle que le rapport ((L₁ − L₂) L₂) / S exprime en réalité un rapport entre les couplages D et l’ensemble des couplages possibles :

((L₁ − L₂) L₂)/S = ((c) D)/(Σ (c))

où (c) = couplages.

On aperçoit d’emblée la signification probabiliste d’un tel rapport.

III. L’expression nL : L_max. — En tous les cas étudiés jusqu’ici auxquels s’applique la loi des centrations relatives (plus de 16 figures distinctes correspondant aux diverses « illusions géométriques » planes), l’expression L correspond à la longueur sur laquelle portent la déformation formulée et les mesures prises. Dans les formules, L est donc choisi comme unité et c’est pourquoi nous n’avions pas songé d’abord à indiquer explicitement cette valeur au numérateur. Mais si on ne l’introduit pas, l’expression générale de la loi contient alors un produit de trois longueurs au dénominateur (S = 2 et L_max = 1) et de deux au numérateur (L₁ − L₂ et L₂, et l’on confère ainsi à la déformation P le sens, non plus d’un rapport, mais de l’inverse d’une longueur, ce qui est dénué de signification perceptive. En introduisant la valeur L, nous rétablissons donc l’homogénéité de la formule en tant que pur rapport tout en attribuant à l’expression nL, grâce au coefficient n, une signification probabiliste précise. En effet n représente le nombre des comparaisons possibles (L₁ − L₂) L₂ distinctes les unes des autres : par exemple, si la droite L₁ est prolongée d’un seul segment L₂ la valeur de n est 1 et nL = 1 L₁, par contre si L₁ est inséré entre deux segments L₂ la valeur de n = 2 et nL = 2 L₁ ; etc.

Comme d’autre part nL est rapporté à L_max, qui est la longueur maximale de la figure, la signification de ce rapport nL : L_max est donc celle d’un rapport entre les couplages possibles sur la ligne déformée ou mesurée, d’une part, et sur la plus grande longueur de la figure. Or, ce rapport est différent de [(L₁ − L₂) L₂ : S], étant donné le fait que L_max ne se confond pas avec L₁ sauf en certains cas particuliers seulement. Le rapport nL : L_max joue donc à l’égard de [(L₁ − L₂) L₂ : S] un rôle de régulateur en le renforçant en certains cas (par exemple si 2 L₁ > L_max) et en le modérant en d’autres.

Conclusion. — En conclusion, la loi des centrations relatives apparaît comme un double rapport probabiliste.

[p. 18] Le premier de ces rapports exprime la probabilité des couplages de différence D, soit (L₁ − L₂) L₂ eu égard à l’ensemble des couplages possibles (= S). Ces derniers sont constitués, soit par la réunion des couplages R + D dans le cas des figures à contour ou à cadre rectangulaires, soit par l’ensemble R₂ + D₂ + D’₂ + D”₂ (y compris R, D, D’ et D” inclus en R₂) dans le cas des figures où L₂ prolonge L₁. En termes de reports ou transports, ces couplages possibles résultent ainsi soit du report de L₂ sur L₁ à l’intérieur d’un cadre rectangulaire, soit du report de L₂ sur L₁ et réciproquement quand L₁ et L₂ se prolongent l’un l’autre (fig. 9 et 11-12).

Le second de ces rapports exprime la probabilité des couplages sur la ligne mesurée eu égard à ceux portant sur la longueur la plus grande de la figure, ce qui renforce ou freine l’effet du premier rapport.

Ainsi conçue, la loi des centrations relatives exprime au total la probabilité des couplages de différence D en fonction des liaisons de la figure.

[p. 19] Or, ces couplages de différence sont ceux qui donnent lieu aux erreurs élémentaires II de surestimation relative. En définitive, la loi des centrations relatives énonce donc la plus ou moins grande probabilité pour que se produisent les erreurs élémentaires II en fonction des transformations de la figure. Elle indique notamment pour quelles valeurs de L₁, L₂, L_max et S se produiront les plus grandes ou les plus faibles fréquences probables de couplages D, ceux-ci ayant alors pour effet de rendre probables, au maximum ou au minimum, les erreurs élémentaires II. Mais la loi des centrations relatives ne nous indique pas de quelle valeur sera l’erreur élémentaire II et encore moins de quelle valeur sera l’erreur élémentaire I, supposée par l’erreur II. Elle prévoit simplement que, si les erreurs élémentaires I et II se produisent, l’erreur II passera par des phases de croissance et de décroissance, par un maximum positif, par un minimum (erreur nulle médiane) et par un maximum négatif pour telles ou telles relations internes résultant des transformations de la figure. C’est pourquoi la concordance entre les courbes théoriques et les courbes expérimentales ne porte que sur l’allure qualitative de ces courbes (voir dans ce numéro la Rech. XXV, p. 88) et nullement sur la valeur absolue des erreurs qui varie selon l’âge et les individus. Telle est la raison pour laquelle nous l’avons baptisée loi des centrations « relatives » : indépendamment de la valeur absolue des erreurs élémentaires I et II, que nous ne connaissons en général pas pour les sujets étudiés (sinon par des expériences spéciales sur les effets de centration pour l’erreur I et sur le seuil différentiel pour l’erreur II), nous savons néanmoins que quand ces erreurs se produisent pour les diverses transformations de la figure (et elles se produisent toutes les fois que l’on éprouve une « illusion » géométrique), elles aboutissent à certaines valeurs relatives en fonction de ces transformations mêmes.

En tant que loi des erreurs composées et non pas des erreurs élémentaires I et II, la loi des centrations relatives nous indique donc simplement la plus ou moins grande probabilité pour que ces erreurs se produisent, mais sans nous en donner la valeur absolue. D’autre part, lorsque les valeurs de L₂ sont voisines de celles de L₁, il se produira une égalisation subjective L₁ = L₂ (seuil d’égalité) ; mais, comme cette égalisation dépend de la valeur absolue des erreurs élémentaires I et II, la loi des centrations relatives ne nous indique pas non plus à partir de quelles valeurs de L₂ et L₁ elle a lieu. Seulement, cette égalisation se marque sur la courbe des erreurs P par une sorte de résonance aux environs de l’illusion nulle se produisant pour L₁ = L₂ objectivement (voir partie 1 sur la [p. 20] fig. 13) : il importe donc d’examiner, pour terminer cet exposé, comment s’explique cette égalisation subjective et comment nous pouvons la formuler dans le cadre de la loi des centrations relatives, ce qui nous conduira à conclure par l’examen des relations entre cette loi et celle de Weber.

Il est d’autant plus nécessaire de soulever ces problèmes que dans toutes les situations auxquelles s’applique la loi des centrations relatives, la grande longueur L₁ est surestimée et la petite L₂ sous-estimée, sauf précisément à l’intérieur des zones d’égalités ou d’indétermination, puisque l’égalisation subjective L₁ = L₂ implique une surestimation de la petite longueur L₂, ou une sous-estimation de la grande L₁ ou les deux à la fois !

Or, ce renversement apparent des surestimations et des sous-estimations s’explique lui-même aisément par la surestimation absolue propre à l’erreur élémentaire I et par la surestimation relative propre à l’erreur élémentaire II.

Du point de vue de l’erreur I (effet de centration), la différence entre la zone d’égalité et les autres régions de la courbe des erreurs se marque de la manière suivante. Si, en deux centrations successives quelconques p est le coefficient le plus fort de surestimation par centration et p’ le coefficient le plus faible, on a toujours p’L₁ > pL₂ en dehors des seuils d’égalité, tandis que l’on a alternativement pL₁ > p’L₂ et pL₂ > p’L₁ à partir des seuils : c’est ce balancement qui explique l’indétermination des estimations et, comme forme d’équilibre, l’égalité subjective L₁ = L₂.

Du point de vue de l’erreur II, nous avons déjà vu (§ 3) comment les couplages de différence D, soit (L₁ − L₂) L₂ expliquent la sous-estimation de cette différence L₁ − L₂ lorsqu’elle est de plus en plus petite relativement à L₂. Mais ceci n’est pas encore une explication du seuil d’égalité lui-même, à partir duquel la différence n’est plus simplement sous-estimée (comme elle l’est par exemple dans l’illusion de Müller-Lyer) mais entièrement annulée, ce qui constitue un autre phénomène. Or, pour rendre compte de ce dernier, il suffit d’introduire la notion de l’intervalle i entre les points de couplage (par exemple sur la fig. 1 du § 2, l’intervalle i sera la distance moyenne entre les points B et C ou B et D). Cela dit, on a en dehors du seuil i ≤ (L₁ − L₂), tandis que le [p. 21] seuil d’égalité se définira par la relation i > (L₁ − L₂) : la différence L₁ − L₂ ne sera en ce dernier cas plus perceptible faute de couplage assez fin, tandis qu’elle peut le redevenir si la finesse de l’analyse ou de l’exploration augmente.

On constate ainsi que, de ces deux points de vue, le seuil d’égalité n’est plus déterminé par les dimensions objectives de la figure comme dans le cas des erreurs composées régies par la loi des centrations relatives, mais par un certain rapport entre les dimensions objectives de L₁ et de L₂ et le taux absolu des erreurs élémentaires I et II : cela revient donc à dire que la zone d’égalité est caractérisée par une réapparition des erreurs élémentaires I et II ; en d’autres termes, tandis que les autres régions de la courbe des erreurs composées sont indépendantes de la valeur absolue des erreurs I et II, la région du seuil dépend directement de cette valeur absolue.

Mais il n’en est pas moins facile de formuler en termes de centrations relatives cette transformation de la courbe au niveau de la zone d’égalité. Nous constatons, en effet, que du point de vue de l’erreur élémentaire I, on a subjectivement L₂ > L₁ à partir du seuil. Du point de vue de l’erreur II on a L₂ = L₁ ce qui revient aussi à une surestimation de L₂. Il suffit donc, pour formuler l’erreur propre à la zone d’égalisation eg (= partie 1 de la fig. 13) d’inverser les relations entre L₁ et L₂ de la manière suivante :

P_eg = ± ((L₂ — L₁) L₁ × nL) / S × Lmax

(où P_eg est la déformation P à l’intérieur de la zone d’égalité).

On obtient ainsi la partie eg de la courbe (= partie 1 fig. 13). Mais, répétons-le, les frontières de eg (donc les deux seuils) ne sont pas calculables théoriquement, puisqu’elles dépendent de la valeur absolue des erreurs I et II (valeur que seule l’expérience fournit en chaque cas ; de même la loi de Weber n’indique pas quelle sera l’étendue de la zone d’égalité mais affirme simplement que cette étendue est proportionnelle aux grandeurs en jeu).

Mais comme, dans la loi des centrations relatives la déformation P est proportionnelle aux grandeurs de L₁ et de L₂ et comme la valeur absolue de P dépend des erreurs élémentaires I et II qui sont également proportionnelles à la grandeur des éléments centrés ou couplés, il n’est aucune raison pour que la déformation inverse P_eg qui dépend aussi des erreurs I et II ne soit pas elle aussi proportionnelle aux grandeurs comparées. On a alors (si l’on désigne par Eg la zone d’égalité) la proportion suivante, qui n’est autre que l’expression de la loi de Weber :

Eg = L₁/L₂ k

où k est une constante déterminée par l’expérience.

On constate ainsi une fois de plus l’étroite parenté entre la loi des centrations relatives et celle de Weber.