De la psychologie génétique à l’épistémologie ^a 🔗

Commençons tout de suite par un très gros problème : la connaissance mathématique est-elle assimilable à la connaissance physique ou sont-ce là deux types irréductibles de pensée et de savoir ? Chacun sait que les deux opinions ont trouvé et conservent toujours leurs défenseurs. Les logisticiens sont en général partisans de la dualité et le Cercle de Vienne a même introduit une distinction radicale entre deux sortes de vérités : celle des propositions dites « tautologiques » qui caractérisent la logique et les mathématiques, et dont les négations sont des « propositions sans signification » car la vérité de ce [p. 39] premier type relève de l’identité ; et celle des propositions expérimentales, qui caractérisent la physique (ou la biologie, etc.) et dont les négations sont des propositions fausses, mais comportant une signification (par exemple l’eau ne gèle pas à zéro degré). Au contraire, certains auteurs, comme jadis Brunschvicg et aujourd’hui Gonseth, considèrent la vérité mathématique comme assimilable à la vérité physique parce que constituant, à l’instar de cette dernière, un mélange de constructions déductives et de constatations expérimentales.

Or, un tel débat relève en partie de la psychologie génétique, car tout le monde s’accorde à admettre que certaines connaissances arithmétiques (le nombre entier, etc.) ont précédé la constitution d’une science mathématique et que certaines connaissances physiques sont également dues à un sens commun préscientifique. Seulement, lorsque mathématiciens, physiciens ou philosophes font appel à la pensée commune, et cherchent à imaginer comment elle a élaboré ses notions, ils se contentent en général d’une reconstitution arbitraire (ce qu’on pourrait appeler familièrement une reconstitution « de chic ») et admettent implicitement que, la pensée commune étant celle de tout le monde, chacun est compétent pour savoir comment elle procède. Il est entendu que tout le monde est psychologue, mais, quand il s’agit de genèse, il est cependant certaines précautions à prendre. Aussi, sans négliger pour autant les recherches ethnographiques et sociologiques, est-il prudent d’examiner à cet égard comment se constituent en [p. 40] fait, chez le petit enfant, les racines de la connaissance arithmétique et celles de la connaissance physique.

Une telle analyse permet d’abord d’écarter un malentendu fondamental, qui a certainement contribué à obscurcir la discussion en cause. Sans doute toute connaissance suppose une intervention de l’expérience et il semble incontestable que sans une manipulation des objets, l’enfant ne parviendrait pas à constituer les correspondances un contre un qui lui servent à élaborer le nombre entier, ni à découvrir qu’une somme de quelques objets est toujours la même quel que soit l’ordre d’énumération, etc. Même une vérité telle que 2 + 2 = 4 et surtout l’opération inverse 4 — 2 = 2requiert un appel à l’expérience ; et cela est encore vrai de la transitivité logique élémentaire A = B ; B = C ; donc A = C, qui ne s’impose nullement de façon nécessaire avant six ou sept ans pour les longueurs, etc., ni même avant neuf ans pour les poids. Nous avons souvent vu des sujets de huit et neuf ans admettre, par exemple, qu’une barre de laiton A a exactement le même poids qu’une barre de laiton de mêmes dimensions B, puis reconnaître à la balance, malgré leur prévision contraire, que la barre B a le même poids qu’une boule de plomb C ; lorsqu’il s’agissait de savoir enfin si la barre A pesait autant que la boule C, étant donc entendu (et on y insiste) que A = B et B = C, ils répondraient tranquillement : « Non, cette fois le plomb sera le plus lourd, parce qu’il est d’habitude plus lourd. »

[p. 41] Bref, nous pouvons accorder aux partisans de l’expérience que même les vérités logiques et arithmétiques les plus simples et les plus générales se constituent avec son aide avant de pouvoir donner lieu à un maniement opératoire purement déductif. Mais de quelle expérience s’agit-il et peut-on assimiler sans plus l’expérience logico-mathématique des niveaux préopératoires à l’expérience physique des mêmes niveaux ou des niveaux ultérieurs ?

Or, l’examen des comportements de l’enfant à l’égard des objets montre qu’il existe deux sortes d’expériences et deux sortes d’abstractions selon que l’expérience porte sur les choses elles-mêmes et permet de découvrir certaines de leurs propriétés ou suivant qu’elle porte sur des coordinations qui n’étaient pas dans les choses mais que l’action, en utilisant ces dernières, a introduites pour ses propres besoins.

Il y a en premier lieu (nous disons en premier lieu, parce que c’est là ce qu’on entend couramment par « expérience », mais il ne s’agit pas d’un type génétiquement antérieur) l’expérience sur l’objet conduisant à une abstraction à partir de l’objet ; telle est l’expérience physique, qui est proprement une découverte des propriétés des choses. Découverte supposant d’ailleurs toujours telle ou telle action, mais une action particulière, relative à une certaine qualité de l’objet, et non pas ou pas seulement les coordinations générales de l’action. Par exemple, l’enfant qui découvre le fait inattendu selon lequel une boule de plomb peut avoir le même poids qu’une [p. 42] barre de laiton, se livre à une expérience physique et abstrait sa découverte des objets eux-mêmes, tout en utilisant les actions particulières de soupeser, etc.

Par contre l’enfant qui compte dix cailloux et découvre qu’ils sont toujours dix même lorsqu’il en permute l’ordre, fait une expérience d’une tout autre nature : il expérimente en réalité non pas sur les cailloux, qui lui servent simplement d’instruments, mais sur ses propres actions d’ordonner et de dénombrer. Or, ces actions présentent deux caractères bien distincts de l’action de soupeser. D’abord ce sont des actions qui enrichissent l’objet de propriétés qu’il n’avait pas par lui-même, car la collection de cailloux ne comportait ni ordre, ni nombre indépendamment du sujet : celui-ci abstrait de telles propriétés en partant de ses propres actions et non pas à partir de l’objet. En second lieu, ce sont des actions générales, ou plus précisément des coordinations d’actions : en effet, on agit toujours en introduisant un certain ordre dans ses mouvements (on « série les questions ») tandis que « soupeser » est une action beaucoup plus particulière. Aussi bien ces coordinations générales se transformeront-elles bien vite (dès sept-huit ans) en opérations intériorisées, de telle sorte qu’au niveau suivant l’enfant n’aura plus besoin d’expérimenter pour savoir que dix feront toujours dix indépendamment de l’ordre suivi : il le déduira par opérations logiques, tandis qu’il ne déduira pas les poids des objets sans données préalables suffisantes.

De même, découvrir que A = C si A = B et B = C [p. 43] est une expérience portant sur la coordination générale des actions : cette expérience peut s’appliquer aux poids comme à n’importe quoi, mais elle ne revient pas à abstraire la transitivité des objets comme tels, même si ceux-ci confirment en général cette loi qui relève de l’action avant d’être une loi de la pensée. Il est vrai que l’enfant ne considère cette transitivité comme opératoirement nécessaire que dans les domaines où il a introduit au préalable certaines notions de conservation : les quantités simples (longueurs, etc.) vers sept-huit ans, les poids vers neuf-dix ans, etc. Mais cela ne signifie pas que la transitivité soit tirée de l’expérience physique ; nous verrons tout à l’heure que les notions de conservation sont au contraire le produit d’une construction logique.

Concluons en attendant que notre premier problème épistémologique reçoit de la psychologie de l’enfant un commencement, au moins, d’éclaircissement. Ce n’est pas parce qu’elle débute expérimentalement que la connaissance mathématique peut être assimilée à la connaissance physique : au lieu d’abstraire son contenu de l’objet lui-même, elle revient, dès le départ, à enrichir l’objet de liaisons émanant du sujet. Avant de constituer des lois de la pensée, ces liaisons procèdent des coordinations générales de l’action, mais ni cette nature active, ni le fait qu’une certaine forme d’expérience soit nécessaire au sujet avant qu’il sache déduire opératoirement, n’empêchent ces liaisons d’exprimer les pouvoirs [p. 44] de construction du sujet par opposition aux propriétés physiques de l’objet.

Prenons comme second exemple le problème des notions de conservation. On sait qu’Émile Meyerson, avec une rare vigueur de pensée et une érudition peu commune, a montré la nature mixte des principes de conservation : notions « plausibles », du point de vue de l’expérience, c’est-à-dire notions dont l’expérience physique fournit le contenu mais ne suffit pas à imposer la nécessité, elles seraient dues, en tant qu’exigences nécessaires de la pensée, au pouvoir d’« identification » qui caractériserait à lui seul la déduction rationnelle. Nous voudrions nous borner à examiner ici la question de savoir si dans la construction des actions de conservation, l’apport de l’esprit se réduit à cette identification ou s’il n’appartient pas également à la pensée de comprendre le changement ; en d’autres termes, nous aimerions pouvoir décider si le « divers » est toujours irrationnel ou si la raison est capable d’autres activités que l’identification pure et simple.

Commençons à nouveau par remarquer la nature assez primitive des notions de conservation. S’il a fallu attendre la physique scientifique pour découvrir la conservation du mouvement rectiligne et uniforme (inertie), celle de l’énergie, etc., les présocratiques admettaient sans doute celle de la matière et [p. 45] Meyerson lui-même considère le schème de la permanence de l’objet, lorsque celui-ci sort du champ de la perception. Il va d’ailleurs jusqu’à l’attribuer à l’animal (au chien qui poursuit un lièvre) et à toutes les formes de la pensée. C’est dire que les renseignements fournis à cet égard par la psychologie de l’enfant peuvent comporter une certaine signification.

Or, ces renseignements sont de deux sortes, les uns relatifs aux niveaux de développement auxquels se constituent les notions de conservation et les autres relatifs à leur mode même de constitution.

En ce qui concerne les stades d’apparition, il faudrait se garder de croire que la construction des invariants soit si précoce qu’on l’a affirmé. Il faut d’ailleurs distinguer deux cas : celui des invariants sensori-moteurs tels que le schème de l’objet permanent et les constances perceptives de la grandeur, de la forme ou de la couleur ; et celui des invariants de la pensée elle-même, tels que la conservation des ensembles, des grandeurs spatiales, des quantités physiques, etc. Si l’on est encore insuffisamment renseigné sur les dates de formation des constances perceptives (d’après Brunswik et Cruikshank il n’y a pas de constance des grandeurs avant six mois environ), on sait par contre que le schème de l’objet permanent (la recherche d’un objet disparaissant entièrement derrière un écran) ne se constitue qu’au cours de la seconde moitié de la première année : le bébé commence par ne présenter aucune conduite relative à l’objet disparu, puis, durant une phase intermédiaire, [p. 46] il le cherche, mais sans tenir compte de ses déplacements successifs ; ce n’est donc qu’en liaison avec la formation du groupe pratique des déplacements, c’est-à-dire en connexion avec l’organisation de l’espace pratique dans son ensemble, que s’élabore cette sorte d’invariant de groupe qu’est la conservation de l’objet dans l’espace proche. Quant aux invariants représentatifs, liés à la pensée elle-même, leur formation est beaucoup plus tardive et ne s’achève qu’au niveau où se constituent les premières opérations logiques de classes et de relations (vers sept-huit ans).

Prenons comme exemple la conservation d’un ensemble d’objets, tel qu’une collection de dix à vingt perles contenues dans un petit verre. On prie le sujet de déposer lui-même un nombre égal de perles bleues dans un verre A et de perles rouges dans un verre B de même forme et de mêmes dimensions : pour qu’il n’y ait pas à compter les objets, il placera d’une main une perle bleue en A pendant qu’il mettra de l’autre main une perle rouge en B, etc. Une fois constituées les deux collections égales, on demande à l’enfant de verser le contenu du verre B dans un récipient C de forme différente (un verre plus haut et plus mince, ou plus bas et plus large, etc.) et la question est de savoir s’il y a toujours autant de perles en A qu’en C (puis en A qu’en D, etc., en variant les configurations perceptives). Or, les petits nient cette conservation ou tout au moins ne la considèrent nullement comme nécessaire : pour eux, il y a plus de perles en C qu’en A parce que le [p. 47] niveau atteint par elles est plus élevé ; ou bien il y en a moins parce que le verre est plus mince, etc. Vers six-sept ans, au contraire, la collection commence à être conçue comme invariante, quelle que soit sa configuration perceptive.

Examinons maintenant les motifs invoqués en faveur de cette invariance au moment où elle se constitue. Ils sont au nombre de trois et l’on retrouve ces trois sortes d’arguments dans tous les problèmes analogues de conservation qu’il est facile d’imaginer par ailleurs (conservation de la quantité de matière, du poids ou du volume des boulettes de pâte à modeler que l’on déforme de diverses façons ; conservation des longueurs ou des surfaces malgré le déplacement des éléments, etc.). La première raison semble conforme au schème de Meyerson et se réfère exclusivement à l’identification : on n’a rien ôté ni ajouté, dit l’enfant, donc le nombre des perles doit bien être resté le même. Seulement le problème se pose alors immédiatement de savoir pourquoi une telle identification apparaît si tard. Les petits eux aussi savent bien, en effet, que l’on n’a rien enlevé ni ajouté, et quand on leur demande d’où viennent les perles qu’ils croient exister en C sans qu’elles soient sorties du verre B, ou bien où sont parties les perles manquant en C alors qu’elles se trouvaient en B, ils éludent simplement la question : ils se bornent à constater que la collection finale (C) leur paraît plus grande ou plus petite qu’auparavant (B), tout en reconnaissant cette évidence qu’aucune perle n’a été introduite en cours de route du dehors, [p. 48] ni soustraite durant le transvasement. Pourquoi les petits restent-ils insensibles à l’identification, tandis que les grands l’invoquent ? C’est que l’identité des collections B et C n’est pas le point de départ du raisonnement de l’enfant, mais seulement son résultat ou son aboutissement.

La seconde raison invoquée tient par contre au mécanisme même du raisonnement opératoire naissant : c’est la réversibilité simple. On a versé la collection de B en C, dit l’enfant, mais il est facile de remettre la collection C en B et on verra bien que rien n’a été changé. La troisième raison est enfin la réversibilité appliquée aux relations en jeu, c’est-à-dire la compensation des transformations relatives : la collection disposée en C atteint un niveau plus élevé qu’en B, mais elle est plus mince, et l’une des modifications compense l’autre, donc le produit relatif est le même.

Or, cette réversibilité dont les premières manifestations sont très générales au stade de sept-huit ans, est l’expression de la transformation des actions en opérations. L’action élémentaire est un processus à sens unique, orienté vers un but, et toute la pensée du petit enfant, qui se réduit à une intériorisation des actions en représentations imagées, demeure irréversible en tant précisément que subordonnée à l’action immédiate. Les opérations sont au contraire des actions coordonnées en systèmes réversibles tels que chaque opération corresponde à une opération inverse possible, qui l’annule. Mais une telle réversibilité est tardive, sur le plan de la pensée, parce [p. 49] qu’elle suppose un renversement du cours naturel des actions, sinon du cours naturel des événements eux-mêmes, extérieurs et intérieurs (le courant de conscience, qu’on a décrit comme traduisant les données « immédiates », est le modèle du flux irréversible).

L’absence d’invariants, si caractéristique de la pensée du petit enfant, n’est donc que la conséquence de l’irréversibilité initiale de la pensée et la construction des premières notions de conservation est, au contraire, due à la réversibilité constitutive des premières opérations concrètes de l’esprit. D’un tel point de vue, l’identité est alors à considérer comme un produit — le produit de la composition des opérations directes et inverses — et non pas comme un point de départ : c’est le groupe comme tel des transformations (ou tout autre système réversible analogue à un groupe) qui est donc la source des principes de conservation, et l’identité (ou plus précisément l’« opération identique ») n’est que l’un des aspects de ce système d’ensemble, aspect inséparable des transformations elles-mêmes.

On aperçoit alors immédiatement l’analogie entre ce mode de construction des invariants élémentaires et celui que l’on retrouve dans la physique elle-même. L’élaboration de tous les principes de conservation a été solidaire de celle d’un système opératoire d’ensemble et, en présence de tels systèmes, il est singulièrement malaisé de dissocier l’élément de transformation de celui d’identité, comme si ce second seul devait être réservé à la raison et comme [p. 50] si toute transformation enveloppait nécessairement un facteur irrationnel. En réalité, transformation et identité sont à jamais indissociables, et c’est la possibilité de les composer entre elles qui constitue l’œuvre propre de la raison. L’étude génétique de l’intelligence fournit à cet égard un argument décisif : ni l’identification, ni même la ressemblance ne précèdent l’organisation du changement ou de la différence, et c’est solidairement que se constituent les instruments opératoires aptes à coordonner les uns et les autres.

Un troisième exemple nous servira à montrer la diversité des problèmes que peut examiner une épistémologie génétique dans son recours à la psychologie de l’enfant : c’est celui de la nature logique ou de l’intuition sui generis du nombre entier. On sait, en effet, que certains mathématiciens, dont les plus illustres sont Poincaré et Brouwer, considèrent le nombre entier comme irréductible aux structures logiques et comme étant l’objet d’une intuition rationnelle directe et indépendante. Les logisticiens, par contre, depuis Frege et Russel prétendent dériver sans plus les nombres entiers des structures de classes et de relations logiques. Le nombre cardinal constituerait ainsi une classe de classes équivalentes, dont les éléments se correspondent terme à terme : par exemple les classes logiques formées par les [p. 51] maréchaux de Napoléon, les signes du Zodiaque, les Apôtres, etc., rentrent toutes dans une même classe, si l’on fait correspondre les éléments de l’une de ces classes à ceux des autres ; et la classe de ces classes constitue alors le nombre 12, puisque la seule propriété commune des classes composantes, est, en ce cas, de constituer cet ensemble particulier que l’on désigne par le chiffre 12. De même, le nombre ordinal peut être construit sans plus par correspondance entre des relations asymétriques transitives, ou relations sériales. Il n’y aurait rien de plus, par conséquent, dans la structure du nombre entier, que des formes exclusivement logiques.

Le problème que nous nous posons est alors de savoir si le nombre entier tel qu’il est élaboré par la pensée effective (donc par la pensée en tant qu’acte mental, et indépendamment de ses rapports avec les théories déductives formalisées) vérifie l’une ou l’autre de ces deux solutions. Sans doute objectera-t-on que ce nombre « naturel » n’est pas celui des mathématiques, ce qui signifie que, même si l’esprit spontané procède en « réalité » d’une certaine manière, les théories formalisées peuvent fonder le nombre à leur façon. Mais, ici à nouveau, il est clair que la notion de nombre a précédé la constitution d’une arithmétique scientifique, et que, s’il existe une intuition élémentaire du nombre ou une liaison constitutive entre le nombre et les classes ou les relations logiques, c’est sur ce terrain préscientifique qu’il s’agirait d’abord de vérifier la chose.

Or, une fois de plus, la psychologie génétique [p. 52] fournit sur ce point sa contribution partielle, et une contribution que l’on n’aurait pu prévoir avant de consulter l’expérience elle-même. En réalité la construction du nombre ne repose ni sur un mécanisme extralogique tel que l’intuition invoquée par Poincaré et Brouwer, ni sur la logique pure au sens de Frege et Russell, mais sur une synthèse opératoire dont les éléments sont logiques sans que les opérations issues de leur coordination rentrent dans les opérations de classes ou de relations. La solution suggérée par l’étude psychogénétique n’est donc ni l’une ni l’autre des deux thèses en présence, mais se trouve située à mi-chemin des deux.

La difficulté psychologique de la thèse d’une intuition primitive du nombre est que la suite des nombres caractérisée par l’opération n + 1 n’est découverte qu’en solidarité avec la constitution des opérations de classes et de relations. Au niveau préopératoire (avant six-sept ans) où l’enfant ne parvient pas à constituer les invariants nécessaires au raisonnement, faute d’opérations réversibles, il est bien capable de construire les premiers nombres, que l’on peut appeler figuraux parce que correspondant à des dispositions spatiales simples et définies (de un à cinq ou six, sans le zéro), de même qu’il raisonne par préconcepts correspondant à des collections intuitives. Mais, même en ce qui concerne des ensembles de cinq ou six objets, il n’est pas assuré de leur conservation. Lorsque l’on demande, par exemple, à un enfant de quatre-cinq ans de poser sur la table autant de jetons rouges qu’il y en a dans [p. 53] une rangée de six jetons bleus espacés, il commence par faire une rangée de même longueur, indépendamment de la correspondance terme à terme ; puis il construit une rangée avec correspondance exacte, seulement il se fonde encore sur un critère exclusivement perceptif : il met bien chaque jeton rouge en regard du jeton bleu correspondant, mais si l’on écarte ou que l’on resserre tant soit peu les éléments de l’une des deux rangées, il ne croit plus à la conservation de l’équivalence et s’imagine que la rangée la plus longue contient davantage d’éléments. Ce n’est que vers six ans et demi ou sept ans, c’est-à-dire en connexion avec la formation des autres notions de conservation qu’il admettra l’invariance du tout indépendamment de la position spatiale. Il est donc difficile de parler d’une intuition du nombre entier avant ce dernier niveau : or, il est clair qu’une intuition qui n’est pas primitive n’est plus une intuition !

Comment donc se construisent l’équivalence entre deux collections et la conservation de cette équivalence ? C’est ici qu’interviennent nécessairement des opérations de nature logique, ce qui semble donner raison à la thèse de Russell. Il est remarquable, en effet, que la construction de la série des nombres entiers s’effectue précisément au niveau intellectuel (six à sept ans) où se constituent ces deux principales structures de la logique qualitative des classes et des relations : en premier lieu, le système des emboîtements par inclusion, fondement de la classification (les classes A et A’ sont incluses en B ; les classes B et B’ en C, etc.), et en second lieu, l’enchaînement [p. 54] ou la sériation des relations asymétriques transitives (A plus petit que B, B plus petit que C, etc.). Or, la première de ces deux structures intervient précisément dans la conservation des ensembles : la conservation d’un tout suppose, en effet, un jeu d’inclusions hiérarchiques reliant à ce tout les parties dont il est formé. Quant à la sériation, elle intervient dans l’ordre d’énumération des éléments et constitue psychologiquement l’une des conditions de la mise en correspondance. Ne pourrait-on donc pas dire que la psychologie génétique vérifie la doctrine de Russell sur la nature logique du nombre, puisque chacune des composantes de celui-ci tire en définitive ses racines d’une structure purement logique ?

En un sens, oui. Seulement les choses se compliquent lorsqu’il s’agit de déterminer la nature de cette opération de correspondance qui assure l’équivalence entre les classes. Il existe, en réalité, deux sortes d’opérations de correspondance, l’une « qualitative » et se fondant sur l’identité de qualité des éléments mis en correspondance, l’autre « quelconque » et faisant abstraction de ces qualités. Lorsqu’un enfant dessine un bonhomme en référence avec un modèle, il met en correspondance les parties de son dessin avec celles du modèle : une tête correspondant à une tête, une main gauche à une main gauche, sans que ces éléments soient interchangeables ; il y a donc là correspondance qualitative, chaque élément étant caractérisé par des qualités définies sans que l’on puisse parler d’unité quelconque. [p. 55] Au contraire, lorsque le même enfant fait correspondre six jetons rouges à six jetons bleus, n’importe lequel des seconds peut correspondre à n’importe lequel des premiers, pourvu qu’il y ait correspondance terme à terme : la correspondance est donc devenue « quelconque » puisqu’il y a abstraction des qualités et que les éléments ainsi dépouillés de leurs caractères distinctifs sont transformés en imités interchangeables.

Or, quand le logicien nous dit que la classe des maréchaux de Napoléon est équivalente à celle des signes du Zodiaque et des Apôtres du Christ, la classe de toutes ces classes étant alors la « classe des classes équivalentes » qui constitue le nombre 12, s’agit-il d’une correspondance « qualitative » ou d’une correspondance « quelconque » ? Il va de soi qu’elle est quelconque. Il n’y a pas de qualités communes entre le maréchal Ney, l’apôtre Pierre et le signe du Cancer : les éléments de chaque classe correspondent alors à ceux des autres classes en tant qu’unités interchangeables et après abstraction de leurs qualités.

Psychologiquement, l’explication du nombre cardinal par les opérations de classes repose donc sur un cercle vicieux ; on nous parle d’une classe de classes équivalentes, comme si leur équivalence résultait de leur nature de classes, alors que l’on a commencé par écarter la correspondance « qualitative » (qui seule dérive directement de la nature des classes logiques) au profit d’une correspondance « quelconque », sans s’apercevoir que celle-ci transforme [p. 56] déjà par elle-même les éléments individuels qualifiés de la classe en unités numériques. On a donc bien transformé la classe en nombre, mais en y introduisant du dehors le nombre par le moyen de la correspondance « quelconque ».

En réalité, le nombre entier est bien un produit d’opérations logiques (et c’est jusque-là seulement que la psychologie de l’enfant confirme la thèse de Russell), mais il combine entre elles les opérations d’une façon originale, qui est irréductible à la pure logique, et c’est en quoi il faut recourir à une troisième solution dépassant à la fois celle de Poincaré et celle de Russell.

Cette troisième solution est bien simple. Soit un ensemble d’éléments A, B, C, etc. S’il s’en tient à leurs qualités, le sujet peut d’abord les classer de diverses manières, ce qui revient à les réunir selon leurs ressemblances (ou différences), mais indépendamment de l’ordre (si A est équivalent à B, l’un ne précède pas l’autre ni ne lui succède) ; ou bien il peut les ordonner selon leur ordre de grandeurs ou de position etc., mais en laissant alors de côté leurs ressemblances. Dans le premier cas, les éléments de l’ensemble sont donc réunis en tant qu’équivalents et dans le second cas en tant que différents, mais les opérations logiques élémentaires ne permettent pas de relier deux objets simultanément en tant qu’équivalents (classe) et que différents (relation d’ordre). Transformer ces opérations logiques en opérations numériques consiste au contraire à faire abstraction des qualités et par conséquent à considérer deux éléments [p. 57] quelconques de la classe comme étant à la fois équivalents en tout (1 = 1) et cependant distincts : distincts parce que leur énumération, quel que soit l’ordre choisi, suppose alors toujours, faute de tout autre caractère distinctif, que l’un soit désigné avant l’autre ou après lui. Le nombre entier est donc psychologiquement une synthèse de la classe et de la relation asymétrique transitive, c’est-à-dire une synthèse d’opérations logiques, mais coordonnées entre elles de façon nouvelle, en raison de l’élimination des qualités distinctives. C’est pourquoi, dans le fini, tout nombre entier implique simultanément un aspect cardinal et un aspect ordinal.

On voit par ces quelques exemples en quoi l’analyse génétique d’un ensemble de notions ou d’opérations soulève tôt ou tard des problèmes épistémologiques. L’importance de tels problèmes peut naturellement être sous-estimée dans la mesure où l’on oublie que la pensée achevée est le produit d’une longue construction. « Nous ne sommes plus des enfants », répondit un mathématicien à qui l’on exposait la confusion des deux formes d’opérations de correspondances qui permet à Russell de passer de la similitude qualitative à l’équivalence numérique. Mais si l’on se rappelle avec le biologiste que la différenciation embryonnaire des tissus commande toute l’anatomie adulte, on cessera de considérer l’état larvaire des connaissances comme une situation sans signification théorique, et l’on utilisera la méthode nouvelle d’analyse qu’offre la psychologie génétique comme un instrument supplémentaire d’information [p. 58] épistémologique : instrument sans portée, certes, en un nombre considérable de questions spéciales, mais instrument indispensable dans le cas des questions les plus générales, car celles-ci se réfèrent aux notions les plus primitives, c’est-à-dire, précisément, les plus accessibles à la recherche génétique.