Shaula Fiorelli
Université de Genève
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Nuit de la Science 2010 - Extrêmes & limites
Bulles et films de savon - Les champions de l'optimisation
Cette année, la Section de mathématiques s'est
associée
aux sections de Physique et de Chimie et Biochimie de
l'UniGe pour présenter une activité commune sur les Bulles
et Films de savon. L'idée était de présenter
une même expérience sur chacun des stands des trois sections
mais dont les explications dépendent de chacune des disciplines.
Tandis que les chimistes expliquaient
l'arrangement des molécules de tensioactifs et que les physiciens
parlaient de tension superficielle ou donnaient des explications sur les
surfaces minimales formées par les films en termes de minimisation
d'énergie, nous expliquions que
les films de savons représentent un excellent modèle de surface
minimale que les mathématiciens essayent d'exprimer sous forme d'équations.
Un exemple célèbre est la catenoïde dont
l'équation a été donnéé par Euler en
1744. Cet exemple a aussi un autre intérêt; en effet, une
caténoïde peut être transformée
continûment et isométriquement en un hélicoïde,
la surface restant constamment minimale.
Nous avons aussi expliqué au public que le mathématicien
peut s'affranchir des expériences physiques pour imaginer ses propres
bords qui donnent lieu
à des surface minimales non réalisables en film de savon
(par exemple, la Surface
d'Enneper).
Si modéliser des surfaces minimales tridimensionelles est difficile, le cas à deux dimensions et tout à fait abordable. Pour cette activité, nous avions d'une part un "sandwich de savon", deux plaques de plexiglas avec des petites colonnes que l'on pouvait placer à loisir pour fixer un certain nombre de points. D'autre part, une modélisation Matlab préparée par Dr. Sébastien Loisel, maître-assistant à la Section de mathématiques. Une fois les points choisis raportés dans le programme et le sandwich de savon sorti de l'eau savoneuse, on pouvait comparer le chemin minimal théorique et celui construit par le film de savon.
Vous trouverez des vidéos sur les surfaces minimales obtenues à l'aide de films de savon sur le site du Palais de la Découverte.
Le problème de la courbe brachistochrone
ou quel est le toboggan le plus rapide ?
Une autre activité proposée sur notre stand était centrée autour de la courbe brachistochrone. Pour cela, nous avions un toboggan à billes, grâcieusement fabriqué par Mme Dechevrens, décoratrice au Museum d'histoire naturelle. Parmi le plan incliné, le cercle tangent au point de départ, le cercle tangent au point d'arrivée ou une cycloïde, quel est le toboggan le plus rapide ?
Une partie de cette activité était aussi en commun avec la Section de chimie et biochimie. En effet, le Dr Bernhard Lang et son équipe ont réalisé l'expérience de pensée de Johann Bernoulli. En effet, pour trouver l'équation différentielle qui l'a mené à la cycloïde, Johann Bernoulli a pensé au principe que la lumière emprunte toujours le chemin le plus court. Il a donc imaginé de découper l'espace entre les points de départ et d'arrivée en minces couches dont l'indice de réfraction varie en fonction de la vitesse de chute d'un corps à la hauteur correspondante (voir le poster de l'activité ainsi que le poster des chimistes pour de plus amples explications).
La limite au fil de l'histoire
Poster La limite au fil de l'histoire
Étant donné le thème de cette Nuit de la science, une approche historique de la limite en mathématiques ne pouvait pas manquer sur notre stand. Des paradoxes de Zénon aux infiniments petits de Robinson, l'histoire de la limite est passée en revue au travers de huit étapes clés liées à onze mathématiciens célèbres et leurs textes fondateurs.
Le théorème central limite
Poster Théorème central limite
Vu le thème de la Nuit de la science, ce poster ne pouvait pas manquer sur notre stand. Accompagné d'une planche de Galton (réalisée par les décorateurs du Museum d'histoire naturelle), il explique l'un des principaux théorèmes de probabilité et statistiques et son application pour réaliser des sondages.
Sans frontière, pas de limite
Posters Sans frontière, pas de limite
Véritable défi de vulgarisation, ces deux posters tentent d'expliquer au public les concepts mathématiques de compactification et de complétion d'un espace. D'une part, au travers de la question "Existe-t-il un nombre X dont le carré vaut 2 ?", on montre que, suivant l'espace considéré, le nombre X, limite d'une suite d'approximations successives, peut exister ou non, d'où la nécessité de completer un espace pour pouvoir "mettre le doigt" sur la limite. D'autre part, on se demance ce qui se passe si une suite part à l'infini (deuxième poster). Cette fois, on donne trois exemples de compatfications du plan qui permettent aux suites d'avoir des points d'adhérence.
Dans la tête, pas de limite
Poster Dans la tête, pas de limite
Le but de ce poster est de montrer que l'homme peut imaginer des nombres bien plus grands que ceux que l'on peut trouver dans la nature. Pour certains nombres que l'on utilise en mathématiques, la notation en puissances n'est même plus suffisante !
A vous de jouer
Pouvez-vous estimer...
= 2 598 960 ≈ 2, 6 · 106
... le nombre de mains au poker ? (Une main est composée de 5 cartes tirées d'un jeu de 52 cartes.)
... le nombre de manières d'ordonner un jeu de 52 cartes ?
... le nombre de parties d'échecs possibles ?
... le nombre de parties de go possibles ?
La tour Eiffel
Ce poster est tiré d'un article de Patrick Weidman et Iosif Pinelis paru dans les Comptes rendus de mécanique en 2004 (Abstract). En se basant sur le projet original de Gustave Eiffel, les auteurs expliquent comment Eiffel, dans sa volonté d'éliminier les barres transversales qui renforçaient habituellement la structure des ponts, est parvenu, de manière empirique, à donner à sa tour la forme d'une fonction exponentielle.
Défis extrêmes
Découvrez l'optimisation avec ces huit défis extrêmes !
La Nuit de la science et la Section de mathématiques dans les médias
02/07/10
- Article Les bulles
de savon, un jeu d'enfants et de scientifiques
08/07/10
- Article Laboratoire à ciel
ouvert, la Nuit de la science invite la foule à tester les extrêmes
et les limites
09/07/10
- Émission
Babylone sur 
Ecouter (fichier
mp3, durée 60min)
11/07/10
- Le Journal
de 19h30 sur la 
12/07/10
- Article Les fans
de la Nuit de la science ont apprécié la fraîcheur
du parc
Voir aussi
La page web dédiée à la Nuit de la Science da la Section de chimie et biochimie
Le site officiel de la Nuit de la science 2010