Chapitre II.
La conservation des quantités des quantités discontinues et ses relations avec la correspondance bi-univoque et réciproque ^{1 a} 🔗

Durant le premier stade il n’y a pas plus de conservation des collections de perles que des quantités de liquide : non seulement l’enfant croit à des changements de quantité globale lorsque l’on transvase une collection quelconque d’un récipient dans un autre, de forme différente, mais encore il croit que le collier confectionné avec les perles ne sera pas de même longueur dans les deux cas :

Port (5 ans) f. : « Qu’est-ce qu’il y a là ? — Des petites perles vertes (A₂) et rouges (A₁). — Y a-t-il la même chose dans ces deux verres ? — Oui. — Si on faisait un collier avec les rouges et un avec les vertes, seraient-ils de la même longueur ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a la même chose de hauteur de vert et de rouge. — Si on mettait les perles là (L), qu’est-ce qui se passera ? — Il y aura plus de hauteur. — Est-ce qu’il y aura la même chose de perles ? — Non. — Où y en aura-t-il le plus ? — Là (L). — Pourquoi ? — Parce que c’est mince (on verse A_l en L). — Mais il y a vraiment plus de perles là (L) que là (A₂) ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que c’est mince et ça va plus haut. — Si je verse toutes les perles (on fait mine de verser sur la table les perles rouges de L, d’un côté, et les perles vertes de A₂ d’un autre côté), ça fera la même chose ou pas ? — Plus de perles rouges. — Pourquoi ? — Parce que (le bocal L) c’est mince. — Et si je fais un collier avec les perles rouges et un collier avec les vertes ce sera la même chose ou pas ? — Le rouge sera plus long. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y aura plus là-dedans (L). — (On remet les rouges en A₁). Et maintenant ? — C’est de nouveau la même hauteur. — Pourquoi ? — Parce qu’on a versé là-dedans (A₁). — Il y a plus de perles vertes ou de rouges ? — La même chose. —  (On verse les rouges de A₁ dans M.) — C’est plus haut. — Mais ça fait la même chose ? — Non. Là (M) il y a plus. — D’où viennent les perles en plus ? — De là (A₁). — Et si je reverse les perles rouges dans ce verre (A₁), qu’est-ce qui se passera ? — La même chose (de rouges que de vertes). — Si je fais un collier avec ça (M) et ça (A₂) ? — Il y aura plus de perles rouges. — Et si je verse ce verre (M) dans celui-là (G) ? — Ça fera la même chose que là (A₁) parce qu’on verse dans un machin trop gros. — Où y en aura-t-il plus ? — Il y en aura là (G) moins que là (M) parce qu’on verse ça (M) là-dedans (G) et c’est plus grand. — (On verse les perles de M dans G.) Si je faisais deux colliers, un avec ça (les rouges de G) et l’autre avec ça (les vertes de A₂) ça sera la même chose ? — Ça sera plus grand vert (A₂) que rouge (G). — Lequel sera le plus long ? — Le rouge sera plus long parce qu’avant on l’avait ici (M) et là (M) on avait plus. Si vous versez les verts dans celui-là (M) et après là-dedans (G) on verra s’il y a plus de verts ou de rouges. — Et si je verse celui-là (A₂ verts) dans celui-là (E) qu’est-ce qui se passera ? — Ce sera un plus petit collier parce qu’on verse dans un plus petit verre. [p. 35] — Et si je prends mes perles vertes ici (A₂) pour faire un collier, si je le mesure et qu’ensuite je verse les perles ici (E) pour faire après de nouveau le collier ? — Il sera plus court parce qu’on verse dans un tout petit verre (E). — Mais ça fera plus de perles ou moins de perles ou la même chose ? — Moins de perles. —  (On verse alors les perles vertes dans E sans rien dire.) Oh ! ça fait plus ! — Et tu pensais ? — Que ça en ferait moins. — Pourquoi ? — Parce que (E) c’est plus petit que celui-là (M) et c’est plus haut que celui-là. Non, c’est plus mince. —  Est-ce qu’il y a plus ou moins de perles qu’avant, ou la même chose ? — Plus de perles, parce qu’on a versé. — Et si on faisait un collier avec ces perles il serait la même chose que l’autre ? — Plus long ! »

D’autre part, on prie Port de mettre de la main droite une perle rouge en A₁ toutes les fois qu’il dépose de la main gauche une perle verte en A₂. On l’interrompt après un moment : « Est-ce que tu as la même chose dans les deux verres ? — Oui. — (On verse A₁ dans B.) Est-ce qu’il y a la même chose ? — Non, moins là (B) et plus là (A₂). — Pourquoi ? — Parce qu’on a versé dans un petit verre. » Etc.

Gfe (5 ans). A₁ contient autant de perles rouges que A₂ de vertes : « C’est la même chose. — Écoute, si j’enfile les perles rouges sur un fil et les vertes sur un autre, est-ce que les colliers seront la même chose longs ? — Oui, ils seront les deux les mêmes. — (On annonce qu’on va verser les vertes dans P.) Est-ce qu’il y aura la même chose ? — Non. Plus de vertes. —  Pourquoi ? — Parce qu’elles seront toutes aplaties : il y en a pas une qui va sur l’autre. (On verse A, en P et Gfe maintient qu’il y a ainsi plus de vertes en P que de rouges en A₁.) — Et si on verse les rouges ici (A₁ versé en L) ? — Plus de rouges. —  Et si on fait un collier rouge et un collier vert, ils seront la même chose ? — Non, celui-ci (rouge) sera plus long, parce qu’il y a plus ici (L). »

On prie ensuite Gfe de mettre un gros haricot en V₁ toutes les fois que l’expérimentateur en met en V₂. « Quand on aura fini, ça donnera la même chose ou pas ? — Oui. — (On verse V₁ en L). Et maintenant ? — Il y a plus là (L) que là (V₂). — Parce que c’est plus haut. Ici (L) c’est allongé, et ici (V₂) c’est couché. — Mais qu’est-ce que ça fait ? — Ça fait qu’il y a plus de grains. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils sont dans un autre verre. —  Et si on les mange, est-ce qu’il y a la même chose ? — Plus dans celui-là (L). » Etc.

Roc (5 ans). Les perles rouges sont en A₁ et les vertes en A₂ : « C’est la même chose ? — Oui. — Si on fait deux colliers… etc. ? — La même chose longs. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y a la même chose de perles. —  (On verse les vertes A, dans L.) — Les vertes c’est plus. — Si on fait deux colliers ? — Les vertes, c’est plus long parce qu’il y a plus. »

Il est inutile de multiplier ces exemples. D’une part, ils confirment ce que nous avons vu à propos de la conservation des liquides. Il suffit de transvaser les quantités de perles dans des récipients de formes et de dimensions différentes pour que l’enfant considère immédiatement que la quantité des perles augmente ou diminue et cela en raison tantôt du niveau atteint par les perles, tantôt de la largeur du bocal, tantôt du nombre des bocaux, etc. Bref, comme dans le cas des liquides, les quantités sont d’abord évaluées simplement en fonction des rapports perceptifs non coordonnés entre eux (quantités brutes) et c’est cette incohérence initiale qui explique à la fois [p. 36] les continuelles contradictions entre les jugements successifs de l’enfant et l’absence de tout critère de conservation.

Mais, d’autre part, les mêmes faits permettent d’introduire d’utiles précisions. Tant qu’il s’agissait de quantités continues telles que les liquides utilisés pour les expériences du chap. I^er, on pouvait se demander si la non-conservation envisagée par l’enfant ne tenait pas, à des raisons plus physiques que proprement mathématiques, les liquides pouvant être conçus comme se dilatant ou se contractant suivant la forme de leurs récipients. Or, la considération des quantités discontinues ajoute à cet égard un élément nouveau : selon la forme que prend une collection en passant d’un contenant à un autre, cette collection est censée augmenter ou diminuer en ses éléments eux-mêmes, bien que ceux-ci soient discrets. C’est ainsi qu’un ensemble de perles versé de A en L donne un collier plus long si l’on construit le collier à partir de L qu’à partir de A. Sans doute, l’enfant ne compte-t-il pas les perles une à une, mais l’évaluation de la quantité par la longueur du collier attire assurément l’attention du sujet sur le fait que la collection est composée d’unités discontinues, de telle sorte que quand l’enfant admet la possibilité, pour une même collection, de donner lieu à un collier tantôt plus long tantôt plus court, il y a bien non-conservation au sens mathématique du terme.

Bien plus, on a vu que, pour mieux faire sentir l’égalité, non pas globale, mais élément à élément, des deux collections à comparer, on fait mettre une perle dans un récipient donné toutes les fois que l’on en met une autre dans le récipient parallèle. Or cette correspondance bi-univoque et réciproque, qui équivaut ainsi à un dénombrement pratique, ne suffit pas non plus à assurer la conservation. L’enfant comprend fort bien que les deux collections correspondantes sont égales lorsqu’elles sont situées en deux récipients de même forme, mais il suffit de verser A₂ ou V₂ en L pour que la collection contenue en A₁ ou en V₁ ne soit plus considérée comme égale à celle de L !

On peut faire à cet égard une expérience plus probante encore : mettre en correspondance des éléments déposés un à un mais dans des récipients de forme différente et voir si l’équivalence l’emportera sur les apparences globales. Or, durant ce premier stade, la correspondance ne conduit nullement à une équivalence même initiale :

Bab (4 ; 6) pose un grain sur la table toutes les fois que le fait de son côté l’expérimentateur. « C’est la même chose ? — Oui. » Puis il met en L un grain chaque fois que l’expérimentateur en dépose un en P. Bab dit alors spontanément [p. 37] à chaque nouveau grain : « C’est la même chose. » Mais lorsque l’on atteint la dizaine de chaque côté et que L est rempli à la ½, il s’écrie : « J’ai beaucoup. — Et moi ? — J’ai presque tout plein. — C’est la même chose ? — Moi beaucoup ! —  Et moi ? — Mais regarde ! tu as un tout petit peu. — Pourquoi ? — Mais regarde (il montre les niveaux). »

Puis Bab dépose une perle en E toutes les fois que l’expérimentateur en place une en P : « Regarde bien si toi et moi nous avons la même chose. — (Bab énonce alors chaque fois à haute voix le nombre de chaque collection.) Moi un et toi un ; moi deux et toi deux ; moi trois et toi trois ; … etc. jusqu’à 6 (le verre E est alors entièrement plein). — C’est la même chose ? — … (conflit entre l’apparence et la correspondance établie). — Si on faisait un collier avec tes perles et un collier avec les miennes, ce serait la même chose ? — Non, le mien est plus long. — Mais si on prenait toutes tes perles et toutes les miennes ? — Non, le tien n’est pas si long ; il faut te remplir ton verre, pour avoir un aussi long collier. — Compte. — (Il compte 1… 6 en E et 1… 6 en P.) — Alors ? — Toi tu as un petit collier. — Mais pourquoi tu as beaucoup ? — Regarde, c’est bas chez toi. C’est moi qui ai beaucoup, j’ai tout plein. »

Coc (5 ans) met d’abord un grain en A₁ chaque fois que l’expérimentateur en met un dans le verre A₂ et dit ensuite spontanément : « C’est tous les deux la même chose. —  Comment tu sais ? — Parce qu’on met les deux (= les deux grains correspondants)… Non, parce que les deux verres sont la même chose. » (On voit ce recours au critère de la forme d’ensemble, considéré comme plus sûr que celui de la correspondance 1) L’enfant est alors invité à mettre un grain en P chaque fois que l’expérimentateur en met un en L : « Est-ce que ça fait la même chose ? — Non. Ici (L) c’est plus. — Pourquoi ? — Parce que c’est tout petit (= allongé) et ici (P) c’est gros. »

On voit combien sont curieuses les réactions de ce dernier type, qui sont hautement représentatives de tout le premier stade. Il est clair que, sauf conflit avec un facteur contraire, la correspondance bi-univoque et réciproque entre deux collections devrait conduire à l’équivalence des collections correspondantes. C’est ce qui se produira au cours du second stade, et alors la correspondance entrera en conflit avec les apparences perceptives constituées par les relations de hauteur, de largeur, etc. Mais, au niveau de ce premier stade, la quantification est si peu poussée que la correspondance n’entre même pas en conflit avec les apparences contraires et se subordonne d’emblée à la perception spatiale. Par exemple Coc croit à l’égalité de A₁ et de A₂, moins parce qu’on y dépose « les deux » grains correspondants à la fois que « parce que les deux verres sont la même chose », comme si le second critère était plus sûr que le premier. Quant à Bab, il a beau dire « c’est la même chose » à chaque nouvelle introduction de deux grains correspondants, il ne tient aucun compte de ce genre d’évaluation, une fois le verre L rempli à demi, et se borne à regarder les niveaux. Bien plus, il compte ensuite jusqu’à 6 et 6 les perles déposées en E et en P, et n’en conclut pas moins que le collier fait avec [p. 38] les perles de E sera plus long, parce qu’en E il y a « beaucoup, tout plein » ! Non seulement la correspondance terme à terme, mais encore, on le voit, le dénombrement lui-même, apparaissent ainsi à l’enfant du premier stade, comme des procédés de quantification beaucoup moins sûrs que l’évaluation directe due aux rapports perceptifs globaux (quantités brutes). En effet, la numération, parlée que le milieu social impose parfois à l’enfant de ce niveau demeure toute verbale et sans signification opératoire. Quant à la correspondance terme à terme, nous verrons précisément, au cours des chapitres suivants combien on se tromperait à vouloir la considérer d’emblée comme une opération quantifiante, alors qu’elle débute par un état de simple comparaison qualitative.

Comme dans le cas des quantités continues, on peut distinguer dans le développement de la notion de conservation un second stade caractérisé par les solutions intermédiaires, situées à mi-chemin entre la quantité brute sans invariance et la quantification proprement dite. La situation se présente en général de la manière suivante. D’une part, l’enfant est porté à croire à la conservation, soit parce que l’on a contrôlé l’égalité des deux collections en les déposant au préalable dans deux verres identiques (A₁ et A₂) soit parce que l’on a constitué ces deux collections par le moyen d’une correspondance bi-univoque et réciproque. Mais, d’autre part, cette tendance à la conservation entre en conflit avec l’apparence contraire, c’est-à-dire avec une différence de niveau ou de largeur, etc. Deux nouveautés s’observent alors, par opposition avec le comportement propre au premier stade. D’abord il y a conflit véritable, c’est-à-dire que les facteurs de conservation ne se soumettent pas sans plus aux facteurs d’altération mais qu’on assiste à une lutte dont les péripéties sont de plus en plus instructives. Ensuite, et à cause de cela même, les rapports perceptifs se coordonnent en relations et s’intègrent ainsi en un système susceptible de justifier la conservation tout en rendant compte des variations concomitantes.

Voici d’abord deux exemples indépendants de mise en la correspondance terme à terme :

Marg (5 ½) : « Il y a autant de perles (en A₁ et en A₂) ? — La même chose. — Et si on fait des colliers, etc. ? — La même chose longs, — Pourquoi ? — … [p. 39] — Et si je verse (A₁ en L) ? — Il y a plus là (A₂). — Pourquoi ? — Parce que ça augmente ici (montre l’amincissement de la colonne de L). — Dans lequel il y a plus ? — Dans le grand (= le large, A₂). — Et si on fait deux colliers (avec L et A₂) ? — Ils seront la même chose longs. — Et si on verse (L) dans ceux-là (M₁ + M₂) ? Il y aura plus dans les deux petits. —  Pourquoi ? — … — Et si on fait un collier ? — Il sera plus long avec les deux petits (qu’avec A₂). — Et avant, quand les perles étaient ici (A₁ et A₂) ? — Les colliers étaient la même chose longs. — Et si je mets ça (A₂) ici (E₁ + E₂ + E₃ + E₄), les deux colliers seront la même chose (donc 2 M et 4 E) ? — Non, il sera plus long dans les petits (4 E). »

Ari (5 ½), A₁ et A₂ : « C’est la même chose. — Et si on fait deux colliers, etc. ? — La même chose longs. — Et si on verse (A₂ en L) ? — Il y aura plus là (L). — Pourquoi ? — Parce que c’est plus haut. — Et si on fait deux colliers ? — Ils seront la même chose longs. — Et si on verse (A₁ en 4 E) ? — Il y aura plus là (4 E). — Et si on fait un collier ? — Il sera plus long. »

On constate d’abord que, comme nous l’avons d’ailleurs déjà remarqué à propos des quantités continues (deuxième stade), l’enfant de ce niveau est capable d’affirmer une certaine conservation dans le cas d’un changement peu important, mais il n’y parvient pas dans celui d’une transformation plus considérable : c’est ainsi que, pour Marg et Ari, les deux colliers resteront égaux en longueur si l’on transvase A en L, mais cela ne se produira plus si l’on verse les perles en 2 M ou en 4 E. Mais, il y a plus, et l’examen des quantités discontinues nous permet de verser de nouveaux faits au débat. À cause même de ses hésitations à admettre la conservation en cas de changements de forme de la collection, l’enfant est conduit à dissocier les évaluations fondées sur la seule perception des rapports de hauteur ou de largeur et celles qui résultent de la représentation de la longueur des colliers. Par exemple, si Marg et Ari croient que la quantité varie de A en L, parce que le niveau du tas augmente avec le transvasement, ils n’en estiment pas moins que le collier construit avec les perles de L aura la même longueur que celui des perles de A : il y a donc conservation lorsque l’enfant pense à l’alignement des termes discontinus et non-conservation lorsqu’il pense à l’une ou l’autre des dimensions de la forme globale. De telles dissociations entre les évaluations fournies sont du plus haut intérêt : d’une part, elles montrent combien la quantification implique d’opérations diverses que l’enfant a peine à coordonner entre elles ; d’autre part, elle semble indiquer, dans la mesure où les évaluations fondées sur la représentation du collier sont plus correctes que les autres, l’intervention d’une décomposition en éléments dans la conservation et c’est ce qu’il s’agit maintenant d’examiner en recourant à la technique de la mise en correspondance.

[p. 40] Voici d’abord quelques faits :

Tis (5 ; 1) met en V₁ une perle toutes les fois que l’expérimentateur en dépose une en V₂ : « C’est la même chose ? — Oui, parce que j’ai mis chaque fois la même chose et vous aussi. — Si on fait deux colliers, etc. ? — Ils auront la même longueur, parce qu’il y a beaucoup de perles, et vous aussi vous avez beaucoup de perles. — (On verse V, en L + M.) C’est la même chose ? — Chez vous (L + M) il y a beaucoup. — Et toi ? — Pas beaucoup. — Et si on fait des colliers, etc. ? — Le tien sera plus long, mon collier sera moins long. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de perles chez vous. — Mais comment on a mis les perles ? — Deux chaque fois. —  Pourquoi j’ai plus ? — Il y a deux colonnes toutes grandes chez vous, regardez. » Jusqu’ici la réaction de Tis est donc caractéristique du premier stade, mais on va voir maintenant le passage de cette réaction initiale aux conflits typiques du second stade :

Tis met une perle en L toutes les fois que l’expérimentateur en dépose une en P. Tis compte chaque fois la perle qu’il introduit et aboutit à un résultat correct de 12 perles. On s’arrête lorsque L est plein. Tis s’écrie alors spontanément : « C’est moi qui a plus. — Pourquoi ? — Il y a plus dedans. — Et si on fait deux colliers ? — Celui-là (L) est plus long. — Pourquoi ? — Le pot est plus grand, et celui-là (P) est plus petit (il montre la hauteur). — Mais il y a plus de perles ? — Chez vous (L). — Pourquoi ? — C’est plus grand. — Comment on a mis les perles ? — On a mis chaque fois les deux. — Nous avons la même chose, ou toi tu as plus ou moins ? — La même chose les deux. — Pourquoi ? — Parce qu’on a mis chaque fois les deux. — Comment seront les deux colliers ? — Le vôtre sera long et le mien la même chose long. — Pourquoi ? — Parce qu’ici (L) c’est grand, et moi ici (P) c’est petit, vous, vous avez beaucoup de perles. — Et toi ? — Pas tant beaucoup, mais quand même beaucoup. » On voit que, sitôt rappelée, la correspondance terme à terme entre en conflit avec la perception des dimensions, le premier facteur tendant à l’égalité et le second à la différence, sans que Tis parvienne à une synthèse réelle.

Von (5 ; 10), de même, n’arrive pas à concilier les données de la correspondance avec celles des rapports perceptifs. Lorsque l’on dépose terme à terme 11 perles roses en E et 11 perles bleues en P, il déclare que c’est la même chose, bien que E soit plein. « Pourquoi ? — Parce que j’ai compté et je sais que c’est juste. — Et si on fait un collier rose et un collier bleu ? — C’est les deux la même différence, c’est la même grandeur de colliers. — Comment tu sais ? — J’ai compté. C’est la même chose de perles. — Mais pourquoi alors c’est comme ça ici (on montre le niveau de E) ? — Vous (E), c’est rond et c’est plus mince, moi (P) c’est rond et c’est plus grand (geste indiquant la largeur). — Et alors ? — C’est la même chose, parce que j’ai compté. On a mis la même chose, on a mis toujours comme vous (= correspondance). »

Von place ensuite une perle en G toutes les fois que nous en déposons une en L. « C’est la même chose dans les deux. — Pourquoi ? — On a mis en même temps (= correspondance). — Et si on fait deux colliers ? — Les deux la même chose. — Et pourquoi L est rempli et pas l’autre ? — Parce qu’ici (L) c’est rond et c’est long, et là (P) c’est rond et plus grand (large), et on a mis la même chose beaucoup. — (On transvase G en un verre Gp de même forme mais plus petit, qui est alors rempli jusqu’au bord.) Alors ça (L) et ça (Gp) ? — C’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que (Gp) c’est plus petit (= bas) et plus plat, et ici (L) c’est plus long, c’est plus grand, et alors il y a plus. — Quoi, plus (Gp et L sont remplis jusqu’au bord et Von ne dissocie donc pas le volume des récipients de la quantité des perles) ? — Plus de perles. Il y a plus de perles là (L). — Et si on faisait deux colliers ? — Vous (L) avez plus, le collier bleu (L) est tout long. —  Et le rose (Gp) ? — Plus court, parce qu’il y a moins de perles. »

[p. 41] Ces réactions intermédiaires de l’enfant présentent un grand intérêt tant au point de vue de la quantification en général qu’à celui de la signification de la correspondance elle-même.

On constate, en effet, l’existence d’un conflit systématique, chez Tis, Von et tous les cas analogues caractéristiques de ce stade, entre un facteur d’égalité et de conservation et un facteur de différences. En déposant dans un récipient quelconque X un élément chaque fois que l’expérimentateur place de son côté un élément en Y, tout enfant de ce stade est porté à conclure que X = Y, même si les formes de ces deux récipients sont différentes l’une de l’autre. Par contre, lorsque l’enfant contemple après coup le résultat obtenu, dans le cas où les collections correspondantes sont de formes différentes, sa croyance en l’équivalence est tenue en échec par l’évaluation fondée sur les rapports perceptifs. En effet, bien qu’il vienne d’effectuer lui-même la correspondance terme à terme, l’enfant ne peut pas s’empêcher, en considérant la collection totale, de supposer, comme au cours du premier stade, que toute augmentation de hauteur (ou de largeur, etc.) entraîne une variation de la quantité comme telle. Seulement, contrairement à ce qui se produisait au premier stade, au cours duquel les facteurs perceptifs annulaient sans plus la croyance en l’équivalence des collections correspondantes, il y a maintenant conflit sans issue, aucune des deux tendances ne l’emportant décidément sur l’autre : lorsque l’enfant regarde les collections de perles il croit à la non-équivalence et lorsqu’il se rappelle la correspondance qui les a constituées il croit à nouveau à cette équivalence. Même, lorsqu’il semble y avoir décision finale, comme chez Tis, l’expression verbale (« vous vous avez beaucoup… moi pas tant beaucoup, mais quand même beaucoup ») trahit l’incertitude.

Comment ce sujet parviendra-t-il à concilier ces deux tendances contradictoires ? Chose intéressante, malgré le caractère discontinu des collections à comparer, mis en évidence par la correspondance terme à terme, l’enfant résout le problème des perles exactement de la même manière que celui des quantités continues. C’est par une coordination des relations en jeu qu’il effectue la synthèse de l’équivalence réelle avec les variations apparentes, et cette coordination débute également sous la forme d’une multiplication simplement logique pour se prolonger aussitôt en une mise en proportions. Ce double mouvement est esquissé dès ce second stade, pour s’achever au cours du troisième.

[p. 42] Par exemple Von, qui commence par croire à l’équivalence, à cause de la correspondance, explique les variations apparentes de quantité en déclarant que la largeur de P compense la hauteur de L. Seulement l’opération de multiplication de relations qu’il esquisse ainsi, en disant « C’est la même chose… parce qu’ici (L) c’est rond et c’est long, et là (P) c’est rond et plus grand », demeure encore si fragile en son esprit que la seconde fois qu’il l’exécute, il oublie en cours de route de mettre la hauteur de L en relation avec la largeur de l’autre bocal et conclut brusquement que L « c’est plus long, c’est plus grand, alors il y a plus ! »

Examinons maintenant comment s’achève la quantification intensive et extensive esquissée au cours du second stade.

Voici d’abord des exemples de réactions aux questions de simple conservation, indépendamment de la correspondance :

Lin (6 ans) constate l’égalité de A₁ et A₂. « Si je verse (A₁) en (L) ? — Ce sera toujours la même chose. — Et si je verse (L) en (G) ? — Encore la même chose. — Vraiment ? — Bien sûr, parce qu’ici, dans le petit (= le mince = L), il y a plus (montre la hauteur, donc l’augmentation de hauteur compense l’amincissement de la colonne). »

Jup (5 ½). « Si je verse (A₂) en (M₁ + M₂) ? — C’est la même chose. — Pourquoi ? — Il y a la même chose de perles. —  Combien de verres ? — Deux et un. — Il n’y a pas plus dans les deux ? — Non, parce que les deux sont plus petits. — Et si de (M₁ + M₂) je les verse en (E₁ + E₂ + E₃ + E₄) ? — La même chose. —  Et si on fait un collier avec (A₁) et un collier avec (4 E) ? — La même chose. — Et si on verse (A₁) en (G) ? — C’est égal. »

Pel (6 ans) mêmes réponses : « C’est la même chose dans les petits verres que dans un grand. »

La différence entre ces réponses, et toutes celles que nous avons examinées jusqu’ici tient, on le voit d’emblée, au fait que l’enfant n’a plus à réfléchir pour s’assurer de la conservation des quantités totales : il en est certain a priori. Il semblerait donc, à première vue, que l’invariance de l’ensemble résulte sans plus d’un jugement d’identification globale, contrecarré jusque-là par les facteurs perceptifs, mais s’affirmant en sa simplicité sitôt libéré de ces derniers. Cependant, l’argumentation de ces sujets montre d’emblée que les coordinations de relations effectuées au cours du stade précédent demeurent essentielles, mais sont concentrées en un acte unique au lieu de se constituer pas à pas. C’est ainsi que Lin dit simplement [p. 43] « dans le petit (L) il y a plus » pour justifier une invariance totale dont il est « bien sûr ». De même Jup voit d’emblée que le tout divisé en deux demeure constant « parce que les deux sont plus petits ».

Il est donc indispensable, pour saisir la portée réelle de cette étape décisive de la quantification qu’est la découverte de l’invariance des totalités, de chercher à analyser plus avant les opérations de coordination impliquées dans les réponses précédentes. Or, il ne suffit plus, pour ce faire, de mettre en conflit la correspondance terme à terme avec les changements de forme, puisque à ce stade, le facteur d’équivalence l’emporte d’emblée sur l’autre. Aussi modifierons-nous quelque peu la technique précédente : nous présenterons à l’enfant deux collections de forme différente, sans qu’il ait la possibilité de s’assurer de leur égalité, et lui demanderons son opinion sur celle-ci, puis, une fois seulement l’hypothèse formulée, procéderons par correspondance terme à terme, avec explication rétrospective. Voici des exemples :

Sum (6 ; 10) compare les bocaux L et P (contenant chacun 18 perles, mais sans que l’enfant les ait comptées ni fait correspondre les unes aux autres). « Tu crois que c’est la même chose ou non ? — … — Comment faire pour savoir ? — Dans celui-là (P) il y a plus. — Pourquoi ? — Parce que c’est plus gros. On peut moins en mettre ici (L). »

On vide L et P et Sum met en L une perle chaque fois que l’expérimentateur en dépose une en P. « C’est la même chose. — Pourquoi ? — Ça (P) c’est plus gros, mais c’est pas rempli, et ça est plus mince, mais c’est tout rempli. —  D’où tu sais que c’est la même chose ? — Parce qu’on a mis ensemble. »

On donne ensuite à Sum un verre G ne contenant qu’une couche de perles, en lui demandant d’en mettre autant en L. Sum remplit L aux ⅔ et dit « Je ne sais pas comment faire, je crois qu’il y a plus là (G). — (On remplit L.) — Je crois que c’est la même chose. — Pourquoi ? — Ça (G) c’est plus grand, mais si on faisait long (Sum fait le geste de dresser G en hauteur et de mettre ainsi les perles verticalement), ça ferait la même chose que là (L). »

Lea (7 ; 7) compare L et P (16 éléments en chacun) : « Ici (L), il y a plus, c’est plus haut. — Alors ? — C’est moins large, mais c’est plus haut. Ça (P) c’est plus large, mais c’est plus petit, tandis que si on le remplissait, ça ferait plus de grains. — Pourquoi ? — Parce que c’est plus large. — Explique-moi. — Si on le coupait (L) au milieu, et qu’on le mettait ensemble là (en P), ça ferait toujours moins large. — Pourquoi ? — Parce que c’est très mince. »

On vide L et P pour les remplir par correspondance terme à terme. « C’est la même chose. —  Pourquoi ? — Parce qu’on a toujours mis en même temps. — Mais là (L) c’est plus haut, explique-moi. — Si je vidais celui-là (P) dans celui-là (L) ou celui-là (L) dans celui-là (P) ce sera la même chose. — Pourquoi ? Si je les mettais (les éléments de P) dans une colonne ça ferait la même chose. —  Et alors ? — Ça (P) c’est plus large, ça en prend (geste de répandre en largeur), tandis qu’ici (L) le verre est mince, alors ça n’en prend pas (en largeur), mais ça monte. »

[p. 44]Dur (7 ; 8) après avoir cru que L « fait plus » que P le remplit par correspondance avec ceux que l’expérimentateur dépose en P. « C’est les deux la même chose. —  Comment tu sais ? — Parce qu’on a fini en même temps ; on a commencé en même temps et fini en même temps. —  Mais celui-là (L) est plus mince ? — C’est mince, mais c’est plus haut, et ici (P), c’est bas, mais c’est plus gros. »

On demande à Dur de mettre en G (= 4 E) une quantité égale à celle de E (plein). Il désigne le ⅓ environ de G. « Comment tu sais ? — Je remplis en pensée, et je regarde où ça arrive. —  Comment où ? — Je couche le verre (E), et puis je vois que cela fait plus ici (G), parce qu’il reste encore de la place. »

Ler (7 ; 8). Même début, puis, après la mise en correspondance : « Il y a autant, parce qu’on a mis ensemble, alors il ne peut pas y avoir plus dans l’un que dans l’autre. — Pourquoi ? — Parce que là (P) c’est en largeur, et là (L) en hauteur. » De même, il compare E et G, et trouve le rapport exact : « Comment tu as trouvé ? — À l’œil ! Je couche celui-là (E), quand je le couche, ça se voit qu’il reste de la place. »

Chai (7 ; 8) : « Là (L), on doit mettre un par un (= superposer les perles) parce que c’est mince, là (P) on peut mettre beaucoup à la fois dans une rangée (horizontale). » Quant aux verres E et G, Chai prévoit que l’ensemble contenu en E atteindra la moitié de la hauteur de G. « Pourquoi ? — Celui-là (G) est deux fois plus large (que E), alors si je mets une fois (E), ça fait juste une rangée (horizontale), la moitié, et alors on peut mettre encore un. »

Gar (8 ; 2) : « Là (P), c’est serré, c’est en tas. — Alors, qu’est-ce que ça fait ? — Ça (P) en large. Si je serrais ça (le contenu de L), ça serait la même chose (que P). »

Kor (8 ; 6) : « Le verre là (P) est plus large, il en va plus des côtés, alors ça monte moins vite (qu’en L). » Quant à la comparaison de G et de E, Kor déclare d’emblée que G contient plus que E. « Pourquoi ? — Si on voulait l’amincir (G) et le mettre en hauteur, il serait mince comme l’autre (E), mais plus haut. » Kor accompagne ses réflexions de gestes montrant comment en serrant la colonne large de G on aboutirait à une colonne étroite mais plus haute que celle de E.

Gui (9 ans) : « Dans le petit verre (L), il y a seulement un grain sur l’autre (cf. Chai), là (P) il y a plus à la fois : il n’y a que deux étages, mais c’est la même chose (qu’en L). » Et pour E et G, « Ça va 4 fois. — Comment tu sais ? — Je coupe au milieu, et encore. Je fais des quarts, je mets tout plein dans chaque quart, alors je vois que ça va 4 fois ». D’autre part, Gui considère G comme plus grand que L en vertu du raisonnement suivant : « J’ai coupé (G) en lignes (le dernier qu’il fait pour nous expliquer sa pensée montre la circonférence de G sectionnée en 4 bandes correspondant à la largeur de L), et puis après, j’ai regardé avec celui-ci (L). J’ai mis comme ça (L couché) et puis mesuré avec un bout de ça (L divisé en deux parties inégales dont l’une correspond à la largeur de G). » Gui compare donc la largeur de G à la hauteur de L. Quant à la largeur de L et à l’épaisseur de G, il fait enfin la comparaison suivante : « J’ai coupé ça (G) comme ça (en 2 étages) et j’ai vu que ça (un étage) ça va juste si on coupe ça (L) en 2 (par la hauteur) » : donc une ½ colonne de L équivaut à un étage de G !

Ces divers procédés de comparaison — tous découverts spontanément par l’enfant — permettent à la fois de vérifier les interprétations exposées au cours du chapitre précédent et de mieux poser le problème de la correspondance.

Sur le premier point, on se rappelle comment, dès qu’il est capable de coordonner les différences de hauteur et de largeur en une « multiplication [p. 45] de relations », source de quantification intensive, l’enfant parvient également à égaler les différences ou à la soumettre à de communes mesures impliquant l’unité, et à constituer ainsi une quantification extensive. Mais, dans le cas des quantités continues nous n’avons guère observé que la proportion inverse établie par les sujets entre la hauteur de deux colonnes d’eau et leur largeur, ou la partition d’une quantité donnée en deux ou plusieurs verres-unités.

Or, sans doute à cause de l’analyse des éléments à laquelle la technique de la correspondance terme à terme conduit l’enfant, les réactions de ce stade aux questions de conservation et d’évaluation des quantités discontinues ont conduit à des résultats à la fois plus riches et plus précis en ce qui concerne cette genèse de la quantification extensive.

Notons, tout d’abord, que chacune des réponses précédentes procède initialement, comme celles que nous avons citées au début de ce paragraphe, d’une multiplication logique des relations en jeu de hauteur et de largeur. Pour lever la contradiction entre la correspondance univoque et réciproque entre les éléments des deux collections, source d’équivalence, et les changements apparents, le sujet suppose, en effet, d’emblée que ceux-ci forment un tout : pour Sum P est « plus gros mais pas rempli » tandis que L est « plus mince mais tout rempli » ; pour Lea, L est « moins large mais plus haut », etc., chaque relation étant ainsi multipliée par l’autre ou surtout par son inverse.

Mais, comme on le voit bien dans le cas où le sujet compare L et P sans avoir établi au préalable l’équivalence des contenus de ces deux verres, une telle opération ne suffit nullement à constituer la notion d’une quantité constante ou l’égalité de deux quantités. Elle permet uniquement, si l’on connaît par ailleurs cette égalité totale, de déduire qu’à une augmentation de hauteur doit correspondre une diminution de largeur et inversement. C’est pourquoi est-ce essentiellement lorsqu’il est déjà conduit à l’idée de l’invariance par la correspondance terme à terme et qu’il s’agit seulement d’expliquer les changements apparents, que l’enfant fait appel à la multiplication des relations, celle-ci permettant alors de coordonner tous les rapports en jeu en une quantification intensive, mais, à elle seule, elle n’aboutit pas dans ce cas à la construction de cette invariance (elle n’y aboutirait que si les rapports de hauteur et de largeur étaient simplement permutés). Par contre, sitôt en possession [p. 46] de cette opération de coordination des différences qu’est la multiplication des relations, l’enfant fait l’hypothèse que les différences peuvent être égalées. Et, dans le cas des quantités discontinues étudiées ici, il formule même cette hypothèse avec la plus grande clarté. C’est ainsi que, pour Sum, la collection située en G est égale à celle de L parce que « si on faisait long ça ferait la même chose », autrement dit, parce que la différence de largeur entre G et L équivaut exactement à leur différence de hauteur. De même Lea constate que P est « plus large » que L et que « ça en prend » par conséquent, c’est-à-dire que ça diminue la hauteur, mais si on « les mettait dans une colonne ça ferait la même chose (la même hauteur) ». Gar (8 ; 2) déclare aussi : « Si je serrais (si j’élargissais) ça (L), ça serait la même chose (que P) », et Kor : « Si on voulait l’amincir (G) et le mettre en hauteur, il serait mince comme l’autre (E) mais plus haut », etc. Bref, sitôt coordonnées opératoirement, les différences perçues sont mesurées, et, à défaut de données numériques, elles sont mesurées les unes par les autres, toute augmentation de largeur étant égalée ou comparée à la diminution concomitante de hauteur, ou l’inverse.

Or que cette proportion, laquelle constitue ainsi le début de la quantification extensive, aille elle-même de pair avec la partition arithmétique, comme nous l’avons supposé au cours du chapitre précédent, c’est ce qui apparaît clairement chez la plupart des sujets de ce stade. Par exemple, pour Lea, L contient moins que P (si P est plein), parce que « si on le coupait (L) au milieu et qu’on mettait ensemble (les deux moitiés en P) ça ferait toujours moins large ». Chai décompose, de son côté, la hauteur de G en deux étages dont il égale chacun à E, etc. Quant à Kor, qui est plus âgé, il montre jusqu’où peuvent conduire ces décompositions en l’absence de tout dénombrement des éléments.

D’une manière générale, on constate que ces proportions, ces égalisations de différences et ces partitions numériques se constituent en fonction des opérations inverses dont l’enfant acquiert le maniement par le fait même de rendre « opératoires » les transformations jusque-là conçues à titre de simples rapports perceptifs. Lorsque Lea, par exemple, déclare « si je vidais celui-là (P) dans celui-là (L) ou celui-là (L) dans celui-là (P), ça sera la même chose », il exprime la réversibilité propre à toute opération logique et mathématique, et c’est cette réversibilité qui permet de concevoir égalisations et décompositions. Dur le montre avec la plus grande précision : [p. 47] « je remplis en pensée et je regarde où ça arrive », et « je couche le verre (E en G) et je vois que cela fait plus ici, parce qu’il reste encore de la place » (cf. aussi les cas de Ler, de Gar et surtout Gui). Si, maintenant, nous comparons ces processus avec le conflit de la correspondance terme à terme et des rapports perceptifs, nous comprenons pourquoi ce conflit ne prend fin qu’au cours de ce troisième stade par la victoire de la correspondance sur la perception. On peut, en effet, se représenter la situation comme suit. À tous les niveaux et dès le premier stade, l’enfant est naturellement porté à croire que deux collections qui se correspondent terme à terme sont équivalentes l’une à l’autre. Seulement lorsque l’on change la forme de l’une des deux ou que sa forme se révèle différente de la première de par les récipients dans lesquels on les a constituées respectivement, alors cette croyance en l’équivalence est, comme nous l’avons vu au cours des deux premiers stades, ébranlée par l’apparence perceptive contraire. Au cours du premier stade, il n’y a pas de conflit parce que les rapports perceptifs l’emportent d’emblée sur l’équivalence. Durant le second stade, les facteurs en présence sont de force égale. Durant le troisième stade, enfin, l’équivalence prime d’emblée les rapports perceptifs : une fois mises en correspondance terme à terme, deux collections sont conçues comme équivalentes quels que soient leurs changements de forme, les rapports perceptifs étant alors coordonnés entre eux ainsi qu’on vient de le voir. Mais quelles sont les relations entre la correspondance terme à terme et cette coordination des rapports ?

Jusqu’ici nous avons présenté les choses d’une manière unilatérale, en considérant la coordination progressive des relations comme permettant simplement à l’enfant de rendre compte des changements de forme des collections du double point de vue de la quantification intensive et extensive, et de concilier ainsi ces changements avec l’équivalence invariante de ces collections correspondantes, la correspondance étant donc à concevoir comme la raison initiale de cette invariance. Mais une difficulté subsiste, et qui est même considérable : comment se fait-il qu’il faille attendre le 3^e stade pour que la correspondance terme à terme entraîne l’équivalence durable des collections, tandis que durant les deux premières périodes elle ne suffise point à vaincre les apparences perceptives ? On peut certes répondre, pour ce qui est du premier stade, que faute de coordination, les rapports perceptifs imposent à l’esprit une telle vraisemblance [p. 48] de variation ou d’inégalité, que l’équivalence est conçue comme non durable. Mais, durant le second stade, il y a déjà coordination des rapports et cependant cette coordination naissante ne suffit point à faire triompher l’équivalence sur les apparences perceptives, la correspondance terme à terme demeurant impuissante à engendrer une équivalence durable. Comment donc interpréter ce peu d’efficacité de la correspondance terme à terme ?

En réalité, il se pourrait que la coordination des relations intervienne dès la constitution de la mise en correspondance elle-même et qu’ainsi les mécanismes en jeu dans cette évolution forment un tout beaucoup mieux intégré qu’il n’a pu sembler jusqu’ici. On peut se demander, en effet, si la correspondance conduisant à l’équivalence durable est la même opération que la correspondance terme à terme sans équivalence durable des collections correspondantes. Si l’on était conduit par d’autres expériences à dissocier ces deux formes de correspondance, alors il serait naturel que la correspondance toute perceptive du premier stade soit d’emblée subordonnée aux changements apparents et que seule la correspondance propre au troisième stade se prolonge en une coordination des rapports en jeu, parce qu’elle les implique déjà. Le stade intermédiaire ne serait alors qu’un stade d’organisation de la correspondance elle-même. Les deux chapitres suivants répondront à ces questions.