Chapitre VIII.
La composition additive des nombres et les relations arithmétiques de partie à tout ^{1 a} 🔗

Pour étudier cette composition additive d’ordre numérique, nous employerons successivement trois méthodes parallèles. [p. 230] La première a pour but de voir si l’enfant est capable de comprendre l’identité d’un tout au travers des différentes compositions additives de ses parties : (4 + 4) = (1 + 7) = (2 + 6) = (3 + 5) ? On explique à l’enfant que sa maman lui donne 4 bonbons (et l’on pose 4 grains de haricots arrangés en carré) pour ses « dix heures » et 4 autres (idem) pour quatre heures ; le lendemain il en aura autant (on pose également deux carrés de 4 grains chacun), mais comme l’un de ces deux jours il a moins faim à dix heures qu’à quatre heures, il ne mangera ce jour-là qu’un seul bonbon le matin et tous les autres l’après-midi : on reporte alors sous les yeux de l’enfant 3 bonbons du troisième carré de 4 pour les ajouter au quatrième, et on lui fait comparer les deux tas de (4 + 4) et de (1 + 7) en lui demandant s’il en mangera autant les deux jours ou non.

À cet égard, on observe trois types successifs de réponses. Au cours du premier stade, il n’y a pas équivalence entre les deux ensembles (7 + 1) et (4 + 4). Pour les sujets du troisième stade, il y a équivalence et entre deux on observe des réactions intermédiaires (deuxième stade) dans lesquelles l’égalité n’est pas construite par composition additive mais résulte d’une vérification préalable (par correspondance ou numération). Cette première technique permet donc d’emblée de montrer que, pour les petits, une totalité numérique de valeur cardinale de 8 n’est pas le résultat d’une composition additive mais consiste en un tout intuitif ou autant d’ensembles globaux qu’il y a de parties perçues en blocs, la somme de ces parties n’ayant alors point de signification.

S’il en est ainsi, une deuxième question peut se poser. Si les totalités, avant de constituer des sommes de parties additionnées, présentent ce double caractère d’être à la fois rigides et fragiles — rigides parce que perçues globalement et fragiles parce que ces blocs se désagrègent sans se conserver — que se produira-t-il lorsque l’on établira entre deux totalités des échanges tels qu’une partie de la première lui soit soustraite par l’enfant lui-même pour être additionnée à l’autre ? Ce jeu d’additions et de soustractions combinées se produit spontanément lorsque l’on demande à l’enfant d’égaliser deux quantités inégales et nous permettra d’analyser sous un nouveau biais le rapport additif des parties et du tout.

On présente à cet effet deux collections inégales à l’enfant, par exemple 8 et 14 jetons, et on lui demande : « Fais que ce soit la même chose de jetons » ou « qu’il y en ait autant dans les deux tas » (ou [p. 231] encore « la même chose beaucoup » selon le vocabulaire du sujet lui-même). S’il n’y a pas d’emblée intérêt et activité, on raconte une histoire de partage pour stimuler l’enfant. Lorsque le sujet a terminé ses essais d’égalisation, on confirme d’abord (« Est-ce qu’il y a la même chose maintenant ? ») puis, s’il y a échec résistant, on passe à de plus petites quantités ou à une question plus facile de partage. En effet, les opérations d’égalisation sont à elles seules insuffisantes pour une analyse complète de la composition additive et il est nécessaire de les comparer à l’opération complémentaire du partage.

Les résultats obtenus sont en gros les suivants. Durant le premier stade, l’enfant ne comprend pas qu’en ajoutant des jetons au petit tas, il en enlève par cela même au grand : il n’arrive donc pas à concevoir les deux collections l’une par rapport à l’autre, et de plus il les évalue de manière simplement globale. Durant un second stade, l’enfant parvient à les mettre en rapport l’une avec l’autre, mais intuitivement et par le moyen de figures qu’il égalise par tâtonnements empiriques successifs. Durant le troisième stade, l’enfant procède enfin par voie de correspondance et de composition opératoires.

La troisième technique, qui complète simplement les deux premières, est celle du partage : « Tu vois ces jetons. Il faut faire deux parties, une pour toi, l’autre pour cette dame et il faut que vous ayez tous les deux la même chose. » Les stades obtenus sont parallèles aux précédents.

Au cours des chap. III-IV nous avons analysé comment l’enfant remplace peu à peu les procédés primitifs d’évaluation fondés sur la perception spatiale des collections par la correspondance qualitative puis la correspondance avec équivalence quantifiante. Il est nécessaire de se rappeler ces résultats pour comprendre ce qui va suivre, puisque les deux ensembles de (4 + 4) et (1 + 7) ne peuvent être comparés l’un à l’autre par l’enfant que grâce à ces mêmes méthodes de quantification.

La première étape, qui correspond au premier des stades étudiés précédemment et, en particulier, au stade au cours duquel deux classes partielles ne peuvent être incluses de façon permanente en un tout invariant (chap. VII), est caractérisée par le fait que les sujets ne comprennent ni l’égalité des deux ensembles à comparer I = (4 +  [p. 232] 4) et II = (7 + 1), ni la permanence de la seconde totalité au travers des changements de distribution de ses éléments. Voici deux exemples :

Gin (5 ; 9) : « Est-ce qu’il y a à manger les deux jours la même chose, là (I) et là (II) ? — Non, il y a plus là (II). — Pourquoi ? — Il y a un gros paquet (7) et un petit (1). Là (I) il y a 4 et 4. —  Mais ça (7) et ça (1) ensemble, c’est la même chose que là (I) ? — Non, parce que là (7) il y en a plus. »

An (6 ; 11) : « Est-ce que c’est la même chose ça (I) et ça (II) ? — Non. Là (II. 1) il y a 1 et là (I. 4) il y a 4. — Combien est-ce qu’il y avait de bonbons avant, ici (II) ? (On reconstitue les deux carrés de 4, puis on enlève à nouveau, sous les yeux de l’enfant, 3 bonbons au premier des deux carrés pour les ajouter aux 4 bonbons du second.) Ce n’est pas la même chose, ça (II) et ça (I) ? — Mais non. Maintenant il n’y a qu’un ici (II 1) et là 4 (I 4). — Est-ce qu’on peut faire de nouveau 4 et 4 ici (II) ? — Oui (il le fait). — Tu manges la même chose les deux jours (4 + 4 et 4 + 4) ? — Oui. — Et maintenant (on refait 7 + 1) ? — Non, parce qu’il y a moins ici (II). »

Ces réponses caractéristiques du premier stade sont faciles à interpréter. D’une part, en effet, l’enfant ne considère pas la totalité II comme permanente bien qu’ayant lui-même déplacé 3 bonbons et transformé la structure 4 + 4 en une structure 7 + 1, ou l’ayant vu faire sous ses yeux. D’autre part, la comparaison de la structure 7 + 1 avec l’ensemble I (4 + 4) ne l’aide en rien pour découvrir cette permanence du tout. Il n’y a donc là que la répétition des phénomènes rencontrés sous toutes les formes au cours des chap. I-IV, à cette seule différence que dans le cas particulier l’enfant est invité à résoudre le problème de conservation par une simple addition des éléments en jeu. S’il n’y parvient pas, c’est que, une fois de plus, il se laisse guider par les rapports perceptifs au lieu de corriger ceux-ci au moyen de relations opératoires, et alors, selon qu’il compare à la collection I (4 + 4) l’ensemble 7 ou l’élément unique 1 qui forment à eux deux la collection II, il croit qu’il y a plus en II parce qu’« il y a un gros paquet » 7 > 4, ou qu’il y a moins parce que 1 < 4. Cependant ils comprennent bien qu’il faut comparer les termes (7 + 1) réunis à l’ensemble (4 + 4) : Gin dit, par exemple : « il y a un gros paquet (7) et un petit (1). Là (I) il y a 4 et 4 ». Ils n’en demeurent pas moins attachés aux seuls critères de perception immédiate, sans chercher à construire la somme opératoire 7 + 1 = 8 pour la comparer à celle de 4 + 4.

Au cours du second stade, par contre, l’enfant qui débute par les mêmes réactions en vient peu à peu à remarquer (ou est accessible à l’objection) que si l’on a 7 > 4, par contre on a aussi 1 < 4 et que ces deux inégalités se compensent peut-être :

[p. 233]Dini (6 ; 6) : « Est-ce que tu mangeras les deux jours la même chose de bonbons ? — (Il réfléchit longuement) Non. Il y a moins ici (I) parce qu’il y a plus ici (II 7). — Mais ici (II 1), il y a moins. Alors ? — (Très étonné.) Alors on a plus (montre II 7 et III). — Pourquoi ? — Parce que ça (II 7) c’est plus. — Comment est-ce qu’elle a fait, la maman ? (On refait 4 + 4 en II et il déplace 3 grains pour reconstituer 7 + 1.) Alors est-ce que tu manges la même chose les deux jours ? — Non, parce qu’ici (II 7) c’est plus et là moins (I 4) et ici (I 4) et là (II 1) moins. — Alors ? — (Mimique de surprise de l’enfant, qui vient de découvrir que, selon que l’on envisage l’une ou l’autre des deux figures 7 ou 1 composant l’ensemble II on trouve plus ou moins qu’en I) Ah ! Je crois qu’ici (I) c’est plus. — Pourquoi ? — … — Mais une fois tu dis qu’il y a plus ici (II) et une autre fois tu dis que c’est plus ici (I) ? — (L’enfant regarde longuement les deux ensembles, puis sur un ton qui trahit une sorte d’émotion il dit) : C’est tout les deux la même chose ! — Comment as-tu trouvé ? — J’ai bien regardé et j’ai vu qu’on pouvait mettre 3 (des 7 de II 7) ici (en II 1). »

Riq (7 ; 0) : « Ça fait la même chose ensemble, ça (II) et ça (I) ? — Non. —  Où y a-t-il le plus de bonbons ? — Là (II). — Pourquoi ? — Là (I) il y a 4 et 4 et là (II) il y a ça (7) et ça (1). » Mais sitôt formulée cette affirmation Riq semble hésiter : il regarde attentivement les figures II et déplace lui-même, lentement et un à un, les 3 jetons de II 7 qu’il replace en II 1 : « C’est tous les deux la même chose. Ça fait aussi 4 et 4. »

On voit l’intérêt de ces cas. L’enfant commence par réagir comme les sujets du premier stade : l’ensemble II cesse de conserver une totalité permanente dans la mesure où ses parties sont distribuées différemment et il est jugé plus nombreux ou moins que l’ensemble I selon que l’attention du sujet se porte sur le sous-ensemble de 7 jetons ou le sous-ensemble de 1. Il n’y a donc, au début, ni addition des éléments 7 + 1 ni par conséquent subordination des parties au tout. Par contre, à un moment donné, l’enfant s’aperçoit spontanément ou après suggestion (tandis qu’au premier stade il demeurait insensible à cette objection) que l’ensemble 1 + 7 paraît à la fois plus grand et plus petit que l’ensemble 4 + 4, selon que l’on a 7 > 4 et 1 < 4. Cette double comparaison simultanée, qui est explicite chez Dini, est tacite mais non moins claire chez Riq. C’est alors que l’enfant, contraint par cette interférence des relations, est conduit à les coordonner en un tout. De même que, au chapitre IV, nous avons vu l’enfant découvrir qu’une rangée, en s’allongeant, demeure identique du point de vue de la somme de ses éléments, parce que ceux-ci s’espacent d’autant, les relations de longueur et de densité interférant au lieu de se doubler, de même nous voyons maintenant comment l’enfant, en comparant la forme primitive d’une collection à ses transformations ultérieures, s’aperçoit que l’augmentation des éléments de l’un des sous-ensembles compense la diminution de ceux de l’autre. La coordination de ces relations rend ainsi possible [p. 234] l’élaboration d’une totalité permanente et, par cela même, la subordination des parties à un tout réel. D’où l’acte de vérification pratiqué par Riq, qui le conduit, par le déplacement de 3 éléments de II 7 à II 1 à reconstituer l’ensemble 4 + 4.

Ce passage de la non-conservation intuitive à la conservation opératoire nous permet à la fois d’assister à la genèse de l’addition et de comprendre la différence qui oppose cette addition arithmétique à l’addition logique des classes dont il a été question au cours du chapitre précédent.

L’addition est une opération réversible. Elle n’en est donc qu’à ses débuts lorsque, comme au premier stade, l’enfant ne comprend pas qu’une totalité R dissociée en deux parties A et A’ est toujours la même totalité. L’opération additive est constituée, au contraire, lorsque, d’une part, les addendes sont réunis en un tout mais encore, d’autre part, lorsque ce tout est considéré comme invariant quelle que soit la distribution de ses parties.

Quant à cette dernière, il est facile de vérifier, sur le présent exemple, le bien-fondé des critères que nous avons admis, à la fin du chapitre précédent, pour distinguer l’addition arithmétique de l’addition des classes. Appelons B₁ la classe des grains de l’ensemble II lors de sa première distribution (4 + 4) et désignons par A₁ et A’₁ les deux sous-ensembles de 4 et 4. Appelons B₂ le même ensemble II lors de sa seconde distribution (1 + 7) ; A₂ sera le sous-ensemble 1 et A’₂ le sous-ensemble 7. Au cours du premier stade, l’enfant ne parvient pas à coordonner toutes les relations en jeu, même en demeurant sur le plan qualitatif : il remarque tantôt que A₁ > A₂ et en conclut que B₁ < B₂, tantôt que A’₁ < A’₂ et en conclut que B₁ < B₂ les deux constatations étant correctes, mais les conclusions inexactes, faute de coordination entre ces deux relations. Au début du second stade, d’enfant parvient à constater simultanément que A₁ > A₂ et que A’₁ < A’₂. Cette coordination le conduit alors à découvrir que, si A₂ résulte de A₁ par soustraction de quelques éléments, et si A’₂ résulte de A’₁ par addition des mêmes éléments, alors les deux transformations se compensent. D’où l’identité de ces deux différences ², et par conséquent l’identité logique de B₁ et de B₂ :

(A₁ − A₂) = (A’₂ — A’₁)

d’où

A₁ + A’₁ = A₂ + A’₂ d’où B₁ = B₂.

[p. 235] Mais une telle coordination ne constitue qu’une quantification intensive (propre aux relations asymétriques et aux rapports d’extension entre classes, donc se traduisant simplement en + ; − ou =) et non pas encore extensive ou numérique. Ces transformations peuvent, en effet, s’obtenir sans compter les éléments : Riq, par exemple, a bien dénombré A₁ et A’₁ (4 et 4) mais n’a compté à aucun moment les 7 éléments de A’₂. Par contre, le passage de l’addition des classes à celle des nombres se produit dès que A₁ ; A₂ ; A’₁ et A’₂ sont considérés non plus comme de simples collections présentant chacune son individualité qualitative, mais comme des unités susceptibles d’être égalées sans être identifiées (égalisation des différences) ou réduites dans leurs inégalités, à un système d’unités servant de commune mesure. En effet, dès que, grâce à cette égalisation des différences, chaque grain ou chaque ensemble de grains devient une unité à la fois égale aux unités de même rang et distincte par son ordre d’énumération, alors les opérations acquièrent un sens numérique. Si nous appelons D la différence entre A₁ et A₂ ou entre A’₂ et A’₁ ; soit D = (A₁ − A₂) = (A’₂ − A’₁), alors le sujet établit que :

A₁ = A’₁ = (A₂ + D) = (A’₂ − D)

c’est-à-dire

4 = 4 = (1 + 3) = (7 − 3).

D’une manière générale, tous les éléments de ces diverses collections deviennent ainsi des unités à la fois équivalentes et distinctes (sériables) et c’est ce qui marque le passage de la quantification intensive ou addition des classes à la quantification extensive ou addition numérique.

Enfin, durant un troisième stade, qui correspond aux troisièmes stades des chap. I-VII, ces opérations numériques de composition additives fonctionnent instantanément, sans qu’il soit besoin au sujet de procéder à des coordinations intuitives préalables :

Laur (7 ; 3) : « Est-ce que ce sera la même chose les deux fois ? — Attendez. Là (7 + 1) c’est arrangé autrement que là (4 + 4) mais c’est la même chose parce qu’ici (II 7) il y a les 3 d’ici (II 1). — Combien il en mange ? — Là (I) 4 et 4 et ici (II) il commence par 1 puis ensuite les 5 autres. — Pourquoi 5 ? — Parce qu’il y en a 3 de plus. Ah ! non, ça 7. Il en a 8 les deux jours. » On voit que Laur fait une faute de calcul, ce qui montre bien qu’il a raisonné et non pas dénombré empiriquement, mais son raisonnement est parfaitement juste.

Ter (7 ½) : « Est-ce que tu manges les deux jours la même chose ? — La même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a la même chose. — Combien chaque jour ? — 8. — Mais ici (I 4) il y a 4 et ici (II 1) il y a seulement 1 ? — Oui, mais on a mis les 3 ici (II 7). »

[p. 236] On voit que l’enfant de ce niveau comprend immédiatement l’identité des différences (A₁ − A₂) et (A’₂ — A’₁), puisque, comme dit Ter « on a mis les 3 ici », ou Laur : « ici (A’₂) il y a les 3 d’ici (A₂) ». D’autre part, le sujet traduit également d’emblée ce transfert en termes numériques (4 + 4) = (1 + 7) sans éprouver le besoin d’un raisonnement qualitatif préalable. En bref, chaque sous-ensemble est conçu relativement à l’autre et tous deux relativement à leur somme : les relations en jeu forment dès lors un système opératoire tel que le tout, devenu invariant, résulte d’une composition par addition des parties, et que celles-ci, grâce aux soustractions et additions combinées, soutiennent entre elles des rapports univoquement déterminés.

Il est clair, d’autre part, que la compréhension de l’addition et de la soustraction arithmétiques en général suppose toutes ces conditions. On parvient, certes, à faire répéter verbalement, même aux enfants des stades précédents, des formules tirées de tables d’additions toutes faites, telles que 2 + 2 = 4 ; 2 + 3 = 5 ; 2 + 4 = 6 ; etc. Mais on n’obtient une assimilation réelle que si le sujet est capable de concevoir une somme telle que 6 comme une totalité englobant les addendes 2 et 4 à titre de parties et de situer les diverses combinaisons possibles en un groupe de compositions additives. Si ces conditions ne sont pas remplies, l’addition n’est pas comprise à titre d’opération : c’est ainsi que l’enfant du premier stade perçoit bien, lorsque l’on transforme (4 + 4) en (7 + 1), que l’un des sous-ensembles s’accroît, mais l’intuition d’une augmentation ne devient une addition que si cet accroissement est mis en réciprocité opératoire avec une soustraction (4 + 3) + (4 − 3) = 8. C’est cette solidarité de l’opération directe et de son inverse que nous allons maintenant étudier en un exemple simple et typique.

Le problème précédent nous a mis en présence d’un jeu combiné d’additions et de soustractions nécessaires à l’invariance d’un tout formé par composition additive. Il nous a paru intéressant d’étudier les réactions de l’enfant à un problème très analogue, mais dans lequel il s’agit de procéder de l’inégalité des parties à leur égalité et non plus l’inverse, et dans lequel aucune allusion ne sera plus faite à la totalité comme telle, l’enfant étant libre de la réaliser ou non dans la composition additive qu’on lui demande d’effectuer. Or, ce problème [p. 237] a donné lieu à des résultats complétant utilement les précédents. Pour les classer, il convient de distinguer le point de vue de la méthode suivie par l’enfant pour juger de l’égalisation obtenue ou à obtenir, et sa compréhension du mécanisme des additions et des soustractions.

Du premier de ces points de vue, les étapes de l’égalisation des quantités se sont trouvées les mêmes que celles de leur reproduction (voir chap. IV § 1-2), ce qui montre la constance des procédés d’évaluation et de contrôle dont nous avons parlé à cet égard. Durant un premier stade l’enfant, pour égaliser les quantités de 8 et de 14 qu’on lui présente, se borne à enlever quelques jetons du grand tas pour les ajouter au petit, en comparant globalement, au fur et à mesure et sans système, les résultats obtenus par ce transfert empirique. Durant le second stade, l’enfant construit lui-même spontanément des figures pour comparer et égaliser les deux collections de jetons qu’il a sous les yeux : ce sont ces figures spontanées qui nous ont poussés à étudier le mécanisme de la reproduction et de la correspondance qualitative aux mêmes âges (cette recherche sur l’égalisation ayant précédé notre analyse de la reproduction). Durant un troisième stade, enfin, l’enfant procède par correspondances univoques et réciproques, sans ou avec la numération verbale et les opérations qui en découlent. Mais il va de soi que la difficulté plus grande de ce problème peut engendrer un décalage entre l’âge moyen de ces stades et celui des étapes de la reproduction, bien que l’ordre de succession et les lois d’évolution soient les mêmes.

Du point de vue du mécanisme additif qui nous intéresse ici, on peut dire qu’au cours du premier de ces stades, l’enfant ne comprend pas la compensation nécessaire des additions et des soustractions, c’est-à-dire qu’en ajoutant un certain nombre d’éléments au tas A’ il ne s’attend pas à diminuer d’autant le tas A. Durant le second stade, l’enfant prend conscience de ce balancement, mais seulement sur le plan intuitif, c’est-à-dire qu’en dehors des figures il ne possède plus de moyen pour vérifier les égalités ni donc pour prévoir le résultat des additions et des soustractions. Enfin durant le troisième stade, il parvient à un maniement opératoire des transferts et par conséquent à une réversibilité bien réglée.

Voici des exemples du premier stade :

Jac (5 ans) A = 8 ; A’ = 14 : « Où il y a plus ? — Là (A’). — Fais que ce soit la même chose. — (Il déplace un nombre fortuit d’éléments d’A’ en A, d’où A = 13 et A’ = 9.) — Il y a la même chose ? — Non. » Alors Jac déplace [p. 238] une série de fois, dans les deux sens, les jetons du grand tas au petit, en regardant uniquement ce dernier pendant le transfert, comme si le grand était inépuisable. D’où les situations successives : A = 6 et A’ = 16 ; A = 15 et A’ = 7 ; A = 6 et A’ = 16 puis enfin A = 17 et A’ = 5, après quoi il renonce.

No (5 ; 6) A = 8 ; A’ = 14 : « Nous avons la même chose ? — Non. — Arrange que ce soit pareil. — (L’enfant déplace par hasard 3 jetons ce qui donne bien A = A’. Mais l’espace occupé et la densité ne sont pas les mêmes.) — Maintenant ça va ? — Non. » Il rajoute encore 2 de A’ à A, puis rend 4 à A, d’où A’ = 13 et A = 9.

Gil (5 ; 5) A = 10 et A’ = 16 : Il transfère des jetons de A’ en A et arrange les tas sans faire de figures mais en les disposant sur des surfaces grossièrement égales, d’où A = 15 et A’ = 11 : « C’est la même chose ? — Oui. — Montre pourquoi. — (Il désigne du doigt chaque tas) Ici et ici. —  Comment tu sais ? — Mon papa m’a appris à compter sur mes doigts. »

Ha (4 ; 5) A = 8 et A’ = 14. Il prend 2, puis 2 qu’il ajoute à A, d’où A = 14 et A’ = 8 : « C’est la même chose maintenant ? — Non. (Il enlève 4 à A, d’où A = 10 et A’ = 12.) — Ça va ? — Non (il déplace encore 1 jeton d’où A = A’ = 11). »

Li (4 ; 9) enfin, annonce le stade suivant en ce qui concerne l’égalisation des petites quantités, mais demeure dans le premier pour ce qui est des nombres précédents. Pour A = 8 et A’ = 14, il enlève 1, puis 1 puis 2 à A’, d’où A = 10 et A’ = 12 : « C’est la même chose ? — Oui. » Pour A = 4 et A’ = 6, il enlève un jeton de A’ puis arrange deux figures de 5 consistant en carrés avec un jeton au centre.

Les réactions de ce premier stade sont d’un grand intérêt pour la compréhension du mécanisme de la composition additive. Au point de départ, en effet, l’enfant qui cherche à égaliser les deux collections n’a aucune notion du fait qu’en augmentant l’une il diminue l’autre. Or, que nous effectuions ou non la somme 8 + 14 = 22, il va de soi que pour résoudre ce problème nous postulons implicitement ou explicitement l’existence d’un tout invariant B, tel que l’on ait A + A’ = B ; A = B − A’ et A’ = B − A. Il s’ensuit que pour toute valeur n ≤ A’ on aura toujours (A + n) + (A’ − n) = B et pour toute valeur n ≤ A on aura toujours (A − n) + (A’ + n) = B, c’est-à-dire que tout accroissement de A diminue A’ et réciproquement. En d’autres termes, pour l’esprit rationnel ce problème de l’égalisation dont la solution, si A’ − A = 2n, est A + n = A’ − n, est exactement le même que celui du § 2, sauf que l’opération demandée est inverse. Or, tout se passe chez l’enfant de ce niveau comme s’il ignorait que les jetons posés devant lui constituent un tout invariant B et que par conséquent les jetons ajoutés à A sont nécessairement soustraits à A’ ou l’inverse. On pourrait cependant objecter que l’enfant sait bien qu’il soustrait puisqu’il prend effectivement les jetons du tas A’ pour les transférer en A ! Mais précisément, nous prétendons qu’en un tel cas il n’y a ni soustraction ni addition véritables, c’est-à-dire opératoires, [p. 239] mais simplement actions empiriques à résultat fortuit et imprévisible pour le sujet : en effet, ces opérations ne se constituent comme telles qu’en fonction d’une composition réglée, parce que réversible, du tout et des parties, c’est-à-dire en fonction soit d’un « groupement » logique, soit d’un « groupe » arithmétique. Or, au début du présent stade, l’enfant ne conçoit pas, et l’on pourrait presque dire ne perçoit pas les deux collections A et A’ en fonction l’une de l’autre : il perçoit bien que A’ > A, aussi veut-il ajouter des jetons à A pour l’égaliser à A’, mais, ce faisant, il oublie A’ et ne le regarde même plus lorsqu’il lui enlève les éléments destinés à A. C’est ainsi que Jac ne regarde que la plus petite collection pendant ses transferts et aboutit ainsi à renverser sans cesse les proportions, passant de (8 + 14) à (13 + 9) puis à (6 + 16), à (15 + 7), à (6 + 16) puis même à (17 + 5) ! Or, si le cas de Jac est particulièrement frappant, on trouve toutes les transitions entre ce comportement et celui des sujets qui, comme Ha et Li, finissent par trouver l’égalité par tâtonnements et comparaisons des figures et annoncent ainsi le deuxième stade.

Les totalités perçues et conçues par l’enfant de ce stade sont donc bien, comme nous le disions au § 1, à la fois rigides et fragiles, ou, si l’on préfère, à la fois globales et fluentes. Elles sont rigides parce que perçues globalement en des blocs supposés inépuisables — par exemple lorsque Jac attribue peu à peu 17 éléments à l’une des collections comme si l’autre ne diminuait pas d’autant — mais elles sont aussi fragiles ou fluentes parce qu’aucun principe de conservation n’assure leur permanence, faute de totalité B qui réunisse A et A’ en un système stable malgré leurs covariances. Au contraire, pour l’esprit capable de composition additive réelle, les totalités sont à la fois mobiles et solides, mobiles en leur composition et solides en tant qu’invariantes, puisque, quelles que soient les valeurs A et A’ on a toujours A + A’ = B.

La tendance observée chez le dernier de nos sujets du premier stade (Li), à arranger les jetons en figures comparables pour les égaliser, apparaît précisément, à un moment donné, comme une réaction à ces difficultés. Une fois généralisé à toutes les opérations d’égalisation, ce procédé caractérise un second stade, dont voici des exemples :

Fel (5 ; 4) A = 8 et A’ = 14. Fel prend au hasard 3 éléments de A’, les ajoute aux A puis arrange en cercle chacune des collections, en laissant 3 ou 4 éléments à l’intérieur. Il s’ensuit, pour A un cercle de 7 jetons plus 4 au milieu, et pour A’ un cercle de 8 jetons plus 3 au milieu : « Il y a la même chose ? — Oui. » [p. 240] Mais il n’est pas certain que Fel perçoive l’identité du nombre des éléments et qu’il ne se contente pas encore d’une évaluation fondée sur l’analogie des figures. Nous lui donnons alors A = 10 et A’ = 20. Il procède de même mais parvient cette fois par tâtonnements successifs à une similitude complète des figures : deux cercles de 11 avec 4 jetons au centre : « Ça fait juste autant ? — Oui. — Comment tu sais ? — Parce que c’est rond. » Par contre, lorsque nous modifions l’arrangement de A’ en ne laissant que 3 éléments au centre contre 12 en cercle, Fel ne croit plus à l’équivalence et pense que A’ > A. La figure, de facteur de correspondance qualitative, devient donc source d’équivoque dès qu’on l’altère.

Nous présentons alors à Fel deux figures : A comprend 12 jetons (9 en cercle et 3 en ligne horizontale sur le diamètre) et A’ 22 jetons (16 en cercle et 6 en ligne horizontale sur le diamètre) : « Fais qu’il y ait la même chose. — (Il prend 3 des 6 jetons du centre de A’ et les ajoute aux 3 de A, d’où A = 9 + 6 et A’ − 16 + 3.) — Ça fait juste ? — Presque. Non, c’est toujours là (A) qu’il y a moins. (Il ajoute encore des jetons à A, puis en enlève, d’où A = 18 dont 11 en cercle et A’ = 16 dont 12 en cercle et 4 au centre.) — Qui mangera le plus. — Moi (A’) parce que le rond est grand. — Mais qui a plus au milieu ? — Ah ! c’est vrai (il ajoute 1 jeton au centre de A’ en le prenant dans la circonférence). — C’est la même chose ? — (Il veut enlever quelques éléments du centre de A mais il se ravise) : Non, parce qu’il y en aura 3 alors ! » Il renonce, la figure n’étant plus pour lui que source de difficultés insurmontables.

Tho (6 ; 2) A = 8 et A’ = 12. Il prend de A’ 2 éléments puis 1 + 1. D’où A = 12 et A’ = 8. Il arrange alors les 12 jetons de A en un rectangle formé de 4 rangées superposées de 3, puis arrange A’ en un quadrilatère moins régulier : « C’est autant ? — (Il regarde, puis après quelques hésitations répartit les 8 éléments de A’ en 4 rangées de 2, ce qui rend ce rectangle comparable à A) : Non, il y a plus là. » Il arrange A en 6 couples superposés, puis égalise les longueurs de A’ et de A en répartissant le surplus terme à terme.

Gin (5 ; 9) A = 10 et A’ = 20. Il arrange d’emblée deux figures parallèles formées de 5 couples pour A et de 10 couples pour A’. Puis il supprime la moitié de A’ et répartit cette différence couple par couple.

Comparés aux réactions du premier stade, ces comportements marquent le début de la composition additive, mais sur un plan purement intuitif. Par le fait même qu’il réduit les tas inégaux à des figures, l’enfant est bien obligé de les comparer sans cesse et de s’apercevoir que tout transfert de A’ en A est à la fois une addition pour A et une soustraction pour A’. Seulement, comme le montre le cas de Fel, il suffit d’altérer la figure pour que l’égalité cesse, car il n’y a pas encore conservation opératoire. Par conséquent, il ne saurait y avoir de totalité invariante B = A + A’, mais seulement des totalités mieux structurées grâce à l’intuition spatiale. Du point de vue de la composition additive comme de celui de la méthode d’évaluation, le deuxième stade est donc bien à mi-chemin entre l’incohérence du premier et la cohérence opératoire du troisième. On trouve d’ailleurs naturellement toutes les transitions entre ces niveaux. Ainsi le cas de Gin nous conduit presque à la méthode d’égalisation [p. 241] par pure correspondance (mais cet enfant ne parvient pas encore à la notion de la constance des collections).

Au cours du troisième, par contre, les progrès de la correspondance permettent à la fois à l’enfant d’utiliser ce procédé comme instrument d’égalisation et de constituer une équivalence indépendante de l’arrangement des éléments, d’où la possibilité d’une composition additive proprement opératoire :

Fa (5 ; 6) pour égaliser A = 8 et A’ = 14, dispose les jetons de A en une série de 4 couples puis met en regard une série de 4 couples d’éléments pris à A’. Quant aux 6 jetons restants de A’, il en met un couple de chaque côté puis un jeton isolé de réserve. C’est donc presque exactement la méthode suivie par Gin, sauf que celui-ci tâtonne encore et ne se base que sur l’inspection des figures, effectuant la correspondance a posteriori, tandis que Fa organise la correspondance d’avance et croit à la conservation indépendamment de l’arrangement (voir chap. IV).

An (6 ans) pour égaliser les mêmes ensembles met d’emblée les 8 jetons de A en série linéaire et place en regard les éléments de A’ jusqu’au 8^e pour sérier à part les 6 restants. Il enlève alors 2 jetons à ces derniers puis encore 1 pour les ajouter à A ce qui donne 11 = 11.

Laur (7 ; 3) pose les 8 jetons de A en ligne et les compte, puis il distrait 8 jetons du tas A’ (14) et les met en face des premiers, mais en rangée serrée. Après quoi il répartit le reste de 6 (sans les compter), 2 de chaque côté, encore 2, puis 1.

Que l’enfant sache dénombrer les séries ainsi ordonnées ou qu’il se borne à une correspondance visuelle terme à terme, la nouveauté du stade est qu’en organisant l’égalisation, l’enfant sait déjà que si A’ > A, il y aura un surplus A’ − A à partager. En outre, et par cela même, l’enfant attribue d’avance la permanence à l’ensemble A’ conçu comme formé d’une partie A₂ égale à A et de (A’ − A₂) c’est-à-dire de la partie restante. On a donc un système d’emboîtements hiérarchiques : A’ = A₂ + (A’ − A₂) et B = A + A’, d’où B = A + A₂ + (A’ − A₂). Le cas de Laur est spécialement net à cet égard : il dissocie d’emblée A₂ de A’, c’est-à-dire la partie de A’ égale à A, puis il répartit en deux moitiés le résidu (A’ − A₂). Mais Fa déjà ne fait pas autre chose en commençant par construire 2 rangées de 4 couples pour partager le reste. Et An agit de même avec un peu moins de précision.

Ne pourrait-on pas dire alors que, dès le second stade, l’enfant s’attend à un résidu (A’ − A) en construisant ses figures et que, par conséquent, nous sommes en présence, dès ce niveau, d’une composition additive ? Mais la grande différence est que les sujets de ce second stade ne peuvent déterminer la valeur du résidu (A’ − A) [p. 242] que précisément au moyen de leurs figures, c’est-à-dire après coup et sans coordonner d’avance les relations en jeu. Le résidu (A’ − A) n’est donc pas encore dû à une soustraction numérique mais au transfert empirique d’une collection d’ordre simplement intuitif et l’on ne saurait parler à ce sujet de composition arithmétique. Preuve en soit qu’il n’y a pas conservation : ainsi Fel croit à l’équivalence de A et de A’ tant que les figures qu’il a construites restent qualitativement semblables, mais si l’on altère l’une sans enlever aucun élément et en se bornant à en déplacer un ou deux à l’intérieur de cette figure, l’équivalence n’est plus admise. Au contraire, c’est au moyen d’une décomposition préalable des ensembles que le sujet du troisième stade construit ses égalités : aussi sont-elles durables, parce que la conservation résulte d’une composition devenue mobile et réversible.

Une fois de plus, en bref et en liaison avec tout ce que nous avons vu jusqu’ici, les opérations de l’addition et de la soustraction numériques ne s’affirment en tant qu’opérations que du moment où elles sont composables en une construction réversible ou « groupe » (le groupe bien connu de l’addition des nombres entiers), en dehors duquel il ne peut y avoir qu’intuition et qu’empirisme fragiles. Mais il nous reste à vérifier que ce groupe est bien issu du « groupement » des additions de classes par le même processus d’égalisation des différences dont il a été question au § 2.

Nous constatons d’abord que si l’enfant du second stade part, comme les précédents, de l’inégalité A > A’, il ne peut réunir A et A’ en un tout A + A’ = B que dans la mesure où ce tout est l’objet d’une intuition actuelle, tandis que dorénavant le tout demeure invariant. Dès lors, l’enfant du troisième stade sait bien que tout sous-ensemble ajouté à A est par là même soustrait à A’. Si ce sous-ensemble est X, alors on a donc (A + X) + (A’ − X) = B, ce qui marque l’achèvement du groupement logique des classes en présence mais ne permet pas de résoudre la question de l’égalisation numérique de A et de A’. Par contre, si l’enfant décompose (comme Laur, etc.) la classe A’ en une sous-classe A₂ plus le résidu (A’ − A₂) et comprend que A + A₂ + (A’ − A₂) = B (ce qui est encore de la simple logique des classes), il lui suffira d’égaler A₂ et A, c’est-à-dire de trouver en A’ un second ensemble A correspondant terme à terme au premier A, pour pouvoir poser l’addition arithmétique A + A₂ = 2 A, d’où A’ = A + (A’ − A). Et s’il dénombre le résidu (A’ − A₂), alors (A’ − A₂) = 2n, d’où (A + n = A’ − n) et A + A₂ + 2n = B.

[p. 243] D’où la solution correcte (A + n = A₂ + n) qui est celle de ce stade. On voit donc que, une fois de plus, l’apparition des opérations numériques se caractérise par un processus d’égalisation des différences, les classes ou les unités en jeu étant rendues à la fois égales et distinctes grâce à ce mécanisme général.

Il va de soi que les stades du partage seront les mêmes que précédemment, la seule différence entre les deux épreuves étant qu’au lieu de partir de deux collections inégales qu’il s’agit de rendre équivalentes, l’enfant doit dissocier d’abord une quantité donnée en deux parties, quitte à les égaliser après coup grâce aux mêmes procédés s’il n’a pu les construire d’emblée semblables.

Il est vrai que le partage semble au premier abord relever de la composition multiplicative et non pas additive (une ½ est une division). Mais, un tout quelconque étant la réunion de ses deux moitiés, on peut étudier l’égalité A + A = 2 A en tant qu’additive, à plus forte raison si l’enfant procède empiriquement, en répartissant d’abord la classe B en deux sous-classes A + A’ pour ne les égaliser qu’après. Le problème que nous nous posons ici est donc uniquement de savoir selon quel processus l’enfant parviendra à transformer l’opération logique B = A + A’ (qu’elle soit intuitive ou opératoire) en une opération numérique A₁ + A₂ = 2 A, autrement dit comment, en partant de leur somme, l’enfant parvient à construire deux collections égales.

Au cours d’un premier stade, en effet, l’enfant ne parvient à concevoir ni l’égalité du tout et de la somme des parties, ni l’équivalence durable des deux moitiés entre elles, même lorsqu’il les a constituées par distribution des éléments terme à terme en deux collections correspondantes. Voici des exemples :

Arl (5 ans) est invitée à partager 18 jetons : « Donne à toi et à moi pour que nous ayons juste la même chose. — (Arl couvre le tas de ses deux mains et le partage en deux globalement. Le résultat se trouve être par hasard de 9 et 9, mais l’une des moitiés occupe plus d’espace que l’autre.) — On a autant ? — Non. — Qui a plus ? — Vous (le tas le moins dense). — Fais que nous ayons la même chose. — Il faut changer. » Arl intervertit alors simplement les deux collections comme si cela suffisait à assurer l’égalité (dans l’hypothèse de deux tas inégaux) ! Il y a donc là un exemple absolument pur des réactions notées au cours du premier stade du § 3.

Partager 20 : d’un geste unique de la main Arl partage le tas en deux parties de 9 et 11, puis arrange les jetons de A en une surface vaguement rectangulaire pour arranger le tas A’ en une figure globale ressemblante. « C’est autant ? — Oui. — (On resserre les éléments de A’.) Et maintenant ? — Non. »

[p. 244]Co (5 ans), comme d’autres cas de ce premier stade, distribue les jetons un à un, ce qui semble être une opération de correspondance supérieure à ce niveau, mais on va voir qu’il n’en est rien : après avoir distribué un contre un 18 jetons en deux tas de 9 et 9, Co n’est pas certain d’égalité de ces moitiés ! « J’ai la même chose que toi ? — (Il regarde les deux tas qui sont de densité légèrement différente, puis cherche à les rendre semblables.) — Mais comment tu as partagé ? — … — C’est autant ? — Non. — Comment sais-tu ? — (Il arrange les tas.) »

D’autre part, étant donnée la méthode de distribution adoptée spontanément par Co et ses semblables, nous avons appliqué à ce problème du partage la technique décrite au § 1 du chap. II :

Mal (5 ans) est invité à partager entre deux poupées posées sur la table 16 jetons en les posant un à un et à tour de rôle en deux boîtes vides situées devant les poupées : « Elles ont la même chose ? — Oui. — (Nous versons le contenu des boîtes devant les poupées, l’une ayant un tas de 8 plus serré que l’autre.) — Non celle-là a plus (le tas le plus espacé). » Mêmes réactions lorsque les éléments sont placés simultanément et par l’enfant lui-même dans les boîtes, l’un avec la main gauche et l’autre avec la main droite. (Cf. chap. II § 1, cas de Port et Gfe en fin d’interrogatoires.)

Ces réactions synthétisent ainsi tout ce que nous avons vu du premier stade quant à la composition additive. En effet, nous constatons grâce à ces sujets que, même dans le cas d’une composition aussi simple que A₁ + A₂ = 2 A (= B), les enfants de ce niveau demeurent incapables de concevoir d’une façon durable l’égalité du tout B et de la somme des parties A₁ + A₂, et cela parce que, même en établissant par distribution 1 à 1 l’égalité A₁ = A₂, il leur arrive de croire ensuite à A₁ ≶ A₂ selon l’arrangement des éléments. En effet, Co ou Mal, même en distribuant les jetons 1 à 1 (conduite que l’on retrouve à tous les niveaux, mais avec des significations bien différentes), ne jugent du résultat que par comparaison globale des collections A₁ et A₂ et sans postuler leur équivalence durable.

Durant le second stade, le partage ou plutôt la construction des deux parties égales s’opère grâce à la comparaison qualitative de figures de mieux en mieux structurées :

Pi (5 ; 1) prend, dans la collection totale de 18, un jeton après l’autre et les distribue en deux sous-ensembles, en se trompant d’ailleurs d’une unité, de telle sorte qu’il aboutit à 10 et 8. Il arrange ensuite chaque tas en une série de couples et compare les longueurs des figures ainsi obtenues. Il espace d’abord un peu les couples de la figure de 8 jetons, de manière à lui donner la même longueur qu’à l’autre. Mais, constatant la différence de densité, il enlève un jeton à 10 pour l’ajouter à 8, d’où deux collections semblables de 9 : « C’est autant ? — Oui. —   [p. 245] (On dispose les 9 éléments de A₁ sous forme de deux rangées de 6 et 3.) Encore ? — Non. — Pourquoi ? — J’ai plus (= A₂ la figure inchangée). »

Char (6 ans) débute comme Pi, avec la même erreur d’un jeton, puis arrange A₁ (10) en 2 rangées de 3 plus 2 jetons isolés, tandis que A₂ (8) reste dispersé. « C’est la même chose ? — Oui. Ah ! non, il y a plus. » Il met alors A, en 2 rangées de 4 également, puis ajoute 2 à A, ce qui renverse l’inégalité et enfin place 1 élément au sommet de chaque figure, d’où 9 et 9.

Tho (6 ans) pour partager 18 fait 2 carrés de 9 et se déclare satisfait après comparaison du détail des figures. Mais pour partager 24, il arrange un carré de 9 et un rectangle de 12, puis il ajoute le reste de 3 au carré de 9, d’où 2 rectangles de 12. Seulement, comme il a rajouté ces 3 jetons sous le carré de 9, tandis que le rectangle de 12 est couché, il est en présence de deux figures semblables mais différemment orientées, et n’est pas rassuré du tout : « Nous avons la même chose ? — … — Un a plus que l’autre ? — Oui, là (le rectangle dressé). » Il défait alors le rectangle couché et le reconstruit en hauteur !

C’est là un beau cas de correspondance qualitative par opposition à la correspondance quantitative : il suffit d’une différence d’orientation des figures pour troubler le sujet.

On voit que les réactions de ce second stade sont exactement comparables à celles du stade correspondant dans le cas de l’égalisation de deux collections inégales : comparaison par figures sans équivalence durable ni conservation de la totalité. On ne saurait donc encore parler de composition additive, mais seulement de comparaisons, de réunions ou de dissociations intuitives.

C’est l’œuvre du troisième stade que de procéder à la composition proprement dite :

Dré (6 ; 10) répartit 18 jetons 1 par 1 ou 2 par 2 en deux collections de 9 et se déclare sûr de l’égalité de celles-ci, même lorsque l’on altère leur arrangement.

Laur (7 ; 3) partage 18 en répartissant les éléments 2 par 2 jusqu’au couple restant dont il place 1 jeton sur chaque tas : « Est-ce que c’est la même chose (en espaçant les termes de la seconde collection) ? — Sûr. — Pourquoi ? — Parce que j’ai mis la même chose des deux côtés. —  Et tout ça (en remettant le tout en un seul tas) c’est la même chose que les deux paquets ? — Sûr, parce qu’on a partagé et après vous avez tout remis comme avant. »

On assiste ainsi à l’achèvement de la composition additive grâce à l’égalité durable des deux parties considérées comme unités et à l’égalité de leur somme avec le tout initial. On comprend par là même le passage de la composition additive à la composition multiplicative. Une multiplication arithmétique est une équi-distribution, telle que si n × m on ait n collections de m termes, ou m collections de n termes, qui correspondent bi-univoquement entre eux. Dès lors l’addition A₁ + A₂ = 2 A est par cela même une multiplication, laquelle signifie que la collection A₁ est doublée par une autre collection A₂ lui correspondant [p. 246] de façon bi-univoque et réciproque. De même l’addition des classes A + A’ = B étudiée au chapitre précédent implique, une fois constituée (ou pour se constituer), une multiplication B × (A + A’) = B A + B A’ signifiant que chaque perle considérée est à la fois en bois (B) et brune (A) ou non brune (A’). D’où la division logique qui est l’abstraction ou dissociation des classes, soit A B : B = A ; et la division arithmétique 2 A : 2 = A dont nous venons de voir un exemple avec la partition. Qu’elles soient numériques ou n’intéressent que les classes qualitatives comme telles, les compositions additive et multiplicative sont donc solidaires et la conquête psychologique de l’une implique celle de l’autre. C’est ce que nous verrons à nouveau au cours du chapitre suivant. Auparavant il convient de terminer cette analyse de la composition additive par une brève conclusion.

On voit donc que ces diverses épreuves de composition additive concordent entre elles. Dans chacune des trois, on trouve un stade initial de non-composition, un stade intermédiaire de composition intuitive et un stade terminal de composition proprement dite, définie par l’invariance du total et la réversibilité des opérations qui la constituent, ces trois stades correspondant, d’autre part, à tous ceux que nous avons décrits au cours des chapitres précédents.

La composition additive est donc d’apparition tardive, malgré les apparences. Or, à considérer les faits d’observation courante qui caractérisent les débuts de la numération parlée, il semblerait, au premier abord, que l’addition soit comprise dès la constitution des premières collections pourvues d’un nom de nombre, telles que 2, 3 ou 4, et cela soit sous la forme de réunions ou colligations, soit sous celle d’énumérations cumulatives. Nous aimerions montrer brièvement qu’il n’en est rien, que l’addition suppose bien les conditions analysées tout à l’heure et qu’en particulier dans les conduites spontanées, la synthèse de la colligation et de l’énumération est nécessaire pour parvenir à ce niveau opératoire qui définit le nombre proprement dit.

Commençons par l’énumération, dont beaucoup d’auteurs ont considéré qu’elle impliquait l’addition dès ses formes primitives. C’est ainsi que Preyer interprète comme un début d’addition le comportement d’un enfant qui saisissait successivement toutes les quilles d’un ensemble en disant chaque fois « une, une, une » puis « une, encore une, [p. 247] encore une ». À quoi K. Bühler a répondu avec raison ³ que l’addition réelle ne saurait commencer avant une conscience claire de la somme. Decroly ⁴ note sur S. le terme « encore » à 1 ; 7 mais dans le sens d’une « invitation à répéter un acte ». Par contre à 1 ; 8, S. dit « aco » en replaçant les cartons d’un jeu, qu’elle a lancés à terre, et cela pour désigner deux cartons non encore replacés. À 1 ; 11, S. dit à nouveau « encore » pour désigner un chat après en avoir vu un premier. Dans ces deux exemples, Decroly trouve un début de « signification d’addition », mais il est clair que cela ne saurait être dans le sens de la constitution d’un tout invariant : il ne s’agit que d’une simple conscience de succession avec le sentiment plus ou moins précis de l’épuisement ou de l’accroissement des totalités globales considérées. C’est quelque chose comme la notion que nous avons en découpant une pièce de drap : qu’elle finira nécessairement par s’épuiser. Bien entendu, si qualitative qu’elle soit, cette énumération enveloppe déjà la quantité, puisqu’elle est susceptible de plus (« encore ») et de moins (« ne… plus » ou « plus du tout »). Mais c’est une quantification non encore numérique ou extensive, car « un » ou « encore un » ne sont pas plus des unités de nombres que des éléments de classes. Cette quantification serait celle des classes en extension si l’enfant de ce niveau était capable d’inclusions invariantes, ou celle de la sériation s’il parvenait à coordonner les relations asymétriques. Mais comme l’une et l’autre de ces opérations le dépassent, même sur le plan intuitif, on ne saurait parler que de « quantités brutes » ou élémentaires au sens où nous avons pris ces termes au cours des chap. I et II. Il ne saurait donc être question, en de tels faits, d’addition proprement dite.

Trouvera-t-on, par contre, les sources de l’addition dans la « colligation » au sens de Husserl ? On sait que dans ses Logische Untersuchungen, où il a analysé si profondément la notion de colligation, M. Husserl oppose radicalement cette dernière, qui constitue pour lui les ensembles d’ordre catégoriel, aux qualités totales de nature simplement perceptive (« quasi qualitative Momente » ou « figurale Momente »). Or, il est clair que les figures globales au moyen desquelles les enfants de notre premier stade, tant dans les expériences sur la conservation (chap. I-II) que sur la correspondance et la reproduction des ensembles (chap. III-IV), évaluent les quantités, relèvent précisément des qualités totales d’ordre perceptif et nullement [p. 248] encore de cette colligation que Husserl appelle catégorielle étant donnée sa philosophie phénoménologique et qui, pour le psychologue, est opératoire. Au niveau des énumérations élémentaires, aucune opération ne permet donc à l’enfant de parvenir à une « colligation » des unités en une totalité réelle, c’est-à-dire stable.

Or, il est clair que les caractères de l’énumération et ceux de la totalisation élémentaires sont corrélatifs ou mutuellement dépendants. Si l’énumération primitive « encore, encore, etc. » n’est pas additive, c’est faute d’aboutir à une totalité stable et si la totalisation primitive n’atteint pas le niveau de la colligation et demeure à celui des collections globales et intuitives, c’est faute d’énumération additive. Il existe, en effet, un rythme régulier d’interactions entre les deux mouvements complémentaires d’analyse des éléments et de synthèse marqués par l’énumération et la totalisation. Dès le premier stade, il y a bien conscience des totalités et conscience des éléments, mais ces deux sortes de perceptions se succèdent sans se réunir, d’où le caractère de syncrétisme global des premières et de juxtaposition non additive des secondes. Dans la suite du développement, au contraire, la colligation du tout s’harmonisera toujours mieux avec la sériation des éléments, d’où la construction progressive du nombre et des opérations de composition additive (et multiplicative). Mais, au début, les deux processus demeurent à l’état d’indifférenciation chaotique.

Sans doute, pour les petites collections — deux, trois ou quatre — y a-t-il déjà perception simultanée du tout et des éléments. Il y a donc, en de tels cas, un début de réunion, ou si l’on préfère dire avec Husserl, de fusion (Verschmelzung), mais sans éléments antérieurement isolés. Seulement cette réunion reste indifférenciée et peut constituer une classe aussi bien qu’un nombre, selon que l’esprit s’oriente vers la classification conceptuelle ou l’addition d’unités sériables. Mais, en dehors de ces exemples privilégiés, qui engendrent ce que l’on pourrait appeler les nombres intuitifs 1 à 4 ou 5, ou nombres adhérant encore aux choses nombrées et participant de la perception plus que de l’opération, les enfants du premier stade ne savent pas effectuer l’énumération et la totalisation en fonction l’une de l’autre. D’où leur incapacité à la mise en correspondance terme à terme, qui suppose précisément la réunion en un seul tout de ces deux processus.

Il va de soi, en effet, que ni l’énumération primitive ni la totalisation globale ne suffisent, considérées isolément, à assurer l’apparition de la correspondance. Par contre, lorsque, en comparant des [p. 249] figures, le sujet parvient à établir la ressemblance dans le détail des éléments en même temps que dans la forme d’ensemble, alors une première synthèse devient possible entre l’énumération et la totalisation et une synthèse qui engendre précisément la correspondance terme à terme, mais sur le seul plan intuitif : d’une part, l’examen de cette totalité que constitue la figure fournit une sorte de colligation intuitive, et d’autre part, l’énumération possible des éléments se traduit en sériations fondées sur leurs positions ou toute autre qualité directement perçues. C’est cette synthèse intuitive de l’énumération devenue sériation et de la totalisation devenue composition figurée qui caractérise le second stade, ainsi que cette sorte d’anticipation du second stade que l’on observe dès le premier au sujet des petites collections de 1 à 4-5 objets.

Or, la synthèse intuitive marque un progrès évident dans le sens de la composition additive. En premier lieu toute énumération devenue, sériation perceptive est susceptible de se traduire en addition, les augmentations (« encore un, encore un… » etc.) ou diminutions (« moins ») étant dorénavant encadrées par la colligation intuitive de la figure elle-même. En second lieu, toute évaluation fondée sur les figures aboutit aussi à une réunion additive des collections ainsi structurées. Mais il faut bien comprendre que l’addition sériale, qui n’est pas commutative, et l’addition des classes, qui est commutative, ne peuvent ainsi se fondre l’une dans l’autre en addition arithmétique que dans la mesure où l’intuition perceptive les réunit momentanément, et l’expérience montre précisément que, durant tout le second stade, cette synthèse se brise dès que la figure est altérée : le tout cesse alors de se conserver et l’addition sériale perd dès lors son sens numérique possible. Il n’y a donc point encore d’addition opératoire à ce niveau.

Au cours du troisième stade, au contraire, il s’établit une synthèse durable entre l’énumération et la colligation, devenues ainsi l’une et l’autre opératoires et indépendantes des figures perçues : en énumérant les éléments d’un ensemble, l’enfant devient donc capable de comprendre que chaque rang occupé par l’un des termes de cette série est défini par rapport à la collection même des éléments ainsi sériés, cette collection constituant d’autre part une totalité invariable. D’où, lorsque les qualités interviennent, l’addition sériale ou sériation qualitative a→ + a’→ = b→ ou l’addition des classes A + A’ = B, impossibles à fusionner sur ce plan qualitatif, et, lorsque l’on fait [p. 250] abstraction des qualités, l’addition numérique A + A = 2 A qui réunit en un seul groupe l’énumération sériale et la colligation, c’est-à-dire l’ordination et la cardination finies (quitte à les dissocier dans le transfini ou les cardinaux « aleph » sont définis comme classes et les ordinaux « oméga » comme relations).

Or, il est clair que cette coordination progressive de la colligation et de l’énumération, ce qui est une autre manière de parler de la synthèse de la classe et de la relation asymétrique, s’explique par la réversibilité graduelle de la pensée, tandis que leur incoordination initiale ainsi tient à l’irréversibilité propre à l’intuition ou à la perception immédiate. Il est évident, en effet, que si la totalisation et l’énumération initiales ne sont pas coordonnées entre elles, c’est que la perception d’une collection comme telle ou d’un tas et la perception de ses éléments examinés successivement n’ont rien de commun pour l’enfant : elles se succèdent, le sujet peut même en venir à admettre un retour empirique de l’une à l’autre, mais l’une ne conduit pas à l’autre nécessairement. Avec la correspondance intuitive, un progrès est fait dans la coordination, en ce sens que l’enfant peut énumérer les éléments d’un ensemble au moyen de ceux d’un autre ensemble tout en considérant le premier comme une totalité fermée : la colligation et l’énumération deviennent ainsi en quelque sorte co-réversibles, c’est-à-dire que l’une apparaît comme l’opération inverse de l’autre au sein d’un même champ de perception. Mais, si l’on altère ensuite la configuration de l’un des ensembles, il y a de nouveau succession de perceptions irréductibles entre elles, avec possibilité de retours empiriques mais sans réversibilité nécessaire. Au contraire, la coordination complète de l’énumération et de la colligation, dans la correspondance opératoire du troisième stade, fait que n’importe quelle figure perceptive d’un ensemble donné peut conduire à n’importe quelle autre et vice versa, l’enfant ayant atteint sur ce point la réversibilité complète.

Mais on demandera la différence entre la réversibilité nécessaire et le retour empirique : qu’est-ce que deux perceptions qui se succèdent sans lien et deux figures qui conduisent l’une à l’autre nécessairement ? N’est-ce pas simplement que les deux premières ne sont pas encore identifiées et que les secondes sont par contre conçues comme identiques l’une à l’autre grâce à un acte de l’esprit, irréductible au changement mais s’appliquant au changement selon la formule célèbre d’É. Meyerson ? Certainement il y a là activité de l’esprit : [p. 251] un mouvement physique ou psychique n’est jamais intégralement réversible, puisqu’il se déroule dans le temps et que le passé se perd sans retour. Et cet acte de l’esprit est donné dès la perception, parce qu’une perception est déjà une structuration quoique statique. La différence entre la perception et la pensée est donc, de ce point de vue, une différence de degré, du moins au plus réversible, avec cette restriction que, parvenue à une certaine limite d’épuration, la réversibilité est complète, comme c’est précisément le cas en mathématique ; la perception n’est, en somme, qu’un point immobile sur le mouvement réversible de la pensée. Certainement aussi, il y a identité, et l’ensemble colligé ne saurait être autre chose qu’identique à ses éléments énumérés. Mais cette identité est le résultat et non pas la source de la réversibilité, car l’essentiel de la pensée demeure irréductible à l’identité : ce sont les opérations elles-mêmes, dont le propre est de construire sans cesse du nouveau. C’est ainsi, dans le cas de la colligation et de l’énumération, que si 1 + 1 + 1 = 3, les trois unités additionnées sont bien identiques à 3 en ce sens que le total 3 peut redonner par énumération 3 unités identiques aux premières, mais l’opération additive a créé un être nouveau, la totalité 3, laquelle n’est pas identique comme telle aux unités juxtaposées. Inversement l’énumération de 3 termes n’est pas identique à la totalité initiale 3. Dire avec É. Meyerson que la nouveauté et les opérations constructives viennent du réel tandis que l’esprit se borne à l’identification, c’est dire, en fin de compte, que la raison est irrationnelle à son propre égard, ce que É. Meyerson a d’ailleurs fini par admettre. Il nous paraît préférable de rendre leur existence aux opérations et de les distinguer des constructions empiriques grâce précisément à leur réversibilité, l’identité n’étant que le produit des opérations inverses.

Dès lors, deux perceptions qui ne conduisent pas nécessairement l’une à l’autre sont simplement deux perceptions dont les opérations constitutives restent intérieures à chacune prise à part, tandis que deux figures conduisant nécessairement l’une à l’autre correspondent à des perceptions dont les opérations constitutives sont suffisamment dégagées pour les dominer en retour par une coordination réelle, c’est-à-dire que ces opérations permettent de composer l’une des deux figures au moyen de l’autre et réciproquement. Au cours du premier de nos stades, la pensée de l’enfant demeure donc irréversible en ce sens que chaque perception constitue un moment particulier du flux de son expérience, sans procédé stable de retour parce que sans opérations [p. 252] permettant de composer l’une au moyen des autres. C’est ainsi que les deux processus de la colligation intuitive et de l’énumération fonctionnent à tour de rôle, chacune éclipsant l’autre ou que, si elles coïncident, elles se neutralisent mutuellement : cette situation explique donc le primat initial de la perception, car une opération isolée demeure immanente à la perception qu’elle engendre, sans pouvoir la dominer. Durant le second stade, la coordination s’effectue, mais à l’intérieur seulement du champ des perceptions, lesquelles s’élargissent ainsi dans la direction de la pensée : grâce à la correspondance terme à terme, l’énumération mène, en effet, à la colligation et réciproquement, sauf lorsque la figure est détruite. Durant le troisième stade, enfin, les opérations débordent le champ de la perception et atteignent du même coup la réversibilité complète dans leurs compositions. Passage de la perception au primat de la déduction, coordination progressive des opérations et réversibilité graduelle sont donc les trois aspects d’un seul processus qui définit l’évolution même de la raison.