Chapitre IX.
La coordination des relations d’équivalence et la composition multiplicative des nombres ^{1 a} 🔗

Les relations d’équivalence fondées sur la correspondance univoque et réciproque « quelconque » ou « quantifiante » sont des relations particulières, dont la découverte et l’emploi supposent l’acquisition d’une série de notions proprement mathématiques, telles que celle d’un ensemble qui se conserve, de sériation, de correspondance terme à terme, etc. Au contraire, la composition des relations d’équivalence constitue un mécanisme si général que son maniement paraît ne devoir supposer que la logique seule. Par exemple, si X = Y et si Y = Z, alors X = Z, quels que soient X, Y et Z. Cette proposition, qui traduit la transitivité propre à la relation d’égalité, est en même temps l’expression d’un raisonnement qui engage toute la structure formelle de la pensée. Il exprime aussi bien l’égalité ou l’équivalence de trois classes que la coordination de deux relations et s’applique aussi bien à des réalités mathématiques (sous la désignation incorrecte de « syllogisme mathématique ») que qualitatives. Que ce raisonnement ou ce jeu d’égalités porte sur des nombres, des surfaces, des poids, des classes ou des relations [p. 255] quelconques, il semble que la difficulté ou la facilité à le manier doive être indépendante du contenu de la pensée et qu’elle relève de la forme seule. Dans l’hypothèse d’une logique innée, l’enfant devrait donc pouvoir employer de telles structures bien avant de découvrir les notions mathématiques, ou tout au moins les deux questions devraient être indépendantes pour lui.

Mais dans l’hypothèse qui est la nôtre, selon laquelle la logique se construit, il n’est pas prouvé qu’un mécanisme formel tel que la composition de deux relations puisse s’élaborer indépendamment des contenus auxquels cette coordination s’applique. Et comme, inversement, nous avons constaté sans cesse, au cours de ce volume, que la logique des classes et celle des relations interviennent dans la construction des notions mathématiques et réciproquement, on peut s’attendre à ce que la structure formelle (X = Y ; Y = Z donc X = Z) ne s’acquière pas en une fois indépendamment de son contenu, mais nécessite autant d’acquisitions distinctes et répétées que de contenus différents auxquels elle s’applique. Pour mieux dire, la structure formelle (X = Y ; Y = Z donc X = Z) n’est, comme toutes les structures formelles, qu’une coordination d’un degré déterminé, ne pouvant donc s’effectuer qu’en fonction de la compréhension (de la structuration) des termes ou des relations coordonnés et devant par conséquent se reconstituer sous forme de nouvelle coordination toutes les fois qu’elle s’applique à une nouvelle classe d’objets de pensée ³.

En effet, on peut dire, dans les grandes lignes, que les enfants qui échouent dans la question de la composition des relations d’équivalence sont aussi ceux qui manquent la correspondance bi-univoque et réciproque, tandis que ceux qui réussissent cette dernière parviennent d’emblée à composer plusieurs équivalences entre elles. Or, ce résultat n’est pas si naturel qu’il pourrait le sembler. Réussir les épreuves de correspondance, c’est considérer les collections correspondantes comme équivalentes quelle que soit la disposition de leurs éléments pourvu que ceux-ci aient une fois correspondu terme à terme. Quant à la composition (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z) dans laquelle le signe ↔ marque l’équivalence due à la correspondance bi-univoque et réciproque, elle soulève des difficultés qui paraissent [p. 256] bien différentes, puisque les éléments des collections X et Z ne sont jamais en regard les uns des autres. Or, que les enfants qui ne parviennent pas à faire correspondre seuls deux ensembles, ou à considérer leur équivalence comme durable, ne parviennent pas non plus à effectuer cette composition, cela va bien de soi, mais seulement si l’on admet que les structures formelles constituent une simple coordination de leurs contenus : en effet, la composition suppose alors résolue la question de la compréhension de l’équivalence elle-même. Mais que les enfants qui réussissent les épreuves d’équivalence parviennent aussi d’emblée à composer les relations ainsi découvertes, cela est fort intéressant et montre que les opérations d’ordre multiplicatif en jeu dans la correspondance elle-même sont, sitôt constituées, explicitées sous forme de multiplications proprement dites.

Voici d’abord deux exemples d’échecs corrélatifs (tous les enfants que nous citerons dans ce § 1 sont ceux dont il a été question au chap. III) :

Fum (4 ; 4), qui en est au stade de la comparaison globale ne parvient pas, comme on l’a vu (chap. III § 2 sect. I), à juger que les fleurs bleues mises par lui-même dans les vases, leur correspondent une fois sorties et espacées. On lui fait mettre ensuite une même quantité de fleurs roses dans les mêmes vases. Mais lorsque l’on compare les roses et les bleues, Fum, à la question : « C’est la même chose de fleurs roses et de bleues ? » répond tantôt « Je crois » tantôt « Il y a plus de bleues », etc.

Même le fait de compter verbalement ne facilite en rien la composition : « J’aimerais mettre maintenant dans chaque vase une fleur rose et une fleur bleue. Veux-tu compter les vases ? — Dix. — Et les fleurs bleues ? — Dix. — Et les roses ? — Dix. — Très bien. Si tu mets dans chaque vase une fleur bleue et une fleur rose, il y aura assez de fleurs ? — Je ne sais pas. — Tu peux savoir d’avance (il commence à les mettre) ? — Non. Je ne sais pas. »

Til (4 ; 11) est du second stade en ce qui concerne l’échange des 10 sous et des 10 fleurs (chap. III § 4 sect. II) c’est-à-dire qu’il sait effectuer une correspondance terme à terme, mais sans équivalence durable. Il achète d’abord 6 fleurs bleues contre 6 sous. « Maintenant, je suis une gentille marchande et je te rends l’argent. Tu peux acheter de ces fleurs roses avec les mêmes sous. C’est aussi toujours un sou contre une fleur : à chaque fleur tu me donnes un sou. — (On commence.) — Tu auras la même chose de fleurs roses et de bleues ? — Non, il y aura plus de roses. — Pourquoi ? — Vous avez pris plus (il regarde la provision de réserve). — On termine l’échange et met en correspondance visuelle les roses et les sous.) Ah ! c’est la même chose. » « Maintenant on va mettre les sous sous les fleurs bleues. — (Il le fait.) C’est la même chose. — Alors regarde (nous prenons les 6 fleurs roses et recommençons l’échange). On peut acheter avec les sous la même chose de fleurs roses que de fleurs bleues ? — Non, plus » ; etc.

Il est donc évident que les enfants ne savent pas coordonner entre elles les équivalences, pas plus qu’ils ne considèrent chacune [p. 257] à part comme durable. Voici maintenant deux exemples d’un second groupe d’enfants plus intéressants au point de vue de cette corrélation, parce qu’ils réussissent certaines épreuves d’équivalence et échouent à d’autres : or, ils parviennent à coordonner formellement les équivalences dans le premier cas, et n’y arrivent pas dans le second :

Fet (5 ; 5), comme on l’a vu (Chap. III § 2 sect. III) est du troisième stade en ce qui concerne les fleurs et les vases : quelle que soit la disposition des fleurs sorties des vases, il déclare qu’elles leur sont équivalentes « parce qu’elles étaient là-dedans ». Après avoir écarté les 10 fleurs bleues, on lui demande d’introduire les fleurs roses, puis, une fois sorties : « Est-ce que c’est la même chose de fleurs roses et bleues, ou pas ? — Oui, parce qu’elles étaient là-dedans et les autres aussi. »

Mais le même Fet n’est pas sûr, après échange un contre un de 8 fleurs contre 8 sous que les deux ensembles sont équivalents : lorsque les fleurs sont espacées, il les croit plus nombreuses. Une fois qu’il les a comptées, il paraît cependant certain de l’équivalence : « C’est la même chose ? — Ici il y a 8 et ici il y a 8. —  Je vais maintenant t’acheter des fleurs roses, regarde (on échange un à un 8 sous contre 8 fleurs roses. Celles-ci restent sur la table, tandis que Fet tient les bleues en main). — C’est la même chose de roses et de bleues ? — Non. Il y a plus de roses. — Pourquoi ? — Parce que ! »

Bet (5 ; 8) de même, croit à l’équivalence des fleurs bleues et des vases « parce que ça va (dedans) ». Il met ensuite les fleurs roses, que l’on sort et que l’on serre : « Il y a autant de roses et de bleues ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que… voilà (il les met en correspondance pour nous le démontrer). »

Mais il ne croit pas à l’équivalence durable des fleurs bleues et des sous après l’échange un contre un. Une fois convaincu par la mise en correspondance visuelle, il échange un à un les mêmes sous contre les fleurs bleues : « C’est la même chose de roses et de bleues ? — Non, il y a plus de bleues. »

La corrélation entre la compréhension de l’équivalence durable et la composition des équivalences est donc parfaite en de tels cas ; mais voici un troisième groupe d’enfants qui ne réussissent pas entièrement les épreuves d’équivalence, mais parviennent ensuite à une composition correcte :

Os (5 ; 10) déjà cité au chap. III § 2, sect. III, est intermédiaire entre le deuxième et le troisième stade en ce qui concerne les fleurs et les vases : il croit à leur équivalence lorsqu’elles sont proches, même sans contact visuel, mais n’y croit plus à distance. Or, après avoir réagi de même avec les fleurs roses, il affirme cependant l’équivalence des roses et des bleues : « C’est la même chose, parce qu’il y a 10 ici (les bleues qu’il a comptées) et 10 là (les roses, qu’il n’a pas comptées). »

Pit (6 ; 11) est également intermédiaire entre le deuxième et le troisième stades : il présume que les sous échangés contre les fleurs bleues leur restent équivalents (sauf quand ils sont trop écartés), mais a besoin de vérifier sans cesse cette égalité pour y croire. Nous échangeons ensuite les mêmes sous contre les fleurs roses : « Est-ce qu’il y a autant de fleurs roses que de bleues ou non ? — Oui (il vérifie cependant aussitôt par une mise en correspondance directe). »

[p. 258] Voici enfin des cas dans lesquels la réussite des épreuves d’équivalence s’accompagne d’un succès immédiat de la composition (nous n’avons pas trouvé de réussite des premières épreuves sans compositions ultérieures correctes) :

Rum (4 ; 11) est franchement du troisième stade en ce qui concerne les œufs et les coquetiers, les fleurs et les vases ainsi que l’échange des fleurs contre les sous (chap. III, § 2-4). Or, pour la première de ces épreuves, après qu’on a sorti 8 œufs de 8 coquetiers et placés par devant, il en remet 8 autres que l’on dépose ensuite par derrière : « Il y a autant d’œufs là et là ? — Oui, il y en a ici 8 et ici 8 (sans avoir compté les seconds). » Avec les fleurs bleues et les fleurs roses placées successivement dans les mêmes vases, Rum dit également : « C’est la même chose, parce que là (les bleues, comptées) il y a 10 et là (les roses non comptées) il y a aussi 10. » Et avec les fleurs roses et bleues échangées successivement contre les mêmes sous, nous posons la question suivante, intentionnellement suggestive (pour mesurer sa force de conviction) : « Tu vois je n’ai plus de fleurs bleues (elles sont en tas de son côté). Je veux acheter les petites fleurs roses avec l’argent que tu m’as donné (échange un contre un en espaçant largement les fleurs échangées). Où y en a-t-il le plus ? — C’est la même chose. »

Ul (5 ; 3), pour cette même dernière épreuve : « C’est la même chose parce qu’il y a 10 vases, il y a 10 fleurs roses et 10 fleurs bleues. »

Ay (5 ; 2), de même : « Il y a 10, 10 et 10 (il n’a compté également que les fleurs bleues). »

On voit donc que, sitôt en possession de la relation d’équivalence (par correspondance terme à terme), l’enfant sait composer deux de ces relations entre elles. Comme le montre le troisième type de réponses (Os et Pit), il y parvient même peut-être un peu plus vite qu’à être certain de l’équivalence elle-même indépendamment de la configuration des ensembles.

Cette corrélation entre la construction des relations d’équivalence et la possibilité de les composer sitôt construites nous paraît intéressante à un double point de vue. En premier lieu, le fait que la composition ne soit pas possible avant la compréhension réelle des équivalences à composer n’est pas si naturel qu’il peut le paraître lorsqu’on l’énonce ainsi. Non seulement l’adulte et l’enfant après 11-12 ans ont le pouvoir de raisonner formellement avec rigueur sur des propositions reconnues fausses ou qu’ils ne comprennent pas, mais encore, et bien avant que soit acquise cette mécanique formelle, l’enfant a le pouvoir de s’adapter aux mots et aux notions collectives inhérents au langage ambiant : c’est ainsi que beaucoup des enfants qui demeurent incapables de comprendre que 10 fleurs sorties de 10 vases sont toujours équivalentes à ces 10 vases bien que serrées ou espacées, savent cependant compter ces fleurs jusqu’à 10. Il pourrait donc [p. 259] se présenter chez ces petits un emploi formel ou du moins verbal de la multiplication relative de ces équivalences avant que celles-ci soient réellement comprises. Le fait qu’il n’en est rien montre que la composition demandée constitue bien une coordination véritable.

Mais surtout, la composition des relations d’équivalence aurait pu ne se produire que bien après la compréhension des rapports d’équivalence entre deux collections, et c’est ce à quoi nous nous attendions au début de notre recherche. En effet, il est très fréquent chez les petits que les rapports entre trois termes (et la composition de deux relations d’équivalence suppose trois termes) soient beaucoup plus difficiles à manier que des rapports entre deux termes. C’est ainsi qu’un partage en trois est beaucoup plus délicat qu’une division en deux, etc. Comment donc se fait-il que l’équivalence de trois ensembles ne soit pas plus compliquée à saisir qu’une équivalence entre deux seulement, autrement dit qu’une composition de deux relations soit aussi aisée que la construction de l’une des deux ?

Sans entrer encore dans l’analyse des rapports entre la correspondance bi-univoque et réciproque et les opérations multiplicatives en général, disons d’emblée que la raison de ce synchronisme est bien simple : la composition de deux équivalences est en réalité déjà impliquée dans la construction d’une seule relation d’équivalence durable entre deux collections, car ces deux collections se présentant sous n formes successives apparaissent comme n collections. Soit, en effet, l’ensemble des vases V et l’ensemble des fleurs bleues Fb. La principale difficulté pour l’enfant n’est pas de comprendre l’équivalence au moment de la correspondance optique : disons V₁ ↔ Fb₁. Elle est de comprendre que les vases espacés (disons V₂) ou serrés (V₃) sont encore équivalents aux fleurs bleues espacées (Fb₂) ou serrées (Fb₃). Il s’ensuit que la compréhension de l’équivalence durable entre ce qui nous paraît deux ensembles seulement nécessite en fait une composition complexe entre les relations d’équivalence unissant entre eux 6 ensembles 3 par 3 :

(V₁ ↔ Fb₁) + (Fb₁ ↔ Fb₂) = (V₁ ↔ Fb₂)

(V₁ ↔ Fb₁) + (Fb₁ ↔ Fb₃) = (V₁ ↔ Fb₃)

… etc.

Par conséquent, lorsque l’on introduit le nouvel ensemble de fleurs roses Fr avec ses trois états Fr₁, Fr₂ et Fr₃, la composition des [p. 260] relations (V ↔ Fb) et (Fb ↔ Fr) est du même ordre que les précédentes :

(V₁ ↔ Fb₁) + (V₁ ↔ Fr_l) = (Fb₁ ↔ Fr₁)

La seule différence, et c’est en cela que le phénomène est intéressant, est que les ensembles Fb₁, Fb₂ et Fb₃ ne diffèrent que par la disposition perceptive de leurs éléments tandis que les ensembles Fb et Fr diffèrent l’un de l’autre par leurs éléments eux-mêmes, mais cette introduction d’un ensemble à éléments nouveaux ne change rien au mécanisme formel de la pensée, lequel a dû se constituer au cours de la construction des relations d’équivalence elles-mêmes.

Nous pouvons donc dire que la capacité de composer entre elles deux relations d’équivalence (donc de relier en un seul tout 3 ensembles à éléments différents) atteste simplement la libération du mécanisme formel, jusque-là immanent à la construction même de ces relations et désormais susceptible de s’appliquer à n’importe quelle combinaison nouvelle de relations entre ensembles de termes non communs. Or, nous constatons, et c’est là la conclusion de ce § 1, que cette libération, ou coordination externe, apparaît sitôt achevée la construction des équivalences comme telles, ou coordination interne.

Après avoir constaté, sur les enfants mêmes qui nous ont servi de sujets pour les épreuves de correspondance simple (chap. III), la corrélation étroite qui existe entre les réactions à ces épreuves et la composition des relations d’équivalence, nous voudrions maintenant examiner brièvement les étapes de cette composition elle-même sur de nouveaux enfants, ceux que nous soumettrons, au cours du § 3, aux épreuves de correspondance multiple et de multiplication numérique.

Le premier stade ne nous retiendra pas puisqu’il est celui de l’échec simultané de la construction de la correspondance elle-même et de la composition des équivalences. En voici cependant encore un exemple, analogue à ceux de Fum et de Til (§ 1), mais interrogé au moyen d’une technique plus précise de questionnement :

Com (4 ; 10) met lui-même une à une 10 fleurs (X) dans 10 vases (Y). On les sort pour les mettre dans une cuvette. Il en est de même avec une autre dizaine de fleurs (Z) que l’on met dans une autre cuvette, un peu plus espacée. « Y a-t-il autant de fleurs ici (X) que là (Z) ? — Il y a plus ici (Z). Là (X) il y a moins. —   [p. 261] (On espace X et on serre les Z.) — Il y a plus à ce tas (X) et moins à celui-là (Z). — Où est-ce que les fleurs étaient ? — Là (montre les vases Y), dans tous ces petits verres. — Elles étaient justes ? — Oui, celles-là (X). — Et celles-là (Z) ? — Aussi… (il les a mises lui-même). Maintenant elles viendront jusqu’ici (montre le 9^e vase) parce qu’il y en a moins. »

Par contre, il est intéressant de chercher comment se développe la composition progressive au cours du second stade, qui est celui de la correspondance terme à terme mais sans équivalence durable (chap. III-IV). Or, nous allons voir que, à ce niveau, la composition s’esquisse précisément avec le secours de l’intuition, c’est-à-dire lors d’un contact perceptif, mais n’est pas généralisable par voie opératoire.

Voici quelques exemples de ce second stade. Nous chercherons à les sérier dans un ordre progressif :

Rys (4 ; 9) est capable de correspondance 1 à 1. Il prépare 10 fleurs, les introduit et on les place dans une cuvette, serrées (X). Il en est de même d’une seconde dizaine que l’on place espacées (Z). « Y en a-t-il autant là et là ? — Ici (X) c’est plus petit et là (Z) c’est plus grand. —  Et alors (on serre les Z et on espace les X) ? — Ah ! maintenant il y a plus ici (X), c’est tout déplacé. Là (Z) il y a moins, c’est tout déplacé aussi. — Pourquoi il y a moins ? — Parce qu’il y a beaucoup de fleurs de l’autre côté (X). — Où étaient ces fleurs ? — On les a mises dans les vases (Y) et on les a sorties pour les mettre là. — (On inverse à nouveau les rapports de densité.) — Il y a plus là (Z). — Pourquoi ? — Je ne sais pas dire. —  (On les met en bouquet.) Et maintenant ? — Ah ! c’est la même chose ! »

Rol (5 ; 4). Même expérience. Les fleurs (Z) sont serrées : « C’est la même chose (X et Z) ? — On en a beaucoup là (X), parce qu’on les a mises aussi là-dedans, mais il y en a moins, parce que vous les avez mises plus serrées (dans la cuvette des Z). — Et les vases (Y) y en a-t-il autant que de fleurs ? — Il y en a la même chose (sûr) que celles-ci (Z, serrées). — Et avec celles-là (X espacées) ? — Aussi la même chose (même assurance) : elles ont été dedans deux fois (donc X et Z). — Et alors il y a plus, moins ou autant dans ce bouquet ici et là (X et Z) ? — Il y en a plus ici (X). » Par contre dès que l’on met les 3 ensemble en rangées parallèles il admet l’équivalence X = Y = Z.

Bal (5 ; 6) met 10 œufs (X) dans 10 coquetiers (Y). Les X sont placés à l’état espacé dans une casserole. Il remet 10 œufs (Z) dans les mêmes coquetiers, et on les serre dans une autre casserole : « Dis-moi il y a autant d’œufs dans cette casserole que dans celle-là ? — Il y en a plus dans celle-là (X). — Pourquoi ? — Parce qu’on les a mis dans tous les verres (Y). — Et ceux-là (Z) ? — On les a mis dans moins de verres (il les a cependant mis lui-même). — Regarde (on recommence avec 7 éléments seulement pour chacune des 3 collections). Et maintenant il y a la même chose là et là (X et Z, les coquetiers ayant été dispersés en fer à cheval) ? — La même chose. — Pourquoi ? — Parce que vous les avez mis juste comme ça (les coquetiers). — (On recommence avec 10 éléments, les coquetiers en rangée.) — Et maintenant (X et Z) ? — La même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’ils ont tous été dans les verres. »

Uld (5 ; 8). Expériences des fleurs, les 10 X serrées dans une cuvette et les 10 Z espacées dans une autre : « Il y en a moins là (X) et plus ici (Z). — Pourquoi ? — Il y en a juste 1, 2, 3… 10 (compte les X). — Et là (Z) ? — (Il compte.) Oh ! [p. 262] c’est la même chose ! — Pourquoi ? — Parce que c’est la même grandeur (montre la longueur de la rangée des vases Y). Alors c’est la même chose. » Avec les œufs Uld dit d’emblée que X = Z : « C’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose de petits bols (de coquetiers). »

Hoeg (5 ; 11). Les fleurs X espacées et Z serrées : « Il y en a plus ici (X). Elles sont plus comme ça (largeur). — (On intervertit les densités.) — Oh ! Il y en a plus ici (montre de nouveau X !). — Mais elles occupent moins de place ? — Je me trompe alors (embarras) mais, avant, il y avait plus ici (conflit de la représentation de l’état antérieur, donc du besoin de constance, avec la perception actuelle). Alors c’est là qu’il y a plus (Z). — (On intervertit à nouveau.) — Non ici ! (a l’air satisfait de retrouver la première situation). — Comment le sais-tu ? — Il faudrait compter. — Eh bien ! compte. Mais attends. Où étaient ces fleurs-ci (X) ? — Dans les vases. — Et celles-ci (Z) ? — Aussi dans les vases. — Et ça allait tout juste ? — Oui. Oh ! il y a la même chose ! »

« Regarde, maintenant (on aligne les X perpendiculairement aux vases). — Je peux compter : (Il compte) 10 fleurs et 10 vases. — Et regarde (on aligne les Z parallèlement aux X après les avoir remises dans les vases Y, mais la rangée des Z est un peu plus courte pour éviter la correspondance visuelle). — Mais il en manque une ! — Je n’ai rien enlevé. — Oui (perplexe). Je veux compter. (Il compte.) C’est la même chose, j’avais cru qu’il en manquait une. — Pourquoi c’est autant ? — C’était dans les vases, et les vases c’est la même chose que les fleurs. Je veux quand même compter (il compte X, Y, Z). C’est 10 et 10 et 10. oui, c’est les 3 la même chose (enfin sûr !). »

Le lendemain, expériences des œufs : « Il y en a la même chose (X et Z). — Pourquoi ? — On avait vu hier que c’était la même chose. —  Oui, mais comment peut-on être sûr ? — En comptant. — Et sans compter ? — … — Où étaient les œufs ? — Ah ! c’est vrai : On a mesuré avec les verres (coquetiers Y) et hier avec les vases. »

Tous ces enfants sont bien du second stade, c’est-à-dire qu’ils savent tous effectuer une correspondance terme à terme mais sans pour autant croire à l’équivalence durable des collections correspondantes. Dès lors, lorsqu’il s’agit de composer entre elles des équivalences, ils ne peuvent conclure X = Z de (X = Y) et (Y = Z) que si les ensembles demeurent en regard et présentent les mêmes caractères perceptifs : ils ne savent donc point encore composer opératoirement et se bornent à constater intuitivement.

Mais si tel est le point de départ commun de toutes ces réactions, chacun de ces enfants parvient cependant, grâce aux suggestions contenues dans nos questions, à découvrir peu à peu des équivalences durables entre X et Y puis entre Y et Z, et du même coup à composer X = Z. C’est le mécanisme de cette découverte qu’il convient maintenant d’analyser.

Le sujet Rys, tout d’abord, se révèle incapable d’égaler X et Z tant que les bouquets se sont pas de grosseur égale : il subit passivement toutes les fluctuations de la perception sans parvenir à aucune [p. 263] composition. Tel est le niveau le plus bas. Un peu plus avancé, Roi soutient explicitement ce point de vue, qui est stupéfiant pour la logique, que X − Y et que Y = Z, mais que X > Z. Il commence même son raisonnement en invoquant la correspondance des fleurs X et des vases, puis des Z et des vases, ajoute que « elles ont été dedans deux fois » (c’est-à-dire tant les Z que les X) et cependant conclut que X > Z (parce que moins serrées) ! On ne saurait ignorer avec plus de paradoxe les règles de la composition opératoire, et cependant Roi est en progrès sur Rys puisqu’il parvient en cours de route aux équivalences durables X = Y et Y = Z, mais l’intuition visuelle qui le conduit jusque-là ne suffit pas à lui permettre et par conséquent l’empêche de conclure X = Z. Bal marque un nouveau progrès. Pensant que X > Z (à cause des densités), il préfère d’abord corriger la réalité (« on les a mis dans moins de verres ») que de tomber dans l’absurdité de Roi : le bénéfice de cette hardiesse est que, sitôt les rapports mieux constatés avec un nombre plus restreint d’éléments, il généralise X = Z à tous les œufs. Mais il est clair que cette découverte a été favorisée par l’intuition et n’est pas due encore à la pure logique. Avec Uld, l’intuition domine au début mais le dénombrement spontané le hausse sur un autre plan et le conduit à des généralisations plus formelles. Enfin Hoeg, dont nous avons tenu à transcrire tout l’interrogatoire, fournit un admirable exemple de conflit entre l’intuition et la logique, avec triomphe final de celle-ci. Il commence, en effet, par reconnaître avec lucidité les contradictions où le conduit la première (« mais avant il y avait plus ici I ») ; il postule alors, pour les lever, une demi-constance, laquelle le conduit enfin à la composition opératoire (avec entre deux un besoin très significatif de vérification empirique), qu’il considère à juste titre comme due à l’emploi d’une commune mesure (« on a mesuré avec les vases »).

Telles sont les principales étapes de la progression observée au cours du second stade. L’interprétation en est facile : l’enfant de ce niveau, ne se fiant qu’à l’intuition perceptive, commence par comparer directement X et Z sans songer à les composer par l’intermédiaire de Y. D’où les jugements X < Z selon les densités perçues. Seulement l’intuition conduit à des résultats contradictoires : tantôt on a X > Z, l’instant après l’inverse. Lorsque ces fluctuations deviennent impossibles à accepter, le sujet postule un début de constance. C’est alors que l’invariance des totalités et la composition des relations d’équivalence apparaissent ainsi simultanément comme les deux [p. 264] aspects de la même réalité. Ce changement de perspectives, qui est presque immédiat en certains cas, à la manière de l’« Aha-Erlebnis » de Bühler ou de l’Einsicht des gestaltistes, est cependant tout le contraire de la cristallisation au cours de laquelle se structure une « Gestalt » perceptive : ce n’est pas d’une cristallisation qu’il faut parler ici, mais d’un brusque dégel, d’une débâcle des structures perceptives, lesquelles, brusquement fondues, rendent possible la mobilité et la composition réversible.

Examinons enfin quelques cas du troisième stade, c’est-à-dire de cette composition se présentant sous forme de coordination immédiate :

Cide (5 ; 3) : « C’est la même chose tout juste, parce que j’ai vu que c’était dans les vases. Je crois tout le temps qu’on les remet dans les vases et j’y pense. — Mais si on regarde le bouquet de grosses fleurs (X) et le bouquet de petites fleurs (Z) c’est autant ? — C’est la même chose. Je pense à ceux-là (X) et à ceux-là (Z) et je compte avec les vases. »

Frim (5 ; 5) : « Est-ce qu’il y a autant de fleurs ici que là ? — Oh ! oui, il y en a… (réfléchit). Oui, il y en a beaucoup. — De quoi ? — De vases. — Mais il y a plus ou moins de fleurs ici que là ? — Il y a beaucoup de vases, et puis beaucoup de fleurs ici (X), elles étaient là-dedans (Y), et beaucoup ici (Z) elles étaient là aussi (Y). C’est la même chose. »

Gros (5 ; 10). Les X espacées et les Z serrées « c’est la même chose. — Pourquoi ? — Il y avait 10 fleurs et 10 vases, alors il y a 10 roses. »

Bora (6 ans) : « C’est la même chose parce qu’il y a les vases. »

Mar (5 ; 8) : « C’est la même chose les deux, parce que c’était tout la même longueur de fleurs dans les vases. » Et les œufs « c’est la même chose parce qu’on a mesuré avec les coquetiers. »

Lis (6 ans). Les X sont serrées et les Z espacées : « Là il y en a plus (X) et là (Z) moins. Non il n’y en a pas moins, parce qu’elles ont été aussi dans les vases. Alors c’est la même chose ! » Et les œufs : « C’est autant, parce qu’il y avait la même chose de bols. »

On voit combien est suggestif ce passage de l’intuition à l’opération. Lorsque Lis, par exemple, corrige son impression perceptive d’inégalité X > Z par l’égalité Z = Y, il est bien obligé de conclure, pour ainsi dire malgré lui, que Z = X puisque X = Y. Et lorsque Cide, pour lutter contre son intuition, dit « je crois tout le temps qu’on les remet dans les vases et j’y pense », il montre à merveille en quoi la composition est un effort de réversibilité orienté en sens contraire de la perception actuelle. Enfin lorsqu’il dit « je compte avec les vases », il prend conscience du caractère multiplicatif de cette coordination, ce dont nous allons nous occuper maintenant.

Il convient maintenant d’examiner comment la composition des équivalences peut être généralisée sous forme de correspondance bi-univoque et réciproque entre n ensembles (nous dirons simplement « correspondance multiple », en nous servant d’un terme impropre mais que nous limiterons à cet usage) et de multiplication numérique.

Durant le premier stade (comparaison globale), l’enfant n’étant capable ni de faire correspondre terme à terme un nombre égal de fleurs et de vases, ni par conséquent de juger que deux collections correspondent entre elles lorsqu’elles correspondent à une troisième, ne parvient naturellement pas à effectuer de multiplications numériques, même sous forme de duplications :

Dal (5 ; 1) ne considère pas que les collections X (10) et Z (10) de fleurs comme équivalentes bien qu’il les ait mises lui-même successivement dans les mêmes 10 vases Y. « Maintenant on va mettre toutes ces fleurs dans les petits pots (= pots de fleurs en forme de tube ne contenant chacun qu’une fleur au maximum, à enfiler par le trou qui constitue l’orifice supérieur). Sors assez de pots pour toutes les fleurs : tu vois on met seulement une fleur par pot. — (Il aligne 10 pots en regard des 10 vases.) — Tu en as assez pour toutes ces fleurs ? — (Il en rajoute 4.) — Et maintenant ça va ? — … — Essaie. — (Il met une fleur par pot, puis vers la douzième en rajoute encore 2 mais ne soupçonne pas le rapport : deux pots pour un vase.) » Enfin on le prie de mettre toutes les fleurs dans les 10 vases : « Ça fera combien dans chaque vase ? — (Il essaie une par une.) »

Les 10 coquetiers. Il met un à un dans les 10 coquetiers 10 œufs que l’on place ensuite serrés dans une casserole, puis 10 autres œufs que l’on espace dans une seconde casserole : « C’est la même chose ? — Non, là (Z) il y a plus. — Et maintenant si on donne tous ces œufs aux enfants (les 10 poupées devant lesquelles sont les 10 coquetiers), combien on peut en donner à chaque enfant ? — Un. — Tu es sûr ? — (Il commence à mettre un œuf dans chaque coquetier, puis après 3 ou 4, il s’écrie) Non, beaucoup, 6. Oh ! les enfants mangeront beaucoup. »

Com (4 ; 11), après que l’on a sorti les fleurs X puis Z des mêmes 10 vases Y (n’admet pas X = Z). « Si nous voulons mettre toutes ces fleurs (on montre X et Z à la fois) dans ces vases, combien pouvons-nous mettre de fleurs dans chaque vase ? — (Il en met une par vase, puis deux, puis, en regardant la suite, trois, après quoi il égalise par tâtonnements successifs et aboutit à deux partout.) « Ça fait 2 dans chaque vase. » Puis immédiatement après :

« Très bien. Maintenant on les mettra dans ces petits pots, tu vois une par pot. — Oui. — (Il met 10 pots en regard des vases.) — Tu en as assez pour toutes ces fleurs ? — Oui. — Et toutes iront dedans ? — Oui. — Essaie. — (Il commence puis dit) Alors il y en aura plus que de vases. Ça fera une longue ligne (il en rajoute 5 ou 6). »

Blu (5 ; 6) après avoir constitué les collections X et Z correspondant chacune à 10 vases : « Et maintenant, si je veux remettre toutes ces fleurs dans ces [p. 266] vases, il faudra mettre combien dans chaque vase ? — Il faut mettre une. — Tu crois que toutes les fleurs iront ? — (Il essaie, puis au bout de 5 ou 6 vases s’écrie) Oh ! il faut en mettre plus (il en met 2 et réussit. Il demande alors spontanément) : Pourquoi il faut en mettre 2 ? —  Comment avait-on fait avant ? — Ah ! oui, 1, 1, 1 (coll. X), puis on les a enlevées, puis de nouveau 1, 1, 1 (coll. Z). — C’est ça. »

« Maintenant, regarde. On va prendre de tout petits pots, où on ne mettra qu’une fleur parce qu’ils ont un tout petit trou. Alors il te faut sortir assez de pots pour toutes ces fleurs. — (Il met un pot devant chaque vase.) — Combien y avait-il de fleurs dans chaque vase ? — 6, non 2. — Et combien on met dans un pot ? — 1. — Crois-tu que tu aies assez de pots ? — Oui, c’est la même chose que les vases. — Alors essaie. — (Il met une fleur dans chaque pot, mais vers le milieu de la série s’écrie) : Oh ! Il n’y en a pas assez. (Il rajoute 4 pots et dit) : Je crois que ça ira (et continue à placer les fleurs). Non, il reste des fleurs (il rajoute 3 pots à l’autre extrémité et y met 3 fleurs). Non il reste encore 3 fleurs (rajoute 3 pots). Maintenant c’est juste, mais pourquoi c’est plus grand que les vases ? — Regarde, si je prends un vase, il y avait deux fleurs : combien as-tu préparé de pots pour deux fleurs ? — (En montre un.) — Oui, pour une fleur, mais pour l’autre ? — Ah ! oui (et il place 2 pots en regard de chaque vase). Ah ! ça va juste ! »

Les réactions de ce premier stade à l’égard de la multiplication numérique sont d’un grand intérêt. Ces sujets qui ne savent même pas, du moins au début de l’expérience, faire correspondre terme à terme deux collections d’objets (sauf lorsque l’on procède par emboîtement de l’un dans l’autre), ne savent naturellement pas davantage tirer de X = Y et Y = Z la conclusion X = Z. Dès lors, lorsqu’il s’agit de faire correspondre simultanément les deux collections (X + Z) aux vases Y, soit deux fleurs pour un vase, ou de trouver autant de pots V qu’il y a d’éléments (X + Z), contenus dans les 10 Y, soit deux pots pour un vase, leur comportement traduit exactement leur incapacité à la composition multiplicative, et cela dans leurs deux réactions successives.

La réaction la plus primitive consiste à assimiler sans plus la nouvelle correspondance demandée à l’une des correspondances terme à terme précédentes, sans comprendre la nécessité de la correspondance 2 à 1 ou de la duplication. C’est ainsi que, dans l’épreuve des pots et des vases, tous les sujets commencent par mettre 10 pots parce qu’il y avait 10 vases, car, comme dit Blu « c’est la même chose que les vases ». Cependant chacun de ces enfants a bien compris que l’on ne met qu’une fleur par pot, comme on peut le constater lorsqu’ils essaient de vérifier empiriquement la correspondance. De même, chacun commence par attribuer un seul œuf à chaque poupée et par ne mettre qu’une fleur par vase.

Mais cette assimilation simple de la situation nouvelle à la [p. 267] précédente cède rapidement devant les faits, c’est-à-dire devant la constatation que les fleurs sont trop nombreuses pour les vases et que les œufs dépassent en quantité les coquetiers. Seulement l’enfant ne parvient pas à faire l’hypothèse d’un rapport défini entre (X + Z) et Y, c’est-à-dire qu’il ne comprend pas que si (X + Z) correspondent simultanément à Y, cela revient à attribuer à chaque Y un couple d’éléments et non pas un seul. Au lieu de songer à une duplication précise, les sujets de ce stade sentent donc simplement la nécessité d’une augmentation globale et se bornent à essayer au hasard d’un nombre quelconque. C’est en cela que se marque le caractère propre de ce niveau, en relation avec l’absence de correspondance exacte et l’absence de composition des relations d’équivalence. Par exemple, dans le problème des pots (ne contenant qu’une fleur) à substituer aux vases (à deux fleurs), Dal ajoute simplement 4 pots à sa série primitive de 10, Com 5 ou 6, Blu 4, puis 3 et encore 3 sans comprendre pourquoi (« mais pourquoi c’est plus grand que les vases ? »). L’incompréhension est la même dans la question des œufs ou du nombre de fleurs à mettre par vase.

En bref, on voit donc que devant faire correspondre 2 ensembles égaux à 1 seul, ces enfants se bornent à une évaluation arbitraire de l’augmentation et manquent la conscience de la duplication. S’ils comprennent que n fleurs bleues correspondent à n vases (n X ↔ n Y) et que n fleurs roses leur correspondent aussi (n Z ↔ n Y), ils ne comprennent pas que les n vases correspondent à n couples (X + Z) soit n Y ↔ n (X + Y) ou n Y ↔ n (2). Et s’ils comprennent que toutes les fleurs réunies correspondent aux pots V soit (X + Z) ↔ V, ils ne comprennent pas que chaque vase Y correspond par conséquent à 2 pots V soit n Y ↔ n (2V). À noter enfin comment Blu, après ses échecs, parvient à la conscience de ce rapport et annonce ainsi le stade suivant.

Au cours de ce deuxième stade, en effet, les enfants commencent à résoudre le problème de la duplication, mais ils ne procèdent point encore par opération, c’est-à-dire par une multiplication abstraite et immédiate : ils tâtonnent et découvrent le résultat par la correspondance même, qu’ils sont peu à peu conduits à rendre multiple. Voici quelques exemples, à commencer par un cas de transition entre le premier et le second stades :

Rys (4 ; 9) ne considère pas les fleurs X et Z comme équivalentes (voir § 2) : Je me demande combien on devrait en mettre dans un vase pour que [p. 268] toutes y aillent ? — Je ne sais pas (il les met 1 à 1, puis vers la fin 2 par 2 et dit 2). »

« Maintenant on va prendre les petits pots. On met donc combien de fleurs dans un vase ? — 2. — Et dans un de ces pots ? — 1. — Alors prépare les pots. — (Il place un pot devant chaque vase, met une fleur dans chaque pot, puis, au terme regarde les fleurs restantes, sans les compter et remet une rangée de 10 pots, cette fois en regard des vases. Il place les fleurs et dit) Ça va tout juste. »

Quelques jours après, il met 10 œufs dans les coquetiers, puis à nouveau 10 œufs : « Combien chaque enfant mangera d’œufs ? — 2. — Pourquoi ? — Un avant et un après. — Et si on redonne encore ça (nouvelle série de 10 que l’on introduit dans les coquetiers puis dépose à côté des deux autres ensembles de 10), ça fera combien pour chacun ? — 2. —  Essaie. — (Il en met 2 devant chacun et laisse de côté les 10 derniers.) — Et ça ? — Ça sera pour demain (air conscient d’écarter la question). »

Rol (5 ; 4) sait que X = Y et Z mais non pas que X = Z : « Maintenant si je veux mettre toutes ces fleurs dans les vases, combien faudra-t-il en mettre par vase ? — 1 (il commence puis s’écrie) : Ah ! ça fera 2 alors. »

Pour les œufs : « Ça fera combien d’œufs pour chaque enfant ? — 2. — Et si on rajoute ça (10 nouveaux) ? — 2. —  Pourquoi ? — (Il compte) 3. »

Uld (5 ; 8) : « Si je mets toutes ces fleurs (X + Z) dans ces vases (Y), ça fera combien dans chaque vase ? — 2, 3 ou plus. — Essaie. — (Il essaie avec 2 et va jusqu’au bout de la série) Ça va tout juste. »

« Maintenant sors assez de petits pots pour qu’on puisse mettre une fleur par pot. — (Il met 1 pot devant le 1^er vase ; 2 devant le 2^e, le 3^e et le 4^e ; 1 devant le 5^e ; 2 devant le 6^e ; 3 devant le 8^e et le 9^e et 2 devant le 10^e, puis il égalise.) »

10 œufs + 10 œufs : « Combien chaque enfant pourra manger d’œufs ? — Celui-là (le 1^er) deux (il continue à mettre 2 œufs devant chaque coquetier). Je crois que je n’en aurai pas assez (il continue). Ça va. — Et si on redonne encore ça (10 œufs que l’on met à nouveau en correspondance avec les coquetiers). Ça fera combien pour chacun ? — 4, non 5. — Pourquoi ? — Parce qu’ils en ont plus. »

Hoeg (5 ; 11) à la suite de ses réponses du § 2 : « Et maintenant, si on voulait remettre toutes les fleurs (X + Z) dans les vases (Y), il y en aurait combien dans chaque vase ? — 3, 4. — Pourquoi ? — Parce qu’on peut beaucoup en mettre. —  Oui mais il faut mettre la même chose dans chaque vase et employer tous les vases. — Oui. Voilà, je vais en mettre comme ça (6). — Essaie. — (Après 3 vases il renonce) Alors il faut en mettre 3. — Pourquoi ? — Parce que c’est moins (il essaie, mais s’arrête vers le milieu de la série). Alors ce n’est pas encore juste. Il ne faut en mettre que 2 (il le fait). C’est juste. — Pourquoi seulement 2 ? — Parce que. — On avait combien de tas ? — Ah ! 2, et ils étaient les 2 la même chose (!) et les vases aussi, alors ça fait 2 par vase. — Très bien. »

« Tu vois ces pots. On va y mettre une seule fleur. Prépare les pots pour toutes ces fleurs. — (L’enfant met un pot en face de chaque vase.) — Toutes ces fleurs iront dedans ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a… Je veux compter (il compte) 10, comme les vases parce que les fleurs allaient dans les vases. Ah ! Je sais, on va mettre encore partout comme ça (il met un deuxième pot en face de chaque vase). — Essaie. — (Il met les fleurs) Ça va juste ! (surpris de l’exactitude du résultat). »

Le lendemain, après l’interrogatoire sur les œufs (voir § 2) : « Maintenant combien chaque enfant aura mangé d’œufs ? — 2. —  Pourquoi ? — On a mesuré 2 fois 2 (= on a placé 2 fois dans les coquetiers une collection d’œufs correspondants). — C’est ça. Et si on continue à donner ça (10 nouveaux œufs) ? —  [p. 269] Ça fera 3. — Et si on met encore ça (10 nouveaux œufs) ? — Ça fera 4. » Hoeg entre ainsi dans le troisième stade.

On voit en quoi les réactions de ce stade diffèrent de celles du premier. Au cours du premier stade, l’enfant se borne à sentir que si l’on fait correspondre simultanément (X + Z) à Y (lorsque X = Y = Z), il y a entre (X + Z) et Y davantage qu’une simple correspondance terme à terme : dès lors, pour trouver autant de pots V qu’il y a de fleurs (X + Z), il se contente d’ajouter quelques éléments à ceux des V qu’il a mis en correspondance terme à terme avec les Y. Au contraire, lorsque les enfants du présent niveau ont commencé par une correspondance terme à terme entre les V et les Y et qu’ils s’aperçoivent que les V ainsi préparés ne correspondront pas à toutes les fleurs (X + Z), ils passent alors d’emblée du système « 1 contre 1 » au système « 2 contre 1 ». C’est là un progrès notable dans la direction de la multiplication. Il consiste à passer, si n Y ↔ n 2 V de n V à (n + n) V, sans avoir encore entièrement conscience que n + n = 2 n, mais en posant d’emblée (n + n) V et non pas (n + n’) V, où n’ serait une augmentation quelconque de n (comme au premier stade).

Comparons par exemple, dans le problème des petits pots, le cas de Rys à celui de Blu : ce dernier, bien qu’aboutissant en fin de compte à la correspondance « 2 contre 1 », appartient cependant au premier stade puisqu’il procède par additions arbitraires avant de découvrir n Y ↔ (n + n) V. Rys, au contraire, le cas le plus primitif de ce deuxième stade, commence par mettre 10 pots pour 10 vases (n Y ↔ n V), puis, lorsqu’il voit des fleurs restantes, ne cherche pas à les évaluer comme Blu (qui rajoute 4, puis 3, puis 3 en disant chaque fois « je crois que ça ira », etc.) mais remet d’emblée 10 pots, y place sans hésiter les 10 fleurs et conclut « ça va tout juste » (donc n Y ↔ (n + n V)). De même, Roi rajoute une rangée de 10 à sa rangée initiale et Hoeg s’écrie « ah, je sais, on va mettre encore partout comme ça » (n + n).

Dans le problème de savoir combien de fleurs iront dans chaque vase si l’on fait correspondre (X + Z) à Y, seul Rys, qui prolonge en cela le premier stade, commence par mettre une fleur par vase, pour passer à 2 après quelques vases. Roi commence aussi par 1 (jusqu’au bout), puis voyant qu’il reste des fleurs, réagit comme à propos des pots et, sans compter, déclare « ah ça fera deux alors ». Quant à Uld et Hoeg, qui représentent la majorité des enfants de ce [p. 270] niveau, ils admettent d’emblée qu’il y aura, comme dit Uld « 2, 3 ou plus », c’est-à-dire qu’ils pensent d’emblée par correspondance « n contre 1 » et réduisent ensuite n à 2.

Pour ce qui est du problème des œufs, Uld, qui prolonge en cela le premier stade, essaie de 2 par coquetier, mais sans être sûr, tandis que les autres en sont certains d’avance. Évidemment, il s’opère un certain apprentissage entre la première épreuve et celle-ci. Peut-être est-elle en soi plus facile. Il n’en est pas moins intéressant de noter que les raisons données par Roi (« je dois donner chaque fois 2 œufs ») et surtout par Hoeg (« on a mesuré 2 fois ») atteignent le niveau du troisième stade, puisqu’elles expriment l’existence de deux correspondances terme à terme n ↔ n dont il s’agit de faire le produit n ↔ n (2).

Chacun de ces enfants parvient donc à comprendre que si deux ensembles de valeur n correspondent respectivement à un troisième selon une correspondance « 1 contre 1 », alors les deux premiers réunis correspondront au troisième selon le rapport « 2 contre 1 », soit « n + n » et non pas seulement n + n’ (où n’ = une valeur quelconque). Mais peut-on dire, bien que certains de ces sujets arrivent presque à cette conception, qu’ils saisissent déjà le rapport n + n comme une multiplication proprement dite, soit comme le passage de « 1 fois n » à « 2 fois n » (ou 2 n) ? Trois raisons nous paraissent interdire de l’admettre déjà à ce niveau.

La première est que, comme on l’a vu au § 2, ces mêmes sujets ne dominent pas encore la composition des relations d’équivalence (X ↔ Y) + (Z ↔ Y) = (X ↔ Z) et que l’on conçoit mal la compréhension de la multiplication arithmétique n + n = 2 n (au cas où X et Z sont de valeur n) sans un maniement parfait des rapports logiques inhérents à la composition de ces équivalences.

La seconde raison est que ces enfants ne parviennent nullement du premier coup à la correspondance multiple : ce n’est qu’en constatant l’existence d’un résidu, après leurs essais de correspondance simple, qu’ils passent de n à n + n. Certes c’est un grand progrès de ne plus essayer d’un rapport quelconque n + n’. Mais il subsiste toujours quelque tâtonnement et il n’y a point encore compréhension immédiate comme au troisième stade.

En troisième lieu, et surtout, si l’enfant interprétait d’emblée la correspondance multiple comme un rapport multiplicatif, il pourrait sans doute la généraliser de 2 n à 3, 4 ou 5 n, ces derniers nombres [p. 271] lui étant aussi familiers que 2. C’est ce que nous montrera le troisième stade. Au contraire, lorsque la correspondance multiple ne constitue encore qu’un rapport découvert empiriquement et de forme (n + n) il n’est pas généralisable sans plus. Or, c’est précisément ce que nous voyons clairement chez les sujets du second stade. Par exemple, Rys pense que si 3 collections d’œufs correspondent terme à terme aux mêmes 10 coquetiers, chaque enfant aura 2 œufs, et lorsqu’il voit, à l’expérience, le résidu de 10 œufs inemployés, il renvoie le problème au lendemain. Uld penche, dans la même situation, pour 4 ou 5 et se fixe à 4 parce qu’ils en ont « mangé plus ». Seul Hoeg parvient à généraliser la multiplication à 3 ou 4 sans hésiter, mais c’est que, nous l’avons déjà vu, il atteint, au cours de cette dernière épreuve, le niveau du troisième stade.

Nous voici donc conduits à examiner les réactions de ce troisième et dernier stade, qui est caractérisé non seulement par la composition correcte des relations d’équivalence, mais encore par la compréhension immédiate des rapports de correspondance multiple et par leur généralisation sous forme d’opérations multiplicatives s’étendant à 3, 4 ou 5n. Voici des exemples :

Gros (5 ; 10) est convaincu de l’équivalence X = Z, si X = Y et si Z = Y : « Si je mets toutes ces fleurs (X + Z) dans ces vases (Y), il y en aura combien par vase ? — 1 bleue et 1 rose. — C’est combien ? — 2. — Et si je redonnais ça (une nouvelle collection de 10), il y en aurait combien par vase ? — 3. —  Pourquoi ? — J’en mettrais une, une, une. — Et maintenant si on a l’idée de les mettre dans des pots qui n’auront qu’une fleur par pot ? — (Il prépare 10 + 10 + 10 pots.) »

Thi (6 ; 10) : « Il faut mettre 2 fleurs dans chaque vase. » Puis il prépare 10 + 10 petits pots. Pour les œufs il comprend d’emblée que pour (10 + 10) les enfants mangeront chacun 2 œufs, puis 3 pour (10 + 10 + 10), etc.

Bora (6 ans) sait aussi immédiatement qu’il y aura 2 fleurs par vase « parce qu’il y a 2 choses (= deux collections de 10) ». De même il prépare 2 ou 3 pots par vase selon qu’on présente 2 ou 3 collections équivalentes de fleurs.

Mêmes réponses pour 2 ou 3 collections d’œufs. « Et si je rajoute ça (10 + 10 + 10 + 10) ? — 4 par poupée. — Et si je remets ça (10) ? — 9, oh ! non 5. »

On voit que ces enfants, qui sont tous capables de composer les équivalences (§ 2), comprennent avec la même rapidité, c’est-à-dire par combinaison des relations et non plus par tâtonnement intuitif, les rapports de correspondance multiple en jeu dans les problèmes posés : 2 fleurs par vase, 2 œufs par poupée et une double série de petits pots pour la rangée des vases. Or, et c’est là le grand [p. 272] intérêt de ce stade, à peine ce rapport « 2 contre 1 » est-il compris qu’il se trouve aussitôt généralisable à 3, 4 ou 5. Ce fait comporte deux conclusions. L’une est que, le passage de la méthode intuitive à la méthode opératoire consistant à remplacer les schèmes perceptifs rigides (bien que découverts par tâtonnement) par la composition mobile (bien que comprise en un acte immédiat de coordination), il entraîne par le fait même une généralisation possible, dont nous venons de voir des exemples quasi instantanés dans le cas des petits nombres familiers à l’enfant. La seconde est que, parallèlement à ce processus psychologique, l’opération de mise en correspondance se manifeste enfin sous son aspect véritable qui est celui d’une composition multiplicative. Lors des correspondances 1 à 1, 2 à 1, 3 à 1, etc., la valeur n de chaque ensemble n’est plus comprise seulement comme procédant de n à n + n mais de « 1 fois n », à « 2 fois n », à « 3 fois n », etc. Ces résultats vont nous permettre d’examiner maintenant, en guise de conclusion, le problème de la multiplication des classes et des nombres en général.

En étudiant, au cours des chap. III à IV, les divers types de correspondance terme à terme, nous avons déjà constaté que l’équivalence par correspondance bi-univoque et réciproque était une équivalence d’ordre multiplicatif.

Il existe, en effet, une grande diversité de formes d’équivalence et c’est le rôle d’une psychologie génétique aussi bien que d’une logistique opératoire soucieuses de mettre en évidence les articulations réelles de la pensée, que de distinguer ces relations variées au lieu de chercher à les confondre. Appelons A₁ une classe quelconque de fleurs bleues et A’₁ une classe quelconque de fleurs roses. Les classes A₁ et A’₁ peuvent être réunies en B₁ (= les fleurs considérées). Il est alors clair que les classes A₁ et A’₁ sont équivalentes en tant que B (les fleurs bleues et roses sont équivalentes en tant que fleurs) et que l’on peut écrire A₁ B1= A’₁. Cette première relation est une équivalence additive parce que dérivant de l’addition A₁ + A’₁ = B₁. Supposons maintenant que nous classions certains objets (ces fleurs ou des vases, des pots, etc.) selon l’emplacement qu’ils occupent sur la table, par exemple rangés en ligne de gauche à droite : A₂ sera l’objet de gauche, A’₂ son voisin de droite, puis viendront B’₂ ; C’₂… jusqu’à J’₂, la classe totale s’appelant K₂. Si nous multiplions les [p. 273] classes B₁ et K₂ c’est-à-dire, par définition de la multiplication des classes, si nous admettons que les classes considérées sont « à la fois » des B₁ et des K₂ nous avons B₁ × K₂ = A₁ K₂ + A’₁ K₂. Dès lors, les classes A₁ et A’₁ sont équivalentes en tant que K₂ mais cette fois l’équivalence est d’ordre multiplicatif et exprime que les cl. A₁ et A’₁ sont l’une et l’autre multipliées par K₂. Cette équivalence multiplicative signifie que les cl. A₁ et A’₁ ont la même structure K₂ ou, plus simplement, que les classes A₁ K₂ et A’₁ K₂ se correspondent terme à terme : chacune de ces classes est, en effet, formée des classes singulières A₁ A₂ + A₁ A’₂ + A₁ B’₂ + A₁ C’2… etc., et A’₁ A2 + A’₁ A’₂ + A’₁ B’₂ + A’₁ C’₂… etc. De telles équivalences multiplicatives entre classes ou correspondances qualitatives sont d’utilisation courante dans les sciences comparatives, par exemple lorsqu’en anatomie comparée on fait correspondre terme à terme les pièces du squelette d’une famille à celles d’une autre famille zoologique, ou lorsqu’en psychologie on fait correspondre, ainsi que tout ce volume en est une illustration, les niveaux de développement d’une notion à ceux d’une autre notion.

En bref, construire des équivalences par correspondances qualitatives ou coordonner ces équivalences, c’est déjà se livrer à une opération multiplicative, sans que le nombre intervienne encore pour autant (voir chap. VII § 3). Comment donc procédera-t-on de cette multiplication des classes à celle des nombres eux-mêmes ? Il n’est aucun besoin à cet égard d’explication nouvelle par rapport à ce que nous avons déjà vu du passage de l’addition des classes à celle des nombres. Supposons, en effet, que chacun des termes des classes B₁ et K₂ soit considéré comme étant une simple unité, à la fois égale aux autres et distincte d’elles ⁴, alors les classes A₁ K₂ et A’₁ K₂ seront formées chacune de 10 unités, chaque unité A₁ A₂ ou A’₁ A’₂, etc., appartenant à la fois à la classe A₁ ou A’₁ (fleur bleue ou rose) et à la classe K₂ (positions). D’autre part, la correspondance bi-univoque et réciproque devient par cela même « quelconque » ou numérique, c’est-à-dire qu’elle exprime sans plus l’équivalence existant entre 2 collections de 10 termes, cette équivalence par équi-distribution n’étant autre chose que l’opération de la multiplication elle-même : 2 × 10 ou 10 × 2. Le raisonnement est naturellement le même pour n classes (n étant fini).

[p. 274] Précisons seulement que, dans le cas des opérations multiplicatives comme dans celui des additions, la composition qualitative des classes ne se constitue pas sur le plan opératoire avant celle des nombres mais en même temps. Il n’y a pas un stade de la multiplication logique et un stade de la multiplication arithmétique : au cours d’un premier stade, aucune de ces compositions n’est possible, au cours du second, toutes deux s’esquissent sur un plan intuitif mais sans achèvement opératoire et au cours du troisième, toutes deux se constituent en opérations proprement dites, d’où le succès simultané des diverses épreuves étudiées en ce chapitre et la généralisation immédiate de la multiplication sitôt qu’elle est découverte.