Chapitre VII.
La composition additive des classes et les rapports de la classe et du nombre ^a 🔗

Pour étudier la composition additive des classes, c’est-à-dire l’inclusion des classes partielles en une classe totale, sous la forme sous laquelle cette question se rapproche le plus du problème de la conservation des quantités, il convenait d’analyser le rapport d’extension logique entre les termes « quelques » et « tous » de manière à mettre en évidence l’élément de quantification inhérent à toute addition, à celle des classes aussi bien qu’à celle des nombres. Nous avons élaboré à cet égard une série d’épreuves du type suivant. Soit B une collection d’objets individuels constituant une classe logique définissable en termes purement qualitatifs, et A une partie de cette collection constituant une sous-classe définissable elle aussi en termes qualitatifs : le problème est simplement de savoir s’il y a « plus » d’éléments dans la classe totale B que dans la classe incluse A, autrement dit si la classe B est plus grande ou plus « nombreuse » que la sous-classe A.

Nous avons commencé par nous servir du matériel même précédemment utilisé pour étudier les questions de correspondance et de [p. 201] conservation des quantités. Soit, par exemple, une boîte ne contenant que des « perles en bois » (= classe B), dont la plupart sont brunes (ces « perles brunes » = classe A), mais dont deux sont blanches (ces « perles blanches » = classe A’) : la question que l’on pose alors sans plus est de savoir si dans cette boîte il y a davantage de perles en bois B ou de perles brunes A. On voit que la composition additive des classes intervient ici sous sa forme la plus élémentaire possible : A + A’ = B, d’où A = B − A’ et A < B. Or ce problème s’étant d’emblée révélé d’une grande difficulté pour les petits de 4 à 6 ans, nous l’avons posé en termes encore plus intuitifs. D’une part, nous avons demandé lequel de deux colliers serait le plus long, celui que l’on pourrait construire avec les perles en bois (B) ou avec les perles brunes (A) ; et, pour mieux faire saisir la différence entre A et B nous avons, au préalable, posé deux boîtes vides à côté de la boîte de perles en précisant : « Si je sors les perles brunes pour les mettre ici (première boîte vide), restera-t-il des perles dans la boîte (pleine) ? et : « Si je sors les perles en bois pour les mettre là (seconde boîte vide), restera-t-il… etc. ? » Or, la compréhension de ces deux dernières questions n’entraîne en rien la solution juste de celles des colliers. D’autre part nous avons varié de diverses manières les données du problème : par exemple en présentant à titre de classe B une collection de perles bleues, dont la plupart sont carrées (= cl. A) et deux ou trois rondes (= cl. A’) ; etc. Ou encore nous avons présenté une collection de fleurs (= cl. B) comprenant une vingtaine de coquelicots (= cl. A) et deux ou trois bluets (= cl. A’), d’où la question « quel bouquet sera le plus gros, celui fait avec toutes les fleurs ou avec tous les coquelicots ? » ; etc.

Les résultats convergents de ces différents types d’interrogatoires se succèdent selon trois stades, qui correspondent aux trois étapes distinguées jusqu’ici dans l’évolution de la conservation des quantités et de la correspondance cardinale ou ordinale. Durant le premier stade, l’enfant demeure incapable de saisir que les classes B contiendront toujours plus d’éléments que les classes d’ordre A, et cela parce que, psychologiquement, il ne parvient pas à penser simultanément le tout B et les parties A et A’, ce qui revient à dire que, logiquement, il ne conçoit pas encore la classe B comme résultant de l’addition B = A + A’ ni la classe A comme résultant de la soustraction A = B − A’. Au cours du second stade, l’enfant parvient peu à peu à établir que les classes d’ordre B contiennent plus d’éléments [p. 202] que les classes incluses d’ordre A, mais il fait cette découverte intuitivement sans procéder encore par voie déductive et opératoire : en effet, ce n’est qu’obligé à visualiser les colliers ou collections qu’il découvre le rapport B > A et non pas d’avance grâce au jeu même des inclusions résultant de la composition additive. En particulier, l’enfant découvre fréquemment le rapport B > A au moment où il pense au nombre précis des éléments de la classe A’ (ou de la classe A lorsqu’il les compte). Enfin, durant un troisième stade, l’enfant comprend d’emblée que la classe incluante B est plus nombreuse que la classe incluse A, parce qu’il se place d’avance au point de vue de la composition additive (B = A + A’ et A = B − A’).

Analysons d’abord la réaction des petits au problème des perles brunes (A) et des perles en bois (B). Voici quelques exemples :

Stro (6 ans) : « Est-ce qu’il y a dans cette boîte plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de perles brunes. — Pourquoi ? — Parce que celles en bois, il n’y en a que deux. —  Mais les brunes ne sont pas aussi en bois ? — Ah ! oui. — Alors, il y a plus de brunes ou plus de perles en bois ? — Plus de brunes. »

Mais, étant donnée la constance des réponses du type de celle de Stro, nous avons progressivement concrétisé la question, en commençant par amener l’enfant à se représenter les colliers susceptibles d’être construits au moyen des perles brunes et des perles en bois :

Bis (6 ; 8) : « Y a-t-il plus de perles en bois ou de perles brunes ? — Plus de brunes, parce qu’il y a deux blanches. — Les blanches sont en bois ? — Oui. — Et les brunes ? — Aussi. — Alors il y a plus de brunes ou plus de perles en bois ? — Plus de brunes. — Un collier avec les perles en bois aurait quelle couleur ? — Brun et blanc (on voit donc que Bis comprend fort bien les données du problème I). — Et un collier fait avec les perles brunes ? — Brun. —  Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois ou avec les perles brunes ? — Avec les perles brunes. — Dessine-moi les colliers. — (Bis dessine une série de ronds noirs pour le collier des perles brunes, et une série de ronds noirs plus deux blancs pour le collier des perles en bois.) — Très bien. Alors quel collier sera le plus long, celui des perles brunes ou celui des perles en bois ? — Avec les perles brunes. » On voit combien, malgré une compréhension exacte et une représentation graphique correcte des données du problème, Bis ne parvient pas à le résoudre par une inclusion de la classe des perles brunes dans la classe des perles en bois !

Fat (7 ; 3) : « Est-ce qu’il y a plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de brunes. » Nous dessinons alors sur une grande feuille blanche les perles brunes et deux perles blanches. « Mets dans un rond toutes les brunes. —  [p. 203] (L’enfant entoure les brunes d’un cercle tracé au crayon.) — Fais maintenant un rond autour des perles en bois. — (Fat trace un cercle autour des deux perles blanches seulement.) — Et les brunes ne sont pas en bois ? — Ah ! Oui (il efface le cercle entourant les deux blanches et fait un rond autour de l’ensemble des perles). — Alors si on faisait un collier avec les perles en bois et un collier avec les perles brunes, lequel serait le plus long ? — Avec les brunes. »

La difficulté restant la même pour l’enfant, nous avons essayé de simplifier encore le problème en plaçant, à côté de la boîte contenant les perles, deux boîtes vides destinées à recevoir symboliquement l’une les perles brunes et l’autre les perles en bois. Mais le problème demeure néanmoins insoluble pour les petits :

Bes (6 ; 2) : « Est-ce que toutes ces perles sont en bois, ou pas ? — Elles sont toutes en bois. —  Y a-t-il plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Il y a plus de perles brunes. — Si je mets les perles brunes dans cette boîte est-ce qu’il restera des perles dans celle-là ? — Oui, les blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte vide, il en restera ici ? — Non. — Alors si on faisait un collier avec toutes les perles en bois qui seraient dans cette boîte (la première vide) et si on faisait un autre collier avec les perles brunes qui seraient dans cette autre boîte (la seconde boîte vide), lequel serait le plus long ? — Celui des brunes. »

Eug (5 ; 6) : « En quoi elles sont ces perles ? — En bois. — Quelle couleur ? — Brunes. —  Et celles-là ? — Blanches. — Et en quoi elles sont ? — Aussi en bois. — Et si je mets toutes les perles en bois dans cette boîte vide, il en restera ? — Non. — Et si je mets toutes les brunes dans cette autre boîte vide, il en restera ? — Oui, les blanches. — Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les perles en bois dans cette boîte (vide) ou celui qu’on ferait avec les perles brunes dans cette autre boîte (vide) ? — Avec les brunes. »

Oli (5 ; 2) : « Elles sont toutes brunes, ces perles ? — Non, il y a deux blanches. — Elles sont toutes en bois ? — Oui. — Si on versait toutes les perles en bois ici, il en resterait ? — Non. — Si on versait là toutes les perles brunes, il en resterait ? — Oui, les deux blanches. — Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les brunes de cette boîte ou celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois de cette autre boîte ? — Avec les brunes. »

Voici un dernier essai pour simplifier le problème, essai qui l’a au contraire compliqué encore pour l’enfant, mais qui met peut-être en évidence une des difficultés centrales de la solution :

Laur (5 ; 5) : « Si je mets les perles brunes dans cette boîte, il en restera ? — Oui, les deux blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte, il en restera ? — Non. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont toutes en bois. — Alors, dis donc, il y a deux petites filles qui voudraient faire des colliers avec ces perles : une voudrait faire son collier avec les perles brunes, et l’autre avec les perles en bois. Tu comprends ? — Oui, mais celle qui fait le collier en bois, elle prend seulement les blanches ? — Non. — Aussi les brunes ? (À noter le caractère spontané de ces deux questions.) — Qu’est-ce que tu penses ? — Oui. — Pourquoi ? — Elles sont aussi en bois. — Alors quel collier serait le plus long, avec les perles brunes ou avec les perles en bois ? — Avec les brunes. [p. 204] — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Montre-moi les perles que prendrait celle qui veut faire le collier avec les brunes ? — (Montre juste.) — Et montre-moi les perles que prendrait la fille qui veut faire son collier avec les perles en bois. — Celles-là (montre les deux blanches). — Seulement celles-là ? — Il n’y en a pas d’autres ! »

Sout (6 ; 10) : « Si je mets les perles brunes dans cette boîte, il en reste ? — Oui, les blanches. — Et si je mets les perles en bois dans cette autre boîte, il en reste ? — Non. — Alors, écoute, il y a deux petites filles qui voudraient faire des colliers avec ces perles : une voudrait faire le sien avec les perles brunes et l’autre avec les perles en bois. Quel collier serait le plus long ? — Le collier avec les perles brunes serait le plus long, parce qu’il y en a plus. — La petite fille qui prendrait les perles brunes, lesquelles prendrait-elle ? — Celles-là (les brunes). — Et celle qui veut faire son collier avec les perles en bois, lesquelles prendrait-elle ? — Elle prend les blanches. —  Pourquoi ? — Parce que l’autre fille a pris les brunes. »

On voit ainsi combien est systématique la difficulté du petit enfant, avant 7-8 ans, pour inclure une classe dans une autre et comprendre que la classe totale est plus grande ou plus nombreuse que la classe incluse. Mais deux sortes d’objections au moins peuvent être faites aux expériences précédentes, la première relative au rôle du langage et la seconde à celui de la perception.

En premier lieu, en effet, une classe logique ne trouve sa définition et sa délimitation que lorsqu’elle est désignée par un mot ou par une combinaison de mots. Grâce au langage tout fait transmis par l’adulte, l’enfant se trouve même, et relativement tôt, en possession d’un système de classes déjà hiérarchisées et incluses les unes dans les autres grâce à leur emploi bien défini et réglé collectivement. C’est ainsi que l’enfant, en apprenant à se servir des mots « moineau », « canard », « poule », etc., ainsi que du mot « oiseau », se trouve contraint d’inclure les classes correspondant aux premiers de ces vocables dans la classe générale des « oiseaux ». Qu’il n’y parvienne pas d’emblée, c’est ce que l’observation et l’expérience montrent clairement et ce qui prouve d’ailleurs la constance des difficultés relatives à l’inclusion. Mais, il y parvient tôt ou tard grâce au système des mots eux-mêmes. Dès lors, dans le cas de nos perles, la difficulté semble accrue du fait qu’aucun mot particulier ne désigne la classe générale et les classes spéciales mais seulement des combinaisons de mots (« perles en bois », « perles brunes » et « perles blanches »), dont chacune contient le même terme initial « perle ». Que se passera-t-il donc lorsqu’on fera l’expérience avec des classes comportant chacune un nom spécifique (par exemple des coquelicots et des bluets, rentrant dans la classe « fleurs ») ?

[p. 205] En second lieu, on peut se demander si le fait d’opposer une quarantaine de perles brunes à deux perles blanches seulement ne crée pas une illusion systématique dans l’esprit de l’enfant. Il est clair qu’une telle présentation semble indispensable pour nécessiter le raisonnement, autrement dit pour que la réflexion l’emporte sur une simple lecture des données de la perception. Mais ces données n’empêchent-elles pas peut-être précisément la réflexion, tant elles sont polarisées du point de vue purement perceptif ? Que se passera-t-il donc lorsque l’on variera les proportions ou les qualités perçues ?

Pour répondre à la première objection, nous avons posé les mêmes questions à l’enfant, mais en recourant à des classes logiques désignées chacune par un mot particulier : « coquelicots » + « bluets » = « fleurs », et « garçons » + « filles » = « enfants ». Voici quelques exemples de réponses relatives aux fleurs :

Arl (5 ans) F. : « Tu vois, dans ce pré (dessin représentant 20 coquelicots et 3 bluets), il y a beaucoup ou peu de fleurs ? — Beaucoup. — Comment elles sont ? — Rouges et bleues. — Les rouges sont des coquelicots et les bleues des bluets ? — Oui. — Je veux faire un très gros bouquet. Alors faut-il cueillir les fleurs ou les coquelicots ? — Les coquelicots. — Montre les coquelicots ? — (Montre juste.) — Montre les fleurs. — (Elle désigne d’un geste circulaire l’ensemble du dessin.) — Alors quel bouquet sera le plus gros, si je prends les fleurs ou les coquelicots ? — Les coquelicots. — Si je cueille les coquelicots, qu’est-ce qui restera ? — Les bleues. — Et si je cueille les bluets, qu’est-ce qui restera ? — Les coquelicots. — Et si je cueille les fleurs, qu’est-ce qui restera ? — (Réflexion) Rien du tout. — Alors quel bouquet sera le plus gros, celui des fleurs ou des coquelicots ? — Mais je t’ai déjà dit. — Réfléchis (on répète la question). — Le bouquet de coquelicots sera le plus gros. — Et celui des fleurs ? — Il sera pas la même chose. — Plus gros ou plus petit ? — Plus petit. —  Pourquoi ? — Parce qu’on a fait un gros tas de coquelicots. »

Ric (5 ; 11) F. : « Tu vois ces coquelicots et ces deux bluets. Si je prends toutes ces fleurs ou si je prends les coquelicots, quel sera le bouquet le plus grand ? — Le bouquet de coquelicots, parce qu’il y en a plus. — Montre les coquelicots. — (Juste.) — Montre les fleurs. — (Montre l’ensemble.) — Alors quel sera le bouquet le plus grand, avec toutes les fleurs ou avec les coquelicots ? — Avec les coquelicots. »

Stro (6 ans) nous regarde dessiner quinze boutons d’or et deux bluets : « Qu’est-ce que c’est ? — Des boutons d’or. — Et là ? — Des bluets. — C’est tout des fleurs ? — Oui. —  Il y a plus de fleurs ou de boutons d’or ? — Plus de boutons d’or. —  Pourquoi ? — Il n’y a que deux bluets. — Mais les boutons d’or sont des fleurs ? — Oui. — Alors il y a plus de boutons d’or ou plus de fleurs ? — Plus de boutons d’or. »

Et voici deux exemples de réponses obtenues au moyen de la question des filles et des enfants :

Juil (5 ; 6) nous regarde dessiner douze filles et deux garçons : « Dans cette classe il y a plus de filles ou plus d’enfants. — Plus de filles. — Mais les filles sont [p. 206] des enfants ? — Oui. —  Alors plus d’enfants ou plus de filles ? — Plus de filles. »

Bes (6 ; 2) : « Il y a là plus de filles ou plus d’enfants ? — Plus de filles. —  Pourquoi ? — Il y a seulement deux garçons. — Mais les filles sont des enfants ? — Oui. — Alors il y a plus de filles ou d’enfants ? — Plus de filles. »

On voit donc qu’en principe ces deux questions donnent lieu à des réponses identiques à celles que provoque le problème des perles. Néanmoins la question des filles et des enfants est nettement plus facile que celle des perles. C’est ainsi que la moitié des enfants de 6 ans que nous avons vus et même une partie de ceux de 5 ans arrivent à la résoudre. Quant au problème des fleurs, il est de difficulté intermédiaire entre les deux autres. Ces résultats sont intéressants et montrent assurément que le fait de désigner les classes totales et partielles par des noms spéciaux aident à les différencier et à les hiérarchiser. Mais, par le fait même que, dans le cas des perles, l’enfant doit construire ces classes sans que le langage l’y contraigne, on peut considérer cette question comme mettant davantage en évidence les difficultés propres à la pensée du sujet interrogé.

Quant à la seconde objection, relative aux facteurs de la perception, nous avons fait trois séries de contre-épreuves pour obvier aux inconvénients de la technique adoptée primitivement. 1. En premier lieu, nous avons présenté aux enfants un jeu de perles dont la classe totale soit définie par la couleur et non plus par la matière, de manière que cette qualité du tout soit plus frappante. Dans ce cas, les classes partielles ont été choisies d’après leur forme (rondes ou carrées). 2. En second lieu, nous avons repris l’expérience des perles brunes et des perles en bois, mais en ne donnant qu’une vingtaine de brunes contre 15 à 17 perles blanches (ou vertes, pour mieux attirer l’attention du sujet). 3. Enfin, lorsqu’il s’est agi de construire fictivement deux colliers, l’un avec la classe totale (les perles bleues ou les perles en bois des séries que nous venons de désigner par 1. et 2.), l’autre avec la classe partielle (les perles carrées de 1. et les perles brunes de 2.), nous avons présenté deux jeux de perles, dans deux boîtes distinctes pour faciliter la dissociation du tout et des parties.

Or, ces nouvelles techniques, tout en facilitant légèrement l’arrivée à la réponse juste (du moins les deux dernières), ont néanmoins donné lieu à des réactions identiques aux précédentes, ce qui montre bien que la difficulté de l’inclusion est en bonne partie indépendante des facteurs de perception.

[p. 207] 1. Voici d’abord des exemples de réponses relatives à la classe totale définie par la couleur :

Arl (5 ans) est mis en présence d’une dizaine de petits cônes bleus (des « toits ») et de trois perles rondes également bleues : « Regarde : il y a plus de bleus ou plus de toits ? — Plus de toits. — Les ronds sont comment ? — Bleus. — Et les toits ? — Aussi bleus. — Alors il y a plus de toits ou de bleus ? — De toits. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a beaucoup. — Et de bleus ? — Tout est bleu (!). — Alors il y a plus de bleus ou plus de toits ? — De toits. »

Dur (5 ½) est mis en présence de dix perles carrées bleues et de trois rondes également bleues : « Comment sont ces perles ? — Bleues. — Est-ce qu’elles sont toutes carrées ? — Il y a des rondes et des carrées. —  Si je sors les carrées, il en reste ? — Les rondes. — Si je sors les bleues il en reste ? — Il n’en reste plus. (Montre du doigt l’ensemble total.) — Une petite fille voudrait faire un collier avec les carrées, une autre pense qu’il faudrait faire le collier avec les bleues. Quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les carrées ou celui qu’on ferait avec les bleues ? — Celui des carrées. »

Jea (6 ans) même début d’interrogatoire. « Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les carrées ou celui qu’on ferait avec les bleues ? — Avec les carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de carrées. » Puis Jea dessine les deux colliers, l’un formé de perles carrées seules, l’autre de perles rondes et carrées (une dizaine de carrées pour le premier et huit carrées plus deux rondes pour le second). « Très bien, alors lequel sera le plus long ? — Le collier des carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. »

Hub (5 ½). Même début d’interrogatoire : « Une petite fille veut faire un collier avec les perles carrées. Une autre voudrait le faire avec les bleues. — (Hub rit et dit spontanément :) Elles sont toutes bleues ! — Oui. — Alors quel collier serait le plus long ? — Celui des carrées parce qu’il y en a plus. »

On voit ainsi que les réponses sont exactement du même ordre que celles données à propos des perles en bois et des perles brunes.

2. Voici maintenant quelques exemples de réactions aux questions de perles en bois et des brunes, mais en donnant deux parties sensiblement égales :

Tap (5 ½ ans). Même début d’interrogatoire (transvasements, etc.) : « Alors quel collier serait le plus long, celui qu’on ferait avec les perles brunes (20 perles) ou celui avec les perles en bois (20 brunes plus 18 vertes) ? — Celui avec les brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. » Nous donnons alors à Tap deux jeux de perles (voir 3) en deux boîtes séparées contenant chacune 20 brunes et 18 vertes, toutes en bois. « Tu vois la petite fille qui a cette boîte fait son collier avec les perles brunes, celle qui a cette boîte fait son collier avec les perles en bois qui sont dedans. Quel collier serait le plus long ? — Les brunes, parce qu’il y en a plus. — Et le collier des perles en bois aurait quelle couleur ? — Seulement vert. »

Jea (6 ans), etc. : mêmes réponses.

Ros (5 ½ ans), qui n’a pas passé par les autres questions, est mis en présence d’une collection de 20 perles brunes et de 18 perles vertes, à propos de laquelle nous posons nos questions selon le même schéma, mais en appelant le tout « les perles rondes » : « Quelle couleur, celles-ci ? — Brunes. —  Et celles-là ? — Vertes. [p. 208] — Et quelle forme ? — Elles sont toutes rondes. — Et si je mets les perles brunes dans ce couvercle, en restera-t-il dans la boîte ? — Oui, les vertes. — Et si je mets les rondes dans le couvercle-là, en restera-t-il dans la boîte ? — Non, elles sont toutes rondes. — Et si je mets les perles brunes dans ce couvercle, en restera-t-il dans la boîte ? — Oui, les vertes. —  Et si je mets les rondes dans le couvercle-là, en restera-t-il dans la boîte ? — Non, elles sont toutes rondes. —  Alors si tu fais un collier avec les brunes, et qu’après, quand il est défait, tu fais un collier avec les vertes, et qu’après, quand il est défait, tu fais un autre collier avec les rondes, quel collier sera le plus long ? — Celui avec les brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. » Je donne à Ros deux jeux identiques de vertes et de brunes, en deux boîtes séparées, et je lui dis : « Tu as deux amis à l’école ? — Oui, André et Olivier. — Alors je donne une de ces boîtes à André (je la mets à droite) et l’autre à Olivier (à sa gauche). Elles sont pareilles ? — Oui. — Alors André va prendre dans sa boîte les brunes et faire un collier avec et Olivier, pour faire son collier, va prendre les rondes qui sont dans sa boîte à lui. Lequel de ces deux colliers sera le plus long ? — Celui d’André, parce qu’il prend plus de perles : il y a plus de brunes. »

Enfin nous avons combiné ces proportions avec une question caractérisant le tout par la couleur :

Be (5 ½ ans) reçoit une boîte contenant 10 perles jaunes de grande taille et une quinzaine de perles jaunes de petite taille. Après un début d’interrogatoire identique aux précédents, je demande : « Quel collier sera le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les petites ou le collier avec toutes (!) les jaunes ? — Le collier des petites. —  Pourquoi ? — Il y en a plus. — Mais elles sont aussi jaunes ? — Oui. — Alors quel collier serait le plus long ? etc. — Celui des petites. »

On voit ainsi qu’une proportion à peu près égale de la partie considérée et de l’autre ne change que peu de choses aux réponses obtenues, même lorsque l’on combine cette condition avec une définition du tout par la couleur ou la forme.

3. Enfin, le fait de donner deux jeux identiques de perles aux enfants facilite légèrement l’arrivée à la réponse juste, puisque le sujet peut simultanément regarder l’un des jeux en se disant qu’il n’en retire que les brunes et l’autre en se disant qu’il l’utilise en entier. Mais cette facilité ne supprime pas toutes les difficultés du problème. On vient déjà de le voir avec Tap et Ros mais voici encore d’autres exemples :

Er (5 ½ ans). Deux jeux de perles bleues contenant chacun 10 carrées et 3 rondes. « Quel collier sera le plus long ? — Celui des carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Elles sont bleues ou pas ? — Oui. — Alors quel collier serait le plus long, celui que A. fera avec les carrées qui sont dans cette boîte, ou celui que M. fera avec les bleues qui sont dans celle-ci ? — Celui avec les carrées. »

Suz (6 ans). Mêmes questions : « C’est le collier des carrées qui sera le plus long. — Il y en a combien ? — Dix. — Et de bleues ? — Trois. — Les carrées [p. 209] sont comment ? — Aussi bleues. — Alors ? — C’est celui des bleues. Elles sont aussi bleues, les carrées. — Alors si J. prend les carrées de cette boîte pour faire son collier et si L. prend les bleues de sa boîte pour faire le sien, quel collier sera le plus long ? — Celui des carrées. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de carrées. »

Il est inutile de multiplier les exemples, qui reviennent tous à ce même type et qui confirment ainsi les réponses obtenues avant ces modifications de la première technique employée.

Les faits étant ainsi établis, il convient de chercher à les interpréter.

Les enfants dont nous avons transcrit les réponses ont tous compris la nature des totalités envisagées dans nos problèmes d’inclusion. Ils ont saisi que toutes les perles présentées étaient en bois (ou bleues, etc.) et l’ont montré soit verbalement, soit graphiquement, soit par une opération fictive de transvasement. Verbalement Bio, Bes, Eug, etc., affirment d’emblée que les perles perçues « sont toutes en bois » ; Stro, qui commence par croire que les perles en bois ne sont qu’au nombre de deux (les deux blanches), reconnaît ensuite que toutes les brunes plus les deux blanches sont en bois, etc. Ces enfants semblent donc bien en possession de la proposition générale qui définit le tout considéré. Graphiquement, d’autre part, ils savent fort bien dessiner les deux colliers formés soit avec l’ensemble des perles, soit avec les brunes seules, le premier comportant en plus les deux perles blanches. En troisième lieu, tous les enfants parviennent, sans aucune difficulté, à comprendre que si l’on enlevait de leur boîte toutes les perles en bois pour les mettre dans une boîte vide, il ne resterait aucune perle, tandis que si l’on enlevait les brunes seules il resterait les blanches ! Il est donc impossible de contester que ces sujets ont bien la notion du tout ou de la classe totale dont il s’agit dans nos questions et parviennent bien à la proposition générale définissant cette classe : « Toutes ces perles sont en bois. »

D’autre part, et par cela même, ces enfants savent bien que les perles brunes constituent une partie de ce tout et qu’elles sont à la fois brunes et en bois.

Cependant, dès qu’il s’agit de penser simultanément au tout et à la partie, comme le veut notre question, les difficultés surgissent. Tout se passe comme si l’enfant, en pensant à la partie, oubliait le tout et réciproquement. Ou plutôt, l’enfant, lorsqu’il pense au tout, parvient bien à se représenter les parties non encore dissociées [p. 210] (puisque, par exemple, il dessine correctement le collier correspondant au tout et distingue fort bien dans ce tout une vingtaine de perles brunes et les deux perles blanches), mais, lorsqu’il cherche à dissocier l’une des parties, il n’arrive plus à se rappeler le tout ou à tenir compte de lui et il se borne à comparer la partie dont il s’occupe à la partie restante, c’est-à-dire au résidu du tout primitif : dès qu’il pense aux perles brunes, l’enfant ne les compare, en effet, qu’aux blanches et non plus à l’ensemble des perles en bois. En d’autres termes, les enfants dont nous avons cité les réponses ne parviennent pas à établir une hiérarchie ou une inclusion permanente entre le tout et les parties : dès que le tout est dissocié, même en pensée, les parties cessent d’être incluses en lui mais sont simplement juxtaposées sans synthèse.

C’est donc, en définitive, la relation d’inclusion qui apparaît comme incomprise de nos enfants ou non encore élaborée par eux : les totalités envisagées par eux ne constituent point des classes logiques, mais des schèmes élémentaires d’assimilation ou des agrégats syncrétiques, tels que la relation entre la partie et le tout n’est pas encore, pour l’enfant, une relation quantitative ni même quantifiable « intensivement », c’est-à-dire qu’elle n’est une relation ni de fraction ni d’inclusion mais une simple participation qualitative. L’enfant sait bien que les perles brunes sont aussi en bois et qu’elles font donc partie du même tout que les blanches : c’est pourquoi il sait fort bien dessiner le collier en bois en accolant les blanches aux brunes et qu’il peut fort bien dire, d’autre part, que si l’on enlève de la boîte toutes les perles en bois, il n’y restera plus rien. Mais, s’il s’agit de concevoir à la fois la classe des perles en bois et la classe des perles brunes, c’est-à-dire de se placer au point de vue quantitatif de l’inclusion de deux classes en leur extension, les difficultés réapparaissent et l’enfant ne peut plus inclure dans la classe « en bois » les éléments qu’il vient de compter dans la classe « brune ». On peut donc dire qu’au point de vue qualitatif le sujet comprend bien qu’une perle puisse être à la fois brune et en bois, mais qu’au point de vue de l’inclusion ou de la classification quantitative, il ne peut compter ou simplement situer ces mêmes perles dans deux ensembles à la fois : si l’on se borne à compter les perles en bois, l’enfant y inclut les brunes, mais si l’on compte d’une part les brunes et d’autre part les perles en bois, l’enfant compte les brunes dans le premier ensemble seulement et non pas dans le second, sans comprendre que le premier [p. 211] rentre lui-même dans le second, comme une partie dans un tout.

En bref, sitôt que l’enfant raisonne sur l’une des parties envisagée pour elle-même, la totalité comme telle se dissout alors en transférant ses qualités sur l’autre partie seulement. Si nous appelons B le tout, A la partie considérée et A’ l’autre partie, nous constatons donc que la difficulté des enfants de ce premier stade à comprendre la relation d’inclusion ou de partie à totalité, est en réalité une difficulté à concevoir le tout comme résultant d’une composition additive des parties : B = A + A’ et A = B − A’. Pour l’enfant, le tout est simplement une collection B caractérisée par les deux qualités a (= brun) et a’ (= non brun) tandis que la partie A séparée du tout devient une nouvelle collection caractérisée par la seule qualité a : mais si A est ainsi dissocié de B, alors l’ancienne totalité B est conçue comme se réduisant à la petite collection restante A’ caractérisée par la qualité a’, d’où A > (B = A’). Ou encore, si la totalité B est caractérisée par le caractère b (= en bois) commun à tous ses éléments et si les parties A et A’ sont définies par les qualités a (= brunes) et a’ (= non brunes), on a B = A (= ab) + A’ (= a’b) : pour l’enfant, au contraire, si la partie A est dissociée du tout B, alors A n’est plus caractérisé que par a, et le tout B disparaît au profit de A’, lequel est défini par b seul.

Mais il ne faudrait pas croire que la totalité B disparaisse ainsi toujours en tant que telle, lorsqu’une de ses parties en est dissociée. Il peut arriver, au contraire, que le tout semble se conserver et même peser sur toute l’évaluation ultérieure des parties résultant de sa dissociation. Nous avons observé de tels phénomènes — en apparence inverses — à propos de la mise en correspondance :

Gfe (5 ans) échange terme à terme une dizaine de grains de haricots avec ceux que nous tirons au fur et à mesure d’un cornet pour les aligner devant lui : « Est-ce que nous avons la même chose, toi et moi ? — Non. — Où il y a le plus ? — Là (montre nos 10 grains). — Pourquoi ? — Parce qu’il y en avait plus dans le cornet. »

Stho (6 ans) a devant lui 10 perles jaunes tirées d’une boîte qui en contient encore beaucoup, tandis que les 10 perles rouges correspondantes, qu’il nous a données une à une, n’émanent d’aucune boîte visible : « C’est la même chose ou un de nous en a plus ? — C’est moi. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus dans la boîte. —  Mais il y en a plus là (les 10 jaunes) que là (les 10 rouges) ? — Oui, parce qu’il y en a encore dans la boîte. »

Arl (5 ans) Obs. I. Nous échangeons 10 feuilles dans un jardin contre 10 pierres en laissant de côté une provision de ces cailloux tandis qu’il ne reste plus de feuilles de réserve. « C’est la même chose ? — Il y a plus de feuilles. [p. 212] — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a beaucoup. —  Et de pierres ? — Pas tant. —  Pourquoi ? — Parce que vous n’avez pas mis toutes les pierres. — Pourquoi je n’ai pas mis toutes les pierres ? — Il n’y avait plus de feuilles pour donner (= il n’y avait pas assez de feuilles pour les faire correspondre à toutes les pierres). — Alors il y a la même chose de feuilles pour moi que de cailloux pour toi ? — Non, parce qu’il y a beaucoup de feuilles. Il y a plus de feuilles. — Pourquoi ? — Parce qu’il n’y avait pas assez de feuilles pour mettre beaucoup de pierres. »

Obs. II. Un moment après : Arl a 8 pierres et l’expérimentateur beaucoup. On fait l’échange terme à terme d’où résultent deux tas séparés de 8 sans contact avec la provision initiale de l’expérimentateur : « Nous avons la même chose ? — Non. — Qui a plus ? — C’est moi. — Pourquoi ? — Parce que vous me les avez données de ce grand tas. — Et toi ? — J’avais un petit peu. — Et alors ? — Vous aviez plus de pierres (montre le grand tas). — Oui, mais ici et là (les deux tas de 8) ? — C’est moi qui a plus. — Pourquoi ? — J’ai des pierres d’ici (montre la provision initiale). »

De telles réactions sont fort suggestives, et, tout en paraissant au premier abord contradictoires avec les précédentes et même contradictoires entre elles (cf. obs. I et II d’Arl), elles constituent en réalité une utile contre-épreuve.

On constate, tout d’abord, la différence des situations. Dans le cas étudié jusqu’ici, une totalité B₁ est comparée à ses propres parties A₁ et A’₁. Dans les observations que nous venons de transcrire, au contraire, une partie A₁ d’une première totalité B₁ est comparée soit à une seconde totalité B₂ soit à une partie A₂ de cette seconde totalité. C’est pourquoi, lorsque la partie A₁ est comparée à son propre tout B₁, celui-ci disparaît comme tel, du point de vue de l’enfant du présent stade, puisque la partie A₁ en est dissociée (réellement ou en pensée) et qu’alors la totalité B₁ se confond avec le résidu A’₁. Par contre, lorsque la partie A₁ de la première totalité B₁ est comparée à une seconde collection B₂, deux éventualités peuvent se présenter. Dans la règle, une fois la collection A₁ séparée de son tout B₁, celui-ci, ou le résidu A’₁ sont simplement oubliés. C’est ce qui s’est produit chez presque tous nos sujets des chap. III et IV : après avoir retiré d’une boîte ou d’une réserve situées à côté de lui les perles, jetons ou grains de haricots destinés à être mis en correspondance terme à terme avec ceux de l’expérimentateur, l’enfant n’a plus, en général, tenu aucun compte de la collection où il puisait ses propres éléments (ni de celle où l’expérimentateur prenait les siens). Mais il peut arriver que le sujet, dans ses essais d’évaluation quantitative, se réfère à ces collections initiales, et c’est alors que se produisent les faits exceptionnels que nous venons de citer (cas de Gfe, Stro, Arl et quelques autres semblables).

[p. 213] Or, en ce dernier cas, nous constatons l’existence de deux réactions qui semblent, cette fois, contradictoires entre elles et non plus seulement avec les précédentes. D’une part, en effet, Arl (obs. I) s’imagine que ses 10 feuilles font plus que 10 cailloux, car ces 10 feuilles constituent un tout B₂ tandis que les 10 cailloux ne sont qu’une partie A₁ d’un ensemble plus vaste B₁. Au contraire le même Arl (obs. II), Stro et Gfe, pensent que si A₁ provient d’un tout B₁ plus vaste que B₂, alors la partie A₁ sera plus nombreuse que B₂ même s’il y a correspondance terme à terme entre A₁ et B₂ !

Comment expliquer ces faits si curieux ? Ils relèvent en réalité exactement des mêmes causes que l’incapacité à penser la partie A₁ et le tout B₁ à la fois, c’est-à-dire au primat de la quantification globale sur la quantification opératoire (qu’il s’agisse de quantifier les concepts, c’est-à-dire de déterminer leur extension ou de constituer des nombres, peu importe).

Rappelons, tout d’abord, que les observations prises sur Gfe, Stro et Arl l’ont été à propos d’expériences sur la correspondance terme à terme, et ont précisément permis d’établir que, pour ces enfants, la correspondance ne constitue pas pour eux un critère de quantification (premier stade) : c’est l’évaluation globale ou par figures d’ensembles qui constitue à leurs yeux le critère suprême.

Dès lors, quand Arl (obs. I), après avoir échangé 10 feuilles contre 10 pierres, déclare qu’« il y a plus de feuilles » ou qu’« il y en a beaucoup » parce qu’il n’en reste aucune après l’opération, tandis qu’il y a moins de pierres parce qu’on ne les a pas toutes employées et qu’il subsiste une réserve, il veut simplement dire que les feuilles forment une totalité fermée B₂ par opposition aux 10 pierres qui ne sont qu’une partie A₁ de la totalité non épuisée B₁ : « toutes » les feuilles sont donc plus que « quelques » pierres, indépendamment des correspondances possibles, parce qu’un tout intuitivement perçu en même temps qu’une partie est plus grand que cette partie.

Mais inversement, lorsque le même enfant (Arl obs. II ou Gfe et Stro) porte son attention non plus sur la partie A₁ mais sur le tout B₁ (à supposer que le résidu A’₁ soit notablement plus grand que la partie A₁), alors le phénomène contraire se produit, et pour la même cause : la partie A₁ émanant d’un grand tout B₁ encore visible grâce au résidu A’₁ (et le tout B₁ a tendance à se confondre avec ce résidu inépuisé et paraissant inépuisable A’₁), alors la qualité de grandeur propre à B₁ et à A₁ se transfère sur la partie A₁ laquelle, grâce à cette [p. 214] sorte de participation qualitative, semble donc plus grande que l’autre collection B₂. Bien entendu, du point de vue logique, un tel raisonnement est contradictoire avec le précédent. Mais, du point de vue intuitif de la perception globale, il procède des mêmes critères d’évaluation immédiate et non opératoire.

On comprend maintenant pourquoi, dans l’exemple des perles brunes et des perles en bois et dans les cas semblables où une partie A₁ est comparée à son propre tout B₁ (lorsque le résidu A’₁ est plus petit que A₁), il semble à l’enfant que A₁ > B₁ parce que la totalité B₁ se dissout comme telle. Si les seuls critères utilisés par l’enfant sont d’ordre intuitif et non pas opératoire, il est clair, en effet, qu’une totalité scindée en deux, fût-ce par expérience mentale, n’existe plus en elle-même, parce qu’alors elle ne correspond plus à aucune perception possible : l’enfant peut percevoir à part le tout B₁ ou les parties A₁ et A’₁ mais non pas simultanément B₁ et A₁ ou B₁ et A’₁.

Au total, il semble donc clair que, durant ce premier stade, l’enfant demeure incapable d’une composition additive des classes, c’est-à-dire de concevoir l’addition logique A + A’ = B ou la soustraction logique A = B − A’ ou A’ = B − A. En d’autres termes, il ne parvient pas à manier correctement la relation d’inclusion et substitue à l’emboîtement en extension des classes les unes dans les autres les simples liaisons intuitives des collections qualifiées. Or, précisément parce qu’elles restent intuitives et soumises à la perception actuelle, ces liaisons ne peuvent donner lieu à aucune composition stable et, par conséquent, nous retrouvons ainsi sur le plan logique le phénomène fondamental commun à toutes les réactions du premier stade sur le plan numérique : la non-conservation des totalités comme telles.

En effet, tant l’analyse des premiers niveaux de la correspondance cardinale (chap. III-IV) que celle des premiers stades de la conservation elle-même (chap. I-II) nous ont montré la difficulté systématique des petits à concevoir la permanence du tout au travers de ses transformations : par exemple, difficulté à comprendre que les perles versées en deux bocaux L₁ et L₂ constituent le même tout que lorsqu’elles étaient en B, etc. Certes, l’enfant sait bien que les perles de L₁ et de L₂ replacées et réunies en B, peuvent redonner le même tout. Seulement, lorsqu’elles ne sont plus en B, ce tout n’existe plus comme tel. Sur le plan numérique, qui est celui du fractionnement et non pas de l’inclusion, il se produit donc exactement [p. 215] le même phénomène que sur celui de l’inclusion conceptuelle, que nous examinons maintenant : la partie, une fois séparée du tout, n’est plus définie ni conçue en fonction de ce tout initial, mais seulement en fonction de la situation actuelle et des autres parties qui sont juxtaposées à celle envisagée par le sujet. Dans le cas des relations numériques rappelées à l’instant, comme dans celui de l’inclusion conceptuelle, nous pouvons donc dire que le rapport de partie à tout commence par n’être ni une relation de fraction ni une relation d’inclusion, mais simplement un rapport de participation qualitative : les parties mises en L₁ et en L₂ sont bien conçues comme émanant du tout situé primitivement en B, et comme susceptibles peut-être de le reconstituer, mais elles ne sont nullement considérées comme appartenant encore réellement à un tout logiquement indestructible. C’est pourquoi le tout, dans le domaine des nombres comme dans celui des concepts, n’est pas conçu d’emblée comme se conservant invariant, mais change de valeur qualitative au fur et à mesure des déplacements de ses parties.

Par conséquent, de même que, dans le domaine des ensembles numériques, l’enfant de moins de 7 ans n’est pas capable de l’acte de colligation assurant la permanence des totalités et constituant les parties de ces totalités en fractions véritables, de même, dans le domaine des concepts, l’enfant de moins de 7 ans n’apparaît pas apte à cette sorte de colligation qui constitue les classes logiques en extension et qui assure leur permanence en définissant l’inclusion de leurs parties. En d’autres termes, dans les deux cas les totalités ne se conservent pas, et cela faute de cette réunion sui generis des parties en un tout, synthèse en laquelle consiste la composition additive commune aux ensembles numériques et aux classes.

Les faits caractéristiques du premier stade étant ainsi décrits, il convient de les expliquer. Mais, pour ce faire, une comparaison préalable avec ceux des stades ultérieurs nous paraît utile, la loi d’évolution des réponses étant aussi importante que l’état initial.

Le second stade est caractérisé par la découverte intuitive — et non déductive — de la réponse juste, c’est-à-dire qu’il y a tâtonnement avant la construction correcte et non pas composition immédiate. Voici trois exemples :

[p. 216]Gail (6 ; 0) F : « Si tu fais un collier avec les perles brunes qui sont dans cette boîte ou avec les perles en bois qui sont là, lequel serait le plus long ? — C’est le collier des perles brunes qui sera le plus grand. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de perles brunes. —  Y a-t-il plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de perles brunes. Non, plus de perles en bois. Non, c’est la même chose ! » On voit que Gail parvient presque à inclure l’une des classes dans l’autre : ce qui lui manque seulement, c’est de comprendre que la classe en bois a deux termes de plus que la classe brune.

Tail (7 ; 2) : « Est-ce qu’il y a plus de perles brunes ou de perles en bois dans cette boîte ? — Plus de brunes. — Les blanches sont en bois ? — Oui. — Et les brunes ? — Aussi. — Alors il y a plus de perles en bois ou de perles brunes ? — Plus de perles en bois, parce qu’il y en a deux blanches de plus. — Quel collier serait le plus long, celui qu’on pourrait faire avec les perles brunes ou celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois ? — Les deux égaux. — Mais les blanches sont en bois ? — Oui. — Alors quel collier serait plus long, celui… etc. ? — Ah ! Le plus long sera en bois parce qu’il y a les deux blanches. »

Gon (7 ; 2) : « Si on fait un collier avec toutes les perles en bois ou un collier avec les perles brunes, lequel sera le plus long ? — La même chose. — Dessine-moi le collier avec les perles en bois. — (Gon dessine une série linéaire de perles brunes accolées.) — Elles sont toutes brunes, les perles en bois ? — Ah ! non, il y a deux blanches (il les rajoute). — Et dessine le collier de perles brunes. — (Il les dessine serrées le long d’une ligne.) — Lequel est le plus long ? — Les deux la même chose. — Pourquoi ? — C’est les mêmes. — Les colliers sont pareils ? — Il y en a un qui n’a que des brunes, et l’autre a aussi des blanches. —  Alors lequel est le plus long ? — La même chose. — Combien y a-t-il de perles brunes ? — À peu près quarante. —  Et de blanches ? — Deux. — Alors lequel est le plus long ? — Ah ! celui en bois. — Pourquoi n’as-tu pas trouvé avant ? — Je croyais que c’était la même chose. »

On constate d’abord que ces enfants commencent, soit comme ceux du premier stade par croire que les perles brunes sont plus nombreuses que les perles en bois (Gail et Tail), soit par penser avec Gon que les brunes et le tout ont la même extension. Puis Gail et Tail arrivent à se rappeler (ce que Gon fait donc immédiatement) que les perles brunes sont aussi en bois, d’où ils concluent provisoirement que la classe des perles en bois et celle des brunes se recouvrent. Si Gail en reste là, Tail et Gon par contre découvrent ensuite que, comme dit Tail « il y en a deux blanches de plus ». À noter que Gon, pour en conclure que la classe totale B des perles en bois présente une extension plus grande que celle des brunes A, a même besoin d’invoquer les nombres approximatifs des sous-classes A et A’, ce que Tail se contente de faire implicitement pour A (et explicitement aussi pour A’). Il est donc bien clair que c’est le fait de parvenir à penser à la fois à la classe totale caractérisée par la qualité b (substance) et aux classes partielles définies par les qualités a et a’ (couleur) qui conduit peu à peu ces enfants à la découverte de la composition additive et de l’inclusion correctes.

[p. 217] Enfin, au cours d’un troisième stade, le sujet parvient d’emblée et spontanément à cette découverte :

Bol (6 ½) : « Le collier de perles en bois sera plus long que celui des brunes. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a plus. — Mais pourquoi il y en a plus ? — Parce qu’il y a aussi les blanches. »

Plat (6 ; 9) : « Il y a plus de perles en bois ou plus de perles brunes ? — Plus de brunes. — Si on faisait un collier avec les perles en bois ou si on faisait un collier avec les brunes, lequel serait le plus long ? — Avec les perles en bois (sans hésiter). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a les deux blanches en plus. »

Laur (7 ; 2, le même Laur qui appartenait au premier stade à 5 ; 5) : « Est-ce qu’il y a dans cette boîte plus de perles brunes ou de perles rondes ? — Plus de brunes. Ah ! non (spontanément), plus de perles rondes puisqu’il y a encore les deux blanches. — Et si on faisait un collier avec les brunes ou si on faisait un collier avec les rondes, lequel de ces deux colliers serait le plus grand ? — Eh bien, celui avec les rondes. »

Nal (8 ans) : « Il y a plus de perles brunes ou de perles en bois ? — Plus de perles en bois alors. — Pourquoi ? — Parce que les deux blanches sont aussi en bois. — Si on faisait deux colliers, etc. ? — Mais ce sont les mêmes, celles en bois et les brunes et il serait plus long avec les perles en bois parce qu’il y a aussi les deux blanches. »

Chacun de ces enfants parvient donc d’emblée, ou presque, à penser simultanément à la classe totale B caractérisée par la qualité b (substance ou forme) et à la sous-classe A définie par la qualité a (couleur), d’où les deux constatations que les A sont aussi des B (« ce sont les mêmes », dit Nal, pour dire que tous les A sont B), mais que les B comprennent aussi les A’ (« il y a les deux blanches en plus » dit Plat, etc.). Chacun de ces sujets comprend donc à la fois que B = A + A’ et que A = B − A’.

Ces énoncés corrects paraissent si simples que l’on en vient à se demander comment il est possible que les enfants du premier stade échouent à résoudre la question. Pourquoi donc ceux-ci ne parviennent-ils pas à envisager simultanément le tout B et les parties A et A’ tandis que les sujets cités à l’instant saisissent les mêmes inclusions sans aucune difficulté ? Deux problèmes peuvent être distingués à cet égard, celui de la synthèse des qualités b et a ou a’ et celui de l’addition en extension A + A’ = B.

Une classe logique est une réunion d’individus présentant en commun la même qualité. Ainsi la cl. A est la réunion des perles définies par leur couleur brune a et la cl. A’ est la réunion des perles non-A ou non-a, c’est-à-dire a’ (= non brunes ou, dans le cas particulier, blanches). Additionner ces deux classes consistera à définir la plus petite des classes qui les contienne toutes deux, soit A + A’ = B, la classe B étant elle-même définie par les qualités communes aux A [p. 218] et aux A’, soit, dans le cas particulier, par la qualité b (perles en bois). Une addition de classes implique donc toujours une multiplication logique de ces mêmes classes, c’est-à-dire que chaque individu appartenant à un système de classes additionnées appartient nécessairement à deux classes « à la fois » : tous les A sont A B et présentent les qualités ab ; tous les A’ sont A’B et présentent les qualités a’b et tous les B sont A ou A’ c’est-à-dire b (a || a’). Une première interprétation des difficultés propres aux sujets du stade élémentaire pourrait donc consister à dire que ces sujets ne parviennent pas à penser aux deux qualités a et b (ou a’ et b) à la fois, tandis que les grands y arrivent sans peine. Une seconde explication reviendrait au contraire à mettre l’accent sur la composition additive elle-même, ainsi que nous l’avons fait au § 2. Disons d’emblée que ces deux interprétations se recouvrent entièrement et ne suffisent ni l’une ni l’autre à rendre compte des difficultés initiales.

En effet, les enfants du premier stade savent bien que les perles brunes sont en bois et le déclarent tous explicitement. Seulement, quand la partie A est dissociée du tout B, ils oublient que les A sont des B. On pourrait donc dire indifféremment que la synthèse additive échoue faute de multiplication logique ou que la synthèse multiplicative échoue faute d’addition logique. Pourquoi échouent-elles toutes deux ? C’est ce que nous allons chercher en nous plaçant au point de vue additif, pour plus de simplicité, mais les mêmes réflexions vaudront du point de vue multiplicatif également.

La vraie raison des difficultés des petits et du succès des grands est que les premiers se placent d’emblée sur le terrain de l’intuition perceptive, qui est immédiate ou actuelle et par conséquent irréversible, tandis que les seconds utilisent un mécanisme opératoire, lequel est réversible. On peut dire, en effet, que la synthèse additive des parties en un tout ou la coordination des qualités définissant les classes en jeu ne sont possibles qu’en fonction de constructions intellectuelles réversibles opérées par l’enfant, et que c’est dans la mesure où ses expériences mentales demeurent irréversibles que la coordination des qualités et l’inclusion additive comme la colligation arithmétique elles-mêmes lui sont impossibles.

Partons à cet égard des observations particulièrement claires de Laur (5 ; 5) et de Sout (6 ; 10). Laur, par exemple, commence par poser, avec toute la netteté désirable, que si l’on enlève les perles brunes de la boîte, il restera les deux blanches et que si l’on enlève [p. 219] les perles en bois, il ne restera rien « parce qu’elles sont toutes en bois ». Il va même plus loin et, à propos du collier des perles en bois, il demande spontanément s’il faut « prendre seulement les blanches » puis, comme on lui répond que non, il ajoute « aussi les brunes » … « parce qu’elles sont aussi en bois ». Rien d’obscur ne semble donc subsister dans son esprit. Cependant, lorsqu’on lui demande lequel des deux colliers sera le plus long, de celui qu’on pourrait faire avec les perles en bois, ou de celui que l’on pourrait faire avec les perles brunes, Laur répond, à notre grand étonnement « les brunes… parce qu’il y en a plus ». Nous le prions de montrer les perles correspondant à ces deux colliers possibles. C’est alors que surgit la première difficulté véritable rencontrée par cet enfant : il montre bien les brunes pour ce qui est du premier collier, mais, pour ce qui est du collier des perles en bois, il montre seulement les blanches « parce qu’il n’y en a pas d’autres », autrement dit parce que les brunes sont déjà mobilisées par la confection mentale du collier fait avec elles ! De même Sout, qui semble comprendre comme Laur les données du problème, prétend que le collier des perles en bois ne peut être fabriqué par l’une des petites filles de l’histoire qu’au moyen des perles blanches « parce que l’autre fille a pris les perles brunes » ! On voit en quoi consiste l’obstacle pour ces enfants : ils arrivent bien à se représenter par une expérience mentale comment on tire de l’ensemble des perles les brunes seules pour en faire un collier, mais, lorsqu’il s’agit de construire mentalement un nouveau collier avec l’ensemble des perles en bois, ils considèrent que les brunes, déjà utilisées par hypothèse pour le premier collier, ne sont plus disponibles et que seules restent les deux blanches ! Or, il est évident que, pour nous, cette difficulté n’existe en aucune manière et que le propre de la déduction par opposition à l’expérience matérielle est précisément de pouvoir construire toutes les combinaisons possibles en revenant chaque fois au point de départ et en les comparant ensuite comme si elles étaient présentes simultanément devant l’esprit. De ce que je construis par hypothèse un collier de perles brunes, rien ne m’empêche d’employer mentalement ces mêmes perles brunes dans un autre collier que je fabrique hypothétiquement avec l’ensemble des perles en bois : au contraire, tout se passe comme si l’enfant attribuait à ses expériences mentales un caractère réel et comme si, ayant construit l’un des colliers mentalement, il ne pouvait en construire hypothétiquement [p. 220] un autre avec les mêmes matériaux. Là où la mobilité et la réversibilité possibles de la construction nous permettent de décomposer et de recomposer à volonté les ensembles de manière à dégager leurs diverses implications, inclusions et relations en général, l’irréversibilité de la pensée et de la représentation de l’enfant l’empêche d’acquérir le pouvoir de décomposition nécessaire à l’analyse et à la synthèse combinées, donc à la compréhension des inclusions et des relations.

Or, il est facile de constater que les autres observations peuvent également s’expliquer de cette même manière. L’enfant parvient bien à dessiner correctement les colliers, parce qu’il n’a pas besoin de penser à l’un quand il dessine l’autre. Mais dès qu’il s’agit de les construire hypothétiquement tous deux à la fois, la construction de celui des perles brunes exclut l’emploi de ces mêmes perles brunes pour celui des perles en bois. Si le dessin des colliers est correct tandis que leur construction mentale ne l’est pas, c’est donc que le dessin les représente à tour de rôle et les juxtapose simplement, ce qui n’implique aucune réversibilité interne des opérations, tandis que leur fabrication simultanée suppose au contraire l’emploi des mêmes éléments pour deux constructions et par conséquent la réversibilité de celles-ci ². De même, l’enfant sait bien dissocier l’ensemble des perles pour déplacer hypothétiquement les brunes dans une boîte vide puis, ensuite, les perles en bois dans une autre boîte vide : dans ce cas également l’enfant, après avoir pensé aux brunes seules, peut penser à l’ensemble des perles en bois en laissant de côté la question des couleurs. Il n’y a donc pas là de réversibilité spontanée de la pensée, mais simplement juxtaposition de deux réflexions successives sans lien logique entre elles, c’est-à-dire sans opérations qui les relient l’une à l’autre : c’est pourquoi, dès qu’il s’agit à nouveau de construire mentalement les deux colliers à la fois, les enfants qui ont répondu correctement aux questions précédentes (déplacement fictif dans les boîtes vides) retombent dans l’erreur parce que, après avoir construit hypothétiquement le collier brun, ils ne peuvent plus se libérer de cette construction irréversible pour construire hypothétiquement le collier des perles en bois en employant les mêmes matériaux ! — Au contraire, des exemples [p. 221] comme ceux de Gail, de Gon et de Tail, qui parviennent, ou presque, à la réponse juste, nous montrent que d’emblée ils arrivent à construire simultanément le collier de perles brunes et celui des perles en bois avec les mêmes matériaux, puisqu’ils commencent par considérer ces colliers comme de longueur égale : c’est donc que l’une de ces constructions n’empêche pas leur pensée de revenir en arrière pour en recommencer une autre. Aussi bien cette réversibilité naissante leur permet-elle tôt ou tard de découvrir l’inclusion exacte. Gail n’y parvient pas entièrement, Gon réussit lorsque au calcul des classes logiques il ajoute celui des nombres et Tail par intuition directe des rapports d’inclusion.

Mais il faut, avant de poursuivre, prévenir une objection possible. Il se pourrait que les difficultés à construire mentalement deux colliers simultanés ne soient pas dues, comme nous venons de le supposer, à l’irréversibilité de la pensée de l’enfant, mais, sans plus, à une incompréhension de la consigne, l’enfant s’attendant à ce que l’on confectionne effectivement deux colliers avec les mêmes matériaux. Mais c’est précisément pour répondre à cette objection que nous avons fini par nous servir de deux jeux de perles déposés en deux boîtes distinctes : or nous avons vu que cette technique ne change que peu de choses aux résultats, preuve en soit que la difficulté ne tient pas à un malentendu verbal sur les intentions de l’expérimentateur mais bien au fait que l’une des constructions mentales de l’enfant exclut l’autre et cela parce qu’elles demeurent de caractère intuitif et n’atteignent pas le niveau opératoire. Dès lors, même en présence de deux collections semblables, l’enfant ne parvient pas à construire simultanément par expérience mentale un collier avec la partie A et un collier avec le tout B, la première construction aboutissant à détruire dans les deux ensembles à la fois le tout B et par conséquent à empêcher la seconde.

Or, cette irréversibilité psychologique se traduit, sur le plan logique, par l’effet suivant, qui est d’importance fondamentale. Concevoir les parties en fonction du tout, et réciproquement, c’est composer simultanément les deux égalités A + A’ = B et A = B − A’ : c’est donc précisément effectuer l’opération inverse aussi bien que l’opération directe. Penser de manière irréversible, c’est au contraire ne pas savoir procéder de l’une de ces deux opérations à l’autre, c’est donc, en un mot, ne pas savoir manier les opérations comme telles : c’est remplacer un mécanisme opératoire mobile et à [p. 222] double direction par les perceptions statiques et successives d’états qu’il est impossible de synchroniser et par conséquent de concilier.

Au contraire, les enfants du troisième stade parviennent sans difficulté et à cette réversibilité psychologique et à cette composition logique des opérations inverses avec les opérations directes. Du point de vue additif l’expression de Nal, par exemple (« ce sont les mêmes, celles en bois et les brunes » mais le collier « serait plus long avec les perles en bois parce qu’il y a aussi les deux blanches »), revient bien à dire B = A + A et A = B − A’. Du point de vue multiplicatif, il n’est pas moins clair que le sujet conçoit les individus A comme étant « à la fois » A et B, donc A = A B (« ce sont les mêmes… ») et A’ = A’B, c’est-à-dire que si b = la qualité de perle en bois, a = la qualité brune et a’ = non brune, alors les A sont ab et si l’on parle des brunes c’est par une simple abstraction de la qualité b, abstraction qui est précisément l’opération inverse de la multiplication des classes, soit A = A B : B ou a = ab : b.

En conclusion, on se ferait de la pensée logique réelle et vivante une image bien fausse si l’on se bornait à la traduire dans le schématisme statique des inclusions syllogistiques. Tout raisonnement est construction réversible et il existe autant de raisonnements divers que de types de construction. Or, même dans le cas des raisonnements portant explicitement, comme ici, sur un pur jeu de classifications, la pensée ne se présente nullement comme un emboîtement statique d’éléments, mais bien comme un système d’opérations actives de groupements et de dissociations, bref comme une construction véritable et continue. De même qu’un raisonnement arithmétique, algébrique ou géométrique consiste à combiner des objets (nombres, symboles ou figures) au moyen d’opérations de calcul ou de construction spatiale, de même un raisonnement classificatoire consiste à combiner les objets au moyen des opérations du calcul des classes (addition et multiplication logiques, etc.) et à grouper ainsi les objets et les classes en systèmes hiérarchiques ou à les dissocier les unes des autres. C’est ainsi que, dans notre problème, penser à la fois aux perles brunes et aux perles en bois revient, pour l’enfant, à réunir des objets puis à les dissocier pour reconstruire une autre réunion, chaque élément entrant à la fois dans l’une et l’autre construction. De même, coordonner les relations de grandeur, longueur, etc., consiste à construire une série réelle (le collier brun), puis à la défaire pour en reconstruire une autre avec deux éléments en plus.

[p. 223] Il est donc évident, si tel est le caractère actif et opératoire de la pensée classificatoire, que d’attribuer les difficultés d’inclusion simplement au fait de ne pouvoir penser à deux ou plusieurs données à la fois, c’est ne décrire que la surface des choses, c’est-à-dire se borner à noter dans le champ de la conscience les affleurements des opérations sous-jacentes : la vérité profonde, c’est le défaut de la mobilité nécessaire pour conduire les opérations, pour les combiner et les dissocier, pour construire et reconstruire simultanément. C’est donc en termes de réversibilité qu’il convient de décrire les difficultés de synthèse, ce qui revient simplement, si l’on peut dire, à ajouter une troisième dimension à une image en plan ou à mettre en mouvement les termes statiques de la description.

Nous constatons ainsi, en définitive, que la construction des classes n’est nullement hétérogène, du point de vue psychologique, à celle des nombres, mais relève d’un mécanisme opératoire semblable : il nous reste à chercher les relations qui existent entre ces deux processus.

La leçon des faits qui précèdent est assurément que le mécanisme commun à la classe et au nombre est constitué par les mécanismes opératoires additif et multiplicatif. Examinons donc en quoi les classes, comme les nombres, doivent être groupées pour parvenir à un fonctionnement normal, en quoi le « groupement » des classes diffère des « groupes » de nombres et quels sont les rapports de ces deux sortes de systèmes.

Il est clair, en premier lieu, que les deux égalités conditionnant la solution du problème des perles discuté au cours de ce chapitre, soit A + A’ = B et A = B − A’ constituent les éléments de tout « groupement » additif de classes et qu’une fois en possession de ces éléments on peut composer, si la classe B est incluse en C, puis C en D, etc., les égalités : B + B’ = C ; C + C’ = D ; etc. Les opérations inverses seront : D − C’ = C ou D − C = C’; C − B’ = B ou C − B = B’, etc. Ces égalités sont associatives si on les additionne ou les soustrait entre elles. Par contre chaque terme joue le rôle d’opération identique par rapport à lui-même et à ceux d’ordre supérieur de même signe, puisque A + A = A et que A + B = B ³. Cette particularité qui oppose les « groupements » logiques aux « groupes » de [p. 224] nombres entiers 1 + 1 = 2 et 1 + 2 = 3, etc., montre d’emblée la différence fondamentale des classes et des nombres, les premières ignorant l’« itération » qui caractérise les seconds.

Mais en quoi consiste cette différence du point de vue psycholologique ? La classe A (reprenons l’exemple des perles brunes) est définie par la réunion des individus qui présentent en commun la qualité a (brunes), mais il va de soi que sauf convention étrangère à la logique des classes, le nombre de ces individus n’est nullement précisé, pas plus que celui des A’ dont on sait seulement qu’ils sont caractérisés par la qualité a’. Si A + A’ = B et si les cl. A et A’ contiennent un individu au moins, on sait seulement que la cl. B contiendra davantage d’individus que la cl. A ou que la cl. A’ ; que la qualité b qui caractérise ces individus est commune à tous les A et à tous les A’, c’est-à-dire que tous les A et tous les A’ sont des B mais qu’aucun A n’est A’ ni l’inverse. En dehors des quantifications intensives A < B ou B > A’, de l’égalité A + A’ = B et des termes « un », « aucun », « tous » et « quelques », la classe en extension ne connaît donc aucune quantité et ignore la quantification extensive propre au nombre. La raison en est claire : pour pouvoir admettre que A + A = 2 A il faudrait que la première classe A et la seconde classe A’ fussent comparables quantitativement. Or, sauf convention, on ne sait pas si A > A’ ou A < A’ ou si le nombre des individus de A et de A’ est le même. D’autre part, si l’on pose A + A (au sens logique et non pas numérique, soit deux classes d’individus caractérisés par la même qualité a), alors ces deux classes n’en font qu’une, soit A + A = A (et non pas 2 A).

Mais alors comment transformer les classes en nombres ? Pour simplifier envisageons maintenant les classes A, A’, B’, C’… etc., comme des classes singulières, c’est-à-dire ne contenant qu’un seul individu chacune, les classes d’ordre B, C, D étant seules composées de plusieurs termes. Soit, par exemple, A = une perle ronde brune et en bois ; A’ = une perle ronde et en bois mais non brune ; B’ = une perle ronde mais non en bois ; C’ = une perle carrée ; D’ = un jeton ; E’ = un grain de haricot, etc. D’où (A + A’ = B) = les perles rondes en bois ; (B + B’ = C) = les perles rondes ; (C + C’ = D) = les perles ; (D + D’ = E) = les perles et le jeton ; (E + E’ = F) = les objets d’expérience posés sur la table. La question est donc : quelles sont les opérations nécessaires pour tirer de cette classification les nombres 1, 2, 3… 6 ?

[p. 225] Écartons d’abord la solution classique et trop facile au moyen de laquelle M. Russell a voulu résoudre le problème et dont les chap. III-VI nous ont montré l’insuffisance. On sait que pour M. Russell et les logisticiens qui l’ont suivi, deux classes ont le même nombre lorsque leurs éléments se correspondent de façon bi-univoque et réciproque. Supposons une autre table sur laquelle se trouve un jeu exactement pareil d’objets : soit A₂ = une perle ronde brune et en bois ; A’₂ = une perle ronde et en bois mais non brune ; puis B’₂ ; C’₂… E’₂. Ces deux collections F₁ et F₂ correspondent donc bien l’une à l’autre bi-univoquement et réciproquement. Mais de quelle correspondance parle-t-on ? Si l’on demeure sur le plan de la logique des classes, qui est celui de la réunion des objets selon leurs qualités, il est clair que la cl. A₁ correspond à la cl. A₂ ; de même A’₁ à A’₂ ; B’₁ à B’₂ ; C’₁ à C’₂ ; etc. mais il serait faux de dire que la perle carrée C’₁ correspond au jeton D’₂ ou que la perle ronde en porcelaine B’₁ correspond au grain de haricot E’₂ : la correspondance qualitative des deux classes F₁ et F₂ signifie simplement que ces deux classes ont la même structure hiérarchique, la même composition classificatoire, mais non pas le même nombre. C’est ainsi qu’au cours des chap. III-IV nous avons constaté l’existence de différentes sortes de correspondances qualitatives, par la position spatiale des objets, etc., sans signification numérique. Lorsqu’un anatomiste fait correspondre les pièces du squelette des mammifères et celles des autres classes de vertébrés, il se livre de même à une opération de mise en correspondance qualitative, et non pas mathématique. Par contre, si nous déclarons que n’importe quel élément de F₁ peut correspondre à n’importe quel élément de F₂ (A₁ à D₂ ou A’₁ à B’₂, etc.), nous avons bien le droit de conclure que F₁ correspond numériquement à F₂ de façon bi-univoque et réciproque, et que cette correspondance définit le nombre 6. Seulement, ce nombre n’est pas une « classe de classes », mais le résultat d’une nouvelle opération que l’on a introduit du dehors sans la tirer nullement de la logique des classes comme telle. En effet, pour effectuer cette « correspondance quelconque » ou « quantifiante » on a dû au préalable faire abstraction de toutes les qualités en jeu, c’est-à-dire précisément des classes.

Pour transformer les classes F₁ et F₂ en nombres il faut donc, et c’est la première condition, considérer leurs termes A ; A’ ; B’… etc., comme étant équivalents à tous les points de vue considérés à la fois.

[p. 226] Or cela est contradictoire avec ce que nous avons admis à l’instant des classes comme telles. Supposons (il nous suffira dorénavant de raisonner sur F₁ seule) que nous fassions abstraction des différences entre A et A’ : mais alors la classe B n’équivaudra pas pour autant au nombre 2, mais seulement à la réunion des « perles rondes en bois » indépendamment de leurs nuances de couleur. Si nous rétablissons la différence entre A et A’, alors A et A’ ne seront plus équivalents à leurs propres points de vue mais seulement au point de vue de B. Pour que la classe B équivale au nombre 2, il faut donc que B constitue la réunion de n’importe quel couple (A et A’) ou (A et E’) ou (B’ et C’), etc. Mais alors on aura A = A’ = B’ = C’ = D’ = E’ et ces objets privés de leurs différences constitueront simplement une classe homogène quelconque (= les objets posés sur cette table). En bref, dire que A + A’ = 2 objets ; ou A + A’ + B’ = 3 objets ; ou A + A’ + B’ + C’ + D’ + E’ = 6 objets ; etc. c’est envisager ces éléments comme autant d’unités équivalentes entre elles, mais cependant distinctes, mais cette double condition est irréductible au schéma de la composition additive des classes si l’on ne fait intervenir aucune opération nouvelle.

D’où la seconde condition : il faut que les termes équivalents restent distincts. Dire que A + A’ = 2 perles, c’est affirmer que A = une perle quelconque, et que A’ = une autre perle, également quelconque mais différente de la première. En quoi consiste cette différence ? Nous ne pouvons plus invoquer la différence de couleur ni aucune autre différence qualitative, sans quoi nous retombons dans le pur schéma classificatoire de tout à l’heure, qui est celui des additions de classes et non pas de nombres. « Une autre perle » signifiera donc simplement « posée à côté », « apparaissant après », « désignée ensuite », etc. C’est-à-dire qu’en plus de l’inclusion A + A’ = B propre aux classes, il faut faire intervenir un principe de sériation A → A’ (étant entendu qu’en changeant de position, les éléments intervertis redonnent A → A’, le nouvel A étant l’ancien A’ et le nouvel A’ étant l’ancien A). La sériation, comme nous l’avons vu au cours des chap. V et VI, n’est en effet pas autre chose qu’une addition de différences par opposition à l’addition des classes qui est une addition d’éléments équivalents à un point de vue donné : la suite A a→ B a’→ C … etc., signifie que B est différent de A, que C est différent de B et de A, etc., tandis que A + A’ = B signifie que A et A’ sont équivalents en tant que B.

[p. 227] Or ces deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour engendrer le nombre. Si A + A’ = B et si en même temps B = A → A’ (A et A’ étant « vicariants » c’est-à-dire leurs contenus pouvant être interchangés), alors B = A + A = 2 A. Ce qui revient à dire qu’un nombre est à la fois une classe et une relation asymétrique, les unités qui le composent étant simultanément additionnées en tant qu’équivalentes et sériées en tant que différentes les unes des autres. Or, en logique qualitative, la fusion opératoire de ces deux caractères est impossible, car l’addition des classes est commutative puisque les addendes sont équivalents tandis que l’addition des relations asymétriques ou sériation n’est pas commutative, les termes n’étant pas équivalents. Au contraire le nombre résulte à la fois de l’équivalence généralisée et d’une sériation généralisée (parce que « vicariante ») : par exemple la première unité de 2 est équivalente à la seconde, et si l’on change leur ordre d’énumération, la seconde devient la première et vice versa ⁴.

Telle est la signification générale des divers processus d’égalisation des différences dont nous avons constaté l’existence au cours des chapitres précédents. Lorsqu’une relation asymétrique → est formée de deux relations successives b→ = a→ + a’→, la quantification extensive ou numérique apparaît dès que a’ = a ou que a’ est un multiple de a, car alors les segments a’ et a deviennent 2 a à la fois distincts et équivalents tandis qu’en logique qualitative il n’existe aucune commune mesure entre les différences simplement sériées d’une échelle asymétrique.

En bref, on comprend ainsi pourquoi la hiérarchie additive des classes, la sériation des relations et la généralisation opératoire du nombre (c’est-à-dire la construction des nombres dépassant les entiers intuitifs 1, 2 à 4 ou 5) se constituent de façon approximativement synchronique, vers 6-7 ans, au moment où le raisonnement de l’enfant commence à dépasser le niveau prélogique initial : c’est que la classe, la relation asymétrique et le nombre sont les trois manifestations complémentaires de la même construction opératoire appliquée soit aux équivalences, soit aux différences, soit aux équivalences et différences réunies : c’est, en effet, au moment où l’enfant, parvenu à rendre mobiles les évaluations intuitives des débuts, atteint ainsi [p. 228] le niveau de l’opération réversible, qu’il devient simultanément capable d’inclure, de sérier et de dénombrer.

Que ce synchronisme s’explique logiquement, cela va de soi si le nombre est classe et relation asymétrique fondues en un même tout opératoire. Mais il se justifie aussi psychologiquement et de la manière la plus claire : d’une part, chaque nombre étant une totalité née de la réunion de termes équivalents et distincts, il faut savoir à la fois inclure et sérier pour le constituer ; d’autre part, si la quantification intensive propre aux classes (A < B < C, etc.) n’implique pas les nombres particuliers pour s’achever, elle suppose néanmoins que le sujet soit capable de construire ces derniers, sans quoi les rapports d’extension perdent tout sens concret. C’est pourquoi tous les faits contenus dans ce chapitre nous montrent que si le nombre enveloppe la classe, celle-ci en retour s’appuie implicitement sur celui-là, à titre de constante référence virtuelle sous-tendant le réseau des extensions ⁵.