Chapitre IV.
La correspondance spontanée et la détermination de la valeur cardinale des ensembles ^{1 a} 🔗

On sait que M. Lay ² a étudié avec précision comment les différentes figures formées par 3, 4, 5, etc., objets disposés en triangles, carrés, etc., sont différenciées par l’enfant du point de vue de la perception du nombre. Le nombre 4, par exemple, est plus facile à reconnaître lorsque les objets sont situés aux quatre angles d’un carré que s’ils sont placés au hasard, etc. On sait aussi le parti que M^lle Descœudres ³ [p. 80] et Decroly ⁴ ont tiré de ces recherches sur le développement de la numération. Mais, si intéressantes que soient ces dernières, ce n’est pas au même point de vue que nous plaçons ici. Alors que ces auteurs étudient ce qu’on est convenu d’appeler la perception du nombre, c’est-à-dire l’application des schémas numériques déjà élaborés aux objets discrets perçus en un même champ, nous étudions au contraire ce qu’on pourrait désigner du terme d’opérations nombrantes ou quantifiantes, c’est-à-dire les opérations élémentaires de correspondance, d’égalisation, etc., qui constituent la logique même du nombre. Bref, nous négligeons les problèmes de perception pour nous consacrer à celui de la genèse des opérations comme telles. De ce point de vue, l’analyse de la reproduction des figures ne nous servira que d’introduction à l’étude du mécanisme de la correspondance. Aussi n’envisagerons-nous pas chacune à part ces différentes figures, mais décrirons-nous simultanément l’ensemble des réactions obtenues au moyen de cette première technique :

Le propre des enfants du premier stade est de ne point encore éprouver le besoin d’une évaluation quantitative, faute de notions précises du nombre cardinal, et de se borner, pour quantifier les collections données, à des comparaisons qualitatives (en + en − ou en =) mais globales et telles que les qualités comparées soient considérées à titre exclusif, sans coordination entre elles. Voici des exemples à commencer par les agglomérations non structurées :

Pa (4 ; 6) fait correspondre à une réunion de 15 éléments une agglomération de jetons qu’il accumule par petites poignées en cherchant une disposition sensiblement analogue : « C’est la même chose ? — Non. — Pourquoi ? — Ici il y a plus (la collection qu’il vient de réunir contient effectivement 2 éléments de plus). — Alors ? — (Il n’enlève aucun jeton, mais déplace ceux qui sont trop serrés pour atteindre une configuration plus semblable à celle du modèle.) — C’est la même chose de jetons ? — Non, oui, j’ai mis la même chose. »

Hug (5 ans) dit pour une agglomération de 15 jetons : « Je ne sais pas combien il y en a. Je ne sais pas comment faire (pour en trouver autant). — Essaie. — (Il accumule quelques jetons, qu’il espace ensuite de manière à obtenir la ressemblance avec le modèle.) — C’est la même chose ? — Oui. —  Combien il y en a là (modèle) ? — J’sais pas. — Alors comment tu sais que c’est la même chose ? — J’ai regardé deux fois (le modèle et la copie). Ça y est. »

Pour ce qui est des rangées (nous laissons le cas des rangées linéaires pour les paragraphes suivants), les sujets de ce premier stade [p. 81] s’efforcent également de rendre la forme d’ensemble ainsi que les dimensions du modèle, mais ne se soucient pas non plus du détail des éléments :

Mül (4 ; 1) reproduit la suite oblique de couples par une suite de même forme et approximativement de même longueur, mais à éléments plus serrés (5 couples au lieu de 4) et croit qu’« il y a la même chose de jetons ».

Li (4 ; 9), pour reproduire la même suite oblique de couples, pose d’abord 5 jetons obliquement, dont elle double 4 au moyen de 4 autres : « C’est la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — (Elle fait un geste de la main pour indiquer la direction oblique.) — Il y en a autant ? — Oui. (Elle regarde le modèle et constate que sa copie est un peu plus courte. Elle rajoute 2 jetons : sa suite est donc composée de 11 jetons au lieu des 8 du modèle, mais est de même longueur.) — Où y a-t-il plus ? — Là (indique la copie). — Je veux la même chose. — (Elle enlève les 2 jetons, ce qui fait 9 contre 8, mais la série modèle occupe une longueur plus grande. Aussi Li espace-t-elle ses jetons, de manière à rallonger sa suite.) — Il y a la même chose ? — Oui »

Quant aux figures fermées, les enfants de ce premier stade parviennent à reproduire correctement celles dont la forme d’ensemble suppose un nombre déterminé d’éléments, lorsque cette forme est bien connue de l’enfant (catégorie IV), mais lorsque cette forme est peu connue (V) ou qu’elle n’implique pas un nombre déterminé d’éléments (catégorie III), alors la copie n’est plus exacte du point de vue numérique :

Mül (4 ; 1), par exemple, pour retrouver autant d’éléments qu’il y en a dans un cercle de 10 jetons, construit un cercle de 14 jetons. De même, pour un cercle de 6 allumettes (disposées en rayons), Mül en construit un de 12 allumettes : « C’est tout à fait la même chose de bâtons ? — Oui. — Où sont ceux-là (on en montre quelques-uns de particulièrement serrés sur la copie) ? — Là (n’importe lesquels sur le modèle). »

Pour l’angle droit de 6 jetons (côtés de 4 et 3 éléments), Mül construit trois fois de suite des angles de 4 jetons (côtés de 3 et 2) : « C’est la même chose de jetons ? — Non. Je ne sais pas. — Essaie. — (Il construit alors un angle de 8 jetons.) — Il y a tout à fait la même chose ? — Oui. — Qui a plus ? — Moi. — Alors enlève ceux qui sont de trop ? — (Il enlève 2 et modifie l’écartement des jetons pour qu’il soit semblable à celui du modèle.) — C’est la même chose ? — Oui. —  Qui a plus ? — Moi. (Ce n’est pas exact puisqu’il y a maintenant 6 et 6. Mül replace alors les 2 jetons qu’il avait enlevés.) » De même pour une maison de 6 jetons, Mül en construit une de 13, puis enlève 1 élément « pour que ça fasse juste », etc.

Quant aux figures dont la forme dépend du nombre des éléments (catégories IV), Mül réussit un carré de 4 jetons et un triangle de 6 jetons, mais manque la croix de 5 jetons (il donne 6 jetons). Il échoue de même au carré de 9 jetons : il fait attentivement la correspondance entre les éléments situés aux 4 angles, mais place un jeton de trop dans les éléments intercalaires. Enfin le losange de 13 jetons (catégorie V) est copié sous forme d’un vague quadrilatère de 15 éléments.

[p. 82]Mar (4 ; 6) réussit, parmi les figures dont la forme dépend du nombre des éléments, la croix de 5 jetons, le carré de 4 jetons et même le triangle de 6, mais il manque le carré de 9 : il constitue bien un carré mais comprenant 15 jetons. Quant aux figures de la catégorie III, le cercle de 9 jetons ainsi que l’angle droit, etc., sont reproduits avec davantage d’éléments.

Les réactions de ce premier stade sont d’un grand intérêt pour la psychologie du nombre. Il semblerait, en effet, au premier abord que ces enfants n’éprouvent en rien le besoin d’une évaluation quantitative et qu’ils se bornent à copier tant bien que mal la figure modèle sans autre souci que celui de la ressemblance qualitative. Cependant il serait exagéré d’interpréter les choses ainsi. Même s’il arrive au sujet d’oublier, pendant l’exécution des figures-copies, la consigne de « donner autant de jetons » qui a été proposée, celle-ci est fort bien comprise lorsqu’on pose les questions de contrôle : « C’est la même chose ? », « Où y a-t-il plus ? », etc. C’est ainsi que Pa, pour le tas I, répond « ici il y a plus », que Li reconnaît les inégalités et cherche à les corriger, etc. Seulement les expressions « plus de jetons » ou « moins de jetons » ont une tout autre signification pour l’enfant de ce stade que pour nous et ne présentent précisément pas encore le sens d’une évaluation cardinale.

En effet, que l’on aboutisse au nombre par le moyen d’une opération de correspondance ou d’une simple addition d’unités, une évaluation cardinale suppose toujours, pour nous, la considération de ces unités par rapport aux termes correspondants ou à ceux auxquels elles sont réunies. Or, le propre des réactions de ce stade consiste au contraire à fonder l’évaluation sur les seules qualités globales des collections considérées, en quantifiant sans plus ces qualités par comparaisons en « plus » ou en « moins », et sans coordonner les comparaisons entre elles. En d’autres termes, la seule quantification dont soit capable l’enfant de ce stade est constituée, dans cette expérience comme dans celles des chap. I et II, par les rapports entre qualités de la forme « plus (ou moins) de » (quantités brutes). Les qualités qui sont le plus souvent invoquées sont : plus ou moins long (Mül et Li pour les rangées de couples), plus ou moins large (Mül pour le cercle), plus ou moins serré (Pa pour l’agglomération de 15 jetons), etc.

Seulement, au lieu de coordonner entre eux ces divers rapports quantitatifs (quantités brutes) entre les qualités globales perçues par lui, l’enfant ne parvient, lorsqu’il en utilise un au cours d’une [p. 83] comparaison entre le modèle et sa copie, qu’à envisager une seule à la fois. C’est ainsi que Mül croit sa suite oblique de couples égale au modèle, parce que de même longueur, en négligeant la densité des éléments (plus serrés dans sa copie), que Par croit sa collection plus nombreuse que l’agglomération-modèle, parce que plus serrée, et se borne alors à espacer ses jetons sans en enlever aucun, etc. De même Mül croit qu’un cercle formé de 12 allumettes contient la même quantité d’éléments qu’un cercle de 6 allumettes, parce que de même diamètre, et cela sans s’occuper de la densité des éléments, etc.

Mais, à la différence des expériences précédentes, celle-ci nous permet de constater que cette incoordination des rapports quantitatifs (c’est-à-dire donc des rapports entre les qualités) n’apparaît en réalité qu’au moment de la réflexion, c’est-à-dire des jugements explicites de comparaison. En fait, l’enfant procède bien initialement d’une coordination des qualités perçues. Seulement cette coordination n’est point encore opératoire, ni par conséquent logique : elle demeure entièrement intuitive, c’est-à-dire perceptive, et ne consiste qu’en une recherche de la ressemblance globale entre la copie et le modèle. C’est pourquoi, lorsqu’il veut donner autant de jetons qu’on lui en offre, l’enfant se borne à essayer de reproduire en gros la figure ou la configuration de la collection-modèle. Mais, faute précisément de savoir analyser cette figure, en en décomposant les qualités sous forme de relations logiquement coordonnables et recomposables au moyen d’opérations réversibles, cette copie reste globale et approximative. En un mot, c’est donc la forme d’ensemble, c’est-à-dire la surface totale accompagnée d’une ressemblance structurale plus ou moins vague, qui est pour l’enfant de ce niveau le critère ultime de l’évaluation cardinale, sans analyse possible du détail. Lorsque cette forme d’ensemble implique le nombre et est suffisamment connue du sujet (cat. IV), il y a par surcroît correspondance terme à terme, mais celle-ci dérive de la ressemblance qualitative et ne la fonde pas. En effet, lorsque la forme globale est indépendante du nombre (cat. I-III) ou peu connue (cat. V), il n’y a plus de correspondance possible.

En bref, le caractère le plus général du stade peut être conçu, comme étant l’irréversibilité de ses réactions. Le caractère purement perceptif des évaluations des enfants de ce niveau se traduit, en effet, par de simples rapports entre qualités, non comparables entre eux et dont la synthèse ne peut être que globale. Qu’est-ce donc à [p. 84] dire sinon que, à cette intuition syncrétique, ne se surajoutent point encore les opérations susceptibles de recoudre entre eux les fragments isolés par l’analyse ? Or c’est précisément cette capacité opératoire ou logique qui donne au jugement sa mobilité réversible, et c’est pourquoi le défaut de composition qui caractérise les rapports de quantité brute utilisés au cours de ce stade ne signifie pas autre chose qu’une irréversibilité encore foncière de la pensée : des rapports non comparables entre eux ne constituent point encore, en effet, des opérations, et c’est, en dernière analyse, cet aspect non opératoire c’est-à-dire non réversible des évaluations du premier stade qui explique leur échec à engendrer une cardination proprement dite.

Précisons d’abord le sens des termes utilisés. Nous appelons qualitative une correspondance uniquement fondée sur les qualités des éléments correspondants : par exemple, aux points d’angles d’un losange ou d’un triangle correspondront les points d’angles de la copie, indépendamment de la question de savoir si l’enfant les compte ou comprend qu’ils sont « autant » (de même, exactement, qu’aux parties d’un visage correspondront celles d’un autre visage). La correspondance numérique ou quantifiante sera au contraire celle qui fait abstraction des qualités des parties et les considère comme autant d’unités : par exemple, à n jetons bleus correspondront n jetons rouges indépendamment de leur arrangement. Nous appellerons, d’autre part, intuitive toute correspondance fondée sur les seules perceptions (ou éventuellement sur les images représentatives) et qui, par conséquent, ne se conserve pas en dehors du champ perceptif actuel (ou de son souvenir net). La correspondance opératoire est, au contraire, formée de relations d’ordre intellectuel et son signe distinctif est dès lors sa conservation, indépendante de la perception actuelle, ainsi que la mobilité de sa composition, en un mot sa « réversibilité ». Une correspondance qualitative peut donc être intuitive (si elle est liée à deux figures semblables) ou opératoire (si elle met en correspondance deux figures différentes) tandis que la correspondance numérique est nécessairement opératoire (sauf pour les 3 ou 4 premiers nombres).

Cela dit, nous constatons que le second stade (correspondance [p. 85] qualitative d’ordre intuitif) prolonge le premier de la manière la plus continue : au fur et à mesure, en effet, que la copie des figures-modèles devient plus précise, elle aboutit à une correspondance terme à terme susceptible d’une plus grande exactitude. Seulement, par le fait même que cette correspondance procède de la comparaison perceptive, elle n’est point, malgré les apparences, d’emblée numérique, et demeure elle-même à la fois qualitative et intuitive. C’est ce dont il est facile de s’assurer en altérant la configuration des collections correspondantes : l’équivalence est alors aussitôt contestée par le sujet. C’est donc cette correspondance intuitive et sans équivalence durable qui nous autorise à distinguer un deuxième stade, distinct à la fois du premier par l’utilisation systématique de la correspondance et du troisième par le fait que celle-ci n’est point encore raison d’équivalence nécessaire. Notons en outre que, à la différence des sujets du premier stade, qui commencent en général par poser sur la table un paquet de jetons pour arranger ensuite une figure imitant le modèle (en ajoutant ou en enlevant les éléments jugés nécessaires ou de trop), les enfants du second stade procèdent ordinairement d’emblée par correspondance, en prenant un à un les jetons au moyen desquels ils reproduisent les parties successives du modèle.

Voici d’abord des exemples relatifs aux agglomérations (catégorie I) :

Ha (4 ; 5) regarde d’abord attentivement le tas de 15 jetons, puis place un à un 16 éléments en imitant partie après partie la configuration du modèle, en faisant la correspondance du regard (avec une erreur due à un élément compté deux fois) : « C’est la même chose ? — Ça (copie), c’est plus gros. Je vais enlever (enlève le jeton de trop). — C’est la même chose ? — Oui. —  Tu es sûr ? — (On espace alors un peu les éléments du modèle.) C’est la même chose de jetons ? — Oui… non (il ajoute de nouveaux jetons au modèle pour imiter la nouvelle configuration de la copie). »

Nous disposons ensuite 13 jetons devant Ha en groupant certains par réunions de 3 ou de 2 tout en imprimant à la totalité une configuration d’ensemble reconnaissable, et nous demandons à Ha de trouver autant d’allumettes qu’il y a là de jetons : « Donne autant d’allumettes. — (Ha arrange 11 allumettes en reproduisant certaines figures de détail par 3 et par 2.) — Il y en a autant ? — Là (jetons), il y a peu, là (allumettes) il y a beaucoup. — Fais qu’il y a la même chose beaucoup chez tous les deux. 3 (Ha espace alors les jetons.) »

Enfin on dispose devant Ha 8 allumettes : « Donne autant de jetons. — Je ne sais pas faire le dessin. — Essaie quand même. » Ha espace un peu les allumettes puis prend un à un 14 jetons en essayant de reproduire le schéma de la figure. La correspondance échoue donc lorsque l’hétérogénéité des objets empêche la copie exacte de la figure, tandis que cette copie s’accompagne de correspondance terme à terme précise dans le cas des jetons seuls.

Ba (4 ; 9) place ses jetons un à un en regardant successivement tous ceux de l’agglomération des 15 jetons : « C’est la même chose ? — Oui. — Tu es sûr ? [p. 86] — Oui. —  Montre comment tu sais ? — Celui-ci et celui-ci, etc. (il désigne du doigt les termes correspondants). » Il parvient de même à établir la correspondance entre les jetons et les allumettes, en imitant les figures. Mais, lorsque l’on change la configuration des figures, même sans allumettes, il n’est plus certain de l’équivalence.

Quant aux rangées de couples (catégorie II) :

Min (5 ans) réussit d’emblée à reproduire des suites de 4 couples ou davantage, mais lorsque l’on espace les jetons, l’équivalence n’est plus admise. Lorsqu’il s’agit, d’autre part, de faire correspondre des allumettes à des jetons, il ne parvient qu’à des correspondances approximatives, par exemple 10 allumettes pour 8 jetons : « C’est la même chose ? — Oui. — Compte. — (Il compte correctement 8 et 10.) — Alors c’est la même chose ? — Oui. » Il n’y a donc pas de rapport précis entre sa numération parlée et l’évaluation quantitative, laquelle s’opère par correspondance lors de l’équivalence qualitative des termes à comparer (jetons et jetons) et grâce à un mélange de correspondance et de relations globales d’espace occupé lorsqu’il s’agit de comparer des jetons et des allumettes.

Gis (5 ; 5) de même présente une dissociation intéressante entre le plan de la numération verbale et celui des opérations réelles. Sur le plan verbal, Gis compte correctement jusqu’à 27 en montrant un à un les jetons alignés devant elle. Après 27, il n’y a plus coordination entre les jetons qu’elle montre et les chiffres qu’elle énonce, mais elle poursuit de mémoire jusqu’à 54. Seulement cette énumération verbale ne correspond à aucune colligation systématique, une fois dépassés les premiers nombres, car si elle dit bien que 12 > 8 et 10 > 7, elle affirme par contre que 9 > 13 et que 19 > 21 : « Où il y en a le plus (en présence des jetons qu’elle vient de compter) ? — 19. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a beaucoup. — Et là ? — 21. —  Alors ? — C’est moins parce qu’il n’y a pas beaucoup. »

Or, il est intéressant de noter que, sur le plan des opérations réelles, Gis est précisément du second stade : correspondance exacte, mais qualitative et sans équivalence durable. Par exemple, elle fait correspondre correctement 4 couples à 4 couples (ou davantage), mais ne croit plus à l’équivalence dès que l’on écarte les jetons.

Pour ce qui est des figures appartenant aux catégories III-V, les réactions sont exactement les mêmes : copie exacte, avec correspondance terme à terme, mais sans conservation ou équivalence durable dès que l’on altère la configuration de l’une des deux collections :

Nil (5 ans) commence par mettre 2 éléments de trop en copiant une croix de 9 jetons, mais se corrige spontanément en pointant après coup les termes correspondants. Il reproduit d’emblée correctement le carré de 9 jetons, une maison de 11 éléments et surtout un cercle de 10 jetons. Ce cercle est copié en respectant la valeur du diamètre. Lorsque l’on demande à Nil si c’est bien » la même chose », il désigne du doigt les correspondances terme à terme. On place alors un jeton en regard de chaque élément du cercle-modèle, de manière à construire ainsi un cercle concentrique de plus grand diamètre par correspondance terme à terme : « Il y aura assez de jetons pour mettre devant chacun ? — Oui. — Pourquoi ? — C’est la même chose. » Mais une fois le grand cercle [p. 87] concentrique achevé, Nil ne croit plus à l’équivalence : « Il y a la même chose de jetons ? — Non. — Pourquoi ? — Parce que c’est plus grand. »

Ba (4 ; 9) réussit à reproduire, à une ou deux erreurs près, d’ailleurs momentanées, les figures de type III, telles que le cercle de 9 jetons, un angle droit à 11 jetons, etc., les figures de type IV (le carré de 9, etc.), et sait en outre faire correspondre des jetons à des allumettes, selon diverses combinaisons, en reproduisant toujours la figure perçue. Pour la figure V (losange de 13 jetons) Ba met au centre une rangée de 5 (juste) et en dessous un triangle de 4 jetons (juste). Mais il met au-dessus 2 éléments seulement au lieu de 4 : « C’est autant ? — Oui. — Comment tu sais ? — (Il pointe alors du doigt chaque élément du modèle et chaque jeton correspondant de la copie, et s’écrie, parvenu au sommet) : Je m’ai trompé, j’ai mal fait. (Il se corrige d’emblée.) »

Mais malgré ces réussites, Ba ne croit pas l’équivalence nécessaire lorsque l’on altère la disposition de l’une des collections qu’il vient de mettre en correspondance. Il suffit, par exemple, de coucher sur le grand côté un rectangle de 12 jetons qu’il a construit en hauteur pour qu’il ne le croie plus équivalent au modèle (dressé).

Telles sont les réactions de ce deuxième stade, réactions dont on constate la généralité : correspondance terme à terme, mais en s’appuyant sans cesse sur les particularités qualitatives des figures, faute de quoi le sujet ne conçoit plus d’équivalence entre les deux collections. On voit immédiatement quels problèmes il soulève : d’une part celui de la genèse de la correspondance qualitative à partir des relations globales en jeu durant le premier stade, et d’autre part celui de savoir pourquoi la correspondance terme à terme d’ordre qualitatif n’est pas d’emblée numérique et pourquoi elle ne conduit pas plus dans cet ordre d’expériences que dans les autres, à la notion d’équivalence nécessaire et durable. Mais, pour résoudre ces questions, il est préférable d’examiner auparavant les réactions du troisième stade ainsi que les faits relatifs aux rangées simples.

Durant le troisième stade, en effet, la correspondance se libère de la figure intuitive et l’on voit apparaître des opérations spontanées de contrôle, par dissociations des totalités et mises en série. La correspondance devient ainsi opératoire, soit qualitativement soit numériquement. Voici d’abord des exemples en ce qui concerne les agglomérations de catégories I et II.

Hen (5 ans) en présence d’un amas de 11 jetons : « Prends-en autant. — (Il en prend 14 un par un ou deux à deux.) — C’est la même chose ? — (Il vérifie par correspondance.) Non. (Il en enlève 3.) — Et maintenant (ses 11 jetons sont disposés au hasard, sans ressemblance avec le tas modèle) ? — Oui. — (On éparpille les éléments du modèle.) Et maintenant ? — Encore. »

Cha (6 ans), en présence d’un amas de 12 éléments, donne 11 jetons, pris un à un, sans figure, par correspondance du regard avec ceux du modèle, puis en rajoute spontanément un. Lorsque l’on espace les éléments du modèle, [p. 88] l’équivalence subsiste. Mêmes réactions en ce qui concerne les 4 couples sériés : le sujet prend d’emblée 8 jetons, simplement alignés et sans reproduire la figure.

Quant aux figures de catégories III-V :

Fav (5 ; 6) réussit d’emblée les figures III-IV, en copiant encore la forme mais en admettant l’équivalence des collections en cas de changements de disposition. Pour une figure de type V, Fav commence par copier le modèle, puis il compte verbalement : « Il faut encore ajouter 3 », etc., puis, s’embrouillant, il renonce à la fois à la copie visuelle et à la numération parlée, et, ce qui est très caractéristique de ce stade, il procède par correspondance « quelconque » : il dissocie les éléments du modèle et les aligne 2 par 2 en une double rangée verticale, puis fait de même avec les jetons de sa propre collection, mais les aligne 2 par 2 en une double rangée horizontale. Il voit aussitôt ainsi qu’il lui manque un élément et le rajoute.

Maw (6 ans), de même, réussit à reproduire sans faute des figures complexes, comme celles de type V, mais, pour le contrôle, il ne se fie qu’à la correspondance : « C’est la même chose ? — (Il compte 12 et 13.) Il y en a un trop (enlève 1, à tort, s’étant simplement trompé en comptant). — Mais alors pourquoi il y a une place vide ici (jeton enlevé) ? » Maw fait alors comme Fav : il détruit sa propre figure et met les jetons en ligne, puis, du doigt, il fait la correspondance avec les éléments de la figure modèle, demeurés en place. Il voit alors qu’il manque un jeton, qu’il rajoute enfin.

De même, lorsqu’il fait correspondre 22 allumettes à 22 jetons, disposées selon une figure complexe, il compte celles-là à voix basse : « Il y en a autant ? — Oui. — Combien ? — Je ne sais pas (a oublié le dernier nombre cardinal). — Alors comment tu sais que c’est la même chose ? — Chaque fois que j’ai mis une allumette, j’ai pris (= pointé) un jeton. — Et comment sais-tu que tu ne t’es jamais trompé ? — (Il aligne alors les objets et place une allumette au-dessus de chaque jeton.) »

Il va de soi que Fav et Maw croient à l’équivalence durable des collections correspondantes puisqu’ils dissocient d’eux-mêmes les figures pour vérifier leur égalité numérique.

On ne saurait trouver de conduites plus claires pour montrer que la valeur attribuée par l’enfant à l’opération de mise en correspondance précède la certitude inhérente à la numération parlée. Il y a donc bien un stade propre à la correspondance opératoire, avec sentiment de l’équivalence nécessaire (qualitative et numérique) des collections correspondantes et avec conservation des quantités. Ce stade vient ainsi s’intercaler entre la simple correspondance intuitive et la correspondance entre les objets et les chiffres verbaux, ou numération parlée. Quant à cette dernière, dont l’emploi correct supplantant toute correspondance pratique caractériserait un quatrième stade, il est inutile d’y insister ici, puisque l’objet de cet ouvrage est l’étude de la constitution du nombre et que c’est seulement une fois les opérations constituées logiquement sur le plan pratique que la [p. 89] numération parlée prend une signification proprement numérique. Des exemples comme ceux de Fav et de Maw, joints à tous ceux que nous avons déjà vus suffisent à le prouver.

Avant de chercher à tirer quelque conclusion générale des faits précédents, il nous semble utile de revenir à l’analyse de la correspondance entre rangées simples. Cette étude ne saurait, en effet, faire double emploi avec celle du chap. III, puisqu’il ne s’agissait alors que d’établir en quoi la correspondance terme à terme, même lorsqu’elle a lieu entre objets qualitativement complémentaires, ne suffit point à entraîner l’équivalence nécessaire et durable des collections correspondantes. Il s’agit au contraire maintenant de situer la correspondance parmi l’ensemble des procédés d’évaluation cardinale, c’est-à-dire de l’étudier au moyen d’objets homogènes dont on demande simplement à l’enfant de constituer deux ensembles de valeur égale. D’autre part, si ces procédés d’évaluation nous sont déjà apparus clairement au cours des paragraphes précédents, il convient encore cependant de simplifier le problème et d’examiner si nos résultats subsisteront dans le cas, non plus de figures complexes, mais de simples rangées linéaires. C’est donc à ce double point de vue que nous nous placerons ici pour étudier la correspondance entre rangées simples, conformément à la seconde des deux techniques exposées dans l’introduction de ce chapitre.

Or, le premier des stades observés à l’occasion des rangées simples s’avère d’emblée parallèle au premier stade décrit au § 1 : lorsqu’on demande à l’enfant de donner autant de haricots (ou de sous, de bonbons, etc.) qu’il y en a dans la rangée servant de modèle, le sujet au lieu de procéder par correspondance terme à terme ou analyse des unités discrètes, ne fonde ses évaluations que sur l’une ou l’autre des deux qualités globales de cette rangée, soit la longueur occupée ou la densité des éléments, mais sans coordonner ces deux rapports l’un à l’autre. Voici des exemples du premier procédé :

Don (4 ; 1) a une sœur, Myriam : « Alors la maman donne tous les sous à Myriam pour aller au carrousel. Toi, tu vas prendre autant de sous que Myriam, la même chose de sous. — (Don prend quelques sous en poignée, par hasard 5, mais les espace de telle sorte que la rangée-copie est plus longue que [p. 90] la rangée-modèle.) Mais c’est plus grand, c’est pas juste ! — Pourquoi ? Un des deux est plus riche ou vous avez la même chose ? — Oui, c’est moi qui est plus riche. — Alors fais juste. — (Il remet dans la boîte le tout, puis il en reprend 4 qu’il place en les serrant, plus 1 qu’il serre également.) Ah, mais, ce sera plus petit ça (sa rangée). Il faut en remettre (en rajoute 1 à chaque extrémité, d’où une rangée de 7 sous d’une longueur égale à la rangée modèle). — C’est la même chose, comme ça, ou bien un de vous deux sera plus riche ? — C’est juste la même chose. »

Char (4 ; 4) de même, commence par aligner 11 boutons en rang serré, pour égaler les 6 boutons espacés du modèle, puis, comme sa rangée dépasse l’autre, il enlève les 3 éléments terminaux et atteint ainsi la même longueur : « C’est la même chose ? — Oui. —  Tout à fait ? — Oui. — (On espace les 6 éléments de la rangée modèle et on resserre les 8 de sa rangée.) Et maintenant ? — Il y a plus là (les 6). »

Boq (4 ; 7) : « Mets ici autant de bonbons que là. Ça (6) c’est pour Roger. Il faut en prendre la même chose pour toi. — (Il aligne en un rang serré une dizaine de grains mais sans égaler encore celle de la rangée-modèle.) — C’est la même chose ? — Pas encore (il en rajoute). — Et maintenant ? — Oui. —  Pourquoi ? — Parce que c’est comme ça (montre les longueurs). — (On écarte les 6 grains du modèle.) Qui a plus ? — C’est Roger. —  Pourquoi ? — Parce que ça va jusque-là. —  Qu’est-ce qu’il faut faire pour avoir la même chose ? — En remettre (il rajoute 1). — (On resserre ces 7 grains et on espace les siens.) — Maintenant j’ai plus. »

À la fin de l’interrogatoire, nous offrons à Boq deux rangées de bonbons, l’une formée de 3 bonbons espacés et l’autre de 4 bonbons serrés, la première étant donc plus allongée que la seconde : « Où y en a-t-il le plus ? — Là (les 3). — Pourquoi ? — C’est une plus grande ligne. »

Arc (4 ; 9) : « Ta maman donne ces grains (8) à Luc. Tu dois aussi en avoir, mais juste la même chose. — (Arc aligne alors 13 grains en rang serré mais en ayant grand soin que cette rangée ait la même longueur que celle du modèle.) — Tu as la même chose ? — Oui. — Et maintenant (on écarte un peu les 8 grains de Luc) ? — Non, Luc mangera plus. »

Ril (5 ; 2) met 9 sous pour égaler une rangée de 6 : « Voilà. —  Tu es la même chose riche que Daniel ou tu as plus ? — Tous les deux ont la même chose. —  (On serre encore les 9 sous de l’enfant et on écarte un peu les 6 de Daniel.) Qui peut acheter plus de choses ? — Daniel. »

Ler (5 ; 3) met 8 sous serrés devant la rangée de 6 sous, puis lorsqu’on écarte les 6 sous, il trouve que cela fait plus que les 8 « parce que c’est plus grand ici ».

Outre cette méthode d’évaluation par l’espace occupé ou la longueur des rangées, on trouve aussi, mais plus rarement, des cas de jugements fondés sur la densité des éléments, c’est-à-dire sur le caractère plus ou moins serré des sous, des haricots ou des jetons. Voici un ou deux exemples :

Don (4 ; 1), un moment après les évaluations citées plus haut, met 7 jetons rouges serrés sous 6 jetons bleus : « C’est la même chose ? — Oui. — (On serre la rangée modèle et on espace un peu les siens.) — Et maintenant ? — C’est moi (7 rouges) qui a plus, parce que c’est plus grand. Oh ! non, c’est Myriam (6 bleus) qui a plus. — Pourquoi ? — Parce que c’est serré : il y a beaucoup. »

[p. 91]Lin (5 ; 3), de même, dit une ou deux fois, bien qu’évaluant ordinairement la quantité au moyen de la longueur, que 6 éléments serrés font plus que n éléments espacés, « parce que c’est plus gros. »

Mais si le résultat de ces mesures par la densité est le contraire de celles qui se fondent sur la longueur de la rangée, il est clair que le principe en est le même : c’est une qualité globalement perçue qui est le critère de l’évaluation et non pas le nombre ou la correspondance terme à terme.

Nous voici donc ramenés aux problèmes soulevés au § 1, mais dans des conditions de simplification telles qu’ils deviennent aisés à résoudre : quelle est, d’une part, la nature de cette quantification antérieure à la correspondance terme à terme et pourquoi, d’autre part, une telle correspondance n’est-elle point encore possible au niveau du premier stade ?

Sur le premier point nous retrouvons exactement les conclusions obtenues au cours des chapitres I et II et au § 1 du présent chapitre : les quantités élémentaires ou « quantités brutes » ne sont pas autre chose que les rapports s’exprimant en « plus », en « égal » ou en « moins », immédiatement perçus entre les qualités données, mais non encore composés entre eux. C’est ainsi que les deux qualités inhérentes à toute rangée d’objets (indépendamment de celles des objets eux-mêmes) sont la longueur totale et la densité des éléments. Or il est impossible de comparer deux rangées quelconques, sans que les qualités de l’une soient rapportées à celles de l’autre, c’est-à-dire sans que l’une des deux rangées apparaisse comme plus longue, plus courte ou de même longueur que l’autre ou comme plus serrée, plus espacée ou de même densité. Ce sont donc ces rapports, aussi primitifs ou élémentaires que les qualités comparées elles-mêmes, qui sont seuls utilisés par les enfants de ce niveau pour leurs évaluations précardinales. Lorsque Don, par exemple, déclare « c’est moi qui a plus parce que c’est plus long », ou que Ler déclare de 6 sous espacés comparés à 8 sous serrés : « c’est plus parce que c’est plus grand », ils traduisent directement la longueur des rangées en termes de valeur quantitative. Sans doute, s’il était question de comparer un plus grand nombre de lignes réunies, ou d’additionner abstraitement de tels rapports, les difficultés surgiraient tôt ou tard (pour la sériation voir les chap. V et VI). Mais tant qu’il s’agit de rapports immédiatement perceptibles, ils suffisent à une évaluation élémentaire. D’autre part, il est évident que le sujet parvient également à comparer [p. 92] deux rangées du point de vue des intervalles séparant les éléments : il voit bien que dans l’une, ceux-ci sont « plus (ou moins) serrés », que dans l’autre et sait également traduire cette perception pratique en rapports quantitatifs élémentaires. Ainsi pour Don « parce que c’est serré : il y a beaucoup » ; pour Lin il y a plus quand « c’est plus gros ». De même la densité est invoquée au chap. III par Mou (§ 2 sect. III), par Lid (§ 3 sect. II), par Fran (§ 3 sect. III), etc., comme critère de plus grande quantité. Ces deux rapports de longueur totale ou de densité constituent donc, chacun pris à part, un début de ce que sera plus tard l’évaluation cardinale, les deux qualités ainsi comparées étant elles-mêmes, dès l’origine, inséparables de la quantité parce que perçues selon leurs rapports respectifs.

Seulement, ces rapports quantitatifs élémentaires présentent-ils d’emblée une structure rationnelle ou constituent-ils de simples schèmes pratiques qui, bien qu’annonçant la raison par leur fonctionnement, demeurent prélogiques parce qu’antérieurs à toute opération proprement dite ? Il est évident que la seconde solution est la bonne puisque ces quantités naissantes ne sont point dotées de conservation. Pour la conscience rationnelle, une rangée de n grains espacés conserve cette même valeur cardinale n si la longueur de la rangée se raccourcit, et cela pour autant que les grains sont simplement serrés : c’est donc la relation entre la longueur de la rangée et les intervalles de ses éléments qui détermine la conservation de l’ensemble tandis que les deux rapports de longueur totale et de densité sont variables. Or, c’est précisément cette coordination ou composition logique des deux rapports en jeu que l’enfant de ce stade ne parvient point à effectuer, et c’est pourquoi il n’y a pas encore conservation des collections ni même correspondance terme à terme.

Nous voici donc en mesure d’aborder la seconde des questions posées à l’instant : pourquoi la correspondance terme à terme n’est-elle pas possible au cours du premier stade ? Il faut naturellement distinguer deux questions, selon qu’il s’agit de la correspondance intuitive propre au second stade, ou de la correspondance opératoire (qualitative ou numérique) propre au troisième stade. Or, si cette dernière suppose l’intervention d’opérations spéciales, dont nous parlerons dans la suite, la correspondance intuitive, si elle est qualitativement exacte, s’explique déjà par une multiplication élémentaire des relations et il devient dès lors clair pourquoi une telle correspondance, même sans équivalence numérique nécessaire et durable, [p. 93] n’est elle-même pas concevable au cours du premier stade, puisque les rapports de longueur et de densité des rangées ne sont point encore composables entre eux à ce niveau.

En effet, dès que l’on tient compte à la fois de la longueur totale des rangées à comparer et de la densité des éléments, c’est-à-dire des longueurs de leurs intervalles, force est bien de ne plus considérer les totalités en jeu comme des unités simples (comme des lignes plus ou moins longues ou des colliers plus ou moins serrés), mais comme des ensembles formés de parties ou d’individus. Au contraire, tant que l’une des deux relations est seule envisagée, la collection ne constitue qu’un tout indissociable et ne peut donner prise qu’à des évaluations globales. Lorsque, par exemple, Boq préfère 3 bonbons espacés à 4 serrés parce que « c’est une plus grande ligne » il est clair qu’il néglige les éléments comme tels, ainsi que leurs intervalles, et lorsque Don après un raisonnement du même type, en vient à l’autre critère (6 jetons bleus font plus que 7 rouges espacés) « parce que c’est serré : il y a beaucoup », il est non moins clair qu’il néglige les longueurs respectives des rangées et ne peut donc pas comparer davantage leurs éléments comme tels. Ce n’est que lorsque deux rangées ont à la fois la même longueur et la même densité que leur équivalence implique leur correspondance et dépasse l’évaluation globale : la correspondance apparaît ainsi comme l’expression d’une construction véritable et cela dès le niveau de la correspondance qualitative d’ordre intuitif lui-même, c’est-à-dire antérieurement à toute correspondance numérique (et qualitative d’ordre opératoire), l’opération étant alors simplement facilitée ou à moitié remplacée par la perception des figures.

En quoi consiste une telle construction ? Tout d’abord en une décomposition rendant possible la composition elle-même. Fusionner en un seul tous les rapports globaux de la longueur totale d’une rangée et de sa densité, c’est en effet, d’abord comprendre que la longueur totale est constituée par la somme des intervalles séparant chaque élément du suivant et que par conséquent, pour une rangée dense ou serrée, les intervalles seront plus nombreux et plus courts tandis que pour une rangée peu dense la longueur totale peut rester la même alors que les intervalles seront moins nombreux et plus longs. En second lieu, et dans la mesure où deux rangées sont comparées l’une à l’autre, la construction sur laquelle repose la correspondance supposera donc une composition multiplicative de relations : les deux [p. 94] rangées correspondront spatialement l’une à l’autre si elles ont la même longueur et la même densité à la fois c’est-à-dire si chaque élément de l’une peut être placé sous un élément de l’autre.

Rien n’est plus décisif, à cet égard, que les hésitations des enfants les plus avancés de ce stade et que le processus de la découverte de la correspondance, chez ceux qui atteignent ainsi, en fin d’interrogatoire, la frontière du second stade. Lorsque, après avoir évalué leurs rangées, comme les sujets précédents, du seul point de vue de la longueur, ils commencent à prêter attention à la densité, ils oscillent un moment entre ces deux points de vue possibles, puis, gênés par cette alternance et les contradictions qu’elle entraîne, ils cherchent à tenir compte des deux points de vue à la fois : c’est alors qu’ils sont nécessairement conduits à mettre en correspondance spatiale les éléments eux-mêmes des séries à comparer ainsi que les intervalles qui les séparent. Voici un exemple :

Stu (5 ; 11) cherche à égaler une rangée de 6 grains. Elle prend quelques unités (8) et les aligne : « C’est plus. — Comment ça ? — On voit à la ligne. —  (On serre les 8 et on espace les 6.) — Non, là (6) il y a plus. — Pourquoi ? — Là (les 8) ça fait plus petit. On les a serrés. —  Mais il y en a moins ? — Oui. —  (On montre alors deux rangées, l’une de 6 grains serrés et de l’autre de 4 espacés.) Où y a-t-il plus ? — Là (6). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus (= c’est serré). — On montre deux rangées de 6, l’une serrée l’autre espacée.) Et là ? — Là (espacé), parce que c’est plus long, il y a plus de bonbons. — (On montre à nouveau deux rangées dont l’une plus courte contient plus d’éléments.) Et maintenant ? — Là, (la courte), parce qu’il y a beaucoup. —  (On remet les 6 grains initiaux.) Donne la même chose de grains. — (Stu fait alors la correspondance exacte et franchit ainsi la limite qui sépare le premier du second stade.) »

On voit comment il a suffi de montrer à Stu, grâce aux petits nombres de 6 et 4 qu’une rangée serrée peut contenir plus d’éléments qu’une rangée de plus grande longueur, pour qu’elle cherche à combiner les rapports de longueur et de densité et en vienne ainsi à décomposer les ensembles présentés puis enfin à découvrir la correspondance terme à terme. Ceci nous conduit à l’examen des stades suivants.

Nous venons de faire l’hypothèse que la correspondance qualitative procède sans plus d’une coordination logique [p. 95] des rapports en jeu, soit, dans le cas particulier des rangées, des relations de longueur totale et de densité (intervalles entre les éléments). Il convient maintenant, d’une part de contrôler la chose en ce qui concerne le second stade ou stade de la correspondance qualitative d’ordre intuitif et, d’autre part, d’expliquer le passage entre cette correspondance sans équivalence durable et la correspondance proprement opératoire (qualitative et numérique), avec équivalence nécessaire et durable des collections correspondantes.

Lorsque l’on demande aux enfants du second stade de donner autant d’éléments qu’il y en a dans la rangée-modèle de 6, ils réagissent en effectuant d’emblée (ou presque) une correspondance optique et spatiale entre la rangée-copie et la précédente. Mais, comme on l’a établi suffisamment déjà au moyen des épreuves du chap. III, ils cessent de croire à l’équivalence dès que la correspondance n’est plus immédiatement perçue :

Jon (4 ; 5) : « Prends pour toi la même chose que ça (6 jetons). — (Il met 7 jetons serrés, puis fait exactement la correspondance.) — C’est la même chose ? — Oui. — (On espace la rangée-copie.) — C’est la même chose ? — Non. — Quelqu’un a plus ? — Moi. — Fais que vous ayez la même chose à manger. — (Il resserre les siens.) — C’est la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que j’ai poussé (= resserré). »

Pret (4 ; 11) parvient à faire la correspondance exacte après avoir mis un grain de trop, mais, lorsque l’on resserre les éléments de la rangée modèle, dit : « Il y a plus là, parce qu’il y a une plus grande ligne. Il faut la même ligne, alors c’est la même chose. — Comment faire ? — (Il rétablit la correspondance optique.) » Mêmes réactions lors de l’essai inverse.

Hab (5 ; 3) commence par mettre 9 grains en regard des 6 du modèle, mais en une rangée de même longueur. « Ça y est. — C’est la même chose ? — Je ne suis pas sûr. — Où y a-t-il plus ? — Là (rangée des 9 serrés). — Comment faire ? — (Elle met 6 grains en regard des 6 du modèle et enlève le surplus.) — (On serre les 6 du modèle.) C’est la même chose ? — Non. — Il y en a autant ici (modèle) que là ? — Non, là (copie) il y en a plus. —  Il y a plus à manger d’un côté que de l’autre, ou c’est la même chose ? — Moi je mangerai plus. — Alors fais la même chose. — (Elle enlève 2 grains, puis fait la correspondance terme à terme et remet les 2 grains lorsqu’elle constate qu’ils manquent !) »

Per (5 ; 7) établit d’emblée une rangée-copie de 6 par correspondance avec le modèle. On resserre les grains du modèle : « C’est moi qui a le plus. — Pourquoi ? — Parce que c’est une ligne plus longue. — (L’inverse.) — Maintenant c’est là qu’il y en a le plus, parce que c’est une grande ligne. » Mais un instant après Per dit le contraire : « Il y a plus à manger ici (espacés) ? — Non. — Pourquoi pas ? — Parce que c’est long. — Et là (serré) ? — Là il y a plus, parce qu’il y a un petit paquet (= c’est serré). — Il y a plus dans un petit paquet que dans une grande ligne ? — Oui. » Après quoi Per revient au primat de la longueur, puis, rétablit la correspondance visuelle et dit : « Maintenant c’est les deux la même chose. »

Plus (5 ; 7) de même, procède par correspondance pour trouver une collection égale au modèle, mais choisit 3 bonbons espacés de préférence à 4 serrés [p. 96] parce qu’« il y a plus ». Pour rétablir l’égalité entre 6 éléments serrés et 6 espacés, il desserre simplement les premiers.

On voit combien ces sujets du second stade confirment l’hypothèse esquissée à la fin du § 3 sur la genèse de la correspondance qualitative. Si élémentaire, en effet, que soit cette forme de correspondance, lorsqu’elle s’effectue sur un plan simplement intuitif, elle n’en constitue pas moins, elle-même, une relation complexe, impliquant un système de comparaisons, c’est-à-dire de « multiplications » (et éventuellement de divisions ou « abstractions ») logiques. C’est ainsi que, pour mettre en comparaison les côtés ou les angles de deux losanges situés l’un à côté de l’autre, le sujet doit décomposer ces figures (en faisant éventuellement abstraction de leurs grandeurs ou de leur orientation) pour dégager les ressemblances quant aux positions relatives des côtés seuls ou des angles seuls. Or ce jeu de relations coordonnées (par exemple « le sommet du losange de gauche correspond au sommet du losange de droite », etc.) dépasse, cela est clair, le niveau des rapports indifférenciés et globalement perçus, qui caractérisent le stade précédent. Dans le cas de nos deux rangées de grains, c’est, comme on l’a vu au § 3, la conjonction des relations exprimant la longueur de la rangée avec celles des densités de ces rangées qui conduit à la correspondance. Tant que l’enfant juge de la quantité d’après la longueur seule ou la densité seule des rangées envisagées, il ne saurait y avoir de correspondance. Les sujets précédents parviennent au contraire, et c’est précisément ce qui définit la correspondance propre au présent stade, à construire une rangée-copie qui ait à la fois la même longueur totale que la rangée-modèle et la même densité (les mêmes intervalles entre éléments), cette double égalité étant assurée par le fait que chaque élément de la copie est placé en regard d’un élément déterminé du modèle. C’est ainsi que Hub (de même que Jon, Pret, etc.), qui commence comme les enfants du premier stade par mettre trop de grains sous la rangée-modèle, déclare qu’elle n’est « pas sûre » de l’équivalence et trouve alors le procédé de la correspondance en desserrant ses grains et en coordonnant ainsi le rapport de densité avec celui de la longueur totale. D’autre part, lorsque, après avoir espacé ou resserré l’une des rangées pour juger de l’équivalence, l’on demande à l’enfant de rétablir lui-même cette équivalence à laquelle il ne croit plus, les sujets de ce stade ont une autre réaction que ceux du premier : tandis que ceux-ci [p. 97] se bornent en général à rajouter ou à enlever des éléments, pour rétablir la même longueur ou la même densité, nous voyons au contraire Jon resserrer les grains espacés et justifier l’égalité en disant : c’est la même chose « parce que j’ai poussé ». De même Pret, Per, Phil et Hub (après avoir enlevé puis remis 2 grains), rétablissent l’équivalence en reconstituant la correspondance optique, c’est-à-dire à nouveau en coordonnant la densité avec la longueur des rangées.

Seulement, et c’est là que nous retrouvons tout le problème du chapitre précédent, si c’est donc à partir du moment où l’enfant pense simultanément à la longueur des rangées et à leur densité (c’est-à-dire à l’intervalle entre les grains) qu’il commence à effectuer la correspondance terme à terme, il est non moins clair que cette correspondance ne conduit pas d’emblée à une équivalence durable des collections correspondantes lorsque l’on altère leur configuration, ni par conséquent à la notion de leur constance quantitative. Le moment est donc venu d’expliquer cette absence d’équivalence ou de conservation, dans le cas particulier des ensembles d’objets discrets correspondant terme à terme. Comment se fait-il que l’équivalence dure seulement en tant que la correspondance est perçue (par contact optique, etc.) et qu’elle s’évanouisse sitôt abolie la correspondance perceptive ? Si la correspondance terme à terme résulte d’une composition des deux relations de longueur et de densité, pourquoi cette coordination ne conduit-elle pas d’emblée à l’équivalence nécessaire et durable ? Pour comprendre la chose, il importe de distinguer deux questions d’ailleurs parallèles : celle de la coordination générale ou externe et celle de la nature interne des opérations.

Du premier de ces points de vue, il est évident que nous nous trouvons ici en présence d’un processus continu de coordination, mais dont les étapes attestent l’existence de plans successifs de structuration. Il y a d’abord les rapports perceptifs élémentaires et globaux, inhérents à la perception des longueurs, à celle de l’aspect plus ou moins dense des rangées, etc. En second lieu, lorsque ces rapports perceptifs, jusque-là globaux et non coordonnables entre eux, commencent à se coordonner par le moyen de sériations, et de multiplications logiques, ces coordinations s’effectuent d’abord sur un plan intuitif et encore perceptif, c’est-à-dire semi-opératoire et n’atteignant pas d’emblée le niveau de l’opération réversible, ou entièrement libérée de la perception. C’est précisément ce qui se produit au cours du présent stade ; les rapports de longueur totale et de densité [p. 98] sont bien envisagés simultanément par l’enfant puisque la rangée-copie est à la fois de même longueur que la rangée-modèle, et de densité égale, chaque grain de l’une étant placé en regard de chaque grain de l’autre ; seulement cette coordination naissante ne dépasse pas le plan de la perception, c’est-à-dire que, sitôt altérée la figure perceptive qui a permis d’établir la correspondance, non seulement celle-ci s’évanouit (ce qui est naturel, car nous verrons dans la suite que dans le cas particulier, elle supposerait, pour se conserver, des opérations numériques et non pas uniquement qualitatives) mais encore toute coordination entre la longueur et la densité disparaît de même. En effet, lorsque l’on espace ou resserre l’une des deux rangées, l’enfant ne dit pas : « C’est plus court, mais plus serré, alors on ne peut plus savoir. » Il choisit, au contraire, l’un des deux critères au hasard et juge de la quantité totale d’après ce critère seul. L’exemple de Per est fort significatif à cet égard. Cet enfant, tout en sachant effectuer une correspondance terme à terme entre la rangée-modèle et la rangée-copie, est désorienté dès que l’on espace les éléments de l’une d’entre elles : il oscille alors à nouveau entre les deux relations en jeu, longueur totale ou densité, pour dire tantôt que les 6 grains espacés sont plus nombreux que les 6 grains serrés, « parce qu’il y a une grande ligne », tantôt le contraire, parce que les seconds forment un « paquet ». C’est bien la preuve que Per, tout en parvenant à coordonner ces deux relations sur le plan de perception, ce qui lui permet de constituer une correspondance terme à terme entre les rangées lorsque les éléments sont en contact visuel, ne parvient pas à les relier suffisamment l’une à l’autre pour que cette coordination dépasse le plan intuitif et constitue un système d’« opérations » réelles.

Mais, dès ce second niveau, nous voyons poindre un début de coordination opératoire qui s’achèvera au cours du troisième stade. En effet, si une opération est bien, comme tout ce volume tendra à le prouver, une action réversible, il est clair que les réactions de Jon, Pret, Per, Mül, etc., dont nous avons parlé à l’instant et qui consistent à resserrer ou à espacer les éléments pour rétablir l’égalité, annoncent déjà la constitution des opérations réelles.

Or, si nous passons maintenant de l’analyse externe de ces coordinations, à l’analyse logique ou interne, nous constatons le parallélisme suivant. Au premier niveau, qui est donc celui des rapports perceptifs non coordonnés entre eux, correspondent les relations globales « plus ou moins long » ou « plus ou moins serré », qui caractérisent [p. 99] les rangées comme telles et non pas le détail des rapports unissant chaque élément à chacun des autres. Quant à la coordination naissante entre ces deux sortes de relations, qui s’opère durant le second stade sur le seul plan intuitif, elle est de nature à la fois additive (sériation) et multiplicative (correspondance), ce qui correspond exactement aux débuts d’opération que nous avons décrits à propos du second stade de la conservation des quantités (chap. I et II). D’une part, en effet, la densité d’une rangée n’est pas autre chose que la succession (perçue ou conçue) des intervalles séparant chaque élément du suivant, et la somme de ces longueurs est identique à la longueur totale de la rangée : coordonner la longueur totale et la densité, c’est donc simplement décomposer la première en segments dont la somme définit la seconde, ce qui constitue une sériation additive (addition de relations). D’autre part, faire correspondre terme à terme deux rangées par contact visuel ou spatial, c’est construire deux séries qui aient à la fois la même longueur et les mêmes intervalles, c’est-à-dire dont les éléments soient exactement en regard les uns des autres : c’est donc multiplier les relations « situées à une certaine distance horizontale » par les relations « situées au-dessus de ». Ce que l’enfant découvre, en effectuant la correspondance terme à terme d’ordre perceptif, c’est donc le début de la sériation et de la multiplication des relations qualitatives de position, mais ce n’est encore rien de plus. Lorsque la densité de l’une des rangées ou sa longueur totale sont altérées, le sujet ne croit plus à la correspondance, parce qu’alors il faudrait comprendre que les déplacements se compensent et égaliser ainsi des différences, ce qui suppose un niveau supérieur à celui du simple groupement qualitatif : tout ce que l’enfant sait faire, c’est de rétablir l’égalité pure de deux rangées mais il ne tire pas encore de ce retour empirique au point de départ la notion d’une réversibilité opératoire toujours possible.

Avec le troisième stade, au contraire, nous voyons la correspondance s’affranchir de ses limitations spatiales ou perceptives et subsister quels que soient les déplacements que l’on imprime aux éléments. En d’autres termes, l’équivalence une fois constatée est conçue comme subsistant nécessairement malgré les transformations possibles de la configuration des collections correspondantes. La correspondance terme à terme devient ainsi réellement quantifiante et exprime dorénavant l’égalité numérique et non plus seulement l’équivalence qualitative. Voici des exemples :

[p. 100]Fet (5 ; 5) : « Prends la même chose que ça (6 sous). » Il aligne 6 sous sous la rangée modèle, mais dispose d’emblée les siens en suite beaucoup plus serrée que ceux du modèle, donc sans contact spatial entre les éléments : la rangée initiale déborde même des deux côtés la copie. « Tu as la même chose ? — Oui. — Vous êtes la même chose riche, celui-là et toi ? — Oui. —  (On serre les sous du modèle et on espace les siens.) — Et maintenant ? — La même chose. — Tout à fait ? — Oui. — Pourquoi c’est la même chose ? — Parce qu’on les a rapprochés (= on a simplement serré). »

Cran (5 ; 8), en présence de 6 grains espacés, commence par placer un grain au-dessous de chacun de ceux du modèle. On serre alors les grains de la rangée-copie : « C’est la même chose ? — Oui. —  La même chose à manger ? — Oui. — Comment tu sais ? — Je vois. » Pourtant lorsqu’il s’agit d’évaluer par des nombres les quantités en présence, Cran ne donne aucune réponse sûre au-delà de 6. »

Lan (6 ; 2), pour reproduire une rangée de 6 allumettes en prend 4 dans sa main, sans compter mais en faisant la correspondance du regard. Parvenu à ce point, il pose l’index sur la quatrième allumette du modèle, en prend encore 2, puis place ses 6 allumettes devant la rangée-modèle, mais en tas et sans contact spatial. Nous répartissons alors ses 6 en une rangée et serrons les autres en un faisceau posé perpendiculairement : « C’est la même chose ? — C’est sûr. —  Pourquoi ? — Parce qu’avant celles-là (les siennes) étaient en paquet et vous les avez maintenant mises comme ça (espacées), et avant celles-là (modèle) étaient écartées et maintenant vous les avez mises en paquet. »

L’opposition entre ces enfants et ceux du dernier stade est évidente. Tout d’abord, les présents sujets ne recherchent pas nécessairement, même au moment où ils effectuent la correspondance terme à terme, le contact perceptif entre ces éléments. C’est ainsi que Fet établit d’emblée une rangée-copie plus serrée que le modèle et que Lan met ses allumettes en paquet devant 6 allumettes alignées. Mais surtout, et de pair avec ce déplacement à l’égard de la perception actuelle, ces enfants savent relier les unes aux autres les configurations successives des collections correspondantes en coordonnant correctement leurs relations. Par exemple Fet se sert, pour prouver que les sous du modèle sont toujours équivalents à ceux de sa copie, de l’argument même qu’utilisaient les petits pour démontrer le contraire : « parce qu’on les a rapprochés ». Or, cette justification ne peut avoir qu’un sens : rapprocher ces sous sans rien enlever ni ajouter, c’est diminuer la longueur totale mais augmenter la densité. L’enfant parvient donc à tenir compte à la fois des relations de longueur et de densité, non plus seulement dans le cas où les rangées à comparer sont semblables, mais encore (et là est le progrès sur le stade précédent) dans les cas où les rangées diffèrent par la longueur et la densité simultanément. En d’autres termes, si l’on considère la longueur totale des rangées et leur densité comme deux relations [p. 101] distinctes, ainsi que le fait l’enfant lui-même avant de les coordonner ou en définissant la densité par les longueurs plus ou moins grandes d’intervalles séparant les éléments de la série (longueurs reconnaissables à la perception du caractère « serré » ou « espacé »), on peut alors dire que le troisième stade marque l’achèvement de la multiplication qualitative de ces deux relations. Cette multiplication s’esquisse déjà, il est vrai, au cours du second stade, mais les seules opérations dont soit alors capable l’enfant sont, d’une part, de construire deux rangées correspondantes parce que de longueur et de densité respectivement égales et, d’autre part, de juger qu’une rangée à la fois plus longue et plus dense qu’une autre est plus nombreuse (ou moins longue et moins dense = moins nombreuse) ou qu’à égalité de longueur une rangée plus dense est plus nombreuse (ou moins dense est moins nombreuse) et qu’à égalité de densité une rangée plus longue est plus nombreuse (et moins longue est moins nombreuse). Seulement, en présence d’une rangée devenue à la fois plus courte et plus dense que celle qui vient cependant de lui correspondre, l’enfant du second stade renonce à tenir compte des deux relations à la fois et déclare plus nombreuse l’une des deux rangées soit parce que plus longue, soit parce que plus dense. Au contraire, et pour la première fois, l’enfant du troisième stade généralise l’opération de multiplication de ces deux relations et comprend qu’une rangée à la fois plus courte et plus dense qu’une autre peut lui être égale.

Les relations de densité et de longueur sont donc dorénavant multipliables indépendamment de la perception actuelle, ou plutôt en englobant chaque perception donnée dans le système de toutes les perceptions possibles : la libération à l’égard de la perception immédiate est donc en réalité un affranchissement de la perception en général puisqu’elle situe chaque perception de la configuration momentanée des ensembles considérés dans un système cohérent de transformations, réglé par la logique des relations et dont chaque composition correspond à une perception possible de ces ensembles.

C’est cet affranchissement qui marque le début des opérations proprement dites et il est clair une fois de plus que ces dernières sont dues ainsi à la réversibilité progressive de la pensée. La formule employée par Lan pour désigner les relations unissant les deux états successivement perçus des ensembles correspondants est, à cet égard, remarquable. On peut la traduire comme suit : (paquet → rangée) = (rangée → paquet). En d’autres termes les deux ensembles [p. 102] restent équivalents parce que leurs transformations ne sont que des changements de position réversibles, c’est-à-dire dues à des opérations que l’on peut inverser.

Mais il importe, enfin, de noter que la simple multiplication logique des relations qualitatives ne suffit pas à rendre compte de la correspondance numérique, avec équivalence durable, pas plus que ce type d’opérations n’a réussi, à lui seul, à conduire l’enfant à la conservation des quantités continues et discontinues, dans les expériences des chapitres I-II. En effet, la multiplication de la longueur de deux rangées par leur densité permet seulement de conclure à la correspondance si les deux sortes de relations sont égales. S’il y a égalité de l’une des relations et pas de l’autre ou si l’une des rangées est à la fois plus longue et plus dense que l’autre, on peut en déduire laquelle est la plus riche en éléments. Mais si l’une des rangées est à la fois plus dense et plus courte que l’autre on ne peut conclure sans plus ni à la correspondance ni à la non-correspondance. On ne le pourrait que si les objets en présence étaient individuellement qualifiés.

Lorsque l’enfant du troisième stade affirme que la correspondance une fois établie entre deux rangées se retrouvera toujours, puisqu’il suffit pour la reconstituer de replacer les éléments dans leur position initiale, cela n’est sans doute que la généralisation de la multiplication qualitative, et peut signifier simplement ceci : la correspondance qualitative étant l’opération qui permet de mettre en regard les éléments de deux rangées de même longueur et de même densité, il est toujours possible de reconstituer cette correspondance après l’avoir défaite. Sans doute cette réversibilité opératoire s’esquisse déjà au cours du second stade, mais elle n’acquiert sa valeur de nécessité et de généralité qu’au cours du troisième. Par contre, lorsque le sujet affirme que, même une fois détruite la similitude qualitative des deux rangées, la correspondance subsiste, ou que, même sans construire les deux rangées semblables (topographiquement), il est possible d’établir une correspondance bi-univoque et réciproque entre les deux collections, alors il est bien clair qu’il s’agit d’une autre opération, issue de la correspondance qualitative mais la dépassant parce que devenant « quelconque », c’est-à-dire indépendante des conditions intuitives d’espace et de temps. Or, il est fort intéressant de noter que, dans le cas de la correspondance comme dans celui des relations inhérentes à la conservation des quantités, le passage de l’opération qualitative à l’opération arithmétique s’explique par [p. 103] l’égalisation des différences, donc par l’introduction implicite ou explicite de la notion d’unité.

En effet, admettre qu’une rangée courte mais dense correspond terme à terme à une rangée plus longue et moins dense, c’est comprendre deux vérités essentielles à la constitution du nombre. Jusque-là les éléments des rangées correspondantes étaient considérés par l’enfant comme définis par leurs qualités intuitives d’ordre spatial (et cela aurait pu être d’ordre temporel dans le cas de coups frappés, etc.) : le jeton initial de gauche de la rangée supérieure, le jeton situé à sa droite, etc. Or, si la correspondance est conçue comme subsistant indépendamment de ces positions, cela revient à dire que ces éléments deviennent de simples unités, toutes équivalentes et la correspondance ne repose plus alors que sur les notions d’unités égales, différant seulement entre elles par leur ordre relatif d’énumération : pour mieux dire, la correspondance se réduit ainsi à l’idée d’un même ordre d’énumération appliqué à deux collections d’unités homogènes. En second lieu, si nous considérons maintenant les intervalles séparant les unes des autres ces unités, nous constatons le même mécanisme. Jusqu’au troisième stade, l’enfant ne concevait la correspondance terme à terme entre deux rangées d’éléments que si, d’une part les longueurs totales étaient égales et que si, d’autre part, les densités, c’est-à-dire les intervalles, l’étaient aussi. Dorénavant, au contraire, il reconnaît qu’en resserrant l’une des rangées la correspondance subsiste. Or cela revient à dire que la différence de longueur totale est compensée par les différences d’intervalles. Dans les deux cas, c’est-à-dire que l’on raisonne sur les éléments eux-mêmes considérés comme des unités devenues homogènes quelles que soient leurs qualités spatio-temporelles ou que l’on analyse le jugement des enfants selon lequel une rangée serrée demeure équivalente à la même rangée espacée, la découverte de la correspondance « quelconque » ou proprement arithmétique suppose toujours une opération nouvelle par rapport à celle de la simple logique qualitative, cette opération étant l’égalisation des différences, ou plus concrètement la mise en série d’unités considérées comme égales en tout sauf précisément la position relative et momentanée que chacune occupe dans la série.

Les faits contenus dans ce chapitre concordent remarquablement entre eux ainsi qu’avec ceux du chapitre précédent. Ils aboutissent dès lors à l’établissement d’un tableau [p. 104] d’ensemble des stades de la correspondance et nous fournissent par là même le même moyen d’esquisser un essai d’explication générale de ces procédés successifs de quantification.

Rappelons d’abord en deux mots sous quelle forme le problème s’est peu à peu précisé au cours de notre recherche. Après avoir constaté, dans les chapitres I et II que ni les quantités continues ni les collections discontinues ne se conservent d’emblée, pour l’enfant, lorsque leur configuration perceptive est altérée, nous nous sommes demandé si la correspondance terme à terme, sous ses formes les plus familières telles que la correspondance entre des contenus et des contenants ou l’échange un contre un, suffirait à assurer la conservation, en l’espèce l’équivalence durable et nécessaire, des collections ayant été mises en correspondance. Le chapitre III nous a conduits à répondre à cette question par la négative : non seulement il existe un niveau de correspondance perceptive, caractérisé par la rupture de l’équivalence dès que le contact est aboli entre les éléments correspondants, mais encore que ces réactions de non-équivalence constituent le résidu d’un premier stade au cours duquel la correspondance terme à terme, même lorsqu’elle est imposée par la situation extérieure, n’est pas comprise en son principe, l’équivalence étant estimée selon des relations globales d’espace occupé ou de dimensions immédiatement perçues. Il convenait donc d’aborder de front l’étude des procédés spontanés de quantification employés par l’enfant pour déterminer la valeur cardinale des ensembles ou quantités discontinues, parmi lesquels se trouve précisément la correspondance spontanée, et tel a été l’objet de ce chapitre IV.

Or, en faisant simplement reproduire, soit des figures variées (§ 1 et 2) soit des rangées linéaires (§ 3 et 4) nous avons pu déclencher chez nos sujets une activité qui prolonge directement celle dont ils témoignent dans la vie quotidienne et cette activité s’est révélée riche en procédés spontanés qui se succèdent selon un ordre régulier : évaluation globale, correspondance sans équivalence durable et correspondance numérique avec équivalence nécessaire. D’où trois problèmes : pourquoi l’enfant n’éprouve-t-il point, au début, le besoin de décomposer les totalités globales qu’il croit pouvoir estimer comme telles, comment apparaît la première forme de décomposition ou correspondance qualitative d’ordre intuitif et enfin quelles sont les conditions pour que la correspondance qualitative, devenue opératoire, se transforme en correspondance numérique ?

[p. 105] Nous sommes déjà, d’ailleurs, en possession d’un schème d’explication esquissé à propos des rangées (§ 3 et 4), mais il importe maintenant de le généraliser. Pour ce faire, nous allons distinguer l’analyse psychologique, qui est d’ordre causal et génétique (I), et celle de la construction logique des opérations (II). Mais comme il sera facile de le voir, ces deux sortes d’interprétations apparaissent comme parallèles.

I. Toutes les expériences précédentes, qu’il s’agisse de reproduire des collections présentées sous la forme de simples agglomérations, de figures ouvertes ou fermées ou de simples rangées linéaires, nous ont montré qu’à un premier niveau (en moyenne jusque vers 4 ½-5 ans), l’enfant évalue les quantités discontinues ou ensembles comme s’il s’agissait de quantités continues, c’est-à-dire de grandeurs spatiales : il ne fonde donc ses jugements quantitatifs que sur la forme d’ensemble de la collection, et sur des rapports globaux tels que ± long, ± large, ± serré, etc.

On peut expliquer de deux manières une telle réaction initiale : soit par le fait que l’enfant n’éprouve pas le besoin de décomposer les totalités qu’il perçoit et cherche à évaluer, soit parce qu’il est incapable d’une telle décomposition. Mais il va de soi que, psychologiquement le besoin et le pouvoir sont bien proches l’un de l’autre. Faisons cependant comme s’ils étaient distincts. Que l’enfant parte, au début, de totalités non analysées, c’est-à-dire ne procédant pas de la réunion d’éléments envisagés comme tels, mais s’imposant sans plus en tant que totalités globales, et qu’il n’éprouve pas le besoin de les décomposer, tant que les échecs de l’expérience ne l’y contraignent point, tout cela est entièrement conforme à ce que l’on sait de la psychologie de la pensée à un tel niveau ⁵. Aussi bien l’enfant à qui l’on demande de donner « autant » de jetons qu’il y en a dans une collection quelconque, n’est-il nullement préparé par sa structure intellectuelle à considérer cette collection comme une réunion d’unités, soit 1 + 1 + 1… etc., ce qui signifierait qu’il possède déjà la notion générale du nombre entier. « Autant » ou comme il dit « la même chose beaucoup » signifie donc simplement une collection semblable au modèle, eu égard à ses qualités d’ensemble. Mais, s’il n’éprouve pas le besoin spontané d’une décomposition, en est-il capable ? C’est [p. 106] sur ce point que les expériences précédentes nous semblent avoir fourni une réponse décisive.

En effet, lorsque la copie exécutée par l’enfant ne le satisfait point d’emblée, ou lorsque nous altérons la configuration de l’une des figures, il apparaît clairement que le sujet n’est encore en possession d’aucun instrument lui permettant de coordonner les rapports élémentaires dont est fait le modèle ni par conséquent de les décomposer : même si la figure construite pour égaler le modèle réunit en elle les diverses qualités de longueur, largeur, densité, ainsi que les principales composantes de la forme (angles, régions d’agglomération, positions extrêmes des rangées, etc.), ces quelques rapports globaux cessent d’être coordonnables entre eux dès que la figure est altérée. En d’autres termes, le seul principe de synthèse qui soit à disposition de l’enfant du premier niveau est la forme d’ensemble elle-même en tant qu’intuition fondée sur la perception globale, sans que des « opérations » permettent de recoudre les morceaux épars de cette intuition perceptive, si elle se brise. C’est pourquoi, dès qu’un changement survient dans les données de la comparaison globale, les sujets du premier niveau paraissent ne fonder leurs évaluations que sur un seul critère, soit la longueur des rangées, soit la largeur des figures, soit la densité, etc., mais aucun de ces rapports ne parvenant à se coordonner alors avec les autres. Il est inutile de reprendre ici les faits.

Ne pourrait-on pas dire alors que dans l’acte même de la copie, il y a coordination des qualités globales, donc décomposition au moins esquissée, puisque le modèle est reproduit en gros ? Mais précisément, la copie n’est correcte que globalement. Les figures fermées dépendant du nombre des éléments sont bien rendues, parce qu’elles comportent une « Gestalt » de « bonne forme ». Mais ni les agglomérations, ni les rangées, ni les formes ouvertes ni même les formes fermées à nombre arbitraire ne sont correctement copiées. Les rangées linéaires, en particulier ne sont évaluées que par leur longueur totale, indépendamment de la densité.

Bref, au niveau élémentaire, il n’y a pas de synthèse possible en dehors de la forme perceptive d’ensemble et lorsque celle-ci devrait être décomposée pour une raison quelconque, la seule analyse dont soit capable l’enfant consiste à envisager indépendamment les uns des autres un certain nombre de rapports globaux, et non pas de rapports entre les éléments, la notion d’unité n’intervenant pas encore.

[p. 107] On peut donc dire que, si la méthode de la comparaison globale permet de comparer en gros deux collections ayant la même forme d’ensemble, occupant le même espace et présentant des densités voisines, elle ne suffit plus à sa tâche dès que ces caractères sont dissociés : il suffit, lorsque l’enfant a identifié deux collections globalement, d’espacer les éléments de l’une d’elles pour qu’il ne croie plus à l’équivalence. Il ne comprend pas que si la forme d’ensemble change, et avec elle la disposition des parties, le total demeure identique : il n’y a, en effet, pas encore de total, mais seulement des totalités perceptives. Il n’y a donc pas conservation de la collection comme telle, parce que les rapports élémentaires agglomérés dans la perception d’ensemble ne sont pas coordonnés mais seulement juxtaposés.

La méthode de la comparaison globale est donc non seulement vague, mais statique et sans mobilité, parce que liée à certains états perceptifs particuliers des collections à comparer sans qu’un mécanisme opératoire permette de relier ces différents états successifs en une totalité dynamique ou en un système de relations. Ce qui définit le mieux, en dernière analyse, ce premier stade, ou le point de départ de cette évolution, c’est donc une irréversibilité encore presque complète de la pensée. Sans doute, les rapports qualitatifs globaux établis par l’enfant, tels de « plus long », etc., sont-ils susceptibles d’engendrer chacun un rapport inverse, tel que « moins long », etc. Mais comme ces rapports ne sont ni décomposables en unités qualitatives ou numériques ni coordonnés entre eux mais simplement agglomérés en un tout non structuré, ils ne peuvent encore constituer un système réversible, d’où la prédominance de l’intuition perceptive sur les opérations, puisqu’il n’y a pas encore d’opérations possibles.

Avec la seconde méthode, qui caractérise les conduites du deuxième stade et consiste en comparaison de figures et en correspondance qualitative d’ordre intuitif, un progrès s’accomplit, mais non pas si total qu’il pourrait sembler au premier abord : c’est la précision apportée à l’analyse des formes et des qualités, et par conséquent une élaboration plus profonde des données intuitives. Au niveau des comparaisons globales, les seuls détails relevés sont ceux qui sont nécessaires à la réalisation des formes d’ensembles (angles, positions extrêmes des rangées, etc.). Dorénavant il n’y a plus de détails privilégiés : toutes les parties de la totalité sont perçues et comparées. Aussi ne sont-elles plus agglomérées, mais analysées, c’est-à-dire que [p. 108] l’enfant tient compte des différents critères et commence à les coordonner. En effet, selon qu’il met l’accent sur la longueur, la largeur, la densité, etc., il aboutit à des évaluations différentes, d’où hésitations et des heurts qui contraignent à la coordination.

Du point de vue qui nous occupe ici, ce succès de l’analyse et de la synthèse combinées, dans la reproduction des diverses configurations géométriques des collections et par opposition au syncrétisme des formes d’ensemble du premier niveau, se traduit par la constitution d’une méthode semi-opératoire nouvelle, ou plutôt par le développement d’un schème déjà enveloppé dans la comparaison globale mais qui se dissocie et s’affirme au niveau présent : c’est la correspondance qualitative d’ordre intuitif. Psychologiquement, la mise en correspondance n’est pas autre chose que la systématisation des jugements de ressemblance ou de comparaison. L’enfant ne perçoit, en effet, les détails d’une figure que par ressemblance ou différence avec ceux de la figure qui lui est comparée : d’où la mise en correspondance des angles, des côtés, des creux et des pleins, bref de toutes les parties analogues et non plus seulement de certains détails marquants et des formes d’ensemble. C’est cette correspondance qualitative ou « comparaison des parties » qui permet au sujet de reproduire toutes les figures du § 2, et non pas uniquement celles dont la forme dépend du nombre des éléments, et même si elle échoue à la reproduction de certains tas trop denses elle constitue une méthode nouvelle et bien meilleure de reproduction des collections.

Seulement, si cette seconde méthode est plus précise que la première, elle n’est guère plus mobile. Elle ne permet encore que des comparaisons de certains états privilégiés et statiques des collections considérées : ceux précisément où elles sont mises en figures. Qu’on se rappelle, par exemple, le cas de Ba (§ 2) qui hésite à identifier deux collections de 12 jetons arrangés en rectangles semblables parce que l’un des rectangles est orienté en hauteur et l’autre en longueur, et celui de Nil (§ 2) qui se refuse à admettre la correspondance entre les jetons de deux cercles concentriques, bien que chaque élément du grand cercle ait été placé en regard d’un élément particulier du cercle inscrit ! Certes la comparaison précise des figures conduit à plus de possibilités que la comparaison globale, puisqu’on peut varier les figures à l’infini, tandis que les formes d’ensemble sont peu nombreuses. Mais au point de vue de la coordination des relations et de la conservation de la quantité le progrès est restreint, puisqu’il suffit [p. 109] de déplacer les jetons et de changer un peu la figure qu’ils constituent pour altérer leur somme aux yeux de l’enfant.

En réalité les relations de longueur, largeur, densité, etc., qui caractérisent chaque figure commencent il est vrai à se coordonner, mais sur un plan encore purement pratique ou intuitif. L’instrument de coordination de ces différents critères ou rapports, ce n’est pas encore l’opération comme telle, c’est toujours la figure elle-même. Certes, pour faire correspondre la figure qu’il construit à la figure-modèle, l’enfant doit tenir compte à la fois des dimensions, de la densité, des formes, etc. Le progrès par rapport au premier stade est qu’il y a bien coordination de toutes ces relations dans la construction même de la figure, mais dès que l’on transforme celle-ci, il est incapable d’une coordination abstraite ou opératoire des rapports en jeu et demeure attaché à ce seul principe d’unification : l’intuition de la figure. C’est pourquoi il suffit de renverser un rectangle, d’augmenter le diamètre d’un cercle ou d’espacer les éléments d’une rangée pour que le sujet de ce stade cesse de croire à la constance ou à la correspondance, et fonde alors à nouveau son évaluation sur un seul critère (longueur, etc.) en oubliant les autres, par une incoordination résiduelle qui rappelle celle du premier stade.

En bref, la seconde méthode n’est que le prolongement de la première. Elle est plus précise, plus riche, un peu plus mobile, mais limitée toujours à l’intuition sensible, et non encore capable de dissociations et de compositions proprement opératoires et logiques. Plus précisément, on peut dire qu’elle est semi-opératoire, puisque, sur le plan pratique ou de l’expérience perceptive, elle aboutit déjà à réaliser la correspondance qualitative, ce qui suppose une coordination intuitive des relations en jeu. Or, il est fort instructif de noter que ce caractère semi-opératoire s’accompagne précisément d’un progrès dans la réversibilité de la pensée, la réversibilité étant l’expression psychologique de l’opération : en effet, si les enfants de ce niveau ne croient pas encore qu’une figure transformée corresponde, et soit équivalente, quant au nombre des éléments, à sa forme initiale, ils admettent néanmoins que l’on peut retrouver cette forme initiale à partir de la forme altérée. C’est ainsi que pour égaler une rangée espacée au moyen d’une rangée resserrée qui lui a correspondu, ils se bornent à desserrer les éléments de cette dernière, au lieu d’ajouter de nouveaux éléments. Mais il est clair que cette réversibilité demeure incomplète, puisque les relations en jeu ne peuvent plus [p. 110] se composer en cas d’altération des figures et que la constance n’est point encore construite. Les relations ne constituent donc toujours pas un système réversible d’ensemble, ce qui revient à nouveau à dire que les opérations sont mal dégagées de l’intuition elle-même.

Avec la troisième méthode, par contre, un progrès décisif est réalisé : la correspondance conduit à l’équivalence durable et nécessaire, c’est-à-dire à la notion que les collections correspondantes demeurent équivalentes indépendamment de leur configuration ou de la disposition des éléments. Notons d’abord que ce progrès se réalise d’une manière très continue, par un affranchissement progressif de la figure ou de l’intuition perceptive. Il suffit, en effet, que la correspondance qualitative, ou correspondance des parties respectives de deux figures, se libère tant soit peu de leur forme précise pour que les éléments en jeu deviennent des unités interchangeables et que la correspondance acquière ainsi un caractère « quelconque » ou numérique. Mais cette libération suppose une coordination durable des relations en jeu, sans qu’il soit plus besoin de recourir à cette intuition unifiante qu’est la figure actuelle, ou plus précisément elle suppose une mise en relations des intuitions successives jusque-là considérées comme irréductibles ou incoordonnables.

Le facteur fondamental de ce dernier développement nous paraît se trouver dans la mobilité et la réversibilité entières acquises par le type d’action qui intervient dans les constructions de l’enfant. En effet, l’opération effectuée n’est plus immédiatement absorbée par le résultat intuitif obtenu : elle s’en dégage, c’est-à-dire que l’action devient capable de revenir en arrière. Toute transformation peut être compensée par la transformation inverse de telle sorte que n’importe quel arrangement peut engendrer n’importe quel autre arrangement, et réciproquement. C’est ainsi qu’au lieu de se référer à une figure dont il ne s’affranchira plus, l’enfant procède par récapitulations incessantes des correspondances terme à terme, et ce sont ces récapitulations qui constituent pour la première fois la vraie décomposition des totalités et la vraie coordination des rapports en jeu. Autrement dit, les actions exécutées forment dorénavant un système d’ensemble, dont la réversibilité est source de constance, et ce système est à la fois le principe d’une généralisation des correspondances qualitatives ou coordinations simplement logiques de relations, et de la correspondance numérique, ou « quelconque », laquelle considère chaque élément comme une unité indépendante [p. 111] de ses qualités, donc égale aux autres et ne différant d’elles que par sa position momentanée dans la sériation.

II. À cette évolution psychologique, qui procède de la perception globale à l’opération grâce à une réversibilité progressive des actions et de la pensée, correspond une structuration logique des jugements, qui du simple rapport indécomposé conduit à la correspondance bi-univoque et réciproque « quelconque » par une série de transformations dont nous voudrions retracer maintenant les grandes lignes pour montrer les répercussions internes ou logico-arithmétiques, du processus moteur décrit à l’instant.

La construction logique de la correspondance, construction effectuée par l’enfant au cours des trois principaux stades analysés dans les chap. III et IV peut, chose intéressante, être exactement replacée dans le cadre de la quantification que nous avons décrit à propos de la conservation des quantités continues et discontinues (chap. I et II) : à la « quantité brute » correspond l’évaluation globale, à la « quantité intensive » la correspondance qualitative et à la « quantité extensive » la correspondance numérique, étant entendu que les multiplications logiques productrices de la correspondance qualitative ne font que débuter au cours du second stade et seulement sur un plan intuitif ou semi-opératoire, et qu’elles se généralisent au cours du troisième stade en étroite solidarité avec celles qui sont à la source de la correspondance numérique.

Au niveau de la quantification globale, tout d’abord, nous venons de voir que les seuls rapports établis par l’enfant lorsqu’il compare deux formes d’ensemble sont des rapports de la forme « ± long », « ± large », « ± serré », etc. Or, comme nous l’avons montré sans cesse, l’enfant ne parvient pas, lorsqu’il isole l’un de ces rapports, à tenir compte des autres en même temps. Du point de vue des opérations logiques, cela signifie donc qu’il n’y a point encore de multiplication possible de ces rapports entre eux, c’est-à-dire que l’enfant ne considère pas une rangée, par exemple, comme étant à la fois aussi longue et plus serrée qu’une seconde, etc. D’autre part, de tels rapports ne sont pas non plus décomposables en segments dont ils constitueraient la somme. C’est ainsi que le rapport de densité n’est, pour le sujet, qu’une qualité globale due à l’apparence perceptive, et non pas un système d’intervalles plus ou moins courts ou étendus : l’enfant dira, par exemple, d’un tas qu’il est serré, mais il mettra une rangée de 8 jetons sous une rangée de 6 sans tenir compte des intervalles [p. 112] particuliers. Ces rapports ne comportent donc non plus aucune sériation additive. N’étant ainsi susceptibles ni d’être additionnés logiquement ni d’être multipliés les uns par les autres de tels rapports ne sont pas des « relations ». Ils expriment simplement les qualités perçues dans leurs comparaisons en « plus, moins ou égal » : ce sont donc ce que nous avons appelé des « quantités brutes », ou rapports entre « qualités brutes » dans notre analyse des chap. I et II.

Cela dit, comment l’enfant procède-t-il pour transformer ces rapports globaux en relations proprement dites et pour construire grâce à elles la correspondance qualitative ? Ainsi que nous l’avons constaté lors de chaque nouvelle épreuve, cette construction débute dès le second stade, mais seulement sur le plan intuitif, pour s’achever au cours du troisième stade. Cette seconde étape logique, qui correspond à ce que nous avons appelé la « quantité intensive » (chap. I et II), est caractérisée par les opérations suivantes, qu’elles demeurent donc semi-opératoires ou intuitives (second stade) ou s’achèvent en opérations abstraites (troisième stade), peu importe : une sériation additive et une multiplication des séries additives, la correspondance consistant précisément en cette multiplication.

Comme nous avons essayé de le montrer à propos des rangées linéaires (§ 3 et 4), il est, en effet, indispensable à l’enfant, pour parvenir à une mise en correspondance correcte qu’il tienne compte à la fois de la longueur et de la densité, c’est-à-dire, d’une part, qu’il décompose la longueur totale de la rangée en segments qui sont les intervalles entre les éléments dont est faite cette rangée, et, d’autre part, qu’il attribue à la rangée-copie non seulement la même longueur, mais encore la même densité, donc les mêmes intervalles, en plaçant chaque fois un élément au-dessous de l’un de ceux de la rangée-modèle. Or ces deux opérations complémentaires de décomposition en segments et de composition reproductrice constituent précisément la sériation additive et la multiplication de relations dont nous parlions à l’instant.

La sériation additive des relations consiste à établir que la longueur totale de la rangée, soit l, est constituée par la somme des intervalles séparant chaque élément du suivant, soit l = a + a’ + b’…, où a = l’intervalle séparant le premier élément du second, a’ = l’intervalle séparant le second élément du troisième, etc. Dira-t-on qu’au niveau du second stade, il n’est pas prouvé que l’enfant conçoive qu’une longueur géométrique quelconque l puisse être composée [p. 113] de segments de lignes additionnés ? Cela est un tout autre problème, qui n’intervient pas ici, puisque les intervalles considérés a, a’, b’, etc., sont simplement des relations de position et qu’en effectuant la correspondance qualitative l’enfant montre précisément qu’il tient compte de ces positions des éléments.

Quant à la multiplication des relations qui permet de constituer la correspondance qualitative elle-même, elle consiste, étant donnée une rangée ainsi définie par la position de ses éléments (donc par la longueur totale l et par les intervalles l = a + a’ + b’…), à construire une autre rangée reproduisant exactement la même longueur et les mêmes intervalles. Cette autre rangée pouvant être construite au-dessous de la première, ou à côté, etc., soutiendra donc avec elle une relation ↓x quelconque (par exemple ↓x = « au-dessus » et ↑x = « au-dessous »). Il y a dès lors correspondance qualitative lorsque deux rangées l₁ = a₁ + a’₁ + b’₁… etc., et l₂ = a₂ + a’₂ + b’₂… etc., sont co-multipliées par la relation ↓x, de telle sorte que l’on ait a₁ = ↓x a₂→ ↑x ; a’₁ = ↓x a’₂→ ↑x ; etc. ou pour abréger a₁ = a₂ ; a’₁ = a’₂ ; … etc. Soit :

Il est facile de voir que c’est bien cette opération qu’effectue intuitivement l’enfant du second stade lorsque pour faire correspondre à une rangée de jetons une collection équivalente il construit une rangée semblable en plaçant un élément au-dessous de chacun de ceux de la rangée-modèle : il multiplie ainsi les relations de position a₁ ; a’₁ ; b’₁ ; etc., de la rangée modèle par la relation ↓x = « au-dessus de ». D’autre part, sitôt les positions changées dans l’une des deux rangées, il ne croit plus à l’équivalence, n’ayant encore en vue que cette similitude topographique et non pas la correspondance numérique comme telle.

On pourrait exprimer la même chose en termes non plus de relations mais de classes individuelles, ou composées, définies par leurs qualités intuitives d’ordre spatial, c’est-à-dire à nouveau par les positions respectives de leurs éléments (et l’on pourrait sans doute trouver les mêmes résultats dans le domaine des qualités temporelles, par exemple dans le cas de la correspondance entre des coups frappés successivement). Soit une collection M₁ formée de A₁ = le jeton [p. 114] initial situé tout à gauche ; A’₁ le jeton situé à la droite de A₁ ; B₁ = la réunion de A₁ + A’₁ ; B’₁ = le jeton situé à droite de A’₁ ; C₁ = la réunion de A₁ + A’₁ + B’₁ ; etc. Faire correspondre qualitativement la collection M₁ à la collection M₂ consistera à répartir M₂ de la même manière (soit A₂ = le jeton de gauche ; A’₂ = le jeton qui est à droite de A₂ ; etc.), mais en outre de telle sorte que l’on puisse constituer chaque fois des classes de couples (A₁ + A₂) ; (A’₁ + A’₂) ; etc., dans lesquels A₁ soit au-dessus de A₂ ; A₁ au-dessus de A’₂ ; etc. On a donc finalement le tableau :

qui peut se lire soit en langage de relations soit dans celui des classes d’éléments qualifiés.

Il serait maintenant facile de montrer que les correspondances qualitatives effectuées par l’enfant entre des figures diverses (§ 2) obéissent aux mêmes principes : elles peuvent toutes également se réduire à des similitudes de relations ou à des multiplications de classes traduisant ainsi les ressemblances intuitives perçues entre les formes ou entre les éléments qualifiés par leur position. Mais il est inutile d’entrer dans le détail de cette démonstration.

Ce sur quoi il convient, par contre, d’insister, c’est que, d’une part, l’enfant du second stade ne parvient pas à pousser les opérations précédentes jusqu’en leurs conséquences extrêmes, étant donné qu’il les effectue uniquement sur un plan intuitif, donc semi-opératoire ; et que d’autre part, même lorsqu’il en tirera, au troisième stade, tout ce qu’elles comportent logiquement, il ne pourra en déduire directement la notion de l’équivalence numérique durable des collections correspondantes, car ces opérations n’impliquent point encore le nombre.

Mettre en correspondance qualitative deux rangées d’éléments, c’est en effet placer ces éléments en regard les uns des autres selon les mêmes intervalles et la même longueur totale. Appelons l₁ la longueur totale de la première rangée et l₂ celle de la seconde : on peut avoir l₂ > l₁ ; l₂ < l₁ ou l₂ = l₁, ce qui se reconnaît immédiatement à la perception qualitative des rangées, sans l’intervention d’aucune unité de mesure. Appelons d₁ la densité de la première rangée et d₂ celle de la seconde. Si d₂ = d₁, cela signifie que chacun [p. 115] des éléments de la seconde est situé en regard de l’un des éléments de la première et d’un seul ; si d₂ > d₁ cela signifie que quelques intervalles au moins de la seconde sont plus courts que ceux de la première, (d’autres pouvant être égaux) et si d₂ < d₁, cela signifie que quelques intervalles au moins de la seconde sont plus longs que ceux de la première (d’autres pouvant être égaux). Appelons enfin n₁ et n₂ la quantité des éléments des deux rangées : n₁ = n₂ signifie qu’il y a autant d’éléments dans les deux ; n₂ > n₁ qu’il y en a plus dans la seconde et n₂ < n₁ qu’il y en a moins dans la seconde. Notons que ni les relations d ni les relations n n’impliquent la notion du nombre proprement dit, mais seulement celles du « plus », du « moins » et de l’égalité de correspondance, c’est-à-dire seules les notions « intensives » dont se servent nos sujets de ce stade). Cela posé, on peut conclure logiquement de la multiplication de ces relations :

(1) (l₁ = l₂) × (d₁ = d₂) = (n₁ = n₂)

(2) (l₁ > l₂) × (d₁ > d₂) = (n₁ > n₂) et (l₁ < l₂) × (d₁ < d₂) = (n₁ < n₂).

(3) (l₁ = l₂) × (d₁ > d₂) = (n₁ > n₂) et (l₁ = l₂) × (d_l < d₂) = (n₁ < n₂)

(4) (d₁ = d₂) × (l₁ > l₂) = (n₁ > n₂) et (d₁ = d₂) × (l₁ < l₂) = (n₁ < n₂).

(5) (l₁ < l₂) × (d₁ > d₂) = (n₁ ≶ n₂) ou (n₁ = n₂) et (l₁ > l₂)  × (d₁ < d₂) = (n₁ ≶ n₂) ou (n₁ = n₂).

Or, il est clair que l’enfant du second stade réussit fort bien à comprendre intuitivement les quatre premières de ces compositions. En effet, la première n’est que l’expression de la correspondance qualitative ; la seconde exprime que si une rangée est à la fois plus longue et plus dense qu’une autre elle contient plus d’éléments ; la troisième exprime qu’à égalité de longueur une plus grande densité implique plus d’éléments et la quatrième qu’à densité égale une rangée plus longue est plus nombreuse. Aucune de ces multiplications ne nécessite donc d’opération abstraite puisque leur résultat est évident à la perception même. Par contre l’enfant du second stade est incapable de comprendre la composition (5), qui pourtant est impliquée par les précédentes : si une rangée est à la fois plus courte et plus dense qu’une autre, elle peut être plus nombreuse, moins nombreuse ou égale à cette autre. Dira-t-on que c’est l’indétermination qui est ici l’obstacle à la compréhension ? Mais on pourrait [p. 116] écrire la relation (5) sous la forme suivante, qui n’a plus rien d’indéterminé :

(6) (n₁ = n₂) × (l₁ > l₂) = (d₁ < d₂) et (n₁ = n₂) × (l₁ < l₂) = (d₁ > d₂) ou

(6 bis) (n₁ = n₂) × (d₁ > d₂) = (l₁ < l₂) et (n₁ = n₂) × (d₁ < d₂) = (l₁ > l₂).

C’est-à-dire que si deux rangées comportent la même quantité d’éléments, celle qui est plus longue est nécessairement moins dense, et inversement. Comment donc se fait-il que l’enfant du second stade, qui comprend parfaitement les compositions (1) à (4), ne comprenne pas ces multiplications (6) et (6 bis), alors que précisément, chaque fois que l’on resserre ou desserre une rangée devant lui pour qu’il la compare à une autre, il vient d’établir l’équivalence n₁ = n₂ par la correspondance terme à terme ?

C’est ici qu’il faut faire intervenir les deux circonstances indiquées à l’instant. Tout d’abord, l’enfant du second stade ne procède que par intuition perceptive et non pas encore par opérations proprement réversibles. Or, si l’on demeure sur le plan intuitif, on constate que les qualités l et d des rangées sont variables, puisqu’on peut allonger ou rétrécir, serrer ou desserrer n’importe quelle rangée : pourquoi donc le rapport n ne varierait-il pas lui aussi, lorsque l et d se transforment ? L’enfant est parfaitement cohérent dans son point de vue intuitif ou perceptif en admettant sans discussion cette variation possible, et c’est ce qui l’empêche d’effectuer la composition (6). Par contre, là où il cesse d’être logique, et cela par défaut de mécanisme opératoire, c’est lorsque en présence d’une rangée contractée, il ne comprend pas que la diminution de l entraîne l’augmentation de d : au lieu de conclure avec la composition (5) à l’indétermination, il dissocie alors l de d et conclut à tort que la quantité des éléments n dépend seulement de la longueur l ou seulement de la densité d. Mais, en parvenant au troisième stade, c’est-à-dire en libérant l’opération de l’intuition grâce à la réversibilité complète des transformations, le sujet parvient à surmonter cette difficulté et généralise alors le système de la correspondance qualitative jusqu’à pouvoir effectuer les multiplications logiques (5) et (6) aussi bien que (1) à (4). En d’autres termes, il comprend le rapport inversé de d et de l qui lui échappait jusque-là parce que dépassant précisément les limites de l’intuition perceptive.

[p. 117] Mais comment découvre-t-il alors la constance de n ? Il faut ici distinguer deux choses. S’agit-il simplement de la structure extensive d’une classe (multiplicative), par exemple « tous les jetons bleus qui ont été mis en correspondance avec les jetons rouges » (donc ce que nous venons de désigner par le rapport ± n, soit « plus ou moins nombreux ») ? Dans ce cas, il est clair que la généralisation des multiplications logiques suffit à établir la constance des collections, et cela à cause de la réversibilité opératoire de la correspondance qualitative : la correspondance peut s’effectuer ou se défaire, c’est-à-dire que l’on peut multiplier les deux collections (ou les deux séries de relations) par une troisième (qui les réunit toutes deux), puis faire abstraction de cette troisième, mais les deux premières demeurent toujours « co-multipliables par la troisième », ce qui constitue un certain type de constance ou d’équivalence (lequel revient en définitive à dire qu’aucun jeton individuel ne peut se perdre dans les deux classes correspondantes). Par exemple, si une suite de jetons bleus a pu être placée terme à terme au-dessous d’une suite de jetons rouges, on a beau faire abstraction de cette correspondance, il est toujours possible de la rétablir et de ce point de vue les deux séries demeurent co-multipliables par la relation « au-dessus », ce qui assure leur équivalence de ce point de vue particulier ⁶.

Seulement cette constance des classes ou des séries de relations n’est pas encore la constance du nombre et l’équivalence dont nous venons de parler n’est pas l’égalité numérique. Soient, par exemple, trois jetons bleus disposés en triangle : il y aura correspondance qualitative entre ces jetons et trois jetons rouges si l’on dispose également ces derniers en triangle. Que l’on mette les jetons rouges en ligne, il demeure qu’on pourrait les replacer en triangle, et de ce point de vue, mais de ce point de vue seulement, ils restent équivalents aux jetons bleus ; il s’agit donc là d’une équivalence spéciale que l’on pourrait exprimer en disant qu’ils sont « co-multipliables par la même configuration ». En tout cas, ils conservent la même structure d’extension de classes et c’est ce que comprend l’enfant du troisième stade, lorsque, avec Lan, il dit que deux collections ayant correspondu sont « la même chose », parce qu’on peut faire une rangée [p. 118] avec un paquet aussi facilement qu’un paquet avec une rangée. Mais on peut faire un pas de plus, et admettre que les trois jetons en ligne continuent de correspondre aux trois jetons en triangle, et à n’importe quelle collection de trois jetons, quelle qu’en soit la forme. C’est également ce que comprennent bien les sujets du troisième stade, puisque fort souvent, ils établissent d’emblée leurs correspondances sans se soucier de la forme des collections ou de la qualité spatio-temporelle des éléments.

Nous en arrivons ainsi à la troisième étape de la construction logique de la correspondance : celle de la correspondance proprement numérique ou « quelconque », qui est parallèle avec ce que nous avons appelé les « quantités extensives » aux chap. I^er et II, et qui se synchronise avec l’achèvement des opérations de multiplication logique, c’est-à-dire avec la découverte de la constance des classes en extension et des séries de relations.

Pour faire comprendre le passage de la correspondance qualitative à la correspondance numérique, il est plus aisé de commencer par le langage des classes. Soient les trois jetons bleus dont nous venons de parler et considérons-les comme les éléments de trois classes individuelles : A₁ se définit comme la classe du jeton marquant l’angle de gauche (si le triangle est posé sur sa base) ; A’₁ est le jeton du sommet ; B’₁ sera le jeton marquant l’angle de droite et ajoutons encore C’₁ qui sera un jeton situé au milieu du triangle. (Si je réunis entre elles les classes individuelles, j’obtiens A₁ + A’₁ = B₁, soit les jetons situés aux extrémités du côté gauche du triangle ; A₁ + A’₁ + B’₁ = C₁ ou B₁ + B’₁ = C₁ sont les jetons marquant les trois angles du triangle et C₁ + C’₁ = D₁ soit tous les jetons formant la figure en question). Si maintenant je fais correspondre à ces jetons bleus une collection de jetons rouges ayant les mêmes qualités, j’aurai A₂ = le jeton marquant l’angle gauche d’un nouveau triangle ; A’₂ = le jeton marquant le sommet ; B’₂ = l’angle droit et C’₂ = le jeton du centre (avec possibilité également de composer en B₂, C₂ et D₂). Il va de soi que n’importe quel jeton est apte à figurer A₁ ou A’_1, etc. Mais une fois situé dans la figure, c’est par sa position absolue qu’il est défini, c’est-à-dire par les qualités spatiales dont il est porteur tant qu’il occupe cette situation. Dès lors, on ne peut pas faire correspondre A₁ à A’₂ ou A’₁ à A₂ ou A₁ à C’₂, etc. : la correspondance est définie uniquement par l’équivalence des qualités. Enfin l’ordre n’intervient pas dans la définition des classes totales D₁ et D₂ : [p. 119] on pourrait commencer par le jeton du centre, de droite, etc. (et les appeler A₁ ; A’₁ ; etc.), peu importe, car ce n’est pas cet ordre qui les définit mais les qualités dont ils sont porteurs dans la figure. Telle est donc la correspondance qualitative, utilisée par l’enfant, et que d’ailleurs l’adulte emploie lui-même fréquemment (comme un anatomiste dans la comparaison des pièces de deux squelettes, par exemple).

Si maintenant, au lieu de reproduire au moyen des jetons rouges la figure formée par les jetons bleus, le sujet se borne à les aligner, à les empiler, ou à les disposer au hasard devant lui, il y aura certes encore correspondance terme à terme, seulement elle sera d’un type nouveau : chaque jeton sera considéré non plus comme le porteur de qualités qui suffisent à le distinguer des autres, mais bien comme une unité égale aux autres. Admettons que ces jetons rouges soient alignés : A₂ représentera alors à volonté A₁ ou A’₁ ou B’₁, etc. ; A’₂ représentera de même n’importe quel terme de D₁ sauf celui qui est déjà mis en correspondance avec A₂ ; etc., etc. Dès lors la réunion A₂ + A’₂ + B’₂ + C’₂ = D₂ prendra le sens du nombre 4 et non pas de la classe des jetons disposés en triangle ; A₂ + A’₂ = B₂ signifiera le nombre 2 et non plus la classe des jetons situés aux deux extrémités du côté gauche, etc. Bien plus, n’importe quelle réunion de deux éléments A₂ + B’₂ aussi bien que A₂ + A’₂ ou que B’₂ + C’₂ donnera naissance à une même classe B signifiant « 2 éléments indépendamment de leurs qualités ».

Mais si la correspondance « quelconque » ou numérique fait ainsi, contrairement à la correspondance qualitative, abstraction des qualités particulières et différentielles de chaque jeton, c’est-à-dire si elle ne les définit plus par la position absolue qu’ils occupent dans une figure donnée (triangle, rangée, etc.), alors comment donc les distinguera-t-elle les uns des autres ? Simplement par leur ordre de mise en correspondance (ou de sériation), mais par un ordre tout relatif et variant d’une opération à l’autre (que nous pouvons appeler pour cette raison « vicariant »). Par exemple, pour réunir autant de jetons rouges qu’il y en a de bleus dans une figure complexe, un enfant pointera du doigt chaque bleu dans un ordre quelconque pourvu qu’il ne compte pas deux fois le même, et ajoutera chaque fois un rouge aux précédents en une rangée linéaire ; un autre empilera les jetons rouges ; un troisième déplacera simplement chaque fois un élément du tas qu’il a en réserve à sa droite pour le placer à gauche au hasard, [p. 120] etc. Le seul ordre admis est donc celui de l’acte même du pointage, mais cet ordre est nécessaire pour que la correspondance aboutisse.

En bref, il est aisé de voir à quelles conditions s’opère l’arithmétisation de la correspondance terme à terme : la correspondance cesse d’être qualitative et devient numérique dès que les éléments sont conçus comme égaux (= équivalents à tous points de vue) entre eux et que les caractères différentiels qui les opposaient les uns aux autres au sein d’une même collection sont remplacés par la seule différence compatible avec leur égalité, c’est-à-dire par leur position relative dans l’ordre de mise en correspondance. Une fois de plus, c’est donc l’égalisation des différences qui est source de l’unité, et par cela même du nombre.

Si nous examinons maintenant l’évolution parallèle intéressant les relations, nous trouvons le même mécanisme d’arithmétisation. Soit l₁→ la longueur totale d’une rangée et l₂→ celle de la rangée correspondante. Soit a₁→ ; a’₁→ ; b’₁→ + … etc., les intervalles exprimant la densité de la première rangée et dont la somme est égale à la longueur totale : a₁ + a’₁ + b’₁ + … = l₁. Soit de même a₂ + a’₂ + b’₂ + … = l₂. Si l’on a l₁ = l₂ et a₁ = a₂ ; a’₁ = a’₂ ; etc. il va de soi qu’il y a correspondance et c’est ce que découvre déjà intuitivement l’enfant du second stade. Par contre, si l’on resserre la seconde rangée, et que l’on ait donc l₁ > l₂ et a₁ > a₂ ; a’₁ > a’₂ ; etc., alors sa longueur totale diminue mais sa densité augmente. En ce cas l’enfant du second stade est désorienté et nie qu’il y ait encore correspondance. Quant aux sujets du troisième stade, qui affirment l’équivalence malgré cette transformation, comment procèdent-ils ? À en rester au point de vue purement qualitatif, on ne peut affirmer qu’une chose, à savoir la possibilité de retrouver l’état initial en desserrant la seconde rangée. Mais l’enfant affirme davantage : il maintient que la correspondance subsiste même dans l’état resserré, c’est-à-dire qu’il substitue la correspondance mathématique à la correspondance qualitative. Il soutient que (moins long) × (plus dense) = (même nombre), et qu’ainsi la diminution de la longueur totale de la rangée est exactement compensée par l’augmentation de la densité, donc par la diminution de la longueur des intervalles. En effet, si nous posons l₁ − l₂ = x et a₁ − a₂ = y ; a’₁ − a’₂ = y’ ; b’₁ − b’₂ = y” + ; … etc. nous avons bien x = y + y’ + y” + … etc., c’est-à-dire que la multiplication des relations qualitatives est dorénavant complétée par une opération supérieure qui est l’égalisation des différences. Or, s’il en est ainsi, [p. 121] la longueur totale absolue de la rangée et celle des intervalles perdent toute importance : c’est le rapport invariant des deux qui seul acquiert de la valeur aux yeux du sujet. Dès lors, chaque intervalle devient une unité équivalente aux autres, puisque si a = a’ = b’… etc., la relation reste la même ; et tout intervalle signifie simplement + 1 par rapport à l’élément initial, le nombre des éléments demeurant ainsi constant. En bref, dès qu’aux pures coordinations de qualités s’ajoute l’égalisation des différences, il y a par cela même composition numérique et intervention de la notion d’unité.

On voit ainsi que tant le raisonnement portant sur les éléments comme tels (classes) que celui portant sur les relations présente à un moment donné, pour assurer le passage de la correspondance qualitative à la correspondance numérique, un processus dépassant la simple logique qualitative : c’est la construction d’unités à la fois égales entre elles et cependant sériables, construction qui s’effectue par égalisation des différences. Une classe est en effet une réunion de termes (individus ou sous-classes) considérés comme équivalents indépendamment de leurs différences : par exemple les jetons d’une rangée forment une classe à laquelle les extrêmes appartiennent au même titre que les autres. Et si l’on réunit deux classes en une seule, on ne peut le faire qu’en négligeant les différences qui séparent ces classes composantes : ainsi des jetons rouges et des jetons bleus sont également des jetons indépendamment de leur couleur. Une relation asymétrique (se traduisant en plus ou en moins) est au contraire l’expression d’une différence et non plus d’une équivalence : par exemple, si le jeton B est situé à droite et à un certain intervalle du jeton A, A et B sont ainsi conçus en tant que différents. Et si l’on réunit deux relations asymétriques en une seule, on additionne les différences : si B est à un certain intervalle a→ à droite de A et que C est à un certain intervalle a’→ à droite de B, alors C est à un intervalle b→ à droite de A, où b = a + a’ et où b est donc b > a et b > a’, les deux différences étant ainsi additionnées en une différence plus grande. Quant aux relations symétriques ou d’équivalence, elles sont précisément celles qui unissent entre eux les termes d’une même classe, et n’introduisent rien de nouveau à cet égard. Dès lors aucune de ces compositions qualitatives ne permet de définir d’unités proprement dites : deux classes réunies en une classe totale ne constituent pas deux unités parce qu’elles ne sont réunies que grâce à leurs qualités communes et sans que les qualités qui les distinguent interviennent [p. 122] dans la définition de la classe totale ; deux relations asymétriques réunies en une relation totale ne constituent pas non plus deux unités, car si la relation totale additionne bien en un seul tout les différences exprimées par chaque relation composante (b = a + a’), ces deux différences partielles ne sont pas équivalentes (on n’a pas a = a’). Au contraire, la construction du nombre, et c’est là ce que vient de nous apprendre l’analyse de la correspondance « quelconque », consiste à égaliser les différences, c’est-à-dire à réunir en un seul tout opératoire la classe et la relation asymétrique : les termes dénombrés sont alors à la fois équivalents entre eux, et en cela ils participent de la classe, et différents les uns des autres par leur ordre de dénombrement, et en cela ils participent de la relation asymétrique ; de plus ces différences ne tenant qu’à la succession pure sont toutes équivalentes entre elles (on a donc a = a’ puisque a = + 1 et a’ = + 1), d’où le fait que dans une série qualitative quelconque (telle que celle des jetons séparés par les intervalles dont il a été question tout à l’heure), il suffit de considérer chaque relation élémentaire comme équivalente aux autres pour conférer à cette série un caractère numérique.