Chapitre V.
Deuxième exemple génétique : le double partage ^a 🔗

L’inconvénient de l’exemple élémentaire dont il vient d’être question est de demeurer trop simple pour donner lieu à un grand nombre d’intermédiaires. On peut supposer qu’en augmentant simultanément la complexité empirique et logique du problème on pourra suivre à travers un nombre plus élevé de transitions le passage du synthétique à l’analytique.

Le principe de cette nouvelle expérience est le même que celui de la précédente mais avec quelques complications en plus. Le sujet constate d’abord, par correspondance optique, l’égalité de deux rangées de boutons superposées. Mais ensuite nous décomposons chacune de ces deux collections en deux sous-collections inégales n₁ + m₁ et m₂ + n₂, telles que n₁ = n₂ et m₁ = m₂. Ces quatre sous-collections sont disposées en diagonale sous la forme :

n ₁ m ₁

m ₂ n ₂

Le problème est alors de comprendre qu’un partage horizontal du tout fournira l’égalité n₁ + m₁ = m₂ + n₂ et qu’un partage vertical du tout aboutira aussi à une égalité, soit n₁ + m₂ = m₁ + n₂.

Plus exactement, la marche de l’expérience est la suivante :

(A) Au cours d’une première étape, le sujet s’assure par inspection directe de l’égalité de deux rangées présentées l’une au-dessus de l’autre et se correspondant terme à terme (correspondance optique).

[p. 123] (B) Ensuite celles-ci sont recouvertes par un écran et l’expérimentateur procède à la décomposition en n₁ + m₁ et en m₂ + n₂ mais d’une manière telle que le sujet puisse suivre sans difficultés les regroupements effectués. On lui indique, par exemple, que l’on déplace, dans la rangée supérieure, deux boutons sur la gauche et le reste à droite, tandis que, dans la rangée inférieure, on déplace deux boutons sur la droite en mettant le reste à gauche. On vérifie, bien entendu, que cet arrangement est bien saisi. Après quoi, on procède à la question I : une barre étant placée horizontalement sur l’écran de manière à séparer nettement les sous-collections n₁ + m₁ et m₂ + n₂, on demande si les quantités de boutons situées au-dessus et au-dessous de la barre sont les mêmes ou non.

(C) On place ensuite la barre verticalement, de manière à séparer les deux sommes n₁ + m₂ et m₁ + n₂ et l’on demande si les quantités de boutons sont les mêmes ou non à gauche et à droite de la barre (question II).

(D) Enfin lors d’un quatrième temps, on augmente ou l’on diminue les suites en question, par l’adjonction de nouveaux boutons ou la suppression de certains autres, de manière à conserver, soit l’égalité verticale n₁ + m₁ — x = m₂ + n₂ − x, soit l’égalité horizontale n₁ + m₂ — x = m₁ + n₂ − x, mais à produire une inégalité dans l’autre sens et nous reposons les mêmes questions (questions III).

Il va de soi que ces différentes phases de l’expérience peuvent subir de nombreuses variations, de manière à suivre l’enfant dans ses raisonnements imprévus et à faire les contrôles nécessaires. L’importance numérique des collections est parfois faible (4 + 2 par exemple), parfois plus forte (9 + 2). De plus, nous utilisons souvent une somme inconnue : on déclare au sujet qu’on place le même nombre de boutons des deux côtés et qu’on les décompose en « 2 + le reste », etc.

Examinons maintenant dans quelle mesure ces divers problèmes sont de nature logico-mathématique ou physique et en quoi le facteur spatial (répartition croisée des quatre sous-collections) complique la situation.

Pour ce qui est de la question préalable, de savoir si une collection B₁ conserve la même quantité lorsqu’elle est répartie en deux sous-collections A₁ = n₁ et A’₁ = m₁, il va de soi que nous nous trouvons dans la même situation que pour l’expérience précédente (art. III). Si l’on posait le problème sous la forme « le nombre d’une collection reste-t-il invariant pour un ensemble de transformations spatiales de ses sous-collections ? », entendant [p. 124] par là que les déplacements comme tels peuvent engendrer la création ou l’annihilation d’éléments individuels des collections, il va de soi que ce serait un problème physique. Mais nous avons vu que telle n’est pas la manière dont l’enfant comprend la question. Le problème réel est pour lui : « la somme des éléments d’une collection demeure-t-elle la même lorsque ses éléments, sans adjonctions ni suppressions, sont répartis en sous-collections distinctes ? » et il s’agit alors d’un problème logico-mathématique au sens des Df. 16, 18 et 20. La seule différence avec l’expérience précédente est qu’en ce dernier cas nous laissions une collection B₂ invariante après constatation de B₁ = B₂ et ne partagions que la collection B₁ en A₁ + A’₁. Dans la présente expérience, au contraire, il s’agit de juger de la double conservation de B₁ et de B₂ lorsque B₁ est réparti en A₁(= n₁) + A’₁(= m₁) et lorsque B₂ est aussi réparti en A₂(m₂) + A’₂ (= n₂).

Nous pourrions alors symboliser comme suit la question I :

« Si (n₁ + m₁) est égal à (m₂ + n₂) et si n₁ = n₂ et m₁ = m₂, est-ce que n₁ + m₁ = m₂ + n₂ ? », l’expression (n₁+m₁) entre parenthèses signifiant que la somme (n₁+m₁) forme encore un tout indivise. Puisque l’égalité (n₁ + m₁) = (n₂ + m₂) a été explicitement reconnue au début de l’expérience, les égalités n₁ = n₂ et m₁ = m₂ ne jouent pas de rôle, et la solution de cette question I découle directement du fait que le nombre d’une collection demeure invariant lors de la répartition de celle-ci en sous-collections. Il s’agit donc encore d’une question logico-mathématique.

Quant à la question II, elle soulève un problème nouveau. On peut la symboliser comme suit : « Si n₁ + m₁ = m₂ + n₂ et si n₁ = n₂ et m₁ = m₂, aura-t-on n₁ + m₂ = m₁ + n₂ ? » Mais il va de soi que nous n’avons le droit de formaliser ainsi la question que si les sujets reconnaissent explicitement que la seconde prémisse est vraie. Si nous ne pouvons pas nous assurer de ce fait l’expérience nous montre seulement si les sujets parviennent ou échouent à découvrir que m₁ = m₂ et n₁ = n₂, ce qui est évidemment un problème synthétique. Par contre, dans la mesure où nous sommes certains de la compréhension des deux prémisses par le sujet il s’agit d’un problème logico-mathématique susceptible d’une solution analytique.

La question III, enfin, peut-être symbolisée comme suit :

« Si n₁ + m₁ = m₂ + n₂ et si n₁ = n₂ et m₁ = m₂, aura-t-on encore, [p. 125] si l’on enlève x à m₁ et x à n₂, l’égalité n₁ + (m₁ − x) = m₂+(n₂ − x) ? Et aura-t-on de même n₁ + m₂ = (m₁ − x) + (n₂ − x) ? » (et autres questions de même type). Il va de soi, à nouveau, que le problème est de nature logico-mathématique et peut être traité de façon purement analytique pourvu que le sujet ait explicitement saisi toutes les données.

Cette expérience présente donc à la fois un avantage et un désavantage par rapport à la précédente. Elle suppose deux constatations (ou trois) au lieu d’une, en ce qui concerne la lecture des données, et il importe de s’assurer qu’elles ont été pleinement faites et se conservent entièrement au cours du raisonnement : tel est l’inconvénient. Mais l’avantage est que, supposant le plus grand nombre d’inférences, la solution du problème rend possible une gamme plus étendue d’intermédiaires, ou du moins donne lieu à un tableau plus riche de stades à propos desquels la question des intermédiaires pourra se poser.

Le tableau des stades obtenus est, en effet, le suivant :

Stade I : non-conservation des collections après leur partage, même avec numération.

Sous-stade II A : égalisation des sous-collections avec numération lorsqu’elles ont appartenu au même ensemble initial (par exemple n₁ + m₁ = m₂ + n₂) mais refus d’égalisation, même avec numération lorsqu’il s’agit de sous-collections non issues d’une même collection initiale (par exemple n₁ + m₂ et m₁ + n₂).

Sous-stade II B : égalisations avec numération indépendamment de la restriction précédente.

Stade III : égalisations indépendantes du dénombrement, mais selon les axes horizontaux et verticaux séparément.

Stade IV : égalisations immédiates selon les deux systèmes à la fois.

Inutile de revenir sur les réactions de non-conservation du stade I, qui sont identiques à celles de l’expérience précédente et ne nous apprennent donc rien de nouveau. Par contre, le stade II (caractérisé par le fait que le sujet n’admet pas la [p. 126] conservation des collections sans compter les éléments, mais y croit lors du dénombrement) donne lieu à une nouveauté intéressante et instructive. Il se trouve, en effet, que, au cours du sous-stade II A, l’enfant admet bien que les collections (n₁ + m₁) et (m₂ + n₂), partagées chacune en deux sous-collections conservent encore l’égalité n₁ + m₁ = m₂ + n₂, et cela lorsqu’il a pu compter les éléments appartenant à ces deux couples de sous-collections ; par contre, lorsqu’il s’agit de juger de l’égalité n₁ + m₂ = m₁ + n₂, le sujet se refuse parfois à l’admettre, à partir d’un nombre encore petit, et cela même lorsqu’il compte les éléments qu’il a sous les yeux (l’écran étant enlevé) ! Il y a là une situation qui mérite un examen attentif du point de vue de la formation des coordinations logico-mathématiques, et surtout du point de vue du passage du synthétique et analytique, puisqu’il s’agit d’un intermédiaire éventuel de plus. Voici des exemples :

Mag (6 ; 7). Correspondance entre deux rangées de 6 : « C’est la même chose. » On divise alors la rangée supérieure en 2 et 4 et la rangée inférieure en 4 et 2, mais sans écran (tout étant visible). Barre horizontale : « C’est la même chose là et là (au-dessus et au-dessous de la barre) ? — (L’enfant ne répond pas avant de compter) Ici c’est 2 et 4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 : six. Et puis ici (en bas) 1, 2, 3, 4, 5, 6, six aussi. C’est la même chose. — Et comme ça (barre verticale) ? — (Mag compte de chaque côté) 6 et puis 6 ; 6 des deux côtés. — C’est la même chose des deux côtés ? — (Hésitation). Oui, je crois… (pas de sentiment de nécessité) ».

Correspondance 9 sur 9 : « C’est la même chose. — (Répartition en 2 + 7 et 7 + 2. Barre verticale, sans écran). C’est la même chose ici et là (les deux côtés) ? — Pas la même chose (n’a pas compté). — Qui a plus alors ? — … — Toi tu as combien ? (Compte) 9. — Et moi ? — 9. — On a la même chose tous les deux ou l’un a plus que l’autre ? — Je ne sais pas, moi… ».

Retour à la correspondance 9 sur 9 avec répartition en n₁ + m₁ et en n₂ + m₂, puis barre horizontale. « C’est la même chose des deux côtés ? (Mag compte à nouveau) 9 puis 9. C’est la même chose. — On a la même chose toi et moi ? — Oui, c’est la même chose. — Comment le sais-tu ? — Avant ils étaient 9 tout ensemble (en une seule collection), et puis on n’a qu’à les compter, c’est 9 chez vous et 9 chez moi ». On voit que l’égalité des nombres 9 = 9 entraîne l’égalité des sommes (quantités totales) des deux collections quand il y eut partage en sous-collections à partir de collections entières (« tous ensemble »), tandis que le dénombrement des deux sous-collections n₁ + m₂ [p. 127] et m₁ + n₂ n’entraîne pas l’égalité des sommes pour 9, et ne l’entraîne que sans nécessité pour 6, parce que ces deux sous-collections ne résultent pas du partage d’une collection entière, (n₁ + m₂) en un seul tout ou (m₁ + n₂) en un seul tout !

Zog (7 ; 9). Correspondance 6 sur 6 : « La même chose. — (On répartit sans écran 2 + 4 et 4 + 2 et on remet l’écran) C’est la même chose au-dessus et au-dessous (de la barre horizontale) ? — Je ne sais plus (se refuse donc à la conservation sans se rappeler 6 et 6 : le souvenir de l’égalité n = n ne lui suffit pas). — (On enlève l’écran) C’est la même chose ? — Je ne me rappelle plus comment c’était avant (a donc besoin du souvenir 6 = 6). — C’était comme ça (on remet 6 sur 6). — (Zog compte) 6 et 6 ; la même chose, oui. — Es-tu sûre ? — Oui. — Maintenant regarde (barre verticale sans écran). C’est la même chose ? — Non. — Où il y a-t-il plus ? — … — Et si tu comptes ? — 6 et puis 6. — C’est la même chose de boutons des deux côtés ? — Je ne sais pas. 6. — Six des deux côtés ? — Oui, 6 et 6. — Alors on a la même chose de boutons, ou bien l’un a plus que l’autre ? — Sais pas ».

Jac (7 ; 2) 7 sur 7 : « La même chose. — Comment le sais-tu ? — J’ai vu que c’était le même nombre (correspondance optique). — Combien ? — Je n’ai pas eu le temps. — (On partage en 2 + 5 et 5 + 2 sous les yeux de l’enfant, puis on remet l’écran et une barre horizontale). — C’est la même chose ici et là ? — Non… je crois pas. — Il y a un moyen d’être sûr ? — Je ne sais pas. Si on ne les voit pas, on ne peut pas compter. Je crois que c’est la même chose parce que vous y avez laissés là où ils étaient avant, les uns en haut et puis les autres en bas. — Alors ça fait la même chose en haut et en bas ? — Je ne sais pas bien… parce qu’ils ne sont plus ensemble (= parce qu’ils sont répartis en sous-collections) ». Échec au partage selon la ligne verticale.

Char (7 ; 4) De même, après avoir constaté « même chose » pour 9 et 9, se refuse à répondre pour (n₁ + m₁ = n₂ + m₂ ?) : « Mais j’peux pas vous dire comme ça parce que je ne sais pas combien il y a dans chaque tas. — Là (en haut), j’ai enlevé des boutons ? — Non. — J’en ai ajouté ? — Non. — Et en dessous ? — Vous n’avez rien fait, mais vous avez fait deux tas. — Il y a plus de boutons alors, en dessous, qu’avant ? — … — On peut deviner sans compter s’il y a encore la même chose de boutons en dessus et en dessous ? — Mais vous ne m’avez pas laissé compter ! »

Les deux derniers de ces cas prouvent simplement que les sujets de ce niveau II A n’admettent pas l’égalité B = A + A’ quand on partage une collection A en deux sous-collections A et A’, tant qu’ils n’ont pas pu dénombrer la somme A + A’. Nous [p. 128] le savions déjà (voir § 14), mais nous avons tenu à citer ces deux nouveaux cas à cause de la clarté des déclarations explicites de ces sujets. Char reconnaît, par exemple, que l’on a enlevé ni ajouté aucun élément mais il n’est pas certain de l’égalité des sommes B et A + A’ : « vous n’avez rien fait (= rien transformé physiquement), mais vous avez fait deux tas » (c’est presque une application directe de notre Df. 16 sur les « propriétés de type I » ajoutées par l’action à l’objet !). De même Jac formule cet énoncé étonnant : « Je ne sais plus bien [si la somme est restée la même] parce qu’ils ne sont plus ensemble » !

Or, ce rôle persistant de l’« ensemble » en tant que configuration perceptive de la collection donne lieu, en cette expérience, à une nouvelle étape intermédiaire selon que le partage se fait au moyen de la barre horizontale (n₁ + m₁ = m₂ + n₂) ou de la barre verticale (n₁ + m₂ = m₁ + n₂). Il est d’abord à noter que, dans tous ces cas II A, l’expérience avec la barre verticale se fait sans écran, de telle sorte que la question de la compréhension explicite des égalités n₁ = n₂ et m₁ = m₂ ne se pose même pas. Or, chose remarquable, Mag et Zog admettent immédiatement l’égalité n₁ + m₁ = m₂ + n₂ en comptant, tandis que même en comptant (et il s’agit des mêmes sommes !) ils n’admettent pas l’égalité n₁ + m₂ = m₁ + n₂ ! Or, le sujet Mag nous fournit l’explication de ce phénomène dans le cas des sous-collections n₁ + m₁, et m₂ + n₂ nous sommes en présence du partage de deux collections de 9 éléments qui formaient un seul tout : « avant ils étaient 9 tout ensemble ». Au contraire dans le cas de n₁ + m₂ et de m₁ + n₂ les sous-collections de chacun de ces deux couples sont empruntées à des collections totales initialement différentes par conséquent, même en comptant les éléments de (n₁ + m₂) et de (m₁ + n₂) rien ne prouve pour ces sujets que l’égalité des nombres obtenus entraîne l’égalité des sommes puisque précisément il s’agit de nouvelles sommes obtenues au moyen de sous-collections d’origine hétérogène ! Nous constatons alors que Mag, qui est certain pour (n₁ + m₁) et (m₂ + n₂) que 6 = 6 ou 9 = 9 entraînent l’égalité des sommes, dit simplement « oui, je crois » (que 6 = 6 entraîne cette égalité) dans le cas n₁ + m₂ = m₁ + n₂, et le nie ou répond « je ne sais pas » pour 9 = 9 ! Zog répond de même pour 6 = 6 !

[p. 129] Cette admirable subtilité de l’enfant montre donc à l’évidence qu’à un tel niveau la somme quantitative est autre chose que la réunion des éléments, même quand ceux-ci sont dénombrés. La somme constitue une propriété de la collection comme telle, ce que l’on pourrait énoncer comme suit : « Quand les anciens éléments d’une même collection sont répartis en sous-collections, leur dénombrement suffit à exprimer leur quantité totale, tandis que quand le même nombre d’éléments sont répartis en sous-collections issues du partage de collections différentes, le dénombrement de ces éléments ne suffit plus à exprimer leur somme » ! Quant à la nature de cette propriété elle tient assurément à l’acte initial de colligation, mais appuyé sur l’indice perceptif d’une collection indivise.

Du point de vue du caractère synthétique ou analytique des coordinations d’actions, nous sommes donc en présence d’un intermédiaire de plus. Lors de l’expérience précédente (part. III) nous avions déjà vu des sujets qui admettaient que n = n entraîne l’égalité des quantités totales (ce qui semble une tautologie entière) pour n<15 ou 30 mais pas pour n>15 ou 30. Nous trouvons maintenant des sujets pour lesquels cette inférence liant le dénombrement à la somme vaut pour n = 6 ou 9 quand les sous-collections sont issues de la même collection, mais ne vaut plus pour le même nombre n = 6 ou 9 quand les sous-collections ne sont pas issues de la même collection (tout en ayant les mêmes nombres également en tant que sous-collections).

Aux niveaux ultérieurs de ce même stade II, le dénombrement entraîne l’égalité quantitative pour les partages selon la barre verticale comme pour les autres, c’est-à-dire que les réunions de sous-collections quelconques (n₁ et m₂ ou n₁ et n₂) ne sont plus subordonnées à la condition de s’effectuer à l’intérieur du champ de la colligation initiale (n₁+m₁ ou n₂+ m₂) :

Bon (8 ; 5) 6 sur 6 « (sans compter) C’est la même chose de boutons. — (On divise en 2 + 4 et 4 + 2 et l’on place la barre horizontale) C’est la même chose ici et là ? — (Compte) C’est la même chose (à gauche et à droite). » Bon échoue, par contre, au problème des modifications internes (probl. IV) pour 3 + 3 et 4 + 2, tant qu’il ne peut pas compter.

[p. 130] Mais le progrès ne vaut d’abord que pour les petits nombres et n’est pas étendu d’emblée à des nombres quelconques (du point de vue de la numération de l’enfant).

Il va donc de soi que l’on retrouve, en plus des réactions intermédiaires dues à la complication du sens des partages, les réactions décrites, au chap. IV, sous le nom de sous-stades II B et II C. Mais il est inutile d’y revenir ici.

Le progrès essentiel propre au stade III est que dorénavant toute collection peut être décomposée ou recomposée librement sans changer d’extension ou de somme, et cela indépendamment du contrôle par dénombrement. Autrement si B est divisé en A + A’ le sujet en infère avec nécessité que A + A’ = B sans avoir besoin de compter les éléments. La conquête de cette inférence se marque en particulier dans le cas où, au lieu de partir de deux collections dont le nombre est connu (par exemple 7 et 7) pour les diviser en deux sous-collections de nombres inconnus, (9 + 2, etc.) on part d’emblée de collections dont on ne connaît que l’égalité mais pas le nombre initial ; les partages, en ce cas s’expriment par les mots « 2 (ou n) et le reste », la configuration spatiale consistant donc en deux collections de 2 selon l’une des diagonales et deux « restes » selon l’autre diagonale. Or, cette situation qui, au stade II, donnait lieu à un refus catégorique de raisonner, n’occasionne au présent stade aucune difficulté supplémentaire. Il en est de même lorsque, après avoir réparti les collections en n₁+m₁ et m₂+n₂, on enlève ou ajoute x à m₁ et à n₂ (etc.) ce qui conserve l’égalité selon l’un des partages et la détruit selon l’autre :

PER (8 ; 8) 10 et 10 répartis en 1 + 9 et 9 + 1. Partages selon la barre horizontale puis verticale : « Même chose. — Comment sais-tu ? — Je suis sûr. — Pourquoi ? — Ils étaient la même chose. On les a écartés, on n’en a pas rajoutés ». 8 et 8 répartis en 5 + 3 et 3 + 5 : idem. On enlève 1 à 3 en haut et à 5 en dessous. Partage selon la ligne horizontale : « Même chose. — Tu es sûr ? — Oui, chacun a un de moins. — (Barre verticale). — Ce n’est plus la même chose. On en a enlevé 2 ».

TER (9 ; 10). Mêmes réactions initiales. On montre ensuite deux collections égales (par correspondance optique) mais sans que [p. 131] le sujet ait pu compter. « Maintenant je mets 2 boutons à droite et le reste à gauche, et, en bas, je mets les 2 à gauche et le reste à droite. Partage selon la barre horizontale : « Même chose. — Pourquoi ? — Parce que vous avez enlevé 2 des deux côtés. — Ils sont enlevés pour de bon ? — Non, ce n’est pas ce que je voulais dire. Vous avez pris 2 dans le tas et c’est la même chose des deux côtés parce que vous avez mis 2 de côté en haut et en bas. — (Partage selon la barre verticale). — C’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a un tas et puis 2 en haut et la même chose en bas ».

Déplacement d’un bouton (en haut 2 et le reste ; en bas 3 et le reste moins 1). Partage selon la barre horizontale « La même chose. — (Barre verticale). — Pas la même chose. — Pourquoi ? — Il y a un bouton de plus à gauche ».

On voit que les problèmes I et II sont résolus par inférence directe, sans intervention des nombres. Le problème III est dominé également, mais par un bref raisonnement ou calcul portant sur les sous-collections modifiées et les éléments déplacés. Il serait possible de distinguer enfin un stade IV où ce problème III est résolu sans référence aux sous-ensembles comme tels, mais à leurs rapports seuls, ce qui simplifie encore les conduites : par exemple, le déplacement d’un bouton de n₂ à m₂ est conçu sans plus comme traversant la verticale et comme détruisant ainsi l’égalité gauche-droite en laissant inchangée l’égalité dessus-dessous. Il en résulte que le facteur spatial qui constituait un élément perturbateur est dorénavant intégré au système des relations entre les sous-ensembles jusqu’à permettre une solution par inférence immédiate dans le cas du problème III également, sans considération du détail des déplacements.

En d’autres termes, tandis qu’au stade III les égalités ou inégalités (n₁ + m₁) = (n₂ + m₂) et (n₁ + m₂) = (n₂ + m₁) sont déjà comprises analytiquement au cours du stade III, mais indépendamment l’une de l’autre, ce qui limite encore les possibilités de déduction, il existe un stade IV au cours duquel les deux systèmes de relations sont fondus en un seul par compréhension immédiate de la double symétrie du dispositif. Il en résulte alors trois sortes de réactions qui caractérisent ce nouveau stade : (1) le sujet envisage spontanément les deux partages à la fois ; (2) pour toutes les transformations les réponses sont immédiates et (3) la combinaison des transformations [p. 132] additives et des relations d’axes ne conduit plus à des échecs.

Nous n’avons rencontré ce stade IV de façon typique que chez des adolescents de 15 ans et plus mais on observe parfois un passage des niveaux III à IV en cours d’expérience dès 13-14 ans.

Sta (17 ans). 2 et 9 en haut, 9 et 2 en bas : « (Partage selon la barre horizontale). C’est pareil. — Et si e tourne la barre (verticalement) ? — Cela revient au même. — (On laisse la barre verticale et on enlève 1 de chaque côté, d’où 2 − 1 et 9 à gauche, 9 − 1 et 2 à droite). Pour la barre verticale, c’est pareil, mais si vous tournez la barre, il y a inégalité (le sujet considère donc d’emblée les deux partages à la fois). — (Additions inégales : +3 en haut à droite, +2 à gauche en bas et +1 en bas à droite). C’est égal, mais seulement pour cette position (barre horizontale). — Et maintenant (−1 en haut à droite et −2 en bas à droite) ? — C’est inégal dans tous les cas ».

Ce stade IV marque donc le maximum d’analycité compatible avec ces problèmes. S’il était intéressant de le signaler c’est que, ici encore, on trouve des intermédiaires sous la forme de transitions entre les stades III et IV : il arrive ainsi que les sujets, raisonnant d’abord isolément pour chacune des relations en jeu, pressentent leur coordination : « Je sens qu’il y a un système je peux essayer ? » dit ainsi un sujet avant de tourner lui-même les axes ce qui le conduit aux réactions du stade IV.

En conclusion, les quelques faits décrits à propos de ce second exemple génétique permettent d’insérer deux intermédiaires de plus entre le synthétique et l’analytique que dans le cas du premier exemple. Le premier de ces faits est la réaction décrite au § 18 (stade II) à propos des sous-collections n₁ + m₂ qui ne donne pas lieu immédiatement à la même somme que n₁ + m₁ bien que m₂ ait été reconnu égal à m₁. Le second de ces faits est la réaction à l’arrangement spatial (égalité croisées) qui donne lieu à un progrès de l’analyticité lors du passage du stade III au stade IV. Sans que nous puissions approfondir ici le problème, on peut considérer qu’une figure géométrique réalisée matériellement (en des objets solides ou en leurs assemblages) donne lieu simultanément à des actions physiques (modification de la forme des objets individuels ou collectifs) et à des coordinations logico-mathématiques (puisque les formes [p. 133] sont engendrées par l’action dans les objets et qu’elles pourront être engendrées par des opérations sans objet au niveau d’une géométrie devenue purement déductive). Or, au stade III, toute référence aux arrangements croisés, donc au rôle des diagonales, comporte encore un élément de constatation ou de lecture effectuée sur les objets, tandis que nous voyons au stade IV cet arrangement prendre la signification d’un simple symbole d’opérations. En ce cas encore, il y a donc passage à l’analycité en une situation donnant lieu aux stades antérieures à des constatations de nature synthétique.