Chapitre IV.
Premier exemple d’ordre génétique : l’égalité d’une collection B et de la réunion de deux sous-collections complémentaires A et A’ ^a 🔗

Quand Benson Mates cherche un exemple d’énoncé en présence duquel il croit que l’homme adulte moyen aura une tout autre attitude qu’en présence d’un énoncé empirique usuel, il recourt à un exemple d’arithmétique élémentaire : 2 plus 3 font 5. Il nous paraît donc indiqué d’examiner le passage des conduites synthétiques aux conduites analytiques en décrivant la genèse de la croyance en un énoncé de cette espèce.

Or, comme un tel énoncé paraît évident dès le stade de 7 à 9 ans, l’examen de sa genèse doit porter sur des enfants de 5 à 9 ans, ce qui suppose une extension de l’analyse sur le plan des conduites non verbales. Il nous fallait donc chercher une opération sur des objets correspondant chez le sujet à l’énoncé mathématique 2 + 3 = 5. Nous avons donc recours à l’opération suivante : on présente 5 boutons, puis on les sépare en deux tas de 2 et de 3 et on demande si leur somme est restée la même. Ce faisant nous exécutons également l’opération de diviser une collection B en deux sous-collections complémentaires A et A’ : lorsque les cinq boutons du tas initial ne sont pas dénombrés, la question est alors de savoir si l’ensemble des deux sous-collections est bien équivalent à la collection initiale.

Ce sont donc ces deux questions ou des questions de même type que nous posons aux sujets. Et les sujets répondent à ces questions par certaines conduites que nous pourrons appeler « analytiques » ou « synthétiques » si nos critères s’y appliquent.

[p. 87] Encore deux remarques, avant de passer à la description plus détaillée de l’expérience :

(1) Nous avions hésité entre deux phases critiques du développement particulièrement intéressantes du point de vue des transitions éventuelles entre le synthétique et l’analytique : le passage (vers 11-12 ans) entre les opérations dites concrètes (groupements de classes et de relations et opérations numériques appliqués à des objets manipulables) aux opérations formelles (raisonnements hypothético-déductifs pouvant s’appliquer à de purs énoncés verbaux) et le passage (vers 7-8 ans) des représentations préopératoires (pas de transitivité ni de conservation des ensembles, etc.) aux opérations concrètes. Nous avons finalement choisi le second de ces deux terrains de recherche pour les raisons suivantes. En premier lieu, si les mécanismes psychologiques de transition entre un stade caractérisé par l’absence de certaines opérations et le stade caractérisé par leur présence semblent toujours assez semblables ¹, il y a cependant avantage à faire porter l’analyse sur les situations les plus simples. En second lieu et surtout, le passage du synthétique à l’analytique dans le cas des opérations formelles eût interféré trop intimement avec le passage d’opérations relativement indépendantes du langage à des opérations plus intimement liées aux facteurs linguistiques, ce qui non seulement aurait compliqué notre tâche, mais encore nous aurait fait manquer l’occasion de généraliser sur le plan de l’action les notions dont on limite trop souvent l’application au domaine des énoncés verbaux. Mais il resterait naturellement utile de compléter la présente analyse par une étude parallèle portant sur les phases de transition entre les opérations concrètes de 7 à 11 ans et les opérations formelles de 12 à 15 ans (avec énoncés purement verbaux). Le chap. V remédiera en partie à cette lacune.

(2) Dans la présente expérience, nous agissons physiquement sur des objets physiques. Pour l’adulte éduqué scientifiquement (par exemple le logicien), le problème de savoir si [p. 88] une collection de solides, après réarrangement, contient encore les mêmes solides est naturellement d’abord un problème d’invariance physique. Mais la signification de ce problème, même pour un tel adulte n’est déjà pas unique et selon que l’on insiste sur la somme numérique ou sur le fait de « contenir les mêmes solides » la situation peut changer. Nous pourrions fort bien concevoir l’attitude d’un sujet qui affirmerait « Je n’appelle arrangement que telle transformation ne provoquant ni création ni destruction d’objets » et qui considérerait alors comme analytique le problème de savoir s’il y a invariance du nombre après un « réarrangement » ainsi défini. Pour l’adulte moyen, la signification de ce problème différerait encore. A fortiori en est-il ainsi de l’enfant aux différents âges. Nous aurons donc à étudier la signification pour l’enfant des objets utilisés, la signification pour lui des questions qu’on lui pose à leur égard et la signification pour lui des actions qu’il leur fait subir et qu’il leur voit appliquer par l’expérimentateur. Aucun a priori n’est permis.

Cela dit, procédons à la description de l’expérience et de ses résultats généraux.

On prépare deux rangées égales de boutons l’une au-dessus de l’autre et telles que chaque élément de l’une soit en regard d’un élément de l’autre (correspondance optique), puis on les montre à l’enfant, soit un temps suffisamment long pour qu’il puisse compter, soit un temps trop court pour qu’il puisse compter mais bien suffisant pour qu’il constate l’égalité des deux collections grâce à la correspondance optique. Après quoi on recouvre le tout d’un écran et l’on demande au sujet s’il y a autant de boutons dans une rangée que dans l’autre.

Cette égalité reconnue explicitement (et de façon telle que le sujet n’éprouve aucun doute), on déplace l’une des rangées à côté de l’autre (avec un intervalle entre deux et en conservant les longueurs), puis on demande encore (en soulevant brièvement l’écran) si les deux collections sont égales. Cela étant acquis, on procède à divers réarrangements de l’une des rangées ou des deux (l’enfant pouvant suivre tous les mouvements de l’expérimentateur, qui décrit d’ailleurs ce qu’il fait mais sans naturellement indiquer les valeurs numériques des collections en jeu) et l’on demande à nouveau s’il y a autant de boutons dans l’une des collections que dans l’autre (ou « de mon côté [p. 89] que du tien », etc., en faisant bien comprendre qu’il s’agit du total des sous-collections dans le cas où l’une des collections est divisée).

Les réarrangements comprennent toujours la répartition d’une rangée en deux ou plusieurs sous-collections, ce sur quoi porte la question centrale. Pour les sujets les plus jeunes on peut aussi étudier le déplacement global de l’une des rangées (en conservant sa longueur mais en modifiant la distance par rapport à l’autre), l’espacement ou le resserrement des boutons de l’une des rangées ou encore la formation avec une rangée de différentes figures géométriques régulières ou irrégulières. Avec les sujets plus développés on peut ajouter les questions suivantes : adjonction ou suppression d’un même nombre ou d’un nombre inégal d’éléments dans les deux rangées.

On exécute ces transformations sur des rangées d’un nombre variable de boutons. Un même sujet est examiné sur tous ces problèmes ou une partie seulement, et cela dans un ordre quelconque. Quand l’enfant a répondu au sujet de l’égalité ou de l’inégalité des deux rangées, l’expérimentateur cherche à obtenir (si le sujet ne le renseigne pas de lui-même) des données supplémentaires sur les mobiles qui ont guidé l’enfant, etc., et ceci par une interrogation adaptée à chaque sujet et à chaque réponse du sujet, sans questionnaire standardisé (méthode clinique par opposition à celle des tests).

Le résultat de l’expérience se traduit par le tableau suivant des stades et sous-stades obtenus (nous ne numérotons les stades qu’à partir du niveau de 5 ans) :

Stade I : non-conservation (destruction de l’égalité B = A + A’) pour toute transformation sauf le simple déplacement d’une rangée (sans modification de sa longueur).

Stade II : égalité B = A + A’ ni affirmée ni niée avant le dénombrement des éléments.

Sous-stade II A. Le dénombrement de B et de A + A’ ne donne lieu à l’égalité B = A + A’ que si B a un nombre suffisamment petit (<15 ou 20) et la constatation après le dénombrement B = A₁ + A’₁ ne vaut plus pour B = A₂ + A’₂ si l’on a changé A₁ en A₂ et A’₁ en A’₂.

Sous-stade II B. Le dénombrement de B et de A + A’ ne donne encore lieu à l’égalité B = A + A’ que si B est <n = [p. 90] 15 ou 20. Mais le dénombrement n’est plus nécessaire pour accepter B = A₂ + A’₂ quand un dénombrement antérieur a permis de constater l’égalité B = A₁ + A’₁.

Sous-stade II C. Généralisation des acquisitions II A et II B au cas des grandes collections (>20 ou 30).

Stade III : égalité B = A + A’ affirmée immédiatement ou presque pour cette raison que l’on n’a rien ajouté ni enlevé.

On peut encore distinguer deux sous-stades à l’intérieur de ce stade III : un sous-stade III A au cours duquel le sujet quoique presque certain de l’égalité compte encore par acquit de conscience et un sous-stade III B (cas francs) où le sujet ne cherche plus à dénombrer.

La manière caractéristique et relativement uniforme dont les sujets de chaque stade ou sous-stade se comportent doit nous permettre de juger si le problème qui leur est soumis est un problème logico-mathématique ou physique (ou les deux), si c’est un problème analytique I ou synthétique I et enfin si c’est un problème analytique II ou synthétique II. Mais l’intérêt essentiel d’un tel tableau de réactions est de nous permettre d’aborder les deux questions annoncées au chap. III (§ 11) : y a-t-il filiation d’un stade à l’autre et surtout le passage d’un stade ou sous-stade au suivant s’effectue-t-il de façon continue ou discontinue, en appliquant les critères que nous nous sommes donnés ?

Or, si nous sommes tous d’accord sur la filiation des stades, nous ne le sommes plus du tout sur la question de la continuité et cela pour des raisons qu’il vaut mieux indiquer dès cette introduction, de manière à ce que le lecteur puisse se faire sa propre opinion d’après les faits que nous décrirons aux § § suivants en citant les réponses des enfants eux-mêmes. L’un de nous (Apostel), sans contester la présence des réactions intermédiaires correspondant aux sous-stades du tableau précédent, exige, pour qu’il y ait continuité au sens de nos définitions 33-35, les conditions suivantes :

(1) Ordonner les différents modes de transformation (par exemple conservation sous déplacement global, conservation sous subdivision d’une rangée en sous-collections, conservation sous espacement et resserrement des éléments des rangées, conservation sous adjonction et enlèvement) d’une manière telle [p. 91] que si pour une transformation y qui dans cet ordre suit la transformation x, il y ait toujours conservation pour x si elle existe pour y (ceci à une ou à plusieurs dimensions selon les divers paramètres possibles : nombre et nature des éléments ou des formes globales des collections, nombre et nature des actions de l’expérimentateur, degré de certitude du jugement d’égalité, etc.)

(2) Il y aura alors continuité si le sujet passe d’un stade à l’autre d’abord pour de petites rangées et pour de petites transformations a, ensuite pour de petites rangées et pour des transformations a plus grandes, ensuite pour de petites transformations b, et ainsi de suite jusqu’à ce que pour de petites rangées toutes les transformations donnent une conservation.

(3) Il y faudra en outre pour qu’il y ait continuité, que pour des rangées de plus en plus grandes le même processus se répète.

(4) Enfin il y aura continuité idéale si, de plus, le passage d’une centration sur l’aspect global de la collection à une centration sur les parties ou éléments de la collection et finalement à une centration sur les actions se fait graduellement. Le passage sera dit graduel si (a) spontanément le sujet commence par une démarche du stade M pour accomplir les démarches du stade N et (b) si ces deux démarches sont considérées, durant une phase I, la première comme nécessaire et la seconde comme utile, mais non indispensable, durant une phase II, les deux comme nécessaires et indispensables, et enfin, durant une phase III, la première comme utile, mais non nécessaire et la seconde comme nécessaire et indispensable.

En présence de ces exigences d’un logicien lorsqu’il désire ne pas accepter les interprétations de continuité adoptées par les psychologues de l’équipe (avec des réserves en ce qui concerne l’arrivée au stade III B), ceux-ci font les remarques suivantes :

(1) C’est une méthode discutable en psychologie, pour appliquer une définition de la continuité sur laquelle l’accord est cependant unanime, que de commencer par fournir a priori un canon d’application de cette définition et par restreindre la [p. 92] portée d’un tel canon au moyen d’exigences dont le risque est d’être arbitraires.

(2) À procéder ainsi on aboutira trop facilement à contester toute continuité dans le passage du synthétique à l’analytique, mais cette facilité se payera du prix suivant : en adoptant des canons analogues, on n’observera plus aucune continuité dans aucune série génétique, de telle sorte que la discontinuité souhaitée dans le cas particulier se retrouverait tout aussi forte, selon les mêmes canons, par exemple dans le développement, entre 5 et 12 ans, de notions pourtant synthétiques comme celles de la densité ², de l’horizontale ou de la verticale ³, et de la perspective dans le dessin ou dans les réactions aux changements de position d’un objet ⁴.

(3) La seule méthode « raisonnable », pour appliquer nos définitions 33 à 35, consistera donc à chercher, parmi les séries génétiques connues, celles qui sont les plus « discontinues » et celles qui sont les plus « continues » du point de vue de ces Df. 33 à 35, et enfin à situer la série qui nous intéresse dans l’ensemble des séries ainsi ordonnées (une par une ou par classes). En dehors d’une telle méthode empirique, on subordonne l’interprétation psychologique à un système dicté par des préoccupations logiques, ce qui peut séduire le logicien, mais enlève tout intérêt aux réponses qu’il désirerait obtenir de l’expérience proprement psychologique.

(4) Or, parmi les séries génétiques que nous avons étudiées jusqu’ici chez l’enfant nous pouvons distinguer les trois classes suivantes du point de vue de la continuité :

(a) La classe la plus discontinue est celle des séries dans lesquelles il n’y a pas filiation des conduites supérieures à partir des inférieures (Df. 32), mais substitution des premières aux secondes (Df. 32 bis) : par exemple dans le cas où la conduite inférieure est « artificialiste » (le lac creusé par des hommes et l’eau amenée par des tuyaux à partir de fontaines qui en constitue la source absolue) et où la conduite supérieure [p. 93] témoigne de causalité « naturelle » (le lac creusé par les rivières dont l’eau vient de la pluie). En ce cas, on trouve bien aussi certaines conduites intermédiaires (le lac formé naturellement, mais après la construction des villes et en vue de leur utilité), mais telles que la conduite inférieure soit en voie d’extinction quand la conduite supérieure est en voie de dominance exclusive ⁵.

(b) La classe intermédiaire est celle des séries où il y a filiation des conduites supérieures à partir des inférieures, mais où la formation des premières exige des mises en relations nouvelles avec décentration du point de vue initial : exemple l’évolution de la notion de vitesse (conçue comme un rapport entre l’espace parcouru et la durée) à partir de l’intuition du dépassement (changement d’ordre des mobiles du point de vue de leur position spatiale « en avant » et « en arrière »).

(c) La classe la plus continue est celle des séries logico-mathématiques où l’on trouve dès les conduites inférieures toutes les actions qui donneront lieu, au sein des conduites supérieures à des structures opératoires déductives et « nécessaires », le processus qui conduit des premières aux secondes consistant essentiellement en un progrès continu dans la direction de la réversibilité et de la conservation. Le meilleur exemple est précisément celui de la formation du nombre, dans laquelle on trouve dès les stades inférieurs les actions de classer, de sérier, de mettre en correspondance, etc., qui deviendront les opérations constitutives du nombre une fois acquises les conservations dues à la réversibilité croissante. Or, Apostel voit dans l’ouvrage que l’un de nous a consacré à cette « genèse du nombre » ⁶ le recueil le plus représentatif de séries discontinues au sens de ses canons d’application. L’auteur de cet ouvrage s’oppose au contraire énergiquement à une telle interprétation, et, s’il reconnaît l’existence d’une légère « discontinuité relative » (Df. 34) précédant le moment où la conservation est entièrement acquise et où la structure devient à la fois entièrement réversible et déductible avec nécessité, donc au moment de l’« équilibration finale des conduites », il considère que toutes [p. 94] les étapes préopératoires (les stades I à III A du tableau précédent) forment une série continue au sens de l’introduction toujours possible d’intermédiaires entre les stades distingués, moyennant des « raffinements d’échelle » de l’observation (Df. 33 et 33 bis).

(5) D’où vient alors une contradiction aussi flagrante entre l’interprétation de l’un des deux logiciens de l’équipe et celle des deux psychologues (et de l’autre logicien) ? C’est que les psychologues habitués à l’interrogation possèdent deux sortes d’expériences personnelles qui influent sur la probabilité accordée par eux à l’interprétation selon la continuité ou la discontinuité : (a) La première est que toute interrogation est relative à l’observateur et pas seulement au sujet : celui-ci a donc tendance, en présence de questions, ou bien à s’ancrer dans sa position de départ ou bien à changer brusquement de stratégie dans l’hypothèse qu’une réponse assez différente conviendra peut-être mieux. Seuls les sujets que l’on arrive à mettre complètement à l’aise (ce qui suppose de leur part un sentiment suffisant de sécurité) parviennent à raisonner de façon assez libre pour progresser réellement au cours de l’interrogation et c’est alors que l’on a des chances de trouver chez un seul et même sujet les termes de passage entre un niveau et un autre. Autrement dit, les sauts brusques sont souvent des artefacts et la valeur des réactions n’est pas la même d’un sujet à l’autre : le problème réel de la continuité est alors à poser sur le terrain des études longitudinales (sauf que la répétition trop fréquente des examens sur un même sujet risque de provoquer un effet d’exercice), et encore en se rappelant que les transformations non directement observables qui se produisent entre une interrogation et la suivante sont précisément ce qu’il faudrait atteindre pour trancher la question. (b) La seconde expérience personnelle du psychologue tient à la construction d’un tableau de stades et de sous-stades (comme le tableau que nous discutons actuellement) : dans la grande majorité des cas (cas b et c sous chiffre 4) les stades établis plus ou moins conventionnellement sont relatifs, non seulement à l’échelle de l’observation, mais encore au nombre des sujets, de telle sorte que quand l’observateur commence à trouver des réactions intermédiaires (sous-stades), il sait en général assez bien si celles-ci seront peu nombreuses ou si elles se multiplieront avec le nombre [p. 95] croissant des sujets et a fortiori avec les « raffinements d’échelles ». C’est pourquoi si les canons d’Apostel peuvent conduire à interpréter le matériel donné en termes de discontinuité (mais, répétons-le, ce sera le cas de toutes nos séries génétiques, ce qui empêche de conférer aucune signification particulière à celles conduisant du synthétique à l’analytique), il resterait à faire la preuve de l’inexistence des intermédiaires non observés jusqu’ici.

(6) Or les intermédiaires observés jusqu’ici répondent déjà clairement à la première des exigences d’Apostel : la conservation sous déplacement global d’une rangée apparaît bien avant la conservation sous subdivision et sous espacement ou resserrement des éléments (ces trois conservations s’observant au même niveau) et la conservation de l’égalité sous adjonction ou enlèvement d’éléments de mêmes nombres apparaît après ces dernières. Quant aux exigences (2) et (3) elles sont arbitraires. Enfin l’exigence (4) (continuité idéale), elle s’accorde avec les réactions de certains sujets, mais cela dépend surtout, comme on l’a déjà dit, du degré de liberté et de sécurité éprouvé par le sujet au cours de l’interrogation.

En conclusion, nous ne saurions décider d’avance — pour la question de la continuité pas plus que pour celles de savoir si les réactions des enfants sont logico-mathématiques ou physiques, et analytiques ou synthétiques — à quelles conditions les faits que nous avons recueillis constitueront une série continue ou discontinue au sens des définitions adoptées (Df. 33 à 35). Seul l’examen attentif des filiations ainsi que de la signification des sous-stades intermédiaires nous permettra de nous faire une opinion à cet égard, et, comme nous sommes tous d’accord sur l’existence de ces réactions intermédiaires (sinon sur leur signification), de même que nous le sommes sur le détail des filiations d’un stade ou sous-stade au suivant, le problème du degré de continuité ou de discontinuité que nous accorderons à la série génétique observée demeure quelque peu académique et ne saurait créer, entre logiciens et psychologues, de conflit assez grave pour affaiblir la portée des faits que nous livrons à la réflexion du lecteur.

Signalons pour terminer que, l’objet de la présente recherche convergeant avec celui de différents chapitres de l’ouvrage [p. 96] de l’un de nous sur « la genèse du nombre chez l’enfant », nous nous sommes contentés de 25 nouveaux sujets, de 5 à 9 ans (en négligeant les réactions les plus primitives, peu intéressantes dans notre perspective actuelle).

Parmi ces sujets, quatre appartiennent franchement à ce stade (4 ; 9.5 ; 1.6 ; 0 et 6 ; 4) et deux autres (7 ; 4 et 7 ; 7) peuvent être considérés comme intermédiaires entre ce stade et le suivant (ce qui aurait pu donner lieu à un nouveau sous-stade).

Les réponses de ce stade I sont d’un grand intérêt du point de vue de la formation des coordinations logico-mathématiques parce que, faute de toute structure opératoire dissociée de son contenu, l’enfant ne parvient à des jugements stables que dans le cas de certaines configurations perceptives très restreintes (comme une correspondance optique entre deux rangées superposées dont les éléments sont en regard terme à terme) et se contredit sans cesse dans d’autres situations. Autrement dit nous ne sommes en présence que d’actions en voie de coordination. En ces conditions on pourrait objecter qu’aucune de nos définitions ne sont applicables, faute de critères permettant de distinguer les inférences des constatations et surtout faute d’une différenciation suffisante, dans l’esprit de l’enfant, entre la vérité objective et l’impression subjective. Mais si l’on désire savoir, ainsi que semblent le souhaiter certains des logiciens cités au § 1, comment s’apprennent les vérités logico-mathématiques et les vérités physiques, pour pouvoir juger de leur communauté ou de leur différence de statut dans les activités mentales du sujet, il va de soi que c’est ce niveau inchoatif qui, sans décider entièrement du sort des niveaux ultérieurs, sera l’un des plus instructifs à cause précisément de son état embryonnaire. Il nous faut donc tenter l’effort d’une analyse.

Or, nous allons constater que faute de distinguer ou de relier encore suffisamment les schèmes de correspondance optique (fondée sur les figures), de quantité égale et de nombre égal, les enfants de ce niveau n’admettent comme équivalentes [p. 97] que deux collections B₁ et B₂ rangées selon le premier de ces schèmes ⁷, tandis que sitôt l’ensemble B₁ réparti en deux collections séparées A et A’ l’enfant refuse de reconnaître l’égalité A + A’ = B ce qui l’entraîne à nier la conservation de l’ensemble B. Ce sont ces réactions qu’il s’agit d’interpréter :

Lil (5 ; 1). Deux rangées correspondantes de 7 boutons (superposées) : « On a les deux la même chose (= autant de boutons). — Et maintenant (les mêmes rangées de même longueur l’une du côté de l’enfant, l’autre du côté de l’expérimentateur) ? — Les deux la même chose. — Comment le sais-tu ? — Parce que c’est les mêmes ! (On répartit en 2 + 5 et 7). Et comme ça les deux autant ? — Non. — L’un a plus que l’autre ? — Oui, vous avez plus. Vous avez deux petits tas et moi j’ai qu’un petit tas. — Et comme ça (5 + 2 et 5 + 2) ? — La même chose. — Comment le sais-tu ? — Mais, regardez : Vous avez un petit tas (5) et puis une ligne (2) et moi aussi j’ai un petit tas et puis une ligne. — Et comme ça (2 + 3 + 2) et (2 + 5) ? — Non, moi j’ai moins que vous. — Que peut-il faire pour qu’on ait de nouveau la même chose toi et moi ? — Il faut les bouger là (serrer 2 et 3 en 5 pour avoir 5 + 2 des deux côtés). — Et si on ne veut pas les bouger ? — Tu dois m’en donner un qui est dans le sac. — (On le lui donne et il le met entre 5 et 2, d’où, d’après lui 5 + 1 + 2 = 2 + 3 + 2 !). — Nous avons les deux la même chose comme çà ? — Oui, la même chose. Non, encore un (il l’ajoute d’où 5 + 2 + 2 = 2 + 3 + 2 !). — Tous les deux la même chose ? — Oui, ça va. — Mais tu en as plus ? — Non, la même chose que vous ».

Par contre, avec 4 éléments pour B₁ et 2 + 2 pour B₂ Lil reconnaît « la même chose. — Comment le sais-tu ? — Regardez. On peut faire comme ça (deux carrés dont les boutons donnent les 4 angles). Alors j’ai pas plus ».

Tac (6 ; 3) 11 = 11 (correspondance optique). « C’est la même chose. — Et ça (3 + 3 + 5 et 11) c’est encore la même chose ? — Mais non, vous en avez plus ! — Comment faire pour que ce soit la même chose ? — Je peux m’en donner encore (il en prend 7 dans la boîte, en aligne 3 à côté de 11 et rend le reste, d’où 14 = 3 + 3 + 5) Oui, c’est la même chose, je crois. — Autant de boutons ? — Oui ». De même, pour 5 et 3 + 2 il rajoute 1 aux 5 pour égaler 3 + 2 « C’est la même chose ? — Oui. — Si tu voulais en avoir plus que moi, tu prendrais ça (6) ou ça (3 + 2) ? — Ceux-là (3 + 2) parce que c’est quand même un peu plus ! »

[p. 98]Iwa (6 ; 0) nous montre que les sujets de ce niveau croient moins à la numération orale qu’à la correspondance optique. On débute par 5 = 5 (correspondance optique). Lorsqu’on écarte les éléments de l’une des rangées, il nie l’égalité « parce que c’est plus long, c’est plus. — Mais y a-t-il plus de boutons ? — Oui, plus de boutons. — Tu sais compter ? — Oui, jusqu’à 12. — Alors compte-les. — (Il les compte en les touchant un à un du doigt) C’est 5 et 5. — Alors j’ai la même chose que toi (rangée plus courte) ? — Non, moins. — Combien ? — 5. — Et toi ? — 5. — Alors on a la même chose ? — Mais non, regardez (il montre les longueurs). — Je ne sais pas, moi. — Regardez, je peux faire une maison avec les miens (il les dispose en pentagone) Et puis avec les vôtres (il s’attend à ce qu’il n’y en ait pas assez, puis s’arrête consterné) Aussi ! — Alors, qu’en penses-tu ? — Comme ça (!) c’est la même chose ».

Il s’agit maintenant de chercher à déterminer (I) si les actions de l’enfant et les énoncés auxquels elles donnent lieu sont de nature logico-mathématique ou physique puis (II) s’ils sont synthétiques ou analytiques.

I. (1) Sur le premier point, notons d’abord une réaction qui semble à la fois générale et claire l’enfant cherche constamment à évaluer la pluralité des objets, et cela en termes d’égalité entre les deux collections (« les deux la même chose » Lil, « c’est la même chose, je crois » Tac) ou de plus (« vous avez plus », « c’est quand même un peu plus », etc.) et de moins (« j’ai moins que vous », etc.).

(2) Mais cette quantification ne repose pas encore sur la numération parlée, même quand les nombres en jeu sont inférieurs aux noms de nombre connus de l’enfant : c’est ainsi que dans l’expérience de contrôle destinée à vérifier ce point Iwa compte (en touchant du doigt) 5 d’un côté et 5 de l’autre, mais conclut qu’il a moins parce que sa rangée et plus courte.

(3) Le procédé d’évaluation de la quantité auquel l’enfant se fie le plus est la « correspondance optique », c’est-à-dire la correspondance un à un entre éléments de deux figures de forme semblable et de mêmes dimensions, ce qui permet d’effectuer une comparaison perceptive immédiate constatant la correspondance : c’est le cas, pour tous les sujets, de deux rangées superposées avec éléments correspondants en regard les uns des autres ; c’est encore le cas lorsque l’on déplace une des deux rangées sans modifier sa longueur après qu’elles aient été [p. 99] superposées ; c’est enfin le cas chez Lil pour le carré et chez Iwa pour deux « maisons » pentagonales (dont il dit « comme ça c’est la même chose » après avoir nié l’égalité 5 = 5 en nombres verbaux !).

(4) Par contre, il suffit d’allonger l’une des deux rangées initialement en correspondance optique pour que l’égalité soit niée (« parce que c’est plus long, c’est plus » Iwa).

(5) Enfin et surtout le sujet évalue la quantité à la grosseur des « tas » et à leur nombre : pour Lil 5 + 2 ne sont plus égaux à 7 parce que « vous avez deux petits tas et moi j’ai qu’un petit tas » ; etc.

(6) De tous ces faits, il ressort qu’à ce niveau la forme est fort peu différenciée de son contenu. La forme la plus différenciée est le schème de la correspondance optique, qui est transposable dans les cas de rangées de même longueur. Ce schème est déjà complexe puisqu’une correspondance optique résulte de la coordination de multiples actions « appliquant » ⁸ un terme sur un autre. Néanmoins une telle forme est encore, à ce niveau, étroitement dépendante de son contenu, puisque la correspondance est niée dès qu’elle n’est plus optique (allongement d’une rangée, etc.). À plus forte raison, l’évaluation de la quantité par la grosseur des « tas » constitue une forme encore moins différenciée, etc.

(7) Néanmoins, nous devons considérer l’égalité, le plus et le moins, c’est-à-dire les trois résultats possibles de ces coordinations en voie de différenciation, comme constituant des propriétés de type I (Df. 16), puisque : (a) sans un sujet qui effectue une correspondance optique entre deux collections, ces collections sont égalisables mais non égalisées ni par conséquent égales ; et que (b) ces propriétés ne modifient pas les caractères antérieurs de l’objet (ce sont les actions physiques d’espacer ou de diviser, etc., les collections qui, selon l’enfant, modifient la quantité caractérisant celles-ci, mais l’action d’évaluer cette quantité (par correspondance, etc.) ne modifie en rien les propriétés antérieures des collections).

D’une manière générale, les termes d’égal, de plus et de moins sont relatifs à un schème de sommation, encore éloigné [p. 100] de la somme numérique et même de l’extension propre à la classe logique (puisque sans conservation on ne saurait encore parler de classe), mais qui y conduiront par filiation. Or, même ainsi peu différencié de son contenu qu’est ce schème initial de somme, il introduit une propriété de type I (Df. 16) dans les objets, puisque, sans un acte de réunion effectué par le sujet, cette somme n’appartient pas aux éléments physiquement donnés.

(8) Il en résulte alors que de tels résultats d’actions sont relatifs à leurs schèmes (Df. 18) et que ces actions sont déjà de nature logico-mathématique (Df. 20).

(9) Il subsiste néanmoins cette difficulté que les actions en jeu (du sujet ou de l’expérimentateur, mais, en ce dernier cas, avec possibilité de les suivre une à une du regard), sont des actions qui transforment physiquement les collections données, en les déplaçant en les allongeant (ou les raccourcissant) et en les scindant : en leur contenu ces actions sont donc physiques, au moins partiellement (Df. 17, 19 et 21). Au reste, la perception des objets en tant que solides, colorés, mobiles, etc. (ce sont des boutons) est naturellement une action de contenu physique, etc. aussi, de même que la perception proprioceptive des mouvements propres du sujet, ou que la perception visuelle des mouvements de l’expérimentateur, etc.

(10) Mais le problème que se pose l’enfant, ou qu’il accepte de se poser à la demande de l’expérimentateur, n’est pas un problème physique tel que de décrire ou d’expliquer le passage d’une forme à une autre : il reste constamment (voir 1) un problème d’estimation de la quantité des objets, et qui, répétons-le (voir 7), porte sur des propriétés de type I introduites par l’action (correspondance, évaluation des « tas », etc.) dans l’objet, en plus des modifications physiques indiquées sous (9).

II. (11) Pour établir maintenant si ces actions ou coordinations logico-mathématiques naissantes sont analytiques I ou II, ou synthétiques I ou II, au sens des Df. 28-31, il nous faut chercher jusqu’à quel point le résultat de ces coordinations est déterminé par la signification des actions qui les composent (Df. 28) et il nous faut d’autre part essayer de doser la part respective des inférences et des constatations dans les coordinations dont le résultat est ainsi déterminé (Df. 30). Or, nous [p. 101] nous trouvons, à ce niveau élémentaire, en présence d’un ensemble extraordinairement complexe de réactions qui, du point de vue de l’observateur adulte ne s’impliquent pas logiquement les unes les autres, de telle sorte qu’il est fort difficile de pratiquer ces coupures. Par exemple, quand l’enfant juge égales deux rangées présentées en correspondance optique (tandis qu’à un niveau encore inférieur, non réétudié ici, il se contente de juger égales deux rangées dont il constate la coïncidence des extrémités ; et tandis qu’au présent niveau encore il cesse de considérer égales deux rangées d’abord présentées en correspondance optique, mais dont on espace ensuite les éléments de l’une), est-ce là une coordination dont le résultat (égalité) est déterminé par la signification des actions composées (association de chaque élément d’une rangée à un élément de l’autre), donc un exemple d’analytique I, ou ce résultat est-il déjà déterminé par inférence à partir de ces significations (analytique II), ou encore le fait que la correspondance demeure optique et que l’équivalence se détruise avec l’espacement atteste-t-il le caractère encore synthétique (I et II) de cette action composée ? Mêmes problèmes pour le passage de la correspondance par superposition à l’égalité de deux rangées en prolongement, etc., etc.

(12) Étant donnée l’indifférenciation relative de la forme et du contenu qui subsiste à ce niveau (voir I 6), on pourrait soutenir que, dans la mesure où une coordination est achevée, elle est analytique I ou même II, tandis que dans la mesure où elle est inachevée, l’action physique d’abord et la constatation ensuite restent nécessaires pour assurer les liaisons et lui confèrent en ces cas un caractère synthétique. La première tâche à accomplir est donc de déterminer à partir de quel point on peut parler de coordination ou d’actions composées, ce qui permettra également de juger du rôle des significations (voir Df. 10 et Critère).

(13) Pour distinguer la coordination entre deux actions de ces actions elles-mêmes et pour juger de l’achèvement ou de l’inachèvement des coordinations, la méthode la plus simple consiste alors à comparer ce qui est coordonné au cours de ce stade à ce qui ne l’était pas aux stades précédents et ce qui reste incoordonné au cours de ce même stade à ce qui sera coordonné au cours des stades suivants : d’un tel point de vue, [p. 102] nous constatons par exemple que la correspondance optique constitue bien une coordination puisqu’à un niveau antérieur (non réexaminé ici) l’enfant se contente, pour juger équivalentes deux rangées d’éléments, d’une estimation perceptive de la longueur de ces rangées sans s’occuper de leurs densités, donc de la correspondance (même optique) ; nous constatons, d’autre part, qu’à ce niveau I, l’égalité des nombres n’entraîne pas celle des quantités (Iwa), que la correspondance optique entraîne bien la conservation de l’équivalence si l’on déplace une rangée en prolongement de l’autre sans l’allonger, mais qu’elle ne l’entraîne pas si l’on allonge cette rangée (même en positions superposées), et surtout que l’équivalence B₁ = B₂ se détruit sitôt la collection B₁ répartie en deux sous-collections A₁ et A’₁. Or, en chacun de ces derniers cas, l’absence de coordination ou la coordination incomplète propres à ce stade I ne sont que momentanées, puisqu’au cours des stades suivants chacun de ces mêmes cas donnera lieu à une coordination s’accompagnant finalement d’inférences considérées même comme nécessaires par le sujet.

(14) En ce qui concerne le premier point, soit la correspondance optique, il s’agit donc évidemment d’une coordination d’actions, soit que l’enfant construise lui-même manuellement la correspondance par association terme à terme, soit que par inspection de la figure il reconnaisse le produit d’une telle construction (qui lui est familière). Mais faut-il en conclure que le résultat de cette coordination, soit, l’égalité des collections correspondantes, est connu du sujet par inférence et constitue par conséquent une liaison analytique II ? Il intervient certes un élément d’inférence dans cette connaissance du résultat de coordination, puisqu’à un niveau inférieur la lecture perceptive de la correspondance n’intervient pas encore et que l’indice perceptif « même longueur » suffit à l’égalisation. Mais il est clair que cet élément d’inférence est encore enrobé dans une constatation et cela dans la mesure précisément où la correspondance demeure optique et cesse d’assurer l’équivalence dès que l’une des rangées est légèrement allongée par rapport à l’autre (Iwa). Nous sommes donc en présence d’un composé d’inférence et de constatation, ce qui selon nos Df. 28-31 exclut l’analyticité II, mais comporte déjà un aspect partiellement analytique qui se rapproche de l’analyticité I.

[p. 103] (15) Quant au passage de la correspondance optique entre rangées superposées à la correspondance optique entre rangées se prolongeant l’une l’autre, il va de soi qu’il comporte un élément inférentiel puisque la correspondance propre à la seconde situation ne peut plus être vérifiée par inspection immédiate comme c’est le cas par superposition. Cependant cette inférence, déjà plus poussée, n’est pas encore pure, puisque le sujet n’admet la conservation de l’équivalence que si la rangée déplacée n’a pas changé de longueur et que ce dernier point est vérifié par constatation. Ici encore il y a donc mélange mais cette réaction se rapproche davantage de l’analytique II.

(16) Avec la division de la rangée en deux sous-collections, par contre (comme avec l’allongement simple de l’une des rangées antérieurement correspondante), la part de l’inférence se réduit, sans être nécessairement annulée, et celle de la constatation croît (bien qu’il s’agisse d’une négation de la conservation ou de l’équivalence). Mais c’est ici qu’il faut se demander s’il s’agit encore de coordinations d’actions ou si le rôle croissant de la constatation est exclusivement l’expression de la diminution des coordinations. Or, d’une part, il y a filiation entre les réactions ultérieures où la collection B sera considérée comme nécessairement égale à A + A’ et ces réactions élémentaires où B se transforme en (A + A’)> B. D’autre part, l’enfant ne pense nullement que B s’annule pour céder la place à deux sous-collections A + A’ qui surgiraient du néant : il considère que B se retrouve en A + A’, mais avec augmentation au cours du partage. Autrement dit nous sommes bien en présence d’une coordination, mais qui n’est pas encore immédiate et qui s’appuie pas à pas sur des constatations (celles-ci étant d’ailleurs en partie erronées) : c’est donc la coordination comme telle qui est ici en partie synthétique (synthétique I faute d’analycité I et II).

(17) Il reste enfin la liaison paradoxale dont on trouve un exemple chez Iwa entre l’égalité numérique 5 = 5 s’accompagnant d’une inégalité quantitative B₁ > B₂ entre B₁ = 5 et B₂ = 5 ! Notons d’abord que le paradoxe s’explique par le fait que les noms de nombre ne correspondent pas encore à des nombres opératoires (inclusion des classes 1 < 2 < 3… et sériations des unités 1 → 1 → 1… réunies en un même système cardinal et ordinal), mais expriment simplement une individualisation des éléments. [p. 104] Les affirmations d’Iwa se réduisent donc à cette proposition que la quantité totale d’une collection n’équivaut pas à la somme de ses éléments, ce qui montre bien la nature encore en partie perceptive des schèmes utilisés (d’où la construction de la figure pentagonale dont Iwa se sert ensuite pour vérifier l’égalité et qui lui paraît beaucoup plus significative que l’énumération des noms de nombre). Or, ici encore, nous sommes en présence d’une coordination inachevée entre les nombres verbaux et la quantité, comportant un mélange d’inférence et de constatation, ce qui exclut toute analyticité I ou II.

Conclusion. Chacun de ces cas comporte, à des degrés divers, un mélange d’inférence et de constatation. Mais ces constatations ne sont jamais purement perceptives et englobent toujours un élément inférentiel. Quant aux inférences elles ne se suffisent pas non plus à elles seules et s’appuient presque sans discontinuer sur les constatations. Chacune de ces coordinations comporte, en outre des résultats relatifs à la signification des actions elles-mêmes mais en référence, à des degrés divers, aux propriétés des objets. Comment donc classer ces réactions du point de vue de nos Df. 28 à 31 ?

L’un de nous (Apostel) estime en ces conditions que nous nous trouvons ici en présence d’un tertium, lequel ne serait pas un intermédiaire mais une variété impossible à classer sur notre échelle. En effet, d’une part, l’enfant ne traite pas les boutons comme des objets quelconques, mais des objets physiques avec lesquels on peut construire des « trains » (rangées) ou des « maisons » (figure pentagonale de Iwa) ; mais, d’autre part, l’enfant accepte d’évaluer les sommes, de compter, etc., autant actions qui ne portent pas sur des propriétés de type II mais bien de type I. Deux autres raisons font encore croire au caractère non-physique qu’a pour le sujet notre problème : l’uniformité de ses réactions et le fait qu’après avoir nié la conservation de tout B, le sujet ne cherche jamais où est passé l’un des éléments disparus ou d’où l’un des nouveaux apparus peut provenir ; on dirait que l’enfant ne raisonne pas en ce cas sur les éléments en tant qu’objets physiques, mais sur la totalité en tant que somme sans que pour lui une affirmation sur cette totalité entraîne logiquement une prise de position quant à la conservation de chaque élément. Le problème que l’enfant accepte ne serait donc ni un problème purement physique ni un problème [p. 105] portant uniquement sur une propriété de type I (à cause du rôle des configurations perceptives voisines des « gestalt » et du fait que les quantifications du sujet sont plus près de la numérosité perceptive que du nombre). D’autre part, malgré ce rôle des constatations perceptives, l’enfant conclut à la non-conservation par une sorte d’inférence directe sans vérification : il est immédiatement certain qu’il y a changement (comme si « y a-t-il encore autant de boutons ? » signifiait « cela paraît-il encore perceptivement égal ? »). En bref, de telles réactions constituerait ainsi un tertium à partir duquel naîtrait, par filiation discontinue, le traitement synthétique du problème au stade II et son traitement analytique au stade III, nos dichotomies (Df. 20-21 et 28-31) n’étant donc pas entièrement exhaustives.

Mais tout en reconnaissant pleinement le caractère relativement indifférencié des conduites de ce stade, d’autres d’entre nous considèrent que la reconnaissance d’un tertium conduit nécessairement à celle d’intermédiaires. Deux constatations s’imposent à cet égard. La première est que les réactions de l’enfant concernant notre problème ne sont jamais purement perceptives et que, même dans les cas où elles se rapprochent le plus de la « numérosité » à laquelle se limite la perception, il y a déjà un choix parmi les indices perceptifs possibles et une interprétation en partie inférentielle : c’est jusque dans cette région intermédiaire entre la perception et la représentation qu’il convient alors de faire remonter la distinction des propriétés de type I et de type II, même si une même action composée fait intervenir les deux. Mais surtout une seconde constatation semble devoir rendre inopérante la solution d’un tertium global : c’est que les sujets de ce stade ne réagissent nullement de la même manière aux divers types d’arrangements ou de réarrangements que comporte notre expérience : la correspondance optique donne toujours l’égalité (mais enveloppe une constatation), le passage de la superposition des rangées à leur disposition en prolongement donne presque toujours l’égalité (avec une intervention nette d’inférence), la subdivision ou l’espacement des rangées détruit toujours l’égalité et l’égalité des nombres n’implique pas celle des sommes en dehors de la correspondance optique. En ces conditions, il faut introduire des gradations dans le tertium lui-même, ce qui montre bien son [p. 106] caractère de réunion d’intermédiaires, et l’on peut alors conclure comme suit : bien que demeurant toutes plus ou moins synthétiques dans la mesure où leur résultat n’est pas entièrement déterminé par la signification des actions qui les composent ni par inférence à partir de ces significations, ces actions composées sont cependant les unes plus éloignées et les autres plus rapprochées de l’analytique I et même II. Tandis que le lien entre le nombre et la somme ou quantité totale n’est pas analytique (d’où les non-conservations en cas de division ou d’espacement des rangées), la correspondance optique l’est davantage (sur le terrain restreint de la configuration en question, l’égalité des rangées correspondantes est entièrement déterminée par la correspondance élément à élément), et le passage de la correspondance par superposition à la disposition en prolongement se rapproche même de l’analytique II (cf. l’inférence « parce que c’est les mêmes » de Lil). Autrement dit les positions absolues de ces réactions sur notre échelle restent difficiles à préciser, mais que l’on déplace ces positions en reculant dans la direction du synthétique ou en avançant dans celle de l’analytique, on est bien obligé de reconnaître une certaine gradation (simple ou à plusieurs dimensions).

Les sujets de ce stade II continuent de ne pas considérer comme nécessaire la conservation de la collection B lors de sa répartition en sous-collections A + A’, etc. Mais la nouveauté par rapport au stade I est que le sujet, sans affirmer d’avance l’égalité B = A + A’, ne la nie pas non plus et éprouve le besoin de se décider pour ou contre en comptant les éléments : l’égalité des nombres le convainc alors, pour ce qui est des petites collections, de celle des quantités, ce qui n’était pas le cas des sujets du stade I. La numération acquiert ainsi une nouvelle signification, ou, ce qui revient au même, un nouveau processus inférentiel permet au sujet de conclure du nombre à la quantité. Mais cette inférence reste encore très courte, puisque au cours [p. 107] du sous-stade II A, on constate que : (1) le sujet après avoir compté B et A + A’ (pour constater l’égalité B = A + A’ ne croit plus à l’égalité si l’on change les valeurs de A et de A’ ou que l’on répartit B en sous-collections plus nombreuses : il a alors besoin de redénombrer le tout ! Et (2) la numération elle-même ne suffit plus à assurer l’égalité B = A + A’ (autrement dit l’égalité des nombres n’entraîne plus celle des quantités) dès que B prend une valeur supérieure à n = 15 ou 20. Au cours du sous-stade II B, par contre, le sujet n’est plus limité par la condition (1), c’est-à-dire qu’après avoir constaté, pour un petit nombre, que B = A + A’ il maintient cette égalité lors des modifications de A et de A’ (sans pour autant se libérer de la condition (2), c’est-à-dire sans généraliser aux nombres >15 ou 20).

Voici un exemple du sous-stade II A :

Bert (7 ; 6) Correspondance entre deux rangées superposées de 7 et 7 puis on met un écran ⁹ après inspection rapide : « C’est la même chose ? — Et maintenant (3 + 4 et 2 + 2 + 2 + 1 avec écran après vision brève) ? Tu vois je n’enlève pas de boutons, mais je les arrange autrement. — Je n’ai pas bien vu. — Mais on peut savoir si ça fait la même chose ou pas ? — Il faut compter (on enlève l’écran : Bert compte). Oui, ça fait 7 et 7. — Et maintenant (on transforme sous les yeux du sujet en 3 + 2 + 2 et 2 + 2 + 2 + 1 puis on met l’écran) ? Ça fait toujours la même chose ? — Je n’ai pas compté, alors je ne sais pas. — C’est nécessaire de compter ? — Oui. On peut peut-être calculer, mais je n’ai pas encore appris ça. — Qu’est-ce qu’il y avait sous le carton ? — 7 et 7. — Et maintenant combien penses-tu ? — Si on pouvait les compter, ça serait 7, mais je ne sais pas. — On est sûr que c’est resté 7 ? — Peut-être. Non, on n’est pas sûr. — J’ai ajouté des boutons ? — Non. — J’en ai enlevé ? — Non. — Alors il faut compter pour savoir si c’est resté 7 des deux côtés ? — Pour savoir, oui, il faut compter ! — (On découvre). Alors, regarde. — (Il compte soigneusement) Oui, c’est la même chose aux deux ».

Mêmes réactions ensuite pour 12 et 12. Le sujet les compte, puis, pour 12 et 3 + 9 il doute de l’égalité (on n’a donc rien relevé ni ajouté) et déclare qu’« On ne peut pas savoir sans compter ». Il vérifie, puis on passe à 23 et 23 : il les compte puis, pour (23 et 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 3, sans écran) il nie l’égalité : « Il y a plus ici (côté des petits tas). — Tu en sûr ? — Non. Il faut [p. 108] les compter (il compte à nouveau) : 23 et 23. — Alors il y en a plus chez toi (petits tas) ? — Oui, c’est plus. — Mais c’est 23 des deux côtés ? — Oui. — Alors c’est la même chose ? — Non, c’est quand même plus, je crois. — Alors mets ce qui manque. — (Il rajoute 5 à la rangée unique de 23 !) ».

Et voici deux exemples du sous-stade II B (égalité des deux collections B et A + A’ nécessitant un dénombrement et limitée aux petites collections <20, mais pas de nouveau dénombrement lors des modifications de A et de A’) :

Mau (7 ; 0) 7 et 7 avec écran : « C’est la même chose. J’ai vu parce qu’ils étaient tout près (correspondance optique par superposition). — Et maintenant (7 et 5 + 2 avec écran après vision rapide) ? — Je ne sais pas. — Et avant, c’était la même chose ? — Oui, parce que c’était tout près (en correspondance optique). — Et si j’enlève le carton, tu sauras ? — Je vous dirai parce que je compterai. — Voilà (on découvre). — Là ça fait 7 et là 7 aussi.

Correspondance optique (superposition) entre 12 et 12 puis écran : « C’est la même chose. — Et maintenant (12 à droite et 12 à gauche sans modifier les longueurs) c’est toujours la même chose ? — Bien sûr ! — Et maintenant (12 et 10 + 2, sans écran) ? — (Il compte à voix basse). Toujours la même chose. — Comment l’as-tu su ? — J’ai compté. — Et comme ça (12 serrés et espacement des 10 et 2) ? — C’est toujours la même chose. Ou bien, attendez (il se met à compter). Oui, c’est la même chose. — C’était nécessaire de compter ? — Non, on pourrait savoir, mais c’est plus sûr. »

Grands ensembles (23) : « Ça fait 23 des deux côtés. — Et comme ça (23 et 5 + 5 + 5 + 8, sans écran). — Chez moi il y a plus. — Combien ici ? — 23. — Et là (compte-les 5 + 5 + 5 + 8) 23. Ça fait le même nombre, mais… (!) ».

Bov (7 ; 2). Mêmes réactions pour 7 et 7. Pour 16 en carré et 16 en cercle (après avoir constaté l’égalité 16 = 16 entre les deux rangées superposées), il recompte 16 et 16 : « Et comme ça (on serre en un tas les éléments du cercle) ? — Je pense que c’est toujours la même chose parce que ça doit encore être 16 ici et 16 ici aussi. » Mais pour 17 déjà il conteste, après avoir compté les rangées initiales, que 17 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 (sans écran) : « Qu’est-ce qu’il y avait avant ? — 17 et 17. — Et maintenant ? — Je ne sais pas, ça pourrait être plus ici ».

Examinons ces réactions du double point de vue de leur nature logico-mathématique ou physique (I) et analytique ou synthétique (II) :

[p. 109] I (1) Tout ce qui a été dit au § 13 (I 1 à I 10) reste valable des réactions des sujets de ces sous-stade II A et II B pour les collections supérieures à B = 15 ou 20 (par exemple 23 chez Bert et Mau et 17 chez Bov). Pour les collections de cette valeur la forme (le schème de la somme) reste relativement indifférenciée du contenu (cf. § 13, I 7) et l’égalité des nombres n’entraîne pas encore celle des quantités (cf. § 13, I 2).

(2) Par contre pour les petites collections (<17 ou <23), la forme quantitative se dissocie davantage de son contenu, puisque l’enfant admet que l’égalité des nombres (parlés) entraîne celle des quantités.

(3) Il convient donc d’analyser cette signification du nombre, appliqué à des collections d’objets solides. Mais il est nécessaire de distinguer deux sortes d’énoncés : (a) « Cette collection B a tel nombre », par exemple B = 7 ; et (b) « Cette sous-collection A₁ plus cette sous-collection A’₁ font le même nombre que cette collection B₂ si B₂ = B₁ et si les parties A₁ et A’₁ épuisent la collection B₁ », par exemple 5 + 2 = 7 chez Mau, ou 3 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 1 chez Bert.

(4) Sur le premier de ces deux points (I 3 a) on pourrait être tenté d’appliquer les résultats de l’analyse de Campbell selon laquelle l’affirmation qu’une certaine collection empirique a un nombre n présuppose qu’une certaine opération de mesure a pu être appliquée à cette collection ; or cette mesure implique que cette collection présente certaines propriétés physique telles que certaines opérations physiques effectuées sur cette collection ont les propriétés de certaines opérations mathématiques (quant aux mathématiques pures, elles sont indépendantes de tout énoncé de la forme « telle collection d’entités a tel nombre », si ces entités sont empiriques). Mais la grande différence entre la situation décrite par Campbell et la situation des sujets de ce stade II (II A ou II B) est qu’en cette dernière il n’existe encore ni mathématiques pures ni opérations de mesure (si l’on admet que la mesure implique une unité). Il importe donc, dans une perspective génétique, de ne pas considérer le dénombrement d’une collection comme ayant la même signification qu’à un niveau où les premières propositions de mathématique pure pourront être différenciées de leurs applications : ce sont au contraire les actions de dénombrement [p. 110] de collections empiriques qui sont au point de départ des futures opérations mathématiques pures, la question subsistant naturellement de déterminer par quelles transformations et différenciations celles-ci parviendront à se dégager de celles-là. Sans nous prononcer sur la valeur de l’analyse de Campbell en ce qui concerne la pensée scientifique de l’adulte, nous ne saurions donc l’appliquer telle quelle aux niveaux élémentaires.

(5) Ce qui constitue le progrès du stade II A par rapport au stade I consiste alors simplement en ceci. Au niveau I le sujet pouvait (même dans le cas des petites collections) assigner le même nombre à deux collections, et était donc déjà capable de la coordination a (voir dans le présent § le point I 3 a), mais il n’en concluait pas que ces deux collections présentaient de ce fait la même quantité (voir I 3 b) dans le cas où l’une des collections formait un seul tout et l’autre deux sous-collections : autrement dit les nombres verbaux lui servaient simplement à individualiser les éléments des collections, mais, de la constatation que deux collections pouvaient donner lieu à la même individualisation (par exemple 5 et 5 chez Iwa au § 13), ils n’en inféraient pas que les sommes respectives de ces deux collections étaient les mêmes. Au contraire, les sujets des niveaux II A et II B concluent directement (mais pour les petites collections seulement) de l’identité des individualisations à celle des sommes (donc de la numération parlée à la quantité) ; mais, si modeste que soit ce progrès, il est considérable si l’on se réfère à l’étonnante indifférenciation propre au niveau I (voir chez Bert 3 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 1 déjà cité sous I 3 b).

(6) D’un tel point de vue, il est clair que le dénombrement d’une collection (I 3 a) acquiert une importance nouvelle et que, tant ce dénombrement que l’égalisation des sommes respectives de deux collections (I 3 b), rentrent dans les coordinations définies comme logico-mathématiques (Df. 20), même si le contenu des actions coordonnées est en partie physique (Df. 21). La liaison nouvellement conquise entre le dénombrement et la somme quantitative marque en particulier un progrès dans la différenciation de la forme et du contenu et un renforcement des propriétés de type I introduites par l’action dans l’objet (Df. 16).

[p. 111] (7) Par contre, de ce que deux collections soient jugées égales (par correspondance optique ou par dénombrement), il ne résulte pas encore qu’elles le demeureront lorsqu’elles seront réparties en sous-collections ou modifiées en leur forme : en ces deux dernières situations elles sont alors dénombrées (pour la première fois ou à nouveau) pour juger de l’égalité. Au niveau II B, il s’y ajoute ce progrès que les petites collections une fois dénombrées conservent leur nombre et leur quantité lorsqu’on les divise ou les modifie (mais cette conservation cesse à partir d’un certain nombre, comme 23 chez Mau et 17 chez Bov). On voit ainsi clairement en quoi la conservation naissante dérive de la propriété (de type I) de somme, liée dorénavant au dénombrement lui-même : cette conservation de la somme constitue donc bien, dès sa forme initiale la plus limitée, le produit d’une coordination logico-mathématique et non pas ou pas exclusivement d’actions portant sur les propriétés physiques de l’objet (Df. 16-17 et 20-21).

II (8) Pour juger maintenant de l’analycité ou de la synthéticité de ces coordinations, il convient d’abord de relever le fait que cette nouveauté propre aux débuts du stade II, que le dénombrement permet de quantifier les sommes respectives des collections en jeu, résulte d’une signification attribuée au dénombrement de façon dorénavant immédiate : tandis qu’au stade I le sujet ne reliait l’égalité des nombres à celle des sommes qu’en cas de correspondance optique, désormais la première égalité entraîne ou signifie la seconde pour toutes les configurations (semblables ou dissemblables, dans le cas des petites collections). Il y a donc là un progrès dans la direction de l’analyticité I au sens de la Df. 28. Mais on se rappelle que ce progrès n’est pas encore étendu au cas des collections >15 ou 20, ce qui ne sera le cas qu’au niveau II C.

(9) Par contre, la conservation de la quantité (= de la somme), donc l’égalité A₁ + A’₁ = B₂ quand B₁ et B₂ ont été dénombrés et constatés égaux, ne résulte pas encore d’une inférence pure au niveau II A mais seulement au niveau II B (et, en ce cas, seulement pour les petites collections). Au niveau II A cette conservation, conçue comme possible, mais non comme nécessaire, requiert le contrôle obtenu par un nouveau dénombrement, tandis qu’au niveau II B celui-ci devient inutile : en vertu des Df. 28 à 31 nous dirons donc que l’affirmation de la [p. 112] conservation est encore synthétique II au niveau II A, en tant que supposant la constatation de l’égalité des nombres après subdivision de B₁ (B₁ et B₂ ayant été dénombrés et constatés égaux), tandis qu’elle est devenue analytique II au niveau II B pour les petites collections en tant que reposant sur l’inférence (« ça doit encore être là et ici aussi », dit, par exemple, Bov ce terme « ça doit » indiquant même le début d’un sentiment de nécessité logique). Mais, même au niveau II B l’affirmation de la conservation redevient synthétique II pour les grandes collections (« ça pourrait être plus ici » dit le même Bov pour n = 17 après avoir constaté que B₁ = B₂ = 17 !)

(10) Mais si, au niveau II B la conservation de la somme est ainsi assurée analytiquement une fois les dénombrements effectués, il n’en est pas encore de même quand les quantités de B₁ et B₂ ont été jugées égales par simple correspondance optique. En un tel cas si l’on répartit B₁ en A₁ + A’₁ le sujet n’est plus certain de l’égalité A₁ + A’₁ = B₂ et n’accepte l’égalité qu’après dénombrement. Mais s’il n’est plus certain de la conservation de l’égalité il ne la nie pas non plus et la reconnaît comme possible : on est donc, en cette situation, en présence d’une coordination en partie analytique II (dans la mesure où la conservation est inférée comme possible en se fondant sur l’égalité antérieure) et en partie synthétique II (dans la mesure où la constatation par dénombrement demeure indispensable pour la décision).

Conclusion. Bien qu’en accord dans les grandes lignes, les auteurs n’ont pu réaliser l’accord complet sur deux points importants.

Les uns voient dans les réactions de ce stade (comme d’ailleurs dans celles du stade I) la preuve qu’il existe des conduites logico-mathématiques non analytiques (ni I ni II) et des conduites logico-mathématiques analytiques I mais non analytiques II. Au contraire un autre d’entre nous considère qu’au cours de ce stade le problème est physique, pour l’enfant, mais portant sur des objets qui sont en fait des signifiants purs (des unités numériques) et que ce problème est résolu à l’aide d’actions qui sont, dans notre terminologie, analytiques mais qui ne collaborent pas encore analytiquement entre elles.

D’autre part, si nous sommes tous d’accord sur l’existence des intermédiaires (les sous-stades II A et II B), il n’y a pas [p. 113] convergence quant à leur interprétation. Tandis que pour certains d’entre nous ces intermédiaires constituent d’authentiques termes de passage entre le synthétique et l’analytique, un autre auteur attribue ces mêmes intermédiaires au manque d’exercice de la numération chez l’enfant. La difficulté de garder dans la mémoire une longue suite de nombres ferait que pour les grands nombres le dénombrement reste trop difficile et parfois faux (« Je me trompe toujours quand je compte » dit un de nos sujets, d’ailleurs à propos d’un dénombrement exact). Cela expliquerait alors pourquoi le sujet ne s’y fie plus, passé n = 15 ou 20 et l’énoncé « 30 boutons réarrangés continuent à être 30 boutons » aurait une autre signification que « 7 boutons réarrangés sont toujours 7 boutons ». Ces intermédiaires quantitatifs ne seraient donc pas intermédiaires au même titre que les intermédiaires qualitatifs que nous pouvons également rencontrer.

Mais, tout en reconnaissant volontiers le rôle partiel du facteur indiqué, les psychologues de l’équipe éprouvent quelque difficulté à y trouver une explication suffisante. L’enfant (voir Bert et Mau pour 23) ne dit pas « Je crois que c’est 23 des deux côtés, mais je n’en suis pas sûr (j’ai peur de me tromper, etc.) » ; il dit « Ça fait 23 des deux côtés » et cependant « chez moi il y a plus » ou « ça fait le même nombre, mais… » (voir surtout Bov pour qui cette régression se produit en passant de 16 à 17 !). Autrement dit, le doute de l’enfant ne porte nullement sur l’égalité des nombres : il porte exclusivement sur la question de savoir si cette égalité des nombres entraîne celle des quantités, ce qui était nié au stade I pour tous les nombres (sauf en correspondance optique, mais alors c’est le facteur de configuration qui assure l’égalité), et ce qui est nié aux niveaux II A et II B pour les nombres supérieurs à 16 (Bov) ou à 22 (Bert et Mau), tandis que c’est accepté pour les petits nombres ¹⁰. D’un tel point de vue le caractère quantitatif de ces intermédiaires est donc d’autant plus frappant : il montre combien graduelle est la constitution de l’analytique entre les niveaux I et III, les réactions des niveaux II A et II B préparant insensiblement celles des niveaux II C et III.

La seule nouveauté de ce niveau II C par rapport à II A et II B est qu’il n’y a plus de différence de réactions pour les collections de n < 20 et pour celles de n = 20 à 50 (ce qui ne prouve encore rien pour celles de 500 ou de 1000 !). En d’autres termes, après avoir constaté par correspondance l’égalité B₁ = B₂, le sujet est prêt d’admettre lorsque l’on partage B₁ en A₁ + A’₁ ou B₂ en A₂ + A’₂ que l’on aura A₁ + A’₁ = B₂ ou = A₂ + A’₂. Mais il n’en est certain qu’au moment du contrôle par dénombrement. Il a y donc là un exemple typique de ces situations psychologiquement intermédiaires entre la constatation et l’inférence, ou, plus précisément un exemple de processus semi-inférentiel, tenant déjà suffisamment de l’inférence pour permettre d’anticiper le résultat mais non encore assez pur pour permettre de conclure avec nécessité. C’est pourquoi nous croyons utile d’insister sur les faits de ce sous-stade II C qui nous paraissent particulièrement révélateurs des situations génétiques auxquelles s’appliquent difficilement les dichotomies logiques !

Pit (7 ; 8) 7 et 7 montrés un court instant : « C’est la même chose de boutons. On y voyait bien (par correspondance optique) ! ». On déplace une rangée devant lui, qu’il compte, l’autre rangée restant sous l’écran. « Tu vois, maintenant je rajoute 4 aux tiens et 4 aux miens. — Alors, ça fait 11 sous le carton (addition spontanée). — On a 11 des deux côtés ? — Oui. — Ça fait la même chose de boutons ? — Oui, bien sûr ! — Et comme ça (5 + 5 + 1 sous l’écran, enlevé un court instant, et 6 + 5 devant l’enfant), c’est encore la même chose ? — J’sais pas, alors… — Moi, j’ai combien ? — Attendez… comme avant, 11. — Et toi ? — 11 aussi. — L’un de nous a plus que l’autre, maintenant ou la même chose ? — Il faut compter pour savoir. — Moi j’ai combien (sans compter) ? — 11. — Et toi ? — 11 (sans compter). Oui, ça pourrait faire la même chose. — C’est la même chose ? — Ce n’est pas sûr, parce que… — Parce que quoi ? — … »

Pour 17, mêmes réactions. Il compte encore dans le cas 3 + 7 + 4 + 3 et 17.

Pour 31, mêmes réactions. « 15 + 16 = 5 + 6 + 7 + 6 + 6 + 1. — (Il compte) C’est la même chose. — C’est certain ? — Oui, [p. 115] quand on compte, mais quand on ne compte pas on ne peut pas savoir ».

Per (7 ; 8) et 7 avec écran, puis 1 + 3 + 2 + 1 et 7 : « C’est la même chose ? — C’est différent… [non], c’est encore 7. Qu’est-ce que tu penses ? — C’est peut-être (!) la même chose. — Pas sûr ? — Non, parce qu’il faut compter partout. »

Mêmes réactions pour 13 et 13. Par contre, pour 23 et 23 la conservation est devenue immédiate, par apprentissage en fonction des expériences précédentes (= niveau d’équilibration finale).

On constate la parenté de ces réactions avec celles des niveaux II A et II B, à cette différence près que le sujet étend ses coordinations aux grandes collections et commence à les étendre aux réarrangements par addition (ajouter 4 et 4 éléments aux 7 et 7 primitifs, etc.).

I (1) Du point de vue de la nature logico-mathématique des coordinations, on constate que le sujet, non seulement considère maintenant comme évident le passage du nombre à la somme (« 11 des deux côtés, ça fait la même chose ? » « Bien sûr » répond Pit) mais encore est capable d’opérations telles que 7 + 4 = 11 (Pit). Mais cette addition ne vaut encore que dans le cas des rangées d’un seul bloc, et, lors de leur subdivision en sous-collections, l’égalité A₁ + A’₁ = B₂ ou A₁ + A’₁ = A₂ + A’₂ n’est pas encore conçue comme se conservant nécessairement et n’est donc pas encore acceptée sans un nouveau dénombrement.

II (2) Du point de vue de la dichotomie analytique × synthétique, nous nous trouvons alors dans une situation intermédiaire eu égard aux Df. 28 et 29. Par exemple, lorsque Pit après avoir admis l’égalité des sommes 11 = 11 n’est plus certain de l’égalité des mêmes collections réparties en 5 + 5 + 1 et en 6 + 5, il parvient bien par inférence à supposer que l’on a « comme avant 11… (et) 11 aussi ». Il est donc capable d’anticiper par inférence le résultat de cette coordination des actions de subdivision et, en ce sens, sa prévision relève d’un processus analytique II (Df. 29). Seulement cette inférence n’est point encore assez pure pour conduire à un résultat considéré comme nécessaire (Df. 27 bis) : « oui, ça pourrait faire la même chose » dit Pit, mais « ce n’est pas sûr » (de même Per dit de 1 + 3 + 2 + 1 = 7 que « c’est peut-être la même chose »). Aussi le sujet éprouve-t-il toujours le besoin d’un contrôle par dénombrement : [p. 116] « il faut compter pour savoir ». En ce sens, la connaissance du résultat de la coordination, faute d’être entièrement inférentielle continue de s’appuyer sur une constatation, c’est-à-dire que cette coordination demeure en partie synthétique II (Df. 31).

(3) Dira-t-on que cet aspect synthétique provient uniquement du fait que ces sujets raisonnent sur des collections de boutons et sur la subdivision de ces collections par déplacement des éléments, tandis qu’ils raisonneraient par inférence pure s’il ne s’agissait que de nombres symboliques ? Mais du point de vue psychologique, c’est au contraire parce que l’inférence n’est pas encore possible à l’état pur, en s’appuyant exclusivement sur des symboles, que le sujet est obligé d’effectuer ses premières coordinations logico-mathématiques en agissant sur des objets. D’autre part, dès le stade III, la conservation de l’égalité A + A’ = B sera conçue comme nécessaire, même dans le cas d’opérations exécutées sur des objets, ce qui démontre suffisamment la libération progressive des processus inférentiels par lesquels nous définissons l’analytique complet (II).

(4) Dira-t-on, d’autre part, que les inférences sans nécessité logique sont dues au fait que l’enfant a simplement anticipé empiriquement un résultat futur d’après un résultat empirique passé, au lieu de commencer à considérer la conservation comme probable ? C’est la question posée par l’un de nous, qui, en cas d’affirmative, ne verrait pas alors dans cette réaction un terme de passage entre le synthétique et l’analytique II. Mais les psychologues de l’équipe, qui reconnaissent en cette inférence non nécessaire la réaction intermédiaire typique qui annonce la conservation opératoire font remarquer que quand l’enfant de ce niveau se livre à une inférence ou généralisation empiriques il n’a précisément pas cette prudence probabiliste. Au reste on ne voit pas pourquoi le problème de conservation deviendrait empirique au moment où va se constituer la conservation opératoire nécessaire (stade III).

(5) D’une manière générale ce niveau intermédiaire marque une étape importante dans la différenciation de la forme et du contenu et nous constatons chez le sujet Per l’apparition finale d’une conservation purement inférentielle (dans le cas des collections de n = 23). En ce cas l’analytique II pur se constitue [p. 117] par discontinuité relative (Df. 34) avec les réactions du niveau II C, dans la mesure où une rééquilibration succède aux conduites mixtes qui ont caractérisé les réponses antérieures de ce sujet.

Le stade III est celui à partir duquel une collection B peut être répartie de toutes les manières A+A’ sans pour autant cesser de correspondre à la même somme d’éléments, de telle sorte que le sujet est certain sans compter de cette conservation du tout. En un mot la structure opératoire est achevée sous sa forme inférentielle qui permettra aux sujets de se livrer dorénavant aux opérations arithmétiques sur des symboles purement numériques, sans l’appui d’objets matériels.

Mais lorsque le sujet parvient à la possession d’un instrument opératoire nouveau pour lui, il arrive souvent qu’il ne le maîtrise au début qu’après quelques hésitations et qu’il éprouve une sorte de scrupule à déduire sans contrôle, d’où la réapparition résiduelle de certaines esquisses de vérification par constatation. Nous allons donc commencer par citer deux de ces cas frontières (sous stade III A) :

Lil (8 ; 10) 17 = 17 (il compte) puis 17 et 1 + 4 + 7 + 4 + 1 « C’est la même chose ? — (Il recommence à compter). — Tu peux me dire sans compter ? — Non, c’est… Ah ! oui, on n’a pas changé, ça reste la même chose des deux côtés parce que ça fait toujours 17 ». 31 boutons en correspondance avec 31, puis répartition de la seconde rangée en petits ensembles : Lil se met à compter ; l’expérimentateur fait « Hum, hum… » ; Lil sourit : « Ah oui, c’est vrai, je n’ai pas besoin de compter. — Tu crois ? — Oui, c’est comme avant, il n’y a pas besoin de compter parce qu’on n’a rien changé ».

Gol (8 ; 11) 7 et 7 avec écran, puis 7 et 5 + 2 : « Ça fait aussi 7 puisque c’était la même chose (avant) » ; etc. Enfin 22 et 22 disposés en rangées correspondantes (ne compte pas). « Et comme ça (subdivision de l’une des rangées) ? — (Il se met à compter. On recouvre). Tu as besoin de compter ? Non, mais je me suis dit… — Que c’est plus sûr ? — Même pas ».

Voici enfin des exemples de cas francs du stade III (sous-stade III B) :

Got (8 ; 10) 7 et 7 puis 7 et 5 + 2 : « C’est toujours la même [p. 118] chose ? — Bien sûr. Si vous n’avez rien changé sous le couvercle, c’est toujours la même chose ».

Merk (9 ; 7) 23 et 23 (comptés) puis 23 et 8 + 6 + 9 : « II y a plus d’un côté ? — Mais non. — Tu as recompté ? — Il n’y a pas besoin de compter, c’est resté la même chose qu’avant. — Comment peux-tu le savoir ? — On n’a rien changé ; ça fait 23 parce que vous les avez tous laissés du même côté ».

Cette arrivée à l’état d’équilibre des réactions permet, comme c’est toujours le cas, de déterminer en quels termes se posait le vrai problème pour l’enfant ; ce qui nous conduira par le fait même à écarter une hésitation que nous aurions pu avoir quant à la portée des réponses des stades antérieurs. La non-conservation, lors de la subdivision des collections B en A + A’ aurait pu, en effet, avoir deux sens : (a) un sens relatif au déplacement des éléments en tant qu’objets : en déplaçant des boutons, certains d’entre eux peuvent s’anéantir ou d’autres se dédoubler, etc. ; (b) un sens relatif aux sommes des éléments : des unités différemment réparties peuvent donner lieu à des sommes différentes. Or, aucun des sujets du stade III ne justifie sa croyance à la conservation nécessaire en disant : « Ce n’est pas parce que vous avez déplacé les boutons qu’ils risquent de se détruire ou de se dédoubler ». Tous les sujets déclarent au contraire, sous une forme ou sous une autre « si vous n’avez ni enlevé ni ajouté aucun élément, la somme sera la même », ce qui présente un tout autre sens. Il suffit alors de se reporter au passage du stade I au stade II, c’est-à-dire à la découverte que le dénombrement constitue bien une détermination de la quantité totale, pour comprendre la signification de la découverte du stade III : cette quantité demeure invariante indépendamment des subdivisions. Après avoir été évaluée à la longueur des rangées, au nombre des sous-collections, au nombre des éléments, etc., cette quantité est maintenant conçue comme l’extension d’une classe (de la collection posée au début de chaque expérience), et comme une extension dont on sait d’avance qu’elle demeurera invariante sans plus avoir besoin d’un contrôle par dénombrement.

Nous pouvons donc conclure :

I (1) Du point de vue de la dichotomie du logico-mathématique et du physique, l’affirmation commune aux sujets de ce stade revient à dire : si l’on n’ajoute ni n’enlève aucun élément [p. 119] individuel, la somme de ces éléments demeure toujours la même (cf. Gol : « si vous n’avez rien changé sous le couvercle, c’est toujours la même chose », « rien changé » signifiant bien « rien ôté ni ajouté » puisque le sujet constate les déplacements). Il s’agit donc bien d’une coordination logico-mathématique au sens de la Df. 20.

(2) C’est cette conservation de la somme, en tant que résultat d’une coordination d’action qui permet au sujet de comprendre dorénavant les opérations portant sur des nombres symboliques, l’emploi de la numération verbale n’ayant point suffit jusqu’à ce niveau III à assurer les invariances nécessaires à toute opération logique ou arithmétique.

II (3) Il serait donc erroné d’interpréter cette invariance du tout comme le résultat de l’« application » d’une structure formelle à des données empiriques, ce qui entraînerait selon Feigl l’obligation de lui conférer un statut synthétique ¹¹. En effet, dans le cas de l’enfant (et du processus génétique entier qui caractérise la formation des structures logico-mathématiques), l’« application » des structures précède leur constitution à l’état de pures formes, ce qui signifie qu’il ne s’agit pas d’« application » mais d’une phase nécessaire de l’élaboration. C’est pourquoi nous avons été obligés de réadapter les définitions (Df. 1 à 31) pour les adapter au domaine de l’action qui précède celui de la pensée formalisée.

(4) Du point de vue des Df. 28 à 31, l’affirmation selon laquelle le tout reste invariant malgré ses subdivisions si aucun élément n’est ajouté ou enlevé est alors purement analytique II, en tant que ce résultat (invariance du tout) des coordinations est connu par pure inférence (Df. 26) et est considéré comme nécessaire (Df. 27 bis), sans aucun recours à la constatation ¹².

(5) Au reste des affirmations telles que 3 + 4 = 7 ou A + A’ = B sont universellement tenues pour analytiques (au [p. 120] sens de l’empirisme logique) : or, ce sont elles qui sont rendues possibles par ces réactions du stade III, à partir du moment où les propriétés du type I (Df. 18) peuvent être dissociées de tout objet matériel, tandis que ces mêmes affirmations ne pourraient se constituer sans l’intermédiaire des coordinations dont nous traitons maintenant et qui sont analytiques II au sens de la Df. 29.

(6) Encore un mot pour éliminer une objection possible. Le sujet du stade III a toujours besoin de faire une constatation (sur les actions de l’expérimentateur) pour apprendre qu’on n’a rien enlevé ni ajouté. On pourrait donc croire qu’il subsiste à cet égard un reste de synthéticité. Mais c’est particulièrement ici que nos définitions nous sont utiles (cf. Df. 16 et 17 et la Rem. b de la Df. 17) : les actions de l’expérimentateur deviennent pour le sujet les symboles de ce que sont les actions internes qui chez lui déterminent la signification des termes en présence, tout comme les boutons deviennent à partir du stade II des symboles d’unités quelconques. On peut donc dire que le problème, aussi bien que sa solution sont donc bien ici purement analytiques au sens I et II aussi bien que logico-mathématiques.

(7) Il y a donc filiation (Df. 32) entre les coordinations analytiques II du stade III et les coordinations analytiques I ou synthétiques II et I des stades II et I, de même qu’il y a filiation entre l’analytique symbolique (cf. point 6) et les coordinations du stade III.

(8) Du point de vue de la continuité, par contre, si l’on définit le synthétique II par le rôle de la constatation (Df. 25) et l’analytique II par celui de l’inférence (Df. 26) dans la connaissance du résultat d’une coordination d’actions, il existe un ensemble d’intermédiaires entre les deux termes puisque ce résultat peut être connu grâce à un mélange d’inférences et de constatations (stades I et II, notamment sous-stade II C). Par contre le moment de l’arrivée à l’inférence pure (stade III) est marqué par une discontinuité relative (Df. 34), comme en toutes les situations où un état d’équilibre stable succède (par rééquilibration due à des opérations réversibles) à des états de moindre équilibre (caractérisés par des simples régulations).

[p. 121]Conclusion ¹³. Il va de soi que si nous nous en étions tenus aux définitions classiques du synthétique (= énoncé réfutables par constatation) et de l’analytique (= énoncés vérifiables par inférence), nous eussions dû pratiquer d’autres coupures entre les deux domaines. Mais l’un des buts de cette recherche était de mettre en évidence l’existence de coordinations logico-mathématiques dont le résultat est cependant connu de façon synthétique, ce qui dissocie les deux dichotomies analytiques × synthétiques et logico-mathématiques × physiques. Au reste ce que nous avons observé chez l’enfant ne se retrouve-t-il pas en toutes les situations d’apprentissage d’un algorithme formel ? Quand un débutant en logique des propositions veut s’assurer que p|q est bien identique à p∨q ne lui arrive-t-il pas de procéder par constatations sur des dessins de cercles d’Euler ? Quand nos enfants raisonnent d’abord sur des configurations perceptives, ensuite sur des objets individualisés grâce aux noms de nombre (mais sans déduire l’égalité des sommes de celle des éléments) puis au moyen de structures de plus en plus inférentielles, ou bien l’on peut dire qu’ils font de la physique et ignorent toute mathématique, mais alors c’est de cette physique qu’ils tireront ultérieurement leur logique et leur mathématique, ou bien on peut dire qu’ils se livrent déjà à des coordinations logico-mathématiques, mais alors elles sont d’abord synthétiques pour n’aboutir à l’analytique que par progressions continues et discontinuités relatives.