Chapitre III. La flexibilité et les opérations intervenant dans la dissociation des facteurs 1 a 🔗

§ 1. Le stade I🔗

Pour comprendre en quoi les opérations formelles compléteront au niveau III les opérations concrètes, il est nécessaire d’établir au préalable ce que fournissent celles-ci et, pour cela, de décrire en premier lieu les réactions du niveau préopératoire I (jusque vers 7 ans). Or, ces dernières réactions sont simples : l’enfant se borne, pour toute explication, à décrire ce qu’il voit, et comme il ne dispose encore pour constater les faits, ni de classifications ni de sériations organisées, il complète ce qu’il voit par des liaisons précausales (finalisme, animisme, causalité morale, etc.) :

Ric (5 ; 0) met 200 gr sur la barre d’acier carrée de 40 cm : « Elle ne touche pas l’eau (les tiges à comparer représentent des « ponts » mobiles fixés à une planche qui figure une « route » et à l’extrémité de ces ponts se trouvent de petites poupées ou « pêcheurs » qui, suivant que les « ponts » plient suffisamment, arrivent au fil de l’eau). Il met ensuite la barre de laiton ronde de 7 mm², qui touche par contre l’eau. « Pourquoi ? — Parce qu’il est plus bas. » La barre d’acier ronde de 22 cm de long et 16 mm² : « Pourquoi ne touche-t-elle pas l’eau ? — Parce que la barre est trop haute. — Pourquoi reste-t-elle trop haute ? — Parce qu’elle est sur une planche (= fixée à une planche, mais elles le sont toutes I). — Mais pourquoi avec celle-là (laiton) et pas avec celle-ci ? — Parce que c’est trop petit (= courte). — Et pourquoi ça n’allait pas avec la première (40 cm) ? — Ça n’allait pas parce qu’il y a le bois (la planche de fixation)… à la deuxième aussi il y a le bois. On va ressayer (il recommence). Non ça ne va pas. — Alors ? — Parce qu’il est plus lourd et ça baisse dans l’eau. — Et ceci (nouvelle tige) ? — Ça ne va pas parce que c’est trop haut… », etc.

Huc (5 ; 5) après divers essais met 100 gr sur une baguette et attend comme si elle allait descendre après un moment. « Pourquoi les baguettes ne descendent pas toutes la même chose ? — Parce que le poids doit aller dans l’eau. » Il place ensuite 200 gr sur une grosse tige et 100 gr sur une fine : « Quelle est celle qui plie le plus ? — Celle-là (la fine). — Pourquoi ? — Le poids est plus gros ici (il montre 200 gr sur l’autre), ça doit aller dans l’eau. — (On met 200 gr sur la fine qui touche alors l’eau. Il rit.) Pourquoi ça a touché maintenant ? — Parce que ça doit. »

On voit que ces sujets se bornent en général à une simple lecture de ce qu’ils perçoivent : la tige ne touche pas l’eau parce qu’elle reste trop haut, ou elle touche l’eau parce qu’elle descend plus bas, etc. Il s’y ajoute du finalisme, de la causalité morale (« ça doit »), etc. Il s’y ajoute aussi un début de mises en relation, qui est d’un certain intérêt logique en ce sens que l’enfant se contente d’emboîtements trop larges, sans spécification. De même, en effet, qu’après avoir utilisé les définitions par l’usage correspondant au finalisme et à la causalité morale des explications primitives, l’enfant définit par le genre mais sans la différence spécifique (une maman c’est « une dame », sans référence à ses enfants), de même au niveau immédiatement supérieur à celui des explications précausales (dont ces sujets ne manifestent que des résidus) apparaissent des mises en relations objectives, mais selon des inclusions également génériques et non pas spécifiques. Ainsi Ric déclare qu’une certaine barre ne touche pas l’eau parce qu’elle est fixée à la planche, alors que celles qui touchent l’eau le sont également 3. Un instant après il reprend la même explication : « parce qu’il y a le bois (= la planche) », mais ajoute spontanément « à la deuxième aussi il y a le bois ». Huc, de son côté, pour expliquer qu’une barre fine plie plus qu’une grosse, se borne à remarquer que le poids le plus lourd est sur celle qui plie le moins, de telle sorte que toutes deux « devraient » (au sens moral plus que logique) aller dans l’eau ; et à la question de savoir pourquoi toutes ne plient pas de la même manière, il se borne aussi à invoquer la raison générale « parce que le poids doit aller dans l’eau ». On voit qu’un long chemin sépare encore cette sorte d’inclusion exclusivement générique, parce qu’antérieure aux opérations concrètes différenciées, de l’implication de nature formelle qui procédera des emboîtements propres à ces dernières.

§ 2. Le stade II A🔗

Avec l’apparition des opérations concrètes de classes et de relations, la lecture de l’expérience brute devient possible grâce à des classifications, sériations et correspondances cohérentes et différenciées, mais cela ne suffit nullement à assurer la dissociation des facteurs, c’est-à-dire à assurer l’organisation d’une expérience véritable :

Mor (7 ; 10) après avoir mis le bonhomme sur une baguette mince qui touche l’eau, dit : « Ça ne tombera pas la même chose avec celle-ci (épaisse) parce que l’autre est plus mince ». Il change ensuite de bonhomme : « Celui-là est moins lourd que l’autre », il place le bonhomme lourd sur une baguette courte et le léger sur une tige longue, en prévoyant que la courbe pliera plus « parce que Vautre bonhomme est plus léger que celui-là ». L’expérience ne confirmant pas cette prévision, il rallonge la baguette courte : « Ah ! avec la grosse il fallait faire comme ça », etc. On demande au sujet de résumer ce qu’il a trouvé jusque-là en sériant les baguettes par ordre de flexibilité : « Laquelle plie le plus ? — Celle-ci, parce qu’elle est plus mince. — Et puis ? — Celle-là (longue et fine, en métal). — Et puis ? — Celle-là (courte en bois). — Et puis ? — Celle-ci (plus épaisse) ; elle va avec le bonhomme (lourd). — Et puis ? — Celle-là (épaisse en métal) ; elle n’allait pas dans l’eau parce qu’il fallait faire ça (rallonger). »

Bau (9 ; 2) : « Il y en a qui penchent plus que d’autres parce qu’elles sont plus légères (il montre la plus mince) et les autres sont plus lourdes. — Montre-moi qu’une légère plie plus qu’une lourde (on lui donne une tige courte et épaisse, une longue et mince et une courte et fine). — (Il place 200 gr sur la longue fine et 200 gr sur la courte et épaisse, sans tenir compte du fait que la tige fine qu’il choisit est aussi la plus longue). Voilà. — Montre-moi que la longue plie plus que la courte. — (Il met à nouveau 200 gr sur les deux mêmes tiges et le résultat est censé prouver cette fois le rôle de la longueur). — Si j’enlève la longue tu peux comparer encore pour savoir si c’est la plus légère qui plie plus ? — Oui, ça et ça (les deux courtes, épaisse et fine). — Qu’est-ce qui est le plus juste, de comparer ces deux ou de comparer comme tu as fait avant ? — Celles-là (longue et fine, courte et épaisse). — Pourquoi ? — Elles sont plus différentes. »

Ces deux cas suffisent à nous montrer tout à la fois les progrès réalisés par rapport au niveau I et l’incapacité des sujets du sous-stade II A de dissocier les facteurs en jeu.

Les progrès par rapport au niveau I consistent comme d’habitude en ceci que le sujet devient capable d’une lecture systématique de l’expérience brute, c’est-à-dire des faits tels qu’ils se présentent à l’observation, sans être provoqués en vue de la vérification d’une hypothèse ou de la dissociation des facteurs. Cette lecture est systématique, en ce sens que, au lieu de simples mises en relations globales (comme les emboîtements génériques sans spécification propres au niveau I), le sujet est capable de classifications différenciées, de sériations ou d’égalisations, de correspondances, etc., qui, chacune prise à part, sont toutes exactes. Par exemple Mor parvient à comparer les longueurs, les épaisseurs, les poids, etc., sur le mode de la sériation, et même à établir un enchaînement sérial de 5 tiges du point de vue des inclinaisons qu’il a observées. Or, chacune de ces opérations est correcte, y compris la dernière qui est la plus compliquée, mais leur ensemble ne prouve rien quand l’enfant est laissé à sa propre initiative. Lorsque l’expérimentateur choisit deux termes de comparaison du point de vue d’un certain facteur, toutes choses égales d’ailleurs, l’opération de comparaison que fait l’enfant paraît alors significative. Mais quand le sujet est laissé à lui-même, tout est mélangé : ainsi la série des 5 inclinaisons que construit Mor en résumé de ce qu’il a observé par lui-même constitue une mixture de tous les facteurs, de telle sorte que rien n’en peut être déduit. De même Bau, pour prouver le rôle de la minceur (qu’il confond d’ailleurs avec le poids) compare deux tiges dont l’une est bien la plus mince, mais aussi la plus longue ; après quoi il choisit les mêmes éléments pour prouver le rôle de la longueur et lorsque l’on tente de le pousser à dissocier ces deux facteurs, il répond qu’il vaut mieux comparer les termes les plus différents !

On voit clairement, à propos de tels cas, en quoi consiste la différence entre les opérations formelles, qui rendront possible la dissociation des facteurs grâce à une combinatoire indispensable à cet effet, et les opérations concrètes nécessaires à la lecture des faits mais insuffisantes pour organiser l’expérience en vue de cette dissociation. Le problème qui se pose alors est de comprendre le pourquoi de cette insuffisance. Avant de chercher à le résoudre, examinons encore les réactions du niveau II B, qui ajouteront les schèmes multiplicatifs explicites aux opérations utilisées au sous-stade II A, tandis que celles-ci ne font encore appel qu’à des multiplications logiques implicites (Bau sait que sa tige est « plus différente » parce qu’« à la fois » plus mince et plus longue, mais il ne le dit pas et procède par simples additions de relations).

§ 3. Le sous-stade II B🔗

La seule nouveauté propre au niveau II B est l’achèvement des multiplications entre relations asymétriques. Tandis que les sujets du niveau II A n’utilisent la multiplication logique que sous la forme élémentaire des correspondances bi-univoques, ceux du sous-stade II B utilisent le schème des tables à doubles entrées avec sériations orientées en sens différents 4 ainsi que les groupements co-univoques (plusieurs liaisons pour un même résultat) :

Ot (9 ; 3) commence par invoquer la longueur : « On y voit, parce que la barre est plus longue : ça peut descendre mieux. — Et si on met deux barres de mêmes longueurs (on donne une fine et une épaisse) ? — Là ça descend plus parce que c’est plus fin que l’autre, qui est grosse et pas celle-là. » Ensuite il constate l’influence du poids, et prévoit, à propos d’une tige courte : « Ça n’ira pas : la barre est trop courte et le bonhomme est trop léger pour la barre. »

Hae (10 ; 9) découvre le rôle de la matière, de l’épaisseur et de la longueur : « Peux-tu, sans essayer, me dire si ça touchera l’eau avec cette tige ? — On pourrait, mais en la reculant (seulement) un peu : c’est du même métal que celle-là, mais elle est plus grosse, alors il faudra la reculer moins que l’autre. » Donc (A même métal que B) × (plus épais) × (plus long) = (même inclinaison). Il y a en outre compréhension de la compensation entre deux relations de sens contraires : (moins mince) × (plus long) = (plus mince) × (moins long).

Ce dernier exemple témoigne ainsi à la fois de la présence de tables à double ou à triple entrées (condition de la multiplication des relations asymétriques transitives, avec ou sans compensations) et de la multiplication co-univoque (plusieurs causes possibles pour un même effet). Le sujet Ot, également, sait multiplier logiquement les relations de poids et de longueur, etc.

Or, les sujets de ce niveau n’en demeurent pas moins incapables de vérifier l’action d’un facteur en laissant invariants tous les autres connus. De même, s’ils arrivent à comprendre comment la longueur et l’épaisseur peuvent se compenser, à matière identique, ils ne savent pas généraliser cette notion de compensation à tous les facteurs connus. Il s’agit donc de comprendre le pourquoi de ces limitations. La chose semble d’autant plus difficile que le sujet paraît être en possession de tous les instruments opératoires qui lui permettraient de faire de tels raisonnements. Par exemple Ot comprend bien que, de deux barres de mêmes longueurs, la plus fine plie davantage : cependant lorsqu’il s’agit de mettre en évidence le rôle du facteur épaisseur, il compare les barres d’inégale minceur sans rendre équivalents les autres facteurs, et il ne se doute pas que sa vérification ne démontre rien ; et Hae ne procède pas mieux, malgré sa découverte d’une compensation possible entre deux facteurs particuliers. Tout se passe donc comme si l’on était en présence de deux systèmes différents de pensée, l’un concret permettant simplement la composition des relations et des classes selon les faits donnés et l’autre formel permettant la reconstitution des liaisons nécessaires.

Le système concret consiste en tables d’associations ou de correspondances soit de classes, soit de relations. Exprimons les choses en langage de classes pour simplifier. Appelons A₃ la classe des tiges qui ont 50 mm de long et A’₁ celle des tiges < 50 mm ; A₂ sera la classe des poids de 300 gr et A’₂ celle des poids < 300 gr ; A₃ sera la classe des tiges en laiton et A’₃ celle des tiges qui ne sont pas en laiton ; etc. Enfin X sera la classe des tiges touchant l’eau et X’ celle des tiges ne pliant pas assez pour l’atteindre. Rappelons en outre que la réunion de deux classes A et A’ donne la classe totale B.

Nous avons alors, pour deux couples de classes (un seul facteur et son résultat X ou X’), la table à double entrée :

(1) (B₁ × (X + X’) = A₁ X + A₁ X’ + A’₁ X + A’₁ X’

Pour deux facteurs et leur résultat nous avons 8 combinaisons (table à triple entrée) :

(2) (B₁ × (B₂) X (X + X’) = A₁A₂X + A₁A₂X’ + A₁A’₂X + A₁A’₂X’ + A’₁A₂X + A’₁A₂X’ + A’₁A’₂X + A’₁A’₂X’

Pour 3 facteurs et leurs résultats, nous aurons de même 16 combinaisons, pour 4 facteurs 32 combinaisons et enfin pour 5 facteurs et leurs résultats X ou X’ il existe 64 combinaisons. Ce sont ces 64 combinaisons qui, données en tout ou en partie, au cours des expériences que l’enfant exécute plus ou moins empiriquement (selon son niveau) et qui lui permettent de mettre en correspondance les variations des facteurs avec le résultat X ou X’ (les combinaisons sont même en fait plus nombreuses, puisque les facteurs de longueur, d’épaisseur, de poids et d’inclinaison elle-même donnent lieu à davantage de variations que A ou A’ et que la classe A’₃ des tiges qui ne sont pas en laiton est en fait elle-même subdivisée).

Une première question est de savoir si le sujet du niveau II B est capable de construire de telles tables. Pour ce qui est de un ou deux facteurs, cela est vraisemblable puisque les raisonnements cités s’appuyent sur de telles structures et que nous savons la facilité des sujets de 7-10 ans à constituer des correspondances sériales. Pour 3 à 5 facteurs ils peuvent procéder par adjonctions successives d’éléments nouveaux (doublant chaque fois la table précédente), mais il va de soi qu’un calcul complet ne serait pas possible, ni d’ailleurs nécessaire tant que le sujet opère par correspondances de proche en proche.

Cela dit, en présence d’un seul facteur et de son résultat X ou X’, il suffira en général à l’enfant d’une correspondance immédiate pour établir le rapport entre A₁ et X : si l’on a A₁X + A’₁X’ et que les combinaisons A₁X et A’₁X’ sont nulles (= non données dans l’observation, parce qu’inexistantes), il est clair que le sujet conclura à l’action de A, sur X. Mais si les 4 combinaisons sont réalisées ou les 3 combinaisons A₁X + A’₁X + A’₁X’, la méthode de la correspondance simple entre A, et X (ou entre leurs négations) ne suffira plus et il faudra faire l’hypothèse d’un second facteur agissant dans le cas A’₁X (c’est-à-dire produisant X pour d’autres causes que A₁). Or, c’est bien ce que le sujet sait faire pour les cas faciles (lorsque la minceur compense la longueur, etc.), mais de moins en moins systématiquement lorsque le nombre des facteurs augmente et que l’expérimentateur ne simplifie pas lui-même les choses dans ses présentations successives à l’enfant. Autrement dit, le sujet du stade des opérations concrètes (II A et II B) sait bien lire l’expérience sous forme de correspondances diverses, ce qui revient à construire implicitement une table de plus en plus complexe des associations données (positives et négatives). Mais il ne sait interpréter la table que dans le cas où suffisent les correspondances immédiates et ne sait pas dissocier les facteurs dans les cas où ils sont trop mêlés.

C’est que, pour dissocier les facteurs, il est indispensable de les faire varier à tour de rôle en maintenant les autres inchangés (= « toutes choses égales d’ailleurs »). Il ne suffit plus alors de considérer la table en son ensemble, où toutes les correspondances sont données simultanément : il s’agit d’analyser les associations A, X, etc., situation par situation, pour voir lesquelles sont liées entre elles et lesquelles s’excluent. Mais, pour parvenir à une telle analyse, il est nécessaire de recourir à une combinatoire complète, ne consistant plus simplement à construire la table des associations, telle que les tables (1) avec ses 4 associations ou (2) avec ses 8 associations : cette combinatoire complète revient à considérer les associations une à une, deux à deux, etc., ce qui constitue 16 combinaisons à tirer de la table (1) ou 256 combinaisons de la table (2). Autrement dit, tandis que les tables (1) et (2) constituent des ensembles simples, composés de 4 ou 8 parties (ou associations) réunies, la combinatoire nécessaire pour l’analyse des liaisons repose sur ce qu’on appelle l’« ensemble des parties », lequel est alors composé de 16 combinaisons dans le cas (1) et de 256 dans le cas (2).

Or, nous avons déjà vu, au cours des chapitres I et II, que cette combinatoire complète est précisément ce qui caractérise la pensée formelle, dont la structure dépasse les groupements additifs ou multiplicatifs de classes et de relations (avec leurs simples inférences concrètes fondées sur la transitivité des emboîtements de classes ou des enchaînements de relations) et engendre la constitution d’une logique des propositions. En effet, pour deux propositions p et q, les 16 opérations possibles (conjonction, disjonction, implication, incompatibilité, etc.) correspondent exactement à ces 16 combinaisons que l’on peut tirer de la table (1) et pour trois propositions p, q et r, les 256 opérations possibles (d’ailleurs toutes réductibles à des compositions d’opérations binaires) correspondent aux 256 combinaisons que l’on peut tirer de la table (2).

En d’autres termes, si les sujets du niveau II B n’arrivent pas encore à dissocier les facteurs, mais simplement à établir les correspondances données dans l’expérience immédiate, c’est qu’ils ne sont pas capables de cette combinatoire qui constitue la logique des propositions : il en résulte alors, d’une part, qu’ils ne savent pas combiner les situations expérimentales de manière à mettre en évidence les liaisons réelles parmi les possibles ; et, d’autre part, qu’ils ne savent pas raisonner par implications, etc., de manière à composer de façon nécessaire et démonstrative les diverses données de fait qu’ils observent. Or, ces deux sortes de lacunes n’en constituent en réalité qu’une seule, puisque c’est la même combinatoire qui permettra aux sujets du niveau III d’imaginer les expériences conduisant à la dissociation des facteurs et de déduire au moyen des opérations interpropositionnelles les conséquences de ces expériences.

Il convient de remarquer, en effet, que c’est faute de cette logique des propositions que les raisonnements constitutifs de la preuve demeurent inaccessibles aux niveaux II A et B. Le raisonnement concret consiste, si l’on a A → B et B → C (où → peut être une inclusion, une égalité ou une relation asymétrique transitive), à conclure A → C. C’est ce genre d’inférences que l’on trouve dans les réactions de Hal et de Ot. Mais cette utilisation des transitivités ne constitue pas une opération entre propositions, telle qu’une implication : elle revient simplement à composer entre elles des classes ou des relations selon un certain ordre d’emboîtement et d’enchaînement, tandis que les opérations propositionnelles consisteront à combiner entre elles de toutes les manières les diverses associations de base caractérisant les classes multiplicatives : l’implication, par exemple, reviendra à tirer de la combinaison Ai X -f- A\ X 4- A 4 X¹ cette affirmation que p ? q (si p = l’affirmation de A_r et q = celle de X), car si l’on a seulement (p. q) v (p. q) v (p. q), et jamais p. q (correspondant à A₃ X’), alors q est toujours vraie quand p est vraie. Ce sont ces combinaisons nouvelles qui, comme nous allons le voir maintenant, vont caractériser la pensée propre aux sujets du niveau III, et qui vont engendrer simultanément la capacité déductive du raisonnement démonstratif et la capacité expérimentale de la dissociation des facteurs en jeu selon leurs modes d’action respectifs.

§ 4. Le niveau III A🔗

Ce niveau est caractérisé par les débuts de la pensée formelle, qui se reconnaissent à l’apparition d’un raisonnement hypothé- tico-déductif en même temps qu’à une recherche active de vérification, mais sans que le sujet soit d’emblée en possession du jeu complet des opérations interpropositionnelles. Il en résulte que, si l’on assiste à la genèse de l’implication, de l’exclusion, etc., l’enfant n’est encore capable d’organiser une preuve systématique conformément au schéma « toutes choses égales d’ailleurs », que dans certains cas seulement et non pas pour l’ensemble des facteurs en jeu :

Pey (12 ; 9) suppose que, pour faire plier la barre jusqu’à l’eau, il faut qu’elle soit « longue et mince ». Après plusieurs essais, il conclut : « Plus c’est gros et épais, plus ça résiste. — Qu’as-tu remarqué ? — Celle-ci (laiton, carrée, 50 cm de long, 16 mm² de section et 300 gr) plie plus que celle-là (acier ; sinon les mêmes conditions qu’il a choisies égales) : c’est un autre métal. Et celle-ci (laiton, ronde) plus que celle-là (laiton, carrée ; mêmes conditions de poids et de longueur, mais 10 et 16 mm² de section). — Si tu voulais acheter une tige qui plie le plus possible ? — Je la choisirais ronde, mince, longue et de métal mou. »

Aule (12 ; 10) veut prouver qu’une baguette longue plie davantage qu’une courte ; il prend les deux barres en acier, l’une ronde de 22 cm et l’autre carrée de 50 cm, mais, s’apercevant qu’elles n’ont pas la même forme de section il les ajuste toutes les deux à 22 cm de longueur : <t Celle-ci (ronde) plie davantage parce qu’elle est mince (elles ont la même épaisseur, mais l’une en rond l’autre en carré). — Qu’est-ce que vous avez prouvé ? — Je crois que je n’ai rien prouvé. Ah ! oui, que les rondes plient plus que les carrées. »

Dur (11 ; 10) : « Il y en a des plates, des plus grosses et des plus minces, des plus longues. Si elles sont longues et minces à la fois, elles plieront encore plus. — Pourriez-vous me montrer qu’une baguette fine plie plus qu’une grosse ? — (Il met 100 gr sur la tige d’acier, ronde, de 50 cm de long et 16 mm² de section et 200 gr (sur celle d’acier, ronde, de 50 cm de long et 10 mm² de section). — Celle-ci plie plus (10 mm² de section). — J’aimerais que vous me montriez seulement que la fine plie plus que la grosse. C’est juste comme ça ? — (Il enlève le poids de 100 gr (et met 200 gr sur celle de 16 mm²). Voilà, maintenant c’est juste. »

Kra (14 ; 1) : « Pouvez-vous me montrer qu’une grosse plie moins qu’une mince ? — (Il met 200 gr sur la tige d’acier ronde de 50 cm de long et 10 mm² de section ; et 200 gr sur la tige de laiton carrée, de 50 cm de long et 16 mm² de section). Celle-ci (acier mince) descend plus. — Pourquoi 1 — Elle est ronde, plus flexible, l’acier est moins lourd, elle est ronde et plus mince. — Bien, mais j’aimerais une preuve rigoureuse que c’est parce qu’elle est plus mince. — (Il place 200 gr sur la tige d’acier, ronde, de 50 cm et 16 mm², et 200 gr sur la tige d’acier ronde, de 50 cm et 10 mm¹). Voilà : celle-ci plie plus parce qu’elle est moins grosse. — Bravo. Pourriez-vous avec d’autres ? Oui (acier, carrée, 50 cm et 16 mm² à la place de la tige d’acier ronde de 16 mm² : la comparaison n’est donc plus exacte). Celle-ci (mince et ronde) plie plus, elle est moins lourde. — Et pourriez-vous prouver le rôle de la forme ? — (Il met 200 gr sur la tige de laiton rectangulaire de 50 cm et 16 mm² et 200 gr sur celle d’acier, ronde, de 50 cm de long et 16 mm² de section). — Pourquoi celle-ci (acier ronde) plie-t-elle plus ? — Parce qu’elle est ronde. — Seulement pour ça ? — Le laiton est aussi plus lourd (il enlève alors spontanément la tige d’acier et prend une tige de laiton carrée de 50 cm et 16 mm²). »

L’attitude d’esprit propre à ce niveau III est donc essentiellement nouvelle par rapport à celle qui caractérise les opérations concrètes : elle consiste à ne pas se contenter du réel donné à l’état brut, mais à le comprendre d’emblée en tant que secteur réalisé d’un domaine plus large qui est celui du possible. En effet, les sujets du stade II se bornaient à enregistrer les données successives selon toutes les relations et les classes répondant à leur diversité, mais sans dissocier les facteurs, ni donc élaborer d’hypothèses ni de preuves. Les sujets du niveau III A, au contraire, conçoivent dès le départ le réel comme un produit de divers facteurs se composant entre eux selon un ensemble de combinaisons possibles. D’où l’apparition de deux conduites qui demeuraient jusque-là dénuées de signification : l’hypothèse qui consiste à reconstituer ces combinaisons et la preuve qui revient à établir lesquelles d’entre elles sont effectivement conformes à l’expérience.

Sans doute les réactions initiales de chacun des sujets précédents semblent ne pas différer de celles du stade II : lecture des données par mises en relations et classifications. Mais, tandis que l’enfant du niveau II accepte tout pêle-mêle en croyant ainsi atteindre le réel lui-même, celui du niveau III n’utilise ses descriptions concrètes préalables que comme matière à hypothèses et preuves : d’où une attitude immédiatement plus active.

En fait, ces nouveautés se marquent au choix des barres à comparer, c’est-à-dire à la tendance à les comparer seulement d’un point de vue qui réponde à une question délimitée. Tandis que le sujet du niveau II compare n’importe quelle tige à n’importe quelle autre, en se bornant à énoncer celles des relations qui sont les plus apparentes, le sujet du niveau III comprend que pour dégager un rapport déterminé, il importe de choisir certains couples de tiges plutôt que certains autres. C’est précisément ce choix, constituant la réaction nouvelle la plus aisément observable du stade III, qui permet de mettre en évidence les opérations logiques utilisées.

La principale de ces opérations, ou du moins celle qui oriente presque toujours, en son point de départ, l’analyse des sujets, est l’opération formelle de l’implication, selon laquelle l’enfant suppose qu’un facteur déterminé entraîne toujours la conséquence perçue. Au niveau II, un tel rapport causal était établi par simple correspondance : plus la tige est longue, par exemple, et plus elle est flexible. L’implication part bien, elle aussi, de la constatation d’une telle correspondance (la conjonction p. q traduisant AX). Mais elle y ajoute deux nouveautés et c’est la réunion de ces trois sortes de constatations qui définit l’opération implicatrice. A l’association entre un facteur A et son résultat X s’ajoute, d’abord le fait que le sujet, cherchant à dissocier les facteurs, essaie plus ou moins systématiquement (même s’il ne parvient pas à un système complet avant le niveau III B) d’établir ce qui se produit en cas de suppression ou de diminution du facteur A : il constate alors, en certains cas, que l’effet X est lui-même supprimé ou diminué (d’où l’association A’ X’) et en certains autres que l’effet est conservé parce que pouvant être produit par des facteurs étrangers à A (association A’ X). La réunion AX -|- A’ X 4- A’ X’ (ou en propositions : p. qyp.q V p. q) constitue ainsi un système d’interprétation plus large que la simple correspondance AX parce que portant simultanément sur trois possibilités (ou AX ou A’ X ou A’ X’) et parce que pouvant relier de cette manière en un seul tout les résultats de plusieurs groupements différents de classes et de relations.

Nous avons là un premier exemple de cette combinatoire portant sur l’« ensemble des parties », dont il a été question au paragraphe précédent : dans le cas particulier, ce sont les trois parties (ou associations) AX, A’ X et A’ X’ qui sont ainsi reliées, tandis que dans les cas de la disjonction, de l’incompatibilité, elles sont liées autrement. En outre, la capacité combinatoire qui apparaît ainsi ne se manifeste pas simplement par l’apparition de telle ou telle opération, mais par leur système comme tel, c’est-à-dire par l’ensemble des 16 opérations binaires et par la possibilité de relier un nombre déterminé d’entre elles de manière à engendrer les opérations d’ordre supérieur.

Or, la formation et l’utilisation de ce système total se manifestent par le développement de la preuve aux niveaux III A et III B et notamment par le schéma « toutes choses égales d’ailleurs », qui suppose un jeu d’implications distinctes reliées à d’autres opérations. Dès le niveau III A, on observe une recherche de démonstration orientée dans ce sens, mais on constate aussi la difficulté d’une telle réalisation et le fait que les sujets demeurent à mi-chemin de son achèvement. Par exemple Pey, pour prouver l’influence du métal, compare des barres de laiton et d’acier en maintenant tous les autres facteurs invariants ; mais pour prouver l’influence de l’épaisseur, il compare des tiges de 10 et 16 mm² de section avec formes inégales de section (ronde et carrée), sans se douter qu’il y a là deux facteurs distincts. De même, Dur fait varier simultanément l’épaisseur et les poids avant de se corriger en égalisant ces derniers. Il y a donc bien recherche d’une égalité des conditions de comparaison, mais encore difficulté à réaliser un tel projet. Pour mieux saisir et les opérations nécessaires à un tel schéma et leur dépendance à l’égard du système combinatoire total que nous venons de rappeler, comparons d’abord les réactions de ce niveau III A à celles du niveau III B, où la preuve devient rigoureuse dans les situations étudiées ici.

§ 5. Le niveau III B🔗

Il nous suffira de citer un beau cas :

Dei (16 ; 10) : « Dites-moi d’abord (après essais) quels facteurs interviennent. — Le poids, la matière, la longueur de la baguette, peut-être la forme. — Pouvez-vous le prouver ? — (Elle compare les deux poids de 200 et 300 gr sur la même baguette d’acier). Voilà : le rôle du poids du bonhomme est prouvé. Pour la matière, je ne sais pas. — Prenez celles-ci en acier et celles-là en laiton. — Je crois que je dois prendre deux baguettes de même forme. Alors, pour prouver le rôle du métal je compare ces deux (acier et laiton, carrées de 50 cm de long et de 16 mm² de section, avec 300 gr sur chacune) ou ces deux-là (acier et laiton, rondes de 50 et 22 cm et 16 mm²) : pour la longueur, je raccourcirai celle-là (50 cm ramenés à 22). Pour (prouver le rôle de) la forme, je compare ces deux (laiton ronde et laiton carrée de 50 cm chacune et 16 mm²). — Pourrait-on prouver la même chose avec ces deux (laiton, ronde et carrée, 50 cm de long et 16 et 7 mm² de section) ? — Non, parce que celle-ci (7 mm²) est bien plus mince. — Et l’épaisseur ? — Je compare ces deux (laiton rondes, 50 cm de long avec 16 et 7 mm² de section). »

Le problème est alors de comprendre comment le sujet en arrive à une méthode aussi systématique, dont la simplicité apparente ne saurait faire illusion puisqu’il faut attendre l’âge de 14-15 ans pour qu’elle soit organisée spontanément et que le sujet l’utilise sans erreur.

Si nous nous référons à la proposition (2) du § 3 donnant les 8 associations de base possibles pour deux facteurs et leur résultat X ou X’ nous devons d’abord admettre que le sujet commence par établir les faits, comme au niveau II, au moyen d’opérations concrètes de classifications et correspondances. Il obtiendra par exemple, pour le facteur B₃ (poids) et le facteur B₃ (métal), la table suivante d’observations :

A, A_s X = 300 gr, laiton, inclinaison X (maximale)

A_s A, X’ = 300 gr, laiton, inclinaison X’ (parce que de longueur trop courte, etc.)

A, A’_s X = 300 gr, acier, inclinaison X (minceur suffisante, etc.) A, A’, X’ = 300 gr, acier, inclinaison X’

A’j A, X = 200 gr, laiton, inclinaison X (longueur ou minceur suffisantes, etc.)

A’_a A₃ X’ = 200 gr, laiton, inclinaison X’

A’j A’j X = 200 gr, acier, inclinaison X (longueur suffisante, etc.) A’j A’j X’ = 200 gr, acier, inclinaison X¹

De telles observations lui montreront donc d’emblée que les facteurs A_z et A₃ ne sont pas seuls en cause, puisque la même combinaison A₃ A₃ donne tantôt X tantôt X’ : en réalité un tel tableau est ainsi extrait de la table des 64 associations correspondant aux observations possibles du sujet. Or, la nouveauté propre au stade III est que le sujet, ayant établi cette situation complexe par le moyen des opérations concrètes, ne considère pas de tels ensembles de faits comme un aboutissement dont il suffira d’extraire telles ou telles relations et correspondances, mais bien comme un point de départ de combinaisons nouvelles telles que, en associant 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, etc., chacune de ces 8 associations de base, il puisse en tirer un ensemble d’opérations nouvelles correspondant à l’« ensemble des parties » des tables initiales. Ce sont alors ces opérations nouvelles qui permettent la dissociation des facteurs, grâce à un jeu d’implications combinées avec de simples conjonctions.

Pour faire comprendre la chose appelons p ; q ; r ; s et l les propositions qui affirment respectivement la présence des facteurs Ai ; A_a ; A, ; A< et A₅ et p ; q ; f ; s et f les propositions qui la nient, et désignons par x et par x les propositions qui affirment respectivement les résultats X et X’. Le schéma de la vérification « toutes choses égales d’ailleurs » revient alors simplement à faire varier l’un des facteurs correspondant à p ou q, etc. et à laisser inchangés les autres. Par exemple, pour Aj correspondant à p, on aura :

(3) (p. q.r.s.t.x) v (p. q.r.s.t.x)

ce qui revient à dire que pour deux tiges supportant 300 gr (= q), en laiton ( = r), minces (= s) et de formes de section rondes (=1), il suffît de raccourcir suffisamment la longueur initiale de 50 cm (p transformé en p) pour modifier le résultat (x transformé en x).

Nous constatons ainsi que Pey (§ 4) pour mettre en évidence le facteur métal (= q) compare deux barres telles que (p. q.r.s.t.x) v (p. q.r.s .t.x) : en ce cas l’équivalence (q.x) V (q.x) prend une valeur démonstrative du fait que les autres propositions (p. r.s.t) demeurent inchangées, c’est-à-dire que (p. q.r.s .t.x) v (p. q.r.s.t.x) sont choisies parmi l’ensemble des autres possibles. Or, ce choix suppose la compréhension du fait que, si les propositions (p. r.s.t) ne sont pas maintenues inchangées (donc si les faits qu’elles expriment ne sont pas conservés invariants), l’effet x pourrait résulter d’une autre cause que q : l’équivalence (implication réciproque) (q.x) V (q.x) est donc en réalité tirée d’une implication (q.x) v (q.x) v (q.x) et par conséquent elle est solidaire de toutes les implications conçues comme possibles entre p, q, r, s, t et x. En effet, maintenir inchangés 4 facteurs sur 5, c’est supposer que chacun pour son compte peut donner lieu aux mêmes combinaisons. C’est pourquoi la vérification fondée sur le schéma « toutes choses égales d’ailleurs » est si complexe et suppose en réalité toute la combinatoire interpropositionnelle.

Preuve en soit qu’au niveau III A ce mode de démonstration n’est encore compris qu’en partie. Le même sujet Pey que nous venons de citer raisonne ensuite sans rigueur pour vérifier le rôle de la forme de section ronde (= t) ou carrée ( = t) : il fait varier simultanément t en t et l’épaisseur ( = s), c’est-à-dire qu’il pose (p. q.r.s.t.x) V (p. q.r.s.t.x) : il est alors clair que l’on ne peut rien déduire de (s.t.x) v (s. t.x) quant au rôle de t seul. C’est ce genre d’erreur que l’on retrouve au cours de tout le sous-stade III A, tandis qu’au niveau III B la preuve est rigoureuse : par exemple le sujet Dei applique tour à tour le même schéma (3) à tous les facteurs qu’il distingue et sans aucune erreur. Autrement dit, la combinatoire formelle fondée sur l’« ensemble des parties » (par opposition aux multiplications bi-univoques qui en fournissent les associations de base) commence à se construire dès le sous-stade III A mais n’est achevée qu’au niveau III B.

§ 6. Les égalités par compensation de facteurs🔗

Une autre acquisition que la même recherche montre être spéciale au niveau formel (III A et B) est la capacité de déterminer qualitativement certaines compensations entre rapports hétérogènes. Nous avons déjà constaté au niveau II B l’existence de certains calculs logiques de compensation reposant sur la multiplication des relations concrètes. C’est ainsi que Hal (10 ans) découvre qu’une barre de même métal qu’une autre mais plus épaisse peut atteindre la même inclinaison à condition d’être allongée. En ce cas, la compensation s’explique par les opérations suivantes ; si l’on désigne par F le passage du moins au plus fin et par L le passage du moins au plus long, ainsi que par F et par L les passages inverses, on a :

(4) F x L = F x L

Mais ce qui rend aisée à comprendre cette compensation par multiplication de relations inverses, c’est qu’il s’agit de relations homogènes : en effet l’épaisseur et la longueur sont deux dimensions spatiales et, comme elles agissent en sens contraires, il est facile de les multiplier l’une par l’autre de deux façons inverses pour obtenir le même produit. C’est ce que nous avons déjà observé jadis à propos de la conservation des quantités 5 : un bocal plus élevé et moins large contient la même quantité d’eau qu’un bocal moins élevé et plus large parce que l’augmentation de largeur compense la perte de hauteur. Bien qu’il intervienne en fait, dans les deux sortes de cas, trois dimensions dont deux distinctes et une opération de multiplication logique, l’opération en jeu est d’ordre plus additif que multiplicatif : il s’agit avant tout de l’impression qu’il est possible de déplacer dans le sens de la longueur certaines parties de l’objet prises sur l’épaisseur et vice versa, d’où l’égalisation des produits relatifs.

Examinons maintenant les trois cas de compensation suivants :

1) A longueurs égales, une barre d’acier ronde et fine présente la même flexibilité qu’une barre de laiton ronde et plus épaisse ;

2) A longueurs égales une barre ronde et fine en laiton présente la même flexibilité qu’une barre plate en laiton à surface de section plus grande.

3) A longueurs égales une barre ronde et épaisse en acier présente la même flexibilité qu’une barre carrée moins épaisse en acier.

On montre ces couples de barres à l’enfant en demandant simplement d’expliquer l’égalité des inclinaisons pour les mêmes poids. Or ces trois questions ne sont résolues qu’au niveau formel, la question (1) en III A et les questions (2) et (3) en III B, avec difficulté maximum pour (3). Pourquoi donc en est-il ainsi ?

Dans le cas (1) la finesse d’une barre compense la moindre flexibilité de l’acier. Or, ces deux facteurs étant hétérogènes, il faut, pour multiplier entre elles les relations concrètes en jeu, dissocier au préalable l’un de l’autre les facteurs en jeu tout en les faisant agir concurremment. On voit alors l’analogie entre cette double exigence et le schéma de vérification « toutes choses égales d’ailleurs ». En effet, dans les deux cas il faut annuler l’action de l’un des facteurs pour déterminer celle de l’autre, et, dans les deux cas, les deux facteurs étant toujours simultanément présents, il faut se borner à maintenir constant (dans l’expérience ou en pensée) le facteur à annuler, en annulant ainsi non pas son action mais les variations possibles de cette action. Or, au niveau concret, les correspondances entre les métaux des barres et leurs inclinaisons, on entre l’épaisseur des barres et leurs inclinaisons sont établies à l’état brut, par simple lecture des données en des situations diverses sans égalisation des autres facteurs. Il en résulte que, en présence d’une compensation précise comme celle du problème (1), les sujets du niveau II ne peuvent être assurés que la différence due aux métaux est compensée par une différence due à l’épaisseur seule : au contraire, voyant que les longueurs et les inclinaisons sont les mêmes, ils seront portés à penser que le facteur métal (ou éventuellement l’épaisseur) n’a pas l’importance qu’ils étaient auparavant tentés de lui attribuer. Ce n’est donc qu’au niveau où les facteurs sont réellement dissociés tout en restant solidaires, donc au niveau où l’implication remplace la simple correspondance concrète, que le sujet, même sans savoir déterminer l’influence quantitative de chaque facteur, parvient à concevoir, en présence d’une équivalence de fait, que deux facteurs peuvent se compenser exactement. C’est que, en présence de cette équivalence et les facteurs étant dissociés en pensée, le raisonnement porte sur les variations possibles à l’état pur et non plus seulement sur les variations réelles et mélangées : d’où la compensation déduite formellement (« si c’était…, ça devrait »), là où la compensation par correspondances ou multiplications concrètes demeure insuffisante.

Il en est de même pour les problèmes (2) et (3), mais les compensations ayant alors lieu entre la forme et l’épaisseur sans que les formes soient les mêmes, l’épaisseur (surface de section) n’est plus alors donnée perceptivement, mais doit être supposée à titre de possibilité hypothétique. D’où la plus grande difficulté de ces derniers problèmes où presque tout est à déduire, en particulier dans le cas (3) où la surface de section est malaisément appréciable.

Quant aux opérations intellectuelles intervenant dans la compréhension de ces compensations, il s’agit, outre les implications, d’une sorte de proportion, dont le grand intérêt est qu’elle constitue un pur schème qualitatif ou logique, faute de toute donnée métrique ou numérique. Le point de départ est une double implication (que nous écrivons pour les énoncés p et q de deux facteurs quelconques, étant entendu que dans le cas du métal et de l’épaisseur, il s’agit de r et de s, ou que dans celui de l’épaisseur et de la surface de section, il s’agit de s et de t, etc.) :

(5) p. q 3 x et p. q 3 x ou x 3 (p. q) v (p. q)

Cette double implication signifie que la présence du facteur énoncé par p, jointe à l’absence (ou à l’affaiblissement) du facteur énoncé par q donne le même résultat (énoncé par x) que l’absence (ou l’affaiblissement) du facteur énoncé par p et la présence de celui énoncé par q.

La situation est alors la suivante : (1) les conjonctions (p. q) et (p. q) qui, à elles seules, exprimeraient l’exclusion réciproque entre p et q (soit pwq = p. qvp.q) conduisent dans le présent cas à la même conséquence x ; (2) elles sont donc non seulement réciproques, mais les facteurs énoncés par p et q sont substituables l’un à l’autre et aboutissent chacun au même résultat. Il s’ensuit alors la notion d’une certaine proportion logique par réciprocité (R), qui est d’ailleurs générale pour (p. q) v (p. q), mais sert ici de schème à la compensation elle-même, du fait que la réciprocité prend en ce cas la signification d’une action de valeur égale mais orientée en sens contraire (affaiblissement ou renforcement) :

(6) - — R ?

 ; q q

Cette expression signifie (selon qu’on la lit en diagonale, verticalement ou horizontalement) : a) Que p. q = R (p. q)’, b ) Que p v q = R (p v q) ; c) Que p. q — R (p. q) et d) Que p. p = R (q. q) car o = Ro.

Nous retrouverons bien d’autres exemples de ces proportionnalités logiques, soit indépendantes de toutes données métriques, soit antérieures à leur détermination numérique. Remarquons seulement, pour l’instant, qu’il s’agit alors non plus seulement d’un raisonnement propositionnel, mais encore d’une structuration formelle des notions elles-mêmes, ce qui fera l’objet de la seconde partie de cet ouvrage.