Chapitre XI.
L’équilibre de la balance ^{1 a} 🔗

De 3 à 5 ans environ, les sujets présentent des réactions instructives du point de vue qui nous intéresse ici. La causalité en général constitue, comme nous l’avons admis, une assimilation

des processus en jeu, soit aux actions propres du sujet, soit à ses opérations, mais avec délégation des unes ou des autres à la réalité elle-même. Or, dans le cas d’un dispositif tel qu’une balance ou une balançoire, il se construit très tôt la notion d’un équilibre entre le poids du corps propre et d’autres poids, mais une notion indifférenciée comprenant, outre les poids comme tels, la force musculaire d’une poussée vers le haut ou même vers le bas (le poids étant d’ailleurs conçu en liaison avec les actions de soulever ou de presser). C’est donc à ce genre d’actions indifférenciées qu’est d’abord assimilée la balance et non pas à un système d’opérations de compensations entre poids ni a fortiori entre poids X longueur. En effet, il n’existe à ce niveau aucune forme d’opérations concrètes, mais seulement des régulations représentatives, c’est-à-dire des instruments de compensation globale, sans réversibilité systématique. Il résulte de cette double situation que les sujets du niveau I A ne parviennent pas à assurer l’équilibre par une simple distribution des poids, mais interviennent dans le dispositif même par des actions propres indifférenciées des actions des objets comme tels :

Mic (4 ;6) en présence de deux poupées égales de poids à des distances de 14 et 9 : « Pourquoi un est en bas et l’autre en haut ? — (Il monte et descend sans cesse les bras de l’appareil en croyant qu’ils conserveront les forces et positions ainsi déléguées). — Peut-on arriver à le faire tout droit (geste horizontal) et que ça reste seul ? — (Ni oui ni non). — Comment c’était, avant ? — Comme ça (horizontal). — On ne peut pas le faire avec les poupées ? — (Il secoue la tête et essaie de maintenir l’horizontale avec deux poids inégaux, en montant et descendant les bras plusieurs fois). — Tu peux le faire sans ta main ? » — … On fait soupeser les poupées, puis Mic se livre à de nouveaux essais. On suggère d’en rajouter d’un côté ou de l’autre, etc. Conclusion : « On ne peut pas (atteindre l’horizontale) ! »

Mar (4 ;8) suspend deux poupées du même côté sans rien mettre de l’autre, dans le but d’atteindre l’équilibre horizontal !

On constate que le sujet, tout en intervenant sans cesse lui-même pour rectifier la position des bras de la balance, s’attend à ce que celle-ci conserve les résultats de ses interventions. La balance et l’action propre ne sont donc pas différenciées, mais cette indifférenciation, bien qu’excluant la notion que la balance constitue un mécanisme indépendant, n’exclut par contre en rien la prévision de certains effets plus ou moins constants. Il est vrai que l’aspect le plus frappant pour nous de ces prévisions est d’abord leur côté négatif. L’enfant de ce niveau ne pense par

exemple pas encore que l’équilibre implique l’égalité des poids (même à distances égales) : ainsi Mar met deux poupées d’un côté et aucune de l’autre pour atteindre l’horizontalité. Le lourd peut se diriger vers le haut et le léger vers le bas aussi bien que l’inverse. Les poids ne sont pas mis en relation : l’épithète de « trop lourd » peut s’appliquer à une seule poupée suspendue à un bras, sans contrepartie. Il n’y a pas conservation du poids et le sujet cherche sans cesse à répéter avec de nouvelles poupées, ce qui vient de lui réussir par hasard avec d’autres, sans s’occuper des différences de poids. Cependant, ces sujets parviennent, par régulations progressives, à reconnaître au poids une influence relative. En général, ils suspendent une poupée au moins de chaque côté, par besoin de symétrie. Il arrive fréquemment que, pour améliorer l’équilibre, ils ajoutent de nouvelles poupées à d’autres, non pas du côté où il manque du poids (pour égaliser), mais du côté où le poids est le plus grand, dans l’idée qu’avec plusieurs poids les choses se passeront mieux.

Mais cette action d’ajouter, très caractéristique à ce niveau, n’est encore nullement opératoire, bien que constituant sans doute le début de l’opération additive. Elle ne l’est pas faute d’égalisation exacte entre les parties (A + A’) et le tout B (compensant A + A’ sur l’autre bras). Elle ne l’est surtout pas faute de réversibilité : il n’y a pas encore d’actions d’enlever dans le but d’égaliser et, quand le sujet enlève quelque élément, c’est seulement pour recommencer autre chose après un échec.

Au point de vue des distances à partir de l’axe, le sujet ne s’en occupe en général pas et ne cherche ni l’égalité ni une coordination quelconque entre les distances et le poids. Néanmoins, on voit aussi se dessiner à cet égard un début d’opération, en ce sens que le sujet établit parfois un début de symétrie. Mais, ici à nouveau, il ne parvient pas à constituer d’opération proprement dite, d’abord faute de coordination avec les poids et ensuite parce que cette symétrie porte surtout sur les deux extrémités des bras, sans égalisations pour les distances intermédiaires.

De 5 ;6 environ à 7-8 ans (sous-stade I B), on assiste par contre à une articulation progressive de ces représentations intuitives, s’orientant dans la direction de l’opération réversible :

Mal (5 ;8) constate que les bras ne sont pas horizontaux : « Il faut en mettre une (autre poupée) de l’autre côté. Je sais ce qu’il faudra faire : mettre de nouveau une autre là, parce qu’on n’a pas le poids d’ici (elle rajoute). Celles-ci doivent être plus légères que celles-là : il faut prendre deux qui ont le même poids. » Ensuite : « On pourrait en ôter une (parce que c’est trop lourd d’un côté). »

Mal ne découvre pas spontanément l’influence de la distance, mais, lorsqu’on déplace devant elle une poupée, elle dit : « Vous avez rapproché ça, ça fait plus de poids : si c’était au bout, ça n’irait pas et là ça fait plus de poids. »

Gas (5 ;9) : « On pourrait en mettre une de l’autre côté : la même (il en prend une qui est, en effet, pareille par la couleur de la robe, mais de poids bien différent). Ça ne va pas : peut-être il y a un peu trop de poids là. »

L’enfant comprend donc dorénavant qu’il faut un poids de chaque côté, pour obtenir l’équilibre, et même des poids à peu près égaux. Mais il ne sait pas procéder systématiquement à cette égalisation. De même, il parvient dorénavant à ajouter et à enlever, mais sans égalisations précises : ce sont des corrections successives, donc des régulations et non pas encore des opérations strictement réversibles.

Ces deux sortes de régulations, par égalisations et par adjonctions ou suppressions, fournissent ainsi le point de départ des futures transformations par réciprocité (symétries) et par inversion, relativement aux poids. Quant aux distances, il y a progrès dans la tendance à la symétrie (les poupées ne sont plus seulement mises à égales distances aux extrémités, mais aussi dans les régions voisines) et il y a parfois découverte du rôle que jouent les changements de distance (cf. Mal). Mais il n’y a pas encore de correspondances systématiques du type : plus loin = plus lourd.

Il y a dorénavant égalisation et additivité exactes des poids, d’une part, symétrie et additivité exactes des distances, d’autre part. Mais la coordination des poids et des distances ne donne encore lieu qu’à des régulations intuitives : le sujet découvre par tâtonnements que l’équilibre est possible entre un poids plus petit à plus grande distance et un plus grand poids à plus petite distance, mais il n’en tire pas encore de correspondances générales¹ :

Mas (7 ;7) débute par E 3 et D 3, puis les remplace par G 3 et F 3 (donc distances égales et recherche de poids égaux), rajoute d’autres poupées, en supprime, puis enlève le tout et soupèse deux poids égaux (E)

compte un même nombre de trous (14) et pose E 14 de chaque côté. Après quoi, il cherche d’autres formes d’équilibre : il rajoute des poupées, les déplace, en enlève, et aboutit à GED d’un côté et P 3 de l’autre : « Ça va juste (compensation empirique des poids et des distances). C’est comme quand il n’y avait rien (quand les bras sans charge étaient horizontaux), c’est le même poids de chaque côté. » Il recommence avec de grands poids (qui n’ont pas de doublets) : « J’aurais pu mettre un de chaque côté. Comme il n’yen a pas, j’ai dû en mettre trois d’un côté et deux de l’autre : ça tient droit parce que c’est le même poids de chaque côté. » Il prévoit que pour deux poids inégaux, il faut des distances inégales mais sans trouver la loi : plus lourd ⇄ plus près : « Si on met C et E où faut-il les poser ? — Je dirais un trou et un autre trou (= deux distances différentes), mais il ne faut pas que ça fasse la même chose (= distances égales), sinon ça ne fait pas le même poids. »

Nem (7 ;4) trouve empiriquement que C à gauche, à distance de 10, équilibre E à droite, à distance de 5. On lui demande de placer C à droite et E à gauche, mais il ne parvient pas à inverser les rapports de distance. Après expérience, il s’écrie : « Ah ! Il faut faire la même chose qu’avant, mais à l’envers ! »

Le sujet est donc dorénavant capable de sérier les poids en présence et de déterminer leurs égalités. Il peut les additionner de façon réversible et comparer correctement deux réunions de poids. Il sait utiliser en outre la transitivité des relations d’inégalité ou d’égalité des poids. L’ensemble de ces opérations se retrouve, d’autre part, dans les comparaisons de distances, avec en outre correspondance entre les distances orientées en sens contraires (symétries par rapport à l’axe).

Appliquées aux problèmes de la balance, ces opérations permettent alors aux sujets d’obtenir les résultats suivants (par multiplication logique des relations) :

Deux poids égaux B¹ et B² situés à distances égales Lx se font équilibre par symétrie :

(1) (B^l × L^x) = (B² × L^x)

L’un des poids est donc conçu comme compensant l’autre par réciprocité.

Deux poids égaux B¹ et B² situés à des distances inégales Lx et Ly ne s’équilibrent pas :

(2) (B^l × L^x) ≶ (B² × L^y) si x ≶ y

mais le sujet ne peut coordonner les relations en jeu.

Deux poids inégaux A¹ < B² situés à des distances égales L^x ne s’équilibrent pas non plus :

(3) (A^l × L^x) < (B² × Lx)

En outre, en chacune de ces relations composées, le sujet est capable, par additivité, de substituer à un objet un ensemble équivalent d’autres :

(4) C^l = (A² + A’² + B’²)

et il en est de même pour les distances.

(5) Par contre, en cas de poids inégaux A^l et B² et de distances inégales L^x et L^y, il n’y a pas encore, à ce sous-stade II A, de coordination possible : même lorsque le sujet découvre par expérience qu’un grand poids à petite distance, situé à droite, équilibre un petit poids à grande distance situé à gauche, il ne sait pas inverser ces rapports d’un côté à l’autre et ne découvre qu’après coup qu’il fallait faire « la même chose mais à l’envers » (Nem).

Le cinquième des cas distingués à l’instant (poids et distances inégaux) trouve sa solution au niveau II B, non pas encore par proportions métriques (sauf parfois pour le cas des rapports de 1 à 2), mais par correspondances qualitatives aboutissant à la loi d’équilibre : « Plus c’est lourd, plus c’est proche du milieu. »

Fis (10 ;7) constate que P n’équilibre pas F « parce qu’il est lourd : celui-là (F) est trop léger. —   Quoi faire ? — L’avancer (il pousse P du côté de l’axe et atteint l’équilibre). J’ai dû le reculer de 16 trous (arbitraire) pour voir si ça baisserait de deux fois (arbitraire) le poids. —   Qu’entends-tu par là ? — Ça lève le poids. —   Et si on le remet par là (éloigner P) ? — Ça fait monter l’autre. —   Et si on le met au bout (P) ? — Ça monterait encore plus (F) », etc. Conclusion : Quand on a deux poids inégaux « on avance le plus lourd (du côté de l’axe médian) ». Mais Fis ne mesure pas les longueurs même pour les rapports de 1 à 2.

Rol (10 ;10) : « Il faut changer le sac de place parce qu’au bout ça fait plus de poids » ; il éloigne le plus léger de l’axe : « Maintenant il est plus lourd. » On présente G à 2 et A à 14 : ils s’équilibrent « parce que celui-là est là (A à 14), il est moins lourd ».

On voit la différence des réactions. Au niveau II A le sujet, en présence de deux poids qui ne se font pas équilibre, procède surtout par substitutions, adjonctions ou suppressions. Il parvient ainsi à certaines égalisations par déplacements, mais exceptionnellement et par tâtonnements (régulations). Au présent niveau, au contraire, le sujet en présence de deux poids inégaux cherche l’équilibre par un déplacement orienté, dans l’hypothèse que le

même objet « pèsera plus » en s’éloignant de l’axe et moins en s’en rapprochant. Il est donc engagé dans la direction de la loi, mais sans proportions métriques et par simples correspondances qualitatives.

L’opération nouvelle qui intervient ici dans la détermination des conditions d’équilibre est donc une double sériation des poids A < B < C… et des distances L¹ > L² > L³ > … mais avec correspondance bi-univoque inverse :

(5) A < B < C < …

↕ ↕ ↕

L¹ > L² > L³ >…

ce qui peut se traduire par les réciprocités (exprimées en langage de multiplication de relations) :

(6) (A × L^l) = (B × L²) = (C × L³) = … , etc.

Mais il est clair que de telles opérations qualitatives ne suffisent pas à établir la loi. En effet, les multiplications logiques du type (6) permettent un certain nombre d’inférences, mais laissent certains cas à l’état indéterminé :

(7) Plus lourd × même distance = plus grande force

Moins lourd × même distance = moins grande force

Même poids × plus loin (de l’axe) = plus grande force

Même poids × moins loin = moins grande force

Mais :

Plus lourd × plus loin = indéterminé

Moins lourd × moins loin = indéterminé

et

Plus lourd × moins loin = moins lourd × plus loin (mais sous certaines conditions métriques seulement).

Cependant le sujet de ce niveau est capable de quantifier les poids (il sait que B = 2 A ; etc.), de même que les distances (mesurables au nombre des trous). Pourquoi donc faut-il attendre le niveau formel III pour que se constitue le schème des proportions ? On répondra que c’est là une question de connaissance scolaire. Mais nous allons au contraire donner des exemples (analogues à ceux que nous avons déjà publiés ailleurs ¹) où le

schème de la proportionnalité se constitue avant tout enseignement. Il est donc probable qu’il requiert, à titre de condition nécessaire et suffisante, un système opératoire qualitatif, à la fois différencié et unifié, analogue au groupe INRC. L’hypothèse est d’autant plus plausible qu’il s’agit précisément, dans le cas particulier, d’un jeu d’actions et de réactions en équilibre, semblable à celui dont nous avons analysé la compréhension aux chapitres IX et X.

Lorsqu’on se borne à procéder comme précédemment, en laissant le sujet suspendre ses poids simultanément aux deux bras de la balance, il y a, dès le niveau III A, découverte de la loi sous forme de la proposition P/P’ = L’/L (où P et P’ sont deux poids inégaux et L et L’ les distances auxquelles ils sont placés) et cette loi ne donne pas lieu à une explication causale particulière, même au cours du sous-stade III B tant elle paraît transparente à la raison (« C’est un système de compensations », comme nous dira le sujet Chal). Mais, lorsqu’on procède par suspensions successives et alternatives des poids, l’attention du sujet se porte sur les inclinaisons et les chemins à parcourir en hauteur, ce qui peut le conduire à une explication par l’égalité des travaux (déplacement des forces). Cette explication, déjà possible au niveau III A, n’apparaît, il est vrai, qu’exceptionnellement encore au niveau III B : néanmoins nous l’avons observée en plusieurs cas et il vaut la peine de l’analyser.

Voici d’abord un cas de découverte de la loi au sous-stade III A :

Rog (12 ;11) pour un poids P placé à l’extrémité d’un bras (28 trous), il met C + E au milieu de l’autre bras, mesure la distance et dit : « Ça fait 14 trous. C’est la moitié de la longueur. Si le poids (C + E) est à la moitié, ça fait le double pour ça (P). — Comment sais-tu qu’il faut rapprocher le poids du centre (pour faire plus lourd) ? — Ça m’est venu à l’idée, j’ai voulu essayer : si je rapproche à la moitié, la valeur du poids diminue de moitié. Je sais, mais je ne peux pas expliquer : je n’ai pas appris. —   Tu connais d’autres situations pareilles ? — Dans le jeu de billes, si 5 jouent contre 4, le dernier des 4 a droit à une bille de plus. » Il trouve de même que pour deux distances de 1 et de 1/4, il faut mettre des poids de 1 et de 4 ; que pour deux distances de 1 et de 1/3, il faut mettre des poids de 1 et de 3, etc. : « On met le poids le plus lourd à la fraction que représente le poids le plus léger (= qui correspond à celle du poids léger), en partant du centre. »

La rapidité avec laquelle le sujet passe de la correspondance qualitative à la proportion métrique semble bien indiquer la présence d’un schème anticipateur. Or, l’analogie que le sujet établit entre la situation de la balance et celle du jeu de billes montre que ce schème relève des notions de réciprocité ou de compensation. Examinons donc comment les sujets du début du sous-stade III B procèdent de la même idée à la recherche d’une explication proprement dite (avec dispositif des suspensions alternatives) :

Chal (13 ;6) trouve rapidement que « plus la distance est grande, plus le poids doit être petit. Ça se tient. —   Pourquoi ? — Ça se compense là et là. —   Qu’est-ce qui se compense ? — Les distances et les poids : c’est un système de compensations. Chacun monte tour à tour : à distances égales, il faut des poids égaux et si c’est incliné, ça se rétablit et ça descend de l’autre côté. —   (On propose deux unités de poids à une distance 5 et une unité à la distance 10.) Que seront les angles ? — Plus grand d’un côté (il montre les deux unités) et plus petit de l’autre (expérience). Ah ! non : les mêmes angles ! » Il les dessine : « La distance se compense avec le poids. —   Quel chemin font-ils (on montre les hauteurs H et H’) ? — Un plus grand chemin avec le plus petit poids et le grand poids un plus petit chemin. —   Et quelles forces faut-il (on montre les ficelles qui permettent de monter et de descendre les poids) ? — Pour le plus petit, il y a plus de distance à tirer, pour le gros moins de distance. —   Alors où faut-il plus de force ? — Ici (deux unités). Ah ! non, c’est la même chose : la distance (il parle maintenant des hauteurs) se compense avec le poids. »

Sam (13 ;8) découvre immédiatement que la distance horizontale est l’inverse du poids. « Comment expliquer ? — Il faut plus de force pour soulever (le poids situé à une extrémité) que quand c’est plus près du centre … parce qu’il y a un plus long chemin à faire. —   Comment le savez-vous ? — A la balançoire, si un est trois fois plus lourd, il se met au tiers parce que le chemin (en hauteur) est trois fois moins long à parcourir. —   Mais une fois vous parlez de la distance (geste horizontal) et une fois du chemin à parcourir ? — Ah ! ça dépend s’il faut calculer ou bien comprendre. Pour calculer c’est mieux de regarder en horizontale ; pour comprendre c’est en vertical que c’est plus compréhensible : pour le léger (à l’extrémité) ça va plus vite, pour le lourd moins vite. »

Tis (13 ;8) découvre la proportion 1 à 2 et dessine les hauteurs : « Si je remplaçais ce poids (une unité) par celui-là (deux unités), ça ne monterait (à l’extrémité) que la moitié … (Le chemin en hauteur) est beaucoup plus long quand c’est au bout de la balance que quand c’est au milieu (d’un bras). — Il y a aussi compensation ? — Oui, entre la force et la hauteur. —   Comment mesurer ? — C’est plus commode la hauteur, mais au fond, ça revient au même (que la distance horizontale). »

Ces réponses du stade III (et tant du sous-stade III A que de III B), nous remettent, d’une part, en présence de schèmes connus,

c’est-à-dire du groupe INRC sous la forme que nous avons déjà rencontrée (chap. IX et X); elles nous montrent surtout, d’autre part, comment ce schème général de l’équilibre se différencie, dans le présent cas, par la construction des proportions P/P’ = L’/L et P/P’ = H’/H. Les deux problèmes que nous avons à discuter sont donc celui de la formation du schème des proportions, mais aussi celui de ses rapports avec le groupe INRC.

Le groupe INRC se trouve d’abord dans ces réponses sous une forme que nous aurions déjà pu décrire à propos des oscillations du liquide dans les vases communicants (chap. IX) : lorsque l’un des bras de la balance descend sous l’influence d’un poids suspendu à une distance donnée, l’autre descendra à son tour sous l’influence du même poids suspendu symétriquement à la même distance : « Chacun monte tour à tour, dit Chal et si c’est incliné (au-dessous de l’horizontale) ça se rétablit et ça descend de l’autre côté. » Il intervient donc à cet égard une réciprocité (p ⊃ ) = R (q ⊃ ) où p et q sont les énoncés des montées des leviers. Mais la nouveauté propre à la balance est qu’il intervient deux facteurs et qu’ils se compensent : un poids P à une distance L produit la même inclinaison, lorsqu’il est seul en jeu, qu’un poids P’ = nP à une distance L’ = L/n : c’est ce que Chal constate avec étonnement (« les mêmes angles »), puis trouve naturel puisque « la distance se compense avec le poids ».

Le même groupe INRC se retrouve donc ensuite, et sous la même forme qu’à propos des pressions et des résistances dans l’équilibre des liquides (prop. 8, chap. IX et prop. 1, chap. X). A l’opération consistant à mettre des poids sur l’un des bras à des distances données peuvent correspondre deux sortes d’opérations rétablissant l’équilibre : l’inverse N qui consistera à enlever ces poids ou la réciproque R qui consistera à mettre des poids égaux à distances égales sur l’autre bras de la balance ; et si l’inverse N annule l’opération initiale, la réciproque R la compense sans l’annuler, bien que N et que R aboutissent au même résultat qui est de retrouver l’horizontalité des bras. Les transformations décrites à ce propos (prop. 8, chap. IX et prop. 1, chap. X) se retrouveront donc d’autant plus facilement ici qu’elles correspondent à une constatation intuitive fort simple et déjà acquise grâce aux correspondances qualitatives du stade II. Mais, ici à nouveau, il s’y ajoute cette particularité propre à la balance que les distances compensent les poids.

Sous ses deux formes, relatives soit aux pressions et résistances, soit aux oscillations et inclinaisons, le groupe INRC se

double donc ici d’un schème de proportions : proportion inverse des distances horizontales et des poids P/P’ = L’/L, pour ce qui est des pressions et résistances, et proportion inverse des hauteurs et des poids P/P’ = H’/H pour ce qui est des inclinaisons. Il s’y ajoute d’ailleurs une troisième proportion, qui est cette fois directe, L/L’ = H/H’ mais de caractère purement géométrique, et qui paraît évidente aux sujets (cf. Tis : « Au fond, ça revient au même » de mesurer en distances horizontales ou en hauteurs). Le problème est donc d’établir comment les deux premières de ces proportions se construisent dans l’esprit des sujets : de façon indépendante et par structuration directe de l’expérience, ou en liaison avec le schème opératoire de l’équilibre, fondé sur le groupe INRC ?

Il convient d’abord de rappeler que dans tous les domaines, et non pas seulement dans le cas de nos présentes expériences, la compréhension des proportions n’apparaît qu’au niveau III A. Au cours du sous-stade II B on observe souvent chez les sujets la recherche d’une même relation au sein de deux relations comparées entre elles, mais cette même relation est conçue comme étant de nature additive : au lieu de la proportion P/P’ = L’/L, on aurait ainsi une égalité des différences P — P’ = L’ — L. La formation de l’idée de proportions suppose donc d’abord qu’aux simples relations de différence soit substituée la notion de l’égalité des produits PL = P’L’. Mais il importe en outre de remarquer que ce passage de la différence au produit s’effectue rarement sous une forme d’emblée métrique : la quantification numérique de la proportion est en général précédée par un schème qualitatif fondé sur la notion de produit logique, c’est-à-dire par l’idée que deux facteurs agissant ensemble équivalent à l’action de deux autres facteurs réunis. « Plus la distance est grande, plus le poids doit être petit », dit ainsi Chal par simple correspondance qualitative (cf. prop. 5), mais il ajoute « Ça se tient », autrement dit un petit poids uni à une grande distance équivaut à un grand poids uni à une petite distance. Or, ces multiplications logiques sont déjà esquissées au niveau II B (cf. prop. 6 et 7) mais seulement sans généralisation à tous les cas possibles. D’où vient alors la généralisation propre aux niveaux III A et III B ? C’est sans doute ici qu’interviennent les notions de compensation et de réciprocité attachées au groupe INRC.

Il est, en effet, évident que si le sujet devient capable, au stade III, de comprendre les transformations par inversion (N) et par réciprocité (R) et de les grouper en un système unique (I, N, R et NR = C), il parvient de ce fait même à utiliser l’égalité des produits sous une forme beaucoup plus générale que par les multiplications de relations (6) et (7), et de plus sous une forme impliquant déjà les notions de compensation et d’annulation : la possibilité de raisonner selon une structure de groupe INRC signifie la compréhension des égalités NR = IC ; RC = IN ; NC = IR ; etc., qui sont des égalités entre produits de deux transformations. Il en résulte alors que le groupe INRC lui-même équivaut à un système de proportions logiques :

puisque IN = RC (où x = l’opération transformée par I, N, R ou C).

Examinons par exemple la manière dont les sujets raisonnent sur les changements de poids et de distance horizontale (en négligeant, pour simplifier les notations, les poids et les distances inchangés). Appelons p l’énoncé d’une augmentation déterminée de poids et q d’une augmentation déterminée de distance, et appelons et les propositions énonçant une diminution correspondante de poids et de distance sur un même bras de la balance. Les propositions p’ et q’ correspondront à p et q, et ’ et ’ à et mais sur l’autre bras. En isomorphisme avec la prop. 1 du chapitre X, les sujets comprendront donc les rapports d’inversion et de réciprocité suivants (groupe INRC mais en choisissant p ∙ q comme opération identique I) :

(8) I (p ∙ q) = augmenter à la fois le poids et la distance sur l’un des bras

N ( v ) = (p ∙ ) v ( ∙ q) v ( ∙ ) = diminuer la distance en augmentant le poids ou diminuer le poids en augmentant la distance ou diminuer les deux

R (p’ ∙ q’) = compenser I en augmentant à la fois le poids et la distance sur l’autre bras de la balance

C (’ v ’) = (p’ ∙ ’) v (’ ∙ q’) v (’ ∙ ’) = annuler R de la même manière que N annule I

Or, comme R (p’ ∙ q’) revient à compenser l’action I (p ∙ q), par réaction (symétrie) sur l’autre bras de la balance, nous pouvons l’écrire  ∙ ; et comme (’ v ’) revient à compenser l’action N

par symétrie également, nous pouvons l’écrire (p v q). La prop. (8) peut donc se formuler comme suit :

(8 bis) I (p ∙ q)

N ( v )

R ( ∙ )

C (p v q)

Le système de ces transformations, qui n’expriment donc pas autre chose que l’équilibre des poids et des distances, équivaut alors sans plus à la proportionnalité^1 :

(9) (où x = p ∙ q)

En d’autres termes, sitôt qu’il comprend le système des inversions et réciprocités (8 et 8 bis) le sujet saisira par le fait même que d’augmenter le poids et la distance sur un bras de la balance est à l’augmentation symétrique sur l’autre bras comme d’augmenter l’un ou l’autre sur un bras est à l’opération réciproque sur l’autre bras ; etc.

Or, de ce schème qualitatif de proportions logiques, qui correspond sans doute à l’intuition globale de proportionnalité dont part le sujet, il est facile de passer à des proportions logiques plus détaillées (à une seule proposition) et de là aux proportions numériques.

Rappelons à cet égard que, pour une seule proposition p, la corrélative C est identique à I et la réciproque R identique à N. De la proportion (9) on tire ainsi :

(10) = d’où p v  = q v

c’est-à-dire que l’augmentation de poids est à l’augmentation de distance comme la diminution de distance est à la diminution de poids.

D’autre part, outre les proportions directes, du type (9) et (10), le groupe INRC comporte ce qu’on peut appeler des proportions réci-

a) (p ∙ q) ∙ ( v ) = () ∙ (p v q) = 0 car I N = R ∙ C

b) (p ∙ q) v ( v ) = () v (p v q) = (p * q) car I v N = R v C

c) (p ∙ q) ∙ () = (p v q)  () = (p ∙ q) car I(NR) = C(NN)

d) (p ∙ q) ∙ () =  ∙ () = 0 car I(NC) = R(NN)

proques où l’un des produits croisés est la réciproque R de l’autre :

(11) [(p ∙ q) ∙ (p v q) = p ∙ q] = R[( ∙ ) ∙ ( v ) =  ∙ )]

D’où, en vertu de (10) et de (11), la proportion réciproque :

(12) =   soit  (p ∙ ) = ( ∙ q)

On voit alors immédiatement que ces deux proportions logiques (11) et (12) sont isomorphes aux proportions numériques que l’on peut obtenir en donnant à l’augmentation du poids (p) ou à celle de la distance (q) un même coefficient n. En effet, si p = nP et q = nL^[*], alors :

(13) = ^[**] correspond à = par exemple =

et (14) ) = R  ^[***] correspond à = par exemple =

Ces formules (9) à (14) peuvent paraître bien abstraites pour rendre compte des raisonnements effectifs de nos sujets. En réalité et indépendamment cela va de soi du symbolisme introduit par nous, c’est cependant bien ainsi que sont découvertes les proportions. Avant d’introduire des nombres à titre de mesures du poids et de la distance, le sujet commence en général par poser :

(15) p ∙  = R ( ∙ q)

(augmenter le poids et diminuer la distance sur l’un des bras revient au même que de diminuer le poids et d’augmenter la distance sur l’autre bras).

Or, cette prop. (15) n’est autre que la proportion (12), qui implique alors (10) et (9) et conduit à la proportion métrique (14). Les formules qui précèdent peuvent donc être considérées comme l’expression symbolique des raisonnements effectifs observés.

Quant à la proportion entre les poids et les hauteurs, tous les sujets, en présence du dispositif de suspensions alternatives, comprennent d’abord qu’une augmentation de distance q implique une augmentation déterminée de hauteur (r), donc :

(16) q ⫔ r

Il en résulte alors que les proportions (10) et (12) impliquent :

(17) = ; et (17 bis) = R

Enfin, le transport d’un poids à une certaine hauteur constitue un travail, ce que nos sujets expriment à leur manière faute d’un vocabulaire physique précis : « Plus de distance à tirer » (Chal), ou « plus de force pour soulever » (Sam). Si un gros poids situé à une petite distance s’équilibre avec un poids n fois plus petit, situé à une distance n fois plus grande, c’est donc en fin de compte que les travaux sont égaux pour soulever le premier à une certaine hauteur et pour soulever le second à un niveau n fois plus élevé : il y a, comme dit Fis, compensation « entre la force et la hauteur ». C’est cette égalité des travaux, entrevue au cours du stade III, qui fournit ainsi la raison du phénomène de l’équilibre. Mais si, sur ce dernier point, la réaction des sujets cités est insuffisamment spontanée, l’expérience suivante^[*], où le dispositif trop simple de la balance est remplacé par une traction sur un plan incliné, nous montrera comment la notion de travail est élaborée dès le niveau concret II B et utilisée dans les explications du stade formel III.